Matemática unidad I tema 2

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Ética, Valores y Deontología _ Unidad VI _ Capitulo 1 Unidad I Tema 2 Matemática Producto Cartesiano

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Ética, Valores y Deontología _ Unidad VI _ Capitulo 1

Unidad I Tema 2

Matemática

Producto

Cartesiano

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Producto Cartesiano

Producto Cartesiano.

Definición. Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera

componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de

A y B. Simbólicamente:

A x B = {(x, y) / x ∈ A ∧ y ∈ B}

En consecuencia:

(x, y) ∈ A x B ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B

(x, y) ∉ A x B ⇔ x ∉ A ∨ y ∉ B

En particular, siendo R el conjunto de los números reales, se tiene:

R x R = {(x, y) / x ∈R ∧ y ∈ R }.

R x R es el conjunto de todas las parejas de números reales. La representación geométrica

de R x R es el plano cartesiano llamado también plano numérico.

Se establece una relación biunívoca entre R x R y el conjunto de los puntos del plano

geométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (x,y) con el punto P(x,y).

Ejemplo 1:

Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será:

A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.

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Producto Cartesiano

Ejemplo 2:

Sean A = {x / x ∈R∧1 < x ≤ 3 },

B = {x / x ∈R∧-2 ≤ x < 2 }.

Su representación geométrica es:

A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos que pertenecen a los

segmentos PQ y QR.

Ejemplo 3:

Sean A = {x / x ∈N∧1 ≤ x < 4}, B = {x / x ∈R ∧1 ≤ x ≤ 3}.

Representar A x B en el plano cartesiano.

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Producto Cartesiano

Nota: La definición de producto cartesiano puede generalizarse al producto entre n conjuntos A1,

A2,..., An. En este caso, al conjunto formado por todas las n-adas ordenadas (a1, a2,..., an) tales que

ai∈ Ai con i = 1, 2,..., n, se llama producto cartesiano de A1, A2,..., An y se denota A1 x A2 x ... x An.

Propiedades del producto cartesiano.

1) A ⊂ X ∧ B ⊂ Y ⇔ A x B ⊂ X x Y.

2) A x B = 0 ⇔ A = 0 ∨ B = 0.

3) A ≠ B ∧ A x B ≠ 0 ⇒ A x B ≠ B x A.

4) A x (B • C) = (A x B)( A x C).

5) A x ( B + C) = (A x B) + ( A x C ).

Demostración de la propiedad 2:

Suponga que A x B = 0. Razonando por reducción al absurdo, sí A ≠ 0 y B ≠ 0; entonces existen

elementos a y b tales que a ∈ A y b ∈ B. Luego la pareja (a,b) ∈ A x B, en contradicción con la hipótesis

de que A x B = 0.

Recíprocamente si A = 0, debe ser A x B = 0 pues si se llega a dar que Ax B ≠ 0, existirá (a, b)

∈ A x B entonces a ∈ A en contradicción con la suposición de que A = 0.

Análogamente se razona en el caso de que B = 0.

Demostración de la propiedad 4:

(x, y) ∈ A x (B • C) ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B • C. ⇔ x ∈ A ∧ ( y ∈ B ∧ y ∈ C). ⇔ ( x ∈A ∧ y ∈ B) ∧ (x ∈ A ∧ y ∈

C). ⇔ (x, y) ∈ A x B ∧ (x, y) ∈ A x C. ⇔ (x, y) ∈ (A x B) • (A x C).

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Producto Cartesiano

3 Número de elementos del producto cartesiano. (Técnicas de conteo). Para conjuntos finitos A y B se

tiene:

| A x B | = | A| | B| .puesto que:

A x B = {(a, b): a ∈ A ∧ b ∈ B}.y para cada una de las | A | elecciones de a en A hay | B| elecciones de

b en B para formar el par ordenado (a, b).

Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c}. Entonces A x B consta de 12 elementos, los cuales se

pueden representar por medio de una tabla organizada en la siguiente forma:

Para el producto de más de dos conjuntos, se cumple una identidad semejante.

Reglas del producto.

Para conjuntos finitos A1, A2,..., Ak, se tiene:

k

| A1x A2x ... x An|= ∏ | Aj |

j =1

De manera más general, suponga que un conjunto puede considerarse como un conjunto de k-adas

ordenadas de la forma (a1, a2,..., ak) con la siguiente estructura. Hay n1 elecciones posibles de a1.

Dado a1, hay n2 elecciones posibles de a2. Dados a1 y a2 hay n3 elecciones posibles de a3.

En general dados a1, a2,..., aj-1 hay nj elecciones posibles de aj. Entonces el conjunto tiene n1, n2,...,

nk elementos.