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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 1/24 Matemáticas Discretas TC1003 Módulo I: La Condicional Departamento de Matemáticas ITESM

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 1/24

Matemáticas DiscretasTC1003

Módulo I: La CondicionalDepartamento de Matemáticas

ITESM

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 2/24

Introducción

La forma proposicional más importante es lacondicional.

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Introducción

La forma proposicional más importante es lacondicional. También es la que motiva máserrores en su interpretación. Esta formacondicional es la relacionada con la inferencialógica. Revise en su libro de texto condetenimiento todos los conceptos relacionadoscon las condicionales.

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Definición de Forma Condicional

Una forma condicional o simplemente unacondicional es una proposición de la forma:

Si P, entonces Q

Donde P y Q son proposiciones. A P se le llamarála hipótesis de la condicional o antecedente de laproposicional y a Q se le llamará conclusión de lacondicional o consecuente de la proposicional.

En notación matemática la condicional serárepresentada por:

P → Q

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Ejemplos

■ Si n = m, entonces n + m es par.

■ Si n = 0, entonces n + m = m.

■ Si n es múltiplo de 4, entonces n es par.

■ Si Juan pasa con 80 todos los exámenes deDiscretas, entonces Juan acredita Discretas.

■ Si el programa de Juan está correcto, entoncesal ejecutarlo con los datos del profesor producirála salida esperada.

■ Si Tomás resolvió correctamente el problema demate, entonces Tomás obtendrá la respuestacorrecta.

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Alternativas para enunciar P → Q

■ Si P , entonces Q.■ Si P , también Q.■ Si P , Q.■ P implica Q.■ P es suficiente para Q.■ Q cuando P .■ Q cada vez que P .■ Q, si P .■ A fin de que Q, basta que P .■ Q es requerido para que P .■ P sólo si Q.■ Sólo si se cumple Q, se cumple P .

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Observe las construcciones

Q si P y P sólo si Q

la palabra sólo cambia la posición de loselementos de la implicación P → Q. SiP : Tener a tiempo el depósitoQ: Ir a McAllenEn las afirmaciones:■ Noel dijo: Iré a McAllen si tengo a tiempo el

depósito (P → Q). P es una condición suficientepara Q. Noel posiblemente tiene otras manerasde llegar.

■ León dijo: Iré a McAllen sólo si tengo a tiempo eldepósito (Q → P ). P es una condición necesariapara Q. León tiene solo una manera de hacerlo.

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Jerarquía de Operadores

Mayor Jeraquía ¬ ∧ ∨ → Menor Jerarquía

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Tabla de Verdad de la Condicional

p q p → q

F F T

F T T

T F F

T T TNote que■ Si la hipótesis es falsa, la implicación es

verdadera.■ Si la hipótesis es verdadera, la única posibilidad

de que la implicación sea verdadera es que laconclusión sea verdadera.

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Proposicionales complejas con condicionales

Determine la tabla de verdad de: p ∨ ¬q → ¬q.

p q ¬p ¬q p ∨ ¬q p ∨ ¬q → ¬q

F F T T T T

F T T F F T

T F F T T T

T T F F T F

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Proposicionales complejas con condicionales

Determine la tabla de verdad de: p → q ∨ r.

p q r q ∨ r p → q ∨ r

F F F F T

F F T T T

F T F T T

F T T T T

T F F F F

T F T T T

T T F T T

T T T T T

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Equivalencia Básica de la Condicional

Compruebe la equivalencia básica de lacondicional:

p → q ≡ ¬p ∨ q

p q p → q ¬p ¬p ∨ q

F F T T T

F T T T T

T F F F F

T T T F T

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La Negación de la Condicional

La negación de la Condicional:

¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q

p q p → q ¬(p → q) ¬q p ∧ ¬q

F F T F T F

F T T F F F

T F F T T T

T T T F F F

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Casos en la Condicional:Compruebe la equivalencia:

p ∨ q → r ≡ (p → r) ∧ (q → r)

p q r p ∨ q p ∨ q → r p → r q → r (p → r) ∧

(q → r)

F F F F T T T T

F F T F T T T T

F T F T F T F F

F T T T T T T T

T F F T F F T F

T F T T T T T T

T T F T F F F F

T T T T T T T T

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Variantes de una Condicional

Suponga una condicional P → Q. Otrascondicionales importantes construidas a partir deella son:■ La recírpoca (converse):

Q → P

■ La contrapositiva (contrapositive):

¬Q → ¬P

■ La inversa (inverse):

¬P → ¬Q

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Ejemplos de las variantes de una condicional

SiP : Hoy es viernes santo.Q : Mañana es día sábado.

y supongamos que R representa P → Q. Entonces■ La contrapositiva de R es: Si mañana no es día

sábado, entonces hoy no es viernes santo.■ La recíproca de R es: Si mañana es día sábado,

entonces hoy es viernes santo.■ La inversa de R es: Si hoy no es viernes santo,

entonces mañana no es día sábado.

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 16/24

Ejemplos de las variantes de una condicional

SiP : ABCD es un cuadrado.Q : ABCD es un rectángulo.

y supongamos que R representa P → Q. Entonces■ La contrapositiva de R es: Si ABCD no es un

rectángulo, entonces ABCD no es un cuadrado.■ La recíproca de R es: Si ABCD es un rectángulo,

entonces ABCD es un cuadrado.■ La inversa de R es: Si ABCD no es un cuadrado,

entonces ABCD no es un rectángulo.

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Ejemplos de las variantes de una condicional

SiP : Tomás siguó al pie de la letra las instrucciones.Q : Tomás llegó a su destino.

y supongamos que R representa P → Q. Entonces■ La contrapositiva de R es: Si Tomás no llegó a

su destino, entonces Tomás no siguió al pie de laletra las instrucciones.

■ La recíproca de R es: Si Tomás llegó a sudestino, entonces Tomás siguió al pie de la letralas instrucciones.

■ La inversa de R es: Si Tomás no siguió al pie dela letra las instrucciones, entonces Tomás nollegó a su destino.

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Tabla de verdad de una Condicional y su variantesp q ¬p ¬q p → q q → p ¬p → ¬q ¬q → ¬p

F F T T T T T T

F T T F T F F T

T F F T F T T F

T T F F T T T T

La condicional y su contrapositiva sı son equivalentes:

p → q ≡ ¬q → ¬p

La condicional y su recíproca no son equivalentes:

p → q 6≡ q → p

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Segunda vista de es requisito para

Cuando se dice

A es un requisito para B

Se está diciendo que:

Si no se cumple A, entonces no se cumple B

Es decir,¬A → ¬B

Esta es la contrapositiva de

B → A

Por ello es que

A es un requisito para B se convierte enB→A

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 20/24

Segunda vista de sólo si

Cuando se dice

A sólo si B

Se está diciendo que:

Si no se cumple B, entonces no se cumple A

Es decir,¬B → ¬A

Esta es la contrapositiva de

A → B

Por ello es que

A sólo si B se convierte en A → B

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La Bicondicional

Una forma bicondicional es una proposición de laforma:

P si y solamente si Q

donde P y Q son proposiciones. Esta proposiciónserá representada con la notación:

P ↔ Q

Esta proposición es verdadera si P y Q tienen losmismos valores de verdad (verdadero o falso).

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Tabla de Verdad de la Bicondicional

p q p ↔ q

F F T

F T F

T F F

T T T

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 23/24

Variantes de estilo de la bicondicional

■ Si P entonces Q, y recíprocamente, si Q

entonces P .■ Si P entonces Q, y recíprocamente.■ Si P , y sólo entonces, Q.■ P si Q, y sólo entonces.■ P si y sólo si Q.■ A fin de que P es necesario y suficiente que Q.

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Temas Vistos

■ La proposición condicional■ Conversión de Texto a FBF con la condicional■ Equivalencias de la condicional■ Variantes de la condicional: La contrapositiva, la

recíproca y la inversa.■ La bicondicional