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TutorialMT-m7

Matemática 2006 Tutorial Nivel Medio

Sufi ciencia de datos

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CEPECH Preuniversitario, Edición 20062


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Suficiencia de datosCorresponden a los últimos 7 ejercicios evaluados en la PSU de matemática.

En las preguntas de suficiencia de datos no se pide que se dé la solución al problema, sino que se decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.

Se deberá marcar la alternativa:

A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es,

B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es,

C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente,

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta,

E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

Ejemplo:

1. Se puede conocer el área de un triángulo si:

(1) Su base más su altura suman 12 cm. (2) Su altura es el doble de la base.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola , (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

En este ejemplo, se puede observar que con los datos proporcionados en la condición (1) ,más los proporcionados en la condición (2) es posible llegar a la solución, en efecto:

Si con la condición (1) base + altura = 12 y con la condición (2) altura = 2 ⋅ base (Reemplazando (1) en (2))





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base + 2 ⋅ base = 12 (Despejando)

base = 4 (Reemplazando en (1) y despejando)

altura = 8 (Calculando área)

Área = base · altura2

= 4 · 82

= 16

Por lo tanto, la alternativa correcta es C) Ambas juntas, (1) y (2)

Ejercicios

1. Se puede conocer la edad de Francisco Ignacio si:

(1) La suma de las edades de su Madre y su Padre es 55 años. (2) La diferencia de edad entre Francisco Ignacio y su padre es de 27 años.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola , (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

2. El número de pisos de dos edificios están en la razón de 5 : 9. Se puede determinar la cantidad de pisos de cada uno si:

(1) La diferencia de los pisos de los edificios es de 12 pisos. (2) Los pisos de ambos edificios suman 42 pisos.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional



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3. Ximena y Francisco tienen en conjunto ahorrados $ 3.000.000, ¿cuánto tiene ahorrado Francisco?

(1) El dinero ahorrado de Ximena y Francisco están en razón de 1 : 5. (2) Francisco tiene $ 2.500.000 más que Ximena


4. En la figura se puede determinar el valor de x si:

(1) x : z = 2 : 1 (2) y = z = 12 cm, x < z

x

y z A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

5. ¿Cuánto mide el área de un rombo?

(1) Su lado mide 5 cm (2) Una de las diagonales mide 8 cm






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6. 1x

3 ∈ IR si:

(1) x ≠ 0 (2) x es positivo


7. La recta 2y = 6x –1 es paralela con “y = mx + n” (con n ≠ -12

) si:

(1) n = 1 (2) m = 3


8. Se puede asegurar que dos triángulos son congruentes si:

(1) Poseen tres de sus ángulos internos iguales entre sí (2) Poseen un ángulo igual y dos lados proporcionales




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9. Para que en la figura sen α, sea igual a 1213

(1) b = 12 (2) ABC debe ser triángulo rectángulo

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

B

A

C

b

5

13

α C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

10. Se puede encontrar el valor de x e y si:

(1) 3x + 6y = 10 (2) 6x +56 = -12y


11. Dado que 2x – 3y = 12 , se puede conocer el valor de x si:

(1) x : y = 3 : 2 (2) 6x – 9y – 144 = 2






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12. En el sistema de ecuaciones:

4x – 10y = 12 20x + ay = 40

para que el sistema no posea solución:

(1) a = 50 (2) a = -50


13. Se puede calcular la probabilidad de sacar un globo rojo de una caja si:

(1) En la caja hay 30 globos. (2) En la caja hay 5 globos rojos.


14. Un niño sujeta una caja cuadrada de CD, desde dos vértices adyacentes haciéndola girar. Se puede determinar el volumen generado por este giro si:

(1) Al hacer girar el CD de esta forma, se genera un cilindro. (2) La altura del cilindro generada es igual a su radio.




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15. Se puede determinar el volumen de un cono si:

(1) El área de su base es 20 cm2. (2) Su altura es igual a la diagonal de un cuadrado de lado 6 cm.


Respuestas

Preg. Alternativa1 E2 D3 D4 E5 C6 A7 B8 E9 D10 E11 E12 B13 C14 E15 C





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SolucionarioNota: Recuerde que no siempre es necesario resolver completamente este tipo de ejercicios para determinar la suficiencia de datos

1. Alternativa correcta letra E.

De la primera condición(1) podemos decir que Madre + Padre = 55, de la segunda condición (2) extraemos la ecuación Padre - Francisco = 27

Es decir que tenemos tres incógnitas (Madre, Padre y Francisco), pero solo dos ecuaciones, por lo tanto las condiciones (1) y (2) por separado son insuficientes para conocer la edad de Francisco, sin embargo si utilizamos las ecuaciones de ambas condiciones juntas independiente del método que utilicemos (igualación, reducción) seguimos necesitando otra ecuación para resolver el problema en cuestión.

Por lo tanto, la alternativa correcta es E. Se requiere información adicional

2. Alternativa correcta letra D

Con los datos proporcionados en el enunciado más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto:

Pisos edificio 1 : Pisos edificio 2 = 5 : 9, o si se prefiere Edificio1 = 5X , Edificio 2 = 9X

Además como: (Pisos edificio2 – pisos edificio 1) = 7 pisos ,tenemos que:

9X - 5X = 12 (Despejando) X = 3

Por lo tanto:

Pisos edificio 1 = 5 ⋅ 3 = 15 pisos Pisos edificio 2 = 9 ⋅ 3 = 27 pisos

Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el enunciado: los pisos de dos edificios están en la razón de 5 : 9 y en la condición (2) los pisos de ambos edificios suman 42 pisos.

Por lo tanto, la alternativa correcta es D. Cada una por sí sola, (1) ó (2)



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Se puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución:

Ximena: Francisco =1 : 5 , o si se prefiere Ximena = X , Francisco = 5X

Además como: (Ximena + Francisco) = 3.000.000

X + 5X = 3.000.000 (Despejando) X = 500.000

Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el enunciado (Ximena + Francisco) = 3.000.000 y en la condición

(2) (Francisco = Ximena + $ 2.500.000).


4. Alternativa correcta letra E

(1) x : z = 2 : 1 (2) y = z = 12 cm, x < z

Las condiciones (1) y (2) por separado no permiten encontrar el valor de x, y si las tomamos juntas, la condición (1) no valida la información x < z.

Por lo tanto, la alternativa correcta es E. Se requiere información adicional

5. Alternativa correcta letra C

Ninguno de los datos por separado nos sirven, pues para encontrar el área de un rombo necesitamos su base y su altura, o sus dos diagonales, sin embargo utilizando ambos datos al unísono tenemos:

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Dado que las diagonales de un rombo se dimidan y son perpendiculares:





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Además podemos observar que dado que las diagonales son perpendiculares se forma el trío pitagórico 3,4,5

45

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3

5

Con lo cual descubrimos que el valor de la segunda diagonal es 6 cm.

Finalmente aplicando la formula de área de rombo A = (diagonal1 · diagonal2)2

A = (8 · 6)2

(Multiplicando el numerador)

A = 482

(Dividiendo)

A = 24 cm2

Por lo tanto, la alternativa correcta es C. Ambas juntas, (1) y (2)

6. Alternativa correcta letra A

Para que el enunciado pertenezca a los reales debe cumplirse la condición (1) pues la expresión 1

0 no está definida en los reales.

Por otro lado las raíces cúbicas siempre poseen solución dentro de los reales,

por ejemplo: √-8 3 = -2

Por lo tanto, la alternativa correcta es A. (1) por sí sola



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7. Alternativa correcta letra B

Si dividimos 2y = 6x –1 por 2, obtenemos

y = 3x - 12

en esta forma (la forma principal de la recta), la pendiente es el número que acompaña a la variable x, luego la pendiente de esta recta es 3, por lo tanto para que

y = mx + n sea paralela con 2y = 6x –1, m = 3 que es la condición (2)

Por lo tanto, la alternativa correcta es B. (2) por sí sola


Los criterios mencionados en las condiciones (1) y (2) son criterios de semejanza ,no de congruencia, los criterios de congruencia son:

Primer criterio: Dos triángulos son congruentes cuando sus lados homólogos son iguales. Segundo criterio: Dos triángulos son congruentes cuando tienen un ángulo igual comprendido entre lados homólogos respectivamente iguales.

Tercer criterio: Dos triángulos son congruentes si tienen un lado igual y los ángulos homólogos adyacentes a él, respectivamente iguales.

Es decir que ni (1) , ni (2) satisfacen estos criterios, luego:

la alternativa correcta es E. Se requiere información adicional


Si b = 12 entonces el triángulo ABC, necesariamente corresponde al trío pitagórico 5, 12, 13

y es por lo tanto un triángulo rectángulo, en donde utilizando la definición de seno, tenemos

que sen α = 1213

con lo cual la condición (1) permite resolver el ejercicio.

Además si el triangulo ABC es rectángulo, b por Pitágoras es igual a 12, con lo cual

sen α=1213

, o sea que la condición (2) permite también resolver el ejercicio.






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10. Alternativa correcta letra E)

(1) 3x + 6y = 10 (2) 6x +56 = -12y

Si “ordenamos” la ecuación de la condición (2) ,resulta: 6x + 12y = 56 , con lo cual resultan las dos siguientes ecuaciones:

(1) 3x + 6y = 10 (2) 6x + 12y = 56

Aplicando nuestros conocimientos de sistemas de ecuaciones tenemos que:

(1) ax + by = e (2) cx + dy = f

Para que el sistema tenga solución a ⋅ d ≠ b ⋅ c ,si aplicamos esta definición en:

(1) 3x + 6y = 10 (2) 6x + 12y = 56

resulta que: 3 ⋅ 12 = 6 ⋅ 6, con lo cual el sistema no posee solución.

Por lo tanto la alternativa correcta es E. Se requiere información adicional.


Tomando la condición (1) y despejando x tenemos que x = 3y2

,reemplazando en

2x – 3y = 12, resulta: 2 ⋅ 3y2

– 3y = 12 ,despejando resulta que 0 ≠ 12, por lo tanto la

condición (1) no permite resolver la pregunta.

Si “ordenamos (2)” tenemos que: 6x – 9y = 146 , luego formando un sistema de ecuaciones con el enunciado resulta:

2x – 3y = 12 6x – 9y = 146

en donde 2 ⋅ -9 = 6 ⋅ -3 con lo cual la condición (2) tampoco permite resolver la pregunta.

Por lo tanto la alternativa correcta es E. Se requiere información adicional.



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12. Alternativa correcta letra B

Aplicando nuestros conocimientos de sistemas de ecuaciones tenemos que:

(1) ax + by = e (2) cx + dy = f

Para que el sistema tenga solución a ⋅ d ≠ b ⋅ c, o si se prefiere, para que el sistema no posea solución a ⋅ d = b ⋅ c,

aplicando esta definición con a = 50 tenemos que:

4 ⋅ 50 ≠ -10 ⋅ 20, o sea si a = 50 el sistema posee solución.

Aplicando esta definición con a = -50 tenemos que:

4 ⋅ -50 = -10 ⋅ 20, con lo cual si a = -50 el sistema no posee solución.

Por lo tanto, la alternativa correcta es B. (2) por sí sola


Las condiciones (1) y (2) por separado no permiten resolver el problema, sin embargo si tomamos juntas ambas condiciones, aplicando la definición de probabilidad:

P(#) = P(A) = Casos favorables / casos posibles, tenemos que:

P(sacar globo rojo de una caja) = 5 / 30 = 1 / 6



La condición (1) no aporta nada nuevo, pues se puede deducir del enunciado. La relación aportada por la condición (2) no aporta ningún dato objetivo, pues necesitamos el radio de la base del cilindro (en este caso el lado del CD) y la altura del cilindro (en este caso el lado del CD), pero no tenemos ningún dato para encontrar este lado.

Por lo tanto la alternativa correcta es E. Se requiere información adicional





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Se puede determinar el volumen de un cono si:

(1) El área de su base es 20 cm2. (2) Su altura es igual a la diagonal de un cuadrado de lado 6 cm.

Para determinar el volumen de un cono utilizamos la formula (Área de la base)⋅ altura ⋅ 13

,

las condiciones (1) y (2) por separado no nos otorgan suficiente información, sin embargo juntas tenemos el área de la base ,condición (1) y con la condición (2) podemos obtener la altura, (la diagonal de un cuadrado es igual a su lado por raíz cuadrada de dos, luego la diagonal de un cuadrado de lado 6 cm es 6√2 cm), con lo cual el volumen del cono es:

20 ⋅ 6√2 ⋅ 13

= 40√2 cm3


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