SECCION 18

Puntos Extremos y Caras de Conjuntos Convexos

Dado un conjunto convexo C , existen varios conjuntos de puntos S tal que C=conv S. Para cualquier S, los puntos de C pueden ser expresados como combinación convexa de los puntos de S como en el Teorema de Carathéodory’s. Uno puede llamar esto como una “representación interna” de C , en distinción a una “representación externa” de C como la intersección de alguna colección de semiespacios. Representaciones de la forma C=conv S o C=cl (conv S ) puede también ser considerado en los cuales S contiene algunos puntos y direcciones, como en la sección precedente. Por supuesto, el más pequeño S es, la más significativa representación interna de C . El más pequeño S actualmente existe en la mayoría de casos importantes. Probaremos esto más adelante utilizando la teoría general de estructura facial.

Una cara de un conjunto convexo C es un subconjunto convexo C ' de C tal que

cualquier segmento rectilíneo (cerrado) en C con un punto interior relativo en C ' tiene los

dos puntos finales en C '. El conjunto vacío y C son caras de C . Las caras cero dimensionales de C son llamados los puntos extremos de C . Esto en un punto x∈C es un punto extremo de C si y sólo si no se puede expresar x como una combinación convexa (1− λ ) y+ λz tal que y∈C , z∈C y 0< λ<1, excepto tomando x= y=z.

Para conos convexos, el concepto de un punto extremo no es muy útil, dado que el origen sea el único candidato para un punto extremo. Uno estudia los rayos extremos del cono en su lugar, un rayo extremo será una cara la cual es la semirecta emanada del origen. En general, si C ' es una semirecta de un conjunto convexo C , llamaremos la dirección de

C ' una dirección extrema de C (punto extremo de C al infinito). Los rayos extremos de un cono convexo están en correspondencia de una a uno con las direcciones extremas del cono.

Si C ' es el conjunto de puntos donde cierta función lineal h logra su máximo sobre C ,

entonces C ' es una cara de C . (Sabemos, C ' es convexo porque si es la intersección de C y

{x∨h ( x )=α }, donde α es el máximo. Si el máximo se logra en el interior relativo del

segmento de recta L⊂C, entonces h debe ser constante en L, así que L⊂C' .) Una cara de este tipo es llamado una cara expuesta. Las caras expuestas de C (para un C en sí y posiblemente el conjunto vacío) son precisamente los conjuntos de la forma C∩H , donde H es un hiperplano soporte no trivial de C . Un punto expuesto de C es una cara expuesta que se deduce a un punto, es decir, un punto a través del cual hay un hiperplano soporte que no contiene ningún otro punto de C . Definimos las direcciones expuestas (puntos expuestos al infinito) de C como las direcciones de las caras semilineales expuestas de C . Un rayo expuesto de un cono convexo es una cara expuesta que es una semirecta emanando del origen. Note que un punto expuesto es un punto extremo, una dirección expuesta es una dirección extrema, y rayo expuesto es un rayo extremo.

Las caras no siempre son expuestas. Por ejemplo, sea C la cascara convexa de un toro, y sea D uno de los discos cerrados formando los lados de C . Los puntos limites relativos de

D son puntos extremos de C pero no puntos expuestos de C . (Ellos son puntos extremos de D, sin embargo, D es una cara expuesta de C .)

Si C ' ' es una cara de C ' y C ' es una cara de C , entonces C ' ' es una cara de C . Esto es inmediato para la definición de “cara”. En particular, un punto extremo o dirección extrema de una cara de C es un punto extremo o dirección extrema de C . La declaración paralela para caras expuestas no es cierto, como el ejemplo toro mostrado.

Si C ' es una cara de C y D es un conjunto convexo tal que C '⊂D⊂C, entonces C ' es una

cara de D. Si C ' es expuesta en C , si es también expuesta en D.

Por ejemplo, sea C un conjunto convexo cerrado, sea C ' una cara semirecta de C con

extremo x, y sea D=x+0⁺C . Entonces C '⊂D⊂C (Teorema 8.3), por tanto C ' es una

cara semirecta de D y C '−x es un rayo extremo del cono 0⁺C . Se sigue que cada dirección extrema de C es también dirección extrema de 0⁺C . Similarmente, cada dirección expuesta de C es una dirección expuesta de 0⁺C . La reciproca no es verdad: Si C es un conjunto convexo parabólico en R2, decimos, 0⁺C es el rayo en la dirección del eje de C; en este caso 0⁺C tiene una dirección extrema (actualmente expuesto), mientras si