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Matemáticas 4 LCC Agosto 2016

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Laboratorio # 1 Vectores I.- Calcule el producto escalar de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos

1) 2) 𝑢 = 𝑖 − 2𝑗 + 3𝑘; 𝑣 = 3𝑖 − 2𝑗 + 4𝑘 3) 𝑢 = 15𝑖 − 2𝑗 + 4𝑘; 𝑣 = 𝜋𝑖 + 3𝑗 − 𝑘

1) 2)

3) 𝑢 = 2𝑖 − 3𝑗; 𝑣 = −3𝑖 + 2𝑗 4)𝑢 = 𝑖 + 4𝑗 − 7𝑘; 𝑣 = 2𝑖 + 3𝑗 + 2𝑘

1) 2) 3) (2,0, −3); (−1,5,1)

1) 2) 𝑣 = 4𝑖 − 𝑗 + 6𝑘

V. - Encuentra el producto cruz u x v

1) 2) 𝑢 = 𝑎𝑗 + 𝑏𝑘; 𝑣 = 𝑐𝑖 + 𝑑𝑘

1)


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Laboratorio #2 Aplicaciones de vectores.

I . Encuentre una ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y las simétricas de la recta

indicada.

1) Contiene a ( 2 , 1 , 3 ) y ( 1 , 2 , -1 )

2) Contiene a ( 1, -1 , 1 ) y ( -1 , 1 , -1 )

3) Contiene a ( 2 , -1 , 6 ) y ( 3 , 1 , -2 )

II. Encuentre la ecuación del plano.

1) P = ( -4 , -7 , 5 ); n = -3i - 4j + 5k

2) P = ( 1, 2, 3 ); n= j + k

3) Contiene a ( -7, 1, 0 ), ( 2, -1, 3 ) y ( 4, 1, 6 )

III. Encuentre la ecuación de la esfera si uno de sus diámetros tiene puntos extremos

P1 = ( 1, -1, 2), P2 = ( 4, 0, 0 )

IV. Encuentre el perímetro de los siguientes vértices y determina que tipo de triangulo.

< 1, -1, 2 >, < 4, 0, 0 > y < -2, 3, 5>

V. Encuentre el vector unitario en dirección de P1 P2

P1 ( 4, -3, -1 ) y P2( -2, -4, -8)


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Laboratorio # 3 Bases y dependencia lineal I. Determinar si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes o linealmente independientes, justificar su respuesta.

1) ,

2) v1= , v2= , v3=

3) , ,

4) < 2, −1,4 >, < 4, −2,7 >

5) < −2, 3 >, < 4,7 >

6) < 1, −1, 2 >, < 4, 0, 0 >, < −2, 3, 5 >, < 7, 1, 2 >

7) < −3, 4, 2 >, < 7, −1, 3 > , < 1, 1, 8 >

II.- Determinar si los siguientes vectores generan al espacio R3.

, ,


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III.- Encontrar una base en R3 para el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales:

1)

2)

3)

4) 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0

5) 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0

IV.- Para que valor de λ los siguientes vectores forman un conjunto linealmente independiente en R3

, ,

V.- Determine el valor de “a” de tal modo que los siguientes vectores son linealmente dependientes.

, , ,

VI.- Para que valores del número real α los vectores (α, 1, 0), (1, 0, α), (1 + α, 1, α) constituyen

una base para 𝑅3.


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Laboratorio # 4 Transformaciones lineales

I.- Determine si la transformación de V en W dada es lineal.

1)

2)

3)

4) 𝑇: 𝑅3 → 𝑅2; 𝑇 (𝑥𝑦𝑧

) = (1𝑧

)

5)

𝑇: 𝑅2 → 𝑅2; 𝑇 (𝑥𝑦) = (

𝑥 + 𝑦𝑥 − 𝑦)

6)

𝑇: 𝑅2 → 𝑅2; 𝑇 (𝑥𝑦) = (

𝑥𝑦)

II.-Encuentre el núcleo, imagen, rango y nulidad de la transformación lineal dada.

1)

2)


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3)

4)

5)

6)𝑇: 𝑅4 → 𝑅2; 𝑇 (

𝑥𝑦𝑧𝑤

) = (𝑥 + 𝑧𝑦 + 𝑤)


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Laboratorio # 5 Aplicaciones geométricas de TL

I.- Describa en palabras las transformaciones lineales que tienen la representación matricial AT.

1)

1.

2)

3)

4)

II.-Escriba la representación matricial 2x2 de la transformación lineal dada y bosqueje la región obtenida al aplicar esa transformación al rectángulo dado.

1)

Compresión a lo largo del eje x con


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2)

Corte a lo largo del eje y con

3) Corte a lo largo del eje x con


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Laboratorio # 6 Vectores propios

I.- Calcule los valores y vectores propios de la matriz dada, además el espacio generado para

cada valor propio. Indicado la multiplicidad algebraica de cada λ.

1) (−2 −2−5 1

)

2) (1 1 −2

−1 2 10 1 −1

)

3) (7 −2 −43 0 −26 −2 −3

)

II.- Menciona si los vectores propios del inciso anterior son linealmente dependientes o

independientes. Justifica tu respuesta.


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Laboratorio # 7 Funciones vectoriales y derivadas parciales

I. Encuentre la derivada de las funciones vectoriales:

1) 2)

II.- Grafique las curvas:

1)

2)

3)

III.-Calcule las derivadas parciales que se piden:

1)

2) ; ; ,

3) ;

4)

5) ;

6) ;

7) ;


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IV.- Encuentre el plano tangente y la recta normal a:

1) ,

2)

V.-Calcule la diferencial total de:

1)

2)


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Laboratorio # 8 Aplicaciones de Derivadas Parciales I

1) Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie.

36x2 – 9y2 + 4z2 + 36 = 0

Con el plano x = 1 en el punto (1,√12 , -3). Interprete esta pendiente como una derivada

parcial.

2) Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie z =

x2 + y2 con el plano y = 1 en el punto (2, 1, 5). Dibuje la curva e interprete esta pendiente

como una derivada parcial.

3) La temperatura en cualquier punto (x, y) de una placa delgada es T grados, donde T =

54 – 2x2 – 4y2. Si la distancia se mide en centímetros, calcule la tasa de variación de la

temperatura Copn respecto a la distancia recorrida a lo largo de la placa en las direcciones

positivas de los ejes x y y, respectivamente, en el punto (3, 1).

4) Un contenedor tiene la forma de un sólido rectangular y tiene una longitud interior de

8 m, un ancho interior de 5 m, una altura interior de 4 m y un espesor de 4 cm. Emplea la

diferencia total para aproximar la cantidad de material necesario APRA construir el

contenedor.

5) Utilice la diferencia total para calcular aproximadamente el mayor error al determinar

el área de un triángulo rectángulo a partir de las longitudes de los catetos si ellos miden 6

cm y 8 cm, respectivamente, con un error posible de 0.1 cm para cada medición. También

obtenga aproximadamente el error relativo.

6) Determine aproximadamente, utilizando la diferencial total, el mayor error al calcular

la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo del ejercicio 36 a partir de las

mediciones dadas. También obtenga aproximadamente el error relativo.

7) Se elabora una caja sin tapa de un trozo de madera de 2/3 pulg. de espesor. La longitud

interior será de 6 pie, el ancho interior será de 3 pie, la profundidad interior será de 4 pie.

Utilice la diferencial total para calcular al cantidad aproximada de madera que se

empleará en la caja.

8) En un instante dado, la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo es de 10 cm y

crece a una razón de 1 cm/min, y la longitud de otro cateto es de 12 cm y decrece a una

razón de 2 cm /min. Calcule la razón de variación de la medida del ángulo agudo opuesto

al cateto de 12 cm en ese instante.


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Laboratorio # 9 Aplicaciones de Derivadas Parciales II

1) Se introduce agua en un tanque que tiene forma de cilindro circular recto a una razón

de 4/5m3/min. El tanque se ensancha de modo que, aun cuando conserva su forma

cilíndrica, su radio se incremente a una razón de 0.2 cm/min ¿Qué tan rápido sube la

superficie del agua cuando el radio es de 2 m y el volumen del agua en el tanque es de 20

m3?

2) La altura de un cilindro circular recto disminuye a una razón de 10 cm/min y el radio se

incremente a una razón de 4 cm/min. Obtenga la razón de variación del volumen en el

instante en que la altura es de 50 cm y el radio de 16 cm.

3) La densidad en cualquier punto de una placa rectangular situada en el plano xy es p(x,

y) kilogramos por metro cuadrado, donde:

p(x, y)=1/√x2 + y2 + z2 + 3

a) Calcule la tasa de variación de la densidad en el punto (3, 2) en al dirección del

vector unitario cos 2/3i + sen 2/3 j.

b) Determine al dirección para la cual ocurre esta tasa de variación máxima en (3, -6).

4) La temperatura en cualquier punto de una paca rectangular situada en el plano xy es

T(x, y), donde T(x, y) = 3x2 + 2xy. La distancia se mide en metros. (a) Calcule la máxima tasa

de variación de la temperatura en el punto (3, -6) de la placa. (b) Determine la dirección

para la cual ocurre esta tasa de variación máxima en (3, -6).

5) Determine los tres números positivos cuya suma sea 24 de modo que su producto sea

el mayor posible.

6) Encuentre el punto del plano 3x + 2y – z = 5 que esté más cerca del punto (1, -2, 3), y

calcule la distancia mínima.

7) Determine los puntos de la superficie y2 – xz = 4 que estén más cerca al origen, y

calcule la distancia mínima.

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