Matemáticas 8° Básico Eje temático: Números Introducción La prueba del subsector de Educación Matemática evalúa el logro de los OF-CMO establecidos en el marco curricular del segundo ciclo de Educación Básica, con énfasis en 8° Básico. Con la finalidad de orientar a los docentes responsables de este subsector, en el presente módulo se separan los contenidos curriculares en cuatro ejes temáticos, estos son: Números y Proporcionalidad, Álgebra y Funciones, Geometría y Tratamiento de la Información. Eje temático: Números Como se planteó al inicio, la prueba SIMCE, evalúa el logro de los OF – CMO establecidos en el marco curricular del segundo ciclo de Educación Básica. En este módulo se contemplarán los niveles educativos NB4 – NB5 y NB6, pero el énfasis está puesto en este último. A continuación se presentan los Objetivos Fundamentales y los Contenidos correspondientes al eje Números: Objetivos Fundamentales

• Establecer nexos entre las operaciones básicas en los números naturalesy reconocer la posibilidad de sustituir unas por otras.

• Conocer prácticas del mundo adulto en las que intervienen números y

cálculos y confiar en la propia capacidad para incorporarlas en la resolución de problemas.

• Resolver problemas que involucren unidades de medida de peso,

capacidad y longitud, utilizando las equivalencias entre unidades, expresando los resultados de manera adecuada a la situación.

• Operar con cantidades no enteras utilizando, de acuerdo a la situación,

números decimales o fracciones.

• Reconocer diferencias fundamentales entre el sistema de numeración y medición decimal y otros sistemas de numeración y medición.

• Atribuir y expresar el significado de grandes y pequeños números

utilizando diferentes recursos tanto gráficos como numéricos. • Utilizar sistemáticamente razonamientos ordenados y comunicables para

la resolución de problemas numéricos y geométricos.

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• Percibir las posibilidades que ofrece el sistema de numeración decimal

para expresar cantidades cualesquiera, por grandes o pequeñas que éstas sean.

• Resolver problemas utilizando las potencias para expresar y operar con

grandes y pequeñas cantidades.

• Estimar y acotar, de manera pertinente y razonable, resultados de operaciones con decimales positivos y negativos; expresarlos en fracciones según posibilidades y conveniencia de acuerdo a la situación.

Contenidos Números en la vida diaria.

• Resolución de problemas, utilizando la calculadora, que impliquen: - monedas de otros países, valores de cambio y sus equivalencias. - uso de documentos y formularios bancarios y comerciales.

• Interpretación y expresión de resultados de medidas, grandes y

pequeñas, apoyándose en magnitudes diferentes (una décima de segundo en la cantidad de metros que avanza un atleta en ese tiempo; grandes cantidades de dinero en UF, por ejemplo).

Nexos entre las operaciones aritméticas.

• Desarrollo de razonamientos que conduzcan a reemplazar un procedimiento operatorio por otro equivalente, apoyándose en el carácter inverso de la sustracción respecto de la adición, el carácter inverso de la división respecto de la multiplicación, la interpretación de la multiplicación como adición iterada y la interpretación de la división como sustracción iterada.

Divisibilidad. Aplicación de criterios de divisibilidad (por 2, 3, 5, 9 y 10). Sistema de numeración decimal.

• Comparación de la escritura de los números en el sistema decimal con la de otros sistemas de numeración en cuanto al valor posicional y a la base (por ejemplo, egipcio, romano, maya).

• Comparación de la escritura de números, hasta 100, en base diez y en

base dos (sistema binario).

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• Asociación de una potencia de base 10 con exponente positivo o

negativo a cada posición en el sistema de numeración.

• Interpretación y expresión de resultados como sumas ponderadas de potencias de 10 en situaciones problemas.

Multiplicación y división de fracciones en situaciones habituales.

• Análisis de las relaciones entre factores y productos y entre los términos de una división y el cuociente en diferentes casos, cuando intervienen cantidades menores que 1.

• Cálculo del 50% y del 25% como la mitad y la cuarta parte de una cantidad.

• Expresión del 50%, del 25% y del 10% • Uso de unidades del sistema métrico decimal en situaciones habituales.

Números decimales.

• Identificación de las fracciones con denominador 10, 100 y 1000, con los décimos, centésimos y milésimos.

• Transformación de fracciones decimales a números decimales y

viceversa, en situaciones de medición.

• Extensión del sistema de numeración a décimos, centésimos y milésimos en situaciones cotidianas y/o informativas que permitan:

- Leer, escribir e interpretar números decimales. - Establecer equivalencias. - Ordenar e intercalar decimales. - Estudiar familias de números decimales, establecer patrones y

comparaciones con los números naturales. - Cálculo de adiciones y sustracciones en contextos situacionales,

interpretando resultados, aproximando resultados; estimando antes de calcular; utilizando la calculadora para confirmar resultados estimados.

Multiplicación y división de números decimales.

• • Cálculo escrito, mental aproximado y con calculadora en situaciones problemas.

• Análisis de relaciones entre factores y producto y entre los términos de

la división y el cuociente para establecer regularidades cuando intervienen cantidades menores que 1.

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Números decimales y fracciones.

• Resolución de situaciones problemas en las que sea necesario y pertinente expresar como fracciones números decimales finitos e infinitos periódicos.

• Aproximaciones convenientes para números decimales infinitos. • Uso de la calculadora para investigar y establecer patrones en familias

de números decimales. Potencias de base natural y exponente natural.

• Interpretación de potencias de exponentes 2 y 3 como multiplicación iterada.

• Asociación de las potencias de exponente 2 y 3 con representaciones en 2 y 3 dimensiones respectivamente (áreas y volúmenes).

• Investigación de algunas regularidades y propiedades de las potencias de exponente 2 y 3.

Potencias de base natural y exponente entero.

• Análisis y comparación de la representación gráfica de a2 y de a-2. • Interpretación de a-2 y de a-3 como 1/a2 y 1/a3 respectivamente. • Potencias como multiplicación iterada. • Análisis de situaciones de crecimiento y de decrecimiento exponencial. • Investigación de regularidades y propiedades de operaciones con

potencias a partir de la resolución de problemas. Proporcionalidad.

• Resolución de situaciones problemas, estableciendo razones entre partes de una colección u objeto y entre una parte y el todo.

• Interpretación y uso de razones expresadas de diferentes maneras.

• Resolución de problemas, elaborando tablas correspondientes a: - Situaciones de variación no proporcional. - Situaciones de variación proporcional directa e inversa. - Identificación y análisis de las diferentes razones y parejas de razones

que se pueden establecer entre los datos de tablas correspondientes a variación proporcional directa e inversa.

- Comparación de tablas correspondientes a situaciones de variación proporcional directa e inversa, para establecer diferencias.

- Interpretación y expresión de porcentajes como proporciones, y cálculo de porcentajes en situaciones cotidianas.

• Elaboración de tablas y gráficos correspondientes a situaciones de

variación proporcional directa e inversa.

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• Caracterización de situaciones de proporcionalidad inversa y directa

mediante un producto constante y un cuociente constante, respectivamente.

• Resolución de problemas geométricos de proporcionalidad (producir

figuras semejantes). • Realización e interpretación de planos de tipo esquemáticos a escala.

• Cálculo de porcentajes y elaboración y análisis de tablas de aumentos y

descuentos en un porcentaje dado, utilizando calculadora. Números enteros.

• Interpretación del uso de signos en los números, en la vida diaria, en contextos ligados a: la línea cronológica (AC, DC), la medición de temperatura (bajo 0, sobre 0), la posición respecto del nivel del mar.

• Comparación de números enteros con apoyo en la recta numérica.

• Resolución de problemas que impliquen realizar adiciones y

sustracciones, con y sin apoyo en la recta numérica. Sugerencias de actividades para el trabajo con este eje. I. Números en la vida diaria. Se sugieren actividades en las cuales los alumnos y alumnas resuelvan situaciones que impliquen usar las unidades del sistema monetario nacional, estableciendo equivalencias entre ellas y realizando descomposiciones aditivas: 1. Los alumnos y alumnas pueden trabajar con catálogos de almacenes, casas comerciales, supermercados u otros negocios: Ejemplo: a) Seleccionan productos cuyos precios cumplan con condiciones dadas: - que sea necesario pagar con más de un billete de $20.00 ó $10.000; - que se puedan pagar con menos de un billete de $5.000; - que se puedan pagar exactamente con un billete de $2.000 ó $1.000. b) Utilizan monedas y/o billetes de papel, combinándolos de tres maneras diferentes, para pagar en forma exacta artículos cuyos precios se han entregado.

• Determinan si existen otras maneras de combinar billetes y monedas para alcanzar las cantidades dadas y fundamentan su respuesta.

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• Escriben en forma de suma y de multiplicaciones todas las cantidades y las combinaciones que determinaron. c) Representan precios:

• utilizando la menor cantidad de billetes posibles; • utilizando la mayor cantidad de monedas y billetes posibles, excluyendo

pagar sólo con monedas de $1. • utilizando solamente billetes de $1.000; sólo monedas de $5; etc.

2. Otra actividad de aprendizaje es agrupar a los estudiantes y pedirles que organicen una gira de estudio por todos los países de Sudamérica. En cada uno de ellos deben considerar alojamiento, visitas turísticas, entretenciones, etc. La idea es que hagan las transformaciones de los distintos sistemas monetarios y que puedan determinar la cantidad de dinero que debe llevar cada uno de los estudiantes para la gira. 3. Simular créditos en UF. Se puede realizar una actividad con catálogos de constructoras e inmobiliarias en las que los estudiantes compren casa y/o departamentos, gestionando previamente los créditos correspondientes. Es un buen ejercicio ya que permite conocer los requisitos que se les solicita a los adultos al momento de realizar estos trámites. Con los ejemplos de actividades 1, 2 y 3, orientadas de buena forma es posible reforzar los contenidos referidos a los nexos entre las operaciones aritméticas y divisibilidad. Sitios Sugeridos http://www.bancafacil.cl/bancafacil/servlet/Contenido?indice=1.2&idPublicacion=4000000000000092&idCategoria=1 (Historia del sistema monetario de Chile) http://www.bcentral.cl/billetes-monedas/billetes/preguntas-frecuentes/index.htm (Billetes y monedas de Chile) II. Sistema de numeración decimal En el caso de los sistemas de numeración antiguos y actuales se puede realizar lo siguiente: Que los alumnos y alumnas analicen diversas formas de expresar cantidades y distintos sistemas de numeración utilizados a lo largo de la historia, asociándolos a la necesidad de registrar, expresar y comunicar cantidades. Deben comparar los sistemas en cuanto a sus símbolos y reglas.

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Sugerencias 1. Trabajando en grupos, pueden investigar en fuentes bibliográficas sobre algunas formas de expresar cantidades o sistemas de numeración que se hayan utilizado o se utilicen actualmente en diversas culturas. Pueden investigar la forma de expresar cantidades usadas por el pueblo mapuche, por los mayas, los números romanos, etc. Finalmente registran las informaciones recopiladas y elaboran un informe. 2. Discuten el concepto de base, el principio de posición y el rol del cero a partir del análisis de diferentes sistemas de numeración desarrollados en la historia. Ejemplo: Descifrar el valor de los diferentes símbolos utilizados en el sistema jeroglífico de los egipcios, de los babilonios y en el decimal actual. Leer y discutir las representaciones de números en el sistema jeroglífico utilizado por los antiguos egipcios. 3. Otra actividad que es significativa para los estudiantes es crear un sistema de numeración de una civilización futurista, el cual debe considerar todas las reglas ya estudiadas en los sistemas de numeración antiguos. Para elevar el nivel de dificultad de la actividad se pide a los estudiantes que el nuevo sistema de numeración permita realizar algunas operaciones fundamentales básicas. En el caso de las potencias de base 10, es fundamental que los estudiantes realicen descomposición de números usando potencias de base 10 y que repasen el concepto de notación científica. Sitios sugeridos http://www.araucaria2000.cl/matematica/matematica.php (Completo estudio del sistema de numeración decimal) http://www.omerique.net/twiki/pub/Recursos/SistemaNumeracionDecimal/sistemasnumeracion.html (Preguntas y respuestas referidas al sistema de numeración decimal)

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III. Multiplicación y división de fracciones en situaciones habituales. Sugerencias. 1. Los alumnos y alumnas pueden analizar y representar en forma gráfica situaciones que se resuelven multiplicando una fracción por un número natural. Ejemplos Lee y comenta la siguiente situación:

“Durante un experimento, después de 15 minutos del inicio y luego cada

1

4 de hora sucesivamente, se deben poner gotas de agua a una mezcla”.

a) Representan

1

4 de hora. Por ejemplo, en un reloj:

b) Representan el tiempo transcurrido desde la primera hasta la segunda aplicación. Por ejemplo:

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c) Responden a preguntas como las siguientes: ¿Cuánto tiempo transcurre desde el inicio del experimento hasta la cuarta aplicación de agua? ¿Después de cuánto tiempo le corresponde la 10ª aplicación? Sitios sugeridos http://ponce.inter.edu/cremc/fracciones4.html (Operatoria con fracciones) https://www.e-mexico.gob.mx/wb2/eMex/eMex_Multiplicacion_y_division_de_fracciones (Multiplicación y división de fracciones) IV. Números decimales Sugerencias Recopilar y clasificar información cuantitativa, que involucre números decimales, obtenida a través de lecturas, noticias, relatos de experiencias, salidas a terreno, encuestas, etc. para: • leer y escribir números decimales; • expresar los datos en lenguaje cotidiano. Ejemplos 1. Organizados en grupo buscan información que contenga números decimales. a) Determinan criterios para clasificar los datos en relación al tipo de información que representa, tales como: temas que originan los datos; magnitudes en el caso de medidas (kilos, metros, etc.) y las unidades correspondientes. b) Ordenan la información dentro de cada categoría usando los criterios acordados por el grupo. c) Determinan formas de leer las cantidades de acuerdo a la información, asociándola con la expresión oral, leyéndola por “partes”. Por ejemplo: El valor de la UF (18 de Junio de 2007): $ 18.579,66

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“Dieciocho mil quinientos setenta y nueve pesos, con sesenta y seis centavos”. “Dieciocho mil quinientos setenta y nueve coma sesenta y seis pesos”. 2. Deben interpretar situaciones en las que se utilizan números decimales: buscan representar los datos, establecer equivalencias entre los números involucrados y compararlos teniendo como referencia números naturales (mayor, menor, igual que...). Ejemplos Organizados en grupo trabajan con las informaciones antes recopiladas. a) Seleccionan aquellas informaciones que incluyan datos numéricos de acuerdo a condiciones establecidas previamente. Por ejemplo: “Ser mayor que 10 y menor que 11”. “Ser mayor que un centésimo, pero menor que un décimo”. “Más de $408 y menos de $409”. b) Crean maneras de representar al curso uno de los datos anteriores, de modo que sus compañeros y compañeras puedan imaginar lo que representa la parte decimal, es decir, para que puedan imaginar la dimensión que implica. Por ejemplo: Para representar grados se puede usar un termómetro o el dibujo de un termómetro. Para representar centésimos se puede utilizar un cuadriculado de 10 por 10. Para visualizar milésimos se puede usar una huincha de medir. 3. Analizan informaciones de medición de tiempo para interpretar la parte decimal y evaluar redondeos pertinentes. Ejemplos Leen la siguiente información: “Las profesoras y profesores de escuela tienen 2,5 meses de vacaciones aproximadamente por año”. Representan el dato numérico usando algún diagrama y responden las siguientes preguntas: Considerando que un mes tiene 30 días (como promedio), ¿a cuántos días corresponden 2,5 meses? ¿A cuántos días corresponde la cifra decimal?

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Si decidieras expresar con una cifra redondeada la cantidad de vacaciones, ¿a cuánto lo harías? ¿Qué diferencia en días existe entre 2,5 meses y la cantidad que obtuviste después del redondeo? Por ejemplo, entre 2,5 meses y 2 meses o entre 2,5 meses y 3 meses. Leen la siguiente información: “En Chile, la esperanza de vida de una persona es de 72 años, en Costa Rica es de 76,3 años y en Haití es de 56,6 años”. Representan el dato numérico usando algún diagrama y responden las preguntas: ¿Qué significan los décimos en el dato de Costa Rica y de Haití? Si se decidiera redondear ¿cómo se podría hacer? ¿Por qué en el Almanaque estos datos no se presentan redondeados? Sitios sugeridos. http://sapiens.ya.com/geolay/pagehtm/aritmet07.htm (Clasificación de los números decimales) http://www.indexnet.santillana.es/rcs2/matematicasYear/pdfs/mat2_T4.pdf (Operaciones con números decimales) V. Multiplicación y división de números decimales. Sugerencias La multiplicación y división de números decimales son las operaciones más complicadas para los estudiantes, es por eso que es importante que ellos conozcan el procedimiento que permite resolver el ejercicio. En el caso de la multiplicación de números decimales: 1º Se multiplican como si fueran naturales. 2º En el resultado, se separan de derecha a izquierda con una coma un número de cifras decimales iguales a la suma de las que tienen los dos factores (los números que se están multiplicando). En el caso de la división de números decimales: Para dividir dos números decimales se multiplica el dividendo y el divisor por 10 ó por 100 ó por 1.000…, de modo que el divisor se transforme en un número natural. A continuación se hace la división.

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Sitos sugeridos http://clic.xtec.net/db/act_es.jsp?id=3375 (Multiplicación y división de números decimales) http://web.educastur.princast.es/proyectos/aulamatematica/2ESO.htm (Estudio de los números decimales) VI. Números decimales y fracciones. Sugerencias Respecto a este tema es importante que los estudiantes sepan convertir una fracción en número decimal y viceversa, deben manejar las fracciones de uso

común:

1

8 ,

1

4 ,

1

2 ,

3

4 ,1, y saber cuál es el número decimal que se debe asociar a cada una. Es importante cerciorarse de el aprendizaje de este contenido, puesto que es fundamental para el estudio de cálculo de porcentajes. Sitios sugeridos http://www.aaamatematicas.com/pro42bx1.htm (Fracciones y decimales equivalentes) http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Fracciones_decimales_porcentajes/index.htm (Fracciones, decimales y porcentajes) VII. Potencias de base natural y exponente natural. Sugerencias Los estudiantes deben analizar situaciones y resolver problemas que se puedan representar por arreglos cuadrados (por cuadrados) asociando el número de filas o columnas (o el lado del cuadrado) y el número total de elementos (o el área del cuadrado) con la base de una potencia de exponente dos y el valor de la potencia, respectivamente.

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Ejemplos 1. Lee, analiza y resuelve la siguiente situación. La familia Gómez de la VI Región decidió ampliar su negocio de venta de hortalizas. Han planeado producir y vender almácigos de distintas verduras, para lo cual cuentan con unos recipientes de 30 cm por 30 cm. En cada almácigo se deberán ubicar las semillas en hileras, de tal forma que haya igual cantidad de ellas a lo largo que a lo ancho. Es necesario determinar cuántas semillas se necesitan para cada almácigo, considerando que deben ser ubicadas a una distancia razonable una de otra, de modo que tengan un espacio adecuado para crecer. a) Averiguan sobre el cultivo de almácigos, tipos de verduras de las que se puede hacer almácigos, etc. b) Representan en cuadrículas, redes de puntos o papel cuadriculado los almácigos y las posibilidades de ubicación de distintas cantidades de semillas. c) Analizar las representaciones y responder preguntas como las siguientes: • ¿Cuántas semillas como mínimo es razonable ubicar en el almácigo? • ¿Cuántas semillas como máximo es razonable ubicar en el almácigo? • ¿Qué criterios se pueden considerar para determinar cantidades adecuadas de semillas por almácigos? d) Establecen relaciones entre la cantidad de semillas por lado del almácigo y la cantidad de semillas en total que se necesitan para cada almácigo. e) Determinan la cantidad de semillas necesarias para almácigos que contengan 10, 11, 12, etc. Semillas por cada fila y columna. Expresan las cantidades utilizando potencias. 2. Los alumnos y alumnas organizados(as) en grupos, arman cuadrados de distintos tamaños a partir de otros más pequeños, previamente construidos. Materiales: Un set de 49 cuadrados (como mínimo) de 2 cm. por lado. a) Cada grupo arma cuadrados con distinta cantidad de cuadraditos. Determinan cuánto es el mínimo de cuadraditos que se requieren para formar otro más grande y relacionan la longitud del lado del cuadrado mayor con la longitud del pequeño. b) Analizan situaciones como: • Si se aumenta en una unidad el lado del cuadrado ya formado (que puede haberse construido con 2; 3; 4 o más cuadraditos por lado), ¿cuántos cuadraditos tiene el nuevo cuadrado? • Si se aumenta en dos unidades el lado de un cuadrado ya formado, ¿cuántos cuadraditos tiene el nuevo cuadrado? ¿Y si se aumenta en tres, en cuatro y así sucesivamente? (Nota: cada unidad corresponde a la longitud de los cuadrados iniciales).

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c) Determinan la cantidad de cuadraditos necesarios para construir cuadrados de lado 2, 3, 4, 5, 6, 7 unidades. Establecen relaciones entre la cantidad de cuadraditos por lado y la cantidad total de cuadraditos necesarios para formar otro cuadrado. d) Determinan la cantidad de cuadraditos necesarios para formar cuadrados de lado 8, 9, 10, 11 unidades por lado, etc. y comprueban construyéndolos o dibujándolos. e) Concluyen un procedimiento para establecer el total de cuadraditos del cuadrado. Expresan las cantidades como potencias. Para analizar sistemáticamente la situación y dar respuesta a las preguntas pueden ir completando una tabla como la que se presenta a continuación:

Sitios sugeridos http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Potencias_mac/potencias1.htm (Potencias de exponente natural) http://www.geolay.com/pagehtm/aritmet05.htm (Estudio de las potencias) VIII. Potencias de base natural y exponente entero. Sugerencias Los estudiantes establecen la relación que existe entre las áreas de los cuadrados y volúmenes de cubos que se generan al aumentar al doble (al triple, al cuádruple, etc.), y al disminuir a la mitad (a la tercera parte, la cuarta parte) respectivamente, el lado de un cuadrado inicial o la arista de un cubo

inicial o de referencia. Relacionan la expresión a-2 con la expresión 2

1

a y la

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expresión a-3 con la expresión3

1

a . Interpretan geométricamente la expresión a-2 y a-3. Ejemplo Completan una tabla como la siguiente en la cual comparan las potencias de igual base pero de exponente de 2 y -2. En el último caso usan las propiedades de las potencias para justificar su valor numérico.

Observan la relación entre los valores numéricos de las potencias de igual base, pero de exponente 2 y -2. Toman de referente la unidad y la comparan respecto del valor numérico de la potencia. a) Toman como referente una unidad cuadrada y representan en dibujos 12, 22, 32, de manera de formar cuadrados. Y completan una tabla a modo de resumen.

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Responden: - ¿Cómo se puede representar 2-2? - ¿Qué multiplicación iterada se puede asociar a 2-2? - Si en el caso de las potencias elevadas a 2, por ejemplo 22 significa 2 . 2 y el dos corresponde a la medida de la arista del cuadrado, ¿cuál debe ser la medida del lado del cuadrado para representar 2-2? Toman como referente la misma unidad cuadrada anterior y representan un

cuadrado de medida

1

2 unidad. Asocian esta representación a la potencia 2-2. Se preguntan lo mismo para una potencia de base 3 elevado a -2. Para

representarla toman la unidad básica y representan un cuadrado de lado

1

3 unidad. Asocian esta representación a la potencia 3-2. Tratan de representar lo mismo usando potencias de base 4 ó 5. Sitios sugeridos http://www.darwin-milenium.com/Estudiante/Matematicas/Potencias%20y%20Radicales.htm (Potencias de base natural y exponente entero) http://www.escolar.com/avanzado/matema071.htm (Potencia de números enteros) XIX. Proporcionalidad Sugerencias El concepto de proporcionalidad tiene su inicio en la definición de razón numérica, que corresponde a una comparación que se puede expresar en términos numéricos. Es importante que los alumnos(as) identifiquen los elementos de una razón puesto que es un aprendizaje que se requiere para el concepto de proporción. Ejemplo de razones: De los 25 alumnos que tiene el séptimo básico de un colegio, 13 son niñas y 12 son niños. Escribe la razón entre:

a. El número de niñas y el total de alumnos del curso. b. El número de niños y el total de alumnos del curso. c. El número de niñas y el de niños. d. El número de niños y el de niñas e. Indica en cada caso, cuál es el antecedente y cuál es el consecuente.

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Una vez que se ha revisado el concepto de razón, se define lo que son las proporciones que corresponde a una igualdad de dos razones equivalentes, es necesario insistir a los estudiantes que las razones equivalentes se pueden obtener mediante amplificación y simplificación. De esta forma es fácil determinar si dos razones son o no equivalentes y por ende forman o no una proporción. La otra forma de verificar es ver si se cumple o no el teorema fundamental de las proporciones. Cuando se defina la proporcionalidad directa es importante hacer el énfasis en la definición: Dos magnitudes son directamente proporcionales:

• Si al aumentar una de ellas cierto número de veces, la otra también aumenta el mismo número de veces, es decir, si una aumenta al doble, triple, cuádruple…, la otra también aumenta al doble, triple, cuádruple…;

• Si al disminuir una de ellas cierto número de veces, la otra también disminuye el mismo número de veces, es decir, si una disminuye a la mitad, tercera parte, cuarta parte,…, la otra también disminuye a la mitad, tercera parte, cuarta parte,…

Se debe señalar a los estudiantes que una de las formas que existen de saber si dos magnitudes son directamente proporcionales es calcular la constante de proporcionalidad. Se puede dar a los estudiantes la siguiente tabla: Sean x e y dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden según la tabla:

Magnitud x a b c d e …

Magnitud y a1 b1 c1 d1 e1 …

Las magnitudes x e y son directamente proporcionales si se verifica que:

= = = = = =1 1 1 1 1

a b c d e... K

a b c d e

Cuando se trate de Proporcionalidad Inversa: Dos magnitudes son Inversamente proporcionales cuando: - Al aumentar una (al doble, al triple,…), la otra disminuye (a la mitad, al tercio,…). - Al disminuir una (a la mitad, a la tercera parte…), la otra aumenta (al doble, al triple…).

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Y para verificar si dos magnitudes son inversamente proporcionales: Sean x e y dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden según la siguiente tabla:

Magnitud x a b c d e …

Magnitud y a1 b1 c1 d1 e1 …

Las magnitudes x e y son inversamente proporcionales si se verifica que:

1 1 1 1 1a a b b c c d d e e= = = =� � � � �

Para el caso de proporcionalidad directa e inversa, se deben analizar tablas con diversas magnitudes que sean fáciles de graficar para poder comparar ambas gráficas. Sitios sugeridos http://www.escolar.com/matem/15proporcio.htm (Gráfico de magnitudes proporcionales) http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Funciones_funcion_de_proporcionalidad/Proporcion.htm (La proporcionalidad) X. Números enteros Sugerencias Para iniciar el estudio de los números enteros, se debe mencionar la aplicación práctica que tienen en la vida diaria:

- Temperatura. - Posición. - Saldo a favor, saldo en contra. - Antes de cristo, después de cristo. - Etc.

Es importante enseñar a los estudiantes a graficar los números en la recta numérica, aclarando el concepto de valor absoluto y opuesto de un número entero, puesto que, son indispensables para las operaciones fundamentales.

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Sitios sugeridos http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero (Completo estudio de los números enteros) http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/enterosdesp/index.htm (Completo estudio de los números enteros)