Función afínSemana 10

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Función afínSemana 10

Continuamos trabajando con esmero y ¡mucho ánimo! Esta semana proseguiremos nuestro estudio sobre las funciones numéricas; centraremos nuestra atención en las características de la función afín, así como también brindaremos argumentos para qué puedas interpretarla y analizarla a través de fórmulas y gráfi cas.

El recibo o factura muestra el consumo eléctrico correspondiente al mes de sep-tiembre del 2009, en Kilovatios/hora (KWH), durante un mes.

Para los cálculos presentes, solo se tomó en cuenta el consumo de energía kwh.

Recuerda tomar en cuenta las medidas que su-giere el área de Ciencia y Tecnología para minimi-zar los costos de tu factura eléctrica y contribuir a mejorar nuestro ambiente; además revisa, si no lo has hecho, el enlace concerniente a la factura eléctrica.

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Observa que el consumo es de 2111 KWH y el costo de un KWH es de Bs. 0,038996998. Por tanto, el monto a pagar por este consumo es de 82,2266578. ¡Pero, esto no lo po-demos cancelar con nuestras monedas! Así que utilizamos las reglas de redondeo, que estudiamos en la semana Nº 3; por ello, observamos que en el recibo aparece el monto de Bs. 82,23.

Con base en lo anterior ¿cuánto costarán 400 KWH, 800 KWH, 1200 KWH y 1600 KWH? Completa la tabla de valores (Tabla 7).

Tabla 7

Luego de llenar la tabla, ubica los pares ordenados que se encuentran en la fi la tres, en el plano cartesiano (como se mostró en la semana Nº 8) y después une los puntos. ¿Qué obtienes? Cuando se duplica o triplica el consumo de energía (KWH), ¿qué ocu-rre con el monto a pagar?, ¿qué relación existe entre estas variables?

Habrás podido advertir que la factura de electricidad, depende de nuestro consu-mo; es decir, si aumentamos (o disminuimos) nuestro consumo aumenta (o dismi-nuye); también el monto a cancelar. Decimos que las variables están relacionadas y si una es modifi cada, la otra también. Se dice que el monto a cancelar es la variable dependiente porque “está sujeto” a los valores que asuma la variable consumo de energía, la cual se conoce como variable independiente.

Se llama variable independiente, la que se fi ja previamente y la variable dependiente, la que se deduce o es afectada por la variable independiente.

Función afín

Imaginemos la siguiente situación: un automóvil se mueve de tal manera que su distancia al origen en función del tiempo es d= 30 + 50t . Donde d es la distancia ex-presada en km y t es el tiempo en horas.

Eje x (KWH) 0 400 800 1200 1600

Eje y (Bs.) 0 15,59

(x, y)

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El movimiento descrito anteriormente re-cibe el nombre de movimiento rectilíneo uniforme, porque su trayectoria es una línea recta y su velocidad es constante.

Construyamos la tabla de valores para esa función, así:

Si t= 0 d= 30 + 50 · (0) = 30 + 0= 30

Si t= 1 d= 30 + 50 · (1) = 30 + 50= 80

Si t= 2 d= 30 + 50 · (2) = 30 + 100= 130

Verifica el resto de los valores mostrados y completa la Tabla 8.

Tabla 8

Grafiquemos los pares ordenados en el plano cartesiano; unimos los puntos y obte-nemos lo siguiente:

Tiempo (h) 0 1 2 3 4

Distancia (km) 30 80 130 180 230

250

200

150

100

50

0

0 1 2 3 4 5

Eje

y (K

m)

Eje x (horas)

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La solución de una función con dos variables es un par ordenado de números, los cuales se pueden graficar en el plano cartesiano. La gráfica de una función es un di-bujo que representa todas sus soluciones.

Responde las preguntas que surgen de la gráfica: ¿qué valor toma d cuando t = 0?, ¿a qué distancia del origen se encontrará el auto cuando hayan transcurrido 4 horas? Determina gráfica y analíticamente el tiempo que debe trascurrir para que se encuen-tre a 205km.

Reescribamos la expresión d= 30 + 50t, haciendo d = y, t = x, m = 50 y, b = 30, para obtener y= mx + b; esta expresión se conoce como función afín.

En general en las funciones afines se verifica que:

-Su gráfica es una recta.

-Su expresión analítica es de la forma y = m x + b , donde m indica el valor de la pendiente y el valor b indica el punto de corte con el eje de las y.

Función lineal (caso especial de la función afín)

Retomando el ejemplo propuesto en Conocimientos previos, al unir los puntos en el plano cartesiano se obtiene la gráfica (ver Figura 18).

Figura 18

Eje x (KWH) 0 400 800 1200 1600

Eje y (Bs.) 0 15,59 31,18 46,77 62,36

(x, y) (0, 0) (400, 15,59) (800, 31,18) (1200, 46,77) (1600, 62,36)

100

80

60

40

20

0

0 500 1000 1500 2000 2500

Eje

y (B

s.F.)

Eje x (kHW)

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15,59400

31,18800

46,771200

62,361600

yx

La representación gráfica de las funciones lineales y afín son líneas rectas.

Si dividimos los valores de y entre los valores de x, obtenemos:

= = = = 0,038975

Observamos que todos los cocientes de la segunda componente (y) entre la primera componente (x) son constantes (no cambian), igual a 0,038975. A este valor se le co-noce como constante de proporcionalidad así que para todos los pares se cumple

= 0,038975x, si despejamos y, nos queda: y = 0,038975x esta es la función asociada

al gráfico. Si hacemos m = 0,038975, de forma general se puede escribir y = mx , esta expresión se conoce como función lineal o función de proporcionalidad.

Una función es de proporcionalidad si al duplicarse o triplicarse los valores de la varia-ble x, se duplican o triplican los valores de la variable y.

El valor de m, como comprobamos, corresponde a la constante de proporcionalidad; a este valor se le suele llamar pendiente de la recta y representa el grado de inclina-ción de la recta con respecto al eje x positivo.

En general, en las funciones lineales, se verifica que:

- Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

- Relaciona variables directamente proporcionales.

- Su expresión analítica es de la forma y = mx

- La pendiente m es la constante de proporcionalidad

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8

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-3 -2 -1 1 2 3

Ahora, ¿qué ocurrirá si en la expresión y= mx + b, m= 0? Se sugiere que le des un valor especifi co a b, por ejemplo 5 y elabores una tabla de valores con su respectiva gráfi ca ¿qué sucede con los valores de y?

Ejemplos: ¿cuáles de las siguientes funciones son afi nes o lineales? En caso afi rmati-vo, indica el valor de los parámetros m y.

a) y= x - 4 b) f(x)= 3x2 + 4 c) y= 3 - 2x d) y= x3 + x - 2 e) f(x)= -5x

En una función afín, el máximo exponente de las variables es 1.

La función y= x - 4 es afín, ya que el máximo exponente es 1 y su forma coincide con y= mx + b, donde m = 1 (es el coefi ciente de la variable independiente) y b = -4. Con esta información ¡ya sabes cuáles son afi nes! Culmina la actividad.

Saber más

Para profundizar un poco más en las funciones, consulta la siguiente direc-ción web: http://www.caminos.upm.es/matematicas/Fdistancia/PIE/actics/docs/PowerPoint Funciones y gráfi cas.pdf

Los planos cartesianos mostrados (ver Figuras 19, 20, 21) representan las diferentes gráfi cas de las funciones mostradas; de aquí obtendremos unas conclusiones intere-santes ¡Estemos atentos!

Figura 19

a) y = 3x + 1

b) y = -3x + 1

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Figura 20

Figura 21

• Los gráficos a) y b) tienen ecuaciones similares, pero en la ecuación de la gráfica a), la pendiente (m) es positiva; allí se observa que la recta es creciente, porque al aumentar los valores de x aumentan también los valores de y, mientras que en el caso b) la pendiente es negativa m = -3; cuando esto ocurre, decimos que la recta es decreciente; a medida que aumentan los valores de x, los valores de y disminuyen y viceversa.

• Para los gráficos c) y d) tenemos que cuando una ecuación no tiene valor b (b = 0) pasa por el origen de coordenadas, por supuesto, son funciones lineales o de proporcionalidad.

• En los casos e) y f ) observamos que la pendiente de ambas es positiva, por tanto son crecientes, pero no están en el mismo lugar, puesto que la grafica d) corta al eje y en el punto b = 1, mientras que la otra corta al eje y en el punto b = -1.

8

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-3 -2 -1 1 2 3

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-3 -2 -1 1 2 3

a) y = 3x

b) y = 2x

a) y = 2x - 1

b) y = 2x + 1

Semana 10Función afín

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Importancia de las funciones

La palabra función se refi ere a relaciones que se establecen entre fenómenos y si-tuaciones que provienen del mundo real y cotidiano; es así que en nuestra vida dia-ria siempre nos enfrentamos a diversas situaciones matemáticas que, en numerosas ocasiones, no nos damos cuenta que la estamos utilizando; como, por ejemplo, en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, tales como: la cantidad de lluvia caída en un día determinado; la escala de Richter para medir la magnitud de los sismos; la ingesta de alcohol y sus consecuencias; la cantidad de un determinado artículo y su precio, etc. Todas estas situaciones son “funciones reales”; es decir, que sin darte cuenta, estás usando la matemática en tu diario vivir.

Conoce más acerca de este tema, visitando la siguiente dirección web: http://html.rincondelvago.com/funciones_3.html

1. En un laboratorio, un material conductor fue sometido a diversos voltajes. Al medir los valores de las tensiones y de la corriente que cada una de ellas estableció en el conductor, se obtuvo la Tabla 9.

Tabla 9

a) Construye una gráfi ca V ab x i para este conductor. ¿qué forma tiene la gráfi ca?

b) Divide los valores de voltaje y corriente ¿cómo son los resultados? (el valor obtenido se conoce como resistencia) A partir de allí, escribe una fórmula que relacione los valores de voltaje con los de corriente (el valor obtenido se conoce como resistencia).

c) ¿Cuál es el valor de la resistencia R de este conductor?

2. Plantea situaciones sobre cómo la matemática ha infl uido en la sociedad y en nuestra vida diaria para ayudarnos a tener una vida saludable.

Voltaje V ab (v) 5.0 10 15 20

Corriente i (A) 0.20 0.40 0.60 0.80