Matematicas Acc. Uni. Vol2
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lndiceGeneralSielalumnostudiaeestamanerabtendfáu econrtr 'nrirrl lsbandol abulosomundo e osnúmeros,lálgebra,ageometríael análllr l l ir i l lornático-asise-guroquedisfrutará e sus nuevas abilidadesmaleflráli0r$ {)ritrará n contactoconuna ormade pensamiento¡guroso a la vezcreat¡vo. prel¡minares, úmeros eares
Losautores emos labofado l exto onestas deas n nr|rl() v con a esoeranza P-1R EI conjunto e osnúmeroseales1
de quesea úlilpara os estudianlesel cursode acceso r a tl¡rversdada losque P-2Subconjuntose R 5damos a bienvenidá lásMalemáticas p-3 Ecuación inecuaciónorinómica
Enestesegundo olumen e n troduciránasherramientaselC¿llculo iferencial P4 Ecuación inecuaciónacional 8Integral ueson mprescindbles arael desarrollo e muchas amas elsaber ien- p-5 Ecuacionesxponencialeslogarítmicas2tifico, xperimentalde a Economía. s mposible n conocim nio eórico empí-ncosrndom¡narosconceptose der¡vada ¡ntegral ues orñanpadedel e¡guaje Tema ' Funciones lementalesl)
en elquese expresanmuchas e as eyes e estasdisciplnas. 1-1Concepto e unción 9
Et ¡bro,ndepend¡entementee estarescr¡to araetcursode AccesoDirecto, ue-1-2Gráfica e une unción 3
de serutilizadoorotraspersonas uedeseenniroducirsen estasmaterias. 1-3Función onstante6
LosAutores1¿ Funciónineal 6'l 5 Función fín37
1-6Función uadrática11-7Propiedadese as unciones 7
1-8Funcionesolinómicas,acionales irracionales0'1-9Funcionesefnidas trozos71
1-10Operacioneson unciones 3
1-11Conceptoslave 0
1-12 utoevaluación2
Tsma2. Func¡oneslemenlalesl l)
2-1La unción otencia 7 '
2 2Funciónogarmoneperiano32.1J .¿rlnlción xponencialatufal 6
2. 4Olfos uncknresoflarltmicas,xponencialespolenci¡
2 5l(rrxl(rl(Jl rrorxntrólric¡s0: l
l / { i l | |rf |rrr ' l l(f nn)| lr 'r l¡r r$ rrvrtf lr l¡t' l ,
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húíce Generaln ce ene
5-3 VIáximosminimos elativos24
54 Concavidad convexidad38
5-5Asíntotas 47
5-6 Esquemaeneral arael análisis e unciones 57
5-7 Conceptos lave 72
5-8Autoevaluación73
Tema6. La ntegral6-1 Primitivase una unción 77
6-2 ntegralndefnida 79
6-3 Linealidade a ntegralndefinida80
64 Integralesnmediatas81
6-5 ntegraciónorsustitución cambio e vaÍable284
6-6 ntegraciónof partes 89
6-7 PÍmitivas e as uncionesacionales92
6-8 Primilivas e algunasuncionesigonométricas97
6-9Método e exhauciónarael cálculo e áreas2996-10 a ntegralde iemann04
6-11Areadel ecintoimitado oruna unción n [a, b] 310
6-'12 feadel ecintoimitado or asgráficas e dos unciones 14
6-13Conceptoslave 16
6-14Autoevaluación17
í¡dicede simbolos 21
indice de términos 323
2-7Conceptoslave119
2- BAutoevaluación19
Tema3. LÍmitesde funciones.Continuidad
3- 1Límite e una unción 23
3 2 Cálculoe ímites 28
3-3 Límitesnfinitos límites n el nfinito 33
3-4Tratamientoe as ndete.minaciones453- 5Continuidad57
3 6 Operacioneson unciones ontinuasl60
3-7Teoremasundamentalesobreas unciones ontinuas 67
3- 8Continuidade a unciónnversa 70
3-gConceptos lave171
3'10Autoevaluación72
Tema4. Func¡ones erivables
4- 1Tasa evariación edia e una uñción 75
4 2 Tasade variaciónnstaniánea176
4-3 Derivada e una unción n unpunto177
4-4 nterpretacióneométricae a derivada 85
4-5 Función erivada. efivadas ucesivas86
4 6 Derivadas e asoperacioneson unciones 88
4-7 Derivadase as unciones lementales94
4-8 nterpreiaciónísica e a derivada 00
4'9 Aplicacionese asdefivadas l cálculo e ímites 02
4-loTeoremas e Rolle del ValorN,,ledio'l14 11Conceptos¡ave 13
4-12 Auioev luación214
Tema5. Estudioy representación e func¡ones
5'1 Váxi¡nosminimos'17
5- 2Crecimientodecrecimionkrlr¡ rrxlrrnción21
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Preliminares.úmeroseales
l.ll (lcfiricjó¡ y Ia olma deexpresarn númeroeálse niroduce n ospreliminar€selprirrcl volumen., demás, e tratan as operacionese números cales l¿s estructurairlschr cas deorden elconjunto e osnúmeroseales. epresentanaspropiedadesuevo lic¡n asoperacionessedefinen otencias.
I l conuntode os números ealesestá onstituidopor a uniónde os números acionalesk¡r núme¡osnacionales. n este ema seFesentan lgunas uestionesopológicas elf,'riLrnro e o' número' eales se¿mplran inrerpretanlgunos bjeto'de ripo¿lgebr¿ic
üün'r, I laecuaciónl¿ necuacróneoúmeroseaes .
P-l R. El conjuntode os números ealesI u rcprcscnlaciónmáscomúnd€ R hacever al conjuntocomouna inea ectadelplano.El
Inincipul roblema eesta epreseütaciónssab€r l puntode a recta üe e coresponde
l. \ r ' íkl $ignar lpunlo orrerpondienrelnumero.Basralegir npunrou¿lquierauel l¡ lnNn"spunlo) Srunaúmeroe¿l saposiu\o. 0.se e¿' ig¡a npunro aderechrlnlprnto ,y siesnegativo,< 0,unoa a zquierda el0.
l rru¡ L/clcCidonseSTenroecfl l ineoelpla¡o. omo egmenloarón. i unextremrh.l'cg r(nro"c sirLrr.obre entoncessuderecba.o a rccl¿R. queda elerminadolpunlo,rrr li clrrcs¡onde l nume¡o . Al reperir sleproce'ocon el punlo I en ugardel 0. re
¡,hi(1r(.l ¡ ,rnro one'pondrenrel núme¡o . Analog¿menlee obl ienenos pu¡losr ,ms¡.rrhiruc. o. numeros. 4. 5. . ..Si en ga r e aderechae l igea zquierda.e¡r l t iencDrsDUntosorrespondientesos úm€ros ,2,-3,. . . .
, .3 2 1
FiguraP.I
lrl rcstl) lenúnrcroscales eben onesponde.onpuntos eesa ecta e orma uesi dosri¡rrer)r rc|llcs, y b, vc|illca quea < b, entoncesl puntodel número está it uado atlflcclxr lclpl|rlodcl Dúmcro. Adcmás. i lamamosy b a esos untos e a rectal ntonce
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=
q.mpto 1
ffi'i,llfiliiil,,,ltjll;;:,áltji::ññ",;T"1T;X;::", ," "",,,*"*,1ii',ll.ii",i,itllÍ; ,il"ll?"'il*1",1,
"XflJ,f¿'jXlj:saberxactanrc¡rrcné,,,,Dados ospunro\ e ¿ ecraeat b al segnrenrob .e te cpresenuf or x. hl
EJemplo2
-*1T¿:',Xlli::.ol.ülil;?,T:1i#,'.T,'..,i,.ilTtJ:ar sesmenrosparróDl.2._l]yt_t.01.
2subsesmenrosdivisoresn opartesgures),fi , ,4f,f-f. ,f .
5 subsegmentosdiviso¡esen100paftesguales),
rffi,-ffii.rffi.-,ffir.,#.ffi.rfi,_ffir,rfi ;; subseemenlosdivisoresen1000 a¡tesguales,
tffi ffi 'r fiffirrffi ffirLa ongituddelsegmentoonstruido l unta¡ os l2 segmentosnteriores s:
2. +2.ro1+s.r ih+3.f t, :s: ,Asl ues,lsegmeúosolarsa0 = ta,ol= t-2,2s3 Ol
E emplo3
r-?a mterelm¡a e punto onespon4ientetnú¡u u''r du<run,aresmenr.'0,""",*",..*,
"il, i '" '.T,'"14
- 4 r21212 queesrac"r
4 sggee¡tospahn,3 süblegmentoselpelrónobtgnidps ordivisióne4 0 sggmeatocuales,2 subsesrnenlo,e parónobrendos ord \ s,ón ! I , ,.r."".1r r"1..,3Dubsegmenlosetpefónobteaidospordivisió¡elt g00seg¡Dentogualcs,2sr¡bsegme¡rosdetauónobrenjdospordivi5ione¡l**r.*. , .1r"", . . ,J Subsegmenroset atrón btenidoso.división nTOOOOOeg,nentoguatc,,
R Ll con|unktdcb,\ nútnqn t
'Í*::f jii'.ryitffir:,it**üTfi:x?:tr1$i?i",t"":::ítrÍ,.":"ri:j"", ]J,";:;".*,*"$ffii""l:",::I,#fl;:u:ir,::;;,.#.,:r.:.;n:so¡ qe_ .c.aD D_r.
tt[x:T.frfl¿"ffh*Tr;-L]li]rfufiUil:u,{ir$i"::...-:r,ijt;
o0.'",,,"","*, ,n*.j,;::;.:;,:r,i =o,o,! =o,s.
, ,,j, iii,'?'i,,,i.,;-*_".."_"""".ffJilx"á.".:rühád,#il.ti",:d:;*iffii¡ffi;iTir,lgijttit,*tf,,,}
;...l'i:,.:Til:":i|:il;ffTJ,;:T ',entoncesosegmen,osb,e¡idosor
if#Fj,,l;nfffr:*:i#n:,3$í#;Ti.",:"::"",:T$1,:iH::?;ü:il:.',üf:fitil"];,i::i,".i,.:.J"i:Í,::^,ijil{;",Tj1,,:i.ffJ:"1:"ffljl"llil,iil;j,;:i2
4/5
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rcolasin ningúnproblemas.Además,cabe observarqueesa amilia sin fin(livisoresorma¡ un seemento e ongitud
fi.
m narcs. neros rcal*
sin embarso,omo ,323232...-433;4 :
ff , ""t" p,,"a"urtgnarnpunro t€a P-2 Subconjuntos e R
Est¿ ección epresentanos conjünlos ontenidos nR quemásseutilizan enesteibro.
Definición.Dadosdosnúmeros e¿les , b talesquea< b, sedefine:Intenaloceffado. a,b] : {x€R,t¡lqueasx<b}.
- ntenalo bieúo. (a,b) = {x €R a<x<b}.
la ,b) = {x€Ra<x<b} y (a,bl = {xeRa<x<b}.
FiguraP.:l
' l ¡doslosinlerválos(a,b),(a,bl,ta,b)yta,blt ieneell¡ ismopunloDrcdid!r ' t ,
. Un número ealquees ffacionalposeeunaexpresión ecimalsin fin queno esDeriódica.l1,rddsrgnar l numerorracion¿l npuDro e la recra eal,no procedemosomoer to:¡r¡leriores jemplos, uesnopodemos
onsrruirel segmenrooral aljuntar
üna amilia sin ñn(icsegmentosdivisores.
Elemplo4
El número rr¡cional 7¡= 3, 14159265 surgecomoel cocienteentre a longitudde unacircunferencia su diámetro.EI número rracionalJ1 = t,+tlZtZSSZ... apxece al,'rrgrtude la hipore¡u.a e un rriá¡gulo
'eclángulouyoccdrelosmiden a unidad. in
ünbargo rocedemose und oma queescomún cualquier úmero rraciondt tam¿mo5t
'nbiénr alpuntode a ¡ectaconespondientel número . Como:
:l < n < 4, entonces está nel segmento3,4], r € [3, 4].
,. tr- r.2.eDronces,rslá.r,.s"*r" Iij #r.lT. rf ft r
r.14n<3, s,entoncesestáenelegmentoffi, ffit, ^ . fffi, ffil
, . 4r.r. . 42.enroncesnesLaener..v"*r"tf f i .i#, ^. ' i#i f f i
y ¿rsi sucesiv¿mente. odos los segmentosconrienena n y poseen extremos quecorlrspondena números ¿cionales , por tanro,son áciles de representar n a recta eat.( llbc observar ue as ongitudes e os sucesivos €gmenroehacen ada ezmáspequetus.li l tunto n al cual e conespondelnúmeron esel pun¿o omún todos ossegmentos
.lixislepuesunaideniificacióndelconjuntodelosnúLrne¡osrealesoonlarectareal.Doreorlcsdoslemom€nto o osdiferenciaremos.
Defrniciún Dis¡ancíaeúre dos úúmercs:Dadosdosnilmeros ealesa y b,se lamadistanciaentreellosa la ongituddel segmento uyosexrremos on
El nte alo [a, b] se dentificaconel €gmenroa,b], mientrasquel nre alo(a. b) sidenlificacon el segmento a,b] al qüe se le quitan los exrremos. s dccii(a,b) : ta,bl { a, b . La ongitud edichosnte¡valos,s b al.
También, eempleanos nteñalosabiefosporun adoy cenados orel otro como:
a+b b al a+ b
2 ^
=---
! ln{orno entr .dodc un puntoa. Dado nnúmeroreal > 0,sc l lLrnr¡ :
tiltonlo ab¡erk) cnh'a¿o.Dayde radio 3 al int€rvalo (r ij. n r ¡).
- I)ndnn) (rd¿¡) | ntftkl¡, cn y dc ftdr) ¡ .rl nrtcrvalo ¡¡ ¡. l iil.
1) thr tút r \ tht .hh, r ' r l t tuh, ct \ | y (l c rr( ln) i i ¡ l i r fcN¡ l t )(¡ r i i . r lL , l rn i i )
D€linic¡ón,Dadosdosnúmeros eales¿,b talesquea < b , sedefine:- Sen¡rect8 cerada'
Ia ,+ó) = {xeRa<x} y (- - ,b l - {x e Rlxsb}.
- Senitecta abiertas.
(a ,+@): {x€Ra<x} y (- ,b) :
{x€Rx<b}.
distancia¿,b) = lb a
| \ t i l , , lL r , r , , l , l , r , ' t .' , qq , t ! { r r ,a , I I n , l ' f , f ,
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t L kt i nut¿t N i¡tLnt rulcl
(a - 6, 4+ 3) = {xeqI lx-al<E} '
[a 3'a+E] :1x€Rl lx al<6] '
y$¡joe; oniuntolepu¡to¡xqueestándistanciselpunto me¡or menor gual)que5
Elorclclg 5' ' -'isteunentomoabi€rtocentadoen c queestá
l\ua cü3lqüie!punroc del ntervalo(a' b exl
, ontenidondichonJervalo
-,'""ii.!t
". i". tl , .ntonces< c< b se iene uem = minc a'b c > 0' por
t¡nto, lisiendo=!, ""
i"""q" 1" a'"
+ó)c (¿'b)'
-rffi;+'_FiguraP 4
. No¡ar ,apropied¿d elant€riorejercicioaverificanotrosconjufiosde 3 recta eal
.N,/¡¡'osco,,irn'os¡,'i"",rrL'::1[,i:,]:ir,,I:liil,iiii;l'l'i:);:)j.:;l;l;;;li:':I"i:iil;llilrl'i'li"'';iJi';.1"'.''ii;i. , ,,','n\" l r '" '
r r .r ¡ . r l r rrr er i r "r r rotb i r r ro\ crr . t 'do 'L¡ (r f ' r ¡ ' r '
l )L l (orrurrrdelo.c.n- .rnrosah'e¡ ! ' 'deR'e 'Lcer lue ' 'r r ' i r ¡ " /r t t r r l r r ' : ' l i 'r " ' l'
"'. i " " .1 '" ¿ .,
' tq , . . ,*pterrla ' roDicddds iguierrr '
Topologí¡ dc R Los co¡juntosabiertos e R verifican aspr)|ri(il¡'h'i
l" ¿ yR son o¡juntos brertos'
2'La unión econjuntosbieltos sunconjunto bierto3'La intersecciónini1a econjuntosbiedos sunconjunLt'rltr' "
Por€ o,sediceque orman^ topolagíasualdeR
OtrosconjuntosmpoÍantesenel restode emas o¡:
ElemBlggEl onjú¡to Rtambiéos!o c"njunto biert¡)
El conjunro aciq,P , esuncoquntoaDleno'pues¿1 o enerpuntosvedipa ladefinición
Unasemirrecta bie¡laesunconjunto ore4q Pamcualquiejx € (4' +-) (q x e (-"!' b) )
bastaronar=f t' a = fl
(ualouierunióndeinrer\dlosaDrero'esun¡hienopue'toluecudlquiertrrneroxque
:;[","":Trli,+h."n*{'ll:;i:;1";lll,l;xx'fi"l; i'l*il:j:':"'":];T'i'.::conjunto6onabieÍosl
( -ú, :3) 'J( 2, - l )u(1,4)L] (10,+ó) I tn '"+ l l ' L/ - (n ' ,n+l)NE N \E Z
Lq ntersección e dos nteNalos¿bigtoso 9sur interv¿loabiefo oesel 'áclo' asípuese!
nconju¡lo bier¡o
6
EiemploTEl;oniunlovacioU esunconjurto enado uesto ueeselcomplemcntarn'lc t (lrr''
"" "."i"'li" "¡i"'top.' l" mismo,R esun conju¡tocerr¿do
una semllaectaenada sunconjunto erradoues-'al:
R-(a' 'r ) v ('r' I / rLr'
unconjunto biefo Análosamente'a, +o) = R (-Ó' a) v (-ú' a) esaorcrlo
Un ntervalocerrado sun conjuntocerrado uestoque
ta .b l : R- i( 4'a)u(b'+Ó)i '
y launióndeconjuntossbiertos sun conjunroabierto' -i^
r¡¿r ¿" ¿* ¡t"*alos cerrados sxn conjunto erradoSi los intervakrscnr!l','!
, i .*"'" i ."*.¡"
no dci¡ enronce'kun:ón'l ; lo'rnrenaro'cencdo'e'"r¡r 'rL' 'iJ"iá",1 p" ' l.
'* .* ,n conrunroeffado ,pue'roa c b d eo'once'
ta,bl \,
tc'dl = t3' dl
Sila nienección s acia. supuestoue3< b< c< d' entonces
la, bl u tc, dl : R - l(-a' a)u (b' c) u (d' +Ú) '
Unconjüntoünitario conunsóloelenento)esunconjuntoceffado'püesioque
{al=R {(Ó'¿)u(a'+@)}l
Ademd..nconiunroonuú numeroinrro celerenrocr unconi! 'nroenddo ¡ Ll
.". ' ;ü:, ; ; ;" ' ; ; ; ; , ;üninnrra I¿e o'e^ato'auieno' semüe''d'
ab'erns
il i'Á*"ió" ¿" a* intervaloserradossunconjurto enado ia<c<b<d'cnlü]c(\
ta,bl ñ Ic, dl = tc' bl.
Definic¡ón. n conlunro es nn'duultu 'P'dd' dL l{ 'r f f
."" l ip'. '""* i i l ¿." 'i
." 'uunro bieno s decú r e¡tsre dbicrto l ' l ¡
C= R A.
i i i .-
- ,q."1."""¿ 0 ralque\ '6 \ 5r ' A
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si{. b<c<d,entonceslaintersecciónesvacla.ib=c.entonces
ta.bl^
lb. dl : {bl .
Sistem¡ de con¡untos cenados de R Los conjuntos cerrados de Rv€rifi c¿n aspropiedades:
1'Z y R son onjuntoserrados.2" La unió¡ finita d€conjuntos erados esun conjuntoce¡rado.3" -a ntersección econjuntos en¿dos sun conjuntocerrado.
Engeneralnoes ácil haceruna epr€sentaciónráficasobre a recfa eal de os conjuntosrbiertos de osconjuntosenados. lgunas eces, eun conjunto ólo enecesitaaber uecstá ontenido n algrín ntervaloabi€noo enunasemirrecta bierta.
inl¡rio|menle. Dacotanl¡fl(n cs L81coojunto e osnúmeros nlcros o esun conjuntoscot¿do,i ¡cotüdonl¡ri¡,IrfIlf
Cualquierntewalo bieto(a, b) o cenadoa, bl esun conjunto cotador'csl{) r( .!rriconte¡ido nel ntervaloa 1, b + l).
l tlL lconjunro jx .Rlr -; . n \ les¿cor¿do.rl0ecun¿cordinl(t i ,rt.h " ' t , , '
t ')todos os números uepefenecen A sonpositivos. nacotasuperior s 2 t¡r.!1,, ,r l
n>t"oton."rl<1.
P-3 Ecuac¡ón ¡necuación ol¡nómicaEn esta ección eejenplifica a formade esolveranioecu¡cion€somo necu¡(r(rx
que oseennaexpresiónpolinómjcanünaincógnit¿.Seentiendeor ncóg¡ita uúa etra uehace lpap€l eün úneroqueesdesconocdo.
P-3.1Ecuac¡ón eprimergradoAl resolveruna ecuación eprimer gradoseaplica:
Toda ecución dep¡imer gado en la incógnita x sepuedeescibir comoax+b=o,doDde a+ 0. Susoiucrónes=-j.
El valor de a ncógnita,o solución,deunaecuació¡deprimer gr¡doesun único número.
Ejercic io9Determine l número alquesu riple excede n 12unid¿des l doblede su ercio.
Solución. At llamar x al númerodesconocido, l erunciadoseescribe ono 3x = 2: + I 2 .
A1 agrupar odos os érminosdonde a ncógnitaestápresente n un ado de a iguald¿dlos é¡minosen osqueno aparece l otro 1ado, e iene:
12 J J6l \ 2¡ - 12.esdec,r . l ri l \ 12-i \ tr-x +-;
P-3.2 necuac¡ón éprimergradoLa fo¡ma de resolveruna ¡ecuación deprimer gado es como seprocedeen el ejercicio
Delinición,
- A-
R es un conjunto acotado supeio nente sl y sólo si existe uraseminecta ú, bl que o contiene; c (-a, bl. Del númerc sedicequees Da, Id'al¿, o. de A
- AcR es un conjunto acorado nfetiomente si y sólo si existe unaseni[ecta [a, +ó) que o contienej c Ia, +@). Del número sedicewe esúla cota n1¿riofdeA.
Es claroquesi b es na cotasuperiordel conjuntoA, entonces ualquiernúmeroc tal queb < c tambiénesuna cotasuperiordeA. Análogamente,i a esunacota nfe¡io¡ del conjüntoA. entonces ualquiernúmeroc tal quec <¿ tambiénesunacota nfe¡ior deA.
Conjunto cotado
.,1\cota nferior -/' \ \\ cota superior
1 // t \ --"--* :
Figula P.5. Nrraj Cuando un conjunto A es acotado nferiorment€ y superiormente a la vez, entoncesse
d ceque el conjunto A es un conjunto ¿cotado.
D€frnición. A c R esú conju ra acokldo si. sólo si existeun intervalo(a, b) queo contiene.Esdecir,A c (a, b) .
EjemploSEl conJunto de nrlmerosaturaleso es conjunto acotado en R, pero si es acotado
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Ir solucioncsara as necuacioneseprimer rado o a ncógnit¿, con
;).
-b_;i
_fi. Esdectu,-:, +ú).
- Pnra r + b < 0, susoluciónes<l
- P¡ra x+ b s 0, susoluci¿nes<- !
- Para x+ b > 0, susoluciónes>l
- Para x+ b > 0,susoluci¿nes>
. Es decir, ( 4,
. Es deci¡, ( ó,
. Esdecir, -:,
r lBlrlc| l(c
| 0so uc óndeuna necuación e primer gradoes,por anto,uDa emiffecta-
EJorclc¡o0ljl doble de un ntu¡e.o al quese e ha disnhuido e¡ tres unidadeses mayorclue as res
eu0rtas artes eesenúmeroalquese e ha aumentado n¿unidad.LDequénú'nenj se ata?
Solución. l llamar a ese úmero, l enunciadoeescribeomo
2(x3)>i(x+r)" x o>J,(+1.
^lagn¡DJr odo, loc retminordonde d Dcog¡rra sra re:enreeo Jn ladode ta rguatd¿d
l ,+ ¡rmi loren osqueDoapareceenl ot ro ado, ,eUe¡e:
2@-3) ' l r -*r t7A
FiguraP.5
P-3.3Ecuaclón o segundogrado
A rcsolvef na cuaciónesegundorado e¿plica:
El discdminante s 62 4u.=1-5;¿-,t t ( 12)=7l>0,
Si existe oluciónealdeunaecllación esegundorado, ntoncesxisten ossolucionaunque ueden erelmismonúmero.
Ejercic¡o l
¿Exist€u¡ nrímero al quesutriple mas 12 es gual al productodel númeropof é1nlcnodos?Solnción. Al llamar x al nrimerod€sconocido,esultaqueelenunciado eescribe omo
3x + 12 = x(x 2) o 3x+ 12 )r2 2x
Alag r pa¡ odosos erminos nun adode a gualdad e iene 0 = *2- 5* 12.7
t
cualquier únerode a seminecta?, +@)verifica l enunciado.
lueso existendosnúmeros ueveriñcanel enunciado:
s-^n3\l : --i-
2-
v x2= ---r- .
I 5 Ji l l l - . s + Jisl!^ 2 , \ ' - 2 l
1
Todaecuaciónesegundorado n a ncóg¡itarsepu€describir onr(r
u"2*b**" = 0,dondea*0.
su resoluciónepende€lvalordeldisc minante 2 4ac
-Sib2 4ac < 0, entoncesoexiste úmeroealque erifiquc¡ ccrrr tirr
- Si b2 4ac > 0, entoncesxisten os oluciones,l y x2,dc nccurcil'¡rl
y x2 =2a 2a
Ademas,la cuaciónepuedescribicomoa(x - xrxx x, - 0.
-Sl b2-+ac : 0,entoncesexislenunasolucióndoble,xt,delaecua
bxt =
za '
Ademas,la cuaciónepuede scnorrcomo1r- x, )2 = 0.
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P.3.4 necuación e segundo radoA resolver na necuación esegu¡dogmdoseaplica:
Supuestoueaxz+bx+c = 0 tiene os oluoorcs, l <x2,enronces
-Pamax2+bx+c<o:
si a > 0, solución l <x < x2. Esdecir, xt, x2),
si a < 0, solución-ó, x1)u (x2,+ó).
-Pamax 2 bx +c < 0:si a > 0, solución t < x < x2. Esdecir, xt, x2]
si a< 0, solución-ó , xtl u [x2,+ó ) .
-Pa.a.ax2+bx+c>0,
si a > 0, solución @, l) u (x2,+@),
si a< 0, soluciór t <x < x2.Es ecir"xt , x2),
-Pamax2+bt+c>or
sia>0,soiución( , xl l u [x2,+@),
si a < 0, soluciónt < x <xz.Esdecir,xl , x2].
En el c¿so equex1 = x2, €rtoncesx1,xr] = {xr }. La solución eun¿ necuacióndesegundoado esunauniónde semirrectas esün ntervalo.
Ejercicio l2
¿Que úmeros umplenqu€sL¡uadrado smenoro igüalquesu riplemenos os?
Solüción. l llamarxaese úmero, l enunciadoeesc¡ibeomo x2<3x 2_
AI agruparodos os términosa un lado de la desigualdad,e ri€ne x2 3x + 2 < 0.rcsuelvea ecuaciónsociadaestanecuación'-3r*2:0.
El discriminantes: U'z +ac=¡ 3)2,+ r.z=t>0,luogo xisten os olucionese aecuación:
Parasabersi2 3x+2 es osirivoocC ivocs adasemrr€claonetinrervato.ocligünpunlo eestos sedetemina lv¡brde lacxpres,ón.
Como0e(4,1)y02 3.0+2 = 2>0,entoncesx2 x+2>0 entodo ó, t )
como] r r . : r ¡ 1 ' , . i - , . | -0. .n,on. . ,^ , . i ¡ ) 0enrod, , ( r .2,
Como € (2,+ó) y 32 3. 3 + Z = 2 > 0,entonces2 3x+2 >0 entodo2, , )
Asípueslasolucióndelainecuación/-3x + 2 < 0 eselinre¡val ocenadolt,1. .
P'3.5Ecuación e ercergñdo y degñdo super¡ora res
^.Ld.ecuacióne rerc€¡ ¡¿do e resue¡ve edranleécnicastgebraicasri l /¿ndoa
rormuac e ¡ rcla o- ret¿, Iasdecuarlo radomedianreas órmuJaseCardano. mb¡,fólmülas xcedeneli!el de;ste ibro
Paragradosupeior a cuatro no existen órmulaspara esolver ¿s ecuaciones. ha sidodemosúadouenopueden xrsri¡ se jpode ó¡mutaa.qtpues. ótoquedaa uriiiracró¡, 1máodos eapro{imaciónucesi\a lascotr¡cioneseeslaiecuaciones.i unaecuac,on1,gmdonposee olución,entonces l nrímerodesolucionesealeses:
Algúnnúmeropardel nte¡valo [0, n] , si n esun númeropar.
Alsun núrnerornpardel nrervalo 0, n] , si n es npar.Las ecüacionesegradompar ienenalmenos na solución eal.D€stacamosn casopalticularde ecuacionesegradosuperiorados; as ecuacioneson
Las_únicas osiblessolucionesmcionalesde una €cuaciónpolinónica decoeficientes nteros, on coeficiente rincipal I ,
xt-ao ,xn -ao ,rol - . . . tarrz t-a,r ao 0.
son os divisorcsentero¡ Rositivoso negativos)del ré¡mino ndependie¡te
E¡erc¡cio 3
Det€rmine osnumeros a€ los cualesel valor numéricode a expresiónx3+ 4x2 2
Se
l t : : --- l - : : L y rr =3+u/ i
f <3\-2
Aslpues,l¿recta¡ealsedivideenvariaspartes(-ú,1)u{1}u(1,2)u{2}u(2,+ó).
13
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SolÍ c ótr. E enunciado eescribe ono
r . / ^ ' 2 ^ ^ 2' ' r2r¡)>r. l* l l r r : ' ' : , ' * : '
Losdivisores nteros €l érminond€pendiente, , sonsólo 1, l, -3 y 3. Al aplicarar,B l (l c {uf f ini on + 1 se onpruebaue l esto s ero. demás,e iene Si t2xr 32x2+2sx.-6:0, enronces. Ntr: l-zer*rz)
lr . l}¡ f r , , , , r
t3*4*2 3: (x+l)(x2+3x 3) . ¡ lguno e os tos actoresebe ercel- .
si *r+4x2 3 - 0, entoncesx+1xx2+3x 3) = 0. Por anto, lguno elosdo s I I u¿esuoonert2^' ] ox+t. l r) . ! . ,1. f , rt ¡etües ebe er ero.
r^ J/ v' rur rcru' dsunuu.rur uur Dcsüponerxi
= 0,set ienexi2"
sisuponemosqu€(x+1):o'seobt ienelasoluciónxr 1.
_.26
^/ i l¡b2
.. -26+^/100 l
Sisuponemosquex2+3x - 0, se bt ienenas oluciones "t - u 3 ]' l 24 l
,. _ j-v/l.i _. ,. -3+,0j por t¿nto.hay tresnúnercs realesque veifican la igualdad e 1asexpLcsirt' ,1|^r 2 r .,
) enunci¿do.Asipu€s' xisten¡es rrmeroseales ue erifican lenunciado n
"-3.6Inecuación e ercerg adoy degradosuper¡or res
. Otrocaso aticülaf de ecuaciones egradosuperiora dos: Al resolve¡una necüación egradocu¿lquiera eprocede:
Las únjcas osiblesolucionesacionaleseuna ecuación e coeficientes
¡ r- l n-2 2 -an r +an_1i +nn,:x +,,,+a2x +alx+a0 = U,
son oscoci€ntesormadosorundivisorentercpositivos negativos)eltérmino ndependiente0, paÍido por un di visof entercpositivodelcoelicientepdncip¿lañ
Ejercicio 14
¿Puedenener lmjsmo alor aserprtsiores12x3y 32x2 2|l;r+6'lSolución. l enunciadoeescribe omo
tz\3 : 32x2 25x+ 6 o l2x3-32x2+25x 6 = 0.
Losdivisores ¡teros el é¡minondependiente , , son 1, 1, 2, 2, 3, 3, 6 y 6, y losdivisores nteros ositivos el coeficienterincipal, 2,sor i , 2, 3, 1, 6y 12.Así pues,osposiblescocientesdist intosson1, ,-2,2,-3.3, 4,4,-6,6, 12,12y
Para csolv€runa necuación egradon
unro+u,, ,*nI +u o rt "
2+.. . +ur.2+a,x+a,,10,
se rocedeiguiendoospasosiguientes:l'Se re$elv e a ecuaciónsociada ainecüación
uo"o+un ,t "l+un
,* n2+.--*ur* '*ut**uo:0.
2'L3s solucioneseleminan as artes n asque edividea ecta eal:
( €, xo )u {x0}u (x0, r) U .. . u (x . r ,x,)u{x"}u(x. .+-).
3" Encsda nte aloo seúinecta eelige npunto sedete|mina l alor,endichopunto,de a expresión
untn uo t*n- l+un ,x o2+.. .+arx2+atx+ao.
La solucióneráa uniónde nte alos, emireclasconjuntosnipuntu¿les
para1os uales l valor de a expresión smenoro igualquec€ro
Seprocedee gual oma paraos esranteslnbolos edesigualüd> . > y <.
1l 3 3 I r 22 11 3 3 l1 I It '1 1 t r 'J r ' i 4 '1 ' 4 ' i ' ( , o r) l )
r Eje¡cicio 15AI aplicar a reglade Rufiini con r i, secomeruebaueel resto scero.Además, e ¿eucnúneros umplen ue llcubo sm¿yorogualque udoblemenos ucuadrado?
14 1
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Soluclón. l llamar a ese úmero, l e¡runciadoeescribeomo x'> 2x x".
AI agruparodos os énninos un adode ¿ ¡lesigu¿ldade rieoe t 12 :', O. S.
rcsuelvea ecuaciónsociadaestarccuación, 3+ x2 2x = 0 .
De*3+*2 2* = 0,set ienequex2+ x 2)x - 0.Luego,x:0Deestaúltima ecuacjón esegundo radosecalcü]ael discriminante
b2 4a" = 12 4.r .(-2) = 9>0,y lasdossoluciorcsde a €cuación:
yx2 - r+ J9
La rect3 real se diüde en
( @, 2\w {-2\ w ( 2, 0)u {0 } u(0, 1)u {1 } u(1, +m).
Para abersi x3+ *2 2 x espositivoo negativoen cad¿ emi¡recta en cada nreryalo,secligenu¡ püntode cada no d€ellosy sedetelminael valor de a explesión.
como-3€( *,2)y( 3)3+(-3\2-2(-3)<0,x3+x2 2x<0 enrodo(ó, 2) .
Coño 1e( 2,0)y( l)3+(-1) ' -2( l)>0, x3+ x2 2x > 0 en odo 2,0).
comoe 0.)y (N'r0' r0.0, x3+x2-2x<0 entodo(0, ) .
Como e (1 ,+@ )y z3*22 2.12¡rO, *t+*'-2"t0enrodo(1,+@).
La solución e ¡l 1 ¡2 2x>0 es 2,0] u tl, +ú). Por o anro, odos osnúmerosecseconjuntoverifican el enünciado.
P-3.7Sistemas e necuacionesolinómicasSi sedeben erificara a vez varias neoraciones, ntonces edicequese ieneun sistema
do necuaciones.a fomra de exFesar el sistemaes análogoa la de expresar isremas e
La solución de un sistema de inecüacioneses la int€rsecciónde lassoluciones ecada necuación el sisiel¡a.
Elerc¡cio 6f lcuddradoeunnúmerosmenorogualque.Jr iplemeno" os. eldoble elnümerc
ulque e e hadirminuido nnesunidade. . mayor ue a, rres uanajpanes eese umeÍolll quese e ha aumentado na unidad¿Cuáles on odos los númerosque cumplen estascondiciones?
16
ot '** 2 = ¡.
Soluclón.Sea ese úneroi 0prirncr¡l u 1o clorurciodovéase l ejercicio 2) secscrib
x2s3x 2ytasegundaivéascclcjeroi0iol0)seescribe2(x-3)>;(x+l) .Elnfrm
verifica mbas esigualdades,sdecir, eriñca l sist€mae necuaciones:
[ 1., , .-t
lz6 :¡ 'J t ' * r it
La solución e a primeranecuacións11, l (véasel ejercicio 2), la solucióD c I l
s€sunda¡ecuación ¡{, +-¡ 1'e"* a "¡ercicio 0). como 1r,21^¿+,+ú) t"1resultaqueel sistema e necuaciones oposee olución.Es deci¡,no existenúmero c l qu.
1- ló"t z '- .
verifiqueel enurciado.
E¡emplo 7
La cadenae d€sig¡aldades<x2! x+2 esuna orma¿le scribir l sistema
1"2 x+zI x->1
La p¡imeú necüacióneescribe 2+x-2<0. Su €cuación sociada'**-2 : 0t 1á t. lor ieneas ol conei . - ' - r"- - , \ \- f L Además.como
para-3€ (-@, 2) set iene 3)2+ . (-3)-2 : 4 >0,
para0€( 2, )set iene02+1.0 2= 2<0,
para e (1 , +ú ) set iene2+ I .3 2 = 10>0,
entoncesa soluciónle a necuación2+x-2 < 0 esel ntervalo eúado 2, 1].
La seguda necüacióniene omo olución lconjunto €, 1) u (1, +ó).
{-----------
Figüra .7
1
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L0 solücióndel sistenad€ necuacioneses
. ( ¡ . ) r l .ó 'J , l 2. l IL L.
P- 4Ecuac¡ón ¡necuaciónacionalsi cn unaecuación parecen_expresionesueson raccionesepolinomios.ntoncese
Ejerc¡cio 18
¿Qué úmero e¡ifica ue doble esu nverso lcede n ]esunidadeslnúmero?solución.Al llamar al número, l en ¡ciado eescnbe omo
^ 2 ^2
)\(oc.L¡JrqJc\'0.pue.: roLreDe'enrido i r 0 .A. iprre . .e l rur . ]eroquever i f ique
lr ccuaciónstá n lconjunto {0 } =( ú,0)u(0,+ó).
Alserx+0,podemosmultipl icarlaigualdadporx,quedandox2+3x-2:0,quetiene
r " [n3rn') 2
Estos úmerosracioDaleson osque erifican a ondición elenunciado.
P-4.'1 cuaciónracionalA coniinuacióneneüliz¿mosl nétodode esolucióneunaecuacióna.ion¿l.
Toda ecuación racional se puede cscrjbir cono una ftacción de dospolinomiosgualadacero. sdecir,
I r? 2an ,¡ \
WLas solxciones de esla ecuació¡ son las soluci ones de la ecuaciónpolhómica formada on el nunerador
r) 2 ^a- )\ . . . 'a lx *¿ x ¿o u.
descafandode éstas, qüéllas xe seansoluciones e a ecuación ornada
+b ñ 2x n2+.. .+b2x2+btx+bo
- 0.l
on x +o n lx
Ej€rc¡cio 9?^
t tc* 'ctva aecuación lx ' :0.x- - l
Solución.La liacció n no tiene sentido araaquellos úmerosque anulan | (lcrri irlrr¡,l, fl
¡cci f . para os qu€ cumplenx2 1 = 0, qu e so n xd l : -1 y x¿ 2 - I A\ l t ,Lr ' ' ll
solución e a ecuación el enunciado stá onl€nida n el conjunto
R { 1.1} : ( -4, l )u( 1, 1)u(1,+d,)Para que la fr¿cción se anule, sólo debe ocllnn que el nune¡ad{n $ LL,l, \ 'l
( lc¡omin¿dorno.sípues, *2+x 2:0, cuyas olucioneson
| ¡E ^ l -. ,6\r l
) ) t' ')
Lasolución e a ecuaciónacional s 2,únicamenie.
. lvo¡d:Si la fiacciónpolinómica o esá igualad¿ cero, a ecuación smás iic | (1rcsolver, uessepuedera¡sformarenunapolinómicádirectamente.
Eiemplo02^
P¿-a e\ol\er laecuación :------ l--- : r .seob-crvaquelafraccióoDo' iene'rr 'J,,t ' , ' r ' lxl
aquellosúmerosue umplen 2 1 : 0 , esdecir, d1 - I y xd2:1.
La soluciónde a ecuación el enunciado stá ontenid¿ nel conjunto
R { 1, } = ( ú, l ) t ] ( 1 , 1)u(1 ,+4).
comopara ada lemento dees€ onjunto e iene ue x' 1 + 0, resulta ue epuctl
multiplicar a ecuación or x2- 1 quedandoa gualdad
)- )i \ 2 \ l - \ | 0 . r Lnúmero ueno pertenecel conjxnto onde stánas soluciones.uego, o existe úmcrrealque €rifi ueesaecuaciónncional.
Ejemplo2l
. x2 r lPár¡ csol\era e.uacior
-
-- : - - - i 'e ob:c^¿qu e a primeraracción o
' i . - ¡se¡tidoparax: I y la segundaracción o icne entidopa¡a = l.
La solución e á ecuaciónelenunciadostácontenidanelconjunto
18 1
r i nxqn ., . r , t1 |\tt||tt\
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R { 1, 1} = (-6, l)\ ,( t , t)u(l ,r@).
. i . , : , ]h,{: . ' ,ü9acleTenloeese onlunroe ene ue | : r , | . resutraue epuederürl l r t ' l ( (i c a orma iguiente
( r lxx r l )=(x- lxx 3)-+x2-x 2: x2 4x+3+3x = t-r- =:.
I rrcuohúnicasoluciónesI.
P4.2 Inocuac¡ónracional
,\r .1,urrr neclación.¿parecen\presronei ue on fracciooesepot inomio
,r fc r tr ' r \ una necuac¡onacronal_
Elorclclo22, (.).rú úmero erificaqueet dobte e u inverso s mr)or o jguatqueet exceso n rres,,r i (hr( lc\elnúme¡o?
solr rlón. Al llanarx al rúmero, l enunciadoeescribeomo
"¡- ? o \,1 ¿- o o '{ ' l "-: .0
L inecuación o tienesenrido i x : 0 . Asípues,el nrimeroquevedfique a necuación¡rrúcnelconjuntoR-{0}: ( @,0) -r 0,+6).
l¡rraqüeuncocienteeamenor gual ue ero. ¿benótamenteosposibilidades:
s,={ ' ' . r ' , 2: o o s,- ] \2 -r \ 2 n.I x>0 - t x<0
l : lso lucionesdeJ\ 2-0sonr. - ,r f i r "r - ,) f
I r sotr¡cióne r? r Jr 2: 0 e" el ,nrerI /r
'/F
úalo [,--:----j!-. " -v'']. por ranroel
,irrcmae necuacionesr tienelasoluc;on0, -11@1.
l- asoluciónex?+3x 2> 0 esel conju¡ro-,-3
-Jv,ur-ztJi ,
rlnto rsistemae necuaciones2rieneasolución *, ,-fr,.
I-asolución e a necuación¡cional sel conjwto
¡_-, rfrluro, ,*añ1.
t0
+@), po ¡
'A{,oI l inU|c(nrgcncr¡ l iz¡nrosclIr¿t( 'dodcfct i 'Lució¡deun¡ i¡ccu¡c¡ht¡ctrr¡¡1.
l'rr¿r csolvcruna necuacón racionalcomo
0r , ?x .. . ¡ \ ¿t \ a, ,,. f f i 'b,, \ '"
sc csuelvenlpardesistemase necuacionesolinómicas:
| . n 1 ñ-2 2lx +a m 2x +.. .+42¡ iatx
'I
r , ' ' - u" ,. ' b, . : 'n h.r L , , r
l2. la . \ án r\ ' . . . ¿2x arx a I'ó1=1
- | n ¡ l
Ib,\ ' b, r \ ' b, - \ ' - . . . b.\- b \ bu 0
La solución e a necuacióncionales axniónde assolucionese osdos
Ejemplo 3
.2 . , tP¿ra esol\erd necJdcion-_', - , pf inreroede,cana¡oi p., f lo. , , , : , .-
cualesa fracción o ienesertjdo; ospuntos ue¿nulaú l denominador.n este ¡so. ¡
solución e a necuaciónacional stá€n l conjunto ú, 3) u (3. +-). Aconlinuacióo,
Seprocedee gual ormapara os €slantesímbolos edesigualdad .:' y <. si brc|ernibianossignos n1os istemas.
Casosencillos onaquellos ondeosdosmiembrosc a gualdad ondistintos cccfoIistos e o¡respondenon osejemplosigl¡ient€s-
J,, '=u,**o* ' - o.paraodo . R.
x 3<0 > x<3,
(-ú,3)-
( ú, 3) (3, +ó).
r l+3r 2 l .+o.^
"]
= '
2
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I ' rn t ¡ I r r r . l ( . l r { r l rn r '1 , | | |L r t l r r r ( . ( r i r | , , i , ,1 | | , r ¡ , r r r l1 | | tc rv,, ( / . .1 )
F¡írl,b 14
l i , r , , r fa, l \ , , l , j' i . . "0. ,^"q.e '¿pr imerar ,¿ccior ¡ , r iener I \ ' lr r l ¡ , l , t rLr¡ r \ r l i r rcg ¡( l ¡ l l . ¡cciónnor icnesen¡ idopara¡ t.
Lr i , , l r r ¡ , r (1. | i | ( f I l f i ( i cs l i r ontcnidanelconjunro
R I t . t |= ( 4. l ) ! ( 1, l )u(1,+ó) .
| , ,1, , , / , , . 1,1.r r( t , .Lt . { r ' . , , t \ .J orra. iJLienre.. :
' l ) : '_ j^. ' \ 2)r r l , { \ t r , \ Jr_n_ r l l o | \ | \ I \ | r \ t ) , \ t , -
",I
r ' r r i rLtL( ' ( )c ic lcscaJn yor o igualacero.numcrador denominadoreben ener trr , f r t ' ¡ | l ' l l , , sr ucs.h¡ y do sposib i l idades:
^ f3x 5<0- f3x 5>0
rr=l , o 5,=l rlx- t<0 - lx ' t>0
I l l ñ , ' l Icón cl s istena e necuacionesr es
5(ú, i l / ¡ ( r , t ) : ( l , t ) .I r sr )Lució cls istemadenecuaciones2es
I , - rt ¡- l ' r l ' ' r l -- ; ' r '
Aslruos, la olución e a ¡ecuaciónacionalcs
s{ r , )u t ; ,+€)
. vr , , Fr e cd.odeinecuacione,no(.1\ ieuen,ut l ip l ic¿rcncn¡, , ,puc. loquepLcdeque\ ' . i , (nr¡ l , ip l ic¿xdop.r rL¡númnonesaf i \o.)esoha..e iret ,ac. igüat¡"a*;b ie.
P-5 Ecuaciones xponenciales logarítmicasScdcfinió apotencia e exponenle nterod€ unnúmero eal,a' con a * 0 -cor¡o
a: L ya :
sicDdonu¡númeronaturaly0'0.Tambiénapotenciadeexponenteracional
I-
co n > 0 cn cl caso c. lucn sc¡ ur núnrcro l t f Asi pt lcs, ucd¡L|r r tuf |o l( r r { Lrr '1r rr l
cxpo¡enlc c¡ l" qu e no l lamamos otencia il o qu esc dcnonr intrx lorrcrr f l r lY |nr | l ' n '1
deiinidapara > 0. Para ualquier úmcro ealn scdeline I^ = I
D€finición. ¿'r"o¿s,¿rd¿Sca a un nírmero ealposilivo (a > 0 ) disrrrrlo lr
uno (a+ 1 ). Paracualquiernúnero real v > 0 exlsrenn núnrcñ) c l t lrrL
Además,sip¿rat>0s az = t,entoncesy' l
La expresióna' se denominae*presránexporcntial del número rc¡l 'l' v $i|.i I fri(
sentido i a> 0. Ademása" > 0.
Definición.¿og¿rfmo. Seana> 0 y az = t . Alnúmero z se e reprcsenlr
mediante log at . quese e e lagdrítno en b^e a del n¿iu¿rc t Ademas.
loga(Y t) = loeay+ logat
Laexpresiónog,t sólotie¡esentidosia>0,a+l,vparaYaloresdetposit i los(t
Eiemplo 25
El valorde a exponencial- es ácil de obtener uando esun número ¡tero p¡lr
! : 3 vale8). Six esun númeroacional ' puede er n númeroüacional par¡x - 0 5
valc^E ). Resultamuydificilens¿renlvalorque omacuandoesun¡úm€roracn a|
De 2n podemosaber¡ue8 < 2¡ < 16,puesto ue3 < ¡ < 4
Ejemplo26
A1¿plicar irectamcntea definición e ieneque ogr00.001 3, logr00,01 : 2
1ogto0,1 1, logto10: l , logr0 100:2,1og101000= 3'1ogro10000 '1
Análogamente,ue1og2 ,125 3, 1og20,25: 2, log20,5: l, log22 = I
log24:2,1og28 = 3,log2 16:4 .
I
",
22
. l r ¡l a r l:t |r1htt,. \ ütn't!¡rrltllr t' k,ktltltttk\t!
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l rrrr l , i i l rñ(.lr f l r .( tnc lo80.r l0(10 .t ! t( ' l l r ,r x I
. ll l i , r j | l l1 ( ) ( lc I úrr rc( )es u¡ nújnero.uya paíc eureramdicaet ofdende nayorlr r l f r r l ( l( .1í hxs. quc cs nrcnofqu c eL nxmefo.Es decjr .s i 0<x< 1, 1ogt0x<0, si| \ 10. l r . l , )8 | l rx< | .s i t0<x<100, I<iogtox<2,yasísxcesivamenle.
l\'0lir(l¡dcs dr expon€nci¡l€s
, " ryl
Propiedadese ogaritmos
logal=0yloraa:1
log¡ (a^) = x
log! (y. t ) : logay+ loga
rog"(I) rog"y-rog"t
( ¡ ' ) ' = ar ' - conn€N loga(y"): n. tosa conn€N
I1oc"(15): I loeuy oo.N
1a' ¡P: aP " conpen losa y¡) = p log¡yconp€R
]. ! , { , ¡ . Ur r erp e.rúr ono 2 nor¡ene enridootno .,renct¿.re,toouca.t \^ i l . l ( \ terpr(rrc ione.ee5ta \pre.iónon,l i . t inr¿s
dos
r2( ) | 2 2 b4 ) 2' - 2- .5 t2 .
trmpocoiene entido nexponenciales.ayqueesc.iO;. z*¡2 o 2(*')
Eletcicio27lisconocidana proximacióne os úmerosogto2 = 0,301030,oglo3 0,4i7121
k's 05 0,698970.eie¡mi¡elvalor e os úmerosogto45, togt0144, ogr0 ,24.
24
logl045 = loglo 32 5) = 2 1ogt0 + logt05: 1,653212
log,o144: iogro(22 32) = 2.logr02+2 1og103:1.556102.
^1 .logr0u.24 lou. ,
, lf tog-, : l loÉlo1 2' o.blq 8q
'" l0_
' lr'¿ld.Aunque adabaseefine n ogaritmo istinto eun misno número . sesLrclemplear eferentementeos iposde ogaritmos,os de b¿s€ 0 y los de basc l númcrirracional (número eEuler, 2.7182818284590s23536028't113521 ).Eslosepucdcomprobarmiündo el ecladode unacalcuiadora ientiñca.
Existe nFoblema on anotaoiónara efe¡irse estos os ogarihos.La notació¡ su¡parael ogar¡tmodecinal es a utilizada en este ibro logIox , si embargo n as c¿lcuador¡
está a ecla og pamcalculares¡e ogaritmo.
La notaciór parael /ogd¡ítmoneperiano enbasee), esmas disparpuesexistendistint¡se¡presiones dra epresentarlos:og x geÍer¿lnenteen a ite¡aiuranatemálica, Ln x y l¡ x
en ibros de erito.Las calcüladorasisponen e a ecla n paraesle ogaritmo.
Cambio de logaritmo,De la igualdadutotJ: r, ul tomar ogaflhosneperianos,e ien€ ogat.ln a = ln t, esdecir
NotashiBtórlcasLos ogafirmosuercnntroduc¡dosor el natenáttuo scocés. Napier 155416I7)Etl unasnotasde sus rineros trabajos aparccea tabla
E etla, k^ númens ensralía rcmdno cprcsentanel losatitmo en b^e 2 del núnc )arábisocatespondiente. n 1615el matenáticoH. Briggs 1561-1631)ug¡r¡óNapierqueülara la base 0 para sus logarituos" pue.sto ue el sí.srd1alec¡nal erel queseusabaentonces. apier em?leó 5 dñosen completaruna dbÍa¿e ogariha!en base10. Tobk qüefue¡nmediataúente tilízadacono herranientapor lo! .^tróh.,
solución.omo45 = 9 5=3- 5 .1 .1 ,1r¿ r j . ¡
r ' 2 .r -y0.24- i ; ; - ; .
I II llt IV VI
2 8 18 32
r n .r , nr t r t r r r r
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mos, tales cono D.T. Brahe y G.J. Kepler, acostumbrcdos a tntttu ron kx arantlcsdneros de Ia! ¿ist4ncia, interestelares.
P.5.1 Ecuacioñesoxponencialesy logar¡tm cas( n¡ ecudcion n que¿parece ra e\ponencia l e ld incógn a .e .ucle lamarecudcion
f¡ r \ 'nencia l .De fb-na ¡ná og a i ao¿rece n logar iuno e ld incógn a ,e l l¿m¡ecdJciónl , r r . , r ¡ rn ica n ge¡eral anro ¿. ecuacione. rponencia 'esomo as ogdr irmr. soloso nnh,! r l ¡b le. mediantemetodosnumer icos e aoro\ i¿cion. 50lo u¡ DequenoiD o defr , . r . ,o, )e.
-' n 'e.o luble"or merodu\ lsebraicos.qLret t¿.ate.qL edt pt i ¡ar dtsuir¿. l (
l¡rspropied¿dessiguientes sepueden ansfirmar en uná ecuaciónpol'inómici.
Propiedades€ exponenci¡les
(a¡) i = (ar) i conneN
4 = :) ' ( t ' )^ =+ conn€N
^'F:c^ni- t"'f = ")"
Elemplo23
En a ecuación *-2.3x+2+8I = 0 , observamosue esencialm€nre"óloaparece
unaexponencial3x,puestoq, ' .e'=: '?¡*: (¡*) ' ,y: '* ' : :2. : ' : q.3".
Entonces,' 2.3*t2+81 = 0-(3')2 t¡ . : '+8t = 0-T2 l8T+81 :0 ,
¡rlhacera sustitución^ = T . Al resolveraecuación e segxndorado ¡ T se iene naúnica olucióncpetida os eces
* le "0 -|=---._: | '=
Port¡nto, 3' = T>3' : 9.r3'
rpArccc n ogar i t rnoog t, ,x. pt 'cstoqucog' , ,x' - 3 lo gL0 Portrn lo.
log, , ,x l 2 log, , ,x+2:0>3 logt0x 2 logt0 x + 2 : 0 > lo glr ) I2
logtox+2 0+log'ox: zet: ro '?= fr .
Ejemplo30En Ia ecuación 1og'ox log¡¡(x2+x) :0 observanosue htry l( N rr lr lr lr rr
d srintos nose uedeeducir uno. ntentamosstáblecerna gualdad c os¡ 11r('s
3 Jog,ux logro(x2+x):0>log'nx3 log,uix2+x1 = rt'
=log,o*3: logrolx2+x¡>x3 = *2+.=*l *2-t :0.
y, por anto, lproblemauedaeducido esolv€rnaecuaciónoli¡ólnica:
x= 0
" t^ t.Abo¡a ien, i x = O n; * : I
,f. o son olucionese a ecuaciónnicialpues() lu
pame,o.número'ooe'r¿def inido<llos¿rirmouegoa'olucróns - + "
* l * t -r = o>ri tz x 11 o-r .,6
2
lr, i i2
2
Elemplo29
En la ecuación ogro - 2 logl l , + 2 :
2i
observamosque "esencialmcnte"
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Tema .Funciones lementalesl)
Lsteema.e edrcalconceptoe u-ncrónundamenralenalem;l ica') n as(reoci¿
npiii¿"J. i!-'iiü J i'iu¡lro de ra' ñ¡¡ciones remeoLnl€s'e rasque anarrzsremo'rs
caracterhticasrepreseotacLon-rarca
l-l Conceptodefunc¡ón
E¡isteunaciertadependenciantrecantidadesadablesquedescribenenómenoslsicos'
:l*r:r;*kfu i,*l'*xrn:l"l'J,x'tri:ii".l'n:.:,:'ió"nli"¿ i r" *¡1.'"¡lico
v l¿ emperarumelcable-, i l ' ", .r . i "" ' , t ' ".o.uácanridadrariablevdependendelosvaloresdeolra\aria
. iii,"J,"lá" .l*. ¿i.¡a' vatia¡les sconociila é orma lamsehabla eu¡a rer¿cr
funcionalentrex eY.
De modo ormalsepuededefiniruna uncióncomoslgue:
",:"ynzu;:"1:n,:,"!:''T*:Xfi: :ljJ'ü;!ff:i,:íru:iíilil;i!,;;ñ;";-i.üi, ¿i
"'ig""n.-,ada remento'A unúDico
i lemenrobeB.;zage¡de¡.quel lamaremosla ) serepresent¿:
f :A+Ba+ (a)=b.
," :"?iTt$l:T:i'ffl,ld,:;fl?l;lT:i:i,l:i:;ilt''T:fli:fly=f(x)=60 x
,*:,;;;2*::"ff"::"w
:Jiffi*;*tr"i:i"xlfribk ndepndknte
"'v"'se't
Una unciónpuede€xpresarseambiéndeotras órmasi
2
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.l )\4cdiae un rc\ro. I n¡ de,c1p. ión erh¡ t qu e JerJ. .d , : . t i r . , r JT(nte cor . ! j \L
r" l ( t r "n.r r á\ dos ¿f ables. ' r ,MLdialre raf ica. : a I r t , , rmacróre da ncuis¡reLrnaep e.eruciónen unsrc. . . rn¿eL
' ! r rh l l rc¿sco n descata decLrad¿os ¿tores c dr anabtes
Llomplo1
.l ) r ,1. , .JtümontdLReDRdef inrd¿pdt( \ | \ .e.L¡bendeir idaporq
. | .1 ' , t I I . ' i r ic id l . donr .nro . e lconj ! ¡nron¿tR) ta rgtaq.Leade.err inalasocrararr :a
Nlriü1) ¡ear su cuadrado.obsérvese que f(R) = {f(x). x € R} es e1 conjunto de los, , ,Lr . r ,s redl !_\ osrr \ , ¡ . .co¡ ct cero.cr o e. R ,t 0 q e. Lrro \e ob.ena es Ll1' - i ' I tur rooet conJr to nJt .
l ' í ¡ derenl i ¡arcomple.anref len¿ f i ,c ió¡ c. et coniunro-nr( id l' { , r ¡ . romd \,r ,orec ¿ \ar iabte ndepeidienre. conjunroLnat aorde .om¡ \ator* tavrLr ' r :U. oeperdrenle t¿ eCld ue permir(a\ocia a caddetcmen,o Jt conj nrr i i rc aJ uL{ ( \ t lon ' i rentemaaen D l inal .
,\1.1{ unrodr ospo^.rb le.atorc\oue l¡cJeonar arar iao,erndependen,e.e, lenomina
¡rxr fu o cJmpo e0ennrcrone ¿ uncrón . .anrpoce\ is.en( i¿, ced(notdDo rDomlD.
^ lúr , ru1rode oa¿. s imá;enesc re ana ,cco; ,d" ,, ¡ r ,g, , ¿. '1" r " , " iá, , , 'v ü."ü.
¡ r { r ) .
\¿otas istóricast,apatdhl.lfüNiót|1 e ntro.luc¡.ta l69lpotG. t:t¡. eibn¡z t61tt7t6) parc ¿leno_tdr und cant¡.ldd asocídda a una cu]-va.Atrc.tector .te I 7 I, J. Bernoüitti (t 667 I 718)cons deñ Ia unción como una e\pres óh atgebraícaJo,tnad" po" con"t^tes y po, u,avdr¡able. Ld! ecuaciotles o fórnutas con onsranks y wridbtes apatecieron (tespuésen L. Euler Q707- 178r. En et trabajo rcatizd.lohacia t 734por Eutery A. Cldiruu¡(1713 1765) se encuentrd tanbía ta notatíó,tf(:e) que tadarid seusa enta actudtida.l.Se a sidera que Agustin Lauis C.tuch!, natenátí.o Ílanc¿s nacj.ja en parí! en t789,proJesoren taplestiqiosa Escueld Potit¿cnica de paris,fue el que senró to\ fun.tdüen-tas rigurolas del Cálculo tjlodemo. Cduch), y sus cantempoláneos .fueron quienescamenzafon a tfalar con rLgor conceptos c.,mo e] de itk.ión r tinfte de una litnc¡¿)nque hasta et nometlto habían sido utilizadas lin un sentido totatmente preciso porndteüáticosqnter¡ores. .C.L.Dir¡chtet(1A05-1t59)es abtecióund.lbrn;tacíónmájrísurosa .le las cance?ras .Ie wliabte, linción y colrespolldenc¡a entrc td wriabte¡n.lepend¡enrex r I.t .lepend¡ente! cu.rn¡lo = f(,). Lt eltu.lio .je Dirichtet .lesttlcó Iaretación entre dos .anjunbs ¿e núneros Con et desanotb de td r@/ía de .onjuntosdurante los sislos xIX y XX, se esrabteció ta senerutjzú¿ión .je fundón coüo ;n poespecc! .le ap cationes.
t ln cor¡ ! rn loM dc núnrcn)s r i lcr t ,s lc l l r r ( lopi¡ M
fser i l ) i r¡Drbi¿nom o 'gue:l\ € Z. \ !\ fJ , i , s( ¡Lt,l .
M - lx€Z xcsPaf l .
lo uucse eerM cs el conjuntodetodos os x pertenecien¡esZ ¡dl¿s ,¿ x esp'tf Eslosc hr'¡
i.r gorcral pamconjuotoi delinidospor ünapropiedádP(x)
lil conjüntoC : l(n, n':) n e N) ¡ieline1a unciónque¿sisnaa cadaüúmeronrrurrl, rr'
sucurrhado, (n) : n2.
Iln este elnase estudi¿n lgunasünciones, eiinidase¡ subconjuntos e R con ¡lor'\
'rlfl,que ll¿mamosr".i¿,¡¿.! ealesáe wr¡able leal
Alguas veces a dcpendencia
dichasariables, bien como
Yvdrbbledepencliente:
: f(x), donde x"vendrá descrii.tpor una ecuacron nes la valiable i depenlíente e "y" ld
Ejemplo
x2 4, correspondea Lrnción:R + R, f(x) : x2 I
Eiemplo
La unció¡ (x) : +^,&¿sociaaa¡lanúnerocal ositivou aíz uadradaositiva ¡que, alvoque e indique 0confarioo lo dctemineel contexto e a situaciónlantead
úa¡¿r, 'emo'ie.pre lobre " ' rurrero'eales l Jorn,nroec'ra tu¡ció¡e'á lorn¿'
.olaienre or o' oumerc.eare' ! , )¿'ar lc.udÍadr \ isle c' decir .o' nurnero\( r l( '
positivos el cero. ortanto:Dom(0 = R-!, 101
Para odo subconjürtoC cont€¡ido en el dominio de rura unción se define su imagc
Detinició¡.Dadoel co¡iunroC g Don(1) sedeñne u mag€n(C) comoeI
conjunto:(C) : {fc),x É C} , queobviamentestácontenidon mfJemplo2l-d ünción. : Z + Z, f(x)
0
Detinición.Sedenoninaunción eatde variableeal a toda unción de rrrsubconiunroo vacloA de R, d€nomi¡ado ¿r,¡r;o de la tunción,en L'n
conjuflo B s R , d€nominadaoniunto frnal de la función Par¿ eprese¡trfuna unción tilizaremosanotación:
l lA+Bx+ (x).
:2x asocia cadanúmero nlcroun númeroenlcropar. E
4
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l.mplo 5Sfr I hr unciónue cada umeroeal e asociaucuadrado.srudiaremosA) pa¡aos
UrrrcrlcsubconiuntosdeR:
( i, rno N rr lt rgc¡lc rr r irn¡cio( ol)r icrr .l rrLsli lr lr r1r crptcsl(1rr1x
lorr¡ po r icho únrcR).c ic|c:
f ( 3):2( r) ' ] I t9. f ( l ) l ( l) r l-1.
y.¿nálosanlente,(0 ) : t ; r(2):9: l1s) - 51 v l( !4¡) = 13'
Luego, (, \ ) : {1,3,9,19,31.51}
l r ' l lL l
)A { r,0,23} b)A: t 2,21
| ll cxpresión lsebraica e es: f(x) = x'?.
n)si^:
{ I, 0, 2 3} , entonces
c) A : ( 3,2).
-l 2 3
(, 1 0 9
l' r , f tanto,(A ) : {1,0,4,e} : {0,1,4,e\ .h)siA : [ 2, 2] como lcuadradoe odonúmero sposirivo c€ro,
f(A)= {l]x e t 2,2l } = to, l.
()Análosament€,i A : (-3, 2) entonces(A) = {x'?l* € ( 3, 2)} = t0, 9)
orcicio6
I 0ll¿t ldoninio e a mción ue cada úm€roeal easociau nveno .
'lüción.l unico úmeroeal ue o ienenveNoselcero, or anto s ambiénl único
c no iene masenmediantestaunción, sdecir Dom(i) = R- {0} .
Olra orma de verlo, seríaconsi¡lerara erpresiónde a ftnciOn: f¡4 = 1
k)r0,en aexprcsióne resulta l cociente +e no iene entido.
EjemploSLl¡ lorn in io e cualaüicrunción olroomicr .lncione culde\prc\róne' r rnpol i" { " r '
qL ce' rudiarcrnosá. iarde. ' e l cónjur tode o ' nurnero ' e¿lc ' Para l caso e : l r ' " I
rlx) = x2 + 1 , el conjunto Im(t) está b¡mado por todos os númercs ealesm¡yofcs ('
iguales I , ya queel valor de *2 pam x un número eal essienpremavoro gualquc cerrr:
* '>o =*t*1>l-
f l t ) > l .
'l-2 Gráficade una unción
Dada na unción xpresadaedia¡te naecuaciónel ipov : f(x ) ' la gráfica cd ch:
función selconjunto epuntos
elplano,
{(x,y) l y: f (x), x é R} = l(x' f (x)) l x€Rl
Cadd ar eesre oniunroeDrcLenrdnpunro en el plano árte' iano'" r
lr \ : i rl 'indeoenoienrceneleied\.jeaeaUs.s, ' ' adependienreenelejeOYrJdeo-l"r ' r ' ry a cada alor sólo c conespondenúnicopunto.
Figura .l
\i a lora con.r ,1<ramo.l coDjunro e Lodo' os pJnto ' ob enidosde
obrenemososubcoDjunrodcllanoqLcla iúaremJ.r¿t i . o qtutade :
Al sustituir l
orc¡cio7
Sca f:R-)R que asociaa cada número eal el doble de su cuadrado:LcrmíneseA) pamelsubconjunto = { 3, 1,0,2,5,,v4ó} deR.
lución.La exFesión eesta unción s: (x) = 2x2 + LScdeñneel corjunto (A) de a orma sigüienre:
v=(tP1=(xr, f (r ir))
f(A) : {f(a)la A} : {f( 3), (_1), (0), (2),(5), "4ó)
3
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.li,liili3l;,?Ílilii,*,,"'' r{ ,R.c ,,¡,.,,¡¡lr.¡ r. ,r -¡". , , , , . p ,@.. usnJIU0üctr \ igu ie l ( . t r r rr :
I tx .yte R' : ] =(x),r€Ri
Ejompto
,,,1,''ttid*"n.* u u*ión f: R+ R, r1x): Jx r ; 1á ráñcaeestaunciónasa or os
-2 -l 0 2 3r(x) 7 -4 -¡ 2 5 8
Elerclcio 0Dib!¡ar ld grálicade la li,mción uc r cadanúmcrt rcLrl c asocisel mis¡ú númcr1) lls sL
Solución. -ista unción pucdeexpresarsc naliticamenteomo ¿ funciónque a cad¡ 1rúnr'rt
rc¡ l r lehacecorr€sponderf ix) ,dondef(x) : x2+x si damos lgunos alorcs a va i r ¡ c
x. cnlonces alculamosos correspondie ntesalores e (x), obtenieDdoa siguientcab ¡:
-3 2 -l 0 I 2 l
2 0 2 ó l2
Esta abla enúmerosepuedenterpretarotno n co¡junto epares rdenadol
(-3,6), 2,2),(-r,0),0,0),(1,2),(2,6),(3,2),
o.ree dibuiJn nel Dlanoom o u¡Loseesle l¿no o\ p.rnlor c '¿ dbla'n:r ' odo' "¡ io,r lte. aie. enumero:e a orma . n rr dibljadoc nel pl5 odeeje'O\ ) o) 'l
rlugarala ráfr ad€ atunción.ilif*fr":ft
'"',:*''*,"tfii+ü.;*il::*É}?:,i'i{ffi
i
Fi g ra 1. 2
n ¡, e iempto ¡rer iord lraf ica,r " " , . . - - . . -ti ciones,¡ue,mo. coí.i;.r;; ;#:;::i::,T,;:iI; ierubffpon', n¿)ondde
Es más ácil tnbajarcon tuncjones recordar uspropiedad€s caracleristicas'conoce u epresentaciónráfic4.
Acontinuación,epresentanasgráficas ealgunas¿ncio selenentales
3
Pr (1,2)
Po= (0, t)
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1.3 Funciónonstanté
EJomplol
Lrssrállc¿selastunciones(ri) : I ,
I n srn Innción, cualquierúmeroeal e conespondea mism¿magen,. Sugráfica s||rll lncu ccla orizonlal, ue ora al ejeOY enel punto 0, k.)
g(x):2yh(x.) : ]2
Fieura .5
Si b = 0, entoncesa tunciónafin es ineal Si a =
función coDstánte ue toma el valor b er todo punto x
1.4 Func¡ónineal
L-asfuncioneslinealestienenporecuacióny=ax,cona+0.serepfesentame¡l iantel l l l ¡r cc uen.la ueel.(oefic ienre .e l l¿ma en¿i¿rteeta rccra.orqueonJicionadIrürnacronee\ra. s ecrf. rdea octrn¿crónedrcha.cclason espcrloleje .
l-5 Función fín
Las ünciones ñnesienen or ecuación = ax+b,con a+0 y b+0 Se epresemediante na ectaque iene as siguimt€scaracteislcas:
a) El coefici€ntea" se lañape .liente e a rccta, orque ondicionaa nclinacióne1la, sdecir,mide a nclinación¿on especlo lejeX
b) Al valor "b" se e denomlÍ| ofttenadaenel ofigen,ya que elpuntode cort€con el eje Y
es 0,b) .
Delinición. Las/rr¿¡o'¿s ¿lt¿s son las de la forma I R + R tal que:
f(x) : ax+b, donde y b son númeroseales uese 11amaaen¡lienre
oftlenadaen et ofigen, respectivamente.
0 entoncEsa tuncjón afin esde R y su g¡áfica es una rect
c) corta al ejex enelpuntoll,
o) y pasa oretp'nto (t, a+t).
Esfánclinadahaciaa derechai ¿ > 0, e nclin¿dahacialazquierdai a < 0S a = 0 la ecta shorizontal correspondea gráfica e a unciónnuta.¡logeneral.asgrálicase a unciónineali
-CortaalejeXenelpumo0,0. ) pasaporelpunro(1.a).
- Estánclinadahaciaaderechai a > 0, e nclin¿daaciaa zqüjerdai a < 0
Itafinición. Las uncíonescorsldr¡a son as ñmciones ealesde variable €alcon expresión lgebEica (x) = k, siendo un número eat cüalquiera.'l nrbién eexpresanoÍro y = k
36
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EJemplo3
Las unciones(x) = 2x+1yg(x) =;x+2
sonafin€s , por a¡to,sus ráficason
Ll,roasectas. ara ibujarlasólohayquedisponer edospuntos:0,b) y (1 .a+ b). Esdecir
l r l inción pasa or 0, ) y (1.3). nálog¡lnenlc,a irnoiónpor10.2) r . l
Figura .8Eremplo2
si l gráfica e1a unción ineal (x) = 3x se asla& \,erticalmenteosunidadesaciar ihtlscobtienelagálicadelafunciónafing(x):3x+2.Porantotrasladarhaciaanibafs surrar nnún€ropositivo a unciónx)y hacia bajo s umar nnúmero egarivo. Ejercicio 4
ReFesentar assiguienlesirncio¡es
a) (x.)= -x+ I
OhC) ,x- i
b)gG)=3.
d) ( \ ) = :x +;z5Solución.
a) Es una unciónafín conpendiente : -1 , por tantosu gráficaes üna inea ecl
inclinadaa la izqüierda.Como suordenada n el origenes b = 1 coÍa al ejeY en el punl
(0, I ) . Con estos&ros basta onobtener tropunto: I ,0) La figura 1 I muestraag¡áficad
. .2bt | ¿pendien,er a
!.no r nto.ucrafica nnd ineaecra¡cl inada aJereLha
ordena¡lanel origen sb : I . cora al ejeY enel punto 0, r )y pasa or (1 . l)1.
figura I .9muesrraambién3gráficade a tuncióng.
c)Esun3ñrnciónli¡ealconpendiente¿:2,sug¡áfic¿esunallnea¡ectai¡c l i
izquierda.omo suorde,ra& n el origenesb :], -* "r "¡
v *"l
**" (0 ,i)
comoh( 1) :i r t r ( t ) = ..
í ,resul¡al¿snif icadelafigural.9.
f(x) : 4x+lf(x i:4x+1
Figura1.6
3
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rlt b - j , por antoorra l ejeY enelpunroft, ) . er *' r" r",ai*t" "=
3,.,
srirlcn suna ectarclinada aderecha.on osp,... (r, fl t fr, fl , * n*a"r!,nplotür agntfica e a uncióni:
Elercicio 5Sabiendoue a ecuación araobteneros grados ahre¡leit, ,y',,a pafir degrados
ec,)tigrddos.x'i.esy :;x
+ 12
a) Indica 1a enperatura en gradoscentígradosde New York un dia en el que sulcmpemtura ngradosFabrenheit sde68.
b) Representasta uncióngráficamente.Soluciór.
a) Sustituyendo l valor de la variable dependientegladosFahre¡leit), y : ó8, e¡ Ia
tL¡nc,ó¡.esulraaecudcioneprimer .ado: a!'
r t: . n.,ot ' i .ndoesraecu¿ción.e
s,<r¡ lr ''briene. '* - - .20 Porunro.latemperaruraengmdoscenrigradoserde20.
b)Porlaelpt€sión,sabemosqueesunallnearecta,quecoíaálejeYenelpunto(0,32)yq
.tueestí nclinada la derecha; upendiente,<, espositiva.Con esros ¿ros, el punto
(5, 41 ,reFesentamosa unción:
1.6 FuncióncuadráticaLas unciooe\e'egundorado ñucione' udd-ráricaton qu€llas€oas ue a ariab
- ".É;1.;;¡;"i .*d;d". e; decú,aquerlase¡nrdas or Lrn olinomio e egurdogrdd"
Definiciótr. Se lama/&r¿ón cuadrática^qu.ella
lte ie¡e comoecuacron;
"
= ¿a2+¡a + c, tlonde ,b y cson úmeroseal€s,ona * 0
Empezaremoson as mássencillas:as del ipo y = ax2 cona unnúrneroeal' a + 0
La 6áfica de este ipo de funcioneses una parábola, cuyo vértice es el or¡gen de
coordJnartas.Cua¡doa > 0 , laparábola stáorientaü haciaaniba(sedicequeesconvexa)
! si a - 0.lapanibolasr;orienradaacia bdjo' 'e ce ue s órrcaval
Elemplo l6| '
;1".¡ 'z^2Y htxr - 4x ? en Lod¿' lrCoosideremos¡s tuncionesl\) :¡\ . I
¿ > 0 . Elaboramosna abladevaloresde as es y obtenemosusgráficas'
Figur¿ i0
Figüra1.9
40 41
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Sime!r iaespccroalejeYMá sadelantecrc lnos uca ¡s unc ioncsrr crcrrcrc . rapropied¿de e' larn¿u c 'ones afcs
CuaDdoa>0:
Inagen: osreales ositivos el cero.
- Alcanzan€l valormenor mínimo' enel puntoV : (0,0), lamadov¡d iec'lr
lÍparábola.
Cuandoa<0:
-lm¿gen:os ealer egdr ' \ i
)elcero
Alcanzanel valor mayor máximo' €nel puntoV - (0,0),llamado ¡rrr' I tlt ll
Parábola.
Ejemplo T
Losvalores e as unciones(x)
n <-0, seobrienen ultiplicandoos
Figura .1
= lf 'uo,='"
valo¡es de l¿ tabla dF1
: 4x2, en asqu e
anleno¡ po¡ L Sus
Ejemplo8
La ordenadae a unción (ri) =
f(x) : x'?, pof lo que a g¡áñcade
unidadesagráficad€ f(x) = x'?
\ -3 sepuede brener.urando d laJc d rr t rr{r
sr\ ) \' I .e obriene á' laddDdo ¿cia 1\ | ''z y l(^)
.¿da un ¿ eel las . . imerr icd erpecrotejcX de agr d ica ue iene.u nirmo. ef icrenre
iJlls'#f:,::*ü::.iil:+'mprore rrrsónime*rü;iüuriii":irii,,p"iil;i:j:.i:
. L¿s ca¡acterlsticasenerates e ias fi¡nciones = u*2, pu.u cuatquier ¡tor del
Figura1 13
. La parábola : t2+k ,e obrienensladando eficalmente unidadesa parÍbol
y = *t . s i k t 0 un"rlacións acia iba,ysik<0,haciaabajo lvértic€e anucparábolaeráV=(0,k) y suejedesimetiaelejeY.
42
- Domir io:el conjunro e odoso. numero. edl . ".
l tt t t t rrrh\ t,thúLr
l
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Elomplo'19
| | srúficadea unción (x) : (x + 2)2 seobtiene esplazandounidades a zquierda
|lr l! L' lunción : x2 y l¿ ¡le g(4 = (* r)' kasladándolaunidad 1¿ erecha. npcoertl|.i hacenos n a ünción (x)€l cambio evariable + (x + a), éste or€spondeü n r s aciónd€ ¿gráficade(x) "a" unidades 1¿zquierda.
Figüra .14
. Lapa¡ábolay: (x h)2 seobtienerasladandoorizontalmenreunidadesaparábola
y"2.
Si h t 0, lu t urlación sa la derecha, si h< 0, a la úquier¡l¿. l véfice de anLrcvapaníbolasV = (h,0)y suejedesinetría s1a ecta : h.
. I'or írliimo epresentaremosa funcióngeneral e segundo rado:y : ax2+br+c,tscndoa, by c números eales a distintode cero.
Para epres€ntarsta unción senecesita onocer uv&lice queseencuentra n elpuntode/h L
trh.cFa, I ; I . Un a ezconseeuid¿adb.c,.a elpunLo.u.rirulendon a rlnción.2
sc obtien* ordenada el vérticequees:yv :+
Esta unción tiene comográficaxna parábolacuyo eje de sjmetríaesparaleloal eje deordenadas,jeY, y está rientadaacia ffiba i a > 0 y hacia bajo i a< 0.
. Las DroDiedades e as funciones flrádníticas son as siguientes:
- Dom(O R.
Lospurtos uyas bscisason assolucionese a ecoaciónx2+ bx + c - 0
'o n orpunrosecore on leje ' Lcrospuedenerdos núoningunó,egur ls igno eldiscrimindnteedicha cuaciol
- Cortá l ejeY enelpunto 0, c).
t-tssimelric¿re'pecro¡leldrecrar, -
l .norLanrosrb0.lz
funciónessimétrica especto l ejeY, esdecir,espar.
- Si a> 0 se erifica ue m(0 - tyv, +@),alcanz3uvalormenornel
vérricexv, yv).
-Sia<0 se erif icaue m( o - (-@,yvl,alcanzasuvalormavorene
v&tice x,, yJ.
Ejemplo20Vanosa epresentara unción uadrática = 2x2+ 8x+4
Sedebehallarprimero as coodenadas el vérticev = (xv, vv) |
b8"\ 2a 2(2)
Yv = f(-2) = 2( 2) 2+t¿( 2r+4 : 4
Considerandoue a patábola ssimétricaespecto e a rectax : - 2,
44
I cnn l l l | I | 11,||' \ | In | l|,k]||' \ | 1 r r! r t" ' +,
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Ilrln con valoresmayores ue 2 (valores a derecba e 2) :
I 0 1
2 1
l\¡fsimetriaseobtie¡e los valoresa a zqtrierda:
-3 4 -5
v -2 4 14
Itct)rcsenlandostos untos n osejes artesianosreniendo n cuentaa formade a
'ftdl)ola,esult¡ agl:áficaiguienle,n aque epu€denbservariaspropiedadesnunciadas
oficnr¡dl h ci,r rritrr: licnc LrnníniN) cl] ( 2.
- lil coclicicntc de grado cer¡ c - l. nos drceque la
(0, ).
t onro r Jr\cr i rninanrcb' 4r . ) e' : (4 '4l l ) l l l
- Es imétricacspectoe arecta = -2
b) Comoa unción es a opuestae (g(x) : f(x)) 'parc(lcsrrs 'xr' r ' rr1rr ' ¡!trr
justanenteasconlrariase :- El v&ticeestá nelPunto:
b 'l - Y' =-( 2) 2 4( 2) l I 2cD= -' '
- Tiene nnáximoen(-2, 1
- La curva orta l ejeY enelpunto 0, 3)
- Comoel discriminanteigue jendo: +¡t - +¡ t¡1 li :'1. mavor ueccR). r) rr l
ejeX cn dospuntos.
| .. irnér-icaespecroJed ecLa 2
Flemoi orrDrobadoue as Lncrone' ienen nd'ef ie
de propiedade' omu r ' |' ( rr "
queno5 ¿ci l , r ;n.uconócimienro orel lo anre'de eguir co n rl estudio f . l ¡- t rr r ' r ' '
é lementale' .nel igure¡,e p¿{ádo ro 'ocJparemorc¿lguna'dc \a s0roprca¡JL'
'l 7 ProDiedadese as unc¡ones
En esta ección l¿sificaremosas unciones tendiendoaigunas ropiedadesolrl)lc!Así ntroduciremos,ntreotras, asciases e uncionesositivas n€gatrvas,recrcrrlcdecr€cientes.pares mpa¡es.
En c¿oitulos osterioresstudiafemososclases uy npodantes e uncionescnlii (lt¡surrciirnesreies. ue on asuncionesontinuasvlasuncioneserivables.
1-7.1Función ositiva negat¡va
Definición.
- Se dicequeuna unción ; R + R espori¡lrd cuandof(x) 0 'para odo
x€Dom(o.
- Sediceqüe es ¿s¡¡1.¡d'xnte osittua cvando(\) > 0 ,para odox € Dom(D'
. NolarLa grálica euna ünciórposjtiva ueda i€mpreor encima elejeOx deabscis¡
curvacod¿rr l ¡c Y rrr (l l r I r l ' ,
: 4 ! mayor uccf r l ' . . (rrrr rr li
Figwa1.16
:lercicio21llstudiarinh¿cera ráfica,lasaracteristicase asunciones:
a) (x) = x'?+4x + 3 b) s(x) = x': 4x 3i0lüción.
n) La tuncióq f estádefinidapor un poliromio de segundo rado.por ranto sugráficáesIn¡r arábola.lós oeficieDtesosproporcionana siguientenlomacióndeetla: -
- Er vérriceestáen el pu¡ro: de abcisax" =*= ,h:
2 y de ordenada
t,=(-2)2+4(2)+3:-1 .
- El coeficiente el émino de segundo ndo a = I > 0, nos ndicaque a cu a €stá
t6 4
crr l l¡rmadoemiplmo uperior.
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Detinición.
- Se lamanuncionesnegarlr¿r a aquellas unciones queverifican f(x) s 0,para ada eDon(o.
- Sedice que es ¿rtrcrdl, enrenegattuacnando(x) < 0 ,para odo x ÉDom(t.
Elemplo22
| ¡r J igum l' . qe re\enranna uncionue \posiu\¿.er o o .rric¡amenreosirira.v ¡ ' r i r uncron ueesesÍrcfaneoteegat iva.
EJeñplo 23
¡) f(x) : x'?es na unción ositiva.
b) f(x) : - I xa esun¿ imción negativa,dehecho,esestricramenteegativa.
c) f(x) : 3x noeslripositiva inegaliva.
| -7.2Monotonade una unción:crecim ento decrecim6ntoI IJ tuncion R-+R5ediceque<:monóron¿c'ecieoresi,cuandoetvato,deta\ariable
\.r(ce.enronce,el\alordea imcióni )Lambienrece nrenninosm.ácprecisoj:
Ejemplo 24
La función (x) = 2x 1 es estdctameniercciente la tuncióne(x)
estrictamenteeff eciente:
Figura .18
Ejercicio25Estudiar i 1assiguientes¡ncionesson monótoDas recienteso decr€cientes n st
Definición.
- Una función teal f es nanótondctec¡ente t p^tz xttxz,
f(x, < f lxr).
- Se djce qu€ f es estrict¿mente onótona reciente i crtando
entonces (x1) < tlxr).
De manera náloga:
- Una función real I es nonótona de.rcciette si pda xt3 x2 sc
f(xr) > (xr)
- Diremos que f es ¿sr¡t¿lanente monótona .lecreciez¡¿ cuando dc x I
deduce u€ f(xr) > f(x2).
l8
t n x r r r | t r^twn '
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r ' ) t (x) = x+l
Sol ( lón.
b) l ' r ( \ ) =-=- c)lr(x)=xrr l
¡r) . lunción r esestrictamenrereciente.a quepa¡acualque¡ arde núneros tesüilorrr iolal€squext<x2,severif icaqxenr+l<x2+t,esdeci¡ ,1(xr)<fr(xr) .(ver la
!rLir l.nn a igura .19).
l ') | . , unci, ,n2 e. c.B-icramenteecrccien¡e
,¡n . ¿ esigua,dadema'.iene),., ,^, L:;:l;1:3;iTlllljl',]il]j5
A(lcnrás.a inlci()n¡ clenkrrnoclpunlo 0.0) se equc oes rccienleidccfccrcr
vr uuccncualquicr nlorno imétrico edichopunro,a unción sestricta¡]cnleccrcqcrrlirsu zquicrdacslrictamentcrecieniesuderechá
1.7.3Extr€mos elativos:máx¡mos m¡nimos
Una unción alcanza nrnáximo elalivo,especlivament€ínimo clativo' ncl purrll
(lc bscisa cüando lrededordestepunto,sdeci¡, nun nrervaloa h, a+ h) con h:'0 'losv¿loresuealcanzaa unción on enores.espectivam€nteavores, ue (a
Définición,- Un¿ tnción f alc¿¡zaunm¡jlrimo elatbo en el pnntode abscisa si existeu¡
entomoreduci¡lode a, de fonna que flx) < f(a) para odos os puntos n de
dicho ntomoeducido.U¡a tunción alca¡zaün
"rnino rclativo eí el .ntiro deabscisa si existeun
entornoeducido eb, de olmaque (x) > f(b.) para odosos puntos{ de
dichoentomo educido.
||||l|'|() úmero,la esigualdademaüriene.)xi - 1 < 5x2
.r,r \ + nr, ,os e tr Ltr im¿ e. igualdade obriene uel,( x,) < f ;(xr) . Verlagráf icaenlaf igu|a1. l9.
r ( s) = 26>2: f3(1).
üs múgeneseiene3( )
No es ¡¡onórona decfeciente ya que 1
= 2<J: f3(2) .
l el nultipticar or]
atos
5x r I 5x,- I-3- >
l- ' es decir'
< 2, y sin emba¡go,on
r) l-! linción fj no esmonóronarecienrea quc!por ejempro,J < I y, sin embargo,
Fi$ü l . l9
I'studiandoa gráfica e a unción13 del ejercicio nre¡io¡,3(x) : x2 + I , sepuedeIcciarqueesesr'icr¿ial€úféecrecjenten el intervaro 6, 0) y estriclamenrerccierteenInleñ¡alo0,+ú).
I
Definición.t-)nentono red¿¿tdo e a esun ntervaLoa- b,á+ h) con h > 0
que ehemos uiiado lpunto : a!o seá a h, a) u (a, a+ h).
Figwa1.20
Soluclón.
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rrclclo 26i,( ¡ólcs onosexlremoselarivose asiguienteunción?
I igura1.21
lr0lón.Lagráfica eestaünciónndica ue oseeres xtremoselatrvos:Alcanza ínimoselat ivosn ospunros0.5,1)y(1.5,1).
' Alcanzaunmáximoelarivo n 0.5,2).
tmplo2TI I limción = ri + I . rcpreseftad¿n asiguienteráfica:
a) La 1l¡nciónno licne ni múximos i mínimos el¿tivos ueslo uees nnr lirrción.strictamentereciententodoR-
b) Estudiandoagfáfica e a unció¡gseobservaue atunción s nonótoÍa reciertc n
€l intervalo ó, 0) y monótona ecrecient€n(Lr,+ ó) .
E¡ cualquier ntomo educido el punto xo = 0 losvalores ue oma a tunciónson
m€nor€sue g(0) = -1. Por anto,en el punto 0, -l) la tuncióng alcanza n máximJ
c) La tunciónh esmonótona ecrecienten elntervalo(-ó, l)
vmonÓtona recrentc rr
(- l, +@).
En cualquierentomo educidodel punto xo - I los valoresque oma a función snr
mayoresueh( l): 4. Por anto, nel pünto -1, 4)lafirnciónhalcanz¿ünminim
La figula siguientemu€sta a gráficade as unciones, g y h:
1-?.4Paridad eunalunción
Definición.Diremos ueuna uDción R ) R esp¿l cuando( x - fl rr'para odo e Domffl.
Segunnuesfa definición,1¿ azón deesta eminologia esque as funcionespotencialc
f(x) - x', conmeN, son uncionesares i,y sólo i,m espa¡
. rvo¿aiNo todas as tncionesp¿res onde est¿oma
Figura1.22\o t¡en€ xtremoselativos.
rclcio 28h lar oseritrenoselativose as unciones
b) g(i) : 2x'?- I
Fisura .23
)r(x):3x 2 c) h(x) : 3x 2+ 6x I
53
lrl t tut , ¿ l . ltn¡tlt t
l-7.5 Acotác¡ón
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\crrI nuesrr¿efinición.asñr¡ciones orenciate\r x, _it '¡ l , ru$i. ysOlo r.m es mpar.
Elomplo29l.r luncróne ¡aproporcronatidadnversau<
11r) = : ,esuna unciónmpa¡en udominio €
Olra de aspropiedadesnteresantesn el estudio e as u¡cionesessüa.o¡d.njr. osdcf tsi susgráficas u€dan or debajoo por encimade algun¿ ectapanlelaal ejede abscslrs.
Obviamente, i K esuna cota superiorde , cualqujerotronúmero eal M mayorqucK cslambién na ota uperior e a imción. or anto, iüna unción siá cotadauperionnc¡..tendrá nfinitas cot¿s uperiores..Nol¿rEl símbolo se ee existe' el símboloV selee'palatodo'.
llaman firnciones jr?parespaütodox € Dom(f).
aquellastunciones f rales que
xn, conm€N, son unciones
a cadanrlme¡o eal le asociasu inverso,
R - {0} y sugníficaes:
E¡emplo3'l
L¿ unción (x) = x2+2x 3 está cotadauperiormenteor K : 2 . En efeclo, ¡yque omprobarue f(x) < 2 , Vx € Dom(f) , siendo om(0 = Rl
*2+2x 3 < 2 =>"2
+ 2x 5 < 0 é (x l)2 4s0.
Esta elación € umple ara odonúmeroeal ,yaque (x - l)'?< 0, Vx € R.Luego está cotadauperiomenteor K = 2 y' por anto,K = 2 esuna ota upcri(!
de :.-¡r'oa:Al ser K = 2 ün¿cota superiorde , sepodiahaber ealizadoel estudioaDtcri(¡ ( r I
cualquierotro númeroQ > 2 , y seobtendría lmismo esultado.
Grá{icamente,una función es¿í acotada superio¡mente i se puede trazar unx rc.lrlhorizontalde ¿l ormaque agnificade a tunciónquede iempre ordebajodeésta.
E ercicio 30
coD€nostra¡que aúnica unción queespare inpa¡ a la vezes a funciónconsu¡temente
sol$ión. S€a : R + R una u¡ció¡ pare mpara a vez.Entonces, aracualquierx € R sev(r iñca ue.
|l -x, - ft \ r. porser pai-.
f( x) = f(x) ,porse¡ irnpar.
.Po r anto, (x ) = f( x) = f(x),paratodox€R,dedonderesultaque2f(x):0 y
11 ) = 0 para odox € R. Luego es afunciónconstanre€valorcero_
D€finición. Una tunción se djcequeestáa¿¿¡¿¿ldupet¡omente si ex;stcvlnúmero eal K tal que a imagen e cualqui€r untox del dominiodc I cssiempremenoro güalqueesevalo¡, esdecn,
fes¡i acotadasuperiormenteiysólo si ! K e R f(x) < K, Vx € Dom( ')
Figum1.24
Figura .25
5455
r l n . n n uu t
horizonL¡l . lc .r l ¡rnur quc h gri l icr (l c ¡ l i rrrel i in rrcdc icnrprc )1)r ¡crrnr (l c n¡
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Iis decir, i et supremo de una unción es imagen e algúnx0 € Dom(1), K esel
llliil'i::$:'iJ:rf.';:ortanto,
i una uncion,ene n má\imo bsoruto,ste iemp¡e
" "i,,i''lTttli:JT.'iLTl :T:,,1:"'':1.;;,:.J::.:#llr,t:,¿ji',:,n:í.:rtiro*j:,il*::rir';#sj:r"j*:-1,*i,*ml"t';*':li,,,iJíÍ;"li,i"j,ilÍ*- "rienradasaci¿bajo,< 0, ermáximobsorutooincideon a
Obliamente.si L es una cota nteriorde i cu
llllllyÍl;iigul,ir,l,:t;?,;:il:,:;"lT ,,t;:,lf.liflT:x)ff :tsJ";:
Definición,Sea una tunción cotadanferioment€. la náyor de odtrs rr\cotas nferiores e e l1ama'?lDode I y se expresa olno n(l). Si c\isrfxo e Dom(f) tal qüe (xo) : L, siendo = inf(f), sediceque ticnc ,,,,
mininoabsoluroy steminimo bsolütos .
Esdecir, i el nfimoL deuna unción es magen ealgun o € Dom(f), L cs l ¡Lr labsolutoe Por anto, i una tmcióniene nmínnno bsolxto, ste iemprc oi¡.tr|( of,
En el ejemplo ¡ terior,al observar e nuevo a gáfica, sepuedcádvenir lu( i drinferior ás ande e (x)esL = 2;luegoenesiecasoinf(f) :2 ConoL l, l ¡(
al ser (1.) = 2 tenemosxeL = 2 eselmínimo bsolutoe a unción-
Gráficamente,i al raz ar aínea odzontal el nfimo.és1aoca ag!áfica e a lnüúrl'algúnpunto,ntoncesatunciónrieneun ínimo bsoluto.. Nol¿:En ¿sparábola riefladasacia niba a > 0) el¡rinino coincide on ¡ oidlrr
Delinición. Una función se dice que está¿¿o¡d¿la uando esrí acoiada i¡l¡ú)
mente y superiorment€-2 2" + 3 > 2 =. , 2_2 x + 5 >0., (x - l)2+4>0.Ilsta elaciónsecumpiepara odonúme¡oeatx, ya que(x I )2 > 0, Vx € R _
..ücgofestáacotadainferiormentepo¡L: y,porra¡to,L: 2 esunacotanferior e
,r1ll
^1:". i= -2_una cola nferiorde sepodlahaber eaiizadoel estu¿oante¡io,cf¡u rqurer rronumercR <_2 . y seobtendria lmismo esulrado.
Graficamenre.na unción sr a corddanferiormenF,i e pucde rd,,a" na cc ui6
E emplo 32
La unción (x) = xry qu€€omprobar ue
2-2x+3está cotaduofe¡iorm€nteor L = 2
f(x) > -2 , vx € Dom(0.siendo orn(f)= k:. Efectivamente,
Ejemplo 33
Estudiamosa acotacióne afünción x) = sen(x), Vx € R.
La tunción asocia c¿d¿ mero reals seno- n el ema del volunen sc corrrpriique, ara ada úmeroeal . I < sen(x)< 1.
Gráficanente ueuna unciónestéacotada quivale poderdibujarsu gráfica r
5l
Pll"i:.9"-: *" tq" F"cionacorad¿uperiorme¡re.rameno, e od¿sL¡":or¿j l,::T:-s :e
h rlamarpr,zo de . y ,eerpresaomo up1il.i eriü"q:'3ó;i;;;;fñ="i:,::..;:;{":"J.i;i"ó,Tl:;fl,l,i"i'*úxino absoluto esb méD(imobsoluro sK.
Figura -26
DrfinjcióÍ.,Una umión se dicequeesrá , ¿/add nJpnomen!?i exi.Gunümero,ear lar qu e a magen ecuatqüierün,o de tdominio e ei'empreayoro
'gualque
se ator. sdeci¡:t está cotadan€edormenreiy sólo i f L É R f(x) > L, Vx € Dom(f).
F]
llliiljifJ,T:t"f,Í::.1"",""""""y"i"?-;':'l:':*.,ónucoscupasa ¿ndas a
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r y,p_,."t".'r_'r,..,"i,"il;;^::iii;iffli."l"iili.Jiil"#i,iiJ| | lc l . : i es lminimo bsoturoe
^n¡iogamente,epuedeomprobarueK = I eselmáximo bsolutoe
1-7.6Périodic¡dadte nafunción
;r,l rriil"l:,:lllüi.;,"i.:'Ér::H:::i#:,:1riili::#;,:i #:il:ffiii:1aLIr nunapta)¿ tol¿rgode ndracxatqxiera.
F jgul¿ 27
,fii:"::;"J,1i"',*ütJ;l#":T:fi".#"i:#*f:r unaarel¡eeepi,e
Cambiandoporx + p acondicióndeeriodicidadeescribe:
r( x+ 2p ) = f(x + p) .Itepiriendolproceso:
fG) = f(x+p) = i(x+2p) =. . . : f (x+¡p),
r I rcuanente, eafirma l¡e i es!ídefinida nx tarnbiéno está nx + n;--"'- -- ' a--
Aúlogamenie, ambiado porx_p en acon¡ticiónepedodicidad,e ienei(x_p) = fG ) y f(x ¡p) = f(x ) .
t
Ejemplo 34
Pa¡¿ ada E R sea x] la 2"rr¡' f,/¡lr, (lc r. cs (lc.lt, cl lrrayor umcro rrlcR) 're
mcnorogualque: [x] :k<rk€7,ykrx!k l .
Lafunción1x ) = x [x] es nal¡nciónctiódicadeeriodopuesx + | | l ' I
f (x+l ) :x+l [x+] l :x+1 txl r :x txl =f(x),pantodoxcn
Lagráfica eestaunción snos¡rada n a i$ra 1.28i
Figura1.28
Pat¿ ibuj resta ráfica €mos ocedido si:e¡ el ntenalo 0, ), [x] = 0 y f(x) ri
en el intervalol ,2) , txl = I y f(x ) : x l ; en el inte alo 12,3). xl = 2 !
f (x ) = x-2;etcétera. nel ntervalo-1,0), tx] = 1 yf(t: x+1;enel inrcrv¡t 2,-1), tx l : -2 y f(x) = x+2,etcétem Y porúltimohemos ibujadoagrátlcr l o?¿ o,/ o sin embarao.smas encil lo mucho i. coro dibujaragrif ic¿ n l i r r r ( r ' "10, )) ' repelir"el¿ibujorrasladándolodderech¿et,/quierdaencad¡Lrodel[1,2), 2,3),erc. 1,0), -2, l ) ,e rc .
Gráica de afuncií)ník)
Ejércicio 5Dibuj r asráficáe a uncióneriódic¿e eriodo definida,am ada € [ 1. ). po
2
solución.Sedibui¡Dnmero,a f t j f ic¿ nel n lenalo - l . l ) , de 'pué' e r¿Jad¿ ld ib r- oderecha izquier , l i n os suce' i \o<nrendlos e onsirLd 'gualal pe- i .do: . Jr ' l ' ''
e tc. , [ -3, -1), I s, 3) ,etc.
tt .29
'3-2 -1 0Figlra
1.8 Func¡onesolinóm¡cas,acionales rracionales
I tr nr I \ thr4r t '1 t \
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(ioncralizandolos conceptos e ñ¡nción lineal. affn y cuadrátjcaEr¡rdo seobtienen asuncionespolinómicas:
parau¡ poljnomio de
Definición,Las/¿,rcjo,¿rp¿lrrlr?j.dr son asde aformai
f(x) = a"xn a. ,xn-r+...*a,x*¿0,
oonoea¡, an t,_..,a0 son númeroscalesque se la¡nan nelicienteselpot¡nonioy n esel gra¿odetpotinoni.,.
- Si x E (-ú, 0), la snnerría os r ( l icr .qu ccl crcci¡ r iento s usl¡melr lc l conlr¡r i ' . cs
decir, a funcióD sestrictamentc reciente ¡ crc intervalo.
Conoenx:01atunciónpasadecrecienleadecrecicnle,present¿un¡ráxrnrorclr l
eD(0, 1). Además eel lo esul ta ue m(f) = (-{, l) .
Con esta nformacióD sepuede razar sü representacióngáfica:
l ( r t) .
1..t0
b) h(x) = xa l
,,:..Nll11l * vez vista a derinición e fünciones olinómicas,odemos ecirouelliil:i:?,:tT::?jH,r:""
ncionesorinónicase l,<r" , a"i,i.ari" i 1."áo-y
. | . rs. imcrer isr ica.rmcipatesdeesteipode uncioneson
- Don(l = R.
- Cofanal ejeY enelpunto 0, a(J
- CotanalejeXen,alo s mo!npunros,uyas bcisason assolucionese a
anxn+ao ," ot+. , ,+u,r+uo
- g.- No sonpefiódicas.alvoatunción (x) : 0, vx e R.- SLgralcdsepuede ibujar in te\¿rLaretjpi,, letpapet. sde(ir,como
\ eremosnet em a. so n i,¡c ione5oit inua..
EJemplo 6
lifudiamos a unción(x) = ]{o IDom(o = R.
- Cortes on ose_jesrlaunción orta lejey en (0, 1)
paü buscaroscoÍesconel ejeX,(solvemosaecuación:xo*1 = 0 = xr = ry x2 : t. porranto.corra l ejeX en
l.0) y ( 1,0).
- Pres€ntainetríap¿r,u€ s( x) = -(-x)a+l = -ix¡a+r = 11¡..lilloDos ermire studiarascamcteristicase a uncióDrabajandonicamenteon os'i'rycs osi¡i'ose yaqüearaos esarivosepued¡;¿";üii,i,"rir'if.,i,i"p"jiJii
I-a uncións st¡ictamenteecrccienlen 0,+@) aquesi <x0 <xl ,entonces,
t0
Iaslas
Eiercicio 7Representarlassiguienteslinciones:
i lxo): x; r l : .x i I
a)s(x)= x I
Solución.a) Yaque añlnción del ejemplo 6es a oppestaeg,esdecir:
g(x) -xa-t= ( x4+1)= f(x),
ambasunciones o¡ simétricas Dtre lrespecto l ej€X
Entonces,launción v€rifica:Dom(0=
R; coÍa al ejeY eneipxnto 0' 1)
;co'14
eje X en ospuntos -1,0) y (1, 0); €suna unción ar; es esldctameDteecreciente
( @, .) y estdctamenier€cierte n (0, +ú) ; presenta n mlnimo elativoen el punt
(0, 1) ; I rn( l ) : ( l ,+ú)
Utilizandoestosdatos epresentamosa función g, cuya grálica s€ muestraen a figur1.31.
b)Obseflamosque:h( t : g(x) 2.
Porloque, ara epresenlara unción , basta on raslad¿ragráfica e1a imción do
6
urkhdcs on espectol eje , ensenridoegativo,sdecrr, aciaabajo. xl :2 .x i .1 .
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2-
f(x): L-I=
- Dominio:osnúme¡oseales xc€ptoassolucionese a ecuación2_ I = 0;xr=-1 ,x2=1.
l i ldominioesR-{ l , l} .- Corte onel ejeY: f(0) = -6;pünro (0,_6).
-Clorteonel ejeX: buscamosassolucionese aecuación2 5x+ 6 = 0:
5us aractedsticason:
- Dominio:odososnúmerosealesxcepto quellosueanxlarel
;:Til1?Xl"il:':,?:J:1""'lt¿bastauconeso,ver,acuación(x)=0
- Corre onel ejeyr elpunto 0, (0)).
- Cort€ onelejeX:seresuelvea ecuacabscisasdeospuntosso¡"".jfl'",:|tl;,?::::J.€.Dom(t Las
ompto38
Iistudiamosa unciónacionat:
Defirición.-as¿r.Dres ¡acjordl¿r onaqxeltasuya xprcsiónlgebraicasL,n ocienteedospoli¡omios,x) =
ffi,con O(x)+ 0.
Puntosdecorter2,0) Y (3,0)
Ejercicio 39
Estüdiara monotoniae afunción(x) = Ii] ensuaominio.
Solución. ordefinición,esmonótonarecienteipara t < x, ' es (x, ) < f(x2)
La función no esmonótonarecienteaque,porej€mp1o,alaxr = I y x) 0 cl 0 ).s'nembargo. l, -0 I f lOl
Pordefinición,es monótonaecrecienteipara r < xr, entonces(x') > f(xr)
Tampocoa función es ñonótonadecreciente¿ que' para xl = I y x2 - 2
-1<2 yf(-1) = 0<3: f( 2 ;nocumplié¡dose(xL)> f1x2).
Elercic¡o 0
-2!1Dete¡ninarsilatunciónf(x): ^;
' esparoimpff
Solución.sla unciónesradef inidaeDR-t0tesimp¿r.)dque
r(x)= r xl2- l- r lrzr) l \' l \' I f(x), vx € R
Figun 1.32
. rvo¡drSeha vislo en el ejerclcloantenorqueel cocientedeuna unciónpar (x2 + I ) y u
impar x) €s una tunción mpar'Considerandoas funciones ares omoposilivas I
rrrr l ,nt.f\¡,,r ' r¡ ' .r 'LF,,tr\. , \ .ht,.,rr l i , , ls.f,(tI . , i ,1.,.t .t ,ñ \ r l r , , r . f ,r t ( ( , r . ,p . , r )por r ,prrl$¡ i r r r r t r ' ¡ r . I t r r ) f rú (' r ' rfrrrt(\ t , , l | ) .e rr .
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. l r r r f ,F , , t , .1r,U.,rd(t,I(,,nesr¿.io tc..or r.J(trrpur -L.¿on¿"¡r,.onG a) "
¡[||r.'!s rellcs. kr0. y n es un nú¡nero ¿rural. stas uncionesie¡e las siguientes
- Sin espary k > 0: Eldominio sR {a ; el econido on os ealesositivos;escrcciente ¿rax < a y decreciente arax > a ;€suna unción,imérrica .pectodc¿ ecra . a.
- Sin csparyk < 0: El dominio sR-{a} ;etrcconido on os eales egarivos;esdec cieneFrd a )crecrenepam .i;e.unatuncionsinéirica espectoe arccta : a.
- Si n es npary k > 0: Eldominio on odosos eales enos y elrecoridoson os ealesnenosel cero;deüecient€ ¡ todosudoninio; sinétricarespectolpunto a,0).
- Sin es mpar k < 0: Eldominio on odosos eales enos y el econidoson os ealesmenos l cero;creciente n rodosudominio;simetricarespecto l punto a,0).
- En odososcasos ohaycoIte onei e.jeXynoson uncionescotadasi
Elomplo42
Para epresentar(x) =
Ipar:r( ](l = ----- =
( X,J
I- -
I2
bastaráe3lizara g¡áfica arax > 0, poes sun' llrtrcrór
fG)
EJemplo4'l
Representanosa unción(x) Ix2
Figura1.34
Ejerclc¡o43
Estüdiara acotación n a tunción: ({) = I'( ' -2)2
solución.ono l <0 y1x-2)2>0vxeR'laftnción(x )= -J t """-o'u'
menorquecero,Vx € R Por antoestrácotada uperiormenteorK = 0
Porolro ado.para alore'de { cercanos x0 - 2 el denominadorx 2rz esun oln'
oróximoa 0 v la funciór tomavaloresnegativosangrand€s omoqueral¡osy! por tanto'ro
iiü ucáu¿" nr"'lo.rnent" v, enconsecuencia,oestáacotáda
E¡ercicio¡14
ReFesentartaunción(x) = --Z--(x- 1) -
Solución.studamo" rimerour aracreri'Úcas'
- Dom(1) R {1} e lm(f) = (0, +ó).
Sugráñc¡es:
64
Figura1.33
6l
.Nocortaalejedeabscisasycotaalejedeordenadasen0,2) .
' Estáacotad¿nferiorm€nte or y : 0 y noFesentani simerría arni impar. Elradicando+2 esposit ivoonulopara>-2,portanto,Dom(O = [-2'+@)
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- [s estrictamente¡eciente n (-ó, I ) y eshictameDteecreciente r¡ 1.+@), . Lagráficade atunciónvienedadapor:
Oho tipo de firnciones €lement¿lesson lás inacional€s,lnd€pendientestábajoel signodeun radical:
en las que la variable
Defrnició'¡.Lasllntciores inacionales son aqttellas uy¿exp.esión¿lgebraicapresmta ¡ mdical: ix) - qrGtx).donde {rles una r¡nción olinómica
Lascaracteristicas enerales eestas unciones on:
- Si el ndice del radicalespar,el dominioson os valores ara osqueelradicando spositivoo nulo.
- Si el índicedel adicales mpar,et dominioes odoR.
-La image¡ s0,
+ó).
Eomplo45
L¿fmción fG) =^Áll. Pa¡a ep¡esenra¡la,amosa esru¿liaru dominio y construir
unaabladevalores:
66
Figua 1.35
-z I 0 ). ,7 t4
0 I rt 2 3
Figua 1.36
Eiemplo46
Estudiemosa tunción(x) = 3^f,2+ ¿. ¡t r"r"t
in¿ice el adic¿lmpa¡,Dom(0El radicandosunpolinomio onexponent€sa¡es,s m¿uncióü ar:
0 2 JE 5
',174 U4 2 11ñ 3 3JE
=R
c) h(x.) = d) i(x) = xl + ix 2 4xx2+ 2r, Il
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*
Solución.a) La expresiónde la tunción (x) c¿recede sentidocomo númeroreal' cualdo cl
denóminadoi e a ftacciónseanulao si etradicando sun númemnegativo,esdecirp ru os
x € R talquer = 0 otalque::-:=<0
De x2 = 0 seobtienex = 0,ycomo x2¿0 pantodo x € R, setiene ue Jj rr
si x + 2 < 0,esdecir,para<- 2El dominio edefinición e (x)es 2,0) u (0, +ó).
b) La tuncióne(x) no estará efinida arac¿dax € R tal que 2x+3 = 0 o úl qrr'
fi- r10. n,.. '.,,t,u,nadi!
isiónporcero una aíT uadr¡d¿eunnumero esari\"
1De2x'3 0 seob¡ene - - ; .
Paraesolvera necuación.e esuelveae'udcrú
x 2 : 0, cuyasolución sx = 2, y seestudia l signodel adicandoncada nodc ossigui€ntesnt€Nalos:
l< .- t .1- i '2J ) (2. @)
\- 2 2x+32x,+3
' . t - ,_'
xel . ; ,2)
x € (2, +ó)
/ r \1-Ll dominio edefinic iónegtrtes l \ -. t f2 . ó) . Fn
iel
'n lenalorgr
abierto,puesenestepuntoel de4ominador eanulay por t¿nto a variablex nopuedeoma
este alor.En 2 apareceelfado,ya q!¡ex : 2 €sunvalorqueanul¿el numemdotpor antoe
cocieoteii vale ero ra a¿ exrste.
c) La tunciónh(x) no está¿lefinidaaracadax€R lal que x3+3x2 4x<0 Par
6
EJ€rclcio 7
l)ibujar agáficade a unción:(x) = ,/i+2+3.
lolución.La gÍíficade est¡ unciónes a mismaque a del ejenplo44, g(x)f¡$ladada erticalmenre unidades aciaaffiba:
Élorc¡cio¡t8l{aliá¡ el dominiode definiciónde assiguientesuncionesealesale a¡iable eat:
=^E+2, r,
t8
Figura .18
a) f(, = rJb)s{x¡=
J2x+ -
r(¡¡orvcfsl anecuacióne esuelveni€ialmenreaecuación:r+3x2 4x:0.
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xr+3x2 4x = x(x2+3x 4) -0>(x2+31-4 = 6¡5" =
ricg|rdarncnteeestudiael igno ex(x + 4Xx - t ),puestoque
x3+3rz-o* = x(x+4Xx- l ) ,. | ' k) sntcrvalos ( @, 4) (_ 4, 0) (0 ,1)y(r ,+{) .
{ )hscrvamosque(x) =^,&G+4nx_ D
xt x2x(x+a)(x r)(x+4)(x-2)
x(x
x€ ( 4,0)
xe(0,1)
x € (1 ,2) + + +
x € (2,+ó)
l)l)
1;
l-9 Func¡ones ef¡nidas trozosAl trabaiarcon funcionesen aplicaciones oncretas, vecesa funciónno se ajust i rr
tiDo exaúó de hs familias hastt aqul tratadas,sino que tienen distintas brmas scsÚrre
iite¡valo enqueseanalicea ftnciónaesteeselcaso e as tnciones deñnidas rozos:
Defirictón. U¡a ññción defrnida d r/ozor €s aquella cuyo dominio esládividido en ntervalosdisjuntos,de ormaqueen cada ¡tervalo la tunciónviencdadaDorexDresionesatemáticasistintas
o tal qüe
Para ibuiar ds ñtncionesefiDidas troTos ndremos ue €presem¿r¿da rr 'n l¡oane.de aí queesLá ompueshenrendon cue¡ta.además ue
"óloiene clid\'/ f r
'i¡tervaLo nelqueesdndefi idas
Eldominio €definiciónde(x) es 0, 1] u (2, +ó)
Elemplo49
Dibujamosa$áfica de a tuncióndeñnidaenel ntervalo [0' 7] de a siguienteoma:
Ilos¡ 0 \ ' '
- 3si2sx 4' '" ' ] o . i *=r.o
lo" ia<*srLa función toma únicamenteuatro alores.Si 0<x<2, entoncesx) vale 0,
2 < x < 4 , entoncesx) vale3, si 4 < x < 6, entonces(x) vale 4v si 6 s x s 7 entonces(x
llldoniniodedefinición eh(x)es 4, 0l u t r, rar.
d) La ftnción i(x) no esri defmidapara x€R tal que x2+2¡ 8 = 6xl 3x2-4x ^x, I 2x-8| osvalores ueanulanaldenominadoron:
í'x¿+2x-8 = 0-x =L
tporranro! 2+2x B: (x+axx_2).
t -Paraesolvera ¡ecuaciónen€mos,elanterior pa¡tado,ue
x3+3x2_4x= x(x+axx_ l) .
seesrudraersienodetradicandodeá u¡ciónrr,. r", -up -
,.
7
^1 x(x+axx-l)"{Gl?n-ir¡
^€(4.0)
x€(u,1)
f0
vllc0. pu€deomar ualquieralorporgrande u€ ca Por anto a unc¡ón oestó cotado
como f(x) > 0 v f(0) = 0, sedene u€L = 0 esel mínimo bsolutoe l
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Elomplo50Lafunciónvalorabsotu!o.).1 - t\1. sigúacadaúmeroeatétmjsmosiesposirrvo,
Fu puesrores e8ari!o.uexpresrón¡alirjcaomoiúción fozoss:
Y sugláficaes:
{x)={xsix>ot -x s i x<0
ilorcic¡o 5lEstudia¡laacotación la existencia eexrrernos bsolutos n atunción: f(x) = lxl .
iolución.Hemos isloenel ejemplo nterior ueesta unción ssiempremavoro ieualar.ro. orran¡o rraacotadanrenonnenre.inembargo.o esrá coradaluperiórmenrápues
t2
1-10 Operac¡oneson unciones
Dadas os uncioneseales efinidasen€1mismoconjuntoA, A c R :
f:A-t&xJ(x),
g:A-+Rx+s(x),
Delinición.- SeóeñnelaÍunciól|sma + g: A r R, como quélla ue oúa eno{rdrrrrtrl('
xÉAelvalor: f+ sxx) = f(x)+g(x).
- Se deñnelal ncióndífercncta g : A -+ R, comoaquéllaque omacn o¡rdrt
punto éA elvalor: f-gxx) : f(x) g(x).
- Se defii\elafutlciónroducro g:A + R, comoaquélla ue omaencadu
punto€Aelvalor: f gxx) = f(x) g(x)
- se deñnelatunciótlcocíen¡",¡-
n-"¿i*t" (N ¡x¡ = p, paraodo
x ÉA,siendo(x) + 0.
Elercrcro ¿
Dadasas tuncioneseales e van¿blecal fiG) = 2x2-3x v f2(x) = 2x
calculara exFesión €cad¿ nade assiguientesuncioneselvalorqueoman nx= I
b) (fr ftG)
¡f . ro f " lc)¡2 -
Solución.Se ustituyeadaunción orsuexpleslónseopela
a)(fr+frxx) = fr(x)+ f2(x)= (2x '? 3x)+(2x 1):2x2 x-1
(fr + f2xl) = 0, elvalorde a tunción uma nx = I s€obtiene lsustituir n
a) (fr + fr)G)
c) (f r fr(x)
expresióna x Por .
b)( f r f r ) (x ) = fr( ) t ) - f2 (x .)= (2x' : 3x)-(2x l)
( f1 f2)(1) : -2.
= 2x2 5{+ 1
c)( f r . f2 )( ! ) : f r (x ) ' f r (x ) = (2x2-3x) (2x-1) = 4x3-8x2+3x
( f r ' f2)(1) = - l .
reru onw con nc o a
x< 0f - ' t - ' ' l
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,'r(t)r.r=l3
=++,*"",,e,esiónnoesváridaparax:,,2
( l ) r ' i= '
observamosqueeldominr"."l)o, *.{} }
EJorclcio3Dadasas irnciones:
t ", ,1*)l"*
t . lt '
Calcular:
4 ¡f, + f2)G)
* to"
i , r* r=f ' *x>o
lx1
c) (fr . fr)(x)
Solución. orser l y f2 funcionesefinidas l'ozos,oprineroquehacemoss raccionar
:l$',*U'i"#,'*"**iones de amismamanera.sdecir, eescribiras irncionese a
- f " , - r s i r o 12* si \_or r rx) 1 \ s i 0. \ - ¡ ¡ f . , , r r - ] 2r s i 0-r I
|-
s i lsx l ; r - r si r<x
,"*::'Í"l:TJ::rif::J,:""fff:::ffi.:HifJil',fffitr'erior,encadazonaderdominio
si x< l
si x> I
b) (fr fr)(r)
d) (3fr 2frxx)
f r ,*2 r , :*¡ . ,a)
f - f2)t rr f , rxr f rrrr - . l x_2\L x+ (x 1) s i
f^r+z**r " i x<oAsipues. f r f2r(x,- 1 lx si 0-\ - l
t 2x I si r1x
x<0
1<x
t1
O (fi .fz)(") : fr(x) fr(x) =
d) (3fr 2ft(x) =
b) (f r f2)(x) f r (x ) l ) (x ) =
lsx
x< 0
l<x
3 si x< 0
si 0<x<lsi l<x
1-10.1 uncióncompuestaAdemásde as operacionesueacabainose deñnir se iene a composición e tocioncs
quese conocede ñ teoria de oniuntos, y que uega un papel mportanteen la teorl¡ d1i¡ncionesevariabte e¿l.sepuededeñnirde a sig¡ri€ntemanera:
Sean, con dominioA, y g tuncio¡estalesqueel recoffido d€ , (A)' se encuentra nc
dominio eg,B.f
A ---> l ( { r B
\\
\ tcg"f\ J
\R
Figur¿ .41
Definición. edefinea con?ort¿lá¿e cong,como a unción of, que oma
en ospuntos eldominio e el valor:g.f(x) : g(f(x))
1xl rs i2x 3+ 2x si
. f : ' ,
+*+
xr=JI x+z
3fr(x) 2f 2
Ejemplo 4
Latunciónh(r):+,!&+- que stá efinidanA
tal que x +"/x+3,
€s la composicióne
= {x€ Bx > 3},esd€cir,:A-+R
las ñrnciones: , f: A _r R:
x -+ x+3
7
g:Rt -+ n ,dondeR+ = { x € & x > 0 . Esdecir, = g.f.
x + +^[
I , , . r rl n l r t ,nkut , t ( t )
Elorcic¡o55
I
r ¡ l
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I)adas as funcionesealesde vaiiable ea l f ( r ) =12+1, g(y)=y+1 ylr z - 3z - 2 , detelminarasexpresionese assiguientesuncionesi
l r lg , l i ¡ ' g r f t \ ) ) g -- l | ' tJ .¡ - '
cuyodominio sR-10] puesto ue no está efinida arax = 0 v flx) lrunú l|lc¡rrrrr'1
vülor I que€sdonde oestá efinidag
- ) ') x 2c) gohr\l g rh( \ ) l C{\ ll
; - - t_ I * I.
cuyodorninioesR-11)puestoquesnoestádefinidaparax:1vh(x)dlc¡¡r¡( lvn
_! )
d)h"g, \ r hrg(x,r hl -- : -
-
' t r
cuyo ominio sR- l- 1 puesto uegno está efrnidaamx = -1.
e) roh(\) (h( \ l ) n\ 2¡ ---L(x r l '
cuyodomido esR {2} puesto ue no está efinid¿ arax = 0 v h(¡) alcanTal v¡lor 0
para\:2.
I I 2Y 2r )h.( \ ) h l (x)r ' ht , l - 5-2--- - .
cuyodoninio esR- l0] puestoque no estádeñnidaparax = 0
s) os"h(x)f(e(h(x)))(8(n-2)){
-
) =rx+
=*+
\ , i l
cu\odomrnioesR-tl.2lpueiroqueP.noesrádefinrdaparax-lbrxralcan/rclrr l{ |paiar-1.¡ Inoesrádefinidaparal)erb{xJl¡lcarTael\alor0para\ obs¡r\ ' \( rr ' (laerpresrónbrenidanrcamenreo iene"enrido
ara'- 2
f , i l , ,hlhosofix)- hrgrf i ) , ) l r - hig{
-
J) t ] i n, -
' = . t - ' 2)t,"uyodominioesRlOJpuestoquefnoertadefinid¡
I+x¿ l+xr
x = 0 y (x) nunca lcanza l valor l queesdonde o estt defiridag- obseNese uc hexpresión btenida xist€paracualqui€rnúmero éalx
Fr') fog
d) h. fb) foh
e.l gohc) g.f
0 h.cg) fosoh
Solución.
3) f"g(x) = f(C(x)) f(x+l) = (x+t)2+1 - x2+2x+2.b) foh(x)= f(h(x)) = f(3x 2) = (3x-2)2+l = 9x2-t2n+5.c) eof(x)= g(f (x )) = s(x2+ ) = x2+ 1+ I = x2+2.
d) h.f(x) : h(f(x)) = h(x2+ ) : 3(x2+ ) 2 : 3x2+ .e) soh(x) g(h(x)) = s(3x 2) = 3x_2+1 :3x t.0 h.c(x) = h(e(x))= h(x+ 1) - 3(x+ t)_2 - 3x + l .s) ftgoh(x)= f(g(h(x))) : f(g(3x 2) ) = f(3x_2+1) = f(jx_t) =
: (3x l)2+l:9x2 6x+2.
Ejercicio 6Dadasas tnciones
R
I
c) gon
0 h.f
f: R {0} )
a) ftg
d) h.s
g) ftgot'Solüción.
, gr R i - l l +
x_+
b) g.f
e) foh
h) h.s"f.
R
x+ I
h: R -) R
¡ ) f"g,r r f tsr \ ) , (*) -; l\*+r , l
cuyodominioesR l-1, 0) puesroque g no esrádefinidaen I y, g(x) seanulaúnicament€para x = 0 y f no esiá definidapara x: 0. Obsérvese ue la expresión brenidaún canentenoestádefinidaen x = 0 y sin embargo l dominio le a comp;siciónesor¡o.
76
x2' ,
7
I lnau ,r . r tta\
51 4x
Il$n|lhlón,IntcrcamtrunroscY . s r(x)=
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LInIn¡rr.rnos./i,r.nj,¡rlc/¡/¡¿¿,¿a tr flnción : R_+R, x+ l(x)=x.f)¡rilrüllf lu¡cnhr o¡t ¿iremos ue ¡iene a función r¿¡¡a f I cuando
tr ' f fr " t
t.
. / tx- l )5-2\_\3)
l+x- l = x.
= ; r11+ 45 x-¡ = (1+V3x 2 1)--2
:3x+2; x(y 3) :Y+2
¡ ' ix) =5.
d) Escribimos=
t+5r6i+z '
despejamosx,y l)5 = 3x+2; * = (Y-D5 2,
rnrercambLamosxe). l l * l= (* l -)5 2
c) Escribimos =
despejamosx, x Y
iúercambiamoseY,
3x+2*t'
Elomplo 7
t.r i¡¡rci(t¡¡vcrsacllx) = x I viene arla or -r : 3^,&.
E orclclo58(hlcolar l¡s lnncionesnversas e assjguienres lrncrones
¡ ¡ l iR -+ Rx J 3x+2
h:R-{ l }
c l ho h = IR {:1 ; h-r .h = Io ,, ,l) io i - r = IR; i - ro i = tR .
fiohrción.Unañrnciónselama i¡nciónnv€rsa e a unción, sedenota or .r , si ve¡ificaq c l-r((x)) = x para uaiquier del dominio e y f( f 1(x)) = x para uatqui€r deltl,rniniode -r . Para oder etermrnara lpre¡n )poruna ue! ariabte ruru.d. d.sp.j,,
^.,flrd;
¡¡)Sustituimosx) por Iavariabley, y = 3x + 2 , despejamos en unciónde a variabley. x = y
r2.
Seguiaamente,nrercambiamosasvanablesxy para brene¡aexpresióne
h |L,nciónnvers¡, itGl) :+ .
b)Escribimos: -l ,despe¡mosx,
78
Ejercicio59Dere¡minarl dominio edefinicióne assiguientesuncionesealesevariableeal:
l x +2b)n(x) =
-----:--i
---r_o: \¿+ l tx b
soluc iót r ,seorocedeaesrudrare ldominiovrendodóodenoec!ádef inrdalañ;]it];;"doi.;;ril. p¿raoscuales:u rpresionnar'trcaareceesenLido or:e' {'
+R{3}
. 3x+2- lr
s:R {41
.. i: R -+
+ R- {0}.5
R
t +s,"4x+z
5x
5¡ 3-
5x:----i
5r I
q io i ' (x) = (rr(x)
= r+5, [ - r ¡ =
i ro(x) = i- '( i(x))
= (tJ3\+2) '-2
3
_3+5
Yx4Y=5'" :+,
7
l0l dor olr)¡r LLn¡ unoión ra{ion¿.I €nsmo¡ qu€ ver psa qÉ núm€rosse anu{a eldottoIrhxdu.
5 z
- Funciohes|inev (x') - ¡tx t o0
=
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¡, xr 5x ñ n paraosvakFes- 'F-r r
- : . \ . - l
Llogo. r cxprcción o ien€ G¡ti do ara = 2 o x = 3, €sdscí, el do¡l}i¡rioeg(x)esI l:1, lo rxprcs0doa tra orma @,2) (2,3)u (3 ,+ó )
lrl l'¡tl ¡csolv€' r ecuación xl-6x2+1lx-6 = 0 d€s€ilnpone¡nosl pdnlomioenf¡r tot¡¡ p¡ n o¡rt ¡ro ello. apl cenosh ¡egla ds Rrfñ6.i
I
-5 -3
l)ck)cuol csullaue xl-6x2+llx-6 = (x lxx-2xx 3) y, por o anro, ldcrrrnrl i00do¡snulo ise nula lgunoe os res¡ctorespa m = 10x:2 ox = 3) .l . Ist¡o,ci ominrodeh(r)es I l.2.l l o { @. r . ( t. 2),r(2.. l lL r l . -ór.
l.l I Conc€ptos laye
lrunclón.Esuna elaciónen a cuala cada€lemento el rtominio ecorrespondeunoy sóloun elemento e a imagen.Süeledenotanepor eÍas minúsc! ás ,g,h,... , tambiénpor = f(x).Fünclón erl de rari¡ble real Aquellas ¡ lasqxe tos eteme¡tos ue sefetacronanntre tson úmerosreal€s.Dominio de una función, El conjuntode números eates,x e R, para toscual€siene entido(x) € R.lmlgen de una fünción. | conjunro e vatores üe Lomatr) cuandopertenecel dominiodeGráficsde n¡ rDclón. IconJu¡rodeuDrosdetptanox. l \),.Funcionespoltnómic¿s.Sonde a o¡ma:
ftrt a,rn ao ,r n | , .. . a,: ' -ao.dondean.an1.....a0 R.
Casos aficulares:
-Funcíonesonstantes,(t<): ao.
-Funcíonesineales:(x, = a¡.
l t5 6
6v
80
- es estrictameDteonólonarecienteipara 1< xr, es (xt) < f(x2)
- Funcionesuaúáticas"(x¡ arx2+arx+ao
P/r \Füncionesacionale!.r l -
f f i .conOt r t dis l inrodelpolinomionulo
Funcionesrr¡cion¡les. (x) = 'GG) ,donde (x)es olinómica raciona
Función definida a trozos. Aquella que viere-dada por expr€sioncs
matemáticasistintasdependiendoel ntervalodesu dominio'
Operaciones on unciones.Sean' g: R _) R:
-Función una:(f+ s\(x) : f(x) + g(x).
-Función tilerenciatf - exx) = f(r) - g(x)
- Fun, nprcducto:t E)lxI - ftx ' gr\)
-Fu,1ciónocteúe:)$r =ffi ,eG) o.
-Funcióú ompuestat"f(x) = g(f(x))
Funciónd€trdd¡d. (x) = x.
Fünciónnversa.-l ycumpletf ' f l trTt - t i
Fünciór positiv¡.
- fes positivacuando (x) > 0 , Vx e Dom(f)
- fes positivaestrictaúente uando(x) > 0'
Vx e D on(1)
: I(x) = x.
Función neg¡tiva.
- f esnegativacuando(x) < 0' Vx € Dom(1)'
- fes neg¿tiva strict¿ment€uando (x) < 0, Vx € Dorn(O
Funciónpar.(x) = f( x),Vx€Dom(f)
Funciónmpár. tx) - - f t ¡, - v\ ( Dom(
Funciotreslmétr¡crs.- fes simétricaespecto l eje OY si fes par'
- f€s simérica especloorigen fes l¡rpar'
Furciónperiódic¡deperiodo . f(x + p) = f(x) , Vx e Dom(O
Funcióúmonótona.
- fes monótonarecienteipara t < x2, es (xr) s f(x2)
- fes monóronaecrecienteiparaxt < x2 eDronces(xl) > f(x2). Probloma
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- fes estrictamenre onótona ecrecienteiparaxl < x2, es f(x I ) > f(x2)FuÍción rcotad¡.
- fes acotad¿uperiolmenrei existeK€R tal que ( x) < K , Vx € Dom(f) .- fes acotadanferiomente i exisre € Rtal qüe (x) > L, Vx € Dom(0.
Supremo e una ümión ¡coi¡da süperiormen(e. s a menor e rodas uscotas uDefiores.
l]|Hm
rfe una función acot¡d¿ irfe¡ionr¡ent€. Es amayorde od¿s uscotas
Máximo relativo. Es unputrtoxo tal que f(x) < f(x¡) para o<losospuntosxdeu¡ entomoeducidode0.
Mínimo relativo- Esünpuntoxo tal quef(x) > f(xo) para odos ospuntosxdeunentomo educidode x0 .
Móximo bsoluto, iexis le 0c Dom(Í) ralqueftrol- \uptf, _ K,rediceque tiene uú miximo absoluto estemrüimoabsotuto sK.Mínimo absolulo. fieDeun minjmo bsotuto es¡emi¡imoabsotulo sL, siexis¡,eu ( Dom(0 ralquet\0) - L.siendo - in{l-).
l-12 Autoevaluación
Problema
_Seala firción deñnida or f(x) =[lrrmacrones scorecta?
A) f(A) = (e,4) B) f(A)
2 y A el intervalo ( 3, 2). ¿Cuálde assiguientes
le,4l c) t0 , )
Problema2
El dominio edefinición e atunciónealdevariableeat:h(x) =
es :
. 1-?f
3x+2F=;t+ rr. 6
82
A) R { 1,2,3} B) c) f \ ,2 ,31
Dadasas unciones
Irz+l
r t ( r r=1 -.L^
A) (fr f2)(x) =
(3fr 2fr)(x)
(tr + f2)G) =
vf"lx)
x<s i 0<
sl l
si
2s i
si
x<00<x<1
'1<x
x<00<x
si x< 0
si x> 0
l*, 2. si
Izlz*' q*
- ] , - .| *+
1x22r+
[2xl
I12 x si=1
l * - '0
Sx
scvenrcfl (l(rcx>1
f ( t ) = t2+1,c(Y)
Y+
B)
Probléma,l
Dadas las funciones reales devariable real
h(z) = 32 2 , se erilica ue:
A) h.f(x) = 9x2- l2x+ 5
B) s.h(x) = 3x - r.
c) hog(x)= 3x - 1.
ProblemaSea h tunciónefinidaorg:R tal r R- {0}.
. __l=
¿Cuálde as siguientes firmaciones sverdadera?
A) gno esuna unción nvedible
B) s es nvertible g'(x) =¡a1'Vx€R {a}
| 5+4aC) gesinverl ib le) ' l \ l - : - - - : - . vx ¿0
rtoblama¿Cuálde as siguientes firmaciones sverdadera?
Problema'10I
vr' 2 verifi a:
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l) f1*¡ = *2""*'u*ciónnegariva.
D) f(x) = - 1-xa esuna unción egativa.
C) f(x) = 3x esunanmciónpositiva.
,foblomaT
¿,Cuál€ ¿ssiguientes fimacionesesve¡dademJ
A) f(x) = x2+ 1 esuna i¡úciónmonótona €üeciente nR.
B) f l\ ) :- + es na lmció¡monóronarecie¡ree¡ - l l t .
C) f(r) - - -I esutra lmc¡ó¡monólooaecrecientem .
lfqbloma I
Seen las tunciones reáles de
r(x) = 3x- + 6x- 1.Cuálde assiguientes fimacionesesverdadda?
A) f no ierc ni¡griLn xtfemo.D) gtieneun mlnimorelativoeq(0,- 1).C) h tieneun máximo elativo en(- 1,-4).
ttoblemag
Sea la turción e¿ldevariable ealdefinida o¡ (x)lguiemesfrmaciooess erdádera?
A) Esun¿ unción ar9n odosudominio.B) ts u¡atu¡c¡óornpar r ¡ 0.C) No esuna tnción simétrica.
va¡iable eal: f lx) - lx-2. g{x¡ = 2\ ' - | y
=
-j
' vx + 0 ¿Cüálde las
ta
La unción defi idapor t x ) - - ----:-.(x - 2\ -
A) Estáacotada.B) Estáacotada¡feriomente.C) Estáacotada upefio¡mente.
Solucion6del €st
12345678910CABB CBCAB C
t l -t - rt f
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I Tema2. Funciones lementalesll)
Isre remdse inic iaco r ld tuncion otencia.ambien lamdda orencial e erponenl
enle|ovfaciona|'A:|. . termil |¿e|eS|Ld.ode1a' fuociore.e|emenlJ|e"algebraoL,cl la i n as qu e as operacionesue hd ) qu eelecluat oo d \dnable ndepenorenreon
; i ; ; ; ; i . , ;¡ '¿ i¡", r" ' , ;ccióo, muir ip c;c 'ón oi\ i ion porenciacióDr¿dicación
A comiruac'on, el e'tudjo de ,4. funcionel no algebraicas llamaJ¿
rr¿'cendenre..e enud'aptimero a tunciór og¿ri lnoneperiano''r l l¿n'ada n honoroe r
naremáricoe"coce.lohn\eper(|<50-lb l- I lnafunciónIienetuncronn\er(a ldruncro
fr,oánincialnaur"l. l¿ qdeiná' tunciore ' e\ponenciale ' osairmica' ) otmt runcione
noiencia'e
defiren¿ D¿rrrde a tuncione' oga' irmo eperrano exponenc rn¿rur¿r su 5fropiedades ededucen e asde estas ltimas.
Por último. 'e ac¿ba l tema rtrod!,ciendo ó tuociore'lrigonomelricas Ha'ü ahora'eha maneiado d, ra,,one, rigonomérncasde drslinlo' ingülo' ) 'e ha probado alguna
iJ.niiouáf'neono.,¿,¡.ac
in este ema'ee'rudia l¿' tuncio e'
"enocoseno t¿nsenre
asi corro sus ecíprocas: secaúe, cosecanle y cotangente S€ tennina con las funciones
inversas:arco seno.arco cosenoy a¡co ¡angefie
2-1 La unciónPotenc¡a
Se llama un, ón porcn. d ú poteartul a cualquiet Llc ón de la lolm¿ lr x r \' srend
" ' un nnmero eal iro.Ll dom,nio, a gr;f ica v ló camcrerisr icase ura tuncron olenc
dependen,ngranmanera, el núnero "a" que iguraen el exponenteTenemospxesi
Definición.Dado n númeroatulaln,la unción :R + R defi¡ida or
fG) = i '= x 'x x . . . x (n veces) '
paracadax € R , se lama unciónpotencia¿ee:rpoentenatural'
. No/dr Una uncjón oliDónica sunacombinacióninealde uncionesotenciasebas
8
l rñ l'
c\t l(nrenLearur¿1.n
5*7 3ra + zr, - +, . r i I r p, ' lr] .Jrnioornado o' sumds difere¡cra(eescataresutripticado{or urciones
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IrrcrrLrr. ee\ponele aturat,ambiénlamado, onomros.
. Nr)/r/r estaquemosuexu : I , por o que a unción onsrante(x) = c esel producto(1.,. ofc lmonomioderado .
Delinición.Dadounnúmero arulaln=1,2,...,1a unción :R) R definida
1l
-
- \ ' \ .4 . . . rrn lece\r '
pa€ cada x € R- {0}, se llama unción porencia le exponente ntero
' Noto, ' =;f
=;J;, *"*
""ád€ñnidanelpunro = 0.
En la figüm 2.1 apa¡ecen eFesentadas8
- Sin es mpar sdel ipo
q
2tas tuncrones I( \) : \ , g( * ) = xl
21.1 Propiedadesdelcátcutoconpotenctasl
Propiedsdes.
1. (x.y)' = x'y ' , cualesquieraqueea n ,y € R {0},2€2.
2 .- \ / . \P rr / -P , \ -- 'o.con\.R iot y , , .p ,z
3.- (x ' )P=x" P,conx€Ri0) y z,p€2.
4.- fl c¿rox - 0 habrá ueesrudiartopane uesNOSFpt I DFdividirporU. srelexponenres eg¿rivoas uncioDesoeslánefir idásndicbo unLo
¿"1,2 ráfica e a unciónpotenc¡a e expononte ntero osiÍvoS el exponentespositivo, sdecir, i esu¡ número ahfaln 1 2,3, .. sugiíñcaes:- Si nesparesd€l ipo ,parábola":
l8
En la figura 2.2 aparecen cpr€sentadasas tuncion€s f(x): x3, g(x): x5 v
h(x) = x? .
. A la vistade a grtfica se iene...
- Si 0<x<y entonces <*'.y" t-a unción es,por tanto' un¿ ünción estrictamen
creciente en el inrervalo (0, + ú )
- L¿ tunción no está acotadasuperiormente, s decir, dado cüalquiernturcro real
siempreexistex tal que x' > K .
8f
,,,,l,,,liliü:iT.*tuu"u.ida nRy,comoeren)osús ,¡ctllnro,sunui,ncióno,rtinuan
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l l.mplo'll,[ $iguienteiguramuesta a gráfica
f lr tr¡ f l r l rlx ) = x, g(x) = x'?, (x) = x3
de varias tunciones poteniiates de exponente
2.1.3Gráfica e a unc¡ón otencia eexponente nieronegalivoSugráficaesde a forma:
- S nesparesdel ipo
. rrgur¿ .+
En a igura2.4 ehan epresenradoa. uncronesr)- Si nes mpa¡ sdeltipo:
:x-vs(x)=
Figura .3
Figura .4
90 91
Enlafigura2.s e an epr€sentadoas iúclones (x) =*-r v g1*1 *?
. A lavista de agráficase iene..
- Si 0<x<y entonces > xz> yz. La u¡ciónes,por anto, na unción sl clanrcrnt
decrecieDten el nteNalo (0, +@ .
- La uncjón stá cotad¿nferio¡nenre n(0, +ú) pofL = 0'
- La firnciónno estáacbtadauperiormenten dicho ntervalo
- La tunciór no€sLidefinid¿enelpunto x : 0
Ejemplo2'La;iguiente gura .6nuestraagntfica evariasuncionesotencialeseexponenlo
entero€gativo:(x) = *-ryg(*) : . 2.
Dcfinición.Se¿ un número ealpositivo r : P un número acional on
,l| 64 1/ t6 t /9 | /4 rt :l
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q
,t,0 ) E iÍeducible ¡ fun ción ue d caddDumero.eaj '(r lc haceq
corresponderr, tomando ara odox la raizpositiva ncaso equeq sea ar,se lamaÍunc¡ón otenciade eryonente acional.
. I.AS resprimeraspropie¿¿des e laspotencias on exponente nterose puedenda para
tr¡cncias¡acionales:
Propied¡desdel cálculo con potenci¡s.Consideramosue z y p son
l .- ( \ ' ) ) \ ' ) .cualerquieraqueiean.) eR - {0} .
2. - x \ ' . -x- ' .conx -R-{0} .'x !
l. - ( \-) : \ - ' . con . € R l0l .
4.- El casox = 0 habniqueestudiarloaparte uesNO SE PUÉDEdividir
por0, y si el exponentesnegativoas unciones o están efinidas ndicho
Laspotenciaseexponenteacional ositivo onestriciamenrerecientesn (0,+6)nicntras ue asdee¡ponenteacional eg¿tivoonestrictamenteeüecient€sn 0, +6) .
- las potenci¿seexponenteacional,antoposiiivo omonegarivo, o estrín coradas
- Laspotenciase exponenteacional,antopositivoconroneg¿tivo, stán cotadasillcrio|mente n(0,+a) porser osirivas.
2-2 Función ogar¡tmo eper¡ano
Definición. Se lanrar"ciót1 logaritño nepefianov se designapor lnx a la
firnción definidaen R-! con valorcs en R, qüe tiene las siguientcsp.opiedades:
1. -Cualesquiemue ean , y € R-.sevedfica: n({ v) = ln).+ lnv'
2.- cualesquieraqueean , y € R+, se erifica:n( I ) = hx lnv
3. lne = I . (Véaseanota iguiente)
4.- nl = 0.
s.- nx = lny implican - y
6. lnx esconlinua.Eneltema igoientevercmosl significadoe unción
En el sisuiente spafado s€ inicia el estudiotrascendente¡. nalizairdoen primer lugar la tunciónhonoraNeper.
de las fünciones no algebraicasologaritno neperi¿no,lamadaasi cn
EJemploVamosa representar cdmprobaras
! su entesuncion€sotenci¿les:(x) - xConsnuimosna abla evalores:
propiedadesenunciádasánkrhnrente de 1ast /2 1/2
vstx):x
r(") I /8 I 1 1/3 t /2 \t5 ,,5
^/:.t,(x) 8 l 2 lLBz
Figxra2.7
929
. ry , , td l . , , t ropiedadJl .a.eapareleLniú'r lerurn, . ) \ t rL.Ht . . . t nLL.roe:e. ron, , ( ,unr. r ln ix , . ) . rq, re. omo everá n or t (¡r¿, I ) 4. pre\ \ r ' r ' ( t ( c : u\ t h Lrnc iónuc . , . r .c r¡h. r ' \ ,1. r á: rn( i l a enÚe al¡el 'asJe enen ¿roÚas rcn proo.cdadc. .ue ani¡rer
"c .¿nllrrrr'¡r'¡cs )garítmicas.
.
a) 1132
c) (16)
b) ^,6)
n, lg)' ,81/
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\ ! ¡ i . r h Jrr lnic ión. la ¿nrble ndependien, , so.o o-na atorese¿te. o. i r o. . \ aoLer ' l , r ' r , '1h^runrero.ncgari !osnof ienentogari rrnoreat .ponro,etdominiodee.r"tunc ion
fk ll (0. 'ó).
1.0 frlllcade a unción ogaritÍro i€ne a siguiente oma:
soluc ion. P¿ra dl lar . ras magene. .o tunc ion e as rmagenese ) 2 cs converrtn
dcs.omponero. valore'de a ari¿ble en porencia' e 2 ) l ) . po' teno- 'nerte prhl r 'Épropied; ¡ le ' lemenr¿le'e a u¡c ion og¿nmonepera¡o:
a) i ¡32 : In(25) : 5ln2 : 3,4655.
t)1n(,,G):'1or/ '?¡:no: j r ' ¡z :¡ = trnz*tn: l :o 'sess
c) n36 = 1n(2'? 2) = l¡(2 '?) ln(3'z) 2ln2+ 2l¡3 = 3' 5835
d) 1n(8,/81) 1n 8 ln81 l¡(2r) - l¡(31) : 3ln2-41n3 = -2'3151
E¡ercicioResolverossiguientesistemaseecuacionesogarínnicas:
f lny+ n2 = 31nx+21n2 fn1*1* tz ¡ = ztnv.1, .1a) j Dr l
I 2hry:21n2+slnx I lny = ln(x+3)
Solución.a) A1aplicaraspropiedadese os ogaritmos,eescribimosste istemaomo:
I n(2) , h1'r r ¡ ' ) f : r 4x¡I1-1I nlyz¡ t"¡+*s¡ ly ' : +* '
Al despejsr en aprinela ecuación sustituiren a segunda eobtiene:
l4x5=o lx=o4x6-4x5 o >*is(x-r) =o +l
-1lx- l :0 [* : I
Lassolucioneselsistemaeecuacionesolinómicasonx¡ :0,Yt :0 Y x2: 1,Y2:2.
La primera olución €l sistemaolinómico o essolución elsistemaogariünico ue
h0 náes nnúmeroeal.Por anto, asolución elsistemaropuestosx : I'v :2
b) Si sustituimosl iny de a scgundacuación¡ ]aprimera cü5ción ultiplicadaor2
obrenenos:n(x 'z+ 2) - 21n(x 3)
Figura .8
. A k v sta e a gráfica e iene...
' lhra todox > 0 y par¿odon € N secunple, envinud de apropied¿d que:
ln(x-' ) nl¡x.- La unciónn(¡) esesfictament€ecien¡e.- La u¡ción ln(ri) no estáacotada xp€¡iormenie i inferiormente.
{otas h¡stóricasl,¡i paldba logaritño.fue wentadapar elmatenátiu ingtésJohtl Neper(j 5 50- 6I7).:omo nayariac¡ón.íel émino dLgoritno, onbre quedio Muhanned bn Musa,tndtenáticoárubedeprincipiosdel iglo IX, al conjunrodesímbatosrprccedin¡enrosde os cálculo:tnatenári@s. Neperue un al¡ttócturd que, ,a en t591, dio ta teoñdfun lanent4l de os logaritnos. Su obra sobreestandteria pue.leconsideru$econouno cle os ibrcs de üoyor itúluenciaenel cálculoañtuérico trigl)nonétñco.Sebdden a corrcspondencia ntrcunap¡.ogresíó aritnéticay otrugeométrica.
: lerc¡c¡o4Seaf(x): lnx.Tomandocomof(2):0,6931f(3) = l, 0986calcular:
,4 9:
I 'otol lognlitnurrlcrrnupotci I h r(r r l . l ) | |r((r .t)r),dcdonde:
xrr12 (x 3)2 á6x I 0 )x: Propied¡de$.aspropredadesrincrpalele a función ¡ponencial' 'e
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¡l r ;,surituycndoenasegundacuación,btenemos= x+ 3 =
t1| ll ! ,üfl 'nr r( r rn(|n¡ od¿armrcost
. t ,
. /v,,/, lrl lirncfi logadtmo eperianoermite €finirunanueva unción,, ;nyersa, ¡ e\
n'||lr(loic trc
acomposicióneambas s a unciónd€nridad.
I.3 LE unciónexponencial atural
slrgúrr sto, asexpresionesxp(x)= e' : y, lny = x son equivatentes.on orasührlflrs,unpunto x,y) p€rtenece agráñca eexpsiy sólo i (y, x) pertenece agniñca
I $lo ignifica ue asgáñcasde expy de n son imétdcasespecroe a ecta =x
- La variable ndependie¡te puede onaf cualquierv¿lor, por ranto et dorniniode est¿ilrc ión s odoR.
- Lavadsble ependiente, = exp x : e^ sólo oma alo¡eseales osirivosaqueel
únrero espositivo. ortanto,l¿magen eesr¿unción sR-.
t6
11
l)ofinición. a unciónexp(x)= h r(x) : e', definida e R a R", inversa(lc 0 irnciónogaritmo eperiano,e enominar¿ió n exponenciatdrurat.
y: exp(x)= e^
deducene asp'opiedadesdea uncionog arlm nepeñ¿o:
t . -""*Y: . ."rt . " . " = i
:._... = ") ' ¿.- -=rye*
5. - "0 = 1 ; "l = e 6.- e": ev implicaque :y .7.- e^ esconti¡ua.En el sigüienteemaestudiarcmosste oncepto'
2.4 Otrasfuncionesogarítmicas, xponencialesy otenciales
2-4.'1 unc¡ónogáritmo n basea
Definicióo. e lama¿,¿ ón ogaritñoenbase > ry sedesignaor oga(x)
a la tuncióndefinidaen R*, con valoresen R, que iene as sigui€ntespropiedades:
1 - Cualesquierauesean os números , y e R- , sevedfical
logs(x Y) = logax+ ogay.
2.- Cual€squienüe eanosnúmeros, v e R-'severifica:
los. ' : I los.(-los,)
l .- los^a= I
4.- loga1 0.
5.- logax= logay mplica ri = Y.
6.- logax escontinüa.Enel capítulosiguiente eremosa continuiüd)
'¡r'o¡d: Se necesitamponer as condicjones:
que seauna función. Obsé¡r'eseambiénque
a> 0 pala ue xistaogJr), Y a+ I Pala ñlnción ogaritmo €perianos a fünció
9i
l (rU[¡ i l rnocbase lnúmero,
Propledrd.Si y = logax entonc€s = a' y tomandoogaritmoseperianos
l\ru,rLrc l , ,uHriU)'r , lLirrnulu rrr úm,i |¡ trrncnr(n 2 rrr) ir l , rd(s.uy IrL rrrr lrr l r l l rt j i ' ;h! i inrcro o- r n0 .Ccncruh/¡nd,,.0rr¡ nr b¿hcuulqrrrcru.' , i r l i r rr 'r l l ipl i f rrrnr r l( ,r ¡ rdft , . , lc abr.( dcl oÉar i r rno.tu(( Lorrs 'd(r
2-4.2 La fu nclón exponenc¡alde báse a
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scriene: l¡x = ln(a,) = ylna _ log¿x.lna,
. lnxdrloquesededuce: log¡\ - ¡--.( . ,- l )
L¡r l gura2. 10 muestra agláficade as unciones ogaritmosen distintasbases" araa< ly[>l:
Notacionessualesei ogaritmo.
ln + logaritmo eperiano.
log e logaritmod€cimalo ogarid¡o enbase 0.
loga > logaritmo nbasea.
EJorcic¡ooLQUé ayquehacerl€a un númeropam quesü ogaritño en base10, es decir. su oeadtmodccimal,aumenten2 unidades?Solución. y esel número ¿do, es el núm€ro a ransfoÍnado,ntoDces:
logx = logi+2 5 logx logy:2-)
logl:2,'vy 8l lr ansformar, plicando a definiciónde logaritmo, a ecuac ión r una ecuacióncxponencial,eobtiene
logl =:-
Lo2: I-
{ : too y
Figúa2.10
s8 99
Deffnición. ea > 0 un númeroealpositivoLa funci(jn re rr rr([r rlrrrrulrl
r€alx e asocia xroga eder'omirÉfunciónxp.)z¿,cürl.¿J,/jt' ,v if tlf{lHrrr
por exp"(x) : a..
Propied¡des: aspropiedadesincipales e a unción xponcrrtrr rr^
t.- u'*Y : uo aY 2. - a* r = 9- - : .- a' '" in' l '
:4;
E¡emplo
Dada a firncióneriponencial
imágenese , -2 Y 3,/4.
f ( r \=2:2;
^/ 3l ^.-31
escontinua.Enel siguienteemaestudiarcmossteconceplo.
I,0 . e.- a ' : a.
de basedos, (x) : expr(t : 2" , c¡ lcul¡r¡r¡rrll ¡
| /4 ;
: r ' ', f f : 4. Nol¿r ObséNeseue sen€cesitanponer a condición >0 p¿raque exlsla oSrl
ObséNeseambiénque a exponencial alurales a unciónexponenciale base
. A la horadeestudia¡as uncionesxponenciales,ayqü€distiryuirdos asos.ü i|l e órr¡tel alordea,ya queexisle nadiferenciauy clara ntreas uncionesebasemavor uc 1
unidad,> l ,yaquél las n asqueabases enor ue no, < l.
. Lasgáficasmu€stranuncionesxponencialesn asque eobservanaspropi€d¿dcsLrsedetallan coniinuación:
' l,n lnción exponenci¿llx) = a", dc b¡tsc > | . eH íttict mcnte recie¡t€,mientras
qllc g( ) r ^ . conbase < I , esestrictam€nteccrccicntc.
" Noesló cotadauperiormenreyi 1() stánferiormenrepor = 0.
^p¡rnir eestos lor(sv lus 'ropi('d¡rdcsu Ds ¡ncioncq x¡o cr)ci¡rlcs tr rrÑ rt l
rc Du¡de ibuiar onbastantcrccisiónagrálicn e a unciónix). Anúl('g"rtr orrlcrt{ t(x)'
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.
qcmploo
Virllor,rcstudiafasgráficase as unciones:
l ix
J¡(r)
f(x) s* y s(x)= (r/4x
ElomplogI{eprcsentamoslíñcamente as unciones xponenciaiesiguienteslo)f(x): exp2l3(r) y g(x) = exp3/2(x)
Para acer a rcpresentación áfica, seconstruyea siguienteabladevalor€s:
3-)
I1 2 3
t /125 | 25 1/5 I 5 25 t25 625
8 2 1 1/ 2 1/ 4 t/ 8 r / t6
3 1 -1 0 2 3 1
r(x) 2',78 9/ 4 3/2 2/ 3 4/ 9 8 2',7 16/8 1
g(x, 8/27 4/9 3/ 2 9/4 21/8 81/16
100 10
Lasgráficas el€jemplo nterior onsimétricason especto l ejeY lir I¡crr(rrrl lrh
tunciones* y (1/a)* sonsimétricasespectol ejeY. A partirde a gúfictrd! trrrrri! fllnh
esposibleobtenera8nificade a otra.En asigui€nteigula2.13, e ueden ompara¡asgráficas e as uncioncsxporcrrfirrl(!
segúnos valorcsdea.
Ejercicio 0Enun íocrece nalga ue, ebido la contaminac;ónünica,se epmducerrlrn
exponencial.ehaestudiadol crecimientoeunamuesha e I dmz y sehaobscNado c
a1 abo eunmes uárea sde I, 2 dm2 De seguir se itmodecrecimienroxponcncia
a)Escribir aexpresión lgebraica e a unción iempo-área representarla
Figura .12
ñlc a, uta onat anan a e ,
h) ,QIó rc¡rocuprró l cubo e año?
l0krolór.
| | ) Ss¡r cl ctccimienloensual,ntonces= 1,2 I = 0, 2I esdecir,un 20%.
(x) = s(h(x))'SrJ 0,cnronce\frrr | Paralodo\
- Si a > 0,entoncesesc¡eciente
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l lulr ion lr lrc0 I cl l iempo úmeses,rcsxlta:I
l l lpr i l rcrmcs.r( l) = l r I i
( ' .N(' . f"rzr
(r .) .(r .1).
|
=
<,r , . f ' . ( , . ] ) ' .1=.1) ' ( ' -N
=(,. i) '
= '.i)'y ,,sr ucesivamenre,aran€ses e btien€:(t) = (t.N': (9' - *o¡n
-202l 'igura2 11
l ') i l ( 2l : erp6(12):8.c l61dm-
5
2-4.3Funclónotencla
eexponenleeal
Definición. Dado un númerorcal a¡bitrario a, la tunción f: (0' +6) J R
definidapor f(x) = xa:"ub',
pu*"uda
númeroÉal x>0, se llama
lunciónporencia. F$ci6n potenciadeexponente )
lisl¡r irnción es la tu¡ció¡ compuesta e
10 2
c(*) : €' y h(x) = alnx. Es decit
10
-Si ¿ < 0 ,entoncesesdecreciente
. En a sigüienieigura epuede¡ or¡pararasgáficasd€estasuncioncslrrrrr¡r llhlirr(rrl
Los valor€s e a razónrigo¡ométricaeno e epiten ada n radianes'or anto'drcll
2-5 Func¡onesrigonométricasFn r enader orumen.sef3, "l'llg."":fiéi?í""x'ii'.t::",s'"'l:1;"t
ánsulos sehaprobado lgunasd€ntrdaoesrg
r'-*:hxlhl""'"1¿t*;'-l:n:';.:n:$9:""1rus:::26.1 Fuñción enoYfunción oseño
Vamos considerarhoraas úncroneseno cose¡o' sdecjr'lasu¡cio¡es rre trl(kr.¡.i" r"i .1"""'
""""sponder,respectivamente'osnúmeroscalessen(x) v cos x)
0<a<l
lemü2, rtttit'kt,1!\enenk (r(ll)
lh$el(,n s Dcriódic¿rc periodo t! BAstrú. )ucli. libui r lLr8rúllcacn un inlcrvalode
Iorrglturl2r,porejcrnploel0,2n)yexbndc ! dcünrésrl i l iT do aperiodicidaddch grálic0 coblicnc orpcriodicdod.
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¡,1.2 Clrcunforonclsunldadyrazonestr¡gonométricas
F;güa2 io
P1P= sencr, Pr = cosoYPo Q= tgü
Una olma eficazde entender ómo¿clua a tunciónsen(x)eshacieDdoecorrerelpuntoP
h circunferencia;omoPtP = sen(o) entoncesbseNamosue, uando = ci : 0, la
lürgitud delcaretoPIP es0; conformeOP avanza n sentidocontrarioa as agujasde1 eloj,
c l caleroPP aümenr¿drra lega a Ien"
j -oo" ' s i ' igue alanrando o
x = n: 180"vu€lve ser0;si aúngiramás a ongitud elcatetofeceenvalorabsoluto
fcrocon:ig¡o egati \oues sra or ebajoeleJe X ) laordenadaelpuoLoesegarivasr.uce.i \ rnentebrmemos¿grál lcae á ¡ncrón
"e¡o.Paraa ñrnció¡cosenoepuede acero mismo on a abscisa elpuntoPr , seriamuv
instructivoqu€el ecrorsededicara ealizarexplicitamente slas onstruccion€s
Yaconocemosambiénosvalores xactos esen(x)paladieciséispuntosdel ¡tervalo
|0,2 ) (ver volunen 1, ema3). Los pares rdenadosx, sen(x)) co¡respondjenreson
óstos:
ro.o, ,i ' r i . f),
,¡ ^/J. ,f , . ,zñ Jr
rt. ,* rt, , tn2 "1 2 2'
) . ),
rtt
1''25n
(?4'
" f,,or,f.-), if,7rT .r . l l r I.
Represe¡tandostos untos n un sistenade ejes oordemdos uniendoloson razo
continuo, ospodemos aceruna deadel aspecto e a gáfica de f(x) = sen(!) en el
intcrvalo0,2n) . En caphulos osterioreseveráque a unción eno scontinuaEl resto
104
1)" ),
. D€ las propiedades e a azón rigonométdca eno, si cornode su gráfica'sc <lcdttttqtte
en el inlerv¿lo correspondientea u¡ periodo [ 0' 2 r ) , la tunción verifica:
- Don(f) = R e 'n(1) t-1,11.
E---- i - - r --" i r r : l ( r ¡1 )" ,- " ' "^- -' \ ' ' 2 / - 2 ' - '
. /r lnl- Esdecrec,enten\t. tl
.
- Suvalormáximo s , qüe ealcanzaalax =
- Suvalorminimos I,quesealcanzaparax
- Esuna unción mpar.
EjercicioltConsiderandoa función eno ¡ lodosos Dúmeroseales, enquépuntos lc¡ /
má\imos?Solución. lcanzsmáximos n odosaquellosuntosalesquesu magen s guala l'
decir,queverifican a gualdads€n(x) : I . Son ospu¡tos obtenidos l suma¡ o reslarJ
unmúltiplo e2ir:
' . . , 1Í/2, 3T 2,1t/2'5Í/2'91t/2'
a'3n
-'
Figura .17
1
lirrgcncral,e rata e ospuntos e a orma: =I
+ Zi.n,".n
r.unn,iln".o"nr"r". - Su alormlnimo s 1. qu c colcrnzaar a
- Es ¡nafunciónar.
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Defrfició¡. La funcíón coseno,y : cos(x), es aquella que asociaa cada
Sugráfica s:
. Esta unciónverifica enel inlervaloconespondienreun
perlodo[0, 2 n)
- Dom(t) = R eln(f) = | 1,11.
- Escrecieite n(r,2,r).
- Esdeoecienlen(0, n).
- Suvalormárdmo s1,que ealca¡za ara = 0.
106
Figua 2.18
Figura .I9
Ejerc¡cio 12
Compara as ]áfic¿s € as uncion€s*) ='"(x) v g(x) = sen(2x) v co¡rrcsrr
¿,Cuáls€lperiodo e atunción en(2x)?
Solución, econstruye na ablade valores e a funciónsen(2¡) v se epresenrrrr!r!
resultadosnelPlanocartesmno
0 1t/2 3n/4 5n/4 3r/2
s€n(2x) 0 -l
, I
Figura .20
Comparandombas áficas se obsewaque agtáficade a tunción sen(2x)
partir de la g|áfica de sen(x) medianteuna contracciónde ésta a la mitad'
periodo e (x) = sen(2x) es?= i¡.
Ej6rciclo3Considerandoatunción osenontodosos eales' €n ué untos ofa alejeX?
Solnción.Coltaal eje entodos quellosuntos ue erificanaigualdad os(x) : 0 sot
lospuntosobtenidos lsumaro restar)a;
unmúltiplode 7¡
ffi10
I I Scr( r l .ceüaradelo5pu¡.o\oela 'oma:
5n'a ' '
3n ÍÍ3r 21\t ,T
. t_ !scrát jcrsdc y : scñ(kx) e y =
ni t icas e
cos(kx), co n 0<k< I. sorr l l . r r l r t r i l r r | r r r l l
senl r) e \ = tus(\) . \ \ r l ' ( r j ¡ r r ' r t ll
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EJorclc¡o 4
l{cprcsenlaa gráfica e f(x) : cos(x+ r.}. ¡;Qué araderisticasisrinras ta unciónÍ(\ ) cos(x) iene sta uevaunción?Solüti¿,o. araepresenrara unción, prevj¿mentee onsrruye¡a abla evalorcs:
Figun 2.21
Comparandostagráficacon a de a tuncióncoseno, e obse a que ¿li'nción (x) = cos(x+n) seobtiene partirde agráficade (x) = cos(x)traslaciónorizontal aciaa zquierda unidades.. V,,J. A prn i r de la5 uncionc, en o ) coseno,mcdja e ndstdcio les.onrrdccione.
, l i ¡ raciooes.epücder breoeras r¿f ic¿. eo-ras urciones
¡ i l ¡hción hor izonl l ldeas v -
sráficade a
. l ,asgráf ic¡scle y: sen(x)+k e y = cos(x)+k se obt ieoennsl i ¡ l r r r l " I r r r | r ! l ' '
h¡c iaardba, i k > 0 ohaciaabaio,s ik<0, lasgráf icasdev= se (x) ' \ ' ! ' ¡ r \ r
. La sgráf icas. le - sen(x+k) ey : cos(r+k) seobt ier lcn1r¡s l r r | l r r iL l ¡'' " l í ' l '
I
l ¡ defecha,si < 0,o ala izquierda,si > 0 ' las gráf icasde : ser i ( I' \ I L' 1 |
2-5.3Funcióntangenteyfunc¡óncotangenteAnálo{¡amente.edefi enas tncionesrMgentecotangede:
Deli tr ición.as íu¿.nn?, naeentr v \a¿neentc qu e \e JJ rtr |r lrerpecrrvamenrepor/g),8 \.naquellasdefinidd\po'
- f r , . , - rs{\r . '-eN,pa¡a*" kn I.conlunnimeroenrtro- cos(x)
- f(x' - corsrx) !9! l I- .1, ar a "kn.conkunoúmeroenre-o sentxl
Las uncionesg y ctgsorl eriódicaseperiodo ¡.
Pamcomprobar sro, asraenerencuenta ue:
senG+n) = sen(x)cos(n)+cos(x)sen(n): se(x) '
Ejemplo 5
. Lasgráñcase y : se¡(kx) e y :conlracciónhorizonlal de las gníñcas de
10 8
cos(kx). con k> l ,
Y=sen(x)ey=
son el resxltado e unacos(x), y su períodoes
senG)
Fig\ttz2.22
(t - cos(n+x)
1
cos(x n. )= cos(x)cos(n)sen(x)scn(n) cos(x)l1rlr cprcsenta¡a unciónangenteamos utitizar sraabla evatores:
n/ 3 lf/2 211/3
Ejercic io 6
RepreseDiar(x) : ts(3x) ¿,Cuálssupe odo?¿Pa¡a uévalores o cstti lclirri(lrlr l
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-15
51t /6
Jts ,5 0
Fi&ra2.23
::^T:11*:lr, r.:r:, oe a tnción angente.alcon1ohicimoson aderseno, asta onose¡var r catetop.e en la circu¡te¡encia niara a" ru tgu.u Z.rO;;";#;;";firncióndelángo.
. En a gráfica e a tnción ange¡te epuedenbserva¡as iguienresropiedades:- Esuna unción eriódica eperíodo¡ tg(xl : tg(x+ kn),paratodokenero.. l-sundtunc,,rnquenoe.,a¡lerrnidapararor\at.re,r. j
k,r.pararoaolenre,o.
f -srdominioe( l j r:r. ¡aau:ao enrero],,,,_*-.,o
- n a i"t"-"r" (i ,f) , cor.espon¡rient€unpenodo,a inción tangenres recienre.
No estáacotada,i iercmáxinoni mínimo.- Tienesimetríaespecto e1 rigendecoord€nadas.
Solución.Se onstruyenatabladevalores€esraunción;
0 n/ 12 51r/18 1t 3
tg(3x) 0 I 0 .l1t:.1\er¡¡ll ll l
l lt ll lItc(3"1,e(3.1 I
III
III
El estudioie€siagráficandicaqueesuna unción eriódica eperíodo
tunc,onq. ,enoen¿der ' iapardro"\aroresrit] n*" '"4"1* ' ' ""
Análogamente,agráñca e ¿ unción otangentes:
3
vII
q! l
110 11
lir ltrgrfljel dc la iDoión coraogenteepl¡cdcn t)scrvNrrs siguicnlcs ropicdadcs:l isunrl inc i f i rperiódicadeperjodor:cotg(x)-corg(xrkr).paralodokcnrero.
lsrnl f i rnc iónnodei inidapamlosvalorcs = kr ¡ . para odo entero.
Sr(loñinn)es {kr. paraod o entero} süimagenesR.
0 Í /3 r./2 )n/l 5x/6
) 2
l ) l r '1rc I rcscn(xr lainrc iór ()sc(ur1. e.ons lruycrn¡r¡bl r¿cv lorcs
I
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li|l cl inlerlalo (0,n), conespondiente un p€íodo. la tunción cotangentes
Nocsliacolada,i ienemáximo i mínilnc.I icne melrh espectoelorigen ecoordenadas.
Elercic¡o7
l l l l lar las aíces e aecLrac ióne(x) cotg(x) = 0.
soh¡r ión. n ld ecuacioo pare(c¡do. rarone, Lr igonom(r, rcasrsr inra\ e un l r i \mo.'rür lo . por (r'o. se rrau Je escribir a ecudciónde .ormaque ran óto aparelc¿r ra,,ones
, I r \ { ¡mernL¿\ tsu¿le, e e.c ünicoa¡guto.S, aprrca ¿ uuatdnd otg(\ ) :-
y se
fcoscribe a ecuación omo: tg'?1.¡ t = 0. Resolviendo staecuaciónde segundo rado,cuya ncógnitaes tg(x), se obtiene,como únicas aíces, g(xr) = I y tg(x2) = I , o, lo
(tU(e, ^Ti .mo. \ r - : .x;.
Las ot ¡ i , . ,neroD ¿,corresDondi<nrest rnrer\aro
i r ) , . )I a.,olücione,decs,aecJdcionat aoaoR.e,;an:,,
i ! ."" ," .a"r *" .. .
2-5.4Función ecante funcióncosecantelgualnente,edefinenas uncionesecantecosecante:
Definición.Las/rr¿l¿Jussecante cosecante, rJ,eedesignan orrecy ¿o.r¿¿,respectivamente,onaquellasefinidasor,
t .- l(r ) . sec(\ l - .o.(V.
ptra- k,r- _. con unnumernenrero
lrr) co\ectu L,para r-tr,conLunnuneÍoenrerosenLx
I a. uncione..eccosec.onenódica\.eperiodo¡
112 11
t:
i
Figura .26
. En ag¡áfica e a uncióncosecanteepuedenobservaras igrli€ntesropiedadcs:
Esuna unción etiódica eperíodo n radianes:osec(x) = cosec(x+ 2kn) |ün
- Esunstunciónquenoestádefinidapanlosvaloresx:¡ .para odok cntero
- Sudominio€s {kn, paraodo entero,y su magens a, l l . ' ] l l , 'r )/" \ /1,\
I n cada no e o. n,cn l* l ; ty.
;. la unciónote.anre' crecien'e
/ r \ / l i \Lncada nodelos ntervalos
10. : | ) ;2n ld imciónco'cc¿r 'ee'dec"ecr" .
- No esá acotada, in embargo iene extremos elativos:máximo rel¿tilo en el l)trnl(,
- l r - .;. I r ) mhimo rc lar i \oen, ; . | , . r( rr+pondreo e a Jr Pedúdo).
- Tienesimetrí¿especto l origende coodenadas.- No cortaa os ejes.
La gráficade a secantea dibujaremos n el intervalo (0, 2r¡) extendiéndolaaml,i¡rl l,orperiodicidad:
rr r ru u ¡ rw x | "\
scnr(x cos( ) cos(x)l l cos(x)l I sc¡-(x)scn(x l I cos(x)l
sen'?(x)cos(x) cos(x)+ cos2(x) cos2(x)
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F gwa2.2,7
. lh Iagráfi ade a unción ecanreepuedenbseñar¿s igujenresrcpiedades:' Es naoncjónperiódicaep eodo2r: sec(x.) sec(x+2k¡),paratodokenterc.
' Esuna unción uenoestá efi¡ida an 1os atores :I
+ kr ,paraodo enrero.
f- l- sudoninio sR l++k,!, paraod o en t l
12. . .,. , ,croJ summcenes 4,-l lut l ,+.).
Enc¿daunodelosnterva."n,9 , (1,") ,r"r**io" *"-,"***i".,".
En a¡ranoie osnterva.,G, 9 , (f, z,') r" *io, *"-te es ecrecienre.
_Noesláacotada,in embargoieneextemos €lalivos:má,rimo elativo n el puntol) y mlnimo elativo n(0, 1). Coffespondie¡teünperíodo)Tienesi¡retría especro tejeOy.\oconaalejeO\yconaaJetcO\ r r0. Jl .
EJercicio8
lls¡ablecefi asiguienlexprcsións nounadentidad:senlt lcostr
I co.[f 'otgttt - Lo'eclrr 'enr\ l
solüción.Se ustiruyeorg(x) y cosec(x)porsus especrivasxpresioüesquivalentes:sen(x)cos(x) cos(x) r -: sen(x)I cos(x) sen(x) sen(x)
11 4
sen(\tr cos(x) l
^nalizandoel numeradorelprnnermienbrode a ecuacióo,esacarcL(ir o rilrri rrr
- ios(\rr\en (\l co' \ \ , .1¡\ \ l( r , r ' I¿ r¿ xprerrolc1 1.
'-
-a"1"
)l | * . r r l l-
' ."*
Sustituyendoa expresi¿nen' ](x)-t po ,
"o" ' i .)
v, nuevamentc.:(rrr! lr rLr" l
común os'?(x) ncl nunerador e a zquierda,csulta:
cosz(),) l l rús(\) l .ott(*)se,,(
")t lcos(It sentx
S mplificandoa expresiónnterior,e oncluyeue € r¿ta euna dcntidad.
2-6 Func¡onestr¡gonométricasnversas
IarturcionesrriÉonométricasinte' 'as.ooimporanre'ynece'¿ia'parJ-ec.,neJ , deun -iá¡puloparirdeL mediciore Lr ' adoiAJ'arecenon re' cncra r r: 'solucloneseecuacroDesrrerencr¿les
Las res uncionesrigonométricasnversas ás omúnmentesadason:arco e¡o. ru'
cosenoyarcoúngee.
2-5.1Función rcoseno
larun.roof: l; ;
,f , l ldefin,daporft\r senrr) e' e ' r icramelrccJrJ ' r '
esconti¡ua transformatichontervalo ne1 1,1]. Tiene, or anto, nañnción nlci\r
f' r quese<lesignaor arcsen y se lama uncióndrct r¿¡¿:
Dennición.Definimosa unción = arcsen(x)comoaq!¡ella n a que es
er arorer nculoarco)"-n*"aa" *t .
I i, i].*r" ** * a .t'-*"
Esto ignificao siguiente:ecir ue es larco eno e equivaledectque cselscndev:
y = atcsen(x)é x: sen(Y).
{ ¡
11
EJompto9
f t1l*f#:."Tilf"ii iili ti,J, :. ,..;.\u',,
u rur r'!4.tnuut
¡
I in lnrcntc.cprcscnlcrnosr l r r r ( ¡ r r r r r r , 'rrnBc¡rlc
2'8.3 Función rco angente
l., runci^n : 4"r"" ,t" '* l t , r , tg , r , c ' . lecienrc l rnrn t t t r r r ' t ' rn
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"1: ! I -n
reotada.u unciónnversa -r sedesign¿porrctg se lama uDción rco ¿'?s¿'l''i
Así pues,a tunción icts está efinida n odoR y toma alores n ( 1, 1),t(l*,i'
arcte(x) y siysólosirg(y)= x.
Porserh(x) = tg(x) continua ffeciente fi, i),*n*^"
t'-r(x) = arcts(x)c
también ontinua crecient€ n R.
Las sáficasde h(x) = tg(x) y de hr(x)
- arcts(x) sonsimétricasespecto c l¡
l;:tii;i,fi:,]:J1J#:J:H;::::il:ffi"H:ffjffiu",a idenridad:
rigura .2 82-6,2Función rcocoseno
l. r i tncrons: t0 . r l+ t I . I Idef in idañ^, .I r ' ' , r , l , ' a) . ¡ r .e rer0r i r : ' " - , : . : " ": ' i ' - ,
. , ¡ , (o \ y.ei lar¡a u¡c,ó¡, . " : . i ; ; ; , ' , ' , , "
-y = a¡ccos(x) <+
susgráficasson imét¡icasespecto a ecra
;"::;itl.ffYil:::.¿T;::il:
cos(y).
Eierc¡cio20
Demostrarue a unción rctg(x)
Solución. Hay que demosfarqxe
equivale ts(y) = -x, se ie¡equ€:
Figura .30
prcsenta imetría especto elorigendecoordenada
arctg(-x) = -arctg(x). Ya qu€ arctg( x) : ),g() \ . o lo que s o mismopo r er a ur . o
Definición. efinimosa unción = afctg(x) como quellaenaque escl
valor del ángulo arco)comprendi¡lo* (-
;, ,, cuva tansente s cl
Derinición.efinimo,a uncionl . ,;f:-- - -
er aro¡dernsu,ora¡co,d.i;;,";;,;,; ' ; ;":::::omo aquerran a ue e.to. t cxyocoseooi.rffiHi^:
cos(!
116
Fie]llla .29
11
H[¡entc¡np¡rcg( y) = x.ll¡docir, rctg(x)= -y , oquempticaue,arcrg(-x)= -arctg(x).
llr.clclo2l
2.7 Conc€ptos lave
Funclón otenci¡.(x ) = xuconx>0yaeR.
Función xporcnci¡t. (x) = a" cona> 0 v a+ I
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( lcu ar el valorexactod€cadaexpresión, nel int€rvalo 0, 2 ! :
a) arcts(-'5)
c) arcts(cosr)
íol"clón.
r)y = arcts(rtt o -rt =l ))y - a¡ccoslcos(7,!, /4) l)
c) y = arctg(cosn)<> ts(y)
d) y = tglarcsen(1,/2)l y1
b) arccoslcos(77r,/4)l
d) tglarcse.n(1,/2)l
tC(y) = yr = 2n/3,y2= 5Í/3.
cos(y) cos(7,r, /4) :>'y1 = 71t/1,y2= n/4.
= cosn>tg(y) : -) . .>yr = 31f/4,y2 = 7n/4.
= ts(,t/6)= ,lttz,y, = tsls"ts¡ = J1tz. n
Ej.rclclo22Crlcular l valorexacto ecada xFesión, nel nte.valo 0, 27¡ :
a) costarcts(1) l
Soluclón.
o) y : coslarcte(1) l +
D) y =
"*.["-*.(r]l3Í\
Yt : cosl-4J Y, = cosl-4-,_rt2
=rt2
. ' '=*"(T)=-4
.*["-*"(l=
' =*" l I )=4
118
A) 14,4dn'? B) s,gldrn' C¡ 3,4dmz
11 9
Función xponencirl atur¡l' f(x) = e^
Funciónogarftnica.(! ) = log"(x)co n >0' a>0 va + l '
Iunciónloga tmo neperi{no. (x) = ln(x) conx > 0.
Funcion€srigonométric¡s'
- Funcióneno,(x )= sen(x),paratodoxeR
- un, óhú,eno. cos{xl.pararodor R
' seol\)- Fúncrcnonsenrctx ) - rgr\) -
ff iWo*+tn'¡ l '* "
' costx',Pam\ ' kT lkÉz funLiohuIangente{x ) colg(xr - -x l
- -L,p¿¡¿x+t : r+ lykez.costx, Funciónse1nte (x, = sec(x) =
l- lun<ión,oseLane(¡ r cosect\r sei l*). lata
x'kn vkeZ
Futrcionesrigonométric$ nvers¡s'
- Funciónrco eno (x): a¡csen(x) € x=sen(v) '
- Funciónarcocoseno(x) = arccos(x) <+ ! : cos(v)
- Fu ciónarco ansente (x) = arctg(x) <1 x = tg(v).
2-8 Autoevaluación
ProblemaEn ün río cleceun algaque,debidoa Laconta.I¡inación ulmica, sereproducc¿ n$rro
exponencial.Seha estudiado l crecimientode u¡a muestra e I dm- y seha observado rrc
al cabo eunmes u uea sde ,2 dm'. De segujr se itmodecrecimientoxponenci cláreaou€ocuDarál cabode añoserá:
Problema2
Tomando omo n2 =
A) 0,8958
0,6931y ln 3 = 1,0986, t\ralorden(^.G) s:
B) 11,'7911 C) ero
Problema/clrálde as iguientesñrmacionessvedadcra
A) Lagráfica ey : sen(kx), con kl > I , esel resuhadoeuna ontraccióno /orrlrrl
u ¡rgráf icade= sen(x).
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Problema
Dadasasg¡áficase as uncionesorencialesa:
A) En a tunción el exponerte,a, esmenorque1B) En a tunciór h etexponente,, esmenorque1C) En a unción etexponente,, esmayor que0.
Problema4Considerandoañmcióncose¡oen odos osnúmeroseales, ortaal ejeX en os punros:a) x =
¡+ ; k¡úneroentero.
B) n/6 + 2kn, k núnero€nrero.C) .. . . l r 2. J¡ 2.Jr 2.J^ 2. s,r i . . . .
120
It ) IJfuncrón) - senrkxr.conl l ' | . es ¡a uncioneriodicaepenoao fr
C) Lagrálicade - sen(kx),conlk > I ,esel esultadoeunadilatacióne ica|dclrl
¿{rf l icade: sen(x).
Problema
¿Cuáld€ as si6rienresafirmacionesespecto e a tunción angente sverd¿dera?
A) Esuna unciónperiódicadeWriodo ,I.
B) Esuna unción lisconiinua ara os valorcs:x =I
+ kr ,paraodok ent€ro
' - o,. 'o r ., i.re.n.sn.) sudoninioesR j; + kn, par¿odok €- t ' -
Problema¿Cu de assiguientesfmaciones s erdadem
. . senlx lcoslx)A I aexpresión"irosr \-:r-: :r i
or r r - cosecr, - cen(' es nr denrda d
B)Lae\pre"ión, 'e,nlx)cq"(¡rorgr\) - cosec(\r-senrxr oesun¿rdent 'ddd.r cost\ l
c) Laerp,e, ion.j11-l l9!!^' .o,g¡r1 co:ec(\r sen,x' e( erdadera'ólopJ ,'L cost\ lciertos aloresdex.
ProblemaSSealaecuació¡:g(x) cotg(x)=0 ¿Cuáldeassiguientesfirmacioness €rdadera
A) No tienesolución.
Br | ¿"olucione"dee.raecuac,onenRson:'i $.**.-r"úmercenlero
12 1
(l) L,0s o ucioneseesla cuaciónn tson x $, vr.z
ProblomaTema3. Límitesde funciones.
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Itr cl nrervalo0, 2n 1os osiblesalor€s e aexp*"io' *["**,(N] *tl,
cl .Áy '6tl ñnr f r !$ ir l
Probléma0lhclintervalo0,2n1 os osiblesalorese aexpresiónoslarctg(-t)lson:
5nJ- T C)
^) ÍB) vt
2,5T
J2rt2'2
Soluciones el te¡t
123456789t0BABCACABB C
12212
Gontinuidad
tn e, le enla.e srudianos onceprose rmi te contúüidad ¿ra uncio¡r( ' Jn lct'l f ' r l r r lvar iable eal .De maneraniu i l i !a una unción - l iene or rm' le-L-enn punr"
Duede Droximarse L lantocomo se quiera i se el rge \u l rcrenlementc
bi remoi qu e a i rc ión fesconr i ¡uaen¡cüandoel l rmr leL-en-a 'precFrrrn!.nr(r tr I c\
decif. cuandoal aDroxrmarsea variable al punroa eolonces a tunLron r | (: rfr'{'lrr¡'nn
fla)-
3.'l Limitede unafunción
tnlodo oque.isüeonsrderaremoslncionesealese ariablee¿ lesdecir 'rrrr(n'rr
delnida.e¡ unsubcóniunloeR ) que ománaloresenR
Ejemplo
Co¡rsideremosnicialrnentea fonción {x) = rz cuya gráficaes una pxrrh"hr,'ri
(orr1r(lcl,]üiosalores ex próxinosa 2, observamosqucos torcs c 11x) eaproximan4.lirrcl¡oto.nos proximamosrimero or a zquierda tenenos:
\ - t . t . ' l . l .qq t,qgq, .. . .f(x) : l, 3,6 3,96, 3,996 ... .
csdc! i r . ncs(c .No r¡ umcúr crpror im pofl ¡dcrcchrr lv¡k)r l .
l i r cstccicnrp lo i remos uc a l ¡nción ionc imi lc la lcr¿ l or l izquic( l | isur l I f . r r !l {nr i lca lcra lporaderechagual¿uno qu e alunción ol icnc imi le n I 0 .
Sia y L son númerosreales f esuna uncióD. a expr€sión
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I i:(nrlinuaciónosaproximamosof aderechaobrenemosneste aso:
\ l . 2.t . ' .0t . 2.00t .fa\) - q. 4. 4 4.04 4,004 ... .
Observamosue, nanbos asos,osvalores e a unción eaproximanl mismo alor., t .r 'rs4 tsro sigue cürriendoi noc pro\ imamos2 a !ra!e,¿e alores rfe,enresta .
\u.c<ronesnrenore\.neste ¡.odrremosue riste l :mite e i I cuando r iende2 )¡tU( lc l¡mttes .
l jm f(x) : L
* leet el tínite cuando r t¡ende hacia d de Í6) es L, o rambiénf(x) tiend¿ ttu(tn t'thúnh' \
{r :>0
cntonces,rnosaploximamosx : 0 porlaúquierda, orejemplo
EJemplo
Considerenosho¡aa unción(x)
x : l , 0, 1, 0,001 0,0001
{x)-0,0, 0 , 0
cs decir la función se aproriima por La zquierdarprorimdrosa -0por l¿ erecba.br nemos
"j'LI
(,
Figura .3
Esto ignifica ue lx) puede acerseanpróximo L comoquenmos, iemprc ucelija ufi ientementeróximo ea;conmás lecislón:
Definición. Se dice qüe üM flnción f tiende hacia L, o qte tiene par línitc Lcuando x tiende hrcia ay se esüibe
l im f lx) = L,
cuando ¿m cadanúmero eal e>0 eriste un número eal 6>0 iál quc
lf(x) Ll< c, sienpreque0< x al<6.
precisa la proxjúidad deseadaentre f(x) y L. '.lsla proximidad que ha de existir entre x y a para qrc s,l v¿tof 0 y si a co¡tinuación os . La desicualdad (x) - L < ¿desisuald¿des< x al<¡ fij¿n
cünpla (x) L <6 1
(x )r ,0 , I ,0,001 0,0001. ..1,1, I , 1
Figura .2
124 12 5
li mr1x) L l inr l (xiysólosisecumpleni t1 , ( ) : L Y t .
El inite deuna unción enun punto existe es guallosdos ímitesatenles e en ay son guales L.
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Paúcad¿€>0existeun6>0talquelf(x) l< s siempreue < x- a <5
Fisura .4
Deffnición. Sedice queuna. uÍció¡:, riendehacia L cüandox riendehaciaapor Ia izquieftla y seesqibe
lim f(x) = L,
cuando aracada€>0 existeun 6>0 tal que f(x) - Ll < e siempre ue0<a x<6.
, Sedice que u¡a f..r.ci'n I trcnd?ha,n I cu¿ndo rieDde racia
^
por ]a
f(x) - Ll < €, siempre ue
lnn f(x) = L,
cuando aracada€>0 existe n 6>0 tal que0<x-a<6.
Deorromodo. riende acia por d ,,quie.da erpefli\ menre.or aderecbacuaDdo\c ¡pro\rmaracid n1a¡reDrendoseenor(re\pecúvamenle,ayor) uea.
. Los ímitespor la izquierday por a derecha e en a se lamar, ím es ateftrles le e a.I
(omo \-a ' - ] " ' 'l\ -a . lacondición0 la-x i .6quefiguraeDl¿defin'cion
I x-¿ 5i x>a
dc ímite quivalequ e e umplaunadeas os ondiciones<a-x<6 , 0<x a<3.Por onsiguiente,e edñca
126
EJemploLn a s ieurenter¿f ica.e bse^aqu e uando trende (. e\ i ' ten n\ rnrrrJ( r h,h rr . d
1 +7 1 ¡o i ra zqurerda- )) . perono coinc idenP' unro. ¿ ln' ión r t n' t {cL l rr ' r ' f"
x = 5.
v(* )
2(,
Ejemplo4
¡) Sea la tunciórconstanteelinida or f(x) = 2, pamcadax € R Enlonccs. rrcualquiernúmeroa, se iene
l imf(x):2,
pues ar scada É>0, se cünple l(x) -2 1 = l2-2 = 0<e, p¿ra odo x€ R v l
condicióne a definición e ilnitese atisfac€oncualquier > 0 que eelijaAsípues.
porejemplo. - l .el igiendoen ¿nicura-'
j. no, lnamo"om¿r ualquier¿lor' l ' r \
digamos = l.(Véasefigura3.ó)
12
tlutemática.
Propiedad€sri lim f(x) = L y
l. - l in (k.f(x)) = k l im f(x)
li m g(x) = M, entonccs,
= k.L,paratodoke R.
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l,) La uncióndentidad,(x)
Figu€ 3.6= x , paracsdax € R, verifica i¡n f(x) : a, pd¿ rooo
6 > 0, ta lque r(x) al = lx al < E,siernpreue
si x<0, no ieneímjte uando dende cero
y hnf(x) : l im l= 1
l ir efecro,ar a ád a€>0.exist€unlr r <6.(Bastalomar6 ¿) .
I r-a uncitn aefinidapor (x) ={
Ducs,(
-11
lim f(x) = lin1 (-r) = I
y, sf ,el imite e cu¿ndoriendecero oex ire porq.¡eor imite" areralese en 0 son
d) Sea laf i¡nciónefinidapor(x ) =. 1 1si x<1L x si x> I
ti m f(x)= l irn i= 1 yx+ l r+ l
,"1,t(*)
lü n f(x) = t i¡ lx=tx+ l r+t '
=l
3'2 Cálcutode ímites
tT',,*f.::];#i:;:*i;it'il#,:.f"J9i,l#tr*ff""TilHfi""d""Jf;¿Sif",i"1
rüi#,#ns?:r*i$r;;"3g!jlirii¡xi;*"1d.lFl*":¡¡;!i+#;H12 8
2.- im f+s)(x) - L+M.
3. - il n f-g)(x) = L- M.
4.- n¡ (f . g)(x)= L . M.
s r'-{f t" i=ft,**a"v*o6.- lim (f(x))i : ( lim f(x))" = Lr,psraiodon É N- {0}
z l im'Vrl ') = .fm(t = ![ ,paraodo e N {0}, ys ine s rr .
entonces ebeocuüir quef(x) > 0 en unentomodelpuntoa
8.- lim"oocb(t) = logb(,lim G)) = logb(L), paú todo b e R'. con
b + I , supuesto ue (x) > 0 enun entomod€lpunto
a.tin írlq. - tim b¡rtr -- b ' - bL paraodob e R* .
_ . lin e(x)10." lin (f(x)s(¡) = ( lim f(x))^-" : LM,
"opoestou"
un entomodelpuntoa.
Ejemplo5
a)Sif(x) = x2,utilizandoapropiedaddeducimosin x2 = 22 = 4
A¡álogamente,tomando(x) = x3, obtenemos im x3 = 23 = 8
Er general e ieneque.para odo númeronatu¡aln, secumph*lim2x'
: 2'
b) cuandose rata deun valot a,engeneral e iene lim x' = a"
f(¡) > 0 en
1
c) Como l lmitedeuna onslantcs gu¡rl cs¡r om$hDrccl lmitedeunproducto selpr(xlucto e os lmites, e cumple im (cxh) = car1, uat€squierauesear os números
ro lcs cy paraodonúmeroaruraln.
. f.sro ospermitealculat l ínik deunajtndóa pol¿rdrrr.¿ rnmás ue ener ncuentaqr¡( l lmfedeun a uma s aqumadeos ímires:
o nuloqucpodenos nconlürmenor igualquex Dc fbrma rcoiso,$tc útrrororühltrlonuloE(x) estádefiidopor:
E(x) = 0 paratodox€[0,]) ; E(x) = I pa¡atodox€ l '2)r
8(x) = 2 paratodox€t2,3),. . .
y. en eneral,(x ) = n si n<x<n+1,siendoñ = 0 o rc=N
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l im cn ' c x . .*¿-.. , . ."t1 - co rc.a+c2a2 ,, .Fc.an,
. El linite de una tukciók acional cocielrede dos frucio¡espoliDómica.Je oblienellicando el becho e que€l límirede un cocienkeset coc,enle e tos trnire!, ua¡doelllmi(e eidenominadoresistinro ecero:
a0+alx+a2x2+...+qx¡ ao*ata t-¿za2*,, ,+aoao
bo+brx+b:x2+... + bnxn . bo+ bra+ b2a2 .. .+ búanllm
psfatqdo € R, con bo+ b1 a ...+b-aú+0.
. A veces l cálculode un llmiterequiere tguoasmanipulacionestgebraicas.ct por(jempro. rse fata ecalculaf
. x2 5xl6\+ 2 \z 3x+2'
nopodemos ustituirx por2 en el numemdor en el d€nominador, üesambos eanula¡ parax 2 ) nosquedarla¡a nderermnacióDe a orma!. sin embago. ara * z secumpte
lx l) lx-2) x lx2 3x+2 (x-2)(x 1) x I
vnorranLo.*r,¡r,$j*,I-j 'T,,¡j il -
E ercic¡o6Hallar, i existe, l ímirede as unciones
iguientes:a) Iim E(x)
E)^b) l im /1-- .
Sol ción.Paa esolver sr problemaendremosncuenrauesi una unc ónDoseemileslateralesn un punlo esroson guales. bnces a función oseeimrieen eiepu¡tov suvalores l nlismo ueel!aiorde os imi(esarerates.
a) Lap¿rteentera e un númeropositivorealx, nos ndicacu.4l sel mavornúmeron¡tuml
13 0
1Entonces,ixtiende t:
1-Dor aderecha.ar a alores : 1,5 s€r ie ' reque
- por la izquierda, par¿ valorcs de x cercanos ali m E(x) = 3.
x) 11/2J
y<uvalores (vó¡sc ¡¡ iFurr | /)
b) Si x tiendea 2 tomando aloresmayores ue2, (x) tiendea 0, esdecir,
r imrrxr ,- F- p_o'; i
. ,' ;"J
x | "l l
En cambio, i xtomavalores ercanos2, percpo¡ a zquierda'alores con x<2's
tienequeetmrmerador, 2- 4 , esneg¡tivo,mientras ueel denominador, I ,esposil !(Así p;es, el cocientees negativoy su r5íz no es un ¡úmem Éat, por 1l) cual, no cxi
l im f(x).
Por anto,al no existir uno de os límites ateralesse deduce ue a función (x) nopos
1
l inr l i ( r ) l,
3, 5 co x- t, ¡ hr
Esdecir,existeel ímite de a fmción E(x)€n x =72
límite en2.
q.rclcloT
., liillr¡diurieJ(isle, no,el tímire uando tiende 0, y el imitecuando tiende I, de anrtekl|l l R+R definida, macada € R, por
| *.- l si x<0fG)=J*^ t si o<x<l
Ejorclc¡oHallar,iexisten,os imitcs n I y2dc tr lncióni R-tR definidaol
x< I
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Lxr+l si x> l
Sohrclón. a expresión e f(x) cuando esrápróximaa 0 por la izquierda e 0 esl lx) x2- l , lueso l im f(x) : l jm (x2 t) : -l .
x+ 0-
Análog¿mente,a exp¡esió¡re cuando riende 0 por ta derechas f(x) = x_ l,
li m f(x) : l im,(x l) = _1¡+ 0
Clor¡olosínites arer¿lesoinciden.nro¡cesxlin^t(x)
: I .
,..l¡ando x_ oma valorescercanosa 1 y menorcs que I la función estádefinida por
r1x)= x I ,portanto, l im f(x) = l im (x-t) = 0,\, t UI
yuladerechad€x= I ,para alo¡es que iende¡ 1con x > 1 , se iene
l irn f(x): li m (xr+l):2.¡f I ' x+1,
En x = 1 exist€n os límites at€ral€s e a tunción, p€rono coincidenensu valor luegonoexrste l írnite e x) (véasea igura .8).
132
1<x<2
x> 2
sifG) =
Solución.nx I se iene ue:li m f(x) = li n 4I- l= rt y l im f(x) - l im x= I
r+ l_ x+ t r+-l ' {+ l -
asípues,enx= I ,noexiste l lmitede a unción, uesos ímitesat€ralesocoinc (i( l
En x = 2 el imite de a unción es2(véasea figura3 9) En efecto'
,Y ,(4 :
xlim-x: 2'
l r imf{x, - , 'T,-_, I ! r* :+ ' r , ' ":
3-¡ Llmites nfinitos límltes n6l ¡nfinlloMFdiB¡te l siguie¡lte onjunto € gráficas e htroduceel signifiaado e a exfrcs
lim f(x) = I, , en os caso6 nquea o L o 4lrlbos60r ¡rfi¡itos
1
^ I¡r v¡sta de la figura 3.10 se observaqucl l t¡ l lx) = -@ ; li m f(x) = +ó .
i )l xe 3-
li m i lx) = 0; l im f(x) = 0;
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l in ¡a igura .1 1
l in l , f1x) +6 .
Figura .10
puede erse ue lin f(x) = 0;
v
lim f(x) : +@;
li m {x ) = +ó ;
liln f(x) = 0;
Figura .11
l im f(x) = 0; l im f(x) = 0;n a figlrla 3.12 s€observaque
I in f (x) : ó.
13 4 1
Figura .12
La figwa 3.13
lim f(x) = +ó
muesrm ue l im fixr - 0r l im flx) - 0:
; l im f(x) = ó: li m (x) = +.o.x+ l xf l
l im l ix)
La figura 3.14
lim f(x) = @
li n f(x) = r ''
Figura 13
muestra ue lim f(x) = 1; lim f(x) = l;
; l i fn f(x) = -ó; l im_f(x)= +ó .xr l x+ l
l ' ' l
--)"
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Fig!¡a 3.14
Doculrimos jempto\ ¡tesdepasar lasdeñnicionesorndtes e esrosimires on o.uorespondienre<a" igwas3.j ) 3. ben as ue :
li m f(x) = +ó ; l i rn f ix) = -or: l im f(x) : a; l im,(x) = +@ ;
l i fn f(x) = o; l in f(x) = +a .
Fisüra .1s
l im f(x) = 0; li m (x) :0 i
li m f(n) : @; li m f(x) = -€ .rr 4 ¡ ,- ¡¿ '
lin f(x) li m f(n) = +@ ;
13 6
Fig!ú 3 16
Damosa continuaciónasdefiniciones ormalesde imites nfinitosy lim rlcsc ! | irr l l li
t¿l que (x) < r
5> 0 ta lqu € (x) >'
ElomploI
a) se a la imcrónefinidapor\ I - : .para '0
Entonces im f(x) = -ó y lim f(x) : +- ,por anto, oexisr€ l inr ix )
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Figura .17. Los limites ale¡ales e una fr¡ncióne¡ un pu¡to a q R puedensef infiniLos.
continuación edefinenos c!¡atro asos osibles:
Defrdciones.
1. lim f(x) = -ó cuando aracada € R
siempreque0<a-x<31
2. lim f(x) = +.o cuándo amcada e R
siempreque0<a <3 .
r. rrm t{ } } = 4 flrandoparacada € R
siemprequ€ <x a<6.
4. luD.r{ x ) = +6 cua¡do paracada e R
6> 0
3> 0
6> 0
3> 0
slempfeque0<x-a<6.
Se verifical
lim f(x) :
lifl f(x) =
.ó s,,<olosi l im ft \ '- .@- tim (xlx+ t
+o siysólosi l im f(x) = +ú = ti m f(x).x+¿.
13 8
b) Sea a unción efini¡la or e x) = -l,parax+ r '(x l) -
Entonces im g(x) = +o = li1¡-c(x),
po¡tanto,xlimrg(x)
= r'
xJ t a+ l
3¡.'t Propiedades ara fmites nfinitos enel nfnito
S€ana, , M€ R\, { @} .r {+ó} y suponsarnosuexlin
f(t : Lvxlin.s(x) M'
Ias DroDiedadessrudiad?sn J..Z eexriendenara imiresnfinitos para rrrrir'\ tl
infinito:Uiiljzando na olacrón imbóLca ¿ modode re'rordalonoos
(r{).b=-ú,sib<0
(-ó).b-+d,sib<0
a- = 0,sia>1 a* : o,si0<a<1
ExDresionésnrl¿t¿rmin;d¡s.
3,3'á(a+o); o ' ' ; - - ' i 1' ; oo;*
. ¡y'or¿r ¡ ocasiones,scribiremos €n ugarde+@ porbrevedad
Expresamos contiÍuación,de nanera omal, laspmpiedades e os ímitescuandoMe R\r { e} ! , {+@}:
k. li m f(x)
: L+ M.
b/ l im ( l ( ¡ ) -hrx,r '@.pucs'6 - 0 - -@ .
c) l im (g(x) h(x)) = 0,pues( 1) 0 = 0.
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= L M.
f(x) > 0
,:r*Al::H3:fi:'queestas ropiedadeseveriñcan iempre ueestén¿efinidosos
Ejemplo0)lisa¡r( lr - x g{x) _ t. i } hfx)
lilü f(x) =+@, lim s(x) = I,
l ^-- oelat rormaque
lil¡ h(x) = 0.
Setie¡e:
a) l im (f(x). g(x))
140
= ó,pues+ó.(- l) : -@ .
Ejemplo 1
Si enel cálculo el lmite lim (x2 x) seesludianepamdamenteos llrril.r
l im x2 ; l imr,
entoncese legaa unaexpresión e a forma +ó) (ra), es decir.u( cilnnrrlrx r rindeterminació; Sin embario,siprocederDosel sig¡ientemodo:
Ln (x 2 x) = li n (x(x- 1)), ycomo l im x : li m (x l) - r" i .
obtenemosrim (x2 x) = (+-) Oú): +€.
Ejemplo l2¡
s) Sea la unción efinida or x) : --, paÉx+0.
Entoncesim f(x):+@, puesparaadar R eri istel l 6>0talque(x)>r sicr l
que 0< xl< 6: si < 0,para ualquier > 0 sesatisfacesta ondición, si r > 0, basta(n
b) lim x : +ó, porque ara ada € R existe € R tal que > r siempre rrc
bastatomars=r.
De aFopiedad sededuce lim x': +@,yengeneml,palan N arbitmrio
lim xl' = +o
li m I = 0.oaratodoneN.
porquepamcada É R existes € R t¿l quex < r, sjeúpre quc t
1
c) l i rn x=<
Ef generarseen e
l)ruI (xlonúmero atural .
ln . .2 tr lx :+ ú y l rnr \
1^
lim
hm
'l)( onsiderenosna unción olinónica
:\ j I 2 32x2,3 xl xr x xl
3x 3 ?x-l 3xr 7x I . 1 I
lll numeradore esta ltina lracción iendea 0 cuando -r a y crrndodcnominadoriende 3 cua¡dox + 4 y cuando ) +ú. Porconsiguentc.
\'1 ,
|l
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c¡>0ósi
¡ll lx l- cnx cn_t\ -. . . -c0concn+rr.
I t \) \ ' lc- -: : r---- - i l :
ru¡Irdo x + +ó, €1 .imerfactor iendea+ó y elsegundoactor iendea c¡, lüego
.gJr {Cuando + @ el pdmer factor tiende a +ó
Hcgundoactoriende c¡ , uegosi n esiarya 6 si n es mpar, el
h- (e: [email protected] ¡
vv
n es npar y
nes par y
e) Los imites ena y en +@deuna tnción mcional
fG) = an x + an tt ( + .. .+an
sedeterminanácilmentedividiendoel numerador el denominadororxp siendop el mayordc os númercs y m, comoveremos n os siguient€s asos orcretos,
EJemplo3
2\2 3a) Sea tr) - --:i:------: : conel hn deque osdenomrnadore.eandisrinros ecero
por anto,pam que as fracciones sténbien definidas,considera¡emosaloresde x para osqre x sea uficientementeande.Entonces, e iene
142 14
2ycl
b) Parax Isüficientemenierande,eiene
. '7 1
ixr-7¡z+l4x3+x+3 , , 1, 3
a----
Cuando tiendea a o a +6, el ndmerador e estaúltima racción icrltl.denominadoriende 4.PorcoÍsiguiente,
. . l ¡ ' 7x2 l L. l r l - - : ' ' I__",¿,1_"_t 4 *,-4xl_r l
c) Para x suficientementeande,se iene
2x4 I
)"4 r
,414-x4
3x2 3 3_ 37¡ ' . ' *4
Cuando x tiende a @ o a +a, el nümerador de esta última fiacción tiendc ¡denominadoriend€a 0. Porconsiguiente,
2x4-1 =+@= um-)+ó3x¿-3
Eierc¡cio4Hallaros lmit€sateralese a ñúciónsiguiente,r ospuntosndicados:
-5xl r^ I
t tr t l7l enxo-,rr.en(r -5 yen \. u.
Solüción.
a) El numerador x 1,de (x), tiende 5^,[ I cüando tiendea ^f , tantoprr,
* > "E comopara x < ", , nientras queel deüorninador e (x), x2 2 , tie¡de ¿ 0 si x
lin
t¡slllo {D . Ahorabien, sie enomiüadorsposhivo i x > J2 onunentorno etpunto,¡l 0(|mcmdoresañbjénpositivo,luego,(x) esuna unción osiliva aderechae ^,0,enllr crrtornoedicho unto.Asipues,
, ,1, ' ;n- , -_
l i ; -- @.endonde,ehasus,, , , ." t f , rJ*,- .
= ri' ----L-x , i i (x j r 2x)r ¿ ^
li m (r 2)l i ¡¡ ({r 'r-2x)" '
-Lo
0 ,. ) r2 'r 3z ' t, - I_o.rm h(r) : Lrm-
I =\] lr , ,ó 6r--4 r l"
' ^. 2 Á 2r
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Anflogament€,el denominador snegativosi x < ^,4 er un entomodelpunto,mienrrasql|ecl numeradorspositivo,luego,x) esuna tnciónneg¿tjva a zquierd¿e !0, enuncllonrodedicho unto. sípues,
r,n) rx ) ¡¡"..5; I -. . * a.ndee asusr¡ui¡o4--l
po r-' - ' " [ , -r t x ' ¿
¡ nelcaso elpunto I : L5
resultaque os lmites arerales oinciden valencero.
lin f(x)
' - iEnelcaso2 = 0 setiene:
:0 , l in fG)=
"' j)' o' ,t im frr¡ = ll -1 =1
2
=l2
Elercic¡o 5Calcülarl imiteen+o
a) flr) =
de as unciones:
(xr + 2x)' 2
o r(^)= {2" : ' ] - ) ' : -6t '4
lo.ll-!¡ón:Seaplica¡ ar prop¡edadese os nrlresdirecramente.uesrouenoseproduce
Inoeermrnacrontgüna.a) t im tirr li m {r, 2\, . 2 ti m rxr. )^l .Ll ' '
)'
-. . -b) l im s(x) = l im (x3+2x)-r+2: In (x3+2x) G-2) =
141
b) e(x) : (x3+2x) '+2
ar r^r: (-$:r )"
d, l im i ( \ ,' i i ¡ [^Lr i - : - - ] -1 "
r_ +ú l r .+\_J
34 Tratamiento e as ¡ndeterminacionesEn este apartadose estudia medianteejemplos a forma dc rc!rlvrr rrllrr ¡r{
. ó 0 a,,nderermil1aciones.oesuinAenniaos. i. i ra - 0,.0 ó. o " \ I
3-4.1 ndetermnac¡ones el ¡po=
Los casosmás sencillosaparecen l calcular imites de cocientes e liurciolnpolinómicas.
Ejemplo6
. .. x3 3x+1a)rnn-_. _. x4+x2+l
Al aplicar aspropiedades lgebraicas e os í¡nitesen a)y b) ocuneque,si sustiru'mos
por @.aparecea ndetelminacrónqu e e e'uel\e. n ád ¿un ode o' c¿so'. L |
a) At ser üIá ftacción polinórnica con et nümerador un polinomio de gr¿do3 v el
denominadortlo polinomio e grado2, dividimos umerador denominado¡or x'. l¡mayorpotencladex:
x2 xl
b) Analogamente,omo lgr¿do elnumeradors4 y el deldenominadors2, dilidin)s
numerador denominadot orxa:
, . " ' -_r '7l _ ,. |n . tl^ ' -
, tm ¡ . '1-| -
\ - 6-x 2x 2\ r ' \¿-2\
¿= ,,2
14
Elorclclo 7
-----;---:-
-4--¿
.t l
. -1. r 2¡¡
E¡emplo 8
a) li'n ^la7;4- 33x l
lx2+4x- |- , f f-rJ5\L\I5
a) En este aso parecea nd"too¡ttu"¡6o , perono esuncociente epoliturril't.
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. , , , . .^ 211+ 312+ 5x+ 2" ' .1 ' ; .5.4 + r"r 4"15
. , . 3xs+4x2+5c, rr m-++ a xo-3x+2
b) lnn -5x3+2x 44x z+ 5x +2
S{,luclón.¡t) A1 aplicar a propiedades lgebmicas e os limites de funciones, i sustituimos porr, , ¿parecea in¿letermimción= y al ser uncocientedepolinomios, alesqueelgradodel
r¡nrerado¡ elgradodeldeüominador s4, dividimosnumerador denominadororxa.
2x4+3x2+5x+22x 4 3x 2 5x 2x4 x4 x4 x4
liln5xa+2x3 4x + 5 .-4 1-l / .- .
x4 x4 x,l x,1
2 lim
b) l i - -513+2'- ,4: l i -x++ú 4xr+5x+2
lx 5 +4x2+5c, iLm -= ll m
x++o xo : lx + 2
. Engeneralestasndeteminaciones e csuelven ividie¡do numerador de¡ominado¡Dorlamáüim¡ orenciae o. polinomrosue iguran ¡ etnumeradorynetd'enomLnador.
5x3 2x 4
17 s-)xl ! l \ l
-=----7-,_
146 14
embargo, odemos tilizar combinadameüteasFopied¿des e os imites.
.Á' . t .4--3
E-' lar3¡l
x- I
lim
3x ¡
: lim
3x2+4x I
",iñ ---------:--\:+- 3Ji;Lr +s
I
_-3 1, , ¡ im ll
= lim
Y b) Iim -i-
3x 1
r:---- -'^ t
-6 "ú -6
b) Seprocede e ormaanáloga l apafado a),
. . lx2 +4x- I. r.. 3{t7- x+5
. Engeneralestasnd€terminacionese csuelven iüdi€ndo numerador denominador d
x" , donde eselnlá,ximo ntreelgmdodel numerador elgradodeldenominador'
Sin>m, el ímitees nfinito
Si n: m, el í¡¡itees atr/ m
Si n < m, el ímiteesc€ro
n r-1.
. . an x + a¡ 1x +.. .+ aOx- +
- 6_;F+ 6._,x ' '+. . .+ bo
3.4.2 ndete.minacionesel po3
Cuando Darecest? ndeterminaciónl calcularel limirede cocientes e fun (i rr('Dolinómica.,slas e esuelvenaflorirandoospoÜ¡omios umendor)denomir¿dor"r 1
;esla deRüfiini (verVolumen , Tema ).
E¡emplo9
Calculamosos ínites:
5x 2+4x- 3
^mbosinires or de a o..u OQno. *to a"U",no, ¡c(oriz y hrego implificar.
, ' ) t im + = l im (x-1Xx'?+x+l)r+ l xr I x+ r (x+1)(x l)
n3#=.,r, {## ti¡n =i2
Elemplo 1
Veamos¡es ituacionesencillase initesde a orma3
y una u0rrr osibilirlntl'l l
daráug¿r l estudiole as ndeterminacionesel ipo3
cona+ 0
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EJemplo20
Calcuamosos mites. ar tim \\ -o I a4 l
s) lim
ri'---* - rim -$- ,,n.'\ ,) rx- rI \ . !t \ .) t) ; ,* 'r( \ I 2t \ .2
11(x+2) 4 -
. /r'¿¡d; La indeterminaciónde la forlt1a I tanoren pueae aparecercon ftncionesirtucionahsmdicatesr.n esroeasoe.asrao; mutrrptrcaryr!;dir por aeypresrónadicalconJugada. cooti¡uacióo eremos n eiem.l¡rcqüiirema'p,rarraÁpr;'¿ii- i".¿."ii. i1iir1il,d;ae"rece' 'a ndelermjnac'ónse
y b) lim]JT 2
lx--8
I(x-+2x+4)
t¡^,ñ
=
- ri mrj l I
Jlxr
_ , ,. xr - ./ l -r ¡ _x u ( l - Jl - \)( l - Jl - \ l \ -0 I ll r)
-, 1 'li -- . .- ,
.- tr m4: t_t_1-_l1 _ I im (t_vl-x,_2.rJ 0
b)r+ 2 r I-:
lim
I
(2-+2.2+4)ll
71 2
148
lT., =."T"i: o
JT. : l't. : "rm {: r im ]=+-.xr o x ' xr o x-
lim : = lim ! . Esteímitenoestá efinido ues ependecsi rrosrtcff rr txt o xz x+0 x
valor 0por a derecha por a zquierd¿.Esuna rdeterminacióndel ipoü
con ¡ / {)
3.4.3 ndeteminac¡ón eltlpoñ
La indeterminaciónf;,
con a+0, no suel€ e¡ dificil de elininar. sicncl¡r rrlllrt
estudiaros imites aterales e os cocientes e imcionesque osgen€ran
a)
b)
c)
d)
Ejemplo22
Estudiamosos ímites: a)*limo
1
¡) A1calcularlmites de a forma¡limo
Iy b) nm^
-.: es recuente ometer l siguielrte rror:
m !:-.
v "€stooes ierto"xJ o ¡
Es necesario studiaros ímites aterales ara csolverlo:r
to l irn l=-' Alacercamos0 por a /quierda. 0.portar
r, o \
¡;,n I = +.- Al acercamos0por a derecha, > 0,portmtx+0* ¡
Porserxlim_
*,rir1.I ,oo
",,;.t.rimt"
"no.b) jstudiamosos ímjresarerales
' Alacercamos0por a zquierda, > 0,portarro
"g 11= _.
A
li m
5x 1512
5(x 3)f4 ^
- lr n
^/ x -3
: li m : l r lni - -
3.4.5 Indéisrm¡nacióñdel t¡po @ oo
3--
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- acercarnos0por ade¡echa,,> 0, porranloxrim. i
= ._
Po' ' .a, , roc\afulc iónr ienet ln ireen0: , t im
i, , l ;
E ercicio23
Calcular a) Iim :---:
Solución.parecea ndererminaciónf;, cona* o,vseesí¡dianos imires¿terales:
Ai acercamos2pof aizquieraa,] ^13
0,portan..,*,fi
= :
Al acercamos0por aderecha,
{!
> 0,portanto,,S.
*=.*
Porser 1im.,1-r.i,**a""11ímireenx2.
3-4.4 ndeterminaciónet ipo 0. co
Este ipode ndererminacjóne e$€lve ¡ansfo¡mándolanunadet ipo3 o unadei ipo
x+ 2
0d
Ejemplo24EJlímite im 5 . ," .,. - : I I - ' " '
una¡det€.minaciónel iDo .
150
esde a fo¡ma 0 . @.Se ealizael producroy aparcce
lT,r= r lT+# ,T - i
1
Al aDafecer sla ndetermioación,n lJ ma)or ia de lor ca.os.baslaL 'r L lLr l ' r Í r I{ l
ooeraciónesndicadas. n la" e\presiooetdonde aparecen unciones rrrr r"r r r ¡ l ¡ r , {
i ide lerminacióne esuel !emulr ip l icandol oumerado' e l denominadot"{ L' r \ lnrq l ' r r
radical oniusad¿.Recordemo: u¡ la e\presón conj.¡gadd e a - b) es J hl
Ejemplo25
,) t im Jx¿ 2r ^,/ \ '+a)
-lr
b, lim :--- --:- lrr l x I x¿ I
. . rx2 4 x2 2r l\' ' " '1". \x+2 x+ 1 /
a) Aparecea ndeterminación €, quese esuelve ultiplicando dividiendo or
expresiónonjugada xr -2r + Jr¿ + 4
rim1'/xz 2*- ¡!++¡ = ri - tJy2_2\ Jr2+4) (Jx2 2r+J\ rr 4)
{ '¡. ' lx+\ lx-++
t+t
b) Aparecea indeterminaciónó - @ En prilrler lugat sereduce a tunción dad! ¡ Lrfracción:
ri-(")-fl-L-dfL.l - Lin. : 2"-4=
\ '- /x¡-2\ / \2.4 r- . . , r :r r 2r Jr- +
= lim
2*!
P r" P3r l¡z ¡: {r 2 x2
' , , ,1, ' , : : ;** '0""*" 'n¡ración; 'q
csc'| tsuervcxccrt¡ i ' | ¡(k'¡scxIpo,Ia¡jerccbavpo,ra
^r¡ccrcarnosporrazquierda
]{ <0,portan.",1i 3j
: _
^race,camos1por a erecha]{ >o, porranto,,,*.
3j= . _
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"'*"9 3i."g. $],"""*i"t""rrr-i,"enxr.n,9"(-{# *'g-) :"g¡t -lt+:l G.i-
,l¡-¿)==rr,¡n
(x 2)_(x 3) ) = l
, fi ::li: J"tfl-x;]i::ff"ii"l'ffi ';J*",\, nde,en'nacione.el,."
3.4.6EtnúmeroeEInúrmero"e',esunnúmerorracionalcuyovatorap¡oximado s
e= 2,7 B2B 8284 9045 3536O2aT :r,5266249./757247093.Sedefinecomoet imite. cuando riendea nfiniro,de añnción
rr,,r r 1)".os decu,€t valo¡ de esta unctónparavalorescadavez más grandesde x seap.oxima
(r ) =0. l) ' =2;t(2)(rnr1) 'u,zs,x:r t* !) ' =z.ztoz:t(t l= t* ) ' =2,4883;(r0)(r fr 'o= ,se:: ,r( t t = (t**) 'o = 2,6er5.. . ; i I200)
0.#),r ' = 2,7164.. . ;
Se demuestra n cursos sr¡periores e M¡iemáticasqu€ existe el límrlcx | ó. Fsre mirerecibelnombredeúmeroe
Deñniclón. El límite de la tunción (x) :
"=.9-(,
( ' .1)^.i).
f ( loooor fr*-L ) '00'o'
, , - .t0000,/
( looooo, f l - I 'unoon -,- .00000./
La tunción¡(x) €sc¡eciente acotada.Seobsrse ümpreue2 < f(x) < 3 G ;;;;3";;**"que an cuarquieraror > I , siempre
152
3.4.7 ñdsteminacion$ det ipo 1@Este ipo de ndet€m inacionese esuelveonvirliendoa expresióne a unciúrcD 'lr1
donde nte €ngael número
"= ri - r*1) '
Ejemplo26Calcülamosos iguientesímitesl
a) l im l+- : J
xr L.. ¡*2 -¡ 2 t1 1¡ r L
b) lrm [---------J
Son ímitesdel ipo I @,quese esüelvenecordandoa definicióndelnúmeroe
, 1 ,5r¡ ) hm ll+j | : L-,queesrndeterminado
Figura .18
15
r i,n r *1)5" = 1;,nL)'" I . \ t r jl l+: | = r im t+l l ' =er5.1 :] \_41 \ |' 1/ \ a)
b) Eneste aso. rimeramenteümamos ¡qucpen¡ r¿apl carü defi^"j¿;;"l ;¿;#J 'estamos' para r obtenendo nae\ presion
xz + I
am c o e a, aa rn r a
' I- l { l '^r- l r '81\)I ( ) i i l - l I r ' , r rr , r ' ¡ r¡)
l im frxrsr ' r r i . lJr ---- | I - d- '' t)
I f (x) I'
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r i ," L- 'a:- l ,H -- , ,-¡ ,-" ,- .2" - , ,* .,2 '
. . !- l Y¿,l
. \ r ,m{r , r -g;_r : r ) ' - ' , r , , , ( ri1 l - _, i4J , r- 2\ r r¿+lr_ | l r" -r ;r
- l " l '- ; - i - r r imlr ,2 ,,i , I )xt--i'
(l \ ¡' : ,2\ ' \¿+l_ r¡ . l l r , I l2; l l l , ;T
,-- x ' j I' tifl( \ i, )2x3+x'+2r+l
- ri' ' l,-r,
I ' i ' l: *;- _ - il, lt'-li!, _.) i x. - \, t I -'
';:l El cálculod€ ímitesdel ipo I @seconsigue onerprocedimiento iguiente:
Supongamosquexh fG) = I yxtim
gG) = @.
r(x)s(r)=l+(r(x)-r,,*uf,*+- )" . '=I c; l
(, , ln#r "r ' 'r ' e'"
f , ,ñ i ,1" '" ' "o' '
I I | ' ----- i- |\ (;t-1/ l\ Gtr¡,, )
15415
Elorciclo 7Calcxlaros lmitessigüientes:
a3a) lim -+-
x3+Ó xl+l
rx + I )12\a l\ ll 'Dr,1"1"------ \+4
*2* t
¿¡ ¡¡* fr1-l "O rim (^,f,'-x- ,6x'?+l
solución.
r) Al sustituir por+ó en a expr€sión,esultaa indet€rminació¡, que esolven"'
dividiendoumeradordenominadororx3,a mayor otenciaex en oda a expresión
x3
-. rrn -ll = lim--+
=-.-+6 x¿+ l
xlxxJ
puesroque y + deDden0 cuando tiende ó
b) Análogamenre.parecea indremunació¡1. puesel numeradoriende ó ) cl
alenominaalorambién.Al considerar ¿ xpresión e (x) comoproductode dos actores'
eq?l;!l]1! = Gj-l) (2xa3x+ )3,
y aplicarqueel límitedeunprodustoes gualalProdücto
e os lmitesde os actores,
, , 'n r l) rzxa.Jx l r ' _ l ¡ , ! l lm {2r" 3x t) r
-; ;"x{4 rr ú\r4 x--a
Como li m (2xa 3x+1)3 = ó
lim ---:-
iirn{
r , .L- -:1 = Ir*1
-¿
x+l 2,;r" *_,*(,' i).1e y
*' , l
=l
Lr.g"""".1r,."tq*
^l,t-i+)c ' rorrces,
" In-(x+l )(2i4-3x+rt = t .@ = @.
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-x2_ x_ I., --r-xm :._i< -,++- ¡"2_*¡ ,J2p¡7--_;t-
= Iirn,1 1
3-5 cont¡nuidadDemanen ntuitiva, na unción scontinua nun ntervalo uando rr r il¡ r. '1r |r ||"
rntervalo, uede ibujanesin evantar l ápiz delpapel
(onmás¡rreci ' ron.u¡afuncionf lxlesconlinuaenunpunroacuand"r l lr rrrrl' r r ' "r ' 'üoinc¡ded el valor e tx )enel punto . o qu enos ic€ üe o. \alo| l. ''h l ' ' fr 1"" ' rpróximos lpunto seaproxinana (a)
Una unción escontinuaen un nt€rvalocuandoo escadaunode suspuntos
D¿dos n número ealay una unción , no siempre ecumpleque
lim f(x) = fla).
Puede cunir que a i$ción fno estédefinidaen elpuntoa' en cuyocasono ex sto l¡ )y l'liguald¿d nteriorno ienesentido.
Tanbién puedeocur¡ir queno exista lim f(x) , en cuyo caso ampoco iene scnl lio ll
Finalmente,unquexistan iú (x) y f(a), puede curirquesean istintos-
D€finición. Sedicequeun lútcióí f escontinuaen ut puntoa arar'do
lim f(x) : f(a)
. Con a erminologia¿pston-delraladefrniclóÍ'de continuid¿d sde a siguient€orma
Delinición. Una tunciónf es contínüaen unpunto a cuandopar¿cada €> 0 .existeun 6 > 0,tal que f(x) f(a)i < ¿ siemprcque x al< 6 .
Eiemplo2El
a) La tunción definida ü (x) = I , si x * 0, no escontinua n0' porqueDocsl
deñnidaen 0. Sin enbargo. escontinuaencualquierotro pu o a' puesp¿ra odo a + {)' sverifica
xmlrx +1
t-. T,= ¡rm l l+: I I
\, I
j:ffi :[kiH::l#J,ffi:llffi"*i,ff."¿irfi;xrmoly'x¿
x^/2\r+t)
=
, , : ,"-,r i . .F.n-,,= l:- ( Vr ' ) \) ' - t- l )"2+t,z
rin s4::r:_!_++ " Jx2_x+ txziEn esteúltimo limile se pr€senta a i¡dercmmacron
numeradordenominadororx2:
-r2 x_J'_: ---.- =
' .-" Jxr r + /2\ .2+ r
= lim
x2x1
rj:",#i,tt#*.1f;:ü$ixr*"i,irx::#x.üiffi:i*"ilffi:,:¿3:i*fl;:,, t I
ü'n '* l) ' =
-, que r€solvemos iüdi€ndo
15 6
' i )
15
llm r) - llm1 = f(a).
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ypamtodob>0,
= f(b)
,noesco¡tnuaen0,po¡que
+ 1 = f(0).
..
b) ra umióndeñnido.. r('
-- {,r ;; ;; ! ^
*"",r"uaen porqueo xisre
lim tx). sin emba¡so.scoDtinua ;;;;;;n o_,. oues am ,odo a. 0, severifica
*lim"fG) - ,tin Gl) = -l = f(a)
l i rn (x ) = I iml = Ix+l '
c)Lañrnciónfdefmidapor{x) = lx- si x*0[t si x= o
lin f(x) = lirDx2 = 0x+ 0 x+(]
Figum3. 9
15 8
Figura .20
Sin embargo, scontinuáen cualquierotlo puntoa!puespa|a odoa + 0, scvcrlli(¡r
lim f(x) = lin x2 = u2= r1u¡.
',Vo¡ar Sesúnvimosal comie¡zode este ena, lasfuncionespolinómic¿s ienen fmilc ttodo Fmt; y las funciones racionales ienen Límite en todo punto que no anulc
. Es eviilente oueuna función I escontirua enun punxoa si y sólo si es continuapor
izquieda y por ú derecha nelpuntoa.
3-6 Operacloneson unc¡ones ont¡nuas Ih l l . r r l ( l ) . r12). l i , r 11\) , l i | l r l (x)ycstudi ¡ f l ¡conl i ¡ü id ddclcn( l i ! l ¡ ,str , , i r , ¡ ,
Solüción. os valorcs lo c ornr h l i r ¡ rc ión n x: 3 y x:2 son (.1) 5 yi ( .r l
Paravaloresde x cercanos 3 (lanto mayorescomo menorcsquc :l). lx c\lr, t¡'lr'
-2 ^f l rncione' t¡ ¡ ='
- - .enronce'e l l i r ¡ r redelatunciónfen
:" :fy
id: 'tu*.": : :onrinuaqD n unroa.nroncesasuncione._ s.. g ) I g so n ambiéo oot inuas n a. Sr además . g(xl . O, p"ra roáo
x € Dom(g) , entoncesa ñ¡nció¡ i también€scontinuaena.
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(f+ g.¡(x¡= ¡3 +-J-.2+l '
tanbienescontinuaen odo püntoa € R .
b) Las tunciones (x) : x y e(x) = x4 + 1 son continuasen todo pu¡to a; ademáss( \ ) 0. paraodo unto . R. tueeoa uncionf ,", _ -_I_ es ambiénonrinuantodopunüodeR. ' x I
Elemplo29
a) Las unciones(x) =
ti¡nción
x3 y c(x) =| soncontimras n odo puntoa,por tanto a
li m t\ ) = l i fn i- : : 5r- l x I
{ndlog¿menre.l p¿rrcul¿r izarn r 2. apareced indeLemirafr ' , r,;
límite er dicho punto, como 2 es una míz tanto del numeradorcom) (l( ,1,,,1,r,,simplificar¡osl
r \ - 2r(\ 2rl im ft \r - li m " = lr m -
i, r- .¡ r 2 r,.2 \ 2
Por ¿nto, nx:3la tunción scontinuaues oinciden l valordel í¡ilc y ¡t |r lirrf(3): s: l im f(x) en ambio,nx = 2latunciónpresentaunadjscontiD
limite elvalorde a unción o coinciden, in f(x) = a+6 : f(2).¡+ 2
Figura 3.21
. Como consecuencia e las propiedadesde los lít¡ites refercntcs a lrs ot)er¡laritméticas de a defi¡ición de conrinuidad nun intervalo, everifica quc 1¡ sunrr.h r.el productode unciones ontinuas n un intervaloes üna unció¡ contin ua n csc rileiviel cociente ambién o es,salvo €n os puntosque anulcnal dc ominador.Dc cro sL lque as funciones polinómicas son continuas en otu R.
Ejemplo30
Las unciones(x) =
tantoa unciónso0(x)
3t^- '-y
x-+ I
=f-r^ I ls' x-+ l '
Ejercicio3l
Se onsideraa unció¡ f(x) =
g(x) = x5 soncontinuasen rodo punto a,por
escontinuaen odo pu¡to deR. tr
x2 4 si
si
16 0
EJorcic¡o2llrlJ¡f ospuntosn osqüeas uncioncsiguie¡¡esresenra,isco¡tinLridades:
a) l lx) : r3+=2x2 x 22x z 10 x+ 8 b) s(x) F-4
solüción. 'amqLrclscuc, ' r ( i r t r i rerrr ldcl )ccrr¡r l l i tsc l .rcon(t ic i ( i r r .
Como f( l ) : c.ca lNl ¡nos l rrnr i (x) .
,l I
l'l'('):''-l'il aplicar as propied¿¡tes lgebrarcas, parcce na ind*erminación rlc h l'rrrri
rr
l( l ) l r l ¡ l( \ l
soltrción.
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-resolvemos esconponiendo umeúdory denominador ot Ruffini
^ xl I l r+l ) ( \ llTIX): _
xJ I (\ r)(\ '+) '+r)
\|l ' . f rrr- li m " '1" - l i.\ ' r \ ,r( \ l )( \ ¡ r l ) \- x \
Luego a constánle debe aler] nara+ue x) sea ontinua
Ejercicio34Sea unsubconjünroe& estudiaracontinuiddde as unciones: D 4 R (lcllrrit
lllili;{jrF:;yi!1flt¿i:.#u,*i,::".iirh: .
"ll":i
".l;-,ilil; l.il.Xl,"'iilll;ij,l
,nen,omoeduco,e(",*,".o.i
Hl',tr#t'::H:}":flr,"+",;*"";{:k1,.*l*::".g*:iTi.:fli;H:r:x2 4<o>x2<+> 2<x<2.
;lf,,,{",ti}fr:iHi"il"i:J;;ffi;"i,;i;ii";,i;;"",iJifi ".:
' l iJx+ si \ ' (
b) f l} . ) : I
-
si
si
0<x<2
x> 2
Ejerc¡cio 3
Hallar tvalor e aconstantepara ue a unción
seacontinüaenx1.
,6 2
Solución. ara studiara co¡tinuidadeuna irnción efinida ntenalos edcbc sr rd i Icontinuidad ncad¿ntervaloy la continuidaden ospunrosdonde ambiadecrpreskt¡
a) Estudiamosrinero a continuidade a ñrnción naquellosnten'alosbicúos lt¡restádefinidaporunaúnicaexFesión
En (-4,0), la expres;óne es f(x) = x2+2x;como es una uncióo ol i i r¡rr
entoncesscontinuaen dicho nte¡r'alo.
tn {0.2,. la e\presióne I es f t \) ;. qu <es ambrónol inomic¿ucl" r" fcontinuanel nlervalo 0, 2)
tn12. úr. lae\pres'óndeIeslr\ | -- : , . cornoa función ' un coLierr ' ' ' l
polinonios,sólo es discontinua n los puntosdondese anuleel deDominadof tfr
x - I = 0 solamenteaü x = I y este unto o€slá n(2, r'@),entoncesesconlin!¡'{r
Figura .22
1
,,,.,i;*,',:',*:'i::l.i,,,":ij,*t¿:;#jli¿t*1$i":HjT"i*,"o,Jo:;j;x.r¿,,,_..,""
\ lxnf l r ¡ - \ t im.{x2.2\, .- 0 y
-r rmix) . ti m + .0 j
lo srm;te(at rale.oi¡cide¡.uegoetJímiteat=,h¡
t"*"tu'"s continuan = 0'pues
li n l(x)
li m f(x) +-r
= li m^/x+
I = Jt =
= lj m ,L = l imr + 0r x'+ x xr0'
I,
x : ¡¡¡¡
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.rr¡,r1') fG) = ,,, ="oo.
Enx = 2,
I'm f(\) = rim I =\+2- x_t_ 2luegoa unción oes ontjnua nx =
.l jm i),)= li m {r).
r y tiln f(x) = tim _j_ =¡J2f r+ 2" X- I
2 ,puesnoexisreimire,d€bidoaque
Esdeci¡,latunciónesconrinuaen _ { 2} (ve¡lafig¡ra3.23).
b)A¡árogamente,srudiam",u"o',rro"o ,'otJli,i,i;**i"..".,
fn ( ó. 0, . tae{prcsiondefesRxr._,f-
*f"f it;:,.jo"t*.":"-";'- '' I 'ffi:".:y.$:il:i?i:."i1ffil:iEn (0, +6),
taexpresiónde es flx) = _l_ri ,"onr;,a.n ro"p,oo"q;;; ; ; ; . ."*; -e
ai 'eruncoc'e¡ 'e eporinom'|osse¡á
,o*.-,,.+e oene'nel;;;il;;.'Ji;'l;TTi;;,nn:Íi.H::ii::X,;;.':En x = 0 setienequef(o)r,
164
16
Figüa3.24
Como os lmites coincid€n son guales,entonces xhte el lfinire, quees gual¿
tunciónesconthua enx : 0 (ver a figum 3 24)
Lalunciónfesontinuaen1,0) u i0] L. ,0,+@ )= [-1,+ó)
x>l
110).¡
r, )
E¡erc¡cio35Estudiara continuidade as uncioneseales ari¿bleeal , g y g. ' donde
[o ' ix<o [ , . * r s i
( ' )= j v e(*) 1 .11 si x>0 lr
Sotüción.La tunción es co¡stanteen( @,0) y en(0, +@) lue8oescontinüaen( @
en(0, +ú) ,pero
l im f(x)= l in0=0 y l im f(x): l im I = 1,x+0' x+or
poflrhto, noosontinuaen
=0 (ver a igura .25).
T$'pnat,n ddnchlalesohrearfünclo\$ conllnuasnh,ttorwk,t
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r ig"L:. :s ' fLa uncióne(x)espolinóhicae¡ 6, l) ve
( I, +@) Además,nx = l setiene (1) =-, i jt',*') 't""t"
"" "ontinuan {, 1) ven
^¡tm-grx,-
xt im( \, J , - - | rl
- 2 y irm_grxr t im x2.. l2 t.luego noesconrinuaen
- ¡f, .r l rngrrr l .UOir -l
Lañrnción . f e$ádefinida or g.f(x) = g(f(x)) = 1 puesto ue-si x< 0, enroncesof(x) = e(f(x, = g(o) = 0 + I =
-six>0,enronces.f(x) = g(f(x, = C(l) = t. ¿= l,y escontiauaenR porse¡una ¡nción constanúever a figura3.27).
t ,
16 6
E-=::-------É
187
Figura .27Luego,launciónescontinuan R-{0}, latuncióngescontinuaen-{l} ylir
función ompu€sta," , es ontinua ¡ R.
3-7 Teoremas uñdamentales obre las funcionescontinuassnintervalos
Las funcionesquesonconxinuas n un intervalo ien€npropiedadesmportantes, uescenuncian continuación.
T€orema. Sealr un intetualoy f: I -' R u¡a función continua. Entonces lconjunto(I) = {f(x):x€R} esbi€n n nteÍalo obienunpunto.
T€orema d€ osvalores nt€rmedlos. Sea una fimcióncontinusen ¡, b]. Si cesun ¡úrnero real comprendido ntre a) y flb), existeal menosun x e[a,b] talque (x) = c (v€rlañsura3.28).
Figura .2 8
ij,r efecro. ongamos - l¿. bL por ta proposiciónnterior. t)c i 'n lrenedla ) ) a f¡br. tr¡egocontreneumbiénac.esdecü,e\isrer . I ta lq ue(x ) : c.
|¡ t t t t l l t¡ llllltlll re latl x r or c us. l n rcx n<r .lnrnr
conxinuan odoRy cooro i {) ) l<{) y(l)=2>0,porcl tcorcnrdc }tr larr
existealmenosun€ (0,1) lquc (x) = 0 que s oque uerlamoscmostrnr'
Otrapropiedadmportante e as unciones ontinuas s a sigüiente:
Teorema eWeierstr¡ss. i es continua n a,b], entoncestieneunmáxinr)y un nínimo en 4,b], esdecir,existen untoscy d de a,bl talesque
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," lx'jt,tl::Tt#íi.Tj.l"i:t;H.tr":':ilTrjiiT'i:I1llit;:"1,:",.,uondistintosecero, e (a, b).
Elemplo36
"*"fJ:#:ffi;1"1:*:Tifod;B;l'aoo
a-os orarqu€ rporinomioxr+x r
La fu¡ción potinónica f(r)
16 8
' Figura3.30
= 2xr + x + I escon¡inua nel ntervalo 0,
(c)> (x) y (d) < f(x)
para odo x € [a,b] (ver a igura3.3 ).
. rvolarEste €sultadoo ndica ónde €encuentranl má'dmo el mínimo. ólo rlittrr[ l
Eierc¡c¡o 7Probarque a ecuación a+ 2x3- 9 = 0 ti€neal menos nasoluciónen [0, 2]
solución. La tunciónpolinórnicaf(x) = x4+ 2x3 9 es continuaen €l inte alo 10,2
además,(0) = 9<0 v f(2) = 23>0 La tunción verifica ashipótesis elTeorc
deBolzano, uegoexisteal menos n x0 e (0, 2) talque (xo) = 0
Luego, lpürtox0 € (0, 2) esu¡asolucióndeaecuación4+ 2x3 9 : 0.
Ejercicio3S
Demostraruea i¡nció¡ (x) =
Solución.Por ser(x) una unción
1+ x3- x5 tieneal menos na aíz e¿l.
polinómica,es continua en R; además, (0) : I
ll . deheclo, s
1
(,1) - ) t5, h¡Bo vórlt jc 0s iBtrcsistc tt.
,,n,,.,.,.u"""*""J;;;J**:,,il':l::j'lí:^;i::;'f:T:,i;i"_ Elomplo 9
a) L¿ función : [0, +€)+R, definida or f(x) = x
[0, +@) Además,como(0) = 0 Y, es crccrcrrtcy fltfrrrrl¡r L'rl
lim f(x)
por tanto, todo número real k>0 existe un número ref l l xt ll , l r l r f l , '
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3-8 Cont¡nuidad e ta unción nversaR^ecordemosas ieuienredeñnicionesinrroducdas net emaL
*il::'::f l:i3;l'J;:jl:fTji::ffii:.il,":,ite¿.'e.¡?,len'cua¡dopar¿cadapar
,,,,;.'."";:":[.T,?iijilÍll1l;ig1,;1,".:{";;;.,n-"
,*-* o-,."*- u¡a1unc¡ón onótonaen 'l nrenalo esuna irnción recrenredecrecrenten
;#:ii#ttr*T'$:l.continuidad de a u¡ciónnversaequierea ntroducciónrerUna irnciónes ,¡J,¿criraj f(x) = f(y),conx,y€Domf :+ x = y.
. Toda tnción monótonacreciente dec¡ecienre)enun ntervalo es rl¿cria €nL por
:::]::"il¡:l:-,ñ..r9g invena f-r. si ¿demás es conünua ¡ t. entonces(¡, es unitf ,.11J"lii,:ff:i.i,ifl:i#,;x1.,*il"1._,J,.i:,¡;;;;;;;":,ñffi" l1.::
- Sea una fi¡ncióncontinua creciente, nun ntervalo . Entonces (I) esunintervaloylatuncióninversaf I
estambiéncontinuayc¡eciente,en (I).- Sea una ñnción continuay decreciente,nu¡ nrervalo l. Entonces (I) esun ntervaloy la firnción nversa r es ambién ont¡nua de€¡ecient€,n (I) .
17 0 17 1
Para
f(0)<k<f(x1) y,por€lteoremadelosvaloresintermedios,exislex>l)Í l i I | ¡ i l \ ) l '
Por consiguiente, l dominio d€ defiI¡ición de la funciri. i¡rvcr¡¡r tr u¡
f(t0,+ó)): [0,+ó) y dicha unciónnveN¿ s también rceierr l( t"rrrrrrrr¡rrl
[0, +ú) . PaIadeterminar sta unción nversa ondremos : f(x) x' , (Ir1 lo rlrr
r lv) = *: .[. eortanto, r:[0, +o) +R es a un ción efinida or
r lx ) = .A . paraad a > 0.
3.9 ConceotosClave
Lfmite de ur¡ función f(x) €n un punto "¡". Es el valor al que i€ndecuando tiendea"a".Limites l¡ter¡l$ enx = a. SoÍ losvaloresa que iende a funcióncuandonos
11m
Límite3 determinadN.+o+b=+ó +ó+(+ @)=+ooa+(@)=-6 (+ó).b=+@,sib>0(+ú)(+@)=+ó (á).b=-@,sib>0
(-ó). ({ ) -+ ó (+ó).(.ó)=-co
a = co , sl a> I a
¿ : u.sra>lLímites indeterminados.@0
; i 0 r d(a-urr
f ix!=L I l in f ix) = M
(+ó).b=-@,sib<0(-ó). b =+@, ib < 0
a^
= 0,si0<a<1
Co¡ltlnufd[ddoüno ünctón.Un" un"j6n t"-lorr¡, uaenunpunto cuando
lim f(x) = fta)
i{üllJllil,iJu:}:'."J.i:tr"í.fi:i*##f,".,*,li.o,i*#;i1,,-lmltes^en.etnt¡niro.H timi¡edeuna uoción n mfiniroesb cua¡do.Darauo¡cs ur,crenremenesrandes e a . tos atoreq . r , n i,.li,i..ñi"",.rji,?i
B) No €xiste fmitlJ ¡fcrulpor hdcrecha.
Escontinua.
Prcblema 5
La unción (x), arte ntemde , enx : n, conn unnúmero atural' eri ie¡l
lmite latemlpor a derecha.
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3.10Autoevaluación
Probloma
l.f l Lrnción(x ) = -- f , ,*apunto*: , ,*". ,(x - l) -
A) Límitesateralesinitos guates.ll) Limites arerales¡finitos iguates.C) Lirnites aterates esisuates.
Problema
La unción(x) =
A) Linite infi¡ito
x2-l si x< 0x 1 si O<x<tx2+l si x> l
B) Llmi@ iniro C) Notiene lmire
, enelpuüto = 1,
troblema 3
Lañ¡nción(x)
roblema
La irnción I(x) =
= x2", conn e N, cua¡doxtien¿le -@,tiendea:B) -. C) No tiene imire
1
x< 0,enx = 0, verif ica.
t2
Existenos lmires ¿rerales,eronoson guales.
1
A) No existeB) Es continua.C) Existen os lmites ¿terales erono son guales
Problema
Latunción(x) = xl + I, entre Y3:A) Tiene na aiz.B) Toma l v¿lor7.C) Tomaosdos alorcs y7.
ProblemaS
Jx+ I siLaf rmciónix) I
L x-+x
Problema 7
Seanlastuncionescontinuas(x) = x2+ t y cC) =l,
sonR y R - { 0} r€sp€ctivamente.ntoncesa fi¡ncióng' f(x)A) ErtodoR.B) En odo R, exc€pto DelPünto0.C) EntodoR,exc€pto nelpunto I
cuyos oniniosdedcfirici
- l <x< 0
A) Escontinuaen x:
0 .B) Noescontinuaenx= 0, peroienelmites ateralesneste unto.
C) No tiene ímite latenl por a derecha.
Ffobloma| 'L | \2
Scs a uncióntx ) - l : j - I renronces.ere n¡ca:
A) (x) tiende infinito cuando tiendea nfiniro_8) (x) tiende nfi¡ito cuando riendea -ó .
C) (x) tiendea I cuando tiendea-ó .
Tema . Funciones erivables
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Problema10
Latunción (x)=
1+ x3 x5 tieneA) Ninguna a iz real.B) Al menos ¡a raíz eal.C) Una aíz ealen (2, +@)
Solüciones el test
t23456789t0BCAACBAAC B
17417
En esteemaseestudia l conc€pto e derivada euna unción enunpuntoy sccÍl l!l${ r'rlasDrimeraseslas e a d€ri!ación.Mie¡nasqueel conceptoeconlinuida,lc\p¡rr(ll¡r ltidJ ioruiriva équepod,amosibujaragñiñc;sin evanl¿r l ápir delp¿pcl.0 (\r\r(rn indederi\adásein¡;rpr¡ucomoquedichaS¡áficaessuave.esdecirha)ausenc
4-l Tasadevariaciónmed¡ade una unciónLa rasa evariación e una imciónda una dea e a rapide/,conuecrece dcLrc(c
tunciónen un intervalo. Supongamosue a tunción f(x) = 3x' mide el espacio ccofl drporun cocheenun iempo x, entonces, arahacemos na deade a velocidadconquccnc rllpodemosonsidera¡if€r€ntesnt€rvalos,orejemploos ntervalosl , 2l , [3, 5 . 1 . 1(ll
y observamosl espacioecofridoporel oocheeneslos ¡tervalos,et l ,2 l = f (2)- f (1) = t2 3 = e,
e[3,5] = f(5) l(3) = '7s 27 = 48 ,
e[6, 0] = 300- 108 = 192.
Llamaremos asa de variaciónmedia de la función en cada uno de estos nlcNulos ¡resDacioecomdoD l inLervaloi\ d¡dopora ongi rudel inÉrvalo.sro s po 'clr icrnemDleadon ecorrereslesDacio blenernocD lcaso aflicular e os nle^alos lc8trl'anil5a
- e[ ' 2l - ' .
rr 1\r
- - - - - - _ ¿r .
. r " . . " r _ 48 .'¡t6.ol ---
De forma precisadefinimos ta tasa de variación m€dia d€ una función medianlc ltdefiniciónsiguiente:
D0tlnlcfón.Se l¿ma as¿dewrnc¡ón nedn deU fitnción x) en et nrervatofx, , . n I hl atnúmerormeñnidoporrn
f lxo- hr f{ \o)
L.r,¡usoevariación edia uedeerpo<iri\ . negaritalnuta. epenaienaoel¡r lordel\n +il- f (xot.
ilxo-l'h)
f(xo)
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Deffnición,Se.llama a,r¿de yat¡ación ínstantanead€ la función f(x) en el
:::j::1"1']':,f ,r:,:: "sase ariación€dian ", .t"","r;;i,;; ;l;.cuandoaampritudde ",""l;ffi;;J:il; ;'ilH:jll.i:i,:}
. ,. t - lro hr . f t ro)
"-,1T"- o -
La tasa evarjaciónnsranráneaambjen uededepeodiendoe os , roÁ;; ; ; ' ; i" ü; '
*' eosrü\ nesdrivanura'
4.2 Tasadevariación nstantánea
:,1liT}fffil'i:ili:':ffi:?"':."i#T;fTtiit;fi"::Til:jiffi''"*fifi::or a velocidadnun nstanteado o para espo*"."
*,"r".r,on *U"-"""",*ifjir crvalosdeaformax0,xo+h] deamplitudcada ezmás equeñaestudiarl lmire
liJ;,llii'1"J#ffJ#:|;;¡Ti:sn'ffilarosuandoiendecero.e sraormae esa
761
4-3 Der¡vada e una unciónen un punto
Íl conceotode ü'a de variacion oslanLined parece ¡ la oaturulc/aLrt r(l¡"ir ""d i fe_eDtesmagni ludes)endiferentessi tuacione' .no\olamenleenrelacioncon| ' \Jde uD ocbe. I nombre ue e e daa esle onceDtoe ormagenerálesl0 eoerrn !r ' l
Defrnición.Se dic€queuna f]dJr'ciónesdettuableen unpuntoa ct) Ído exisfeel ímite
. . f tat h) (a )
h, o n
En estecaso, dicho límite se desig¡a por f'(a) y se laü^
detiliada delen o.
Por consiguiente,na unción esderivabieen a siy sólo si os ímites aterales
-. f ra-hr ia' , . f ta'h) l(a)r ' ió ' ¡ r 'n h
existeny son guales.Estos ímites se laman d€dvadasat€rales,por la izqüierdav por lderechaespectivamenie,e €n a
Asípues,a derivadadeuna unción en unpuntoa es,pordefinición,
,. _ (a I h) - l ld), ,, , _o,,lo__¡
.
cuando stelmite exista.A veces eescribe| / . \ (4t ral - l rm '" '
10cualno suponemásqueel cambiod€notaciónx : a+ h , obsérveseuecuando tiendc0" ( iendehaciaay recíprocamente.
. Existendiferente otaciones aú expresara derivada euna unciónen unpuntoa:
f 'C)= H(4 = Drr(a)t y,(a).
Presentamosademosr¡ació¡ el resulrado ¡rerior.(Diúgidoa ectoresnre¡esados).Demosrr¡ciótr.n electo. orserderi\able oae^rcle
Düh'aú .tuumlitñ(htk(n t n t
n) Sea la unción efi id0 or 11x) l5 pAmtodox R. Entonces
f' la): li m(a + h) r la) = t; ' ' ' '1sa15 = limo= 0- '- ' r ' -o h hJ o h hr o
y, portanto,atunción (x) = 15 esderivableentodopunt ov'(a) = 0 paratodo¡
b) Seala tuncióndefi¡idapor(x) = x para adax€ R Entonces
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f'(a)= rirn I):g!.' x+ a x a 'y como, parax r a, es
r¡*¡ r¡"¡={9:-(")¡,-4,
[¡cgo
csdecir, escontinuaena.
,d:ffi""¿'dtriJ:,I'i :i':ll:":: :;#s r.:: :doo s,eno¡ejemproosocxisrenuncioñesquesonc"",¡il;Iiti"".piji,lll,i,ii,:"%.#;ffi:::i;Í$il"
'"".". Hay unciones ontinuas uenosonderivables.
;i|H.,Há'i"li":L?:,*É""*,tl#i,?,i:'f#:: **"" es erivablenpu€s,i,o
Elemplo'l
""::::::l'-*'""''u=,'
, l im"(f(x)-(O)= f,(a).0 = 0,
¡lim(x) = f(a),
Eemplo2Aplicamosa d€finiciónde deriv¡da
17 8
sr x<0
",,, , o
no esoertrablen0 puego uenoe,
E
pala obtener a de¡ivadade alguhas uncion€.
r' (ar t im f ia ht - fta) -'i '
1-lJ t im | - |h ,o h F .o h b o
y, por anto,la unción (x) = x esderivable n odopunto f'(a) = I paratodotr'
c) Seala tunción deñnidapor f(x) = x2 paracada € R. Entonces
r ru,-r i .oB--*&- Jg"3f i -r imo(2a, 2,
y, por anto, a tunción (x) = x2 esderivableen odopüntov f '(a) : 2a para odo a-
d) Engenerala derivadae atunción (x) = xi es '(x) = n*o-r ."on
o t N
Porejemploaderivadade(x) = x5 será '(x) = 5xa
e) con la definición de derivadademostmmosüe a tunción fdefinida pof f(x) = lxl
paracada e R no esderivableen a = 0 Yaque
f(h) f(0) hlhh
.. ftht f l0)yportanto
'.T| , r ,
: -, .
.. f(h) f(0)tuegonoexrsre
,,T"--- ¡., -
-Jt . th.oI l s ih>0
.. fth) f(0)
f) S€a 1a uncióndeñnidapor f(x) = 4x2 pamc¿da € R Entonces
f(a+h) - 4(a+h)2 = 41u2 2u¡* h2¡ : 4a2+ 8ah+ 4h2 ; f(a) : 4a'?
f( a rh)- f ta l - 4a2-Sub 4h¿ +u2 - 8u h lh 2 - o- ,uhh
r',u) l irno!3-+:!4 .fl imor8a
h) 8a
y, por tanto, a lunción f(x) = 4x'? es derivableen toilo puntoy f'(a) = 8a paratod
a € R.
17
EJsrclcto
fu-Aplicarla definición de de¡ivadapara calcular en ei punto x = 2, ta derivadade las
a) f(x) = x2 oi ef,)=*c) p(x) =
^Asoruc¡¡n.a e¡ivada t
er a a a no, nc on
. . . ot .¿ h,-Dr2r , "D' i l ta
r*gontifno!!-+:]lj.'l
-Jl=1#
,se resentandetermirrnrir\rri t
= ,,^tJz*- rt>tJTl'+t¡ : i^ -1:h'-2:- =h+ o h(12+h+12) h+0h(J2+h+r/2)
l im+-- ! ,es¿.. ' ,Pi: r - - l +. -oJ2+h J2 2J2 212
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eunurun"ioo* onp..tou,""l,r"IJ";"iÍ;.?"-f'(a) = ü¡ fG+hl:¡O.
s)Calculamos:
.2 \=22=4 y f(z+h) = (2+h)2 = 4+4h+h2.f (2 +ht f (2) = 4+4h+h2- 4 = th+h2.f (2+hr- f t2) 4h+Á2--¡- =
f , =+*¡
tuego l;,¡ l2+h)-t(.zl- ¡ :n h- ; 'T. ,"
h) . .1.e.deci ¡.f r2r - 4.b) Calculamos:
E@=+=is(2+h)_e(2)
s(2+h_)e(2)= _@
Y g(2+b)= -=f.- = --t-¿t¿+h) 4+2h
I | , - r r r l ,¡.rb -¿ = =E=;i-!=
#Añh
::":: ;T.""t?* =;r,CFr-; =- j,esaecir,,(:) !c.)Análogamenre,
p(2)=rt yp( 2+ h) _p(2)
p( 2+ h) = jZ ¡ h.=^EÁ-Jt
180
tft+.t¿ = E+¡-t
18
d) A¡álogamente,
q(2\= 3.22 (2.2)+r = 9.
q(2+h) = 3(2+h)2 2(2+h)+r :3h2+ 10h+9.
q(2+h) q(2) 3h2+ 0h.
q{2 hr qr2r- Jhr loh 3h ru.
l* *o,*off
=hl im(3h+10)
= lo,esdecir,'(2)= 10 .
Másadelantee erá ueasuma e uncioneserivabtessuna uación erivable:
. Las unciorcsolinómicas(x) = aoxi+ a, ,xo1+...+aoson erivables.
Ejercicio4
Estudiar a co¡tinuidady derivabilidad e a tunción f:R -+ R definidapor
(l r \ s i x : l
f( \) I3x I s i x>l
I
Solución. ncada node os ntervalos-ó,1) y (1,+ó) la ñmción tieneunaexpresipolinómica,portanto,e¡ continua. eamossi fes continuae¡ x = I
l i ln f (x ) = f i i i 2x=2 l im,f (x ) = l im (3x l )=2 y t(r \=2xJl xr l x+l-
como lifn f(x) = lin,f(x): f(1), entoncestambien s ontinua€n = 1xe l
Comoencada node os ntervalos ó, 1) y (1,+@) la unción tieneunaexpresi
Dolinómica.entonceses derivable.En x = 1 la ft[ción f seni derivable si las derivadaiatelalesen 1 existen son guales.
, ' lXtt+t-,"1?t+u ',: i#=,, i1.41+{ =
hrim.t3(r+h)l-2=,g,# -,
Por ernh
{rt+4*.g.(]1+=4r,h tunciónnoes erivabren
Porser ¡m (x) * l im (x),entoncesafunciónnoescontinuaen= 0.
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Portanto,launción s ontinua nR y de.ivablenR_ {t } .
Ele¡cicio5
Estudiaracontinuidadderivabilidade a i¡ncrón.:R+ R definida o¡
Solüción. or re¡er u¡aexpresiónolinómca
v { r.' o r. €oroncesesc."ir* ";;;;;"" ;.T:adaunode oi inrefta
05 6. 0r. (0. | )Veamosue cun€ nx = 0y x = 1.6o*=0setiene,
. l itU =
** "= o,, '$. t( t =,r, .^,(x+) = I y r(0) l.
1821
En x = I sehene,
üm (x) = l im (x + l) = 2 , li n f (x ) = li m (x2+l) =2 t f (1) :2 .xJ l -
Cono lim f(x) = lifl f(x) = f(l) = 2 , ento¡ceses continua nx = l.x+ t x+l '
Por tener f una expresiónpolinómicaen cadauno de los intewalos (4, 0) , (0. I )( 1,+ó ) , entonceses derivableencada no dedichosnte¡valos
En x = 0, la funciónno escontinua,uego o puede erd€rivable enx : I s€ ienc.
,y, t'F- =,Tilri= =,.y,| =''
, la ñmción no es derivable
Portanto,launción s ontinuanR- {0} y deriv¿blenR- {0,1}.
EiercicioDeterminarasconstantesybp¿ra ue ea edvablenx : 0 la unc;ón
.. f +hr-fr l ) , {1+b)2+l 2 - li m (2 b) 2ürt+h[+1*nhr t*
. . f {1+h)- f l l ) . .Por ser llm _-É I'lrl
hJ lo h-1+
f ( l +h) f (1)
IfG) =] * ' si x<o
lax,bs; r ,0
Solu-c¡ón.i ta u¡ciótr es derivabtenx = 0\ eri f i aqu e\r irn,-{; ; . -"
i l f i ; ' ' ; ;. uenroncese' coDLinuan ' 0. er dec,,. ,e
Co¡no f(0) = 0, lirn f(x) = lim x2resultaque= 0.
=o Y,l im.f(x)
=. l im-,(ax+b) = b,
n q r. x av tr n
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",i"'"'i,t*:1i":",'rtJ""*'le enx = 0' enroncesus erivadasareüresxisrencoinciden.
,y, rel*4 =hüm.r(o+hf(o)como
orinf+-.!! =,,$,9+& _nl"l,n 0.
: . '!.{ea?{=,\1.t1!+r,,ll.f=",
Luego,pa¡aque seadedvabteenx = 0 debe eniicarsea = b = 0.
Ejerc¡c¡oEstudiaracontinuidadderivabilidade añmción(x) = lx_31
Solución. a unciónes puedexp¡esa¡e¿ o¡ma*, :_;r x< 3
si x>3
Jñ::*T:i:;'-:' 'entoncesx-3J= -(x-3) = 3 x, v six >3+ x- 3>0.
"*llilll"H:,TT:1"il1il,ffi.1::Jjff:::,1,I;,il1.;;¿--*",".- '*- ( t
=
-"1-(3-t
: 0,,- - tG) =, lq.G-3) = o, ,u, = o,
' ,g-t(4=,9.(') = r(3) = 0, esurtauees onrinuan = 3.
1U
rr:-) nr5ei+ll :,T Uaai- -
"y,* r,
f ,(3+): l i rn f(3:f \)- f(3) = 1¡ ¡((3+h) 3) 0
' ' ¡ ,0* h nr0* ¡
Porser '(3 ) * f'(3+),latunciónfnoesderivableen. :
4-4 Interpretación eoméfrica e a derivada
Sea un¿firnción deivable en un punto5 y consideremosa gráficade f, es dccir, el
coniunto le untos eR2 de a orma x, (x)) donde recorre ldorninio e . Dospurros l(
h e;áficade deterninan un rectasecante dicbag¡áfica.La ecuación e a secantc rre nNpo;eipunto a, a)) y porotropuntoarbitrario a + h, (a + h)),h * 0, de a gráficadc ct
y-r,ut- Ía-I):J14,^ u,
.. h=nTn¡= ' '
3.
La tangente a la gniflca de fen el punto (a, f(a)) es a r¿¿¡d ítt¡ile de las rectas secanLcslrk
f(a+h) t(a)
18
i r l rcrrr r l t r '¡ r . t ¡ l l y l r t r1,r ru u l , , . rú i trJr( , . l
iii,:l;:i.:l;;:i.i,,i;Jl;:,,,,..;,;;i;.i;:;ll',:,,t,l,.tl".1ili'i:,;.i:;fl;5;1i:i.ll"i;;;;l:l (a + h) fra)-;-
I c¡dea f'( a) . Asípues, or deñnicjón,ataneenre taeftifca de en (a, a)) es d tectay_ f(a) : f ,(a) . (x al .
dennidauando
Delinición.ca :R + R una u¡cióD erivable¡ sudonrinro)orrr()) s(
f ' :R ) R
\ ,f(x) ri T1i x hr i lx)
k
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,1,, , , :s"i : , : :T",: . . : ,a e¡;t : ;;,: - ,iü,'. ¿ecbueása",,"'i'il;i'll:'i,:;..::il.::Jl*;:.il."j1
Ejempto8
l"a angenre asráfica e a unción (x) : r3 enetpunto t, J esy I = f,( l)(x l)
A¡oracalculamosade.ivadae (r) y obrenemos,(x ) = 3x2 enefecro
#_r|hr . \
-r { 'h Jxhr h''' n --_-h _-
11"¡=nr,ln
1'*hP =¡1303;t#jrl = 3;,
esdecirf'(l) = 3 luego onctuimosue a ansenreuscadas a ectay I = 3( x l) .
4-5 Funciónderivada.De¡¡vadas uceslvas
,"h#:,:il;:t::fftr::H"1,.J._í.lffiá*il:ü:r.:ir#il"::x., raoa
L¡natuncion. ta funcró¡queacadáx. l
; e^ da'r, . . " ;i;;;;:;;;:i;:1,ff J;,",f ::i:$fi,:;p"JJ;:
A estaunciónse e denomin^futlciónderiwla de función.l
Ei dominiode a derivabitjd¿de está onnado or odos os'lfrr!
rrr" l''L
dominio e eD oscuslesesderivable.
4-5.'1Derivaclasl¡cesivas
P^nlr1'osel^ unción.leira¿iapdmem) e v desig¡adaor ' por '" ol¡f l)ll | |
tunción f')', esd€cir.la unción erivadate ', se lar¡aderiladd esutlld'le
r ! ¡t t't
po, t" o po. 12) ,e.oatogament€,a unción f")' ' derivadae f" ' sc lama¿ tittkt t' t' tt 't
de y s€desigla or t"' oPo.13).
Así, sedefinenas¿¿l¡rddas r.¿slv¿¡.seuna u¡ción f:
l ') = ', ") =(l ' '))'con €1 indeunificar¿s otacioneseesc¡teaveces0) = t
E¡emplo
a)Lasderivadasucesivase a unción (x) : x' son
f(x) : 3x'?, "(x) = 6x,f" '(x) = a' , l ' )1*¡ = 0 paran>:l
b) Seanun número aturaly onsideremosa tmción
I(^ J - -; - {\ a) \' ¡
t\ -a l
Entonces,Parax+4,
f'(1) = -m(x a) - - ''vistoenel ejemplo paran € N
lm 2lf Lr ) ml m l) lr al
l" ' t \ ) - mr m lrrm 2'rr ar ' '
Deestas ómulas sepuede nferir a ¡terivada -ésima e :18 6
18
4'6.2 Derivada elDroductode n número ealpor uná unc¡ón
(¡ ' t ' (a) : x f ' (a).La ¿erit acLl delpro.lucto de un nrlnero ftol par una función es Sudl dl nú"k tt )rcal pot la detiwda de la unciót.
t r"r(x)= (-t)nm(m+ l) (n 2). . . ( ln+n t.¡1*_u¡ _ "
4-6 Derivadas e asoperaciones on unc¡ones....lll..lllg!*" etcdlúuroera den\ dade''''''¡ ¡u..
'r'l ic<\ponenprocc.o, ede¡i\acjon'¡d tuncjon
'e denonit'¿L1c,i .¡on
4.6.1Derivada,e asumao diferenc¡a eclos unc¡ones
t t t r t l ,n^ tr t ¡ \ t \ t I \ , l r
Sea " u n número€aly unafunciónderivablena entonces l es ambión
si ryssonderivabresenaentoncest;;r
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(f+ gxa + hl _ (f+ gxa) f(a + h) + s(a+ l.) (f(a)+ e(a)) =
= (a + ¡f:E) +cG+hl - s(a),for¡o t yg sonderjvables na,
i 'Tr!-*& r"',r ) , ¡m0s]i-! l-g!11sra,
l*tu&l*{@ = ,(a)e,(a).
^ná ogamenree ¡ueba ue - I es anbién erilaore nay
(f_e) '(a) = f ,(a) s,(a).
Elemplo 0
") Laderivadae a unción(x) _ xa + : x , recoroandoiEjenpto2,seÍí¡ ( \ ) = 4x '+ l
b)A¡álogamenteaderivadae a unción(x) = x2 j será ,(x.) = 2x.
Dc¡nostración.Dirigido ectoresnteresadot-Parah+0sc1ien€
(¡".1)(a+h) (¡ . f )(a) ¡"t f (a+h) f(a) lhh
como €s derivable n3,
,'y.e:|.P : t'r"r,
lmI lf t¿ .1'r f t¿r] /. t rníah) 'r ld) , , (dl
r ' -o h h- n n
x3 es f'(x) = 3x2, por tanto evaluadaen el punl,
luego
Ejemp¡olLa derivad¿e a función (x) =
x=1esf ' (1):3.
De1 enunciado emostradorriba concLurnos ue para g1x¡ = 2x3 sc
g' (x) 6x'zy e'(1) 2 3=6.
4-6.3Derivada el Droducto edos uñciones
Si y gsoninciones erivablesna.enronces g esambién erivablenav
(f s)'(a)= f ' (a) s(a)+ (a ) s'(a).La deriútla delproducrode dos uncioneses guald lo detivada.le a prinerafunció por la sesúndas¡n deirar m¿s a prineru lünción sin detirat por taderiwda de a sesunda.
Demostración.Dirigido edoresnleresados).
;;;;;énderr;r€sen;(r +e) ' (a)= f,(a) c'(a) y (f g)(a) = f,(a)_s,(a).
\uno (resta) de do, fin.int itt¿rd'dcp,td\lLtt¿a4 td \una /rc:ta' rie ld'
l)rmoir¡ación. (Dirjgjdo a ectoresnreresados).|r r ¡ rh70se t ienLr
18 818
--"_.-.
9!"+=isx,r - rlalh)s(n.r_rr)l )s{r)
rlá+hl f( a g( a+ h + l ¿ sta+ h_.1_-g1!
^hornbren. y g so¡ denvables ¡ a ).por ta¡¡o,
G+hf rG) r'(4 y
(a+h)s(a+h) f(a)g(a1h)+f(a)s({+h)_(a)s(a)
,
b) L dcrivadac r i lnción 1x ) = 3x 2 'x+l es ' (r i) = 6x+ 1'
c) Una unción olinómica1i ) = c0+crx+c2x2+ .+coxo es derivablen tot|
punlo.
lln e ecro: essumade a unción onstanle, por anto, erivable,o(x) = c0 v dc rrs
lirncionesk(x) ="o*u,
k : i,2, n, que ambién on¿lerivablesor serprodtrerol
l!nciones erivables.
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^cnrá,. es o¡rinuan por,erde¡i\bte.ue8o
htTog(a h)= sl¡limo(¿+ )] = s(a).
hli'" ür,-^cGa+ggl s,(")
JT.cr*+tlQfo = '(a)s(a)(a)g\a),csdecir . g esderivablenay
(r.s),(a) = f,(a). s(a)+ f(a). e,(a).
Ejerñpto 2
Laderivadae (x)
c(x) = x
y resulta ¡'(x) = I
Ejemplo 13al Como emos isLo net Fjer¡pto . ¿. uDc¡ones
f¡(x ) = xo = 1 , f,(x)=xl , t2(x)=x2,lienen €.ivadas
= x(x - I )2 seobtienederivando o¡noel p¡oductode as uncio¡esy h(x) = (x - l ),
(x-l) '?+x.t2(x i) l = 3x 2 ¿x+1.
f3G)= *
1¡ '(x) 0, f ' ,G) = 1, f : ,G) = :* , f , (x) = 3x2, . . . .cs €cirsin(x)= x¡,sesiguetaregtafn,(x):nx.-r.
Pr¡esien ro rerutraercienoa,, oao ume.oaruratr.
1901
Además,ar a ad a € R seti€neo'(a)= 0, fk ' (a)= kcoa* ', k: 1,2. .rr,r ' t .r
t ¡rnlo'(a) = ct + 2c1a+ .. +ncna¡I
.
4.6.4 Derivadadé un cocient€ de funcion€3
si fy g sonderivables n ay g(a)+ 0, entonces es ambiénderivableen a v
(f 'c)= lorel4++c1'g)
Ld derívada de un cocíente deluncíones es igal a la denvada áel numetudoliii ii ¿*r.'*¿-
'na"rivar nenos etnumirador ri denvatpottadeti\odo
'detdenon inador. y todo ello dhidido por el denondadot \in Je varctPúrdo
Demostración, Diigido a ectoresnteresados)
f ! ) r"*nr I I ) t "r f ia+b)- f la)-grah.l ra)U4#+ffi ' '
f(a+h)e(a) f(a)g(a) f(a)s(a) f(a)s(a+h.)hs(a+h)g(a)
:e("+)s(alrt'*fi
'et"r rtoelt{-::1o]'
hlünos(ahl : f A, ;*q*@
= r'¡u¡¡om
9Q19_914 : c'{o)
b- 0 hconlormequeríamosdemostrar.
Eiempto 4
_ 1"(a) g(a) (3 ) .8'(a)(e(a)),
Eremplo16
oompuest¿óf,donde
h'( , : s ' ( f (x)) l ' (x) 31*t*** l ¡ t1z** l ;
t^.lrutktf klt ol ru
(a
Jl. o ( j ) ro
,
lllil,"r[r:¡,{#,,*..:tJH:?.,xn,Jil*:i.t"xl#iltufi"",::.¿:x,1tr: La función d€finida or r ' t¡ =
^,f , '*. : i" '**¡" ' , co nx > 0 es 0 l i rr¡r"r
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Ejempfo5
f(x) = x'?+x y C(x) =x
y.porlaregladea cadena
l2
x", paracadax , lt, e
;fJl esde vabte n odo
xt
para ta
r€gla de la2
¿)La ünció¡ R + R defini¡ia a¡a ada € Rpo¡ f(x) =J)unb ,porserunaunció¡racional,y sera2 I + 0_ demás,
f t¿ ) = | la'+_l - ( i .2ar _ a2+ 1 (ar+l)_(
," ",ii"T"ll i"l;ili
+Rden¡ida'araada€R {, ,por(x)
h'(x): g'( f(x)). f '(x) = (
I
=I t tx '
+ r l ' ( )x+ i) :
l r1/2Xr(x)) '
2x + I
f ' ,¿, r2a s¡,d.rr !4:rL_gr l .a2.)¿.1¿. )¡ ," tF4{.5.Der¡vacta.de
ta unción ompuesta.Reol
".i*nJ :mtlÍ;nx.ffifu;_l11::;::1:"n,..nes.unc,en,cs
zkl4-5.6Dorlvada e a unción ñversa
Sea una funciónmonótona continuaen un inteflalo Si fes derivable€n u
püntoa interiora dicho ntervaloy f'(a) + 0 , €ntonces u tunción nversar
esderivableen = f(a) y
.! lll f \ ' /h\=-=-, , ,", _
f, n ,,(, . (bD
La dethada eb funciónnwrcaes atuversa e a deri ada
Ejemplo l7
S€an un númeronaturatmpar.La función definida por f1x) =
creciente continuaen (-ó, +a). Su unción nve$aes
La derivadade lacade¡a, obseñ/a¡do
192
tunció¡ (r ) = ("2+*+ t) 3que h(x) - e.¡(x) donde
pued€ calcuia¡se o¡g(x) = x3 y f(x)
la
f-t(*) : , f ' . - xr lú,paracadaxe&y segín elresultado nierior,para x + 0, se iene
l| | f l \ l-
. - - - - - -
" "' t , t f l ( \r , nt f t \¡rn nt\ lr)n-l"" '
I "
Sit""A-iurUf"-"@
(c"f),(a) c,(f(a))r,(a).La derivada .te ta fuh.;Á.) ;::;:i: i:,':{X::::,";J|:;:i,1:J:lT i:n:: l. ",,,,.,óe. ,.,a
19
4.7 Da¡lvadtrdr lr8funcioneselementates
gg'i$'"g$tr-"f;H;$*';;a,ñ$[*j"ffi*'ffi Fancün constanteJ)fufición idenridadDlcte]= 0 y Dtxl = 1
runciórsimple
D[se$(x)]= cos(x)
lrunciónsimpleDloos(x)l sen(x)
Dtsen(f(x)) l= f '(x) cos(1(x))
Dtcos(f(x)) l = -f '(x) sen(f(x))
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. FuttciónpotencialFuncjón imple
Dtx''l= n xú -
. Fun ió,t tuhcaadtu¿qFunción imple
DÍ^,&r -L
Función ratzn-esihttFunciónsimple
oru&r --]- "iFr. Fu,'ción ¿xporrenctut
Función impte
Dtel = e-
D[a"] = a '. l¡ a
. Frúcün toguttnicaFunciónsimple
¡tr¡xl =
Dlloe-xl= -L. ' x . lna
194
Furción compuestaDtr(x)"] n. r(x)l '-r.r,(x)
Funcióncompuesta
or.fi*l: =_--..1-2lf(x)
Función ompuestá
'f '(x)
Drx,fitt +=-n, f ¡ r ix;1"r
Funcióncompúesta
Dte{*¡ = erc).f'(x)
Dtat( ' \ = arG).ha .f,(x)
Funcióncompuesta¡flrrf-)lff i
Dtros,f3, = ;!.fl-L(xr . ¡na
' f ' (x)
F'n€iónsimple
D[ts(x)] = 1+te (x )
lDtta(x) l :
-cos xl
. Ftncíón úco seno
Función impleI
ularcseo(xl l --,V1 (x)-
. Futtcíónatco cos¿no
Funciónsimple
Dlarccos(x)l -l
Dttg(f(x)) l = (l * tgt(t(*))) t ' t* I
Dtts(f(x))l -qql-cos-(f(x))
Drarcsen(r(x))r=,ffi
. Funcün arco tangenle
Funcióncompuesta
Dtarcsen(f(x))l=-r'(]()
^/ l - ( f(x))-
6¡ "1*¡ = -I - $ x; e I
d) k(r t = --l-
s, x '0
Funciónsimpte
Dlarcts(x)l = Dtarcts((x)) lf ' lx) -
I + (f(x))-I +(x)2
Eiemplo8Calculamosaderivad¿ecada nade assiguient€sunciones'
a) (x ) : x2+x+1
c) h(x) = x1/2+xr /3 s x>0
c) p(x) = x^/4+ x, Dq(x)=J# si r<x<rAp¡icamosas eglasde derivación aradetemina¡ a unciónderivada.
. r) Aplicanos aderivada eunasuma la derivada¿le napore¡cia:f ,(x) = 2x + 1
lt) Aplicamosaderivada euncociente:
t . (x_t)_t .x r(x+t)2 (x+t)2 '
derivadasegunda.- r( l +x)- l( l -x)
,1'" '2r¡ f rxr- ---11} l l - - -¡ l -x l-J2r l {r r)
" l r -x"^/1* ' .
t ' r9 l t t ¡ l 5 2( l xJ | 2 - l t ' ," . ¡ ' ,' ^ t '
t¿¿
Al sustituirpor0 en stasunciones€ iene: '(0) = 1v f"(0) = I
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c)Aplicamos a derivada eunasuma ladeunapor€ncra:
,1. , , t_,hi \ , +x2 - l " i - ' - .1, , r .z '1, , r ¡ - r- , I2 t z^A ¡,Fd) Aplicamosa de¡ivada eun cociente de a raizcua¿bada:
k ' (x) =l . (1+^,4)-x.+ r+^A1"&
(l + ",4)2
- " 2=""= 2+,q,i + Jxt¿ 2 + Jr)2
e)Aplicamos a derivada eunproducro taderivada euna atz:
p(x l - l .4 /1, r¿ rr ,__:- J l _*¡+ r '
2^/ l I x' 2 r l ti
t Aplicamos a de¡iv¿da euncociente la derivada euna aíz:
1 ."¡t
x. x. ____:j_)1 1
-2 r\, = ----------:i:_:_____ =(11- x2)'
EJercicio9Calcularnx = 0 laderivadadmera tadedvadaegundae ¡ssiguientesuncioi¡es:
, r q4= pb) sG) = xl6-
c)h(x):3{tr+t+2 O f.fxl fffi
i;:;#¡{{"""-tn{':l"#$:,f."}**#**rn$#f*xl*¡."r;:g'i'}*;;19 6
9 2\ 2b) pix) - t .J9-x \ - j . : . ': .- 2Je. *' Je- ,
. rr-¿*,óJ,-tlffi l_g,*,=------ff i-Portanto,' (0) = 3 Y g"(0)= 0.
c)Antesde derivar, eescribimosa exFesiónde a tuDción omounapotencia
nlx¡ : 3,17+ z* z = ¡a2+ 2x + 2) t 3 .
h(x) J(x'+2x+2)t3(2x+\ .
r "r - r j f j r , , : -zr ,2r- ' r (2x2r2-r \ ' 2r r2r ' ]3 2]
Portanto'(0) '{"
n' t =t $
9x2+2x+ 15x(x lxx 2)-r lx¿ 5)t (x-2, (¡ l ) l
t(" ut^ '" r
2xt 2'7>t(o '^",''
d) k (x)
k ' (x)
(x, r)2(x 2),
:C18x+2)G-1fG 2)'?C eI11?11-1!)-t-2ÍxXx 2)'?+2G-2)G r)']1
18x3 6x2 90r+ 94 Po¡tanto,'(0)=
f;v t'{o)
¡x-t1r1x : . ¡r
47
Eiercicio 0¿Enquepuntode
f(x) : x2 ?x+3la gráfica sevedñca que a r€cta angente
esparalelaal¿rectax + Y- 3 = 0?
a ia grafica e a tun(i¡
19
Sohr( ló| l . ¡, i ,mr¡de .5ot \ (rcsr, r¡ , \ l ( r I
,,"1i:il;Í5.'":;1iil'rTi";ü1lll:li::,c,pu,,(oh.sc,ú,,cnlonces,aecuacióny (a2-j^+3\ = (2a-7)(x a) ,(2 a ])x y-a(2a-1\+(a2 7a.+3)= 0.
.,""-,:,::::1$3:T:;',",;,,i:lilTli.,ltlT:3ilÍ13i";,íJ,J:l.rdeprineracoordenadaelAniíloganente,nvecrorrle irección e a ccta x+ y _ 3 = 0 es t, 5).
l | r I I I tu\ot,t
b)ADálos¡mcnLcsctrf, l ie¡hdcrivrdrdcunapoLcnciry larcgltrdclrrcr!( ldr
g' (x) = l (I rcos'z(x)) '?(Icos'?(x)) '= ( I cos2(x))r2eos(x)(fo{(\
= 3( l +cos2(x)) '?2cos(x)(-sen(x))=sen(x)cos(x)(1 osr(r))l
c) Análoga'nent€eaplicaa €gla e ¿cadena,
rr ' (x)= ( sen(cos(x))Xcos(x)) 'ren(cos(x))sen(x)
d) Si enemosncuenta ueu( x) = (rg(2x))r/3,entonces
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,'';:;":';i1:l"i:H:l"J:,f:iffi"":",1ilil::";;::#:'ffiff?
i '= ' .lz"-:= s. '
desoluciónm= 1Y a=l'
Sia: l ,enlonces(l i = 3 y eipünrouscaoos 1 ,_j).. Otra orma e esolver sre roblema:
,,,ilf'J"o''l"0,""1,":'"':l.t.o"o,.o.t:,"'iff"iii.o_.dl"oo:;ff1"",",".,.,,"0..,r*o'.",. ",*.,"ü"; ;,;;"il"':
l;:x#:a¡,i,1;tii:'iiti,i::,::"lil::'ffi:l.i:t: ili;.:,;.Ti;:l:Si as
ectasonparaielas,¡toncesus endienreson uales.Asípues,esuita ue2a 7= 5=>2a =2+a= t,
y, pof o anto, ( 1) = 3 . El punto edido s I , _J) .
| .. | 2 Jtl rg2r)r),1r\ r -J i le(2rrr
| lrgl.Z\))l lLgl2¡), , , ,. ,
e) Derivamoscomounproducto,
' ' t ' r- t ' / i iur.,g,* t. "^rarcrgrxrt ,|u ' ..e," ' ', . ' .
arcts(x . "A--f_.
2J x I +x '
2x
r) w'G) ¡ . / l 9_ _2. t t xt _ x fJr (r *u J*2 /x2(t _xr) Jl x,
Eiemplo22s)Para alcularaderivadae (x) = arctgsen(x) ,utilizarnosa egla
Ejercic¡o21Hallara inción¡terjvadae assiguientesunciones:
a) f(x) = sen3(4x)
c) h(x) = costcos(x)l
e) v(x) =
^A .
arcrs(x)
lt +cosr(x)13
u'",eo¡a/iJ¡senl(4x) seaplicaa de¡ivadaeünapotencia ra egla e acadena se
f' (x) = 3 sen2(4x).se¡(4x)), = 12.sen2(4x).cos(4x).
(arcts(u))'= con u = sen(x). Entonces '= cos(x) y
cos lx l
I + (sen)¿(x)
b) La derivada € (x) es(r)+ co(t secalcula tilizandoa resla e")'- e"= sen(x) cos(x).Entonces' = cos(x)-sen(x) y
f ' (x) = (cos(¡) sen(x))e'" ' (¡) 'd n .
1+u2
b) c(x) =
d) u(x) =
i)w(x)
:Solüción.
a) Pa¡a (x) =
I (1 x2)
19 8
1
l¡.rclqlo 23
l)crivsr: a ' frxr - senlrrt Ir rg ru{-i l l
Soh¡clón.
) ¡)crivamos omoun productode uncio¡es.
b) c(x) = ^/il *'
" .." |', /
f ' lxr- Ssen2rr)-r cosrx) t.2x.rgrf i - i ¡ ,
t terytrctq1rn ltft\tq c. .. sr¡ . -
qomplo 4
Supongamosueel espacioeconido or apaficulaen €l tiempo €s (x) = x- x 'cnloncesa velocidad n el instante = 2 venúá dadapor el valor de la dcrivrrdl
l ' (x):2x+l en x = 2 e s €cir,
v:f ' (2)=4+l=5
y laacelerációnn estejnstantesemelvalord€laderivadade2x+1qüeesigü¿la2'
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- l ; tg1,421¡:=d] f : r ] - ] -Jt zr cos:rJt 2x t
+se¡rrxr-1.^L _- =
cos.f t 2x ) 2J l -2).= 6xsen2(x2 ¡ . cos1x2
b) Derivamosomo ncoci€nte,
- =!=.""'(;)̂ {-¿G*u()(_,*())i)' (x)=
-".(;J-'*"11
r' 3 t - - /x \--__+rvr x.sen(r l^ /r x '
*c{ ;,
4-8 Interpretaciónís¡cade aderivada
.-\pongamos queuna.paniculaem!¡eve n íneaefla queetespdcroecorrido orellaalaoo eu¡r,empo es lr). La etocidad edia edi.r,upáni.uru,nun nü^;ü ¡;ñ;";l"';x"il,il^l',""1;'.iJ:ifl:.1::H::":",n[.1],.'*xi:juyl;i:i$;{a+h) f(a)
hLa wlocídadnstmtáneae apartículanel nslanrees, ord€tinición,l ímite
Lú fIa + q) f(a)h+o I
esdecr¡,€sfr( a) , derivada elespacioespecto l tiempoenelpunto a.La derivada eeunda ,,(a) se|amaaceteracündetapartícuta nel nstante .
200
Elercicio25
El espacio (t), nedido en metros, ecorridoporüra partículasobreuna ectaal c¡l)(' (lf Isegundosienedado or f(t) = 100+5t 0,001t3Hallar a velocidad la aceleracúrr l'
dicha aflcula€n os ¡stanies = l yt = l0
Solución.La tunción¡lerivaü de a tunciónespacio, (t) , es a finción velocidad,
v(t):f ' (t) = 5-0,003t'?
La ñmciónderivada e a irnciónvelocidad,v(t) , es a tunciónaceleración,
a(t) = v'(t) =f"(t) = 0,0061
Asl pues, nlos nstantes = I y t:10 setienen'
v(l)=
5-0,003= 4,997; a(1) = 0,006,
v(10) = s 0,3=4,7; a(10)=-0,06.
NotashistódcasA inalesdetsiglo,yI tos robtemas e norinie ro eran el rema nncipal de a Fís¡cu
La gan canndadde obsenacíones cunuladas npulsa d la cienciahacia a inwst¡'
gación cuantifaftua de los o,mas de novimie to v los i cíones'cona in'igen?s
abstractasde losptxcesos de noriwie fov dependenci¡t'omiewana ser objeto¡tt
cálcuto.Losúeiosprobkmas de lefetmínaciónde range tes,áreas rolúnenescot''
¡r¡buyercn ambiénengran ne¿ ]a a inpulsar losprocedimienros ecálculo'
Con Newtu y Leibnirz(sielo
^vID
aparecenos conceptos e ínife v detiwda Si
embargo,hasra a segunda itad del sigloxIX no se?amprendi¿ íen el signl¡carlode ta continuidad sepetlsabaque rotla unció connnuadebíaserderiwble en cds
todo! lospuntosy ni siquierahabíaacueño e te lasmatemáticosobrc el concep
de tlció\l). Cauchydio tasprinetas dertnicíones oft¿ta: de ímite de unció|1can
tinxay de deri'¡aday Botzanohizoelpr¡ner e!tudio rigutoso de as unciones con
20
fl;fl04¿tt.""tonese tasderivadasl cálculode limites,Reglade
r,,r:[,*,,:Í:::]."",i:,j:1Í;:deruncionesraradon er tema3 se veia aexistenciae
: ,3 ' ; '0.ó ;ú ó ; r - ;oo .0.
, ,xjljllijol.l"e;i3"._"d€ esorversrasndereminacionesnercaso e raranee
4-9.1Regta eL'Hópital
Elemplo 6
ac"r-r^.*,r'3'o {!,cnclquc parecea ndere'min¡ciórrt'
Jr,*!: JT,eeP'.3
tt;f5,
*"l
que aparecea indetenninación0
volrelrrr I (l¡lr' rrr i t'!'
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, .siJrs fu¡croneserirablesjenen ¡. ¡rn¡r..",,,,i"'j.r"".,ii.'i,1;'J::::t:l#,i::,:':f,Hi:iil:li'ru:x.,[:.J:,:..":.,i*xll
R€gla eL'H6pit¡L C¡so09.
S"- ty g ao" uo"ioo"s onrinuasue eriñcanlassiguientesipótesisL li m t(x) = lr mg(x) : 0.
2. -Fnun ier lo nromoreducjdode¡sgr ) ¿ r .3.-Exisren'(x) y g ' (x),quenisorceroniinfinitoalavez,e¡unentomodea.
4.-Existeelímite limf-Q.
x+ ¡ g (x)Entonces:
r'rn .q¡..1 rilnrl!!l\ -sc tx r \_ag ' ( ) . )
Re-gla e-L,H6pital gen€ratiz¡da,Si en ascondiciones nterior€s, deuráseüene que cuando. +a se anulan x), g(x) y sus cspecrivaserivadas
l l l l l l :l l l i l" ; I *i.' .n /" ',,., y er"rr", .q, e , on e¡o i nnni,oaez , nune¡tomodea.
Entonces:
I;,,' (') =',-
l't'l._" g1x) ,+, , in \ r ( )
. ¡r'r¡drEl resulrado svalido para odonúmerc eata e (_@,+@)
202
'n¡orarEl resultado svalidopala odonúmero eal a € ( ó, +@)
]g.
dc L'Hopital generalizad¿hastaobt€neru¡ tesultado distinto dcll
r ' " "+ ' ' " . 'o**- t ry"#i I ; i . ,
RegladeL'H6pital.C{so3 Seany gdos uncionesominuasucvcrill rn
las siguientes ipótesis:
l . - l im f (x) = l im e(x) : ó.
2.-En un ciertoentomo etucidodeaesg(x) + 0
3.-Existetr' (x) y g'(x),quenisonceroniinfinitoalavez,enunenlonc '
f r l r \4.- Existeel imite lim ----r-:r'
r+¿ g xl
Entonces:
ri- !:.l = Li. ri!rr a g(x) x .b grxl
Reglade L'Hóp¡tálgenertliz¡da.Si en a\ condic¡ooesnlerioresderlá"r
uene ue cuando a se anulan ir l . g(x) ) su5 e"pecri\a 'err\"Jr
primera,sesunda,...,yexi" t"o")1' ¡ v g(' )1 ' ¡,quenisonceroniinfini loavez,€nunentornodeaEntonces:
f lx ! . . f ' ( ) , )tr m
-:lt m --- i -
r- ¡ gtx) \+ a o' " , r r I
g.mplo270)C0lculamosim | .enetqu e parece¿ nderermrn¿ción
lim :- = liñ 1x+ ú rn x x+ - I
i^)
b) tim l---l lim 4 - l,ma - u.t .ú 2e'^ rr { 4ez{
La lbrms dcresolverlos es matldo logrtrihot neperianosl
L - l inr f f txr ls ' 'r > rnr = rn I l im ff,x) lg(^\)
y por aspropiedadese os ogaritmos,
l lL l in ln([f t{) ]8", l im I grxr ln{l i {r ' l r l
Por anto,porh deñniciónde ogaritmo,
. . li m c(x) l ¡ ( t f (x) l ) lL = li m lf(x)ler*r: e'-"
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4.0.2Reducción e a nctetermÍnactón.@Este caso se ¡esuelve po¡ la rcgla de L,Hdpital una vez rransformadoel limite
correspondierrenunodet ioo1o 9'ó 0
En oscasos n osque lirn f(x) = 0 y tim g(x) = oo, a ndeteminación.a sepuederansfo¡mar n algunade a sigü€nre orma:
-, lg, lf (^) et^,¡ -
"l im,
qiI anarecena etLilo .
f(x)
f , / t \:; y apareceradetrlooY¡u
ilE4,9,3Reducción e a ncteterminactóno co
La indeterminacióne ransforman u¡a deI tipo; . siDmásquedividú numerador
denominadoror (x). g(r) :
l f " l sg) r_l- l im f lx)-Crr) ) - Lm rrx' srxl
1 i- . 0t rx) s(x) {x) e(x)
4-9.4Tratámiento e as ndetermtnacionest ; 00 ; o0Estas ndeterminacionesparecennelcálculode ímitesde a orma:
L = l im tf(x)le(x).
- l im (f(x).s(x)) = l i ln
204
J*i tJFiz{x 2 *Fi
205
Ejercicio2SAplicara regla eL H6pit¿1aúcalcularossiguientesimites:
_*-tx l 12 x+I
"tx- t+,tF tb) lir¡
Solución.
a) Este imite prcsenta na ndeterminación el tipoé
En estecasosepuedeaplic¡rt r
regladeL'Hópital (sólopara
unciones erivablety resultaque
-. x2-.2r, I 21 2llm --!------.----- -
r ' l x"-x ' I I \ 'l Jx _ z\- |
En est€último llmite vuelveaquedar a misma üdeterrninación3. Estásesalva plic0n(io
nuevamentea egla eL'Hópilal .
Í^ ?* 2 : h" =2-=?= ._; !*/ 2".1 , ;róx 2 4 2
b)EnesrelrmitetambiénaparecetainderermindciónS.quesesahaaplica
L'H6pital, pü€ssehata de tncionesderivables result¿ ue
c) lirn
^,/i, t +'E:l
q@:
,,/i+'",'i=
ll
. . 2"8 2"1\-rLrm-=
[mxjr+ -__::L x' r+
lm
^/x '- t tJx+t"/x- l. l . - 2J r t .F7
xJ I .
.Á,- L r -lim ;n
c) lgulme¡te seFesenraa anteriorndere.minación proc€demosleanálogao¡ma:
lim--:--]- - tim I ,\ ¡u . / r \ Jt_\ \ .^ I I
;l=;-;¡=
. l l rJr¡ ' f )po rdelinic iónI+x)" = e "v comoa función xponunc¡rl$eorfrn0x'
por€lapartado)de€ste jemplol
1 1i,,1 lh(r *- 1
l im(l 'x) e -e e
. Este rltimorcsultado e¡mitecalcularácilmente ualquierimite dc ¡r i)r'rrrl
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EJomplo29
¡r) linr !t-! = I .
B¡sta plicara regla eL'Hópitat: lim h(l * t) = t;l¡xJ o x xj o
b) l im !1 :6
iBastapticara esta € ,H6pital: im !I = ,,rn ! = n
x++- Ic) l im xtnx = 0.
Haciendolcambiodeariabte1 .L."run¿o,, O' resutlaque) + ó
ti m \tnx ,,ol . l l" t .L j _. ¡;rn _b . ¡\- 0 Y | úJ Y J t ú )
envitud del esultado elaparlado nterior.
I;-:;
I
d) l im xx = l.
Po¡definición, r
lim xr
1€) l im11 x)" =
206
exp(xlnx) y comoaexponencials onti¡ua
scl, t 'm. , , tnx1= exp{0) l/. 2
l , ,n , (¡)rs ' yrecompruebaque' . t Fi l
2l
lin tf(x)leG) '
donde ú<a<+ó y fy g son uncionesales ue (x)+1 para (xlo '
li m g(¡) = +a o -ó, paralasue xista im t(f(x)-1).g(x)l
Enefecto,poniendo(x) = f(x) l seriene
'
Il ¡ l \ lg/\ l
, ,* ,e, , , .l1r t r t^1", . ,l ' ' I
ycomoy = h(x) tiende cero uando tiende acia ,
r -L¡ !
I i rn ( l+h(x))hG)l= l i fn ( l+Y)Y=
e'xJsL . l v+t'
Además, h(x)e(x) = (f(x) l)s(x)'
y oomoa tunciónexponencial scontinualin [(f(x) 1) e(x)l
lim (f(x))sG) : e--"
l r r 1( \ t\
Eiemplo30
/Yr l \r 'a) tim1-l
Esie ímite esde ¿ orma : L l'
", ll:;;J;Jr,,-'.' +,)* es¿erarorma,
( ,\ lnr
rco. t \ , j . ,g, ,e
¡¡ h rcsr^r ' ' \ 's r¡ '
.H6pirai am
,por a¡tonoexistendeteminacióny
".'i'q*#-.o,
rc$olvcmosccscritrcndo¡ lirrr!iórrtle rsiSuicnlcbrrn¿:l l l (o ' r r r | ( ' \ ( r )
\cn l \ r lÉ( \ ) rcn(\ ) senl{r
P€ro si volvemosa sustituiren esta últjn¿ expresión por 0' oblcncnr)s"lrrlo
indeiermin¿ción,sta ez del tipoi, Cue esotvemosplicandouevánentc ¡ fc8lrr l(
L'Hópiral:
r, m.corr\,
¡ ;_ ltl) t ! ,1 ¡."; o
.en(\) ocos{x) I
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^plica¡nos calcujar
y c(nnoxlim.cos(x)= t,
",*..::ft+
.T.
#glr m (cos({ l l (rc¡\ ) - -0_ ,
r,') riln :lc{!
d) Al sustituir(por , nos esuitaa ndetermin¿ciór Ó, se ansforma rr{fr¡ 'tl Irl' '
lOu"noa.rr. 'or' .r.onraresladeLHópiral ae\presiondeunción¿d a¡ '* ' r ' r ' 'de a sjguienteorma:
"r"1.t",
rr "r*.ii')(t -*)te[r:!=
Ejerc¡cío fAplicarta.€giadeL Hópiatpamc¡tcuiartos igulen¡esímiresi
a) fi¡n 1-a¡csen(x)x+ox+arctg(x)
'Jl,(**f¡ ¿;
Luego:
t im r t -x ltefIx)
sen\tx, + t1
rr "r*.(j')
1
Solución.(; '
124;* ' ( ; ,,'i'sTffl::":',:#:::'.:ff::":#;..T;:,:T."Tffi::l:
vit"¡taaplicamosa cgtadeL,Hó pital,
-,.6qd, queenetaparradoanrerjo.apiicamosla II cosr/"r
:egladeL'Hópital sücesivamenrere,;P.rJr.*i#+;i$,--"-i_u=ffi,,=;: .il-^.'ii*;;, -*".,.,---,r-o ""j:T+**S{ l
)si sustitujinost por 0 en ta"rp.""*o, n
'" -'""t^r-xsen(¡) j'sutra a inderemi¡ació¡ ó_o, que
llm
I x _a¡csen(x)-x+0x+ardg(x) 0
a
i
d) ri m t - rrtsl!)'\ 2. /
j"."(;i
Ejercicio 2Caicul¿rossigr¡ientesímit€s;
, . (2 x,e\-x 2u) ,,'lo-J - - ., . rx2 2x+lr"
bl l lml-l' -* 'xr
4\+2
a) En este íI¡ite aparecea inaeterm;naciOn| , euesaLv¿mosl aplicar eiteradamenl
reglade L'H6pital, pues antonumeradoromodenominadoron ünciones erivables'
208
2
tor mus ¿l oll .y al rllol ll
l r )" o '- ¡ . '1.¡^. ,im l+ -:----- l ' ]r
Ll, * .L l x¿ 4r+2) j
\r 2r__ ,
Teoremas e Rolley delValorMedio
="^rl'll,-;-
i ; - ,.1
4t0
Teor€m¡deRolle'seafun¿ unción ontinuaena'b] vderivrr¡l('$rrn l') 'tal que f(a) = f(b). Entonces xiste al menosun c (¡r'h) Inl
'|rr
lm-1--il:=__l-__/ ,,_
-e\ - (2 x)e\- ¡\, o rl " ' l '^ --_:_i- -
=,i5lo-e -̂á;('z^le'=ly,# =
Jy,-*#q = ¿
,,il#J::'tr""'f.:ili:i1,1;;;?ffil1,:: seeduce,,ímitee naxpr€siónD,a
Di\rd iendoambospotinomo.resular--2r r | 2. \- |x. 4\ _)
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'f ' (c) = 0.
Tangentehorizontal
El Teorcma € Rolle afifma a existencia e uno o variospuntos,sobreel inlerva o ( l'
en oscuale! a gráficade a funciónpresent¿angenle orizontal'esdecir,p¿ralela ||r rc
deteminadaor ospuntosa,f(a)) y (b,f(b)).
E¡emplo33
La tunción :t-l, 1l -+ R deñnida or f(x) = x2, continua ¡ierivable or scr I
poliDomio, eriñca (-1) = (1) = 1' por antopor el Teorcma e RolledebehabcrI
punto en -l, l ) tal que '(x) = 0. Efectiva¡nente(x) = 2x vportanto '(0) = 0
(¡)=0
r ' (c) :o
Ad€más,x '?-2x+l) r\x¿ 4x+2)
lüegoiml{ :
2r l r ' -r,-r, , )\ | , \ . . L t \\ '@xz 4r z i i_" f .¿"- : , T- i '
" . . ,^ l=--- l. ,, - x2 4r, . 2
¿\ |
-,! -
2\ - |_ .entoncescü¿¡doxr iendediqf i Í i rorambré¡ lohácer.y
I t { . -4\+2l iml t . . I l - - i - - _ t imrr" l , ". -4x+21 t_;_\ - i /
l. I lY . ¿ l ' :1--= | I +---- j - l 2x- l I
.\ 4x_21 |2x_1 '
luego,aplica¡do asFopieda.les e os ímites,deducirnosue
r im*:I--t l ' - , , - l , -
rl :3Ji-+^;\ - ¡ x 4x_2 ".;( F4" , ] i
2x_t ,
210
quelrcr !-Il-Lf.l -
|-i2)
-I =
IBusquemoslvalorcdelenunciadoel eoremaDerivamosa unción l
f ' (x)=3r2+2x-1 + f ' (c) = 3¡2+2s-1
Resolvemosaecüaciónc2+2 " 1:1 =+ 3c2+2c 2 = o'
consotuciones:c,' i f , r . , - ' ,tr .a*a. ;c, . 2 -
| 2 lr
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Figura4. 8
_.-ElTeoremaetVatormedio uepreseoramosco",jnuu.ión ."eu- qr..",o ocrr_,€.n
ffi,ir:;"1':,:i:*, necesarioue a ecraetermrnaaaoresrosunrosea oüonrar
Recta angente ependiente '(c)
c, 4)
(b, b)
Rectasecantedependiente
(b) - (a)
b- a
¡ ¡gura .9
Ejemplo34
La fir¡ción ix)) = xl+x2-x en et inrern',n-l;*¡';::m;li:1..fr,':lffi:ii,r:¿.Jr,yil;t21 2
I
Figura .10
2
4-ll conceptos lave
Slgni l icado.geom"érricoe tá der¡rada n un punro. s tapendrcnree taecÉ a¡geore a irnción ndicbopünr,o.
: :T: lón:el{ e,¡raáÍeetrrerr}en __f. f ra ¡. ¡ , . , . , , .
;ll;l:'Í11;,:,1xil: "" inrerr¡robierro.querrdue s e.i\ bren adaFunción erl tada. a tuncrónue áce orre.pondercada unro t ator e¿deri \ da e a uncrónndjcho unro. edenáraor 1r1.D€rivadasrcesivas.' ;¡" = r\, .
B) En odoPuniomcnosnx=
IC) En odoPunto enoseü = 0 Yx : I
PrcblemaDeterminaruáldeassigüi€ntesfirmacionesscoffecra:
A) Todañlnció¡ continuaesderiv¿ble'
B) Erdstentncionesderivables uenosonconúnuas'
C) No existenunciones erivables uenosoñcolr¡nuas'
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(f ' ) , ; f ' , ,= ( f ) , ; . ; ld : (1 "Regl¡ deL'H6pit!|l.
Derivadase ¡soperaclonesonünciones.eafygderivablesnx = a:- ( f+ e),(a) f,(a)+ s'(a) y (f-exa) = f,(a)_g,(a).- () " f) ' (a)= ¡_ ,(a).- (f .exa) =f(a).s(a)+f(a)
si(a).
, lN (¿)= -ljf_gi -rrar_€!f
-^" ,, "' -- [-¡
-conetat*o'
- (e"O'(a) = e'( (a)) .f,(a) , cons derivabien a).Teor€m¡ deRolte y d€I v¿tor medio.Sea una ñmcióncontim¡aen [a, b] yderivablen (a,b)
- T. Ro e: S1 f(a) = f(b) :- existe at ri ' (c) = 0.
lenosun c € (a'b) ' tal qu e
- T.yalormedía:Existelmenosnc € (a,b), atquer¡"1 = l$p
4-12Autoevaluación
Problema
La unción(x) :
A) En odo unto.
21 4
----:.
esoefl\,abr€:
Problema
t ' .I-a iDción flx) definidaporf(x) =
i x + 1
l * 'z+tA) Elpuntor = 0 B) El punto)( = I
Probloma4
c)- . t *1
c) ""
c) e*cos(e*)
La derivadale a unción C) =^/F;
*'
Problema5
L¿ deriva¡la e a funciónf(x) = e- es:
e¡e' e' B)e e-
Problema
Laderiva¡lac a unción(x) : sen(e') es:
A) cosG') B) -escdr)
si x<0si 0<x<1 , es erivablen:
C) El conjuDto -{0'1 1
lrobloma 7
-,..1:ll"11- ¡ I e5 afatetaaa ansenre¿ rañcae ae\ponenciat\l
lltln o cor¡espondlente:
^)x=lB)x=0 C) Ningun alo¡dex
Probloma
Ln eri\adae ¡ incior t, r - r *2 I r .1 - t e,,
Tema5' Estudioy representacióne
funciones
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^)lx2 2x .
rD (2x+1)(x2- l)+(x2+t¡12)(r¡ .
C) 4x3.
Probloma
l-apendi€nree arangenrela gráfica e añnción
A) Mayor queuno B) Menor qüeuno C) Igualauno
f(x) - arctg(x)2
C) arcsen(tg(x,
Probléma0L¡ fi'nción(x) = ards(seD(x)) s a nve¡sae:
A) sen(ts(x)) B) rsGen(x))
Soluciones€l est
1234567a9rcACCBACBCB C
t16
ffig,*u*g$n*- Pu¡toscdtlcos,
- mátimos Y lnimos rclatrvos'
- concavialad convexitl¿d'
,"fr#ij"$:ili#ffi8:'g::li:,";:.r,*i"tlxfw eea'irürsrudioeos
5-l MáximosYm¡nimos
".liii i'i#*;!r'¿:s::l'x;r's*:"#:"''iT:"r';ff:'::áifere¡resmagnrrude..por..Jttp': ._^^.n€quénümero.serralasielprodudode
.r;"D,,'"j.:in:Hff''il:::'Jffi "- calcular a mínimadistanciadesdeel punto (S' 1) a ta grifica de la tunciÓn
Y = 1+x" - 'x
-Dibujarlag¡aficadeafimcrÓn=
--
-'
*i*i?nH"Hil5üiñ".:"fiXi:";*',**ng*tt'*m"#ff'H*T21 7
ll|rtrór, octuc ermitiráepr€sentarla.
tJ o d0 os esultadose ndole eneraluenospermitiránesolversteiDo eorobl€m¿s$¡cl(( l or idorcorcmadebrdoKarl heodor i lhelm eiels'mss8 5 t897r:
'l'corcm¡.Si una u¡ción es continua nun nrervatoenadoa,b], entoncestic¡c ln \^lot náxino absolutoy w \alor mínino úósohroen a, bj, esdecir,cxistcnuntoscyddea, ]t¿lesue
- f(c) > f(x) paraodo e ta,bl .
- (d) < f(x) paratodo e [a,b].
v c¡,nrosnejemplo eaplicaciónedicho eorerna
mlnimosnelinlervalo-5 , 5l
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E emplo I
¡,u ¡nción (x) =
¡rbsolr¡ lon c = 1,
Vórseigura5.l .
el intewalo 3, 3], presentan valorminimo
) un \a lormayimo bsoluron d - l. ( t) -I,'
Figura .1
Esrospunroscjdnor ieoenporque5erü¡ icos.Etv¿torm, imodetaI imcionconr inuafen a.bl se uedelcanzarn arios unro, e a.b]y Iomismo cune on t ajormrnimo.Porejemplo,el máximoy el mínino deuna mción constanre(x) - k en a,bl son suatesa k y sealcanzan ncualquierpunrode a,b].
La eráfica e (x) : 2sen(x)+cos 2x) , véaseigura5.2,presentaariosmáximos
218
f, cortnua n
I2
NosDroDonemosenel lasecc¡óDdeÉrmioarlos!aloresmá{¡mo)mrnimodeutul i r
"..i;;;í;
';i;^;l".enadoasi como os punros e dicno nrenalo en o' que ra ruh rr r
toma esos alores. Pam ello, empe/aremo' coD un resulladoque dqa er proorcrnJ'J\l
Eiémplo
La tu¡cióny =
punto a derivada, '
f(x) = l-xa (véase
= - 4x3 ,vale ce¡o
figura5.3) ieneün máximoenx = 0. en dich
Figua5.3
21
. lJrt¡|f i¡nciónlpuedetenerunft ix imoouümtnimoenuüpuntoasinqueseaf,(a)= 0.
lromplo
,,"Jl,'i::'ist:I;i.l#á i,? fi y,,-'''"' no s'(0) 0puestoueno s
Delrcsohadontcriorse educ€nmétodoara etcminar l máx rno elmfnirnodo rflr
lirncióo ontinua nun nteNalo €rrado.
Teorema. ea ünatunción onlinua nun ntervaloerradoa,b]. Lospunlosde a,b] en osque alcanza umáximoy sumínimoperten€cen algunode os¡€s conjunlos lgurentes
- A={x€(a,b):r ' (x) = 0},
_ B= {a,b},
- C= {x e (a, ): ro es erivablen }
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' Puede er '(a) : Osinque renga li máximoni mfirimoena.Ur ejemplosencillonos oDrcporcionaa tunción (x) = x3 (véase eu
iffiki;:#jfr;.":,"#"fi
,"trtr"ff;.'"T.1$l;ñ1":'rr"T:
220 22
. Se$lL¡ rt e esul lado.ar a elen¡i rarelme\ imo elminimodeuna uncion "rrr ' rrrd '1 '
u¡ iniervalocenado ta, bl basladelemiDar fia). nbr. Ios valores Y) para o lr'rrr'' \ 'r '(¿ .b) lalesque Lr ) - 0 ) paralospuDro<x(a .b)en osque noseaderivablc : l rrr ' r \ ' !
de odotello" será l máL\imo e fen La.bl) el meoorsera l minimo
. Paraobtener as regionesde crecimientoo d€crecimientode una función puedese
convenienteeguirossiguientesasos:
Ejemplo4Determinemososvalorcsmáximoy mínimo de1¿ mción
(x) = x3 9x2+ 24x - I en el ntervalo 0, 3]
I-á tunció¡ fes deivabl€ en odopuntoy
f' (x)=3x2 18x+24,
adenásf (x)=
0 cuandox=y flrando = 4,
vcomo
f(0)=-1, (2 ) = le, f(3)=17,
elmáximo e en [0, 3] es19y sealc¿nzaen = 2' el mínimoesl y sealcanzanx = 0
(Obsérveseuebemosdescatadoelpuntox = 4 en el cual f'(x) = 0 perodichopunto no
peteneceal nte alo(0, 3
5.2 Crec¡miento decrecimiento e una unción
tl crecimienro decrecrmieoroe u¡a funciónnos puedeorientarsobredóndeq
encuenra¡os ¿loresmárimosminimosdeamrsmalelrgro e aden\aoaosa)' !oarJ
estudiar l carácter e a variación
Teorem¡. Seauna ftnción derivableenun Dtervalo biefo I' Si f'(x) > 0 en odopuntox de , €nfonceses creci€nte n .
- Si f'(x) < 0 en odopuntox de , entonceses decreciente r I
L Derivar a unción obt€nerospüntos ond€ €arulr h dofivada, sdecir ospunrosdondc'lx) = 0
. 2. Sc orman. condn!¡arión-ntenalos bieños on osceroso mices, e a deri\¿dak,N r¡ntosed sconri¡üdadsi osbay).
3. Se om¿unpuntodecada ntervalo y sehallael sig¡o que iene a derivadapdmeraen(licho unto. i€¡ dicho unto '(x) > 0,lafunción€s recient€nesentervalo.i f,tx) < 0
Elomplo5
Estudiamosstos r€spasosen a tunción f(x)= . cuyodominio edefinicion s.x2+ I
J
l
2
I
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lr {0 } = (-oo,0)u(0,+{).
_,2 1| Suderivadas '(n) :
= , h cual e ace ero a¡ a 2 t =0 > x=tl .
2. Tiene unadiscontinuidad n x : 0 y los cerosde a d€rivad¿ on x = I y x = _1 .l;ormamosos nte¡valosbiertos-ó, 1 , (-1, 0), (0, t ), (1,+co).
J. Tomamos¡ pu¡todecádaoodeosancrioresnÉrvalos)ba amos lciA¡oqueen el¡ den\adanmerandicbo unto.büeniendoa abla iguieote:
rG)=? G+1xl-1)
r'(x) fG)
x€( @, 1)
x€ ( 1,0)
x€(0, l) + +
x € (1,+€ ) + +
222
Luego,füeceen( ó, -l) \-r 0, 1) vdecreceen 1,0) u (l' +Ó) (véaseigura 7)
Figura .6
En a figura5.6 aparecenibujadaÁasgráficasde v de ''
Ejércicio6
Estudiarl c¡ecimientodecrecimientoea unción f(x) = - x4+2x'?-
Soluciór.Porseruna unción erivablenR, calculamos' yestudiaÍrosusrgno'
f ' (x) = 4x3+4x= ax(x2-1) : ax(x+l) (x-1) '
Entonces,'(x) = 0parax = -1,x = 0vx = I -Estudiamoslsigno e '(x)
4 xl x+ 1 r'(x) r(x)
x € (-@, -1.)
x e (-1,0) +
x€(0, l)+ +
x € (1 , +@ ) + +
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Figuú 5.7
6.3 Máximos mínimos elativos
;ilffi{fi:#rr}j'J;"hrr;frffi'ri{:HT{::iffi{i##;:ffiri:" iitr";1|jfi}:l,i"XTra 5.8,esentaunmáximoabsorutoena,nmrnimoabsor,¡to
Definición.Seauna firncióndefinidaenunsubconjüntoA c R :
"i,:::","i !":'.,"*,"¡¡,o en uo pu¡ro c € A cuando \jsreun inrenaroabierto , r = (c - 6, c + 6), queco;tiene"
; ; ;;;;("; ] ;¡;'#;1:
-,f üene,ürninino rctatlroen u¡ pu¡rod e A cuando xi$e un i¡rewaloabretol. t- (d - 5. d | 6 que on ren e d ¡atqL¡e a,.- l r*r p_r' rJ.xe L
24 22
Figun5. 8
. rvolarEl reclproco lel rcsültadoanteriornosiempre ecumple,esdecir'una unciónpucd
cumplir f'(c) : 0 paraalciuú unto c desu doninio, v sinemba€o' f noFesentarexlremo
A lospuntosa endonde a deriva¡lade a tunciónsea¡ula se esdenominaambiénp!'hl
La mavona e a' frmcionesueaparecennesreibroso nderi\¡ble 'co nderitd ' i
¿i.'i"r"i" . enudomioio;\ce¡toT":HilJT;'".S.HJl::,ilj;:,'"];i:inaulares.sdecrr untos oode¡oexistea deliliá'ii"..-r,il." i"il,los enÍe dichos unros xi'tén asderiradas no 'on cero por "
i.n6;;'ái"ú¡ intervalosas tunciones'son ieÍ crecientes bi€n decrecientes'om
i,.iiJ"":.il'Jiñ¿ ti*" * ¡ichos punros'para os cüales a tutrciónpasadel crecinienlo ¡
d;;ñ;"'i;-á;i Jic¡ecirniénto ai irecimiento) un máximo relativo (o un míni'n
relativo).Dicho esultado epueale trunciar e asiguienteolms:
Comoseha visroen a sección .1,üna otmanipidav práctica eobteneros puros
donde na1únción esenlaexÍemos eraüvos osvjen'':dadoor el siguienteesultado
Teorem¿.Si una unción deñnidaen uD ntervaloabierto ieneun ma-{mo o
*"Ál"i-o'"t"ti'o
*'n
pullto a de djcho intervalov f es derivabl€en a'
entonces'(a) = 0
Teorem¡. Sea una u¡ción continuaenun ntervalo y sea'n ,b' cpuntosde '
tales uea< c < b y c unpunlo rítico e , esdecir, '(c) = 0 o bienun rntosingularde, esdecn '(c) noexisteEntonces:
- Si f ' (x)>0 paraod o unto € (a,c) v f ' (x)<0 paraod ox € (c'b)
entonces (c) esunmriximo elativo.
- Si f ' (x)<0 pa¡aod o unto € (4c) v f ' (x)>0 pa É od o € (c,b)
€ntonces(c) esunmínimo elativo.
Si f ' (x)>0 p3ra od o unto € (a,c) y l ' (x) >0
prraodo e (c,b)u"l(nrces(c) noesun náxünorelativo.
' Si f ' (x)<0 p¿raodo u-nto€ (a,c) y f ' (x)<0 para od ox e (c,b)cIt()rces(c) noesunmínimo elativo.
l!,t¡¡ ll l (corema nteriorpuede €r ecordado e a siguienteorma:
,,*l],,ilj[i]J:*** * posiriva nesariva,nronces,rpunro ¡irico orr€spondeun
,.t,,,*',,uo'*du O*u d" negativapositiva, l pünro rírico o¡¡espondeun mínimo i Nil,
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:Jomplo
l.¡r(icrivadadeatunciónf(')='3:*""
f '(x):3x'?-3.Estaderivadaseanutapar¿I ypalax = l.Parax< 1 esf ' (x)>0,pam 1<x<l es ,(x)< 0 pa¡a > I
r | (x) > 0. Porconsiguiente,tien€ u¡ máximo elativo n x - I yxn mínimo elativot. tr
lomploS(hlculenos los valoresmáximosy mínimos elativosy absolutos e la fünción
l¡ | - 4x ' r- enel nteRalo ./6,J6 l .
l.aderivadadelix). f ' (x)=x(x2 z) hego os untosf it icos o¡: 4x(x2 2):0,0 , * :
^,é n = !D . Los valorescoffespondientes e Ia tunción son: 1(0) = 0 ,| rt) = 1. f( aD) : 4. Losvalores e en osexbemos e nt€rvalo on:f(-,6) - 12,
lñF,\ = 12. Ahor a se puede onstruir na rablacon el signo le a derivada n loslbintervalos:..^,6, t¡,t ,D,o¡,O, t,trt, .G); ¿i"t'u abla os ndicaniosfc¡valos de crecimientoy dec¡ecimienro e la tunción. Luegoen los puntos-16 y ^,6lcnnzaa turción un valor mlnimo absoluto,en el punto0 un valor minimo rel¿tivoy en os
\bs rt y Ja alcarizala unción un valornáximo absoluto.
\ "6, t) ert,0) (0,a) t.rt,"G¡f 'G) +
(x)
Ejemplo9Calculámosos valoresmár.imos mínimos elativosv absolutos e la lir|'cki
f (x) = x - x2lr , enel ntef falo 1,21.
Sedetemina rimero l valorde a derivad¿e x) v la gualamoscero amobLcntr(
r" lt r , l ^punro\cr ir icosr\r '1- 0dedonde\ i
r lpunro { 0 Ls'r ' t rr ' ' r '
él noesrá ef in,daaderi\a& Fn el punro r¡ ico-
jt'r "r" '
*""ond:cr ' rr 'r "
tunciónes;8/27)=-4127, el valorde a unción nelpunto ingular : 0'es: f(0) (
Por último, os valores e la tunciónen los extemos del intervalo on: f( l) - l
f (2) :2 22/3
Ahorasepued€ onsrruiruna ablacon el signode a derivad¿ n ossubinteNalos:
( | o) , 0, 8 2' t ) ' (8 21'2)
( 1.0) (0,8 27 (8 2',7,2)
r'(x)
r(x)
¡
Véasea Figura5.9.
26
-Figura .9
2
l\x t¡ufo,cn x = -L la unción lcnn/¡urrnrlrrinrobsotLr({r.¡ x = 0 tiene ¡ máximo
réllLlvo. n r = 8,/27 un nínino relalivo en x = 2 un ná\imo absolurovéase igura¡ lr)).
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E orcic¡o 0
Ilallar¿,b y c paraque a gráfica e a tunción (x) = ax2+bx+c pase orel puntol ' = (8,0) y ftensa nnrnimo nQ = (6, 12).
Solución. Que1agráñcap¿sepor lospunrosP y Q signiñcaque ascoordenadas etpuúro
vcrificana exFesión e a unción, sdecir, ue ( 8)=
0 yf(6)=
12,a.82+b.8+c = 0 t a.62+b.6+c : -12.
A1 er derivable tener Ilmínino enQ" esulta ue ,(x) seanulae¡x : ó,
f ' (x) = 2ax+b > f ' (6) = 2.6.a+b = 0.
Luego, enemos n sistema e resecuaciones on res ncógnitas:
64a+8b+ c = 0l36a+6b+c = -12
f,consolución,á3, b = 36 yc = 96 .
t2a+b = 0l
Por anto,lafüncións f(x):3x2 36x+96 (véasefigura5.11).
Figura .10
228 22
Figua5.1l
Eierc¡cio 1-'-o"l*^".' * **u\o' 'uma¡
o0 ¿Dequeoúmeros'errara iel producroe unr"lf
elLosoreL uadradoelotroesmáxrmo¡
solución.sean os núrmeros, y, se ieneque x+y = 90 y x2y es mráximo'ucg
y=90-xcon0<x<90
se define la tunciónp(x) = x2(90-x) = 90x2-x3' con p(0) = p(90) = 0 v
pf*ito"i
o.'.s0. sJes b tunciónque ienequealcanzar n máximopues s cl
oroductoexl e) Deri\andotr r se ie¡ep'{x l - 180\ 3x 2 l¡(Ó0 \r-( ' ,1\l ' rirnpticaqu e _0 or'ó0 Entoncesl márimo curecuando _ ou ri ocer
x=60ey=30.
. Una uDción Puedeenerunmáximoo unmínimo el¿tivoenunpuntoasin serderivab
* iiú" *t".
i"lrrul¿" puecle erque '(a) = 0 sin que tenga i máximo i mínim
;;i;;;;;.;"*"" ejemplos aáosen 5 l demuestranstas ñrmaciol¡es'
La existencia¿le &sdedvadasseg¡¡nd¿se¡mite establecer n criterio simplepera l
clasiflcaciónde ospuDtos ttcos:
Teorem¡, Sea unafiúción dosvecesdedvabl€en un puntoay supongamosqu e '(a) = 0.
- Si f "(a)> 0entonc€stieneunmlnimoreletivoena'
- Si f"(a) < 0 entoncestiene unmáximo eladvoen a'
,,,1,i,i,,Tl:!x::,1',1"i:lliilt"*.,ii::ilH,:i!ll,liiillilxilJii.llii'i:l'j;:,t:üi",':ffi":lrut ** jl*üxi:Hi:H",i,,:"1;;,:Íil,ilffJ::iff:ff]lf il:l ,0s ¡nciones¡' ¡ =
^t,r¡ '¡ : *0, f1*.¡= -x a veri f ican,(0) =f,,(0) = 0;la
Inrrcrlr no je¡eni máximo i mínimo n x = 0 , la segundaiene ¡ mínimo la ercerá n
(x)= *4
scuundavalef. ' , (0)=0'luegonopodemosvalorarestepuntocrít icococlc| i to
¿"i t"¿" ".t*¿i. . t**" qu e ara <o es '(x)<O vpara0<x<4cs l"(x)){} lr t t
¿"".*"ri"-"" t ó,0) v crecienten(0'4) v' por anto' ien€ Dminimo clarivo n I (r
ou e dem,j ' . ab$lulo Para l orro unto e iene t4 r o'1e ' l l r)2 tuLP"
Lienenualormarimoel¿trvom 4 (\éasefigum5lJ)
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.Lr cstos€asos,osmáximosy mlnimosse determinan studiando tsigno de a d€rjvada
Elomplo 2
Sea (x)= x5- 2x4+ xl. Entonces.
f'(x) = 5x4- 8x3+3x2 ; f"(x)=20x3 - 24x2 6x
¡yr,\)- upaÉr 0.earáx.;)palax_ t.
Comof"(3/5)=18/25 0, t iene nmtdmo etarivonx=3/5.Como,,(1) = 2>0,f tieneun minimor€l¿tivoenx = 1
._El c¡itedo de la derivadasegunda o p¡oporcionani¡rgua informaciónen x = 0 pues
l"(0) : 0. Comopam <0 €s ,(x)>0 ypara0<x<3/5es f,(x) > O, escrecien; n(-@,0) y en(0,3/5) , por anto, o ienem¡áximoi ninimo enx = 0.
Ejemplo 3
. La tunción f(x) = xae-x rien€comodominiodedefiniciónroda a rccra eal.Vaüos abuscar uspuntos ríricosy a clasificarlos.Catculamosaderivada rimeray seg*á ¿" ," -
f ,(x) = (x 4)x3e-" ; f \x) = (x-2)(r_ 6)x2e .
La de¡ivadaprimera omaei v¡lo¡ ceroen x = 0 y x = 4. En el puntox = 0 la derivada
230
Figx¡a .13
E erc¡cio 4'D.,"r. iot el \alor máximo bsoluh el lalor minimo bsoluloe las sigu¡l ' l
fiúciones n os ntenalosqueemdrcan'a) f(x) = x2-5x + 6 en 0, 4]
b) e(x) = x3+3x 7 en -1 , l] '
o h(x):-L
en 0.2l
soruciótr.r aror¿rimo.absoru'oe fTf il ffixliilT::i,xl"TT',;"'::iexiste or l teoremae Íeierstrass)e¿lca
LiiiáiJ' i.iI'i"^"l" q'alosamenreon o' valores rnimosbsoluLoq-
"ii"i"r"iu.t 0". "".,-Ánción
polinónica' s ontinuavadaseces erivablerr r
*{:**m*,tr*r'ITi:iti:¿*:Ji:Í""1':*:"il:"*ifil"J:"llr'(x) = 2x 5 f'(x) = 0 > 2x 5 =o >x = l ' euenertenecel nteNalo0 4l
Ademrás,omo "(x) = 2> 0 , enroncesaunciónieneünmínimo elativo nx
l2 l4i6?
rI0) = 6 y elvalormínimobsoturos (, = j (véaseisu¡a .la).
c)La unciónestá clnnhr.u sto ucx2 - + 0 poraodo úmeroe¡lx es or)lirludcrivableen0,21
' . tx2- l ) - \ ( ) \ ) . - \z Ihi \ ' -
( ¡Lt -- r ¡ ' ] ¡
l i
Buscamososvalorcs ueanulan apdmera erivada'
¡ ¡ ¡ ¡ ¡5-J l l -^-0- ' \7 1-0-( \r + r) '
= pertenecel ntervalo .Estudiamos lvalor de asegunda etivL'(l[
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,Jll1"T;,':,1,:ñ:"Jtinuavvafiaseceserjvabren[-1. 1] . Estudiemososmáximos
g'(x) = 3x2+3_ g,(x)>3>0 pa¡a¿odox€t-1, I j ,luego a funcio¡g es crecie¡te n f-l.lt v ,
;;In::;. J]: ;l ;",in",t:tr'il:it.Til:'ffi1;
.i1 ¡igüra5-14
232
Figura .16
pero ólo 1 0,2]
conloh"(1) =;
< 0, la unción ieneunmáximoelativo nx : 1
Los valoresmídmo y mínimoabsolutosde h se alcanzanen el conjunto { 0' I '2 |
h(0)= 0, h(1)= jvniz)=! lLreeolvator er imobsolutosh(1)= iv '
valormínimo bsolutos h(0) = 0 (véaseñguras6) '
0.5
0.¡
0. 2
0l
x
EJerclcio S,nf.l¿llar
las dirnensionesel recránguloeárea áxima nscrito n unácircunferencia€
solur¡ón.Consideraos. ecr mgxo. r\é¿se iguÉ 5.t7) de tadospamtetos ¡os eie5t¡¡rc¿menre_uesl prcbremao pierdeseneral i¿a¿.e¿un *"*"g,1".; i iq, i .* .ñ"ir.(rosmidm 2¡. tos ados arateloat eje¡e tas . ] 2b. r.. r,a". p"?ir.r", J1¡. <i"i"{i.fhtonces, or €l t€orcma € Pitágoras,ver la figura5.17) a2+b2 = 32 v r€sulta ueh2 - o -u.:. ; .oooa e 10. l l .esdeci r .01a L
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¡rgura5.t7
El árca €dicho ectángulos S(a) = 2a 2b = 4ab.
Comoel áreaesun nlimeropositivo,entonces staesmáxina siy sólosi sucuadrado 0es,esdecir, S(a))'z= l6a2b2es náxima. atemás,t susriruir 2 porsu valorobtenido n
funciónde a2 tenemos:
(s(a)) '? l6a2(9 a2).
Esra tunción es deri\able en Ia variabtea y podemorapticar los resutradosconespondienresmárimos mínimosetarivos arairnirones erir'abtes,"* d;e;i;e l ¿loro aiores e que acen á-\ imas(ar)2
S€a a ftnción f(a) = 16a2(9-^2) = U4a2_16a4 (véaseigüa 5.18)definida n€linter,/alo0,31.
234 23
Figura .18
-288a-64a3= a(288-6442) o +'(a) = 0
ysólo os\alores 0yz +esrin omendos n
0]l
.J¿
Calcularnosl valord€ a derivad¿egunda," (a) = 288 192a2'parac¿dautodce
f"(0)= 288>0 + f poseenmínimoclat ivona = 0'
r'(j) = *s . o + f posee nmáximoelativo n a
Luego,lnÁxlnroedidoe¿lcanzaar¿ =i "
, =FW
El ectánguloeárea áximaerá ncüa¡lBdoe ado,' j=
3 t "'
Determinamosos valoresdonde eanutaa tunciónderivada '(a) = 2884 Ó4 1
E¡ercicio 6Estudiarosmáximosmínimosclativos € as unciones:
.2889-642
:l
J23
"12
3
,J2
3
,1,
u) f lx)- x]-6x2_ l5x+20
b) f(x) = x5-5x3+ lox
rylliifr,*"'lH:*:::?:*,Ji3i::,T¿?:Ji"l;tlfiTfsT.:..o"0"",'.,"""",,,11,H:Tiltl:tilH,i1lf
ra unciónlcanzanmáximomrnimoerarivoeincana
f { \r .J\ . /- t2\- t5-0> lxz t2\ , r -o- l^-
- '
Itfudia¡¡os tsignoe ,(x) paüavengua¡i a *",ón ,u*" _Ujr.="t r,.. *(= -l yx = s.
b) Buscamosospuntosondc canula {¡nción eriv¡da '(x)5x 4 l lx ' I
haciendo= xz,entonces
ll l i
+aD
,1+l,l
A¡om,calculamos"(x) ; f"(x) = 20xr 30x v estudiamosl signolf r' | \ ) rlr l''
puntosondee nula'(x :x ,= rt ,x2- -r t '* t= 1vx4 = - l '
sx 4 r5x2+ro= o=si2 lsr+lo - t=t=
{ :
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Obsérveseque,(x)= :fr+ r¡r-s¡.
x+l r'(*) fG)
x€ ( l ,J) +
x € (5, +a) + +
rfi.Tl"*";'$X*5i,*",1;T" :'"""*",araderechaeoeci€nre,¡roncesa
,J'"fi;i:#Hi:iff"1ñ;:;,,' : ro:"*""*"' a aderecharecienr€,núoncesa,,,?,iifl-!;l'il;?.,J;:;i1,,*T";i.*iltxilXl:even, un.
236
Figura .20
23
t"r¿¡= nr t 30rt= rc"A'o > existe¡lnimoelat ivon r : 'J:
t1 rt¡: nrt+zort: rcrt.0 > €xislemáximoeiativon , ' Jl '
f"(1) = -10<0 + €xistemáximorelativonx3 : I
f"( 1) = l0>0 > existemínir¡o elativo n x4 = -1
Resulta:
-e¡(rt,\rtD = (.¿,a¿) hay nmlninoelativo'
-en( I, f(- l )) = (-1, 6) otro,
-enerpuntort,r( rt, = ( ¿,-a¿) h¿v nnáximoclalivo
-en (1, (l)) = (1,6) oÍo (véaseigura 20)
v
C4 Concavidad convexidad
tg'rxl quc a primeraderivadaorrece nformaüróIsobreet compoÍamienrode dna uncionsu gmtrc¡. asr ocwre con la segundadenrada. trl¡ nos ofoDorcion¿|nro nrcron sobre a conc¡lidad lcrecimienrode Ia pendienÉ de ta fr¡Fcióni o 1ob.e suf¡n' !c , l ¡daddecrec imientoe apendienree a i ¡nc ión).esumrendo
()bséNeseue €scóncavanI siy sólo i (_0 es onvexanL
. rtcs
Delinición. €auna unción e¡ivablenu¡ intervalo bieno.- Si f' escreciente n €ntonceses convexa n .- S f' €sdecrecienteú enronceses cóncavanL
5-4.1Puntosdo nfloxlón
LosDuntos enosqueuna unción ontinuapasadecóoc¿vaconvexa
"'iccvcr$lllffianbunbs de nlleri¿n de (véaseñguras 22).
Figura 5.22 Ejemplosde ipos depuntosde nflexión
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^
de seguiradela¡te,vamosa darujra nterpretación eométrica e aconvexidad.Si lna funciónes convexaenün intervaioabierto entonces, ualesquierauesean os
I'UIr,'\ ) b de . la9dficade 'qued.aordebájo elseg¡nenLoecrilineoueu¡l tosDuDios(,,, l¡,)) lb. rlbrrde agráfica e u pára na i¡ncicjnó"*,"
*r.. t..á"rr.iá"*"ñg*"
(b,(b) G,(a))
(a, f(a)) (b, (b)
Figura .21
crite¡io sobr€ a convexidado concavidaddeu¡ul siguient€ esultadop€mite dar urllnción qu€admitesegunda edvada:
Teoreme.
;",jj¿:":l:*l*::*' defivadaesundaosiriva nun ¡rervaro bierto,
;",:;"::.rx:*lT
*. derivada esundaesarivanuü nte¡valo bi€rro,
. Fs onsecuencianmedialaetresulladonreriorpuesrcue i ',es o\ir i \a nelinlervatolenroncest' 'esnecienreent. ls it<negarrvan 'en.o*.., . .¿.i [ i i i" r. *i . - --
238 23
. Si x esunpunto¿le¡fle{ión y ené1 xistea deivada segunda' ntonces"(x) = 0'
. Si x esun punto donde a derivad¿ eg¡rndaeanulay la deriv¿daercemes distintade
cero, sdeci¡ "(x) : 0y f"'(x) + 0,entoncessunpuntonfl€xión'
E¡emplo'17
Dada a tunción (x) = determinamosos intervalos de concavid¿dy. :-,
Puestoue x - I )2= 0-
x = l,eldominiodedefinic ióndelatunciónesR-11)
Lasderivadason: f'(x) = : f"lx) = ----:--,
estasderjvadas eanula¡ parax = 0 (véase icur¿ 5 23) El siguientepasoesconstruirun¡
tábla con tos subi ervalos definidos por el pünto cdtico, x = 0, v el punto d
discontinuidad,= r:
(-.0)
(0,1) (0 ,-)
r"(x)
(x)
3 ^2
(. j
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Elomplo l8
Estudiamosos puntosde nflexiónde a tncion: y = f(x)La primemy segünda eriv¿da on:
Ii= (x- l ) "
2- t trx l=i( \ - I )
5
y ¡G) = 2(x- )- .
L¿denvadaegu¡da oseanuLanninqúnD!vutorde1t , es={.
mto) noexrsleen - I obséneseqüeel
Si x < 1, f "(x)> 0, añrción es onvexa;i x > l, 1,,(x) 0, a unció¡es óncava.Por o r¿ntohayün punrode nflexiónen 1 0) (véaseieura5.24).
Figura .23
240 2
Elercicio l9
Estudiara concavidad conveidad de as unoiones:
a) f(x) - 3x5 20n4+30x3+ 3 b)I
c) ¡(x) = Lx':- lSolución.
ar Como sla uncjón sderi\ableucesit¿mmten od oR. aplicamosl crirerioderiiada egünda.omeüamos orcalcülarasderi!adas.
f ' (x) = 15xa 80xl+90x2 y f"(x) = 60x3 240x2+l80x
Buscamosospuntosqueanulana a segunda erivads,
f"(x) = 0 '-60x3 240x2 180x 0 > 60x(x lxx-3) = 0'
cuyasmlces onx : 0 , x = 1,x = 3
A coDtiouaciónnatizanosts g o do t." x p¿rruerdonde€scóncavaconvexa.
xl r"(x) f( x)
x€( @,0)
x€(0, 1) +
x € (1,3) +
x € (3, +a) +
Luego es óncava|r1']. 2) y eorrvcxrcn-2, +ó) (véasefigum20
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,t*,,|','.rstfu"ión
"t "óncavan -Ó'0) -, 1'3) y co¡v€xa n (0, 1)u (3, +@)
Figura .25
, l] : : ':* :":resrádefin¡dáen l'2r.puesel denomin¿dore ae\presiónue
::li::,:il'Ji:j'i:#ii,11;t,'.;il",I,ij:',"H:1[Ti#JJ,:T':ff:il:.:
liiil*3,:e@'1)v (2'+@'' studiando;1
'*"¡" h;;;;1;ñ;.;;
lrx¡ - - ---J-.- r rlxr -- 2
f rr 2) r t , : ; lLatunción ',(x) €n ({, 2) noseanula nningun unto verifica ue ,,(x) < 0 pa¡aLodoxe( ó, 2) luego e rara euna unción óncavan o, 2).
8n ( 2, +€) la tnción f"(x) rampoco eanula nningún unro f,,(x) > 0 para odor e ( 2, +@) luegoer estenteryalo a funciónesconvexa.
242
i?
.ú
.t0
Figura .26
c) Pdmemmenteeescribimosa fimciónd€ olma quenoseutilice el valorabsoiuto;par
ello,utilizamosa d€ñniciónde éste
Comox2-9 = 0 parax 3 yparax = 3'entonces
l "zs six<3 l*-"s ix<-3
kr-s l =J-(*r ,st
s i -3<x<3 ;fG) =.1 G,-e) si 3<x<3
[*nsi 3sx l* ,n
si 3<x
La unciónes coniinü¿nR y derivabl€ucesivamentenR - { 3,3},portanto'
lz ' , , i * . , f2 si x ' lf t r l ' l : " s i 3¿\ . r ) f " l ¡ ) i 2 si -3 x"3
I zx si :<x I z , i : '*Luego,escóncavan ( 3,3) vconvexa n ( ó' 3)\-r(3,+Ó) (véaseigüa 5 27)
2
Porser " '(0)+0, f ' ( -J l)*0 y r" '( {6)+0, los puntos0. i i { r )) ({) '0} '
(-^,6,(-^,6))C¡,-f) v (^ñ'(,'6)) (^,4,$ *" *"* .rcnrrcxió'rc
(véaseigura .28).
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EJorcic io20Determinarospun|os e n¡lerion e as unciones:
a) (t =; . b) f(x) = (x 2)5 c) f(x) = (x+ 1)4
Solución.¡)Como es funcjó¡ acio¡ály sude¡omi¡a(
cn,odoR: pore o. buscam",,r",.. q,.-,t."'n":.T,:,:]:la
resterivabreuce.i\ meol.
calculamos '(r, - tx 2 l-r r2x xr x2 |rx2 t¡2 , , , l l
Y
¡1,.¡= C2x G'?+)')-JIrL_l).:x. ( x: + r) ) = 2" 3 - 6*(x2 + 1)3'
y estudiamosos valo¡es t¿lesque ,'(x) = 0,
), I -Á -
üIüo+2: 'r ox-or2x,x-r , o.
luegox o, ,:^ ls v
* =^/j,am¡lanar,,..Si elvalorde f','(x) _ nesros untos sdistinooece¡o,entoncesodemossegumrueosms untoson untos enflexiónde ,
f -(x) = ((6x, 6). (x2+1)3). 3(xr_+l)2.2x.(2xr-6x))_ _6x1+36,: u(x2 l )o Gt* r l '
244
Figua 5 28
b) La tunción es derivablesucesivamenten odo R- Calcularnos
r' (x) = 5(x-2)4, f"(x) = 20(x-2)3 v f" ' (x) : 60(x-2)'? '
y vemosquévaloresanulan1¿segunda erivada.Se ieneque f"(x) = 0 únicamente ar
Alser f"'(2) = 0, nopo.lemos seguar u€x = 2 sea npuntode nflexión € ' po
tanto,aplicamosa definición-de untode nflexión, esdecir,vemossi en x = 2 la funcióp¿sa e cóncava convexao vlceversa:
x-2 ( { -2t f"(x) fG)
xe ( ó,2)
x € (2,+ó)
Por anto, l PuÍo (2, (2))figura5.29).
= (2,0) es un punto de nflexión de a tunción f (vé¡s
24
Solurl¿rn, omosc mt{ dc 0nu irnción uccsivamcntceriv¡lblc c it c qrc Hi a clllll !
qLrradedvadaegund¿sposit ivdporaod o € R, entolc€sesconvcr¡rcnl (\ l l ( l l lnlnrlosdcrivadasl
f ' (x) : 4xl+ l2x2+2mx+3 ; f"(x) = 12x2+24xr'2m
Qu e12x2+24x+2m se amayor ue ero,mplic¿ uem>-6x(xr 2) , prr l ¡rkr \
l'¿r¿ ue e erifique,ara odo , hadeserm > 6. Convieneueel ecror ibLrie¡ u'lrlrf tl
la u¡ción (x ) = 6x(x+2) ycompruebequem>6Por anto, ara sos rr l¡ 'r f¡ .dl
5-5 AsíntotasA veces.asnifica euna unción r¿ndo ealeja elorig€n ecoordcn¡(hs' I l'r I rr'r
una ecta.Estai ectasiendena confundirse on agrálicas€ lamandsí¡rtd r
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c) La firnción f€s derivablesucesivamenre,¡E)_=,i2G+,r'(x)24G,) ,o;;a1:d;1,""i.1$triilil=,i$,l,lil;unrconúmercrealxqueessotució¡def,'(x) = 0,yéstenúmeroes = lí.
Como "t - l ) = 0 y f"(xt = f2(x+J)2>,anronone¡epunrcsdeinnex,ón(véasefieuras.;;result"ue es s'|empreon\e\a po ¡
Ejercicio l
^,Hallaros atoresem¡ates ueañ¡nciónV
216
= x4+4xl +mx2+3x-2 es onvexa
24
5-5,1Asintotas erticales
Delinición.
- Larectax = a esnÍa asíntotawrtical de a la izquierdadez crt^ndo
lirn f(x) = +ú
- I-árecta = a es'rrA síntotaertical ef aladercchaüacúa$no
lim f(x) = +ó
Eiemplo2La r€€iax = I esasintota ertical,por a zquierda por a de¡echa' e afunción
\2(r =, i
puestoue l im f(x) = -@ y l im,f(x) = +@ .r+l - x+ l
Estos alores osdanuna dea ecómo s ae¡áfica e a uncjón€n ospuntos róxirrr
a I (véas€ sura5.3 ).
yrI
.l
L¿ obtencióndc est¿rso$ rsl!rl(,trr$o$
quese eflejaen afigur 5..l2.
frrpor. iúnr a nl ianrr(r 'rr'hr( l| rBai lr 'rr , [
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,l
I
Figura .31
1.5,2Asíntotasorlzontalss
Definición. La fectay = b eswa aslntotahorizonbl de cu'aÍdo
üm f (x)=b o l im f (x) = b
EJomplo23
La recta y = 2 es asíntota orizo¡tal de la tunción f(x) =,4, p*"to q*
lim f(x) = 2. Paradeteminar aposiciónde a gn{ñcarespecto e estaasíntota eestudia
c signode a diferencia
2x ^ 2x2x6 o\ rl - x-i r l
queesositivapara <-3 y negativa arax > 3.Estonosdicequelagáficadefestáporcn€ima e a asíntotanel nte¡r'alo4, 3) y po¡debajo eellaen 3,+@).
ftta ltnción también ierc la asíntota ertical x = 3 pues
lim f(x) = +ó y lilll f(x) = -a .
248 24
Figwa5.32
5€.3 Asíntotas blicuas
Definiciór. La re€tay =
l im [ f (x) ax-b]
ax+ b (cona+ 0) es¿¿tírrorüblicuadef ando
= 0 o cua¡rdo liln [f(x) ax b] : 0
Loscoeficientesyb de a asintotaedeterminan€ a mislna o¡ma ncualquicfrrlc
dos asos. eámoslo,porejemplo,nelcaso lin [f(x) ax-b] = 0
.. r f l i \ ) bl ^lm x. . . : . : -a - =ux-+{ L x \. 1
\ como rm ! - o,¡uur¿¡".. , i . ' l ! l . ] " l --^- '-- ' ; .
x x++- t x l
y esta ómula nosdael valor dea.Conocidoaelvalordea el cálculo eb es:
lnn [f(x) ax] = b
=0.1""c",.1r1-?"
Eneste aso,
fG); b = ljn [f(x) ax]
Elemplo 4Volvalnosconsiderara inción €l jernplo2: (x) =
,. _ 1
I
, *r im-(r(x)_4:g"(; ¡ ihr ccL¿r = x + 1 esasínrotabljcua e :
-: - = l.
Comopam¡'r . .r ¡ ' ; -41- ] . . .iene| ' { \ | -0p]mx-0)PUr. | \' (x L) '
f'(x) es posiriva f crcciente n ( 6,0) ven (2,+6) v l'(x) es negaliv{v I ri
decrecienten (0, 1) y en (1,2). Además tieneu¡ máximo clativoen x {l v rrrr
mínimorelativoen : 2.Tmbién, f(0) - 0 v f(2) : a
Po rot mparte, om o ara t l es f"(x)=--¿-, se iene "(x)<0 para <l !(x l )'
f"(x) > 0 para > 1, lu€go es óncavan 6,1)vconvexaen(1,+6)
Con odos stos latosodemos ibujar a gnífica véase gura5 34) de f con b{rrrrr¡
precisión.
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4
d.P¿¡a¡€termiüara posiciónde a gláfica rcspectode estaasíntota eestudiael signode a
rG)-(x+r)$-o*,, =*ni f =*
H'ff :i:lli::T,';:.'"ffi:::'ü";'' *' tanto''a
sráncaeesráor ebajoe
",átf:;#:i"'#l?"'l::",fiffJ 1Tl"fJ,?iil::1s"iüI#ffr::ót:henosEstudjando l crecimienro laconvexidad e a func;tn i¡x¡ = _Il , .on101.,u..¡no"
",razadodesugráfica.
250
y6
3
I
Figua 5.34
E¡ercicio 5Estu¡lia¡a existencjae cctas síntotasaraassiguientesunciones:
b) G) = ;5*
. ".\2+3x+4
etr(x,: -) f(x) =
Solución,
2x3- 4x2
a) Paú estu¿liaras asintotas orizont¡lesseestudia l valotde os lmites:
xrrn-rG).g-H =: , ,r im.r(x)
. l t - t ;# =,,
25
lL'To11eot.y = 3 es na si¡toraoizoftal e a1¡nciónpo¡ambosados.*js"L:d'1"""ió"d" l" g'áficade a tunciónesp€co aasínroraedelemi¡ra studiandol
r r : , r r \ l I - l \ '2 J\ -1 2 _ 14\ 4 x4
Si x + +@,enroncesG) 3 > 0 , uegoa i-lncronueda orencinade aasintota.Six .) -@, entoncesG) 3 < 0 , uegoa unción uedaordebajo e a asínrota.Er1 os pünros ondeexjstenectas sintora¡i!,con ueenne,aun;;";; J;":l;l:iX-.;;',."Xf;1:i"1:"X$::"'I_.T
*,
lim f(x) : lirn 3i:x+ 4 xja- x 4
= -o rim r" r = t;r¡ ltl = *.-\-4+ I- 4
[¡ego =
rr*r-o= ¡-
o=
--L,'4x '4
f(x)-0>0 si x+ +ó , uego,agnif icauedaor ¡cima chasinlolr '
f(x) 0 < 0 si x -+ -@ uego,agúficaqueda ordebajo e a asínl(frl
Los posibies uúos donde uede xistirasintotaseticalesso¡ aquellos uc rrlrlrrrl
denominador.Erestecasox 2 y x = 2.l
l im fix) Ii m + 6 l im n\ r l inr ,2 \- l \ 4 '- 2
lüego,en x : 2 hayun3 ectaasíntota erticaldee¿uaciónx 2 = 0
jL
5x
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x 4 esL¡naectaasínrotaeÍical.
"rr:xT:,;::'siñxf!.ljnfotashorizontaresor os osados,nroncesoexistensintotas
Figura .35b)Paraestudiaraexistencia e ectasaslntotas onzonral€satculamosos ímites
l, m flxr = tj m lL = 0r -ax.4
luegoa recráy = 0 esunaasíntota orüontalde a üción f.
signE;Td"to"lu
"ituuciónde a gráficade a tunción¡especloa ta asínrora ete¡minando t
252
l im rrxr lirn - -@, ti m (\) lim +.\¿ 2 r ¡-2 {/ .{ \ 2 r "- ¿ \ +
luego,eliste una¿síntota edical en x = 2 cuvaecuación s x + 2 = 0'
No existe ecta síntotablicua, ues ay eclas síntotasorizonlalesor os dos ¡(|r(véaseigur¿ .3 ).
c) No hayasíntota orizontalpuestoque
-l\2+r, I i - t t ' t :^ f . j i *
=*- y lim f(x) = li m-:
2
lil denominadore se anulaen = 3 y
lim (x) : lim :3x?*+_l x+ I ¿r+o = +ó , 1n ¡ f(x) = li mx + 3- ¡+-3-
l,uego, 3yunaasín¡otaerrical eecuación + 3 = 0.( naasíntota blicuapor aderecha x-+ +.o) dene aecuación :
u unr 1l r r,m }' - x . ¡¡- \-r . rt2r 6) , - . . : r .o
r :.,ri-('r'r-(,.)) ,1r"(##.ii
_3
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, _ l \2 r . ] \ ' .9r . . | | r r2\ b , j , ;2\,r, ".
?rrrcSoarecta =
ix + 5 esasintotablicua e por laderecha.¡álogamente,
.y-('o, i!)=,.lL¡cso,lareciay -j'nS
""urintotu uicuade porra zquie.dax + --{o).
$isÍ:láiianos
la situaciónde la sráficade la runciónrespecto raasintota,estudiandol
(,.)-F;,..';i;;'.;'.-' 2x+6'
rf-l (-jlr.s) . o si x -+ +ó , ueso,asárica uedaordebajoe1a síntota.
,f , l f l-.r) 'o six+ ó, tueso,lasníf icauedaporncimae aasí¡tota(véase
llgu¡a5.37).
":*g-?= 1,o'=
30
254
d) Prccedemose gual orma
.. ¡l_2\2_\+2 l.llm (xl = lÚn ---:---
-
;'\ __ ú l\ ' 4\ -
,. \ t 2r2 x+ 2 _ Ili m (x ) : rü n _--- - ;.
\ -+ ú lx'- 4\ -
luegolarefla j e 'unaa' tntoulonzonraldel¿unciónDorarboslado'
Estudiamosa siiuaciónde ¿ ñmción especto a ¿sintota,
f , , , , I - * ' -2| t * , 2-1 -=t- ' ] , - lx 2)' ' ' 2 2\ 1 4\ ' t 2 \' 4x ! l\ .Z) 2\ '
t_rr x r j - o' i r' @. agráf ica e a urc ion uedapordebajo' ledo' i rrrr '
1,f rxr j O 'i r ' - ú. ld sráf ica uedá o' debajodeaaslnrord
Fldeoomroador\ean! , laenr- 0)enr- 2 pues 2x ' 4\7- 2\ ' ( \ ' l r '
En x=
0 hayasíntota erticaldeecuación : 0,pu€stoqüe
."r '
2¡ l - \ 2 -^llrú l(\) lm ---:--- ,rJ t r 1 .0 l \ - 4x -
' x' 2\ - \- 2l inr | ( \ ) lr m --.
-- -
r -0 \ -0+ lx ' 4\ '
2
""''(4=,r"¡.('-tf;:+= =_h,,,G-,+_ul;.i'" ir,t = l\+2- 8
, '^^.: : l . , , há ]unadisco¡r inurdadern,A,-r
,',li !\;'* *"'"'"0,'*,'o';.:;;"-:l:;l:illr""o,.,0"."^n..0",,,.,..
l jstt|diAmossi en x = 2 hay ecra sintot¡vc¡1ic¿t:
Ii.u¡uLrnt /¡t'* Int l rn¡¿l¡r¡t¡u lltnúnEr I on nr¿út ¿( | Rr.tl¡t1
Porranto,arecta = jx r I cs sinrotaobricuae por aderecha.
" , , I_T' j r u ,rm..rn,,, , , ,
portanto,a ecia :;x
+ I esasíntotablicua e por a zquierda.
"¡ffiiumot
lu tituaciOne agráfica e a funciónespecrol¿asintola,slu(ti¡rxtol
fc)-$.,_ ;:; ; ,_r_, ;i .
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(O (]" * r) t o .i' -
+6,la $áficaqu€¡la orencima e aasinld¡.
i¡,i- (]- * r). o"i '
* ó,la sráfica ueda ordebajo e aasíntotr
(véaseigura5.39).
x+ l
5
3
. I igura .J 8r¡ \o e\l tenashro¡a.ori /ontaJc..üestoüel, m firt : t ; ,- x'+lx+.1
\- ' ,- i l- ó ] ri m ft\r r ;- \2rr\ .4Fldenominadorde a ru¡ción --^.. . , " f ' .*2F2- .
, \ 'n,o'a\en'c¿rdeecuacio", .. ; ; l ; ; , :"": ^-
r. \eamo.queen\ I havr¡ñ.rr n ft \ , r i - 12. r¡ . 4
sromrsmox I o
,: ' , - l i - l - .q r t tn frxr. l, - r2.. ]r ¿l srud;arnosJ¡ex srencid. u* *r,rr *,"r '
- ' \' . 'i - f i -)- €
u , ,r9' . r i . { :¡* a'"" '" ' ' -
'' ar b porambo'rado'
, : : ; ; r i ; , - j .
-l
.1
¡
Figura .39
i6
2x+4¿x+2
construcciónde
es suficienle con l¡
5-6_Esquema eneralparael anál¡s¡s e funcionesy6Ugraflca
, Par¿cl in l ls¡s y repre,entar ióne una tunüon. generarnenre!oerenrrn l ( 'r ! tr || s sr{r¡ rcnt* tcmentosl
257
l.l)o in odod€fini,rióne a unción.2, S ¡let¡las e a unción.
:1, u tos edisconrinuidade a unción.. 4. ¡nXervalosecrecimientodec¡ecimiennre afimción.
,t" ifiil""ff:t'* r.r,imos ¡€lativossl omoos arorcsáximosmínimosbsoluros6. Losdominios econcavidadconvexidade ag?áfica lospuntos e nflexión.7.Lasasíntotase a unción.
'Rccordamosqu€siparacadaxseveri f icaquef(_x)=f(x),entoncesfessimérricaL$pccto l ej €deo¡de¡ádasej ey {fes parr. i f r _,,r . f ,", . ."*; ; . ; ; ;"#;; ;cr¡tcctotorigen ecoordenadasfimparr.
t-x'r 2( xlr l x,: -- -+
(-xr +5
: -(*.r
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EJomplo26Vamosa veralgunos jehptosdecomobuscarassimetrías. eanas unciones:
a) f(x) = x4-2x2
d) f(x) = l2x5la) fes siméticarespecto l ejey (véaseigura5.40),pu€sro ue
f(-x) = (-x)a-2(-x)2 = xa-2x2 = f(x).
b) fes simétrica especto lo¡igendecoordenadasvéaseigura5.4 ),puestoque
258
c) Esta imciónno esniparni impar (véaseigwa 5.42),pues
". .(-\)3 J _ rlFS ¡t ¡"" ' F
--")
-Lqueesdisrinrode (x) y de - f(x).
255
d) fessimáricaespecrolejey (véaseigura.43)puestoue
f( x)=
12 ( )s l= | zxsj lzxsl 4¡ 1
la fuDción ueda ordch¡r.¡)c h u$lnlottlD +oo' puesto ue f(x) 2<0 si x_+ !d'] y
quedaor ncimae ¡ rslntolun '¡ ,puestoque(x) 2>0 six+ Ó' Puntosde cor!€con los ejescoordenados:l únicopuntode cofe con los cjc
coordenadossel (0,0).
lntenrlo. enecimienlodeclecimrento:aderitada'' *'
- -J-, no"e anur I
f'(x) > 0 para odox, lueeo x) esüeciente.
Como tr ) - - i-- - 0. paraod o penenecreoresu ampo edeñDic ions c(r(r + r) '
para odox + 3 ,entoncesa ñnción f€s clecrente'
-Máximosy mlnimos elativos:No tiene'pues a funciónderivada oseanul¡'
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l.mplo27
Dlbujamosagráficae ¿ iguienrernció¡:(x) = 4.
^itesde epesentaragláfica¿lerealizamosnestudrote stai¡nción.. Campoedefi¡ición: a unción stá efinida
nR_
{_ 3 .- Continuidadpu¡ os edjsconrjuid¡d: ólo,^,".,; uil;;;;il il"il"l';iff:":,;,1,1,,'il,l,Ti"lilllHli,1li;Tii-rDerivabilid¿diFunció¡ derivableenR _ {_ 3 , porserücionat condenominador ueno- S met¡las:No essimétrica i r€specro lejedeordenadasi respecto lodgen..Asintotas:Enx= _3 hayaslntotaeficaldeecuacrón+ 3 = 0 ya que
. r€ctay = 2 esu¡a asíntota orizontalporambosados aque
v rim ll = +. .x+- l ÁT r
=2 y ¡¡A=rx+{ x+ 3 -'
¡a 4=.x+-3+ x + 3
¡- JLoituaciónle a fi¡nciótr especto aasintoia:
q* ) 2 = 2,*=-2 - 2x-2r 6
x+J x+l
- hlervalosdeconcattdadcon\exidad:om o "l \ r - -- ] l- t t* lruqut '(x + l)r
s ix< 3 + (x+3)l<0 +f"(x)>0 + fe sconvexan Ó'-3) '
Six> 3-
(x+ 3)3>0 > f"(x)<0 > fescóncav¿n -3 ,+@ )'
-Puntosd€ ¡flexión: Notiene,ya que " no seanulanunca'
El consecuencia,a gnificade a tunción véas€ igüa 5 44)es
E¡erc¡cio 8Dibujaras ¡áicas e a'sigüieDresunciones:
2
ót10f
I ,
I]_1
a) ti),) = ..: b) (x) =
"/iG
+ D
Itoltclón.r ) - Campo edefinición: estádefinidaenR yaqueel {tenominador o seanula.
, { , r inurd¿dpunrosedrscontúuidad:o exrste isco¡trnuidadteüna.U< se ataIr . nn rrcron onlrnuaenpor erracionaton enominadorqueosea;uh.. I)crivabilidad:ución de¡ivabie,orserracionalondenominadorüenoseanula.- S metrias: ssimétricaespectol origen aque
( x): --r- = -5: rG).I +(-x)2 I +x2
A sintoas:No hay asínrotaserticales uesa tunción€scontinuae¡r odoR.I r rectay = ¡ 6s u urlntotaho¡izontalpor ambosados, aque
l ¡ l , urtttttru ,tttlt .
- I \rntos c nl lc){ i( i rr :l rrs!rrrüos)Lrn losuc nulcn adcrivad¿rcgund¡' '
x=O;x-^,6
Calcularnoslvalor e "'(x) 6x4+ 36x2 6
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t im -I . . tm _I_-\ -+ú r+\¿ \ -
-l+r2
Vc¿r¡osa situacióne a unciónrespectoaasinrota:
f (* )0: .+ . .Si x -+ +ó, f(x) - 0 > 0, ta curvaqueda or encinade
x ) -ó , 1a u¡vaqueda ordebaj d€ aasínrora.- Punro.de cone con lor ejescoordenado,: l u¡ico
( i 'rde ¿doss l (0.0).
- Máximos mínimoselarivos: '(x) = (1 +x'?)--x(2x)(l + x2)2Buscamososvalores ueanulen Iade¡ivada:'(x) = 0 t .
r, ,(x)= 2x( l+x 'z) '? ( l x : ) (2. ( r+x2) .2x) _ 2x(x2-3)(1+ xz)+ ( l +x2)3
¡t l):
0 y t ,( lr; .0.
Porranro. r l . f t t r , - ' t . , esu¡ma\ imoretar i lo)tpunro r.r, r , , I I .N
rs unmínimorelativo.- lnterr'alos e crecimienro decrecimiento:n ( l,1) ta fr]ncjónes crecienreues
l '(x)>0,pamlodox€(-1, 1) .En ( 4, t ) ta unción s eüecienreue s s '1x¡< Ora todo x€( ó, 1) y en (1,+ó) decreceambiénpues f,(x)< 0, para rodo
262
la asíntota;y f (x) 0<0 si
punlo cle colt€ con los ejes
(1 + x2)2
parax: lypamx:
(^,6,'a )= ,,e,) ' c^,n,-^,arrf^,4'sonpuntosde nflexión-
- lntervaloseconcavidadconvexidad:n (^,6,
o), f"""onu"*
pu"t hayun nrínlfr
eDese¡tervalo; en (0, ^,6) , fes cóncava ueshavuDn'txino En (-@"f ) 'res có'"'rv"
pues la derechaex =^F h tunción sconvexa éste sun puntode nflerión'v c
¡,"6, +o) , f esconvexa oranálosaazón
Luego,escóncavan -- ''61u10,^6¡v"onuexaen( '6'o)u("6'+*) '
Larepresentaciónráficade a unciónv süderivada epuede ere¡ la figura5 45
'/1\f
l;.^
_/. i\j=-<
Figura .45
b) Análogamente,- Canpoie deñn;cion: -a tunciónesiádefinidapara os x talesqueel mdicandoes I
^13\ (0,f(0))= 10 . )r
2
u. rn nm.r
flógrtivo. sludiirmosl signo e x(x+ 1) .
x(r + l )
xe({ , 1)
x € (-1,0)
(0,+ó) +
l-uego, lcampo edefinició¡ e es ( ó, _ I I u t0, +@ .- Continuidad puorosde discontinüdad:No existedisconti¡üdad al$ná, puesse rara
Iisqt!,htB tt't ll I\t tt¡¿l¡! b ¿r.li h tt,,t t)&u\tflt(hrt ¿( Ntkt tllh\
_, f l___¡__t¡ , ( i * ¡ r r_ - IC,/*:+**t l 2 (,6r***") 2
Entonces(ri) lx+t<0 si x -+ +6,Ia tunciónquedapordebajoe aasínior
Además. -\ ; es tra sinrorab icua.aqu e
. . f {xr . . " , ! r+"
.- 11 . r : l- r im ¡- Imúir . - Lx i-¡ - /x2 x+ xz
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ili,J;i",1*t* continuan ( €.-rluro,+@), porser omposicln" r"""i".|,
,,,;,ff::T:i,if1,:'."'ónderivabren €, r ) u (0,+ó) por er omposicióne
- S metrías:o iene.
,",i,f"llil'fi;tilTilli"J",,Tiiiiii"i.,1Tl"llJi',iisunatnciónontinuan u ampoe
"9-(4=,li.*,ec*D = +- y
,li¡n-f(x),rim-,,ri lx+¡= +-
t-a ectaV = x+j esunaasíntorablicua, aque
¡. {.! = ¡, "&Gl¡ - l im / : - ; : l im /l+l = i.r + +,41 \¿ \J+4ry
.. l l i_(rG)-(l.t) = li m("{ax+D 4 =
_ ,, ¡ . ,Frr- l r x¡r f i i l - "r_I. m \(¡ . , l j x. _
"4r¡ , - l r r , : " ' . r ! ( , i l , \-
I im:- r im:-- l"_, .Jr / "r x _. ._. / , | 2.
. , rr-rr,V x
Veamos la siruaciónde la función respectoa a asintora y : x + ; :
264
(, (--N="eG+¡-(,+, ^tr* o- =
26
l im {f t \ r - t - l } \ ) - l ;m t, ,& r: . r l
t:ax+ aJx2+x+Jx2
t ' , - lr--* ir :+x x+ ó / , L
{* 2 ¡i x
veamos¿.iruacióne a$áfic¿re<pecroaaa.ínrota - ' ,- j
f txr l . r t -Jxrx t t -r-r- t / r2 xtrr t ,
- ({:lr__rI-!r___rd - I - ^ .L(6, +x-x) 2 Gl?*" *¡ z
t ' , , r 2x+1 ¡ / \ , :n . .' ' ' '^ / )
Entonces,(x) [ rt<0si
x -+ -6 , a unción ued¿ ordebajo e a asirlorl
- Puntos e cote co¡ 1osejesde coordenadasros puntosde cortecon los cicscoordenadasonel (0,0) yel ( 1,0),puestoque
f(x) = 0 > ^/&(x+D = 0 > x(x+1) = 0-
x - 0 y x I- Máximosy mínimos elativos Buscamosos valorcsqueanulana a derivada:
' ] -o-)r I u-r ' l .
2Jx'? x 2'' r , . \ ' \ r \ . \ , . r 'npelcneceatcampodedet r l r . róndef .Lrepotadd\ rdJDr imeran, .i f . , ., , ,n ' fncrc lnr fo0e0etrcrordet . ). |or tanr . ,.nopo,eenir ¡ ¡ \i rno.n irn inr ro,retar. "rrq r lfirr (lc ¡nafunciónerivabten( ó. 1) u (0, +ú).
lr lLrvr los¿ccrecimientoydecrecimienro:s ludiamosls ie¡ode,(x) :Si x€( ó,-1)>f ' (x)<0 y fesdecreciente.
Si x € (0, +ó) +f,(x) > 0 y fes üeciente.l,oIli)sdc nflexión: uscamososvatores ueanuian aijerivadaegunda.
¿,/* '*.kz**rt .z_ltL l
Ejerc¡cio 29Esrudiar represeniaratunción (x) = sen(x)+cos(x)
Solución.Eldominiodedefinición e alilnciónfesR.Además,esu¡aftncióncontinuaderivable n odo& ya quees a suma e as uncionesen(x) cos(x) ueestán efinid¡para odonúm€ro eaLysóncontinuás derivables nsüdoninio dedefinición.
Ld unriono es rmérr icai especroele je ni ¡e.pecroelor iren e oordendda'r "t-r)- ten ' \ r co"r-r ' - qenir r' co5(\ ' )e.drsr inrodenrr ¡de r )
La tunciónesperiódica epefiodo 7¡por ser a suma e dos unciones eiódic¡s(l(periodo2r. Por ello, estudiaremosnicamenrea funciónen el ntervalo 0,2n)
Ll punro ecoreconel e je er el punro0. 1'. ) co nel e ie son o ' punro' + n)'
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r ' "(*): ' 2 /x2+x/4(x'? x)
_l-.; - / , .pa{arodo\- t o. t l ' r0. 61.
4l\ '+ r \) ! ¡ \ '+ \
( i 'D, ' l ' " noseanulaen( ó, l)u(0,+6), entoncesno t ienepuntos e nf lexiónr(,s c ' ¡la deuna uncióndeivabte en (-4, 1 u (0, +a) )
¡¡rtcNalosde concavidad convexidad:Como en ei campode definiciónde f sienprerx¿0.entonces f"(x) < 0 , para od o x € ( @,_l)u(0,+{) . Luego es cóncava¡r odox € (-ó. l) ! , (0,+-) .
¡ eonsecüencia, a gráfica de la furción está epresenradaen ta figura 5.46.
(?.')f (x):0 > 0: sen(x)+cos(x)> sen(x)= cos(x) >
Secompruebaácilmentequeesta unció¡ no iene ectas sintotas.A continü¿ción studiamos l crecimienlo,decrecimiento,mriximosy mfuimos el¿tivos
concavidad convexidade a tunción. ara llo,aplicamosos esultadosonocidosa¡funcionesdrivablesue e eñeren condicionesuñcientes
Derivamosres ecesa unción:
f ' (x) = cos(x) sen(x) f"(x): se¡G) cosG) y f" ' (x): cos(x)+sen(x)
Como '(x) = 0 para r
r(fl ="a.o
J f alca¡zanmálimo"l"ti'" * elp""t" (4!,,'r)
: rtrO ..> f alcanzaunminimoelativo nelpunto
Además, es decr€ciente n el iDtcrvalo
y la tunción es continua.La tunción cs
como "(x)= o p-" * -f; r
{:
,(?)
n5r=: ! ! ' :_ v4'
¡n 5n l\4 '4)
pues epasa eun máximo unminim
* ro ,Íl y * t?,2ir) por nálo
f; v, "a".as,'(1t)=n*o
26
r(f)= -,a'. o, .,ces rposeeospunrosenr"."" (+, r), (?, r)L¿runción esconvexana *"-,r" (f;, f)
puesrou€enunpunro eélposeen
Ir|)imo elarivola uncións ontinua.a tnciónfes óncavan fo,fiv*tf;,:j¡)Por natogaszones.
'fodos os ros obrenidose a u¡ciónpermitenibuja¡agláficadeésta.
f " (* ) =nl( lnr '1 ¡ ( lnx - I 2( lnx) l
- (r'-f-ln*_:! i io*_.r n,r_,n*,: ' -G; '=;(r"-r '
yparax = € es f"(e) = ! Aslpues' l signo e f"(e) dependeelsigno en
Port¿nto, lafunción¿lcanzaenelpunto(e,ne)unmáximosjnesnegativon espositivo,Pu es(e)= ¡ee¡' =rc'
¡ t t4ut l t l ¡ t l l t l tF lx ft tr ' '- '" '
La segunda envrth cs
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Ejercic¡o30
Determinartos,I.iximosninimosde atunción f(x) = lnxenx con neR.Solución. nici¿lmenteuscamosna e)'presionle ta fr¡ncion n l¿ cual no ¿oare,/calrogarrrmooDase: para o. aptrcamosadefinición e ogarirmose rene ue
f(x) = irxe¡r-
xr{x) = enx,y al tom¿l ogaritmos eperianos
f ( \ , ln\"^ - t , , , rf r .quese ratade una tnción defi¡idaen (0, 1) u (1, +@) pues l denominadoreanula nx = I , continua derivablesucesivamente¡ dichoconjunto.
A continuación, uscamosos valoresdex queanulana a ¿leriva¿la
ntnx nx l_ x nt¡x ¡r
G;t- - (rnxtr'0r nl ln\ l ) 0-¡nr-trr ,.
r '(x)
f ' (x) = 0 >nlnx n=
Fi9]ul¿.47
268
A continuaciónstudianoslsisno e "(x) '
tt ]( C-, I entonces"(x)< 0,pues"( 1) = €-33(2 3) =
esuna unción ontinuauesóloseanula"" '
= - I L*g"' fi¡
*"j*t .si . . (- ],**) entoDces"(x) > 0,tuego x) esconvexa
Ejercicio 3l
Estudiaraconcavidad convexidad e a tunción f(x) = xe3*
soluc¡¿n."n,n. i¿n.sadeñnidaenRve:deri \able:uce'i !amenleendichoco\
iiill"pr"'i"; i;";¡i¿¡os era,i\o' ;derivadáegünda
f ' (x) = 6:xa3t"3* = e3*1t :x¡;
f '(x) = e3'3(1+ x) + 3e¡" = e:*:(2 + 3x ),
f"(x) = 0 > e3*3(2+3x)=0 =,2+3x:0,cuvasolució¡esx: 3
lrarclclo 2l lNlrr l iurycprcsentargráf icamenrea unción 1x ) = ln(l +x2).
r", , , l iJ ' l ) |" 'd"ddi"i" i¿'odominio:LarmciónesrádefinidaenR,yaqüerrx2essiempre
,(intinuidad y puntos ediscontjnuidad:a tunció¡escontjnua n odopunro, uesI r ' > | paraodo .
l)cr ivabi l idad:Lal inciónesderjvabteenrodoprnto,puesI +x2> I pararodox.
- S nictríasLa unción s i¡nétricaespectol e.Jy pues
f(x) : rn(l +xr) = htt +(_x)r l = fI x) .
t , , ' (x)-"
r:> l"(0) = 2>0,
( l ix-).
luego,en)(:0exisreunmininorelat ivo,vcomof(0)=0,entoncesenclfurr lo({)l) 'r ' l r l
dichomínimo elarvo.
- lnteNalos ecrecimientodecreciniento: i x e (',0)
entoncesf'(x)<0 1rrrlrr)\l
esdecreciente,si x € (0, +ú) entonces'(x) > 0,luego x) escrecientc
Puntosle nflexión: uscanososvalores ueanulan
r" (x):(l + j\ )2
1- 2,1
;f ( \ l 0 r --: :-- : U ' 2\ / 2 u(r+x'1" - i ,
¿,1,I ) '
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. . . . : . : ' l l . '1.,\o , hJ ) ¿sinrora,enic¿re. !¡esa unc¡oD. co n nua. ampoLo r¡re,rsrnro¡¿son/untátesUe s
rt im.irr_ ó ) Jr m r\ r - ó
Nohayaslnro¡ablicuasorladerechapues
2xt in. }1: , , ,n n( l+) . ¡ )
lm i+\?r
^-' l
donde ehaaplicadoa egla eL.Hópital.
y tampocoor a zquierdaoranálosaazón uesx im-1l! : 0.
-Puntosdecorteconiosejes:LaftncióncortaalejeXen
f(x)=0 >ln(1+r2)=0 :> e0 = l+x2 = I = l+x2 =,x=0,luego,agláfica orta ose.jesn 0 ,0).
- Má\imosy minimos elarivosiBuscamososvaloresqueanulana a de¡ivada,
r ' ' ri ' : - ¡
:r ' ( \ , . .0 _;;_,, j r .o _ \ _0.
En x = 0 existemáxino o mínimodepetutien¡loel signode ta derivada egunda;
estudiamos¡ronceslsignode,,(x) : ?.(1lP,*)(=0,
= 1¡. -?L=nx+ r 1+x2
270 27
\e.tudidmoselr.r lorde f (\ I l: : - - : : - (ne'tos\alore' '( l+\ ' f
f ' ( l ) = 1+ 0 v f"(-1) = 1t 0
porúnto,hay puntos e ¡iexión. Como f(1) = )n2 v f( 1) = ln2,entonccs
!1 . n2 , y r I. In2r 'on o'punro'denne\ión.
- ntervalos econcavidadconvexidad:nel ntervalo- I ' l) hayunmínn¡o uego n'| |ll
f i rncións onvexa.n ú,-1)latunciónescóncavapuesenx=-lhavpunlodei¡r l l
y a la derecha e este unto a tunciónesconvexa en (1,+ó) iambién s cóncav¡ )ofanálogaazón.
Unavez estudiadaa tunciónsedibuja ag¡áficad€ a tunción
Esguéma
obte¡idade la
Crecrmiento) decrecimienro
Concavid¡dconvtrkl¡rt l . c¡ rdct iv0bl€€n4,b)
- Si f' es recicnl¡.jI {o, b) cntoDceses conv€xan(a. b)
- Si f' esdecrc€i€nleo(4, b) entonc€sescóncavaena.b).
Crit€úo de a segunda erivada.Sea una función os veces odvrrblotl(a ,b) :
- Si c É (a ,b) es alque '(c) = 0 y f"(c) > 0 r f t ieDeu
-S ; c€(a,b) es al qu e '(c): 0 yf"(c)< 0 > ft ieneuD
-Sif"(x)> 0e n a,b) > fesconvexan a,b)
-Sif"(x)<0en (4 ,b) + fescóncavaen4,b)
Puntos de intl€xión, Aqüellos en los que una tuncióIr conlinua f Pas (lca convexa vlceversa
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5-7 Conceplos lave
Maximos mínimos bsolutos.eauna unción ontinuan a,bl.- El punto c € [a,b] es liláximo absoturo i para rodo x € [a,b]f(c)> f(x).
- El punto d € [a, b] es mínimo absoturosi para rodo x € [4 b]f(d) < f(x).
Máxlmos y mínimosrelativos.Seauna funcióndefinid¿en A c R .. - f r ietre n l i \ imo rctarivonet punrc .si f i¿resma)or iguat uermagene ospunrosró\imos lpuntóa.. - fr ie¡eun mi¡imo elalr\o net punro .si rb r es menor igual uermageneLos unros róximostpuntó .
la
la
PüÍto crítico.El punto del dominio e que veriñca: ,(c) = 0 o f,(c) noes¡ádefinida.Criterio d€ la primera d€rivada.Sea continua n ta,bl y derivable n(a ,b) :
- Siparatodo€ (a,b) esf '(x)>0 + fesoecienren a,b].-Siparatodox€(a,b)esf,(x)<0
+ fesdesecienren a,b] .
272 2
cóncavaCriterio de ¡ tercer¡ derivad¡.Sea una ünción resveces erivahlc rl(a ,b):
-S i c e (a,b) estalqüef"(c): 0 yf" '(c)*O > fi i€neun punlo cinfleión e¡ c.Aslntotas.Recfas as cualesa función seva apro¡jm¿ndo
-Larectax= ¿€sunaaslntotaefical de alaizquieda (respectivamenlcltl
derecha)e cuando im f(x) - +ó (r€spectivamenteim.f(x) = +ó)
- La rectay = b esunaasíntota o¡izonlal de cuando
l im f(x) =b o l im f(x.):b
- La recfay = ax + b (cona + 0) esasíntota blicuade cuando
ti m [f(x) ax-b] = 0 o l im tf(x) 3x-bl = 0
En el segundoaso e ienel
a = ri n $) y b : ti n i(x) axl.
5-8 Auloevaluación
Problema
Dada a finción t¡*¡ = * - t2l3 , en el intervalopuntosFesentaunmaximoabsolülo?
[-1,2], ¿en uá lde os sig icrr
A) x= 2 B) x: 2 C) x=-l
Probloma
¿( rfldc os iguientesD¡toss tdenflexióne a unción= (x)= (x l)r/1,¡
^)( J,0) B) (0, 1) c) (r ,1)
Problema
i.l I ¡ r á d€ ossiguienresntervalosa unción x) = -l es órcava?
(x 1) -
. . 6 6
t | ) 1. Ja
Prcblema I
).Cuáles e os v¡lores de a' b v c hacenque)a unción (x)
puntoP= (8,0) y tenga nmlnimo nQ= (6, i2)?
l\ l a=2, b= 30 , c=90
B) a= 1, b= 35 , c=94.
C) a= 3, b= -16, c=96.
: a\2+bx+L nt \ ( t r t r ¡
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^)({1.@) B) (0.1) c) ( 4 ,0)
Problerña
i,( ¡álde as iguientesectassünasinrotaorjzontale a unc iónf(x) 2,t ^x+ 3
^)y: r B) y= 2 c) y=2
Probl6ma
¿llncuálde os
^)x=1
sisuientesurtosalcanzaa tunciónh(.) =¡i
en [0,2], un
B) x=-1 C) x=0
Problema6
.i,Encuálde os siguientesuntos lcanzaa fimción (x) = xs 5x3+ 10x un mlnjmo
N^=rt D x=Ja c) x=l
Problema¿Cuálese assiguientes edidase1osados eun recrángutoroduce eaIná{ima isuponemosueel cctánguloeencuent¡a¡scriroenu*
"¡*ni".eniiu¿euAo
"_i--"-"^
274
Problerña
-3tl
Decirsi asigui€nteunción x) :=
presentalguna e assiguientesrmclrr¡
nopfesenta mguna:A) Respecto el eje Y.
B) Respecto l origendecoordenadas
C) NoesParDi mpar'
Problemal0¿Encuáleos iguientesonjuntosatunción(x) = x2 9l es onvexa?
A) ( ó, 3) .
B) ( 3,+ó)
c) (-3,3).
Solucionesel est
t23456', I89r0BACCABACCA
FFFF'-
Tema6. La ntegral
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Los dos problemasirndamen¡atcsetCálcufo nfinire,imat onet c.;tcuto e raneenlesquere.uelveelcdlcutodit 'erenciatconraderi\ada)¿c¡i lculodetue¿squi; i , t i .Jir i i i " i iüroregr . A e{revamo,a dedrc¡r l pre<enre¡pirulo.Sondos o. concéDrosundamematesqüeinrroducrmos.La.pnmr(¡\a\deun¿ñmciónyIaimegratdeunatuncióoenunnenato.
\,lienrras ueel cdlcuto ederi!adas sunprocesoeocio, et cátcuto eDriniriras o oes.por roqueet erlordebe staratenrotospa<osüe a d¿¡do, no ava¡zár i no e ouedacrdro o anrnor. \o espere nconrrarn máodounirers¿t ara e.otrercuatquierniesratporqueoe\rsre..rnosotorerlastécoicasparaesolveratgu¡asnregrales., tl concepto e áre¿esüecbamenteigado¿t de primitivamedja¡te ierros eoremasoenomrn¿ooseoremasFu¡dañentale,del Cálculo. que son polenres eramienra,
6-1 Pr¡mitivas euna unciónCalcularunapdmitiva de un¿ unción f(x) eshallaruna unciónd€rivableFax) ral aue
F'G) . (\ , .Obsen ráel ector uea eces enomin¿mosa unciónl \r o n ) esqueeD eatidada\an¿ble e.muda e.decirquenormpona\i latram¿mos\.r.s.etc_
Eicmplo lSitomamos(x) : cos x) , enronces x) = sen(x) puesrou€e¡ latablade erivadas
se lene ue (x ) : (sen(x)) '= cos(x).
s;4¡ = -J . entoncesF(x): ts(x), (mre ta ablade erivadas)(cos(x))-
F(x):(rs(xr '= ' i .(cos(x))-
277
Elomplo
rrfosson asos eprimi¡ivasáciles eobtene¡.l.i, rnnción {x) = se¡(x) tiene una f
| ( i ,s(x)) : se¡(x).u¡crÓnpdmit iva F(x) = -cos(x) pues
l r,,i, rimiriva e a inción rC) =i
esnG) _ rnlxi( )lrL'so esulta¡an imples ecalcülar.
\r l l \ ) -cenrnnce\unapnmil i \ae.t-(\) . ,e,"r, .2'S-1!, 'S]!rco.( \r )"
lil'nr¡lice¡nos uesadefinición eprimitiva euna unción.
Definición.Sedicequeuna unciónF(x)rlx)
es una prinitiva de otra fincjón
Ejemplo 5
Si buscamosnaprimitivd lc a tunción x) = 2cos(2x) cuvov¡lot cri
renemosue asprimitiv¿s e (ri) sonde a o rmaF(!) : sen(2x) k
cono Flt = 3 entonces
l l i l - 'enlz l l I J .errr k I-
I
Por ¿nto,apimi¡ivabuscadasF(x) - sen(2x)+ 3.
6-2 Integral ndef¡n¡da
Si F(x) esunapdnitiva de a tunción (x), hemosisto que ambién
11",,
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en u¡ inrervalo a,bl cuandoF(x)F (x) = f(x) endichonrerv¿lo.
es derivable en [a,b] y adenás
.I)¡da una función (x) se quierehaUar na funciónF(x) con la condjción e que
ilil;i$"!;:ilJ*::,:ii,flJfJ"it;:"t;*"";#,i?*ii''""'"'"-,,",'""'","'"J"" ,H'¿3i::?#:',?.;i'i:"1i:'dfJ;trilH:""ilTÉ
"''"ion'r5",""n.i-i'"nr*r
EJemplo
,l '(x): sen(x.) sp¡imir ivale (x ) = cos(x), ambiéno es c(x) = F(x)+3, es
l i l i;;:Í;¿;¿1111.,,H(x) sen(x)000. ncrüso(x ) ,;,(D;;, ;; ;
' I s decü. ara er un poco iguro,os. :una urrurrcunconjurrodepriür",^''n'",",0""¿.ti,",i"rÍi)#:,::fre'r' ' 'r'"r.' ',."'""..'
E emplo4
A buscarnaprinitiva F(x)de a unció¡ (x) : 2x + 1 cuyovato¡en x : 2 sea , es(lccr,F(2.) 7,se ie¡eque asprimitivas e (x) sondetafonna (x) = x2+x+k.
DeF(2)=7 > ;r2+x+k = 7 .. , 2-.2+2+k = 7 > k=t.Por anto,ap¡imitiva uscadasF(x¡ = x2,r+ r
278
funciónde a forna F(ri) + tr , siendo unaconst¿nte,ues:
(FG)+k)'=F'(x): i(x).
Detinición. l conjunto e odasaspdmitivas osible s euna unción 1x sc
dercmina nresral wlefnida de f(x) . Seee"integl¿lde f(x) difereDc¿' dc x
jti,.ta'.
Además, iF x) esunaprimitiva
e aünción (x.) €ntonces
I f (x)dx F(¡)+k.
. ,V¿¡d: Si F(x) y G(x.) son primitivas de (x) en un intewalo. sc rLeri'
(F(!) c(x)) ' :F'(x) c'(1): fG ) f(x) = 0,porloqueF(x): GG)+k dond' 'esunaconstante.uegobasta onhallarunaprimitivaF de una irnción )a qtrcsi r l' Isumamosualquie¡constantebtenemos trapnmltrva
El número sedenomi¡a nstantede ntegdción;la unciónquesedesea¡rcHir i'
denominanregranrto.ll simbotoJ va aconpañadoe a expresión,,h".qLrc rtlit | |r
variable, , respecto a cuál se ntegra.Al proceso e obtenerasprimitivas e una unción e e denomina,r¡¿g¡d¡tl il{ Ll
rün.,óntlpuedceccribrrsedcd,qio.a'fo-ma'.Jn' ' 'ar 'Jnrrdr.Jtr¡ 'o¡.p,. ' ' , ' ¡nt
variablede ntegración s muda"Así.calculara ntegralndefinid¿dees elprocesonverso e aderivación
27 9
.'ryrrrrLa unción x) y cualquier¡ imir i l r ,r(x) r ielc cl nrisnroomirio, a que,
l( \ , . , i rr .A.rrveá.eetejempto2)tapnirr\r r \, t l\ Jf t i r) _ L no;,,a
i; : i : ' ; : :", , ,_: l , l : ' 'niode Irx' , I( \ , debc'< r (r,a,quiern,enar¡,onrer.don
:dr,l,ífqild:'r:er:,,1*.,1i"1.,*f""".irii;'*",i,ii,ffti:t$,?¿'¿$,::",*"d:lll lilll I."fi:Hí;"1Íi"::::::l;:"ll**"*itti " i' .'p"" -'';ñ;;;:
lin slc ema eexponenosde osméto¡tosecálculo eprimi¡ivas:
,lI dcncgrc.¡on par rarr¿, que e bas¿ n J¿ egj¿ eder;\acrón e unprodücro e
- Iildesr¡¡rr¿ü, quesebasa n a eglade a cadena ara a ¡terivacióne unciones
8.3 Linealidad e a ntegral ndefin¡qa
rJ(x)¡x r, iP({tr i
;,",:l,i.lá"i:?"TJllltl':]X1:'l.liüti:'"l'tfl:que'NoislY/'ir'r'(P'rr'l
tl's¿,€¡drJf(x)s(x)dx r Jrt*la* Jst.la. en'r'tittlt\'
EjemploT' ' -1
f* ' :a ' . ' r .p.* f^* l to ' ' l i ¡J
j"'?a"+'a-
j,.a.
Jio11"i ,, ur ' r ra* j ru rt"rr ' r*' j t t ' ut*t t ( l*
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l , rs propiedadese tas nte$atesndef in idai'i,.r,(didc\de¿5deri\ad*. p*;,a. ru, onn'url'.'iiJ:T:Xlil,:"'
reracionada(on as
(F(x)+c(x)) = F(x)+c,(x) ; (F(x) c(x)),= F,(x)c,(x)y (aF(x)' aFlx),
o*,( lc(r. la enradae na.sumae uncioness a um de as env¿das.aderiv¡dae oa
il,,":H::i,$,lj[.;,iJ.,{f:r'rii.T]fr'Tii"'Ál"n""l:":;,ixl;,::"Jr*rfuiPropiedad d€ lin€alid¡d
Jtrc*ic{*ita,' Jr1,,¡a.Jsr,ta,.
Jrrr*t-er'ila,Jr('t)d}ieG)d..
J.r¡'ia*:
"Jrt" a. ,naraodonúmeroeal.
EJemplo6
Jr"-:oa" ,.¿a*-J:*a'J,':a*J..a,,x- 3x -l2- '
. Laütilización ombinadaeinlegrales notrasmássencill¿s
280
lasFopiedadesde ineaiidadpermitedescomponerlgunas
281
6-4 lntegralesnmediatas
Dada na unción eivableF(x)' esurta ueF(x)esuna unción rimiiivadc tr rrri'r' rl
derivadaF (x) , esdecü
Jli'¡a,, ni ¡
No siempre sposibleencontrar imitivas que seanexpresables cdia¡lc irnfi(rr(s
La función f(x) = e*': no tieneprimitiv¿sexpÉsablesmedianie uncioneselcnrcnrirles
L¿ ¡lemostración de esteh€cho escomphcada'
. T¡bh de la s in iegr¡ les ¡ trmed¡¡ las La ' lónDuldspara l¿ ' ' igxienre 'rr f ) ' t r r "
l "¿ l ¡" 'L*"^ lr ' ¿. l " -"b la de der i \¿das scr i rA eor a fon¡a:esro e'umrrueht rr l I r!
quederirar o' segundo'mrembrotde cada gr'r¿rnao:
. Funeün poteñcíal cor^+ |
¡" '¿r . I . , ," ' r
o"n"t.¡O* L * tuncrón /ea#/¿/ es una unción uepuede rpte'dr'( 'r'áil;'ü-;;.. re"t2s. uhipricacionesllll:Tl-:- ::11',::l:i:ll,:':iiilri"il'lil"áitl"'.li'i;";#liili;; ;Ñ""*'"icasn\e''¿''oga.un
t'\t,tc tn eqron¿ cial, a > 0
' l ur(ión logaritniú
J..a.J**
= e^+k
Jl¿* r"' l *t
J"o"1*)a*:en1.)+.
. Funciónarcotane¿nt(
l ,--:ú\ rets(r) k
EjercicioSCalcula¡ las siguientes nt€grales
indefinida:
u¡ Ji.5+z'3 ^A)a"
. , ¡x l+x2+r-lo,.' J x+l
i¡mediatas sandoas propiedadese la inrcfr1
b) l lx+r++ldr\
, l r f ( {2l)( ' (
+ 2ldx-!2x
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. Fahciónra gente
. Funcióncotung¿te
. Fanción arco s¿ o
. F nción arco coseno
Js"rlr¡a^ -cos(x)+k
Jt r*,eti*))a* ts{') r
[ - fa*: ,g1*¡r t
J"".'¡'.¡a'tg1.¡ t
[--f-dx: cots(x)+k
Jit*"otetl '))a* = -cors(x)+k
J** :arcsenrx)+k
282
J¡;* : arccos(x)+k
2
Soluc ión,Apl icamosas propiedadese las ntegales ndef inrdat la lablade rnrepi ' l
iomediat¡'p;ra rerol\er losap¿nados e esleprohlema
a) Por laspmpiedades de inealidad se iene:
J{xs zx3 ^.&)ax: xsax+Jzx:ax-Jx'/'?ax
!r ,
* ,++ r- f j - r , ' - - - f+ ,,
para odo Dúmero€alko,¡1^, I , l )a^ f^a. ' a ' [ " - ' :a ' -* , r*
^ l* ,=
! * rnl* l- i , * t =;+hl¡ l+2"&+k-1
c) Iniciahnente e eescribe l ntegrando on el in de obtener na ntegralmássencilla
PaIa llo,efectuamosadivisióndeospolinomiosvéase olumen -tema )'dedond
{ .# l=*,+r*,
J**i'*.,'o- J(-'-t#J* :
=J',a*,.Jra-J*o^ : t '** ,r, '¡ '*t¡*t.
rl )Sc ccscribcl rregrandoe olma nálogaa |]tegraanredor.
(xr- t )(x+2),x3+2x2 x 2 =, . :+u* t-?.
Ji" !ql?d*: r l1- '*,- i-.o-=
. v,/./ fqnecesarioconocermutbieolalablddeprimitr\¡s inmediató.porqueatolarqodett" ,\(so oe nregracronnatgunmomeDrouede ue.e enaaueurit i iar. nun Dri ic iDrotrr(r(.rc(urr¿reoro.o.er o on a rácrican(eguidae Drerden.
6-5 Integración orsuslitucióno cambiodevariable
jJ(-,.:* )a-=
=l(! ." , * zr.-r) . r .
a on a crmirroloBirr(l( i1¡rrrr lscl icehtroiondolca¡rbio cvrrirt) lc"
Paso Sesun:rLryJrrr l ' { unJ\ariablenue\a
P¿so2:Se ustituye'(x)dx Pordt
Paso ; Se eescribea ¡tegral seoalculaf , . , l^. . ,
I I 'c ' ) ,c I ,d\ J tar l , l r rrr l I
Paso :Se eshacelcambioF(t)+k : F(g(x))+k
. SiG(x) esunapdmiriva de g(x) v consideramosa composicjónG"f(x) : (i(Li\ rr
tieneque G(f(x))' = G'(f(x)) f'(x). Veamos a tabla d€ as ntegrales¡nedittlrts )rrrrl
derivación de f-onciones ompuestas:
ll
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| ¡r Rcglade h Cade¡dde a derivada ermite,.,,n ,t;.io , ,.,,,,"¡itiiiii; )i";;;,:l;i"fli'r"i"": 'i:fl::XX11:;'-'.::lTiiiillll""n#iiii"":H'::XfJ"llennaintesrarqueinicialn*t"'""ii*'iaiit"""il"i'i"itá
Elemplo
t:alculamosa ntegralJ2xcos(x2)ór.
Si ob,encmo. a lablade úrerrate. nmedrara5,e(ornpuesfaet Lpo eno.
Enefecto,sif(x) *'-
t '1"¡ = 2x,porranto,
tmta de una tunción primiriva
J:xcos¡x'?¡a*J*"1r(91r(,.¡,1" s€n(r(x))+k sen(x2)+k.a
Supongamosueconocemos napnmidvaF deuna unción enroncese ieneque
Jr¡gq*¡¡91¡a,.F(c(x))+k.
Orientamosa demostració¡ret esultado nterior. Dirigido a ecroresnreresados)Denostracién.nefecto, orhipó1esis = f y, por aRegl¡de aCadena,
284
tF(c(x)) kl ' = F'(s(x)). '(x)= f(g(x)).c(x,
2
. Fnncün potencíttl, con a + |
f i f , r r l ' r ' r r rd: . [ t l - uJ' ' a' l
. F ñdónerponencí^> o
J"tt.t.r,i*¡a' e'L'r t
¡"u ' , . ¡ , "¡¿*{ l * t
fj = rt^r¿.. t¡ (\) +k
J* ' ir¡r)1 '6¡a*= sen(f(x))+k
J* r ¡t1*¡.r14a*= cos(f(x))k
Jt t*,s'{i{*))) 't*)a* ts(r(!)) k
It ] ( - ) *- ts(r(x))+k
'cos-(f(x))
. Funcíóñ ocatftt ica
. Ftlr1ciónta gente
js ( r (t(\) l | l \ )d\ - r r ( r i \ ) r k
l- *¡^ : cots(f t \)) k- sen-(f(x)
J(l cors-í f t \ j , ) . f 'r \ 'd\ (orsrri\),
Jff i*=arcsen(r(x))+k
tu t l ¡ r't t \ r ' \ t t t t t t r(t t
J:*" ' ' i * ' i . l * : Jcos(t)dt
scn(r)k.
y deshaciendolcamlrio. sdccir. ustituyendo= *2 , resultauc
Jz*co"i*'?¡a*sen1x2¡+t<.
Ejemplo l2
La rntegml-j-d¡ .e puedeonsrderarom o'nmediar¿l mulr ipl i rar'I r '1" ' I
(véaseunciónogarltmica)lanamos - x-+l.entoncesdt 2xd¡ Por'(¡r!r frr !rr '
.Iitt,cióncotungente
. I ixttión arco seno
. I.\rn(:íóñ arco @sena
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Ejemplo 3
cdlcul¿mosas prim,ri !ó de l¿ tuncion i {,( ,{ , ;
ur i l i¿ndo l c rr ' l ' ¡ ' f
ObseNanosque el numeradof s casj la derivadade dentrodel paréntcsisle
denominador. eescribimosa tuncióncomo (xl = L ' -J1-=' 2 ¡xz + ¡t
Aholapodemos acerelcambio = x2+ I , dt : zxdri :
l . j - -o' +t+-*- lJ i* i ' - 'a, t - 2rkJ(Kr+ t) ' t r (x '+ tY z¿r '
I'' -
2(x- + l)
T¿mbién se pueden calcular obsereando la tabla de integmles inmediatas conn) crr rl
Igd': arccos(r(n))+kt l - l | (x) l '
' l¿unción orco ta gente
If (x)
;d x = ar"ts(f(x))+k' l + [f(x)] '
EJemplo0
Ilallemosañrnciónrimitivae (x.)=;i"
.O**¡n* *"..trar un¿inciónF(x)cuya erivad¿ea (x).
hfi¡nción F(x) : arcts(x) es na unción riÍricvaaeg(x) :"].
.
Simiranos ue lx.) : c"l'f.l =#. l,"on
h(x) = 2x , de a abla ededüce u€
J#¡r'= ljAf-" = u,",g¡:*¡*r.o
Ejemplo f
Calculamosa ntesralJ2xcos(x'?)dxore1mérodotet ambioevariabl€.ara o,
hacemos€lcambio-,, ', , l t = 2*,t*,
286
E¡erc¡cio 4
Calcule; a) J(5x ?)adx b) J(1q')5d*Solución.Las¿los ntegrales epueden ransformaren una ntegral ¡mediatatipo potcrr'i
28
Jrt i, l"rr* la,:T++k
¡r ) { (,rno no apareceen el integmndo a expresión '(n). es decir, 5, reatizanos
J{s, )aa, lJts. :r+a,- *J(5"7y '5d*l ! <' 1r\5
, ' - '=- : t _'_r5r -r' |'
¡¡ l r ' r 'h)J i ' d\ .Jr ro\ ,5. 'd\ - j fnrr t5r '( \ 'd\ , " i t u , r- ,
Elorclc¡o'15
J*"u*1"rr,r*J," ' ' , , ,,= '""¡1*r j"""1-:1,
0 Me¡iiantel cambb xr t,-21dx=dt:
I , . / l l -or j j , i ia, j1, 'a' j |_, ' r . { ' ' ' ' " ra
6-6 Integración or partes
La fómula de derivación el producto e dos funciones roporcronan n¡Úr(¡l'linteg¡ación uesecotocecomo ntegración or pa¡1€s. n efecto, a guald¡d
((x) e(x)) ' = f '(x) g(x)+f(x) g'(x) '
f( t e 'G) = (f(x) e(1)) ' f ' (x) e(x).aspropiedades e inealidad
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( rlcularlasiguientes¡tegralesor ambioe adable:Al int€grarenambosmiembms aplicar
j11'¡g'¡*¡a*Jrrt.let'll'a.Jlt*ler*l¿*y*-" j trf*iet*l l 'a* r(x)g(¡),setiene
Jr6¡g1¡a* rG)gG)F'e)eG)dx,qÉ eslaFómula de tegracíón ar patles
' Aplicara a nteCralJh(x)drelmétodo e ntegraciónor pafesconsiste ncxprcsrr
integrandoh(x) como producto de dos tunciones f(x) s'(x). v apiicar La órmrrh (l
integraciónorpafesa Jf(x)g'(x)dx.
' Regla emotécnict.Sitlañamos
] ( ') : ' + f '(x)dx : du
I g'(x)dx dv + g(x)=v
entoncesa f&nula de htegraciónpor partes eescnbe
J,'a' * -j'a,.
. Las ntegralese a ormaJ,'s*1'¡a* oJ"*"¡')dx ,se acenorpares
"- 2d) l-- l-dx
, rcos{arctclx)).o, l- io\
er J cos(r ' )d \
o J""ns¡'¡co"1,,¡a*
J.,/i-a,.Solución.
r) Medianteel cambioel cambio ¡ x : r, 9I = or :
r dx rdtJ-- J: '- lD' k rn n¡ ' l k
tr ) 4ediárrelcdnbio rc,*r I ,. - ! l - ¿,,
rcoslarctsxi- d\ _ tc¡ \ / l ) r i r .senl t ) k sen(arctgr \ r ) k.r l+xr J
c) Mediante l cambio en(x) 1,co(x) d¡ = dt:
, . ¡6
Jsenxrcos{r )dr- Jr 'd ' ¡
k - :cenúrr r k.
d) Mediante lca¡¡bio 3: 1. x2dx dt :r r' l f dr I IJ1 ¡o' :J¡; Jdrcrsrr) -arcrgrr ')k
e)Medianteel canbiox2= t, 2x ¡lx= dt:
288 2
Ucmplo 6( lcLrlcnrosJxsen(x)dx.
ISirccl igcnuydvdelaforma] > dx:du
I sen(x)dx: dv = cosc)=vr¡flrll¡rql|c cobti€¡e nanuevanreglalmás ácilque a nicial
J\senr\rd\ xco.rx)-JcoslUdx
_ \cosrr) senr\r k .
I *< o =. :+ cos(x)d{:dusl uy lv e l igendelaforma z
I xax=
ov >r$Iltr qrc seobtiene na Dregralmás dificil quelainicial
Ejemplo8Enelcálculoe a otegralJx'?exdxeaplicadosvecesconseculivrrsl0ir
I ,_} 2 \OI CJ
ffrmem vez.forueDoo f
i " "a ' :a '=y aplicando a ómula de a ntegmción or partes, e ieneque
J*,"'d": lc J2""-d'.Segundaez.Para alcular sta ltima iniegr¿i e vuelvea aplicar l mé(xk)rrrrl'rr
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-2 2Jrcen(\,dr| , ." r" , J! _,r , , ra,
lucgo cs import¡nteelegir bien qué es u y qué es dv (u : x" y(l v . cos(x) .
I] -= "
> ox:ou
e'dx = dv > e^:vt
dv = sen(x) o
EJemploT
Para alcularJarcsen(x)¿lx onvieneonsicterarue a tuncjón (x) = I esun actor(lcr)tfodel ntegr¿ndo arapoderaplicar a ntegmciónpor parres.
Iscer,seydvdea orma - #
d,It l dx = dv
-x= v
y scobtieneuna nregral ipopotencia:
larcsenlx)d\ \ arcsen(\) l- 9 rarcsenrr¡ Jr 12.t- 'J l x2
lt
p,'*.q""J'$: lJr-, ' ,.,¡-a-:l lrr-,.,rt: / i-
' Las integrales e la formaJx'a'dx se ¡ealizan o¡ pafes: u = xn ; dv : axdx
A gunasntegáles eqüie¡en plicarvariasveces onsecuriv¿sa ntegración orpartes.
290
J*-a.=*'- j..a"Porconsiguente
J- .-r^ \2e\ ) \e\ ' 2e\ l
. Las nt€sales e a o.maJa-senG)dxo ja'cosG)dx serealizanporpaÍesclisic
Ejemplo 9
CarculamosJex en(x)dx aplicandoos ecesa nteg¡aciónorpafes
IPrimeraez. oniendo
I sen(x)dr:dv >
I
Ie'dr = dLr
J. '*"r*ra*: . t .o51¡+Je'cosrxtdx.
2
Éltr¡l(h vcz.Volvicndo aplicafelméro¡lo h ir)rc8r'tJcrü)s(r)¡tx
I I> edx=dlr
Lcos(x)dx- d! > sen(x) = v
lr l l i | lmrlcgr¡ lnosda
J"-*.r'x-= e,sen(x)Jcsen(x)dx.
J""""¡*¡a" exGen(x),¡";¡ - J+*,¡9a..l¡rrnlriohora lprimermiembroaúltimanteg¡¿le btiene,
zj"- '*¡ '1a. = er(sen(x)cos(x,,,
cocientealrcslodou l i ! i$i(nrc )(x)pofQ(x),el iene (x ) = p(x) Q(x) l t{x).v|]ol
Ptxr l t { r )Qt* l
= Pt " ' - '-'
y €l sradodeR(x)esnenor queelgradodeQ(x).Porconsiguente,
l9 ' ,"1¿.ior ' r¿*l!¿' .r Q(\ ) J- JVrx '
La ntec¡alJp(x)d{es ¡mediatapuesi p(x) = ao+atx+a2x2+ +anxr.
xJxnr,Jp( \ 'd\ aoxIat ¿.i 'u"- I -k
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Jexse(tdx=
;(senc) cosG)).
(lxr cstohemos btenidon¿primiri$de eisen(x).Anadiéndolena¡rrcnrosa bmagenemle odasas rimitivas.
lil nróxodo e in¡egmción po¡ panes es aplicablee¡r el cálculo de inregralesd€ los
- JP(r t a d\ . \ re¡doP¡\ iunpo' inomio. tuPt \ ' i :d \ _ a 'dr I
Ier,, ' .e"rx 'ar . o ipr r r co. r r rd. r . . iendop( \ )u¡pot inomio
(u : P(x) ;d v : sen(x)dx dv = cos(x)dx).
frJ¡ senr¡ ( )d\ o Ja
.co\ r \ )d\ .
(u : sen(x)ou : cos(x);dv = axdx).
I Primit¡vas e as unc¡ones acionales
t Jna unciónmcionalesuna unciónde a fo¡mar,,r !! !
Q(x)rdcP(x) Q(¡)son uncionesolinómicas,Q(x) 0.ii el sado de P(x) es mayor o igual queel gradode e(x) y ltamamosp(x) y R(x) at
2
El problena se educea calculara nte$5I
l1(')o*JQ(x) '
en aqueel gradodeR(x) esmenorqueel gradodeQ(x),€sdecir, racción neducible
E<rasrresr¿le.e e<uel\ene.componiendoa Aacciónnlesra¡doH
e|r-' "
' "
fiaccionesimples el ipo:
a Bxl9--conneN.v ¡2 c o
I- t '* "" '^ )
I t ' : ¡* ' r"Luego odo elproblema e educea calcularas htegales
. A I B\ -Ct-ox t t . - -u,J( \ -a)n ' r rxr 2b{-c in
Estas lacciorcs simDles ependen lea descomposiciónel d€nominadorQ(x) En csrtexto sólo ratamosactóres eerado1 esdecirn= 1
A la esperaalequ€ en cürsosposteriorcsse den todos os métodosd€ inte$3ción dn'o"lán"" iu"ionat"i.
"osuamosa'reducira aquellasen cuva descomposiciónn racciono
sinples os sumandosueaparczcaneaD:
.A. Tipol: la?erute.d"ttip,
J--1,_"at.
*" I*.-"le< inmediarasdepo/¿Sdrtao:
I A ¿'-¡ f - - ] -¿" - Aln lx a-[J(\ -a) r lx-ar
29
. 'l'ltút lt ttttu,xnls¿(t ¡. I-l- ¿* .
".
i*"B,nrcs Irc(tll|r0$ ic ipod coktlsente:
'(x. + t)
[ - l-0. I [- -a', A J,c,u'r ] r .' ( r- l) '(* '*t)
Elrmplo 0I Í'r Inlct¡nrlcs iguientesondel ipo I:
r )J( \ - - ' , |^ = ln 6+k.
| | I l. I
" 'Jr ,* u,u* J¡ ' , . : ,d ' jJr-¿d'f8¡ lt rJ,n,
3-o,clr ¿, o,e ' lJü--Eo\ -
j r '1, ,z1*.
2lnlx 9l+k.
Ejeñplo 22La nreg¡al-- Ld x csde ipo I' pues lpol inoInio2 2'+5 nol icrrcrrrkcN
'x ' 2x+5
Podemoso¡npletar uadradose asiguient€o!Ía:
'22^'s-\ 2\ |a (x l,-4-¿1.!t ll
. I l r I ,' ,
ll - -¿* - i l-- ü i l l_ r, : -" .r '_2r5 "( !) ' r - r : i I ,
pero ¿es ácticamentennediata,ues s e a orm"f ={i!*= arcrg(rl I l'
" (f(¡))- + I
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"
EJomplo2l
l [ lnregraJ f ¿¡"s
de ipoI, aunqueequierena equeña¡ansformación.' (x-+2)
N,' podemosplca' la formuta irecumenreue\ apdrece¡ 2 en tuqarde u¡ L pamc{ru'rrrraa nrenoÍ.rvrdmo, umerador)enominadorpor)
[-J-* 1t--r-o^ f---1-*..x-r2r "rr 2, " l f ' ) ' ' )2 'J2
llsta estantegralyaesprácticam€¡renmediata, uesesde a forma
fJ9-* - arcrsrf( \)r 'k .' ( f (x))- + I
Enefecto,
1
i lu=i-u,*:f,.5*" J2'
"r t '
: {u, . rg{ -I)+ .
tc4 29
i=;;*=1lX=6*=¡(d, ' . ' )
I, a' = j-"'e(-l) r
Ejercic¡o 3
"-2!-r1Calcule:_--dxJx . 5X+O
Solución.Comoel gradodel nuúerador o esmenorque el gtadodel deDomin¡dor.cefectuaa división
x2+x+1 - 1.(x, 5x+6)+(6x,5).
- ),2+\+l 6x 5__'""
,2_5r+6 x2 5x+6y descompoüiendon racciones inpies a úldm¿ racció¡r,csulta, eniendo ncuent¡q rc
x2-sx+6 = (x-2Xx 3),
6x 5 - A * B =A(x 3)+B(x: 2)
x2jx+6 x 2 x- 3 (x-2)(x 3)
de olución -'7 yB= 13.Sededucequ€
-{ ,^-:
óx 5 7 tJxr 5x+6 x 2 x 3
llre ,rrrr{lrrccnr¡LcgraleseltipoL Po¡consigrient e,
f xzf rt I
'l*",' Ja ' -J"r.a" rJ--La*x Thlx-21+13lnlx 3 +k .
ilerclclo24. "1 , I
r ¡ l ( , r l , I l - : : : - -dr .Jxr_ l_5x+6
¡r,In(.|ótr.lomo el numerador sdemayor gradoqueel detdenominador, ividimos
rr+ |
- - :_ f r s) I . . - ,\r ,5x 6 \ r 5\ 'b-
i t u t t t t t t t t t t. t r. lt t t orn rl | l
lsualandoumc|r ldotcs,xrr 5x- i = A(x-l)(x+2)+Bx(x+2) Cx{x
obtienen iste,nacecuacionese olución:1 , s =z v c = I
Asipues,J?+:-d.ijl*.,J,f* lJ** =
l ) . $r
=lrol*¡* ro¡.1l-lh x+2l+ .
6.8 Primitivasde algunas unciones rigonométr¡casLstudiamos nresrale"cü\o ioteqrando onliene ólo tunciones igoron'¡r I
Comenzano.ien¿ó,leunosa.o. cuya esoluciónesulL¡nrnediar¿in ma c l' e ' r ' ' r ' '
tabla de inteer¿les¡metiatas. A continuacións€ orientarános cambiosde variablos rrrr
indicados egrlnaparidadde a fmción integrando.
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" " l+ rr , , . l' ^
r ' ,¿. l ' " " s i¿ ' , f . !o" l d, ."x,frr o Jx lr 6
. lSr + 1l( nrüutemoiJ:: :---. : : :d\. de.componrendon mcciones.impter.esulra.eniendo
lutrcntaqüer -5 \ o rr 2lr\ .J)
ln"r- ] | - 4 -1 - A,Y ]-B(r . 2 ,-
'
\ -5\ 6 \1 2 x I l \ F2, lx Jr -
L
A+ B = 19
3,{+28 = 3lisoluciónA: '7 yB=26
I l9x l l l t -1 ¡)A
^\rrues.- ]-dx - J, ,d-.J,=d, _ 'tnrx 2r 2ótnl\ J l .
.
"
L) .-r2o( oncrurmosque.l , ,dr-; 5r- t¡ ,1 1= rk .z tr _ )l
lorc¡cio25
carcüre+l+ldr
)lución.Descomponemosn iaccjonesimples:x3+x2 2x = x(rir+x 2) : x(x txx+2),
, i ' * tJ , t = 4*4_* c. A( x I )( x+ 2)+ Bx(x+2)+ Cx(x 1)xr+x: 2x x x 1 x+ 2 x( x tX ; +-t-
)6
E¡emplo26Resolvemos¿s iguientesntegüles, innásquemirar a abla e ntegntesnmediatas:
¡ ¡ f !9! !¿, - [ - -L.s¡ ,1 ' ;¿1 lD.ei( { ) t kr sent\ l J sentx,
Hemosplicador ?u i,/¡ tó¿olüúni, a !+') t rxrdr - In rrxrl I
3, .
b) Jsen'?(x).osG)dx-sen¡txr+k.
Hemos plicado l &¿-,l ciónporencidllrí)]" f'(x)d\
"r f-fa, ]f , * Isf ') - r.'cos- t7x) ' 'cos-(h)
Hemos plicado|¡¡pot, ciónangentel:gLex -" cos-(f(x))
rs(f(x)) k.
o, ffio" J.o"r*r'"nrr'a^ -+-fl t *1,, L,
: r r r i l , " '+r
' i * ; *"o"1, . ¡ = t-
Hemosplicadol ",r&¡c'á,por¿"craJt{x)1". (x)d*
O J*"36'ld'.:
J*"i-¡. * '1'¡a" ,yaplicandoen
Jcos31,.¡a"J( r sen'?G))cos(,)dxJ*"¡*1a" J'""'1-r *'1*ia* =
297
. sen- ix) ,=se¡ l \ |__- i -+k
.0 Jrg,1*¡a,Jf ,crt*t*r1)dx:J(rcr(x)+1)¡rxa": tg1.¡ +r .ll(rnos plicadoelrpofu, ión ansente
J{t*tc'{'))a, = ts{r) * k. Er
. lil lntegruñdo .s unapoterrcis ínpar erl s¿n(x),es decir, cambiade sig¡o al cambia¡ñrr'(x por seD(x).El camblo evariablendicados
cos(x)= t, sen(x)dx=dt.
EJcmplo27
( ¡r lculamosa ¡regral"t"r ' , t '¿r., cos-tr
-
Solución, {ccsct ib i rnos! l i r fcSr l rndoul r l randol r igurklat lcn2(x) cu 'r ( r ) |
2.-
sc n l\ l I cos \\r ,
J*"si*¡a. j*"1*;**1*¡a' :Jsen(xxsen'?(x))'dx
=J "'t. l i
t - "";t*ll '?dx=
Jse(t(1 2cos'?(x)+cosa(x))(lx
=J'*¡ '.¡o*z j'*¡.¡os'?(x)¿x Jsentx)cosa(x)¿x
= *"1.¡*l*,,1*¡*, '1.¡*r..
Ejercicio 0carcurarJsen3(x¡cos3(x)ax.
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S¡j Lrala e una ñtnció¡ impa ren sen(x), aplicamos l cambiode variable nteriorr"r(x) = t, sen(x)dx dt .
l * " " - l¿^ f * i f^)"^-fd l l , t -- l - ' r . Lo(-i r I Jcos'f \) l r ' 3co. '(\)
. I integrando es una potencia ímpsr en coslr, es decir, cambiael signo alc0s(x)po r cos(x).El cambioe ariabl€s sen(x)=r , cos(x)dx dr .
EJomplo2Sc,t""t".r' J"".:¡*¡ax aplicandoel cambio de variable sen(x)= t,
oos(x)dx = dt :
Jco"31*¡a'Jcosz¡*¡"o'¡.¡a*Jf r *.rt.)i*,f*ia* =
=J{r , ' )a t Jt :+t=senqx)* ' ,1¡* t
. Utiliza do algana dentíd¡rrl igononAtuap a calcrla¡ a nregralen cuesrión.
EJerc¡cio9c¿lcularJsen5(x)dx.
258
Figua 6.1
29
Solución.La rtegul sepuedee€scdbir omo
Jsen(x)sen'?(x)cos3(x)d*J*"¡*¡t - *;¡*¡)cosr(x)dx =
: J*'1¡*,'1*.¡a' J*'i4*"5¡'¡a" l"o.ai'¡ |"o*6i'; t .
6-9 Métodode exhauciónparael cálculode áreas
Pafimosdeque odos €nemos na dea ntuiiiva de oqueesunárca:
El áreadeun rectángulo s adopo¡ ado,base oraltur3.El áreadeün riánguloesbase oraltua divididopordos
El área euncirculo e adioR esnRz
Ln t iemDo, e los t ieqos.e de\aÍol loun mélodol¡madomélodo e c\hxu(¡ótempleadojara alculaielre ade rec'ntoslano' rmirado'orcun¿\ qu e ols¡r( rlaprbrrmarlo'pordenrro¡portueü'redia¡le'egionecreclang:ul¿rescada\e/al reciDto ncuestión:
I l l t ¡ lel tn!r r ¡ t l l l l f r ¡ i i l i ( l ¡ !doscl cf lc!1odc pr i l l r i l ivLrss [' posib i l id¡d c calcul¡ f lLn h ¡,1!r l¡rai) | l l l I r los I c l pln¡o.qu cno son vidcntcs.
r|r\¡lo f
l r r , l i l l | | lüol l l r i ) r r I , se quiere onocer l áreadcl recinro el imitado or la
rrúr l l \ ). f l e ie OXylasfecl¿sv€ icales :0 yx = 2. Tol nalnos oligonos, ue
'rlllür v fir.ur¡s.ribr¡ dicho recinto, constjtuidos or rectángulos su á¡€a €s fácil de
, lnr lilrlrer scconoccrá on nrayorexactitud uantomenorsea a base e os rectángulos
lü||{.rros cn primer ugar ect¡íngülosnscritosen el recinto.La sumade as áreas e oslllE l¡rN s nlcnorqueeláreadel reci¡to. Seaproximanmása suvalor según e omenmás
lirr¡l|lor (lc nenorbase, ease igura 6.2
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S consideramoshora ectángulos uecircunsoibanal recinto.esevidenteque a sumadeúrcas e dichos cctángulos s mayorque€l ár€aqueencie ¿ a tunción,peroa medida
c vamos omando ectángulos uyasbases ean nenores, uestraaproximación eránás
t0
fodoelloponedemaniñesroqJe¿ldividirelnrenalof02lenun numero ¡fin'rarrrLr
erunde'deniena.o' guales. lárea ordelecrocoinc'deonelarea ore\ce\o t anrDrc!¡
élareadelrecntoque seesta alcutando
5i sólo oos it¿mo. en los lado. superio'es e Io' recLángulos slot son d g-ráflca e 'rrr'frmcioDe.calondda. s decir, es una limcióo con.l¿ntea $o,7oc L\le trp-o e '¿\udana dd' el Da\omlre el mérodo e e\baucion la ' in legrale: ehordr\de cuarqrrr
d¡nción enun intérvalo: las tunciones escaionadas
Ejemplo 2
Latuncións:,4l + Rdefinidapor(x) =
2 si l<x<21 si x=2
1 si 3<x<4
esescalonadan 1 4]. (Véasea figura 6.4)
Seobsenaqueen ospuntos 2 v 3 la exFesiónde a tunción cambia'pu¡tos 1,2, 3, 4
}son napaficióndel ntervalo1,4] .
30
I h ,r r ,r r Izrndsol Nonocptoepar ic ión
l)(,lirlLlór. Unapd¡li¿tá¡reunnrbrvatoa, bl csunconjünroinitodepüntosl' I x0 .xt, x2, x3... . nl talesquea-x0< t < x2 <... .< n=b.
I ( ssn ) nlcrv¿losbiertose a,b] que elelminaapariciónp,
(xo, 1). xr, r). . . . . ,\-r , xú )
'rf(lclxnnnan &ótrr¿lra1ore apañíciónP.
l ) { . l lD lc i ln .Una uncións:¿.b, . R esp\ , a/or¿Jd ua do epuede oconrarhI | t , r f l | \ ón P dcl inren¿lo a.b l rá l que < es consDrre o ¿dda no de toc{,r l ' rnrcrv., losbienos e apaÍ icrónP.
lí ' rL t ' r , l de xna funcióneccatoDada.¡ ta que soto uedmos a ideade;re¿ de uor i l r r r tLr ! . . decrrbdsc or a l tura. s ¿ oue no5¿segura ue os ¡esuh¡dos ue vamo\ a
stfa dea dbrtuatderea.
^,hrsr , r l r f l ¡ r (\ 2) . ] 3 ,
A3 - bascr' l l t rmr (4 l) l = |
Asípues,lárea s
A = A1+A2+A3: (2' l ) .2+(3 2),3 + (4 3),1:6
Generalizamosa definición deárcapata unciones scalonadas
cl en (xo, t)
c2 en (xr,x2 )
Defitrición d€ áre¿. Sea s: [a,b] ) R una función escalonada onstanre n= =
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N,r\rr' ñrúp,lriroes a.ociard un conju¡to un numero quedjchonumeroseacohercnre, f r t , r \ ! r ' ¡b rur tque lanos lareade ü4 coniunro.
Fisura .4l. paficiónasociada la tunción (x), p = {1, 2, 3, 4}, indica ue s(x) tona u¡l valor
((nrsl¡nte n cada node o s subintervalos1 2) , (2, 3) y (3,4) . Esdeci, est1 afición(lcilnc res ecintos.cctangularesebasesos ntervalost, 21, t2,31 y [3,4] y alturas ,l, | rcspectivame¡te.
EJemplo 3Determiüamosl áreade a región
delimita&por
a ftnción escatonadael ejenplo 32, es(lccir. l ár€a es(x.) edesco.nponenel área €hes ectángülos t, A2, A. debasesos¡0tc'\ralos1, 2], [2, 3] y [3,4] yalrür¿s ,3, respectivamenre:
302
Ar = baser.¡ l turar (2 t).2:2,
30
. No/¿i No se €xige nineuna condicióna los valoresquetoma s en os pünrosdc 1, I osubinteftalosbiertos e apaficiónP sondisjuntososa dos la unión edichosnterv¡hydePes a, ].
.lr'dla: Los valores i que oma a función scaionadaueden erpositivos ncgdriv('s
cada node ossubint€Nalose apaÍiciónP {a=xo<xr < x2< .-.< . b} yque omael valor ci enel subintervalo \- l, xr, entonces,
Area= xr xo)lcr+ (x, - xr lc2] .. .+ (x n x¡ r)]cn.
Deliriciótr de l¡ integral definid¡ de una función escalon¡d¡.Se¿s:[4 b] + R una unción escalonada onstante n cadauno de os subinler"valosde ¿paÍición
P: {a = o<x1< 2<... .<¡n=b}
y que oma el valor ci en el subintervalo xi_1, J, entonces e lama r¡egl¿rlde|inida de a uncün s(x) ¿, Ia,bl al número eal
ct xl xd + c2(x2 xt.)+-.+ l \ \r )
b
y se cpresenlaorJ s(r\ ox
s(x)dx=c r
(x r xd+c2(x, rr ) +.. . .+ n(x¡- ¡_r).J
hr,\r,r, t , , \ ( {, , | l ), , nepar,!o\ en,,r.rcc.q,LJ (
|., , r, r , . , , , ; . rre.
b",,,,,,'.,,,,,,",,,.,r."":f ",-ro-**n""ll,oro"l'
Lt Ihttr | r l¿r RIr ¡t o
Para u¿lqüier nor(i¡ rcotad rix ) hay unciorressc¿knradas(r)
cumplen (x) < f(x) < 1(x). porejernplo,l¿suncionesonstantes(x)Además, or acuarapropiedadnrerior,e iene uu:
nb .b
l (x)<l(x) .
D(finición. Una rución acohda : la. bl- R se drcequees ,¡¿slaó^ e|llá.blcu¿¡do \\ le u¡ ún¡co úmeroe¿l r¿lque
nb .b
l (x)<i<lt(x)
paraod o ¿r e imcrone.scalonadd,\, ) (r ) r¿lesurs(r) t() \ , rr J I Le.re aso. chonúmeroeal \e lürta akgrytde en á. bj ) sedesign¿ol
o tamtienorJb . fG)dx
. En el restodecasos o.
ls (x) l¿x.
defi¡ idaenel ejemplo32anteriores
r (4-3) 0.
y 1(x)cn Lr¡, l , |r
:myt(x) M
rlompto 34| l | r tcgrrtcnt.4ldelafunción€scalonadatr r
.1
J s{rrd\ 2, r, ,J,( l 2 l
ii:'nili"il,*i*l:iffiJ,i3::"x*';H",ffi:1:f,'ji?i,,19";JÍ1,
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Enestadeñniciónparec€lint€rvaloa,b], porranto < b.
Ex¡endemosl convenio otu"ion¡ f"rf*l: 'o A
'b-J" G)'YJ,(x) o
. Es mportanteocontundirasexpresionesJf(x¡ar y f r1x¡ax, uestoue aprim.r
de.ignanconJUnroe uncione\conru¡roeprimiU\¡\) ientra,ue l sesundu..,,número cal. Pdr¿ i:lingüiresro: jmbotor e ¿enominanepratndetini¡laát ol-Lttt, t
i4^ Bral.l.J¡nt.d¿l egundo. lnql¡emucbasece, euritiza trÁnnino énerico;nregrr|..,roeígn¿r,rmbosonceptos.tendotconte\rooqu e etermina,i(eata eu¡,r otm.
lae\pre.ló¡ ['ftx,d\ se teekkarct¿¿s¡tc ha'r¿ .dc tr). .t\et¿n. or re .
Destacamosos esultsdosmpotantesde a ntegal de Riemann
-h hLJJrsrr)+rf^)rJ .r*,*J-, , , , .
2.J¡ks(x) kj,s( t .
Ls,á-c<b- [or,*, :
4.Si s(x)< (x),para odox €
x)+ls(x) .
> J"sG)J, r.= J" (n) 0.
f"r
la,bl
s.Sis(x) 0,pararodoe ta , l
Convenionot{cional.
{ 'o ,= I s(x)= 0.
-1 0 La ntegrat eRiemann
. i.iT,."Jí::il:Í:"':Jif:fi,::J;i"il'*i:'.::'r'""id¡'c 'ien¡ii'unc,onesá5;i:.,;r'iliil:'T1.';li"i.iiff"rili:irff.,ijiixiír.;::tríi:04
-J,'o,, Toda uncióncontinua€nun ntervalo a,b] es nregableen dicho nterwalo.
Condición de integrabilidadRiemann, Una tunción fa.bt ) R €sintegrable n a,b] siy sólo siparacada€> 0 exisren os uncioieséscalonadassy
t talesque
s(x) <(x) s r(x) paraodo x € Ia, bl y
l (x) l( t<e.
30
m , n
;i,lliil:ffi:3iff"Í:"iilltesrarpar¡asuncion€ssc.,r(n,0dasonáridasaraan,esrar
Propiedad€se a integral.Dadas os uncionesntegr¿bles(x), g(x)|¡, b y k unnúmero ealaüitrario seve¡ifican asslgurenresropiedades:
"b hLJa(f lx)+rl ¡) J rr*r*fur, , r .
.b -62 J. ('l = ti,i6¡.
3.sia<c<bJ'( , .)f<o.1'rro
a.si lx)< s(x),pa¡atodoe ta,bt + ,fO =1'rtO Primer teorema fundamental del cfculo. Sea una firnción integrablecn
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f
s. i (x)>0,paratodou Iu , l- JofG)>0.
",,,iJ:lJl#3:.iH:H:i.iln.Ti:'J?i:¿H,1ff":Terárc'I¡ro"itlegrar.n,canente
,I re resulradoeomerricanenreosdicequeet area et ecinroimiL¿door ¿gmfica er. , unción.teje x ) tas ecras a ¡ , , : b es guarat re a .,
".*"ó,". ,ñ1".. . . loneitud (b - a) y cuyaallD¡aes la ordenada offespondie"""
* ,"r"."
l"r.j"."tltcrvalo a,b]. Al valor c) se e amavalo¡medioo alruramediade a función en €lintcrvaloa,b].
Figura .6aX
la,bl y seaF la tunción definida,pamcada € Ia,bl, por
JF(x) = | f(Ddt
Si es continu¿ nunpuntox e[a,b] entonces €sderivableenx,y además
F'(x)= f1x).
Teoremadel v¡lor m€dio. Si funa firncióncontinuaen el intervalocerradola,bl, entonces xisreun c € (a, b) tatque:
3063
lJ.mplo35
l¡r.l¡, func'ón { . - Jl-
-!0,
.o*" ."*,ar (r,{ } procedemosomo rgue.' r 1+T '
,,,,ll|1i,1:,i"";0":,*,t"*"ooesuna irnción ontinuanR y c esuna tnciónconrpuestae
e(,)=,, y nt, .)=J '*d,
¡isdccir, plic¿ndolaresladelacaden4c(x) = (h"gxx) = h(g(x)),
c,(x) = h,(e(x))s'(x)= _J_" ,- = :l_.
t+(x') - 1+x-
. De los ]'eorcnlas in(lnro||lfills sc dcduccn as bmulas dc in(cgrrc rl p(n |lNlL.ii rl€ambiodevariables 0rLrnLcgmlos clinidas,
Fórmul¡ de integr¡ciónpor pates. Si f y g son funcioncs on
f ' (x)8(x)dx.
c
{
derivada ontinuaentonces
.b rJ,fG)c'G)d.rtfG)cG)l;
Ejemplo 7
Caiculemosrxe*dx.
Hacie"do = d':d',.",uuu
I exdx = dv > ex=vie_gqndoeorem¡ utrd¡meDret et cflcuto Regtade Barrora).Sea ullauncron *-
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,,,"l"ui""Jiiil?Lir*,!i" merodoecálculoenregralesefinid¿sue oexieealar
. unanoraciónsual araeplesenrara diferencia(b) s(a) es ec)ll
"¡g¡)(¡¡1.
l)¡ estaotación,a guatdadelS€gundoeoremaundamentalelCálculoeescribe.bj ,n \)dx s(x¡tD " J i r^ ,a,* ¡gr" ,1!. t r
E émplo 6
, .1 ' . t¿" Ll '= ! lr r Ll l r I J
-t l xd x ¡ - ;r |
z. l: = l r l+r¿ l ='o J l + x' 2
3.Jo en(x)dx t cosc)lü
N8
=Z3
= cos¡ + coso = I + I = 2 .
J.* t '= r, .*1¿j" 'a .=" ¡" .3¡e (e r)=r.
Teor€ma del cambio de vari¡ble. Sean una funcióncontinü¿ g una -unci6r
conprim€raerivadaconti"*..t**" f <cG))s *¡a* =f(o)rtOat
Eiemplo 38¿.
Calculemos 2xex-dx ,
mediantel canbio x2= t, 2xdx= dt, six = 0 + t=0, six:2 > t:4, pof anto
f..4¿| 2xe"dx I erdL te' l ; - ea r-0 -0
Ejercic¡o39
Calcular 3x+l ldx.
Sotución. Aplicamos a definición de valor absolutopara modificar la expresión¿cl
onnouaen¿.b] y seag na rinririv¿e ;n [", Uf e",á"J...^-
Jbrtoa*sol ei").
3
ünolónomosigr¡ei
Ar¿a ¿ t¿ltrtólnltqdo oruna¿nclónt ta,Vl
f (x) = l3 x+ tl
{
3x -I
si
¡
,- I^ =- j
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Ej€mplo40
Calculenoselár€a del r€cinto imitadopor lagráficade a tunción f(x) = r' * 4* , lu,rectas = 0, x = 4 yelejeox.
L¿ gráficade la función estápor encimadel eje OX en [0,4], es decir, setratade u0ütunciónno negativa, sípues f(x)l = f(x) par¿odo x e t0, al :
Por anto, e€scribimosa ntggraldescomponiénalolan dos:
"r -1I l ix+r ldx=rr 3x r¡¿x+f ' | .
tr ' l3r- l¡dx -
t
l1 Areadel ecintoimitado oruna unción n a,.b]I'ledianüea ¡re$al sepuedenalcul¡r ar áreas emucbosecintos taros imirados or
.1.:1l.fi:ll :l y: !*.ión conrjnua.eco¡sid.raa esióDerpta¡oerimiradaoral,c¿dela únción elejeOX y ¡as ecrasenicales _"y.('
U. enao..,---'" ."
= *-!l".G*.'t11,,,+
El árcaqued€bemos¡lcular es
A.4.e | lctr t lar | ( -Y'-4xr& -
'0 '0
f x- ^ 2lLJIO
311
l l lül:". ,rener ncuenraü¡ndo e átcut¡ táre{ümit¡da orun ¡
| .- l{cprcs€nlaragráficade a tunción.2. De im tar elrecintocuyaá¡eaqueremosalcutar..l.' Estudiarlsigno e a unciónen el nreryalooresponaliente.4.- Uti¡izarenelcaso equeexisra,la imerda e añrncjón.
Ejorclcio41l)ctcrmineel áreade ta r€gióndel plaDodelinitadapor
la gráficade la funciónrlx) . x- 3x+2 yeleieOX.sohrclón,L¿ unciónes conrinua orseruna i¡¡ciónpolinómica.ospunros ecorre on
. t l t ' t'n1t '11t r t '
x xx x n I
Ejercicio42C¿lcule láreadea cg(nrdclplano elimita.laor agráfica ic A ¡ne(nr lr)
yel€jeOX.Solución.La unciónes continuaporerüna unción olinómica.-osPunr(is. f i rf
el eieOX veri f icana ecuación3 x = 0,dedonde = l.x=0yr l ,rrpunros e corte.Lag'áfica de a tunciór es
0. 6
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clcicoX so nosqu e erif icanaecuació¡2-3x + 2 = 0,dedondex= 2 yx : I son
-12-3x+2>0 si
x2 3x+2 < 0 s i
x2 3x+2>0 si
l<x<2
2<x
Portanto,el árcapedidavieÍe dadapor:
3 .,
] unida<lese área.
Ejercicio43
Calculareláreadeirecintol ini tadoporlagníf icadelatunciónf(x):en(x).. lcly las ectasde€cuaciores = n y :r = 21r
Solución.Al reprcsentaragniñcade afunción(x) = senx, seobtiene
¡1x)dx | (x
b "lA=l l f lx)dx: l f rx idx: | ( \"I -- l
/T/ l ,r I2rto T/ l a I2\ lr \
: \L\¡- ' l l , L\4x . r lJ
Lafuncióü es negativaentle ospuntosx
).A: J,rr ' i \+2)d\=L-(¡ ,; .
= 2, portanto,
=] *iaua""a"a."u.
= l yx
' .t-)l:
Figura -11
31 2
| [ rB()! l l rcn usr¡dcs .
^ ^. ^) r J _s.r,rrrar'*, , , , r , r" _"", ] \ ra, ,f 'o
|ü)s(r)t!,- icosG)l; -.G)li. = (r + r.)- _ _ t) + r +t) = 6 unidades
6.12 Areadelrecinto im¡tado ortasgráficasdedos uncionesl rr ¡¡ú I 'oJen), ¡̂ tcutart jre¿ ir¡ iradaordos u^as.
, . . . \cr l, l rs urrcionesla .bl -Rlg: ta.bt
,, R^ u¡crone(onrinuas.e considemai '" ':l i' ,
*l 'lf;1il::la por s r¿ncase asincionesr ev r^,.;,i
"";i"ár.i
x2 = x, cuyas ri ccs onx o y x - t. l .et icrrcr).¡ .p¡r:r l"J"\ ' l {r . l l l ' rc)
= | (x r '?)dx= T/x2 x3\ tt I
L\2 r '10 6
: f ieto rt ' r ta '
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EJemplo44
::::_::1i*r,. i|..:
*r ,r-cin¡oimir¿door asi¡ncionesrI r2 y s(\)
.xLospunro\ econedeasgráficasdeas o( uncione.secalculaneroh en¿Jl¿ cuac¿n
Eiercicio45Hallarel áreade o s recintosimitados or as unciones adas n os ntervalos 'L(
indican:l
at f{\} = xj y el,() : senl) ') en t0 .tl .
b) f(x) = cos(x)y s(x) = sen(x) en I0,;1.
c) f(x) : cos'z(x) y g(x) : 2 en 10,2rl .
Solución.¡) Observemosl recintoS imitadopor as unciones y g
Para ada € t0, ;lseve¡ificaque ¡) <c(ri),asípues,el áreade s es
f r,""i.r-',ra.¡(*"t'r lli"
.J f(x)-e(x)ldx.
b) Obseñemos l recinto S imitadopor as unciones y e.
Para ad¿ . 10,Tl se erifi aquegtrr : (rl. asipues. l área es e\:
Ifatcosrrr 'e¡trrrdr - trsenrrrrcosrxrr l j
a
/1\ I 6r t\: -cos\t a-r-L)=
a.,,-Ll
31 4 3
= *. .+c" ' ; (seno+coso) ¿_1.
c)^
nllogamenre, bseryemosl ¡€cintoS imitadopor as unciones y g.l,0r'rc0da e [0,2jT]severificaque x) g(x),
(a ,b € R).
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8-13 ConceptosClave
< asípues, l área eS es
6-14 Autoevaluación
Problema'l
Dadasasguald¿desJsen(x)¿,( cos(x)+kv J*"a'=u *'-rn t'
A) Uü escielta otraes alsa.B) I¿s dos on iert¿s.C) Lasdos onalsas.
ll
Probt.mr2
La unción_--l- es ¡naprimirivadel
.3B) -:x ;
1 x-
Probloma
s,crtcutamos[*¿_.**r,",-x - 3\+2.. 2x-l .) ) |
^' -tJ_=--k B)
ros{lx-ill
Ix -rr+2) )x_21,
.3
(l -x')-
o ror( l*r11*¡' l \ - 2v
B)
c)
e-r(scn(r) cos(x))- -
2e-'(sen(x) cos(x))
-act+"*Gt)--l .l -4x"
Problema
A)
B)
. r "2+ t" lLt valorde = t-.:ox esl
r xr + x¿-2x
] rn1*¡*r. r l - ;h lx+2l+ .
| r"¡¡ zr.¡- r¡ ihtx+21+k.
2ln lx 1l+i ln lx+2 +k.
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Probtema
lvtedi¿nrelc¡mbiodevariable = x4
'rl Jffiat ¡) Jre(t)¡t
,lainres¡atJ4x3tg(x4)¿xssual :
c¡ J¡,g1t¡¡rat
Problema
. ^tg(xLa n¡€8nl;i;dx es sual satr consta¡res):
A) ts(x)e¿cc) B) !acos(x) c) e'c(xl
Problcma
UnaprilnitivaJe-xcos x) dx es:
l¡ e-"(sen(x)+
"o.,rr.
;hlxl+
ProblemaEl área el conjuntoimitadopor a gráfica e a tunción en(x), l eje OXv las co
x=0yx=2nes:
A) La ntesalf' se(x)dx y vale2.
B) La nteeralf¡ sen(x)ldx y val€ .
"¡."t *rat 1"*"1*)d.\
y vale .
Problemag
Laderi\adadelatuncióD(¡ , - | (i l )dr es :
3
J
31 8
A) 2x nr f+* c) x2 +
frobbm¡o
, l l fcrunrl l rnciónintegrabtedefinid¡enfa,bl.eláreadetconju¡rot imit¿doportagráñcafi f , . l doOX,y a!rect¿sx=ay= bes:
A) J'l(x)ldx nl fto¿. c)
Solucionesel est
t234s6789t0ACCBCBABCA
l l fG) l"dx
Ia¡](a,b)
Ac R
logt0x
l ¡x
R-
f:A+BDom(DIrn 0l
I'
I t rDtf(x)lf'
{t¡
t] )
J
jtt*lu'
J*t*)a*
55
8
2323
25
30
3l3131
18 6
18 6
18 7
18 7
18 7
187
18 7
187
279
279
303
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tm32
txlc. fI
¡1
exp(x,
6lifl f(x)
lim f(x)
lim f(x)
to
f(a)
cG)l;
le(x)lls9
78
78
87
9696125
r25t2s
126
126
308
308
r76t7617 7
Área, 303Asintotahorizont¡rl,4ll
oblicua,249vertical a derecha, 47
vertical a la izquierda,247
Cambiode ogari¡no, 25
de variable, 284
composiciónde ftnciones, 75
Conjuntoabi€rto, 6
acotado nferiormente,8
aootado up€riomente,8
Constante e nteg¡ación,279
reducido,Exponencial,3Expresio¡esdeteminadas,139
indeteminadas,139
Fórmulade ntegraciónpor partes,289
Funciónacotad¿,57
acot¿¿lanferiormente,56
acotada uperioment€,55
arco oseno, 16
arcoseno,115arco ang€nte, 117
cóncava,238constante,36continuaenun ntervaloabi€rto,
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Derivadade a tunción compuest4 192
de a tunción nversa, 193
de a sumao diferenciade dos
tunciones, 88
deun cocientede uncion€s, 191
deuna unción enünpunto, 177
delproductode dos irnciones,189del p.oductode un núm€ro ealPor
una unción, 189
Derivadasuc€sivas,87
DistanciaentrodosnrÍmeros,4
Dominio,31
Ecüacióndepdme¡ g¡ado, 9
deseguldo ¡ado, l
de erc€rglado, 13
racional, 18Ecuaciones egr¿dosuperio¡B res, 13
exponenpialeslogarltmic¿s,6
Entomo abierto, 5
de unpunto, T
15 9continuaen un intervalocerado,
159continuaen unPunto, 157
continuapor la derecha n unpunto, 157
continuapor ¡ izquierdaenunpunto,157convexat 38
cosecante,12coseno, 06cotangente,109
üeciente,170cuadnfica,4ldecrecie¡te, 170
defmid¿atroz$,7l
deriv¡bleen un ntervalo abiefo,l? 8
derivableenunpunto6, 177
derivada, 87diferencia 7J
elemental,281
32
cs0rl ' ! r i ¡hr,02csrrelIrncnle onóto¡a recienrc,
49csrrictamenteonóronaecre_
cienre, 9csrricrarnenteegativa, 8oslrictanenteositiva,4?cxponenciatnbase , 99cxponenciaiarural, 6idcnridad, Simpar,54inregrablen a,b], 305rnvcrsa,8
inyectiva, 70logarjrrno¡ base , 87rogarltmoepe.ia¡o, 3
rrr¡cr(nr¡ lcs,66l iDcales,6
polinómicas, 0üctonales, 2
Grafo, 33
rmagen, I
lndeterminación, 145
né,
11 7
: t49
4 @, l5 l
Limile eun¡ i l rei( ir n n punto, 25
Limites nel nl lni lo,13 7
infinitos, 137lateralesde una unción enun
punto, 126Logaritmo. 23Máximoabsoluto, 6
relativo 5lMétodode exhaución, 299
desustitución, 84Mlnimoabsoluto, 7
relativo,5l
Núrnero , 152
ordenadaen el origen, 37
dc -' l l i )pirr l , oldc L'lla)pitdl cncr.rlizr(ltl. 01
Segurdoeorema'u¡danrcDt¡lcl
cálcü1ó, 08
Semilaectasbiefas.5
Sis¡emasdein€cü¿cionespolinómic¡s.ló
Solución € a necuación ci()ral. '
deun sistem¿e necuacioncs.r'
Subinte alosde a partición , 102
SuFemo d€una unción, 56
Tabla ededvadas, 94
de as ntegales Dmediatas.81
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monótona, 70monótona reciente, 9
'nonótona ecrecienre, 9negativa,48par, 53pateentera, 9periódicadeperiodop, 8
porencra eexponent€ nreronega-rivo, 88
potenciadeexponenle atural, 87pote¡ciade exponent€ cional, 92potenci¿eexponenreeal, tO2potencra potenciat, 7producio, 3realdevariableeal, 3tsecanie! 12seDo,103
surna 73rangente, 09valorabsoluto, 2
|unciones lementales,5t4
1* , 15 3
0.ú,201
oo zo¿
*a, zoqInecuación eprimerg¡ado, 9
desegundorado,12de e¡cergr¿doy de$ado supe¡ior
a res, 15racional, 0
Í¡fimo deuna xnción, 57Integraciónde una unción, 2?9Integral eRiemann, 05
deuna unción n a,b] , 305definida,305definidadeu¡a tu¡ción, 303indeñnida, 79
Integralesnmediatas,28Integra¡do, 279Int€rvaloabie¡to, 5
Particióneun ntervalo4,b], 302
Pendient€,36Pdm€r eorema undamental el
cálculo,307Primitiva de una unción, 277
Prcpiedadese expon€nciales, 4
de a función xponencial,7de a integral, 304de a inealidad, 80
de ogaritmos, 24delcálculo epotencias, 2pa¡a ínites infinitos y en el infi-
nito, 140Puntode nfiexión, 239
sinsular, 225Puntos rlticos,225
Recorrido, 1Rectaeal, 2Reglade Balaow, 308
de acadena.192
Tangentela g¡áfica euna unción t
unpunto,186Tasa evariación¡stantáne¿, 76
devariaciónmedia, 176
Teoien¿deBolzano,168de osvator€sntermedios, 67
deRolle, 211
deweierstrass, 69del canbiodevariable, 09del valormedio,211
Topologla €R, 7
Variabledependiente,9independiente,29
325