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Matemáticas DiscretasTC1003

POL: Predicados y CuantificadoresDepartamento de Matemáticas

ITESM

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

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Introducción

La Lógica de Predicados o Lógica de PrimerOrden (POL o FOL) es una extensión de LógicaProposicional. Todo las las equivalencias y reglasde inferencia vistas en la lógica proposicionalsiguen siendo válidas en la lógica de predicados.En esta lectura introduciremos dos elementos queestablecen la diferencia entre la lógicaproposicional y la lógica de predicados: elconcepto de predicado y el de cuantificador.

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Predicados

Definici onUn predicado es una sentencia declarativa quecontiene un número definido de variables y que sevuelve en una proposición cuando las variablesson sustituidas por valores.

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Predicados

Definici onUn predicado es una sentencia declarativa quecontiene un número definido de variables y que sevuelve en una proposición cuando las variablesson sustituidas por valores. El dominio de unpredicado es el conjunto de todos los valores quepueden ser sustituidos en las variables.

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Ejemplo 1

Ejemplo

Sea P (x) el predicado con dominio los númeroreales:

P (x) = x2 ≤ 10

Identifique cuáles opciones contienenafirmaciones verdaderas:1. P (−2)

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Ejemplo 1

Ejemplo

Sea P (x) el predicado con dominio los númeroreales:

P (x) = x2 ≤ 10

Identifique cuáles opciones contienenafirmaciones verdaderas:1. P (−2) Verdadera: (−2)2 = 4 ≤ 10.2. P (−6)

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Ejemplo 1

Ejemplo

Sea P (x) el predicado con dominio los númeroreales:

P (x) = x2 ≤ 10

Identifique cuáles opciones contienenafirmaciones verdaderas:1. P (−2) Verdadera: (−2)2 = 4 ≤ 10.2. P (−6) Falsa: (−6)2 = 36 6≤ 10.

3. P (1

2)

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Ejemplo 1

Ejemplo

Sea P (x) el predicado con dominio los númeroreales:

P (x) = x2 ≤ 10

Identifique cuáles opciones contienenafirmaciones verdaderas:1. P (−2) Verdadera: (−2)2 = 4 ≤ 10.2. P (−6) Falsa: (−6)2 = 36 6≤ 10.

3. P (1

2) Verdadera: (1/2)2 = 1/4 ≤ 10.

4. P (2)

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Ejemplo 1

Ejemplo

Sea P (x) el predicado con dominio los númeroreales:

P (x) = x2 ≤ 10

Identifique cuáles opciones contienenafirmaciones verdaderas:1. P (−2) Verdadera: (−2)2 = 4 ≤ 10.2. P (−6) Falsa: (−6)2 = 36 6≤ 10.

3. P (1

2) Verdadera: (1/2)2 = 1/4 ≤ 10.

4. P (2) Verdadera: (2)2 = 4 ≤ 10.5. P (−4)

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Ejemplo 1

Ejemplo

Sea P (x) el predicado con dominio los númeroreales:

P (x) = x2 ≤ 10

Identifique cuáles opciones contienenafirmaciones verdaderas:1. P (−2) Verdadera: (−2)2 = 4 ≤ 10.2. P (−6) Falsa: (−6)2 = 36 6≤ 10.

3. P (1

2) Verdadera: (1/2)2 = 1/4 ≤ 10.

4. P (2) Verdadera: (2)2 = 4 ≤ 10.5. P (−4) Falsa: (−4)2 = 16 6≤ 10.

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Ejemplo 2

Ejemplo

Sea P (x, y) el predicado:

P (x, y) = Si x < y, entonces x2 < y2.

Con dominio para x y para y todo el conjunto delos números reales. Identifique cuáles opcionescontienen afirmaciones verdaderas:1. P (3, 2)

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Ejemplo 2

Ejemplo

Sea P (x, y) el predicado:

P (x, y) = Si x < y, entonces x2 < y2.

Con dominio para x y para y todo el conjunto delos números reales. Identifique cuáles opcionescontienen afirmaciones verdaderas:1. P (3, 2) : (3 < 2) → (9 < 4): verdadera.2. P (−2, 1)

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Ejemplo 2

Ejemplo

Sea P (x, y) el predicado:

P (x, y) = Si x < y, entonces x2 < y2.

Con dominio para x y para y todo el conjunto delos números reales. Identifique cuáles opcionescontienen afirmaciones verdaderas:1. P (3, 2) : (3 < 2) → (9 < 4): verdadera.2. P (−2, 1) : (−2 < 1) → (4 < 1): falsa.3. P (−3, 1)

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Ejemplo 2

Ejemplo

Sea P (x, y) el predicado:

P (x, y) = Si x < y, entonces x2 < y2.

Con dominio para x y para y todo el conjunto delos números reales. Identifique cuáles opcionescontienen afirmaciones verdaderas:1. P (3, 2) : (3 < 2) → (9 < 4): verdadera.2. P (−2, 1) : (−2 < 1) → (4 < 1): falsa.3. P (−3, 1) : (−3 < 1) → (9 < 1): falsa.

4. P (1

2, 1)

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Ejemplo 2

Ejemplo

Sea P (x, y) el predicado:

P (x, y) = Si x < y, entonces x2 < y2.

Con dominio para x y para y todo el conjunto delos números reales. Identifique cuáles opcionescontienen afirmaciones verdaderas:1. P (3, 2) : (3 < 2) → (9 < 4): verdadera.2. P (−2, 1) : (−2 < 1) → (4 < 1): falsa.3. P (−3, 1) : (−3 < 1) → (9 < 1): falsa.

4. P (1

2, 1) : (1/2 < 1) → (1/4 < 1): cierta.

5. P (1,−3)

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Ejemplo 2

Ejemplo

Sea P (x, y) el predicado:

P (x, y) = Si x < y, entonces x2 < y2.

Con dominio para x y para y todo el conjunto delos números reales. Identifique cuáles opcionescontienen afirmaciones verdaderas:1. P (3, 2) : (3 < 2) → (9 < 4): verdadera.2. P (−2, 1) : (−2 < 1) → (4 < 1): falsa.3. P (−3, 1) : (−3 < 1) → (9 < 1): falsa.

4. P (1

2, 1) : (1/2 < 1) → (1/4 < 1): cierta.

5. P (1,−3) : (1 < −3) → (1 < 9): cierta.

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Cuantificador Universal: ∀

Definici onSea Q(x) un predicado y D el dominio de Q.

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Cuantificador Universal: ∀

Definici onSea Q(x) un predicado y D el dominio de Q. Unaafirmación universal es una declaración de laforma:

∀x ∈ D,Q(x)

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Cuantificador Universal: ∀

Definici onSea Q(x) un predicado y D el dominio de Q. Unaafirmación universal es una declaración de laforma:

∀x ∈ D,Q(x)

Y es definida a ser verdadera si y sólo si Q(x) esverdadera para todo elemento x que está en eldominio D.

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Cuantificador Universal: ∀

Definici onSea Q(x) un predicado y D el dominio de Q. Unaafirmación universal es una declaración de laforma:

∀x ∈ D,Q(x)

Y es definida a ser verdadera si y sólo si Q(x) esverdadera para todo elemento x que está en eldominio D. La afirmación es falsa si y sólo si Q(x)es falsa al menos para un elemento x del dominio.

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Cuantificador Universal: ∀

Definici onSea Q(x) un predicado y D el dominio de Q. Unaafirmación universal es una declaración de laforma:

∀x ∈ D,Q(x)

Y es definida a ser verdadera si y sólo si Q(x) esverdadera para todo elemento x que está en eldominio D. La afirmación es falsa si y sólo si Q(x)es falsa al menos para un elemento x del dominio.Un elemento x para el cual Q(x) es falsa se llamacontraejemplo a la afirmación universal.

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Cuantificador Universal: ∀

Definici onSea Q(x) un predicado y D el dominio de Q. Unaafirmación universal es una declaración de laforma:

∀x ∈ D,Q(x)

Y es definida a ser verdadera si y sólo si Q(x) esverdadera para todo elemento x que está en eldominio D. La afirmación es falsa si y sólo si Q(x)es falsa al menos para un elemento x del dominio.Un elemento x para el cual Q(x) es falsa se llamacontraejemplo a la afirmación universal.

Note también que ∀ se traduce en una conjunción:Si por ejemplo D = {1, a, e} entonces

∀x ∈ D, Q(x) ≡ Q(1) ∧ Q(a) ∧ Q(e)

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Cuantificador existencial: ∃

Definici onSea Q(x) un predicado con cominio D.

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Cuantificador existencial: ∃

Definici onSea Q(x) un predicado con cominio D. Unaafirmación existencial es una declaración de laforma:

∃x ∈ D, Q(x)

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Cuantificador existencial: ∃

Definici onSea Q(x) un predicado con cominio D. Unaafirmación existencial es una declaración de laforma:

∃x ∈ D, Q(x)

Y es definida a ser verdadera si y sólo si existe enel dominio D al menos un valor de x para el cualQ(x) es verdadera.

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Cuantificador existencial: ∃

Definici onSea Q(x) un predicado con cominio D. Unaafirmación existencial es una declaración de laforma:

∃x ∈ D, Q(x)

Y es definida a ser verdadera si y sólo si existe enel dominio D al menos un valor de x para el cualQ(x) es verdadera. A este valor lo referiremos a unejemplo para la afirmación existencial.

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Cuantificador existencial: ∃

Definici onSea Q(x) un predicado con cominio D. Unaafirmación existencial es una declaración de laforma:

∃x ∈ D, Q(x)

Y es definida a ser verdadera si y sólo si existe enel dominio D al menos un valor de x para el cualQ(x) es verdadera. A este valor lo referiremos a unejemplo para la afirmación existencial. Laafirmación será falsa si para todo x en el dominioQ(x) es falsa.

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Cuantificador existencial: ∃

Definici onSea Q(x) un predicado con cominio D. Unaafirmación existencial es una declaración de laforma:

∃x ∈ D, Q(x)

Y es definida a ser verdadera si y sólo si existe enel dominio D al menos un valor de x para el cualQ(x) es verdadera. A este valor lo referiremos a unejemplo para la afirmación existencial. Laafirmación será falsa si para todo x en el dominioQ(x) es falsa.

Note también que ∃ se traduce en una disjunción:Si por ejemplo D = {1, a, e} entonces

∃x ∈ D, Q(x) ≡ Q(1) ∨ Q(a) ∨ Q(e)

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■ El símbolo ∀ se llama cuantificador universal.

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■ El símbolo ∀ se llama cuantificador universal.■ El símbolo ∃ se llama cuantificador existencial.

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■ El símbolo ∀ se llama cuantificador universal.■ El símbolo ∃ se llama cuantificador existencial.Nota

Cuando esté claro cual es el dominio delpredicado se omitirá la referencia al conjunto.Es decir,

∀x ∈ D,P (x) se escribirá ∀x, P (x)

∃x ∈ D,P (x) se escribirá ∃x, P (x)

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Ejemplo 3

Veamos un ejemplo que involucra situacionessimplificadas conocido como el mundo de Tarski.

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Considere:a

b c

d

g

e

f

Y los predicados:Azul(t) = t es de color azul.

Rojo(t) = t es de color rojo.

Triangulo(t) = t es un triángulo .

Cuadrado(t) = t es un cuadrado.

Circulo(t) = t es un círculo.

Indique cuáles afirmacionesson verdaderas:1. ∀ t, Circulo(t) ∨ Rojo(t)

2. ∃ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t)

3. ∀ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t)

4. ∀ t, Triangulo(t) ∨ Rojo(t)

5. ∃ t, Cuadrado(t) ∧ Azul(t)

Soluciones :

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Con los predicados y la figura generamos la tabla:t Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo

a T F T F F

b T F T F F

c F T F F T

d F T F T F

e F T F T F

f F T F T F

g F T F F T

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Para la afirmación:

∀ t, Circulo(t) ∨ Rojo(t)

los datost Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Circulo (t) ∨ Rojo (t)

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T T

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T T

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Para la afirmación:

∀ t, Circulo(t) ∨ Rojo(t)

los datost Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Circulo (t) ∨ Rojo (t)

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T T

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T T

nos indican que la afirmación es falsa

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 12/25

Para la afirmación:

∀ t, Circulo(t) ∨ Rojo(t)

los datost Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Circulo (t) ∨ Rojo (t)

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T T

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T T

nos indican que la afirmación es falsa: a y b soncontraejemplos.

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Para la afirmación:

∃ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t)

los datost Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado (t) ∧ Rojo (t)

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T F

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T F

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Para la afirmación:

∃ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t)

los datost Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado (t) ∧ Rojo (t)

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T F

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T F

nos indican que la afirmación es cierta

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 13/25

Para la afirmación:

∃ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t)

los datost Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado (t) ∧ Rojo (t)

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T F

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T F

nos indican que la afirmación es cierta: d, e y f son ejemplos.

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Para la afirmación:

∀ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t)

los datost Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado (t) ∧ Rojo (t)

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T F

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T F

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 14/25

Para la afirmación:

∀ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t)

los datost Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado (t) ∧ Rojo (t)

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T F

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T F

nos indican que la afirmación es falsa

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 14/25

Para la afirmación:

∀ t, Cuadrado(t) ∧ Rojo(t)

los datost Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado (t) ∧ Rojo (t)

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T F

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T F

nos indican que la afirmación es falsa: a, b, c y g soncontraejemplos.

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Para la afirmación:

∀ t, Triangulo(t) ∨ Rojo(t)

los datost Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Triangulo (t) ∨ Rojo (t)

a T F T F F T

b T F T F F T

c F T F F T T

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T T

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Para la afirmación:

∀ t, Triangulo(t) ∨ Rojo(t)

los datost Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Triangulo (t) ∨ Rojo (t)

a T F T F F T

b T F T F F T

c F T F F T T

d F T F T F T

e F T F T F T

f F T F T F T

g F T F F T T

nos indican que la afirmación es cierta.

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Para la afirmación:

∃ t, Cuadrado(t) ∧ Azul(t)

los datost Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado (t) ∧ Azul (t)

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T F

d F T F T F F

e F T F T F F

f F T F T F F

g F T F F T F

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Para la afirmación:

∃ t, Cuadrado(t) ∧ Azul(t)

los datost Azul Rojo Triangulo Cuadrado Circulo Cuadrado (t) ∧ Azul (t)

a T F T F F F

b T F T F F F

c F T F F T F

d F T F T F F

e F T F T F F

f F T F T F F

g F T F F T F

nos indican que la afirmación es falsa.

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

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Ejemplo 4

Veamos un ejemplo que involucra bases de datos.

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Ejemplo

Considere los datos:Nombre Carrera Edad Hobby

Juan ITEC 21 Leer

María IMA 20 Música

Tomás IIS 23 Futbol

Lalo LATI 22 Anime

Luis IFI 21 Leer

Soledad LCC 24 Futbol

Nuestro dominio consiste delas personas Juan, María, To-más, Lalo, Luis, y Soledad.

Indique cuáles afirmacionesson verdaderas:1. ∃x, x es menor de 19 años.

2. ∃x, x tiene como hobby el correr.

3. ∀x, x tiene como hobby leer o x eshombre.

4. ∀x, si x tiene como hobby la músicaentonces x es mujer.

5. ∃x, x tiene como carrera Letras.

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

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De acuerdo a las preguntas, en este ejemploconviene definir los predicados:

M19(t) = t tiene menos de 19 años.Co(t) = t tiene como hobby correr.

Leer(t) = t tiene como hobby leer.Mus(t) = t tiene como hobby la música.

H(t) = t es un hombre.M(t) = t es un mujer.

Letras(t) = t tiene como carrera Letras.

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

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De acuerdo a los predicados, tendríamos lasiguiente tabla:

M19 C Leer Mus H M Letras

Juan F F T F T F F

María F F F T F T F

Tomás F F F F T F F

Lalo F F F F T F F

Luis F F T F T F F

Soledad F F F F F T F

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

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De acuerdo a los predicados, tendríamos lasiguiente tabla:

M19 C Leer Mus H M Letras

Juan F F T F T F F

María F F F T F T F

Tomás F F F F T F F

Lalo F F F F T F F

Luis F F T F T F F

Soledad F F F F F T F

■ ∃x, x es menor de 19 años es falsa.

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 20/25

De acuerdo a los predicados, tendríamos lasiguiente tabla:

M19 C Leer Mus H M Letras

Juan F F T F T F F

María F F F T F T F

Tomás F F F F T F F

Lalo F F F F T F F

Luis F F T F T F F

Soledad F F F F F T F

■ ∃x, x es menor de 19 años es falsa.■ ∃x, x tiene como carrera Letras es falsa.

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

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De acuerdo a los predicados, tendríamos lasiguiente tabla:

M19 C Leer Mus H M Letras

Juan F F T F T F F

María F F F T F T F

Tomás F F F F T F F

Lalo F F F F T F F

Luis F F T F T F F

Soledad F F F F F T F

■ ∃x, x es menor de 19 años es falsa.■ ∃x, x tiene como carrera Letras es falsa.■ ∃x, x tiene como hobyy correr es falsa.

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 21/25

Para la afirmación:

∀x, x tiene como hobby leer o x es hombre

los datos:

t M19 C Leer Mus H M Letras Leer(t) ∨ H(t)

Juan F F T F T F F T

María F F F T F T F F

Tomás F F F F T F F T

Lalo F F F F T F F T

Luis F F T F T F F T

Soledad F F F F F T F F

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 21/25

Para la afirmación:

∀x, x tiene como hobby leer o x es hombre

los datos:

t M19 C Leer Mus H M Letras Leer(t) ∨ H(t)

Juan F F T F T F F T

María F F F T F T F F

Tomás F F F F T F F T

Lalo F F F F T F F T

Luis F F T F T F F T

Soledad F F F F F T F F

indican que es falsa: María y Soledad son loscontraejemplos.

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 22/25

Para la afirmación:

∀x, si x tiene como hobby la música, entonces x es mujer.

los datosM19 C Leer Mus H M Letras Mus → M

Juan F F T F T F F T

María F F F T F T F T

Tomás F F F F T F F T

Lalo F F F F T F F T

Luis F F T F T F F T

Soledad F F F F F T F T

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 22/25

Para la afirmación:

∀x, si x tiene como hobby la música, entonces x es mujer.

los datosM19 C Leer Mus H M Letras Mus → M

Juan F F T F T F F T

María F F F T F T F T

Tomás F F F F T F F T

Lalo F F F F T F F T

Luis F F T F T F F T

Soledad F F F F F T F T

indican que es verdadera.

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 22/25

Para la afirmación:

∀x, si x tiene como hobby la música, entonces x es mujer.

los datosM19 C Leer Mus H M Letras Mus → M

Juan F F T F T F F T

María F F F T F T F T

Tomás F F F F T F F T

Lalo F F F F T F F T

Luis F F T F T F F T

Soledad F F F F F T F T

indican que es verdadera.No te que la clave es que F → X es T.

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 23/25

De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃

■ Todos los A son B:

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 23/25

De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃

■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 23/25

De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃

■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B

■ Cada A es B :

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 23/25

De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃

■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B

■ Cada A es B : ∀x, x es A → x es B

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 23/25

De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃

■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B

■ Cada A es B : ∀x, x es A → x es B

■ Ningún A es B :

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 23/25

De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃

■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B

■ Cada A es B : ∀x, x es A → x es B

■ Ningún A es B : ∀x, x es A → x no es B

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 23/25

De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃

■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B

■ Cada A es B : ∀x, x es A → x es B

■ Ningún A es B : ∀x, x es A → x no es B

■ Existe un A que es B :

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 23/25

De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃

■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B

■ Cada A es B : ∀x, x es A → x es B

■ Ningún A es B : ∀x, x es A → x no es B

■ Existe un A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 23/25

De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃

■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B

■ Cada A es B : ∀x, x es A → x es B

■ Ningún A es B : ∀x, x es A → x no es B

■ Existe un A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B

■ Hay algún A que es B :

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 23/25

De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃

■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B

■ Cada A es B : ∀x, x es A → x es B

■ Ningún A es B : ∀x, x es A → x no es B

■ Existe un A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B

■ Hay algún A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 23/25

De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃

■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B

■ Cada A es B : ∀x, x es A → x es B

■ Ningún A es B : ∀x, x es A → x no es B

■ Existe un A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B

■ Hay algún A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B

■ Algún A es B :

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 23/25

De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃

■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B

■ Cada A es B : ∀x, x es A → x es B

■ Ningún A es B : ∀x, x es A → x no es B

■ Existe un A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B

■ Hay algún A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B

■ Algún A es B : ∃x, x es A ∧ x es B

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 23/25

De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃

■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B

■ Cada A es B : ∀x, x es A → x es B

■ Ningún A es B : ∀x, x es A → x no es B

■ Existe un A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B

■ Hay algún A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B

■ Algún A es B : ∃x, x es A ∧ x es B

■ Algunos A son B :

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 23/25

De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃

■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B

■ Cada A es B : ∀x, x es A → x es B

■ Ningún A es B : ∀x, x es A → x no es B

■ Existe un A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B

■ Hay algún A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B

■ Algún A es B : ∃x, x es A ∧ x es B

■ Algunos A son B : ∃x, x es A ∧ x es B

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 23/25

De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃

■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B

■ Cada A es B : ∀x, x es A → x es B

■ Ningún A es B : ∀x, x es A → x no es B

■ Existe un A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B

■ Hay algún A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B

■ Algún A es B : ∃x, x es A ∧ x es B

■ Algunos A son B : ∃x, x es A ∧ x es B

■ Entre todos los A alguno es B :

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 23/25

De Texto a FBF: Variantes de ∀ y ∃

■ Todos los A son B: ∀x, x es A → x es B

■ Cada A es B : ∀x, x es A → x es B

■ Ningún A es B : ∀x, x es A → x no es B

■ Existe un A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B

■ Hay algún A que es B : ∃x, x es A ∧ x es B

■ Algún A es B : ∃x, x es A ∧ x es B

■ Algunos A son B : ∃x, x es A ∧ x es B

■ Entre todos los A alguno es B :∃x, x es A ∧ x es B

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Ejemplo

Para la afirmación:

∀x, si x es político, entonces x es un buen conversador

Usando los predicados■ P (x) = x es político y■ C(x) = x es un buen conversador,indique cuáles expresiones describen la afirmación:1. Entre todos los políticos, algunos son buenos

conversadores.

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 24/25

Ejemplo

Para la afirmación:

∀x, si x es político, entonces x es un buen conversador

Usando los predicados■ P (x) = x es político y■ C(x) = x es un buen conversador,indique cuáles expresiones describen la afirmación:1. Entre todos los políticos, algunos son buenos

conversadores.

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 24/25

Ejemplo

Para la afirmación:

∀x, si x es político, entonces x es un buen conversador

Usando los predicados■ P (x) = x es político y■ C(x) = x es un buen conversador,indique cuáles expresiones describen la afirmación:1. Entre todos los políticos, algunos son buenos

conversadores. No2. Todo político es un buen conversador. Sí3. Cada político es un buen conversador.

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 24/25

Ejemplo

Para la afirmación:

∀x, si x es político, entonces x es un buen conversador

Usando los predicados■ P (x) = x es político y■ C(x) = x es un buen conversador,indique cuáles expresiones describen la afirmación:1. Entre todos los políticos, algunos son buenos

conversadores. No2. Todo político es un buen conversador. Sí3. Cada político es un buen conversador. Sí4. Algunos buenos conversadores son políticos.

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 24/25

Ejemplo

Para la afirmación:

∀x, si x es político, entonces x es un buen conversador

Usando los predicados■ P (x) = x es político y■ C(x) = x es un buen conversador,indique cuáles expresiones describen la afirmación:1. Entre todos los políticos, algunos son buenos

conversadores. No2. Todo político es un buen conversador. Sí3. Cada político es un buen conversador. Sí4. Algunos buenos conversadores son políticos. No5. Cualquier político es un buen conversador.

POL: Predicados y Cuantificadores Matemáticas Discretas - p. 24/25

Ejemplo

Para la afirmación:

∀x, si x es político, entonces x es un buen conversador

Usando los predicados■ P (x) = x es político y■ C(x) = x es un buen conversador,indique cuáles expresiones describen la afirmación:1. Entre todos los políticos, algunos son buenos

conversadores. No2. Todo político es un buen conversador. Sí3. Cada político es un buen conversador. Sí4. Algunos buenos conversadores son políticos. No5. Cualquier político es un buen conversador. Sí

IntroduccionPredicadosEjemplo 1Ejemplo 2CuantificadorUniversalCuantificadorExistencialEjemplo 3Ejemplo 4ConversionSumario

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Temas Vistos

■ Concepto de Predicado■ Dominio de un Predicado■ Cuantificador Universal■ Cuantificador Existencial■ Cuándo son verdaderas afirmaciones con

cuantificadores■ Ejemplos con el Mundo de Tarski y con Bases de

Datos■ Conversión de Textos usando cuantificadores