:#ñ.Ministerio

de Educ¿rción Superíor MSCNSUCRE-r-----

MATEMATICAInnÓnuroil

Funcionesy Representaciones Gráficas

Caracas, mayo z(N)b

CAVQ¡^37.2M38

Matemática I /lelaborado por] Belkis Escobar... [et al] .- Caracas: UNA,1998.3 v.: i l . :29 cmISBN 980-236-582-3 (vl); 980-236-s81-5 (v.2)eu0-236-s83-3 (v.3)r: I . Conjuntos numéricos/ Bclkis Escobar, AlejandraL,ameda, Mauricio orellana Chacín;v.2. Funciones yrcprcscntaciones gráficas/ Mauricio Orellana Chacín,Luis Márquez Gordones;v.3. Sucesiones, nociones elemcntalcs de límites y continuidad de funciones deR en R/ Ramón Chacón. Sersio Rivas. EstudiosGcnerales.Reimp.5ra. de 2005

l. Matemática. 2. Funciones (Mateniática).3. Conjuntos-Matemática. 4. Educación adistancia-Módulo de estudio. l.tJniversidad NacionalAbierta. II. Escobar, Belkis. tII. Lameda. AlejandraIV. Orellana Chacín, Mauricio. V. Márquez Gordones,Luis. VI. Chacón, Ramón. VII. Rivas, Sergio

República Bolivariana de VenezuelaMinisterio de Educación SupcriorFundación Misión Sucre

Ministro de Educación SuperiorSamuel Moncacla Acosta

Viceministro de Políticas Académicas

Andrés Eloy Ruiz

Viceminisfro de Políticas Estudiantiles

Temir Porras Poncelcón

Presidente de la Fundación Misión Suc¡e

Luis Mi l lán Arteaga

Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción totalo parcial por cualquier medio gráfico, audiovisual o computarizado,sin previa autorización escrita.

Universidad Nacional AbiertaApartado Postal N" 2096Caracas 1010 A, Carmelitas, Venezuela

Copyright O LINA 1998ISBN- 980-236-582-3 (v.1 )ISBN- 980-236-581 -5 (v.2)ISBN- 980-236-583-3 (v.3)Quinta reimpresión, 2005Registro de Publicaciones cle la Universidad nacional AbiertaN'UNA-EC-98-0462

PRESENTACIÓN DEL CURSO MATEMATICA I

Eltexto presente inicia una nueva fase dentro de los estudios de las asignaturas de matemática corres-pondientes alCICLO DE ESTUDIOS GENERALES de la UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA. elcualestáconformado, en lo concerniente a matemática, por dos asignaturas: Matemática I y Matemática lL El texto queaqul presentiamos se refiere a MATEÍIIATICA I (175, 176,1771.

El contenido inicial del curso de Matemática I y los textos precedentes, con los que se inauguraron losestudios de dicha asignatura en la Universidad Nacional Abierta, se remontan al año 1980, data en que lanaciente universidad comenzaba a recibir su primer contingente de estudiantes en el Ciclo de Estudios Gene-rales. Estos estudiantes se diversificaron hacia las distintas carreras ofrecidas por la Universidad y sus estu-dios se desarrollaron mediante la modalidad de EDUCACIÓN A DISTANCIA. Para la época era una modalidadde estudio innovadora en Venezuela, aunque otras instituciones universitarias ya tenfan ciertos estudios'super-visados", sin carácter presencial. El inicio de la Universidad, totalmente centrada en la educación a distancia,marcó hito en la educación superiorvenezolana.

Es razonable pensar que, frente a un ensayo tan novedoso para ese entonces, parte de los diseñoscurriculares y del materíal instruccional con elque se contaba presentaba algunas carencias entre ellas lasde tipo metodológico, puesto que elmaterial instruccionaltuvo que adaptarse a esa forma innovadora de en-señanza y el pafs no tenfa la experiencia suficiente en ese campo educativo.

El primer texto del curso de Matemática I estubo constituido por dos tomos conformados por nuevemódulos de instrucción. Los primeros cambios de este texto se realizaron en el primer año de su implantációncuando se elaboró un folleto complementario donde se incorporaron un conjunto de problemas de apopyo alestudiante y las distintas fe de erratas de los módulos de instrucción. En 1981 se fusionaron en un único tomolos dos volúmenes existentes, incorporando los ejercicios del folleto complementario y eliminando el rlltimomódulo deltexto, relacionado con estructuras algebraicas. Posteriormente, en elaño 1985 se agregaron masde 200 ejercicios, con el fin de refozar y complementar los contenidos del curso y finalmente en 1986 seelaboró otra edición incluyendo las respuestas detalladas de las distintas autoevaluaciones, explicando elporqué de cada alternativa correcta de respuesta. En esta distintas ediciones no se modificaron los contenidosprogramáticos (salvo la exclusión del último módulo del primer texto) ni el diseño del texto, tanto en sudiagramación como en eldiseño de instrucción, el cual ha permanecido hasta el presente en sus edicionessucecivas.

Pasados varios años de utilización de ese material instruccional, muchos miembros de la comunidaduniversitaria de la Universidad Nacional Abierta, entre ellos, personal académico del área de Matemática,autoridades universitarias, asesores de Matemática de los centros locales, personal docente de otras áreasacadémicas de la Universidad y estudiantes, consideraban necesario hacer una revisión de los contenidos dematemática impartidos en el ciclo de Estudios Generales e igualmente se hacfan señalamientos en torno aaspectos metodológicós.

Fue asl que, hacia mediados d€i 1993, las autoridades de la Universidad decidieron realizar una renova-ción de varios textos en respuesta a las inquietudes antes mencionadas y, en consecuencia, se decidió llevaradelante un proyecto para la elaboración de nuevos materiales instruccionales de Matemática I y MatemáticaII, entre los que se encuentran la producción de módulos, audiocassettes (con gufa de actividades) yvideocassettes de estas asignaturas.

Para emprender esta labor era imperativo detectar previamente un conjunto de necesidades vinculadascon los cambios que luego fueron propuestos, concernientes a las mencionadas asignaturas. En elestudio quese llevó a cabo, a través de encuestas, entrevistas grabadas y diversas discusiones, participaron los miembrosdel área de Matemática, asesores de matemática y estudiantes de varios centros locales, algunos miembrosde otras áreas académicas de la Universidad y docentes de otras instituciones relacionados con las carrerasde Preescolar y Dificultades de Aprendizaje.

Producto de la infonnación recabada se concluyó que los materiales instruccionales de Matemática I yillatemática Il presentabian diversas deflciencias, entre otras: presentación y desarrollo de los contenidoC,aspectos metodológicos, utilización escasa de los videocassettes elaborados para dichas asignaturas. Poresto era necesario elaborar nuevos nlateriales instruccionales que se orientaran a superar las fallas encontra-das, con un diseño distintc¡ y, además, actualizar los contenidos pues los anteriores tenlan más de diez añosde vigencia.

Sobre la base de ciertos materiales ínstruccionales que he escrito en los últimos años, de trabajosacerca de la enseñanza der la matemática y de las diversas discusiones sostenidas con miembros del personaldocente del área de Matemática y de otras instituciones, y de las tendencias en cuanto a la presentación ydiagramación de libros, se generó un nuevo modelo para escribir los textos que, estimo, superan publicacionesescritas por mi anteriormente. Su seguimiento posterior, por docentes y estudiantes, será el encargado dedecidir si nos encontramos en un camino adecuado y cuáles serán los correctivos para el mismo.

Considero que los nuevos libros para enseñar matemática, especialmente en los primeros dos añosuníversitarios, deben tener ciertas caracterlsticas gue rompan con el modelo tradicional, con un patrón muygeneralizado, de escribir los libros de matenrática, en donde se sigue una esquema de tipo "/rneal" basado enla secuencia siguiente: Concepto (Definición)-Teorema o Proposición-Demostración-Ejemplo.

Con el objeto de innovar se plantea un diseño divergente y una diagramación que combine aspectos delo tradicional con varios de los 'procesos"que son esenciales para la comprensión de la matemática de partede fos estudiantes, entre los que destacan: observar, comparar, relacionar, clasificar, analizar, sintetizarygeneralizar.

Estimo que el modelo para escribir los libros, lo que está plasmado en la lectura de los diferentesMódulos que integran este curso, se puede lograr incorporando los siguientes elementos:

O Cuadros resúmenes de reoaso

a Eldiseño de las páginas con un ángulo recto que permite escribir, en el margen derecho, notaspara recordar tópicos conocidos por los estudiantes o l lamar la atención sobre algún aspectoque se está estudiando, evitando su incorporación en lo que se está desarrollando a los fines deno distraer lo esencial y, en el margen inferior (pie de página), reseñas históricas, comentariossobre el tema estudiado, refere n cias bibliográficas.

O lconos coloc¿¡dos en elmargen derecho.

O Resaltar lo es;encial.

O Repetir, cuando sea necesario, contenidos ya desarrol lados en temas anteriores con el f in deno distraer la atención de los estudiantes retrocediendo a unidades o páginas anteriores.

o lncorporaciórrdedesplegados.

O Mapas conceptuales.

O Resolver y prc,poner ejercicios que tengan una @nnotación histórica o del üpo "matemática recreativa'.

a Graduación por habilidades y niveles de razonamiento de los ejercicios resueltos y propuestos.Estos se han clasificado en: e¡emplos, ejercicios y problemas, siendo necesario evitar el recar-go en los eje,mplos de tipo rutinario que es una práctica corriente en la enseñanza de la mate-mática en las etapas anteriores a la educación universitaria, lo que entorpece y no permite a losestudiantes eldesarrollo de las habilidades cognitivas correspondientes a los niveles de razona-mientos sup€iiiores.

C Diagramacíón bifurcada cuando sea necesario, escribiendo en dos, tres o cuatro columnas,con el objeto de comparar y relacionar.

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VI

Además, se utiliza la tecnol,:gf a a.li"r;li d€ ios procesadores de textos con elfin de lograr una diagramaciónagradable" para la lectura dei mater i : r l ' : r r : i io Se i lustran, en la medida de lo posibfe, los conceptos, proposi-

ciones y, en general, el contenido rnatemát1co con profusión de gráficos y diagramas y se hace uso intensivo delas calculadoras científicas.

El curso de Matemática I está compr:esto de cuatro módulos de aprendizaje, tres de ellos son comunesy un cuarto diferenciado el cual está orienta..jc a proporcionar recursos utilizados en situaciones relacionadascon los campos profesionales de las disiinias carreras. Los tres módulos comunes son:

Módulo I: Conjuntos numéricos.

Módulo II: Funciones y representaciones gráflcas.

Módulo I I I : St¡cesiones. Nociones elementales cie l ln l i tes y cont inuidad de funciones de R en R.

Y los módulos diferenciados son.

Módulo IV Pensamiento matenrát ico y modelando con matemática.(177) ( lngenierÍa de Sistemas, Ingeniería Industr ial , Matemática y Educación Matemática)

Módulo IV Apl icaciones de las funciones a las ciencias administrat ivas.(176) (AdministraciónyContaduría)

Módulo IV Algunos tópicos de Geometría, Aritmétrca y Algebra desarrollados en Preescolar(f 75) y en la pr imera y segunda etapas de la Educación Básica

(Educación, menciones Dificultades de Aprendizaje y Preescolar)

La mayor parte de los dos pnmeros módulos comunes, asf como algunos aspectos de sucesiones en eltercer Módulo y parte delcontenido del Módulo lV para Educación (Dificultades de Aprendizaje y Preescolar),se refieren a contenidos programáticos estudiados en las etapas previas a la educación superior y, en conse-cuencia, ello establece elenlace necesario entre esas etapas previas y la educación superior, lo cual se hacemás imprescindible en una educación a distancia. Est imamos que el estudio de estos módulos debe ser másrápido que el Módulo III y los módulos diferenciados, lo que requiere de los estudiantes una mejor organizacióny distr ibución de su t iempo de estudio. En cada uno de los módulos encuentras las "Orientaciones Generales"y la "Presentación" que te indican cómo estud¡arlo y te presentan una panorámica del contenido del mismo.

Aquf tratamos de dar una mayor fundamentación a aquellos contenidos que conoce el estudiante yresolver ciertos e.¡ercicios y problemas de un nivel de razonamiento mayor que lo usualmente exigido en laeducación secundaria.

En nombre del equipo que redactó las unidades de aprendrzaje de los módulos de Matemática I, de losdocentes que validaron las distintas unidades y de los gue procesaron el texto en su versión final, a quienesagradecemos por todo el esfuezo realizado durante más de un año de trabajo, nos complacerá recibir comen-tarios y sugerencias de parte de los estudiantes y docentes que utilicen estos módulos pues esto nos permitiráhacer algunos cambios en una edición futura.

Mauricio Orellana Chacin

vt l

DEPENDENCIA DE LAS TINIDADES DE APRENDTZATEYuóouros euE TNTEGRAN EL cuRso DE.

MATEMÁtrcn I(175, 176, 177)

I unrpAp 6l

NOTA: Las flechas que no tienen trazo @ntinuo indican que solamente se uülizan algunos conceptos y resultados de laUnidad situada al inicio de la ffecha.

luNrpAp il+

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ORIENTACIONES GENERALES

Para facilitarte el logro de los objetivos previstos eneste Móduloque forma parte delcurso de MATEITIATICAI (175,176,177), nos permitimos indicarte algunas orientaciones que te ayudarán en eldesanollo de las actrviCa¡esque elmismo prevé.

ri En primer lugar, lee la presentación o introducclón del Módulo y su obJetivo, que teproporcionan una panorámica globalde lo que se intenta logar.

Cada módulo se divide en Unidades de Aprendizajey cada Unidad comprende, a su vez, diversos:emas o experiencias de aprendizaje.

a¡ En segundo lugar, en el momento que inicies elestudio de cada Unidad de Aprendizaje,leelos objetivos y la presentación o introducción dela Unidad en cuestión, lo cual te sumi-nistra la información acerca de lo que se pretende alcanzar cuando finalices el estudio dedicha Unidad. También hacemos presentaciones o introducciones a distintos fernas en q uese divide la Unidad de Aprendizaie.

las Unidades de Aprendiza1'e se dividen en fernas que se numeran con dos dígitos. Por ejemplo: 2.3rdica ef tercer tema de la unidad 2 fambién a la presentaciÓn se le asigna un par de dígitos.

Hay algunos temas que pueden dividirse en subtemas y en éstos la numeracÍón tiene tres dígitos. Por

' :nplo 2.3.1 indica el subtema uno, tema tres, unldad dos.

En el desarrollo del módulo encuentras lo siguiente:

1. Objetivo delmódu/o.

2. Objetivos delas unidades de aprendizaie.

3. Presentación del módulo y de las distintas unidades de aprendizaje o de los femas.

4. Ejemplos, ejercicios, problemas y ejercicios propuesfos, que te sirven para adquirir familiaridadcon los conceptos y proposiciones que se dan.

-os ejercicios resueltos se clasifican en tres categorias según sus dificultades y niveles de razonamiento.

EJemplos: Son ejercicios para adquirir habilidades de cálculos simples y aplicacíones de fórmulas; sonde tipo operatorio. Con estos ejemplos se aclaran las definicíones o se aplican directamente fórmulas oproposiciones y teoremas .Los ejemplos no deberlan presentar dificultades de comprensión ni de resolu-ción a ningún estudiante.

Ejerciclos: lncluyen desde cálculos no inmediatos, pasando por la interpretación de un hecho, hastademostraciones breves. En estos ejercicios se requiere realizar algún razonamiento que combine varíospasos, esto es, donde hay una integración de conocimientos. Para la resolución de esos ejercicios seprecisa, frecuentemente, el haber desarrollado las habilidades de cálculo suministradas por los ejemplos.

Problemas: Corresponden al nivel de mayor exigencia matemática, pues hay más integración deconocimientos, con pasos y razonamíentos más profundos. De éstos colocamos solamente unos pocos.

IX

Ejerclclos propuesfos: La distinción de los tres niveles anteriores en los ejercicios propuestosse hace, respect ivamente, s in colocar aster iscos, con un ast*r isco y con dos aster iscos, en elmargen derecho o izquierdo de la página donde figura elenunciado del respectivo ejercicio propuesto.Las sof uciones de los ejercic ios propuestos se encuentran al f i r ¡al izar el módulo. Se debehacer ef esfuer¿o de resolver los ejercicios propuestos aun cuando no se alcance el punto final dela solución en algunos de ellos. En las dificultades encontradas al abordar los ejercicios propuesfos,con el objeto de resolverlos, se halla una forma de aprendizaje muy importante.Las soluciones a esosejercicios propaesfos se presentarán en forma completa, parcial con sugerencias o la simple respuesta,dependiendo de las dificultades de cada uno de ellos, al finalizar el módulo.

Además de fos eierclcios propuestos, y a medida que desarrollamos los contenidos programáticos,formulamos preguntas o se propone alguna act iv idad, con respuestas breves, que t ienden aesclarecer algún aspecto puntual del tópico que se está expl icando. Estas preguntas y act iv idadesse manif iestan ut i l izando expresiones como las s iguientes, escr i tas en letra cursiva: ¿Porqué?, Efectúa el cálculo, u otras análogas. En caso de que tengas dudas o no sepas responderlas,debes consultar con elAsesor de Matemática del Centro Local donde estás inscr i to.

Los niveles de razonamiento a que nos hemos referidos están expre sados en términos de la taxonomiaut i l iz-ada por la OPSU-CENAMEC (Ofic ina de Planif icación del Sector Universi tar io-Centro Nacionalpara el Mejoramiento de la Enseñanza de la Ciencia; 1984).

5. En el módulo encuentras autoev'aluaciones que te sirven para verificar el logro de los obieflvos.Las soluciones f iguran a cont inuación de las mismas.

6. Al f inaf izar el módulohay:

Resumen del módulo, que destaca los aspectos más importantes desarrollados en el mismo.

Nolas históricas al finalizar Ia unidad (en caso de existir).

Glosario de términos, donde se dan los conceptos y enunciados importantes que se presentaronenel módulo.

BibliografÍa para el estudiante, con algunos comentarios, donde se puede obtener informaciónadicional, estudiar ejercicios resueltos y resolver ejercicios propuestos, y estudiar otros enfoquessobre algunos temas.

lndice analítico.

7. El diseño de las páginas donde se desarrollan los contenidos programáticos comprende, ademásde estos contenidos,lo siguiente:

Notasdepr'e de páginaqueamplementan algún aspectodeltópico desanollado, dan alguna informaciónde tipo histórico o alguna reseña bibliográfica.

Notas al margen derecho o izquierdo para llamar la atención sobre el tópico desarrollado orecordar alguna fórmula, proposición o concepto de los estudiados en unidades de aprendizajeanteriores o en estudios previos a la Educación Superior.

Cuadros resúmenes de repaso acerca de contenidos quc se necesitan para eldesarrol lode la unidad y que debe conocer el estudiante por sus estudios prer.'ios.

x

9tonos g

9cpa¡adogs Utilizados al margen o en el texto de los Módulos, indicando lo siguiente:

5$> Hace hincapié en la importancia delobjetivo u objeüvos delMódulo y Unidades, respectivamente

,,q ^ r-\ Hay una definicíón, fórmula o enunciado importante al que es preciso prestar bastante

V - tTZl atención puesto que será de gran uiilidad en el desarrollo siguiente.

mq

ID

offi

Señala que hay alguna lectura

Esto indica que se hacen preguntas impoftantes que se responderán a continuación.

Se refiere a que hay eiercicios propuesfos.

Se debe utilizar un vldeocasseffe como apoyo al tema desarrollaclo.

¡x;El Se debe olr un audiocasseffe y trabajar con la guia de actividades como apoyo alt:=:_ temadesarrollado.

H

l-ll

f::+l Se deben utilizar calculadoras aentlficasl : : : : Il:-l

^. Indica inicio de soluciÓn de ejernplo, ejercicio o problema.

I Indica fn de enunciado de definición, de teorema o de proposición.

I Indica fin de ejercicio resuelto (ejemplo, ejercicio, problema), de demostración de unaproposición o fin de alguna observaciÓn o tópico desarrollado.

. . i . , * , . ,O,?,t, ^,*,O, +,* Son separadores de ftems, de propiedades o de distintos enunciados.

Qinbo/os Algunos sfmbolos utilizados en los contenidos delcurso son los s;iguientes:

x Aproximadamenteiguala.

e Pertenece a (sfmbolo de pertenencia).

É No pertenece a.

c Es subconjunto de o está incluido o contenido en (símbolo de inclusiÓn de conjuntos)

\-/ Unión o reunrón de conjuntos.

rr lntersección de conjuntos.

A Conjunto vaclo.

XI

+ lmplica (sfmbolo de la implicación).

c+ si y sólo si o si y solamente si (sfmbolo de la doble implicación).

I Angulo.

t Arrgufo recto.

ll es paralelo a (slmbolo del paralelismo).

J. Es perpendicular a.

Arcode curya.

€ Infinito.

^ (Defta) Slmbolo de incremento.

jCo/aclones

vóim6"[os Notaciones de la teorfa de conjuntos y otros utilizados en los contenidos:

{ : } Notación de conjunto.

x=t1 Es un convenio de la notación x e {-1,1}.

a, b,c,e A Esunconveniodeae A,b e Ayce A.

fA Longitud def segmentoAB.

A-B Denota la diferencia del conjunto A con el conjunto B.

N,Z,Q,R oenotan, respectivamente, los conjuntos de los números naturales, los númuros enteros,los números racionales y los números reales.

M Denota el conjunto N-{0} (conjunto de los núme¡os naturales no nulos).

R' Denota elconjunto de fos números reafes positívos.

R Denota el conjunto de los números reales negativos.

fog Denota fogaritmo decimal (en base l0).

Ln Denota logaritmo neperiano (en base e).

l,11 Denota lfmite de sucesiones.

lfm Denota llmite de funciones.¡-)¡.

Resp. lndica respectivamente.

xff

T,JMVERSIDAD NACIONAL ABIDRTAAnpn np unrnuÁrrcn

MnrpFrÁTIcA I (rz ú,176,1771coonDrNAcrón aENEBALMauricio Orellana Chacín, UNA

ruÓorrp nZanciones y fr"presen/acion"t 9rú"at

CONTENIDOSUnidades 4 y 5Maurlclo Orellana Chacin, UNA

Unidad 6Luls Márquez Qordones, UNA

VALIDANTESUnldades 4 y 5Walter Beyer, UNAInés Canera de Orellana, CDNAMEC

Unldad 6Walter Beyer, UNAMaurlcio Orellana Chacín, UNARafael Orellana ChacÍn, UCV

DISEÑO INSTRUCqONALI"lauricio Orellana Chacin, UNA

NEVISIÓN QENERALOOOBDI¡I,AC¡üIJesús Eduardo Ramirez, UNA

@LIIBOBÁIX)RESNejandra Lameda, UNANvaro Stephens, UNA

DIvIsÍ6n de F,tbllcaclones, lJñADISEÑO GNAF|CO Y ARTES FTNALESScarlet Cabrera F.Fanny Cordero H.

íruorce

PRESENTncTóru.....

UNIDAD4

SISTEMAS DE COORDENAOAS. REI-ACIONES Y FUNCIONES........

4.1. PRESENTAoTóN.. . . . . . . .

4.2. SISTEMAS DE COORDENADAS....

4.2.1. Sistemas de coordenadas unidimensionales. La recta numérica....

4.2.2. Sistemas de coordenadas en dos dimensiones. Plano cartesiano..

4.3. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE UN PLANO

4.4. REGIONES DE UN PLANO. ECUACIONES E INECUACIONESCON DOS VARIABLES

4.5. REI.ACIONES DE PROPORCIONALIDAD Y PORCENTA.JES. RECTAS Y SEMIPI.ANOSDE [JN PLANO... . . .

o Relaciones de proporcionalidad y porcentajes.................

a Rectas y semiplanos de un plano cartesiano............

CUADRO RESUMEN DE REPASO.. . . . . . . . . . . . . . .

4.6. RELACIONES Y FUNCIONES. NOCIONES GENERA1ES.... . . . . . . . . . . . . .

4.6.1. Producto cartesiano. Relaciones.... . . . . . . . . .4.6.2. Funciones. Dominio, codominio y reconido o rango. Representación gráfica.

NOTA HISTÓRrcAACERCA DE LOS SISTEMA DE COORDENADASY DE LA GEOMETRIA ANALÍTICA.... . . . . . . . . . .

UNIDADS:

FUNCIONES ELEMENTALES Y SUS CARACTERÍSTICAS..............

5.r . PRESENTACTÓN.. . . . . . . .

5.2. FORMAS DE DAR UNA FUNCIÓN.... . . . . . . . .

5.3. FUNCIONESELEMENTALES: POLINÓMICRS, RACIONALES,

EXPON ENCIALES Y LOGARÍTM ICAS, SUCESIONES..............

Funciones elementales.

zi

25

25

n37

4

52

52

57

57

71

7478

u

Pá9.

21

103

103

112

87

89

90

oa Gráficas trasladadas y funciones definidas por trozos o secciones.

)0/

5.5

o

a

a

o

o

o

169

172

6.2

6.3

6.4

5.4 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES.

Propiedades de simetrla de las funciones

Propiedades de crecimiento y decrecimiento de las funciones

Propiedades de periodicidad de las funciones.

ALoEgRA DE FUNqoNEs. coMpostclóN DE FUNctoNEs.FUNCION ES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS.FUNCION INVERSA

Adición, multiplicación, sustracción y división de funciones

Composición de funciones ... . . . . . . . .

Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Función inversa........

AUTOEVALUACIÓN

UNIDAD 6

OTRAS REPRESENTAC¡ONES GRAFICAS

6.1 PRESENTACIÓN

REPRESENTACIONES GRAFICAS: DIAGRAMAS DE BARRAS, DE LfNEAS, TORTAS,(sEcToRES CIRCULARES) Y P|CTOGMMAS..... . . . . . .

VARIABLES. VARIABLES CONTIUAS Y DISCRETAS.... . . . . . .

REPRESENTACION GRAFICA DE DATOS..

6.4.1 Organización de los datos

6.4.2 Frecuencia, proporción y porcentaje de una c|ase...........

6.4.3 Clases elementales y clases compuestas

Pá9.

120

12.

125

131

174

175

176

178

n4207210

138

13814

14

159

167

169

6.4.4 Números y amplitud de los interva1os.... . . . . . . . . . . . . . . . . . .r. .r. . . . ;¡. . . 1796.4.5 Histograma y pollgono de frecuencias.............. 1796.4.6 Diagrama de frecuencias acumuladas 1826.4.7 Diagrama de barras agrupadas.. 1836.4.8 Gráfico en forma de torta (sectores circulares)... 1846.4.9 Pictogramas.... . . 186

6.5 ESCALAS DE REPRESENTACIÓN DE NIJMEROS EN UNA RECTA N3

6.5.1 Escala aritmética o uniforme6.5.2 Escala logarftmica

6.5.3 Representacíones gráficas con dos escalas.......

6.5.4 Papeles especiales para representaciones gráficas: papelmilimetrado,logarftmico y semilogarftmico........ 214

6.5.5. lnterpretación de gráficos 217XVI

; :SUMEN..

ssLUC¡ÓN A LOS EJERCTCTOS PROPUESTOS.... . . . . .

: .OSARIO

: 31rOGRAFÍA.. . . . . . . . . . . .

\DICE ANALITICO

Pág.

220

27

228

263

266

267

XVII

PRESENTACIÓN

En este Módulo se aborda el problema de los sr'stemas de representación:a) coordenadas cartesianas en una recta y en un plano,b)otros t ipos de representacions como: diagramas de barras, diagramas de líneas, histogramas,

sectores circulares ("tortas")y pictogramas, y también estudiaremos las esca/as: escalas uniformes oaritméticas, escalas semilogarítmicas y escalas logarítmicas.

Los sistemas, de representacion, nos permiten asociar ideas algebraicas, concernientes a númerosreales o pares de numeros reales, a conceptos geométricos. Por ej'emplo, una ecuación en dos variablesAx+By+C=O determina elconjunto de puntos del plano {(x,y): Ax+By+C=O} que se representa mediante una'ecta. Esta idea de poner en correspondencia biunívoca los entes geométricos con los números constituye, enelfondo, lo que se denomina la Geometría Analít ica, lo que iniciamos en elMódufo Icuando representamoslos números reales mediante los puntos de una recta Ahora avanzaremos en esta rama de la Matemática alhacer una breve y sencil la introducción a la Geometría Analít ica en dos dimensiones, esto es, en un plano.

Pretendemos revisar varios contenidos programáticos que forman parte de los programas instruccionalesde las etapas previas a la Educación Superior y, de esta forma, continuamos el enlace necesario entre esasetapas previas y la Educación Superior lo que, como se dr.¡o en la presentación delMódulo I, se hace imprescin-dible en una educación fundamentada en la metodologlade EDUCACION A DISTANCIA. Con frecuencia utiliza-remos nociones que has estudiado anteriormente. Algunos las recordaremos, bien sea dentro del texto o connotas marginales o de pie de página; otras se utilizarán libremente sin recordatorios previos.

Continuaremos con el uso de las CALCIJLADORAS CTENTIFICAS iniciado en el Módulo I, pero, en esteMódulo deberás aprender a uttlizar otras teclas de tales calculadoras que te permitirán trabajar con diversasfunciones, entre el las. función logaritmo y función exponencial (con base 10 y con base e), funcionestrigonométricas, función x -+ 1/x, etcétera.

Los contenidos que estudiaremos se refieren a: sistemas de coordenadas unidimensionales (en unarecta) y bidimensionales (en un plano), las relaciones y las funciones con énfasis en estas últimas, caracterÍs-ticas de las funciones y funciones "elementales" (cuadráticas, afines, polinómicas, exponenciales, logarftmicas,entre otras), álgebra de funciones y función inversa, datos y representaciones gráficas de datos (diagramas debarras, sectores circulares o "tortas", pictogramas, histogramas) y escalas (uniforme, logarítmica ysemilogarítmica). La mayor parte de estos contenidos se estudia entre el noveno grado de la Escuela Básica yen la Educación Media, Diversificada y Profesional(EMDP)y forman parte de los programas instruccionales deesas etapas. Inclusive algunos contenidos, como los relacionados con dafos, frecuencia, diagramas de barras,entre otros, son anteriores a ese noveno grado. Otros de esos contenidos (pocos) han sido eliminados de losprogramas de ensayo que adelanta el CENAMEC (Centro Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de laCiencia) y que son objeto de ensayo en varios Liceos de la República.

La primera unidad de aprendízaje (Unidad N0 4) del Módulo se refiere a los slsfem as de coordenadasen una recta y en un plano, al estudio de las nociones generales acerca de las relaciones y las funciones y a larepresentación de ciertas regiones de un plano definidas mediante ecuaciones o inecuaciones. En especial,estudiaremos en esa Unidad la función afin f (x) = mx+b cuya representación gráfica es una línea recta.

La segunda unidad de aprendizaje (Unidad No 5) concierne al estudio de las usualmente denominadas"funciones elementales", esto es, las funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarftmicas, entreotras. Determinaremos las caracterf sticas e estas funciones que nos ayudan para representarlas gráficamente,como son: crecimiento y decrecimiento, inyectividad, periodicidad, corte con los ejes de coordenadas, sime-trlas respecto de los ejes de coordenadas y del origen de coordenadas. Además, definiremos el álgebra defunciones,la composición de funciones y la función inversa de una función biyectiva.

Se insistirá en las consideraciones de tipo geométrico en relación con las funciones, pero, se motivará yjustificará la necesidad de determinar caracteristicas de una función desde un punto de vista analltico.

Por último, la unidad de aprendizaje No 6 se refiere a ofras representaciones gráficas que son muyutilizadas en Estadistica y que con frecuencia observamos en la prensa y otros medios de comunicación. Setrata de representar dafog para lo cual se utilizan \os diagramas de barras,los secfores circulares ("tortas"),los diagramas de /lneas, /os ñisfograrnas y los pictogramas. En esta Unidad también estudiaremos condetal le lo referente a las esca/as, lo cual iniciamos en la Unidad 4; en especial, definiremos las escalasuniformes o aritméticas, las escalas logarftmicas y las escalas semilogarftmicas.

21

UNTDAD 4

Sit/n*ot Jn CoorJnnoJrr. Re/acionn, u .gunciones

ob.feüvos ffi D Represen/ar punlos ,/n ,rno recla o Je un

pinn o u 1 t /t r rzn Jo s is 1 e m a,s Jo, o o.J.r, a da,

ü t 1 a 61n c' " r' re /a c, i o n e s e n 1 re c on1'u tt / o.s.

i futo/rnt. proólboras lue inuolucren

/unc'iones

II

n

La ubicación de una vivienda en una ciudad se determina conociendo la calle oavenida y el número de la vivienda.

El rendimiento de un alumno, en una asignatura, se expresa mediante un número(o una letra) que es su calificación. En el "sistema o escala de calificaciones" másut i l izado en Venezuela, se considera el número 10 como referencia y todacalificación igual o mayor concede la aprobaciÓn al estudiante y en caso contra-rio el aplazamiento. Observemos que aquí necesitamos un número (la califica-ción) en relación con otro número de referencia (el 10).

La posición de un barco que está navegando se <Jetermina conociendo su latitudy su /ongifud sobre la superlicie terresir+: (en cada instante de tietnpo).t'! Aquínecesitamos dos núrneros para ubicar ei barco.

La posrcion de un avión en vuelo se determina, en cada lnstante de t iempo,conociendo la latitud,ia i ',:tiEiludy la altura sobre la superficie terrestre. En esteejemplo observamos que se necesitan t i 'es ntLmeros para determinar la posicióndel avión.

4.2.1Sistemas de coordenadas ¡.¡nidimensionales. La recta numér¡ca

En el Módulc¡ I, arl representar lc..,s numeros reaie.s como ¡-turrtos; ue uira recta, trabalamosfrecuentemente con si.,;ten¡as de coordenadas unidimensionales (se necesrta un sólo númeropara determinar la posición de un punto). i lhora, en este tema, revisaremos algunos de losaspectos previamente estudiados y avanzaremos en los mismos.

Comencemos anal izando el e jemplo anter ior (a) . Supongamos que estamos enBarquisimeto y un estudiante le pregunta a un compañero, ¿dónde vives?, y éste le respondevivo en la Avenida 20 en el número 14. Con esa información se ouede ubrcar la viv ienda delestudiante recorr iendo la Avenida 20 en un determinado sent ido hasta encontrar el No 14,digamos que esa Avenida se numera en el sentido Este-Oeste.

También la respuesta puede ser la siguiente: para l legar a mi casa caminas 70 metrosa part i r del in ic io de la Avenida v al l í la ubicarás.

¿Qué signif ica, desde un punto de vista matemático, la si tuaciónplanteada en ese ejemplo?

La Avenida 20, que se extiende en línea recta, la representamos como una recta L (enrealidad es un segmento de la ¡'ecta L) y el sentido Este-Oeste rndica un sentido en la recteque lo podemos señalar "hacia la derecha" mediante una flecha:

Corresponde a la casa No 14 (¡a séptjma, en una de lasaceras, a partir de la primera situada al inicio de la avenida).

a)

b)

c)

o)

ryO

I

JAUo70

70m

[*l En el Módulo lV para las carreras de "Dificultades de Aprendizaje" y de "Preescolad'se tratará lo concer'

niente a la latitud y la longitud de un punto sobre la superficie de la Tierra.26

h -x l s lx-x '1.

ilA=ñ=il2.

ó7=l/10.

1 pulgada2,54 cm,es loen la

Sean P(x) y M(x'). Recordemos que la longitud Ñ Oel segmento PM o distanciad(P,M) es iguala lx'-xl, esto es:

ñ=d(p,M¡=¡¡ ' -*¡ .

Cuando fijamos la unidad de medida dU=1, se tiene una graduación de la recta Lmarcando sobre L los puntos que se obt¡enen al llevar sucesivamente la longitud d hacia laizquierda y hacia la derecha de O.

Podemos efectuar subgraduaciones o 'graduaciones más fnas" si dividimos el seg-mento OU y hacemos la misma construcción que antes, por ejemplo:

#-1 012

OA U#Aqufdív id imose|segmentooUendossegmentosdeigua| |ongi tud'-1 01t2 1 2

OA U¿

#Aqufdiv id imose|segmentooUendiezsegmentosdeigua| |ongi tud.-1 012

En una "regla graduada" (el borde donde está marcada la graduación lo Oai."*o,como un "segmento del semieje positivo con extremo izquierdo el punto O") es co{tumbregraduarla tomando OU=1 cm y dividiendo este segmento en diez segmentos de igual longituddonde cada uno mide I mm. A veces se graduan fos dos bordes de la regla graduada, uno deesos bordes en cm y mm y el otro en pulgadas, como mostramos a continuación donde confun-dimos los dos bordes sobre una recta a los fines de comparar esas dos graduaciones:

En pulgaclas

5,08 En centlmetros

Observemos gue lo representado en ese dibuJo son dos sistemas de coordenadas sobreeleje OX con ef mismo origen O=O: Ef punto U corresponde a 1 cm y elpunto U'a 1 pulgada,y tenemos una fórmula de transformación de centlmetros a pulgadas y viceversa que es lasiguiente: sila abscisa de P es x en cm y x' en pulgadas, entonces

o

U'

t7,62

12,9

x= 2,54x'f f

I I

cm pulgadas(Fórmula de transformación de coordenadas o de transformación deesos sistemas de medidas de longitudes).

y por fo tanto x' = x I 2,54. Por ejemplo, si x=2,54 (cm) entonces x'=2,s4 I 2,54 = 1, es decir1 pulgada =Z,il cm.

Ese ejemplo nos indica que sobre una misma recta se pueden definir distíntos sÍstemasde coordenadas, pues basta con tomar puntos orfgenes o puntos unidad diferentes. Luego, sitenemos dos sistemas de coordenadas sobre una misma recta y consideramos un punto p endicha recta, entonces la abscisa de P en uno de esos sistemas de coordenadas es distinta dela abscisa x'delmismo punto P en elotro sistoma de coordenadas. :

28

EJemplos 4.2.1

1. En una recta numérica se tienen los puntos A (3) y B (t). Calcula t de talmanera qued (A,B)={.

a De ese enunciado resulta lo siguiente:

d(A,B¡= l t -0¡ =4+ t-3=-4 o t -3=4 =)t=- l o t=7,luego, hay dos puntos que satisfacen el enunciado dado y son los puntos B(-1) y B'(7):

g=(-1+I l tz

-1 37

l -+4#¿# r

Ya sabemos que algunos termómetros miden la temperatura en grados centfgrados oC(escala Celsius) y otros en grados Fahrenheit oF l'l siendo la relación entre esas dosescalas de temperatura dada por

oC= (oF-32).

Cada una de esas escalas nos origina un sistema de coordenadas (una graduación)sobre una recta con puntos orfgen y puntos unídad distintos. Representemos esas{os escalas de temperatura sobre una misma recta.

e Dibujamos terticalmente" la recta, talcomo se leen los termómetros:

2.

l<l=l¿l=¡.

o oc=32.Fes la tempe-ratura de fu.¡lón del hleloY 100 cC-212'F eslatemperaturade obulliclóndel agua (apreslón at-mosfárlca).Sl 0sl00.G "0 ccrloo.co blon0=21?.F -32oF, onton-ce3

I .G:

59

En gradosCentlgrados

En gradosFahpnhelt

Si F=32entoncesC=0 y si F=0entonces

-(5, 32)oQ=J * -17,79.I

En Venezuela utlllzamos los gndor ccntlgndor o Gel¡lu¡ pera dar la tomp.r¡tun. En otro¡ pefrcr,como en loc E¡tldot Unldo¡ c Inglrtern, ¡c utlllzen lor gndor Frh¡onhclt.

0

t00

e180

l 'F-

29

Cuando se trata de una linea poligonal que une el punto A con el punto E (ver dibujoanterior) también podemos determinar la posición de un punto cualquiera P de esa poligonal,manteniéndonos dentro de la misma, sin más que calcular la suma de longitudes de lossegmentos desde el "punto origen A" hasta el punto P, es decir ffi+B?+ep. Si A y Erepresentan dos ciudades y esa poligonal es la ruta más corta por canetera entre ambasciudades, entonces la "distancía" que las separa es la longitud de la poligonal, es decirÁlA+g-C+Fo+DE ("distancia' medida a lo largo de la carretera).Si se trata de una curvaque une el punto A con el punto E, también podemos determinar la posición de un puntocualquiera P de esa curva, sin salirnos de la misma, sin más que calcular la "longitud delarco AP" a part¡r del "origen A de la curva",Por ejemplo, esto es fácil determinar si la curva en cuestión es un arco de circunferencla:

Arco de clrcunferencla de r¡dlo R. L¡longltud del arco AE es lgual a R odonde el ángulo a so mlde cnrad¡angs,

I

Cuando representamos objetos mediante dibujos, bien sea haciendo un croquis, o un mapa,o un plano, etcétera, las longitudes de los segmentos sobre eldibujo o son, en general, lasmismas que las longitudes reales delobjeto que dibujamos.Si el objeto es "muy pequeño" entonces en el dibujo ampliamos las longitudes y, por elcontrario, sielobjeto es'muy grande" entonces reducimos las longitudes sobre eldibujo.por ejemplo, en los mapas y cartas geográficas las longitudes sobre eldibujo son menoresque las correspondientes longitudes reales y esa razón entre ambas longitudes se denominala eScala en el mapa, carta o plano. Asf , se define la escala de la siguiente forma:

escala =longitud sobre el dibujo

longitud real

Por ejemplo, consideremos en el mapa siguiente una parte del Norte de Venezuela quecomprende al Distrito Federal:

"Dltttnc|r"a lo lergode un c¡ml-rio.

31

Encontramos en el recuadro de la parte inferior derecha que hay:

A La siguiente leyenda: ESCALA1:650.000, que se lee ,,uno es aseiscientos cincuenta mil" o,.unosobre seiscíentos cincuenta mil".En este caso se dice que la esca-la está en forrna numérica.

Anaficemos cada una de eflas:

* Un segmento rnarcado en kilómetros:0102030

%KILOMETROS

En este caso se dice que la escalaestá en forma gráfica.

i LA ESCALA DADA EN FORMA NUMERICA:

El número 1:650.000 indica lo siguiente:650000

4,7 cm 30 km

de donde longitud real = 650000 x longitud sobre etdibujo.como lo usual en los mapas y cartas geográficas es utilizar los centímetros para laslongitudes entonces, mientras no se diga ñada, consideramos ra unidad de rongitudigual a lcm [']. por ro tanto, 1 cm de roñgitud sobre erdibujo es iguat a

650000 x 1 cm de longitud real = 6,5 km de longitud real.

Por eiemplo, si queremos determinar la distancia entre Caucagua y.El Clavo, medidaen línea recta, y con una regla graduada cuyo borde pase porio, dos puntosindicando esas ciudades, resulta 3,5 cm y por lo tanto esa distancia es igual a 3,5 .6,5 km = 22,75km.si medimos la "distancia" a lo largo de la carretera que las une, que no es unsegmento de recta, resurta 1s+17 = 32 km, según observamos Ln et mapa.¿cuál es la distancia que,hay entre Naiguatá yóhuspa medida en tínea recta? ¿cuáles esa "distancia" si ra mides a ro rargo de ra carretera de ra costa?

? LA ESCALA DADA EN FORMA CRAPICR:

Sinedimos ra rongitud del segmento marcado en sus extremos con 0 y 30, resurta4,7 cm (sarvo imperfecciones en ra medición) y, mediante ,n, .ugr" de tres simplecalculamos la escala en forma numérica como sigue:

longitud sobre el dibuiolongitud real

1 cm ?km

obteniendo (1 . g0)14,7 = 6,3g29787 y esto indica que

1 cm en eldibujo equivale a ¡: 6,3g297g7 km,

lo que redondeado con tres cifras sígníficativas da 6,3g km. La díscrepancia con rodeterminado antes es debida a la medición con fa regla graduada en cm y a imperfeccionesdeldibujo. El enor porcentualcometido en esa aproiimácion es pequeño ya que es igual a

,ooio's-g'ssl =185 (er 1,ss%). rlo,cl

fl La pulgada para los palses anglosajones.

33

Observación:

Lo que hacemos al unir los puntos que indican Caucagua y El Clavo es determinar unarecta y sobre ella tomamos dos graduaciones, como se indica en el siguiente dibujo:

Longitud real22.75 en k¡lórnetros6,5

01I

Caucagua

Longitud sobre eldibujo en centimetros

2 3: .4

ElClavo

/a\v/ Ejerciclos propuesto s 4.2.1

En la siouientefigura,ios puntos O,U,A y D ilenen, respectivamente, lasabscisas 0, 1, 3y4.

PO U AB

a) Si la longitud del segmento MB es tres veces la longitud del segmento AB, ¿cuátes teabsclsa delpunto M?

b) Sila longitud delsegmento AP es iguala dos veces la fongitud delsegmento UA, ¿cuáes /a abscrsa delpunto P?

Si en una recta numérica se dan los puntos A(3) y B(-4), determina:a) La coordenada del punto M simétrico del punto A con respecto al punto B.b) La coordenada del punto N simétrico del punto B con respecto al punto A.c) Las coordenadas de los puntos del segmento BA que se obtienen al dividir este seg-

mento en tres segmentos de íguallongitud.

Sabemos que 1 libra = O,4U kg. Representa, sobre una recta que graduas en libras y enkilogramos con el mismo origen 0=0' en los dos sistemas de coordenadas (de medidas).las coordenadas de algunos puntos. Da las fórmulas de transformación entre esos dossistemas de coordenadas (se dice: fórmulas de transformación entre esos dos sistemasde medidas).

Consideremos una cuerda de longitud / dispuesta en forma de circunferencia. Supon-gamos que el radio de esta circunferencia es igual a 1 cm.Si cortamos la cuerda y la estiramos sobre el borde de una regla graduada en centfmetrosy milfmetros, de tal manera que colocamos un extremo de la cuerda en el punto 0(0), ¿enqué división de la regla graduada se ubica elotro extremo de esa cuerda?

En el mapa del No4 de los ejemplos 4.2.1, calcula la distancia (en llnea recta) que hayentre Paracotos y Tejerfas.¿Cuáles /a 'disfan cla" entre esos dos pueblos cuando la medimos a lo largo de la auto-pista regional del centro?¿Cuáles el enor porcentual altomar la distancia en l[nea recta como una aproximacíón dela "distancia" medida a Io largo de la autopista regional del centro?

34

En la escala gráfica (o) del No 4 de los ejemplos 4.2.1 calculamos la escala atendiendo ala equivalencia de 4,7 cm con 30 km como resultado de la medición que hicimos sobre eldibujo (recuadro infefior derecho) con una regla graduada en centímetros y en milíme-tros.Si disponemos de un instrumento de medición más preciso que mida hasta décimas demm (como un vernier), ¿cuánto deberÍa dar la longitud del segmento que allí está indica-do como de 30 kilómetros para tener un valor más próximo con la escala 1:650000?

En el plano siguiente te mostramos una parte dei centro de Caracas. ¿Cuát es ta distan-cia que hay entre /as esguinas de Carmelitas y Candilito?

[fd,trf!<o

l 'z l.A V E

f"o l -

l ' "1 'r l{ lo A

--'+'a+

"o

2^-t^

f';"1LJJ

F],I t '

Á4,_¡ t t+

i.'¡

Eq--E;g'',.j'i

;7'¿{

l - - - t.1ol11i---1 \_

ry0?ftqilf,f'il l-l

#?

I'fItrtr"iü|:r;w

rrouaf il^H

rctl

"ffi,Lj,ffi/jt5tr

ffi,fiffi'ffiffiffi

Escala 1: 10800

9. La introducción de coordenadas en una recta hace que se puedan traducir los enunciadosgeométricos relativos a la rect¡a en términos de enunciados algebraicos con númerosreales y viceversa. Por ejemplo. un enunciado geométrico como el siguiente:

En una recta orientada el punto A está situado a la izquierda del punto B.

Se traduce en:

La abscisa a del punto A es menor que la abscisa b del punto B (A(a) y B(b) cona<b).

Atendiendo a esa correspondencia entre entes geométricos y números y sobre la base deque trabajamos c,on una recta en la cualse ha definido un sistema de coordenadas mediantelos puntos O(0) y U(1), escribe los conespondientes enunciados dados en forma numérico-algebraica (resp. dados en forma geométrica) o en la forma geométrica (resp. en la formanumérico-al gebraica):a) M es elpunto medio delsegmento AB.b) El número x es negativo (x<0).c) La distancia del número x al número y es 2 y además x > y.d) M es elpunto simétrico del punto N respecto del punto A.e) Sean A y B dos puntos de la recta orientada L y tal que ,A está a la izquierda de B.

Consideremosunpunto H e Lsituadoentre AyB.

4.2.2 Slstemas de coordenadas en dos dimenslones. Plano cartes¡ano

En este tema estudiaremos los sistemas de coordenadas definidos sobre un plano. SalvoIndicaclón contraria, al referirnos a un plano entenderemos guo se trata del plano de lapágina donde estamos leyendo o escribiendo, o del plano del plzarrón.

Antes de definir los sistemas de coordenadas en un plano comencemos analizando lasituación siguiente: supongamos que nos encontramos en la Plaza Bolfvar de Caracas,especfficamente en la esquina de Principaldonde se encuentra la Gobernación del Distrito Fe-deral (ver plano del No 7 de ejercicios propuestos 4.2.1) lo que esquematizamos en el dibujosiguiente:

)E

Si le preguntamos a una persona que pasa por la esquina de Principal cómo podemoshacer para llegar hasta la esquina de Balconcito, ésta nos puede indicar que caminemos doscuadras hacia el Oeste y luego tres cuadras hacia el Norte. Observemos que nuestro punto departida u orlgen se ubica en la esquina de Principal y, para situar la esquina de Balconcito nosindicaron dos direcciones a tomar (Oeste y Norte) y dos números 2 y 3 (cuadras).

N

I

Al punto Ac orros pon -den los nú-rnaros -2 y 3(en este or-den) o bien-200 y 300.

Se obtiene elpunto B.

Es decir, en el plano de una ciudad y a los fines de ubicar una esquina a partir de un determinadoorigen, en nuestro caso la esquina de Principal, se necesita dar dos direcciones y dos números.En lugar de indicar cuadras, se pueden indicar distanc¡as, digamos 200m hacia el Oeste y luego300m hacia el Norte, lo que sería equivalente a las cuadras en el caso de que la ciudad fuesecuadriculada I ¡ y cada cuadra tuviese 100m de longitud. De esta forma también se dan dosnúmeros 200 y 300 y las dos direcciones Oeste y Norte.

Si hacemos un modelo geométrico de esa situación, de manera análoga a lo realizadopara el caso unidimensional de la Avenida 20 de Barquisimeto, se tiene lo siguiente: de unaparte tenemos una región de un plano que representa la ciudad donde hay calles con direcciónOeste-Este, indicadas mediante rectas "horizontales" y, otras calles con dirección Sur-Norteindicadas mediante rectas "verticales", obteniéndose un "cuadriculado" donde destacamos conlos puntos O.V{los que corresponden a las esquinas de Principal y de Balconcito, respectiva-mente:

l__---,

Observemos que en la esquina de Principal se intersectan dos rectas perpendiculares ya partir de este punto de intersección O podemos situar cualquier esquina delcentro de Caracassin más que dar un par de números en un cierto orden: el primer número indica el número decuadras hacia el Este (resp. hacia el Oeshe) si-es positivo (resp. si es negativo) y el segundonúmero señala el número de cuadras hacia el Norte (resp. hacia el Sur) sies positivo (resp. siesnegativo) o también el par de números -200 y 300 como antes se indicó.

Por ejemplo. si damos el par de números -1, 3 (en este orden), ello nos indica que debe-mos caminar, a partir de la esquina de Principal, una cuadra hacia el Oeste y luego tres cuadrashacia el Norte, y asíllegamos a la esquina de Salas (donde está ubicado el Ministerio de Educa-ción).¿A cuál esquina llegas, partiendo de Ia esquina de Principal, si te dan el par de números -1 , -2 abien el par 3, A? ¿Si cada cuadra fuviese 100m, cuáles son /os números que debes dar?

La idea esencial que se concluye delanálisis del ejemplo anterior es que para ubicar lrposición de un punto en un plano se necesitan dos números, por lo tanto, cualquier enun-ciado de tipo geométrico relatívo a puntos se traduce en un enunciado relativo a números. Estaes la idea básica de la rama de la matemática denominada Geometría Analftica.

['] Muchas cludades, o al menos el centro de las mismas, se construyeron en forma cuadriculada a vecescon la Plaza Mayor en forma rectangular en vez de cuadrangular. Es asf, que "Diego de Henares fue el autordet trazado de Caracas, que orlentó exactamente de Norle a Sur,... (...)... La plaza mayor fue trazada exac-tamente cuadrada y no alargada como lo disponfan las Ordenanzas de Felipe ll. La cludad formaba un grancuadrado de cinco manzanas por lado con calles de treinta y dos pies de ancho. Cada manzana se dividfaGn cuatro solares,...".El ordenamiento y reglamentaclón para la construcclón de las cludades en Amérlca fue producto de las"Ordenanzas de descubrimiento y población" de Felipe ll, en el año J573. Esto se tradujo en una granarmonfa y correcclón en las edlficaclones de las cludades hispanoamoricanas, a tal punto que "Para elmomento de declararse la lndop€ndencla nortoamerlcana, no habla allf cludad que pudiera equlpararsecon nuestra Caracas colonlal.". {...) "...nuestras cludades tuvieron un desarrollo ordenado y armonloso ysran un eJemplo de pulcrltud para las cludades ouropeas que todavfa en el slglo XVlll rendfan culto aldesaseo".Eduardo Arcila Farlas, "Hlstorla de la lngenierla en Venezuela", Tomo prlmero, Golegio ds lngenleros deVenezuela, pá9. 23-37. Caracas, 1961.38

Generalicemos entonces la situación planteada desde un punto de vista matemático:Consideremos un plano y tracemos dos rectas perpendiculares L y L'que se cortan en el punto O.Una de esas rectas, digamos la recta L la l lamaremos eje horizontal y la dibujamos-horizontalmente" y a la otra recta L' la llamaremos eje verticat y ta dibujamos "verticalmente".Sobre cada una de esas rectas definimos un sistema de coordenadas con el punto origen O y unsegmento unidad OU en eleie horizonfalyotro segmento unidad OIJ'con iguattongitud(OtJ=OLf'=l)en el eje vertical,

hacia arriba

La la derecha

El conjunto de esos ejes y la unidad de longitud (son rectas graduadas) se denomina unsistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el plano o simplemente un slstemade coordenadas cartesianas en el plano. n

Es costumbre utilizar las siguientes convenciones para denotar los ejes: a) El eje L sedenomina el eje equis (X o bien x) o eje de abscisas; b) El eje L'se denomina el eje ye (y o bieny) o eje de ordenadas. También se dice eje OX y eje OY a los fines de indicar el origen O:

E,ie de ordenadas

Esto es con-venclonalpara fecl¡lttrlos dlbulor.

Po¡ter lor-msnte eslu-diaremo¡ elceso do sog-mento¡ unl-dades condlstlntaslongltudes6U'* oT.

EJe d€ absdsas

tI A(x,g) Lospuntossobreeleje' OXüenenordenadanula

Sea P un punto del plano considerado. A este punto le asociamos dos números, denomi-nados sus coordenadas y obtenidos como sigue: trazamos por P las rectas perpendiculares alos ejes oX y oY; de esta manera obtenemos los puntos A y B sobre los ejes oX y oy,respectivamente, A es la proyecclón ortogonal de P gobre el eJe OX y B es la proyecclónortogonalde P sobre el eJe OY.

Como los eJes OX y OY son rectas graduadas, entonces al punto A (resp. al punto B) lecorresponde una coordenada x€ R (resp. y€ R) y por lo tanto al punto P le asociamos los dosnúmeros reales x e y (en este orden)que son las coordendac de P. Esto se denota medianteP(x,y), donde x se llama la ab¡cl¡a del punto P e y la ordenada del punto p.

Los puntos del eje OX tienen la ordenada nula, es decir son puntos de la forma A(x,g) ylos puntos det eje OY tienen la abscisa nula, es decir son puntos de la forma B(O,y). El origeñtiene sus dos coordendas nulas, o sea O(0,0).

:l El orlgen de ese nombre ce debo a René Doscarte3 {ftancós, 1596-1650). V6r nola hlstórlca el finat de ostaUnldad.

f--'B(o,y)

Los puntos sobre el e,eOY tienen abscisa nula

f- abscisa de P

+P(x,v)

" '?1: I ordenada de p:

39

!>0, b>0.

ATENGION:No debe con-fundirse elordenado(a,b) d€ núme-ros reales ay b con el ln-tervaloro (8,b). Elcontexto nosIndlca do quoso trata.

Observa que los puntos P(a,b) y M(b,a) son distintos, excepto en el caso a=b,

y es por ello que al dar el par de números a y b como coordenadas de un punto P, se deben daren un c¡erto orden, esto es, se trata de un par ordenado de números reales que se denotamediante (a;b) o bien (a,b).

Si tenemos un s¡stema de coordenadas cartesianas en el plano, se verifica lo siguíen-te:

* Dado un punto P del plano, le hacemos corresponder un único par ordenado(a,b) de números reales que son las coordenadas de P.

* Recíprocamente: dado un par ordenado de números reales (a,b), le hacemoscorresponder un único punto P del plano cuyas coordenadas están dadas porel par ordenado (a,b).

En consecuencia, hemos establecido una correspondencia biyectiva entre los puntosde un plano y los pares ordenados de números reales y por lo tanto se pueden traducir losenunciados relativos a un plano en términos de enunciados algebraicos con pares de númerosreafes y viceversa, (recuerda el No 9 de ejercicios propuesfos 4.2.1),lo que tendremos oportuni-dad de hacer en muchas ocasiones en lo que sigue.

El plano considerado, dotado de un sistema de coordenadas cartesianas, se denominaplano real o plano ca¡¡tesiano. Este plano real, sin incluir los ejes de coordenadas, quedadividido en cuatro subconjuntos, llamados cuadrantes, como indica la siguiente figura:

.P(a,b)

40

que se caracterizan como sigue: un punto P(x,y) pertenece al primer cuadrante si y sólo six>0, y>0. Análogamente para los otros cuadrantes.

Ejemplos 4.2.2

1. Para definir un sistema de coordenadas cartesianas en un plano consideramos dos rec-tas perpendiculares que se cortan en el punto 0.

También podíamos haber tomado dos rectas L y L', no necesariamente perpendicularespero que sean secantes en un punto 0, y graduar cada una de ellas:

B(o,b)

S'zP(a,b)/

- - -a-

t A(a,o)

Si tenemos un punto P del plano y trazamos por P las rectas S'y S paralelas, respectiva-mente, a los ejes L' y L, se obtienen los puntos Ae L y g 6 [-l (ver dibujo). t I Como L y L'son rectas numéricas, entonces A tiene una coordenada a sobre el eje L y B tiene unacoordenada b sobre eleje L'. Luego el punto P determina de manera única elparordenadode números reales (a,b), denotándose como antes P(a,b). Asf hemos definido un sistemade coordenadas cartesianas cuyos ejes de coordenadas no son ortogonales.

EN ESTE CURSO, CUANDO NOS REFERI.MOS A SISTEMAS DE COORDENADAS EN.TENDEMOS QUE SE TRATA DE S¡STEMASDE COORDENADAS CARTESIANAS REC.TANGULARES U ORTOGONALES, ESDECIR, LOS EJES DECOORDENADASSONPERPENDICULARES.

Efectos quo se producen al elegir unldades de longltudes dlstlntas sobre los doseJes de coordenadas.

Aldefinir los sistemas de coordenadas elegimos sobre los ejes de coordenadas OX, OYla mlsma unldad de longitud OU=OU', es dec¡r estamos tomando la mlsma graduaclóno escala en ambos eJes de coordenadas. Necesariamente esto no tiene por que serde esa forma; tendremos la oportunidad de presentar en las Unidades de Aprendizajes(¡uientes diversos ejemplos donde los dos ejes de coordenadas tienen distintas escalaso graduaciones. (Recueda que en eltema anterior 4.2.1 se dieron eiemplos de gndua-crbnes diferentes sobre una misma recta).

m H punto A (r$p. ol puDto B) es la proyecclón del punto P sobr€ la rocta L (resp. robrs la rec'ta L) obt€nldo

s'^r- = {n}s^r={a}

2.

medlanto la proyecclóá paralela a la recta L' (resp. a la recta L)' 41

A los fines ilustrativos presentamos a continuación un ejemplo donde observaremos loque ocurre al elegir unidades de longitud diferentes sobre los ejes de coordenadas:

Comencemos por tomar sobre ambos ejes de coordenadas la misma unidad de 1 cm ydibujemos el rectángulo ABCD cuyos vértices son los indicados:

Tomando ahora en el eje de las abscisas la unidad de 1 cm y en el eje de las ordenadas

como unidad f cr , se tiene el rectángulo del gráfico,2

A (1,21

I (4,21

c (4,4)

D (1,4)

A (1,2)

B (4,2)

c (4,4)

D (1,4)

A (1,2)

s (4,2)

c (4,4)

D (1,4)

D(1,4)

A(1,2) B(4,z',)

5

4

?

2

I

5

4

3

2

1

Tomando ahora en el eje de las abscisas como unidad I "r

y en el eje de las ordenadas2'

la unidad de 1 cm, se obtiene el rectángulo

D(1,4) C(4,4)

ln ll lv l l

lYtA(1,2) B(4,2)

42

3.

Es bastante frecuente trabajar con distintas escalas sobre los ejes de coordenadas. poreiemplo, elgráfico siguiente representa las IARIFAS PosrAtEs wAcloNAtEs ?ARAcARr,AS (VIGENTES EN 1994):

donde se ha representado sobre el eje de abscisas los pesos de las cartas en gramos (g)(hasta 2000 g) y sobre el eje de ordenadas sus respectivos costos en bolívares (Bs)(hasta 210,00 Bs). Observemo,s que utilizamos escalas (graduaciones) diferentes sobreambos ejes de coordenadas. t r I

En el comercio se pueden adquirir papeles cuadriculados y papeles milimetradoscomo fos mostrados a continuación (un pedazo de una página de esos papeles):

Papel cuadriculado. El área de cada uno de los cuadrados más pequeñoses (0,5)2 cm2 = 0,25 cm2.

0.25 cm2

Papel milimetrado. El área de cada uno de los cuadrados más pequeños es 1mm2.

Estos ftapeles" nos facilitan mucho el dibujo de los gráficos cuando utilizamos unsistema de coordenadas. I

[-l en h Unldad 6 do este Módulo estudiaremos con rhás detalles lo referente a las escalas. 43

Eferclclos propuestos 4.2.2

1. Dibuja un sisterna de coordenadas y representa los puntos que tienen las siguieniescoordenadas:

MG2,3); A(0,3); B(1,1), P(-1,0).

2. Da las coordenadas de cuatro puntos que sean los vértices de un rectángulo y dibújalo.

3. Da las coordenadas de bes puntos que sean los vértices de un triángulo rectángulo ydibújalo.

4, Dado el punto A(-2,3), ¿cuáles son las coordenadas del punto simétrico de A con respectoal origen de coordenadas?

5. Representalossiguientespuntos(1,1), (1,2), (3,2) y (3,1)enunsistemade@ordenadas,tomando:a) La misma unidad de longitud sobre ambos ejes de coordenadas.b) La unidad de longitud sobre eleje de abscisas iguala la mitad de la unidad de longitud

sobre el eje de ordenadas.c) La unidad de longitud sobre el eje de abscisas igual a un tercio de la unidad de

longitud sobre el eje de ordenadas.d) La unidad de longitud sobre el eje de abscisas igual al doble de la unidacl de longitud

sobre ef eje de ordenadas.

6. Observa que el conjunto de los puntos que están "a la derecha" deleje OY tienenabscisa positiva y es elconjunto formado por la reunlón de los cuadrantes I y IV. Esteconjunto es el semlplano a la derecha del eje OY el cual está formado por los puntosP(x,y) tales que x>0.Define, de manera análoga, los siguíentes semiplanos:a) semiplano a la izquierda del eje OY.b) semiplano superior o "aniba" del eje OX.c) semiplano inferior o "abajo" del eje OX.¿De qué manera puedes defínir /os dr.sfinfos cuadrantes mediante intersecciones deesos semlplanos?

7, al ¿Cómo son /as coordenadas de /os puntos sftuados sobre e/ eje de abscsas?b) ¿Cómo son /as coordenadas de /os puntos s¡fuados soóre e/ eje de ordenadas?c) ¿Qué representa geométricamente el coniunto formado por las puntos P(x,y) tales

que x> 0?d) Responde lo análogo de la parte (c) en los siguientes casos: i) x < 0; ii) y 2 0;

i i i ) y < 0.

8. a) Siun punto P tiene coordenadas (a,b), ¿qué cooñenadas fiene elpunto P'simétricode P rcspecto del eie OX?

b) Si un punto M tiene coordenadas (d,c), ¿qué coordenadas fiene el punto N simétricode M respecto del eie OY?

c) Si un punto P tiene coordenadas (x,yl, ¿qué coordenadas tiene el punto H simétricode P respecto del origen de coordenadas?

4.3 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE UN PLANO

Recordemos que, sitenernos una recta numéríca L y dos puntos M(x) y N(x'), entoncesla longitud M-t¡ Oel segmento MN, o distancia d (M,N), es igual a lx'-xl ,

u

Ahora queremos calcular, utilizando coordenadas, la distancia entre dos puntos P1y P2deun plano cartesiano, denotada por d (P1, P2), que es lo mismo que la longitud ffi delsegmen-to P1P2:

d=fl¡.(es la dístancia euclidiana)

Comencemos, en primer lugar, por establecer la distancia entre P1 y P2 cuando estospuntos tienen la misma proyección sobre el eje de las Y. Entonces, si las coordenadas de P1 yP2 sofr, respectivamente, (x1, yr) y (xZ.yZ),

r-lrr- r,l--l

tendremos en este caso yi = y2, luego la recta que contiene aPly P2 es paralela al eje de las X,por lo tanto,

d (P1, P2) = lx2 -x1l=x2-x1 t1l

Análogamente, si P1 y P2 tienen la misma próyección sobre el eje de las X, es decir x1 =x2, entonces, la recta que pasa por P1 ! P2 es paralela aleje de las Y, luego

d (P1, P2) =ly2-y,tl=yz-yt l2l

Consideremos el caso general. Suponemos Que P1 (xr' yt) y Pz(xz, Yz) son puntoscualesquiera del plano.

[ | r r- r , l - i

Pr{¡r .yf) P2lx2,y)

45