MATEMÁTICAS 2º E.S.O. TEMA 5 ECUACIONES DE...

IES Tierra de Ciudad Rodrigo Departamento de Matemáticas

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MATEMÁTICAS 2º E.S.O.

TEMA 5

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

5.1. Ecuaciones de primer grado.

5.2. Ecuaciones de segundo grado.

5.3. Resolución de problemas.


2

1. a) ¿Qué es una ecuación?

b) ¿Cuáles son los elementos de una ecuación?

c) Indica los elementos de la ecuación 3𝑥 + 5 − 𝑥 = 5𝑥 − 4𝑥 − 6.

2. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

a) 19 + 3𝑥 = 3 − 5𝑥

b) 3𝑥 + 5 − 𝑥 = 5𝑥 + 3𝑥 − 4

c) 5𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 = 6𝑥 + 2

d) 6𝑥 − 4 − 4𝑥 = 1 + 2𝑥 − 5

e) 12𝑥 + 3 − 7𝑥 = 𝑥 − 3 − 2𝑥

f) 5(𝑥 − 3) + 8𝑥 = 6𝑥 − 5 + 𝑥

g) 2𝑥 + 10 − 3(2𝑥 + 6) = 10𝑥 + 3(2𝑥 − 1)

h) 3 + 3(2𝑥 − 3) = 4𝑥 − (𝑥 + 3)

i) 5(3𝑥 − 1) − 2(4𝑥 − 3) = 15

j) 𝑥 − (1 − 3𝑥) = 8𝑥 − 1

k) 1 − (3𝑥 − 9) = 5𝑥 + 2 − 4𝑥

l) 13𝑥 − 15 − 6𝑥 = 1 − (7𝑥 + 9)

m) 4 − 7(2𝑥 − 3) = 3𝑥 − 4(3𝑥 − 5)

n) 4(5𝑥 − 3) − 7𝑥 = 3(6𝑥 − 4) + 10

o) 11 − 5(3𝑥 + 2) + 7𝑥 = 1 − 9𝑥

p) 15𝑥 − 5(𝑥 + 2) = 4(2𝑥 − 1) + 7

q) 3𝑥 + 5(2𝑥 − 1) = 8 − 3(4 − 5𝑥)

r) 4𝑥 + 1 + 3𝑥 − 5 = 2(𝑥 − 2) + 30

s) 3(𝑥 + 8) = 6(𝑥 − 2) + 24

t) 2(4 − 𝑥) + 3(4𝑥 + 16) = 3

u) 5 − 3(2𝑥 − 7) = 4(𝑥 − 2) − (7 − 𝑥)

v) 12 + 7(2 − 𝑥) = 2𝑥 − (6𝑥 + 5) − 2(3 − 4𝑥)

w) 2𝑥 + 1 = 3(𝑥 − 1) − (2 + 3𝑥)

x) 7𝑥 − (9 − 3𝑥) = 4(3𝑥 − 5) − (8 − 9𝑥) + 1

y) 7𝑥 + 2(5 − 𝑥) = 3 − 2(𝑥 − 3) − (6 − 5𝑥) + 2𝑥

z) 2(6𝑥 − 4) − (3 − 2𝑥) − 1 = −2(3𝑥 − 5)


3

3. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con demoninadores:

a) 5

2

15

1

3

xx

b) 132

xxx

c) xx

3

2

32

1

d) 1105

2

4

3

xxx

e) 25

4

10

1

4

3 xxxx

f) 26

4

2

8

xx

g) 10

7

5

122

xx

h) 6

32

4

2

5

34

xxx

i) 12

11

6

213

4

25 xxx

j) 2

3

3

1

3

2

xxx

k) 34

102

2

9

x

xx

l) 2

3

3

2

6

5

xxx

m) 5

154

3

63

2

22

xxx

n) 4

73

2

3

3

12

xxx

o) 5

24

2

3

3

2 xxx

p) 5

41

28

xx

q) 6

317

3

2 xx

x

r) xxx

32

1

7

4

s) xxxx

316

56

4

3

9

34

t) 3

52

9

4

6

52

xxx


4

u) 84

35

2

55 xxx

v) 6

3

3

5

4

2 xxx

w) 9

5

18

25

12

32 xxx

x) 3

29

25

6

3 xxx

y) 284

33

2

xxx

z) xxx

83

2

4

1

4. Resuelve las sigientes ecuaciones de primer grado:

a) 15

2

3

13

10

3

532

xxxx

b) 145

110

5

3

4

3

520

xxx

c)

25

23

2

1

52

4

1 xx

x

d)

18

2326

131

9

73 xx

xx

e)

3

232

6

512

4

23 xxx

x

f)

16

243

8

7

4

21324

xxxx

g)

12

71

4

32

6

25

xxx

h)

12

372

4

72

9

33

xxxx

i)

5

721

10

53

15

3232

xxxx

j)

3

2

4

31

3

1

5

3xx

x


5

5. a) ¿Qué es una ecuación de segundo grado? ¿Cuál es su expresión general?

b) ¿Cuál es la fórmula para resolver una ecuación de segundo grado completa?

c) ¿Cómo se resuelven la ecuaciones de segundo grado incompletas?

6. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado aplicando la fórmula:

a) 0542 xx

b) 0275 2 xx

c) 0862 xx

d) 0322 xx

e) 0672 2 xx

f) 01072 xx

g) 0963 2 xx

h) 021102 xx

i) 0322 xx

j) 041615 2 xx

k) 0169 2 xx

l) 01582 xx

m) 0693 2 xx

n) 0652 xx

o) 0652 xx

p) 01082 2 xx

q) 0762 xx

r) 025102 xx

s) 0962 xx

t) 0432 xx

u) 0672 xx

v) 018122 2 xx

w) 030112 xx

x) 0282 xx

y) xx 24162

z) 032 2 xx


6

7. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

a) 0182 2 x

b) 042 x

c) 0205 2 x

d) 077 2 x

e) 0455 2 x

f) 0722 2 x

g) 0182 2 x

h) 04004 2 x

i) 0805 2 x

8. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas sacando factor

común:

a) 022 xx

b) 0122 xx

c) 072 xx

d) 0222 2 xx

e) 0243 2 xx

f) 0602 xx

g) 02 xx

h) 02222 2 xx

i) 0205 2 xx


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Resuelve los siguientes problemas planteando previamente una ecuación:

9. Halla dos números consecutivos que sumen 107.

10. La madre de Alba tiene 36 años más que ella. Entre las dos suman 50 años. ¿Qué edad tiene cada una de ellas?

11. Al comprar 7 bolígrafos y 5 lapiceros Alberto pagó 12,75 €. Sabiendo que un bolígrafo cuesta 45 céntimos más que un lapicero ¿Cuánto cuesta cada bolígrafo? ¿Y cada lapicero?

12. Laura, Alicia y Sandra reúnen 945 € para realizar una excursión. Laura aporta el doble que Alicia, y Sandra el triple que Laura. ¿Cuánto dinero pone cada una?

13. Calcula un número tal que después de sumarle 5 y multiplicar el resultado por 2,

nos da como resultado 18.

14. La suma de tres números naturales consecutivos es 129. Hállalos.

15. Víctor tiene 1 años más que su prima Marina y 5 menos que su hermano David. ¿Cuántos años tiene cada uno sabiendo que entre los tres suman 49 años?

16. El dinero que tiene Iván, más la mitad de lo que tiene, más la cuarta parte de lo que tiene, más un euro suman 106 €. ¿Cuánto dinero tiene Iván?

17. Un bocadillo de chorizo cuesta 50 céntimos más que uno de tortilla. Por dos

bocadillos de tortilla y 5 de chorizo Paula ha pagado 8,80 €. ¿Cuánto le ha costado cada uno?

18. La abuela de Francisco reparte 100 € entre sus tres nietos de modo que el

mediano recibe 10 € más que el pequeño, y el mayor 20 € más que el mediano. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

19. El perímetro de un triángulo isósceles es de 30 cm. El lado desigual mide la mitad de cada uno de los lados iguales. Halla sus longitudes.

20. Entre los perros y los loros que tiene Andrea suman 60 cabezas y 180 patas. ¿Cuántos perros y cuántos loros tiene Andrea?

21. Una botella y su corcho cuestan 0,08 €. La botella cuesta seis céntimos € más que el corcho ¿Cuánto cuesta la botella? ¿Y el corcho?

22. Por una compra de 7,30 euros Adrián pagó con monedas de 50 y 20 céntimos de €. ¿Cuántas monedas de cada clase entregó sabiendo que en total dio 35 monedas?


8

23. Íker lanza 12 penaltis a Jaime. Por cada acierto gana 2 €, pero si falla le tiene que dar 1,50 € al portero. Si al final gana 10 €, ¿cuántos lanzamientos acertó?

24. Busca dos números sabiendo que su suma es 37 y que si se divide el mayor entre el menor el cociente es 3 y el resto vale 5.

25. Sandra tiene 3,25 € en monedas de 5 y 20 céntimos. Sabiendo que posee 50 monedas, ¿cuántas tiene de cada clase?

26. En un corral hay gallinas y conejos. En total hay 32 cabezas y 84 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay?

27. En un garaje hay, entre motos y coches, 21 vehículos. Sabiendo que el números de ruedas es de 68, ¿cuántas motos hay? (No contamos las ruedas de repuesto)

28. Un padre tiene 42 años y sus hijos 7 y 5, respectivamente. ¿Cuántos años han de pasar para que la edad del padre sea igual a la suma de las edades de los hijos?

29. Un examen de matemáticas consta de 10 preguntas. Cada respuesta correcta suma 1 punto, pero cada una fallada resta 0,3 puntos a la nota del examen. Si Alba ha contestado todas las preguntas y su nota es de 6,1 puntos, ¿cuántas acertó?

30. Un refresco cuesta 60 céntimos más que un botellín de agua. Si Álvaro ha pagado 16,20 € por los 6 refrescos y los 8 botellines que le encargaron sus compañeros, ¿cuánto cuesta cada refresco?

31. Si a la mitad de un número le sumamos su tercera parte y luego 7, nos queda el

propio númeo. ¿De qué número se trata?

32. Andrés y su padre se llevan 22 años. Si Andrés tiene ahora 17 años, ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que su edad sea la mitad de la de su padre?

33. Averigua dos números consecutivos cuyos cuadrados sumen 61.

34. Tres hermanos se reparten cierta cantidad de dinero de manera que al mayor le corresponde la mitad de la cantidad, al mediano la cuartaparte de lo que queda y al pequeño los 150 € restantes. ¿cuánto dinero han repartido?

35. El triple de un número más el doble del que le sigue menos la mitad del que le

antecede da como resultado 43. ¿Cuál es el número?

36. Una madre tiene 25 más que su hijo. Se sabe que cuando pasen 10 años la edad de la madre será el doble que la de su hijo. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?

37. Entre Ana y Alba tienen 14 €. Si Ana tuviera 1 € más, tendría el doble de dinero

que Alba. ¿Cuánto tiene cada una?


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38. Un examen tipo test consta de 20 preguntas. Por cada una bien contestada se

dan 3 puntos, mientras que por cada fallo se restan 2 puntos. Si Luis ha obtenido un total de 40 puntos en el examen, ¿cuántas acertó?

39. Un hotel dispone de 52 habitaciones entre dobles y sencillas. Si en el hotel hay

99 camas, ¿cuántas habitaciones hay de cada tipo?

40. Se sabe que la suma de dos números es 55 y que uno de ellos es la cuarta parte del otro. ¿Cuáles son?

41. El triple de un número menos 15 unidades es igual a su doble. ¿De qué número

se trata?

42. La suma de tres números consecutivos es igual al doble del menor de ellos más 10 unidades. ¿Cuáles son los números?

43. Un padre tiene 47 años y su hijo 25. ¿Cuántos años han pasado desde que la

edad del padre era el doble que la del hijo?

44. María tiene el triple de la edad de Sara. Dentro de 5 años solo será el doble. Halla la edad actual de cada una.

45. Calcula las dimensiones de un rectángulo en el que la base mide el cuádruple que

la altura y que su perímetro es de 60 cm.

46. El precio de un diamante y un reloj es de 10200 €. Sabiendo que el diamante cuesta 10000 € más que el reloj. ¿Cuánto cuesta cada objeto?

47. Nuria gastó un tercio de su dinero en una chaqueta y prestó cinco octavos de lo

que le quedaba a su hermana. Si todavía le queda 21 € ¿cuánto dinero tenía al principio?

48. Tomás es siete años menor que Antonio y dos años menor que que Blanca. Calcula la edad de cada uno sabiendo que entre todos suman 36 años.

49. Sabiendo que un pantalón me ha costado el doble que cada camisa y que por dos pantalones y tres camisas pagué 184 €, ¿cuánto me ha castado cada prenda?

50. Reparte 270 € entre tres personas de modo que la primera reciba el triple que la

segunda, y ésta el doble que la tercera.

51. Jonás tiene 14 años, su hermana 16 y su madre 42. ¿Cuántos años han de pasar para que entre los dos hijos igualen la edad de la madre?

52. Un padre tiene 38 años y su hijo 11. ¿Cuántos años deben transcurrir para que el

padre tenga el doble de la edad que su hijo?


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53. La abuela de Sara tiene seis veces su la edad de la nieta, pero dentro de 8 años

solo será el cuádruple. ¿Cuáles son sus edades actuales?

54. Dos ciudades distan 330 km. A la misma hora sale un tren de cada ciudad por vías paralealas en dirección a la otra ciudad. Si uno va a 70 km/h y el otro a 95 km/h, ¿cuánto tardarán en cruzarse? ¿A qué distancia de cada ciudad?

55. Para delimitar una parcela rectangular, el doble de larga que de ancha, se

necesitaron 84 metros de cinta. ¿Cuáles son las dimensiones de dicha parcela?

56. Si el doble de un número se multiplica por ese mismo número disminuido en cinco unidades se obtiene como resultado 12. ¿Qué número es?

57. Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que es 7 cm más largo que

ancho y que su área es de 60 cm².

58. Por tres kilos de peras y dos de manzanas Julia ha pagado 7,80 €. Si el kilo de peras cuesta vez y media lo que el kilo de manzanas, ¿Cuál es el precio de cada fruta?

59. Un hortelano plantó 1/3 de la superficie de su huerta de acelgas y 1/5 de

zanahorias. Todavía le quedas 112 m² libres. ¿Cuál es la superficie total de la huerta?

60. Un viajero realiza un trayecto en tres días. El primero recorrió la tercera parte del

camino, el segundo día la quinta parte de lo que le quedaba y el último día recorrió 16 km. ¿Cuántos kilómetros tenía el camino recorrido?

61. Lucía ha ido de compas. En la primera tienda se gastó las dos terceras partes de

su dinero, y en la segunda las tres cuartas partes de lo que le quedaba. Si vuelve a casa con solo 10 €, ¿cuánto gastó? ¿Con cuánto dinero salió de casa?

62. Iván tiene la cuarta parte de la edad de su padre, y dentro de 10 años sus edades

sumarán 75 años. ¿Cuántos años tiene cada uno?

63. En un concurso en el que dan 5 puntos por cada respuesta correcta y quitan 3 puntos por cada fallo, Raúl ha contestada 25 preguntas y lleva 69 puntos. ¿Cuántas ha acertado?

64. La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 113. ¿De qué

números se trata?

65. La superficie de un tatami es de 84 m². Si el largo es el doble del ancho más 2 metros, calcula sus dimensiones.


11

66. En una frutería hay el doble de manzanas que de peras, y el triple de uvas que de manzanas. En total hay 441 piezas de fruta. ¿Cuántas de cada tipo?

67. La tercera parte de las gallinas de Álvaro se escaparon por un agujero en el

gallinero, y dos tercios de las que quedaron se las comió la raposa. Ahora solo le quedan 18 gallinas. ¿Cuántas tenía al principio?

68. La base de un triángulo es 4 metros mayor que su altura, y su área es de 70m².

Calcula sus dimensiones.

Y unos “clásicos”:

69. En la Antología griega aparece el siguiente problema referido a la edad del matemático Diofanto: "Dios le concedió ser un muchacho durante la sexta parte de su vida, y añadiendo a esto una doceava parte pobló de vello sus mejillas. Le iluminó con la luz del matrimonio después de una séptima parte, y cinco años más tarde le concedió un hijo. Pero éste murió después de alcanzar la mitad de la vida de su padre. Después de consolar sus penas con la ciencia durante cuatro años más, finalizó su vida." ¿Cuántos años vivió Diofanto?

70. Problema del bambú. (Texto indio del siglo IX)

Un bambú que mide 30 codos y que se eleva sobre un terreno plano se rompe en un punto por la fuerza del viento. Su extremidad toca el suelo a 16 codos de su pie. ¿A qué altura se ha roto?

71. Problema de las fuentes. (Leonardo de Pisa)

Dos torres, una de 30 pasos y otra de 40 pasos de altas, están separada 50 pasos. Entre las dos torres se encuentra una fuente hacia la que se dirigen dos pájaros que están en la almenas de las torres. Yendo con igual velocidad llegan al mismo tiempo. ¿A qué distancia de las torres se encuentra la fuente?

72. Problema del junco. (De un texto indio del siglo IX)

Un junco enraizado en el fondo de un estanque se encuentra a 90 cm. de la orilla y su cabeza se eleva 30 cm. sobre el agua. Por la fuerza del viento se ha inclinado de modo que su cabeza toca la orilla a ras del agua. ¿Cuál es la profundidad del estanque y la altura del junco?

73. Preguntado Pitágoras cuál era el número de sus alumnos respondió: "La mitad

estudia Matemáticas, la cuarta parte los misterios de la Naturaleza, la séptima parte medita, y además hay tres mujeres". ¿Cuántos alumnos eran?


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74. Una mula y un asno cargados de trigo se dirigían al mercado. La mula le dijo al asno: "Si tú me das un saco, yo llevaré el doble de carga que tú; pero si yo te paso una, entonces nuestras cargas serán iguales." ¿Cuántos sacos llevaba cada uno?

75. Por el campo van un biólogo y un matemático y ven una bandada de pájaros. El

primero le dice al otro: "¿Cuántos pájaros van ahí?", y el matemático le responde: "Esos y otros tantos como esos y la mitad de esos y la cuarta parte de esos y el gavilán hacen 100." ¿Cuántos pájaros formaban la bandada?

76. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba la solución:

a) 3 - 2

13

5

2

xx

x x=-25

b) 4

3

3

2

2

1

xxx x=11

c) 82

4

4

)2(2 xxx

x=8

d) 6

5

4

1

2

1

3

2

x x=-4

e) 4

)7(2

2

3

7

)2(2

6

)1(3

xxxx x=5

f) 5

2

5

212

4

1

xxx x=5

g) 43

)6(3

24

)3(2 xxxx

x=-6

h) 34x-2(x+7)- 2

22

3 x x=7

i) x-

3

4

5

12

3

1xx x=-2

j) 4(x-2)+ )1(82

7x

x

x=1

k) 4

53

14

11

7

21

2

9

xxxx x=-3

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