Matemáticas básicas

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Matemáticas básicas M.C. Enrique Tadeo Santoyo Espinosa

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Matemáticas básicas

M.C. Enrique Tadeo Santoyo Espinosa

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Unidad 1Definición

Las matemáticas o la matemática es una ciencia que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones cuantitativas entre los entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos). Mediante las matemáticas conocemos las cantidades, las estructuras, el espacio y los cambios. Los matemáticos buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin.

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Unidad 1Definición

Hoy en día, las Matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica).

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Unidad 1Definición

Como todo estudio, las matemáticas surgieron como consecuencia de algunas necesidades que el hombre comenzó a experimentar, entre ellas, hacer los cálculos inherentes a la actividad comercial y por supuesto, hacerlos bien para que la misma pudiese seguir existiendo, para medir la tierra y para poder predecir algunos fenómenos astronómicos. Mucha gente supone que estas carencias fueron las que provocaron la subdivisión actual de las matemáticas, en estudio de la cantidad, estructura, cambio y espacio.

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Unidad 1Definición

La mayoría de los objetos de estudio de las matemáticas, los números, la geometría, los problemas, el análisis, son todas cuestiones que seamos o no seamos estudiosos o fanáticos de la materia debemos conocer porque de alguna u otra manera se relacionan con nuestra actividad cotidiana, aún cuando nuestra profesión o quehacer esté bien alejado de la resolución de problemas matemáticos. Por ejemplo, para una ama de casa, es sumamente importante tener nociones matemáticas para resolver o decidir compras en el supermercado, entre otros.

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Unidad 1Definición

Asimismo, para lograr una correcta descripción, análisis y predicción de algunos fenómenos es necesaria la matemática, que nos ayudará con estas cuestiones a través de ramas como la probabilidad y la estadística tan funcionales cuando de estos temas se trata.

“Euclides y Tales de Mileto son algunos

de los estudiosos que más influencia y aporte han tenido en el campo”

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Unidad 1Definición

Las matemáticas están divididas en numerosas ramas muy interrelacionadas entre sí, algunos objetos de estudio son: teoría de los conjuntos, lógica matemática, investigación operativa, números enteros, racionales, irracionales, natural, complejo, cálculo, ecuaciones, álgebra, geometría.

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Unidad 1Funciones

Una función es una especie de máquina que toma elementos de un conjunto y después de un proceso obtiene elementos de otro

Por ejemplo: La función del conjunto de las palabras en el

conjunto de las letras que a cada palabra le asigna su letra inicial.

La función del conjunto de ciudadanos de un país en el de las huellas digitales que a cada ciudadano le asigna la huella digital de su índice derecho.

La función del conjunto de los reales en sí mismo que a cada real le asigna su cuadrado.

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Unidad 1Funciones

De una manera más formal tenemos:Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una función f

de A en B, notada:

Es un subconjunto de A × B (una relación de A en B) que cumple:

Para todo elemento a ∈ A existe un único b ∈ B tal que la pareja (a, b) ∈ f .

Como es único el elemento b relacionado con a, escribimos f (a) = b.

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Unidad 1Funciones

Si f : A → B es una función,A se llama el Dominio de f .

B se llama el Codominio de f .

{b ∈ B | existe a ∈ A tal que f (a) = b} se llama el Rango de f o el Recorrido de f o la Imagen de f .

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Unidad 1Funciones: ejemplos

f : R → R definida por f (x) = 2x − 1.Dom ˙f = R, Imagen de f = R.

g : R → R definida por g(x) = x2.Dom g = R, Imagen de g = [0,∞) .

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Unidad 1Igualdad de funciones

Dos funciones f y g son iguales si tienen el mismo dominio y para todo elemento x del dominio f (x) = g(x). En este curso trabajaremos únicamente funciones reales, es decir, funciones de dominio y codominio R o subconjuntos de R.

En este caso se acostumbra simplemente a identificar la función con la expresión que define su efecto sobre la variable, suponiendo que el dominio el es subconjunto más grande de R en el que se puede definir la función y el codominio es R.

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Unidad 1Igualdad de funciones: Ejemplos

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Unidad 1Dominio y rango restringidos

En su forma más simple el dominio son todos los valores a los que aplicar una función, y el rango son los valores que resultan. Pero de hecho son conceptos importantes cuando se define una función.

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Unidad 1Dominio y rango restringidos

¿Qué es una función?

Una función es como una máquina: tiene una entrada y una salida. Y lo que sale está relacionado de alguna manera con lo que entra.

Ejemplos•"Multiplicar por 2" es una función muy simple•La raíz cuadrada (√) es una función•Seno, coseno y tangente son funciones que se usan en trigonometría

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Unidad 1Dominio y rango restringidos

“Pero no vamos a ver funciones concretas...... ahora vamos a ver la idea general de una función.”

Primero, es útil darle un nombre a una función. El nombre más común es "f", pero puedes ponerle otros como "g" ... o hasta "mermelada" si quieres. Y también está bien darle nombre a lo que se va adentro de la función, se pone entre paréntesis () después del nombre de la función:Así que f(x) te dice que la función se llama "f", y "x" se pone dentro

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Unidad 1Dominio y rango restringidos

Y normalmente verás lo que la función hace a la entrada:f(x) = x2 nos dice que la función "f" toma "x" y lo eleva al cuadrado

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Unidad 1Dominio y rango restringidos

Así que con la función "f(x) = x2", una entrada de 4 da una salida de 16. De hecho podemos escribir f(4) = 16.

Nota: a veces las funciones no tienen nombre, y puede que veas algo como y = x2

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Unidad 1Dominio y rango restringidos

Arriba dije que una función es como una máquina. Pero una función no tiene engranajes ni correas ni partes que se muevan. ¡Y no destruye lo que pones dentro!En realidad, una función relaciona la entrada con la salida. Decir que "f(4) = 16" es como decir que 4 está relacionado de alguna manera con 16. O también 4 → 16

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Unidad 1Dominio y rango restringidos

Así que tenemos que usar algo más general, y ahí es donde entran en juego los conjuntos:

Un conjunto es una colección de cosas, por ejemplo números. Aquí tienes algunos ejemplos:-El conjunto de los números pares: {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}-Un conjunto de ropa: {"sombrero","camisa",...} -El conjunto de los números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}-Los múltiplos de 3 que son más pequeños que 10: {3, 6, 9}-Cada cosa individual en un conjunto (como "4" o "sombrero") es un miembro, o elemento.

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Unidad 1Dominio y rango restringidos

Así que una función toma elementos de un conjunto, y devuelve (normalmente con algún cambiados) elementos de un conjunto. Con esto llegamos a la definición formal:

Definición formal de función Una función relaciona cada elemento de un

conjuntocon un elemento exactamente de otro

conjunto(puede ser el mismo conjunto).

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Unidad 1Dominio y rango restringidos

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Unidad 1Dominio y rango restringidos

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•"exactamente uno" significa que la función es univaluada. No devolverá 2 o más resultados para la misma entrada. ¡Así que "f(2) = 7 o 9" no vale! •Cada elemento de "X" se relaciona con un elemento de "Y". Decimos que la función cubre "X" (relaciona cada elemento de) También fíjense que en el dibujo de arriba hay dos elementos en "X" que se relacionan con el mismo elemento de "Y". No pasa nada. No hay ninguna regla contra esto.Y finalmente, fíjate en que algunos elementos de "Y" no se relacionan con nada. Eso también vale.

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Unidad 1Dominio y rango restringidos

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Dominio, codominio y rango

En el dibujo de arriba el conjunto "X" es el dominio,

el conjunto "Y" es el codominio, y el conjunto de elementos de Y a los que

llega alguna flecha (los valores verdaderos de la función) se llama rango o imagen.

En matemáticas, el codominio (conjunto final, recorrido o conjunto de llegada) de una función es el conjunto que participa

en esa función

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Unidad 1Dominio y rango restringidos

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Dominio y rangoHay nombres especiales para lo que puede entrar, y también lo que puede salir de una función:

• Lo que puede entrar en una función se llama el dominio

• Lo que es posible que salga de una función se llama el codominio

•Lo que en realidad sale de una función se llama rango o imagen

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Unidad 1Dominio y rango restringidos

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Parte de la funciónLo que sale (el rango) depende de lo que

pones (el dominio), pero TÚ defines el dominio. De hecho el dominio es una parte

esencial de la función.

Un dominio diferente da una función diferente.

Ejemplo: una simple función como f(x) = x2 puede tener dominio (lo que entra) los

números de contar {1,2,3,...}, y el rango será entonces el conjunto {1,4,9,...}

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Unidad 1Función lineal

Una función lineal f(x) es aquella que satisface las siguientes dos propiedades Propiedad aditiva (también llamada propiedad de superposición): Si existen f(x) y f(y), entonces f(x + y) = f(x) + f(y). Se dice que f es un grupo isomorfista con respecto a la adición.

Propiedad homogénea: f(ax) = af(x), para todo número real a. Esto hace que la homogeneidad siga a la propiedad aditiva en todos los casos donde a es racional. En el caso de que la función lineal sea continua, la homogeneidad no es un axioma adicional para establecer si la propiedad aditiva esta establecida.

En esta definición x no es necesariamente un número real, pero es en general miembro de algún espacio vectorial.

Para comprobar la linealidad de una función f(x) no es necesario realizar la comprobación de las propiedades de homogeneidad y aditividad por separado, con mostrar que f(ax + by) = af(x) + bf(y) la linealidad queda demostrada.

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Unidad 1funciones multiderivadas básicas

Función de dos variables

Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z. El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia da un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contra dominio.

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Unidad 1funciones multiderivadas básicas

Una función de dos variables se denota usualmente con la notación

z = f (x, y)

Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente.

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Unidad 1funciones multiderivadas básicas

La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y).

Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.

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Unidad 1funciones multiderivadas básicas

Líneas o curvas de nivel

Si tenemos una función de dos variables dada por z = f (x, y), entonces la gráfica de la ecuación f (x, y) = constante = c es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, c). Todos estos puntos tienen el mismo valor para la coordenada z, es decir, z = c. Por lo tanto todos esos puntos están a la misma altura sobre el plano xy, o sea que están “al mismo nivel” sobre el plano xy.

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Unidad 1Representaciones graficas de funciones matemáticas

Una gráfica es una representación de datos, generalmente numéricos, mediante líneas, superficies o Símbolos, para ver la relación que esos datos guardan entre sí. También puede ser un conjunto de puntos, que se plasman en coordenadas cartesianas, y sirven para analizar el comportamiento de un proceso, o un conjunto de elementos o signos que permiten la interpretación de un fenómeno. La representación gráfica permite establecer valores que no han sido obtenidos experimentalmente, es decir, mediante la interpolación (lectura entre puntos) y la extrapolación (valores fuera del intervalo experimental).

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Unidad 1Representaciones graficas de funciones matemáticas

Investigar cuantos tipos de gráficas hay, y como se pueden clasificar .

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Unidad 3Introducción a las matrices

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester . El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.

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Unidad 3Introducción a las matrices

Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc... La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial dn los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos

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Unidad 3Introducción a las matrices

Definición de matriz

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

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Unidad 3Introducción a las matrices

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

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Unidad 3Introducción a las matrices

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

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Unidad 3Introducción a las matrices

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1xn.

A=(a11 a12 ... a1n)

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Unidad 3Introducción a las matrices

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x 1

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Unidad 3Introducción a las matrices

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n. Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria

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Unidad 3Introducción a las matrices

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc. De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m.

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Unidad 3Introducción a las matrices

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j.

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica. Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni anti simétrica.