HISTORIA DE LAS FUNCIONES

El concepto de función como un objeto matemático independiente, susceptible

de ser estudiado por sí solo, no apareció hasta los inicios delcálculo en el siglo

XVII.1 René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea

de función como dependencia entre dos cantidades variables. Leibniz en

particular acuñó los términos «función», «variable», «constante» y

«parámetro». La notación f(x) fue utilizada por primera vez por A.C. Clairaut,

y por Leonhard Euler en su obra Commentarii de San petersburgo en 1736.

Inicialmente, una función se identificaba a efectos prácticos con una expresión

analítica que permitía calcular sus valores. Sin embargo, esta definición tenía

algunas limitaciones: expresiones distintas pueden arrojar los mismos valores,

y no todas las «dependencias» entre dos cantidades pueden expresarse de esta

manera. En 1837 Dirichlet propuso la definición moderna de función numérica

como una correspondencia cualquiera entre dos conjuntos de números, que

asocia a cada número en el primer conjunto un único número del segundo.

La intuición sobre el concepto de función también evolucionó. Inicialmente la

dependencia entre dos cantidades se imaginaba como un proceso físico, de

modo que su expresión algebraica capturaba la ley física que correspondía a

este. La tendencia a una mayor abstracción se vio reforzada a medida que se

encontraron ejemplos de funciones sin expresión analítica o representación

geométrica sencillas, o sin relación con ningún fenómeno natural; y por los

ejemplos «patológicos» como funciones continuas sin derivada en ningún

punto.

Durante el siglo XIX Julius Wilhelm Richard Dedekind, Karl

Weierstrass, Georg Cantor, partiendo de un estudio profundo de los números

reales, desarrollaron la teoría de funciones, siendo esta teoría independiente

del sistema de numeración empleado.[cita requerida] Con el desarrollo de

lateoría de conjuntos, en los siglos XIX y XX surgió la definición actual de

función, como una correspondencia entre dos conjuntos de objetos

cualesquiera, no necesariamente numéricos.5 También se asoció con otros

conceptos vinculados como el de relación binaria

La mayor parte de los historiadores de las matemáticas parecen estar de acuerdo en atribuir a Nicole Oresme (1323-1382) la primera aproximación al concepto de función, cuando describió las leyes de la naturaleza como relaciones de dependencia entre dos magnitudes. Fue el primero en hacer uso sistemático de diagramas para representar magnitudes variables en un plano.6

En la revolución científica iniciada en el siglo XVI los científicos centraron su atención en los fenómenos de la naturaleza, poniendo énfasis en las relaciones entre las variables que determinaban dichos fenómenos y que podían ser expresadas en términos matemáticos.

Era necesario comparar las variables, relacionarlas, expresarlas mediante números y representarlas en algún sistema geométrico adecuado.

Galileo Galilei (1564-1642) pareció entender el concepto de función aún con mayor claridad. Sus estudios sobre el movimiento contienen la clara comprensión de una relación entre variables. Entre las funciones que estudió Galileo destacan, por sus sorprendentes consecuencias. Casi al mismo tiempo que Galileo llegaba a estas ideas, Renè Descartes (1596-1650) introducía la geometría analítica. Descartes desarrolló y llevó a sus fundamentales consecuencias las ideas que siglos atrás se habían usado para representar en el plano relaciones entre magnitudes. Ahora cualquier curva del plano podía ser expresada en términos de ecuaciones y cualquier ecuación que relacionara dos variables podía ser representada geométricamente en un plano8.

A finales del siglo XVII aparece por primera vez el término función. En palabras de Johann Bernoulli, una función es “una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades indeterminadas y constantes”. Pero no fue hasta 1748 cuando concepto de función saltó a la fama en matemáticas.

HISTORIA DE LOS NUMEROS IRRACIONALES

TEMA: LA HISTORIA DE LOS NUMEROS IRRACIONALES

ALUMNO: CARLOS MANUEL CASTRO MARTINEZ

GRADO: 1°

SECCION:”O”

MAESTRO:OSCAR BAUTISTA GUEVARA

2014

Historia de los números irracionales

    El predominio en esta época de la Geometría fue la causa de que la Aritmética y el Álgebra no se desarrollara independientemente. Por ejemplo, los elementos que intervienen en los cálculos se representaban geométricamente y las magnitudes irracionales las tomaban como segmentos de recta. Así una ecuación que hoy en día representamos por:

                    X2 + a X = b2

para ellos significaba hallar un segmento X tal que si al cuadrado construido sobre él, se le suma un rectángulo construido sobre ese mismo segmento y sobre un segmento dado "a", se obtuviese un rectángulo de área coincidente con la de un cuadrado de lado "b" conocido.

   Es en China, hacia los siglos II y I a.C, donde por primera vez se hace uso de coeficientes negativos y se dan reglas para operar con ellos, pudiendo resolver un sistema de tres ecuaciones de primer grado, buscando sólo las soluciones positivas. También conocían técnicas rudimentarias para la resolución de las ecuaciones de tercer grado.

    Cuando la matemática Griega comenzó a declinar, Diofanto abandonó la representación geométrica de los números y empezó a desarrollar las reglas del álgebra y aritmética, utilizando un literal, por ejemplo, para representar las incógnitas de una ecuación. En esta etapa, Europa se estanca científicamente y el desarrollo matemático se desplaza hacia la India, Asía Central y los países árabes, inpulsándose sobre todo la Astronomía.

    Fueron los indios, entre los siglos V- XV,  los que inventaron el sistema de numeración actual, introdujeron los números negativos y comenzaron a operar con los números irracionales de forma semejante que con los racionales sin representarlos geométricamente. Utilizaban símbolos especiales para las operaciones algebraicas, como la radicación.

encontraron métodos para resolver ecuaciones, y descubrieron la fórmula del binomio de Newton (en forma verbal).

    Durante el periodo renacentista, entre los siglos XVI y XVIII, los europeos toman contacto con las ideas griegas a través de traducciones árabes reemplazándolas, paulatinamente, por los métodos indios.

    A principios del siglo XVI, los italianos Tartaglia y Ferrari, lograron resolver por radicales, de forma general, las ecuaciones de tercer y cuarto grado, viéndose involucrados en el uso de los números imposibles (imaginarios), aunque sin fundamento lógico. La notación algebraica se perfecciona gracias a Viéte y Descartes, difiriendo poco de la actual.

    A mediados del siglo XVII en Gran Bretaña, Neper inventa los logaritmos y Briggs elabora las primeras tablas de logaritmos decimales. A partir de esta época el nacimiento del análisis hizo que se despreciase un poco el álgebra debido al interés sobre los estudios de magnitudes variables.

    Para terminar, es importante resaltar que el conocimiento de los números por parte de los Griegos no fue superado hasta veinticuatro siglos más tarde. Los matemáticos G. Cantor, R. Dedekind, K. Weiertrass y B. Bolzano fueron los que culminaron la obra, que duro medio siglo de investigaciones, sobre los números naturales, enteroros, racionales e irracionales, que considerados juntos, constituyeron lo que se denominó el sistema de los números reales.

    Los conceptos de intervalo y entornos asociados a los números reales, así como una operación denominada paso al límite, consolidó y otorgó rigor al conjunto de conceptos y métodos que constituyen la rama de las matemáticas conocida como Cálculo diferencial e Integral.  

HISTORIA DE LA PROPORCIONALIDAD

TEMA: LA HISTORIA DE LA PROPORCIONALIDAD

ALUMNO: CARLOS MANUEL CASTRO MARTINEZ

GRADO: 1°

SECCION:”O”

MAESTRO:OSCAR BAUTISTA GUEVARA

2014

HISTORIA DE LA PROPORCIONALIDAD

Por los años 585 a. de J.C., el matemático griego Thales de Mileto consiguió, de una manera ingeniosa, medir la altura de la Gran Pirámide de Keops.

El suceso ha llegado hasta nosotros a través de diferentes fuentes de la Antigüedad como el historiador romano Plinio (s. I dC) y Diógenes Laercio, historiador griego de la filosofía que vivió entre los siglos II y III dC.

Para hacerlo, Thales se valió, únicamente de un bastón, una cuerda y un ayudante. Con tan sencillo utillaje calculó que la sombra proyectada por su altura, guardaría una proporción similar a la sombra de la propia pirámide con respecto a la altura de ésta.

"La relación que yo establezco con mi sombra es la misma que la pirámide establece con la suya.". De ahí dedujo: "En el mismo instante en que mi sombra sea igual que mi estatura, la sombra de la pirámide será igual a su altura”.

El hecho pudo ocurrir probablemente así:

Al alba, el ayudante se fue hacia el monumento y se sentó bajo su sombra inmensa. Thales dibujó en la arena un círculo con un radio igual a su propia estatura, se situó en el centro y se puso de pie bien derecho. Luego fijó los ojos en el borde extremo de su sombra. Cuando la sombra tocó la circunferencia, es decir, cuando la longitud de la sombra fue igual a su estatura, dio un grito convenido. El ayudante, atento, plantó un palo inmediatamente en el lugar donde estaba el extremo de la sombra de la pirámide. Thales corrió hacia el palo. Con la ayuda de una cuerda bien tensa, midieron la distancia que separaba el palo de la base de la pirámide y supieron la altura de la pirámide"

Este breve pasaje de la historia de la Geometría nos hace ver la importancia de la proporcionalidad no sólo como medio para resolver problemas de carácter abstracto, sino como un instrumento poderoso para resolver problemas de la vida cotidiana.

Se denomina proporcionalidad a una determinada relación entre partes que hace que estas mantengan entre sí un orden capaz de especificarse. El término puede aplicarse de forma variada y en una enorme cantidad de campos, pero es especialmente utilizado en algunas disciplinas. Esta circunstancia se explica especialmente por el hecho de que guardar una proporción entre distintos elementos se hace crucial y debe reflejarse de la manera más fiel posible. En la antigua Grecia, por ejemplo, gracias a la alta valoración que se tenía por la belleza, la idea de proporción era ampliamente valorada y esta circunstancia también se extendía al plano moral, en donde los actos debían guardar una relación entre sí, una medida o mesura: una falta en este sentido era sin lugar a dudas castigada por los dioses.

Dado lo expuesto, es evidente que las primeras disciplinas en las que debe hacerse uso de proporcionalidad son las artísticas. Entre ellas, la que más necesita de esta circunstancia es la pintura. En efecto, para que un dibujo o pintura funcione como un reflejo de la realidad, es necesario que guarde cierta proporcionalidad entre sus partes. Un célebre ejemplo de esta circunstancia es el denominado “Hombre Vitrubio”, un dibujo propio de Leonardo da Vinci en donde se refleja la proporcionalidad que debe existir entre los miembros de un hombre dibujado. El gráfico se acompaña con notas de índole anatómica que sirven como explicación a esta técnica.

HISTORIA DE LAS ECUACIONES

TEMA: LA HISTORIA DE LAS ECUACIONES

ALUMNO: CARLOS MANUEL CASTRO MARTINEZ

GRADO: 1°

SECCION:”O”

MAESTRO:OSCAR BAUTISTA GUEVARA

2014

HISTORIA DE LAS ECUACIONES

Desde el siglo XVII aC los matemáticos de Mesopotámia y de

Babilonia ya sabían resolver ecuaciones.

En el siglo XVI aC. los egipcios desarrollaron un álgebra muy

elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que

tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de

materiales. Ya para entonces tenían un método para resolver

ecuaciones de primer grado que se llamaba el "método de la falsa

posición". No tenían notación simbólica pero utilizaron el

jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la

incógnita.

Alrededor del siglo I dC. los matemáticos chinos escribieron

el libro Jiu zhang suan shu ( que significa El Arte del cálculo),

en el que plantearon diversos métodos para resolver

ecuaciones.

Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las

ecuaciones lineales y, exceptuando a Diophante (250 d. de C.), no

se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupación era como

hemos visto, mayor por la geometría.

En el siglo III el matemático griego Diofanto de Alejandría

publicó su Aritmética en la cual, por primera vez en la

historia de las matemáticas griegas, se trataron de una

forma rigurosa las ecuaciones de primer grado. Introdujo un

simbolismo algebraico muy elemental al designar la

incógnita con un signo que es la primera sílaba de la palabra

griega arithmos, que significa número. Los problemas de

álgebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos

más tarde sería "la teoría de ecuaciones". A pesar de lo

rudimentario de su notación simbólica y de lo poco

elegantes que eran los métodos que usaba, se le puede

considerar como uno de los precursores del álgebra

moderna.

El planteamiento de ecuaciones en matemáticas responde a la

necesidad de expresar simbólicamente los problemas y los

pensamientos.

Ni siquiera en los primeros años del siglo XIX, los matemáticos se

preocupaban por la existencia de soluciones asociadas a ecuaciones

diferenciales. Fue Augustin Louis Cauchy (1789-1857), quien primero se

vio motivado por este tema. En sus cursos impartidos en la Escuela

Politécnica, demostró por primera vez la solubilidad del

problema   con la condición inicial  ; actualmente

conocidas también como condiciones de Cauchy. Cauchy presentó

diferentes demostraciones para la demostración de la existencia en el

plano real y complejo, pero no es hasta 1868 que Rudolf Lipschitz (1832-

1903) demuestra la existencia y unicidad bajo condiciones más generales,

precisamente para   continua y que satisface la condición de Lipschitz;

este resultado se conoce bajo el nombre de Teorema de Cauchy-Lipschtz.

En su libro Traité d´analyse de 1833, Picard da una exposición consistente

sobre los resultados de existencia desarrollados anteriormente con

distinción de casos y aplicaciones. Las hipótesis utilizadas aseguran no

solo la existencia, sino también la unicidad, al menos localmente, de la

solución de los problemas de Cauchy.

En el estudio de ciertos sistemas físicos, resulta interesante, y casi siempre

necesario, conocer propiedades (de las soluciones de la ecuación o

sistema que modela el fenómeno) tales como acotamiento, estabilidad,

periodicidad, etc., sin tener que recurrir a la ardua y laboriosa tarea, que en

muchos casos es impracticable, de encontrar expresiones analíticas para

las soluciones. De este modo, surgió el problema de investigar las

propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial a partir de "su

propia expresión", dando lugar a la Teoría Cualitativa de las Ecuaciones

Diferenciales.

En 1836, Sturm publica un artículo donde estudia desde un nuevo punto de

vista las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden.

Partiendo de que no pueden ser resueltas analíticamente en su mayoría,

intenta estudiar sus propiedades directamente desde la ecuación.

Primeramente, analiza cómo se comportan las raíces de la solución al

variar las condiciones iniciales o los coeficientes de la ecuación