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MATEMÁTICAS 4ºACT

IES “ANTONIO CALVÍN” 1

TEMA 1. REPASO

1. NÚMEROS NATURALES.

Cuando contamos los alumnos y alumnas de una clase o el número de losetas que

hay en el suelo, lo contamos con los números naturales. Los números naturales

son, como ya sabes, 0, 1, 2, ,…,10, 11, … ,100,101, … hay infinitos.

Los números naturales se representan sobre una recta del siguiente modo:

0 1 2 3 4 5

Los números naturales sirven para numerar. Por ejemplo, decimos que una alumna

es la 15º (decimoquinta) de la lista.

2. NÚMEROS ENTEROS

A veces para contar necesitamos números negativos:

Para Europa y América, el año -320 es el año 320 antes de Cristo.

Un saldo en el banco de -108 € significa que se deben 108 €

Los números enteros negativos junto con los naturales forman los números

enteros que se denominan Z. on ellos además de sumar y multiplicar, podemos

restar con la seguridad de que el resultado será un número entero.

Los números enteros se pueden representar sobre una recta:

… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 …

Todos los números naturales son mayores que los enteros negativos. Si a y b son

números naturales y a<b, entonces –a>-b

2.1 Valor Absoluto de un número entero

El valor absoluto de un númerro es la magnitud del mismo prescindiendo de su

signo. Se escribe así, x , y se define del siguiente modo:

El valor absoluto de un número natural es él mismo: 55 , 00

El valor absoluto de un número negativo es su opuesto: 77

Gráficamente, el valor absoluto de un número es su distancia al 0

3. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

3.1 Suma y resta.

Para sumar números positivos y negativos: Si los dos números tienen el

mismo signo, se suman y el resultado tiene ese mismo signo.

+3 +7=+10

- 3 -7=-10

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Si tienen signos distintos se restan y el resultado tendrá el signo del mayor.

-3 + 7 = +4

+3 – 7 = -4

Al suprimir un paréntesis que tiene delante un signo más, los signos

interiores no varían:

+(5 – 7 + 4) = 5 – 7 + 4 = 2

Al quitar un paréntesis que tiene delante un signo menos, los signos

interiores se cambian: mas por menos y menos por mas.

-(5 – 7 +4) = -5 + 7 – 4 = - 2

3.2 Multiplicación y división

En la multiplicación y la división se emplea la misma regla de signos, que es la

siguiente:

El producto de dos números es:

- Positivos si los factores tienen signos iguales.

- Negativo si los factores tienen signos distintos

3.3 Operaciones combinadas

En las operaciones combinadas, la regla de prioridad es:

1. Se hacen las operaciones que están dentro del paréntesis

2. Las multiplicaciones y las divisiones en el orden en el que aparecen.

3. Las sumas y restas

ACTIVIDADES

1) 6·4-5·6-2·3=

2) 15-6·3+2·5-4·3=

3) 5·(-4)+(-2)·4-(6·8-5)-3·(-6)=

4) 18-3·5+5·(-4)-3·(-2)=

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5) (-5)·(8-13) =

6) (2+3-6)·(-2) =

7) (+4)·(1-9+2):(-3) =

8) (-12-10):(-2-6-3) =

9) 13-[8-(6-3)-4·3] :(-7) =

10) 5·(8-3)-4·(2-7)+5·(1-6) =

11) 12·(12-14)-8·(16-11)-4·(5-17)=

12) 18-40:(5+4-1)-36:12 =

13) 4+36:9-50:[12+(17-4)]=

14) 48:[5·3-2·(6-10)-17]=

15) 3·4-15:[12+4·(2-7)+5] =

4 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE DOS O MÁS

NÚMEROS DE DOS O MÁS NÚMEROS

4.1 El mínimo común múltiplo (m.c.m) de varios números, es el menor de

sus múltiplos comunes. Para calcularlo se descomponen los números en factores

primos y de todos los factores se toman los comunes y no comunes elevados al

mayor exponente.

Así para calcular el m.c.m de 6, 5 y 4 habría que descomponer esos números en

sus factores primos:

6=1· 2·3

5=1·5 m.c.m (4,5,6)= 1·22·3·5=60

4=1·22

4.2 El máximo común divisor (M.C.D) es el mayor de sus divisores comunes.

Para calcularlo se descomponen los números en factores primos y se toman sólo

los factores comunes elevados al menor exponente.

Para calcular el MCM de 30, 5 y 20, se descompondrían en sus factores primos:

30= 1·2·3·5

5=1·5 M.C.D (5,20,30)= 1·5=5

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20=1·22·5

5 NÚMEROS RACIONALES.

Para medir, suele ser necesario fraccionar la unidad. De aquí surge la idea de

número fraccionario: La mitad, la quinta parte, la milésima parte… de la unidad.

Son números fraccionarios: 1000

145;

100

1;

7

4;

5

3;

5

1,

2

1

En todas estas fracciones, el numerador es menor que el denominador y por tanto

son partes de la unidad.

También son fraccionarios los números:5

34

5

23;

2

13

2

7

Cada uno de ellos se componen de varias unidades enteras más una fracción de la

unidad.

También son fraccionarios los números representados por fracciones negativas.

Los números fraccionarios complementan a los enteros dando lugar, entre todos a

los números racionales, Q. Los elementos de Q se caracterizan porque se

pueden poner en forma de fracción:

1

00;

1

55;

4

17;

7

1

6 OPERACIONES CON FRACCIONES.

6.1 Simplificación de fracciones.

Si el numerador y denominador se puede dividir por el mismo número, al hacerlo

decimos que la hemos simplificado o reducido.

Por ejemplo:

3

2

4500

3000;

3

2

6

4

12

8;

5

3

25

15

Cuando una fracción no se puede reducir más diremos que es una fracción

irreducible.

6.2 Fracciones equivalentes.

Cada número racional se puede expresar mediante infinitas fracciones:

...15

9

10

6

5

3

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Se dice que dos fracciones son equivalentes cuando se simplifican dando lugar a la

misma fracción irreducible.

6.3 Comparación de fracciones.

Dos fracciones con distinto denominador resultan difíciles de comparar. Por eso para

comparar fracciones, las “reducimos a común denominador”, es decir, buscamos

fracciones respectivamente equivalentes a ellas y que tengan el mismo

denominador. Este denominador común debe ser un múltiplo común de los

denominadores de partida, preferiblemente el mínimo común múltiplo de ellos.

Por ejemplo, comparemos 4

3y

5

4,

6

5 . El mcm de los denominadores es 60.

60:6=10 60

50

10·6

10·5

6

5

60:5=12 60

48

12·5

12·4

5

4

60:4=15 60

45

15·4

15·3

4

3

6.4 Suma y resta de fracciones.

Para sumar o restar fracciones, tienen que tener el mismo denominador, y

se suman o restan los numeradores y se mantiene el denominador:

60

143

60

604845

60

50

60

48

60

45

6

5

5

4

4

3

3

23

3

21

3

2

1

7

3

27

3

2

6.5 Producto de fracciones.

En el producto de dos fracciones, se multiplican los numeradores y los

denominadores, obteniendo una nueva fracción.

20

6

4

3·

5

2

6.6 Cociente de fracciones.

Ahora tienen el mismo denominador y basta

compararlos numeradores:

6

5

5

4

4

3

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El cociente de fracciones se realiza “en cruz”, es decir, el numerador de la

primera fracción por el denominador de la segunda es el numerador del resultado y

el denominador de la primera por el numerador de la segunda es el denominador de

la fracción resultado

15

8

4

3:

5

2

Si el cociente está expresado mediante fracciones se realizará “multiplicando los

extremos dividido del producto de medios”

15

8

4

35

2

Las dos son formas de expresar un cociente y por tanto la misma operación.

ACTIVIDADES

Calcula:

1) 5

)3(·

3

2 =

2) 15

7:

5

4

3

2 =

3)

14

3

14

3

2

1

=

4)

5

6

3

4·)2(

3

1

5

3·)3(

=

5) 3

2

6

13

6) 2

75

3

22

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7) 3

12

2

3

8) 23

15 =

9) 32

5 de 224

10) 8

17 de 120

11) 16

1

8

1·

4

1

2

1

12) 15

2

4

32

4

1

5

3

13) 4

1

3

1·

2

1

4

3

3

11

14) 20

3

3

2

2

1

4

31

3

1

5

3=

15) 3

1

6

5·

6

1

2

1

4

3·

3

2=

16) 4

1

2

1:31

4

2:5 =

17)

2

11

2

11

18)

3

53

3

53

19)

4

3

10

75

3

4

1

Comprueba que el resultado de estas operaciones es un número entero:

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20) 2

1

3

1

5

23·1

6

1

21) 2

11:3

2

1

6

1:2

7 POTENCIACIÓN.

7.1 Potencias de exponente natural.

El producto a · a · a · a · a tiene sus cinco factores iguales. Este producto se indica

de forma abreviada así: a5

a7 se llama potencia, y el factor a, base

El número de veces que se repite el factor se llama exponente.

7.2 Propiedades

Si m y n son números naturales distintos de cero, se cumple:

am · an = am+n por ejemplo: 23 · 25 = 28

am · bm = (a · b)m por ejemplo: (2 · 3)4 = 24 · 34

(am)n = am·n por ejemplo: (33)2 = 36

am : an = am-n por ejemplo: 4

3

7

55

5

am : bm = (a:b)m por ejemplo: 7

77

3

5

3

5

n

m

n m aa por ejemplo: 3

2

3 2 55

Cualquier número elevado a 0 es la unidad

Por ejemplo 1333

3 022

2

2

Una potencia de exponente negativo, expresa la inversa de esa potencia, es

decir a-n = na

1 por ejemplo

7

7

5

15

ACTIVIDADES

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1)

42

3

5·

5

3

2) 4

44

9

3·6

3) 22

234

9·6

4·3·2

4) 3 62 =

5) 67

6) 14

3 =

7) 5 103

8) 4 125 =

9) 4 256

Reduce y expresa como potencia:

10) 5

77

6

3·2 =

11) 4

3

6

12

12) 6

32

3

3

Calcula:

13) 5 15a =

14) 6 183

15) Ordena de menor a mayor: 2-3, 2-1, 20, 2-2, 2-4

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16) Expresa como una potencia de 3:

321

3

1

3

1

3

1

17) Reduce y expresa como una potencia:

12

12

8·15

5·12

Calcula:

18) 5 102

19) 126 a

20) 7 213 =

21) En un puesto de frutas y verduras, los 6

5 del importe de las ventas de un día

corresponden al apartado de frutas. Del dinero recaudado en la venta de fruta, los

8

3 corresponden a las naranjas. Si la venta de naranjas asciende a 89€, ¿qué caja

ha hecho el establecimiento?

22) En un depósito, el lunes había 3000 litros de agua y estaba lleno. El martes se

gastó 6

1 del depósito. El miércoles se sacaron 1250 litros. ¿Qué fracción queda?

23) Los 8

3 de un poste están pintados de blanco; los

5

3 del resto, de azul, y el

resto que mide 1,25 m de rojo ¿Cuál es la altura del poste? ¿Cuánto mide la parte

pintada de azul?

24) Un vendedor ambulante lleva una cesta de naranjas. En la primera casa que

visita vende la mitad de las naranjas más media. En la segunda casa vende la

mitad de las que le quedaban más media. En la tercera y la cuarta casa, repite la

mima operación, con lo que se le agota la mercancía ¿Cuántas naranjas llevaba?

NOTA: En ningún momento parte naranjas

25) De un solar se venden primero los dos tercios de su superficie y después los

dos tercios de lo que quedaba. El ayuntamiento expropia los 3200 m2 restante para

un parque público. ¿Cuál era la superficie del solar?

Reduce a una sola fracción cada una de las siguientes expresiones

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26) 16

1

8

1

4

1

2

1

27) 15

2

4

32

4

1

5

3

28) 4

1

3

1

2

1

4

31

3

1

29) 20

3

3

2

2

1

4

31

3

1

5

3

30)

6

7

3

5

9

8·

4

3

31)

14

3

2

17

13

8

1

2

1

4

38

1

2

11

Elimina paréntesis y simplifica:

32) (2 · 3 · 5)4 =

33) (-3)5 : ((-3)3 =

34) 4

2

)3(

6

35) 324 )4(:)2(·2 =

36) c·)ab(

)c·b(·a3

22

Calcula:

37) (-2)4=

38) -24=

39) (-2)3=

40) -23=

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41) 2-3=

42) (-2)-3=

43) (-1)16=

44) (-1)17=

45) (-1)8723=

Reduce:

46) 3

2

)3(

3

47)

42

2

3·

3

2

48)

23

4

1:

2

1

49)

32

5

2:

5

2

50) 23

223

9·6

4·)3(·2

51)

23

2

1

52)

23

4

5

8

9:

4

7

2

3

53)

222

13

2:

6

5

3

4

3

2

6

1

54) 49

7

3

1·

4

3

2

312

8. APROXIMACIONES DECIMALES Y ERRORES

Aproximaciones decimales por exceso y por defecto.

Cuando queremos hacer la aproximación de un número, conocido su valor exacto,

por ejemplo 4,816666…, lo podemos hacer por defecto, 4,81 o por exceso, 4,82.

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Diremos pues que: “Un valor aproximado lo es por exceso cuando resulta mayor

que el valor exacto al que sustituye y por defecto cuando es menor

Aproximaciones decimales por redondeo.

El redondeo es una técnica que consiste en sustituir un número por el más

próximo a él de entre todos los que tienen la cantidad de cifras deseada.

Reglas de redondeo:

La cifra a la que se redondea se deja como está si la que le sigue es menor

que 5

A la cifra a la que se redondea se le suma una unidad si la que le sigue es 5

o mayor que 5.

Por ejemplo, al aproximar el número П = 3,141592654….. a las centésimas, se

obtiene 3,14, que es el valor más utilizado. Y si lo aproximamos a las milésimas

obtendríamos 3,142.

ACTIVIDADES

55) Indica si las siguientes aproximaciones de 5 = 2,23606797… lo son por

defecto o por exceso:

a) 2,2

b) 2,23

c) 2,24

d) 2,236

e) 2,23607

f) 2,5

56) Escribe las aproximaciones por defecto y por exceso a la primera cifra decimal

de los siguientes números e indica después cuál de las dos aproximaciones

constituye su redondeo a las décimas:

a) 6,23

b) 6,28

c) 0,55

d) 0,59

e) 72,471

f) 5,777…

Control del error cometido

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El error absoluto de una aproximación decimal es el valor absoluto de la

diferencia entre el valor exacto y el aproximado.

En general, el error absoluto es desconocido pero puede controlarse. Por

ejemplo, cuando decimos que la altura de un árbol es 47m, aproximadamente, es

posible que podamos asegurar que mide entre 46,5 m y 47,5 m. En tal caso el

error cometido sería error que 0,5m

Error absoluto < 0,5 m

Cuando medimos experimentalmente, es difícil saber cual es el valor exacto,

ya que siempre cometemos errores, en este caso haremos varias medidas, y

tomaremos como valor exacto la media aritmética de los valores obtenidos.

Siguiendo con el ejemplo del árbol, no es lo mismo decir que el error de medición

es menor que 0,5 m cuando medimos la altura de un manzano, o la de un enorme

ciprés. Por eso se define el error relativo como el cociente entre el error absoluto y

el valor exacto.

Por ejemplo:

Raquel y su hermano pequeño han ido a medirse a la farmacia. Según la máquina,

tienen una estatura de 1,62 m y 0,68 m, respectivamente. Sin embargo para

acordarse mejor, Raquel redondea a 1,60 m y 0,70 m ¿Qué error comete con estas

aproximaciones?

El error absoluto:

Error absoluto = valor exacto - valor aproximado

Raquel → Error absoluto = 1,62 – 1,60 = 0,02

Hermano → Error absoluto = 0,68 – 0,70 = 0,02

En los dos casos se comete un error de 2 centésimas

El error relativo:

Error relativo = exactovalor

absolutoerror

Raquel → error relativo = 01,062,1

02,0

Hermano → error relativo = 03,068,0

02,0

Como 0,01<0,03, es mejor la primera aproximación

ACTIVIDADES

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57) Juan y Luis han obtenido la expresión decimal 20,47813 como solución de un

ejercicio. Juan redondea a la primera cifra decimal, mientras que Luis prefiere

hacerlo a la tercera cifra decimal. ¿Cuál es el error absoluto y el relativo?

58) Si la velocidad de crecimiento del cabello humano es 1,6·10-8 km/h, ¿cuántos

cm crece el pelo en un mes? ¿Y en un año?

59) En 18 g de agua hay 6,02·1023 moléculas de este compuesto. ¿Cuál es la masa

en gramos de una molécula de agua?

60) Asocia cada uno de estos números con una de las cantidades dadas:

NÚMEROS

5,8·1031

1,5·10-1

9,1·10-31

CANTIDADES

Paso de un tornillo en mm

Masa del electrón en kg

Masa de la Tierra en Mg

61) ¿Cuál de las aproximaciones 2,5 ó 2,6 es la más próxima a 7

18? Calcula el

error absoluto cometido en cada caso.

62) Escribe una aproximación de los siguientes números con 6un error menor que

cinco milésimas:

a) 5,7468

b) 12,5271

c) 8,0018

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