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Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 1/28

Matemáticas DiscretasTC1003

Teoría de Conjuntos: Definiciones BásicasDepartamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes

ITESM

IntroduccionConjuntoConstruccion- por extension- por intencionConceptos- x ∈ A- A ⊆ B- A ⊂ BOjo con∈ y ⊆- A ≃ B- ∅Ojo con∅-A ∪ B- A ∩ B- A − B- Ac

- P(A)- A × B


Introducción

En esta lectura veremos la teoría elemental deconjuntos. Esto incluye cómo se definen y cuálesson las operaciones básicas. Un aspecto queintentamos enfatizar es cómo elaborar la teoría deconjuntos haciendo uso de la lógica matemática.


- P(A)- A × B


Definición de Conjunto

DefinicionUn conjunto es una colección o familia de objetos.


- P(A)- A × B


Definición de Conjunto

DefinicionUn conjunto es una colección o familia de objetos.Las llaves { } tendrán un uso muy especial y único:servirán para definir un conjunto. Para ningunaotra cosa más.


- P(A)- A × B


Formas de Construir o Definir Conjuntos

Manejaremos dos formas de constrir conjuntos:■ Definición de un conjunto por extensión.■ Definición de un conjunto por intención.


- P(A)- A × B


Definición por Extensión

DefinicionConstruir o definir un conjunto por extensiónconsiste en declarar todos lo elementos que loforman.Ejemplo

{Rosana, Sakura, María del Carmen, VitoCorleone, Pedro }


- P(A)- A × B


Definición por Intención

DefinicionConstruir o definir un conjunto por intenciónconsiste en declarar cuáles elementos de un ciertoconjunto son seleccionados. Esto se lleva a cabopor una propiedad o predicado P(x).

{x ∈ D|P(x)}

Ejemplo

{x ∈ R | − 2 < x}

“Todos aquellos números reales que son mayoresque -2.”


- P(A)- A × B


Conceptos

Veamos los conceptos básicos sobre teoría deconjuntos.


- P(A)- A × B


Pertenencia a un Conjunto

DefinicionUn objeto x se dice pertenecer o ser elemento oestar en un conjunto A si■ cuando el conjunto A está definido por extensión

cuando el elemento x aparece en la lista deelementos del conjunto A

■ cuando el conjunto A está definido por intencióncuando el elemento x es tomado del universo deldiscurso y cumple la propiedad establecida paraA


- P(A)- A × B


EjemploIndique cuáles opciones contienen elementos delconjunto:

A = { Rosana, Sakura, María del Carmen, Vito Corleone, Pedro}

1. Jonas : Jonas < A

2. Tomás Tomás3. Agrin4. Lucía5. Pedro :Pedro ∈ A

6. Pablo Morales


- P(A)- A × B


EjemploIndique cuáles opciones contienen elementos delconjunto:

{x ∈ Z| − 2 < x < 5}

1. 3 : 3 ∈ A pues 3 es entero y comple −2 < 3 < 5

2. 6 : 6 < A pues −2 < 6 ≮ 5

3. -3 :−3 < A pues −2 ≮ −3 < 5

4. 1.5 : 1.5 < A pues 1.5 no es entero.


- P(A)- A × B


Definición de Subconjunto

DefinicionDiremos que un conjunto A es un subconjunto deel conjunto B y lo simbolizaremos

A ⊆ B

si todo elemento de A es también elemento de B.Observe que de la definición se tiene la siguienteequivalencia:

A ⊆ B ≡ ∀x, x ∈ A→ x ∈ B

Y negando lo anterior:

A * B ≡ ∃x, x ∈ A ∧ x < B


- P(A)- A × B


EjemploEn referencia a los conjuntosN El conjunto de los números enteros positivosZ El conjunto de los enterosR El conjunto de los números realesQ El conjunto de los números racionales o fraccionarios

Se tiene:1. N ⊆ Z

2. Z ⊆ Q

3. Q ⊆ R

4. Z * N

5. Q * Z

6. R * Q


- P(A)- A × B


Definición de Subconjunto Propio

DefinicionDiremos que un conjunto A es un subconjuntopropio de el conjunto B y lo simbolizaremos

A ⊂ B

si todo elemento de A es también elemento de B yademás existe un elemento de b que no eselemento de A.

A ⊂ B ≡ (A ⊆ B) ∧ (B * A)


- P(A)- A × B


EjemploEn referencia a los conjuntos N,Z,Q,R:1. N ⊂ Z

2. Z ⊂ Q

3. Q ⊂ R


- P(A)- A × B


EjemploSi

A = {c, d, f , i}

B = {a, f }

C = {c, i}

Indique cuáles afirmaciones son verdaderas:(a) B ⊆ B :(b) B ⊂ B

(c) C ⊆ B

(d) C ⊆ A(a) cierto pues todo elemento de B es elemento de B. (b) Falso,

pues ⊂ no tolera la igualdad. (c) Falso, pues existe un elemento en

C, a saber i, que no es elemento de B. (d) Cierto, pues todo

elemento de C, tanto c como i, son elementos de A.


- P(A)- A × B


Cuidado con la Notación

EjemploIndique cuáles opciones contienen afirmaciones falsas:1. c ⊂ {c}

2. {c} ⊆ {a, b, {c}}

3. {c} ∈ {a, b, {c}}

4. {c} ∈ {{c}}

5. {c} ⊆ {{c}}

1. Falsa: Note que X ⊂ y se usa para cuando x es conjunto y Y es

conjunto. 2. Falsa: Para revisar si se tiene ⊆ se deben tomar los

elementos de {c}, el único es c y ver si son elementos de {a, b, {c}},

pero no es elemento: el conjunto formado con c sí es elemento pero

c no. 3. Cierta: {c} es un elemento de {a, b, {c}}, es el último

elemento. 4. Cierta: {c} efectivamente es elemento de {{c}} (es el

único elemento!) 5. Falsa: el elemento c no es elemento de {{c}}, el

que sí es elemento es {c}.


- P(A)- A × B


Igualdad entre conjuntos

DefinicionDos conjuntos A y B se dicen iguales si poseen losmismos elementos. Es decir, todos los elementosde A son elementos de B y todos los elementos deB son también elementos de A. En términosformales:

A = B ≡ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)


- P(A)- A × B


EjemploIndique cuáles opciones contienen afirmacionesciertas para los conjuntos:a) D = {a, b, e, f }

b) A = {a, a, f , g, e, g}

c) C = { f , g, a, e}

d) B = { f , b, a, e}Entre:1. D = C

2. C = A

3. D = B

4. D = A

1. es falsa, pues D * C debido a que b ∈ D y b < C. 2. es cierta,

pues todo elemento de A (tanto a, como f , como g, y como e) están

en C y recíprocamente. 3. es cierta, por el mismo tipo de razón que

2. 4. es falsa, pues b ∈ D y b < A.


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El conjunto Vacío

DefinicionEl conjunto que no tiene ningún elemento sellamará el conjunto vacío.Y se simbolizará por:

∅


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Ojo con la notación

EjemploIndique cuáles opciones contienen afirmacionesfalsas:1. ∅ ∈ {∅} Cierto: aparece como elemento.2. ∅ ⊆ {∅} Cierto: el vacío es subconjunto de

cualquiera3. ∅ ⊂ {∅} Cierto4. ∅ ⊂ ∅ Falso5. 0 = ∅ Falso


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Operaciones entre conjuntos: Unión

DefinicionSean A y B dos conjuntos. La unión de A con B esel conjunto de aquellos elementos que están en Ao que están en B. Este conjunto se simbolizará por

A ∪ B

Asíx ∈ A ∪ B ≡ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)


- P(A)- A × B


Operaciones entre conjuntos: Intersección

DefinicionSean A y B dos conjuntos. La intersección de Acon B es el conjunto de aquellos elementos queestán en A y que están en B. Este conjunto sesimbolizará por

A ∩ B

Asíx ∈ A ∩ B ≡ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)


- P(A)- A × B


Operaciones entre conjuntos: Diferencia

DefinicionSean A y B dos conjuntos. La diferencia de A con Bes el conjunto de aquellos elementos que están enA y que no están en B. (el orden diferencia decon importa). Este conjunto se simbolizará por

A − B

Asíx ∈ A − B ≡ (x ∈ A) ∧ (x < B)


- P(A)- A × B


Operaciones entre conjuntos: Complemento

DefinicionSea A un subconjunto de un conjunto universal U.El complemento de A son todos aquelloselementos de U que no están en A. Este conjuntose simbolizará por

Ac

Asíx ∈ Ac ≡ (x ∈ U) ∧ (x < A)


- P(A)- A × B


EjemploSi

U = {1,2,3,4,5,6,7,8}

A = {2,5,6,7}

B = {1,2,4,6}

C = {4,5,6,8}

Calculea) Bc ={3,5,7,8}b) C − (A − B) ={4,5,6,8}-{5,7}={4,6,8}c) A ∩C ={5,6}d) B − (A ∪C) ={ 1,2,4,6}-{ 2,4,5,6,7,8}={1}


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Conjunto Potencia

DefinicionEl conjunto potencia de una conjunto A es elconjunto que contiene todos los posiblessubconjuntos de A. Notación o simbología:

P(A)

EjemploDeterminar P({4,15}).Se tiene:

P({4,15}) = {{}, {4}, {15}, {4,15}}


- P(A)- A × B


El Producto Cartesiano

DefinicionSean A y B dos conjuntos (posiblemente igualespero no vacíos). El producto cartesiano de A con B(el orden de con importa). Es elconjunto de todas las parejas ordenadas (a, b)donde a ∈ A y b ∈ B. Notación:

A × B = {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}


- P(A)- A × B


EjemploSi A = {1,4,14} y B = {1,3}. Calcular:

A × B

Solucion:Son todas las parejas de un rojo y un azul:

A × B = {(1,1), (1,3), (4,1), (4,3), (14,1), (14,3)}

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