MATEMÁTICAS BÁSICA 2 – VECTORES Y MATRICES CON NÚMEROS COMPLEJOS -

AleiveNota adhesivawww.ALEIVE.org

MATEMTICA BSICA 2VECTORES Y MATRICES

C O N N M E R O S C O M P L E J O S

QUINTA EDICIN 2005

Impreso en: Ediciones

Jr. Loreto 1696 Brea Telefax: 423-8469 e-mail: ed ic [email protected]

Todos los derechos reservados conforme al Decreto Ley N 26905

H ECH O E L D E P S IT O L E G A L N 1501052001-3466 R A Z N S O C IA L : R IC A R D O F IG U E R O A G A R C IA

D O M IC IL IO : Jr. Loreto 1696 Brea

Prohibida su reproduccin por cualquier medio, total o parcialmente, sin el previo permiso escrito

del autor.

0 3 3 X 0 3

Dada la gran acogida que le d ispensaron los estudiantes a la ediciones preliminares de esta obra, explica la aparicin de esta nueva edicin ampliada a nueve captulos, en la que se han hecho las modificaciones necesaria s con el propsito de hacer m s asequible su lectura, pues la obra proporciona una excelente preparacin para el estudio de cu rso s superiores como el An lisis Matemtico y sobre todo, el A lgebra Lineal.

El estudiante que ha llegado a este curso ya tiene conocim ientos del Algebra y la Geometra elemental E s a si que en el primer captulo se desarrolla la relacin que existe entre estos d o s g randes cam pos de la matemtica, esto es, el estudio

de la tcnica de los vectores en el plano (sistema bidimensional). En este capitulo, antes de definir un vector bidimensional, se

presenta el e spacio numrico bidimensional denotado por R J En los captulos 2 y 3 se estudian, por separado, las rectas en el

plano y su s aplicaciones, respectivamente En el captulo 4 el sistema bidimensional se extiende al tridimensional, el cual se

denota por R : Lo s captulos 5 y 6 proporcionan una introduccin vectorial a la geometra analtica slida al estudiar rectas y p lanos

en R 3 En el captulo 7 se introduce el estudio de los nmeros complejos, que si bien es cierto, tienen gran semejanza con los

vectores en R \ no se debe confundir con estos dos conjuntos de

pares ordenados que tienen naturaleza cualitativamente diferentes En el capitulo 8 se hace referencia al estudio de las matrices de acuerdo con su dimensin o tamao y su s

aplicaciones a la solucin de ecuaciones lineales. Finalmente, en el captulo 9 se expone la teora de los determinantes de particular

importancia en la teora de las matrices y su s numerosas aplicaciones
mailto:[email protected]

IN P r logo

C on este libro se tiene la intensin de desarrollar la

capac idad del estudiante y crea en l hbitos de rutina

matemtica; esto es, la exposicin terica e s acom paada de

num erosos ejemplos ilustrativos y ejercicios con su s respuestas

d adas al final del libro, los cuales, indudablemente, ayudarn al

estudiante a adquirir destreza y afirmar el dom inio de la materia.

Por ello, se recom ienda que los ejercicios propuestos se resuelvan

sistemticamente, toda vez que su solucin obedece a un criterio

de aprendizaje progresivo.

Mi reconocim iento a todos los am igos profesores que

tuvieron la gentileza de hacerme llegar su s sugerencia s y

o b se rv a c io n e s a la s e d ic io ne s p re lim inares. S u s c rt icas constructivas hicieron posible corregir, mejorar y ampliar esta

n u e va ed ic in . A s m ism o d e se o e x p re sa r un e sp e c ia l

reconocim iento a E d ic io n e s R F G cuyo personal no ha escatimado

esfuerzos para resolver las dificultades inherentes a la publicacin

del texto.

El autor

V

Q

CONTENIDO

V EC TO R ES EN E L PLANO 1

1 . 1 Coordenadas rectangulares 11 .2 R J como espacio vectorial 51.3 Representacin geomtrica de un vector en el plano 91.4 Magnitud y direccin de un vector en el plano 121.5 Adicin de vectores en el plano 161.5.1 Representacin grfica de la sum a de vectores en el plano 171.6 Multiplicacin de un esca lar por un vector 201.7 Vectores paralelos 291 .8 Producto esca lar de vectores 361.9 Angu lo entre dos vectores 511 . 10 Descom posic in de vectores 591 . 1 1 Proyeccin orotogonal 661 . 1 2 Area del paralelogramo y del tringulo 821.13 Dependencia e independencia lineal de vectores 901.14 Los vectores y la geometra elemental 1061.15 Los vectores y la fsica 116

G RECTAS EN E L PLANO 1252.1 Recta que pasa por dos puntos 1252.2 Segm entos de recta 1272.3 Divisin de un segmento en una razn dada 1292.4 Puntos que estn sobre una recta 1332.5 Pendiente de una recta 1372.6 Forma general de la ecuacin de una recta 1482.7 Forma punto pendiente 1502.8 Forma pendiente y ordenada al origen 1512.9 Forma absc isa y ordenada al origen 1512.10 Forma simtrica 152

Contenido

APLICAC ION ES DE LA RECTA 163

3.1 Distancia de un punto a una recta dada 1633.2 Interseccin de rectas 1713.3 Angu lo entre d o s rectas 180

V ECTO R ES EN E L ESPACIO 193

4.1 El espacio tridimensional 1934.2 Vectores en el espacio 1944.3 Direccin de un vector en el espacio 1994.4 Producto esca lar de do s vectores en el espacio 2024.4.1 Angu lo entre d o s vectores en R 1 2044.5 Proyeccin ortogonal y componentes 2124.6 Combinacin lineal de vectores en R ' 2184.7 El producto vectorial 2234.8 El producto mixto de vectores 2384.8.1 Prop iedades del producto mixto de vectores 2394.8.2 Interpretacin geomtrica del producto mixto 240

RECTAS EN E L ESPACIO 249

5.1 Ecuacin vectorial de una recta en el e spacio 2495.2 Posic iones relativas de vectores en el espacio 2545.3 Aplicaciones de la recta en el e spacio 262

PLANOS EN E L ESPACIO 269

6.1 Ecuacin vectorial de un plano 2696.2 Distancia de un punto a un plano 2776.3 Intersecciones de p lanos 2816.4 Familia de planos que pasan por la interseccin

de dos planos 2856.5 Intersecciones de rectas y p lanos 290

LOS NUMEROS COM PLEJO S ___________________________301

7.1 El conjunto de los nmeros complejos 301

Contenido VII

7.2 R como subconjunto de C 3087.3 Forma cartesiana de un nmero complejo 3097.4 Representacin geomtrica de los nmeros complejos 3117.4.1 Representacin grfica de la sum a y diferencia 3117.5 Mdulo de un nmero complejo 3127.5.1 Prop iedades del mdulo de un nmero complejo 3237.6 La raz cuadrada de un nmero complejo 3287.7 Lugares geomtricos en C 3327.7.1 La lnea recta 3327.7.2 La circunferencia 3337.7.3 La parbola 3347.7.4 La elipse 3367.7.5 La hiprbola 3377.8 Forma polar de un nmero complejo 3457.9 Potenciacin de nmeros complejos 3517.10 Radicacin de nmeros complejos 3557.10.1 Ecuac iones cuadrticas con coeficientes complejos 3577.10.2 Ra ce s primitivas de la unidad 3547.11 La exponencial compleja 361

MATRICES___________________________________ 379

8.1 Introduccin 3798.2 Definicin 3798.3 Orden de una matriz 3808.4 Igualdad de matrices 3818.5 Tipos de matrices 3828.6 Sum a de matrices 3838.7 Producto de un escalar por una matriz 3858.8 Multiplicacin de matrices 3878.9 Prop iedades de la multiplicacin de matrices 3928.10 Matrices cuadradas especia les 4048 .10 .1 Matrices simtricas 4048.10.2 Matriz antisimtrica 4058.10.3 Matriz identidad 4068.10.4 Matriz diagonal 4098.10.5 Matriz escalar 4098.10.6 Matriz triangular superior 4108.10.7 Matriz triangular inferior 4108 .10.8 Matriz peridica 4108.10.9 Matriz transpuesta 4148.10 .10 Matriz hermitiana 416

vni Contenido

8.10 . 1 1 Matriz inversa 4178 .10 . 12 Inversa de una matriz triangular 4198.11 Transform aciones elementales 4278.1 1 . 1 Transformacin elemental fila 0 columna 4278.1 1 . 2 Matriz e scalonada 4288.11.3 Matrices equivalentes 429

8.11.4 R ango de una matriz 430

8.11.5 Matrices elementales 431

8 .1 1 .6 Inversa de una matriz por el mtodo de las matriceselementales (Mtodo de G a u s s - Jordn) 434

8.12 S istem as de ecuaciones lineales 4408.13 Ran go de un sistema de ecuaciones lineales 449

8.14 S istem as hom ogneos de ecuaciones lineales 456

DETERM INANTES 465

9.1 Definicin 465

9.2 Prop iedades de los determinantes 466

9.3 Existencia de los determinantes 473

9.3.1 Menor de una componente 474

9.3.2 Cofactor de una componente 475

9.4 Clculo de determinantes de cualquier orden 479

9.5 Otras aplicaciones y propiedades de los determinantes 499

9.5.1 Regla de Sarru s 499

9.5.2 Clculo de determinates mediante la reduccin a la formaescalonada 501

9.5.3 Prop iedades multiplicativas 511

9.5.4 R ango de una matriz 516

9.5.5 Adjunta de una matriz 523

9.5.6 Inversa de una matriz 525

9.5.7 Matrices no singu lares 538

9.5.8 Resolucin de sistem as de ecuaciones en dos variables 543

9.5.9 Resolucin de sistem as de ecuaciones de tres variables 544

R e sp u e s ta s a lo s e je rc ic io s p ro p u e sto s 552

B ib liogra fa 572

A] VECTORESEl El PUMO' o ^

( l .1 j C O O RD EN A DA S R ECTANGU LAR ES____________________

El propsito de esta seccin e s el de definir el concepto de par ordenado de elementos, introducir una notacin para representar tales pares y definir y estudiar

operaciones algebraicas sobre pares ordenados de nmeros reales. Em pecem os entonces a definir el producto cartesiano de dos conjuntos.

DEFINICION 1.1 E l producto cartesiano de dos conjuntos

S i A y B son dos conjuntos dados, entonces el producto cartesiano de A y B , denotado por A x B , e s el conjunto de todas las posibles parejas o rdenadas {a , b) para las cuales la primera componente es un elemento de A y la se gunda componente e s un elemento de B. En sm bolos escribimos :

A x B = { (a , b)\a e A , b e B }V _________________________________

Por ejemplo , s i A = { 2 , 3 , 5 } y B = { a , & } , entonces

A x B = { (2 , a) , (2 , b ) , (3 . a ) , (3 , b) , (5 , a ) , (5 , b ) }

El producto cartesiano con el que trataremos en este libro e s R x R, denota

do mediante R 2, que se define como el conjunto infinito de parejas ordenadas de

nmeros reales. En sm bolos :

R x R = { (x , y) | x e R . y e R }

A s como el conjunto R de los nmeros reales es representado geomtricamente por

una recta real, el conjunto R 2 se representa geomtricamente mediante un plano llamado plano real.

Captulo I: Vectores en el plano

El plano real consta de dos rectas perpendiculares entre si, llamados ejes de coordenadas, y su punto de interseccin O se llama origen de coordenadas. La s cuatro regiones en los que los ejes de coordenadas dividen al plano se llaman cuadrantes, y se numeran I , II, III y IV como se muestra en la Figura 1.1.

La s distancias desde O a los puntos sobre los ejes son distancias dirigidas, es decir positivas a la derecha y negativas a la izquierda sobre el eje X y positivas

hacia arriba y negativas hacia abajo sobre el eje Y. La Figura 1.1 muestra los s ig no s

de los componentes de cada par (x , y) en los cuatro cuadrantes.

fY i

1 1

i

I(+.+)

o(

I I I

F A

IV(+. -)

V

c

Y i

y y

- \

k 11

h________ u b s c i s iJ ________ ^ f >')11

i

o

V

X

J

FIGURA 1.1 F IGURA 1.2

Estab lezcam os ahora una correspondencia biunvoca entre los puntos Pdel

plano y los elementos (x , y) de R :. El asociar a cada par ordenado (x , y) un punto P

se lleva a cabo como sigue :

1. Por el punto que corresponda al nmero x sobre el eje horizontal (eje de absc i

sa s) se traza una recta paralela al eje vertical.

2. Por el punto que corresponda al nmero y sob re el eje vertical (eje de ordena

das) se traza una recta paralela al eje horizontal.

3. Al punto de interseccin P de estas rectas se le asocian las coordenadas (x , y).

P se llama la grfica de (x , y) o simplemente el punto (x , y).

O b s rve se que todo P del plano determina un par (x , y) de nmeros reales, que son

su absc isa y su ordenada, y recprocamente, todo par (x , y) determina un punto P

(Figura 1.2). Este medio de establecer una correspondencia uno a uno (biunvoca)

se llama sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas.

Debido a que existe esta correspondencia uno a uno, si dos pares ordenados co

rresponden al m ismo punto, los pares deben ser iguales. Tenem os entonces la s i

guiente definicin.

Seccin 1.1: Coordenadas rectangulares 3

DEFINICION 1.2 Igualdad de pares ordenados

v_

La igualdad de pares (a , b) y (c , d) se define con

{a ,b ) - { c ,d ) a = c y b =d

Ejemplo 1 ^ Para qu valor o valores de x se tiene que (2x2 - 7 x + 1 . 3 x - 1) = (-2 , 8)

Solucin. De la Definicin 1.2 , se sigue que :(2x: - 7x + 1 = -2) a (3x - 1 = 8)

de donde : (2x3 - 7x + 3 = 0) a (3x - 9 = 0) (x = 3 x = 1/2) a (x = 3)El nmero que bu scam os es la solucin comn , esto es, x = 3

Ejemplo 2 J Hallar los elementos del conjuntoA = { (x , y) I (2x2 + 7 x , 4 y2 - 19y) = (x , -12) }

Solucin. Se g n la Definicin 1.2, se debe cumplir que :(2x: + 7x = x) a (4y: - 19y = -12)

(2x2 + 6x = 0) a (4y: - 19y + 12 = 0) (x = 0 x = -3) a (y = 3/4 y = 4)Por lo tanto : A = { (0 , 3/4) , (0 . 4 ). (-3 , 3/4) , ( - 3 , 4 ) }

Una propiedad importante que debe recordarse e s que si se emplea una

m ism a escala en am bos ejes coordenados, entonces la distancia que separa a dos

puntos A ( x , , y,) y B ( x , , y :) en el plano es. por definicin, la longitud del segmento de

recta que los une. El siguiente teorema establece una frmula de la distancia en

trminos de las coordenadas de los dos puntos.

TEOREMA 1.1 Frmula de la distancia

D ado s dos puntos A (x ( , y,) y B ( x . , y,) en el plano, la distancia

entre los d o s puntos viene dada por la frmula

d ( A , B) = V(x, - x,): + ( y , - y , ) :.________________________________________________________________

Demostracin. La demostracin se b asa en el teorema de Pitgoras. En efecto, en el tringulo rectngulo A C B de la Figura 1.3

I A"B I - = I C I - + IC B I

= I x 2 - x, 1 2 + 1 y, - y , |2y de aqu obtenemos :

d{A , B) = V(x, - x,)- + (y, - y ,)2

4 Capitulo 1: Vectores en el plano

E j e m p lo 3 ) Demuestre que el tringulo A B C con vrtices A (1 , -3), B (3 , 2) y C (-2 , 4) e s un tringulo issceles.

Demostracin. La frmula de la distancia daI A B I = V(3 - 1): + (2 + 3)- = \29 IB C | = V(3 + 2) + (2 - 4)- = V29

I A C j = V(1 + 2): + (-3 - 4)- = V58 Dado que I A B I = j B C I , queda probado que el tringulo A B C e s issceles.

Com o I A B I - + I B C 12 = I A C 1 2 , la recproca del teorema de Pitgoras implica ade m s que A B C e s un tringulo rectngulo.

EJERCICIOS : Grupo 1

En los ejercicios 1 - 6, determine para qu nmeros reales la ecuacin e s vlida. S i no existe solucin, indquelo.

1 . (x - 2y , 2x + y) = (-1 , 3) 4. (x2 + 2x , 2 x2 + 3x) = (-1 , - 1 )2 . (2x + 3y , x + 4y) = (3 , -1 ) 5. (x2 - y 2 , 4) = (12 , xy * y 2)3. (x2 - 2x , x2 - x) = (3 , 6) 6. (x2 - xy , 3) = (12 , x y - y 2)7. Hallar los elementos del conjunto

S = {(x , y) I (x2 + 2 xy , 3 x2 + 2 y 2) = (16 , 4 xy + 6)}8. Hallar los elementos del conjunto

S = {(x , y) I (x3 - y3 , 6) = (19 , x2y - xy2)}

Seccin 1.2: R: como espacio vectorial 5

9. Se an los pares ordenados A = (2x + y - 3 , 5y - x - 8) y B = (x + 3y - 11 , 2x + 3y + 4); si A = B, encontrar el valor de S = 4x + 5y

10 . Determ nese grficamente las coordenadas del punto I de interseccin de la recta que pasa por A(2 , 3) y B (-1 , 4) y la recta que p asa por C(-1 , 0) y D(-2 , 3).

11. Hallar x de modo que la distancia de A(2 , -1) a B (x , 2) se a 5.

12. Demuestre que los puntos A(-4 , 4), B (-2 , -4) y C (6 , -2) son los vrtices de un tringulo issceles.

13. Probar que los puntos A (4 , 0), B (2 , 1) y C(-1 , -5) son vrtices de un tringulo

rectngulo.

14. U sar la frmula de la distancia para determinar que los puntos A(-2 , -5), B(1 , -1)

y C (4 , 3) estn sobre una recta.

15. Demuestre que M ^ t, e s punto medio del segmento cuyos extre

m os son los puntos A(a , b) y B(c , d)

I^ T ) R 2 COMO E SPAC IO V ECTO R IA L________________________

Tom ando al conjunto R de nmeros reales hem os construido el producto

cartesiano R x R, al cual sim bolizamos por

R- = { (x , y) I x e R , y R }

Un hecho de fundamental importancia en este conjunto e s que podemos

definir en l dos operaciones entre su s elementos sim ilares a la adicin y multiplica

cin de nmeros reales. Este hecho hace que tal conjunto tenga una estructura

algebraica llamada espacio vectorial y que, por tanto, no s podam os referir a l no so lo como el el conjunto R 2, sino como el espacio R :. La s operaciones que defini

m os en R 2 son :

DEFINICION 1.3 Adicin de pares ordenados de nmeros reales

S i A = (a, , a:) y B = (bl , b2) son dos pares ordenados en R 2, definimos su suma como

A + B = (tf, + 6, , a z , b2)A la operacin que a cada par le hace corresponder su sum a la llamaremos

adicin de pares ordenados.

Por ejemplo, si A = (3 , 5) y B (l , -8), entonces :A + B = ( 3 + l , 5 + (-8)) = (4 , -3)

6 Captulo I: Vectores en el plano

DEFINICION 1.4 Multiplicacin de un nmero real por un par ordenado

S i A = (at , a,) e s un elemento de R 2 , y r e s un nmero real(llamado escalar), definimos su producto como

rA = ( ra , , rt,)

A la operacin que hace corresponder a cada nmero real y cada par ordenado

su producto escalar la llamaremos multiplicacin de un nmero real por un parordenado.

Por ejemplo, si A = (-2 , 6) y r = 3/2 , entonces :

r A = y (-2 , 6) = ( y (2), y (6)) =(-1,9)

Obs rve se que, segn estas definiciones, tanto la sum a de pares como la

multiplicacin de un escalar por un par ordenado, son nuevamente elementos de R 2.

Por ello se dice que estas operaciones son cerradas en R 2.E sta s do s operaciones gozan de prop iedades muy importantes que se indi

can en el siguiente teorema.

TEOREMA 1.2 Propiedades de los pares ordenados

Dado s los pares ordenados A, B, C e R 2 y los escalares r, s e R, se cumplen las siguientes propiedades para la adicin de pares ordenados y la multipli

cacin de esca lares por pares ordenados.

A, : S i A, B e R : =* (A + B) e R 2 (C lausura)A 2 : S i A, B e R : => A + B = B + A (Conmutatividad)A 3 : S i A, B, C R 2 (A + B) + C = A + (B + C) (Asociatividad)A 4 : Propiedad del elemento identidad para la adicin de pares

3 ! 0 e R 2|A + 0 = 0 + A = A , V A e R : (0 = (0 ,0))

A s : Propiedad del elemento inverso para la adicin de pares

3 ! - A 6 R 2 1 A + (-A) = (-A) + A = 9 , V A e R 2 M, : S i r g R y A e R 2 r A e R 2 (C lausura)M 2 : 3 l e R I l A = A , V A e R 2 (Ex istencia del elemento neutro)D, : r (A + B) = r A + r B , V r e R , V A , B e R 2 (Ley distributiva)D2 : (r + s)A = rA + sA , V r , s e R , V A e R 2 (Ley distributiva)D 3 : r(sA ) = (rs)A , V r , s e R , V A e R 2 (Ley distributiva)

S e deja al lector la demostracin de cada una de estas propiedades haciendo uso

de las propiedades respectivas de los nmeros reales.

Seccin 1.2: R: como espacio vectorial 7

DEFINICION 1.5 E l espacio vectorial

El espacio vectorial V e s un conjunto de elementos, llamados vectores, junto con un conjunto de elementos, llamados escalares, con dos ope raciones llamadas adicin vectorial y multiplicacin cscalar\a\es que para cada par de vectores A y B en V y para todo escalar r, un vector A + B y un vector i A

estn definidos de tal forma que las propiedades del Teorema 1.2 se satisfacen.

El Teorema 1.2 nos demuestra que el conjunto R 2 e s un espacio vectorial sobre R. denotado por V,. Por tanto a los pares representados por ( x , y) tambin los

llamaremos vectores.

DEFINICION 1.6 Vectores en el plano

Un vector en el plano e s un par ordenado de nmeros reales

de la forma y B = ( x , , y , ) , podem os definir

1. S i A = B (x, = x,) a (y, = y,) (Igualdad de vectores)2. A + B = (x, + x , , y, + y,) (Definicin 1.3)

3. r A = (r x, , r x,) (Definicin 1.4)

Ejemplo 1 ] S i A = (-2 , 3) y B = (4 , -1), hallar el vector V = 2A + 3B

Solucin. S i V = 2(-2 , 3) + 3(4 , - 1) V = (-4 , 6) + (12 , -3) (Def. 1.4)= ( - 4 + 1 2 , 6 - 3 ) (Def. 1.3)

= (8 , 3)

1 Ejemplo 2 j Hallar el vector x en la ecuacin2(-1 , 2) + 3x = (4 , -5)

Solucin. S u p on gam os que x = (x, , x,), entonces en la ecuacin dada :

8 Captulo l: Vectores en el plano

2 (-2 , 4) +


DEFINICION 1.7 Vector Localizado

Un vector localizado en R : e s una pareja de puntos P t y P, que se indican con P P, para los cuales P, e s el punto inicial o de partida y P, e s

el punto final o de llegada (Figura 1.6). S i una flecha tiene como punto inicial a

p ,(x , . >',) Y a p2(x r >'i) como punto final, entones la flecha P,P, e s una represen

tacin geomtrica del vector V = (x . y ) , donde :

= < \; - \ 1 (1)

S i consideram os a P l y P, como vectores de posicin de los puntos ?! y P,

entonces, segn la Definicin 1.7 :

V = p p = p - p12 *2 *1de donde :

i'v + p, = *.) (2)

Esta ecuacin nos permite conocer analticamente el punto final P, del vector V co

nociendo, desde luego, el punto inicial y las componentes del vector V.

I O B S E R V A C IO N 1.1 Un vector en R : puede se r conside rado com o una funcin

cuyo dominio y rango e s el conjunto de puntos en el plano.

En efecto, si V e s el vector que traslada el punto P, en el punto P, escribimos V(P,) =>

P,. A s si P,(x, , y,) e s el punto de partida y V = (x , y) e s el vector localizado PtP entonces

V (P.) = (x, + x , y, + y) = P2

i iDominio Rango

Debem os notar que si V (P,) = P, V = (0 , 0)

Cjemplo 1 ] Hallar V (P l). dados P, = (-2 , 1) y V = (3 , 4). Graficar P,P,

Solucin. Se gn la ecuacin (2):V (P,) = P, P2 = (x, + x , y, + y)

= (-2 + 3 , l + 4)

= d . 5 )

La grfica de P,P, se muestra en la Figura 1.7

Seccin 1.3: Representacin geomtrica de un vector en el plano 11

E j e m p lo 2 ^ | Hallar el vector localizado de P ,P2 si P, = (5 , -2) y P 2 = (2 , 3).Interpretar geomtricamente el resultado.

)Solucin. Se g n la Definicin 1.7 : V = P,P, = P, - P,

= < 2 ,3 > -< 5 ,-2 >

= ( 2 - 5 , 3 - (-2)) = (-3 , 5)

La grfica de P,P, se muestra en la Figura 1.8, en ella se puede observar la equiva

lencia del vector localizado P,P: y del vector de posicin V = P, - P,

E j e m p lo 3 ] Un vector que va de A (3 , 5) a B(x , y) representa al m ismo

vector que va de B(x , y) a C (8 , 1). Hallar B (x , y)

Solucin. Se an : V = A B = B - A = >

Solucin. L a s componentes del vector a son O P y OQ=> a = < x *, x2y)r x = y J + 19 xJ - y- = 19 (1)

L u e g o , si a = b < , , , , , ,I x :y = 6 + xy- => x*y - xy- = 6 (2 )

Reso lv iendo (1) y (2) por sim ultneas obtenem os : x = 3 ,

y = 2 x = -2 , y = -3. D ado que en la Figura 1.9, OP y OQ

f

p

k

i/

o ^

/

A

f

c

FIGURA 1.9

son negativos, descartamos la primera alternativa. Por tanto : x + y = -5


EJERC IC IO S : Grupo 3

En los ejercicios del 1 al 4, hallar V ( P , ) , d ados V y P,. S i P 2 = V ( P , ) , graficar

P P1 1* 21. V = (2 , 6) , P, = (1 ,3 )

2. V = r A = (rx , ry)

y 11 rA 11 = V(rx): + (ry): = \ r:(x2 + y :) = \ r 2 . Vx: + y :11 rA11 = I r I Vx: + y :

DEFINICION 1.8 Direccin de un vector en R :

A cada vector no nulo , V = (x , y) e R 2 , le corresponde una direccin dada por la medida del ngulo a (ngulo de direccin de V) que forma el vector con el semieje positivo de las X, para el cual

S e n a = , C o s a = -L = ,x : - (4)11 V 11 V.\- + v 2 11 V 11 V x: + y

y 0 o < m (a) < 360

De las ecuaciones (4) se sigue que

V = (x , y) = 11 V 11 ( C o s a , S e n a ) (5)

14 Captulo 1: Vectores en el plano

Por tanto, un vector en R: queda determinado por su magnitud y direccin.

I O B S E R V A C IO N 1.2 La direccin m (a) del vector V se obtiene de la manera

siguiente

Mediante un ngulo de referencia a, y haciendo

uso de una tabla de valores se halla el valor de

con 0o < m a,) < 90 para el cual

Tg a, = |y| . x * 0

S i x > 0 , y > 0 o m (a) = m(a,) (Cuad. I)

x < 0 , y > 0 =* m (a) = 180 - m(a,) (Cuad. II)

x < 0 , y < 0 => m(a) = 180 -t- m(a,) (Cuad. III) x > 0 , y < 0 t=> m(a) = 36(T - m (a () (Cuad. IV )

D e sde luego, si x = 0 pero y * 0, entonces m (a) =

para y > 0 y < 0.

Ejemplo 2 J Hallar la magnitud y direccin del vector V = 0 y C o s a < 0 , entonces a est en elII cuadrante.

Angulo de referencia : Tga, = |-|| = - i a, = 5398

Por lo que : m(a) = 180 - 538 = 12652

Ejemplo 3 J Expresar el vector V = (3 , -3 \3 ) en trminos de su magnitud y de su ngulo de direccin.

Solucin. Se gn (3): 11V11 = \'(3)2 + (-3\3)2 = 6 y por las ecuaciones (4 ):

S e n a = - ^ y C o s a = ^

Com o S e n a < 0 y C o s a > 0 , entonces a est en el IV cua

drante.

Angulo de referencia : Tga, = |-| = V3 => m(a,) = 60

Y u

vu

JFIGURA 1.14

90 m(a) = 270 respectivamente

Seccin 1.4: Magnitud v direccin de un vector en R ' 15

Luego, m (a) = 360 - 60 = 300

Por lo que, se gn la ecuacin (5 ):

V = 6(C o s 300, S e n 300)

DEFINICION 1.9 Vector unitario

Dado un vector no nulo V = ! _ \ (6)i i v i l i i vt i i i v i r

o bienu = (C o sa , S e n a ) (7)

Ejemplo 4 J Hallar un vector unitario que tiene la m isma direccin y sentido del vector V =


Luego, en (1) : V = (3 , 4) V = (3 , -4)

EJERC IC IO S : Grupo 4

En los ejercicios del 1 al 4, se dan las coordenadas de los puntos A y B. Expre

sar el vector V = A B en trminos de su magnitud y de su ngulo de direccin.

1. A(-3 , 4 ), B(-5 , 6) 3. A(5V3 4 ), B(V48 , 5)

2 . A (\ 12 , -3 ), B(V27 , -4) 4 . A(3>/5 , - V 5 ) , B (V20 , -V60)

5. Hallar un vector V cuya magnitud e s igual a la del vector A = (4 , -2) y cuya

direccin es la m isma que la del vector B = (1 , \3 )

6. Hallar un vector de m dulo 10 que form a un ngu lo de 3 79 con el eje Xpositivo. (Sugerencia: U sa r C o s 372 = 3/4)

7. Hallar un vector de m dulo 15 que form a un ngu lo de 5 3 s con el eje Y

positivo. (Sugerencia : U sa r C o s 539 = 3/5)

8. Hallar un vector que tenga la m isma magnitud del vector que va de A(-2 , 3) a B(-5 , 4) y que tenga el sentido opuesto al vector que va de S (9 , -1) a T(12 , -7 ).

9. Hallar un vector V de longitud 6 \3 y que tiene la m ism a direccin de un vector

que forma un ngulo de 309 con el sentido positivo del eje X.

10. S i V =

18 Capitulo I: Vectores en el plano

al vector A + B. e s una flecha que tiene como punto inicial el del vector A y como punto final el del vector B (Figura 1.15).

La sum a A + B o B + A s e conoce como el vector resultante y e s la d iagonal de un paralelogramo que tiene com o lados adyacentes a los vectores A y B. La

obtencin de la sum a A + B sigu iendo este procedimiento recibe el nombre de ley del paralelogramo, que se ilustra en el siguiente ejemplo.

C jo m p lo 1 ) D ado s los vectores A = (-1 , 4) y B = (3 , 2), hallar A + B y construir una grfica que muestre las representaciones ordina

rias correspondientes a los vectores.

Solucin. Por definicin :A + B = (-1 + 3 , 4 + 2)

= (2 , 6)En la Figura 1.17, obsrvese que la flecha que

va de S a T representa al vector A y la flecha que

va de R a T representa a B (por segm entos de

paralelas).

DEFINICION 1.10 Negativo de un vector en R-

S i A e R :, tal que A = (x , y), se denom ina negativo o inverso aditivo de A al vector

-A = (*x , -y)

Seccin 1.5.1: Representacin grfica de una suma de vectores en R2

Por ejemplo, el negativo del vector A = (-3 , 2) e sY1

-----------------k

-A = (3 , -2).

| O B S E R V A C IO N 1.3 Dado el vector A s R : suii

negativo -A e R : e s colineal, de la m isma magni 0' r \ \ - A ltud, esto es, 11 - A 11 = 11A11, pero de sentido opuesto \ i

que el vector A.Puesto que para cualquier vector V = (x , y) se FIGURA 1.18

tiene q u e :V + (-V) = +


I j Q M U LT IP L ICAC IO N DE UN E SC A LA R POR UN V ECTO R

Dado un vector V = (x , y) R 2 y un esca lar r e R, el producto del escalar por el vector es otro vector rV para el cual

rV = r(x , y) = (rx , ry)

La magnitud de rV e s 11 rV 11 = I r I . 11 V i I y su direccin e s la m isma que la de V,

aunque su sentido puede ser opuesto, e s decir, los vectores V y rV son paralelos.

I Nota. Al vector rV se denomina mltiplo escalar de V

R E P R E S E N T A C IO N G R A F IC A . Se g n que r se a positivo o negativo la grfica de

rV puede ser

TEOREMA 1.5 Propiedades de la multiplicacin de un escalar por un vector

S i A y B son vectores en R 2 y r, s e R (escalares), se cumplen las siguientes propiedades

M, : i A e R ; C lau su ra

Seccin 1.6: Multiplicacin de un escalar por un vector 21

M 2 : (r s) A = r (sA) Asociatividad

M 3 : 1A = A Neutro multiplicativo

M 4 : i A = 0 r = 0 A = 0 Cero multiplicativo

M 5 : - 1 A = -A Inverso multiplicativo

D, : r(A + B ) = rA + rB Distribuidad respecto a la adicin de vectores

D 2 : (r + s)A = rA + sA Distribuidad respecto a la adicin de escalares

M 6 : l l r A l l = | r l . Il A l l Magnitud respecto a mltiplos escalares

Demostracin de D,. S i r e R y A , B e R : , tales que A = (x, , y,) y B = (x2 , y,) demostraremos que : r (A + B) = rA + rB

En efecto : r (A + B) = r x, , y,) + (Mltiplo escalar)=


C jc m p lo 2 ^ Demostrar que s i : A = B c=> A + C = B + C , V C e R :

Demostracin. Por la propiedad A 4 se sabe que3! O e R 11 B = B + O , V B e R 1

Por hiptesis : A = B , entonces , A = B + O (1 )Por la propiedad A 5 : 3! (-C) e R-1 C + (-C) = O ', V C e R : (2)

Sustituyendo (2) en (1 ) se sigue que :A = B => A = B + [C + (-C)]

A = (B + C) + (-C) (A 3)

A - (-C) = (B + C ) + [(-C) - (-C)]

c=> A + C = (B + C ) + 0 (Ejemplo 1 y A 5)A = B A + C = B + C , V C R !

Ejemplo 3 J Se a x un vector tal que (3 , -4> = x + (1 , -6>.S i (3 , -2) = tx + r(-2 , 1 ), hallar el valor de 3r + 6t

Solucin. En la primera ecuacin se tiene : x = (a + b) + c (1 )En el APTR : PR = PT + TR

x = a + (b + c) (2) FIGURA 1.23Por lo tanto, de (1) y (2) se sigue que : (a + b) + c = a + (b + c)

PR = X (Figura 1.23)

r

>

/ 'p

V J

I Ejemplo 6^ j Se an los vectores A = (-2 , 3) y B = (4 ,-3). Un segmento diri-O I . . .

gido que representa a -| A - B tiene p o r punto in icialO O

S (5 , -3/2), hallar el punto final.>

Solucin. S e a T (x , y) el punto final del segmento ST

S i S T = | A - 1 B => T - S = -I (-2 , 3> - 1 (4 , -3> = (-2 , 5/2)3 6 3 6

S r X - 5 = -2 =Entonces, si : (x - 5 , y + = (-2 , -y) o -1 ^ ^

Por tanto el punto final e s T(3 , 1).

x - 5 = -2 t=> x = 3

5 2y + -f = ? => y = i

Ejemplo 7 J S e t ie ne : 2(2 , -3) + C = (3 , -5) + (a , 7) y C est sobre la recta CJ : y = x + 2. S i A(3 , 5) y B (-2 , 6 ) , hallar el punto P tal que

P C = -AB.

Solucin. S e a C = ( x , y ) y s i C e W- : y = x + 2 e=> C = ( x , x + 2)En la ecuacin dada : 2(2 , -3) + (x , x + 2) = (3 , -5> + (a , 7)


de donde : (x , x + 2) = (a - 1 , 8) o -f X '^ x + 2 = 8 => x = 6

Luego . C = . S i P = ( x , , y,) y K ! = -A B => C - P = -(B - A) = A - B

==> y, = 9

I j c m p lo 8 J L o s vecto re s A , B y C e R 2, cum plen que : A + 2 B = C y A - 3 B = 2C. S i A e s un vector unitario, hallar la norma de B + C.

Solucin. De las ecuaciones dadas se tiene : A = C - 2B ( 1 )A = 2C + 3B (2)

Luego , s i : C - 2B = 2C + 3B C = -5B

Sustituyendo en (1) obtenemos : B = - J r A = > C = ^ A

=> B + C = y A , implica que : 11 B + C 11 = -^ 11A 11

Com o A es un vector unitario , entonces : 11 B + C11 =

Ejemplo 9 ) En la Figura 1.24, se tiene :|| A l l = 3 . Il B || = 2 ||C || = 2 V

Si T g a = 1/3 y T gp = 3, hallar el valor de m de modo que

m A + 3B = nC

t=> S e n a = 1/VT y C o sa = 3/vlO > Senp = 3/VT y C o sP = 1/VT

c=> A = 3(1 , 0)

Y i.............

/v

A > "j

FIGURA 1.24

Solucin. S i T ga = 1/3TgP = 3 c

Un vector unitario en el sentido de A e s (l ,0 )

B = 11 B 11 ( -C o sa - S e n a ) = 2VT (-3/VT, -1/V) => B = {-6 , -2)

C = 11 C 11 (C osP , Senp) = VT ( 1/VT, 3/Vj) => C = (1 , 3)

r 3m - 18 = nLuego, si m(3 , 0) + 3(-6 , -2) = n(I , 3)

'- 0 - 6 = 3n n = -2 Sustituyendo el valor de n en la primera ecuacin obtenemos : m = 16/3

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 25

Ejemplo 10J Se a el exgono regular de lado a , mostrado en la Figura 1.25.

Al sum ar los segm entos orientados BA, AC, D C yA E se obtiene un vector S, hallar la norma de S.

Solucin. S i r e s el radio de la circunferencia circunscrita al exgono regular, entonces :

f:b = r = a y t } = r V3 , esto e s , 11 A C 11 = 11 A E 11 =


E j e m p lo 1 2 ^ En la F igu ra 1.27, el tringulo

O A B e s is sce les con O A = A B

y PH e s perpendicular a O B y mide 6 unidades. S i 11AQ 11 = 2 11QB 11, hallar el mdulo de PQ.

Solucin. S e a OH = x P(x , 6)A MA O M A = AOHPPH

OMOH

8 2 3=> t ~ =* x = 4 -6 x 2Luego, si P(3/2 , 6) entonces :

PA = A - P = = (1/2 , 2)Adem s : B = B - A = (4 , 0) * (2 , 8) = (2 , -8)

Por lo que , s i : 11 A Q 11 = 2 11 Q B 11

2 /-> _ov 1

FIGURA 1.27

AQ = A B = -=- (2 , -8)

C om o : PQ = PA + AQ = (1/2 , 2> + 4 ( 2 , -8) = 1 (11 , -20)i o=* IIp a II = -V (ll)2 + (-20)- = V52I

Ejemplo 1 3 En la Figura 1.28, si P e s tal que el rea del tringulo A P C e s el

doble del rea del tringulo C PB , hallar 11 C P 11.

Solucin. Por la geometra plana se sabe que : a (AAPC ) = A P x P C _ A P

a (ACPB ) PB x PC PB

Como, a (AAPC) = 2a(ACPB) = 2

x + 4 = 2(2 - x) => x = 0

de donde : A P = 2PB => P - A = 2(B - P)

c=> (x + 4 , y - 2) = 2 (2 - x , 10 - y) J l y - 2 = 2 ( 1 0 - y) = > y = 22/3

Luego : CP = P - C = (0 , 22/3) - (2 , 2) = -| (-3 . 8)

II CP II = V ( -3 ) : + 8- = |V73

EJERCICIOS ; Grupo 5 27

: Ejemplo 1 4 ] En el rombo de d iagonales D y d e s tal como

se indica en la Figura 1.29, hallar la norma

del vector

v = v 1 + v 2 + v 3 + v 4

donde los vectores V, , V 2 , V 3 y V4 llegan a los puntos medios de los lados del rombo.

Solucin. C onside rando un sistem a cartesiano con s u s ejes X e Y sobre

) >las d iagonales PR y SQ, respectivamente, te

nem os :

V, = R F = F - R = , 0 ) = ( - | D , )

v , = p o = q - p = < . 4 > - < - f ' > = < l D - 4 >

V, = Q E = E - Q = - < 0 , 4 > = < - f '

V 4 = 0 H = H - Q = ( , - | ) - ( 0 , | > = < , - j d )

Luego : V = V, + V, + V, + V4 = (0 , - d) => 11V11 = d


En los ejercicios 1 al 5, si A. B, y C son vectores en R :, demuestre la validez de

cada afirmacin.

1 . A + B = B + A (A2 : Prop iedad conmutativa)

2 . A + (-A) = (-A) + A = O (As : Inverso aditivo)

3. Si A + B = C A = C - B

4. S i A + B = B A = O (Unicidad del idntico aditivo)

5. Si A + B = O *=> A = -B (Unicidad del inverso aditivo)

6. Mediante segm entos orientados demuestre la propiedad A 2 : A + B = B + A

7. S e a PQ una representacin del vector A. Q R una representacin del vector B y > > > >R P una representacin del vector C. Probar que si PQ, Q R y R P son los lados

de un tringulo, entonces A + B + C = O


8. D ado s los vectores A = (5 , 2 ), B = (-3 , 4) y C = (7 , 4), resolver la ecuacin2X + 5A - 3 B = 4C

9. S e a x un vector en R : tal que : (-5 , 2) = 2 x + 0 y B * O = > A y r B tienen la m isma direccin y sentido.

S i r < 0 y B * O => A y r B tienen la m isma direccin y sentidos opuestos.

B B

A = r B A = r B

r > 0 r < 0

b) E s conveniente establecer que el vector nulo O es paralelo a todo vector, esto es:

0|| A A l l O , V A e R :

En efecto, si O 11 A O = r A = 0 A , 0 e R

c) Todo vector e s paralelo a si mismo.

En efecto, si l e R => A = lA . por lo que A A , V A e R -

f--------------{ EJEMPLOS ILUSTRATIVOS )--------------- *

Ejemplo 1 ^ Determ inar si los vectores dados son paralelos1. A = < 4 , -1 ) , B = ( -1 2 ,3 )

2. A = 3 s e R B = sA

Luego, si C = D - B = rA - sA = (r - s)A => C A

( D A

En efecto, s i C | A = > B l e R C = tA

Por hiptesis , B l : A 3 s e R B = s A

Luego , s i D = B + C = sA + iA = (s + t)A => D A

Ejemplo 4 J S i A = { i = r(m + 2) (2)

Al dividir (1) entre (2) obtenemos la ecuacin

2m: + 3 m - 9 = 0 o m = -3 m = 3/2 B

[ Ejemplo 5 J S i al vector A =


Luego, en (1 ): B = -m(l ,2 ) => 11 B ! | =|-m | V T 4 = mV5 (2)

S i A - B = (m , 2m) + m(l , 2) = 2m(l , 2) => 11 A - B 11 = 2mV5

Com o 11 A - B 11 = 2 0 => 2m>/5 = 20 => m = 2^5

Por lo tanto, en (2), se tiene : 11 B 11 = (2\5)\5 = !0

E j e m p lo 7 j El vector A = (3 , 0) se descom pone en dos vectores B y C

paralelos a los vectores < 2 r, -3r/2) y (p , -3p) respectivamente, donde r * 0 y p * 0. Hallar las longitudes de B y C.

Solucin. S i B 11 => B = ^ = s

C ||

=> C = p ( l , -3)

S i A = B + C =* ( 3 , 0 ) = s 11 B 11 = V(4): + (-3)- = 5

C = - = ||C II = V (-l)2 + (3)2 = V IO

Ejemplo 8 J En la Figura 1.36 se tiene un e xgono regular cuyo

lado mide a unidades. S i II V, II =|| V 2I| = || V 3||

= 11 V 411 = 11 V s 11 = a , hallar 11S11, donde . S =V 1 + V 2 + V J + V4 + V 5.

Solucin. V, = V 4 y V 2 = V, por ser parale los y de la m isma magnitud, direccin y

sentido. Entonces : S = 2 V, + 2 V, + V

FIGURA 1.36

Trasladando e stos vectores a un sistema de ejes

rectangulares (Figura 1.36a) se tiene :

V, = a (C o s 90, S e n 90) = a + a (1 , V3) + a (-1 ,0 )= a (0 , 2 + V3> => 11 S11 = a(2 + \3)

Seccin 1.7: Vectores paralelos 33

[ Ejemplo 9 ) S e a el A A B C y se an M (2 , 5) y P (4 ,2 ) puntos meceos de los lados A B y B C respectivamente. S i A B 11 (3 , 1) y C B 11 (1 ,4),

hallar los vrtices del tringulo.

Solucin. C om o los puntos A, M y B son colineales, en

tonces: M B 11 A B 11 (3 , l) => M B = r (3 , 1)

Luego : B - M = r (3 , 1) => B = (2 , 5) + r (3 , 1) (1)

Anlogamente :

PB = s (1 , 4) B = (4 , 2) + s (1 , 4) (2)

(1) = (2) = * (2 . 5) + r (3 , 1) = (4 , 2 >+ s (1 , 4>

c=> (-2 , 3) = s (1 , 4) - r (3 , 1) =

Resolviendo el sistem a obtenemos : r = s = 1

-2 = s - 3r 3 = 4s - r

r >

i OK4.2)

r

c

CJ

FIGURA 1.37Entonces, en (1) : B = (2 , 5) + (3 , 1) = (5 , 6) B(5 , 6)

> >M e s punto medio de A B A M = M B

c=> M - A = B - M => A = 2M - B

=> A = 2(2 , 5> - (5 , 6) = (-1 , 4> c * A (-l , 4)

P e s punto medio d e C B C P = PB => P - C = B - P C = 2 P - B

>=> C = 2(4 , 2) - (5 , 6) = (3 , -2) = * C(3 , -2)

! Ejemplo 10 J El punto P(-3 , 1) e s un vrtice del rombo P Q R S , tal que P Q = (4 , 2) y el lado P S se ha obtenido del lado PQ mediante un giro

de 609 en el sentido antihorario. Hallar los dem s vrtices del rombo.

Solucin. S i a e s el ngulo de direccin del vector o iPQ = (4 , 2 ), entonces , T g a = = 4 L

de donde se tiene : S e n a = 1V5 y C o s a = 2/V5

S i PQ = Q - P = (4 , 2) => Q = P + (4 , 2)

=> Q = (-3 , 1) + (4 , 2) = (1 ,3 )

e s el vector de posicin del punto Q, por lo que : Q(1 ,3 )

Por ser lados de un rombo :

11 PS 11 = 11 PQ 11 = V(4y + (2)2 = 2V5>

Se a u un vector unitario en la direccin de PS cuyo ngulo

de direccin e s a + 60, entonces :

u = (C o s (a + 60), S e n (a + 60)>

FIGURA 1.38

(1)

Cos(a + 60) = Cosa CosftO" - Sena Sen60 = A ) ( 4 ) ' (^=)(^r) = -jf (2- V3)

34 Capitulo 1: Vectores en el plano

Se n (a + 60) = S e n a Cos60 + C o s a Sen60 " = (JL) (JL) + = (i + 2V3)

Luego, en (1 ): u = ( ^ ( 2 - V3) , ^ (1 + 2\3))

Ahora, si PS = 11 PS 11 u => S - P = 2>/5 ( y | (2 - V3) , ^ - ( 1 + 2n3)>

=> S = (-3 , 1) + (2 - V3 , 1 + 2\3> = (-! - V3 , 2 + 2V3>e s el vector de posicin del vrtice S R = (-1 - >/3 , 2 + 2V3) + (4 , 2) = (3 - V3 , 4 + 2\3)

Por lo que : R (3 - \3 ,4 + 2V3)

y5

ejemplo 11J S i M (1 1/2 , 7/2), N(8 , 6). P(9/2 ,13/2) y Q (2 , 4) son los puntos medios de los lados del trapecio A B C D y 11 DC11 = vTo , hallar

los vrtices del trapecio.

Solucin. Q N = N - Q = (8 , 6) - (2 , 4) = (6 , 2)Un vector unitario en la direccin de

de Q N e s u = QN (6 ,2 ) ( 3 , 1 )I I q n II V3o Vio

Com o D C II Q N ==> D C = 11 D C 11 11 = ( 3 , 1 )

DP = 1 D C => P - D = (3/2 , 1/2)

=> D = P - (3/2 , 1/2) = (3 , 6)

DQ = Q A => Q - D = A - Q A = 2Q - D

An logam ente : FIGURA 1.39

A M = M B c=> B = 2M - A = 2(11/2 , 7/2) - ( 1 , 2 ) = (10 , 5)

C = BN = C = 2N - B = 2(8 , 6) - (10 , 5) = (6 , 7)Por lo tanto, los vrtices del trapecio son :

A(1 , 2) , B(10 , 5) , C(6 , 7) y D(3 , 6)


1. Determine si los siguientes pares de vectores son paralelos. C u le s tienen el

m ism o sentido y cules sentido opuesto.

a) A = (-8 , -7 ), B = (32 , 28) c) A = (-3/2 , 3 ), B = (1/3 , -2/3)

EJERCICIOS : Grupo 6 35

b) A = (3 , 2 ) , B = (2 , 4/3) d) A = (4 , -2 ), B = (-1 , 1/2)

2. Demostrar que s i A C , B i C y C ? t O A l B

3. Demostrar que para vectores no nulos A , A, , B y B,

A II A, . B l l B , y A I I B =* A,||B,4. Demostrar que si A y B tienen la m isma direccin y sentido entonces

I I A + B l l = II A11 + 11 B 115. S i A = (2 , 2m - 3) y B = (1 - m , -5 ), determinar los valores de m de modo que

A y B sean paralelos.

6. S i A = (m , 5) + (3 , 3 ), B = 4(-m , -3) - 2(1 , 2) y A 11 B , hallar el valor de m.

7. D ado s los vectores A = (a , 3m) y B = (-2m , b) , hallar a + b tales que A + B = (8 , -4) y se a A 11 B.

8. Se a n los vectores A y B, tales que : A = (a , 2a) , A - B = (2a , p) , A B y la norma de A - B e s \ 112. Hallar la norma de B.

9. El vector A = (x , y) e s paralelo al vector B = (2 , 4), tal que u = (x/\5 , y/\ 5) e s un vector unitario paralelo a ambos. Hallar el vector A.

10. Se a n A y B dos vectores en R 2, tales que B e s el inverso aditivo de A. S i B tiene

el m ismo sentido que el vector C = (-1/3 , 1/4) y 11 A 11 = 5 , hallar X = A + 2B,

11. Hallar la norma de la sum a de los vectores unitarios u y v . s i u A y v i B

sabiendo que A = (4 , -3) y B = (-5 , 0)

12. L o s vectores A y B son tales que A e s del m ism o sentido que B = (1 , 3) y

A _ / X Y \ . Um IIm . a| tiolnr Ov _ J= (-]==, ; hallar el valor de 2x - \ yA V40 V40 2

13. El punto P(2 , -3) e s extremo del vector PR, el punto Q(1 , -2) alineado con P y

R, dista de P la quinta parte de 11 P R 11. Hallar R.

14. S i A = (a , b) y B = (1/2, - 4/3) son dos vectores en R \ hallar a + b sabiendo que 11A11 = V73/3 y que A y B tiene sentidos opuestos.

15. El vector C = (2 , -1) e s expresado com o C = A + B , donde los vectores A y B

son paralelos a X = (3m , 4m) e Y = (-3n , -n), respectivamente, siendo m # 0 y

n * 0. Hallar A - B.

16. D a d o s los vrtices con secutivo s de un parale logram o A (7 , -1) , B (-3 , 1) y>

C (-5 , 5 ); determinar el cuarto vrtice y la longitud de la diagonal BD.

17. En la Figura 1.40, sea O la interseccin de las d iagonales de un cuadrado

A BC D . S i O e s el baricentro del tringulo is sce le s A P D con 11AP 11 = 11 PD 11,>

hallar el vector NQ.


18. S i M (9/2 , -3), N(2 ,6 ), P(-7/2 ,9) y Q(-1 , -1) son los puntos medios de los lados

del trapecio A B C D y 11AD 11 = \ 52, hallar los vrtices del trapecio.

19. En la Figura 1.41, A B C D e s un cuadrado de lado 3a y A ' B C D e s un cuadrado)

de lado a , si la norma de D 'D e s a, hallar el vector B P.>

20. S e a el tringulo A B C y sean M(1 , 9) y N (6 , 2) puntos medios de los lados A B~> > .. -> , i

y B C respectivamente. S i A B M


Por ejemplo, si A = * o y b ,* 0Supongam os que b{* 0

A 1 B


TEOREMA 1.10 Desigualdad triangular

Se an A y B vectores en R :, entonces

I I A + B l l < II A || + II B ||M s an : ||A + B|| = ||A|| + | lB | | s iy slo si un vector e s un mltiplo escalar

no negativo del otro.

Demostracin. En efecto :11 A + B 112 = (A + B) (A + B)

= ||a I I 2 + 2 A * b + ||b I|2 .

< | | A | | 2 + 2 | A - B | +|| B ||2 ( A B < | A B |)

Por la desigualdad (1) del teorema de Schwartz. se sigue que

11 A + B 112 < 11 A 112 + 2|I A 11 II B II + 11 B 112< ( l l A l l + 11 B 11 )2

Extrayendo la raz cuadrada en ambos miembros obtenemos lo deseado, esto e s :

II a + b II 11a 11 + IIb II

- EJEMPLOS ILUSTRATIVOS )1

E j e m p lo 1 ] Demostrar que : | | A + B | | 2 = ||A||2 + | B | | 2 + 2 A * B

Demostracin. En efecto : 11 A + B 112 = (A + B) (A + B) (PE4)= A (A + B ) + B (A + B) (PE,)= A * A + A * B + B * A + B * B (PE,)

= A * A + B * B + 2 A * B (PE,)||a + b I|2 = ||a ||2 + ||b ||2 + 2 A * b (p e 4)

E j e m p lo 2 J Demostrar que A + B y A - B son ortogonales 11A11 = I ! B11

Demostracin. Demostrarem os primero la ortogonalidadEn efecto, por hiptesis : 11A11 = 11 B I = *| | A | | 2 = ||b H 2

IIa I|2-I|b I|2 = o=> (A + B ) (A + B) = 0

Por tanto, segn (11), A + B y A - B son ortogonales.

Ahora demostraremos la igualdad de las magnitudes.

En efecto, por hiptesis , A + B y A - B son ortogonales

Seccin 1.8: Producto escalar de vectores 41

c * (A + B) (A - B) = 0

o A * A - A * B + B * A - B * B = 0

c * ||a ||2-||b ||2 = o ^ Il A I I 2 =

Il A l l = II B II

[ Ejemplo 3 j Demostrar que : (A + B )x = A 1 + B x

Demostracin. En efecto, sean : A = (a, , a,) y B = (bt , b2) En tonce s: A + B = (a, + 6, , a, + >2>

Por la definicin 1.12 : (A + B )x = V x C = [ (B1 C )A - (A-1 C ) B ] 1 C

= [ (B 1 C )A X - (A 1 C )B X] C (Ejemplo 3)

= (B x C )(A X C ) - (A x C )(B X C) (PE,)

Por lo tanto, s i V x * C = 0 t = > v | | C

[ Ejemplo 5 J S i i = (1 , 0) y j = (0 , 1), resolver la ecuacin 2( (1/2 , 6) + ix - x ) = j x - 2 x x

Solucin. S e a el vector x = (x, , x2) , entonces2( (1/2 , 6> + (1 , 0>x - ( x , , x 2> ) = (0 , 1>X - 2(x, , x /

c=> (1 , 12) + (0 , 2> - 2(x , , x , ) = ( - 1 , 0 ) - 2 ( - x , , x, )

=> (2 , 14) = 2(x, , x,) - 2(- x 2 , x,)

( 1 ,7 ) = (x + x , , x , - x ) \ * X| + X-1 7 = x, - x,

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos : x, = -3 , x, = 4

x = (- 3 , 4)

[ Cjemplo 6 j Sean A , B e R:, demostrar que si 2 A X - B = 2 B X - A, entonces A + B es ortogonal a A - B.


Demostracin. En efecto, si 2AX - B = 2 B X - A A - B = 2 (BX - A 1) (1)Aplicando el ortogonal a cada m iembro de (1) se tiene :

(A - B )1 = 2 (BX - A Y ; pero como , (A + B )1 = A x + B 1 y (A 1)1 = -A

A 1 - B x = 2(-B + A ) , de donde : 4 (A - B) = 2 (AX - B 1) (2)

Sum ando (1) y (2) obtenemos : 5(A - B) = O => A - B = 0

Por lo tanto, (A + B) (A - B) = (A + B) O = 0 => (A + B ) _ L ( A - B )

E j e m p lo 7 ] Hallar la norma del vector B = (- 3m , m), sab iendo que ha sido

descompuesto en el vector A = a * b + b * c + a * c = - 3 / 2

Ejemplo 11 ] Dado vector B = (2 , 3) y la funcin f : R: =* R /(P) = P B. Elvector A e s tal que /(A) = -16 y A11C = (1 ,2). Calcular 11A11.

Solucin. S i /(P) = P B /(A) = A B t= A B = -16A 11C A = r C = r ( l ,2 ) 11 A 11 = |r| V5 (1)

A B = -16 c=> r (1 , 2).


Demostrar que si A + B = ( 11 B 11 , ||A||), entonces A es

ortogonal a B.

Demostracin. Por hiptesis : A + B = ( | | B ! | , | ! a I| ) , entonces multiplicando escalarmente cada miembro por si m ismo, se tiene :

(A + B) (A + B) = < 11 B 11, 11A 11) (||B||,||a ||)

r. ,

k FA

A . 2

/ , / ^ E5

rO 12 B > X

V. >FIGURA 1.45

Ejemplo 18J En la Figura 1.46 , m (


=> x = O B (OB + BC ) + O A B - O A (B + BC)

- I | 6b I|- + 6 b - bc + a* b - a*6b -6a *bc = 11OB 112 + BC (Ol - A) = 11 A C = BC = t = r


Ejemplo 22 ] En la Figura 1.50, A B C D e s un trapecio, el A A D B

e s is sce les ( 11AD 11 = 11 B D 11) y el A B D C

es rectngulo en D y tiene la hipotenusa B C

de longitud 10V2 unidades. S i el ngulo B C D

mide 379 (considerar T g379 = 3/4), B(-2 , 4) y >

D(4 , -2 ), hallar el vector AC.

Solucin. B D = D - B = (4 , -2) - (-2 , 4) =


20. S i 11 A 11 = V2 , 11 B 11 = 2 y A B = 1/4 , hallar las longitudes de los vectores

2 A - 3 B y 4 A + B.

21. Se a n los vectores A =

29. En el cuadriltero P Q R S , sean a = PQ , b = Q R , c = R S y d = SP . Hallar c d,si se sabe que : 11 a + b 11 = 7 , ||c|| = 3 y ||di| = 5

30. S i A = (-3 , 5) y B = (4 , -3 ), hallar la norma del vector C , s i :

a) C = (A + B) (A - 2 B ) B X ' b) C = (A B)BL - (A 1 B )C

31. S i u e s un vector unitario y A . B son vectores cualesquiera, demostrar que :(A u)(B u) + (A ux)(B ir1) = A B

( Sugerenc ia : considerar u = (C o sa , S e n a ) . A = (a} ,a 2) y B = (b, , b2) )-4

32. S e a A(6 , 2) uno de los vrtices de un AA BC . S i A B tiene la m isma direccin y>

sentido que el vector (1 , -2) y A C tiene la m ism a direccin y sentido que el

vector (3 , 4) tal que 11 A B 11 = 3 \5 y 11 A C 11 = 1 0 . Hallar el vector A M , si A M es

la mediana del tringulo trazada desde el vrtice A.

Seccin 1.9: Angulo entre dos vectores 51

r RELACIONES ENTRE VECTORES >f 1 . 9 ) ANGULO ENTRE DOS VECTORES

S e a n A y B d o s vecto re s no nu lo s que tienen el m ism o origen y se a

9e [0 , 7C] el m enor de los n gu lo s positivos form ado por s u s respectivos vectores

de posicin normales, como se ilustra en la Figura 1.51. El teorema siguiente m ues

tra como calcular este ngulo mediante el producto escalar.

TEOREMA 1.11 Angulo entre dos vectores

S i 0 es el ngulo entre dos vectores no nulos A y B, entonces

C o s 0 = ----- ------------11A 11 11 B II

Demostracin. En efecto , los vectores A , B y rla diferencia A - B forman un y \

tringulo cuyo s lados miden 11A 11 , 11 B 11 y * y \|| A - B 11. y V 8Por la ley de los c o seno s , tenemos / \||A -B||2 = ||A||2 + ||B||2-2||A||||B||Cos0 (1) -----------------------i bU sando prop iedades del producto escalar, po O A

dem os reescribir el primer m iembro como FIGURA 1.51

11A - B 112 = (A - B) (A - B) = (A - B) A - (A - B) B

= a - a - b * a - a - b + b - b = ||a||2 - 2 A * b + I|b II2que sustituido en (1) no s lleva a

||a||2 - 2A * b + ||b||2 = ||a||2 + ||b||: - 2 ||aI| I I b l icose

C o s 0 = A B

Il A ll I IB I I(15)

I Nota. Si se conoce el ngulo entre dos vectores, entonces reescribiendo el Teorema 1.11

en la forma

A B = I A B : C o s0 (16)

obtenemos una forma alternativa para calcular el producto escalar.


EJEMPLOS ILUSTRATIVOS^

Ejemplo 1 J Hallar el valor del ngulo que forma el vector A que va de P (4 , 5) a Q (6 , 4), con el vector B que va de S(-3 ,1 ) a T(-2 , -2).

Solucin. A = PQ = Q - P = (6 , 4) - (4 , 5> = (2 , -l> => || A i | = \ 5

B = S T = T - S = - = => II B || = nT

Luego , por la frmula (15): C o s 8 = * 11 = 1 J = _ L(V5)(nO) 5V2 V2

En consecuencia , 0 = 45

Ejemplo 2 j Hallar el norma del vector D , sabiendo que A y-B forman un ngulo de 609 . D = A + B , 11A 11 = 3 y 11 B 11 = 5.

Solucin. S D = A + B < = > | | d | | = | | A + B | |

=> IId | |2 = | |a | |2 + 2 A - b + | |b | |2Ahora, usando la forma alternativa del producto e sc a la r , se tiene :

IId | | : = | |a II: + 2| |a || 11b 11 C o s0 + | | b | |2 = (3 )2 + 2 (3)(5)(l/2) + (5 )2 = 49

II D || =7

Calcular A B. donde A y B

son vectores de la F igura

1.52, para los cuales. 11 A 11 = 4 y 11 B 11 = 2\\3

S o lu c i n . S i 0 e s el ngulo que forman am bos

vectores, entonces :

0 = 90- (12+ 18) = 60

Luego, haciendo u so de la frmula (16) se tiene :

A * B = | | a || I I b II C o s0 = (4) (3V3)Cos 60

A B = 4V3

Ejemplo 4 J Los vectores A y B forman entre si un ngulo de 309 y la norma de A e s \48. Hallar la norma de B sabiendo que A - B e s per

pendicular al vector A.

Seccin 1.9: Angulo entre dos vectores 53

Solucin. S i (A - B) 1 A => (A - B) A = 0=> A - A - B - A = 0 11 A 112 = A B

U sando la forma alternativa del producto escalar tenemos :

|! A 11 - = 11 A 11 || B || C o s 30 => I I A II = I I B || C o s 30

Por lo que : 4^3 = 11 B I (V3/2) => 11 B 11 = 8

Ejemplo 5 J Los vectores A y B forman un ngulo de rc/6 radianes. Sab ien do que 11 A11 = \ 3 y 11 B 11 = 1 , hallar el ngulo entre los vecto-

res U = A + B y V = A - B.

Solucin. Haciendo u so de la frmula (16) tenemos :A B = 11 A 11 11 B 11 C o s 30 = (VJ) (1) (V3/2) = 3/2 U V = I| U II II V i lC o s 0

= * (A + B) (A - B) = 11 A + B 11 11 A - B 11 C o s0

=> 11 A 112 -1 1 B 112 = V 11A + B 112 11 A - B 112 CosQ____________________

^ (V3)2 - ( l)2 = n/( 11A 112 + 2A B + 11 B 112) ( 11 A 112 - 2A B + 11 B 112) C os0

c=> 2 = V[ 3 + 2(3/2) + 1] [ 3 - 2(3/2) + I] C o s0

de donde : C o s0 = 2/V7 => 0 = are Cos(2/V7)

i Ejemplo 6 J L o s vectores A . B y C forman d o s a d o s un ngu lo de 6 0 9 ,sabiendo que [ I A 11 = 4 , 11B I = 2 y ! I C 11 = 6 , determinar la

norma del vector V = A + B + C.

Solucin. S i V = A + B + C ||V||2 = | A + B + C |2i=>||v ||2 = ||a ||2 + I| b ||2 + ||c I I 2 + 2 A * b + 2 A * c + 2 B * c

C omo el ngulo entre los vectores A y B . A y C . B y C e s d e 60, entonces

1IvI|2 = | |aI|2 + | |b| |2 + | | c | | 2 + 2(IIa|| 11 b11 +I|aII 11c11 4-11bII IIC11)Cos60= 16 + 4 + 36 + 2 ( 4 x 2 + 4 x 6 + 2 x 6 ) (1/2)= 100

I I V I I = 10

Ejemplo 7 J Los vectores A y B tienen igual longitud y forman un ngulo de60. S i la longitud de A + B es 4 un idades mayor que la longitud

de uno de ellos, hallar la longitud de A.

Solucin. S i A - B =||A|| ||B|| C o s0 y 11 A 11 = 11 B 11 c=> 2 A B = 11 A 11 - (1)Adem s :||A + B|| = 4 + 11A 11 , e levando al cuadrado se tiene

||a ||2 + 2 A * b + ||b ||2 = 16 + 8 II A II + 11A 112

54 Captulo J: Vectores en el plano

Teniendo en cuenta (1) , resulta que: 3 I I A I I 2 = 16 + 8

de donde : H a I|2 -4 | | a I| -8 = 0 11 A 11 = 2 \4 + 8

/. II A || = 2 + 2^3

C j c m p lo 8 ) S i el vector A = gira

45 s en el sentido horario, se

determina el vector B = (x , y). Hallar x + y

Solucin. Com o ||B|| = ||aI| Vx: + y = \8 + 50

S i :

C o s 45 = A - BIl A l l I I B I I

c=> x : + y 2 = 58

V2 _ (1 )2 + 2 11 A 11 II B II C o s0 + ( I)2 = 1

1 + 2(1)(1) C o sG + 1 = 1 => CosG = - 1/2

[ Cjemplo 11 ] Se a n A y B vectores en R 2 , A e s un vector unitario, la sum a de los componentes de B e s 31 y el mximo valor de A B e s 41;

hallar los vectores A y B.

Solucin. Se an los vectores A = (x, , y,) y B = < x ,, y,>

S i A - B = 11 A11 ||B|| C o s0 ,y c om o | | A11 = I y C o s 0 e [ -1 ,1 ] , el valor

de A B ser mximo cuando C o s0 = 1 , luego :

A B = 11 B 11 *=> 41 = V x,2 + y,2 (1)

A d em s, x, + y, = 31 ^ y, = 31 - x 2 (2)

Sustituyendo (2) en (1) se tiene : 41 = Vx,2 + (31 - x,)2

de donde obtenemos : x,2 - 31x, - 360 = 0 x, = 40 x, = -9

Por lo que, y, = 9 y, = 40 B =

9x, + 40y, = 41 (5)

De (3) PI (4) se tiene A =


||A||2 + H b ||2 + ||C||* + 2 ( - A B + A - C - B - C ) =

M a I I : + 4 | !b I I 2 + I I c I I 2 + 2 ( 2 A - b + a * c + 2 B * C )

Simplificando se tiene : ||B||2 + 2 A * B + 2 B * C = 0

=* (1)2 + 2(V2/2) + 2 11 B 11 ||C || C o s 0 = => C o s 0 = - 1 +- V-2 O

E j e m p lo 1 3 ^ En la Figura 1.55 , O A C B e s un pa-

ralelogramo. S i O C = (5 , 3 ) , B A =) )

(-3 , 9) y 0 e s el ngulo determinado por O A y O B 1 , hallar

el co seno de 0.

Solucin. S i B A = A - B = (-3 ,9 ) (1)) ) > ) ^OC = O A + AC, pero como A C = OB, entonces

OC = O A + O B = A + B A + B = (5 , 3> (2)

De (1) y (2) obtenemos :

A = = - 2 LII A || II B || (Vi + 36 ) (V9 + 16) 5V37

Ejemplo 1 4 j En el paralelogramo A B C D de la Figura 1.56, se tie

ne: ||B II = 6 , I IA D II = 4 , m ( y BN = -y A D = = (7 , V3)

2V3>

Ejercicios de la Seccin 1.9 57

Un vector unitario en la direccin y sentido A N es

v= jM - = => V = ir v II v= (4V3) =2(7,V3>I Ia n I I 2\^3 2V13

C oq0 = U v _ 12(1 ,-2>/3)


11. L o s vectores A y B forman un ngu lo de 1209, sa b ie n d o que i A ! I = 3 y

11 B 11 = 5 , determ inar, 11 A + B 11 y 11A - B 11.

12. Q u condicin deben satisfacer los vectores A y B para que el vector A + B

bisecte al ngulo formado por los vectores A y B.

13. El vector A = (x , y) se obtiene girando 609 al vector B = , hallar los otros vrtices

del trapecio.

Seccin 1.10: Descomposicin de vectores 59

23. Lo s ngu los entre los vectores no nulos B y C , A y C , A y B son a , p y y

respectivamente , y los vectores U y V estn definidos como

U = (A C )B - (A B )C , V = (A C )B - (B C )A

Demostrar que si U y V son perpendiculares , entonces : C o sp = C o s a C o sy

24. Demostrar que si A y B son vectores de igual longitud entonces el vector A + B

b iseca el ngulo entre A y B y que A - B es ortogonal a A + B.

[1.10) D E SC O M PO S IC IO N DE V EC TO R E S____________________

Sean los vectores A y B en R J. S i desde un punto de vista geomtrico un

vector V del plano podem os expresarlo, en forma nica, como una sum a de compo

nentes vectoriales rA y tB, que son mltiplos escalares de A y B : entonces se dice

que se ha efectuado una descomposicin del vector V en su s componentes vectoriales paralelos a los vectores A y B (F igu

ra 1.59), esto e s :

V = r A + t B

El conjunto p = {A , B } se llama base de R :,

para cada vector V e R :, y los nmeros r y t

se llaman componentes escalares de V en relacin a la base p.

S i ocurre que los vectores A y B so n uni

tarios y ortogonales entonces al conjunto

{ A , B } se le llama conjunto ortonormal.

Definicin 1.14 Bases ortonormales

S e dice que una base p e R* e s una base ortonormal si el conjunto de vectores A y B que la constituyen e s un conjunto ortonormal. As, la

base p = { A , B } e s una base ortonormal si ocurre que :

A B = 0 A A = l^------------------- ________ _ _________________________

Por ejemplo , con sid e rem os el conjunto de vectores { A , B } , donde A =


A


Ejemplo 2 J En la Figura 1.62 se tiene :f p l l O X y | | P II = 8

> > S i O T = m O P + n O P 1 , hallar el valor mn.

Solucin. P = 11 OP 11 = 4 (V J , 1 >La s componentes de O T son (x , x ) , pues

y = x. La ordenada de P es y = 11 OP 11 Sen30 = 8(1/2) = 4

=> t = * 4(^3 , 1)

11 OP 112

T ' P 1

(4V3 + 1 y

4(1 , 1) 4 (- l ,V 3 ) _ 1

(4\/3 + 1): } m n 8

Ejemplo 3 J En la Figura 1.63 se tiene los vectores A y B con 11A 11 =

2 \3. S i B = s A + t A 1 , hallar el valor de s + t.

Solucin. A = 11 A 11 (C o s 60 , S e n 60) = (V3 , 3) L a s componentes de B son ( - y , y ) , pues

y = -x y como yA = y B = 3 , entonces B = 3(2) = 0

I O B S E R V A C IO N 1.7 Sabem os, por la Definicin 1.15. que cualquier vector V e R 1

puede expresarse de manera nica como

V = s A + t B (1)

Si ocurre que los vectores A y B no son ortogonales, los escalares s y t pueden

calcularse tomando los productos e sca la re s V A 1 y V B x , pues si A A x = 0 y

B B 1 = 0 , entonces en (1) se tiene :

A . A 1 = 0 + t B A x c=> t = V - A ^ ; V B 1 = 0 + s A . B x => s = __!_B^B A 1 A B 1

Por consiguiente en (1) : j^V = ( a T x ) A + [ q ~ ^ i ) B ) (20 )

[ Ejemplo 5 j En la Figura 1.65 se muestran los vectores A, B y C, donde 11 A 11 =

3 , 1! B || = 2 , 11 C 11 = 6 y a = 309. S i C = m A + nB ,

hallar m + \3n .

Solucin. L a s componentes de los vectores mostrados s o n :

A = (3 , 0> , B = 2

64 Captulo I: Vectores en el plana

ED = 5 B E , expresar E F como combinacin li

neal de A D y AB.

Solucin. El objetivo e s expresar F en la forma :

E F = m A D + n A B

Entonces en el A E F D se tiene :

D = F + F D => F = b - F D (1)

Dado que E D = 5 B E => D = -| B D = -| (D - B )

Luego , en (1) se tiene : EF = (A D - A B ) - -=- A D

=> E F = 4 - D - A B6 6

r

/IK /A F u

v JFIGURA 1.66


1. Dado los vectores A y B en R ! , demostrar que

11 A 112 B = (A B )A + (A 1 - B )A A

2. S i A y B son dos vectores en R : , demostrar que :

I I a ! I2 ||b I I 2 = (A B )2 + (A 1 B )2

3. Emplee el resultado del Ejercicio 2 para demostrar que :

II A 112 || B 112 > (A B )2

4. En la Figura 1.67 se tiene los vectores A y B . con A 11 = 4. S i B = s A + tA 1 ,

hallar el valor de s + t.> > >

5. En la Figura 1.68 se tiene (X = 309 y 11 O M II = 12. S i O N = m OM + n O M 1 , hallar

el valor de m + n.

6. Dado los vectores de la Figura 1.69, hallar el valor de n + V3m sab iendo que

m A + n A x = C , siendo A un vector unitario y I i C ! I = 8

\>C

VFIGURA 1.68 FIGURA 1.69

Ejercicios de la Seccin 1.10 65

7. En la F igura 1.70 se tiene los vectores A , B y C , donde 11A I = 2 \3 . S i C =

m A + n B , hallar el valor d e m - n .

8. En la Figura 1.71 se tiene : A B 11OY y 11OA 11 = 4. S i O B = m O A + n O A x , hallar

el valor de m - n.

9. En la Figura 1.72 , f/ ' e s una recta paralela al eje X y se tienen los vectores A y B en R 2 , donde 11 B 11 = 3 \2 . S i A = s B + t B 1 , hallar s . t y l l A - B||.

FIGURA 1.70 FIGURA 1.71 FIGURA 1.72

10. En un trapecio A B C D , los la d o s p ara le los A B y C D m iden 9 y 3 un idades

respectivamente. S i M e s punto medio de A B , N e s punto medio de B C y M N =

n A B + n A D , hallar el valor de m - n.

11. En la Figura 1.74 se tiene el paralelogramo A B C D donde E es punto de trisec

cin de A B , H e s un punto tal que 3 DH = 4 HE. S i AH = m AD + n A B , hallar los

e sca la res m y n.

12. En el paralelogramo de la Figura 1.73 se tiene : A E = E C y 4 FD = AF. S i E F =

m A D + n C D , hallar el valor de m + n.

13. En la Figura 1.75 se dan los vectores A , B y C , donde 11 A 11 = 3 , 11 B 11 = 4 ,

11 C 11 = 6 y a = 609. S i C = m A + n B , hallar el valor de m + 2n.

14. S e tiene un trapecio escaleno A B C D , cuya base mayor A D es el doble de la

base menor BC. S e trazan las d iagonales A C y B D que se cortan en el punto P.

S i B P + C P = m (BC + C D ) + n (C B + B A ) , hallar m + n.

15. S e a A B C D un parale logramo , tal que d o s lados no paralelos son A B = 3u y

A D = 6 v , donde u y v son vectores unitarios. S i P e s punto medio del lado A D

y E e s el punto de interseccin de los segm entos A C y B P ; hallar en trminos

de u y v los vectores A E y BE.


l . 1 l ) PRO YECC IO N ORTOGONAL

Se an A y B d os vectores y B * O. la proyeccin ortogonal o componente

vectorial de A sobre B , denotada por ProyBA , e s el vector

ProyA = ( i i T r ) B r )

S i aplicamos la ecuacin (21) a (19) , obtenemos

A = ProyBA + ProyB, A

(21)

(22)

Geomtricamente esta definicin significa que se puede construir un tringulo rec

tngulo cuya hipotenusa sea el vector A y cuyo s catetos contienen a los vectores

P royBA y P royBA . (Figura 176).

| O B S E R V A C IO N 1.8 Lo s vectores B y P royBA son paralelos de tal modo que si el

ngulo 9 entre A y B e s agudo entonces B y P royBA tienen

la m isma direccin y sentido (Figura 1.76), en tanto que si 0 e s obtuso entonces B y

P royBA tiene la m isma direccin y sentido opuestos (Figura 1.77)

E j e m p lo 1 . S i A = En este ca so vem os que Proy0A y B son paralelos y tienen sentidos opuestos. I

Seccin l . l l : Proyeccin ortogonal 67

P R O P IE D A D E S D E L A P R O Y E C C IO N O R T O G O N A L

1. Proyc (A + B) = ProycA + ProycB

2. ProyB (rA ) = r ProyBA

Definicin 1.12 Componentes Escalares

A BAl nmero j^ j se denom ina componente escalar del vector

A en la direccin del vector B , siendo B * O y se denota p o r :

C om pA = T T (23)

D ado que ProyBA = ( ) B , se puede establecer la relacin B B

siguiente entre proyeccin (un vector) y componente (un nmero)

(V r o y BA = (Com paA ) (24)

S i Com psA > 0 , entonces la ProyBA tienen el m ismo sentido de B. del m ismo modo,

si Com pBA < 0 entonces la ProyBA tiene sentido opuesto a B (Figura 1.77). Por

tanto, la componente escalar de un vector e s la longitud dirigida u orientada del vec-

Rtor. Esto e s , si - - es un vector unitario , la ecuacin (24) se puede escribir

B

Com pBA = || Proy A 11 (25)

El signo se debe elegir segn que B y ProyBA tengan o no el m ismo sentido. A s para

los vectores de la Figura 1.77 se toma : C om pBA = - 1 i P royBA 11

Ejemplo 2. Hallar la proyeccin ortogonal y la componente e sca lar del vectorA = (-3 , -4) sobre el vector B = = - 1 (4 , -2) = (-4/5 , 2/5)

Obtenemos la componente escalar aplicando (23 ), esto e s

r.nmn a -


Com o la C om pBA < 0 , la P royBA y B tienen sentidos opuestos.____________ - 2 V 5 "

La norma de la proyeccin ortogonal e s : 11 ProyBA I i = V(-4/5): + (2/5)- = j -

Com pBA = - 11 P royBAl I

P R O P IE D A D E S D E L A C O M P O N E N T E E S C A L A R

1. C om pc(A + B) = C om pcA + C om pcB

2. C om pB(rA ) = r C om pBA

------------- f EJEMPLOS ILUSTRATIVOS]------------- ^

E je m p lo 1 ^ ) L o s lados de un tringulo son los vectores A , B y A - B. S i

----------------------- || A II = 5 , II B II = 3 y C om p BA = -5/2, hallar la longitud del

lado A - B.

Solucin. S i C om pBA = - | => TT^TT = * 7 de donde A . B = - 15/2B

y s i| | A - B ||2 = I Ia | | 2 - 2 A - B + M b ||2 = (5)2 - 2(-15/2) + (3) = 49

11 A - B 11 - = 7

Ejemplo 2 ] Lo s lados de un tringulo son los vectores A , B y A + B. S i----------------------- | | a I I = 5 , 11 B 11 = 2V2 y 11A + B 11 = n 53 , h a lla r:

2Com pBA - C om pA(A + B)

Solucin. S i I ! A + B l = V53 A + 2 A B + 11 B i I = 5.-1:V53 II A 112 + 2

c= (5 y + 2 A

/ A - - 9 ( j mMl B ll)

(A + B) * A A I I - + B - A _ 2 5 + 1 0 _ 7 Com pA(A + B) = |[A| = ----------5 5 -

2 Comp A - CompA(A + B) = 5V2 - 7

Seccin 1.11: Proyeccin ortogonal 69

f Ejemplo 3 ) S i A + B + C + D = 0 , | | A + B | | = a , | | C | | = 6 y | | D | | = c , hallar la Com pcD

Solucin. S i A + B = - (C + D) => 11 A + B 11 = 11 - (C + D) 11 c=> a = 11 C + D 11 Elevando al cuadrado se tiene : a2 = 11 C 112 + 2 C D + 11 D 112

Luego , a2 = b2 + 2 C D + c2 , de donde : C D = \ (a2 - b2 + c2)

' Com p ' D = ^ = ( a ; - i : + c ! )

Ejemplo 4 ] S i el vector B forma un ngulo de 3 09 con el semieje positivo de las x , 11 B 11 = 2 , C om pBA = -2 y C om p B A = 2^3 ; hallar el

rector A.

Solucin. S i B = 11 B 11


Solucin. S e a el punto P(x , y). S i ^ = 2 => A P = 2 P B=> P - A = 2 (B - P)

r x + 1 = 10 - 2x => x = 3 < x + l , y - 3 > = 2 < 5 - x , 6 - y > o | y . 3 = 12 - 2y y = 5

Luego , P(3 , 5) => A P = P - A =


A B I < I I a I I 11 B 11 J A l B j < || B 11 ' A - A ^ A - B l < | |BIl A l l

A (A 1 + B)

I I A II

Luego , la afirmacin e s verdadera

< 11 B i I \ C om pA(A x + B) | < 11 B 11

4. C om pBiA = jy~TT\ * per0 11 01 i I = I B y A . B x = - A 1 . BB II B x II

A i . R A x (r B)Luego : C om p B A = - t como r > 0 => C om p B A = - 11 r B j y

C om p0iA = - C om p iBA x

Por tanto , la afirmacin e s verdadera.

5. S i A + B x = A x + B => A - B = A x - B x=> (A - B) (A - B) = (A - B) (A x - B x)

o (A - B) (A - B) = (A - B) (A - B )x (A A x = 0)

=> (A - B) (A - B) = 0 (A A = 0 A = O)

A - B = O c=> A = B

Luego , la afirmacin e s verdadera.

C j c m p lo 1 0 j Dado el vector A = (-4 , 2) y P royBiA - (-3 , 3 ), supuesto que

Com pBiA e s positivo , hallar la C om pBA.

Solucin. S i A = ProyBA + ProyaA

=> (-4 , 2) = ProyBA + (-3 , 3)

c=> P royBA =

Dado que . C om pBA = 11 P royBA I , entonces :

C om pBA = + (* l); = >/2

En la Figura 1.78 se observa que B y ProyBA tienen

sentidos opuestos , por lo que : C om p0A = - V2 Prov A

FIGURA 1.78

E j e m p lo 1 1 } Dado el exgono regular de lado a (Figura 1.79), hallar la proyeccin ortogonal de FC sobre BE.

Solucin. FC = 11 r c 11

Seccin 1.11: Proyeccin ortogonal 73

BE = 11 B E 11 (C o s 300, Se n 300) = 2a (1/2 , - \3/2) B E = a C = ^ | A = 11 A 11 (C o s 75 , S e n 75) = ^ | I A 1 1 V = r (-VJ - 1 , V3 - 1) - r


Solucin. A = 11 A I ! (C o s 60, Se n 60) = B = llB|| (1 - V 3 , 1 +V3> 4

c=> B i = L || B II (-1 - V 3 , 1 - V3>

Lu e go , si V = B - B 1 => V = ^ Il B II /3> = ^ Il B II (1 , V3> = r (1 , V3)

O r ( l

(V1 + 3)*. P r o y A = f - ^ V - W = ( < l ' ^ > m i , ^ ) r < l , V 3 > = M = A B + (A D + DE) - (A D - A B )

= 2B + D = 2B + -y A B = j B

FIGURA 1.82

M A D 5 /AB A D \ 5 /Il A B II II A D l l C o s 60\II A D l l ~ 2 ' IID lr 2 \ || A D l l '

de donde obtenemos : 11V11 = -j 11 A B 11

En el A D H C : h = 11DC 11 Se n 60 = 11 A B 11 Se n 60 =

l l v l l = t ( 2 r ) h = 5 r h

A B II =

Seccin l . l l : Proyeccin ortogonal 75

[ Ejemplo 15^ La Figura 1.83 e s un trapecio rectngulo en donde :

A = (5 , 12) y C = (-2 , 3). Hallar su rea.

Solucin. 11 A 11 = V5: + 12: = 13

11 H 11 = Com p iC = * A 1 l l A l l

H|| = ( -2 ,3 ) . (-12, 5) _ 13

= 3

r

B

A

/H

(

V A

D|| = C om p C = = . C - A = r ( l , -7) C = (4 , 10) + r(l , -7) ( 1 )

Como BC = 2BH c * BC = 2 P r o y -B A = 2(3 , - I)

=> C - B = (6 , -2) B = (4 , 10) + r ( l , -1) - (6 , -2)

E => 8 = (-2 , I2) + r ( l , -7) (2)

AB = B - A = (-2 , 12) + r ( I , -7) - (4 , 10) = (r - 6 , 2 - 7r)Adems :

11 A B l l= | | A C 11 \(r - 6)2 + (2 - 7r)J = r V i + 49 de donde , r = 1 , que sustituido en (1) y (2) obtenemos :

C(5 , 3) y B(-1 , 5)

e je m p lo 1 7 7 ) Se an A(-3 , 2 ), B , C(-1, 13) y D los vrtices de un rectngulo

tal que A C es una de s u s d iagonales y B es ortogonal a (4 , -3). Hallar los vrtices B y D.

Solucin. S i A B 1 (4 , -3) implica que A B 11 ( 3 , 4 ) , entonces un vector unitario en

76 Capimio I: Vectores en el plano

B (3 , 4>la direccin y sentido de A B es: u = _ - = ^

* II A B II 5

Adem s , si A C = C - A

=> C = (-1 , 13) - M = -L (A + B)

c=> B = 2M - A = 2(-l , 6) - (-5 , 4) = (3 , 8)

N es punto medio de BC => N = \ (B + C)

= * C = 2 N - B = 2 (7 , 1) - (3 , 8) = (11 , -6)

Por lo tanto , los vrtices del tringulo son :

A ( - 5 ,4 ) , B(3 , 8) y C (1 1 ,-6 )

78Captulo I: Vectores en el plano

--------------------------A D = 3AN

a) Hallar r y s tales que : M N = r A D j f s AB

b) S i adicionalmente los vectores B A y A D for

man un ngulo de 120c y I ! A D 11 = 2jJ B A 11 ,

hallar la proyeccin ortogonal de M N sobre

D.

Solucin.

R _ c

r / ^

/

l ) n

v ----------------------

D

FIGURA 1.88

a) S i M D = 4 B M => M D = j B D = j (A D - A B )

y si A D = 3AN N D = - j A D

E n e l A M N D : M N = M D - D = ( b - A B ) - A D M N = ^ A D -

Por lo que : r = 2/15 y s = - 4/5

b) P o r la igualdad (1 ) : P ro yaT>MN = ^ P r o y lT>A"> - f P r yA-DA B

_ J _ a d - - ( AB - A D" 1 5 A 5 \ 11 a D I I 2 '

(1)

I I b l l

Pero : B D = II B II II D11 Cos60 = \ II D II 11 D 11 (X ) = i - l I A D 11

Luego , en (2) se tiene : P royA-DM = D - (^ ) A D = - A D

(2)


1. Demostrar que : a) P r o y A( B - C ) - P royAB - P royAC

b) ProyA(r B) = r ProyAB

c) C om pc(A + B) = C om pcA + C om pcB

2. Se an A , B y C vectores no nulos en R 2 y r , s e R. Establecer si las siguientes

proposiciones son verdaderas o falsas.

a) ProyBA + ProyBi(A - B) = A

b) ProyA(A + B) - ProyAB = A

c) P royB(r A + s C) = (r + s) (ProyBA + ProyBC)

d) ProyBiA + P ro yA B = O

3. S e a n los vecto re s A y B lados de un parale logram o. S i 11 A 11 = 6 11 A 11 =


2 11 B 11 y C om pBA = 10/3 , hallar la longitud de la diagonal A - B.

4. D ado s los vectores A = Com pBA + Com pAB = 2 11 B I i

c) (ProyBA)-L = P r o y ^ A 1

d) C om pBi (ProyBA) = 0

16. S i A = (5 , -2) y P royBi A =


y ProyBi A = (-3 , 3).

21. D ado s los vectores A = (3 , -6 ), B =

base s es A = O R y uno de su s lados no paralelos e s

B = OP.

a) Con referencia a las posiciones de u y v , graficar

cuidadosamente el trapecio O PQ R .

b) H a lla r, en trminos de u y v , el vector OQ.

27. Dado el exgono regular A B C D E F de la Figura 1.90, cuyo lado mide 10 unida

des y el vector V = BD + FC + B C ; hallar 11 ProyA-pV 11.

28. Dado el exgono regular de lado a (Figura 1.91), en donde G y H son puntos medios de B C y D E respectivamente. Hallar la norma de V, si V = P ro y ^ S A G ) +

ProyA-F(9AH).

29. En la Figura 1.92 , A , B y C son tres vectores de R : tales que B e s unitario, C

e s ortogonal a A y A * B = ||A|| (\3/2). Hallar la C om p A.


30. En el paralelogramo A B C D de la Figura 1.93 , m (4 B A D ) = 60e , 11 A B 11 = a ,

I I DI I = 2a , donde a e R - {0 }. S i p = 11 ProyAD C 11 y q = 11 PrbyA8 C 11 .hallar p + q.

31. Se a A B C D un rectngulo (Figura 1.94) tal que 2A~B = D y 11 A B 11 = a ; sean E

y F puntos medios de los lados B C y D C respectivamente. S i V = E + C + F,

hallar el valor de : Com pA- V + C o m p ^ V .

32. En el rectngulo de la F igura 1.95 , H , P y Q son puntos medio. B = 4 F B ,

O C = 4a , OA - a. S i V = H F + A P + Q C , hallar Com pABV + Comp -.y.

FIGURA 1.95

33. Sab iendo que ProyA 0.

36. E n la F igura 1.96 el A A B C e s equiltero y C H e s altura. S i C H = (2 , 4) y V =

(V3 , 1 ) , hallar la C om pvCA.

37. En el exgono regular de lado 8 unidades mostrada en la Figura 1.97 , hallar la


proyeccin ortogonal de

a) M sobre M B + B ) b) V = C + B D - C sobre M B

38. En el trapecio P Q R S de la F igu ra 1.98 se tiene : 11 RQ 11 = 11SP 11 , S (-4 , 2 ),

Q (10 , 4 ), P S P R = 0 y P roypPR = (8 , 8). Hallar los puntos A , P y R.

39. Lo s vrtices de un rectngulo A B C D son A(-2 , -6 ), C (2 , 6), D (-6 , -2) y B. Lo s

puntos M e D C , N e A B , R e BC, adem s P ro y ^ A D = m(1 , -3) y N M + N R =

(4 , 14). a) Hallar el vrtice B. b) Hallar los puntos M , N y R.

AREA DEL PARALELOGRAMO Y DEL T R IA NGU LO

Haciendo uso de la proyeccin ortogonal de un vector sobre otro, estamos

en condiciones de hacer otra interpretacin geomtrica del producto escalar. Para

tal efecto considerem os el paralelogramo de lados A y B (Figura 1.99). Llam emos

11 C11 a la altura que se obtiene mediante la proyeccin ortogonal de A sobr B x, de

modo que :

11 C 11 = 11 Proy0iA 11 = I C om p0A I

C 11 = A B J

11 B x |

Dado que el rea del paralelogramo e s igual al

producto de su base por su altura , entonces

.............................1 A B x |-S = l B C I = I B

11 B x 11

S = ! A . B xPero como 11B ! I = I B x 11

A s hem os demostrado el siguiente teorema

Seccin 1.12: Area (le paralelogramo y del tringulo 83

TEOREMA 1.12 Area del paralelogramo y del tringulo

El rea S de un paralelogramo , cuyos lados son los vectores

A y B , e s igual al producto escalar de uno de ellos por el ortogonal del otro. Esto

es :

S = | A B x | = I A 1 B I (26)

En particu lar, el rea del tringulo S, , cuyos lados consecutivos son los vecto

res A y B est dado p o r :

S, = | | A . B X | = i - l A x . B| (27)

r EJEMPLOS ILUSTRATIVOS^ Ejemplo i j Se an P ( -3 ,1 ), Q { 7 , -1) y R ( 5 ,3 ) tres vrtices consecutivos de

un paralelogramo. Hallar su rea.

Solucin. Conside rem os el vrtice Q como punto inicial de los vectores A y B.

Luego, si A = QP => A = P - Q =

84 Capitulo J: Vectores en el plano

Ejemplo 3 ) S e dan los puntos A(3 , -2 ), B (-3 , 2) y C (2 , 7). S i P divide al segmento B C en la razn B P : P C = 2 : 3 ; hallar el rea del

tringulo A PC .

Solucin. S e a P(x , y). S i 3 BP = 2 PC , entonces3

V = A C

8 6 Capiiulo I: Vectores en el plano

S, = y | R T 1 ! = y l


Adem s , A R = k A D => R = A + k A D = (-8 , 4) + k(3 , 5)

Restando (5) - (2) se tiene : R - P = k (3 , 5) - 1 (-5 , 3)

(-3, 19/3) = k

1.13 j DEPENDENC IA E IN D EPENDENC IA L INEAL DE VECTORES

9Q Captulo 1: Vectores en el plano

Definicin 1.13 Vectores inealnienle dependientes_________________________

S e dice que dos vectores A y B e R : son linealmente dependientes (L. D.) si el vector nulo O puede expresarse com o combinacin lineal de e stos vectores , esto es .

s A + t B = O

donde por lo m enos un coeficiente e s diferente de cero. Simblicamente

A y B son L. D. B s . t e R l s A + t B = 0 . c o n s * 0 t * 0 ________________________________________________________ __________________________ x

Por ejemplo , los vectores A = (-1 , 3> y B = A = (- B , lo cual implica que A B

S i i * 0 B = (- |-) A , lo que nos dice que B A

() Demostraremos ahora que si A B entonces A y B son L. D.

En efecto, si A B o 3 r e R A = i B A - r B = O

Seccin 1.13: Dependencia e Independencia lineal de vectores 91

A + (-r)B = O

S e ha logrado una combinacin lineal de A y B igual a O con coeficientes 1 y

*r que son diferentes de cero , por lo tanto , A y B son L. D.

Definicin 1.14 Vectores linealmente independientes

D o s vectores A y B e R- , se dice que son linealmente independientes (L. I.) si toda combinacin lineal de A y B que e s igual a O implica que s u s coeficientes son necesariamente cero. Simblicamente :

A y B son L.l. s A + i B = 0 s = t = 0

Por ejemplo , los vectores unitarios ortogonales i = (l , 0) y j =


() Demostraremos que si A y B son linealmente independientes entonces, A j f B

En efecto , supongam os que A B , A * 0 y B * 0 c=> 3 r * 0 A = r B

t=> A + (-r) B = O

S e ha logrado una combinacin lineal de A y B igual a O con coeficientes I y

-r que son diferentes de cero , lo cual contradice la Definicin 1.14. Esto signi

fica que A y B son linealmente dependientes , lo que contradice nuevamente

la hiptesis. Por lo tanto , A J B .

TEOREMA 1.5 E l teorema de las bases-

S i A y B son vectores linealmente independientes del plano ,

entonces A y B forman una base de los vectores del plano.

Demostracin. Se an A = OQ , B = OR y C = OPPor hiptesis A y B son lineal

rM -=op

mente independientes , entonces OQ y O R no * ^/

son colineales. Por el punto P tracemos parale V /las a Q y R de modo que intercepten a su sB/ /

prolongaciones en M y N respectivamente (Fi

? A "*Q ^gura 1.113). Luego se tiene : J

ON = s A y O M = l BFIGURA 1.113

Dado que : OP = ON + NP = ON + O M , entonces

C = s A + tB

lo que nos permite afirmar que C se representa como una nica combinacin lineal

de A y B y genera el espacio vectorial R :.

En sntesis , dado un par de vectores A y B en R ; , entonces

a K b {A , B e s una base del espacio R 1

La demostracin del teorema nos sugiere la siguiente definicin.

Definicin 1.15 D o s vectores A y B constituyen una base de los vectores del plano s i , todo vector C del plano se puede expresar de m ane

ra nica com o una combinacin lineal de A y B. E s decir

A y B generan a R : V C , 3 s , t e R I C = s A + t B

Seccin /. 13: Dependencia e Independencia lineal de vectores 93

Los nmeros s y t pueden calcularse multiplicando escalarmente la igualdad por A 1

y B x , esto e s :

A 1 C = l (A 1 B) => t = A -L.QA x B

I O B S E R V A C IO N E S 1.9

1. Un vector no nulo se puede expresar no solamente como una combinacin lineal

de dos vectores ortogonales A y A 1 , sino que A x se puede reemplazar por

cualquier otro vector que cumpla la condicin de no se r paralelo a A.

2. Los nm eros s y i de la ecuacin (28) se denom ina coordenadas del vector C en la base (3 = { A , B }

. D i , p .3. En la Figura 1.113 podem os observar que el ve c to r: s A = J A

es la proyeccin del vector C sobre el vector A siguiendo la direccin de B.

A esta proyeccin se le denota p o r : fproy.A B)C = ) A

_________________ /

A s mismo, el vector B = ^ ) b | e s la proyeccin de C sobre B siguien

do la direccin de A . y se le denota p o r : Proy(B A)C = ( * g ) B j

Por lo tanto , en la ecuacin (28) se tiene :

c = Pry

MATEMÁTICAS BÁSICA 2 – VECTORES Y MATRICES CON NÚMEROS COMPLEJOS -

Documents

Transcript of MATEMÁTICAS BÁSICA 2 – VECTORES Y MATRICES CON NÚMEROS COMPLEJOS -