MATEMÁTICAS 1º ESO

FRACCIONES

DPTO. MATEMÁTICAS - I.E.S. PABLO SERRANO

ÍNDICE

Significados del concepto de fracción

Fracciones equivalentes: concepto y propiedad fundamental

Obtención de fracciones equivalentes por amplificación

Obtención de fracciones equivalentes por simplificación

Simplificar fracciones por divisiones sucesivas

Simplificar fracciones por eliminación de factores

Reducción a común denominador

Comparación y ordenación de fracciones

Suma y resta de fracciones

Cálculo rápido de la suma / resta de entero y fracción

Multiplicación de fracciones

Fracción inversa

División de fracciones

Operaciones combinadas

Problemas

RECUERDA …

Una fracción sirve para representar una cantidad que no está formada por unidades completas

43

Una fracción es un operador que transforma los números 154

3.2020de

43

Una fracción es también una forma de expresar un cociente, una división43

4:3

Observa que en las fracciones equivalentes se cumple que al multiplicar los términos en cruz se obtiene el mismo resultado 2 . 8 = 162 . 8 = 16 y 4 . 4 = 16 4 . 4 = 16 . Esto nos va a servir para reconocer si dos fracciones son equivalentes y para calcular un término desconocido en una pareja de fracciones equivalentes.

FRACCIONES EQUIVALENTES

Dos fracciones son equivalentes si expresan la misma cantidad.

42

84

Por ello escribimos:

11

42

84

=

representan la misma cantidad

y decimos que son equivalentes.

Ejemplos:

610

y35

son equivalentes porque 5 . 6 = 30 y 3 . 10 = 30

76

y43

no son equivalentes porque 3 . 7 = 21 y 4 . 6 = 24

3x

64

como son equivalentes el valor de x ha de ser 2 . Lo podemos obtener

26

4.3x

EJEMPLOSEJEMPLOS

¿ Son equivalentes las parejas de fracciones siguientes ? :

86

y43 Sí porque 3 . 8 = 24 y 4 . 6 = 24

710

y45 No porque 5 . 7 = 35 y 4 . 10

= 40

¿ Cuánto vale x en cada caso ? :

68

3x

4 , y lo podemos hallar así 46

8.3x

x6

64

9 , y lo calcularemos así 94

6.6x

MEDIOS Y EXTREMOSMEDIOS Y EXTREMOS

Si las fracciones y son equivalentes, a y d reciben el nombre de extremos

y b y c el de medios. Por ello, podremos decir que en una pareja de fracciones

equivalentes “el producto de extremos es igual al producto de medios”.

ba

dc

OBTENCIÓN DE FRACCIONES EQUIVALENTES OBTENCIÓN DE FRACCIONES EQUIVALENTES

a) AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONESa) AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

Si se multiplican los dos términos de una fracción por un mismo número, se obtiene una fracción equivalente.

Si en la fracción multiplicamos el 2 y el 3 por 2, por 3, por 4, etc. obtendremos fracciones equivalentes a ella (y por ello equivalentes entre sí).

32

.....128

96

64

32

¿ Cuantas fracciones equivalentes a una fracción podemos encontrar por amplificación ?

infinitas

(Elige cualquier par de fracciones de la serie anterior y comprueba que son equivalentes)

X 2

X 3

X 4

OBTENCIÓN DE FRACCIONES EQUIVALENTESOBTENCIÓN DE FRACCIONES EQUIVALENTES

b) SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES b) SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

Si se dividen los dos términos de una fracción por el mismo número, se obtiene una fracción equivalente.

Sea la fracción ; si dividimos numerador y denominador por 3 obtenemos la

fracción y podemos comprobar que 1812

64

1812

64

= porque 12 . 6 = 72 y 18 . 4 = 72

La obtención de fracciones equivalentes dividiendo numerador y denominador por

el mismo número recibe el nombre de simplificación de fracciones. La fracción

que no se puede simplificar se llama irreducible.

¿ Puedo obtener infinitas fracciones equivalentes a una fracción por simplificación ?

No, el número de fracciones es limitado y si la fracción es irreducible no puedo obtener ninguna

92

,57

,43

son irreducibles.

SIMPLIFICAR FRACCIONES (1)SIMPLIFICAR FRACCIONES (1)

Simplificar una fracción es encontrar la fracción equivalente a ella que es irreducible. Hay tres métodos:

a) Por divisiones sucesivasa) Por divisiones sucesivas : Es el más indicado para números pequeños. Consiste en ir obteniendo fracciones equivalentes con términos más pequeños mediante divisiones sucesivas de numerador y denominador hasta llegar a la irreducible.

32

96

1812

:2

:2

:3

:3

( es irreducible )32

SIMPLIFICAR FRACCIONES (2)SIMPLIFICAR FRACCIONES (2)

b) Por eliminación de factoresb) Por eliminación de factores : Descompondremos numerador y denominador en factores primos y eliminaremos los factores iguales en numerador y denominador. Es el más indicado para fracciones con términos grandes.

Ejemplo: Simplificar 600480

b) Escribimos la fracción expresando los números descompuestos en factores y eliminamos los factores que sean iguales en numerador y denominador.

480 2.5 600 2.5

48 2 60 2.5

24 2 6 2

12 2 3 3

6 2 1

3 3

1

a) Descomponemos en factores primos

54

52.2

5.5.3.2.2.25.3.2.2.2.2.2

600480

REDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADORREDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADOR

Reducir fracciones a común denominador es encontrar fracciones equivalentes a ellas con el mismo denominador.

. el denominador común será el m.c.m. de 4, 3 y 2 que es 12

. el numerador de la primera fracción es 12:4 = 3 3.3 = 9

. el numerador de la segunda fracción es 12:3 = 4 4.2 = 8

. el numerador de la tercera fracción es 12:2 = 6 6.5 = 30

25

,32

,43

Ejemplo: Reducir a común denominador 2

5

3

2

4

3,,

(Recuerda que para hallar el m.c.m. descomponemos en factores primos y cogemos los factores comunes y los no comunes con mayor exponente. Si se trata de números pequeños, como en el ejemplo, lo hacemos mentalmente).

12 12 12

9 8 30, ,

COMPARACIÓN Y ORDENACIÓN DE FRACCIONESCOMPARACIÓN Y ORDENACIÓN DE FRACCIONES

Para comparar u ordenar fracciones de distinto denominador las reduciremos a común denominador y a partir de ellas compararemos u ordenaremos las que nos han propuesto.

Ejemplo: Escribe < , > o = entre 65

,43

43

1210

,129

65

,43

<65

.el m.c.m. de 3 y 4 es 12 , por tanto:

Ejemplo: Ordena de menor a mayor 103

,23

,43

,52

.el m.c.m. de 5 , 4 , 2 y 10 es 20 , por tanto:

23

43

52

103

206

,2030

,2015

,208

103

,23

,43

,52

< < <

22 OPERACIONES CON FRACCIONES

SUMA Y RESTA DE FRACCIONESSUMA Y RESTA DE FRACCIONES

45

42

43

m.c.m. = 12

. si tienen el mismo denominador se suman (si es una suma) o se restan (si es una resta) los numeradores y se deja el mismo denominador.

. si tienen distinto denominador, se reducen a común denominador y después se suman (o se restan) como en el punto anterior. En estas sumas es muy cómodo reducir con “una sola raya larga” (fíjate en el ejemplo) y así el denominador sólo se pone una vez.

. para operar fracciones y números enteros, estos se escriben como fracciones con denominador 1.

41

32

23

12

38181229

CÁLCULO RÁPIDO DE LA SUMA / RESTA DE ENTERO Y FRACCIÓNCÁLCULO RÁPIDO DE LA SUMA / RESTA DE ENTERO Y FRACCIÓN

Si seguimos todos los pasos para sumar / restar un entero y una fracción tendremos que hacer algo como lo siguiente:

513

5

310

53

12

53

2

Si observas la suma que hay encima de la “raya larga” verás que:

- el primer número es 10 y que es el resultado de multiplicar el entero (2) por el denominador de la fracción(5)

- el segundo número es 3, es decir, el numerador de la fracción

- el denominador es 5, el mismo que tenía la fracción

Por tanto, para calcular mentalmente operaciones de este tipo tendremos en cuenta que:

- un numerador es el producto del entero por el denominador de la fracción

- el otro numerador es el de la fracción

- el denominador es el de la fracción

- haremos con los numeradores la operación de la que se trate teniendo en cuenta los signos y cómo esté planteada la operación (recuerda que la resta no es conmutativa)

53

4523 3

43

415

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONESMULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

FRACCIÓN DE FRACCIÓNFRACCIÓN DE FRACCIÓN

Para multiplicar dos fracciones se multiplican los numeradores y se multiplican los denominadores.

1460

74

.5.23

815

23

.45

356

7.5

3.2

73

.52

d.b

c.a

d

c.

b

a

La fracción de otra fracción equivale a la fracción producto de ambas.

Este cálculo tendremos que utilizarlo en la resolución de algunos problemas.126

3.4

2.3

32

de43

En el

rectángulo,

pintamos de

rojo los 32

De esos

pintamos

de

verde los

32

43

Del rectángulo

inicial, la zona que

finalmente aparece

señalada

corresponde a los 126

FRACCIÓN INVERSAFRACCIÓN INVERSA

Dos fracciones son inversas cuando su producto es una fracción cuyo valor es 1.

La fracción inversa de es porque 53

35

11515

35

.53

¿ Qué fracción es la inversa de …?

75

57

71

7 331

En general, la inversa de es b

a

a

b

DIVISIÓN DE FRACCIONESDIVISIÓN DE FRACCIONES

Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda.

En la práctica, esto equivale a multiplicar los términos en cruz.

815

25

.43

52

:43

según la definición

815

52

:43

: en la práctica

x

OPERACIONES COMBINADAS (1)OPERACIONES COMBINADAS (1)

Para resolver operaciones combinadas con fracciones hemos de proceder como siempre, es decir, el orden será: paréntesis, multiplicaciones y divisiones, sumas y restas.

Hay que tener en cuenta que siempre que nos aparezca una suma o una resta con distinto denominador, habrá que reducir a común denominador. Cuando aparezcan sumas o restas de entero y fracción lo más rápido es aplicar el cálculo mental (aunque si tenemos alguna dificultad, le ponemos a los enteros denominador 1 y procedemos con el cálculo normal). En algunos casos, puede ayudar hacer los cálculos en sentido vertical, utilizando una línea para cada paso.Ejemplos:

23

52

32

43

c)

10

154

12

89

1011

1217

60

668560151

45

53

21

53

a) 45

103

53

20

25612

20

251820

7

45

:23

103

23

b) 1012

103

23

10

12-315

10

1218 106

53

Vamos a resolver problemas relacionados con los números fraccionarios. En algunos ejemplos verás que se pueden resolver de dos formas: sin utilizar fracciones en los cálculos o utilizándolas. En ambas formas nos ayudaremos de un dibujo para reflejar los datos. Sin embargo, en otros ejemplos sólo utilizaremos fracciones y no nos ayudaremos de dibujo porque reflejar los datos en uno puede ser muy complicado.

Ejemplo 1: Dada la cantidad total hallar la cantidad que corresponde a una fracción de ella

A Pedro le dan de paga semanalmente 24 € y se gasta los . ¿ Cuánto se gasta ?

43

24 €x 24 : 4 = 6

6 . 3 = 18

Solución:

Gasta 18 €

24 €x

184

3.2424de

43

Solución:

Gasta 18 €

33 PROBLEMAS

PROBLEMAS (2)PROBLEMAS (2)

Ejemplo 2: Dada la cantidad que corresponde a una fracción, hallar el total.

Pedro se gastado los de su dinero en un regalo para su hermana. Si el regalo le ha costado 90 € , ¿cuánto dinero llevaba?

53

90 € x90 : 3 = 30

30 . 5 = 150

Solución:

Llevaba 150 €

90 € x

1503

5.90x

90xde53

Solución:

Llevaba 150 €

PROBLEMAS (3)PROBLEMAS (3)

Ejemplo 3: Distintas fracciones del total.

Pedro tiene ahorrados 120 €. Piensa gastarse de ese dinero en un videojuego y en un cd.

¿Qué fracción del total le quedará? ¿Cuánto dinero le quedará?

31

52

Videojuego --

Cd --

Total 120 €

31

52

1511

15

65

52

31

gasta en total

154

1511

1515

le quedan

3215

4.120120de

154

Solución:

Le quedan del total, que son 32 € 15

4

PROBLEMAS (4)PROBLEMAS (4)

Ejemplo 4: Fracción de fracción.

Pedro tiene ahorrados 180 €. Piensa destinar a un regalo para su hermana y los de lo que le quede para invitar a sus amigos el día de su cumpleaños. ¿Qué fracción de su dinero le quedará? ¿Cuánto dinero le quedará al final?

61

32

regalo

invitación

Le quedan 185

5018

5.180180de

185

Solución:

Le quedan que son 50 € 18

5

regalo 61

invitación

de lo que

queda

32

65

61

66

1810

65

de32

quedan

invitación

1813

18

103

1810

61

gasta en total

185

1813

1818

le quedan

5018

5.180180de

185

Solución:

Le quedan que son 50 €185

HAS LLEGADO AL FINAL ….