Matematica - Sexto Medicina 2013

2013

Tercer Año Bachillerato

Opción Ciencias Biológicas

Prof. Teresita Fuster LICEO N° 2 HÉCTOR MIRANDA

MATEMATICA 3° CIENCIAS BIOLOGICAS 2013

Prof. Teresita Fuster Liceo N° 2 Héctor Miranda

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“La Matemática tiene virtudes de formación

moral y produce independencia de

pensamiento, porque en ella, el manejo

individual y social de la verdad no admite el

argumento de la autoridad.”

James Marshall (1967)



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Contenido Contenido del documento................................................................................................. 3

Objetivos ....................................................................................................................... 3

Promoción ..................................................................................................................... 3

Unidad temática 1: Límite y continuidad de funciones .................................................... 4

Gráficas de funciones ................................................................................................... 4

Límite de funciones ....................................................................................................... 8

Límites de una función a partir de su gráfica ............................................................ 8

Límite de una función a partir de su expresión analítica ........................................ 11

Operaciones con límites .......................................................................................... 11

Continuidad de funciones ........................................................................................... 16

Unidad temática 2: Derivadas ........................................................................................ 18

Interpretación geométrica de la derivada a una función en un punto .................... 18

Interpretación cinemática de la derivada ................................................................ 19

Cálculo de derivadas ............................................................................................... 19

Propiedades de las funciones derivables. .............................................................. 22

Crecimiento y decrecimiento de funciones. ............................................................ 23

Concavidad de una función..................................................................................... 23

Unidad temática 3: Integrales......................................................................................... 25

Unidad temática 4: Estadística ....................................................................................... 28

Introducción a la Estadística....................................................................................... 28

Elementos de una investigación estadística ........................................................... 28

Muestreo .................................................................................................................. 29

Estadística Descriptiva ............................................................................................ 30

Variables aleatorias cualitativas ................................................................................. 34

Medidas de resumen ............................................................................................... 34

Variables cuantitativas ................................................................................................ 35

Medidas de posición................................................................................................ 35

Medidas de dispersión ............................................................................................ 36

Distribuciones de variables aleatorias ........................................................................ 37

Variables discretas .................................................................................................. 37

Variables continuas ................................................................................................. 39

Intervalos de confianza ........................................................................................... 40

Análisis multivariado ................................................................................................... 41

Relaciones entre dos variables ............................................................................... 41

Test de independencia para dos variables ............................................................. 42

Artículos del Reglamento de Evaluación y Pasaje de grado para el Bachillerato ........ 44



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Contenido del documento En este documento encontrarás el material que se usará durante el curso de Matemática. El mismo está orientado a los alumnos que cursan el tercer año de Bachillerato, opción Ciencias Biológicas, del Liceo N° 2 Héctor Miranda.

Se corresponde con el programa de Matemática indicado por la Inspección de la asignatura a partir del año 2010.

Objetivos El objetivo de este documento es facilitar la tarea de clase y las actividades domiciliarias, ya que contiene material teórico (definiciones, propiedades, algunas demostraciones) y la mayor parte de los ejercicios con los que se trabajará durante el año.

Los objetivos principales del curso de matemática son:

Estimular el razonamiento matemático Estimular el desarrollo de las capacidades matemáticas y aplicarlas a la

resolución de los más diversos problemas Estimular la conexión entre los diferentes conceptos matemáticos adquiridos y

relacionarlos con los aprendizajes de otras asignaturas. Profundizar los conocimientos ya adquiridos en años anteriores y, a la vez, que

sirvan como base para los temas que se desarrollarán en cursos superiores.

Promoción Según el reglamento de evaluación y pasaje de grado del Consejo de Educación Secundaria, “La calificación final en cada asignatura será el resultado de todo el proceso de aprendizaje desarrollado por el estudiante durante el curso.”1 En este curso, el proceso de aprendizaje se basará en tres pilares principales:

Actuación en clase (incluye participación, interés por la asignatura, relacionamiento con los compañeros, etc.)

Trabajos domiciliarios, ya que con estas tareas se practica lo estudiado en clase y se puede rever en la siguiente clase aquello que no ha sido totalmente comprendido o sobre lo que se tiene dudas.

Trabajos de evaluación escritos o trabajos especiales que se soliciten durante el curso. Se incluyen aquí las dos pruebas especiales de evaluación a realizarse en los meses de junio y noviembre.

1 Al final de este documento encontrarás los artículos del Reglamento de evaluación y pasaje

de grado para Bachillerato que se refieren al tema.



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Unidad temática 1: Límite y continuidad de funciones

Gráficas de funciones Los ejercicios que siguen están planificados para ser realizados con la ayuda del programa Geogebra, por lo cual se trabajará en la sala de informática.

Ejercicio 1

Grafica las siguientes funciones entre números reales. (Indica en cada caso el dominio de la función)

a) f(x) = x+5 b) f(x) = x2 +2 c) f(x) = x2 +2x +1

d) f(x) = x3 e) f(x) = x3+2x2 f) f(x) = 1/x

g) f(x) = ex h) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥2 i) f(x) = Lx

Ejercicio 2

Para cada una de las funciones del ejercicio anterior, grafica también:

g(x) = f(x) +2 h(x) = f(x) – 3 i(x) = - f(x) j(x) = f(x+1)

k(x) = f(x-1) l(x) = f(-x) m(x) = | f(x) |

Ejercicio 3

A partir de los casos observados, redacta con tus compañeros una conclusión general

sobre la forma de las gráficas de una función f(x) y las gráficas de las funciones relacionadas: f(x) + k ; f(x+k) ; f(-x) y |f(x)|

Definición 1 Función par

Definición 2 Función impar

Ejercicio 4

Investiga si alguna de las funciones del Ejercicio 1 es par o impar.

Ejercicio 5

Investiga a partir de las funciones vistas hasta ahora, que sucede con las gráficas de las funciones pares e impares y redacta una conclusión.

Se llama función par a cualquier función entre números reales que cumpla:

f(x) = f(-x) x, x D(f)

Se llama función impar a cualquier función entre números reales que cumpla:

f(x) = - f(-x) x, x D(f)



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Ejercicio 6

La siguiente es la gráfica de la función f: / f(x) = x3- x2. A partir de ella, grafica en

el mismo par de ejes, las funciones: g(x) = f(x)+2 ; j(x) = f(x-1) ; t(x) = f(-x) y r(x) = -f(x). (Puede ser de ayuda el uso de papel de calco).

Ejercicio 7

Dada la gráfica de la función f entre números reales, identifica entre las otras gráficas

dadas, cuál de ellas se corresponde con f(-x) ; f(x+k) ; f(x)+k; -f(x) o |f(x)|. Escribe la expresión analítica de cada función.

𝑓(𝑥) =𝑥 + 2

𝑥



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Definición 3 Función creciente

g (x) =

j (x) =

h (x) =

Se dice que una función f es creciente en un intervalo I si a mayores valores de

x le correspondes mayores valores de f(x)

Con símbolos:

f es creciente en I x1, x2 I x1>x2 f(x1) > f(x2)



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Definición 4 Función decreciente

Definición 5 Función inversa

Ejercicio 8

a) Investiga, a partir de sus gráficas, el crecimiento y decrecimiento de las

funciones f del Ejercicio 1.

b) Para esas mismas funciones, investiga cuál de ellas tiene inversa.

c) ¿Puedes establecer una relación entre estos dos conceptos? Revisa si tu

hipótesis se confirma en las gráficas de las otras funciones ya trabajadas. Establece una explicación con tus propias palabras.

Se dice que una función f es decreciente en un intervalo I si a mayores valores de

x le corresponden menores valores de f(x)

Con símbolos:

f es decreciente en I x1, x2 I x1>x2 f(x1) < f(x2)

Sea la función f entre números reales:

f: D(f) C(f) / f(x) = z , x D(f)

Si existe una función g: C(f) D(f) / g(z) = x, z C(f), se dice que f tiene

inversa (o es invertible). La función g se anota generalmente como f-1



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Límite de funciones

Límites de una función a partir de su gráfica

Ejercicio 9

Estudiaremos las gráficas de las siguientes funciones y algunas de sus características.



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Ejercicio 10

Estudia los límites de las funciones del Ejercicio 1 a partir de sus gráficas, en los casos que se detallan a continuación:

Función Resolver lim f(x) si: a) x 0 x + x -

b) x -2 x - x +

c) x -1 x + x -

d) x 1 x + x -

e) x 0 x -2 x +

f) x 0 x 1 x -

g) x 1 x + x -

h) x 0 x + x -

i) x 1 x 0 x +

NOTACIÓN

En el caso de la primera función:

lim𝑥→−1

𝑓(𝑥) = 0

lim𝑥→1

𝑓(𝑥) = 8

lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = +∞

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = −∞

NOTACIÓN

En el caso de la segunda función:

lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = +∞

lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = −∞

lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = 0

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 0



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Límite de una función a partir de su expresión analítica

A continuación se formaliza el concepto de límites vistos en los ejercicios anteriores:

Definición 6 Límite de funciones

Propiedad 1 Unicidad del límite

Ejercicio 11

Volveremos a calcular los límites de las funciones del Ejercicio 9 pero utilizando sus expresiones analíticas:

a) 𝑓: 𝑅 → 𝑅 , 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 + 3𝑥 b) 𝑓: 𝐷(𝑓) → 𝑅, 𝑓(𝑥) =𝑥2+5𝑥

3𝑥2−9

c) 𝑓: 𝐷(𝑓) → 𝑅, 𝑓(𝑥) =𝑥2+2

𝑥−1 d) ) 𝑓: 𝐷(𝑓) → 𝑅, 𝑓(𝑥) =

𝑒𝑥−1

𝑥2

e) 𝑓: 𝐷(𝑓) → 𝑅, 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 5 𝑥 ≤ 0

𝑥2 + 6𝑥 + 5 𝑥 > 0

f) 𝑓: 𝐷(𝑓) → 𝑅, 𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 𝑥 𝑥 ≥ 0

𝑥+1

𝑥2 𝑥 < 0

Operaciones con límites

A partir de ejemplos, completaremos en la clase los siguientes cuadros:

+ f

g k * 0 + -

k *

0

+

-

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) = 𝒍 ↔ ∀𝜺 ∈ + , ∃ 𝜹 ∈ + / 𝒔𝒊 |𝒙 − 𝒂| < 𝜹 → |𝒇(𝒙) − 𝒍| < 𝜺


𝒇(𝒙) = +∞ ↔ ∀𝑲 ∈ + , ∃ 𝜹 ∈ + / 𝒔𝒊 |𝒙 − 𝒂| < 𝜹 → 𝒇(𝒙) > 𝑲


𝒇(𝒙) = −∞ ↔ ∀𝑲 ∈ + , ∃ 𝜹 ∈ +/ 𝒔𝒊 |𝒙 − 𝒂| < 𝜹 → 𝒇(𝒙) < 𝑲

𝒍𝒊𝒎𝒙→+∞

𝒇(𝒙) = 𝒍 ↔ ∀𝜺 ∈ + , ∃ 𝑯 ∈ + / 𝒔𝒊 𝒙 > 𝑯 → |𝒇(𝒙) − 𝒍| < 𝜺

𝒍𝒊𝒎𝒙→−∞

𝒇(𝒙) = 𝒍 ↔ ∀𝜺 ∈ + , ∃ 𝑯 ∈ + / 𝒔𝒊 𝒙 > −𝑯 → |𝒇(𝒙) − 𝒍| < 𝜺

𝒍𝒊𝒎𝒙→+∞

𝒇(𝒙) = +∞ ↔ ∀𝑲 ∈ + , ∃ 𝑯 ∈ + / 𝒔𝒊 𝒙 > 𝑯 → 𝒇(𝒙) > 𝑲

(De manera similar se definen los casos con x - o f(x) -)

Si una función tiene límite para x A, el límite es único



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x f

g k * 0 + -

k *

0

+

-

÷ f

g k * 0 + -

k *

0

+

-

Definición 7 Límites laterales

Ejercicio 12

Para las funciones entre números reales f, g, h dadas a continuación, calcula los límites indicados:

𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5 𝑔(𝑥) = −2𝑥2 + 8𝑥 ℎ(𝑥) = 𝑥2−1

𝑥−3

lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥)= lim𝑥→2

𝑓(𝑥)=

lim𝑥→4

𝑔(𝑥) = lim𝑥→+∞

𝑔(𝑥)=

lim𝑥→−1

ℎ(𝑥)= lim𝑥→+∞

ℎ(𝑥)= lim𝑥→3

ℎ(𝑥) = lim𝑥→−∞

ℎ(𝑥)=

Ejercicio 13

Calcula los siguientes límites:

𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞

2 − 𝑥 − 3𝑥 2 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞

𝑥2 +𝑥+2

4 − 𝑥3 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0

𝑥3 −2𝑥

3𝑥2 +7𝑥

𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞

−2𝑥2

𝑥3 +2𝑥 𝑙𝑖𝑚

𝑥→−∞

𝑥4 −3𝑥2 +2

2𝑥4 −6𝑥+3 𝑙𝑖𝑚

𝑥→−1

7𝑥+1

𝑥2 +2𝑥+1

Límites laterales:

lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝑘 ↔ ∀𝜖𝑅+ , ∃𝛿𝜖𝑅+ ,(𝑥 − 𝑎) < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝑘| < 휀

(o sea, se consideran los valores de x que están en un intervalo derecho de a, de

radio ) Definiciones similares se obtienen para f(x) y para límite lateral

izquierdo.



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𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞

5

2𝑥2 −𝑥−1 𝑙𝑖𝑚

𝑥→2

𝑥−2

𝑥2 −4𝑥+4 𝑙𝑖𝑚

𝑥→+∞ −𝑥2 +2𝑥

𝑥−1+

2𝑥2 −1

2𝑥+1

lim𝑥→0

sin 𝑥 lim𝑥→+∞

√2𝑥 + 33 𝑙𝑖𝑚

𝑥→+∞𝑐𝑜𝑠 𝑥

lim𝑥→0

𝑒𝑥

𝑥+5 lim

𝑥→5

𝑒𝑥−5

𝑥2 −25

Definición 8 Órdenes infinitos

Definición 9 Órdenes infinitésimos

Órdenes

Si las funciones f y g tienen límite infinito para x A, entonces:

Si lim𝑥→𝐴

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= 0 entonces orden (f) < orden (g)

Si lim𝑥→𝐴

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= ∞ entonces orden (f) > orden (g)

Si lim𝑥→𝐴

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= 𝑘 , 𝑘 ∈ 𝑅∗ entonces orden (f) = orden (g)

Si k = 1, entonces f y g son funciones equivalentes

Órdenes

Si las funciones f y g tienen límite 0 para x A, entonces:

Si lim𝑥→𝐴

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= 0 entonces orden (f) > orden (g)

Si lim𝑥→𝐴

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= ∞ entonces orden (f) < orden (g)

Si lim𝑥→𝐴

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= 𝑘 , 𝑘 ∈ 𝑅∗ entonces orden (f) = orden (g)

Si k = 1, entonces f y g son funciones equivalentes (notación: f(x) ~ g(x))



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Límites tipos

La siguiente tabla muestra algunos casos de funciones equivalentes, que usaremos apropiadamente para cálculo de límites. En todos los casos: f(x) ~ g(x)

x0 x1 x f(x) g(x) f(x) g(x) f(x) g(x)

sen x x ln(x) x - 1 (1 +

1

𝑥)

𝑥

e

tg x x sen(x-1) x - 1 1 –cos(x) x2 / 2 xn - 1 n(x – 1)

ex - 1 x √𝑥𝑛 − 1 1

𝑛(𝑥 − 1)

ax -1 ln(a) ln(x+1) x

(1+x)m -1 mx

Ejercicio 14

Dadas las funciones:

𝑓(𝑥) =(3−2𝑥)(𝑥2 +1)+𝑥2

𝑥2 −𝑥 𝑔(𝑥) =

√𝑥5 +𝑥4 +1

𝑥2 −4

ℎ(𝑥) = √𝑥 2 + 𝑥 − √𝑥2 + 1 𝑗(𝑥) = 2𝑥 − √4𝑥 2 + 𝑥 + 1

𝑘(𝑥) = √3𝑥2+2

2𝑥 −1

3 𝑙(𝑥) =

𝑥3+2𝑥2+𝑥

𝑥2+3𝑥+2 𝑚(𝑥) =

𝑒3𝑥−6 −1

9𝑥−18

Halla los siguientes límites:

lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) lim𝑥→1

𝑓(𝑥) lim𝑥→0

𝑓(𝑥)

lim𝑥→+∞

𝑔(𝑥) lim𝑥→2

𝑔(𝑥) lim𝑥→+∞

ℎ(𝑥) lim𝑥→−∞

ℎ(𝑥)

lim𝑥→+∞

𝑗(𝑥) lim𝑥→−∞

𝑗(𝑥) lim𝑥→2

𝑗(𝑥)

lim𝑥→+∞

𝑘(𝑥) lim𝑥→1

2⁄𝑘(𝑥) lim

𝑥→0 𝑘(𝑥)

lim𝑥→+∞

𝑙(𝑥) lim𝑥→−1

𝑙(𝑥)

lim𝑥→+∞

𝑚(𝑥) lim𝑥→−∞

𝑚(𝑥) lim𝑥→−1

𝑚(𝑥)



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Ejercicio 15

Calcula los límites indicados:

lim𝑥→+∞

7𝑥−1

√5𝑥3+4𝑥−23 lim

𝑥→+∞

√4𝑥4 +𝑥2 +1

𝑥2 +1 lim

𝑥→+∞

ln (𝑥8 −5)

𝑥2

lim𝑥→+∞

(𝑥2

𝑥−1−

𝑥2 +1

𝑥−2) lim

𝑥→+∞

(𝑥2 +1)2 −3𝑥2 +3

𝑥3 −5 lim

𝑥→3

𝑥2 −9

𝑥2 −5𝑥+6

lim𝑥→−∞

(√𝑥 2 + 3𝑥 − √𝑥 2 + 𝑥) lim𝑥→3

√𝑥+1−2

𝑥−3 lim

𝑥→+∞

3𝑥−1

√𝑥7 +𝑥5

lim𝑥→+∞

𝑥7 +𝑥5 +𝑥3

(1

2)𝑥

lim𝑥→0+

2

3+41𝑥

lim𝑥→0−

2

3+41𝑥

lim𝑥→+∞

(1 −2

3𝑥)

𝑥

lim𝑥→+∞

(1 +1

𝑥+2)

𝑥−1

lim𝑥→0+

(1+𝑥)2 −1

𝑥

Ejercicio 16

Grafica las siguientes funciones utilizando el programa Geogebra e investiga si existe

alguna recta (puede ser paralela a alguno de los ejes coordenados o cortar a ambos) y

que se “acerque” a la gráfica de la función. Mediante el mismo programa puedes obtener la ecuación aproximada de estas rectas.

𝑓(𝑥) =𝑥+1

−𝑥−3 𝑔(𝑥) =

𝑥2−4

2𝑥 ℎ(𝑥) =

𝑥2−9

𝑥2+4 𝑗(𝑥) =

𝑥3

𝑥+1

Cuando estas rectas existen, se denominan asíntotas. Entre todos redactaremos una definición formal de asíntota.

Ejercicio 17

Para las siguientes funciones estudia: dominio, raíces, límites en los puntos de no existencia, límites infinitos y ecuaciones de las asíntotas (si las tiene).

𝑓(𝑥) =𝑥+2

𝑥2 𝑔(𝑥) =

𝑥2−3𝑥+2

𝑥2−1 𝑗(𝑥) =

2𝑥2+4𝑥

𝑥−1

ℎ(𝑥) =𝑥+5

𝑥2+1 𝑘(𝑥) =

𝑒𝑥−1

𝑥 𝑙(𝑥) = √𝑥2 − 4

𝑚(𝑥) = {

𝑥 − 2

𝑥 + 1 𝑥 ≤ 1

𝑥2 + 2

𝑥 − 1 𝑥 > 1



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Continuidad de funciones Definición 10 Función continua en un punto

Ejercicio 18

Investiga si las funciones del Ejercicio 17 son continuas a, aD(f)

Definición 11 Función continua en un intervalo

A continuación estudiaremos algunas funciones (en principio usando Geogebra) y luego extraeremos algunas conclusiones que generalizaremos.

Ejercicio 19

Dadas las funciones:

𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 7𝑥2 − 8 ℎ(𝑥) =𝑥+2

𝑥2+1

𝑔(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥 + 1

𝑥2 − 4

a) Hallar: f(0), f(4), g(0), g(4), h(0), h(4)

b) ¿Puedes indicar si f, g o h tienen alguna raíz en el intervalo [0,4]?

c) ¿Hay algún valor de x en el intervalo [0,4] que cumpla f(x) = 1? ¿Y que cumpla

h(x) = 1?

d) Investiga si f y h tienen máximo o mínimo en el intervalo [0,4]

e) Investiga si g tiene máximo o mínimo en el intervalo [2,4]. ¿Y en el intervalo

[2.5,4]?

Una función f: D(f) es continua en a (a D(f)) sí y sólo sí:

lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

Una función f: D(f) es continua

en I (I D(f)) sí y sólo sí f es

continua a, aI

Una función f: D(f) es continua

en a,b (a,b D(f)) sí y sólo sí: f es continua c, c(a,b) y f es

continua en a+ y en b-



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Propiedad 2 Teorema de Bolzano

Propiedad 3 Teorema de Darboux

Propiedad 4 Teorema de Weierstrass para funciones continuas

Ejercicio 20

Utilizando el teorema de Bolzano, indica si las siguientes funciones tienen alguna raíz

en el intervalo considerado para cada una. En caso afirmativo, encuentra un valor aproximado a esa raíz con un error menor a 0.1.

𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 7𝑥2 − 8 en [0,4]

𝑔(𝑥) =𝑥2−5

𝑥−1 en [-3,-1]

ℎ(𝑥) = ln(𝑥 + 1) + 3𝑥 − 2 en [0,1]

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] y se cumple que

f(a)*f(b) < 0, entonces existe al menos una raíz real de f en el intervalo (a,b)

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] siendo

f(a)=A y f(b) =B (con A≠B) y C un número real cualquiera entre A y B, entonces existe al menos un número real c en el intervalo (a,b) que cumple f(c) = C

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] existe al menos un punto c

del intervalo que cumple: f(x)≤ f(c) x, x [a,b] y existe al menos un punto d del

intervalo que cumple: f(x) f(d) x, x [a,b]



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Unidad temática 2: Derivadas

Veamos los siguientes problemas, que resolveremos, en primera instancia, utilizando

las gráficas de las funciones involucradas.

Ejercicio 21

Determina la ecuación de la tangente a la gráfica de la función 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4

en el punto de abscisa 3.

Ejercicio 22

Por el teorema _________________ visto anteriormente, podemos asegurar que la función 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 − 2 tiene máximo y mínimo en el intervalo [-4,1].

Encuentra los valores de las abscisas de esos puntos.

En estos ejercicios está involucrado el concepto de derivada de una función de un

punto.

Definición 12 Derivada de una función en un punto

Interpretación geométrica de la derivada a una función en un punto

Dada la función f:D(f), si existe y es finito el límite limℎ→0

𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)

ℎ, para

a D(f), se dice que f es derivable en a. El valor del límite se designa por f’(a).



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Interpretación cinemática de la derivada2

Supongamos que la función s= f(t) representa la ley de movimiento de un punto en

una recta (la cual se considera como el eje de coordenadas s). O sea, s es la

coordenada del punto móvil en cierto instante t. El camino recorrido por el punto

durante el intervalo de tiempo [t, t+t], es:

∆𝑠 = 𝑓(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑓(𝑡)

La velocidad media del punto en dicho intervalo de tiempo es:

𝑣𝑚 =∆𝑠

∆𝑡

La velocidad verdadera (instantánea) en el instante t se define como un límite:

𝑣 = lim∆𝑡→0

∆𝑠

∆𝑡= 𝑓′(𝑡)

Cálculo de derivadas

Veremos algunos ejemplos de cálculo de derivadas:

Ejemplo 1:

Calcular la derivada a la función 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥) = 𝑥2 para 𝑥 = 𝑎

𝑓′(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)

ℎ= lim

ℎ→0

(𝑎 + ℎ)2 − 𝑎2

ℎ= lim

ℎ→0

𝑎2 + 2𝑎ℎ + ℎ2 − 𝑎2

ℎ

= limℎ→0

2𝑎ℎ + ℎ

ℎ= lim

ℎ→0

(2𝑎 + ℎ)ℎ

ℎ= lim

ℎ→0(2𝑎 + ℎ) = 2𝑎

Entonces:

Si f(x)= x2 , f’(a)= 2.a

2 Extraído de: Cálculo diferencial e Integral – Ya.S.Burgrov , S.M.Nikolsky – Editorial Mir - 1984



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Ejemplo 2

Calcular la derivada a la función 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 para 𝑥 = 𝑎


𝑒𝑎+ℎ − 𝑒𝑎

ℎ= lim

ℎ→0

𝑒𝑎𝑒ℎ − 𝑒𝑎

ℎ= . . .

(completa el razonamiento)

Ejemplo 3

Calcular la derivada a la función 𝑓: 𝑅+ → 𝑅, 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑥 para 𝑥 = 𝑎


𝐿(𝑎 + ℎ) − 𝐿𝑎

ℎ= lim

ℎ→0

𝐿 (𝑎 + ℎ

𝑎)

ℎ= . . .

(completa el razonamiento)

Definición 13 Función derivada

Definición 14 Función compuesta

Tabla de derivadas

A continuación se brinda una tabla que indica, para distintas funciones elementales,

cuál es su función derivada. La construcción de la misma se realiza por razonamientos semejantes a los vistos anteriormente.

Dada la función f:D(f), se llama función derivada de f , 𝑓′: 𝐷(𝑓′) → 𝑅, en la

cual a cada x D(f) / f es derivable en x, le corresponde su derivada.

Dadas las funciones f:AB / f(x)=t y g:BC/g(t)=z , se llama función compuesta

g(f):AC / g(f(x))=z



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Utilizando la tabla anterior, resolveremos los siguientes ejercicios.

Ejercicio 23

Determina las derivadas de las funciones del Ejercicio 1. Para cada una de ellas,

indica el dominio de la nueva función.

Ejercicio 24

Determina las derivadas de las siguientes funciones, indicando el dominio de cada una de ellas.

𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 3𝑥 2 − 6 𝑓(𝑥) = 6𝑥 3 − 𝑥 2 𝑓(𝑥) = (2𝑥 2 − 3)2

𝑓(𝑥) =𝑥 +1

𝑥2 −3 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + 5𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑒4𝑥+5

𝑓(𝑥) = 𝑒√𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥 + 1) 𝑓(𝑥) =3𝑒𝑥

𝑥

Ejercicio 25

Determina las derivadas de las funciones del Ejercicio 17. Para cada una de ellas, indica el dominio de la nueva función.

Ejercicio 26

Para las funciones del Ejercicio 17, determina la ecuación de la tangente a la gráfica

de la misma en los puntos cuya abscisa se indica y verifica tus resultados utilizando

Geogebra.

f x = 1 g x = 0 h x = -1 j x = 2 k x = 1

Propiedades de las funciones derivables. Propiedad 5 Relación entre derivada y continuidad

A partir de las definiciones de derivada y de continuidad, ensaya una demostración para esta propiedad. Investiga si el recíproco también se cumple.

Ejercicio 27

a) Grafica la función 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 + 3. Encuentra la ecuación de la

recta que pasa por los puntos A y B de la gráfica cuyas abscisas respectivas

son xA= -1 y xB=2. ¿Puedes encontrar algún punto Z de la gráfica de abscisa

xA<xZ<xB, en el cual la tangente a la gráfica sea paralela a la recta AB?

b) Grafica ahora la función 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥) = √|𝑥 + 2|. Determina la ecuación de la

recta que pasa por los puntos C y D de la gráfica con xC=-3 y xD=0. ¿Hay un

valor de x (-3,0)

c) ¿Qué conclusiones puedes extraer?

Si una función es derivable en x = a, entonces es continua en x = a.



| 23

Propiedad 6 Teorema del valor medio de Lagrange

Crecimiento y decrecimiento de funciones.

Ejercicio 28

a) A partir de las gráficas ya analizadas en el Ejercicio 9, investiga la relación

entre la derivada de una función y el crecimiento o decrecimiento de la misma.

b) ¿Qué condiciones deben cumplirse para que una función tenga máximo o mínimo relativo en x=a?

Ejercicio 29

Estudia crecimiento y decrecimiento de las funciones del Ejercicio 24. Si alguna de ellas tiene máximos o mínimos relativos, encuentra sus coordenadas.

Concavidad de una función Definición 15 Concavidad

Definición 16 Derivada segunda

Propiedad 7

Definición 17 Punto de inflexión

Si una función f: D(f) es continua en [a,b] (con [a,b] D(f)) y derivable en

(a,b), entonces existe c (a,b) que cumple: 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)

𝑏 −𝑎= 𝑓′(𝑐)

Una función f: D(f) tiene concavidad positiva (negativa) en x=a si existe un

entorno de a tal que la tangente a la curva en el punto (a, f(a)) está por arriba (por

debajo) de la curva en ese entorno.

Se llama derivada segunda de una función a la derivada de su función derivada:

𝑓′′(𝑥) = (𝑓′(𝑥))′

Una función tiene concavidad positiva en x=a sí y sólo sí f’’(a)>0

Una función tiene concavidad negativa en x=a sí y sólo sí f’’(a)<0

Una función tiene punto de inflexión en x=a si en ese punto existe un cambio de

concavidad.



| 24

Ejercicio 30

Realiza el estudio analítico completo y un bosquejo de la gráfica de cada una de las siguientes funciones.

𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 6𝑥 𝑓(𝑥) =𝑥2−4

𝑥+1 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 4𝑥2

𝑓(𝑥) =𝑥−1

𝑥2−9 𝑓(𝑥) =

2𝑥

𝑥2+1 𝑓(𝑥) =

𝑒𝑥

𝑥+2

𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 4 𝑓(𝑥) = √|𝑥2 − 4| 𝑓(𝑥) = 𝑥 + ln (𝑥 + 1)

𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒−𝑥 𝑓(𝑥) = ln (𝑥2 + 1) 𝑓(𝑥) =ln (𝑥)

𝑥

𝑓(𝑥) = √(2𝑥2 − 𝑥33 𝑓(𝑥) =

1

2(3𝑥 + |𝑥|) + 1

Ejercicio 31

Realiza el estudio analítico completo de las funciones cuyas gráficas se brindan en el

Ejercicio 9

Ejercicio 32

Para las funciones cuyas gráficas se presentan a continuación, determina: Dominio;

ecuación de las asíntotas (si las tiene); esquema del signo de f; esquema del signo de f’.

Problemas de optimización

Ejercicio 33

Con una chapa cuadrada de lado 12 es necesario hacer una caja abierta por arriba

que tenga volumen máximo. Se recortan cuadrados en los ángulos de la chapa y se

dobla ésta para formar la caja. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de los cuadrados cortados?

Ejercicio 34

Una fábrica necesita construir con envase cilíndrico de capacidad 4dm2. ¿Qué

dimensiones debe tener el cilindro para que el material utilizado (incluyendo la tapa)

sea mínimo?

Ejercicio 35

Se lanza un cuerpo hacia arriba con velocidad inicial de 40 m/s. Calcula cuál es la

máxima altura que alcanzará si la aceleración gravitacional es de 10m/s2. Dato: la

ecuación que describe la altura en función del tiempo es ℎ(𝑡) = 𝑣𝑡 −𝑔

2𝑡2

Ejercicio 36

Una hoja de papel debe tener 18cm2 de texto impreso. Además, los márgenes superior

e inferior deben ser de 2cm cada uno y los márgenes laterales deben ser de 1cm cada uno. Calcula las dimensiones de la hoja para que su superficie sea mínima.



| 25

Unidad temática 3: Integrales

Ejercicio 37

Grafica las siguientes funciones y calcula el área determinada por la gráfica de la

función, el eje de abscisas y las rectas de ecuaciones x = a y x = b, para los valores de

a y b determinados en cada caso.

𝑖)𝑓(𝑥) = 5 a = 1 b = 4

𝑖𝑖)𝑓(𝑥) = {4 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 21 𝑠𝑖 𝑥 < 2

a = -1 b = 3

𝑖𝑖𝑖) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 a = 0 b = 2

𝑖𝑣) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 a = -5 b = -1

𝑣) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 a = 1 b = 4

𝑣𝑖) 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 2 𝑥 < 1−2𝑥 + 5 𝑥 ≥ 1

a = -1 b = 2

𝑣𝑖) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 a = 0 b = 1

Definición 18 Integral definida

Propiedad 8

Definición 19 Primitiva de una función

Dada una función f: D(f), siendo f(x) 0 x [a,b], se llama integral de f

entre a y b (notación: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎 ) al área comprendida entre la gráfica de la

función, el eje de abscisas y las rectas de ecuaciones 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏

1. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0𝑎

𝑎

2. Si f(x) ≤ 0 en [a,b], se define ∫ 𝑓 = − ∫ (−𝑓𝑏

𝑎

𝑏

𝑎 )

3. ∫ 𝑓 = − ∫ 𝑓𝑎

𝑏

𝑏

𝑎

4. ∫ (𝑓 + 𝑔) = ∫ 𝑓 + ∫ 𝑔𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

5. ∫ 𝑘. 𝑓 = 𝑘 ∫ 𝑓 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑅∗𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

6. Si a < b < c: ∫ 𝑓 = ∫ 𝑓 + ∫ 𝑓𝑐

𝑏

𝑏

𝑎

𝑐

𝑎

Dada una función f: D(f), se denomina primitiva de f en el intervalo [a,b] a la

función F: D(F), si se cumple: F’(x) = f(x) x [a,b]



| 26

Propiedad 9

Propiedad 10 Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Propiedad 11 Regla de Barrow

Ejercicio 38

Utilizando las propiedades vistas anteriormente, calcula las siguientes integrales:

∫ 3𝑑𝑥3

−2 ∫ 𝑥𝑑𝑥

6

4 ∫ 2𝑥𝑑𝑥

3

0

∫ (𝑥 + 1)𝑑𝑥−1

−3 ∫ 9𝑥2𝑑𝑥

−4

0 ∫ 3𝑥2𝑑𝑥

10

−10

∫ (𝑥2 + 3𝑥3 − 5)𝑑𝑥2

−1 ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥

2

0 ∫ (𝑒𝑥 + 2𝑥3)𝑑𝑥

3

−1

∫1

𝑥𝑑𝑥

𝑒

1 ∫ (

1

𝑥+ 2𝑥)𝑑𝑥

10

4 ∫

1

2√𝑥𝑑𝑥

9

1

∫ (2𝑒𝑥 − 𝑥)𝑑𝑥2

−3 ∫

−1

𝑥2𝑑𝑥

6

2 ∫

5

𝑥6𝑑𝑥

100

1 ∫ 2𝑡2𝑑𝑡

𝑥

0

Ejercicio 39

Calcula las áreas señaladas en cada gráfica

𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 4𝑥 + 3 𝑥 ≥ 1−2𝑥 + 2 𝑥 < 1

1

Si F y G son dos primitivas de la función f en [a,b], entonces F y G difieren en una

constante.

Si f es una función continua en [a,b] y F: D(F), la función definida por

𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥

𝑎 x [a,b], entonces se cumple que F(x) es derivable en [a,b] y

que F’(x) = f(x), x [a,b]

Si f es una función continua en [a,b] y F es una primitiva cualquiera de f en [a,b],

se cumple que: ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)𝑏

𝑎



| 27

2

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥

𝑔(𝑥) = 𝑥/2

3

𝑓(𝑥) = 𝑥

𝑔(𝑥) =𝑥3

4

Ejercicio 40

Para cada una de las siguientes gráficas de funciones, se ofrecen cuatro afirmaciones. Indica cuál es verdadera y justifica

𝑎) ∫ 𝑓2

0 = 1

𝑏) ∫ 𝑓2

0 = 2

𝑐) ∫ 𝑓 = 1/22

0

d) Ninguna de las opciones anteriores

𝑎) ∫ 𝑓 = 22

0

𝑏) ∫ 𝑓 = 12

0

𝑐) ∫ 𝑓 = 02

0

d) Ninguna de las opciones anteriores



| 28

Unidad temática 4: Estadística

Introducción a la Estadística

Definición 20 Concepto de Estadística

Elementos de una investigación estadística 1. Objetivos de la investigación 2. Universo, unidad a investigar y unidad de observación 3. Experiencias en investigaciones similares

4. Marco legal aplicable 5. Procedimientos de recolección

Censo

Muestreo (aleatorio o no aleatorio)

Explotación estadística de registro administrativo

Experimentación 6. Métodos de recolección

Entrevista personal

Correo

Entrega personal

Teléfono

Correo electrónico

Internet 7. Instrumentos de captura

Cuestionario impreso

o Estructurado o guía o Para el encuestador o de autollenado

Cuestionario electrónico

Grabadora de audio o video 8. Variables de relevamiento 9. Categorías de respuesta para las variables de relevamiento 10. Plan de tabulados

11. El cuestionario 12. Recolección de los datos 13. Validación y análisis de los datos

14. Publicación

Es la ciencia que tiene por objeto la recolección, la organización, el análisis y la presentación

de datos, con el fin de brindar información que facilite la toma de decisiones. La Estadística es una rama del conocimiento particularmente nueva y de gran aplicabilidad. Aunque sus orígenes se remontan al siglo XIX, con los estudios sobre antropometría del

belga Adolphe Quetelet y sobre herencia del inglés Francis Galton, muchos de sus avances se han dado a partir de mitad de siglo XX, en parte gracias al progreso de la informática. La utilización de los métodos estadísticos va desde la Medicina a la Economía, pasando por

la Demografía, la Agronomía, las Ciencias Sociales, las Ciencias Políticas y el Marketing.



| 29

Muestreo

Teóricamente una muestra es un subconjunto

de la población.

La esencia de una encuesta por muestreo

consiste en la selección de una muestra con el

objetivo de establecer conclusiones sobre toda

la población basándose en la información de la

parte observada. Si la muestra coincide con

toda la población objetivo, se denomina censo.

Existen diferentes razones para usar una

encuesta por muestreo y no un censo, entre las

que podemos mencionar:

Naturaleza destructiva de ciertas pruebas (por ejemplo en los casos de control de calidad o exámenes de laboratorio de un paciente).

Imposibilidad física de revisar todos los elementos de la población.

Costos prohibitivos de estudiar a todos los integrantes de una población. Tiempo necesario para entrevistar a todos los elementos de la población. Lo adecuado de los resultados de la muestra: se puede inferir los valores poblacionales

de interés de acuerdo a los resultados obtenidos con la muestra.

Marco muestral

Se define como el conjunto de conjunto de unidades, procedimientos y mecanismos que

identifican, distinguen y permiten acceder a la población objetivo.

Físicamente, la muestra se extrae de este listado.

Muestreo probabilístico o aleatorio

Definimos muestro probabilístico como una selección de muestra que cumpla:

i) El conjunto de todas las muestras posibles es conocido.

ii) Cada muestra tiene una probabilidad conocida de selección. El procedimiento de selección asigna a cada elemento de la población una probabilidad no nula de ser incluido en la muestra.

iii) Se selecciona una muestra por un mecanismo aleatorio bajo el cual cada muestra posible tiene exactamente la probabilidad p(s) de ser extraída.

A una muestra obtenida bajo las condiciones anteriores se le denomina muestra aleatoria o

muestra probabilística.

Diferentes diseños de muestreo

Muestreo Aleatorio Simple

De una población U de N elementos, se extraen n de manera independiente y sin reponer (o sea,

el elemento que ya ha sido extraído no influye en la extracción de los siguientes y tampoco puede

volverse a elegir) Para efectuar esta elección se pueden utilizar tablas de números aleatorios,

aunque los distintos software estadísticos disponen de rutinas que permiten este tipo de

muestreo. La extracción debe realizarse a partir de un marco muestral de lista: cada una de las

unidades están identificadas con un número (del 1 al N) y se sortean n elementos.

Muestreo sistemático

En algunas ocasiones, los elementos de la población están ordenados según un criterio

determinado (alfabético, por fecha, por monto, etc.) En estos casos, no siempre es recomendable

efectuar un muestreo aleatorio simple.



| 30

Un diseño de muestreo aplicable en esta situación es el siguiente: se quiere seleccionar alumnos

de un grupo y para ello se eligen todos aquellos que su número de lista sea múltiplo de 5. Otro

ejemplo: dentro de una manzana, se elije una esquina y se selecciona la tercera casa y luego

una casa dejando 4 entre medio hasta completar la manzana.

Muestreo estratificado

El muestreo estratificado consiste en dividir la población en H grupos o subpoblaciones llamados

estratos o unidades primarias y tomar una muestra independiente de manera aleatoria en cada

una de ellas. La estratificación puede realizarse utilizando diferentes variables, dependiendo del

objetivo planteado al realizar la muestra, como por ejemplo: por departamento o región

geográfica, por edad, por género, por nivel socio económico, por tipo de curso que realice el

estudiante, etc. Es una herramienta poderosa y flexible, muy comúnmente usada en la práctica.

Muestreo por conglomerados y en varias etapas

Hasta ahora hemos visto diseños de muestreo que asumen que se puede realizar un muestreo

directo de elementos. Sin embargo, en las encuestas de mediana y gran escala esto no siempre

es posible ya sea porque no se dispone de un marco que identifique a todos los elementos y el

costo de crear uno es demasiado elevado o los elementos de la población están muy dispersos

en un área geográfica muy extensa por lo que el muestro directo de elementos lleva a costos de

relevamiento excesivamente altos.

Los diseños de muestreo en dos etapas y multietapa no requieren realizar muestreo directo de

elementos, ya que una primera etapa se muestrean grupos de elementos, o sea, son aplicables

cuando se poseen marcos agrupados. Por ejemplo, se conocen los grupos con los que cuenta

un establecimiento de enseñanza, pero no los nombres de los alumnos inscriptos en cada uno

de ellos.

Estadística Descriptiva

Es el primer paso en cualquier análisis estadístico. Resume los datos en porcentajes o

números que son fácilmente interpretables y comparables con otros datos similares. Así mismo

pueden proporcionarse gráficas que resuman estos datos.

Variables Aleatorias

Concepto y ejemplos Una variable es cualquier dato sujeto a medida o cuenta. Es aleatoria si no se puede predecir su

valor.

Ejemplos

La hora de salida del sol cada día no es una variable aleatoria, ya que los astrónomos

saben de antemano la hora exacta de la misma para cada día del año.

La cantidad de lluvia caída durante un período específico sí es una variable aleatoria, ya

que no puede predecirse.

La cantidad de alumnos inscriptos en determinado curso en el año próximo es otro

ejemplo de variable aleatoria.

El número de autos que pasan por un peaje cada día también es una variable aleatoria.

Clasificación

Las variables aleatorias suelen clasificarse según la naturaleza de los datos a los que se refieran:

Cualitativas: También se llaman categóricas. Los datos están divididos en clases o

categorías. Por ejemplo, si se tienen datos de un grupo de alumnos, serían variables

categóricas el sexo, el grupo al que pertenece, el tipo de cobertura de salud, el nivel

educativo de la madre, etc. Si tienen dos categorías suelen llamarse dicotómicas.

Cuantitativas: Son datos numéricos. Se diferencian en:

o Discretas: son aquellos datos que se pueden contar o numerar. En el ejemplo

que estábamos viendo, serían variables discretas la edad del alumno, cantidad

de hermanos, número de materias que está cursando, etc.



| 31

o Continuas: datos numéricos que pueden tomar cualquier valor (en general, entre

ciertos límites). Por ejemplo: altura del alumno, peso, etc.

Otra clasificación habitual para las variables estadísticas es:

De corte longitudinal: la medición de la variable refiere al mismo momento del tiempo.

De corte transversal: la medición de la variable se realiza en distintos momentos del

tiempo (en general, a intervalos regulares). También se denominan, en este caso, series

temporales.

Estadística descriptiva univariada

Distribución de frecuencias y frecuencias acumuladas

La frecuencia de una variable (tanto discreta como cualitativa) es la cantidad de veces que el

dato se repite. Normalmente los datos se presentan agrupados según una tabla de frecuencias,

que puede contener frecuencias absolutas (número de casos) o frecuencias relativas

(porcentajes)

Ejemplo

En el año 2012, los alumnos matriculados en el Primer año de Bachillerato en el Liceo Miranda

eran 297. En la reunión final de profesores se obtuvo la promoción primaria de cada uno de ellos.

Estos datos pueden presentarse en una tabla de frecuencias de la siguiente manera:

Fallo Reunión Final Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Promovido 159 53,54

Fallo en suspenso 62 20,87

Repite 76 25,59

Total 297 100,00

Ejercicio 41

Realiza una tabla de frecuencias utilizando como variable la edad en años cumplidos

de los alumnos de la clase. Debe contener: frecuencias absolutas, frecuencias relativas y frecuencias acumuladas.

Propiedad 12 Ley de los grandes números

La frase "ley de los grandes números" es también usada ocasionalmente para referirse al

principio de que la probabilidad de que cualquier evento posible (incluso uno improbable) ocurra al menos una vez en una serie, incrementa con el número de eventos en la serie. Por ejemplo,

la probabilidad de que un individuo gane la lotería es bastante baja; sin embargo, la probabilidad de que alguien gane la lotería es bastante alta, suponiendo que suficientes personas comprasen boletos de lotería.

Ejercicio 42

Cada uno de los alumnos de la clase tira una moneda al aire y observa si la cara de la

moneda que queda hacia arriba es “cara” o “número”. Observa los resultados a medida que aumenta el número de alumnos que realiza la operación.

La frecuencia relativa de los resultados de un cierto experimento aleatorio, tienden

a estabilizarse en cierto número, que es precisamente la probabilidad, cuando el experimento se realiza muchas veces.



| 32

Representaciones Gráficas3

Los datos pueden ser también presentados mediante gráficas, cuya confección depende del tipo

de variable con la que se esté trabajando.

Gráfica de barras

Se utilizan para variables cualitativas.

Consisten en tantos rectángulos como categorías tiene la variable en cuestión. Las bases de

estos rectángulos deben ser iguales. La altura es proporcional a la frecuencia de la categoría (o

sea, a la cantidad de veces que se encuentra el dato)

Gráfica circular

También se utilizan para variables cualitativas. En este caso, el total de datos se representan en

un círculo. Éste se divide en tantos sectores como categorías tiene la variable.

La amplitud (medida en grados) de cada uno de estos sectores es proporcional a la frecuencia

de la categoría que representa.

3 Los ejercicios correspondientes a los temas siguientes serán entregados en formato digital, ya

que se verá la forma de resolverlo usando algunos programas tales como planillas de cálculo.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Promovido Fallo en suspenso Repite

Fallos Reunión Final de Profesores 2012



| 33

Histograma

El histograma es una gráfica de barras usada para variables cuantitativas discretas. La diferencia

es que las barras son consecutivas (o sea, no hay espacios entre ellas).

Otros tipos de gráficas

Según el tipo de datos que se quieren representar, existen otros tipos de gráficas: gráficas

lineales, gráficas de áreas, gráficas de puntos, diagramas de cajas, diagramas de árbol, etc.

Ejercicio 43

Realiza tablas de frecuencias y las gráficas que creas convenientes de las siguientes

variables, considerando los alumnos de la clase: edad, sexo, número de hermanos, cantidad de personas en su vivienda, deporte preferido, tipo de música preferido.

Promovido; 159

Fal lo en suspenso; 62

Repite; 76

Fallos Reunión Final de Profesores 2012

0

20

40

60

80

100

120

140

15 16 17 18 19 20 21 23

Número de alumnos según edad.

Primero Bachillerato 2012



| 34

Variables aleatorias cualitativas

Las variables cualitativas se subclasifican en:

Ordinales: variables cualitativas ordinales en las cuales sus categorías pueden

ordenarse siguiendo determinada lógica. Ejemplo: edad en categorías como: menor de

15 años, de 15 a 25 años, mayor de 25 años.

Nominales: cualquier orden de sus categorías es arbitrario. Ejemplos: sexo,

departamento de nacimiento.

Un tipo de variable cualitativa muy usada es la llamada variable dicotómica. Tienen solamente

dos categorías. Ejemplos: sexo, persona que tiene o no cierta enfermedad investigada. Si las

categorías consideradas pueden considerarse como “éxito” y “fracaso”, también se denominan

variables indicatrices.

Ejercicio 44

De acuerdo a la clasificación dada anteriormente, propone ejemplos de variables

cualitativas e indica las categorías de cada una de ellas. Para cada una, determina si es ordinal o nominal.

Medidas de resumen Las variables cualitativas pueden representarse resumidas en tablas de frecuencias abs olutas o

relativas. Solo si son ordinales tiene sentido presentar frecuencias acumuladas .

Las gráficas habituales para las variables cualitativas son la gráfica de barras y las circulares.

Ejemplo: La variable responde a la pregunta ¿qué navegador de internet utiliza? Población

objetivo: internautas a nivel global.

Las variables de resumen utilizadas en el caso de las variables cualitativas son:

La cantidad de clases o categorías de la variable

El Modo (o moda). Se define como la categoría de la variable con mayor frecuencia.

La frecuencia modal: es la frecuencia relativa de la clase más frecuente.

Ejemplo:

En el ejemplo visto anteriormente:



| 35

El número de clases es 6 (cada uno de los navegadores más la categoría otros)

El Modo es Chrome

La frecuencia modal es 36.4

Variables cuantitativas Se subclasifican en:

Discretas: sus valores son números enteros (aunque lo más habitual es que se traten

de números naturales). Ejemplo: edad en años cumplidos.

Continuas: sus valores son números reales. Ejemplo: ingresos de un hogar en un mes.

Las gráficas más utilizadas son: histogramas, gráficas lineales, gráficas de puntos, diagramas de

cajas.

Para las variables cuantitativas existen varios indicadores (o medidas de resumen) con los que

se pretende tener una idea del comportamiento de los datos con la menor pérdida posible de

información. Estos indicadores sirven también para la comparación de la variable en distintas

instancias, ya sea temporales o geográficas.

Medidas de posición

Medidas de tendencia central Las más importantes son:

Modo (o moda) Es el valor de la variable con mayor frecuencia. Se usa únicamente en

variables cuantitativas discretas.

Media (o promedio). Es el valor que tomaría la variable si los datos fueran todos

iguales, manteniendo el total. Se calcula sumando todos los datos y dividiendo entre el

número de datos. La fórmula para el cálculo de la media es:

𝑋 = ∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛

Mediana: Es el valor de la variable que se encuentra en el lugar central una vez

ordenados los datos en forma creciente. O sea, la mitad de los datos son menores que

la mediana y la otra mitad, mayores.

Ejemplo

Un grupo de personas está esperando atención médica. Al consultarlos sobre su edad (en años

cumplidos) las respuestas son las siguientes:

18 – 25 – 69 – 25 – 50 – 38 – 41 – 23 – 24 – 58 – 25 – 47 – 19 – 51 – 58 – 28 – 32 – 48 – 20 –

28 – 35

Los indicadores vistos anteriormente son:

Modo: 25 (su frecuencia es 3)

Media:

𝑋 = ∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛=

∑ 𝑒𝑑𝑎𝑑211

21=

762

21= 36.3

Mediana Se deben ordenar las edades de las personas en forma ascendente

18 – 19 – 20 – 23 – 24 – 25 – 25 – 25 – 28 – 28 – 32 – 35 – 38 – 41 – 47 – 48 – 50 – 51

– 58 – 58 – 69



| 36

Al tener 21 personas, el lugar central está ocupado por la 11° persona (quedan 10

personas de menor edad y 10 de mayor edad). La edad de la 11° persona (32) es la

mediana de la distribución.

Medidas de tendencia no central De manera similar a como se calcula la mediana de una variable aleatoria cuantitativa, se

pueden también calcular otros indicadores, que también necesitan un ordenamiento de la

variable de menor a mayor.

Entre estos indicadores se destacan: cuartiles (se divide la población en cuatro grupos

aproximadamente iguales); quintiles (cinco grupos); deciles (10 grupos) y centiles o percentiles

(100 grupos).

Por ejemplo, en Economía y en Sociología, es común considerar los quintiles o deciles de una

población ordenada por los ingresos.

Los pediatras utilizan los centiles para estudiar si un niño pequeño está en la “curva de salud”,

tanto en peso como en altura.

Medidas de dispersión

Cuando se comparan dos distribuciones de la misma variable, se utilizan en general las medidas

de resumen, siendo la más frecuente, la media. Pero, en ciertas ocasiones, no alcanza con dar

un solo valor.

Por ejemplo:

Se tienen los ingresos de 10 trabajadores de 3 empresas distintas. Ellos son:

Empresa 1: el ingreso es de $11.000 en todos los casos.

Empresa 2: 9.000,9.000, 10.000, 10.000, 11.000, 11.000,12.000, 12.000, 13.000, 13.000

Empresa 3: 7.000, 7.000, 7.800, 8.000, 9.000, 10.000, 11.600, 12.500, 16.100, 21.000

Si se calcula la media de las tres distribuciones se tiene que es la misma: 11.000, pero sin

embargo, a simple vista se nota que las características de los trabajadores en cuanto al ingreso,

son distintas. Si se grafican los datos, se tiene:

Por eso, suelen utilizarse otras medidas de resumen tales como:

Rango: es la amplitud de la distribución. Se calcula como la diferencia entre el valor

mayor de la variable y el valor menor.

Varianza (o variancia): Es una especie de promedio de las diferencias entre los valores

observados y la media, elevados al cuadrado (porque de lo contrario, estas diferencias

se compensan y el total da cero). La fórmula de cálculo es la siguiente: se hallan la

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Empresa 1

Sueldo ($)

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Empresa 2

Sueldo ($)

0

5000

10000

15000

20000

25000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Empresa 3

Sueldo ($)



| 37

diferencia de cada dato y la media y se eleva al cuadrado. Posteriormente se suman los

valores obtenidos y este resultado se divide entre el número de datos menos 1.

𝑉𝑎𝑟(𝑋) = ∑ (𝑥𝑖 − 𝑋)̅̅ ̅2𝑛

𝑖=1

𝑛 − 1

Desvío estándar o desviación estándar Debido a que para obtener la variancia es

necesario elevar al cuadrado, la unidad de medida de la misma es el cuadrado de la

original. Por este motivo, suele usarse la raíz cuadrada de la variancia, que se llama

desvío o desviación estándar. En este caso, la unidad de medida de los datos se

mantiene. Por ejemplo, si la variable es la altura de un grupo de estudiantes, la unidad

de medida es el metro. Por los cálculos realizados, la unidad de medida de la variancia

es el metro cuadrado, por lo que es más fácil de interpretar el número que determina el

desvío estándar, ya que nuevamente la unidad de medida es el metro.

Distribuciones de variables aleatorias

Los elementos del espacio muestral son elementos abstractos y, en consecuencia, también lo

son los sucesos definidos a partir de ellos. La probabilidad es una función cuyo dominio es el

conjunto de los sucesos y cuyo codominio es el intervalo [0,1] de los números reales. Para poder

aplicar el cálculo matemático es conveniente que el dominio pertenezca también a un conjunto

numérico. Para solucionar este problema suele asignarse una función del conjunto de los

sucesos en el conjunto de los números (reales en general) y a estos números asignarle una

probabilidad. A estas funciones se les llama variables aleatorias. La función que le asigna a cada

valor de la variable una probabilidad, se llama función de probabilidad o distribución de

probabilidad de la variable aleatoria.

Dependiendo del conjunto numérico considerado, las variables aleatorias pueden ser discretas

(en general, son números naturales y pueden ser de recorrido finito o infinito) o continuas (son

números reales).

Variables discretas

Distribución de Bernoulli Una variable aleatoria tiene distribución de Bernoulli si puede tomar únicamente dos valores (en

general representados por 0 y 1) y que son considerados tradicionalmente como “fracaso” y

“éxito” respectivamente. Se caracteriza a estas variables por la probabilidad de éxito.

Por ejemplo: el caso del género de una persona es de una variable aleatoria con distribución

Bernoulli.

En símbolos: una variable X tiene distribución Bernoulli si:

𝑋~ 𝐵𝑒(𝑝) ↔ {1 𝑝0 1 − 𝑝

O sea, la probabilidad de éxito (P{X=1} = p) es lo que define la distribución (por lo tanto, 0≤p≤1).

Se denomina “parámetro” de la distribución.

Se puede demostrar que si una variable se distribuye Bernoulli, entonces

𝑋 = 𝑝 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝑝(1 − 𝑝)

Distribución binomial Si un experimento consta de varias pruebas independientes repetidas, teniendo cada una de

ellas distribución Bernoulli, y se requiere el número de “éxitos”, la variable aleatoria asociada al

experimento tiene una distribución binomial. Son necesarios dos datos: el total de pruebas y la

probabilidad de éxito en cada una de ellas.



| 38

Un ejemplo de variable con distribución binomial, es el caso s iguiente:

En una prueba de 10 ítems, cada uno tiene 4 opciones como respuesta, de las cuales solo una

es la correcta. Si un alumno no estudió y contesta al azar, la probabilidad de “acierto” es de 0.25.

Con estos datos puede calcularse la probabilidad de que un alumno que conteste al azar tenga

determinado número de respuestas correctas. Estas probabilidades se muestran en el siguiente

gráfico:

La distribución Binomial tiene dos parámetros: el número de “tiradas” (veces que se repite el

experimento) y la probabilidad de éxito de cada una de las pruebas Bernoulli.

Si se tiene que calcular la probabilidad de que, al repetir n veces un experimento Bernoulli, la

cantidad de éxitos sea j, se usa la siguiente fórmula:

𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝), 𝑃{𝑋 = 𝑗} = 𝐶𝑗𝑛𝑝𝑗(1 − 𝑝)𝑛 −𝑗

Puede demostrase que:

𝑋 = 𝑛𝑝 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)

Ejercicio 45

Una prueba contiene 5 preguntas de opción múltiple. Cada pregunta tiene 4 respuestas. Sólo

una de ellas es correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante conteste todas las

preguntas bien, sin haber estudiado y sólo adivinando las respuestas?

Ejercicio 46

Durante una epidemia de gripe, la probabilidad de que una persona esté enferma es de 0.12.

Suponiendo que cada persona que llega a un consultorio no tiene relación con las demás, ¿cuál

es la probabilidad de que exactamente 6 personas estén enferma si al consultorio concurren 25

personas? Calcula la media y la variancia de la distribución para este caso.

Ejercicio 47

Un estudio de una asociación de vigilantes de caminos, reveló que 60% de los conductores de

Estados Unidos usa el cinturón de seguridad. Se seleccionó una muestra de 10 conductores en

una carretera.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 7 conductores lleven puesto el cinturón?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que 4 o menos de los conductores lleven puesto el cinturón?

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



| 39

Distribución de Poisson Una variable con distribución de Poisson cuenta la cantidad de sucesos ocurridos durante un

período determinado de tiempo. El recorrido de esta variable es el conjunto de los números

naturales.

Si, por ejemplo se considera un período fijo de un día, una variable que cuente la cantidad de

alumnos que faltaron a clase tiene distribución de Poisson. Otros ejemplos son: cantidad de autos

que pasaron por un peaje en un fin de semana, cantidad de personas que concurren a un banco

en el horario de atención, etc. Existe una rama de la estadística, denominada Teoría de Colas,

que tiene su fundamento en este tipo de problemas.

El parámetro de la distribución de Poisson se identifica generalmente con la letra griega

minúscula lamda (). Representa el número de ocurrencias del evento durante un intervalo de

tiempo prefijado. Se denomina también parámetro de intensidad.

Variables continuas

Distribución Normal La distribución de una variable normal se caracteriza por dos valores: la media y la variancia

(ambos conceptos ya vistos). Tiene muchas aplicaciones en Estadística y la gráfica de su función

de probabilidad tiene una forma conocida por “Campana de Gauss”. En una distribución normal,

el 68% de los valores se encuentran en el intervalo determinado por la media más y menos el

desvío estándar y el 99% de los valores están en el intervalo determinado por la media más y

menos tres veces el desvío.

La distribución Normal se caracteriza por dos parámetros representados con letras griegas:

(que representa la media de la distribución) y 2 (que representa la variancia de la distribución).

Se llama Normal típica o Normal estándar a una distribución Normal en la cual = 0 y 0 1

(como en la gráfica anterior).

Si se quiere calcular la probabilidad de que un valor de la distribución Normal sea menor que

cierto valor x, la forma es:

𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎 2),𝑃{𝑋 ≤ 𝑥} = ∫1

√2𝜋𝜎𝑒−(𝑥−𝜇)2/(2𝜎2 )

𝑥

−∞

No existe un método analítico para resolver esa integral, por lo que hay tablas que dan el

resultado para distintos casos. También pueden usarse distintos programas informáticos.

Dado que no pueden plantarse todas las posibles variables normales, se utiliza una

transformación de manera de usarse únicamente la variable normal típica. Esa transformación

es la siguiente.

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

z



| 40

𝑍~𝑁(0,1); 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜌2) 𝑧 =𝑥 − 𝜇

𝜎

De esta manera, el uso de la tabla de la normal estándar se extiende a cualquier otra distribución

nomal.

Existe una propiedad muy importante, llamada “Teorema Central del Límite” que dice que si se

tiene la media de un número muy importante de variables aleatorias independientes e

idénticamente distribuidas, entonces, la distribución de estas medias tiende a ser normal.

(Cuidado: las variables originales siguen teniendo la distribución original, lo que tiende a ser

normal es la nueva variable aleatoria determinada por las medias).

Ejercicio 48

La calificación media en una prueba de admisión a un instituto de estudios superiores es de 500,

la desviación estándar es 75. Las calificaciones se distribuyen normalmente.

a) ¿Qué porcentaje de los estudiantes obtuvo 320 o menos?

b) ¿20% de los estudiantes tuvo una calificación igual o por encima de que valor? c) ¿10% de los estudiantes obtuvo una calificación igual o inferior a que valor?

Ejercicio 49

Una estación de radio FM, halla que el tiempo medio en que una persona sintoniza la estación

es de 15,0 minutos, con una desviación estándar de 3,5 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de

que un oyente en particular sintonice la emisora

a) Durante 20 minutos o más? b) Durante 20 minutos o menos?

c) Entre 10 y 12 minutos?

Distribución Exponencial La distribución exponencial se utiliza básicamente para medir tiempos o distancias entre dos

sucesos del mismo tipo.

Existe una relación muy importante entre la distribución Exponencial y la Poisson: si una variable

tiene distribución de Poisson, el tiempo que separa la ocurrencia de dos eventos es una variable

con distribución Exponencial.

Otras distribuciones Algunas de las distribuciones continuas más usadas en Estadística se refieren a variables que

son necesarias para la solución de problemas, tales como la independencia de variables o

verificación de hipótesis de trabajo. Entre ellas se destacan la distribución 2 (chi cuadrado), la

distribución t de Student y la distribución f de Fisher-Snedecor.

En general, para comprobar que una variable tiene determinada distribución, deben realizarse

una serie de pruebas, llamadas pruebas de bondad de ajuste.

Intervalos de confianza La media y la mediana de la distribución de una variable aleatoria son valores puntuales.

Si estos valores provienen de una muestra aleatoria, pueden existir diferencias entre las

diferentes muestras tomadas.

En Estadística, muchas veces es conveniente trabajar con Intervalos de Confianza. Para ello, se

determinan dos números (utilizando ciertas reglas), llamados extremos del intervalo. De acuerdo

a las reglas utilizadas, se puede determinar que el valor real de la población que estamos

buscando, se encuentra en ese intervalo con una probabilidad conocida (denominada nivel de

confianza) que se anota en general como 1 - . La probabilidad de que el verdadero valor del

parámetro buscado no esté en el intervalo hallado es , que se denomina nivel de significación.



| 41

Si Z es una variable con distribución Normal típica ( = 0 y 2 =1), se cumple que:

P{-1.96 < z < 1.96} = 0.95

Si se está trabajando con una variable aleatoria X que tiene distribución Normal con media = y

varianza =2, se puede transformar en una Normal típica, como ya se vio anteriormente.

Si se quiere hallar el valor de la media poblacional, se puede asegurar con una probabilidad del

95%, que ese valor se encontrará en el intervalo:

nX

nX

*96.1*96.1

Siendo: X el valor de la media de la muestra, n el tamaño de muestra, el desvío estándar de

la población y la media poblacional buscada.

Análisis multivariado

Relaciones entre dos variables En ocasiones, es necesario realizar el análisis de los datos vinculando dos o más variables. Si

estas variables son cualitativas o, siendo numéricas se pueden modificar creando modalidades,

la forma tradicional de tratarlas es mediante tabla de datos cruzados o Tablas de Contingencia.

También pueden usarse gráficos que vinculen dos variables.

Estadística descriptiva

Tablas de contingencia

Como regla general, es conveniente que la tabla sea “más larga que ancha”. O sea, la variable que tiene más categorías debe presentarse en las filas y la de menos categorías en las columnas. Es simplemente un aspecto visual: ayuda en la interpretación de los datos. No es aconsejable

que las tablas sean muy extensas ni incluir más de tres variables (siempre que dos de ellas tengan muy pocas categorías). Con estas tablas no se pretende, en general, que una variable explique a la otra, sino que la intención es ver cómo se corresponden las distintas modalidades

de cada una de las variables (por ejemplo, si los datos que corresponden a una de las modalidades de una de las variables están concentrados o distribuidos en las modalidades de la otra variable).

Ejercicio 50

Crear una tabla de contingencia utilizando los datos de edad y género de los alumnos del grupo.

En estas tablas hay varias opciones: los totales pueden aparecer tanto al inicio de la tabla (más

usados en las presentaciones internacionales) como al final. Se acostumbra a usar totales de filas y de columnas. En este caso, la tabla se debe titular “Número de alumnos por sexo, según edad”.

En cuanto a la presentación de los datos de la tabla mediante porcentajes, depende del objetivo de la misma:

porcentajes correspondientes a cada fila, o sea, el 100% es el número de observaciones de

cada categoría de la variable que ocupa las filas.

porcentajes correspondientes a columnas, o sea, el 100% es el total de observaciones de cada modalidad de la variable que ocupa las columnas.

porcentaje de tabla, o sea, el 100% es el total de observaciones. Cuando la tabla se presenta con los totales de observaciones, la persona que esté leyendo el informe puede calcular las otras tablas según sus necesidades. Si solo se presentan los

porcentajes, esto no es posible, salvo que se brinden los valores totales de las filas, las columnas o de tabla según corresponda.



| 42

Gráficos

Cuando se necesita mostrar la información correspondiente a dos variables, se pueden usar

gráficos de barras acumuladas: o sea, la barra correspondiente a cada modalidad de una de las variables se divide (en diferentes colores generalmente) para indicar las proporciones correspondientes a cada una de las modalidades de la otra variable.

Estos gráficos pueden confeccionarse tanto con valores absolutos (número de observaciones, cada gráfica tiene la altura proporcional al número de observaciones de la modalidad que representa) como con valores relativos (cada barra representa el 100%, por lo que todas tienen

la misma altura) Ejercicio 51

Realiza un gráfico de barras acumuladas que muestre la distribución de los alumnos del grupo por edad y sexo.

Cuidado: el gráfico debe respetar lo más fielmente posible la descripción de los datos obtenidos en la investigación, por lo cual su elección debe ser cuidadosa.

Test de independencia para dos variables

Variables cualitativas En algunas ocasiones interesa saber si dos variables son o no independientes.4

Se trabaja en estos casos con una prueba de hipótesis especial, en la cual la H0 es que las

variables son independientes y la H1 que no lo son. Se denominan test de independencias de

Pearson.

En este test se trabaja con tablas de doble entrada, en las cuales se coloca las distintas

modalidades de una variable como filas y las modalidades de la otra variable como columnas.

La condición principal es que no haya datos faltantes, ya que se necesitan los diferentes

cruzamientos de las mismas (o sea, cuantos elementos de la muestra comparten cada

combinación de las diferentes modalidades de ambas variables). También debe elegirse un valor

de significación del test (o sea, cual es el mayor error que se permite).

Ejemplo:

La pregunta es si las diferencias se deben a la muestra o si es que las variables no son

efectivamente independientes. El matemático Karl Pearson demostró en 1901 que si se efectúan

las siguientes operaciones:

esperadovalor

observadovaloresperadovalor

.

..2

la variable aleatoria obtenida se distribuye 2

cuyos grados de libertad se obtienen como (N° filas –1)(N° columnas –1)

Variables cuantitativas Si dos variables aleatorias referidas a datos sobre los mismos elementos de la población son

cuantitativas, puede establecerse que grado de relación tienen mediante el llamado coeficiente

de correlación. Es un número entre –1 y 1 y sus valores se pueden interpretar de la siguiente

forma:

Si el coeficiente de correlación es 0, las variables son independientes.

Si el coeficiente de correlación es 1, las variables están correlacionadas positivamente (o sea, a mayores valores de una de ellas corresponden mayores valores de la otra).

4 Dos variables son independientes si la información que se posee sobre una de ellas no influye

en el resultado de la otra.



| 43

Si el coeficiente de correlación es –1, las variables están correlacionadas negativamente

(o sea, a mayores valores de una de ellas corresponden menores valores de la otra) Para los valores intermedios, no hay correlación o independencia perfecta, pero en

general, si el valor es cercano a 1 o a –1, se acostumbra a decir que las variables tienen

correlaciones altas. No existe un valor límite para separar estos conceptos, pero puede considerarse que valores mayores a 0,7 ya indican altas correlaciones y valores menores a 0,3 indicarían la ausencia de correlación (o cuasi independencia).

Gráficamente, puede usarse el llamado diagrama de dispersión o dispersograma, en el cual

cada variable se representa en uno de los ejes y cada punto queda determinado por los valores

de cada variable para una observación.

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

100,00

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00

Correlación negativa

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

50,00

0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00

Correlación positiva

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00

Variables independientes



| 44

Artículos del Reglamento de Evaluación y Pasaje de grado para el

Bachillerato

Artículo 28 … En todos los casos de inscripción por asignatura, para lograr la promoción no se podrá superar

1/6 de las inasistencias fictas. Esa fracción se determinará en base al total de clases teóricas y prácticas que debieron dictarse en cada asignatura.

Artículo 29 En 2º y 3º de Bachillerato, la inasistencia a una hora de clase determinará únicamente, el cómputo de una falta en esa asignatura. El estudiante que supere el límite de inasistencias

establecido en los Artículos 28 y 51 deberá rendir los exámenes en carácter libre. En este caso, perderá la categoría que le hubiere correspondido.

Artículo 30 Previa presentación del correspondiente justificativo, en un plazo prudencial que no exceda una semana, la Dirección del Liceo podrá justificar las inasistencias originadas en problemas de salud. Asimismo podrá justificar aquellas que se originen en situaciones graves o excepcionales

debidamente probadas. Con el fin de aprobar los cursos se computará el total de faltas fictas, sumando a las no justificadas el cincuenta por ciento de las justificadas, desechándose las fracciones que resulten de la operación.

Artículo 48 La actuación del estudiante durante el curso se calificará según la escala de 1 a 12, en la cual

los niveles 1, 2, 3, 4 y 5 denotan diversos grados de insuficiencia.

Según el criterio de gradualidad en la exigencia académica, los valores mínimos de la

promoción serán:

6 o superior para 1er. año y para asignaturas del Núcleo Común de 2° y 3°

7 o superior para asignaturas específicas de 2° año, y

8 o superior para asignaturas específicas de 3° año.

Para las instancias de exámenes, en los tres cursos de Bachillerato, la calificación 5 marcará

la suficiencia mínima para la aprobación. No serán aprobados los exámenes que consten de dos

pruebas cuando una de ellas tenga calificación 1 o 2.

Artículo 49

La calificación final en cada asignatura será el resultado de todo el proceso de aprendizaje

desarrollado por el estudiante durante el curso.

Las calificaciones de las Evaluaciones Especiales se integrarán a la evaluación del proceso.

Artículo 50

A los efectos de la evaluación final de un curso de Bachillerato no se tendrán en cuenta las

asignaturas pendientes de cursos anteriores.

Al finalizar los cursos y evaluada la actuación de los alumnos en cada asignatura, se determinarán

las siguientes categorías: ASIGNATURAS de 1º de BACHILLERATO y ASIGNATURAS de NÚCLEO COMÚN DE 2º y 3º

A- Calificación final 6 o superior, promoción B- Calificación final 5. C- Calificación final 3 o 4. D- Calificación final 1 o 2.



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ASIGNATURAS ESPECÍFICAS de 2º de BACHILLERATO

A- Calificación final de promoción: 7 o superior, B- Calificación final 6. C- Calificación final 3, 4 y 5. D- Calificación final 1 o 2. ASIGNATURAS ESPECÍFICAS de 3º de BACHILLERATO

A- Calificación final de promoción: 8 o superior, B- Calificación final 7. C- Calificación final 4, 5 y 6. D- Calificación final 1, 2 o 3. La categoría A habilita a la promoción.

La categoría B habilita a examen de una prueba complementaria a partir del período noviembre-diciembre. (Artículo 58). La categoría C habilita a examen de dos pruebas a partir del período noviembre

diciembre.

La categoría D habilita a examen de dos pruebas a partir del período de febrero. La reglamentación se mantiene hasta el fin del año lectivo siguiente - período febrero

(Circular 2845). Posteriormente el examen pasará a carácter libre. Artículo 51

…

En 2º y 3º serán promovidos en cada asignatura en la Segunda Reunión de Profesores los

estudiantes cuyas inasistencias fictas no superen 1/6 de las clases teóricas ni de las clases

prácticas y hayan obtenido Categoría A - calificación final de aprobación.

Matematica - Sexto Medicina 2013

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