MATEMÁTICAS BÁSICAS - docentes.unal.edu.co€¦ · Conjuntos Definición intuitiva de conjunto...

57
MATEMÁTICAS BÁSICAS 2 de marzo de 2009 Universidad Nacional de Colombia MATEMÁTICAS BÁSICAS

Transcript of MATEMÁTICAS BÁSICAS - docentes.unal.edu.co€¦ · Conjuntos Definición intuitiva de conjunto...

MATEMÁTICAS BÁSICAS

2 de marzo de 2009

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Parte I

Conjuntos

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Definición intuitiva de conjunto

Definición

Un conjunto es una colección de objetos.Ejemplos

A = {a, e, i , o, u}

B = {blanco, gris, negro}

C = {2, 4, 6, 8, 9}

D = {x |x es un país de América Latina}

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Conjuntos determinados por extensión y porcomprensión

Extensión y Comprensión

Cuando un conjunto es descrito por un propiedad quecomparten sus elementos se dice que está determinado porcomprensión . Cuando damos una lista explícita de loselementos del conjunto, decimos que está determinado porextensión .

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Conjuntos determinados por extensión y porcomprensión

Extensión y Comprensión

Cuando un conjunto es descrito por un propiedad quecomparten sus elementos se dice que está determinado porcomprensión . Cuando damos una lista explícita de loselementos del conjunto, decimos que está determinado porextensión .

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Conjuntos determinados por extensión y porcomprensión

Ejemplos

A = {x |x es un número primo menor que 50}

A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Conjuntos determinados por extensión y porcomprensión

Ejemplos

B = {x |x es un entero mayor que -3}

B = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Conjuntos determinados por extensión y porcomprensión

Ejemplos

C = {x |x es un número par y primo}

C = {2}

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Conjuntos determinados por extensión y porcomprensión

Ejemplos

Consideremos el conjunto

D = {x |x es par, primo y mayor que 5}

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Conjuntos determinados por extensión y porcomprensión

Ejemplos

Consideremos el conjunto

D = {x |x es par, primo y mayor que 5}

El conjunto que no tiene elementos se conoce como elconjunto vacío y se acostumbra a notar por ∅ o { }.

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Conjuntos determinados por extensión y porcomprensión

Ejemplos

Consideremos el conjunto

D = {x |x es par, primo y mayor que 5}

El conjunto que no tiene elementos se conoce como elconjunto vacío y se acostumbra a notar por ∅ o { }.OJO {∅} NO es el conjunto vacío, es un conjunto con unelemento.

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Pertenencia

Definición

Consideremos una relación binaria denotada por ∈, definidaentre un elemento a y un conjunto A.Decimos que a pertenece a A si a es un elemento de A, lo cualdenotamos por a ∈ A. En caso contrario, decimos que a nopertenece a A y lo escribimos a /∈ A.

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Conjunto de referencia o conjunto universal

Consideremos el conjunto

A = {x |x es primo },

hay un conjunto de referencia?

letras?

colores?

reales?

naturales?

El conjunto referente donde se puede hablar de la propiedaddel conjunto lo tomamos como conjunto universal.

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Conjunto de referencia o conjunto universal

Ejemplos

Son ejemplos de conjuntos universales:

U : N

U : R

U : Z

U : Estudiantes activos de la Universidad Nacional

U : Habitantes de Colombia

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Subconjuntos

Definición

Consideremos dos conjuntos A y B. Decimos que A essubconjunto de B si todo elemento de A es también elementode B, lo cual se nota por A ⊆ B y se lee A está contenido en B.En otras palabras

(∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B).

Para decir que A * B negamos la proposición anterior así:

∼ (∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B)⇐⇒ (∃x)(x ∈ A ∧ x /∈ B)

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Subconjuntos

U

A

B

Figura: A ⊆ B

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Subconjuntos

Propiedades

Dado un conjunto A se tiene que ∅ ⊆ A.Pues de no ser así, existiría x ∈ ∅ tal que x /∈ A, lo cualcontradice el hecho de que vacío no tiene elementos.

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Subconjuntos

Propiedades

Dado un conjunto A se tiene que ∅ ⊆ A.Pues de no ser así, existiría x ∈ ∅ tal que x /∈ A, lo cualcontradice el hecho de que vacío no tiene elementos.

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Subconjuntos

Si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C. Veamos{

(∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B)

(∀x)(x ∈ B −→ x ∈ C)=⇒ (∀x)(x ∈ A −→ x ∈ C)

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Igualdad entre conjuntos

Igualdad entre conjuntos

Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si A ⊆ B y B ⊆ A. Enotras palabras

(∀x)(x ∈ A←→ x ∈ B)

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Subconjuntos

Ejemplo

SeanA = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9}.Tenemos que B ⊆ A, pero C * A.

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Conjunto Potencia o conjunto de Partes

Conjunto Potencia o conjunto de Partes

Sea A un conjunto. Definimos la colección P(A) := {X |X ⊆ A}.Se conoce como el conjunto de Partes de A, o el conjuntoPotencia de A.

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Conjunto Potencia o conjunto de Partes

Conjunto Potencia o conjunto de Partes

Sea A un conjunto. Definimos la colección P(A) := {X |X ⊆ A}.Se conoce como el conjunto de Partes de A, o el conjuntoPotencia de A.

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Conjunto Potencia o conjunto de Partes

Ejemplo

Sea A = {a}.P(A) = {∅, {a}}.

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Conjunto Potencia o conjunto de Partes

Ejemplo

Sea A = {a}.P(A) = {∅, {a}}.

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Conjunto Potencia o conjunto de Partes

Ejemplo

Sea A = {a, b}.P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Conjunto Potencia o conjunto de Partes

Ejemplo

Sea A = {a, b}.P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Conjunto Potencia o conjunto de Partes

Ejemplo

Sea A = {a, b, c}.P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Conjunto Potencia o conjunto de Partes

Ejemplo

Sea A = {a, b, c}.P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Conjunto Potencia o conjunto de Partes

Propiedades

Si A ⊆ B entonces P(A) ⊆ P(B).

Si A es un conjunto finito con n elementos, entonces P(A)tiene 2n elementos.

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Conjunto Potencia o conjunto de Partes

Propiedades

Si A ⊆ B entonces P(A) ⊆ P(B).

Si A es un conjunto finito con n elementos, entonces P(A)tiene 2n elementos.

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Operaciones entre conjuntos

Unión

Sean A y B dos conjuntos, definimos la unión de A y B como

A ∪ B := {x |x ∈ A o x ∈ B}.

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Unión

UA B

Figura: A ∪ B

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Intersección

Intersección

Sean A y B dos conjuntos, definimos la intersección de A y Bcomo

A ∩ B := {x |x ∈ A y x ∈ B}.

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Intersección

UA B

Figura: A ∩ B

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Unión e Intersección

Propiedades

A ∩ B = B ∩ A

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ ∅ = ∅

A ∪ ∅ = A

A ∪ A = A

A ∩ A = A

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Unión e Intersección

Propiedades

A ⊆ A ∪ B

A ∩ B ⊆ A

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪C)

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Complemento

Definición

Sea A un conjunto considerado como subconjunto de unconjunto universal U. Definimos el complemento de A (conrespecto a U) como

A′ = {a ∈ U|a /∈ A}.

El complemento de A se nota por A′ o por AC .

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Complemento

U

A

A’

Figura: A′

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Complemento

Propiedades

A′′ = A

A ⊆ B si y sólo si B′ ⊆ A′

(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Diferencia

Definición

Sean A y B dos conjuntos. Definimos la diferencia de A y Bcomo

A− B = {x |x ∈ A ∧ x /∈ B}

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Diferencia

UA B

Figura: A− B

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Diferencia

Propiedades

A− B = A ∩ B′

A− A = ∅

A− ∅ = A

A− B = A si y sólo si A ∩ B = ∅

A− B = ∅ si y sólo si A ⊆ B

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Diferencia

Ejercicio

Sean U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 6}y C = {3, 5, 7}. Encuentre

A− B

B − A

(A− B) ∪ C′

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Diferencia Simétrica

Definición

Sean A y B dos conjuntos. Definimos la diferencia simétrica deA y B como

A△B = (A− B) ∪ (B − A)

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Diferencia Simétrica

UA B

Figura: A △B

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Diferencia Simétrica

Propiedades

A△B = B△A

A△∅ = A

A△A = ∅

Si A ⊆ B entonces A△B = B − A

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Producto Cartesiano

Definición

Dados dos conjuntos A y B definimos el producto cartesianode A y B, notado por A× B como

A× B := {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}.

Los elementos de A× B se llaman parejas ordenadas, y comosu nombre lo indica importa el orden en que aparece, esto es,(a, b) 6= (b, a). Así

B × A = {(b, a)|b ∈ B ∧ a ∈ A}

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Producto Cartesiano

Ejercicio

Sean A = {1, 5, 9} y B = {6, 7}. Encuentre

A× B

B × A

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Producto Cartesiano

Propiedades

A× B es igual a B × A ?

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Cardinal de un conjunto

Definición

Si un conjunto A tiene k elementos, donde k es cualquiernúmero natural, decimos que el cardinal de A es k y se nota

n(A) = k .

Ejemplo

Si A = {a, b, c} entonces n(A) = 3

Si B = {x |x es primo y x < 12} entonces n(B) =

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Cardinal de un conjunto

Definición

Si un conjunto A tiene k elementos, donde k es cualquiernúmero natural, decimos que el cardinal de A es k y se nota

n(A) = k .

Ejemplo

Si A = {a, b, c} entonces n(A) = 3

Si B = {x |x es primo y x < 12} entonces n(B) = 5

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Producto Cartesiano

Número cardinal de un producto cartesiano

Si n(A) = a y n(B) = b, entonces

n(A× B) = n(B × A) = n(A)× n(B) = n(B)× n(A) = ab.

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Producto Cartesiano

Ejercicios

Encuentre el número cardinal en cada caso

Si n(A× B) = 36 y n(A) = 12, encuentre n(B)

Si n(A× B) = 100 y n(B) = 4, encuentre n(A)

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Resumen

Operaciones entre conjuntos

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es elconjunto universal.

El complemento de A es A′ = {x |x ∈ U|x /∈ A}

La unión de A y B es A ∪ B = {x |x ∈ A ∨ x ∈ B}

La intersección de A y B es A ∩ B = {x |x ∈ A ∧ x ∈ B}

La diferencia de A y B es A− B = {x |x ∈ A ∧ x /∈ B}

La diferencia simétrica de A y B esA△B = {x |(x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x /∈ A ∧ x ∈ B)}

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Resumen

Leyes de De Morgan

Para dos conjuntos A y B

(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Conjuntos

Conjuntos

Ejercicio

Cierta empresa entrevistó a 140 personas en un centrocomercial de un suburbio con el fin de averiguar algunas de suscostumbres para cocinar, y obtuvo los siguientes resultados.58 utilizan horno microondas,63 utilizan hornillas eléctricas,58 utilizan gas,19 utilizan microondas y hornillas eléctricas,17 utilizan microondas y gas,4 utilizan tanto gas como hornillas eléctricas,1 utiliza los tres,2 cocinan sólo con energía solar,Realice un diagrama donde se puedan leer estos datos.

Universidad Nacional de Colombia

MATEMÁTICAS BÁSICAS