Matemáticas Discretas

MATEM

TIC

AS D

ISCRETA

S

Richard Johnsonbaugh

Johnsonbaugh

MATEMTICASDISCRETAS

Sexta edicin

Este libro se dise para un curso de introduccin a las matemticas discretas. La exposicines clara y adecuada, adems de que contiene abundantes ejercicios.

Esta edicin, igual que las anteriores, incluye temas como algoritmos, combinatoria, con-juntos, funciones e induccin matemtica. Tambin toma en cuenta la comprensin y con-struccin de pruebas y, en general, el reforzamiento matemtico.

CAMBIOS DE LA SEXTA EDICIN

El primer captulo de lgica y demostraciones se ampli en forma considerable. Seagregaron ejemplos de lgica en lenguajes de programacin.

Ahora se presentan varios ejemplos de algoritmos antes de llegar a lanotacin de O mayscula.

Un nuevo captulo de introduccin a la teora de nmeros. Este cap-tulo incluye resultados clsicos (como la divisibilidad, la infinitud de

los primos, el teorema fundamental de la aritmtica), as como losalgoritmos de teora de nmeros.

Nueva seccin de sugerencias para resolver problemas. Nuevas secciones de solucin de problemas para fun-

ciones y teora de nmeros. El estilo del seudocdigo se ha actualizado del

tipo Pascal al tipo Java. El nmero de ejemplos resueltos aument

a cerca de 600 y el nmero de ejerciciosaument a 4000.

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Sextaedicin

La obra tiene como apoyo el sitio Web:www.pearsoneducacion.net/johnsonbaugh

Johnsonbough 21x27 5/20/05 10:35 PM Page 1

LGICAp q p o q; p. 2p q p y q; p. 2p no p; p. 5p q si p, entonces q; p. 8p q p si y slo si q; p. 12P Q P y Q son lgicamente equivalentes; p. 12 para todo; p. 19 existe; p. 22\ por lo tanto; p. 43

NOTACIN DE CONJUNTOS{x1,, xn} conjunto que consta de los elementos x1,, xn; p. 76{x|p(x)} conjunto de los elementos x que satisfacen la propiedad p(x); p. 77x X x es un elemento de X; p. 77x X x no es un elemento de X; p. 77X = Y igualdad de conjuntos (X y Y tienen los mismos elementos); p. 77|X| nmero de elementos en X; p. 77 conjunto vaco; p. 77X Y X es un subconjunto de Y; p. 77X Y X es un subconjunto propio de Y; p. 79P(X) conjunto potencia de X (todos los subconjuntos de X); p. 79X Y X unin Y (todos los elementos en X o Y); p. 80

unin de X1,, Xn (todos los elementos que pertenecen al menos a un conjunto de X1,, Xn); p. 83

unin de X1, X2, (todos los elementos que pertenecen al menos a uno de X1, X2,); p. 83

S unin de S (todos los elementos que pertenecen al menos a un conjunto en S); p. 83X Y X interseccin Y (todos los elementos en X y Y); p. 80

interseccin de X1,, Xn (todos los elementos que pertenecen a todos los conjuntos X1, X2,, Xn); p. 83

interseccin de X1, X2, (todos los elementos que pertenecen a todos los conjuntos X1, X2,); p. 83

S interseccin de S (todos los elementos que pertenecen a todos los conjuntos de S); p. 83X Y diferencia de conjuntos (todos los elementos en X pero no en Y); p. 80X complemento de X (todos los elementos que no estn en X); p. 80(x, y) par ordenado; p. 83(x1,, xn) n-eada; p. 84X Y producto cartesiano de X y Y [pares (x, y) con x en X y y en Y]; p. 83

LISTA DE SMBOLOS

n

i=1Xi

i=1Xi

n

i=1Xi

i=1Xi

g g

RELACIONESx R y (x, y) est en R (x est relacionada con y mediante la relacin R); p. 117[x] clase de equivalencia que contiene a x; p. 127R1 relacin inversa [todo (x, y) que est en R]; p. 122R2 R1 composicin de relaciones; p. 122x y x R y; p. 121

FUNCIONESf (x) valor asignado a x; p. 88f : X Y funcin de X a Y; p. 87f g composicin de f y g; p. 97f 1 funcin inversa [todo (y, x) con (x, y) que est en f ]; p. 96f (n) = O(g(n)) |f (n)| C|g(n)| para n suficientemente grande; p. 158f (n) = (g(n)) c|g(n)| |f (n)| para n suficientemente grande;p. 158f (n) = (g(n)) c|g(n)| |f (n)| C|g(n)| para n suficientemente grande; p. 158

CONTEOC(n, r) nmero de combinaciones r de un conjunto de n elementos (n!/[(n r)!r!]); p. 232P(n, r) nmero de permutaciones r de un conjunto de n elementos [n(n 1) (n r + 1)]; p. 231

GRFICASG = (V, E) grfica G con conjunto de vrtices V y conjunto de aristas E; p. 320(v, w) arista; p. 320(v) grado del vrtice v; p. 333(v1,, vn) trayectoria de v1 a vn; p. 330(v1,, vn), v1 = vn ciclo; p. 332K

ngrfica completa en n vrtices; p. 325

Km, n

grfica completa bipartita en m y n vrtices; p. 326w(i, j ) peso de la arista (i, j); p. 347Fi j flujo en la arista (i, j); p. 445Ci j capacidad de la arista (i, j); p. 445(P, P) cortadura en una red; p. 457

PROBABILIDADP(x) probabilidad del resultado x; p. 250P(E) probabilidad del evento E; p. 251P(E|F) probabilidad condicional de E dado F [P(E F)/P(F)]; p. 255

Q g

MATEMTICASDISCRETAS

Q g

Matemticas discretasSEXTA EDICIN

Richard JohnsonbaughDePaul University, Chicago

REVISIN TCNICA:ARIADNE SNCHEZ RUIZFacultad de Ingeniera, Mecnica y Elctrica Universidad Autnoma de Nuevo Len

TRADUCCIN:MARCIA ADA GONZLEZ OSUNA Facultad de Ciencias Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Q g

MATEMTICAS DISCRETAS. Sexta edicinJohnsonbaugh, Richard

PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2005ISBN: 970-26-0637-3rea: Universitarios

Formato: 21 27 cm Pginas 696

Authorized translation from the English language edition, entitled Discrete mathematics 6th ed., by Richard Johnsonbaugh published by PearsonEducation, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyright 2005. All rights reserved.

ISBN 0-13-117686-2

Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, titulada Discrete mathematics 6/e de Richard Johnsonbaugh, publicada por PearsonEducation, Inc., publicada como PRENTICE HALL INC., Copyright 2005. Todos los derechos reservados.

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

Edicin en espaolEditor: Enrique Quintanar Duarte

e-mail: [email protected] de desarrollo: Felipe Hernndez Carrasco Supervisor de produccin: Rodrigo Romero Villalobos

Edicin en inglsExecutive Acquisitions Editor: George Lobell Editor-in-Chief: Sally Yagan Vice President/Director of Production and Manufacturing: David W. Riccardi Production Editor: Debbie Ryan Senior Managing Editor: Linda Mihatov Behrens Assistant Managing Editor: Bayani Mendoza de Leon Executive Managing Editor: Kathleen Schiaparelli Assistant Manufacturing Manager/Buyer: Michael Bell Manufacturing Manager: Trudy Pisciotti Marketing Manager: Halee Dinsey Marketing Assistant: Rachel Beckman Art Director: John Christiana Interior Design: Abigail Bass Cover Designer: Anthony Gemmellaro Creative Director: Carole AnsonDirector of Creative Services: Paul Belfanti Art Editor: Thomas Benfatti Editorial Assistant: Joanne Weldelken Front/Back Cover Image: Vasarely, Victor (1908-1977) ARS, NY Boo. 1978. Location: Private Collection, Monaco/Photo Credit: Erich Lessing / Art Resource, NY

SEXTA EDICIN, 2005

D.R. 2005 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco No. 500, 5 piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez, Edo. de MxicoE-mail: [email protected]

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Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.

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El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.

ISBN 970-26-0637-3

Impreso en Mxico. Printed in Mexico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 08 07 06 05

Q g

Prefacio XI

Lgica y demostraciones 11.1 Proposiciones 21.2 Proposiciones condicionales y equivalencia lgica 81.3 Cuantificadores 171.4 Cuantificadores anidados 291.5 Demostraciones 361.6 Pruebas por resolucin 501.7 Induccin matemtica 53

Rincn de solucin de problemas: Induccin matemtica 631.8 Forma fuerte de induccin y la propiedad del buen orden 65

Notas 70Repaso del captulo 71Autoevaluacin del captulo 73Ejercicios para computadora 75

El lenguaje de las matemticas 762.1 Conjuntos 762.2 Funciones 87

Rincn de solucin de problemas: Funciones 1022.3 Sucesiones y cadenas 103

Nota 112Repaso del captulo 112Autoevaluacin del captulo 114Ejercicios para computadora 115

CONTENIDO

1

2

Q g

Relaciones 1163.1 Relaciones 1163.2 Relaciones de equivalencia 125

Rincn de solucin de problemas: Relaciones de equivalencia 1313.3 Matrices de relaciones 1323.4 Bases de datos relacionales 137

Nota 142Repaso del captulo 142Autoevaluacin del captulo 142Ejercicios para computadora 144

Algoritmos 1454.1 Introduccin 1454.2 Ejemplos de algoritmos 1494.3 Anlisis de algoritmos 156

Rincn de solucin de problemas: Diseo y anlisis de un algoritmo 1714.4 Algoritmos recursivos 173

Notas 180Revisin del captulo 180Autoevaluacin del captulo 181Seccin de ejercicios de repaso 182

Introduccin a la teora de nmeros 1835.1 Divisores 1835.2 Representaciones de enteros y algoritmos enteros 1925.3 El algoritmo euclidiano 205

Rincn de solucin de problemas: Composicin del importe postal 2145.4 El sistema criptogrfico de llave pblica RSA 215


Mtodos de conteo y el principio del palomar 220

6.1 Principios bsicos 220Rincn de solucin de problemas: Conteo 228

6.2 Permutaciones y combinaciones 229Rincn de solucin de problemas: Combinaciones 240

6.3 Algoritmos para generar permutaciones y combinaciones 2416.4 Introduccin a la probabilidad discreta 247

VIII Contenido

3

4

5

6

Q g

6.5 Teora de probabilidad discreta 2506.6 Permutaciones y combinaciones generalizadas 2616.7 Coeficientes binomiales e identidades combinatorias 2666.8 El principio del palomar 271


Relaciones de recurrencia 2797.1 Introduccin 2797.2 Solucin de relaciones de recurrencia 290

Rincn de solucin de problemas: Relaciones de recurrencia 3027.3 Aplicaciones al anlisis de algoritmos 305


Teora de grficas 3188.1 Introduccin 3188.2 Trayectorias y ciclos 329

Rincn de solucin de problemas: Grficas 3398.3 Ciclos hamiltonianos y el problema del agente viajero 3408.4 Un algoritmo de la ruta ms corta 3478.5 Representaciones de grficas 3528.6 Isomorfismos de grficas 3568.7 Grficas planas 3638.8 Locura instantnea 369


rboles 3799.1 Introduccin 3799.2 Terminologa y caracterizacin de rboles 386

Rincn de solucin de problemas: rboles 3919.3 rboles de expansin 3929.4 rboles de expansin mnima 3989.5 rboles binarios 4039.6 Recorridos de rboles 4099.7 rboles de decisiones y tiempo mnimo para ordenar 414

Contenido IX

7

8

9

Q g

9.8 Isomorfismos de rboles 4209.9 rboles de juegos 429


Modelos de redes 44410.1 Introduccin 44410.2 Algoritmo de flujo mximo 44910.3 Teorema de flujo mximo y corte mnimo 45710.4 Acoplamiento 461

Rincn de solucin de problemas: Acoplamiento 466Notas 467Repaso del captulo 467Autoevaluacin del captulo 468Ejercicios para computadora 469

lgebras booleanas y circuitos combinatorios 470

11.1 Circuitos combinatorios 47011.2 Propiedades de los circuitos combinatorios 47711.3 lgebras booleanas 482

Rincn de solucin de problemas: lgebras booleanas 48611.4 Funciones booleanas y simplificacin de circuitos 48811.5 Aplicaciones 493


Autmatas, gramticas y lenguajes 50612.1 Circuitos secuenciales y mquinas de estado finito 50612.2 Autmata de estado finito 51112.3 Lenguajes y gramticas 51712.4 Autmata de estado finito no determinstico 52512.5 Relaciones entre lenguajes y autmatas 531


X Contenido

10

11

12

Q g

Geometra para clculo 54213.1 Problema del par ms cercano 54213.2 Algoritmo para calcular el casco convexo 547


Matrices 556

Repaso de lgebra 560

Seudocdigo 571

Referencias 577

Sugerencias y soluciones para ejercicios seleccionados 582

ndice 662

Contenido XI

CBA

13

Q g

Este libro fue diseado para un curso de introduccin a las matemticas discretas, basadoen mi experiencia como profesor de la asignatura durante muchos aos. Los prerrequisitosde matemticas formales son mnimos; no se requiere clculo. No hay requisitos de cien-cias de la computacin. El libro incluye ejemplos, ejercicios, figuras, tablas, secciones desolucin de problemas, secciones que contienen sugerencias para resolver problemas, sec-ciones de repaso, notas, revisin del captulo, autoevaluaciones y ejercicios para realizar encomputadora con la finalidad de ayudar al estudiante a dominar las matemticas discretas.

A principios de la dcada de 1980, haba pocos libros de texto adecuados para un cur-so de introduccin a las matemticas discretas. Sin embargo, era necesario un curso queconsolidara la madurez matemtica de los estudiantes y su habilidad para manejar la abs-traccin, que adems incluyera temas tiles como combinatoria, algoritmos y grficas. Laedicin original de este libro (1984) atendi esta necesidad e influy de manera significa-tiva en los cursos de matemticas discretas. Con el paso del tiempo, los cursos de matem-ticas discretas se justificaron para diferentes grupos, que incluyeron estudiantes dematemticas y ciencias de la computacin. Un panel de la Mathematical Association ofAmerica (MAA) apoy un curso de un ao de matemticas discretas. El Comit de Activi-dades Educativas del Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) recomendun curso de matemticas discretas en el primer ao. Las guas de acreditacin de la Asso-ciation for Computing Machinery (ACM) y la IEEE hacen obligatorio un curso de mate-mticas discretas. Esta edicin, al igual que las anteriores, incluye temas como algoritmos,combinatoria, conjuntos, funciones e induccin matemtica para cubrir las necesidades deestos grupos. Tambin toma en cuenta la comprensin y construccin de pruebas y, en ge-neral, el reforzamiento de la madurez matemtica.

PREFACIO

Los cambios en la sexta edicin de este libro surgieron a partir de comentarios y peticionesde numerosos usuarios y revisores de las ediciones anteriores. Estos cambios son los si-guientes:

El primer captulo de lgica y demostraciones fue ampliado en forma considerable.La seccin de cuantificadores en la quinta edicin fue dividida en dos secciones. Laprimera seccin de cuantificadores (seccin 1.3) estudia las afirmaciones de loscuantificadores sencillos, y la siguiente (seccin 1.4) analiza los cuantificadores ani-dados. La seccin de induccin matemtica en la quinta edicin tambin fue divididaen dos secciones. La primera (seccin 1.7) introduce la induccin en la que el pasoinductivo consiste en suponer S(n) y probar S(n + 1). Se agreg a esta seccin unanlisis de las invariantes de un ciclo. La segunda seccin (1.8) contina con la in-duccin fuerte y la propiedad de buen orden. Como ejemplo del uso de la propiedaddel buen orden, se demuestra el teorema del cociente-residuo.

Los materiales de exposicin, ejemplos y motivacin se ampliaron en todo el ca-ptulo. Se agregaron ejemplos de lgica en lenguajes de programacin (por ejemplo,el uso de and, or, not y las leyes de De Morgan). Con el fin de dar mayor claridad, labarra superior para denotar negacin se sustituy por . Aparece una explicacin ms

Cambios respecto a la quinta edicin

XIII

Q g

detallada de las condiciones necesaria y suficiente. Se aadieron ejemplos para mos-trar la relacin entre el lenguaje normal y la lgica simblica. En todo el captulo hayms ejemplos de demostracin de afirmaciones y de cmo construir las demostracio-nes. En este captulo se aument el nmero de ejemplos resueltos de 59 a 90, y el n-mero de ejercicios de 391 a 521.

En el captulo 2, se agregaron varios ejemplos para mostrar cmo es posible usar el ma-terial del captulo 1 para probar afirmaciones referentes a conjuntos, funciones, suce-siones y cadenas (por ejemplo, cmo probar que una funcin especfica es uno a uno).

Ahora se presentan varios ejemplos de algoritmos antes de llegar a la notacin de Omayscula y otras relacionadas (secciones 4.1 y 4.2), que proporcionan una introduc-cin ms suave y motivada al formalismo que le sigue. Se menciona que muchos al-goritmos modernos no tienen todas las propiedades de los algoritmos clsicos (porejemplo, muchos algoritmos modernos no son generales, determinsticos o finitos).Para ilustrar el punto, se da un ejemplo de un algoritmo aleatorizado (ejemplo 4.2.4).

Un nuevo captulo (el 5) de introduccin a la teora de nmeros combina material de laquinta edicin (como la representacin de enteros, el mximo comn divisor) y amplaalgunos temas (como la teora algortmica de nmeros). Este captulo incluye resultadosclsicos (como la divisibilidad, el carcter infinito de los primos, el teorema fundamen-tal de la aritmtica), as como los algoritmos de teora de nmeros: por ejemplo, el al-goritmo euclidiano para encontrar el mximo comn divisor, cmo elevar a unexponente usando cuadrados repetidos, cmo calcular s y t tales que mcd(a, b) = sa + tb,y cmo calcular el inverso del mdulo de un entero. La aplicacin principal es el siste-ma criptogrfico de llave pblica RSA (seccin 5.4). Los clculos requeridos por el sis-tema criptogrfico se pueden realizar usando los algoritmos desarrollados en el captulo.

El apartado de sugerencias para resolver problemas se agregaron al final de muchassecciones, en especial en los primeros captulos. Como el nombre lo dice, ayudan alestudiante a centrarse en las tcnicas requeridas para resolver los problemas. Las su-gerencias para resolver problemas, que aparecen al final de las secciones, enfatizany ayudan a comprender las tcnicas para resolver los problemas de la seccin.

Hay nuevas secciones de solucin de problemas para funciones y teora de nmeros. El estilo del seudocdigo se ha actualizado del tipo Pascal al tipo Java (que tambin

se parece a C y C++). Es ms probable que el estudiante est familiarizado con esteestilo. Adems, la descripcin del seudocdigo se ha cambiado a los apndices(apndice C), lo que hace posible dar ejemplos de seudocdigos antes (para quienesestn interesados).

Se agregaron diversos libros y artculos recientes a la lista de referencias. Las refe-rencias de varios libros se actualizaron para considerar las ltimas ediciones.

El nmero de ejemplos resueltos aument a cerca de 600. (Haba aproximadamente500 en la quinta edicin).

El nmero de ejercicios aument a casi 4000. (Haba cerca de 3500 en la quinta edicin).

XIV Prefacio

Este libro incluye: Lgica (incluyendo cuantificadores), demostraciones, pruebas por resolucin e in-

duccin matemtica (captulo 1). En el ejemplo 1.4.15 se presenta un juego de lgi-ca, que ofrece una manera alternativa para determinar si una funcin proposicionalcuantificada es verdadera o falsa.

Conjuntos, funciones, sucesiones, notaciones de suma y producto, cadenas y relacio-nes (captulo 2 y 3), incluyendo ejemplos que despiertan la motivacin, como el dela introduccin a las funciones de dispersin (hashing) y los generadores de nmerosseudoaleatorios (seccin 2.2), una aplicacin de rdenes parciales en la programa-cin de tareas (seccin 3.1) y las bases de datos relacionales (seccin 3.4).

Contenido y estructura

Q g

Un anlisis exhaustivo de algoritmos, algoritmos recursivos y anlisis de algoritmos(captulo 4). Adems, se da un enfoque algortmico en todo el libro. Los algoritmos es-tn escritos en una forma flexible de seudocdigo. (El libro no supone requisitos decomputacin; la descripcin del seudocdigo que se usa se presenta en el apndice C).Entre los algoritmos presentados estn el de enlosado (seccin 4.4), el algoritmo eucli-diano para encontrar el mximo comn divisor (seccin 5.3), el algoritmo para codifi-car la llave pblica RSA (seccin 5.4), la generacin de combinaciones y permutaciones(seccin 6.3), el merge sort (seccin 7.3), el algoritmo de la ruta ms corta de Dijkstra(seccin 8.4), los algoritmos de regreso (seccin 9.3), la bsqueda a lo ancho y a pro-fundidad (seccin 9.3), el recorrido de rboles (seccin 9.6), la evaluacin de un rbolde juego (seccin 9.9), el flujo mximo en una red (seccin 10.2), el par ms cercanode puntos (seccin 13.1) y el clculo del casco convexo (seccin 13.2).

Un anlisis completo de las notaciones O mayscula, omega y theta para el crecimien-to de las funciones (seccin 4.3). Disponer de todas estas notaciones hace posible ha-cer afirmaciones precisas acerca del crecimiento de funciones y el tiempo y espaciorequeridos por los algoritmos.

Una introduccin a la teora de nmeros (captulo 5). Combinaciones, permutaciones, probabilidad discreta y el principio del palomar (ca-

ptulo 6). Dos secciones opcionales (6.4 y 6.5) presentan la probabilidad discreta. Relaciones de recurrencia y su aplicacin al anlisis de algoritmos (captulo 7). Grficas, incluyendo modelos de cobertura de una grfica de computadoras parale-

las, recorrido del caballo, ciclos de Hamilton, isomorfismos de grficas y grficasplanas (captulo 8). El teorema 8.4.3 da una demostracin elegante, breve y sencillade que el algoritmo de Dijkstra es correcto.

rboles, que incluyen rboles binarios, recorridos del rbol, rbol de expansin m-nima, tiempo mnimo para ordenar e isomorfismos de rboles (captulo 9).

Redes, el algoritmo del flujo mximo y acoplamiento (captulo 10). Un anlisis de lgebras booleanas que hace hincapi en la relacin de stas con los

circuitos combinatorios (captulo 11). Un enfoque de autmata que resalta el modelado y las aplicaciones (captulo 12). El cir-

cuito flip-flop SR se estudia en el ejemplo 12.1.11. Los fractales, incluyendo el copo denieve de Von Koch, se describen por gramticas de tipo especial (ejemplo 12.3.19).

Una introduccin a la geometra para el clculo (captulo 13). Apndices de matrices, lgebra bsica y seudocdigo. Se resalta la importancia de la interrelacin de los diferentes temas. Como ejemplos, la

induccin matemtica tiene una relacin estrecha con los algoritmos recursivos (seccin4.4); la sucesin de Fibonacci se usa en el anlisis del algoritmo euclidiano (seccin 5.3);muchos ejercicios a lo largo del libro requieren induccin matemtica; se demuestra c-mo se caracterizan las componentes de una grfica mediante la definicin de una relacinde equivalencia sobre el conjunto de vrtices (vea el anlisis que sigue al ejemplo 8.2.13);se cuentan los vrtices de rboles binarios de n vrtices (teorema 9.8.12).

Se hace hincapi en la lectura y las demostraciones. Casi todas las pruebas de los teo-remas se ilustran con figuras que incluyen anotaciones. Algunas secciones separadas(los rincones de solucin de problemas) muestran al estudiante cmo abordar y re-solver problemas y cmo desarrollar demostraciones. Las secciones especiales de su-gerencias para resolver problemas resaltan las tcnicas principales de la seccin.

Un gran nmero de aplicaciones, en especial de computacin. Figuras y tablas para ilustrar los conceptos, para mostrar cmo funcionan los algorit-

mos, para derivar pruebas y para aclarar el material. Las figuras ilustran las pruebasde los teoremas. Las leyendas de estas figuras brindan explicaciones adicionales ymayor comprensin de la demostracin.

Ejercicios de repaso de la seccin. Secciones de notas con sugerencias para otras lecturas.

Prefacio XV

Q g

Repasos de los captulos. Autoevaluacin en cada captulo. Ejercicios para computadora. Una seccin de referencias que contiene 159 referencias. Contraportadas que resumen la notacin matemtica y de los algoritmos utilizados

en el libro.

Cada captulo se organiza como sigue:

Descripcin generalSeccinSeccin de ejercicios de repasoSeccin de ejerciciosSeccinSeccin de ejercicios de repasoSeccin de ejercicios

.

.

.

NotasRepaso del captuloAutoevaluacin del captuloEjercicios para computadoraEl apartado de ejercicios de repaso revisa los conceptos clave, definiciones, teore-

mas, tcnicas, etctera, de la seccin. Todos los ejercicios de repaso tienen respuestas al fi-nal del libro. Aunque la intencin es repasar cada seccin, estos ejercicios tambin sepueden usar para la elaboracin de exmenes muestra.

Las notas contienen sugerencias para otras lecturas. Las revisiones de los captulosproporcionan listas de referencia de los conceptos importantes. Las autoevaluaciones con-tienen cuatro ejercicios por seccin, con respuestas al final del libro.

Los ejercicios para computadora incluyen proyectos, implementaciones de algunosalgoritmos y otras actividades relacionadas con la programacin. Aunque no hay requisitosde programacin para este libro, ni se pretende hacer una introduccin a la programacin,estos ejercicios se incluyen para quienes deseen explorar los conceptos de matemticas dis-cretas con una computadora.

Por ltimo, casi todos los captulos incluyen una seccin de solucin de problemas.El libro contiene cerca de 4000 ejercicios, 147 de los cuales son para computadora. Losejercicios que parecen ms difciles que otros se indican con el smbolo . Los ejercicioscon nmeros en cursivas (cerca de un tercio de ellos) tienen una sugerencia o la solucinal final del libro. Las soluciones a los ejercicios restantes se pueden encontrar en la Guadel instructor. Es claro que un puado de ejercicios requieren del clculo. No se usan con-ceptos de clculo en el cuerpo principal del libro y, excepto por estos pocos ejercicios, nose necesita clculo para resolverlos.

El libro contiene cerca de 600 ejemplos resueltos, que muestran a los estudiantes cmoabordar problemas en matemticas discretas, presentan las aplicaciones de la teora, acla-ran las demostraciones y ayudan como motivacin del material.

XVI Prefacio

Ejercicios

Ejemplos

Q g

Las secciones tituladas Rincn de solucin de problemas ayudan al estudiante a atacar y re-solver problemas, y le muestran cmo desarrollar demostraciones. Escritos en un estilo in-formal, cada rincn es una seccin que, por s misma, sigue el anlisis del tema delproblema. En lugar de presentar simplemente una prueba o una solucin al problema, enestas secciones se intenta mostrar los caminos alternativos para atacar el problema, se ana-liza qu buscar al tratar de resolverlo y se presentan las tcnicas para encontrar solucionesy para elaborar demostraciones.

Cada seccin de solucin de problemas comienza con el enunciado de un problema.Despus de hacer el planteamiento se analizan las maneras de abordarlo. Siguen a este anli-sis las tcnicas para encontrar una solucin. Una vez que se encuentra una respuesta, se dauna solucin formal para mostrar la manera correcta de escribirla. Por ltimo, se resumen lastcnicas de solucin de problemas presentadas en la seccin, incluyendo un apartado de co-mentarios que analiza las relaciones con otros temas de matemticas y computacin, despier-ta la motivacin para resolver el problema y da una lista de referencias para otras lecturasrelacionadas. Algunos rincones de solucin de problemas concluyen con ejercicios.

Gua del instructor (en ingls) sin costo para los profesores que adopten este libro. Debe so-licitarse al representante local de Pearson Educacin. La Gua del instructor contiene lassoluciones de los ejercicios no incluidas en el libro.

www.pearsoneducacion.net/johnsonbaughse ha enriquecido mucho respecto a la pgina de la edicin anterior. El nuevo sitio con-tiene

Mayores explicaciones del material difcil y vnculos a otros sitios para obtener in-formacin adicional de los temas de matemticas discretas. El icono www al margenseala que la pgina Web del libro contiene ms explicaciones o un vnculo.

Diapositivas de PowerPoint. Material complementario Programas de computadora Una lista de erratas.

Recib comentarios tiles de muchas personas, entre ellas Gary Andrus, Kendall Atkin-son, Andr Berthiaume, Gregory Brewster, Robert Busby, David G. Cantor, Tim Carroll,Joseph P. Chan, Hon-Wing Cheng, I-Ping Chu, Robert Crawford, Henry DAngelo,Jerry Delazzer, Br. Michael Driscoll, Carl E. Eckberg, Herber Enderton, Susana Epp,Gerald Gordon, Jerrold Grossman, Reino Hakala, Mark Herbster, Steve Jost, Martin Ka-lin, Nicholas Krier, Warren Krueger, Glenn Lancaster, Donald E. G. Malm, Nick Mes-hes, Kevin Phelps, Jenni Piane, Mansur Samadzadeh, Sigrid (Anne) Settle, James H.Stoddard, Chaim Goodman Strauss, Michael Sullivan, Edward J. Williams y HanyiZhang. Agradezco tambin a todos los usuarios de mi libro por sus valiosas cartas y co-rreos electrnicos.

WWW

Prefacio XVII

Rincones de solucin de problemas

Complemento para el instructor

Pgina de Internet

Agradecimientos

Q g

Un agradecimiento especial por esta edicin es para George F. Bachelis, de WayneState University, por las correcciones y la retroalimentacin de su grupo de alumnos, y pa-ra Bob Fisher, mi colega en DePaul, por atraer mi atencin a algunos ejercicios agradablesde conjuntos convexos que se pueden resolver usando induccin matemtica.

Por la revisin del manuscrito de esta edicin, doy gracias a:

Scott Annin, California State University, FullertonBrendan Frey, University of TorontoDennis Garity, Oregon State UniversityAaron Keen, California Polytechnic State University, San Luis ObispoMiguel Lerma, Northwestern UniversityTruc Nguyen, Bowling Green State UniversityCraig Jensen, University of New OrleansRandall Pruim, Calvin CollegeDavid Stewart, University of IowaSuely Oliveira, University of IowaBogdan Suceava, California State University, FullertonAnthony S. Wojcik, Michigan State University

Agradezco a mi amable editora, Patricia Johnsonbaugh, por marcar cada uno de loscerca de 4000 ejercicios con codificacin mstica, por cuidar numerosos detalles, detectartexto que no pretend escribir, mejorar la exposicin y sugerir cambios que mejoraron el libro.

Estoy en deuda con Helmut Epp, decano de la Escuela de ciencias de la compu-tacin, telecomunicaciones y sistemas de informacin en DePaul University, por propor-cionarme su tiempo y alentarme en el desarrollo de esta edicin y las anteriores.

He recibido apoyo constante del personal de Prentice Hall. En especial, agradezco a George Lobell, editor ejecutivo, por su ayuda; a Jennifer Brady, asistente editorial, y aDebbie Ryan, supervisor de produccin.

Richard Johnsonbaugh

XVIII Prefacio

Q g

1.1 Proposiciones1.2 Proposiciones condicionales

y equivalencia lgica1.3 Cuantificadores1.4 Cuantificadores anidados1.5 Demostraciones1.6 Pruebas por resolucin1.7 Induccin matemtica

Rincn de solucin de problemas: induccinmatemtica

1.8 Forma fuerte de induccin yla propiedad del buen ordenNotasRepaso del captuloAutoevaluacin del captuloEjercicios para computadora

Lgica es el estudio del razonamiento; se refiere especficamente a si el razonamiento escorrecto. La lgica se centra en la relacin entre las afirmaciones y no en el contenido deuna afirmacin en particular. Considere, por ejemplo, el siguiente argumento:

Todos los matemticos usan sandaliasCualquiera que use sandalias es un algebristaPor lo tanto, todos los matemticos son algebristas

En el sentido tcnico, la lgica no ayuda a determinar si alguna de estas afirmaciones escierta; sin embargo, si las primeras dos afirmaciones son ciertas, la lgica asegura que laafirmacin

todos los matemticos son algebristas

tambin es cierta.Los mtodos lgicos se usan en matemticas para demostrar teoremas y, en las cien-

cias de la computacin, para probar que los programas hacen lo que deben hacer. Suponga,por ejemplo, que se asigna a un estudiante el desarrollo de un programa para calcular lastrayectorias ms cortas entre ciudades. Es necesario que el programa acepte como entradaun nmero arbitrario de ciudades y las distancias entre las ciudades con conexin directapor carretera, y que produzca como salida las trayectorias (rutas) ms cortas entre cada pardistinto de ciudades. Despus de escribir el programa, es fcil para el estudiante probarlocon un nmero reducido de ciudades. Con papel y lpiz, puede enumerar todas las trayec-torias posibles entre pares de ciudades y encontrar las ms cortas. Esta solucin por fuer-za bruta se compara con la salida del programa. Sin embargo, para un nmero grande deciudades, la tcnica de la fuerza bruta sera tardada. Cmo puede el estudiante estar se-guro de que el programa trabaja bien para muchos datos (casi seguro el tipo de entrada conla que el profesor probara el programa)? l tendr que usar la lgica para argumentar queel programa es correcto. El argumento puede ser informal o formal usando las tcnicas pre-sentadas en este captulo; pero se requerir un argumento lgico.

Entender la lgica tambin resulta til para aclarar la escritura comn. Por ejemplo,en una ocasin, se public el siguiente decreto en Naperville, Illinois: Ser ilegal que una

1

LGICA YDEMOSTRACIONES

Captulo 1

WWW

Lgica, lgica, lgica. La lgica es el principio de lasabidura, Valeria, no el fin.

STAR TREK VI: EL PAS SIN DESCUBRIR

Esta seccin se puede omitir sin prdida de continuidad.

g

persona tenga ms de tres perros y tres gatos en su propiedad dentro de la ciudad. Un ciu-dadano que tena cinco perros y ningn gato, violaba el decreto? Piense en esta preguntaahora y analcela (vea ejercicio 54, seccin 1.1) despus de leer la seccin 1.1.

Cules oraciones de la a) a la e) son verdaderas o falsas (pero no ambas)?a) Los nicos enteros positivos que dividen a 7 son 1 y el mismo 7.b) Alfred Hitchcock gan un premio de la Academia en 1940 por la direccin de

Rebeca.c) Para todo entero positivo n, existe un nmero primo mayor que n.d) La Tierra es el nico planeta en el universo que tiene vida.e) Compra dos boletos para el concierto de rock Unhinged Universe del viernes.

La oracin a), que es otra manera de decir que el 7 es primo, es verdadera.La oracin b) es falsa. Aunque Rebeca gan el premio de la Academia por la

mejor pelcula de 1940, John Ford gan el premio por dirigir Las vias de la ira. Es unhecho sorprendente que Alfred Hitchcock nunca haya ganado un premio de la Academiapor mejor direccin.

La oracin c), que es otra forma de decir que el nmero de primos es infinito, es ver-dadera.

La oracin d) puede ser verdadera o falsa (pero no ambas), sin embargo en este mo-mento se ignora.

La oracin e) no es verdadera ni falsa [esta oracin es una orden].Una oracin que es verdadera o falsa, pero no ambas, se llama una proposicin. Las

oraciones a) a la d) son proposiciones, mientras que la oracin e) no es una proposicin. Escomn que una proposicin se exprese como una oracin declarativa (y no como pregun-ta, orden, exclamacin, etctera). Las proposiciones son los bloques bsicos de construc-cin de cualquier teora de lgica.

Se usarn variables, como p, q y r, para representar las proposiciones, casi comose usan letras en lgebra para representar nmeros. Tambin se usar la notacin

p: 1 +1 = 3para definir que p es la proposicin 1 + 1 = 3.Al hablar y escribir de forma normal, las proposiciones se combinan usando conec-

tores como y y o. Por ejemplo, las proposiciones est lloviendo y hace fro se puedencombinar para formar la proposicin est lloviendo y hace fro. A continuacin se dan lasdefiniciones formales de y y o.

Sean p y q proposiciones.La conjuncin de p y q, denotada por p q, es la proposicin

p y q.

La disyuncin de p y q, denotada por p q, es la proposicinp o q.

Un operador binario sobre un conjunto* X, asigna a cada par de elementos en X unelemento de X (vea la definicin 2.2.44). El operador asigna a cada par de proposiciones

2 Captulo 1 Lgica y demostraciones

1.1 Proposiciones

Definicin 1.1.1

Divide se refiere a divisin exacta. De manera ms formal, se dice que un entero diferente de cero d divide aun entero m si existe un entero q tal que m = dq. A q se le llama el cociente. Se explorarn los enteros con detalleen el captulo 5. Un entero n > 1 es primo si los nicos enteros positivos que dividen a n son 1 y el mismo n. Por ejemplo, 2, 3 y11 son nmeros primos.* Un conjunto es una coleccin de objetos. Por ejemplo, el conjunto de enteros positivos consiste en los enteros 1,2, . . . Los conjuntos se estudian con detalle en la seccin 2.1.

g

Ejemplo 1.1.2

p y q la proposicin p q. Entonces, es un operador binario sobre las proposiciones. Eloperador tambin es un operador binario sobre las proposiciones.

Si

p: Est lloviendo,q: Hace fro,

entonces la conjuncin de p y q esp q: Est lloviendo y hace fro.

La disyuncin de p y q es

p q: Est lloviendo o hace fro.El valor de verdad de la conjuncin p q est determinado por los valores verdade-

ros de p y q, y la definicin se basa en la interpretacin usual de y. Considere la propo-sicin

p q: Est lloviendo y hace frodel ejemplo 1.1.2. Si est lloviendo (es decir, p es verdadera) y tambin hace fro (es decir,q tambin es verdadera), entonces la proposicin

p q: Est lloviendo y hace frose considerara verdadera. Sin embargo, si no est lloviendo (esto es, p es falsa) o si no ha-ce fro (q es falsa) o ambas, entonces la proposicin

p q: Est lloviendo y hace frose considerara falsa.

Los valores de verdad de las proposiciones, tales como conjunciones o disyunciones,se pueden describir por las tablas de verdad. La tabla de verdad de una proposicin P, for-mada por las proposiciones individuales p1, . . . , pn, enumera todas las posibles combina-ciones de los valores de verdad para p1, . . . , pn, donde V denota verdadero y F denota falso,y da la lista de valores de verdad de P para cada combinacin. Se usa una tabla de verdadpara dar la definicin formal de los valores de verdad de p q.

Los valores de verdad de la proposicin p q se definen por la tabla de verdad

Observe que en la tabla de verdad de la definicin 1.1.3 se dan las cuatro combina-ciones posibles (cuatro alternativas posibles) de asignaciones de verdad para p y q.

La definicin 1.1.3 establece que la conjuncin p q es verdadera siempre que p yq sean ambas verdaderas; de otra manera, p q es falsa.

Si

p: Una dcada tiene 10 aos,q: Un milenio tiene 100 aos,

1.1 Proposiciones 3

Definicin 1.1.3

p q p qT T TT F FF T FF F F

Ejemplo 1.1.4

VV

V

V

V

g

entonces p es verdadera, q es falsa (un milenio tiene 1000 aos) y la conjuncinp q: Una dcada tiene 10 aos y un milenio tiene 100 aos

es falsa.

Casi todos los lenguajes de programacin definen y justo como la definicin 1.1.3. Por ejem-plo, en el lenguaje de programacin Java, el y (lgico) se denota por &&, y la expresin

es verdadera precisamente cuando el valor de la variable x es menor que 10 (esto es,x < 10 es cierta) y el valor de la variable y es mayor que 4 (es decir, y > 4 se cumple).

El valor de verdad de la disyuncin p q tambin est determinado por los valoresde verdad de p y q, y la definicin se basa en la interpretacin inclusiva de o. Consi-dere la proposicin

p q: Est lloviendo o hace fro,del ejemplo 1.1.2. Si est lloviendo (es decir, p es verdadera) o si hace fro (es decir, q esverdadera) o ambas, entonces se considerara que la proposicin

p q: Est lloviendo o hace froes verdadera (esto es, p q es verdadera). El or-inclusivo de las proposiciones p y q esverdadero si ambas, p y q, son verdaderas. Si no est lloviendo (o sea, p es falsa) y si nohace fro (q tambin es falsa), entonces se considerara que la proposicin

p q: Est lloviendo o hace fro,es falsa (esto es, p q es falsa). Tambin existe el or-exclusivo (vea el ejercicio 53) quedefine p exor q como falsa si ambas, p y q, son verdaderas.

El valor de verdad de la proposicin p q se define por la tabla de verdad

La definicin 1.1.6 establece que la disyuncin p q es verdadera siempre que p oq (o ambas) sean verdaderas; de otra manera, p q ser falsa (es decir, slo si p y q sonfalsas la disyuncin ser falsa).

Sip: Un milenio tiene 100 aos,q: Un milenio tiene 1000 aos,

entonces p es falsa, q es verdadera y la disyuncin

p q: Un milenio tiene 100 aos o un milenio tiene 1000 aoses verdadera.

Casi todos los lenguajes de programacin definen un or (inclusivo) justo como en la defi-nicin 1.1.6. Por ejemplo, en Java, el or (lgico) se denota por || y la expresin


Ejemplo 1.1.5 x < 10 && y > 4

Definicin 1.1.6

p q p qT T TT F TF T TF F F

VV

VVV

V

V

Ejemplo 1.1.7

Ejemplo 1.1.8

g

x < 10 || y > 4

es verdadera precisamente cuando el valor de la variable x es menor que 10 (esto es,x < 10 es cierta) o el valor de la variable y es mayor que 4 (es decir, y > 4 se cum-ple) o ambas.

En el lenguaje comn, las proposiciones que se combinan (es decir, p y q combina-das para dar la proposicin p q) suelen estar relacionadas; pero en lgica, no se requiereque estas proposiciones hagan referencia al mismo asunto. Por ejemplo, en lgica se per-miten proposiciones como

3 < 5 o Pars es la capital de Inglaterra.

La lgica se ocupa de la forma de las proposiciones y de la relacin de las proposicio-nes entre s, no del tema. (La proposicin anterior es verdadera porque 3 < 5 es verda-dera).

El operador final en una proposicin p que analizamos en esta seccin es la nega-cin de p.

La negacin de p, denotada por p, es la proposicin

no p.

El valor de verdad de esta proposicin p se define por la tabla de verdad

Algunas veces escribimos p para decir no ocurre que p. Por ejemplo, sip: Pars es la capital de Inglaterra,

la negacin de p se escribe como

p: No ocurre que Pars es la capital de Inglaterra.o ms fcil como

p: Pars no es la capital de Inglaterra.Un operador unario sobre un conjunto X asigna a cada elemento de X un elemento

de X (vea la definicin 2.2.46). El operador asigna a cada proposicin p la proposicinp. Entonces, es un operador unario sobre las proposiciones.

Si

p: se calcul con 1,000,000 de dgitos decimales en 1954,

la negacin de p es la proposicin

p: no se calcul con 1,000,000 de dgitos decimales en 1954.No fue sino hasta 1973 que se calcul con 1,000,000 de dgitos decimales; entonces p esfalsa. (Desde entonces se han calculado ms de 200 mil millones de dgitos decimales de). Puesto que p es falsa, p es verdadera.

1.1 Proposiciones 5

Definicin 1.1.9

p pT FF TV

V

Ejemplo 1.1.10

g

Casi todos los lenguajes de programacin definen no justo como en la definicin 1.1.9.Por ejemplo, en Java el no se denota por !, y la expresin

! (x < 10)

es verdadera precisamente cuando el valor de la variable x no es menor que 10 (es decir, xes mayor que o igual a 10).

En las expresiones que incluyen algunos o todos los operadores , y , en la au-sencia de parntesis, primero se evala , despus y luego . Esta convencin se cono-ce como precedencia del operador. En lgebra, la precedencia del operador indica que seevalan y / antes que + y .

Puesto que la proposicin p es falsa, la proposicin q es verdadera y la proposicin r es fal-sa, determine si la proposicin

p q res falsa o verdadera.

Primero se evala p, que es verdadera. Despus se evala q r, que es falsa. Porltimo, se evala

p q rque es verdadera.

Bsqueda en Internet

Se dispone de gran variedad de herramientas de bsqueda en Internet (como AltaVista,Google, Yahoo) que permiten al usuario introducir palabras clave que el portal de bsque-da intenta igualar con pginas Web. Por ejemplo, introducir matemticas produce una lista(enorme!) de pginas que contienen la palabra matemticas. Algunos sitios de bsque-da permiten al usuario incluir operadores como AND, OR y NOT (y, o y no) junto conparntesis para combinar las palabras clave (vea la figura 1.1.1), lo que admite bsquedas


Ejemplo 1.1.11

Ejemplo 1.1.12

Ejemplo 1.1.13

Figura 1.1.1 El portal de bsqueda AltaVista permite al usuariointroducir expresiones con AND, OR y NOT junto con parntesis.(En AltaVista, NOT debe ir precedido de otro operador como AND). En la figura, el usuario busca pginas quecontengan discrete mathematics o finite mathematics(matemticas discretas o matemticas finitas) escribiendo(discrete OR finite) AND mathematics. Como se muestra,AltaVista encontr cerca de 390,000 pginas de Internet que contienen matemticas discretas o matemticas finitas.

g

ms complejas. Por ejemplo, para buscar pginas que contengan las palabras clave discre-tas y matemticas, el usuario escribira discretas AND matemticas. Para buscar pgi-nas con las palabras clave discretas y matemticas o las palabras clave finitas ymatemticas, el usuario podra introducir (discretas OR finitas) AND matemticas.

Aunque tal vez haya un camino ms corto para determinar los valores de verdad de una pro-posicin P formada al combinar las proposiciones p1, . . . , pn usando operadores como y , la tabla de verdad siempre proporcionar todos los valores de verdad posibles de Ppara diferentes valores de las proposiciones que la constituyen p1, . . . , pn.

1.1 Proposiciones 7

Sugerencias para resolver problemas

1. Qu es una proposicin?2. Qu es una tabla de verdad?3. Qu es la conjuncin de p y q? Cmo se denota?4. Proporcione la tabla de verdad para la conjuncin de p y q.

5. Qu es la disyuncin de p y q? Cmo se denota?6. Proporcione la tabla de verdad para la disyuncin de p y q.

7. Qu es la negacin de p? Cmo se denota?8. Proporcione la tabla de verdad para la negacin de p.

Seccin de ejercicios de repaso

EjerciciosDetermine si cada oracin en los ejercicios 1 a 8 es una proposicin.Si la oracin es una proposicin, escriba su negacin. (No se piden losvalores de verdad de las oraciones que son proposiciones).1. 2 + 5 = 19.2. Mesero, servira las nueces, quiero decir, servira las nueces a los

invitados?3. Para algn entero positivo n, 19340 = n 17.4. Audrey Meadows fue la Alice original de la serie The Honey-

mooners.

5. Plame una uva.6. La lnea Tcala otra vez, Sam corresponde a la pelcula Casa-

blanca.7. Todo entero par mayor que 4 es la suma de dos primos.8. La diferencia de dos primos.

Los ejercicios 9 a 12 se refieren a una moneda que se lanza 10 veces.Escriba la negacin de la proposicin.9. Salieron 10 caras.

10. Salieron algunas caras.11. Salieron algunas caras y algunas cruces.12. Sali al menos una cara.Puesto que la proposicin p es falsa, la proposicin q es verdadera y laproposicin r es falsa, determine si cada proposicin en los ejercicios13 a 18 es falsa o verdadera.13. 14.15. 16.17.18.

Escriba la tabla de verdad de cada proposicin en los ejercicios 19a 26.19. 20.21. 22.23. 24.25.26.En los ejercicios 27 a 29, represente la proposicin indicada simbli-camente definiendo

p: 5 < 9, q: 9 < 7, r: 5 < 7.Determine si cada proposicin es verdadera o falsa.27. 5 < 9 y 9 < 7.28. No ocurre que (5 < 9 y 9 < 7).29. 5 < 9 o no ocurre que (9 < 7 y 5 < 7).En los ejercicios 30 a 35, formule la expresin simblica en palabrasusando

p: Leo toma ciencias de la computacin.q: Leo toma matemticas.

30. 31. 32.33. 34. 35.En los ejercicios 36 a 40, formule la expresin simblica en palabrasusando

p: Hoy es lunes.q: Est lloviendo.r: Hace calor.

36. 37.38. 39.

p q 14. p qp q 16. p (q r )( p q) (p r )( p r ) ((q r ) (r p))

p q 20. (p q) p( p q) p 22. ( p q) p( p q) (p q) 24. ( p q) (r p)( p q) (p q) ( p q) (p q)( p q) (q r )

pp q

p qp q

p qp q

p q( p q) r

p (q r )( p q) (r p)

Los nmeros de ejercicios en cursivas indican que se da una sugerencia o la solucin al final del libro, despus de la sec-cin de referencias

g

40.En los ejercicios 41 a 46, represente simblicamente la proposicin de-finiendo

p: Hay huracn.q: Est lloviendo.

41. No hay huracn.42. Hay huracn y est lloviendo.43. Hay huracn, pero no est lloviendo.44. No hay huracn y no est lloviendo.45. Hay huracn o est lloviendo (o ambas).46. Hay huracn o est lloviendo, pero no hay huracn.En los ejercicios 47 a 52, represente simblicamente la proposicin de-finiendo

p: Oste el concierto de rock de Flying Pigs.q: Oste el concierto de rock de Y2K.r: Tienes los tmpanos inflamados.

47. Oste el concierto de rock de Flying Pigs y tienes los tmpanosinflamados.

48. Oste el concierto de rock de Flying Pigs, pero no tienes los tm-panos inflamados.

49. Oste el concierto de rock de Flying Pigs, oste el concierto derock de Y2K y tienes los tmpanos inflamados.

50. Oste el concierto de rock de Flying Pigs o el concierto de rockde Y2K, pero no tienes los tmpanos inflamados.

51. No oste el concierto de rock de Flying Pigs y no oste el con-cierto de rock de Y2K, pero tienes los tmpanos inflamados.

52. No ocurre que: oste el concierto de rock de Flying Pigs o bienoste el concierto de rock de Y2K o no tienes los tmpanos in-flamados.

53. Proporcione una tabla de verdad para el or-exclusivo de p y q don-de p exor q es verdadera si p o q, pero no ambas, son verdaderas.

54. En una ocasin se public el siguiente decreto en Naperville, Illi-nois: Ser ilegal que una persona tenga ms de tres [3] perros ytres [3] gatos en su propiedad dentro de la ciudad. El seor Char-les Marko tena cinco perros y ningn gato, violaba el decreto?Explique.

55. Escriba las instrucciones de bsqueda en Internet para encontrarparques nacionales en Dakota del Sur o del Norte.

56. Escriba las instrucciones de bsqueda en Internet para obtener in-formacin de enfermedades pulmonares que no sean cncer.

57. Escriba las instrucciones de bsqueda en Internet para ver equipos debisbol de las ligas menores que estn en la Liga del Medio Oeste.


( p (q r )) (r (q p))

El decano de la escuela anunci que

Si el departamento de matemticas obtiene $40,000 adicionales, entonces contratar un nuevo acadmico. (1.2.1)

La afirmacin (1.2.1) establece que con la condicin de que el departamento de matemti-cas obtenga $40,000 adicionales, entonces contratar un nuevo acadmico. Este tipo deproposicin se conoce como proposicin condicional.

Si p y q son proposiciones, la proposicin

si p entonces q (1.2.2)se llama proposicin condicional y se denota por

p qLa proposicin p se llama hiptesis (o antecedente) y la proposicin q recibe el nombre deconclusin (o consecuente).

Si se define

p: El departamento de matemticas obtiene $40,000 adicionales,q: El departamento de matemticas contrata un nuevo acadmico,

entonces la proposicin (1.2.1) toma la forma (1.2.2). La hiptesis es la afirmacin el de-partamento de matemticas obtiene $40,000 adicionales y la conclusin es la afirmacinel departamento de matemticas contrata un nuevo acadmico.

Cul es el valor de verdad para la afirmacin del decano (1.2.1)? Primero, supongaque el departamento de matemticas obtiene $40,000 adicionales. Si de hecho contrata otroacadmico, con seguridad la afirmacin del decano es verdadera. (Usando la notacin del

1.2 Proposiciones condicionales y equivalencia lgica

Definicin 1.2.1

Ejemplo 1.2.2

g

ejemplo 1.2.2, si p y q son ambas verdaderas, entonces p q es verdadera). Por otra par-te, si el departamento de matemticas obtiene $40,000 adicionales y no contrata un nuevoacadmico, el decano est equivocado, es decir, la oracin (1.2.1) es falsa. (Si p es verda-dera y q es falsa, entonces p q es falsa). Ahora suponga que el departamento de mate-mticas no obtiene $40,000 adicionales. En este caso, el departamento de matemticaspuede o no contratar otro acadmico. (Quiz alguien del departamento se jubila y se con-trata a alguien ms para reemplazarlo. Por otro lado, el departamento puede no contratar aalguien). Por supuesto, no se considerara falsa la afirmacin del decano. As, si el depar-tamento de matemticas no obtiene los $40,000, la afirmacin del decano debe ser verda-dera, sin importar si el departamento contrata o no otro acadmico. (Si p es falsa, entoncesp q es verdadera sea q verdadera o falsa). Este anlisis motiva la siguiente definicin.

El valor verdadero de la proposicin condicional p q est definido por la siguiente tablade verdad:

De manera formal, es un operador binario sobre las proposiciones. El operador asigna a cada par de proposiciones p y q la proposicin p q.

Para quienes necesitan mayor evidencia de que p q se debe definir como verda-dera cuando p es falsa, se ofrece otra justificacin. Casi todas las personas estn de acuer-do en que la proposicin

Para todos los nmeros reales x, si x > 0, entonces x2 > 0, (1.2.3)

es verdadera. (En la seccin 1.3 se har el anlisis formal y detallado de afirmacio-nes del tipo para todos). En la siguiente presentacin, p denotada por x > 0 y q denota-da por x2 > 0. El hecho de que la proposicin (1.2.3) sea verdadera significa que no importacon cul nmero real se sustituya x, la proposicin

si p entonces q (1.2.4)

resultante es verdadera. Por ejemplo, si x = 3, entonces p y q son ambas ciertas (3 > 0 y32 > 0 son ambas verdaderas) y, por la definicin 1.2.3, (1.2.4) es verdadera. Ahora consi-dere la situacin donde p es falsa. Si x = 2, entonces p es falsa (2 > 0 es falsa) y q esverdadera [(2)2 > 0 es verdadera]. Con objeto de que la proposicin (1.2.4) sea verdade-ra en ese caso, debe definirse p q como verdadera cuando p es falsa y q es verdadera.Esto es justo lo que ocurre en el tercer rengln de la tabla de verdad para la definicin 1.2.3.Si x = 0, entonces p y q son ambas falsas (0 > 0 y 02 > 0 son falsas). Para que la proposi-cin (1.2.4) sea cierta en este caso, debe definirse p q como verdadera cuando p y q sonambas falsas. Justo ocurre esto en el cuarto rengln de la tabla de verdad para la definicin1.2.3. En los ejercicios 52 y 53 se da una mayor motivacin para definir p q como ver-dadera cuando p es falsa.

Sea

p: 1 > 2, q: 4 < 8.

Entonces p es falsa y q es verdadera. Por lo tanto,

p q es verdadera, q p es falsa. 1.2 Proposiciones condicionales y equivalencia lgica 9

Definicin 1.2.3

p q p qT T TT F FF T TF F T

Ejemplo 1.2.4

VV

VV

VV

V

g

En las expresiones que incluyen a los operadores lgicos , , y , el operador condi-cional evala al final. Por ejemplo,

se interpreta como

Suponiendo que p es verdadera, q es falsa y r es verdadera, encuentre el valor de verdad decada proposicin.

a) b) c) d)

a) Primero se evala p q porque se evala al final. Como p es cierta y q es fal-sa, p q es falsa. Por lo tanto, p q r es verdadera (sin importar si r es cier-ta o falsa).

b) Primero se evala r. Como r es verdadera, r es falsa. Despus se evalap q. Como p es verdadera y q es falsa, p q es verdadera. Por lo tanto,p q r es falsa.

c) Como q es falsa, q r es verdadera (sin importar si r es verdadera o falsa). Co-mo p es verdadera, p (q r) es verdadera.

d) Puesto que q es falsa, q r es verdadera (sin importar si r es verdadera o falsa).Entonces, p (q r) es verdadera (sin importar si p es verdadera o falsa).

Una proposicin condicional que es verdadera porque la hiptesis es falsa se dice quees verdadera por omisin o superficialmente verdadera. Por ejemplo, si la proposicin,

Si el departamento de matemticas obtiene $40,000 adicionales, entonces contratarun nuevo acadmico,

es verdadera porque el departamento de matemticas no obtuvo $40,000 adicionales, se di-ce que la proposicin es verdadera por omisin o que es superficialmente verdadera.

Algunas afirmaciones no de la forma (1.2.2) pueden rescribirse como proposicionescondicionales, como ilustra el siguiente ejemplo.

Reescriba cada proposicin en la forma (1.2.2) de una proposicin condicional.a) Mara ser una buena estudiante si estudia mucho.b) Juan toma clculo slo si est en 2, 3 o 4 grado de universidad.c) Cuando cantas, me duelen los odos.d) Una condicin necesaria para que los Cachorros ganen la Serie Mundial es que

contraten a un pitcher suplente diestro.e) Una condicin suficiente para que Mara visite Francia es ir a la Torre Eiffel.

a) La hiptesis es la clusula que sigue a si; entonces una formulacin equivalente esSi Mara estudia mucho, entonces ser una buena estudiante.

b) La afirmacin significa que para que Juan tome clculo debe estar en 2, 3 o 4ao de universidad. En particular, si est en 1, no puede tomar clculo. As, seconcluye que si toma clculo, entonces est en 2, 3 o 4 ao. Por lo tanto, unaformulacin equivalente sera

Si Juan toma clculo, entonces est en 2, 3 o 4 ao.Observe queSi Juan est en 2, 3 o 4 ao, entonces toma clculo,

no es una formulacin equivalente. Si Juan est en 2, 3 o 4 ao, puede o no to-mar clculo. (Aunque sea elegible para tomar clculo, puede decidir no tomarlo).


Ejemplo 1.2.5

Ejemplo 1.2.6

p q r

( p q) (r ).

p q r p q r p (q r ) p (q r )

g

La formulacin si p entonces q hace hincapi en la hiptesis mientras que la for-mulacin p slo si q resalta la conclusin; la diferencia es nada ms de estilo.

c) Cuando significa lo mismo que si; entonces una formulacin equivalente esSi cantas, me duelen los odos.

d) Una condicin necesaria es slo eso: una condicin que se necesita para lograrun resultado en particular. La condicin no garantiza el resultado; pero si no secumple, el resultado no se lograr. Aqu, la afirmacin significa que si los Cacho-rros ganan la Serie Mundial, podemos estar seguros de que contrataron un pitchersuplente diestro, ya que sin ese contrato no habran ganado. As, una formulacinequivalente de la afirmacin es

Si los Cachorros ganan la Serie Mundial, entonces contrataron un pitcher su-plente diestro.

La conclusin expresa una condicin necesaria.Observe que

Si los Cachorros contratan un pitcher suplente diestro, entonces ellos gananla Serie Mundial,

no es una formulacin equivalente. Contratar un pitcher suplente diestro no es ga-ranta de que ganarn la Serie Mundial. Sin embargo, no contratarlo garantiza queno ganarn la Serie Mundial.

e) De manera similar, una condicin suficiente es una condicin que basta para ga-rantizar un resultado en particular. Si la condicin no se cumple, el resultado pue-de lograrse de otras formas o tal vez no se logre; pero si la condicin se cumple,el resultado est garantizado. Aqu, para asegurar que Mara visite Francia, bastacon que vaya a la Torre Eiffel. (Sin duda, hay otras maneras de asegurar que Ma-ra visite Francia; por ejemplo, podra ir a Lyon). As, una formulacin equivalen-te a la afirmacin en cuestin es

Si Mara va a la Torre Eiffel, entonces visita Francia.

La hiptesis expresa una condicin suficiente.Observe que

Si Mara visita Francia, entonces va a la Torre Eiffel,no es una formulacin equivalente. Como se observ, hay otras maneras de ase-gurar que Mara visite Francia que ir a la Torre Eiffel.

El ejemplo 1.2.4 muestra que la proposicin p q puede ser verdadera mientras quela proposicin q p es falsa. La proposicin q p se llama la recproca de la proposi-cin p q. As, una proposicin condicional puede ser verdadera mientras que su recpro-ca es falsa.

Escriba la proposicin condicional

Si Jess recibe una beca, entonces ir a la universidad,

y su recproca en smbolos y en palabras. Adems, suponga que Jess no recibe la beca, pe-ro gana la lotera y de todas formas va a la universidad, encuentre entonces el valor de ver-dad de la proposicin original y su recproca.

Seap: Jess recibe una beca,

q: Jess va la universidad.

La proposicin se escribe en smbolos como p q. Como la hiptesis p es falsa, la pro-posicin condicional es verdadera.

La recproca de la proposicin es

Si Jess va a la universidad, entonces recibe una beca.

1.2 Proposiciones condicionales y equivalencia lgica 11

Ejemplo 1.2.7

g

La recproca se escribe en smbolos como q p. Puesto que la hiptesis q es verdadera yla conclusin p es falsa, la recproca es falsa.

Otra proposicin til es

p si y slo si q,

que se considera verdadera precisamente cuando p y q tienen el mismo valor de verdad (esdecir, si p y q son ambas verdaderas o ambas falsas).

Si p y q son proposiciones, la proposicin

p si y slo si q

se llama proposicin bicondicional y se denota por

p q.El valor de verdad de la proposicin p q se define por la siguiente tabla de verdad:

El operador tambin es un operador binario sobre las proposiciones. Asigna a ca-da par de proposiciones p y q la proposicin p q.

Una manera alternativa de establecer p si y slo si q es p es una condicin necesa-ria y suficiente para q. La proposicin p si y slo si q algunas veces se escribe p ssi q.

La proposicin

1 < 5 si y slo si 2 < 8 (1.2.5)

se escribe en smbolos como

p qsi se define

p: 1 < 5, q: 2 < 8

Puesto que ambas, p y q, son verdaderas, la proposicin p q es verdadera.

Una manera alternativa de establecer (1.2.5) es: Una condicin necesaria y suficien-te para que 1 < 5 es que 2 < 8.

En algunos casos, dos proposiciones diferentes tienen los mismos valores de verdadsin importar qu valores de verdad tengan las proposiciones que las constituyen. Tales pro-posiciones se conocen como equivalentes lgicos.

Suponga que las proposiciones P y Q estn formadas por las proposiciones p1, . . . , pn. Sedice que P y Q son equivalentes lgicos y se escriben

P Qsiempre que, a partir de cualesquiera valores de verdad de p1, . . . , pn, o bien P y Q son am-bas verdaderas o P y Q son ambas falsas.


p q p qT T TT F FF T FF F T

VV

V

V

V

V

Ejemplo 1.2.9

Definicin 1.2.10 Definicin 1.2.8

g

Leyes de De Morgan para lgica

Se verificar la primera de las leyes de De Morgan

y se dejar la segunda como ejercicio (vea el ejercicio 54).Si se escriben las tablas de verdad para P = (p q) y Q = p q, se puede ve-

rificar que, a partir de cualesquiera valores de verdad para p y q, P y Q son ambas verda-deras o P y Q son ambas falsas.

Entonces, P y Q son equivalentes lgicos.

Demuestre que, en Java, las expresionesx < 10 || x > 20

y!(x >= 10 && x = significa y = 10 y q denota la expresin x = 10 && x 20, p q se traducen como x < 10 || x > 20. Por lo tanto, las expresio-nes x < 10 || x > 20 y !(x >= 10 && x

Sean

p: Jess recibe una beca,q: Jess va la universidad.

La proposicin se escribe con smbolos como p q. Su negacin lgicamente equivalen-te a p q. En palabras, esta ltima expresin es

Jess recibe una beca y no va la universidad.

Ahora se demostrar que, segn estas definiciones, p q es equivalente lgico dep q y q p. En palabras,

p si y slo si q

es lgicamente equivalente a

si p entonces q y si q entonces p.

La tabla de verdad muestra que

p q (p q) (q p).

Se concluye esta seccin con la definicin de la contrapositiva de una proposicincondicional. Se ver (en el Teorema 1.2.18) que la contrapositiva es una forma alternativa,lgicamente equivalente de la proposicin condicional. El ejercicio 55 da otra forma deequivalente lgico para la proposicin condicional.

La contrapositiva (o transposicin) de la proposicin condicional p q es la proposicinq p.

Observe la diferencia entre la contrapositiva y la recproca. La recproca de una pro-posicin condicional simplemente invierte los papeles de p y q, mientras que la contrapo-sitiva invierte los papeles de p y q y niega cada una de ellas.

Escriba la proposicin condicional,

Si se cae la red, entonces Daro no puede entrar a Internet,

con smbolos. Escriba la contrapositiva y la recproca con smbolos y en palabras. Adems,suponga que la red no se cay y que Daro puede entrar a Internet; encuentre los valores deverdad de la proposicin original, su contrapositiva y su recproca.

Sean

p: La red se cae,q: Daro no puede entrar a Internet.

La proposicin se escribe en smbolos como p q. Como la hiptesis p es falsa, la pro-posicin condicional es verdadera.


Ejemplo 1.2.15

p q p q p q q p ( p q) (q p)T T T T T TT F F F T FF T F T F FF F T T T T

VV

V

V

V

VVV

VV

V V

VV

Definicin 1.2.16

Ejemplo 1.2.17

g

La contrapositiva se escribe en smbolos como q p y, en palabras,Si Daro puede entrar a Internet, entonces la red no se cay.

Como la hiptesis q y la conclusin p son ambas verdaderas, la contrapositiva es ver-dadera. (El Teorema 1.2.18 mostrar que la proposicin condicional y su contrapositiva sonequivalentes lgicos, es decir, que siempre tienen el mismo valor de verdad).

La recproca de la proposicin se escribe simblicamente como q p, y en palabras:Si Daro no puede entrar a Internet, entonces la red se cay.

Como la hiptesis q es falsa, la recproca es cierta.

Un hecho importante es que una proposicin condicional y su contrapositiva sonequivalentes lgicos.

La proposicin condicional p q y su contrapositiva q p son equivalentes l-gicos.

Demostracin La tabla de verdad

muestra que p q y q p son lgicamente equivalentes.

En lenguaje comn, si con frecuencia se usa como si y slo si. Considere la afir-macin

Si arreglas mi computadora, entonces te pagar $50.El significado que se pretende transmitir es

Si arreglas mi computadora, entonces te pagar $50, ysi no la arreglas, entonces no te pagar $50,

que es lgicamente equivalente a (vea el Teorema 1.2.18).Si arreglas mi computadora, entonces te pago $50, ysi te pago $50, entonces arreglas mi computadora,

que, a su vez, es el lgico equivalente a (vea ejemplo 1.2.15).Arreglas mi computadora si y slo si te pago $50.

En un discurso ordinario, el significado que se pretende para las afirmaciones que incluyenoperadores lgicos con frecuencia (pero no siempre!) se infiere. Sin embargo, en matem-ticas y ciencias, se requiere precisin. Slo con la definicin cuidadosa del significado delos trminos, como si y si y slo si, podremos obtener afirmaciones precisas y sin am-bigedad. En particular, la lgica distingue entre las proposiciones condicional, bicondicio-nal, recproca y contrapositiva.

En la lgica formal, si y si y slo si son bastante diferentes. La proposicin condicio-nal p q (si p entonces q) es verdadera excepto cuando p es verdadera y q es falsa. Porotro lado, la proposicin bicondicional p q (p si y slo si q) es verdadera precisamentecuando p y q son ambas verdaderas o ambas falsas.

1.2 Proposiciones condicionales y equivalencia lgica 15

Teorema 1.2.18

p q p q q p

V V V VV F F FF V V VF F V V

Sugerencias para resolver problemas

g

Para determinar si las proposiciones P y Q, formadas con las proposiciones p1, . . . ,p

n, son equivalentes lgicos, escriba las tablas de verdad para P y Q. Si todos los elemen-

tos son al mismo tiempo verdaderos o falsos para P y Q, entonces P y Q son equivalentes.Si algn elemento es verdadero para una de las dos, P o Q, y falso para la otra, entonces Py Q no son equivalentes.

Las leyes de De Morgan para lgica

(p q) p q, (p q) p qdan las frmulas para negar o () y negar y (). A grandes rasgos, negar o da comoresultado y, lo mismo que al negar y se obtiene o.

El ejemplo 1.2.13 establece una equivalencia muy importante(p q) p q,

que se encontrar a lo largo del libro. Esta equivalencia muestra que la negacin de la pro-posicin condicional se puede escribir usando el operador y (). Observe que no apare-ce el operador condicional en el lado derecho de la ecuacin.


1. Qu es una proposicin condicional? y cmo se denota?2. Escriba la tabla de verdad para la proposicin condicional.3. En una proposicin condicional, cul es la hiptesis?4. En una proposicin condicional, cul es la conclusin?5. Qu es una condicin necesaria?6. Qu es una condicin suficiente?

7. Cul es la recproca de p q?8. Qu es una proposicin bicondicional? y cmo se denota?9. Escriba la tabla de verdad para la proposicin bicondicional.

10. Qu significa para P ser equivalente lgico de Q?11. Establezca las leyes de De Morgan para lgica.12. Qu es la contrapositiva de p q?

Seccin de ejercicios de repaso

Ejercicios

En los ejercicios 1 a 7, restablezca cada proposicin en la forma (1.2.2)de una proposicin condicional.1. Jos pasar el examen de matemticas discretas si estudia duro.2. Rosa se graduar si tiene crditos por 160 horas-trimestre.3. Una condicin necesaria para que Fernando compre una computa-

dora es que obtenga $2000.4. Una condicin suficiente para que Katia tome el curso de algorit-

mos es que apruebe matemticas discretas.5. Cuando se fabriquen mejores automviles, Buick los fabricar.6. La audiencia se dormir si el maestro de ceremonias da un ser-

mn.7. El programa es legible slo si est bien estructurado.8. Escriba la recproca de cada proposicin en los ejercicios 1 al 7.9. Escriba la contrapositiva de cada proposicin en los ejercicios 1 al 7.

Suponiendo que p y r son falsas y que q y s son verdaderas, encuentreel valor de verdad para cada proposicin en los ejercicios 10 al 17.10.11.12.13.14.15.1617.

Los ejercicios 18 al 27 se refieren a las proposiciones p, q y r; p es ver-dadera, q es falsa y el estado de r no se conoce por ahora. Diga si ca-da proposicin es verdadera, falsa o tiene un estado desconocido.18. 19.20. 21.22. 23.24. 25.26. 27.En los ejercicios 28 al 31, represente con smbolos la proposicincuando

p: 4 < 2, q: 7 < 10, r: 6 < 6

28. Si 4 < 2, entonces 7 < 10.29. Si (4 < 2 y 6 < 6), entonces 7 < 10.30. Si no ocurre que (6 < 6 y 7 no es menor que 10), entonces

6 < 6.31. 7 < 10 si y slo si (4 < 2 y 6 no es menor que 6).En los ejercicios 32 al 37, formule la expresin simblica en palabrasusando

p: Hoy es lunes,q: Est lloviendo,r: Hace calor.

p qp q( p q)( p q) (q r )( p q) rp (q r )(s ( p r )) (( p (r q)) s)(( p q) (q r )) (s q)

p rq rr q( p r ) r(q r ) r

p rp rr p( p r ) r(q r ) r

g

32. 33.34. 35.36.37En los ejercicios 38 a 41, escriba cada proposicin condicional en sm-bolos. Escriba la recproca y la contrapositiva de cada proposicin ensmbolos y en palabras. Encuentre tambin el valor de verdad para ca-da proposicin condicional, su recproca y su contrapositiva.38. Si 4 < 6, entonces 9 > 12. 39. Si 4 < 6, entonces 9 < 12.40. |1| < 3 si 3 < 1 < 3. 41. |4| < 3 si 3 < 4 < 3.Para cada par de proposiciones P y Q en los ejercicios 42 al 51, esta-blezca si P Q o no.42.43.44.45.46.47.48.49.50.51.Los ejercicios 52 y 53 proporcionan mayor motivacin para definirp q como verdadera cuando p es falsa. Se considera cambiar la ta-bla de verdad de p q cuando p es falsa. Para este primer cambio, eloperador resultante recibe el nombre de imp1 (ejercicio 52), y para el

segundo cambio el operador resultante es imp2 (ejercicio 53). En am-bos casos, se obtienen patologas.52. Defina la tabla de verdad para imp1 como

Demuestre que p imp1 q q imp1 p.53. Defina la tabla de verdad para imp2 como

a) Demuestre que

(1.2.6)b) Demuestre que (1.2.6) permanece verdadera si se cambia el

tercer rengln de la tabla de verdad de imp2 a F V F.54. Verifique la segunda ley de De Morgan, (p q) p q.55. Demuestre que (p q) (p q)

1.3 Cuantificadores 17

p q 33. q (r p (q r ) 35. ( p q)( p (q r )) (r (q p))( p (p (q r ))) ( p (r q))

q (r p)( p q) r

P = p, Q = p qP = p q, Q = p qP = p q, Q = p qP = p (q r ), Q = p (q r )P = p (q r ), Q = ( p q) ( p r )P = p q, Q = q pP = p q, Q = p qP = ( p q) (q r ), Q = p rP = ( p q) r , Q = p (q r )P = (s ( p r )) (( p (r q)) s), Q = p t

p q p imp1 q

T T TT F FF T FF F T

VV

V

VV

V

p q p imp2 q

T T TT F FF T TF F F

VV

V

V V

V

( p imp2 q) (q imp2 p) p q.

1.3 Cuantificadores

La lgica en las secciones 1.1 y 1.2 referente a proposiciones es incapaz de describir la ma-yora de las afirmaciones en matemticas y en ciencias de la computacin. Considere, porejemplo, la afirmacin

p: n es un entero impar

Una proposicin es una afirmacin que es verdadera o falsa. La afirmacin p no es una pro-posicin, porque el hecho de que p sea verdadera o falsa depende del valor de n. Por ejem-plo, p es verdadera si n = 103 y falsa si n = 8. Como casi todas las afirmaciones enmatemticas y ciencias de la computacin usan variables, debe ampliarse el sistema de l-gica para incluir estas afirmaciones.

Sea P(x) una oracin que incluye la variable x y sea D un conjunto. P se llama funcin pro-posicional o predicado (respecto a D) si para cada x en D, P(x) es una proposicin. D es eldominio de discurso (tambin llamado dominio de referencia) de P.

Sea P(n) la afirmacinn es un entero impar,

y sea D el conjunto de enteros positivos. Entonces P es una funcin proposicional con do-minio de discurso D ya que para cada n en D, P(n) es una proposicin [es decir, para cadan en D, P(n) es verdadera o falsa pero no ambas]. Por ejemplo, si n = 1, se obtiene la pro-posicin

P(1): 1 es un entero impar

WWW

Definicin 1.3.1

Ejemplo 1.3.2

g

(que es verdadera). Si n = 2, se obtiene la proposicinP(2): 2 es un entero impar

(que es falsa).

Una proposicin P, por s misma, no es falsa ni verdadera. Sin embargo, para cada xen su dominio de discurso, P (x) es una proposicin y es, por lo tanto, verdadera o falsa. Sepuede pensar que una funcin proposicional define una clase de proposiciones, una para ca-da elemento de su dominio de discurso. Por ejemplo, si P es una funcin proposicional condominio de discurso igual al conjunto de enteros positivos, se obtiene una clase de propo-siciones

P (1), P (2), . . . .Cada una de las P (1), P (2), . . . es verdadera o falsa.

Las siguientes son funciones proposicionales.

a) n2 + 2n es un entero impar (dominio de discurso = conjunto de enteros positivos).b) x2 x 6 = 0 (dominio de discurso = conjunto de nmeros reales).c) El beisbolista bate ms de .300 en 2003 (dominio de discurso = conjunto de

beisbolistas).d) El restaurante tiene ms de dos estrellas en la revista Chicago (dominio de dis-

curso = restaurantes clasificados en la revista Chicago).En la afirmacin a), para cada entero positivo n, se obtiene una proposicin; por lo

tanto la afirmacin a) es una funcin proposicional.De manera similar, en la afirmacin b), para cada nmero real x, se obtiene una pro-

posicin; por lo tanto, la afirmacin b) es una funcin proposicional.Se puede ver a la variable en la afirmacin c) como beisbolista. Siempre que se

sustituya un beisbolista especfico en lugar de la variable, la afirmacin es una proposicin.Por ejemplo, si se sustituye Barry Bonds en lugar de beisbolista, la afirmacin c) es

Barry Bonds bate ms de .300 en 2003,

que es verdadera. Si se sustituye Alex Rodrguez en lugar de beisbolista, la afirmacinc) es

Alex Rodrguez bate ms de .300 en 2003,

que es falsa. As, la afirmacin c) es una funcin proposicional.La afirmacin d) es similar en la forma a c); aqu la variable es restaurante. Al sus-

tituir la variable por un restaurante clasificado en la revista Chicago, la afirmacin es unaproposicin. Por ejemplo, si se sustituye Yugo Inn la afirmacin d) es

Yugo Inn tiene ms de dos estrellas en la revista Chicago,

que es falsa. Si se sustituye Le Franais en lugar de restaurante, la afirmacin d) esLe Franais tiene ms de dos estrellas en la revista Chicago,

que es verdadera. As, la afirmacin d) es una funcin proposicional.

Casi todas las afirmaciones en matemticas y ciencias de la computacin usan trmi-nos como para todo y para alguno. Por ejemplo, en matemticas se tiene el siguienteteorema:

Para todo tringulo T, la suma de los ngulos de T es igual a 180.

En ciencias de la computacin, se tiene el siguiente teorema:

Para algn programa P, la salida de P es P mismo.


Ejemplo 1.3.3

g

Ahora se extender el sistema lgico de las secciones 1.1 y 1.2 de manera que las afirma-ciones que incluyen para todo y para alguno sean manejables.

Sea P una funcin proposicional con dominio de discurso D. Se dice que la afirmacin

para toda x, P (x)

es una afirmacin cuantificada universalmente. El smbolo significa para toda, Paracada, Para cualquier. Entonces, la afirmacin

para toda x, P (x)

se escribe

x P (x).El smbolo se llama cuantificador universal.

La afirmacin

x P (x)es verdadera si P(x) es verdadera para toda x en D. La afirmacin

x P (x)es falsa si P(x) es falsa para al menos una x en D.

Considere la afirmacin cuantificada universalmente

x (x2 0)con el conjunto de nmeros reales como dominio de discurso. La afirmacin es verda-dera porque, para todo nmero real x, es cierto que el cuadrado de x es positivo o cero.

De acuerdo con la definicin 1.3.4, la afirmacin cuantificada universalmente

x P (x)es falsa si para al menos una x en el dominio de discurso, la proposicin P(x) es falsa. Unvalor x en el dominio de discurso que hace que P(x) sea falsa se llama contraejemplo dela afirmacin

x P (x).

Considere la afirmacin cuantificada universalmente

x (x2 1 > 0)con el conjunto de los nmeros reales como dominio de discurso. La afirmacin es falsa,ya que si x = 1, la proposicin

12 1 > 0

es falsa. El valor 1 es un contraejemplo de la afirmacinx (x2 1 > 0).

Aunque existen valores de x que hacen que la funcin proposicional sea verdadera, el con-traejemplo muestra que la afirmacin cuantificada universalmente es falsa.


Definicin 1.3.4

Ejemplo 1.3.5

Ejemplo 1.3.6

g

Suponga que P es una funcin proposicional cuyo dominio de discurso consiste en los ele-mentos d1, . . . , dn. El siguiente seudocdigo determina si

x P(x)es verdadera o falsa:

for i = 1 to nif (P(di))

return falsareturn verdadera

El ciclo for examina los miembros di del dominio de discurso uno por uno. Si encuentraun valor di para el que P (di) es falsa, la condicin P (di) en el estatuto if es verdadera;as, el cdigo regresa a falsa [para indicar que x P (x) es falsa] y termina. En este caso, dies un contraejemplo. Si P (di) es verdadera para toda di, la condicin P (di) en el estatutoif es siempre falsa. En este caso, el ciclo for corre hasta completarse, despus de lo cualel cdigo regresa a verdadera [para indicar que x P (x) es verdadera] y termina.

Observe que si x P (x) es verdadera, el ciclo for necesariamente corre hasta el fi-nal, de manera que cada miembro del dominio se verifica para asegurar que P (x) es verda-dera para toda x. Si x P (x) es falsa, el ciclo for termina en cuanto se encuentra unelemento x del dominio de discurso para el que P (x) es falsa.

La variable x en la funcin proposicional P(x) se llama variable libre. (La idea es quex es libre de recorrer el dominio de discurso). La variable x en la afirmacin cuantifica-da universalmente

x P (x) (1.3.1)se llama variable acotada. (La idea es que x est acotada por el cuantificador ).

Se seal ya que una funcin proposicional no tiene valor de verdad. Por otro lado,la definicin 1.3.4 asigna un valor de verdad a la afirmacin cuantificada universalmente(1.3.1). En suma, una afirmacin con variables libres (no cuantificadas) no es una proposi-cin, y una afirmacin sin variables libres (sin variables no cuantificadas) es una propo-sicin.

Otras maneras de escribir

x P (x)son

para toda x, P (x)

y

para cualquier x, P (x).

El smbolo se lee para toda, para todos o para cualquier.Para demostrar que

x P(x)es verdadera debemos, de hecho, examinar todos los valores de x en el dominio de discur-so y demostrar que para toda x, P (x) es cierta. Una tcnica para probar que

x P(x)es verdadera consiste en hacer que x denote un elemento arbitrario del dominio de discur-so D. El argumento procede usando el smbolo x. Cualquier cosa que se asegure acerca de


Ejemplo 1.3.7

El seudocdigo usado en este libro se explica en el apndice C.

g

x debe ser cierto sin importar qu valor pueda tener x en D. El argumento debe concluircon la prueba de que P (x) es verdadera.

Algunas veces, para especificar el dominio de discurso D, se escribe la afirmacincuantificada universalmente como

para toda x en D, P (x).

La afirmacin cuantificada universalmente

para todo nmero real x, si x > 1, entonces x + 1 > 1es verdadera. Esta vez se debe verificar que la afirmacin

si x > 1, entonces x + 1 > 1es verdadera para todo nmero real x.

Sea x cualquier nmero real. Es cierto que para cualquier nmero real x, o bienx 1 o x > 1. Si x 1, la proposicin condicional

si x > 1, entonces x + 1 > 1es trivialmente cierta. (La proposicin es cierta porque la hiptesis x > 1 es falsa. Recuerdeque cuando la hiptesis es falsa, la proposicin condicional es verdadera sin importar si laconclusin es falsa o verdadera). En la mayora de los argumentos, el caso trivial se omite.

Ahora suponga que x > 1. Sea cual fuere el valor especfico de x, x + 1 > x. Comox + 1 > x y x > 1,

se concluye que x + 1 > 1, de manera que la conclusin es verdadera. Si x > 1, la hipte-sis y la conclusin son ambas verdaderas; as, la proposicin condicional

si x > 1, entonces x + 1 > 1es verdadera.

Se ha demostrado que para todo nmero real x, la proposicin

si x > 1, entonces x + 1 > 1es verdadera. Por lo tanto, la afirmacin cuantificada universalmente

para todo nmero real x, si x > 1, entonces x + 1 > 1es verdadera.

El mtodo para desaprobar la afirmacin

x P (x)es bastante diferente del mtodo usado para probar que la afirmacin es verdadera. Para de-mostrar que la afirmacin cuantificada universalmente

x P (x)es falsa, es suficiente encontrar un valor de x en el dominio de discurso para el que la pro-posicin P (x) sea falsa. Tal valor, como se recordar, se llama contraejemplo de la afirma-cin cuantificada universalmente.

Ahora se analizarn las afirmaciones cuantificadas existencialmente.

Sea P una funcin proposicional con dominio de discurso D. Se dice que la afirmacin

existe x, P (x)


Ejemplo 1.3.8

Definicin 1.3.9

g

es una afirmacin cuantificada existencialmente. El smbolo significa existe. As, laafirmacin

existe x, P (x)se escribe

x P (x)El smbolo se llama cuantificador existencial.

La afirmacin

x P (x)es verdadera si P(x) es verdadera para al menos una x en D. La afirmacin

x P (x)es falsa si P(x) es falsa para toda x en D.

Considere la afirmacin cuantificada existencialmente

con el conjunto de nmeros reales como dominio de discurso. La afirmacin es ver-dadera porque es posible encontrar al menos un nmero real x para el que la proposi-cin

es verdadera. Por ejemplo, si x = 2, se obtiene la proposicin verdadera

No ocurre que todo valor de x d una proposicin verdadera. Por ejemplo, si x = 1, la pro-posicin

es falsa.

Segn la definicin 1.3.9, la afirmacin cuantificada existencialmente

x P (x)es falsa si para toda x en el dominio de discurso, la proposicin P (x) es falsa.

Para verificar que la afirmacin cuantificada existencialmente

es falsa, debe demostrarse que

es falsa para todo nmero real x. Ahora


Ejemplo 1.3.10

x(

x

x2 + 1 =25

)

x

x2 + 1 =25

222 + 1 =

25.

112 + 1 =

25

x(

1x2 + 1 > 1

)

1x2 + 1 > 1

1x2 + 1 > 1

Ejemplo 1.3.11

g

es falsa precisamente cuando

es cierta. As, debe demostrarse que

es verdadera para todo nmero real x. Con este fin, sea x cualquier nmero real. Como0 x2, se puede sumar 1 en ambos lados de la desigualdad para obtener 1 x2 + 1. Si sedividen ambos lados de esta desigualdad por x2 + 1, se obtiene

Por lo tanto, la afirmacin

es verdadera para todo nmero real x. Entonces la afirmacin

es falsa para todo nmero real x. Se ha demostrado que la afirmacin cuantificada existen-cialmente

es falsa.

Suponga que P es una funcin proposicional cuyo dominio de discurso consiste en los ele-mentos d1, . . . , dn. El siguiente seudocdigo determina si

x P (x)es verdadera o falsa:

for i = 1 to nif (P (di))

return verdaderareturn falsa

El ciclo for examina los miembros di del dominio de discurso uno por uno. Si encuentraun valor di para el que P(di) es verdadera, la condicin P(di) en el estatuto if es verdade-ra; as, el cdigo regresa a verdadera [para indicar que x P(x) es verdadera] y termina. Eneste caso, el cdigo encuentra un valor en el dominio de discurso, a saber di, para el queP(di) es verdadera. Si P(di) es falsa para toda di, la condicin P(di) en el estatuto if essiempre falsa. En este caso, el ciclo for corre hasta completarse, despus de lo cual, re-gresa a falsa [para indicar que x P(x) es verdadera] y termina.

Observe que si x P(x) es verdadera, el ciclo for termina en cuanto se encuentra unelemento x del dominio de discurso para el que P(x) es verdadera. Si x P(x) es falsa, el ci-clo for corre hasta completarse, de manera que se verifique todo miembro del dominiode discurso para asegurarse de que P(x) es falsa para toda x.

Otras formas de escribir

x P(x)son

existe x tal que, P(x)


Ejemplo 1.3.12

1x2 + 1 1

1x2 + 1 1

1x2 + 1 1.

1x2 + 1 1

1x2 + 1 > 1

x(

1x2 + 1 > 1

)

g

ypara alguna x, P (x)

y

para al menos una x, P (x).

El smbolo se lee como existe, para alguna o para al menos una.

Considere la afirmacin cuantificada existencialmente

para alguna n, si n es primo, entonces n + 1, n + 2, n + 3 y n + 4 no son primoscon el conjunto de enteros positivos como dominio de discurso. Esta afirmacin es verda-dera porque podemos encontrar al menos un entero positivo n para el que la proposicincondicional

si n es primo, entonces n + 1, n + 2, n + 3 y n + 4 no son primoses verdadera. Por ejemplo, si n = 23, se obtienen las proposiciones

si 23 es primo, 24, 25, 26 y 27 no son primos.

(Esta proposicin condicional es verdadera porque tanto la hiptesis 23 es primo comola conclusin 24, 25, 26 y 27 no son primos son verdaderas). Algunos valores de n hacenque la proposicin condicional sea verdadera (por ejemplo, n = 23, n = 4, n = 47), mien-tras que para otros es falsa (como n = 2, n = 101). El hecho es que se encontr un valorque hace que la proposicin condicional

si n es primo, entonces n + 1, n + 2, n + 3 y n + 4 no son primossea v

Matemáticas Discretas

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