Matemáticas 2º ESO Programa de refuerzo ... -...

Matemáticas 2º ESO

Programa de refuerzo Matemáticas 2º ESO - Actividades de verano -

Unidad 1. Divisibilidad. Números enteros

ACTIVIDADES DE REFUERZO:

1. ¿De cuántas maneras distintas puedes agrupar 21 lapiceros sin que sobre ni falte ninguno?

2. Factoriza 180 y 12. ¿Qué factores tienen en común ambos números?

3. a) Halla el máximo común divisor de 24, 36 y 16.

b) Halla el mínimo común múltiplo de 12 y 45.

4. En una finca de 300 metros de largo por 120 metros de ancho se quieren hacer parcelas cuadradas lo más grandes posible. ¿Qué dimensiones tendrán dichas parcelas? ¿Cuántas parcelas obtendremos?

5. Juan es sevillano y estudia en Barcelona. Va a su casa en tren cada 20 días. Por su parte, Montse es de Barcelona, pero trabaja en Sevilla y vuelve a su casa en tren cada 12 días. Si hoy se han visto cuando sus trenes se han cruzado en Madrid, ¿cuándo volverán a coincidir?

6. “Este verano, mientras jugaba con mi cometa en la playa vi un ultraligero volando a 55 metros de altura, pero Ana no lo vio porque estaba buceando a 7 metros de profundidad”.

a) Haz un esquema representando la escena.

b) ¿Cuántos metros de diferencia hay entre el ultraligero y Ana?

c) Si mi cometa está a la mitad de distancia entre el ultraligero y Ana, ¿a qué altura se encuentra?

7. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) El opuesto de un número es el mismo número, pero con el signo contrario.

b) El valor absoluto de un número es el mismo número, pero con el signo contrario.

c) Cuando representas un número y su opuesto en la recta, ambos quedan a la misma distancia del cero.

d) Restar dos números enteros es lo mismo que sumar el opuesto del primero con el opuesto del segundo.

e) Para multiplicar dos números enteros con distinto signo, multiplico los números y pongo signo negativo.

8. Realiza las siguientes sumas y restas. Ayúdate representando las operaciones en la recta real.

a) –7 + 5 c) –7 – (–4) e) –4 – 8 g) 3 + (–4) – (–2) + (+6) i) –5 + (–8) – 2 + (–1)

b) 7 + (–7) d) 3 – (–6) f) 5 + (–9) h) 9 + (–7) + 8 – (–3) j) 9 + (–6) – (–8) – 4

9. Resuelve y compara los resultados:

a) 6 + 8 – 5 · 3 – 2 + 3 · 4 c) 6 + 8 – (5 · 3 – 2) + 3 · 4 e) (6 + 8 – 5) · (3 – 2) + 3 · 4

b) (6 + 8 – 5) · 3 – 2 + 3 · 4 d) 6 + 8 – 5 · 3 – (2 + 3) · 4

10. Pedro quiere comprarse un DVD que cuesta 23 euros, pero solo tiene ahorrados 14. Su madre le presta el

dinero que le falta con la condición de que cada semana le devuelva 1,50 euros. A Pedro le gustaría llevar una

pequeña contabilidad del dinero que tiene y que debe hasta que cancele su deuda.

Para calcular la deuda que le queda pendiente cada semana, debes sumar la deuda inicial con la cantidad que

devuelve (ten en cuenta que las cantidades que debe se consideran negativas).

¿Cuántas semanas tarda en devolver la deuda?

Deuda inicial Devolución Deuda

Inicio 14 + (–23) = –9

1.ª semana –9 1,5 –9 + (1,5) =

2.ª semana 1,5


PROPUESTA DE EVALUACIÓN:

1. Clasifica en primos o compuestos los siguientes números: 19, 21, 23, 27, 33, 39, 41 y 49.

2. Factoriza los siguientes números: 66, 165, 315 y 91.

3. Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de: 28, 40, 44 y 56.

4. Juan es repartidor y transporta cajas con forma cúbica. Las dimensiones de la zona de carga de su coche son 120 centímetros de largo, 60 centímetros de alto y 180 centímetros de ancho.

¿Cuántas cajas cúbicas podría llevar en cada viaje y qué medidas tendrían las cajas en cada caso?

5. Ana es gerente de un almacén mayorista de frutas. La capacidad de dicho almacén está establecida entre 1000 y 1100 cajas. Esta temporada, la mitad de las cajas ha sido de manzanas, y el resto, de otras frutas, y Ana sabe que la novena parte de las cajas de fruta habrá que tirarla porque está podrida. La tercera parte de las cajas de fruta almacenadas se dedica a la exportación y la décima parte se reparte entre los socios de la cooperativa. Si cada caja que se tira supone unas pérdidas de 15 euros, ¿cuánto dinero espera perder la empresa de Ana?

6. De los siguientes números, indica si son enteros o no y, en caso afirmativo, encuentra el signo y el valor

absoluto.

a) 14 b) –10 c) 5 d) 2

1 e) –23

7. Compara uno a uno los elementos de los conjuntos A y B e indica, en cada caso, la relación de orden

existente utilizando los símbolos < o >.

A = {–15, 4, 0, –7, –3} B = {–5, –6, –2, –100, –1}

8. Encuentra todos los números enteros que cumplen que su valor absoluto es menor que 10 y mayor que 6.

9. Calcula:

a) –3 + (–5) c) (–3) – (–5) e) 2 + (–5) – (–2) + (–7)

b) –8 + 10 d) –5 – (+8) f) –9 – (+2) – (–3) + (–5) – (–4)

10. Calcula:

a) (–3) · (–5) + (–7) b) –5 + 14 : (–7) c) 4 · (–6) –8 : (–4)

11. Calcula:

a) (–3) · (–5) + (–2) · 3 + (–9) c) –5 · (2 + 6) · 3 + 6 e) 6 · (–3) + (–2) · [(–2) + (–3) · 5]

b) –5 · 2 + 6 · 3 : 2 d) –4 · 5 – [3 – (–2) · 4 : 8] f) –7 – [–3 [–5(1 – 9) + 4] – 6] + 8

12. Un autobús comienza su recorrido con 8 personas. En la primera parada suben 9 y baja 1; en la segunda suben 8 y bajan 3; en la tercera suben 6 y bajan 9, y en la cuarta suben 4 y bajan 8. Si la quinta parada es la última, ¿cuántas personas bajan en ella? ¿Cuántas personas han viajado en el autobús en ese trayecto?


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Unidad 2. Potencias y raíz cuadrada


1. En los siguientes apartados te proponemos algunas pistas para adivinar a qué potencia nos referimos.

¿Puedes encontrarla?

a) Es una potencia de base –3. Es negativa. Tiene dos cifras.

b) Es una potencia de base –5. Tiene tres cifras. Es negativa.

c) Es una potencia par. Es negativa. Tiene una cifra.

d) Es una potencia impar. Es negativa. Tiene una cifra.

2. Expresa en forma de potencia única:

a) 34 · 3 c) 62 · 62 · 6 e) 82 · 8 · 83

b) 43 · 40 d) 72 · 7 · 7 f) 9 · 92 · 90

3. Sustituye el signo de interrogación por el exponente correspondiente.

a) 108 · 10? = 1014 b) 119 · 11? = 1115 c) 123 · 124 · 12? = 1210

4. Expresa en forma de potencia única y halla el valor de las siguientes expresiones.

a) 54 : 53 c) 710 : 78 e) 913 : 911

b) 69 : 67 d) 812 : 810 f) 103 : 10

5. Expresa en forma de potencia única y luego vuelve a convertirlo en potencia de una potencia, pero con exponentes diferentes a los dados.

a) (43)2 c) (64)3 e) (84)5

b) (52)2 d) (75)2 f) (97)4

6. Un método muy sencillo para calcular raíces cuadradas cuando son exactas es utilizar la

descomposición en factores primos.

Por ejemplo, si queremos calcular la raíz de 324, solo hay que descomponer 324 en factores primos y

obtenemos:

324 = 22 · 34

Ahora, para calcular la raíz cuadrada solo tenemos que dividir entre dos los exponentes de los factores, en este

caso 2 y 4. Y así obtenemos:

2 4 2324 2 3 2 3 18

Calcula usando este método las siguientes raíces.

a) 484 b) 256 c) 1024 d) 2025


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1. Calcula el valor de las siguientes potencias indicando su base y su exponente.

a) 34 c) 1)5( e) 4)10(

b) 3)2( d) 1231

2. El producto nacional bruto per cápita de un país se calcula dividiendo el producto nacional bruto (PNB) entre el número de habitantes. Calcula el producto nacional bruto per cápita de un país con 106 habitantes y un producto nacional bruto de 1010 dólares.

3. Expresa como potencia única y calcula su valor:

a) 2

6

2

2 c) 41 3·3

b) 44 )2(:)2( d) 32)5(

4. Expresa como potencia única y calcula su valor:

a) 32

352

)2(

2·2·2 b)

22

3

))3((

)3·()3(

5. Calcula el valor de las siguientes raíces.

a) 225 c) 81

b) 64 d) 625

6 Calcula el valor y el resto de las siguientes raíces.

a) 185 b) 684

7. Expresa como única raíz:

a) 30·5 c) 3·2·5 e) )218·33(:)215·57·33(

b) 2:6 d) 20

8·2·5 f) 3·

3

24

8. Calcula:

a) 9 9 86 : ( 3) 2 c)

3 2( 3) :9 4 3 ( 2) 5 20

b) 2 225: ( 5) 3 ( 2) ( 4) ( 3) d) )3·)3(3·3·(3 222


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Unidad 3. Fracciones y decimales


1. Vamos a construir una tabla buscando fracciones equivalentes a fin de poder utilizarla luego para sumar y

restar fracciones.

Para buscar fracciones equivalentes debes multiplicar numerador y denominador por el mismo número. En

nuestra tabla, en cada fila se multiplica por un valor diferente. Te damos la primera celda como ejemplo.

1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

1

7

1

8

1

9

1

10

· 2 4

2

· 3

· 4

· 5

· 6

· 7

· 8

2. Para sumar y restar fracciones, debes reducirlas previamente a común denominador buscando fracciones equivalentes.

Usando la tabla anterior puedes buscar fácilmente estas fracciones equivalentes, por ejemplo:

1 2 1 1 3 2 3 4 7

2 22 3 2 3 6 6 6 6 6

(Buscamos en la tabla fracciones equivalentes a 1

2y a

1

3con igual denominador).

Usando este método, calcula las siguientes operaciones.

a) 3

1

2

1 c)

5

1

2

1 e)

6

1

5

1

3

1

b) 4

1

2

1 d)

8

1

4

1

2

1 f)

2

1

9

1

6

1

3

1

3. Vamos a completar la tabla del ejercicio 1. Añade dos filas más colocando en una la expresión decimal correspondiente a cada fracción, y en la otra, el tipo de decimal que resulta.

1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

1

7

1

8

1

9

1

10

Decimal

Tipo de decimal

4. Realiza las operaciones del ejercicio 2 usando la expresión decimal en cada caso y comprueba que la solución es la misma.

5. Los alumnos de 2.º de ESO de un instituto deciden hacer una fiesta para obtener fondos para un viaje de esquí. Alquilan un local que les cuesta 135 euros y se gastan 63 en acondicionarlo. Cada entrada vendida les supone un gasto de comida de 3,40 euros y de bebida de 2,85. Si cada entrada la venden a 15 euros:

a) ¿Cuánto dinero obtienen de beneficio si venden 40 entradas?

b) ¿Cuántas entradas necesitan vender para obtener 200 euros?


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1. Opera y simplifica:

a) 1 2

2 3 c)

3 14

7 9

b) 1 3

5 25 d)

4 8:

7 7

2. En una comunidad de vecinos, 2

5 del presupuesto se emplean en combustible,

1

3 en limpieza,

1

12 en la

recogida de basuras, 1

10 en electricidad, y el resto, en reparaciones por mantenimiento del edificio.

¿Qué fracción se gasta en reparaciones?


a) 4 7 2 4 10

3 3 3 3 3 b)

1 2 1

4 5 6 c)

3 2 3:

10 5 2 d)

3 12

5 7


a) 3 1 1

1 : 24 3 5

b)

3 1 11 : 2

4 3 5


a) 3 1 1 3 1

1 : 24 3 5 4 5

b)

1 1 11 : 1 : 1

3 3 3

6. Encuentra el número decimal que equivale a las siguientes fracciones indicando en cada caso si es un decimal periódico puro o mixto o exacto.

a) 5

2 b)

3

5 c)

22

5

7. Clasifica los siguientes decimales y encuentra su fracción generatriz:

a) 0,5353535353… b) 1,6777777… 8. Efectúa las siguientes operaciones redondeando a la centésima en caso de que sea necesario.

a) 1,75 + 0,3 · 0,5 · 0,04 b) 2,08 + 5 : 7

9. Expresa en notación científica los siguientes valores.

a) 500 000 000 b) 7 200 000

10. El número de Avogadro, aproximadamente 6 · 1023, es la cantidad de moléculas que hay en un mol de

una sustancia, o dicho de otra manera, un mol de una sustancia son 6 · 1023 moléculas.

a) Calcula cuántas moléculas hay en 15 moles.

b) Calcula cuántos moles son 1,5 · 1025 moléculas.


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Unidad 4. Expresiones algebraicas


1. Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados.

a) Juan mide 5 centímetros más que yo.

b) Alicia tiene 20 euros menos que la mitad de lo que tiene Luis.

c) Un número impar.

d) El área del triángulo es la mitad del producto de la longitud de la base por la altura.

e) Cinco veces un número menos 5 unidades.

f) El doble de la edad que tendré dentro de siete años.

g) Cinco veces el cuadrado de un número más el doble del mismo número.

h) El cuadrado de la tercera parte de un número.

i) El triple de la edad que tenía hace tres años.

j) La suma de tres números consecutivos

2. De las siguientes expresiones algebraicas identifica: Coeficiente, Parte literal y Grado

a) 2 x5 b) - 8 x2 c) – 4x2y

3. ¿Cuál es el valor numérico de la siguiente expresión algebraica cuando x vale 1? ¿Y cuando vale –1?

P(x) = 2x4 – x3 + x2 + 3x – 2

4. ¿Cuál es el valor numérico de la siguiente expresión algebraica cuando x vale 0? ¿Y cuando vale –2?

Q(x) = - 2x2 – 5x +7

5. Calcula las siguientes sumas y restas de polinomios.

a) 3 2 3 2( 1) (2 5 10)x x x x x x d)

3 2 2(3 4 6 12) (7 3 2)x x x x x

b) 3 2 3 2( 1) (2 5 10)x x x x x x e)

5 3 2 3( 2 11 2) (6 2 8)x x x x x x

c) 3 2 2(3 4 6 12) (7 3 2)x x x x x f)

5 3 2 3( 2 11 2) (6 2 8)x x x x x x

6. Calcula los siguientes productos de polinomios:

a) )10)·(1( 2 xx c) )15)·(23( 2 xxx

b) )12)·(1( xx d) )2)·(1343( 23 xxxx

7. Calcula aplicando igualdades notables los siguientes productos:

a) (x + 1)2 d) (x + 2)2

b) (5x - 1)2 e) (x - 2)2

c) (3x + 2)·(3x - 2) f) (x + 1)· (x - 1)

7. Desarrolla y reduce lo máximo posible las siguientes expresiones:

a) (x - 5)2 - (x - 5)2

b) (2x - 3)·(2x + 3) – 2·(2x2 - 1)

c) (x + 6)·(x – 6) - (x - 6)2

d) (3x + 1)2 – 3x(3x – 2)


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1. Una compañía de teléfonos lanza la siguiente oferta: las llamadas desde las ocho de la mañana hasta las cuatro de la tarde cuestan 6 céntimos por minuto, y las llamadas a partir de las cuatro de la tarde hasta el día siguiente cuestan 3 céntimos por minuto.

a) Expresa en lenguaje algebraico cuánto pagará cada cliente en función de los minutos que hable antes de las cuatro (x) y después de las cuatro (y).

b) Calcula cuánto pagará Pedro si a final de mes ha hablado 22 minutos en horario de mañana (antes de las cuatro) y 12 minutos en horario de tarde (después de las cuatro).

2. En los siguientes polinomios, indica el grado del polinomio, el número de términos y el coeficiente de cada término.

a) 354 23 xxx c) 3x2 – 4x3 +4x -1

b) 10236 245 xxxx d) 3x5 - 5x + 2

3. Calcula el valor numérico de la siguiente expresión algebraica cuando x vale –2.

P(x) = - x2 – 2x + 3

4. Efectúa las siguientes operaciones con monomios.

a) 33 83 xx e) )5)·(7( 45 xx

b) 22 710 xx f) (2x6)2

c) -2x4 + 7x4 - 5x4 + 9x4 g) (7x2)·(-3x4)

d) -x + x2 + x3 + 3x2 – 2x3 +2x + 3x3 h) 15x4 – 3x2 · 4x2

5. Se tienen los polinomios 3 23 2p x x x x y 2 2 5q x x x . Calcula:

a) p(x) + q(x) c) q(x) – p(x)

b) p(x) – q(x) d) q(x) · p(x)

6. Calcula:

a) )34()1562( 223 xxxxx c) (-x3 - 2x2 + 4x -11)·(2x2)

b) (-2x3 - 4x + 2) – (6x3 + 2x2 + 5) d) )1)(542( 23 xxxx

7. Desarrolla las siguientes expresiones.

a) 2)1( x d) (x2 + 1) (x2 - 1)

b) 2)2( x e) (x2 - 3)2

c) 2)32( x f) (2x2 + 5)2


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Unidad 5. Ecuaciones


1. Relaciona cada ecuación con su solución.

a) 273 x i) 1x

b) 4615 x ii) 5x

c) 0)2(2 x iii) 1x

d) 012 x iv) 2x

e) 137)2(2 x v) 9x

f) 334 xx vi) 2x

2. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones y justifica tu respuesta.

a) 17532 xxx es una ecuación de primer grado.

b) 732 x es equivalente a 042 x .

c) x2 – 3x + 4 = 9 – 2x + x2 no es una ecuación de primer grado. d) La solución de la ecuación 3x + 2 = 5x – 10 es x = –6. e) (x – 3)2 = 4 es una ecuación de segundo grado incompleta. f) La solución de la ecuación 2x – 3 = 4x + 1 es x = –2.

3. Completa la siguiente tabla resolviendo la ecuación paso a paso como se muestra en el ejemplo.

Inicio Paso 1 Paso 2 Paso 3 Solución

xx 2135 3215 xx 186 x 18

6x 3x

1372 x 13 202 x 20

x

4 3x 3924 xx 6

xxx 1410 x x

4. Resuelve las siguientes ecuaciones:

5. Indica si la ecuación de 2º grado es completa o incompleta y a continuación resuélvela por el método adecuado:

Ecuación Tipo Solución

24 16 0x Incompleta 24 16x 2 16

44

x 4 2x

2 3 4 0x x 23 4

2x

2x

x

x

22 6 0x x 2 0x 2 0 0x

29 1 0x


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6. Si a un número le sumas el mismo número y su doble, obtienes 64. ¿Cuál es el número?

7. Las edades de un padre y su hijo suman 60 años. Si la edad del padre se redujera en 15 años, el hijo tendría la mitad de los años que el padre. ¿Qué edades tienen ambos?

8. Encuentra dos números enteros pares positivos y consecutivos cuyo producto es 168.

9. Tengo dos terceras partes de lo que vale un ordenador. ¿Cuánto vale el ordenador si me faltan sólo 318€ para comprarlo?

10. Después de caminar 1500 m me queda para llegar al colegio tres quintas partes del camino. ¿Cuántos metros tiene el trayecto?

11. Un pastor vende 5 séptimas partes de las ovejas que tiene. Después compra 60 y así tendrá el doble de las que tenía antes de la venta. ¿Cuántas ovejas tenía en un principio?

12. Juan le preguntó a María cuántos años tenía y ésta le respondió: “El doble de los años que tenía hace 15 años más los que tengo ahora son el triple de los que tenía hace 10 años”. ¿Cuántos años tiene María?

13. Un padre tiene 47 años y su hijo 11. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea triple que la del hijo?

14. Si a la edad de Rodrigo se le suma su mitad se obtiene la edad de Andrea. ¿Cuál es la edad de Rodrigo si Andrea tiene 24 años?


1. Indica cuáles de las siguientes igualdades son ecuaciones y cuáles no.

a) 7x + 3 – 2x + 10 = 7 + 2x + 6 + 3x c) 3(x + 2) = 3x + 6 – 5x

b) 4x – 8 + 6x = 4(x – 2) + 6x d) 2y2 – 5y + 2 = 2y(y – 5) + 2

2. En las siguientes ecuaciones, di si es correcta o no la solución dada entre paréntesis. Justifica tu respuesta.

a) x + 5 = 1 (x = –4) c) 7 + x – 2 = 5 – x (x = 0) e) x2 + 5x – 6 = 0 (x = –1)

b) 10 – x = x (x = 10) d) 2 + 2x = 7 (x = 2) f) x + 1 + 2x = 25 (x = 8)

3. Resuelve las siguientes ecuaciones simplificando si es necesario.

a) 3x – 9 = 10 + 2x – 1 c) 11 – x + 5 = –2x – 3

b) 5

159

x d) 27

35

x

4. Halla la solución de las siguientes ecuaciones.

a) 2x + 3(x – 1) = 4x + 7 c) 5 2( 3)

7 310 5

x x

b) 5x + 1 – 2(x – 3) = 2x + 3(4x – 5) d) 4 5 2 3( 2)

1 26 12 4

x x x

5. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 2 7 6 0x x c) ( 3) 4x x

b) 23 21 24 0x x d) 2 22 5( 1) 9x x x

6. Halla el número cuyo doble más su triple es 150.

7. Si el lado de un triángulo es la tercera parte del perímetro, el segundo lado es un cuarto del perímetro y el tercer lado mide 5 centímetros, ¿cuál es el perímetro?

8. Plantea un enunciado de problema de edades para la siguiente ecuación: (34 + x) = (9 + x) + (12 + x)


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Unidad 6. Sistemas de ecuaciones


1. Determina qué pareja de valores (a, b) es solución del siguiente sistema de ecuaciones:

2 50

2 55

a b

a b

(10, 30) (5, 40) (15, 20) (20, 5) (12, 26)

¿Se te ocurre algún otro par de valores que sea también solución de dicho sistema?

2. Raúl y Marcos han comprado golosinas. Raúl sale de la tienda con una bolsa de palomitas y una de pipas y se ha gastado 1,40 euros. Marcos ha comprado una bolsa de palomitas y dos de pipas, gastando 2 euros. Completa:

Llamamos x al valor de la bolsa de palomitas, e y al de la de pipas.

La ecuación que describe el gasto de Raúl es: x + y = ?

La ecuación que describe el gasto de Marcos es: x + ?y = ? Comprueba sustituyendo que la bolsa de palomitas cuesta x = 0,80 euros, y la de pipas, y = 0,60 euros.

3. Completa la tabla encontrando una solución al siguiente sistema de ecuaciones: 2 5

2 5

x y

x y

4. Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución: 2 4

3 1

x y

x y

Comprueba, sustituyendo los valores de x e y en el sistema, que son correctos.

5. Resuelve el siguiente sistema por el método de reducción: 2 5

4 2

x y

x y

6. Las edades de Andrea y Carmen suman 25 años, y la diferencia entra la edad de Andrea y la de

Carmen es 1 ¿Cuántos años tiene cada una?

7. En una granja hay gallinas y conejos; en total 100 cabezas y 252 patas. ¿Cuántos animales de cada tipo hay?

8. La edad actual de un padre es dos veces la de su hijo. Si hace 20 años la edad del padre era 6 veces la del hijo, ¿cuántos años tiene cada uno?

9. En un aparcamiento hay 55 vehículos entre coches y motos. Si el total de ruedas es de 170. ¿Cuántos coches y cuántas motos hay?

10. Seis camisetas y cinco gorras cuestan 227 euros. Cinco camisetas y 4 gorras cuestan 188 €. Halla el precio de una camiseta y de una gorra

11. En un examen tipo test de 30 preguntas se obtienen 0,75 puntos por cada respuesta correcta y se restan 0,25 por cada error. Si un alumno ha sacado 10,5 puntos ¿Cuántos aciertos y cuántos errores ha cometido?

12. He comprado un cuaderno que costaba 3 euros y para pagarlo he utilizado nueve monedas, unas de 20 céntimos y otras de 50 céntimos. ¿Cuántas monedas de cada clase he utilizado?

x –1 0 1 2 3 4

2x + y = 5 5

x – 2y = 5 0


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1. Señala los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes del siguiente sistema.

3 2 175 7 13

x yx y

2. ¿Cuál de los siguientes pares de valores es solución del sistema: 2 43 5

x yx y

?

(0, –1) (4, 3) (1, 2) (–1, 2)

3. Plantea un sistema de ecuaciones que corresponda al siguiente enunciado: “El doble de la suma de dos

números es 10, mientras que la diferencia entre el doble del primero y el segundo es 1”.

4. La diferencia de dos números es 1, y el doble del primero menos el segundo es 4. Halla los dos

números.

5. Aplica el método de sustitución para resolver el sistema siguiente.

2 122 3 19x yx y

6. Resuelve el siguiente sistema por reducción.

5 3 010 3 3

x yx y

7. Realiza las operaciones con las ecuaciones de cada sistema y resuélvelo por el método más adecuado.

5 2 2 4

22

2

x y x

x yx y

8. La base de un rectángulo es el doble de la altura y su perímetro es de 42 centímetros. Halla las

dimensiones del rectángulo.

9. El mejor encestador de un equipo de baloncesto ha anotado 57 puntos en tiros de dos, triples y tiros

libres de media por partido en la última liga, pasando el balón por el aro en 31 ocasiones. Si en tiros

libres lanzó el doble de veces que en triples, ¿cuántas veces anotó de cada tipo de lanzamiento?


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Unidad 7. Proporcionalidad


1. Indica cuáles de las siguientes son magnitudes proporcionales directas y cuáles inversas.

a) La velocidad del AVE y el tiempo que tarda en hacer un recorrido.

b) El peso de la cabeza de un bebé y los meses que va cumpliendo.

c) El número de helados comprados y lo que se paga por ellos.

d) La estatura de una persona y su edad.

e) El número de ruedas de un camión y la velocidad que alcanza.

f) El número de pintores que repintan el instituto y el tiempo que tardan en pintar.

g) El peso de las naranjas compradas y el precio pagado por ellas.

h) El número de obreros que construyen una valla y el tiempo invertido en su construcción.

2. Calcula e indica razonadamente cuál de los siguientes pares de razones son proporcionales

a) b) c)

3. Indica la relación y completa la tabla:

Tiempo (h) 2 6 10 12

Coste aparcamiento (€) 7 35 70

4. Si dos botes de crema de cacao valen 2,50 euros, ¿cuánto pagarás por 5 botes iguales?

5. Si en un bosque por cada 100m2 hay 20 árboles, ¿Cuántos árboles hay en cada metro cuadrado) ¿Cuántos árboles habrá en 225m2?

6. Si he leído 45 páginas, que representan el 60% de la mitad de un libro, ¿qué porcentaje del libro me queda por leer? ¿y cuántas páginas?

7. Tres obreros han cavado una zanja en varias jornadas, sumando en total 12 horas de trabajo. Al día siguiente se necesita cavar una zanja igual con dos obreros más que se han incorporado de las vacaciones. ¿Cuánto tiempo tardarán en cavarla?

8. Tres amigos han recibido una cantidad de 250€ por repartir propaganda. Si el primero ha repartido 1 lote, el segundo 4 y el tercero 5 ¿cuánto dinero le corresponderá a cada uno?

9. Un grifo que arroja 15 litros de agua por minuto tarda 2 horas y 10 minutos en llenar un depósito. ¿Cuál debería ser el caudal para que el depósito se llenase en hora y media?

10. Tres amigos han ganado 250€ por reciclar papel, de manera que Elena ha trabajado 3 horas, Javier 2 horas y Vicente 5 horas. ¿Cuánto le corresponderá a cada uno?

11. Reparte de forma inversamente proporcional a las edades 6, 10 y 15 años la cantidad de 1500€.

12. En un comercio ofertan tres unidades de un producto al precio de dos y pagamos 8,30 euros. En otro comercio, pagando 11,20 euros, que es el precio de tres unidades del mismo producto, nos darían cuatro unidades. ¿En cuál de los dos es más barato dicho producto?


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1. Señala la relación entre los siguientes pares de magnitudes:

a) La cantidad de filetes que debo comprar y la gente que incito a comer a casa.

b) El peso de una persona y su altura.

c) El número de pisos que sube un ascensor y el número de personas que caben en él.

d) El precio de una tela y lo que necesito para hacer un vestido.

e) Las entradas vendidas para un concierto y el dinero recaudado.

f) El peso de una persona y su sueldo.

2. Obtén el valor de la incógnita y calcula la razón de proporcionalidad en cada caso:

3. Completa la siguiente tabla y halla la razón de proporcionalidad, sabiendo que x e y son directamente

proporcionales.

x 5 10 15

y 16 20

4. Germán, Rodrigo y Almudena compran un paquete de cuadernos por 50 euros. Germán se queda con 4,

Rodrigo con 6 y Almudena con 10. ¿Cuánto tiene que pagar cada uno?

5. Una agencia de viajes saca una oferta de un viaje al Caribe y en la primera semana vende 78 plazas

lo que supone un 15% del total. ¿De cuántas plazas se compone la oferta?

6. Un panadero utiliza 2 kg de levadura por cada 50 kg de harina para amasar el pan. ¿Qué cantidad de

harina podrá amasar con 5 kg de levadura?

7. Completa la siguiente tabla y halla la razón de proporcionalidad, sabiendo que a y b son inversamente

proporcionales.

a 24 48 72

b 12 2

8. Reparte 2480 en partes inversamente proporcionales a 4, 6 y 10.


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Unidad 9. Funciones


1. En unos ejes de coordenadas, marca los puntos A(2, 3) y B(4, 5); únelos y prolonga la recta hasta que corte los ejes.

a) Indica dónde corta el eje Y. b) Indica dónde corta el eje X. c) ¿Pertenece C(3, 4) a la recta? d) ¿Pertenece D(2, 4) a la recta? e) Cada vez que avanzamos una unidad sobre el eje X avanzamos también una unidad sobre el Y. ¿Cuánto

vale la pendiente de la recta? f) Con los apartados b y e, da la ecuación de la recta.

2. Completa la tabla siguiente.

N.º de videojuegos 1 2 3 4

Precio (€) 45

Escribe la ecuación que relaciona el número de juegos comprados (x) y el precio que se paga por ellos (y).

3. Representa gráficamente las siguientes rectas

a) y = 2x

b) y = 2x + 1.

4. Asocia cada fórmula de las siguientes con la gráfica que le corresponda.

a) y = –x + 2 b) y = 2x + 3 c) y = –3x + 1 d) y = x + 1

i) ii) iii) iv)

5. Indica cuál es la pendiente y la ordenada en el origen de cada recta de la actividad anterior.

6. Una compañía de telefonía móvil cobra a sus clientes una cantidad fija al mes de 10 € más 0,1 € por cada minuto de llamada. Representa gráficamente la relación entre ambas variables.

7. Calcula la ecuación de la recta de una gráfica que:

a) Pasa por el punto (0,-2) y tiene una pendiente igual a -1

a) Es paralela a y = 3x -5 y corta al eje Y en (0,5)

c) Pasa por el punto (0,-2) y es paralela a y = 2x

d) Tiene pendiente igual a 5 y pasa por el punto (-1, -2)

8. Representa las siguientes funciones cuadráticas:


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1. ¿Cuáles de estas representaciones corresponden a la gráfica de una función? Justifica tu respuesta

2. Manuel ha comprado 3 kilos de naranjas por 6 euros. Construye una tabla de valores, escribe la función

asociada y representa gráficamente la función.

3. Dada la función y = –2x + 3. Obtén la pendiente y la ordenada en el origen, y a continuación represéntala.

4. Halla la ecuación que tiene pendiente igual a 5 y pasa por el punto A(3, 3).

5. Dada la ecuación de la recta y = 2x + 3, escribe la ecuación de la recta paralela que pasa por (0, 1).

Represéntala.

6. Una piscina vacía se llena en 12 horas empleando un grifo que arroja 180 litros de agua por minuto.

Escribe la función asociada y representa gráficamente la función.

7. Representa gráficamente: y = x2 - 2x +1


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Unidad 10. Medidas. Teorema de Pitágoras


1. Pedro sale de su casa a las 8.00 para ir al colegio, y tarda 6 min en llegar al quiosco, donde se detiene 10 min para comentar los resultados de fútbol y comprar dos chicles. Luego tarda 12 min hasta su centro.

Sale del colegio a las 14.10 y hoy va a comer a casa de su amiga

Ana. En 20 min llegan al parque y se quedan jugando al fútbol

45 min. Como tienen hambre, salen deprisa y en 10 min llegan a

casa de Ana.

Calcula su longitud de la calle de Ana utilizando el teorema de

Pitágoras.

2. Comprueba si los lados a, b y c de los triángulos de los siguientes apartados pertenecen a un triángulo

rectángulo:

a) a = 12 cm, b = 9 cm, y c = 15 cm

b) a = 6 cm, b = 5 cm, y c = 7 cm

3. Halla el lado desconocido en cada uno de los siguientes triángulos rectángulos:

4. Halla la altura de un triángulo equilátero de 6 m de lado.

5. Un triángulo isósceles tiene perímetro 36 cm. Si su lado desigual mide 10 cm, halla su altura y su área.

6. De un rectángulo se sabe que su diagonal mide 29 cm y su base 21 cm. Halla su altura, su perímetro y su

área.

7. El lado de un rombo mide 10 cm y su diagonal mayor 16 cm. ¿Cuánto vale su diagonal menor?

8. La base mayor de un trapecio isósceles mide 30,5 cm, la base menor 20 cm y la altura mide 14

cm. ¿Cuánto mide cada uno de los lados no paralelos?

9. Calcula el lado de un hexágono regular si sabemos que su apotema es de 12 cm.

10. Calcula el lado de un cuadrado cuya diagonal mide:

11. Pedro y Elisa quieren sujetar con una cuerda un poste de 2 m de altura a una estaca que está situada a

3,5 m de la base del poste. Calcula la longitud de la cuerda que necesitan

12. Tres ciudades A, B y C están comunicadas entre sí por tres carreteras que forman un triángulo

equilátero. Si la distancia más corta desde B hasta la carretera que une A y C es de 30 km, ¿cuál es la

longitud de dichas carreteras?


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1. Demuestra cuáles de las siguientes combinaciones de lados de triángulos son de triángulos

rectángulos:

a. 5, 7 y 9

b. 6, 8 y 10

c. 7, 9 y 11

d. 10, 24 y 26

2. En un triángulo rectángulo los catetos miden 4 cm y 3 cm. Haz el dibujo y halla la longitud de la

hipotenusa.

3. Halla la longitud del lado de un rombo sabiendo que las diagonales miden 3 cm y 5 cm. Redondea el

resultado a dos decimales

4. Halla el apotema de un hexágono regular de 9 m de lado.

5. Una escalera de bomberos que mide 20 m se apoya sobre la fachada de un edificio. La base de la escalera

está separada 5 m de la pared. ¿A qué altura llegará?


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Unidad 11. Semejanza. Teorema de Tales


1. De las figuras siguientes, A es la original. ¿Cuál de las siguientes es ampliación y cuál es reducción?

Con ayuda de una regla, calcula la razón de proporcionalidad en cada caso.

2. Determina los valores x e y del triángulo A'B'C' de la siguiente figura sabiendo que es semejante al ABC.

3. Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 cm y 4 cm. Dibuja otro triángulo rectángulo en posición de Thales, de forma que el cateto menor mida 6 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto?

4. Sabiendo que AB = 9 cm, BC = 12 cm y A’B’ = 7,5 cm,halla la longitud del segmento B’C’:

5. El perímetro de un pentágono regular mide 12 m, y el de otro pentágono regular mide 42 m.

a) Calcula la razón de semejanza.

b) Si el área del primero es de 9,91 m2, ¿cuál es el área del segundo?

6. Si sabes que la chica del dibujo mide 1,70 m, calcula:

a) Escala a la que se ha hecho la ilustración. Recuerda que para calcular la escala debes utilizar la misma unidad de medida para la medida real y la de la ilustración o plano. También has de tener en cuenta que la escala es una razón cuyo valor es:

Medida en la ilustración

Medida en la realidad =

A

B

Se escribe “A : B” y se lee “A es a B”.

b) Utilizando ya la escala de la ilustración que has calculado, determina qué altura tienen la farola, el niño y el árbol de la ilustración.

Recuerda que: realidadlaenMedida

nilustraciólaenMedida =

A

B Medida en la realidad =

A

B· Medida en la ilustración.

7. Las dimensiones de una maqueta de un coche a escala 1:50 son 9 cm ×3,6 cm ×3 cm. Calcula sus dimensiones en la realidad

8. Completa la siguiente tabla, donde se reflejan los datos tomados de tres planos.

Distancias Distancia en el plano Distancia real Escala

Entre dos ciudades 20 cm 1:1 000 000

Entre dos personas 80 m 1:2000

Entre dos edificios 12 cm 500 m


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1. Dados los triángulos ABC y A'B'C' de la figura:

a) ¿Son proporcionales? Justifica tu respuesta

b) ¿Cuál es la razón de proporcionalidad entre los lados de los

dos triángulos?

c) Calcula la medida de los lados que faltan en el triángulo ABC.

2. Determina la longitud del lado de AC´ del siguiente triángulo.

3. Calcula la altura del edificio de la figura.

4. Dado un hexágono regular de lado 6 cm:

a) ¿Cuánto mediría el lado de otro hexágono semejante cuya razón de semejanza entre el dado y su

semejante es de 3:4?

b) Calcula sus perímetros. ¿Qué razón existe entre ellos?

c) Calcula sus áreas. ¿Qué razón existe entre ellas?

5. Se quiere hacer la maqueta de una urbanización en la que los 500 m de longitud de una calle equivalgan a

2 m en la maqueta.

a. Calcula la escala de la maqueta.

b. Si un edificio mide 12 m de alto en la realidad, ¿cuánto medirá en la maqueta?

c. Si una calle mide en la maqueta 3 cm de ancho, ¿cuánto medirá en la realidad?


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Unidad 12. Cuerpos geométricos


1. Calcula el área y el perímetro de las zonas sombreadas:

2. Dibuja un prisma de base cuadrangular y señala en él: caras, vértices y aristas.

4. Dibuja el desarrollo plano de los siguientes poliedros:

5. Halla el área total de un prisma hexagonal, sabiendo que: su altura es 10 dm, el lado de la base hexagonal mide 4 dm y el apotema del polígono de la base mide 3,5 dm.

6. Las dimensiones de una caja son 10 cm, 5 cm y 6 cm. Calcula si un lápiz de 12,5 cm cabe en su interior.

7. Halla el área total de un cilindro que tiene un radio de la base de 4 cm y una altura de 7 cm.

8. Estamos construyendo una piscina de 10 metros de largo, 5 metros de ancho y 3 metros de hondo. Queremos cubrir las paredes y el fondo con azulejos cuadrados de 20 cm de lado. ¿Cuántos azulejos necesitaremos?

9. Una lata de conservas tiene 14 cm de altura y 10 cm de diámetro en la base. ¿Qué cantidad de metal se necesita para su construcción? ¿Qué cantidad de papel se necesita para etiquetar toda su área lateral?


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1. Clasifica las siguientes figuras:

2. Calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras:

3. ¿Cuánto cartón es necesario para construir una caja de zapatos de aristas con longitudes de 12 cm, 22 cm y 10 cm? Para ello, dibuja esquemáticamente su desarrollo y señala sobre él los datos necesarios.

4. Si con medio litro de pintura podemos pintar 5 m2 de superficie, calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar un depósito de agua de 2 metros de diámetro y 4 metros de altura. Para ello, dibuja esquemáticamente su desarrollo y señala sobre él los datos necesarios.

e) e)

f)

Matemáticas 2º ESO Programa de refuerzo ... -...

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