Matemáticas de cerca

Encontramos, cerca de una antigua posada medio abandonada, a tres hombres que discutían acaloradamente al lado de un grupo de camellos. Furiosos se gritaban improperios y deseaban plagas: -¡No puede ser! -¡Esto es un robo! -¡No acepto! El inteligente Beremís trató de informarse de qué se trataba. -Somos hermanos -dijo el más viejo- y recibimos, como herencia, esos 35 camellos. Según la expresa voluntad de nuestro padre, debo yo recibir la mitad, mi hermano Hamed Namir una tercera parte, y Harim, el más joven, una novena parte. No sabemos, sin embargo, cómo dividir de esa manera 35 camellos, y a cada división que uno propone protestan los otros dos, pues la mitad de 35 es 17 y medio. ¿Cómo hallar la tercera parte y la novena parte de 35, si tampoco son exactas las divisiones? Es muy simple -respondió el "Hombre que Calculaba"-. Me encargaré de hacer con justicia esa división si me permitís que junte a los 35 camellos de la herencia, este hermoso animal que hasta aquí nos trajo en buena hora. Traté en ese momento de intervenir en la conversación: -¡No puedo consentir semejante locura! ¿Cómo podríamos dar término a nuestro viaje si nos quedáramos sin nuestro camello? -No te preocupes del resultado "bagdalí" -replicóme en voz baja Beremís-. Sé muy bien lo que estoy haciendo. Dame tu camello y verás, al fin, a qué conclusión quiero llegar. Fue tal la fe y la seguridad con que me habló, que no dudé más y le entregué mi hermoso "jamal" (camello), que inmediatamente juntó con los 35 que allí estaban, para ser repartidos entre los tres herederos. -Amigos míos, dijo dirigiéndose a los tres hermanos, voy a hacer una división exacta de los camellos que como ahora ven son 36.

Y volviéndose al más viejo de los hermanos, así le habló: -Debías recibir, amigo mío, la mitad de 35, o sea 17 y medio. Recibirás en cambio la mitad de 36, o sea, 18. Nada tienes que reclamar, pues es bien claro que sales ganando con esta división. Dirigiéndose al segundo heredero continuó: -Tú, Hamed Namir, debías recibir un tercio de 35, o sea, 11 camellos y poco más. Vas a recibir un tercio de 36, o sea 12. No podrás protestar, porque también es evidente que ganas en el cambio. Y dijo, por fin, al más joven: - A ti, joven Harim Namir, que según voluntad de tu padre debías recibir una novena parte de 35, o sea 3 camellos y parte de otro, te daré una novena parte de 36, es decir, 4, y tu ganancia será también evidente, por lo cual sólo te resta agradecerme el resultado. Luego continuó diciendo: -Por esta ventajosa división que ha favorecido a todos vosotros, corresponden 18 camellos al primero, 12 al segundo y 4 al tercero, lo que da un resultado de 34 camellos. De los 36 camellos sobran, por lo tanto dos. Uno pertenece, como saben, a mi amigo el bagdalí y el otro es justo que me corresponda, por haber resuelto a satisfacción de todos el difícil problema de la herencia. -¡Sois inteligente, extranjero! -exclamó el más viejo de los tres hermanos-. Aceptamos vuestro reparto en la seguridad de que fue hecho con justicia y equidad. El astuto Beremís -el "Hombre que Calculaba"- tomó luego posesión de uno de los más hermosos jamales del grupo y me dijo, entregándome por la rienda el animal que me pertenecía: -Podrás ahora, querido amigo, continuar el viaje en tu manso y seguro camello. Tengo ahora uno solamente para mí. Y continuamos nuestra jornada hacia Bagdad.

��

� ��

RECORD ENTRE LOS NÚMEROS PRIMOS

Con este hallazgo, el proyecto GIMPS (Gran Búsqueda en Internet de Primos de Mersenne), iniciado en 1996, tiene en su haber el descubrimiento de diez números primos de Mersenne. La búsqueda de estos enormes números primos está coordinada por PrimeNet, que organiza unos setenta mil ordenadores en paralelo para crear un superordenador virtual trabajando a más de veinte billones de cálculos por segundo. Esto permitió al proyecto GIMPS hallar el número primo en sólo unos pocos meses, en vez de los miles de años que le llevaría a un único ordenador. Para participar en GIMPS sólo hace falta un ordenador con conexión a internet. El software necesario puede descargarse gratis desde Mersenne.org. Los cálculos se llevan a cabo en segundo plano,� mientras el usuario no está trabajando.

Fuente: http://elsofista.blogspot.com/2006/09/el-dcimo-nmero-primo-rcord-de gimps.html

El 11 de septiembre de 2006 se confirmó el descubrimiento del número primo más grande conocido hasta ahora. Expresado como 2^32.582.657 - 1 (2 elevado a la 32.582.657 potencia, menos 1), este número primo récord tiene 9.808.358 dígitos y fue descubierto el pasado 4 de septiembre por los doctores Curtis Cooper y Steven Boone, profesores de la�Universidad Estatal Central de Missouri, el mismo equipo que ya había descubierto el número récord anterior (en diciembre de 2005). Este número empieza por 124575026…y termina en 053967871. Actualmente, los números primos se usan en la creación de sistemas de seguridad para ordenadores: cuanto mayores sean, más seguridad ofrecen. La dificultad de encontrarlos está en que entre un número primo y otro no existe un intervalo fijo, por lo cual su búsqueda ha sido un reto para los matemáticos de todas las épocas. Los dos estadounidenses no han ganado por muy poco el premio de 100.000 dólares del proyecto Mersenne para quien descubra el primer número primo que supere los diez millones de dígitos. El número encontrado es el cuadragésimo cuarto número primo de Mersenne. Estos números llevan el nombre del monje francés Marin Mersenne, del siglo XVII, y tienen la forma 2 elevado a p, menos 1. Así, 7 es un primo de Mersenne (7 = 8 - 1 = 2³ - 1, y 7 es primo), pero 13 no lo es (porque aunque 13 es primo, 14 no es una potencia de 2) y 15 tampoco lo es (por no ser un número primo).

Ceros y cruces. Juego para dos jugadores.

Material necesario: - Cuatro fichas para cada jugador (de distinto color); también se pueden utilizar

ceros (O) y cruces (X) si se juega con lápiz y papel. - Un tablero como el de la figura.

Reglas del juego: - Cada jugador, en su turno, coloca una de sus fichas (o dibuja su marca elegida)

sobre una de las casillas libres del tablero. - Gana el primer jugador que consigue alinear tres fichas siguiendo cualquiera

de las líneas del tablero. - Si tras colocar todas las fichas posibles, ningún jugador ha conseguido tres en

raya, el juego se considera tablas.

Tres en raya. Juego para dos jugadores. Cada jugador dispone de tres fichas que se van situando alternativamente sobre el tablero y que, después, si no se ha conseguido tres en raya, mueven libremente a una posición adyacente (vecina) que esté libre. El objetivo es, de nuevo, alinear las tres fichas.

Variante. Si una vez colocadas las tres fichas, no se han alineado, se van moviendo a cualquier espacio libre.

El 11 en distintos sistemas de numeración Base 2

3 4 5 8

1011 102 23 21 13

10 11 12 16

Romanos

B B

XI

Etimología

Once Del lat. und�cim Diez y uno.

UndécimoOnceno

Del lat. undec�mus

Ordinal. Que sigue inmediatamente en orden al o a lo décimo.

Onceavo

Se dice de cada una de las once partes iguales en que se divide un todo.

El 11 en distintos idiomas Español Inglés Francés Alemán Italiano Ruso

��

ahdyeenahtsaht�

Multiplicación rápida por 11

Regla: Se suma la cifra de un determinado lugar, excepto la última, con la del anterior.

Ejemplo 1234 x 11

Multiplicando 0 1 2 3 4 x 11

Cálculo 0+1 1+2 2+3 3+4 4+0

Resultado 1 3 5 7 4

DIVISIBILIDAD ENTRE 11 Para que un número sea divisible entre 11, la suma de sus cifras de lugar par menos la suma de las cifras de lugar impar debe ser cero o múltiplo de 11.

��

Once es el 5º número primo más pequeño y … ��

�� !�� "��#�� $� ��%� �� "� �� !�� #� ��%� �� &��%��%��%��%�'�%��%�(�%�)�%�*��#�+�%�,��

�� *��

�� #�'��-� �� .�� /��0��1�� #�'�2��-��$�'�� 3��4��/��5��,��"� �� /��0��1��%�� 0��

�� ('��+�� 6�� -��$��-��%��$��#��$��%�� %�� ,�� 7�� 8��#�� 6��

Digno de admiración es el número Pi tres coma catorce. Todas sus siguientes cifras también son iniciales, quince noventa y dos porque nunca termina. No se deja abarcar sesenta y cinco treinta y cinco con la mirada, ochenta y nueve con los cálculos setenta y nueve con la imaginación y ni siquiera treinta y dos treinta y ocho con una broma o sea comparación cuarenta y seis con nada veintiséis cuarenta y tres en el mundo. La serpiente más larga de la tierra después de muchos metros se acaba. Lo mismo hacen aunque un poco después las serpientes de las fábulas. La comparsa de cifras que forma el número Pi no se detiene en el borde de la hoja, es capaz de continuar por la mesa, el aire, la pared, la hoja de un árbol, un nido, las nubes, y así hasta el cielo, a través de toda esa hinchazón e inconmensurabilidad celestiales. Oh, qué corto, francamente rabicorto es el cometa. ¡En cualquier espacio se curva el débil rayo de una estrella! Y aquí dos treinta y uno cincuenta y tres diecinueve mi número de teléfono el número de tus zapatos el año mil novecientos setenta y tres piso sexto el número de habitantes sesenta y cinco céntimos centímetros de cadera dos dedos charada y mensaje cifrado en la cual ruiseñor que vas a Francia y se ruega mantener la calma y también pasarán la tierra y el cielo, pero no el número Pi, de eso ni hablar, seguirá sin cesar con un cinco en bastante buen estado, y un ocho, pero nunca uno cualquiera y un siete que nunca será el último, y metiéndole prisa, eso sí, metiéndole prisa a la perezosa eternidad para que continúe.

El escritor Ramón Gómez de la Serna nació en Madrid en 1888 y murió en Buenos Aires en 1963. A lo largo de su vida fue periodista, orador y colaborador en múltiples publicaciones de España y América Latina. Cultivó multitud de géneros literarios: humorismo, ensayo, crítica de arte, biografías,… Tuvo una gran influencia en muchos escritores de la época (los que serían la generación del 27).

El motivo por el que más gente lo conoce es por ser el creador de las greguerías. Creó este género literario en 1910 y desde 1911 comenzó a publicarlas regularmente. Aunque en un principio causaron un poco de rechazo enseguida fueron aceptadas y admiradas como ejemplo de ingenio. A lo largo de su vida escribió miles de estas frases que alcanzaron gran fama

La greguería, donde se roza la literatura del absurdo, pretende relacionar elementos de la vida cotidiana de una manera humorística y muchas veces crítica, llegando en ocasiones a conseguir un verdadero disparate. Según él mismo decía: “La greguería es para mí la flor de todo lo que queda, lo que vive, lo que resiste más al descubrimiento”: La greguería, algarabía o gritería confusa (en diccionarios antiguos era el griterío de los cerditos cuando van detrás de su madre) fue aceptada como vocablo en 1960 por la Real Academia Española con la siguiente definición: “Greguería: agudeza o imagen en prosa que presenta una visión personal y sorprendente de algún aspecto de la realidad y que ha sido lanzada y así denominada caprichosamente hacia 1912 por el escritor Ramón Gómez de la Serna”.

Greguerías matemáticas • El 9 es la oreja de los números. • El 4 tiene la nariz griega. • El 5 es un número que baila. • El 7 es el zapapico de los números. • El 6 es el número langostino. • El 8 es el reloj de arena de los números. • El 6 es el número que va a tener familia. • Los ceros son los huevos de los que

salieron las demás cifras. • El 11 son los dos hermanos que van al

colegio. • 888 cifra de simpáticos trillizos. • 44444: números haciendo flexiones

gimnásticas. • Cucarichida: muchos treses muertos. • Cuando el gran matemático iba a

cortarse el pelo quedaba la peluquería llena de números que había que barrer.

• Primavera = rosa + rosa + rosa + rosa.

No se conocen con exactitud muchos datos de su vida; en aquellos tiempos no había registros de nacimiento, ni carnet de identidad ni fotografías.

Filósofo y matemático, nació en la isla griega de Samos hacia 582 a.C. y murió en Metaponte, ciudad de Italia hoy desaparecida, alrededor de 507 a. C.

Poco se sabe de su niñez. De joven viajó a Mesopotamia y Egipto, donde se cree que estudió esoterismo, así como geometría y astronomía. Tras regresar a Samos, finalizó sus estudios y fundó su primera escuela. Abandonó Samos para escapar de la tiranía de Polícrates y se estableció en Crotona, en el sur de Italia, y más tarde en Metaponte.

Su escuela de pensamiento afirmaba que la estructura del universo era aritmética y geométrica. Pitágoras pasa por ser el introductor de pesos y medidas, creador de la teoría musical, el primero en considerar que el Universo era una obra sólo descifrable a través de las matemáticas. Fueron los pitagóricos los primeros en sostener la forma esférica de la Tierra y postular que ésta, junto con el Sol y el resto de los planetas conocidos, no se encontraban en el centro del Universo, sino que giraban entorno de una fuerza simbolizada por el número uno.

Famoso sobre todo por el Teorema de Pitágoras, parece ser que quien demostró dicho teorema fue uno de sus discípulos, Hipaso de Metaponte.

Vamos a inventar los números

- ¿Por qué no inventamos unos números? - Bueno, empiezo yo. Casi uno, casi dos, casi tres, casi cuatro, casi cinco, casi seis. - Es demasiado poco. Escucha éstos: un remillón de billonazos, un ochote de milenios, un maramillar y un maramillón. - Yo entonces me inventaré una tabla:

tres por uno, concierto gatuno tres por dos, peras con arroz tres por tres, salta al revés tres por cuatro, vamos al teatro tres por cinco, pega un brinco

tres por seis, no me toquéis tres por siete, quiero un juguete tres por ocho, nata con bizcocho tres por nueve, hoy no llueve tres por diez, lávate los pies.

- ¿Cuánto vale este pastel? - Dos tirones de orejas. - ¿Cuánto hay de aquí a Milán? - Mil kilómetros nuevos, un kilómetro usado y siete bombones. - ¿Cuánto pesa una lágrima? - Depende: la lágrima de un niño caprichoso pesa menos que el viento, y la de un niño hambriento pesa más que toda la tierra. - ¿Cuánto mide este cuento? - Demasiado.

- Entonces inventémonos rápidamente otros números para terminar. Los digo yo, a la manera de Modena: unchi, doschi, treschi, cuara cuatrischi, miri mirinchi, uno son dos. - Yo entonces voy a decirlos a la manera de Roma: unci, dusci trisci, cuale cualinci, mele melinci, rife rafe y diez. Gianni Rodari. Cuentos por Teléfono. Editorial Juventud. Barcelona

Colorear un mapa con el mínimo número de colores de forma que países con una línea de frontera (y no únicamente un punto) no tengan el mismo color fue un problema planteado por primera vez por un estudiante de Edimburgo, Francis Guthrie, en 1852. De él llegó a Augustus de Morgan que no supo solucionar el problema, pero extendió el reto entre otros matemáticos. La conjetura de que cuatro colores eran suficientes se hizo célebre cuando Arthur Cayley, en 1878, la propuso a la Sociedad Matemática de Londres, una de las sociedades de matemáticos más importantes del mundo en esa época, como un problema a resolver. En 1879, el jurista y matemático inglés Sir Alfred Kempe publicó la que él creía ser una demostración, pero años más tarde se encontró un error en su demostración.

No es un problema fácil. A finales del siglo XIX se demostró que cinco colores bastan y que tres colores son insuficientes para colorear cualquier mapa. En 1950 se sabía que si el mapa tenía menos de 36 países se puede colorear con cuatro colores; y en 1976, con ayuda de ordenadores, se concluyó que bastan cuatro colores.

Situaciones que hace más de un siglo sirvieron de impulso a nuevos descubrimientos y avances matemáticos aparecen actualmente en pasatiempos. Una de estas situaciones es la de colorear mapas

con ciertas restricciones. Revista QUO

EL PAÍS SEMANAL

Piet Mondrian, (Holanda, 1872-1944), pintor vanguardista miembro del grupo De Stijl y fundador del neoplasticismo. Evolucionó desde el naturalismo y el simbolismo hasta la abstracción.

El Neoplasticismo es una corriente artística al margen de la naturaleza. Por medio de una simplificación radical, tanto en la composición como en el colorido, intenta exponer los principios básicos que subyacen a la apariencia. Está considerado, junto con el suprematismo de Maliévich, el origen de la abstracción geométrica.

Piet Mondrian es una de las grandes figuras artísticas del siglo XX, conocido princi-palmente por sus pinturas no figurativas a las que llamó composiciones, y que son formas rectangulares en rojo, amarillo, azul o negro, separadas por gruesas líneas rectas.

Buscó en la abstracción geométrica la estructura básica del universo, que intentó representar con el no-color blanco (color que posee todos los colores) atravesado por una trama de líneas rectas, siempre horizontales y verticales, de no-color negro (ausencia de colores) y, en la trama, planos geométricos (casi siempre rectangulares) de los colores primarios, considerados por Mondrian como los colores básicos del universo.

Los relojes son aparatos para medir el tiempo, usados por el ser humano desde épocas inmemoriales para tratar de organizar los distintos momentos del día y de la noche.

Los siguientes relojes son curiosos porque marcan las horas haciendo distintas operaciones con tres nueves, en sistema decimal (con 20 horas por día), en sistema binario, con las cifras decimales de pi, en radianes y grados o con la descomposición en factores.

En matemáticas se llama mosaico o teselación a todo recubrimiento del plano mediante piezas llamadas teselas con las condiciones siguientes: no pueden superponerse y no pueden dejar huecos sin recubrir. Se trata pues de figuras geométricas que llenan toda una superficie.

Mosaicos regulares

Cuando se utiliza como tesela únicamente un polígono regular, uniendo lado con lado, se obtienen mosaicos regulares. La condición es que los ángulos que confluyen en un vértice han de sumar 360º. Con este requisito es fácil demostrar que sólo se pueden construir tres tipos de mosaicos según se utilicen triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares.

Triángulo Cuadrado

M1: 3,3,3,3,3,3 = 36 M2: 4,4,4,4 = 44

Hexágono M3: 6,6,6 = 63

Mosaicos Semirregulares Uniformes

Se llaman mosaicos semirregulares a los que utilizan como teselas más de un polígono regular. Cuando en todos los vértices concurren los mismos polígonos regulares (dos o más), y además en el mismo orden se llaman uniformes.

Kepler demostró que se pueden obtener sólo las siguientes ocho combinaciones.

M4: 4,6,12 M5: 4,8,8 = 4,82 M6: 3,12,12 =

3,122 M7: 3,6,3,6

8:3,4,6,4 M9: 3,3,3,3,6 =

34,6 M10: 3,3,4,3,4 =

32,4,3,4 M'10: 3,3,3,4,4 =

33,42

Mosaicos semirregulares no uniformes

Los mosaicos regulares y semirregulares uniformes pueden expandirse ilimitadamente hasta llenar el plano. Pero existen otras combinaciones de polígonos regulares tales que las suma de sus ángulos es 360º, por lo que pueden configurar un vértice de un mosaico, pero que no es posible expandirlos indefinidamente en el plano sin que haya superposición ni huecos. Son mosaicos semirregulares pero no uniformes. Se necesitan vértices de más de un tipo para poder recubrir el plano.

M12: 5,5,10 M13: 4,5,20 M14: 3,7,42

M15: 3,8,24 M16: 3,9,18 M17: 3,10,15

M18a: 3,3,4,12 M18b: 3,4,3,12

Mosaicos semirregulares no uniformes (2)

Los mosaicos regulares y semirregulares uniformes pueden expandirse ilimitadamente hasta llenar el plano. Pero existen otras combinaciones de polígonos regulares tales que las suma de sus ángulos es 360º, por lo que pueden configurar un vértice de un mosaico, pero que no es posible expandirlos indefinidamente en el plano sin que haya superposición ni huecos. Son mosaicos semirregulares pero no uniformes. Se necesitan vértices de más de un tipo para poder recubrir el plano.

Tampoco generan mosaicos uniformes dos variantes de los semirregulares uniformes M7 y M8, pues al intentar expandirlos en el plano también aparecen vértices de más de un tipo.

M7b : 3,3,6,6, M8b: 3,4,4,6

Para diferenciar los mosaicos se utiliza una nomenclatura que indica el número de lados de los polígonos regulares que concurren en cada vértice; la notación en forma de potencia simplifica la escritura. Así 3, 3, 6, 6 significa que en ese vértice confluyen, y en este orden, un triángulo, un triángulo, un hexágono y un hexágono.

Sir Roger Penrose, nacido en 1931 en el Reino Unido, es físico, matemático, cosmólogo y profesor emérito de Matemáticas en la Universidad de Oxford. Es conocido por su trabajo en física matemática y sus contribuciones a la relatividad general y la cosmología. También ha dedicado su tiempo a las matemáticas recreativas y es un conocido pensador.

Los rombos de Penrose son dos rombos de igual lado pero de distinto tamaño con los ángulos como los de la imagen siguiente.

Con ellos se pueden obtener teselaciones no periódicas como las que se muestran a continuación. Una teselación que no tiene traslaciones que hagan que coincida consigo misma, se llama aperiódica o no periódica.

Penrose, en 1974, con sólo dos teselas obtuvo teselaciones aperiódicas: estas piezas se llaman cometa y dardo (o también flecha); la primera es un cuadrilátero convexo y el segundo es cóncavo. Este par de figuras se obtienen de un rombo cuyos ángulos internos son de 72 y 108 grados.

Para que formen un conjunto aperiódico, y no teselen de forma periódica (lo que ocurre si las juntamos formando el rombo matriz), John Conway las amplió con arcos de círculo de dos colores distintos y añadió la condición de que sólo pueden unirse arcos del mismo color.

Otro procedimiento para conseguir la aperiodicidad lo indicó el propio Penrose, añadiendo unos salientes y entrantes que impiden los acoples prohibidos.

Aunque los pentágonos regulares no sirven para recubrir completamente el plano, sí existen pentágonos no regulares que lo recubren.

A continuación podemos ver dos ejemplos incluyendo el de “la casita” que quizás sea el más evidente y que permite distintos enlosados.

Hasta ahora hay 14 tipos de pentágonos irregulares convexos conocidos que recubren el plano.

Los tipos 1 a 5 fueron descubiertos por K. Reinhardt en 1918.

Hasta 1968 se conocían cinco tipos de mosaicos diferentes que se pueden hacer con pentágonos.

En 1968 R. Kershner encontró tres tipos más y consideró el problema resuelto.

En 1975 Martin Gadner publicó un artículo de divulgación en Scientific American basado en el trabajo de Keshner y dando el problema por zanjado. Pero uno de sus lectores, Richard James III encontró otro más.

Entre 1976 y 1977 Marjorie Rice, ama de casa, sin estudios superiores de matemáticas descubrió cuatro más.

En 1985 R. Stein encontró el último, hasta el momento

Es curioso constatar cómo algunos mosaicos pentagonales han sido descubiertos por personas con conocimientos elementales de matemáticas,

como los debidos a Marjorie Rice (St. Petersburg, Florida, 1923), ama de

casa, entre 1976 y 1977. Su curiosidad por este tema se inició a raíz de un artículo de Martin Gardner y ha descubierto cuatro tipos de teselaciones más y realizado diseños artísticos de mosaicos basados en ellos.

B

ees

Butt

erf

lies

La teselación del Cairo

Hay algunos polígonos especiales que dan lugar a mosaicos muy vistosos como el Mosaico del Cairo, que recibe su nombre por estar presente con frecuencia en los pavimentos de esa ciudad egipcia y en las decoraciones islámicas.

El pentágono posee aquí 5 lados de la misma medida. Tiene dos ángulos rectos, un ángulo de 131,409° y dos ángulos de 114,295°. Como en todo pentágono, la suma de sus ángulos es de 540°.

Se han descubierto pentágonos irregulares cóncavos (alrededor de 60) que también recubren el plano, pero no se sabe si habrá más o no, el problema sigue sin resolver.

La Alhambra de Granada

Emplazada en una colina sobre la ciudad de Granada, en la margen izquierda del río Darro y frente a los barrios del Albaicín y de la Alcazaba, el nombre proviene de la palabra árabe “Al Hamra” que significa “la Roja”. La Alhambra se considera como unos de los conjuntos históricos más relevantes de la arquitectura islámica y es Patrimonio de la Humanidad desde 1984. Sus orígenes son confusos, hay restos claros a partir del siglo IX, aunque sus momentos más brillantes corresponden a la monarquía nazarí (1238-1492) y al reinado de Carlos V (1500-1558).

Los mosaicos de la Alhambra de Granada constituyen la mejor, y más valiosa, colección de ejemplos de la moderna teoría matemática de Grupos. Más aún, es el único monumento construido antes del descubrimiento de la teoría de grupos que cuenta con al menos un ejemplo de cada uno de los 17 grupos cristalográficos planos.

Paco André

Reales Alcázares de Sevilla

Se trata de un conjunto de edificios palaciegos construidos desde la Alta Edad Media en la ciudad de Sevilla, en el que se superponen estilos de diversas épocas. El recinto ha sido utilizado como sede de los dignatarios y príncipes musulmanes y, desde 1248, corte de los reyes castellanos y lugar de alojamiento de los miembros de la Casa Real y Jefes de Estado que visitan la ciudad.

Magnífico es el Alcázar Con que se ilustra Sevilla; Deliciosos sus jardines,

Su excelsa portada, rica… “El Alcázar de Sevilla: Romance primero”

Duque de Rivas (1791-1865)

Sólo el lápiz y el pincel unidos pueden dar idea de la caprichosa variedad y belleza de los adornos, de que así el salón y los dos patios de que hemos hecho mérito, como las demás estancias del piso bajo del Alcázar, tienen revestidos sus muros; y de lo admirable de los artesonados. Por todas partes deslumbran el oro y los mosaicos compuestos de los más vistosos colores… Fernán Caballero (1796-1877)

Es conocido que los artistas árabes tenían prohibido representar la figura humana y por ello dedicaban su ingenio a inventar mosaicos que resultaran bellos a la vista. A continuación podemos ver algunos ejemplos de diseños que se encuentran en estos mosaicos. En primer lugar tenemos el polígono de donde se parte, con las divisiones que se realizan, debajo la pieza del mosaico que resulta y después ejemplos de cómo queda el mosaico (en esquema y en decoraciones árabes).

Avión Hueso Pajarita Pétalo

Otros diseños de mosaicos islámicos son los siguientes. En primer lugar tenemos el polígono de donde se parte, con las divisiones que se realizan, debajo la pieza del mosaico que resulta y después ejemplos de cómo queda el mosaico (en esquema y en decoraciones árabes).

Avión 2 Huso Pez volador Medalla

Roger Penrose (1931) es un físico-matemático nacido en el Reino Unido.

A través de una teselación con poliamantes de orden 18, Penrose diseñó un estupendo rompecabezas denominado la “carretilla de Penrose” que con 12 piezas puede teselar el plano por traslación.

También es conocido por su descubrimiento en 1973 de los teselados de Penrose, que sólo pueden teselar el plano de forma aperiódica. Uno de los conjuntos que propuso consiste en seis prototeselas basadas en rombos, pentágonos regulares, estrellas de cinco puntas y medias estrellas.

Penrose es un enamorado de las matemáticas recreativas y como muestra un botón “los pollos de Penrose”.

Si tenemos una colección de prototeselas que pavimentan el plano de forma no periódica y tal que ninguna subcolección puede pavimentar el plano de forma periódica hablaremos de que dicha colección es aperiódica.

El problema que se plantea es la existencia de una colección finita y aperiódica de prototeselas. Berger, en 1966, encuentró un ejemplo con 20.426 prototeselas como respuesta a la conjetura de Wang de la no existencia de mosaicos aperiódicos. Posteriormente dicha colección la redujo a 104. Robinson, Ammann y Penrose crearon conjuntos aperiódicos con 6 teselas, y posteriormente Penrose incluso con sólo dos.

Teselas de R. Robinson Raphael Robinson (1911-1995) profesor de matemáticas en la Universidad de California, Berkeley, diseñó en 1971 un conjunto de seis prototeselas que dan lugar a teselados aperiódicos.

Teselas de R. Amman Robert Amman (1946-1994) fue un matemático aficionado que también diseño teselas aperiódicas.

El Grupo Alquerque quiere aportar una variante a este curioso mundo de las teselaciones aperiódicas. Utilizando como entrantes y salientes el triángulo equilátero en un cuadrado y aplicando la combinatoria para buscar las distintas disposiciones posibles han surgido las siguientes prototeselas.

Maurits Cornelis Escher nació Leeuwarden, Holanda, en 1898. No fue un estudiante brillante, y sólo llegó a destacar en las clases de dibujo. Estudió en la Escuela de Arquitectura y Diseño Ornamental de Haarlem, estudios que abandonó poco después para pasar como discípulo de un profesor de artes gráficas. Adquirió unos buenos conocimientos básicos de dibujo, y destacó sobremanera en la técnica de grabado en madera.

Durante el año 1922 se trasladó a Italia hasta 1935 realizando diversos bocetos y grabados principalmente de temas paisajísticos. En 1924 se casa con Jetta Umiker, con la que tuvo tres hijos. Más tarde vivió en Suiza y Bélgica, con viajes por Italia y España, hasta que en el año 1941 se instaló definitivamente en Baarn, Holanda, y abandona los motivos paisajísticos como modelos y se centra más en su propia mente, encontrando en ella una fructífera fuente de inspiración.

En 1970 se traslada a la Casa Rosa Spier de Laren, al norte de Holanda. En esa ciudad fallece dos años más tarde a los 73 años.

Su obra experimenta con diversos métodos de representar (en dibujos de 2 ó 3 dimensiones) espacios paradójicos que desafían a los modos habituales de representación.

El análisis de las obras de M. C. Escher, tal y como las definió Bruno Ernst, uno de sus biógrafos, en el libro “El espejo mágico de M. C. Escher” permite clasificarlas básicamente en tres temas y diversas categorías: La estructura del espacio: Incluyendo paisajes, compenetración de mundos y cuerpos matemáticos extraños.

Amalfi (Italia). 1931

La proyección del espacio tridimensional en el plano: Representación pictórica, perspectiva y figuras imposibles.

Arriba y abajo.1937

La estructura de la superficie: Metamorfosis, ciclos y aproximaciones al infinito. Metamorfosis I. 1937

En septiembre de 1922 Escher viaja por primera vez a España. En un buque de carga llega a Tarragona, recorre España y visita la Alhambra de Granada. Escher quedó impresionado ante la belleza del palacio nazarí del siglo XIV y en especial por los azulejos decorativos y estucados que cubren muchas de las superficies del edificio.

Hizo varios intentos de usar este estilo artístico durante los años siguientes. Alrededor de 1924 escribió, que: [...] por primera vez imprimí sobre una tela un motivo de un solo animal grabado en madera que se repite de acuerdo con cierto sistema, adhiriéndome al principio de que no queden espacios en blanco. Presenté esta tela junto con mis otras obras pero no tuve éxito con ella.

Entre abril y junio de 1936 viajó por el Mediterráneo hasta España, donde Escher visita la Alhambra por segunda ocasión, así como la Mezquita en Córdoba. Tras esta visita la fascinación de Escher con el orden y la simetría se apoderó de su vida.

Escher y su esposa pasaron días enteros trabajando en el Palacio de la Alhambra donde hicieron tantos bocetos como pudieron. Escher señaló que ésta fue: [...] la fuente más rica de inspiración de la que he bebido.

Diseñar mosaicos originales no es complicado. Una forma fácil de obtenerlos consiste en deformar un polígono regular de los que teselan el plano, es decir, un triángulo equilátero, un cuadrado o un hexágono regular.

Para ello se elimina una parte de un lado del polígono para añadirla a otro lado por medio de una Traslación o un Giro.

El artista holandés M. C. Escher dibujó asombrosas figuras que encajaban entre sí formando bellos mosaicos. Es sorprendente cómo lagartos, caballeros o pájaros encajan a la perfección cubriendo armoniosamente el plano.

Primer método. Por traslaciones.

Sobre un paralelogramo o un hexágono con lados opuestos paralelos se recorta un lado y se traslada paralelamente al lado opuesto.

M. C. Escher Verbum, 1942

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/matematicas.htm

Segundo método. Por giros de 60º, 90º ó 120º. Para construir la pieza básica, se recorta un trozo de figura en un lado y con centro en un vértice se gira 60º, 90º ó 120º y se añade dicho trozo en otro lado; los vértices de giro no pueden ser consecutivos.

M. C. Escher Reptiles (tessellation 25), 1939

M. C. Escher Reptiles, 1943

Tercer método. Por giros de 180º.

Se recorta un trozo de un lado de un triángulo equilátero, cuadrilátero o hexágono regular, que sea menor que la mitad de dicho lado y con centro en el punto medio del lado en cuestión se añade mediante un giro de 180º.

Ejemplo: Pajarita nazarí

Observación: No es necesario hacer el mismo recorte en todos los lados. Los movimientos que intervienen en la construcción de la figura influyen en la colocación de las piezas en el mosaico: si en la formación de la figura se usaron giros, en el mosaico habrá piezas adyacentes que encajen mediante giros. Si han sido traslaciones, habrá piezas adyacentes que encajen mediante una traslación.

Un deltaedro es un poliedro cuyas caras son triángulos equiláteros iguales. El nombre tiene su origen en la letra griega delta mayúscula (Δ), que recuerda a un triángulo equilátero.

Aunque existen infinitos deltaedros posibles, sólo hay ocho convexos (donde cualquier par de puntos de su interior determinan un segmento de recta también interior):

Nombre Imagen Caras Aristas Vértices

P1 Tetraedro regular

4 6 4 4 × 3·3·3

J12 Bipirámide triangular

6 9 5 2 × 3·3·3 3 × 3·3·3·3

P3 Octaedro regular

8 12 6 6 × 3·3·3·3

J13 Bipirámide pentagonal

10 15 7 5 × 3·3·3·3 2 × 3·3·3·3·3

J84 Biesfenoide romo o dodecaedro siamés

12 18 8 4 × 3·3·3·3 4 × 3·3·3·3·3

J51 Prisma triangular triaumentado

14 21 9 3 × 3·3·3·3 6 × 3·3·3·3·3

J17 Bipirámide cuadrada giroelongada

16 24 10 2 × 3·3·3·3 8 × 3·3·3·3·3

P5 Icosaedro regular

20 30 12 12 × 3·3·3·3·3

Sólo tres deltaedros convexos son regulares (sólidos platónicos): tetraedro, octaedro e icosaedro. Los otros cinco, aunque tienen sus caras regulares y uniformes, sus vértices no son uniformes (confluyen distinto número de triángulos). Por ello no son poliedros regulares, sino irregulares, dentro de la familia de los sólidos de Johnson.

Fuen

te: W

ikip

edia

La papiroflexia modular se basa en la construcción de módulos que se pueden encajar formando cuerpos geométricos o figuras decorativas. El módulo triangular es uno de los múltiples que existen.

Se parte de un trozo rectangu-lar de papel, por ejemplo, el tamaño A6, y tras sucesivos plegados se obtiene el módulo base.

Este módulo triangular permite conseguir dos formas simé-tricas cada una constituida por cuatro triángulos equiláteros: dos actúan de alas y dos de bolsillos.

En la imagen superior dos módulos

encajados y en la inferior un octaedro

(…)

El módulo triangular tiene dos formas simétricas: La obtenida anteriormente y la indicada en los siguientes dibujos.

En la tabla siguiente figuran los módulos necesarios y de qué tipo para construir los deltaedros convexos.

Deltaedros convexos

Nombre Imagen Módulos triangulares Nombre Imagen Módulos triangulares

Tetraedro regular

dos módulos simétricos Bipirámide

triangular

tres

módulos iguales

Octaedro regular

dos pares de módulos

simétricos

o cuatro módulos iguales

Bipirámide pentagonal

cinco módulos iguales

Biesfenoide romo o Dodecaedro siamés

tres pares de módulos simétricos

Prisma triangular triaumentado

5 módulos de un tipo y 2 del

simétrico

Bipirámide cuadrada giroelongada

cuatro pares de módulos simétricos

Icosaedro regular

cinco pares de módulos

simétricos

Deltaedros convexos Nombre Imagen Módulos triangulares Nombre Imagen Módulos triangulares

Tetraedro regular

dos módulos

simétricos Bipirámide

triangular

tres módulos iguales

Octaedro regular

dos pares de

módulos simétricos

o cuatro módulos iguales

Bipirámide pentagonal

cinco

módulos iguales

Biesfenoide romo o Dodecaedro siamés

tres pares de

módulos simétricos

Prisma triangular triaumentado

5 módulos

de un tipo y 2 del

simétrico

Bipirámide cuadrada giroelongada

cuatro pares de módulos

simétricos Icosaedro

regular

cinco pares de módulos

simétricos

Deltaedros convexos construidos con módulos triangulares

P1 Tetraedro

regular J12 Bipirámide

triangular P3 Octaedro

regular J13 Bipirámide

pentagonal

J84 Biesfenoide

romo o Dodecaedro siamés

J51 Prisma triangular

triaumentado

J17 Bipirámide cuadrada

giroelongada


Tetraedro regular Grupo Sólidos platónicos (P1) Número de vértices 4

Número de caras 4 Caras concurrentes en cada vértice 3

Polígonos que forman las caras

Triángulos equiláteros

Vértices contenidos en cada cara 3

Número de aristas 6 Se construye en papiroflexia con dos módulos triangulares simétricos.

Bipirámide triangular Grupo Sólido de Johnson (J12) Número de vértices 5

Número de caras 6 Caras concurrentes en cada vértice

2 (33) 3 (34)




Número de aristas 9 Se construye en papiroflexia con tres módulos triangulares iguales.

Octaedro regular Grupo Sólidos platónicos (P3) Número de vértices 6





Número de aristas 12 Se construye en papiroflexia con cuatro módulos triangulares iguales o dos pares de módulos triangulares simétricos.

Bipirámide pentagonal Grupo Sólido de Johnson (J13) Número de vértices 7


5 (34) 2 (35)




Número de aristas 15 Se construye en papiroflexia con cinco módulos triangulares iguales.

Biesfenoide romo o dodecaedro siamés Grupo Sólido de Johnson (J84) Número de vértices 8


4 (34) 4 (35)




Número de aristas 18 Se construye en papiroflexia con tres pares de módulos triangulares simétricos.

Prisma triangular triaumentado Grupo Sólido de Johnson (J51) Número de vértices 9


3 (34) 6 (35)




Número de aristas 21 Se construye en papiroflexia con 5 módulos triangulares de un tipo y 2 del simétrico.

Bipirámide cuadrada giroelongada Grupo Sólido de Johnson (J84) Número de vértices 10


2 (34) 8 (35)




Número de aristas 24 Se construye en papiroflexia con cuatro pares de módulos triangulares simétricos.

Icosaedro regular Grupo Sólidos platónicos (P5) Número de vértices 12





Número de aristas 30 Se construye en papiroflexia con cinco pares de módulos triangulares simétricos.

MIGUEL DE UNAMUNO Y JUGO (Bilbao, 1864 – Salamanca, 1936), poeta, dramaturgo, novelista, filósofo y ensayista español. Doctor en Filosofía y Letras, catedrático de Griego y rector en la Universidad de Salamanca durante muchos años.

Unamuno es uno de los escritores más importantes de la Generación del 98, preocupados por el futuro de España ante el mundo moderno. Fue un gran crítico de los distintos regímenes políticos en los que vivó.

Retrato de Unamuno con una pajarita de papel de su creación, el

“avechucho”, por Ignacio de Zuloaga.

Poesías sobre papiroflexia:

Dios jugando con los dobles cinco dedos de ambas manos

anudó cinta de yerba; de cinco puntas fue el lazo. De donde sacó la estrella

pentagonal, que sus brazos dio a las blancas frescas alas

de la rosa del gabanzo.

Pajaritas de rima, cantares de papel;

escarceos de esgrima, que apenas roza piel. Ya de niño me hacía mis juguetes, Señor;

gozaba cada día jugar al creador.

Pajarita de escuela -¡y qué duro era el banco!-

su recuerdo me vuela triángulo y blanco.

Aleteo de nido, patrón de sencillez; no te dará al olvido el Dios de mi niñez.

En el poema se describen tanto el nudo pentagonal como la estrella que se genera

al realizarlo.

Miguel de Unamuno además de escritor, poeta y filósofo también es conocido por su afición y aportaciones a la papiroflexia, pues creó varios modelos originales: una estrella, una tetera, una pájara, un búho... En 1902 escribió un ensayo, Amor y Pedagogía, que incluyó un apéndice muy erudito y humorístico, Apuntes para un tratado de cocotología, acerca del plegado de papel.

Y es que Unamuno se inventó un nombre para las pajaritas de papel: Cocotología, ciencia que trata de las pajaritas de papel y que según Unamuno “… se compone de dos, de la francesa cocotte, pajarita de papel, y de la griega logia, de logos, tratado”.

ESTRELLA

Éste

y otro

s dise

ños d

e Una

muno

en la

págin

a web

de la

A

SOCI

ACIÓ

N ES

PAÑO

LA D

E PA

PIRO

FLEX

IA

La papiroflexia modular consiste en crear figuras mediante el encaje de unidades simples llamadas módulos. Los módulos reciben distintos nombres según sus creadores o la forma que adoptan al plegarse. Cada módulo tiene solapas y bolsillos para acoplarlos entre sí. Posiblemente el primer módulo que se inventó fue el módulo Sonobe, origen de la papiroflexia modular. Aunque no se sabe con certeza quién fue realmente su creador, parece que su invención tuvo lugar en la década de 1960 y que este honor le corresponde a Mitsunobu Sonobè.

Cada unidad individual se dobla de una hoja de papel cuadrado siendo sólo una cara visible en el módulo de acabado. Existen muchas formas de plegarlo.

El módulo Sonobe tiene forma de un paralelogramo con ángulos de 45º y 135º, dividido por los pliegues en dos partes en diagonal en los extremos y dos bolsillos correspondientes en el cuadrado del centro.

Ejemplos de poliedros que se pueden construir con el módulo Sonobe:

Cubo Icosaedro estrellado

Para la construcción del módulo Sonobe partimos de un cuadrado al que se le dan los dobleces correspondientes. En cada dibujo aparece cómo debe quedar después de doblado y la línea que indica el siguiente movimiento. Paso 1: Se dobla longitudinalmente por la mitad. Paso 2: Cada una de las partes en que ha quedado dividido el cuadrado se dobla a su vez en dos partes.

Paso 1 Paso 2 Paso 3

Paso 3: Este es el más peligroso pues según como se doble sale una pieza o su simétrica y ambas no pueden casarse entre sí. Por ello hay que doblar todas las piezas eligiendo siempre las mismas esquinas.

Se dobla una esquina de forma que el lado siga el segundo doblez más cercano que se ha hecho y a continuación se dobla igual la esquina opuesta.

Paso 4: Se dobla uno de los lados hacia el centro.

Paso 4

Paso 5: La esquina del lado doblado en el paso 4 se dobla siguiendo el segundo doblez que se hizo en el paso 2. Paso 5

(…)

(…)

Paso 6: El lado opuesto a la esquina que se acaba de doblar, se cierra al centro tapando en parte el doblez hecho en el paso anterior.

Paso 6 Paso 7: La esquina del lado que se acaba de doblar se dobla de forma simétrica a como se dobló en el paso 5.

Paso 8: El doblez que se acaba de realizar se introduce dentro del doblez hecho en el paso 4 de forma que la pieza quede sujeta y sin pestañas sueltas. De esta forma queda terminado el módulo Sonobe. Paso 8

Paso 7

Sólo queda doblar ese módulo para que pueda engancharse uno con otro. Paso 9: Se dobla la pieza por la mitad de forma que las solapas que están engarzadas queden dentro de la parte doblada. Paso 9

Paso 10: Los dos triángulos que forman ahora mismo la pieza se doblan por la mitad hacia fuera (no sobre la otra parte de la pieza). Paso 10

Paso 11: Al final, al desdoblar la pieza, deben verse cuatro triángulos rectángulos isósceles unidos uno a otro por un lado.

Paso 11

Es un diseño de la japonesa Tomoko Fuse. Se parte de un cuadrado de papel al que se le dan los dobleces indicados en cada imagen.


Paso 1: Se dobla longitudinalmente por la mitad.

Paso 2: Cada una de las partes en que ha quedado dividido el cuadrado se dobla a su vez en dos partes, paralelamente al doblez anterior.

Paso 3: Se dobla por el vértice superior izquierdo haciendo coincidir el lado izquierdo con el lado superior del rectángulo que tenemos.

Paso 4: Se dobla por el vértice inferior derecho haciendo coincidir el lado derecho con el lado inferior del trapecio que tenemos.

Paso 5: Se dobla por el vértice superior derecho haciendo coincidir el vértice superior izquierdo con el vértice inferior izquierdo del romboide que tenemos.

Paso 6: Se dobla por el vértice inferior izquierdo haciendo coincidir el vértice inferior derecho con el vértice superior del trapecio que tenemos.

Paso 7: Se dobla el triángulo rectángulo de la izquierda por el vértice izquierdo haciendo coincidir el vértice inferior con el vértice superior.

Paso 8: Se dobla el triángulo rectángulo de la derecha por el vértice derecho haciendo coincidir el vértice superior con el vértice inferior.

Módulo construido

Los módulos se entrelazan de tres en tres:

.

El nombre de módulo PHiZZ corresponde al acrónimo del módulo pentagonal-hexagonal-zig-zag, diseñado por Thomas Hull. Se parte de un cuadrado de papel que se dobla adecuadamente obteniéndose un módulo base. Los poliedros que se obtienen son bastante resistentes, pero se necesitan tres módulos para cada vértice y un poco de paciencia para el ensamblaje.

Tres módulos PHiZZ en el proceso de encaje

Se puede utilizar para hacer cualquier poliedro que sólo tenga caras pentagonales y hexagonales (no necesariamente regulares) y que en cada vértice del poliedro confluyan tres aristas. Estas unidades se pueden utilizar para crear muchas estructuras matemáticas como un toro, un dodecaedro, o un buckyball, más conocido como un balón de fútbol.

Toro (555 módulos) Dodecaedro (30 módulos) Buckyball (120 módulos)

Para la construcción del módulo PHiZZ se parte de un cuadrado de papel al que se le dan los dobleces indicados en cada imagen.

Pasos 1 y 2: Se dobla longitudinalmente por la mitad. Cada una de las partes en que ha quedado dividido el cuadrado se dobla “HACIA FUERA” en dos partes, paralelamente al doblez anterior, como un acordeón.

Paso 0 Paso 1 Paso 2a Paso 2b

Paso 3: Se dobla por el vértice inferior izquierdo haciendo coincidir el lado izquierdo con el lado inferior del rectángulo que tenemos.

Paso 4: Se dobla por el vértice superior izquierdo haciendo coincidir el lado superior con la altura del trapecio que tenemos.

Paso 5: Se dobla hacia arriba haciendo coincidir el do-blez con la base del triángulo.

Paso 6: Se dobla por el vértice inferior izquierdo del rectángulo haciendo coincidir el lado izquierdo con la base del triángulo.

(…)

(…)

Paso 7: Le damos la vuelta a la pieza para hacer el último doblez.

Paso 8: Se dobla por el vértice inferior izquierdo haciendo coincidir el lado izquierdo con el lado inferior de la pieza.

Los módulos se entrelazan de tres en tres como se puede ver en las imágenes. Hay que deslizar un módulo dentro de otro en ángulo recto, haciendo que los dobleces coincidan entre sí.

.

Se desliza el tercer módulo dentro del segundo y simultáneamente se inserta el primero en el último. Al final hay que ajustar bien los módulos entre sí.

Dodecaedro regular

Un dodecaedro es un poliedro de doce caras. Si sus caras son pentágonos regulares el dodecaedro es convexo y se denomina regular.

Grupo Sólidos platónicos Número de vértices 20



Pentágonos regulares


Número de aristas 30

Para su construcción se necesita un módulo PHiZZ por cada arista del dodecaedro, es decir 30 módulos.

6, 7 y 8 de mayo de 2010 La Feria de la Ciencia es la principal actividad del proyecto Ciencia Viva, Ciencia Compartida que desarrolla la Sociedad Andaluza para la Divulgación de la Ciencia (SADC). En esta Feria los divulgadores son los alumnos y alumnas de Educación Infantil, Primaria, Secundaria o Ciclos Formativos de los centros docentes, fundamentalmente sevillanos, que voluntariamente participan en este proyecto. La finalidad es crear un espacio educativo que permita el intercambio, la divulgación y la comunicación de conocimientos científicos a otros escolares y a la ciudadanía. En la Feria participan distintos centros educativos, centros de investigación, facultades universitarias y otras instituciones científicas que divulgan sus proyectos y experimentos científicos haciendo partícipe de ellos al público visitante.

Los proyectos desarrollados en la Feria de la Ciencia responden a distintas disciplinas científicas como la física, la química, las matemáticas, la biología, el desarrollo tecnológico, etc. Cada año, además, la Feria se centra en una temática particular, en el actual sobre La biodiversidad es la vida, en clara relación con el Año Internacional de la Biodiversidad.

6, 7 y 8 de mayo de 2010

Desde 2003, inicio de esta andadura de divulgación científica, no hemos faltado a ninguna cita, siempre con proyectos matemáticos, que de una forma entretenida acercasen nuestra ciencia al alumnado y visitantes en general. Este ha sido nuestro recorrido hasta ahora:

2003. Salón de juegos matemáticos 2004. Matemáticas para pasar el

tiempo

2005. Fractales y juegos en Matemáticas

2006. Juegos tradicionales del mundo

2007. ¡Métele mano a las

Matemáticas!

2008. Combinatoria de colores 2009. Recubrimientos en el plano y en el espacio 2010. El papel en el espacio matemático

Fuen

te: W

ikip

edia

Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras.

El nombre del grupo proviene del hecho de que los griegos adjudicaban a estos cuerpos cada uno de los "elementos fundamentales": fuego, tierra, aire, universo, agua.

Nombre Imagen

Cara

s

Polígonos Aristas Vértices

P1 Tetraedro regular

4 Triángulos equiláteros 6 4 4 × 3·3·3

P2 Hexaedro o cubo

6 Cuadrados 12 8 8 x 3·3·3

P3 Octaedro regular

8 Triángulos equiláteros 12 6 6 ×

3·3·3·3

P4 Dodecaedro

12 Pentágonos regulares 30 20 20 x 3·3·3


20 Triángulos equiláteros 30 12 12 ×

3·3·3·3·3

Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son poliedros convexos (cualquier par de puntos del espacio que estén dentro del cuerpo los une un segmento de recta también interno), cuyas caras son polígonos regulares (no necesariamente el mismo polígono) y sus vértices uniformes (en todos los vértices del poliedro convergen el mismo número de caras y en el mismo orden), pero no de caras uniformes (no todas las caras son iguales). Fueron ampliamente estudiados por Arquímedes y en el Renacimiento redescubiertos por artistas y matemáticos.

Sólo hay 13 poliedros arquimedianos. Once de ellos se obtienen truncando los sólidos platónicos y dos más que no: el cubo romo y el icosidodecaedro romo, que tienen cada uno caso isomórfico, es decir, dos figuras con simetría de espejo.


A1 Tetraedro truncado

8 4 × hr 4 × te 18 12 12 × 3·6·6

A2 Cuboctaedro

14 6 × cu 8 × te 24 12 12 × 3·4·3·4

A3 Cubo truncado

14 6 × or 8 × te 36 24 24 × 3·8·8

A4 Octaedro truncado

14 8 × hr 6 × cu 36 24 24 × 4·6·6

A5 Rombicuboctaedro o rombicuboctaedro menor

26 18 × cu 8 × te 48 24 24 × 3·4·4·4

A6 Cuboctaedro truncado o rombicuboctaedro mayor

26 6 × or 8 × hr

12 × cu 72 48 48 × 4·6·8

cu = cuadrados; dr = decágonos regulares; hr = hexágonos regulares; or = octógonos regulares; pr = pentágonos regulares; te = triángulos equiláteros

Fuen

te: W

ikip

edia

Fuen

te: W

ikip

edia


A7 Cubo romo o cuboctaedro romo (2 formas simétricas de espejo)

38 6 × cu 32 × te 60 24 24 ×

3·3·3·3·4

A8 Icosidodecaedro

32 12 × pr 20 × te 60 30 30 ×

3·5·3·5

A9 Dodecaedro truncado

32 12 × dr 20 × te 90 60 60 ×

3·10·10

A10 Icosaedro truncado

32 20 × hr 12 × pr 90 60 60 × 5·6·6

A11 Rombicosidodecaedro o rombicosidodecaedro menor

62 12 × pr 30 × cu 20 × te

120 60 60 × 3·4·5·4

A12 Icosidodecaedro truncado o rombicosi-dodecaedro mayor

62 12 × dr 20 × hr 30 × cu

180 120 120 × 4·6·10

A13 Dodecaedro romo o icosidodecaedro romo (2 formas simétricas de espejo))

92 12 × pr 80 × te 150 60 60 ×

3·3·3·3·5

dr = decágonos regulares; or = octógonos regulares; hr = hexágonos regulares pr = pentágonos regulares; cu = cuadrados; te = triángulos equiláteros

(…)

Siete sólidos arquimedianos se pueden obtener truncando sólidos platónicos: el tetraedro truncado, el cubo truncado, el cuboctaedro, el octaedro truncado, el dodecaedro truncado, el icosidodecaedro y el icosaedro truncado.

Los dos rombicuboctaedros se pueden obtener a partir del cuboctaedro y los dos rombicosidodecaedros a partir del icosidodecaedro, mediante sucesivas operaciones de truncamiento y desplazamiento radial de las caras.

Las dos formas especulares del cuboctaedro romo se pueden obtener a partir del rombicuboctaedro menor y las dos formas especulares del icosidodecaedro romo se pueden obtener a partir del rombicosidodecaedro menor, mediante una transformación más compleja.

Imag

en: h

ttp://w

ww.ju

ntade

anda

lucia.

es/av

erro

es/ie

sarro

yo/m

atema

ticas

/mate

riales

/4eso

/geom

etria/

polie

dros

/polie

dros

.htm

Fuen

te: W

ikip

edia

Se parte de dos triángulos equiláteros de papel a los que se les dan los dobleces indicados en cada imagen.

Paso 1: Los dos triángulos se doblan por sus tres medianas. Recordemos que en un triángulo equilátero las medianas, mediatrices, alturas y bisectrices son líneas coincidentes y, en consecuencia, sus puntos de intersección (baricentro, circuncentro, ortocentro e incentro) son el mismo punto. Paso 1

Paso 2: Para construir el módulo se colocan los triángulos uno sobre otro formando una estrella de seis puntas haciendo coincidir todos dobleces.

Paso 2

Paso 3: Para mantener unidos los dos triángulos las puntas del triángulo de abajo se doblan sobre el lado correspondiente del triángulo que está encima.

Paso 3 Paso 4: En el triángulo formado se dobla hacia dentro por el punto medio de uno de los lados, haciendo coincidir los dos vértices de ese lado. Hacemos lo mismo en los puntos medios de los otros dos lados para dar forma y flexibilidad al módulo hecho. Paso 4

Los módulos se entrelazan introduciendo la punta de un módulo entre los dos triángulos de otro, como se puede ver en estas imágenes.

Se necesitan dos cuadrados a los que se les dan los siguientes dobleces. En cada imagen aparece cómo debe quedar después de doblado.

Paso 1: Los dos cuadrados se doblan longitudinalmente por la mitad.

Paso 2: Después se doblan por las dos diagonales.


Paso 3: A uno de los cuadrados se le dobla, hacia dentro, uno de sus lados por el punto medio, haciendo coincidir las dos puntas de ese lado.

Paso 3 Paso 4: Luego se hace lo mismo en el lado opuesto. Ya tenemos preparado uno de los cuadrados.

Paso 4

Paso 5: El otro cuadrado se dobla, hacia dentro, por la punta de una de las diagonales, haciendo coincidir los puntos medios de dos lados adyacentes.

Paso 5 (…)

(…)

Paso 6: Luego se hace lo mismo por la otra punta de la misma diagonal, haciendo coincidir los otros dos puntos medios del cuadrado. Ya tenemos preparado el otro cuadrado. Paso 6

Paso 7: Para montar el módulo se introduce un cuadrado dentro de otro de manera que coincidan los dobleces realizados en ellos. Paso 7

Paso 8: Para terminar de montar el módulo y que los dos cuadrados formen una sola pieza, tenemos que doblar las puntas del cuadrado exterior hacia dentro sobre los lados del cuadrado interior. Paso 8

Módulo construido

Los módulos se entrelazan introduciendo la punta de un módulo entre los dos cuadrados del otro, como se puede ver en la última imagen.

Partimos de un cuadrado al que se le dan los siguientes dobleces. En cada dibujo aparece cómo debe quedar después de doblado y la línea que indica el siguiente movimiento.

Paso 1: Se dobla por la mitad longitudinal y verticalmente

Paso 2: Cada una de las mitades se dobla por la mitad longitudinal y verticalmente.

Paso 3: Se doblan diagonalmente por la mitad los cuadraditos indicados en la figura.

Paso 4: Se le da la vuelta a la hoja y se hacen los dobleces que se indican en la figura. Ya tenemos el diagrama terminado y preparado para construir el cubo.

Paso 5: Hemos enumerado los cuadrados que corresponden a las caras exteriores del cubo.

Paso 5.1

Paso 5: Para montar el cubo, lo colocamos como indica la imagen del paso 5 en la que hemos marcado los siete dobleces que hemos hecho. Y vamos haciendo los dobleces que nos muestran las siguientes fotografías.

Paso 5.2




(…)

Desproporción ANTONIO MONTESINO (Torrelavega, Cantabria, 1951) Escritor, poeta, antropólogo, diseñador, editor, folclorista, poeta, fotógrafo, activista cultural,...

Cuadrado

Espejo Sin título

Sin título

Sin título

Más menos

Dos

En matemáticas hay muchos resultados a losque aún no se ha encontrado unademostración que los verifique; son las conjeturas. Una de ellas es la Conjetura de Collatz, que asegura que para cualquier número natural n >1 se puede formar una sucesión finita de números naturales que empieza en n y termina siempre en 1, aplicando el siguiente algoritmo:

Si el número es par se divide entre 2… Si el número es impar, se multiplica por 3 y se le suma 1…

Se repite el proceso hasta que inevitablemente siempre se llega al número 1, sin importar el número con el que se comience dicho proceso.

Esta conjetura fue planteada en 1937 por el matemático alemán Lothar Collatz (1910-1990).

En la siguiente imagen se ven varios ejemplos de cómo partiendo de los números en azul se llega al número 1 en más o menos pasos.

La conjetura de Collatz posee el récord de nombres: Problema 3n +1, Algoritmo de Hasse, Problema de Kakutani, Algoritmo de Syracuse, Conjetura de Thwaites, Problema de Ulam…

Los resultados de la sucesión del algoritmo de Collatz se denominan números de granizo porque los valores se elevan y caen en forma análoga al granizo dentro de una nube.

2011 es un número primo, por lo que sus únicos divisores son 1 y 2011. Además ocupa el lugar 305 entre los números primos.

2011 es la suma de 11 primos consecutivos: 2011 = 157 + 163 + 167 + 173 + 179 + 181 + 191 + 193 + 197 + 199 + 211 Da el mismo resultado si le damos la vuelta y lo elevamos al cuadrado que si lo elevamos primero el cuadrado y luego le damos la vuelta: 11022 = 1214404 y 20112 = 4044121.

2011 = (1+1)11 - 111/(1+1+1)

2011 se puede descomponer en suma de tres cuadrados de cuatro formas diferentes: 2011 = 72 + 212+ 392

2011 = 92 + 92 + 432

2011 = 92 + 292 + 332

2011 = 212 + 272 + 292

En el número 2011 la suma de dígitos coincide con el número de dígitos.

Obtención del número 2011 con las cifras del 1 al 9 sin repetir y las operaciones usuales:

4 · (29 – 1 – 8) – 15 : (7 + 8) = 2011 2431 – 5 · 7 · 8 · 9 : 6 = 2011 2 · (4 · 5)3 : 8 + 9 + 7 + 1 – 6 = 2011 1987 + 5 · 6 – 3 · 4 : 2 = 2011 74 – 5 · 6 · (9 + 8 + 1 – 3 – 2) = 2011

Y con las cifras ordenadas:

9 + 87 + 65 + 432 + 1 = 2011 1 + 2 · (-3 + 45 – 6 + 7 – 8 – 9) = 2011 (1+ (2 · 3 · 4) + 5) (67) – 8 + 9 = 2011 (1 · 2 + 3 + 45) · 6 · 7 – 89 = 2011

2011 es un número deficiente porque es mayor que la suma de sus divisores propios exceptuándose a sí mismo.

2011 es un número impar porque no es divisible por 2.

2011 es un número odioso porque su expresión en base 2 (binaria) contiene un número impar de unos:

20112 = = 11 111 011 011

2011 es un número libre de cuadrados porque en su descomposición en factores primos no aparece ningún factor repetido: 2011 = 1 · 2011

Capítulo XXVIII: La falsa inducción. Beremiz demuestra que un principio falso puede ser sugerido por ejemplos verdaderos. El astrónomo Abul Hassan Ali de Alcalá, llegado a Bagdad por especial invitación de Al-Motacén, después de saludar al rey y a los nobles, se dirigió a Beremiz. Su voz, profunda y hueca, parecía rodar pesadamente. - Las dos respuestas que acabas de formular demuestran ¡oh, Beremiz Samir! que tienes una sólida cultura. Hablas de la ciencia griega, con la misma facilidad con que cuentas las Letras del Libro Sagrado. Sin embargo, en el desarrollo de la ciencia matemática, la parte más interesante es la que indica la forma de raciocinio que lleva a la verdad. Una colección de hechos está tan lejos de ser una ciencia, como un montón de piedras de ser una casa. (…) ¿Pero cómo deducir la verdad? (…) ¿Es posible extraer en Matemática, una regla falsa de una propiedad verdadera? Quiero oír tu respuesta, ¡oh Calculador!, ilustrada con un ejemplo sencillo y perfecto. Beremiz calló, durante un rato, reflexivamente. Luego salió del recogimiento y dijo: - Admitamos que un algebrista curioso, deseara determinar la raíz cuadrada de un número de cuatro cifras. Sabemos que la raíz cuadrada de un número, es otro número que, multiplicado por sí mismo, da un producto igual al número dado. Es un axioma en matemáticas. Vamos a suponer aún que el algebrista, tomando libremente tres números a su gusto, destacase los siguientes números: 2025, 3025 y 9081. Iniciemos la resolución del problema por el número 2025. Hechos los cálculos para dicho número, el investigador hallaría que la raíz cuadrada es igual a 45. En efecto: 45 veces 45 es igual a 2025. Pero se puede comprobar que 45 se obtiene de la suma de 20 + 25, que son partes del número 2025 descompuesto mediante un punto, de esta manera: 20 . 25. Lo mismo podría comprobar el matemático, con relación al número 3025, cuya raíz cuadrada es 55 y conviene notar que 55 es la suma de 30 + 25, parte ambas del número 3025.

Idéntica propiedad se destaca con relación al número 9801, cuya raíz cuadrada es 99, es decir 98 + 01. Ante estos tres casos, el inadvertido algebrista podría sentirse inclinado a enunciar la siguiente regla: “Para calcular la raíz cuadrada de un número de cuatro cifras, se divide el número por medio de un punto en dos partes de dos cifras cada una, y se suman las partes así formadas. La suma obtenida será la raíz cuadrada del número dado”. Esa regla, visiblemente errónea, fue deducida de tres ejemplos verdaderos. Es posible en Matemática, llegar a la verdad por simple observación; no obstante hay que poner cuidado especial en evitar la “falsa inducción matemática”.

Aunque no inventó los decimales (que habían sido utilizados por los árabes y los chinos, mucho antes), en Europa, el belga Simon Stevin (1548-1620) fue el primero que, en 1582, propuso un sistema de notación para escribir los números decimales. Para lo que ahora nosotros escribimos 3,1416, él proponía: 3(0) 1(1) 4(2) 1(3) 6(4). Esto simbolizaba 3 unidades enteras, 1 unidad decimal de primer orden (o décima), 4 unidades de segundo orden (o centésimas), 1 unidad de tercer orden (o milésima) y 6 unidades de cuarto orden (o diezmilésimas).

Giovanni Magini (1555-1617), astrónomo, astrólogo, cartógrafo y matemático italiano, fue el primero en usar la coma (,) para separar la parte decimal de la fraccionaria (imagen de la izquierda).

El uso de los números decimales se extendió con la invención de los logaritmos y el escocés John Napier (1550-1617), inventor de los logaritmos neperianos, recomendó el uso del punto para la separación de la parte entera y la parte decimal (imagen de la derecha).

En el continente europeo el asunto se resolvió en 1698, cuando el matemático alemán Gottfried Leibnitz (1646-1716) propuso usar el punto como símbolo de multiplicación ("en lugar del signo x, que se confunde con x, la incógnita"); quedó así la coma como el símbolo de separación. En Inglaterra, sin embargo, donde se habían cerrado las puertas al alemán Leibnitz, acusado de haber plagiado las ideas de Newton en la invención del cálculo infinitesimal, se siguió utilizando el símbolo x para la multiplicación y el punto para separar los decimales.

REAL ACADEMIA ESPAÑOLA. DICCIONARIO PANHISPÁNICO DE DUDAS - Primera edición (octubre 2005) http://buscon.rae.es/dpdI/ COMA. Signo de puntuación (,) que indica normalmente la existencia de una pausa breve dentro de un enunciado. Se escribe pegada a la palabra o el signo que la precede y separada por un espacio de la palabra o el signo que la sigue… A continuación se exponen los usos normativos de la coma. … 4. USOS NO LINGÜÍSTICOS En las expresiones numéricas escritas con cifras, la normativa internacional establece el uso de la coma para separar la parte entera de la parte decimal. La coma debe escribirse en la parte inferior del renglón, nunca en la parte superior: π = 3,1416. Pero también se acepta el uso anglosajón del punto, normal en algunos países hispanoamericanos π = 3.1416.

La Oficina Internacional de Pesos y Medidas (BIPM, por sus siglas en francés, Bureau International des Poids et Mesures), es el coordinador mundial de la metrología. Está ubicada en París. La 22e Conférence générale des poids et mesures de 2003 déclare que le symbole du séparateur décimal pourra être le point sur la ligne ou la virgule sur la ligne, et réaffirme

que «Pour faciliter la lecture, les nombres peuvent être partagés en tranches de trois chiffres; ces tranches ne sont jamais séparées par des points, ni par des virgules», comme le recommande la Résolution 7 de la 9e Conférence générale de 1948.

Constipado, 1999

BARTOLOMÉ FERRANDO (Valencia, 1951) Performer y poeta visual. Estudió música y filología hispánica. Es profesor titular de performance y arte intermedia en la Facultad de Bellas Artes de Valencia.

Inversión, 1999

Círculo, 1986

Juegos Olímpicos, 1996

1 al 2 Ejercicio de

soledad:

cuente solamente

hasta uno.

Texto poético

Escriba:

la palabra segundo en un segundo

la palabra minuto en un minuto

la palabra hora en una hora

la palabra semana en una semana

la palabra mes en un mes

la palabra año en un año

la palabra vida en una vida

Texto poético

Equilibrio, 1998

Los doodles (dibujitos, garabatos) de Google son los cambios decorativos que se realizan en el logotipo de Google para celebrar fiestas, aniversarios o las vidas de famosos artistas y científicos: como el comienzo de la primavera, el cumpleaños de Albert Einstein o el 50º aniversario del descubrimiento del ADN.

A veces es sencillamente un nuevo dibujo y otras verdaderas obras de arte digitales con muchas opciones interactivas.

Google publicó el primer doodle en agosto de 1998 y hasta la fecha el equipo de diseño ha creado más de 300 en Estados Unidos y más de 700 a nivel internacional. Algunos se utilizan en el país que lo propone y otros son globales para todos los países.

Día de pi (14 de marzo de 2010*)

09/09/09 a las 09:09:09 (9 de septiembre de 2009*)

M. C. Escher (16 de junio de 2003*) Aniversario de su nacimiento (**)

(*) Fecha de utilización del doodle en Google (**) Muchas fuentes indican que nació el 17 de junio

Cada fecha importante el famoso buscador de Internet Google sustituye su tradicional logotipo por imágenes conmemorativas de esa fecha, son los doodles (dibujitos, garabatos) de Google.

Zu Chongzhi (20 de abril de 2009*) Aniversario de su nacimiento

Zu Chongzhi (429-500) fue un matemático y astrónomo chino. Entre sus descubrimientos están dos aproximaciones del número pi: 355/113 y 22/7.

Cahit Arf (11 de octubre de 2010*) Centenario de su nacimiento

Cahit Arf (1910-1997), matemático turco. Es conocido por la invariante de Arf de una forma cuadrática con característica 2 (se aplica en la teoría de nudos).

Gaston Julia (3 de febrero de 2004*) Aniversario de su nacimiento

Gaston Maurice Julia (1893-1978), matemático francés. Fue el primero en estudiar los fractales, y explicar cómo a partir de cualquier función compleja se puede fabricar, por medio de una sucesión definida por inducción, un conjunto cuya frontera es imposible de dibujar.

Chen Jingrun (22 de mayo de 2009*) Aniversario de su nacimiento

Chen Jingrun (1933-1996) matemático chino con importantes contribuciones a la teoría de números. Su trabajo sobre la conjetura de primos gemelos, el problema de Waring, la conjetura de Goldbach y la conjetura de Legendre dio lugar a avances en la teoría analítica de números.

Fuente: Wikipedia (*) Fecha de utilización del doodle en Google

TRES GENIOS …

Galileo Galilei (25 agosto de 2009*) 400 Aniversario del primer telescopio de Galileo

Isaac Newton (4 de enero de 2010*)Aniversario de su nacimiento

Albert Einstein (14 de marzo de 2003*) Aniversario de su nacimiento

… Y TRES CÓDIGOS GENIALES Louis Braille (4 de enero de 2006*) Aniversario de su nacimiento

Samuel Morse (27 de abril de 2009*)Aniversario de su nacimiento

Invención del código de barras (7 de octubre de 2009*) Homenaje (La primera patente de código de barras fue registrada en Estados Unidos en octubre de 1952 por los inventores Joseph Woodland, Jordin Johanson y Bernard Silver.)

(*) Fecha de utilización del doodle en Google

Eclipse total de Sol (22 de julio de 2009*) Tránsito de Venus (8 de junio de 2004*)

Primer día de primavera en el hemisferio norte (20 de marzo de 2008*)

Primer día de verano en el hemisferio norte (21 de junio de 2008*)

Primer día de otoño en el hemisferio norte (22 de septiembre de 2008*)

Primer día de invierno en el hemisferio sur (21 de junio de 2009*)

Lluvia de meteoros de las Perseidas (12 de agosto de 2009*)

Qi Xi (26 de agosto de 2009*). La leyenda de Altair y Vega

(*) Fecha de utilización del doodle en Google

Michael Crichton (1942-2008), médico, cineasta y escritor estadounidense, fue autor de best sellers como Parque Jurásico. En Presa, novela de ciencia ficción, publicada en 2002, presenta una historia en la que los avances tecnológicos suponen una serie de decisiones corporativas y éticas cuyo desenlace se tuerce; en esta ocasión, el tema tratado es la nanotecnología y la amenaza de nanobots inteligentes que escapan al control humano y se convierten en entes autónomos, autorreplicantes y peligrosos.

El siguiente párrafo está extraído de este libro:

En esencia, todas las cadenas de montaje creadas por el hombre avanzaban aproximadamente a la misma velocidad: podía añadirse una pieza por segundo. Un automóvil, por ejemplo, contenía unos cuantos millares de piezas. Podía construirse un coche en cuestión de horas. Un avión comercial se componía de seis millones de piezas y su montaje requería varios meses.

Pero una molécula manufacturada media constaba de 1025 piezas. Es decir, 10 000 000 000 000 000 000 000 000 piezas. A efectos prácticos, esta cifra era inimaginablemente grande. El cerebro humano era incapaz de abarcarla. No obstante, los cálculos demostraban que incluso si pudiera ensamblarse a un ritmo de un millón de piezas por segundo, el tiempo necesario para completar una molécula seguiría siendo de tres mil billones de años, más que la edad conocida del universo. Y eso representaba un problema. Se lo conocía como el “problema del tiempo de construcción”…

Comprueba los datos numéricos: a) Si en un avión se añade una pieza por segundo, ¿cuánto tiempo exactamente tardaría en ensamblarse un avión con 6 millones de piezas? b) Calcula exactamente el número de años que se tardaría en montar una molécula, de la que se habla en el texto, a una velocidad de un millón de piezas por segundo.

Mario Vargas Llosa (1936), es un escritor peruano de los más importantes novelistas y ensayistas contemporáneos. Ha recibido numerosos premios, entre los que destacan el Nobel de Literatura en 2010, el Premio Cervantes (1994) y el Premio Príncipe de Asturias de las Letras (1986). Vargas Llosa alcanzó la fama con novelas como La ciudad y los perros (1962), La casa verde (1965) y Conversación en La Catedral (1969). Escribe habitualmente crítica literaria y artículos periodísticos. Entre sus novelas se cuentan comedias, novelas policíacas, novelas históricas y políticas.

En El paraíso en la otra esquina (2003), Vargas Llosa narra la vida de dos soñadores utópicos que buscaron la libertad absoluta: la de Flora Tristán, que pone todos sus esfuerzos en la lucha por los derechos de la mujer y de los obreros, en la justicia social; y la de su nieto

Paul Gauguin, uno de los grandes maestros de la pintura universal, que descubre su pasión por la pintura y abandona su existencia burguesa para viajar a Tahití en busca de un mundo sin contaminar por las convenciones. Dos modelos vitales opuestos que desvelan un deseo común: el de alcanzar un paraíso donde sea posible la felicidad para los seres humanos.

En la página 88 del capítulo V “La sombra de Charles Fourier", refiriéndose a los presentes en una reunión de la logia masónica "La Perfecta Igualdad", en la que interviene Flora Tristán, se dice:

"Más grave que el número de oyentes era su composición social. Desde el proscenio, decorado con un jarroncito de flores y una pared llena de símbolos masónicos, mientras monsieur Lagrange la presentaba Flora descubrió que tres cuartas partes de los asistentes eran patrones y sólo un tercio obreros."

Una sencilla suma nos muestra que

O había más patrones de la cuenta o más obreros de la cuenta, o patrones que eran obreros u obreros que eran patrones, o Vargas Llosa no prestó mucha atención a los números.

Fuente: IES Carrús de Elche

Sequenza rossa, 2006 Tobia Ravà nació en Padua (Italia) en 1959 y vive en Venecia. Artista de origen judío es licenciado en Semiología del Arte por la Universidad de Bolonia. Practica un puntillismo numérico. Su universo artístico se basa en el número y también en símbolos hebreos.

El bosque de los elementos, 2006 Los valores del alma, 2007

En las obras de Tobia Ravà las imágenes se construyen con caracteres hebraicos y con números indo-arábigos, todo ello inmerso en un mundo de color. Su lugar de residencia, Venecia, es motivo de muchas de sus obras. Ponte di Pace, 2001

L'angelo del Canaletto, 2000

Tabacchi celesti, 2010 Ghilgul la ruota del tempo, 2000

Verso l'alto, 2003 Verso dentro, 2002

Il grande abisso, 2007 Profondo interiore, 2004 Tobia Rava (Padua,

1959). Comenzó su carrera como pintor en 1971. En su obra todo es número, los paisajes, los edificios, los rostros, las abstracciones, todo… y también letras del alfabeto hebreo. Su magma pictórico está constituido por letras y números.

Ken Follett (1949) es un escritor británico de novelas de suspense e históricas. El ojo de la aguja (1978 y premio Edgar) fue el libro que le catapultó a la condición de autor de best sellers. En 1995 publicó su gran éxito Los pilares de la tierra (1995). Con cerca de 20 novelas publicadas Un mundo sin fin (2007) y La caída de los gigantes (2010) son hasta ahora las últimas en editarse.

En el blanco (2005) es un thriller contemporáneo, centrado en el robo de un virus letal de un laboratorio de investigación durante unas navidades en las que las Highlands de Escocia se encuentran aisladas debido a una furiosa tormenta de nieve.

En la página 118, puede leerse:

En la sala de telemetría encontró a Hans Mueller, al que todos llamaban Hank. El hombre le apuntó con el dedo y le espetó: - Ciento treinta y cinco. Era un juego que se traían entre manos. Elspeth tenía que decir alguna particularidad del número en cuestión. - Demasiado fácil –respondió Elspeth-. Coges la primera cifra, le sumas el cuadrado de la segunda y el cubo de la tercera, y obtienes el mismo número que al principio. Elspeth le proporcionó la ecuación: 11 + 32 + 53 = 135. - Muy bien –aceptó Hank-. ¿Y cuál es el siguiente número con el que pasa lo mismo? Tras unos instantes de concentración, Elspeth contestó: - Ciento setenta y cinco. 11 + 72 + 53 = 175. - ¡Correcto! Has ganado el premio gordo. El hombre se rebuscó en el bolsillo y sacó una moneda de diez centavos. Elspeth la cogió. - Voy a darte la oportunidad de recuperarlos –dijo ella-. Ciento treinta y seis. - Vaya. –Hank frunció el ceño-. Espera. Sumas el cubo de cada una de las cifras… 13 + 33 + 63 = 244. - Luego repites la misma operación y… obtienes el número inicial. 23 + 43 + 43 = 136. Elspeth le devolvió la moneda y, de propina, le entregó una copia de la actualización.

El Cubo de Rubik es un cubo de orden 3 (3x3x3). En total el número de permutaciones posibles con el movimiento de sus piezas es de:

43 252 003 274 489 856 000

El Número de Dios es 20. Se llama Número de Dios al número máximo de movimientos necesario para resolver de forma óptima el cubo de Rubik tradicional de 3×3×3. Esto quiere decir que todos los cubos, por muy liados que estén, pueden resolverse con solo 20 movimientos, y que ninguno requiere más que eso (aunque muchos requieren menos, naturalmente).

BANYAN TREE

RISING STORM, 1998

Guenter Albrecht-Buehler (Berlín, 1942) profesor de Biología de la Northwestern University Medical School de Chicago y experto en inteligencia celular, recibió su doctorado en física en Munich. En parte de su obra utiliza los pentominós para crear imágenes.

THE CHILD, 1998

VULCAN'S PALACE, 1998

Miguel de Unamuno y Jugo, (Bilbao 1864- Salamanca 1936). Poeta, dramaturgo, novelista, filósofo y ensayista español; modelo del pensamiento filosófico-moral de los escritores de la Generación del 98. Fue catedrático de griego y rector de la Universidad de Salamanca.

Entre sus obras destacan: en ensayo y prosa narrativa, Del sentimiento trágico de la vida, Niebla, La tía Tula y San Manuel Bueno, mártir. En poesía, además de muchas sueltas, sobresalen Los salmos y El Cristo de Velázquez. En teatro: Medea y El hermano Juan.

“Cancionero. Diario poético”, (1928-1936), publicado póstumamente en 1953 se compone de

1 755 poemas que forman un documento personal. Su sintaxis es rica y compleja; su vocabulario ofrece una mezcla de cotidianidad y rebuscamiento culto, reivindicando vocablos desusados, aunque siempre de gran valor expresivo y literario.

Cancionero 225 (a + b)2 = a2 + 2 a·b + b2

Se casaron a y b, y sus dos cuartos ya cuadrados al ir a juntar traspasados en flecha amorosa, norte a sur, por común diagonal, construyeron la casa y se hallaron con dos amplias alcobas de más. Dos mellizos, a · b, sus dos hijos le llenaron el hueco al hogar y quedose cuadrada la casa por la regla de multiplicar.

Cancionero 1448

Por lógica y aritmética al obtener n ritmos tomas de texto de

estética, la tabla de logaritmos.

Fuente: Miguel de Unamuno y Jugo - Vida y obras de Justo Fernández López

20 1 18 4 13 6 10 15 2 17 3 19 7 16 8 11 14 9 12 5 Los dardos es un juego que se practica individualmente o por equipos, y que consiste en lanzar alternativamente cada jugador tres dardos a una diana, hasta completar una puntuación determinada o alcanzar unos sectores acordados una serie de veces también determinada, según la variante del juego a la que se esté jugando.

La diana está fraccionada en 20 sectores circulares, divididos por dos estrechas coronas circulares en trapecios circulares (llamados segmentos), numerados en el exterior entre el 1 y el 20.

El sistema de la puntuación de la diana es simple: cada dardo clavado en la zona sencilla sumará la puntuación marcada en cada extremo de la diana. El anillo doble se encuentra en la zona más lejana al centro de la diana y cada dardo que caiga en esa zona se debe multiplicar por dos los puntos marcados. El anillo triple se encuentra en la zona más cercana al centro y multiplica por tres la puntuación marcada para esa zona. Además está el centro, dividido en la zona verde que puntúa 25 puntos y la roja que lo hace con 50. Existen 20! = 2 432 902 008 176 640 000 formas posibles de colocar los 20 valores de los sectores de una diana. La invención de la curiosa secuencia numérica que se utiliza en la diana se debe al carpintero inglés Brian Gamlin a finales del siglo XIX. Esta ordenación se diseñó con el fin de reducir la incidencia de tiros con suerte. La colocación de números pequeños al lado de los números grandes, por ejemplo 1 y 5 al lado de 20, 3 y 2 al lado de 17 ó 4 y 1 al lado de 18, penalizan la poca puntería. Así, si se tira para la zona del 20, y no se acierta, se puede conseguir 1 ó 5 puntos.

Sam Loyd (1841-1911), uno de los más grandes creadores de acertijos de ingenio inventó, en 1896, la paradoja "Los guerreros chinos" o “Salir de la Tierra”, formada por una cartulina y un disco interior giratorio.

En una posición se pueden contar 13 figuras pero girando el disco interior solo aparecen 12 chinos.

¿Cómo puede un guerrero desaparecer? ¿Cuál es el que ha desaparecido? ¿A dónde ha ido? En el Congreso Americano de Ajedrez de 1858 Sam Loyd presentó la paradoja del tablero de ajedrez, donde con las mismas piezas se obtienen figuras de áreas distintas.

Las líneas de W. Hooper

Une las dos piezas de este puzzle y cuenta las líneas paralelas que aparecen.

Desliza la pieza superior hacia la derecha y cuenta las líneas paralelas.

Parte de nuevo de la posición inicial, desliza la pieza superior hacia la izquierda y cuenta ahora las líneas paralelas.

¿Qué ha ocurrido?

Sol LeWitt (1928 – 2007), artista estadounidense considerado uno de los más importantes del siglo XX. Estuvo ligado a movimientos como el arte conceptual y el arte minimalista. Trabajó con la pintura, el dibujo, la fotografía y las estructuras como medios artísticos.

Four-Sided Pyramid, 1999

Cubes in Color on Color, 2003

Color Arcs in four Directions, 1999

Forms derived from a cube, 1991

El cubo es una de las formas geométricas más básicas. En la década de 1960, Sol LeWitt comenzó a investigar el cubo, que se convirtió en un elemento esencial en su lenguaje artístico. Las “Variaciones de cubos abiertos incompletos” son quizás su obra más importante y una expresión de sofisticado y elaborado arte conceptualista. El trabajo fue expuesto en París en 1974.

Incomplete open cube, 8/11, 1974 Schematic Drawing for Incomplete

Open Cubes, 1974

Variations On Incomplete Open Cubes, 1974

2012 en otros calendarios Calendario gregoriano 2012 En números romanos MMXII Ab urbe condita (Desde la fundación de Roma) 2765 Calendario armenio 4504

Calendario chino 4708-4709 Calendario hebreo 5772-5773 Calendario persa 1390-1391 Calendario musulmán 1433-1434 Calendario rúnico 2262

Francisco Sobrino Ochoa (Guadalajara, 1932), pintor y escultor español, creador de obras cinéticas, siendo seguidor del artista húngaro Víctor Vasarely.

Sin título. 1996 Rotación: relación blanco-negro G. 1991

Estructura permutacional. 1996

Escultura S/T. 1975

Sin título. 1959 Sin título. 1959

Sin título. 1959

Sin título. 1959-1980 Sin título. 1959

Sobrino pinta con formas abstractas y geométricas. Su estilo investiga la luz, el espacio y el movimiento, combinando formas geométricas planas para lograr un movimiento virtual.

Gloria Fuertes (Madrid, 1917–1998) fue una poeta (a la que no le gustaba que la llamaran poetisa) española.

Creadora de un lenguaje personal basado en el humor y los juegos de palabras, escribió una extensa obra dedicada al público infantil, que incluye canciones y la participación en programas de televisión dirigidos a los niños.

Números comparados

Cuéntame un cuento de números háblame del dos y del tres -del ocho que es al revés igual que yo del derecho-. Cuéntame tú qué te han hecho el nueve, el cinco y el cuatro para que los quieras tanto; anda pronto, cuéntame. Dime ese tres que parece los senos de cualquier foca; dime, ¿de quién se enamora ese tonto que es el tres? Ese pato que es el dos, está navegando siempre; pero a mi me gusta el siete, porque es un roto en la vida, y como estoy descosida, le digo a lo triste: Vete. Cuéntame el cuento muy lenta, que aunque aborrezco el guarismo, espero ganar lo mismo si eres tú quien me lo cuenta.

Palabras y números

En el cielo una luna se divierte. En el suelo dos bueyes van cansados. En el borde del río nace el musgo. En el pozo hay tres peces condenados. En el seco sendero hay cuatro olivos, en el peral pequeño cinco pájaros, seis ovejas en el redil del pobre -en su zurrón duermen siete pecados-. Ocho meses tarda en nacer el trigo, nueve días tan sólo el cucaracho; diez estrellas cuento junto al chopo. Once años tenía, doce meses hace que te espero: por este paraguas trece duros pago.

Un logotipo es un elemento gráfico que identifica a una persona, empresa, institución o producto. Los logotipos suelen incluir símbolos -normalmente lingüísticos- claramente asociados a quienes representan. Un logo adecuado ayuda a la compañía a ser reconocida, recordada y establece vínculos con sus clientes.

Con muchísima frecuencia estos diseños utilizan elementos geométricos: polígonos, círculos, curvas abiertas o cerradas, simetrías, traslaciones… buscando la sensación de perfección que da la geometría. Esto ocurre con los logos de algunos Juegos Olímpicos de Verano, que además incorporan el símbolo olímpico que consiste en cinco anillos representando los cinco continentes del mundo, entrelazados para simbolizar la amistad deportiva de todos los pueblos.

Los Juegos Olímpicos de Invierno se realizaron por primera vez en 1924, en la localidad francesa de Chamonix. Originalmente coincidían los mismos años que los de verano, pero a partir de 1994, se decidió desfasar su realización. Desde esa fecha se realizan en los años pares entre dos Juegos de Verano. Muchos de sus logos también están impregnados de formas geométricas.

Hasta el momento se han celebrado 21 ediciones, siendo las excepciones los de 1940 y 1944, por los conflictos bélicos mundiales. Los próximos Juegos Olímpicos de Invierno se celebrarán en Sochi, Rusia, en el año 2014.

Fuente: Wikipedia

Fernando Lázaro Carreter (Zaragoza, 1923 – Madrid, 2004), filólogo español y director de la Real Academia Española (1992–1998). Fue catedrático de Salamanca y de Madrid. Gran especialista en el Siglo de Oro, autor de libros de texto para bachillerato, Fernando Lázaro Carreter es el gran filólogo que denunció, con tono humorístico, lo mal que se habla en nuestro país, unas veces desde sus crónicas en la prensa y otras en libros como el famoso “El dardo en la palabra, recopilación de artículos, comentarios y lecciones” o “El nuevo dardo en la palabra”.

Espíritu de geometría (I) EL PAÍS, 05/12/1999

¿Podríamos hablar sin la geometría? Se nos cuela por todas las costuras del idioma, sin casi darnos cuenta. Inevitablemente, los políticos y los medios de comunicación, aliados en la locuela (que parece diminutivo de loca, pero es sólo pariente de locución). Apenas a los chicos vascos o equivalentes les da por travesear algo, salen con eso de que "va en aumento la espiral de la violencia". Nunca es una recta pujante o un zigzag que, a sacudidas, trepa como la fiebre de un colérico: es una espiral, sin excepción imaginable. Se trata de una metáfora perfectamente válida, idiomáticamente bella, esta de la violencia vista como un tornado que se empina vertiginoso hacia arriba girando alrededor de un punto. Lástima que no sea invención nuestra: hace mucho que la conoce el inglés. Y lo malo que tiene es la asiduidad en los medios, proclives a las frases hechas, tanto de la violencia como de su dichosa espiral; cuesta reconocer talento en quienes se mueven por el papel o las ondas agarrados a tales lianas. Bastaría decir que aumenta o crece la violencia, pero ese aumento, dicho así, parece sin alma, y, sobre todo, es ajeno al dialecto que muchos comunicadores emplean para dirigirse al público. Pascal afirmaba de los geómetras -él lo era, y genial- que "son rudos e insoportables", y escaseaban los que, además, poseían "esprit de finesse". Gran razón la de tan enérgicos adjetivos si se aplican a los repetidores de la metáfora espiralina, cuyo forjador la creó con un golpe de ingenio sin sospechar que estaba fabricando una muleta para que cientos de informadores renqueen con ella por la prosa.

(…)

Espíritu de geometría (II) (…) La aportación de tropos geométricos al caudal de las lenguas ha sido desde antiguo muy considerable: la nuestra, en el lenguaje del amor cuenta, por ejemplo, con el triángulo; los narradores eróticos de principios de este siglo -en donde, pese al estruendo del milenio, vamos a permanecer aún todo el año 2000- llamaban horizontales a las damas de cama fácil. Hay gentes que todo lo ven bajo un prisma; Galdós los llamaba prismáticos. Por los años cincuenta, señoritos y señoritas mutuamente condignos fumaban cilindrines mientras castigaban la pepsi con gin, y se dedicaban a tumbar la aguja de sus lentos bólidos por la carretera. El mundo social ha entrado a saco en el sacro recinto de Euclides; contamos con círculos de labradores, de bellas letras, aristocráticos, de fumadores: la tira. Existen las altas esferas, los sectores afectados, los polígonos de desarrollo y las curvas de crecimiento. En las demandas salariales, se piden a lo yanqui aumentos lineales para todos; por lo contrario, el también yanqui puntual es lo que afecta sólo a algo concreto; se habla de la pirámide de edades; se ven las cosas desde un determinado ángulo; el Congreso se deja de asuntos centrales -la formación humanística, por ejemplo- y se sale por la tangente. Un juez -salvo excepciones- es recto, y su trayectoria, por tanto, rectilínea; pero hay ocasiones en que se pasa de la raya (¡qué cruz!). Pero no por eso deja la Tierra de girar alrededor de su eje y del Pentágono, cuyo radio de acción ya está llegando a Marte.

Frente a la espiral, la recta; mientras aquélla se vuelve y revuelve sin saber hasta dónde, la recta lleva como una sombra el adjetivo final. Cuando falta ya poco para que algo acabe (el curso, un partido de fútbol, un proceso...), dicen de ese algo que ha entrado en su recta final. Se trata de otra estampación lingüística de percalina. Con esa plantilla, desaparecen cien variaciones posibles para decir lo mismo, pero la jerga profesional político-mediática, esa santa alianza, impone el bordoncillo hasta producir bascas.

¿Y si el final termina en curva? Lo normal es que sean rectilíneos los metros últimos que han de recorrer compitiendo los semovientes de sangre o de hidrocarburo. Pero, por ejemplo, el remate de un curso escolar suele estar lleno de sobresalto, y alumnos hay que lo recorren por sinusoides: ni locos dirán que el curso está en su recta final, cuando muchos han de seguir corriendo durante el verano. Otro topicazo geométrico de los que manan a cada momento por altavoces caseros y columnas de papel. (…)

Espíritu de geometría (y III)

(…) Nuestros indefectibles amigos los cronistas del deporte han lanzado no hace mucho otro en verdad útil: cuando, por ejemplo, un chavea de quince años muestra habilidad sobresaliente con el esférico en sus pies, se asegura de él que tiene gran talento y una inmensa proyección. No es que su sombra se alargue por el campo, sino que lleva un carretón: podrá integrarse pronto en esos conjuntos de millonarios que, miércoles tras sábados y domingos, cambian el pantalón largo por el corto, y encienden pasiones por los estadios. Sus bardos -son muchos- prefieren proyección a "futuro" o "porvenir" porque, claro es, tal nombre está más cerca del inglés proiection.

Y dentro de ese gremio y de ese espíritu de rudeza -según el diagnóstico de Pascal- figuran entre los geómetras de esparto unos cuantos preciosos ridículos que, cuando un jugador cae, pierde la verticalidad, a no ser que, después de haber sido empujado y trompicado, se quede en pie: entonces no ha perdido la verticalidad. Ni Paravicino en plena hoguera barroca hubiera segregado joya semejante.

Pero hay otra grey, la que envía publicidad por fax -¿para cuándo una ley que, como en otras partes, la prohíba?-, que no conviene perder de vista por lo innovadora. Me faxea una empresa dedicada a adaptar "las nuevas herramientas de marketing al segmento de jóvenes". Hace tiempo que no presenciaba tantas cornadas juntas a la lengua española. Los adolescentes son para tal empresa teens, como en Texas; suman nueve millones y medio, según su cómputo, y constituyen "el target más potente en cuanto a números [sic] y poder de compra". Son ellos quienes definen lo que es cool y lo que es out; de ahí la necesidad de un marketing directo, one-to-one y de cross promotions con tan apetitosos compradores, puesto que, hablando a lo geométrico, constituyen un segmento muy gordo de la población.

Día tras día se informa de cómo, por costas canarias o andaluzas, han sido aprehendidos unos cuantos desventurados a quienes el hambre ha lanzado al mar. Pero, sin necesidad de patera, van penetrando en el lenguaje público mensajes que corroen nuestro idioma, es decir, nuestro ser. Nadie reacciona; Francia hizo un intento de poner frontera al suyo, y algo ha conseguido. Sería un espectáculo interesante ver a nuestros diputados discutiendo un proyecto de ley similar, aunque fuera más tímido.

Fernando Lázaro Carreter fue director de la Real Academia Española.

Uno de los juegos de tablero más conocidos es el ajedrez.

En periódicos y revistas hay pasatiempos basados en partidas de ajedrez. Para poder expresar los movimientos y seguir una partida es necesario utilizar una notación que indique qué figura se mueve y a dónde. Para ello, se utiliza un sistema de coordenadas especial. Aunque existen diversas versiones, la notación algebraica es la más frecuente y la reconocida por la Federación Internacional de Ajedrez (FIDE).

El tablero de ajedrez se coloca de forma que cada jugador tenga un cuadrado blanco a su derecha. Entonces las sesenta y cuatro casillas se numeran de la siguiente forma: las columnas, de izquierda a derecha para las blancas y de derecha a izquierda para las negras, de la “a” a la “h”, y las filas, de abajo hacia arriba para las blancas y de arriba hacia abajo para las negras, son numeradas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y 8, respectivamente. Cada casilla tiene un nombre y sólo uno, tanto para las blancas como para las negras.

A su vez cada pieza tiene una letra especial que la caracteriza, que es en concreto la inicial de su nombre: Peón, Caballo, Alfil, Torre, Dama y Rey.

El movimiento de una pieza se anota indicando la inicial del nombre de la pieza que se desplaza, la letra y el número de la casilla de salida y la letra y el número de la casilla de llegada. Así, Pe2-e4 significa que se ha movido el peón de la columna e, casilla2, a la casilla 4 de esa columna. Cuando se tiene práctica se suele omitir la inicial del peón.

También se utilizan dos símbolos especiales: el “x” para indicar la captura de una pieza del contrario; y “+” para indicar jaque al rey (si se coloca “++” se indica jaque mate).

En una partida de ajedrez siempre comienza el juego las piezas blancas y cada jugada (numeradas 1, 2, 3,…) es un movimiento de los dos jugadores.

CARRERAS DE BICIS es un juego de lápiz y papel para varios jugadores donde se simula una carrera de bicicletas en un circuito. Se necesita: - Un lápiz o bolígrafo de distinto color para cada jugador. - Papel cuadriculado donde se dibuja un circuito, que será un recorrido entre dos líneas irregulares, que ha de tener en su SALIDA una anchura de cuatro o cinco cuadrados.

Reglas: - Se sortea el orden de jugada. Según ese orden, los jugadores eligen su posición sobre un vértice de cuadricula en la parrilla de salida. - Un movimiento consiste en desplazarse un número de casillas en horizontal y en vertical. El movimiento se representa por una flecha que une los puntos inicial y final del desplazamiento. - En el primer movimiento sólo puede desplazarse a un vértice cercano al de salida.

- Cada movimiento restante de un jugador se basa en el que haya realizado antes. Su desplazamiento debe ser de la misma magnitud que en su jugada anterior (mismo desplazamiento en vertical y en horizontal), con la diferencia de que puede optar por terminar en el punto correspondiente o en cualquiera de los ocho de alrededor.

Por ejemplo, si una bici se ha movido desde A hasta B (bajando dos unidades en vertical y avanzando tres en horizontal), el siguiente movimiento puede ser de B a C (si mantiene los mismos parámetros) o de B a cualquiera de los ocho puntos que rodean a C. - No se puede llegar a la posición ocupada por otra bicicleta pues significaría una colisión, aunque si pueden cruzarse los recorridos. - Si el recorrido de una bici sale del circuito ese jugador sufre un accidente y su bicicleta ha de ser retirada. - Gana la carrera la primera bicicleta que llega a la META.

Cada vez es más frecuente el uso de las gráficas para dar información; ello es debido a que las gráficas aportan mucha información en poco espacio, ya que se puede comparar la variación de diferentes magnitudes. En Medicina las gráficas se han convertido en un elemento cotidiano en el diagnóstico o descarte de dolencias.

Electrocardiograma (ECG)

Cuando el corazón late produce pequeñas corrientes eléctricas. Un electrocardiograma es el registro gráfico de esta actividad eléctrica. Un ECG estandar se obtiene poniendo 12 pequeños electrodos en determinados puntos del cuerpo del paciente; la maquina realiza el registro en unos pocos minutos. La prueba es completamente indolora y no tiene ningún riesgo.

Cada latido del corazón se puede dividir en tres partes principales.

La primera es una pequeña onda en forma de U invertida (la onda P) que representa la contracción de las aurículas. La segunda parte (la onda

QRS) es un trazo en punta que representa la contracción ventricular. La tercera es la onda T, en

forma de montículo, que representa la relajación de los ventrículos.

Analizando el patrón exacto del ECG, los cardiólogos pueden deducir cómo funciona el corazón y diagnosticar sus afecciones.

Electroencefalograma (EEG)

Las neuronas de nuestro cerebro se comunican entre sí a través de unas sustancias químicas denominadas neurotransmisores que generan una pequeña actividad eléctrica. Estos impulsos eléctricos son muy pequeños, pero cuando millones de neuronas funcionan juntas, su actividad puede ser registrada desde la superficie del cuerpo como un voltaje.

Un electroencefalograma es el registro gráfico de la actividad eléctrica media de la corteza cerebral. Se realiza en casos de traumatismos craneoencefálicos (lesiones en la cabeza), cefaleas (dolores de cabeza), tumores cerebrales, etc.

EEG de control (situación basal con ojos

cerrados y sin usar móvil) EEG escuchando una conversación por móvil

Electromiograma (EMG)

La contracción de un músculo se debe a la descarga eléctrica del nervio que lo controla. Si el nervio está afectado, su funcionamiento se resiente y varían las características de los impulsos eléctricos que transmite. Además, las variaciones en esos impulsos son distintas en función de que el nervio esté, por ejemplo, enfermo o comprimido, y también son diferentes según el grado de compresión.

Un electromiograma es el registro gráfico de la actividad eléctrica de los músculos; sirve para evaluar el estado de los nervios que controlan la musculatura, permitiendo detectar grados sutiles de compresión o sufrimiento de los nervios.

EMG del antebrazo humano registrado durante la flexión de los dedos

Andy Gilmore, ilustrador, diseñador y músico. Maestro del color y la composición geométrica, su obra tiene un efecto caleidoscópico e hipnótico.

Circle

10-08-2008

Hemicube

07-14-2010

04-02-2009

Imágenes: http://spacecollective.org/

Página personal: http://crowquills.com/

Andy Gilmore

05-02-2008

07-02-2009

+

10-22-2010

Página personal: http://crowquills.com/

Hoy en día, con el invento de las calculadoras, las operaciones han quedado reducidas a apretar un botón, pero ¿cómo se multiplicaba o dividía hace 400 años? ¿Además de los tediosos algoritmos de cálculo, existía algún invento mecánico que facilitase la realización de multiplicaciones o divisiones?

Hemos de tener en cuenta el alto analfabetismo existente es esa época, donde el leer y escribir era privilegio de unos pocos y los conocimientos matemáticos, fundamentalmente aritméticos, escasos.

John Napier o Neper (1550-1617), matemático escocés, realizó dos grandes contribuciones al cálculo: el descubrimiento de los logaritmos y la construcción de las primeras regletas o varillas para multiplicar. Neper inventó unas tablas en forma de juego de tablillas que servían para calcular productos, divisiones o raíces. Con este método, los productos se reducen a operaciones de sumas y los cocientes a restas. Estas regletas fueron precursoras de las reglas de cálculo. Retrato de Neper, autor desconocido, National Portrait Gallery of Scotland

A pesar de haber pasado a la posteridad por sus contribuciones en el campo de las matemáticas, para Neper ésta era una actividad de distracción, siendo su preocupación fundamental la interpretación crítica y completa del Apocalipsis, a la que consagró toda su vida.

En 1617, año de su muerte, apareció su obra Rabdologiæ seu numerationis per virgulas libri duo en la que describe el ábaco neperiano, también conocido como varillas de Neper. Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/John_Napier

En el siglo XVII los progresos en astronomía, navegación y comercio implicaban una cantidad importante y creciente de cálculos a los que se dedicaba un enorme esfuerzo, convirtiéndose en una tarea tediosa.

John Napier o Neper (1550-1617), inventó los logaritmos en 1614 haciendo que se simplificaran los cálculos, las multiplicaciones se convierten en sumas y las divisiones en restas, y además el riesgo de error disminuye.

En 1617, año de su muerte, apareció su obra Rabdologiæ seu numerationis per virgulas libri duo en la que describe el ábaco neperiano, también conocido como varillas de Neper. Ahí explica la manera de efectuar las operaciones aritméticas ayudándose de ‘bastoncillos’ sobre los que están grabados las tablas de multiplicar. Se utilizaron hasta el siglo XIX.

El procedimiento para multiplicar con las varillas es el llamado ‘por celosía’ o ‘método árabe de multiplicar’, utilizado en aquel entonces desde que Fibonacci lo introdujese en Europa en 1202.

El método consiste en colocar horizontalmente el multiplicando y verticalmente el multiplicador y en escribir en las intersecciones fila/columna el resultado del producto de las dos cifras que interesen.

Finalmente se suman diagonalmente las cifras por bandas oblicuas; si hay acarreo se sumará con la banda siguiente de la izquierda. Por ejemplo 278 x 34 = 9452.

Finalmente se suman diagonalmente las cifras por bandas oblicuas; si hay acarreo se sumará con la banda siguiente de la izquierda. Por ejemplo, 278 x 34 = 9452.

Las varillas de Neper son unos listones o tiras con tablas de multiplicar diferentes.

La base tiene un lado (a izquierda o derecha) grabado con 9 casillas (numeradas de 1 a 9) y sirve para fijar el multiplicador.

Cada bastoncillo esta dividido en 10 casillas, la superior lleva una cifra (de 0 a 9), en las otras casillas figuran los múltiplos de este número. Una línea diagonal separa las decenas de las unidades; por ejemplo el bastoncillo 3 lleva los números 0/3, 0/6, 0/9,... 2/4 y 2/7.

Multiplicación

Multiplicación por una cifra

Supongamos que queremos calcular el producto de 46 785 399 y 7.

Colocamos las varillas correspondientes a 46 785 399, como se muestra en el dibujo.

Como vamos a multiplicar por 7, nos fijamos en la franja horizontal de la fila 7.

Para obtener el producto, leemos las cifras de derecha a izquierda, y vamos sumando los números que se encuentran dentro de las secciones diagonales (utilizando acarreo cuando la suma sea 10 o más).

Multiplicación por varias cifras

Multipliquemos por 46 785 399 por 96 431.

Se opera de forma análoga al producto por una cifra. Vamos a calcular los productos parciales de multiplicar 46 785 399 por 9, 6, 4, 3 y 1.

Colocamos estos productos en las posiciones adecuadas (empezando por la unidad del multiplicador), y se suman utilizando lápiz y papel.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Ábaco_neperiano

División La forma de dividir es análoga al algoritmo que solemos utilizar con lápiz y papel; la ventaja está en no tener que realizar las multiplicaciones, solamente restas. Vamos a dividir 46 785 399 entre 96 431. Colocamos las varillas para el divisor (96 431) en el tablero. Utilizando el ábaco, podemos ver todos los productos del divisor por 1, por 2,… por 9, sin más que fijarnos en las distintas filas.

Como el divisor tiene 5 dígitos deberíamos empezar tomando 5 dígitos del dividendo, pero la cifra correspondiente a esos cinco dígitos del dividendo sería menor que la del divisor; por ello, tomamos 6 cifras en el dividendo: 467853.

A continuación, buscamos el producto parcial de los que tenemos en el ábaco neperiano que es menor que el número que hemos tomado en el dividendo. En este caso es 385724. Ese número se encuentra en la 4ª fila del ábaco, por lo que tendremos un 4 como primera cifra del cociente. Ahora escribimos el producto parcial (385724) debajo del dividendo original, y restamos los dos términos. Obtenemos como diferencia 82129. Bajamos la siguiente cifra del dividendo, un 9 en este caso y formamos el número 821299. Repetimos los pasos anteriores: buscamos en el ábaco el producto parcial inmediatamente inferior al número 821299, que es 771448. Ese número se encuentra en la 8ª fila del ábaco, por lo que tendremos un 8 como segunda cifra del cociente.

Ahora escribimos el producto parcial (771448) debajo del dividendo parcial (821299), y restamos los dos términos. Obtenemos como diferencia 49851. Bajamos la siguiente cifra del dividendo, un 9 en este caso y formamos el número 498519. Volvemos a repetir el procedimiento hasta que el resultado de la resta sea menor que el divisor.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Ábaco_neperiano

(…) Abrió la próxima puerta, los dos casi sin atreverse a ver lo que seguía… Pero no había nada terrorífico allí, sólo una mesa con siete botellas de diferente tamaño puestas en fila. -Snape -dijo Harry- ¿Qué tenemos que hacer? Pasaron el umbral y de inmediato un fuego se encendió detrás de ellos. No era un fuego común, era púrpura. Al mismo tiempo, llamas negras se encendieron delante. Estaban atrapados. -¡Mira! -Hermione cogió un rollo de papel, que estaba cerca de las botellas. Harry miró por encima de su hombro para leerlo:

El peligro yace ante ti, mientras la seguridad está detrás, dos queremos ayudarte, cualquiera que encuentres, una entre nosotras siete te dejará adelantarte, otra llevará al que lo beba para atrás, dos contienen sólo vino de ortiga, tres son mortales, esperando escondidos en la fila. Elige, a menos que quieras quedarte para siempre, para ayudarte en tu elección, te damos cuatro claves: Primera, por más astucia que tenga el veneno para ocultarse siempre encontrarás alguno al lado izquierdo del vino de ortiga; Segunda, son diferentes las que están en los extremos, pero si quieres moverte hacia delante, ninguna es tu amiga; Tercera, como claramente ves, todas tenemos tamaños diferentes: ni el enano ni el gigante guardan la muerte en su interior; Cuarta, la segunda a la izquierda y la segunda a la derecha son gemelas una vez que las pruebes, aunque a primera vista sean diferentes.

Hermione dejó escapar un gran suspiro y Harry, sorprendido, vio que sonreía, lo último que había esperado que hiciera. -Muy bueno -dijo Hermione-. Esto no es magia… es lógica… es un acertijo. Muchos de los más grandes magos no han tenido una gota de lógica y se quedarían aquí para siempre. -Pero nosotros también, ¿no? -Por supuesto que no -dijo Hermione-. Lo único que necesitamos está en este papel. Siete botellas: tres con veneno, dos con vino, una nos llevará a salvo a través del fuego negro y la otra hacia atrás, por el fuego púrpura. -Pero ¿cómo sabremos cuál beber? -Dame un minuto. (…) Harry Potter y la piedra filosofal

Capítulo 16. A través de la trampilla J. K. Rowling

Andrés Rábago García, conocido por los seudónimos de Ops y El Roto, es un historietista y humorista gráfico español nacido en Madrid en 1947.

Antonio Mingote Barrachina, (Sitges, 1919-Madrid, 2012) fue un dibujante, humorista, escritor, académico de la lengua y periodista español. Sus ilustraciones, chistes gráficos, textos, además de poner una sonrisa en la cara del lector, reflejaron los acontecimientos históricos y cambios en la España del siglo XX y comienzos del siglo XXI. Ilustró libros, carteles, decorados, vestuarios, azulejos, vallas callejeras y todo tipo de superficies. Además de todo ello publicaba diariamente hasta su fallecimiento en prensa escrita.

Cada billete de la zona euro tiene un único número de serie, que consiste en una letra inicial, representando el país emisor, un número de diez cifras y una cifra de control. La letra inicial que corresponde a España es la V. Para calcular el dígito de control (la última cifra) se siguen los siguientes pasos: 1. Suma las diez cifras del número de serie; 2. Añade la cifra correspondiente a la letra inicial (A = 1, B = 2,..., V = 22,…, Z = 26); 3. Suma las cifras del resultado hasta que quede una sola cifra (si es nueve, se asigna el cero). 4. La cifra de control es la diferencia entre 8 y el número obtenido. En caso de obtenerse cero en esta diferencia, el dígito de control es un 9. Ejemplo: Tenemos el billete con número de serie V2785957397? y queremos calcular el valor del dígito de control. Realizamos las operaciones siguientes considerando la letra inicial y los diez primeros dígitos: 22 + 2 + 7 + 8 + 5 + 9 + 5 + 7 + 3 + 9 + 7 = 84 --> 8 + 4 = 12 --> 1 + 2 = 3 --> 8 - 3 = 5. Por tanto el dígito de control es 5. Para calcular cualquier cifra del número de serie se deben realizar las mismas operaciones. Para obtener la letra del número de serie conociendo las once cifras, se calcula la suma de las 11 cifras del número y se reduce a una cifra (por el método explicado antes); el valor resultante permite conocer la letra, es decir el país emisor, correspondiente al billete, según la siguiente tabla:

Valor 1 2 3 4 5 6 7 9 Código P/Y X N M/V L/U T S Z

Países Holanda Grecia Alemania Austria Portugal

España Finlandia Francia Irlanda Italia Bélgica

El código de control es un mecanismo de detección de errores utilizado para verificar la corrección de un dato, generalmente en soporte informático. Los dígitos de control se usan principalmente para detectar errores en el tecleo o transmisión de los datos.

Generalmente consisten en uno o más caracteres numéricos o alfabéticos añadidos al dato original y que son calculados a partir de éste mediante un determinado algoritmo. Algunos de los ejemplos de uso frecuentes son los números de identificación personal, número de control en los billetes monetarios, códigos de barras, tarjetas de crédito y códigos bancarios.

El número y la letra del DNI, el Número de Identificación Fiscal (NIF), es un identificador utilizado a efectos fiscales en España.

Cálculo de la letra a partir del número del DNI

1. Se toma el nº del DNI.

2. Se divide por 23.

3. Cogemos el resto de la división (tiene que ser un número comprendido entre 0 y 22).

4. A cada número entre el 0 y el 22 le corresponde una letra de acuerdo con la tabla de asignación de abajo.

Ejemplo de cálculo de la letra del DNI - NIF

1. El resto de la división es 14. 2. Al nº 14 en la tabla de abajo le

corresponde la letra: Z.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

T R W A G M Y F P D X B N J Z S Q V H L C K E

El código de barras es un sistema de identificación automática, único, normalizado y homologado que permite controlar la gestión de stocks y el suministro de mercancías. Existen distintos tipos de codificación, en España, el sistema de codificación más extendido es el EAN 13 (European Article Number con 13 dígitos). El símbolo estándar está formado por una serie de 30 barras paralelas, de diferente grosor. En la parte inferior del símbolo se representa el mismo código en cifras para que sea legible. La representación del código EAN 13 se efectúa mediante la visualización de 13 dígitos que identifican el producto: • Los dos primeros dígitos/caracteres corresponden al país que otorga el código, no el país de origen del producto. El código numérico asociado a España es el 84. • Los cinco caracteres siguientes identifican la empresa fabricante del artículo. • Los cinco siguientes caracteres identificarán cada uno de los productos que la empresa produzca. La empresa podrá poner su propia numeración de productos.

Mingote

• Por último, el dígito que ocupa el lugar 13, es un dígito de control y se calcula mediante un algoritmo matemático. Este dígito elimina cualquier posibilidad de error en la lectura.

Algoritmo para calcular el dígito de control

Para estudiar el algoritmo de cálculo del dígito de control tomemos como ejemplo el siguiente código, 84 12345 67890 ?, sabiendo que el 84 corresponde con el país, los siguientes 5 dígitos con la empresa y los últimos 5 dígitos con el artículo/producto.

Los pasos a seguir (para este tipo de simbolización EAN-13) son: 1.- Multiplicamos por 1 las posiciones impares y por 3 las posiciones pares del código, empezando de izquierda a derecha.

CÓDIGO DE BARRAS. EAN 13 Posición 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Valores 8 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

Corrector 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

Valor x corrector 8 12 1 6 3 12 5 18 7 24 9 0

Suma (con-trol)

2.- Sumamos los valores resultantes. 8 + 12 + 1 + 6 + 3 + 12 + 5 + 18 + 7 + 24 + 9 + 0 = 105

3.- Restamos de la decena superior el valor de la suma de los valores resultantes. El resultado de esta operación es el valor del código de control (primera posición de la derecha del código de barras). Si el resultado es 0 el dígito de control será 0.

Creative Barcodes by Japanese firm d-barcode.com

En nuestro ejemplo la decena superior a 105 es 110, por tanto: 110 - 105 = 5 ==> 5 es el valor del código de control.

Otra posibilidad es dividir la suma resultante (105) entre 10, siendo el resto de esta división el valor del dígito de control: 105 / 10 = 10 de cociente y 5 de resto.

El resultado final del código es: 84 12345 67890 5 (EAN-13).

El ISBN (International Standard Book Number, es decir, Número Estándar Internacional de Libro) es un número estándar internacional utilizado desde 1970 para la identificación de libros para uso comercial. ISBN-13, el nuevo ISBN En su concepción inicial el ISBN estaba compuesto por 10 dígitos. Sin embargo, estos códigos resultaron escasos y en el año 2007 se decidió implantar un nuevo código ISBN de 13 dígitos compatible con el anterior. En España es la Agencia Española del ISBN, dependiente del Ministerio de Cultura, la encargada de gestionar los trámites referentes a la solicitud de códigos ISBN. El ISBN de 13 dígitos aparece, con guiones, sobre el código de barras, y el mismo número, con formato EAN-13 (una serie de números sin guiones y espacios), debajo. En 2007 el ISBN cambió su formato de 10 dígitos a 13 dígitos. Desde entonces el ISBN está formado por 5 grupos de dígitos en lugar de 4, y va precedido por el 978, que identifica al producto libro. También ha cambiado la forma de calcular el último número del ISBN, el dígito de control.

Identificador de libro

País o lengua Editorial Número de

ejemplar Dígito de control

978 hasta 5 dígitos

hasta 6 dígitos hasta 6 dígitos Dígito del 0 al 9

El editor solo puede modificar el "número de ejemplar", ya que los dígitos anteriores son asignados por la Agencia encargada del ISBN. La parte correspondiente a país o lengua es asignada por la Agencia, siguiendo el siguiente esquema: Por ejemplo, a EEUU le corresponde 0, a Reino Unido 1, a Francia 2, a España 84 o a Bolivia 99905.

Algoritmo para calcular el dígito de control El dígito de control de un ISBN-13 utiliza un algoritmo basado en el módulo 10, el mismo que el digito de control del EAN-13. • Se multiplica el primero de los 12 números iniciales por 1, el segundo por 3, el tercero por 1, el cuarto por 3, y así sucesivamente hasta llegar al número 12; • El dígito de control es el valor que se debe añadir a la suma de todos estos productos para hacerla divisible por 10. Si el resultado de la suma ya fuese múltiplo de 10, el dígito de control sería 0. Por ejemplo, si la suma es 99, el dígito de control es 1, porque 99 + 1 = 100, que es divisible por 10; si la suma es 106, el dígito de control será 4; si suman 120, será 0; y así en cualquier otro caso. Veamos un ejemplo: ISBN 978-84-92493-70-?

ISBN-13 Posición 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Valores 9 7 8 8 4 9 2 4 9 3 7 0

Corrector 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 Suma

Valor x corrector +9 +21 +8 +24 +4 +27 +2 +12 +9 +9 +7 +0 132

Como la suma es 132, el dígito de control es 8 y el ISBN completo es 978-84-92493-70-8

El ISSN (International Standard Serial Number) es un número internacional que permite identificar de manera única una colección de publicaciones en serie, como los diarios y las publicaciones periódicas.

El ISSN está constituido por los caracteres "ISSN" seguidos de ocho cifras árabes de 0 al 9, con la excepción del dígito de control final que podrá ser a veces una X mayúscula. Estas ocho cifras se agrupan en dos grupos de cuatro cifras separados por guiones. La última cifra, situada a la derecha, en octava posición, es el dígito de control. Ejemplo: ISSN 0317-8471, ISSN 1050-124X.

Las cifras del ISSN no significan nada en sí mismas. Son asignadas secuencialmente, independientemente del país de origen, de la lengua, etc. El ISSN sirve para darle un número exacto a las publicaciones que se hacen en todo el mundo.

Cálculo del dígito de control

El objetivo del dígito de control será el de evitar los errores ocasionados por la transcripción incorrecta de un ISSN. Para su cálculo se siguen los siguientes pasos:

1. Tomar las siete primeras cifras del ISSN (la octava y última es la de control). 2. Asignar una ponderación a cada posición (de 8 a 2 en sentido decreciente) y

multiplicar por su valor.

DÍGITO DE CONTROL ISSN

Valores 1 1 3 1 9 3 2

Corrector 8 7 6 5 4 3 2 Valores por corrector 8 7 18 5 36 9 4

3. Se suman los productos obtenidos. 4. Se divide entre 11 y nos quedamos con el resto de la división, que en nuestro

ejemplo es 10. 87 mod 11 = 10 5. A 11 le quitamos el resto anterior y obtenemos el dígito de control: 11 – 10 = 1 6. Añadir el resto que queda, que es el dígito verificador, al extremo derecho (la

posición menos significativa) del número base del ISSN 1131-9321.

Si el resto es 10, se pone una X en la posición del dígito de control. Si fuese cero, se pone un 0 en la posición del dígito de control.

Del Manual del ISSN (2010). ISSN International Centre.

El número de una cuenta bancaria está formado por los siguientes apartados: • Datos de la entidad bancaria (4 dígitos) • Datos de la oficina (4 dígitos)

• Dígitos de control (2 dígitos) • Número de cuenta (10 dígitos)

Los dígitos de control de las cuentas bancarias se calculan utilizando un algoritmo que nos proporcionará dos dígitos. El primero se calcula a partir de los datos de entidad y número de oficina y el segundo a partir del número de cuenta.

Para el cálculo del primer dígito de control 1. Se toman los cuatro dígitos de la entidad y los cuatro de la sucursal. 2. Se multiplican por unos factores correctores (ver tabla). 3. Se suman todos los resultados obtenidos. 4. Se divide entre 11 y nos quedamos con el resto de la división. 5. A 11 le quitamos el resto anterior, y ese el primer dígito de control, con la salvedad de que si nos da 10, el dígito es 1

Entidad Sucursal

Valores a b c d e f g h

Corrector 4 8 5 10 9 7 3 6 Valores x corrector 4·a 8·b 5·c 10·d 9·e 7·f 3·g 6·h

Para el cálculo del segundo dígito de control. 1. Se toman los diez dígitos del número de cuenta y enumerando de izquierda a derecha:

Número de cuenta

Valores i j k l m n ñ o p q

Corrector 1 2 4 8 5 10 9 7 3 6 Valores x corrector 1·i 2·j 4·k 8·l 5·m 10·n 9·ñ 7·o 3·p 6·q

2. Se multiplican por unos factores correctores (ver tabla). 3. Se suman todos los resultados obtenidos. 4. Se divide entre 11 y nos quedamos con el resto de la división.

5. A 11 le quitamos el resto anterior, y ese el segundo dígito de control, con la salvedad de que si nos da 10, el dígito es 1.

Ejemplo: Entidad Sucursal D.C. Número de cuenta

Valores 1 4 3 2 0 1 5 4 7 4 2 2 5 0 4 5 5 1

Corrector 4 8 5 10 9 7 3 6 1 2 4 8 5 10 9 7 3 6 Valores x corrector 4 32 15 20 0 7 15 24 7 8 8 16 25 0 36 35 15 6

Suma de productos 117 156 Módulo 11 Resto = 7 Módulo 11 Resto = 2

11 - 7 = 4 11 - 2 = 9

D.C. 4 9

Los códigos QR (Quick Response) son un tipo de códigos de barras bidimensionales. Su nombre se basa en la frase "Quick Response", “Respuesta Rápida”. Los códigos QR son de código abierto y, por tanto, gratuitos.

Presentan dos grandes diferencias con respecto a un código de barras convencional (por ejemplo EAN-13): a) Su información está codificada en una matriz de puntos dentro de un cuadrado,

permitiendo almacenar gran cantidad de información alfanumérica: en formato numérico 7089 dígitos, en formato alfanumérico 4296 caracteres y en formato binario 2953 bytes.

b) Se pueden leer mediante una cámara de video o fotográfica.

Los códigos QR son fácilmente identificables por su forma cuadrada y por los tres cuadros ubicados en las esquinas superiores e inferior izquierda.

Fueron creados por la compañía japonesa Denso Wave, subsidiaria de Toyota, en 1994, para registrar repuestos en el área de la fabricación de vehículos.

La información que pueden contener estos códigos puede ser: texto, imágenes, vídeos, enlaces a páginas web, etc. Hay páginas webs con generadores de códigos QR de una manera rápida y gratis:

http://www.codigos-qr.com/generador-de-codigos-qr/ http://www.codigo-qr.es/ http://www.qrcode.es/es/generador-qr-code/

¿Para que sirve un código QR?

Hoy tienen un sinfín de aplicaciones completamente diferentes de las originales como pueden ser: publicidad, campañas de marketing, merchandising, diseño gráfico, papelería corporativa (tarjetas de visita, catálogos), internet, webs, blogs, etc.

El número de la Seguridad Social es un dato que identifica a los ciudadanos en todas sus relaciones con la Seguridad Social: altas, bajas, variaciones de datos, cotización... Se convierte en número de afiliación cuando el ciudadano comienza una relación laboral. Por la importancia de este dato, en su diseño se dotó de un mecanismo para evitar los posibles errores en la transcripción: el dígito de control. El número de afiliación a la Seguridad Social está formado por los siguientes apartados: • Código de la provincia donde se asigna el número de la Seguridad Social al ciudadano (2 dígitos). A Sevilla le corresponde el código 41. • Número secuencial asignado (8 dígitos). • Dígitos de control (2 dígitos). Ejemplo: 28 12345678 ?? Para el cálculo de los dígitos de control: 1. Se toman los diez primeros números (número de la provincia y número del asegurado) y se unen, concatenándolos, y haciendo un solo número. En nuestro ejemplo: 2812345678. 2. Realizamos la división entera de este número entre el número primo 97, lo que nos producirá un resto comprendido entre 0 (para los números que sean múltiplos de 97) y 96; es decir, tomamos el resto de la división entera. Es lo que matemáticamente se conoce como la operación Mod 97. En nuestro ejemplo: 2812345678 Mod 97 = 40 3. Si el resto de la división entera es inferior a 10, le ponemos un cero delante, así un resto 0 lo convertiremos en 00, el 1 en 01,... 4. El resto de la división, con dos cifras, forma los dígitos de control. En el ejemplo los dígitos de control serían 40.

Louis Braille (Coupvray, 1809 – París, 1852) fue un profesor francés ciego, famoso por la invención del sistema de lectura para ciegos que lleva su apellido, (sistema Braille). El método Braille es en la actualidad el sistema de lectura y escritura punteada universal. Braille aplicó su novedoso método al alfabeto, a los números y a la notación musical.

A la edad de 3 años perdió la vista. Se infectó el ojo izquierdo tras un accidente en el taller de su padre al clavarse un punzón en el ojo izquierdo. La infección acabó por dañarle el ojo derecho también, provocándole una ceguera irreversible.

Con el alfabeto Braille pueden representarse las letras, los signos de puntuación, los números, la grafía científica, los símbolos matemáticos, la música, etc.

El braille consiste en celdas de seis puntos en relieve, perceptibles al tacto, organizados como una matriz de tres filas por dos columnas, que se numeran de arriba a abajo y de izquierda a derecha, tal y como se muestra en la figura. Cada punto puede estar resaltado o no, por lo que podemos considerar que estamos en un sistema binario, en el que la falta de relieve corresponde a 0 y el relieve al 1. Mediante estos seis puntos se obtienen 26 = 64 combinaciones diferentes.

Puesto que estas 64 combinaciones resultanclaramente insuficientes, se utilizan signosdiferenciadores especiales que, antepuestos auna combinación de puntos, convierten una letraen mayúscula, bastardilla, número o nota musical. En el braille español, los códigos de las letras minúsculas, la mayoría de los signos depuntuación, algunos caracteres especiales yalgunas palabras se codifican directamente conuna celda, pero las mayúsculas y números sonrepresentados además con otro símbolo comoprefijo.

El alfabeto Braille Fuente: Wikipedia y

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/b/braille.htm

El código Braille inventado en 1825 por el francés Luis Braille cuando solo contaba 16 años de edad se basa en la combinación de 6 puntos en relieve sobre un espacio o celdilla rectangular llamada cajetín.

Cada punto puede estar en relieve o no; como hay seis posiciones, en total tendremos 26 posibilidades. Es decir, 64 caracteres desde la figura sin ningún relieve que equivaldría al 0, pero que no suele considerarse, hasta la figura con los seis puntos en relieve, que correspondería al 63.

En el alfabeto braille en español los siguientes símbolos corresponden a los números:

Para escribir números se utilizan los diez primeros símbolos del alfabeto, es decir, las letras de la “a” a la “j” para indicar las cifras del 1 al 0, como aparecen en la lista siguiente. Pero para poder distinguir que estamos escribiendo números, esos símbolos deben ir precedidos por el prefijo numérico que es el símbolo 3456.

De esa forma el número 261 se escribiría en braille según la serie adjunta.

Si un número entero tiene más de tres cifras (por ejemplo 2 134), estas suelen agruparse en grupos de tres, separando los grupos unos de otros mediante el símbolo correspondiente a punto (que corresponde al punto en relieve 3). Para indicar la coma decimal se utiliza el símbolo coma (punto en relieve 2).

punto coma

De esta forma tenemos los números: 2 012

5,72

En Braille para representar fracciones enteras se escribe el símbolo de número y a continuación el numerador, pero colocando los puntos correspondientes a cada cifra en lugar de en los cuatro primeros puntos en los cuatro de la parte baja, es decir, en lugar de representar los números con los puntos 1245, se utilizan los puntos 2356 para representar el símbolo numérico del numerador, esto es lo que se conoce como la posición baja. A continuación se escribe el denominador de forma normal. Veamos los tres ejemplos siguientes. Obsérvese especialmente la diferencia entre la primera y última fracción.

2/5 9/4 5/2

La fracción 25/13 se representaría de la forma siguiente:

Para las operaciones matemáticas básicas en braille se utilizan los siguientes símbolos, tendiendo en cuenta que cada número que se escriba antes o después de ellos debe ir procedido por el símbolo numérico. A veces se utiliza el símbolo de punto (punto 3) para indicar la multiplicación.

Suma Resta Producto División Igual

De esta forma la expresión 3 + 2 = 5 sería expresada por:

Dan Brown (1964, Exeter, EEUU) es un novelista conocido sobre todo por tres novelas que han sido best-sellers: Ángeles y demonios (2000), El código Da Vinci (2003) y El símbolo perdido (2009). Las dos primeras han sido adaptadas al cine (primero El código Da Vinci en 2006 y después Ángeles y demonios en 2009).

(…) Por increíble que pareciera, todas esas cosas estaban relacionadas mediante una idea tan básica de la historia del arte que Langdon dedicaba muchas clases a exponerla. El número Phi.

Se sintió una vez más en Harvard, de nuevo en su clase de «Simbolismo en el Arte», escribiendo su número preferido en la pizarra: 1,618 Langdon se dio la vuelta para contemplar la cara expectante de sus alumnos. - ¿Alguien puede decirme qué es este número? Uno alto, estudiante de último curso de matemáticas, que se sentaba al fondo levantó la mano. - Es el número Phi –dijo, pronunciando las consonantes como una efe. - Muy bien, Stettner. Aquí os presento a Phi. - Que no debe confundirse con pi –añadió Stettner con una sonrisa de suficiencia. - El Phi –prosiguió Langdon-, uno como seiscientos dieciocho, es un número muy importante para el arte. ¿Alguien sabría decirme por qué? Stettner seguía en su papel de gracioso. - ¿Porque es muy bonito? Todos se rieron. - En realidad, Stettner vuelve a tener razón. El Phi suele considerarse como el número más bello del universo. Las carcajadas cesaron al momento y Stettner se incorporó orgulloso. Mientras cargaba el proyector con las diapositivas, explicó que el número Phi se derivaba de la Secuencia de Fibonacci, una progresión famosa no sólo porque la suma de los números precedentes equivalía al siguiente, sino porque los cocientes de los números precedentes poseían la sorprendente propiedad de tender a 1,618, es decir, al número Phi. A pesar de los orígenes aparentemente místicos de Phi, prosiguió Langdon, el aspecto verdaderamente pasmoso de ese número era su papel básico en tanto que molde constructivo de la naturaleza. Las plantas, los animales e incluso los seres humanos poseían características dimensionales que se ajustaban con misteriosa exactitud a la razón de Phi a 1. (…)

Dan Brown. El código Da Vinci. Cap. 20, pg. 119

(…) - La ubicuidad de Phi en la naturaleza –añadió Langdon apagando las luces– trasciende sin duda la casualidad, por lo que los antiguos creían que ese número había sido predeterminado por el Creador del Universo. Los primeros científicos bautizaron el uno coma seiscientos dieciocho como “La Divina Proporción”. - Un momento –dijo una alumna de la primera fila-. Yo estoy terminando Biología y nunca he visto esa Divina Proporción en la naturaleza. - ¿Ah no? –respondió Langdon con una sonrisa burlona-. ¿Has estudiado alguna vez la relación entre machos y hembras en un panal de abejas? - Si, claro. Las hembras siempre son más. - Exacto. ¿Y sabías que si divides el número de hembras por el de los machos de cualquier panal del mundo, siempre obtendrás el mismo número? - ¿Si? - Si. El Phi. La alumna ahogó una exclamación de asombro. - No es posible. - Si es posible –contraatacó Langdon mientras proyectaba la diapositiva de un molusco espiral-. ¿Reconoces esto? - Es un nautilo –dijo la alumna de Biología-. Un molusco cefalópodo que se inyecta gas en su caparazón compartimentado para equilibrar su flotación. - Correcto. ¿Y sabrías decirme cuál es la razón entre el diámetro de cada tramo de su espiral con el siguiente? La joven miró indecisa los arcos concéntricos de aquel caparazón. Langdon asintió. - El número Phi. La Divina Proporción. Uno coma seiscientos dieciocho. La alumna parecía maravillada. Langdon proyectó la siguiente diapositiva, el primer plano de un girasol lleno de semillas. - Las pipas de girasol crecen en espirales opuestas. ¿Alguien sabría decirme cuál es la razón entre el diámetro de cada rotación y el siguiente? - ¿Phi? – dijeron todos al unísono. - Correcto. –Langdon empezó a pasar muy deprisa el resto de las imágenes: piñas piñoneras, distribuciones de hojas en rama, segmentaciones de insectos, ejemplos todos que se ajustaban con sorprendente fidelidad a la Divina Proporción. - Esto es insólito – exclamó un alumno. (…)

Dan Brown. El código Da Vinci. Cap. 20, pg. 119

Jules Gabriel Verne (Nantes, 1828 – Amiens, 1905), fue un escritor francés precursor de la ciencia ficción y de la moderna novela de aventuras. Fue un estudioso de la ciencia y la tecnología de su época, lo que —unido a su gran imaginación y a su capacidad de anticipación lógica— le permitió predecir con gran exactitud en sus relatos fantásticos la aparición de algunos de los productos generados por el avance tecnológico del siglo XX, como la televisión, los helicópteros, los submarinos o las naves espaciales.

La isla misteriosa (L'Île mystérieuse) es una de las novelas más famosas y leídas escrita por Jules Verne, publicada por entregas entre 1874 y 1875, es considerada por muchos como su obra maestra.

El libro forma parte de una trilogía que además componen "Veinte mil leguas de viaje submarino" y "Los hijos del capitán Grant".

"… El sol, levantándose sobre un horizonte puro, anunciaba uno de esos hermosos días de otoño, que son como la última despedida de la estación calurosa.

Había que completar los elementos de las observaciones de la víspera, mediante la medición de la altitud de la meseta Panorámica sobre el nivel del mar.

-¿No va a necesitar un instrumento análogo al de ayer? -preguntó Harbert al ingeniero.

-No, hijo mío -respondió éste-. Vamos a proceder de otro modo y casi con la misma precisión.

Siempre deseoso de instruirse, Harbert siguió al ingeniero, que se alejó de la muralla granítica descendiendo hasta la orilla de la playa. Mientras tanto, Nab y Pencroff se afanaban en diversas tareas.

Cyrus Smith se había provisto de una vara recta, de unos doce pies de longitud. Esta longitud la había medido a partir de su propia estatura. Harbert llevaba una plomada que le había dado Cyrus Smith, consistente en una simple piedra atada con el extremo de una fibra flexible.

Al llegar a veinte pies del extremo de la playa, a unos quinientos pies de la muralla granítica, que se erguía perpendicularmente, Cyrus Smith clavó la vara en la arena uno o dos pies y, tras sujetarla bien, logró mantenerla perpendicular al plano del horizonte, gracias a la plomada. (…)

Fuente: Wikipedia

(…) Hecho esto, se apartó a la distancia necesaria para que, tumbado sobre la arena, su mirada pusiera en línea el extremo de la vara y la cresta de la muralla. Después, señaló el punto con una estaca.

-Harbert, ¿conoces los principios elementales de la geometría?

-Un poco, señor Cyrus -respondió Harbert, que no quería comprometerse demasiado.

-¿Recuerdas las propiedades de dos triángulos semejantes?

-Sí -respondió Harbert-. Sus lados homólogos son proporcionales.

-Bien, hijo mío. Acabo de construir dos triángulos semejantes, ambos rectángulos. El primero, el más pequeño, tiene por lados la vara perpendicular y la línea entre la estaca y la base de la vara, y por hipotenusa, mi radio visual. El segundo, tiene por lado la muralla perpendicular cuya altura queremos medir y la distancia de su base a la vara, y por hipotenusa, también mi radio visual, que prolonga la del primer triángulo.

-¡Ah, señor Cyrus, ya comprendo! - exclamó Harbert-. Al igual que la distancia de la estaca a la vara es proporcional a la distancia de la estaca a la base de la muralla, la altura de la vara es proporcional a la altura de la muralla.

-Así es, Harbert, de modo que cuando hayamos medido las dos primeras distancias conociendo la altu-

ra de la vara, no tendremos más que hacer un cálculo de proporción para saber la altura de la muralla, sin tener que medirla directamente.

Tomaron las dos distancias horizontales por medio de la vara, cuya longitud sobre la arena era exactamente de diez pies.

La primera distancia eran los quinces pies que separaban el jalón y el punto en que la pértiga estaba metida en la arena. La segunda distancia entre el jalón y la base de la muralla era de quinientos pies.

Efectuadas estas mediciones, Cyrus Smith y el muchacho volvieron a las Chimeneas. Allí, el ingeniero, utilizando una piedra recogida en una de sus precedentes excursiones, en la que era fácil trazar cifras con una aguda concha, por ser la piedra una especie de esquisto pizarroso, estableció la siguiente proporción: 15 : 500 : : 10 : x; 500 x 10 = 5000; 5000 : 15 = 333,33

Quedó, pues, averiguado que la muralla de granito media 333 pies de altura." (Extracto del capítulo 14

de la primera parte)

Matemáticas de cerca

Documents

Transcript of Matemáticas de cerca