1

AM =1

2AB

m = a AM + = a1

2AB + = a

1

2( )b a +

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO. Tomamos el segmento determinado por los puntos A y B. M es su punto medio. Se cumple lo siguiente: Por tanto: COORDENADAS DE UN VECTOR LIBRE DETERMINADO POR 2 PUNTOS. Lo primero que haremos, es lo de siempre, vamos a efectuar un dibujo, para ver “gráficamente” el resultado al cual vamos a llegar.

a1

2( )b a + =

2a2

b2

+ a2

=1

2( )a b +

m =1

2( )a b +

2

a AB + = b ⇒ AB = b aℜ = ( )0 i, j,

AB = ( )x2 y 2, ( )x 1 y 1, = ( )x2 x 1 ( )y 2 y 1,

Estamos utilizando como base: Vamos a sustituir los valores de las coordenadas de A y B en la expresión anterior. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO. Como siempre, vamos a efectuar el dibujo correspondiente:

3

ℜ = ( )0 i, j,

M( )xm,ymA( )x 1,y 1 B( )x2,y2

m =1

2( )a b +

xm,y m =1

2( )x 1,y 1 x2,y 2 + ]=

1

2( )x 1 x2 + ,( )y 1 y 2 +

xm =1

2( )x 1 x2 + y m =

1

2( )y 1 y 2 +

u r( )A u,

u

Estamos utilizando como base: Los puntos, A, B y M, tienen las siguientes coordenadas: - Vamos a sustituir estos valores en la fórmula que anteriormente hemos deducido como coordenadas del punto medio de un segmento: Por tanto: DETERMINACION LINEAL DE UNA RECTA. A la recta que pasa por un punto A y lleva la dirección del vector NO NULO Se le representa: y se llama determinación lineal de la recta r. El punto A se llama punto base de la recta r. El vector se llama vector director de la recta r.

4

r ( )A u, con A ( )1 5, y u = ( )2 1,

r ( )A u,

¿Es posible que dos determinaciones lineales distintas puedan representar la misma recta. SI, es posible. Vamos a demostrarlo. Vamos a representar dos rectas: La 1ª: La 2ª: Representadas sobre el eje de coordenadas, vemos que se superponen, es decir ambas rectas son coincidentes. Resumiendo: Determinación lineal de la recta r que pasa por un punto A, es la recta que pasa por el punto A y lleva la dirección del vector NO NULO Y la representamos: Por tanto: Dos determinaciones lineales DISTINTAS pueden representar una misma recta. ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA.

u

5

R = ( )0 i, j,

AX

AX = t .u

a y x

x = ( )x y, = 2,5 t . ( )3,1 + = ( )2 3t 5 t + ,

La recta r queda perfectamente determinada mediante un punto A y una dirección dada por un vector NO NULO Consideramos el sistema de referencia: y “ r “ la recta que pasa por el punto A y lleva la dirección de Siendo X un punto cualquiera de la recta r, el vector es proporcional al vector por estar en la misma dirección. Siendo “ t “ un número REAL cualquiera. Siendo los vectores de posición de los puntos A y X, obtenemos: Dando valores a t, en la ecuación vectorial de la recta, se obtiene un conjunto de vectores de puntos que pertenecen a la recta “ r “. Ejemplo: Con la ecuación vectorial de la recta obtenemos un conjunto de vectores de posición de puntos que pertenecen a la recta.

u

u

u

x = a t . u con t + ∈ ℜ

6

u = ( )3 1, ( )x y, = ( )2 3t 5 t + ,

ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE LA RECTA. R En el ejemplo antes mencionado, hemos visto que la ecuación vectorial de la recta “ r que pasa por el punto A ( 2, 5 ) y, lleva la dirección de es: x y Igualando las componentes de ambos vectores, obtenemos: Siempre y cuando t Esta es la ecuación paramétrica de la recta. Vamos a pararnos un poquito y analizar los términos de las ecuaciones expuestas. Siendo ( x, y) las coordenadas del vector Siendo (x1, y1) las coordenadas del vector Siendo (a, b) las coordenadas del vector Si ahora sustituimos estos valores en la fórmula de la ecuación “vectorial” de la recta, que hemos deducido anteriormente: Obtenemos lo siguiente:

x = 2 3tY = 5 t + ∈ ℜ

x

a

u

x = a t.u +

7

u = ( )a b,

Si en este preciso momento, igualamos las componentes de ambos vectores, fijaos a donde hemos llegado: Con Para cada valor de t, se obtiene un punto de la recta. A las coordenadas ( a, b) del vector de dirección se les llama coeficientes directores de la recta r. Ello es debido a que todo par (a, b) define siempre una dirección EXCEPTO si se tratar del vector NULO. Por tanto, con la ecuación paramétrica de la recta, obtenemos un conjunto de puntos de la recta. ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA CONTÍNUA. Hemos visto que las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A( x1, y1) y lleva la dirección son:

( )x y, = ( )x 1 y 1, t . ( )a b, + = ( )x 1 t.a + , ( )y 1 t .b +

x = x 1 t a + Y = y 1 t b +

t ∈ ℜ

x = x 1 t a + Y = y 1 tb +

u

8

a ≠ 0 y b ≠ 0 ⇒ despejamos "t" en ambas ecuaciones

t =( )x x 1

a

t =( )y y 1

b

x = x 1

y = y 1 b +

x = x 1 ta + y = y 1

con Haciendo cumplir la condición de: Igualando ambas ecuaciones, obtenemos: Si a = 0 y b ≠ 0 las ecuaciones paramétricas son: Pudiendo “ y “ tomar cualquier valor. Es la ecuación de la recta paralela al eje OY. Su representación gráfica, es: Si b = 0 y a ≠ 0 las ecuaciones paramétricas son: Pudiendo “ x “ tomar cualquier valor.

x = x 1 t a + Y = y 1 t b + t ∈ ℜ

( )x x 1

a=

( )y y 1

b

9

u ( )3 1,

u ( )3 1,

x 2

3=

y 5

1

u = a,b

b ( )x x 1 = a ( )y y 1 ⇔ bx bx 1 = ay ay 1 ⇔ bx ay ay 1 + bx 1 + = 0

Es la ecuación de la recta paralela al eje OX. Su representación gráfica, es: Vamos a ver un ejemplo: ¿Cuál será la ecuación expresada en forma continua de la recta “r” que pasa por el punto A(2,5) y lleva la dirección: x1 y1 a b Punto A ( 2, 5 ) Vector director: Aplicando la fórmula: ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA GENERAL. Tenemos que partir de la ecuación de la recta en forma continua, que pasa por el punto A( x1, y1) y lleva la dirección hacemos operaciones y obtenemos: Ahora vamos a efectuar los siguientes cambios: A = b B = - a y C = ay1 + bx1 obteniendo: Es la ecuación de una recta en el plano, determinada por:

( )x x 1

a=

( )y y 1

b

( )x x 1

a=

( )y y 1

b

Ax By + C + = 0

10

u = ( )B A,

B = 0 ⇒ AX C + = 0 ⇒ x =CA

1º.- Un punto base: Que puede ser cualquier punto cuyas coordenadas (x1, y1) verifiquen la ecuación dada. 2º.- Vector direccional( coeficiente director de la recta) ya que a = - B y b = A. CASOS PARTICULARES. Es la ecuación de la recta paralela al eje OX. Su representación gráfica es: Si Es la ecuación de la recta paralela al eje OY. Su representación gráfica es:

A = 0 ⇒ by C + = 0 ⇒ y =CB

11

u = ( )B A,

3x 6 + = 0 ⇒ x =6

3= 2

u = ( )B A, =2

3⇒ Puesto que 3x 2y 6 + = 0

*****Atención**** : A y B NO pueden ser NULOS al mismo tiempo, ya que al ser A = b y B = - a, el vector director( coeficiente director de la recta) sería el VECTOR NULO. Y ya hemos dicho que el vector nulo no determina ninguna dirección. CASO PRACTICO IMPORTANTE: Vamos a resolver el caso, en el cual nos dan una ecuación de la recta en forma general y, nos preguntan si sabemos calcular un punto por el que pasa y la dirección que lleva. r = 3x – 2y + 6 = 0 1º Paso: Vamos a calcular un punto cualquiera de la recta: Para ello haremos, por ejemplo y = 0 x y Por tanto el punto, será: ( - 2, 0 ) 2º Paso: El vector director de la recta dada es: A B Resumiendo: Cuando nos facilitan la ecuación de una recta en forma general, SIEMPRE podemos calcular dos cosas:

a) Un punto cualquiera de la recta b) La dirección que lleva la recta.

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS.

12

A ( )x 1 y 1, B ( )x2 y 2, AB = ( )x2 x 1 y 2 y 1,

x = a t AB con t + ∈ ℜ

x = x 1 t ( )x2 x 1 + y = y 1 t ( )y 2 y 1 +

x x 1

x2 x 1

=y y 1

y 2 y 1

xa

yb

+ = 1

- Lo primero que debemos de recordar es lo siguiente: Por dos puntos distintos del plano, tan solo PASA UNA RECTA Y SOLO UNA. A la recta r que pasa por los puntos A y B la designamos mediante la determinación lineal r ( A, AB) Siendo: Si ahora sustituimos estos valores en las ecuaciones obtenidas en los apartados anteriores: Ecuación Vectorial: Ecuaciones Paramétricas: Ecuación Continua: ECUACIÓN SEGMENTARIA DE LA RECTA. r Sea una recta “r“ que corta los ejes de coordenadas en los puntos A(a, 0) y B(0, b), la igualdad: recibe el nombre de ecuación de la recta en forma segmentaria, ya que se obtiene en función de los segmentos orientados a y b.

13

A( )x 1 y 1, u = a,b

ba

y =AB

xCB

ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA PUNTO PENDIENTE. Consideremos la recta “ r “ que pasa por el punto y lleva la dirección La ecuación en forma continua, es: Si a ≠ 0, obtenemos: Al número: se le llama pendiente de la recta. Se representa por la letra m. Sustituyendo este valor en la fórmula obtenida con anterioridad: Si a = 0 la recta NO tiene pendiente. Es paralela al eje OY. ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA. Partimos de la ecuación general de la recta: vamos a despejar “ y “: que se suele mostrar de esta forma: donde: “m” es la pendiente y “ n” es la ordenada en el origen.

( )x x 1

a=

( )y y 1

b

y y 1 =ba

( )x x 1

y y 1 = m ( )x x 1

Ax By + C + = 0

y = m x n +

14

u = a,b

m =ba

= tg X

SIGNIFICADO GEOMETRICO DE LA PENDIENTE. La recta que pasa por el punto A y lleva la dirección tiene por pendiente Siendo X el ángulo que forma la parte positiva de las abcisas con el vector director de la recta. - Como la recta es paralela al vector director, se deduce que: La pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma la parte positiva del eje de abcisas con la recta. Y ahora nos formularemos la siguiente pregunta: ¿Es única la pendiente de una recta? Y la respuesta es NOOOOOOOOOOOOO. Cualquier recta puede tener pendientes iguales. Vamos a ver un ejemplo práctico, para visualizarlo y darnos cuenta:

15

La recta que lleva la dirección ( 2, 3 ), tiene como pendiente “ m “ ¿Qué ocurre con la pendiente, si en lugar de tomar el vector director (2,3) tomamos otro distinto que represente la misma dirección? Representando la misma dirección, el nuevo vector tiene que ser proporcional al dado. Sea por ejemplo el vector (6,9) La pendiente de la recta será: Las pendientes son iguales. Conclusión: La pendiente de una recta NO depende del vector director elegido para definirla. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO. Secantes Paralelas Coincidentes

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Secantes: Rectas que solo tienen UN punto en común Paralelas: Rectas que NO tienen ningún punto en común Coincidentes: Rectas que tienen TODOS los puntos comunes. Para averiguar que clase de rectas son, calcularemos su intersección, resolviendo el sistema que forman sus ecuaciones, de manera que:

- Si tienen 1 solución las rectas se cortan. - Si NO tiene solución, las rectas son paralelas - Si tiene INFINITAS soluciones las rectas son coincidentes.

¿Cómo podríamos saber la posición relativa de dos rectas, sin necesidad de resolver el sistema que forman? Veremos la solución únicamente cuando las rectas vengas dadas por sus ecuaciones en forma implícita. En los demás casos, basta pasar la ecuación a esta forma. Sean las rectas: y Las pendientes y ordenadas en el origen de ambas rectas, son: Caso a) Las rectas r y s son coincidentes si sus pendientes y sus ordenadas en el origen son “iguales”. En forma explícita: r:y = mx + n En forma explícita: s:y’ = m’x + n’ Por tanto “ r” y “s “ son coincidentes: m = m’ n = n’ Caso b) Las rectas r y s son paralelas si sus pendientes son iguales y sus ordenadas en el origen son distintas. En forma explícita: r:y = mx + n

17

En forma explícita: s:y’ = m’x + n’ Por tanto “ r” y “s “ son paralelas: m = m’ n ≠ n’ Caso c) Las rectas r y s son secantes si sus pendientes son distintas. En forma explícita: r:y = mx + n En forma explícita: s:y’ = m’x + n’ Por tanto “ r” y “s “ son secantes: m ≠ m’ HAZ DE RECTAS SECANTES. Se llama haz de rectas de vértice al conjunto de todas las rectas del plano que pasan por el punto P. Su ecuación es la siguiente: Para cada valor de “m “ se obtiene una recta que pasa por: Sean las rectas de ecuaciones:

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Supongamos que se cortan en el punto: La ecuación: representa el haz de rectas de vértice P, ya que cuando variamos α y β se obtienen rectas que pasan por el punto puesto que sus coordenadas verifican la ecuación: Siendo α y β dos parámetros reales que NO sean simultáneamente nulos. Vamos a dividir un parámetro entre otro: Siendo: Siendo k un número real. HAZ DE RECTAS PARALELAS. Se llama haz de rectas paralelas de la recta r : Ax + By + C = 0 al conjunto de todas las rectas del plano que son paralelas a la recta “ r “. Su ecuación, es: Para cada valor de “ k “ se obtiene una recta paralela a “ r “ Aquí vamos a volver a recordar algo importante: Los vectores directores de dos rectas paralelas tienen que ser NECESARIAMENTE PROPORCIONALES.

19

cos âar . âar' = Ι cos u . u' Ι =Ι u .u' Ι

Ι u Ι . Ι u' Ι

r :Ax By + C + = 0 ⇒ n = ( )A B, ⇒ u = ( )B' A ',

r ' :A'x B'y + C ' + = 0 ⇒ n' = ( )A ' B', ⇒ u' = ( )B' A ',

cos âar .âar ' = Ι cos âau .âau ' Ι =Ι ( )AA ' BB' + Ι

A 2 B 2 + . A ' 2 B'2 +

âar ⊥ âar ' = u ⊥ u' = AA ' BB' + = 0

ANGULO QUE FORMAN DOS RECTAS. Cuando las rectas son coincidentes o paralelas, el ángulo que forman es de 0º. Si son secantes: al cortarse en un punto definen ángulos iguales dos a dos por ser opuestos por el vértice A y B y suplementarios, ya que suman 180º. Vamos a ver su eeexxxppprrreeesssiiióóónnn vvveeeccctttooorrriiiaaalll::: Siendo y los vectores directores de las rectas r y r ‘ El ángulo formado por 2 rectas secantes es el menor de los ángulos que determinan dichas rectas y que además, coincide con el ángulo que forman sus vectores directores. Ahora vamos a ver sssuuu eeexxxppprrreeesssiiióóónnn aaannnaaalllííítttiiicccaaa::: Partimos de la ecuación de la recta en forma general: PERPENDICULARIDAD DE RECTAS. Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman un ángulo de 90º. El producto escalar de sus vectores directores es 0.

u u'

20

tg ( )âar . âar ' = tg ÂAB ⇒ Por otra parte B = x2 x 1

tg ÂAB = tg ( )x2 x 1 =( )tg x2 tg x 1

( )1 tgx2 . tg x 1 +

En forma explícita: Tenemos las siguientes rectas: r: y = m x + n m = tg X1

r’: Y’ = m’ x + n’ m’ = tg X2 La fórmula de la ecuación explícita de la recta, es la que hemos aplicado, que no es ni más ni menos, que ésta: Ahora es el momento de aplicar la fórmula del ángulo que forman las dos rectas, que hemos llamado con los nombres de “ r “ y “ r’ ”: Por tanto, tendremos que calcular la tangente del ángulo B. Menudo lío y, ¿quién se acuerda de la fórmula que debemos aplicar? Bueno está recogida en la teoría de trigonometría y se llama: Razones trigonométricas de la diferencia de ángulos. Ahora si somos “vivos” volvemos a recordar “algo de la pendiente de una recta” y sustituimos estos valores en la fórmula que figura aquí arriba y nos queda:

y = m x n +

21

tg ÂAB = tg ( )x2 x 1 =m' m

( )1 m . m' +

r ⊥ r ' ⇒ 1 m . m' + = 0 ⇒ m.m' = 1 ⇒ m' =1

m

Sabemos que el valor de la tangente de un ángulo de 90º = 0. Por tanto, lo que tenemos que hacer es igualar el denominador a 0. Por tanto la conclusión final de perpendicularidad es: DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. Dados dos puntos A y B del plano La distancia de A hasta B es el módulo del vector Lo expresamos de esta forma: Tiene que ser siempre un número positivo o nulo, por serlo el módulo del vector. Expresión analítica:

22

Siendo y las coordenadas de los puntos a y B. Las coordenadas del son: Entonces: Propiedades de la distancia: Son las siguientes:

d( )A B, = Ι A,B Ι = ( )+ ( )x2 x 12 ( )y 2 y 1

2 +

23

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. Dados un punto P y una recta r. Si P pertenece a la recta, se cumple: Si P NO pertenece a la recta r, la distancia del punto P a la recta r, es el módulo del vector Siendo Q el punto de corte de la recta r con la perpendicular a r que pasa por el punto P. Vamos a expresar esa igualdad: Expresión vectorial: Sea la recta r cuya determinación normal es En el triángulo rectángulo AQP se verifica: Vamos a multiplicar “escalarmente” los dos miembros de la igualdad por el vector normal: Vector normal: A nuestra “manera” Un vector perpendicular a otro se denomina vector normal. Son ortogonales, por tanto:

24

Y ahora efectuamos el producto escalar: Expresión analítica: Tomemos la ecuación general de la recta r: Ax + By C = 0 Sea A (x0 , y0) un punto cualquiera de la recta r. Sea P ( x1 , y1) el punto dado Es el momento de sustituir estos valores en la expresión vectorial: ¿Pero qué conocemos en estos momentos, para poder “dar una vuelta de tuerca a esta fórmula? Que la expresión: ¿Por quéeeeeeeeeeeeeeeeeee? Puesto que: es un punto de la recta r. Y se verifica la siguiente ecuación: Sustituyendo en la ecuación, tenemos: Resumiendo: Para calcular la distancia de un punto a una recta, se sustituyen las coordenadas del punto en la ecuación general de la recta y, se divide entre el módulo de vector normal.

25

r : Ax By + C + = 0r' = A 'x B'y + C ' + = 0

Existe un caso especial: Aquel en el cual el punto P, coincide con el origen de coordenadas su fórmula queda reducida a la siguiente forma: DISTANCIA ENTRE RECTAS. Si las rectas r y r’ son secantes o coincidentes, la distancia es nula. Cuando son rectas paralelas, la distancia entre ambas es igual a la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra recta. Donde C ≠ C ‘ Siendo P ( x0 , y0) un punto cualquiera de la recta r: Por otra parte: Por tanto: la distancia entre rectas paralelas viene dada por el valor absoluto de la diferencia de los términos independientes divido entre el módulo del vector normal. Condición Obligatoria: Las ecuaciones de las rectas, obligatoriamente tienen que tener los mismos coeficientes para las variables “ x “ e “ y “

d( )r .r ' = d( )P r ', =Ι ( )Ax0 By 0 + C ' + Ι

A 2 B 2 +

Ax0 By 0 + = C ⇒ C =Ι C ' C Ι

A 2 B 2 +

26

COSENOS DIRECTORES. El vector normal es: Por tanto: Ya podemos establecer: El coseno del ángulo que forma el vector normal con el eje X, es: Por otra parte: Ya podemos establecer: El coseno del ángulo que forma el vector normal con el eje Y, es: Además, se verifica la propiedad:

n = ( )A B,

cos X = cos ( )i n, =Ι ( )1 .A O .B + Ι

( )1 2 0 2 + . ( )A 2 B 2 +

cos X =A

A 2 B 2 +

cos B = cos ( )n j, =Ι ( )0 .A 1 .B + Ι

( )0 2 1 2 + . ( )A 2 B 2 +

cos B =B

( )A 2 B 2 +

d ( )0 r, =Ι C Ι

A 2 B 2 +

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Importante: Los cosenos directores y el valor absoluto del término independiente proporciona la distancia del origen a la recta.

LUGARES GEOMÉTRICOS.

Es el conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad.

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO. Mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual distancia de los extremos. La propiedad que cumple y que hemos definido, se expresa con la siguiente fórmula: Vamos a denominar el segmento: y y siendo un punto P (x, y) cualquiera de la mediatriz, se verifica:

d ( )P A, = d ( )P B,

A ( )x 1 y 1, B ( )x2 y 2,

d( )P,A = d( )P B, = ( )x x 12 ( )y y 1

2 + = ( )x x22 ( )y y 2

2 +

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d( )P,r = d( )P r ',

BISECTRICES DE LOS ANGULOS DETERMINADOS POR 2 RECTAS. Bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual distancias de las rectas que forman el ángulo. Ecuaciones de las bisectrices: Partimos de la ecuación de la recta en forma general. Sean dos rectas: Son las ecuaciones de dos rectas secantes. Por ser P un punto de la bisectriz, se verifica que: Es el momento de aplicar la ecuación de la distancia de un punto cualquiera a una recta, en su forma analítica: Como se verifica la igualdad que hemos expuesto anteriormente, tenemos que igualar ambas expresiones:

Para que se cumpla la igualdad anterior, se tienen que dar estas condiciones: 1º.-

r :Ax By + C + = 0

d( )P,r = d( )P r ',

d( )P,r =Ι Ax By + C Ι +

A 2 B 2 + ⇒ d( )P,r' =

Ι A'x B'y + C' Ι +

A' 2 B' 2 +

Ι Ax By + C Ι +

A 2 B 2 + =

Ι A'x B'y + C' Ι +

A' 2 B' 2 +

Ι Ax By + C Ι +

A 2 B 2 + =

Ι A'x B'y + C' Ι +

A' 2 B' 2 +

29

2º.-

Estas dos igualdades son las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman 2 rectas secantes. Se diferencian en el signo del 2º miembro.

Ι Ax By + C Ι +

A 2 B 2 + =

Ι A'x B'y + C' Ι +

A' 2 B' 2 +

30

31

1 - Calcula la distancia del punto P( 2, -3) a las siguientes rectas: a) Lo primero que haremos, será pasar ambas rectas, a su forma general. Para ello ¿qué podemos hacer? Vamos a despejar “t” en ambas ecuaciones y nos queda el siguiente sistema: Igualamos, ambas ecuaciones: Ya tenemos la recta, expresada en forma general. Ahora tan solo nos queda aplicar la fórmula de la distancia de un punto, que es el punto P, que nos dan el enunciado a la recta que hemos obtenido: Ahora vamos a racionalizar el resultado: Por tanto la distancia pedida, es: b) Lo primero que haremos, será pasar ambas rectas, a su forma general. La ecuación. Será la siguiente:

x = 2 tY t

t =x2

t = y

x2

= y ⇒ x = 2y ⇒ x 2y + = 0

4

5=

4 5

5

4 5

5

32

Ya tenemos la recta, expresada en forma general. Ahora tan solo nos queda aplicar la fórmula de la distancia de un punto, que es el punto P, que nos dan el enunciado a la recta que hemos obtenido: Por tanto la distancia pedida, es: c) 2x + 5 = 0 Aquí ya tenemos la ecuación de recta en forma explícita o general. Tan solo nos basta con aplicar la fórmula de la distancia de un punto a una recta: Por tanto la distancia pedida, es: 2.- Calcula la distancia del origen de coordenadas a las siguientes rectas: a) 3x – 4y + 12 = 0 Por tanto la distancia pedida, es: b) 2y – 9 = 0 Por tanto la distancia pedida, es: c) x = 3

33

Por tanto la distancia pedida, es: 3 d) 3x – 2y = 0 Por tanto la distancia pedida, es: 0 ¿Qué ocurre con este resultado obtenido? Algo tan sencillo, como que la recta pasa por el origen de coordenadas. En esta tanda de ejercicios, lo único que debe de quedar claro, es una cosa, que el punto P es el punto (0,0). Y que todos los cálculos del numerador, significan: valor absoluto, por tanto no se tienen en cuenta “nunca” los signos matemáticos. 3.- Calcula la longitud del segmento que determina la recta r: x – 2y + 5 = 0 al cortarse a los ejes de coordenadas. Lo que piden realmente es calcular la distancia entre los puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas. Por tanto, vamos a calcular esos puntos de corte a los que aludimos. A ver lo que hay “oculto” en esta trangallada. Pues algo tan sencillo como esto: Para que se corte con el eje de las x. Tendremos que hacer x = 0 Por tanto: 1º punto de corte: Para que se corte con el eje de las y. Tendremos que hacer y = 0

34

Por tanto: 2º punto de corte: Entonces será la dist(A, B). Ahora tendremos que aplicar la fórmula de la distancia entre dos puntos: 4.- Calcula la distancia entre las rectas r: x – 2y + 8 = 0 y r’: -2x + 4y – 7 = 0. Por lo que hemos estudiado en teoría, ya debemos de saber algo, para descartar cosas que no nos valgan, para resolverlo. Si las rectas r y r’ son secantes o coincidentes, la distancia es nula. Y la única forma que tenemos de saberlo, es calculando las pendientes de ambas rectas. Vamos a ello: 1º.- Pasamos el termino independiente de cada ecuación al 2º miembro de la misma. r: x- 2y = - 8 r’: = -2x + 4y = 7 2º.- Es un buen momento para calcular las pendientes de ambas rectas. Por tanto: Ya sabemos que la tener las pendientes iguales, las rectas son paralelas. Hemos descartado en este momento, que ambas rectas sean secantes o coincidentes. ¿Qué parte de la teoría debemos de aplicar, llegadas/os a este punto? Cuando las rectas son paralelas, la distancia entre ambas, es igual a la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra recta.

d( )A B, = Ι A,B Ι = ( )+ ( )x2 x 12 ( )y 2 y 1

2 +

35

Por tanto la distancia entre r y r’ será: dist( P, r’) con la condición de P ε r Aquí es donde tenemos una clave para poder resolverlo. ¿Cómo calculamos las coordenadas del punto P? Algo sencillo: Vamos a tomar la recta r y hacemos en ella x = 0. Por tanto, ya tenemos la primera coordenada del punto en esa va a ser 0, puesto que ya hemos elegido este valor. Ahora vamos a sustituir en le ecuación r, dada en el enunciado y hacemos x= 0 Por tanto, las coordenadas del punto P, son ( 0 , 4) Ahora ya estamos en condiciones de aplicar la fórmula de la distancia de un punto a una recta: Ahora ya sustituimos los valores que conocemos y va a quedar solucionado: Por tanto la solución es:

Menudo apuro recordar la formulitaaaaaaaaaaaaaa……..

36

5.- Calcula el ángulo que forman los siguientes pares de rectas: a) Vamos a calcular las pendientes de ambas rectas. El porqueeeeeeeeeeeeeeeeeeeee lo vamos a ver una vez hayamos obtenido este resultado. Pero podéis ir pensando en alguna formula trigonométrica, para intuir por donde van a ir los tiros. Venga a pensar un ratito………………… 1º.- 2º.- ¿ Y ahora quééééééééé…………………………… hacemos, para poder continuar? ¿Alguna/alguno se acuerda de algo que pueda ligar el valor de la pendiente de una recta, con un ángulooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo? Muy biennnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn, era esa. Justamente esta: La de las razones trigonométricas de la diferencia de ángulos: Aquí la tenemos: Vamos a seguir con nuestra línea de razonamientos por los conocimientos que tenemos de este caso. Como Sustituyendo los valores de las pendientes que hemos calculado anteriormente, en esta última fórmula, obtenemos:

37

Estamos hablando, por supuesto de valores “absolutos” de ahí que el signo, lo obviemos o descartemos. Por tanto la pendiente es = 1. ¿Qué ángulo tiene por pendiente ese valor? El de 45ª Por tanto la solución es: b) A ver si nos acordamos de esto que hemos visto en la teoría: El ángulo formado por dos rectas secantes es el MENOR de los ángulos que determinan dichas rectas y COINCIDEN con el ángulo que forman sus vectores directores. Un rollo de campeonato, ya lo seeeeeeeeeeeeeee…………….pero “ajo y agua” es necesario saberlo. La fórmula es la siguienteeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee: Ahora estamos en disposición de sustituir valores en esta fórmula: Por supuesto no vamos a continuar haciendo operaciones, puesto que el numerador es igual a 0. Por tanto cos r. r’ = 0º Y el ángulo cuyo coseno, vale 0, es el de 90º Por tanto la solución es: cos α = 90º 6.- Calcula la distancia entre los puntos A(5,4) y B(2,8) A ( 5, 4 ) B ( 2, 8 ) x1 y1 x2 y2

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En este ejercicio, tan sencillo, con aplicar la fórmula de la distancia entre dos puntos, es más que suficiente. Vamos a escribirla, para recordarla: Es el momento sustituir valores en esta fórmula: Por tanto la solución es : d = 5 7.- La distancia de un punto A (10,6) a otro B del eje de abcisas es 10 unidades. Calcula las coordenadas del punto B. Por el enunciado, sabemos algo: El punto B pertenece al eje de abcisas, por Tanto tiene por coordenadas B(x, 0). Sin llegar a esta propuesta, no conseguiríamos ser capaces de resolver el problema. Vamos a escribir, de forma gráfica, los datos que conocemos, para ver cual de las fórmulas conocidas, nos puede encajar, para solucionar el problemita. A ( 10, 6 ) B ( x, 0 )

x1 y1 x2 y2

Ya sabemos que la única fórmula que nos puede encajar, es la de la distancia entre dos puntos: Vamos a sustituir valores:

Hemos elevado al cuadrado los dos miembros de la igualdad, para evitar la raíz.

d( )A B, = Ι A,B Ι = ( )+ ( )x2 x 12 ( )y 2 y 1

2 +

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Por tanto, las dos soluciones, son X = 18 y también lo cumple x = 2 Por tanto, tenemos a la vista dos soluciones: B = ( 2, 0) y también B’ = ( 18, 0) 8.- Calcular la distancia entre las rectas r: 2x + 3y – 5 =0 y r’: 2x + 3y + 7 = 0 Lo primero que vamos a hacer, es calcular la pendiente de ambas rectas, a ver que pasa. En la recta r : 2x + 3y 5 = 0 En la recta r’ = 2x + 3y + 7 = 0 ¿Cómo son ambas pendientes? Igualessssssssssssssssss Por tanto: Cómo son las rectas entre sí: Paralelassssssssssssss. Y debemos conocer una fórmula que abrevia un montón la resolución. Es esta:

Por tanto la solución, es: 9.- Calcular la distancia entre las rectas r: x = 2- 3t y r’: y = 1 +t. Lo primero que haremos, será pasar ambas ecuaciones a la forma general, para poder calcular las pendientes. R: x + 3y – 5 = y r’: x + 3y + 18 = 0 Venga, ahora ya, sin necesidad de hacer cálculos. ¿Qué observamos en ambas rectas? Que los coeficientes de A y B, son iguales en ambas rectas.

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¿Cómo son sus pendientes? Son igualesssssssssssssssssssssssssssssss………… Por tanto, las rectas son: Paralelasssssssssssssss…………….. Volvemos a aplicar la fórmula del problema anterior y listo. Por tanto la solución, es: 10.- Calcular la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2,5) y B(4, -7) Este es otro ejercicio muy sencillito, tan solo para que nos acordemos de la fórmula de la mediatriz de un segmento. La escribimos: Y con sustituir valores, tendremos el ejercicio resuelto. Pero para irnos ordenando un poquito, vamos a escribir los puntos y asociarlos a sus respectivas incógnitas de la fórmula dada. A ( 2, 5 ) B ( 4, - 7 )

x1 y1 x2 y2

Si elevamos al cuadrado, ambos miembros de la igualdad, las raíces, desaparecen y nos quedaría de la forma siguiente: Seguimos haciendo operaciones: Simplificando: x – 6y – 9 = 0. Por tanto la solución pedida es: x – 6y – 9 = 0. Vamos a hacer otro, similar, para tomar mucha más soltura y para volver a escribir la fórmula. Repitiéndonos, a veces somos capaces de aprender algo.

d( )P,A = d( )P B, = ( )x x 12 ( )y y 1

2 + = ( )x x22 ( )y y 2

2 +

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10.- Calcular la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(-3,4) y B(1,0) Lo primero, escribimos esa fórmula, para ir practicando: Al igual que en el ejercicio anterior, vamos a escribir los puntos dados, para ir asociándolos con las incógnitas de la fórmula escrita. A ( - 3 , 4 ) B ( 1 , 0)

x1 y1 x2 y2 Es el momento de sustituir estos valores en la fórmula, para proceder a los cálculos: Si elevamos al cuadrado, ambos miembros de la igualdad, las raíces, desaparecen y nos quedaría de la forma siguiente: Seguimos haciendo operaciones: Simplificando: x – y + 3 = 0 Por tanto la solución pedida es: x – y + 3 = 0 11.- Calcular las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que determinan las rectas r: 3x – 4y + 5 = 0 y r’: 6x + 8y + 1 = 0 Aquí no se plantea ninguna duda, tan solo el recordar la fórmula de las bisectrices de dos ángulos determinadas por 2 rectas secantes. 1ª Bisectriz: 2ª Bisectriz: Es el momento de sustituir valores, en las fórmulas dadas y proceder a efectuar los cálculos correspondientes, que no son difíciles, por cierto.

d( )P,A = d( )P B, = ( )x x 12 ( )y y 1

2 + = ( )x x22 ( )y y 2

2 +

Ι Ax By + C Ι +

A 2 B2 + =

Ι A'x B'y + C' Ι +

A' 2 B' 2 +

Ι Ax By + C Ι +

A 2 B 2 + =

Ι A'x B'y + C' Ι +

A' 2 B' 2 +

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Por tanto 1ª bisectriz: Por tanto 2ª bisectriz: 12.- Calcular las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forma la recta 5x + 12y – 60 = 0 con el eje de ordenadas. Primer dato a tener en cuenta, para irnos situando en el problema: El eje de ordenadas es el eje OY. Por tanto ¿qué ocurre? Eso,esoooooooooooooooooooooo, a la chuleta, que es cojonudo. Ni falta haceeeeeeeeeeeeeeee: Ocurre que x = 0 Hala!!!!!!!!!! Ya está solucionado el primer obstáculo. Y creo que el único. Por tanto el eje de ordenadas tiene por ecuación x = 0 Vamos a sustituir valores en la fórmula de la bisectriz de un ángulo: Simplificamos, dividiendo entre 4: Por tanto 1ª bisectriz:

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Simplificamos, dividiendo ambas igualdades entre 6: Por tanto 2ª bisectriz: 13.- Calcular las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forma la recta 3x + 4y – 1 = 0 con el eje de abcisas. Primer dato a tener en cuenta, para irnos situando en el problema: El eje de ordenadas es el eje OX. Por tanto ¿qué ocurre? La misma pregunta del ejercicio anterior. Que la ecuación del eje de abcisas es y = 0 Vamos a sustituir valores en la fórmula de la bisectriz de un ángulo: Por tanto 1ª bisectriz: Por tanto 2ª bisectriz: 14.- Calcular la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por los puntos A(-2,1) y B(3, -2) Lo primero que vamos a hacer, va a ser colocar los datos del enunciado y ver las coordenadas de cada punto dado, para ver que podemos hacer. A ( - 2 , 1 ) B ( 3 , - 2 ) x1 y1 x2 y2

Una pregunta que nos surge: ¿qué hacemos para poder continuar?

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¿Y para qué vamos a aplicar esta fórmula, os preguntareis? Par algo tan elemental, como que tenemos que calcular la recta que pasa por los 2 puntos dados en el enunciado. Es el momento de sustituir estos valores en la ecuación que hemos escrito. Para eso, hemos colocado los puntos por donde pasa esta recta. Para ver sus coordenadas. Por tanto hemos calculado la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados. Ahora pensamos ¿qué nos preguntaban en el enunciado? Creo que: La distancia de esta recta que hemos calculado al origen de coordenadas. Todas/os sabemos que el origen de coordenadas, es el punto P(0,0) Entonces aplicamos la distancia de este punto (0,0) a la recta que hemos calculado y solucionado el problema. Por tanto la distancia pedida, es: 15.- Calcular la distancia del punto P(-1,1) a la recta que corta a los ejes OX y OY a las distancias de 3 y 4 respectivamente del origen. Como podemos observar en el gráfico, no existe tan solo una recta que cumpla la condición, sino que son 4 distintas, por los valores relativos de los puntos dados.

¿Y si aplicamos la fórmula de la ecuación de una recta que pasa por 2 puntossssssss….?

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Lo primero, que vamos a utilizar es la ecuación de la recta en forma segmentaria. El primer valor que vamos a utilizar es a = 3 y b = 4 Sustituimos este valor en la fórmula anterior: Por tanto, ya tenemos la 1ª ecuación de la recta, que pasa por esos puntos. Entonces, el enunciando nos decía que la distancia era del punto P(-1,1) a la recta. Vamos a aplicar, la formula de la distancia de un punto a una recta: Por tanto 1ª solución: Haremos lo mismo, para calcular la distancia, al segundo punto: Los valores que vamos a utilizar son: a = -3 y b= 4 Volvemos a utilizar la fórmula de la ecuación segmentaria de la recta, para calcularla: Esta es la ecuación de la recta, que pasa por esos puntos. No debemos de olvidarnos del enunciado, que nos pide la distancia de la recta que acabamos de calcular al punto P(-1,1). Volvemos a aplicar la fórmula de la distancia de un punto a una recta: Por tanto 2ª solución: Los valores que vamos a utilizar en este cálculo son: a = 3 y b = -4 Escribimos la ecuación segmentaria de la recta, para sustituir valores: Esta es la ecuación de la recta, que pasa por esos puntos. No nos olvidemos del enunciado, que nos pide la distancia de la recta que acabamos de calcular al punto P(-1,1). Volvemos a aplicar la fórmula de la distancia de un punto a una recta:

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Por tanto 3ª solución: Los valores que vamos a utilizar en este cálculo son: a = - 3 y b = -4 Escribimos la ecuación segmentaria de la recta, para sustituir valores: Esta es la ecuación de la recta, que pasa por esos puntos. El enunciado, nos pide la distancia de la recta que acabamos de calcular al punto P(-1,1). Volvemos a aplicar la fórmula de la distancia de un punto a una recta: Por tanto 4ª solución: Un recordatorio, acordaros que las soluciones hablan de valores absolutos, por tanto estamos despreciando los signos. 15.- Dada la recta de ecuación r: ax + by = 1, calcular a y b, sabiendo que la recta dada es perpendicular a la recta s: 2x+4y = 11 y además, pasa por el punto P ( ) Conocemos la ecuación de la recta que tiene que ser perpendicular a la que vamos a calcular. Lo primero que vamos a hacer con esta recta conocida, es calcular su pendiente. s: ( a, b) Vamos a escribir las rectas, dadas en el enunciado: r: ax +by – 1 = 0 Vector director de r s: 2x + 4y – 11 = 0 Vector director de s ¿Cómo tienen que ser las rectas entre si? Perpendicularesssssssssssssssssssssss….. ¿Traducido significa esto? Que el producto escalar de vectores directores sea igual a cerooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo. Vamos a realizar el producto escalar, de ambos vectores directores:

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Para que esta igualdad, se cumpla, tiene que ocurrir esto: ¿Qué ha pasadoooooooooooooooooooooooo? ¿Por qué alguien se ha tirado a la basura? Ahhhhhhhhhhhhhhhh………….por el cambio que hemos hecho en las coordenadas del vector director. Bueno, vamos a explicarlo, despacitooooooooooo…… 1ª Forma: ¿Para qué dos rectas sean perpendiculares entre si, cómo tienen que ser sus pendientes? Pues al multiplicar m y m’ su producto, tiene que ser – 1. Si hemos calculado hace un momento la pendiente de la recta conocida y era de -1/2, Podemos establecer esta igualdad, sencilla: m . m’ = - 1. Sabemos que m = -1/2 . Cuanto debe de valer m’, para que el resultado sea – 1. Pues tiene que ser: 4/2 Por tanto, si m’ = 4/2. La pendiente m’ 2ª Forma de calcularlo: Vamos a efectuar el producto escalar de ambos vectores: Ahora es el momento crucial, para no perdernos: El vector ( - b, a) = (2,4) Ello supone que: - b = 2 por tanto b = -2 y a = 4. La solución del ejercicio es: a = 4 y b = 2. Vamos a comprobar, si está bien hecho: La recta r : 4x – 2y – 1 = 0.

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1º.- Calculamos el vector director de la recta: 2º.- Calculamos su pendiente: Ahora tomamos la recta s: 2x + 4y -11 = 0 Procedemos de la misma forma, que con la anterior: 1º.- Calculamos el vector director de la recta: 2º.- Calculamos su pendiente: Lo primero que voy a hacer, es hacer un dibujo de ambas rectas, para verlo: Observamos que se cumple, la condición de perpendicularidad: m . m’ = - 1 Por tanto, queda demostrado. 16.- Los vértices de un triángulo, son A(-1,3) B( 2, -7) y C (4, -1). Calcular: a.- La ecuación de la mediana correspondiente al vértice A. b.- La altura con vértice en A. c.- El área del triángulo. d.- La ecuación de las bisectrices correspondiente al vértice C. Lo primero, que debemos de hacer es representar el triángulo: 1º.- Vamos a calcular el punto medio del lado BC.

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Por tanto, las coordenadas del punto medio de lado La ecuación de la mediana correspondiente al vértice C, es la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-1,3) y por el punto P(3, -4). Mediana es: la recta que une un vértice cualquiera de un triángulo con el punto medio del lado opuesto. Por tanto vamos a utilizar la fórmula de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos conocidos. A ( -1, 3 ) P ( 3, - 4) x1 y1 x2 y2

Por tanto, solución al apartado a: 2º.- Vamos a calcular la altura desde el vértice A. La altura es la recta perpendicular que une un vértice cualquiera con el lado opuesto. Por tanto es la distancia de la recta que partiendo del punto A, es perpendicular a la recta que pasa por los puntos B y C. ¿Qué va a ser lo primero que hagamos? Algo tan sencillo, como calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos citados. B ( 2, - 7 ) C ( 4, - 1) x1 y1 x2 y2

Si ahora calculamos la distancia del punto A, a esta recta, ya tendremos el valor de la altura, correspondiente al vértice A. Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a una recta: Por tanto, solución al apartado b: Valor de la altura del vértice A.

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Siendo lógicas/os, vamos a aceptar lo siguiente: Al tomar como referencia el vértice A, para calcular la altura, asumimos que la base de nuestro triángulo es el lado BC. 3º.-Ahora vamos a calcular el valor del lado BC. Será la distancia existente entre los puntos B y C. Aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos y listo: B ( 2 - 7 ) C ( 4 – 1) x1 y1 x2 y2 Creo ya tenemos todos los datos correspondientes, para poder calcular al superficie del triángulo pedida: Sustituimos valores: Por tanto, solución al apartado c: 19 unidades cuadradas. 4º.- Tendremos que conocer las ecuaciones de las rectas BC y AC, que son las que al cruzarse, determinan dicho ángulo. La ecuación del lado BC ya la hemos calculado anteriormente, es la siguiente: 3x – y – 13 = 0. Es el momento para calcular la ecuación del lado AC. ¿ Y cuál será? Será, la de la recta que pasa por los puntos A y C. Por tanto, vamos a aplicar la ecuación de la recta que pasa por 2 puntos: A( -1, 3) C ( 4, - 1 ) x1 y1 x2 y2 Ya tenemos calculadas, las ecuaciones de ambos lados. Es el momento de aplicar la fórmula correspondiente. Ya damos por supuesto, que seguimos expresando los cálculos en valores absolutos: Vamos a sustituir los valores en esta fórmula:

Ι Ax By + C Ι +

A 2 B2 + =

Ι A'x B'y + C' Ι +

A' 2 B' 2 +

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Ahora vamos a calcular la otra bisectriz: 17.- Los puntos B(-1,3) y C(3, -3) son los vértices de un triángulo isósceles que tiene el tercer vértice A, en la recta x + 2y – 15 = 0. Siendo AB y AC los lados iguales, calcular las coordenadas del punto A y la altura correspondiente al vértice A. Pm es el punto medio del segmento BC. Vamos a calcular sus coordenadas: Por tanto Pm = ( 1, 0)

Ι Ax By + C Ι +

A 2 B 2 + =

Ι A'x B'y + C' Ι +

A' 2 B' 2 +

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La mediatriz del lado BC (M) es perpendicular la recta BC y pasa por el punto A. ¿Quéeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee, estamos todas/os chingadas/os, ehhhhhhhhhhhhhh? ¿Cómo continuaremossssssssssssssssssss? Ahhhhhhhhhhhhhhhh… venga pensad………….. 1º Paso: ¿Y si calculamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos BC? ¿podemos hacer otra cosa? De momento, ninguna otra. Ya veremos para que hacemos este cálculo, por otra parte obligatorio. B ( - 1 3 ) C ( 3 , - 3 ) x1 y1 x2 y2

Bueno, ya tenemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos BC. ¿Y quéeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee? Que coño hago con ella, la envuelvo en papel de aluminio y la congelo o ¿quéééééé´? Noooooooooo…………….para nada, no seaís burras y burros, coñeeeeeeeeeeeeeeee….. ¿Cómo es la recta M? Ahhhhhhhhhhhhhhhhh…claro……………………..que siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii.. Es perpendicular a la recta que hemos calculado. ¿Y qué mássssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss? Esto no nos llega para seguir. Pues tan sencillo: como que el producto de sus pendientes = - 1. Ya os vale, ehhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh 2º Paso: Vamos a calcular la pendiente de esta recta. ¿Cuál es el vector director de la recta?. Más de lo mismo, es decir lo de siempre: a b Por tanto como su pendiente, viene dada por: Si esta recta 3x + 2y – 3= 0 es perpendicular a la recta da r’: x + 2y – 15 = 0 con la condición establecida en el enunciado que son “perpendiculares”, tiene que cumplirse:

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Condición de perpendicularidad entre dos rectas. Vamos a sustituir valores en la fórmula anterior, para calcular la otra pendiente de la recta dada. Esta pendiente que hemos calculado es la pendiente de la recta perpendicular a la dada. 3º Paso: Es el momento de calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto Pm, sabiendo que es perpendicular a la recta dada: Conocemos dos datos para efectuar este cálculo: Uno es la pendiente de la recta: m Otro: Es el punto por el que pasa Pm (1,0). ¿Qué fórmula podemos aplicar para efectuar este cálculo? La de la ecuación de la recta en forma punto pendiente: y – y0 = m ( x – x0) Tenemos m = 2/3 P ( 1, 0 ) x x0 Por tanto ya tenemos calculadas las ecuaciones de estas rectas. ¿Cómo calculamos en este momento las coordenadas del punto A. Algo tan sencillo, como calculando el punto de intersección(es decir el punto donde se cortan) de ambas rectas. - 7y = - 28 y = 28/7 y = 4 Ahora tendremos que calcular el valor de “x” Sustituimos el valor que hemos calculado de “y” en la 2ª ecuación del sistema, porque nos da la gana utilizarla, podríamos haber utilizado también, la 1ª ecuación. Bien, vamos a ello: x + 2y = 15 x = 15 – 2y = 15 – 2( 4) = 15 -8 = 7 Por tanto x = 7 Primera solución: coordenadas del punto pedido: A (7,4) Es el momento de calcular la ecuación de la altura correspondiente al vértice A.

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¿Y cuál es? Será, la distancia entre el punto A y la recta que pasa por BC. Por tanto, tenemos tan solo una opción, aplicar la fórmula de la distancia entre un punto y una recta. Segunda solución: Los vértices de un triángulo, son A(1,2) B(5,4) y C(2,7) Se pide calcular su superficie. Vamos a establecer la condición, que la base del triángulo es la recta que pasa por los puntos A y B. A ( 1 2) B ( 5 4 ) x1 y1 x2 y2 -Al conocer las coordenadas de estos puntos, podremos calcular su valor. ¿Cómo? Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos: Es el momento de calcular la altura del triángulo. ¿Cual será? La distancia desde el punto C a la recta r que pasa por la base. Si tenemos que aplicar la fórmula de la distancia de un punto a una recta, obviamente, lo primero que tendremos que hacer obligatoriamente es calcular al ecuación de esta recta. Vamos a ello. Disponemos de los puntos por donde pasa, por tanto aplicaremos la fórmula de la ecuación de una recta que pasa por dos puntos: A ( 1 2 ) B ( 5 4) x1 y1 x2 y2 Fórmula de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos: Es el momento justo de calcular esa distancia entre el punto C y esta recta:

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Ahora ya podemos calcular la superficie del triángulo: Superficie: 17.- Calcular el ángulo que forman, las siguientes rectas: r: 5x-2y+1 = 0 y r: -2x + 3y + 1 = 0. Vamos a aplicar, la fórmula correspondiente: Entonces α =arc cos 0,824 α = 34º 28’ 18.- Dada la recta r(x,y) = (-1,5) + λ (2, -3) halla las rectas que pasando por el punto P(4,-7) formen un ángulo de 45º con r. Lo primero que debemos de darnos cuenta, es que en el enunciado nos dan la ecuación de una recta en forma vectorial. Vamos a ver que podemos deducir de esos datos. Recordamos la fórmula: (x,y) = (x0,y0) + λ (v1, v2) Recordatorio: Con la ecuación vectorial de la recta obtenemos un conjunto de vectores de posición de puntos que pertenecen a la recta.

Los datos de los que disponemos, son los siguientes:

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r: (-1, 5) + λ (2 , -3) (x,y) = (x0,y0) + λ (v1, v2) Donde: P ( x0,y0) v ( v1, v2) Ahora vamos a sustituir valores: P( -1, 5) y v ( 2, -3) a, b Pendiente de esta recta m’= -b/a = 3/-2 =- 3/2 Como estamos hablando de tangentes, pendientes, etc de una recta, la única forma que nos cabe aplicar para poder continuar, es la siguiente: Es el dato conocido del enunciado Entonces la tg 45º = 1. Es el momento de armar esta ecuación, para comenzar a calcular las respuestas: Hemos suprimido denominadores También en otro cuadrante, existe otra posibilidad de formar ángulo de 45º con la recta y, es cuando el coseno vale -1. Vamos a calcular el valor de la pendiente de esa posible recta. Con cambiar el signo en la igualdad, es más que suficiente. Por tanto vamos a retomar los datos anteriores, después de haber sacado denominadores. Repito la única diferencia es arrancar con la fórmula, pero en vez de valor 1 en el primer miembro, sería – 1. Hemos calculado las pendientes de 2 rectas, que cumplen las condiciones del enunciado. Tan solo nos falta, utilizar la fórmula adecuada de la ecuación de la recta y asunto liquidado.

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1ª solución: P (4, -7) dado en el enunciado m = 5 ¿Qué fórmula nos vendría muy bien, para aplicar en este casoooooooooooooooooo……… ahhhhhhhhhhhhhhhhhh………la de la recta en forma PUNTO PENDiENTE. Por tanto 1ª solución: 2ª solución: P (4, -7) dado en el enunciado m = - 1/5 Por tanto 1ª solución: En este caso concreto, por tratarse de un ángulo de 45º, las rectas son perpendiculares. Puesto que las pendientes son inversas y de sentido contrario. 19.- Calcular las tangentes de los ángulos del triángulo de vértices A(-2,2), B(5,3) y C(2,15) Al hablarnos de cálculos de tangentes de ángulos formados por rectas, ya debemos de pensar en suponer que tendremos que aplicar la fórmula de trigonometría que liga las tangentes con las pendientes de las rectas. Por tanto las pendientes de las rectas, es un cálculo necesario para poder resolverlo. ¿Y cómo calculamos las pendientes de unas rectas desconocidas? Lo primero que debemos hacer cualquiera de nostras/os, antes de comenzar a resolverlo, es conocer los datos que disponemos, encajarlos de alguna manera, y poder continuar resolviendo las cuestiones planteadas. Los datos nos los proporcionan, para obligarnos a razonar sobre algo que conocemos y ver como somos capaces de encajarlo, para solucionar cualquier ejercicio. Lo que nunca nos van es a, poner un ejercicio, donde tan solo haya que sustituir unos datos facilitados en un enunciado, en la fórmula correspondiente. Por tanto esta asignatura, es para obligarnos a ser lógicos, coherentes y muy ordenados a la hora de descifrar el contenido o instrucciones de cualquier enunciado.

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1º Paso: Se me ocurre una cosa. Vamos a calcular las ecuaciones de las rectas de los lados del triángulo dado. ¿Cómo vamos a proceder? Aquí es donde entra nuestra lógica y lo que conocemos. Si tenemos las coordenadas de los vértices del triángulo, ¿por qué no calculamos la ecuación de la recta que pasa por 2 ellos, para comenzar? Vamos a comenzar por el lado AC. Coordenadas: A ( -2 , 2 ) C ( 2, 15 ) x1 y1 x2 y2 Fórmula de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos: Vamos a sustituir el valor de las coordenadas: Es el momento de calcular la pendiente de esta recta: a b 2º Paso: Vamos a continuar por el lado AB. Coordenadas: A ( -2 , 2 ) B ( 5, 3 ) x1 y1 x2 y2 Fórmula de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos: Vamos a sustituir el valor de las coordenadas: Pendiente de esta recta: a b 3º Paso: Finalizamos con el lado BC. Coordenadas: B ( 5 , 3 ) C ( 2, 15 ) x1 y1 x2 y2 Fórmula de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos: Vamos a sustituir el valor de las coordenadas:

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Pendiente de esta recta: a b Ya tenemos calculadas las pendientes de las 3 rectas, que forman el triángulo dado. Pero, pero, pero, pero, también existe otra forma de calcular estas pendientes, sin necesidad de calcular las ecuaciones de las rectas que determinan los lados. Vamos a hacerlo de esa otra forma, así tendréis al menos dos caminos, por donde ir. Elegir el que os sea más sencillo. Cada una/uno a su manera. Vamos a calcular las coordenadas de los vectores directores que forman cada uno de los lados del triángulo, para llegar a calcular sus pendientes.

a b a b a b Y ya están calculadas por este otro sistema. Ahora es el momento de dar el siguiente paso. Consiste en calcular las tangentes de los vértices. Y podemos hacerlo, puesto que ya tenemos las pendientes de las rectas y la única fórmula que podemos aplicar es:

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20.- ¿El ángulo qué forman las rectas r: 2x+3y= 5 y s: x -4y =2, es mayor o menor de 45º?. En este caso, a través del enunciado, ya sabemos que nos vemos obligados a calcular la tangente del ángulo que forman las rectas dadas al cruzarse. Pero tenemos todos los elementos a mano, para calcularlo, puesto que al conocer las rectas, estamos en condiciones de calcular sus pendientes. Y una vez calculadas, a sustituirla en la fórmula de la tangente, que acabamos de utilizar en el ejercicio anterior:

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a b a b Si tg 45º = 1. el ángulo que forman, por tanto es MAYOR de 45º. 21.- Determinar el valor de “a” para que las rectas r: ax +(a-1)y -2(a+2) =0 y la recta s: 3ax – (3a+1)y – (5a+4) = 0 sean : a) Paralelas. Lo primero que debemos pensar es: ¿Cuándo 2 rectas son paralelas? Cuando sus pendientes son iguales En la recta r: En la recta s: Si tiene que cumplirse: Por tanto, para ser paralelas: b) Perpendiculares.

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Lo segundo que debemos pensar es: ¿Cuándo 2 rectas son perpendiculares? Cuando el producto escalar de sus vectores directores = 0. O también cuando el producto de sus pendientes = -1 Debido a que en el apartado anterior, ya hemos calculado los vectores directores y las pendientes, ya podemos expresar la condición de perpendicularidad: Vamos a calcularlo por otro sistema, por el producto de sus pendientes: Por tanto, para ser perpendiculares: 22.- Calcular la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A( 1,-2 ) y B ( 3,0 ) y el ángulo que forman con el eje OX. Lo primero que tenemos que calcular es la ecuación de la mediatriz de un segmento. Biennnnnnnnnnnnnn,,,,,,,,,,,,,¿Qué es la mediatriz? Es la “perpendicular” trazada en el “punto medio” de un segmento de recta. Cojonudamente definido ¿y…………………….. traducido, qué significa? Algo tan sencillo, como que “divide al segmento en dos partes iguales”. Seguimos traduciendo: La distancia del centro a un extremo, es la misma que del centro al otro extremo. Ya sabemos lo importante y es que esta perpendicular trazada en el punto medio, lo que hace es que las distancias del centro a cualquiera de los dos extremos, sean iguales. Por tanto, lo aplicamos en este ejercicio y podemos escribir: d(P,A) = d ( P,B) siendo A y B los extremos del segmento dado. Por tanto vamos a aplicar la fórmula de la distancia entre dos puntos:

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A ( 1, -2 ) B ( 3, 0 ) x1 y1 x2 y2 ¿Cómo hemos dicho, qué tienen que ser? Iguales…………………………… Hacemos operaciones: Por tanto ecuación de la mediatriz: Ya tenemos la primera solución lista. Pero, vamos a hacerlo por otro sistema, para que cada una/uno vaya por el camino que le resulte más sencillo. A ( 1, -2 ) B ( 3, 0 ) x1 y1 x2 y2 ¿Qué fórmula podremos aplicar? La de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Los puntos A y B. Simplificando os queda: Es la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados en el enunciado. Como obligatoriamente tiene que pasar por el punto medio del segmento, vamos a calcularlo, yaaaaaaaaaaaaaaaaaaa……………….. Coordenadas del punto medio de un segmento: Es el momento de retomar la ecuación de la recta que hemos calculado, para trabajar con las pendientes, puesto que tenemos que establecer la condición de perpendicularidad.

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Recta x – y – 3 = 0 a b Como las rectas tiene que ser paralelas, tiene que cumplir la condición de: a) El producto escalar de los vectores directores tiene que ser cero. b) O bien, que el producto de sus pendientes sea igual a – 1. m.m’ = - 1 Datos que tenemos: Punto por el que tiene que pasar(era el punto medio) P ( 2, -1) Pendiente: m’ = - 1 La fórmula que debemos aplicar es la de la ecuación de la recta en forma punto pendiente: Por tanto ecuación de la mediatriz: El mismo resultado que hemos calculado anteriormente. Ahora nos queda por calcular el ángulo que forma con el eje OX: Evidentemente cuando el punto está sobre el eje de las “x” y = o. Por tanto: x +0-1 = 0 x = 1 Punto de corte de las rectas P(1,0) Es el momento para calcular el ángulo que forman dichas rectas: ¿Qué fórmula aplicamos? x y x’ y’ Ahora volvemos otra vez a tener que acordarnos de alguna cosa de trigonometría. ¿Cuál es el ángulo que tiene por valor ? El de 45º. Por tanto

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La representación gráfica, de todo lo que hemos calculado, es esta: 23.- En el triángulo de vértices A(-2,3) B(5,1) y C(3.-4), calcula las ecuaciones de: a) La altura que parte del vértice B b) La mediana que parte del vértice B c) La mediatriz del lado CA. Primero vamos a dibujar el triángulo. Siempre nos va a ayudar algo su imagen. Lo primero que nos preguntamos: ¿Cómo podremos calcular la altura del triángulo? Algo tan sencillo, como calculando la distancia del vértice B a la recta AC. Por consiguiente, nos vemos obligados a calcular la ecuación de la recta del lado AC. ¿Qué fórmula usaremos? La de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. La altura es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto.

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Por tanto es la recta perpendicular al lado AC y que pasa por el punto B. Nosotras/os tenemos un patrón establecido, para seguir los pasos de una manera que nos viene bien. Por tanto, vamos a seguir como siempre, hablando de rectas, pendientes, perpendiculares, etc. Lo primero que se nos ocurre es calcular la ecuación de la recta del lado AC. ¿Cómo procedemos? Creo que calculando la recta que pasa por dos puntos (puntos A y C). Vamos a escribir los puntos y aplicar la fórmula: A ( - 2, 3 ) C ( 3, -4 ) x1 y1 x2 y2 Ecuación de la Recta AC: Buenoooooooooooooo, ya no nos falta todo por calcular, ya tenemos algo…. Y ¿para qué rayos hemos esta ecuación? ¿Ya no nos acordamos del enunciado? Entonces a ver ahora: La altura es la perpendicular a esta recta calculada, y además tiene que cumplir otra condición, pasar por el punto B. Como hablamos de perpendiculares, lo primero que nos viene a la cachola es “pendiente de una recta” A a b Como tienen que ser perpendiculares, se tiene que cumplir a puro huevo: Ahora nos vamos a parar todas y todos a ver que tenemos calculado. 1º:- La ecuación del lado AC. 2º.- La pendiente de la recta perpendicular a la del lado BC 3º.- Tenemos por enunciado el punto por donde tiene que pasar que es B. Se nos ocurre que ya podemos aplicar la ecuación de la recta en forma punto-pendiente: B ( 5, 1 ) x0 y0 Por tanto la ecuación de la altura es:

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b) La mediana es la recta que partiendo de B, pasa por el “punto medio” del lado AC. Por consiguiente, nos vemos obligadas/os a calcular el punto medio del lado AC. Fórmula de las coordenadas del punto medio de un segmento: A ( - 2, 3 ) C ( 3, -4 ) x1 y1 x2 y2 C( 5, 1) x2 y2 x1 y1 La mediana, será por tanto la recta que pasa por el punto C y el punto MB. Habrá que utilizar, por tanto la fórmula de la ecuación de la recta que pasa por esos 2 puntos. Por tanto la ecuación de la mediana del vértice B: c)La mediatriz del lado CA. La mediatriz es la recta “perpendicular” desde B al punto medio de la recta AC. La ecuación de la recta AC, la tenemos calculada en la primera parte de este ejercicio y es: El Punto medio de AC, lo hemos calculado en el apartado anterior y es: Por tanto como es “perpendicular” al lado AC, vamos a calcular la pendiente de esa nueva recta. Como hablamos de perpendiculares, lo primero que nos viene a la cachola es “pendiente de una recta”

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Como tienen que ser perpendiculares, se tiene que cumplir a puro huevo: Por tanto, disponemos de:

a) La pendiente de la nueva recta. b) El punto por donde tiene que pasar.

Deberemos aplicar, entonces, la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente. x0 y0

Por tanto la ecuación de la mediatriz del vértice B:

24.- La recta 2x+3y-6 = 0 determina, al cortar a los ejes de coordenadas, un segmento AB. Se pide calcular la ecuación de la mediatriz de AB. Esto que vemos, es la representación gráfica de los datos del enunciado. Por tanto ¿qué es lo primero qué debemos calcular? Los puntos de corte de la recta, con los ejes OX y OY.

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Cuando la recta corta al eje OX, ¿cuánto vale y? Sencillamente cero. Por tanto, para calcular el punto de corte en el eje de las “x” hacemos y = 0. Y tenemos un sistema formado por y = 0 y la recta dada. Por tanto ya hemos calculado el primer punto de corte: A( 0,2) Cuando la recta corta al eje OY, ¿cuánto vale x? Sencillamente cero. Por tanto, para calcular el punto de corte en el eje de las “y” hacemos x = 0. Por tanto ya hemos calculado el primer punto de corte: B( 3,0) Como nos piden calcular, la ecuación de la mediatriz de AB, tendremos que calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto medio de la recta AB. Y además, tiene que cumplirse obligatoriamente que sea “perpendicular” a la recta dada en el enunciado. Vamos a calcular el punto medio del segmento determinado por A y B. A( 0,2) B( 3,0) x1 y1 x2 y2

Biennnnnnnnnnnnnnnnnnnn……………ya tenemos el punto por donde tiene que pasar esa recta perpendicular a la dada. Ahora vamos a calcular la “pendiente” de esta nueva recta, para que sea perpendicular. Recta: 2x + 3y – 6 = 0 a b Por tanto, como conocemos la pendiente de la recta y el punto por donde debe de pasar, vamos a aplicar la fórmula de la ecuación en forma punto-pendiente:

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Por tanto la ecuación de la mediatriz de AB es: Vamos a buscarnos otra forma para resolver este tipo de ejercicios, por si a alguna/o de vosotras/os os resultase más sencillo. La mediatriz es la perpendicular a un segmento, que pasa por el “punto medio”. Por tanto ¿qué podemos deducir de esta definición? Que la distancia del punto de corte a un extremo es igual a la distancia de ese punto de corte al otro extremo del segmento. ¿Y queéééééé …………………. mássssssssssssssssss……………………? La distancia entre el punto de corte y cada uno de los extremos, es Igualllllllllll……. A( 0,2) B( 3,0) x1 y1 x2 y2 ¿Y si aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos? Y le imponemos esta condición: d(P,A) = d (P,B) Si elevamos ambos miembros al cuadrado: El cuadrado y la raíz se eliminan y queda:

Simplificando: Y obtenemos como resultado: el mismo que el obtenido por el método anterior. Y este dibujo sería la representación gráfica del ejercicio resuelto.

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25.- Halla el pie de la perpendicular trazada desde P(1, -2) a la recta r: x-2y+4 = 0. Como siempre, vamos a tratar de hacer un dibujo para verlo algo más claro: Lo primero que os diré: Estoy alucinado, puesto que no supe nunca que una perpendicular tuviera ni pies, ni piernas ni zapatos, ni cosas raras de esas. Puesto que todo cambia y evoluciona……………..a joerse tocan. Habrá que “traducir” el lenguaje que usan algunas/algunos para poner dificultades hasta en la redacción de algunos ejercicios. Como si ya no llegase el acordarse de fórmulitas, cálculos, signos, etc. Siempre hay alguien con mala leche y avinagrada/avinagrado para pagarlas con los que tenemos que solucionar estos ejercicios. Supongo y digo supongo nada más, que el famoso “pie” debe referirse al punto de corte de la recta perpendicular a la dada, trazada desde el punto (1,-2). Bueno vamos a intentar buscar el zapato de esta recta perpendicular. Hay algo que lo que todas/os debemos estar pensando: Si es perpendicular, debemos calcular la ecuación de esta recta, a través del “código” de la pendiente. Es decir: m . m’ = -1 o bien como siempre le vemos: m= - 1/m’

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En la ecuación dada en el enunciado, vamos a calcular como siempre el vector director de la recta: a b Ya hemos calculado: El vector director de la recta y también su pendiente. Como tienen que ser perpendiculares entre sí, vamos a establecer esta condición y calcular la pendiente de la nueva recta: Y el punto por donde obligatoriamente tiene que pasar es el P( 1, -2) x0 y0 Ya estamos en condiciones de calcular la ecuación de esa perpendicular pedida, utilizando para ello, la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente: Ecuación de la perpendicular a la dada y que pasa por (1,-2) = 2x + y = 0 Por tanto el pie, el zapato o lo que coño sea, será el punto de intersección de estas 2 rectas. Para ello, establecemos el siguiente sistema de ecuaciones: Por tanto, ya hemos calculado el zapato de la perpendicularidad. El pie calzado, nos queda: Pie de la perpendicular: P Esta es la representación gráfica del ejercicio resuelto:

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26.- Las ecuaciones de los lados del triángulo ABC son: AB: x+2y-4=0, AC: x-2y = 0 y BC: x+y = 0. Calcular: a) Los vértices del triángulo b) El vector que une los puntos medios de AB y AC. El triángulo(de forma clara) es el siguiente: Lo primero que tenemos que hacer, es calcular las coordenadas de los vértices del triángulo. Vértice A: Intersección rectas AB y AC. Acordaos siempre: Cuando nos piden las coordenadas de los vértices de un triángulo, debemos de resolver el sistema formado por las 2 rectas que se cortan en cada uno de los vértices del citado triángulo. Por tanto nuestro primer sistema a resolver, será: Sumamos: Ahora sustituimos: Vértice A: A ( 2, 1) Vértice B: Intersección rectas AB y BC. Nuestro segundo sistema a resolver, será:

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Multiplicamos por - 2, la 2ª ecuación y nos queda: Sumamos: Ahora sustituimos: Vértice B: B ( - 4, 4) Vértice C: Intersección rectas AC y BC. Nuestro tercer sistema a resolver, será: Multiplicamos la segunda ecuación por 2: Sumando: Ahora sustituimos: Vértice C: C ( 0, 0) Ya tenemos calculados los 3 vértices del triángulo. La siguiente cuestión que nos piden es calcular los puntos medios de 2 rectas. Los puntos son: A ( 2, 1) B ( - 4 , 4 ) x1 y1 x2 y2 Por tanto: Los puntos son: A ( 2, 1) C ( 0 , 0 ) x1 y1 x2 y2 La representación gráfica final, sería esta:

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27.- Calcular la superficie del cuadrilátero de vértices: A(-4,3), B( 0,5), C( 4, -2) y D( -3, -2) Como siempre en problemas de geometría, es conveniente hacer un dibujo, para “ver” mejor los datos y la situación del problema, para ver por donde podemos arrancar. La diagonal AC, divide al cuadrilátero en dos triángulos, con una particularidad Tienen el lado AC común. Vamos a hacer una cosa: Va a ser nuestra base para cada uno de los triángulos. Esta es la nueva imagen, con las alturas de cada uno de los triángulos dibujada: Puesto que tenemos que calcular la superficie de ambos triángulos, ¿por qué no comenzamos por calcular la base “común para ambos? ¿Qué podemos hacer para calcular la longitud de ese segmento AC. Algo tan fácil como calcular la distancia que existe entre el punto A y el punto C. Fórmula que conocemos para calcular la distancia entre dos puntos: Los puntos son: A ( -4, 3) C ( 4 , -2 ) x1 y1 x2 y2 Por tanto: La base de ambos triángulos es: Ahora nos queda por calcular la altura de cada uno de los triángulos que nos han surgido como consecuencia de haber trazado la diagonal AC. Comenzamos por calcular “h” la altura del triángulo: ABC. Creemos que la altura es la distancia del punto B a la recta AC, que es la diagonal. Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a una recta. Punto: B y la recta: AC

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¿Pero, antes, una pregunta, conocemos la ecuación de la recta AC? Pues noooooooooooooooooooooo…………………….entonces, antes de aplicar la fórmula anterior, vamos a calcular la ecuación de la recta AC. Como pasa por los puntos A y C, será la fórmula de la ecuación de la recta que pasa por 2 puntos: Los puntos son: A ( -4, 3) C ( 4 , -2 ) x1 y1 x2 y2 Ya tenemos la ecuación de la recta r: 5x+8y-4 = 0. B(0,5) Ahora si, vamos a aplicar la fórmula de la distancia entre el punto B y esta recta: Esto que acabamos de calcular, es la altura “h” del triángulo ABC. Es un recordatorio para que no os perdáis ninguna/o, sobre lo que estamos calculando. Bien con estos datos, ya estamos en disposición de calcular al superficie del triangulo ABC. Pero nos faltan datos del otro triángulo. El ADC. La base es la misma, puesto que es común para ambos triángulos Sigue siendo el segmento AC. Pero la altura varía. Vamos a calcularla, para poder resolver el ejercicio. También h1 es la distancia entre el punto D(-3,-2) y la recta AC que hemos calculado hace un ratito: r: 5x+8y-4 = 0. D(-3, -2) Esto que acabamos de calcular, es la altura “h1” del triángulo ADC. Entonces la superficie del cuadrilátero, será la suma de la superficie de los 2 triángulos en que lo hemos dividido al trazar la diagonal AC.

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Por tanto la superficie del cuadrilátero es: Ahora vamos a resolverlo, trazando la otra diagonal del cuadrilátero, para que veáis que cualquiera de las 2 que elijamos, nos lleva al mismo resultado. Lo primero, es lo de siempre, vamos a hacer el dibujo correspondiente: En este dibujo el lado común a ambos triángulos es BD. Lo vamos a considerar como la base común de ambos triángulos. ¿Qué podemos hacer para calcular la longitud de ese segmento B. Algo tan fácil como calcular la distancia que existe entre el punto B y el punto D. Fórmula que conocemos para calcular la distancia entre dos puntos: Los puntos son: B ( 0, 5) D ( -3 , -2 ) x1 y1 x2 y2 Esto que acabamos de calcular es la Base BD de ambos triángulos. Ahora vamos a calcular la altura “h” correspondiente al triángulo ABD. Lo primero será calcular la ecuación de la recta BD. Los puntos son: B ( 0, 5) D ( -3 , -2 ) x1 y1 x2 y2

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Es el momento de calcular la distancia del punto C(4,-2) a la recta que hemos calculado, para calcular el valor de la altura “h1” en el triángulo ABD. Es el momento de calcular la distancia del punto A(-4,3) a la recta que hemos calculado, para calcular el valor de la altura “h” en el triángulo ABD. Por consiguiente, la superficie del cuadrilátero, será la suma de la superficie de los 2 triángulos en que lo hemos dividido al trazar la diagonal BD. Por tanto, queda demostrado, que cualquiera de las diagonales que hayamos elegido, nos lleva a la misma solución del problema. 28.- Calcular la superficie del triángulo cuyos lados están sobre las rectas: r: x = 3, s: 2x+3y-6 = y t: x-y-7 = 0. Vamos a hacer el dibujo correspondiente a los datos del enunciado a ver como es el triángulo de marras. Bueno, es el triángulo marcado de color azul. Visto así de cerca, parece medio chungo. Lo primero que vamos a calcular van a ser los 3 vértices. Porque seguro que nos harán falta para calcular, rectas, pendientes, distancias y todos los rollos de estos ejercicios. El vértice A es la unión de las rectas AC y AB.

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Ahora lo de siempre: Cuando nos hablan de calcular vértices, que son los puntos de unión de 2 rectas, SIEMPRE debemos de establecer un sistema de ecuaciones de ambas rectas. El resultado del cálculo de las incógnitas, nos proporciona las coordenadas de cada uno de los vértices. Esto recordarlo para siempre. Calculamos el vértice A. Vértice A ( 3, 0) Calculamos el vértice B. Vértice B ( 3, -4) Calculamos el vértice C. Vértice B Ahora vamos a ver como nos queda el dibujo con estos datos y trazando una altura. Hemos trazado la altura que parte del vértice C, hasta la recta AB. Acordaos: La altura es la recta perpendicular que parte del vértice de un triángulo hasta el lado opuesto del mismo. Ojitooooooo ehhhh”perpendicular”. Por tanto hemos elegido el lado AB como base del triángulo. Vamos a calcular su medida. Será la distancia entre dos puntos A y B Los puntos son: A ( 3, 0) D ( 3 , -4 ) x1 y1 x2 y2

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La altura, será la distancia del punto C a la recta AD. rAD : x = 3 x-3 = 0 C ( 27/5, - 8/5) x1 y1 Por tanto, ya podemos dar la solución al ejercicio: Solución: 29.- Trazar por el punto B(0,5) una recta de pendiente 1/3. Por el punto C(5,0) trazar una recta perpendicular a la anterior. Se cortan en un punto A. Se pide calcular la superficie del triángulo ABC. Lo de siempreeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee………….un dibujitooooooooooo…… El punto A, lo calcularemos durante el transcurso del ejercicio. Lo mismo que la recta AB. Por tanto es el dibujo correspondiente, una vez efectuados los cálculos. Lo primero que vamos a calcular es la recta del lado AB, ya que tenemos datos, dados en el enunciado del ejercicio. B ( 0, 5 ) m = 1/3 x0 y0 Estamos en condiciones de aplicar la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente. Esa es la recta correspondiente al lado BA. Ahora vamos a calcular la recta CA. Sabemos que es perpendicular a la que hemos calculado anteriormente.

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Por tanto, Establecemos la condición de perpendicularidad. Es la de siempre y aprovechamos para calcular la pendiente de esta nueva recta. C( 5, 0) x0 y0 Por tanto, volvemos a aplicar la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente: Esta es la ecuación de la recta CA. ¿Para qué hemos calculado estas rectas? Para calcular el vértice A, que todavía desconocemos. Acordaos, que para calcular vértices de un triángulo, siempre, siempre, siempre debemos de formar un sistema de ecuaciones con las rectas que se cortan en ese punto. Coordenadas del vértice A( 3,6) Es el momento oportuno, para calcular la base del triángulo. ¿Cuál será? La distancia que haya entre los puntos A y B. Aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos: Los puntos son: A ( 3, 6) B ( 0 , 5 ) x1 y1 x2 y2

Ahora continuamos con el cálculo de la altura. Es la distancia entre el vértice C hasta la recta AB, que hemos elegido. Este es el dibujo correspondiente: Vamos a calcular el valor de h. Fórmula: distancia de un punto a una recta. C ( 5 , 0 ) x y Recta AB : x- 3y+15 = 0

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30.- En el triángulo de vértices A(-1,-1), B(2,4) y C(4,1), calcula las longitudes de la mediana y de altura que parten de B. Vamos a comenzar, como siempre, confeccionando un dibujitoooooooo……………… La mediana es la recta que une el vértice de un triángulo con el”punto medio” del lado opuesto. A este punto que vamos a calcular, le Hemos llamado M. M en realidad es el punto medio de la recta AC. Es decir de la recta que pasa por los puntos A y C. ¿Cómo podemos calcular estas coordenadas del punto medio de un segmento? Los puntos son: A ( -1, -1) C ( 4 , 1 ) x1 y1 x2 y2

Acabamos de calcular la mediana del lado AC que parte de B. ¿Cuál es entonces esa longitud que nos piden? Lo primero ¿Qué datos, conocidos, tenemos: Un punto B y otro punto MAC. Entonces……………….será cuestión de calcular la distancia entre 2 puntos y listo. Los puntos son: B ( 2, 4) M ( 3/2 , 0 ) x1 y1 x2 y2

Por tanto primera solución. Longitud de la mediana que parte de B:

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La Altura(h) es la perpendicular que parte del vértice B al lado opuesto: AC. ¿Conocemos la ecuación del lado AC? Nooooooooooooooooooooooooooooo. Vamos a calcularla. Es la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y C. Los puntos son: A ( -1, -1) C ( 4 , 1 ) x1 y1 x2 y2 Ya hemos calculado, la ecuación de la recta que pasa por los puntos AC. Por tanto, la altura(h) que parte de B, es la distancia entre el vértice B y esta recta. 31.- Halla el punto de la recta 3x-4y+8 = 0 que equidista de A( -6, 0) y de B( 0, -6) Lo primero. ¿qué significa equidistancia? Distancias iguales. Por tanto, ya podemos establecer la clave de este ejercicio: La distancia entre P y A tiene que ser la misma que la distancia entre P y B. ¿Qué datos conocemos: Las coordenadas de 2 puntos y además la ecuación de una recta. Entonces, obviamente, se trata de calcular la distancia entre 2 puntos y una recta. ¿Y cómo tienen que ser estas distancias a calcular. Igualesssssssssssssssss.. Con igualar ambas fórmulas a aplicar, habremos resuelto el ejercicio. d(P,A) = d(P,B) A ( -6 , 0 ) P ( ? ? ) x1 y1 x y

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B ( 0 , - 6 ) P ( ? ? ) x1 y1 x y Como tienen que ser iguales, igualamos ambas ecuaciones: Elevamos al cuadrado, ambos miembros de la ecuación y resulta, esto: Hacemos operaciones: Por tanto, esta ecuación, nos queda: x = y. ¿Qué hacemos para continuar? Lo primero que tenemos que preguntarnos es lo siguiente: ¿Qué es lo que queremos calcular? Ahhhhhhhhhh……….un punto de una recta. Esto nos tiene que llevar a lo de siempre: Debemos establecer un sistema de ecuaciones, puesto que para calcular las coordenadas de un punto, tiene que ser forzosamente la intersección de dos rectas. ¿Tenemos dos rectas, para poder establecer un sistema de ecuaciones? Siiiiiiiiii.. Como x = y. Si x = 8 y también = 8 Por tanto coordenadas del punto P( 8,8). 32.- Determina un punto en la recta y = 2x que diste 3 unidades de la recta 3x-4y+8 = 0. Este es el dibujo correspondiente

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¿Cuáles son los datos que disponemos? Ahhhhhhhhhhhh……..de 2 ecuaciones y de una distancia entre un punto y una recta. Obviamente, no podemos aplicar otra fórmula que no sea la distancia de un punto a una recta. La clave del ejercicio y “traduciendo” Tenemos que establecer una ecuación que cumpla la condición de estar a 3 unidades de distancia de la recta 3x-4y+8 = 0. Bueno, coño bueno ¿y quééééééééé me cuenta de todo este rollo? Pues que la fórmula de esa ecuación de la distancia entre un punto y esa recta, sea igual a 3 unidades. ¿Os valeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee? Seguro que os puede sorprender, porque estamos acostumbradas/os a usar esta fórmula para calcular la distancia, utilizando para los cálculos, las coordenadas de un punto conocido. En este caso, es al revés no conocemos esas coordenadas, pero SI la distancia entre el punto y la recta. Bien ya tenemos 2 ecuaciones. Como tenemos que calcular las coordenadas de un punto, es hora es establecer un sistema de ecuaciones. Por tanto el punto pedido, es: 33.- Calcula los puntos de la recta y = -x+2 que equidistan de las rectas r: x+2y-5 = 0 y s: 4x-2y+1 = 0 ¿Qué significado tiene “equidistar”? Estar a la misma distancia de cada una de las rectas dadas. Por tanto, lo que habrá que hacer de algún modo, es “igualar” la distancia desde un punto a una recta y desde el otro a la otra recta dada e igualarlas. Lo expresaríamos de este modo: d(P,r) = d (P,s)

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1º Paso: Vamos a calcular la distancia entre el punto pedido(P) y la recta r. 2º Paso: Vamos a calcular la distancia entre el punto pedido(P) y la recta s. Puesto que habíamos establecido, anteriormente: d(P,r) = d (P,s) vamos a expresarlo: Esta es la recta equidistante de las rectas “r” e y =-x+2 Por tanto, como nos piden que calculemos “puntos “automáticamente”, ya podemos pensar en establecer un sistema de ecuaciones: Por tanto, primera solución: Hay algo que NO debemos olvidar nunca en este tipo de ejercicios, estamos hablando en la mayoría de las fórmulas que aplicamos de valores relativos, para los cálculos. Por tanto, las soluciones encontradas tienen el signo + o bien el - En este caso anterior, hemos realizado el calculo de la distancia con el signo +. Ahora toca hacerlo con el signo - Esta es la recta equidistante de las rectas “s” e y =-x+2 Por tanto, como nos piden que calculemos “puntos “automáticamente”, ya podemos pensar en establecer un sistema de ecuaciones:

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Por tanto, segunda solución: La solución gráfica del ejercicio, es: 34.- Calcula c, para que la distancia entre la rectas r: 4x+3y-6 = 0 y la recta s: 4x +3y + c = 0 sea igual a 3 unidades. La primera clave de este ejercicio es echar un vistazo a las rectas y ver los coeficientes, tanto de x como de y. ¿Cómo son ambos coeficientes en las 2 rectas? Igualessssssssssssssss.............. Por tanto, ¿qué sabemos? Que son PARALELAS. ¿Nos acordamos de la fórmula de la distancia entre rectas paralelas? Es esta: Vamos a sustituir valores conocidos en esta fórmula: La ecuación que conocemos es la recta r: 4x+3y-6 = 0 Primera solución: c = - 21

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Ahora vamos a trabajar, cambiando el signo del segundo miembro de la igualdad: Segunda solución: c = 9 35.- El lado desigual del triángulo isósceles ABC, tiene por extremos A(1, -2) y B(4,3). El vértice C está en la recta r: 3x-y+8 = 0. Calcular las coordenadas del vértice C y el área del triángulo. Lo primero, como siempre vamos a hacer el dibujo correspondiente: Un lío de mucho lereleeeeeeeeeeeeeeeee..si nos damos cuenta de un dato”fundamental” y que es imprescindible para continuar. Nos dan este “dato”: ISÓSCELES = Es un triángulo que tiene dos lados iguales y el tercero desigual. ¿Por qué pensamos que es trascendental, para poder solucionar el ejercicio? Por estos dos motivos. Al ser isósceles el triángulo, ocurre lo siguiente: 1º.-La altura trazada desde el vértice de los lados iguales al lado desigual, pasa por el PUNTO MEDIO de este lado. 2º.- Y además es perpendicular a la recta que contiene el lado desigual. Si miramos al dibujo, ya sabemos que la altura que parte del vértice C, cumple las dos condiciones: 1º.- Pasa por el punto medio del lado AB 2º.- Es perpendicular al lado AB Otro dibujo, con más información: La altura es h. Perpendicular al lado AB. Pm es el punto medio del lado AB.

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Lo primero que vamos a hacer, es calcular el punto medio(Pm) del lado AB. Aplicamos la fórmula de las coordenadas del punto medio de un segmento: La altura(h) para por este punto medio de AB(Pm) que hemos calculado, desde el vértice C y además es PERPENDICULAR a la recta que contiene el lado AB. Vamos a calcular la recta que contiene el lado AB. Aplicamos la fórmula de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. A( 1 , - 2 ) B ( 4 , 3) x1 y1 x2 y2

Ecuación de la recta AB. Hemos establecido que la recta que parte de C y que se llama(h), y es la altura del triángulo, tiene que ser perpendicular a la ecuación de la recta AB. Condiciones de perpendicularidad: a b Es la pendiente de la recta que parte de C( es decir de la recta h) y además tiene que cumplir la condición de pasar por el punto medio del lado AB(Pm) Por tanto vamos a volver a calcular la ecuación de otra recta que pasa por un punto dado y que también conocemos su pendiente. Fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente: x0 y0

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Esta es la ecuación de la recta que contiene (h) la altura del triángulo. Como tenemos que calcular el vértice C, ya tenemos que pensar en idear un sistema de ecuaciones, para calcular los puntos de corte de ambas rectas. Primera solución: coordenadas del punto Vamos a calcular el valor de la altura(h) que es la distancia entre el vértice C y la recta AB. Por tanto aplicamos la fórmula de la distancia entre un punto y una recta: Tan solo, nos queda calcular el valor de la base. Es la distancia entre A y B. Por tanto aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos: A( 1 , - 2 ) B ( 4 , 3) x1 y1 x2 y2

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tg ÂAB = tg ( )x2 x 1 =m' m

( )1 m . m' +

tg ÂAB = tg ( )x2 x 1 =m' m

( )1 m . m' +

36.- Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (-3,0) y forman con la recta de ecuación r: 3x-5y+9 = 0 un ángulo de tangente 1/3. Lo primero que vamos a hacer, es calcular la pendiente de la recta dada: Como conocemos el valor de la tangente del ángulo, aplicamos la fórmula siguiente: Vamos a sustituir valores en esta fórmula. Ojo!!!!!!!!!!!!!!!!! La tangente tiene como valores ± a) Hemos calculado la pendiente de la primera recta. b) Volvemos a sustituir valores:

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Hemos calculado la pendiente de la segunda recta. 1ª Solución: P(-3,0) m = 7/6 Ecuación de la recta en forma punto-pendiente: y-y0 = m(x-x0) Primera solución. La ecuación pedida es: 2ª Solución: P(-3,0) m = 2/9 Ecuación de la recta en forma punto-pendiente: y-y0 = m(x-x0) Segunda solución. La ecuación pedida es: 37.- Hallar las coordenadas del punto simétrico del origen respecto de la recta r: 4x + 3y = 50. Lo primero que haremos, será calcular la ecuación de la recta perpendicular a la dada que pasa por el punto(0,0) A esa ecuación que obtengamos la vamos a llamar s. Establecemos la condición de perpendicularidad: P(0,0) Ecuación de la recta”s” en forma punto-pendiente: y-y0 = m(x-x0)

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Como tenemos que calcular coordenadas de puntos, pensamos en establecer un sistema de ecuaciones: Por tanto el punto de corte de ambas rectas M( 8,6). Ojo, ahora, no confundirse con que esta es la solución. Para nadaaaaaaaaaaaaa.. Fórmula de las coordenadas del punto medio de un segmento: Pm( 8 , 6 ) P1 ( 0 , 0) x1 y1 x2 y2 Solución: 38.-Calcular la longitud del segmento perpendicular a la recta r:3x-5y-25 = 0 y que pasa por P(-1,2). Calcular la distancia de la recta que contiene a dicho segmento con el punto en que la recta r corta al eje OX. Lo primero que haremos, será calcular la ecuación de una recta perpendicular a la dada, para calcular la longitud de un segmento de ella.

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Establecemos la condición de perpendicularidad de las dos rectas: Ya estamos en condiciones de aplicar la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente. P( -1 , 2 ) x0 y0 Ecuación de la recta en forma punto-pendiente: y-y0 = m(x-x0) Acabamos de calcular la ecuación de la recta perpendicular a la dada en el enunciado. Vamos a calcular la longitud del segmento pedido. Será la distancia del punto P a la recta r. Aplicaremos la fórmula de la distancia del punto P a la recta r. Ahora vamos a calcular el punto de corte de la recta dada en el enunciado con el eje X. Primera solución: Como hablamos de puntos, automáticamente, pensamos en establecer un sistema de ecuaciones: Sabemos que el punto de corte en el eje X, la condición necesario e imprescindible, es que x = 0. Por tanto el punto de corte es: Ahora vamos a calcular la distancia entre el punto A y el punto C, que es la segunda cuestión planteada. Lo primero que haremos, será calcular las coordenadas del punto A. Vamos a ello:

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Como hablamos de obtener coordenadas de puntos, asociamos que debemos establecer un sistema de ecuaciones. Estará formado por la recta dada en el enunciado y la recta perpendicular, que hemos obtenido a continuación. Por tanto las coordenadas del punto son: Ahora, si calculamos la distancia que hay entre los puntos A y C, tendremos resuelta la segunda parte del problema: Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos: Por tanto, segunda solución: 39.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2, -3) y forma un ángulo de 45º con la recta r: 3x-4y+7 = 0

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Al hablar de ángulos, debemos de pensar en la fórmula de la tangente de un ángulo cualquiera con sus pendientes respectivas. 1ª Solución Fórmula que vamos a aplicar en este ejercicio: Ya tenemos calculado el valor de la primera pendiente cuando α = + 1 y como esta recta, tiene que pasar por el punto (2, -3) ya que es la condición que nos ponen en el enunciado, aplicamos la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente. Datos: m1 = 7 y P( 2, -3) x0 y0 y -y0 = m1 ( x -x0) Primera solución. Ecuación de la recta: 2ª Solución Ya tenemos calculado el valor de la primera pendiente cuando α = - 1 y como esta recta, tiene que pasar por el punto (2, -3) ya que es la condición que nos ponen en el enunciado, aplicamos la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente. Datos: m2 = - (1/7) y P( 2, -3) x0 y0

y -y0 = m2 ( x -x0)

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Segunda solución. Ecuación de la recta: 40.- Calcular la ecuación de la recta que corta al eje OX en el punto de abcisa 3 y forma con él, un ángulo de 60º. Para comenzar, sabemos que las rectas, a narices tienen que pasar por el punto (3,0). Y también conocemos el ángulo que forma con este eje. Es el de 60º. Por tanto no nos queda más INRI que: calcular las pendientes de las rectas. Y lo podemos hacer sin problema alguno, puesto que al conocer el valor del ángulo que forman, su tangente es la pendiente de ambas rectas. Al conocer el punto por el que pasan las rectas y las pendientes de las rectas, obviamente, aplicamos la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente. 1ª Solución. Cuando P( 3 , 0 ) x0 y0 Primera solución. Ecuación de la recta: 2ª Solución. Cuando P( 3 , 0 ) x0 y0

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Segunda solución. Ecuación de la recta: 41.- Dados los puntos A(2,1); B(-3,5) y C(4,m), calcular “m” para que el triángulo ABC, tenga de superficie 6 unidades. Lo primero, haremos un dibujo, para ver por donde pueden ir los tiros. Lo primero que haremos, será calcular la ecuación de la recta AB. La fórmula que vamos a utilizar es la de la ecuación de la recta, que pasa por 2 puntos. A(2, 1) B( - 3, 5) x0 y0 x1 y1 Por tanto ecuación del lado AB: 4x+5y-13 = 0. ¿Cuál será el paso siguiente que debemos dar? Vamos a pensar en algo lógico y que no se nos puede ir de la cachola, para poder continuar. Utilizamos el siguiente razonamiento: Si nos facilitan la superficie del triángulo, ¿qué datos del mismo necesitamos llegar a conocer? Obviamente, serán calcular tanto la base como la altura, para después sustituir en la formula del área de este triángulo. Por tanto el mensaje o clave de este ejercicio, es darse cuenta que tenemos que calcular tanto la base como la altura. Este el mensaje clave.

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Ahora es el momento de mirar al dibujo y preguntarse cada una/uno ¿cómo calculo por ejemplo la base del triángulo? Vamos a elegir como base un lado cualquiera del triángulo. Para nosotras/nosotros la base va a ser el lado AB. Nos conviene puesto que conocemos las coordenadas de ambos puntos y además hemos calculado la ecuación de la recta de ese lado. Podemos elegir el que queramosssssssssssssssssssssssssssssssssssss..........no estamos obligados a nada para hacer nuestra elecciónnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn. Entonces la base, para nosotros, y mirando al dibujo, será la distancia que existente entre el punto A y el punto B ¿O nooooooooooooooooo? Por ello, hemos elegido voluntariamente un lado como base. El que más nos conviene. Por tanto con calcular la distancia entre el punto A y el punto B, tenemos calculado el valor de la base. Fórmula para calcular la distancia entre dos puntos: A(2, 1) B( - 3, 5) x0 y0 x1 y1 Por tanto la base mide √41. Ahora tan solo nos queda calcular la altura del triángulo. De vuelta al dibujo que hemos hecho. Las altura h es la distancia que existe entre el vértice C y el lado AB. ¿Qué conocemos de esos dos datos? Es decir traducido a nuestro lenguaje propio, ¿Qué es C? Pues un punto del plano, del cual conocemos sus coordenadas ¿Qué es el lado AB? Es un lado del triángulo del cual conocemos la ecuación de esta recta. Como tenemos que calcular h. ¿Qué significado en nuestro lenguaje tiene “h”? Es la distancia que existe entre el vértice C y el lado AB. Por tanto: Aplicando la fórmula de la distancia de un punto(C) a una recta(AB) tenemos solucionado el asunto. Fórmula de la distancia de un punto a una recta: Datos: Punto C (4, m ) recta AB: 4x+5y-13 = 0 Incógnita: h x , y Aquí nos quedamos con el valor de la altura.

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Vamos a sustituir estos valores que hemos calculado en la fórmula del área de un triángulo: Hacemos operaciones: Lo primero, simplificamos √41: Como estamos hablando de valores absolutos, las dos soluciones serán las siguientes: Primera solución: m = 9/5 Segunda solución: m = -3 42.- De un paralelogramo ABCD, conocemos los siguientes datos: a) El lado AB, está contenido en recta de ecuación r: 2x+y-3 = 0 b) El lado AD está contenido en la recta de ecuación s: x-y+2 = 0 c) Las coordenadas del punto C( 1,4) Se pide: 1º Calcular las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados BC y CD. 2º.- El perímetro del paralelogramo 3º.- La superficie del mismo. Lo primero, como siempre, vamos a hacer un dibujo con los datos del enunciado.

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Visto con más detalle, en realidad es este dibujo, conteniendo todos los datos aportados por el enunciado: Antes de comenzar un AVISO importante a todas y todos: Va ser un ejercicio largo. Además contiene todas las posibilidades de distancias, cálculos de rectas, en fin de todoooooooooo................ Es un ejercicio muy completo. Por tanto, vamos a ir despacito, paso a paso. Incluso en determinados momentos, vamos a recortar la figura para “verlo de forma muy gráfica” Lo primero ¿por donde empezamos a meter mano a este melocotón? Para los que no quieren hacer nada, las vagas y vagos se le ocurrirán un montón de justificaciones, por ejemplo: Este enunciado está equivocado. Faltan datos no se puede hacer. El tío o la tía que inventó este lío, estaba borracha/o............. y así un montón de justificaciones. Para las/los que no tienen interés alguno: Buenoooooooooooooooo..........hago una cosa, espero a mañana y cuando lo hagamos en clase, lo copio en mi cuaderno y listo. Bueno, una recomendación: Aquellas/os que usan esta técnica de copiar de la pizarra del aula, estar seguros que en la vida seréis incapaces de hacer nada. Lo único que consiguiereis, será copiar un montón de letras y números, que no sirven para nada. Sirven para suspender, siempreeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee. Otra cosa, la/el que trate de aprenderlos de memoria, que se dedique a desplumar canguros o a ponerle zapatos a un pulpo. Es necesario implicarseeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee y como mínimooooooooooooooooooooooooooooooo............intentarlooooooooooooooooooo......nos

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equivocaremos todos mil veces, que a nadie le quepa duda. Pero para aquellas/aquellos que quieren aprenderrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr, a base de repetirse y hacer un montón de ejercicios, lo van a conseguir. Bueno vamos a comenzar. ¿Alguna idea? Arrancar, suele ser lo más difícil, lo sabemos. Bueno, en este ejercicio, la clave para arrancar en muy sencilla, pero hay que darse cuenta de ello. ¿Qué es un paralelogramo? Es un polígono de 4 lados PARALELOS 2 a 2. La clave está en la palabra “paralelos”. Con esta definición arrancamossssssssssssssssssssssssssssssssssssssss. Por cierto, muy ordenadas y ordenados, para no montarnos un guirigay que no haya Dios que lo entienda. 1º.- ¿Cómo calculamos la ecuación del lado BC? -Sabemos: que el lado BC es paralelo al lado AD. Del lado AD, conocemos su ecuación. Nos la facilitan en el enunciado. ¿Si son paralelos, qué significado tiene? Que por ser rectas paralelas, TIENEN LA MISMA PENDIENTE. Vamos a calcular la pendiente de la recta del lado AD, cuya resta es r: x-y+2= 0 a ,b Siguiente pregunta que nos hacemos¿ qué hacemos con la pendiente? Nunca perder de vista lo que estamos haciendo: Estamos tratando de calcular la ecuación de una recta. Aceptado este razonamiento, si calculamos la pendiente ¿por qué PUNTO debe de pasar por pelotas esta recta? Si estamos calculando el lado BC, pasará POR PELOTAS tanto por el punto B como por el punto C. ¿Conocemos las coordenadas del punto C? Siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii............nos lo facilitan en el enunciado. Por tanto, si tengo la pendiente de la recta y un punto por el que pase, con aplicar la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente, tengo el merequeté solucionado. Vamos a ello:

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C( 1, 4) m = 1 x0 y0 Por tanto, hemos calculado la recta BC : x -y + 3 = 0. Seguimos intentando no perder la onda del ejercicio. ¿Dónde estamos en este momento? Puesto que conocemos la ecuación de dos lados CONSECUTIVOS, es decir del lado AB(nos lo facilita el enunciado) y la recta BC que acabamos de calculara. Entoncesssssssssssssssssssssssssssssssss.............la unión de estas dos rectas, si echamos un vistazo al dibujo, nos van a facilitar las coordenadas del punto B. Acordaos SIEMPRE, cuando hablamos de calcular puntos, partiendo de ecuaciones de la recta, siempre nos tendremos que MONTAR un sistema de ecuaciones. A ello nos vamos, pues. Serán las ecuaciones de los lados AB y BC. Ahora vamos a sustituir este valor en una de las ecuaciones, para calcular “y” 0-y+3 = 0 - y = - 3 Por tanto y = 3 Hemos calculado las coordenadas del punto B : B ( 0, 3). Ya no falta todooooooooooooooooooo............vamos avanzando. Utilizando el mismo método, vamos a calcular la ecuación del lado CD. 2º.- ¿Cómo calculamos la ecuación del lado CD? -Sabemos: que el lado CD es paralelo al lado AB. Del lado AB, conocemos su ecuación. Nos la facilitan en el enunciado. ¿Si son paralelos, qué significado tiene? Que por ser rectas paralelas, TIENEN LA MISMA PENDIENTE. Vamos a calcular la pendiente de la recta del lado AB, cuya resta es s: 2x+y-3= 0 a ,b Si estamos calculando el lado CD, pasará POR PELOTAS tanto por el punto C como por el punto D. ¿Conocemos las coordenadas del punto C? Siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii............nos lo facilitan en el enunciado.

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Por tanto, si tengo la pendiente de la recta y un punto por el que pase, con aplicar la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente, listoooooooooooooooo... C( 1, 4) m = - 2 x0 y0 Hemos calculado la recta CD : 2x +y -6 = 0. Al loro, ehhhhhhhhhhhhh, para no perder la onda del ejercicio. ¿Dónde estamos ahora mismo? Ya que conocemos la ecuación de dos lados CONSECUTIVOS, es decir del lado AD(nos lo facilita el enunciado) y la recta CD que acabamos de calculara. Por consiguienteeeeeeeeee...............la unión de estas dos rectas, si echamos un vistazo al dibujo, nos van a facilitar las coordenadas del punto D. MONTEMOS un sistema de ecuaciones. Serán las ecuaciones de los lados AD y CD. Ahora vamos a sustituir este valor en una de las ecuaciones, para calcular “y” Hemos calculado las coordenadas del punto D: Seguimos hacia adelante, tan solo nos falta calcular las coordenadas del punto A, para haber obtenido los 4 vértices del paralelogramo. Es un poquito más sencillo, puesto que tenemos bastantes datos. Las coordenadas del vértice A, serán los puntos de intersección de las ecuaciones de las rectas: AD y AB. El sistema, es el siguiente: Ahora vamos a sustituir este valor en una de las ecuaciones, para calcular “y” Hemos calculado las coordenadas del punto A: Ahora vamos con la segunda parte, a calcular el perímetro. El perímetros es el valor de la suma de todos su lados.

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Vamos a hacer un dibujo poniendo en el mismo, las coordenadas de todos los vértices, así como las ecuaciones de todos sus lados. ¿Cómo vamos a calcular el valor de cada uno de los lados? Echando un vistazo al dibujo que tenemos, nos daremos cuenta “porque lo estamos viendo delante de los morros” que será la distancia entre cada uno de los vértices contenidos en la MISMA RECTA. 1º.- Vamos a comenzar por calcular el valor de la distancia entre A y B. Aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos. A(1/3, 7/3) B( 0, 3) x1 y1 x2 y2 Hemos calculado el valor del lado AB: 1º.-Seguimos calculando el valor de la distancia entre B y C. Hemos calculado el valor del lado BC: ¿Para qué vamos a calcular el valor de los otros dos lados? ¿Es necesario? Coñoooooooooo, efectivamente NO. ¿Por qué? Porque a principio del ejercicio hemos establecido que los lados son PARALELOS 2 a 2. Por tantoooooooooooooooooooooooo..tienen el mismo valor.

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Dado que conocemos el valor de los 4 lados, con sumarlos, ya habremos calculado el perímetro del paralelogramo. Perímetro= AB+BC+CD+DA. Lado AB = lado CD Lado BC = lado AD Perímetro de ABCD: Seguimos avanzando y es la hora de preparar el asunto, para calcular la superficie del paralelogramo. Como soy muy burro y olvidadizo, tengo un grave problema, NO me acuerdo de la fórmula del área de un paralelogramo. ¿Qué hago? Se me ocurre algo: Si que me acuerdo de la fórmula del área del triángulo. ¿Podré hacer algo con ella que me sirva en este ejercicio? Arrea, voy a trazar una diagonal en el paralelogramo, puesto que me huelo que me lo puede dividir en 2 triángulos, que además tienen que ser iguales, ya que sus lados son PARAELOS 2 a 2. Dibujito: Coñooooooooooooooooooooooooo......dos triángulos. Uno el ABC y otro el ACD. Me viene de cineeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee, ya tengo defensa. Además un lado en común, todo a pedir de boca. Con calcular el área de uno de ellos y multiplicarlo por 2, tengo el asunto liquidado. Al ataqueeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee...............

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¿Qué datos necesito conocer para calcular el área de un triánguloooooooooooo? Ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh la base y la altura. Valeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee................ Voy a comenzar, por ejemplo con la altura(le hemos llamado “h” en nuestro dibujito) Es la distancia desde el vértice C hasta el lado AD. Es la distancia de un punto a una recta. C( 1, 4 ) La recta es, s : x - 2y + 2 = 0 x , y Por tanto la altura vale: Ahora tenemos que calcular el valor de la base de este triángulo. Me acuerdo de una cosa: ¿He tenido que calcular el valor de los lados para calcular el perímetro del paralelogramo? Claro que sí. Pues vamos a revisar nuestras operaciones anteriores y, efectivamente, nos encontramos con ésto. Lado BC = lado AD Hemos calculado el valor del lado BC Por tanto, ya tenemos todos los datos para calcular la superficie de ese triángulo: Con calcular el área de uno de ellos y multiplicarlo por 2, tengo el asunto liquidado. Por tanto superficie del paralelogramo: 43.- Dos casas están situadas en los puntos A(4,0) y B(0,3). Se quiere construir un pozo que esté a la misma distancia de A y de B, y al mismo tiempo a una distancia de 8 metros de una tubería que une A y B. ¿Cuál es el lugar apropiado que cumple estas condiciones?

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Para arrancar con este ejercicio, debemos de tener en cuenta una cosa. Si nos piden las coordenadas de un punto, a puro huevo, tenemos que llegar a montar un sistema de ecuaciones. ¿Y por donde empezamos a intentarlo?. Tenemos un dato que “vemos” en el dibujo y es la ecuación que pasa por los puntos, donde están construidas las viviendas. Por tanto ya tenemos la posibilidad de encontrar la primera ecuación del sistema. Vamos a aplicar la fórmula de la ecuación de la recta que pasa por 2 puntos, los cuales conocemos: A(4, 0) B( 0, 3) x1 y1 x2 y2 Hemos calculado la ecuación de la recta que pasa por ambas casas. Ojooooooooooooooooooooooooooooooo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! aquí está una buena trampa, si nos damos cuenta enseguida. Nos obligan a que cumpla la condición de que esta recta, esté a una distancia de 8 metros de ambos edificios. Por tanto, tenemos que OBLIGATORIAMENTE calcular la distancia de esta tubería a la recta que pasa por ambas casas. Aplicaremos la fórmula de la distancia de un punto a una recta:

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Por tanto, como hablamos de valores absolutos, nos aparecen dos ecuaciones, por tanto dos soluciones válidas. Son estas que escribimos a continuación: Estas son las primeras ecuaciones del sistema. ¿Qué otro dato conocemos, para poder establecer la siguiente ecuación? Traduciendo a nuestra manera el enunciado(aquí están siempre las claves de los ejercicios) es que la distancia del punto que buscamos, tanto a A, como a B, es de 8 metros. Por tanto, ya estamos hablando de la distancia entre dos puntos. Apliquemos la fórmula de la distancia entre ellos, y veremos que vamos en buena dirección. Lo podemos expresar de la siguiente manera, d(P, A) = d(P,B) Vamos a comenzar por calcular la distancia entre P y A. El punto P es “desconocido” pero las coordenadas del punto A, nos la facilita el enunciado. Nos quedaría, “gráficamente” esto que estamos acostumbradas/os a ver: P ( x, y ) A ( 4, 0) x ,y x2, y2 P ( x, y ) B ( 0, 3) x ,y x2, y2 Para no perdernos en este momento crucial ¿qué habíamos establecido cuando hablamos de la información del enunciado? Estooooooooooooooo: Lo podemos expresar de la siguiente manera, d(P, A) = d(P,B) Por tanto, ya nos apareció la segunda ecuación, que nos faltaba. Igualamos y punto-pelota. El sistema, nos queda de la forma siguiente: Vamos a tomar la primera ecuación que habíamos establecido, en función de los valores absolutos.

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Elevamos al cuadrado, la 2ª. Simplificamos en la 2ª. Entonces, el sistema a resolver, nos queda, de la forma siguiente: ( multiplico por (8) multiplico por (-3) Ahora sumo este sistema y queda, de la siguiente forma: Ahora vamos a sustituir este valor en una de las ecuaciones, para calcular “x” Primer punto para construir el pozo: El sistema, nos queda de la forma siguiente: Vamos a tomar la segunda ecuación que habíamos establecido, en función de los valores absolutos. Esta segunda ecuación, si echamos un vistazo al sistema anterior, vemos que no varía. Por tanto, trayendo los datos anteriores, el sistema nos quedaría de la siguiente forma: multiplico por (8) multiplico por (-3) Ahora sumo este sistema y queda, de la siguiente forma: Ahora vamos a sustituir este valor en una de las ecuaciones, para calcular “x”

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Segundo punto para construir el pozo: Una vez resuelto el ejercicio, nos quedaría el siguiente gráfico final: 44.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas r y s y forma un ángulo de 45º con la recta x+5y-6 = 0. Recta r: 3x-y-9 = 0 y recta s: x-3 = 0. Como nos están hablando del punto de intersección de dos rectas, ello nos obliga a pensar en una dirección determinada y es: Montar un sistema de ecuaciones. Primero un dibujo de las dos rectas:

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El sistema de ecuaciones, no es ni más ni menos, que el facilitado en el enunciado: Ahora vamos a sustituir este valor en una de las ecuaciones, para calcular “y”. Punto de intersección de las rectas r y s: P ( 3, 0) Es el momento de buscar una recta que forme un ángulo de 45º con la dada en el enunciado. Nos la facilitan como un dato: x+5y-6 = 0. Lo primero que vamos a hacer, es calcular la pendiente de esta recta: a, b Una de las condiciones, que tiene que cumplir la recta que buscamos, es que pase por el punto P(3,0). La única fórmula que se nos ocurre aplicar es la siguiente: El ángulo α lo conocemos, puesto que es el de 45º. Y el valor de su tangente es de ± 1. Sustituimos valores en la formula y comenzamos con los cálculos correspondientes. 1º Solución cuando la tangente de 45º = + 1 Biennnnnnnnnnnnnnnn, ya tenemos calculado el valor de la primera pendiente de la recta. Como además tiene que pasar por el punto P(3,0) con aplicar la ecuación de la recta en forma punto-pendiente, habremos encontrado el valor de la primera recta. P ( 3, 0) x0 y0

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Primera Solución. Ecuación de la recta pedida: 2x - 3y - 6 = 0 2ª Solución cuando la tangente de 45º = - 1 Ya hemos calculado el valor de la segunda pendiente de la recta. Como además tiene que pasar por el punto P(3,0) con aplicar la ecuación de la recta en forma punto-pendiente, habremos encontrado el valor de la segunda recta. P ( 3, 0) x0 y0 Segunda Solución. Ecuación de la recta pedida: 3x + 2y - 9 = 0 La solución final, gráfica, es:

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45.- Dadas las rectas r: 2x-5y-17 = 0 y s: 3x- ky - 8 = 0 calcular el valor de k para que las rectas r y s se corten formando un ángulo de 60º. Lo primero que podemos hacer, es calcular las pendientes de ambas rectas. Y también conocemos la pendiente del ángulo que forman ambas rectas es de 60º La tangente de 60º = ± √3. Por tanto la fórmula que vamos a aplicar es: Vamos a sustituir valores: 1º Solución cuando la tangente de 45º = + √3 Es un buen momento, para simplificar: Primera Solución: 2ª Solución cuando la tangente de 45º = - √3 Multiplicando por -1:

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Segunda Solución: 46.- La recta 2x+y = 0 es la bisectriz de un ángulo recto cuyo vértice es (-1/2,1). Calcular las ecuaciones de los lados del ángulo. Lo primero que vamos a hacer, como siempre es un dibujo con los datos que nos proporcionan. Bisectriz= Recta que divide un ángulo cualquiera en 2 partes iguales. Angulo recto = Ángulo de 90º Por tanto la bisectriz en este caso, divide al ángulo recto, en dos iguales de 45º. Al conocer el tamaño del ángulo y poder calcular la pendiente de la bisectriz, aplicaremos la fórmula de tg α. Por otra parte, también conocemos: Aplicamos la fórmula correspondiente: 1ª Solución cuando tg 45º = + 1

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Por tanto, la primera ecuación de uno de los lados, será la recta que tenga como pendiente la que acabamos de calcular y además pase por el vértice dado. m_1 = 3 P( -1/2, 1) x0 y0 Primera solución: 1ª Solución cuando tg 45º = - 1 Por tanto, la segunda ecuación de uno de los lados, será la recta que tenga como pendiente la que acabamos de calcular y además pase por el vértice dado. m_1 = -1/3 P( -1/2, 1) x0 y0

Segunda solución: La solución gráfica del ejercicio, sería la siguiente: 47.- Encontrar un punto en la recta x-2y-6 = 0 que equidiste de los ejes de coordenadas.

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Equidistar = Estar a la misma distancia de un punto que de otro. Eje de Coordenadas: P ( 0,0) Cuando x = 0 en la ecuación de la recta en forma General: Ax+By+C= 0 nos queda de la forma siguiente: 0+y+0. Distancia de este punto a la recta: Cuando y = 0 en la ecuación de la recta en forma General: Ax+By+C= 0 nos queda de la forma siguiente: x+0+0. Como en el enunciado nos ponen la condición de puntos “equidistantes” entonces ambas distancias, tienen que ser iguales. Como son coordenadas de puntos, debemos de montar, nuestros sistema de ecuaciones. Al mismo tiempo, como la fórmula de la distancia de un punto a una recta es valor absoluto, existen dos soluciones: 1ª Solución, cuando x = y Primera Solución: P1 ( - 6 , - 6) 2ª Solución, cuando x = - y Segunda Solución: P1 ( 2 , - 2) La representación gráfica, sería esta:

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48.- Encontrar las ecuaciones de las rectas que pasan por A( -2, 2 ) y forman un ángulo de 60º con la recta x = y. La recta dada en el enunciado, tiene esta otra forma: x - y = 0 Ya hemos calculado la pendiente de la recta. Y conocemos el ángulo que forman, que es de 60ª. La única solución que se nos tiene que ocurrir, es aplicar la fórmula que relaciona las pendientes de rectas con el ángulo que determinan. Vamos a sustituir valores en esta ecuación. Seguimos haciendo operaciones, vamos a trasponer al 1ª termino (-m) y al segundo miembro √3: Esta pendiente, antes de proceder con ella, vamos a hacer una cosa, para ponerla de otra forma, mucho más fácil de jugar. Vamos a racionalizar la expresión. ¿Os acordáis de racionalizarrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr...............? Hummmmmmmmmmmm....................me temo que NOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO. Recordatorio: consiste en multiplicar el numerador y el denominador de la expresión conjugada del denominadoooooooooooooooorrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

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Resumiendo y dejándose mariconadas: Multiplicar el numerador y denominador por la expresión de denominador CAMBIADA DE SIGNOOOOOOOOOOOOOO. Es mucho más sencillo de entender y de hacer, coñooooooooooooooooooooo. Para que ninguna/ninguno os de un yu-yuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu, vamos a recordarlo de forma gráfica, para que sea mucho más sencillo, aunque muy latoso, pero................... El paso siguiente, consiste, como es obviooooooooooooooooooooooooooooooo................en simplificar: Personalmente, tal cual nos queda la expresión, NO me gusta un pelo, vamos a darle otra vuelta: ¿Y si cambiamos de signo a la expresión, puesto que tenemos le denominador con un valor de -1, qué pasaría? Pues nos queda de forma siguiente: Dentro de lo malo, nos queda mucho más manejable. Ahora vamos a sustituir estos valores en la ecuación de la recta en forma punto pendiente y veremos: Nos acordaremos que tiene que pasar por el punto (-2, 2), es una condición impuesta en el enunciadooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo................. A ( - 2, 2) x0 y0

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Ya hemos calculado la primera solución, cuando la tangente es positiva. 1ª solución: Ahora vamos a calcular la pendiente cuando el ángulo toma valor negativo, es decir, cuando la tg 60º = - √3 Seguimos los mismos pasos, que en el apartado anterior: Es el momento de racionalizar, la expresión, para que nos quede mucho más sencilla: Llega el momento de simplificar. Lo primero cambiamos de signo a toda la expresión: Ahora ya es el momento de sustituir estos valores en la ecuación en forma punto-pendiente y, calcular la segunda de las soluciones planteadas: Por tanto, la segunda solución, es:

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49.- Un rayo luminoso parte del punto P(2,4) y se refleja sobre el eje de las abscisas en el punto Q(5,0). Calcula la ecuación del rayo reflejado. Lo primero que haremos, siempre que sea posible, es un dibujo, para ver gráficamente lo que tenemos delante de los morros. Conocemos, las coordenadas de los puntos P y Q. Vamos a calcular la ecuación de la recta que pasa por ambos. Los puntos conocidos, son: P ( 2, 4) Q ( 5, 0 ) x0 y0 x1, y1 Aplicamos la fórmula de la ecuación que pasa por dos puntos y hagamos operaciones: Ordenando términos, obtenemos la ecuación buscada: Vamos a calcular la pendiente de esta recta, que pasa por el punto Q(5,0). En este momento, nos encontramos con el intringulisssssssssssssssssssss del ejercicio. Aquí está la trampa o lo oculto, como le queramos llamar. Vamos a Observar el dibujo, un momentitooooooooooooooo.......... Si entonces, Aquí, es donde está la clave para poder resolverlo. Por tanto, atención siempre a estas mariconadas que, hay escondidas en cada ejercicio.

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Por tanto, ya solo nos queda aplicar la fórmula de la ecuación en forma punto-pendiente: Por tanto la ecuación de la recta pedida, es: 50.- Escribe la ecuación de la recta r que pasa por los puntos A(2,3) y B(5,6) y calcula al mismo tiempo, la ecuación de una recta paralela a r, cuya distancia a “r” sea igual a la distancia que hay entre los puntos A y B. Lo primero que vamos a hacer es un dibujito, para ver como están las cosas, en función de los datos que nos dan en el enunciado. ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡Ojo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! no ser tramposos, puesto que en el dibujo, ya están calculadas las rectas que hemos solucionado en el ejercicio. ¿Por donde vamos a comenzarrrrrrrrr? Se nos debería ocurrir una cosa, a bote pronto. Como tenemos dos puntos, ¿Por qué no calculamos la ecuación de la recta que pasa por ellos? Pero, pero, pero, antes vamos a calcular la distancia que existe entre estos dos puntos. ¿Para qué? Lo vamos a ver, rápidamente: Por el momento, la vamos a dejar aparcada. Pero sin olvidarnos que la tenemos calculada. Vamos a calcular la ecuación de la recta que pasa por ambos puntos: A ( 2, 3 ) B ( 5, 6) x1 y1 x2 y2 Ordenando: Esta es la ecuación que pasa por ambos puntos. Ahora llega el meollo de la cuestión. Y lo escribo, porque estoy en un punto muerto. ¿Qué hacemos para seguir? Buenooooooooooooooo..................lo que no debo olvidar, son las condiciones impuestas en el enunciado. A ello se le llama “saber leer” no llega con tan solo “juntar letras”, sino leer. Y leer es comprender el mensaje. Nos dicen que las rectas tienen que ser PARALELASSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS.

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Por tanto, serán ecuaciones paralelas a la que hemos calculado y que pasa por los puntos dados. ¿Cuál es la condición de paralelismo entre rectas?. Ahhhhhhhhhhhh..... es ésta: m . m’ = 1. Es decir que el producto de sus pendientes es 1. Por consiguiente, vamos a calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados, ya que las que queremos calcular, TIENENNN QUE SER PARALELASSSS.... a ésta. Ahora, llega el momento final, de darle forma a todo lo que hemos calculado y lo que vamos a calcular. ¿Qué tenemos calculado: La ecuación de una recta que pasa por unos puntos dados en un enunciado. También hemos calculado, la distancia que tiene que haber entre las rectas que queremos calcular. También sabemos que ambas rectas tienen que ser paralelas. Obviamente, lo último que hemos hecho es calcular la pendiente de una recta “patrón” que pasa por unos puntos pre-establecidos. Por tanto, como podemos usar todo ello, para calcular las ecuaciones de las rectas pedidas: Algo tan sencillo, como aplicar la fórmula de la distancia del punto que hemos calculado, que es en realidad la distancia entre los puntos dados en el enunciado y las rectas. ¿Nos acordamos de la fórmula ESPECIAL cuando las rectas son paralelas? ¿Nooooooooooooooooooo? No pasa naaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa colegas. La recordamos: Vamos a sustituir valores que hemos calculado en esta fórmula: ¿Qué pasa, cómo continuamos? A alguna/alguno os va a dar un yu-yu, porque no se os ocurre nada. Ahhhhhhhhhhhhh.no vale mandar un SMS a nadieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee. ¿Quééééééééé...............................nadaaaaaaaaaaaaaaaaaaa, ehhhhhhhhhhhh?

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Una manitaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa.........................os va a venir de cine. Vamos a ver: en el primer miembro tenemos la expresión: 2 √3, ¿qué pasaría, si el término 2 lo introducimos dentro de la raíz: ¿Para qué lo hacemos? Rápidamente lo vamos a ver. Entonces, siguiendo haciendo operaciones donde estábamos anteriormente, nos queda: ¿Quéééééééééé´?...................ahora clarooooooooooooooo, toCristo se da cuenta. Bueno vamos a seguir, que estamos a medias. Tener en cuenta que estamos hablando de valores absolutos, por tanto los signos, serán ± y nos aportarán 2 soluciones. - C = 5 C = - 5 - C = - 7 C = 7 Por tanto, ya tenemos los términos independientes de las rectas, que es en lo único en que difieren. ¿Pero referidos a qué ecuación? No perderrrrrrrrrrr de vista, que todos los cálculo los estamos haciendo, con respecto a la ecuación de la recta paralela que pasaba por los puntos datos y que habíamos calculado y que era: x-y+1 = 0. Con cambiar el término independiente, ya hemos encontrado ambas soluciones: 1ª Solución: 2ª Solución: 51.- Calcular el punto simétrico de P(1,1) con respecto a la recta x-2y-4= 0

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Lo primero que haremos con la recta dada en el enunciado, será calcular la ecuación de la recta que pase por el punto dado ”P” y que además sea perpendicular a ésta. Ya tenemos calculada la pendiente y además, tenemos el punto por donde “tiene que pasar obligatoriamente” condición impuesta en el enunciado. Por tanto, aplicamos: Ecuación de la recta en forma punto-pendiente: Es la ecuación de la recta “perpendicular a la dada” y que pasa por el puno P(1,1). ¿Si estamos tratando de buscar el punto simétrico, desde uno dado, no será qué la recta tiene que pasar por el punto medio del punto conocido y el que se quiere buscar? Este es uno de los trucos o cosas que nos ocultan y que nosotros debemos deducir. Bien, establecida esta condición, ¿cuáles serán las posibles coordenadas del punto medio que queremos calcular? Serán: Pero nosotros, conocemos las coordenadas de P que son P(1 , 1) x1 y1 Entonces, la fórmula de PM, nos quedará, una vez sustituyamos estos valores: Aquí estamos atascadas/atasadosssssssssssssss... Cuidadín, cuidadín, a ver como nos las arreglamos para continuar. Creo que estamos en otra zona “oculta o escondida” No tenemos datos en el enunciado, pero tenemos que ir al coco a buscarnos una salida. Y, efectivamente la hay. Vamos a razonarla: Este punto que queremos calcular, tiene una condición: TIENE QUE PERTENECER A LA RECTA PERPENDICULAR QUE HEMOS CALCULADO. Ahoraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa.............es cuando podemos calcular. Y vamos a ir con calma para que os deis cuenta todas y todosssssssssssssss................ Comencemos: Las Coordenadas del punto son: La recta a la que pertenecen, es: x-2y-4 = 0, que es la recta dada en el enunciado.

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Por tanto, vamos a sustituir en esta recta, el valor de las coordenadas del punto que queremos calcular, tanto de x como de y. Y esa ecuación, nos queda: Por tanto, ya tenemos dos rectas perpendiculares, que tienen en común una cualidad fundamental: Que ambas pasan por el punto dado en el enunciado, que no es otro que (1,1). Por tanto al ser perpendiculares, el punto en donde se corten, nos dará la coordenada del punto que falta. Que es el punto simétrico, pedido. Además, sabemos que cuando tenemos que calcular las coordenadas de un punto, partiendo de dos rectas, siempre tendremos que montar un sistema de ecuaciones. Este valor calculado, lo sustituimos en una de las ecuaciones: Por tanto las coordenadas del punto pedido son: 52.- Un rombo tiene un vértice en el eje de las ordenadas; otros dos vértices opuestos son B(3,1) y D(-5,-3). Se pide: Calcular las coordenadas de los 2 vértices desconocidos y el área del rombo.

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No sabemos ni por donde meterle mano a todo este melocotón. Por algún sitio, habrá que comenzar. A ver a darle vueltas a la cacholaaaaaaaaaaa.... Podría ser, repito, podría ser que alguna o algún “visionario/a” se diese cuenta, que de las poquitas posibilidades que tenemos es unir el vértice B con el D y así poder calcular la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos. Vamos a trazar esa recta, para ver que panorama nos ofrece la nueva vista: Es el momento de calcular la ecuación de esta diagonal, que hemos trazado. Aplicamos la fórmula de la ecuación, que pasa por 2 puntos: B ( 3, 1) Q ( -5, -3 ) x1 y1 x2, y2 Simplificamos: Por tanto la ecuación de esta diagonal, es: Ahora para poder continuar, sería conveniente trazar la otra diagonal del rombo. ¿Para qué? Porque sabemos que esa diagonal que une los vértices A y C, es perpendicular a la recta que acabamos de calcular y además, se van a cortar en el punto medio de ambas rectas. Por tanto vamos a ser capaces con el cálculo de este punto medio de calcular la ecuación de la recta que nos proponemos.

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Haremos un dibujo, para que seamos capaces de verlo con más claridad: Tomamos para trabajar, la ecuación de la diagonal que hemos calculado, puesto que hemos dicho que la nueva diagonal es “perpendicular a esta que conocemos”. x-2y-1= 0 Esta es la pendiente de la nueva diagonal. Ahora nos falta por conocer, el punto por donde pasa. ¿Cuál será? Pues el punto medio de la recta BD. Y además conocemos las coordenadas de B y D. Vamos a calcular este punto medio, que es el punto de corte: Por tanto, las rectas tienen un punto en común MBD, que es donde cortan y es al mismo tiempo el punto por “donde pasan ambas diagonales”. Como también tenemos calculada la pendiente de la diagonal que queremos calcular, aplicamos la fórmula de la ecuación en forma punto-pendiente y listoooooooooooo. m’ = -2 PM ( -1, -1) x0 y0

Esta es la ecuación de la diagonal que une los vértices A y C. No debemos olvidarnos que queremos calcular las coordenadas de los vértices A y C. Para ello, estamos haciendo todos estos cálculos.

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Y sabemos algo importante: Cuando queremos calcular las coordenadas de un punto, motivado por rectas que se cruzan, tenemos que “montar” un sistema de ecuaciones. Vamos a ello, entonces. Comenzamos por calcular el vértice A. Ahora es cuando llega el momento de los “trucos, engaños y cosas raras? ¿Qué nos decía el enunciado con respecto a este vértice en concreto? - Que uno de los vértices estaba sobre el eje de ordenadas. Por tanto ¿cuál es valor de x para este vértice? Ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh....................... x = 0. Efectivamente. Entonces: El sistema formado pro este dado y la ecuación de la diagonal que hemos calculado, nos va a proporcionar las coordenadas del punto A. Por consiguiente, 1ª solución: Este asunto, lo tenemos de la forma en que vemos esta figura, con todos los datos conocidos. Y tenemos que calcular el vértice que nos falta. Es el vértice C. ¿se os ocurre algo, a simple vista? Si no es así, basta con echar otro vistazo con mucha más calma. ¿Qué datos conocemos? Puessssssssssssssssssssssssssss.....Pm, que es el punto medio por donde pasa la diagonal y además, las coordenadas del punto A.

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Aplicamos la fórmula de las coordenadas del punto medio de un segmento y veremos lo que obtenemos. Por consiguiente, 2ª solución: Biennnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn..................ya tenemos resuelto la primera parte del problema. Ahora nos toca calcular la superficie del rombo. Par ello, vamos a hacer una cosa: Lo dividimos en dos triángulos. Calculamos la superficie de cada uno de ellos y al final sumamos ambas superficies y ya está. Dibujaremos una figura, con las partes en que dividimos el rombo. Lo primero, el rombo nos quedaría distribuido de la forma siguiente: Y nosotros, vamos a comenzar con esta parte del rombo, que es un triángulo: 2x+y-3= 0

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Al ser un triángulo, para calcular la superficie del mismo, necesitamos conocer su base y la altura. Bien: Como base vamos a tomar el lado AC. ¡¡¡¡¡¡¡Ojito!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Tomamos la base que nos de la ganaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa. Si hubiésemos elegido cualquier otro lado como base, por supuesto la altura, sería la perpendicular que uniese un punto de esa base “que elegimos nosotros” con el vértice opuesto. Esto es tan solo un recordatorio de lo que podemos hacer por nuestra cuenta. Entonces, volviendo al asuntito de marras, La base que hemos elegido AC,¿Cómo la calculamos? Pues algo tan sencillo, como la distancia entre A y C, cuyas coordenadas conocemos. Aplicaremos la fórmula de la distancia entre dos puntos: Por tanto la base de este triángulo, mide: unidades. Ahora toca calcular la altura: Será la distancia que existe entre el vértice D y la ecuación de la recta AC, que la tenemos calculada, puesto que era la segunda diagonal del rombo que anteriormente habíamos calculado. Aplicamos la fórmula de la distancia entre un punto y una recta: La recta r: 2x+y+3 = 0 D(-5,-3) Por tanto, ya tenemos ambos datos, es momento de calcular la superficie de este primer triángulo: Ahora procedemos de la misma forma con el otro triángulo:

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Volvemos a tomar como base el lado AC. ¡¡¡¡¡¡¡Ojito!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Tomamos la base que nos de la ganaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa. Entonces, volviendo al asuntito de marras, La base que hemos elegido AC,¿Cómo la calculamos? Pues algo tan sencillo, como la distancia entre A y C, cuyas coordenadas conocemos. Aplicaremos la fórmula de la distancia entre dos puntos: Por tanto la base de este triángulo, mide: unidades. Ahora toca calcular la altura: Será la distancia que existe entre el vértice B y la ecuación de la recta AC, que la tenemos calculada, puesto que era la segunda diagonal del rombo que anteriormente habíamos calculado. La base, como es común, para ambos triángulos, “ES LA MISMAAAAAAAAAAAA”. Es decir tiene el mismo valor. Aplicamos la fórmula de la distancia entre un punto y una recta: La recta r: 2x+y+3 = 0 B(3,1) Por tanto superficie del rombo: 53.- En el triángulo determinado por los vértices A(-3,2), B(1,3) y C(4,1), se pide calcular el ortocentro y el circuncentro. El “ortocentro” es el punto donde se cortan las alturas. El “circuncentro” es el punto donde se cortan las mediatrices. Escrito ésto, vamos a seguir con profundidad a ver que más conceptos debemos de tener muy claros. Altura= Perpendicular razada desde un vértice hasta el lado opuesto. Mediatrices: La mediatriz de un segmento AB es una “recta perpendicular” al propio segmento AB y que “pasa por su punto medio”.

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Lo primero, que haremos, será dibujar el triángulo dado, en el enunciado. Vamos comenzar por calcular el ortocentro. Entoncesssssssssssssssssssssssssssssss Estamos hablando de alturas. 1º.- Calculamos la ecuación de la recta AC. ¿Cómo será posible elloooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo? Vamos a ordenar los datos, como lo hacemos normalmente, para tener una visión clara del problema planteado. CALCULO DE LA RECTA AC: Ecuación de la recta que pasa por A(-3,2) y C(4,1) Por tanto, tenemos por pinrrelesssssssssssssssssss que aplicar la fórmula de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Vamos a escribir los puntos y aplicar la fórmula: A ( - 3, 2 ) C ( 4, 1 ) x1 y1 x2 y2 Por tanto ECUACION DE LA RECTA AC: 2º.- Calculamos la ecuación de la recta BC. ¿Cómo será posible elloooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo? CALCULO DE LA RECTA BC: Ecuación de la recta que pasa por B(1,3) y C(4,1) Vamos a escribir los puntos y aplicar la fórmula: B ( 1, 3 ) C ( 4, 1 ) x1 y1 x2 y2

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Por tanto ECUACION DE LA RECTA BC: 3º.- Calculamos la ecuación de la recta BC. ¿Cómo será posible elloooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo? CALCULO DE LA RECTA AB: Ecuación de la recta que pasa por A (-3,2) y B(1,3) Vamos a escribir los puntos y aplicar la fórmula: A ( -3, 2 ) B ( 1, 3 ) x1 y1 x2 y2 Por tanto ECUACION DE LA RECTA AB: Ya tenemos calculadas las ecuaciones de los 3 lados del triángulo. Recordamos: Las alturas, son las perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto. 1º.-Vamos a comenzar calculado, la ALTURA DEL VÉRTICE B: Será la recta perpendicular desde B hasta el lado AC. Traemos el lado AC, para hacer cálculos: x+7y-11 = 0. La perpendicular a esta recta, será: Sabemos que su pendiente es: 7 y tiene que pasar por el punto B (1, 3) xo, yo Aplicando la fórmula de la ecuación punto-pendiente seremos capaces de calcularla:

Ecuación de la altura correspondiente al vértice B: 2º.-Vamos a comenzar calculado, la ALTURA DEL VÉRTICE A:

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Será la recta perpendicular desde A hasta el lado BC. Traemos el lado BC, para hacer cálculos: 2x+3y-7 = 0. La perpendicular a esta recta, será: Sabemos que su pendiente es: 3/2 y tiene que pasar por el punto A (-3, 2) xo, yo Aplicando la fórmula de la ecuación punto-pendiente seremos capaces de calcularla: Ecuación de la altura correspondiente al vértice A: 3º.-Vamos a comenzar calculado, la ALTURA DEL VÉRTICE C: Será la recta perpendicular desde C hasta el lado AB. Traemos el lado AB, para hacer cálculos: x-4y+11 = 0. La perpendicular a esta recta, será: Sabemos que su pendiente es: -4 y tiene que pasar por el punto C (4, 1) xo, yo Aplicando la fórmula de la ecuación punto-pendiente seremos capaces de calcularla: Ecuación de la altura correspondiente al vértice C: Ya tenemos calculado las ecuaciones de las 3 alturas del triángulo. Como tenemos que buscar un “punto de corte de todas las retas” TENEMOS OBLIGATORIAMENTE QUE ESTABLEER UN SISTEMA DE ECUACIONES. Recordatorio: Siempre que buscamos coordenadas de puntos, partiendo de ecuaciones de rectas, tenemos que llegar a montarnos un sistema de ecuaciones. Vamos a tomar 2 ecuaciones “cualquiera entre las tres que hemos calculado” y resolverlo. Es la ecuación de la altura que parte del vértice B Es la ecuación de la altura que parte del vértice A

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Para resolver el sistema que hemos creado, multiplicamos por +2 la 1ª ecuación y, la 2ª ecuación por (-1). El sistema nos quedará de la siguiente forma: Sumando: 11 x = 21 Este valor obtenido, lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones: Por tanto, ya hemos calculado las ecuaciones del ortocentro. Pero para las desconfiadas y desconfiados, vamos a hacer una prueba de que da lo mismo elegir unas u otras ecuaciones. Lo vemos a continuación: Es la ecuación de la altura que parte del vértice A Es la ecuación de la altura que parte del vértice C Para resolver el sistema que hemos creado, multiplicamos por +2 la 2ª ecuación: Sumando: 11x-21 = 0 Este valor obtenido, lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones: Vemos, que obtenemos el mismo resultado. Por tanto, las coordenadas del ortocentro son: Ahora vamos a calcular las mediatrices. Recordatorio: Son las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice hasta el “punto medio” del lado opuesto. 1º.- Mediatriz DEL VÉRTICE A. El lado opuesto es: BC. Vamos trabajar con la recta BC, ya que es el destino final de la recta que parte del vértice A. r(BC): 2x+3y-7 = 0 A ( -3, 2 ) B ( 1, 3 ) x1 y1 x2 y2

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Como ya conocemos la pendiente de la recta y el punto, por donde obligatoriamente tiene que pasar, aplicamos la fórmula de la ecuación en forma punto-pendiente. Ecuación de la mediatriz del vértice A: 2º.- Mediatriz DEL VÉRTICE B. El lado opuesto es: AC. Vamos trabajar con la recta AC, ya que es el destino final de la recta que parte del vértice B. r(AC): x+7y-11 = 0 A ( -3, 2 ) C ( 4, 1 ) x1 y1 x2 y2 Como ya conocemos la pendiente de la recta y el punto, por donde obligatoriamente tiene que pasar, aplicamos la fórmula de la ecuación en forma punto-pendiente. Ecuación de la mediatriz del vértice B: 7x-y-10 = 0 3º.- Mediatriz DEL VÉRTICE C. El lado opuesto es: AB. Vamos trabajar con la recta AB, ya que es el destino final de la recta que parte del vértice C. r(AB): x+7y-11 = 0 A ( -3, 2 ) C ( 1, 3 ) x1 y1 x2 y2 Como ya conocemos la pendiente de la recta y el punto, por donde obligatoriamente tiene que pasar, aplicamos la fórmula de la ecuación en forma punto-pendiente. Ecuación de la mediatriz del vértice C: 8x + 2y + 3 = 0

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Ya tenemos calculado las ecuaciones de las 3 mediatrices del triángulo. Como tenemos que buscar un “punto de corte de todas las retas” TENEMOS OBLIGATORIAMENTE QUE ESTABLEER UN SISTEMA DE ECUACIONES. Recordatorio: Siempre que buscamos coordenadas de puntos, partiendo de ecuaciones de rectas, tenemos que llegar a montarnos un sistema de ecuaciones. Vamos a tomar 2 ecuaciones “cualquiera entre las tres que hemos calculado” y resolverlo. Para resolver este sistema, multiplicamos la primera de las ecuaciones por +2. Sumando: 22 x = 1 Ahora sustituimos este valor en una de las ecuaciones del sistema: Por tanto las coordenadas del CIRCUNCENTRO, son: 54.- La recta 2x+y-4 = 0 es la mediatriz de un segmento que tiene un extremo en el punto 0 (0,0). Calcular las coordenadas del otro extremo.

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Lo primero que tenemos que darnos cuenta, es de lo siguiente: La recta que pasa por (0,0) y por (x,y) tiene que ser PERPENDICULAR A LA DADA. Por tanto vamos a calcular la pendiente de esta recta: Establecemos las condiciones de perpendicularidad entre rectas: Conocemos: 1º.- La pendiente de esta recta 2º.- El Punto por donde tiene que pasar. Si aplicamos la fórmula de la ecuación en forma punto-pendiente, obtenemos: 0 ( 0, 0) x0, y0 Por tanto la perpendicular a la recta dada es: x = 2y El enunciado nos dice que es una “mediatriz, por tanto habla de “punto medio” y además nos dice que el extremo es el punto (0,0). Por tanto la recta dada en el enunciado, tiene que pasar por el punto medio del segmento que tiene un punto en (0,0) y el otro en (x,y). Vamos a calcular el punto medio de este segmento: O ( 0, 0) P ( x, y ) x1, y1 x2, y2 La recta dada en el enunciado tiene que pasar por este punto que hemos calculado.

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Por tanto, vamos a sustituir el valor de estas coordenadas del punto medio, en la ecuación dada. Venimos repitiendo en todos los ejercicios una pauta común: cuando tenemos que calcular coordenadas de puntos, generadas por cortes entre rectas, tenemos que “montarnos” un sistema de ecuaciones. El resultado de esta ecuación, son la coordenada del punto pedido. Nuestro sistema es el formado por la perpendicular que hemos calculado anteriormente y la recta da e el enunciado “transformada en función de la obligación que tiene de pasar por el punto medio del segmento” ¿Por qué esta última condición? Porque la mediatriz “es perpendicular en el PUNTO MEDIO”. Por tanto las coordenadas del punto pedido P: 55.-Los puntos P(-2,4) y Q(6,0) son los vértices consecutivos de un paralelogramo, que tiene su centro en el origen de coordenadas. Se pide calcular los otros dos vértices.

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Para poder resolverlo, es necesario tener en cuenta algo importante: Las diagonales de cualquier paralelogramo SE CORTAN EN SU PUNTO MEDIO, que además es el centro del mismo. Por consiguiente, si calculamos los puntos medios entre los vértices desconocidos y el centro del paralelogramo, habremos resuelto el ejercicio. Vamos a comenzar por calcular las coordenadas del vértice R. Conocemos: 1º.- Las coordenadas del vértice opuesto P 2º.- El punto medio de este segmento, que es O P ( -2, 4) O ( 0 , 0) x1 y1 x2 y2 Por tanto, las coordenadas del vértice R: ( 2 , - 4) Vamos a seguir calculando las coordenadas del vértice S. Conocemos: 1º.- Las coordenadas del vértice opuesto R 2º.- El punto medio de este segmento, que es O R ( 6, 0) O ( 0 , 0) x1 y1 x2 y2 Por tanto, las coordenadas del vértice S: ( - 6 , 0)

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56.- Los lados de un paralelogramo, están sobre la rectas x+y-2 = 0 y el otro sobre la recta x-2y+4 = 0 y uno de sus vértices es el punto (6,0). Calcular los otros 3 vértices del referido paralelogramo. Menudo lío. Aquí hay que efectuar cálculos, hasta que tomemos las uvas de fin de año, me parece a mí. Entonces, vamos a comenzar con mucha calma, a “deshuesar este melocotón”. 1º.- Vamos calcular la ECUACION DE LA RECTA DEL LADO DC. ¿Cómo es esta recta? Es la paralela a lado que tiene por ecuación x+y-2= 0 ¿Y qué más podemos decir? Que va a pasar por el punto dado (6,0) Echad un vistazo al dibujo, a ver si es cierto, o no. Como siempre, vamos a comenzar por calcular la pendiente que va a llevar esta recta. Pero si es “paralela” peligrooooooooooo.......creo que ya deberíamos saberlo, antes de comenzar. Pero bueno, vamos a comenzar por los cálculos y a ver a donde nos llevan. ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡Ojito!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! vamos a establecer las condiciones de paralelismo de rectas, con referencia a sus pendientes: Por tanto, la recta que vamos a calcular, tiene que cumplir las siguientes condiciones: m = -1 C( 6, 0 ) x0 y0 Apliquemos la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente:

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ECUACIÓN DEL LADO DC: x + y - 6 = 0 2º.- Vamos calcular la ECUACION DE LA RECTA DEL LADO BC. ¿Cómo es esta recta? Es la paralela a lado que tiene por ecuación x-2y+4= 0 ¿Y qué más podemos decir? Que va a pasar por el punto dado (6,0) Echad otro vistazo al dibujo, a ver si es verdad o mentira. Como siempre, vamos a comenzar por calcular la pendiente que va a llevar esta recta. Pero si es “paralela” ......creo que ya intuimos como va a ser esa pendiente. Vamos a establecer las condiciones de paralelismo de rectas, con referencia a sus pendientes: Por tanto, la recta que vamos a calcular, tiene que cumplir las siguientes condiciones: m = 1/2 C( 6, 0 ) x0 y0 Apliquemos la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente: ECUACIÓN DEL LADO BC: x - 2y - 6 = 0 Con estas ecuaciones, creo, repito creooooooooooooooooooooo........tenemos datos suficientes, para comenzar a calcular los vértices que nos piden en el enunciado.

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Recordatorio: Siempre y cuando vayamos a calcular coordenadas de puntos, como consecuencia de la intersección o cruce de rectas, deberemos ser capaces todas/todos de “montar” un sistema de ecuaciones. VÉRTICE A. Sus coordenadas, nos vendrán dadas, por el punto de corte de las rectas de los lados AD y AB. Ecuación del lado AD Ecuación del lado AB. Para resolver este sistema que tenemos montado, vamos a multiplicar por (-1) la 1ª ecuación. Sumando: 3y - 6 = 0 3y = 6 y =6/3 = 2 Sustituimos en la 2ª ecuación: x + 2 - 2 = 0 Por tanto x = 0. Por tanto, 1ª solución: Vértice A ( 0 , 2) VÉRTICE D. Sus coordenadas, nos vendrán dadas, por el punto de corte de las rectas de los lados AD y DC. Ecuación del lado AD Ecuación del lado DC. Para resolver este sistema que tenemos montado, vamos a multiplicar por (-1) la 2ª ecuación. Sumamos: Sustituimos en la 2ª ecuación: Por tanto, 2ª solución: Vértice D VÉRTICE B. Sus coordenadas, nos vendrán dadas, por el punto de corte de las rectas de los lados AB y BC.

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Para resolver este sistema que tenemos montado, vamos a multiplicar por (-1) la 1ª ecuación. Sumando: Ese valor obtenido, lo vamos a sustituir en la 1ª ecuación: Por tanto, 3ª solución: Vértice B 57.- Calcular un punto del eje de abscisas que equidiste de las rectas 4x + 3y +6= 0 y 3x + 4y 9 = 0. Aquí el truco, lo oculto o como coño queramos llamarle, radica en leer con atención el enunciado.

- ¿Cuándo un punto está situado sobre el eje de abscisas (OY), que significado tiene?

Pueééééééésssssssssssssssssss.............. que x = 0. Con este dato y solo éste, ya tenemos tela, para solucionar el ejercicio. Hacemos y = 0. Segundo truco, ocultación de datos o “manea de discurrir”.

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¿Qué significa “equidistar”? Estar a la MISMA distanciaaaaaaaaaaaaaaaaaaa.......... Por tanto como son 2 rectas dadas, ¿qué tiene que ocurrir en este aspecto? Que la distancia entre una y otra, sea igual. Con igualar la distancia entre ambas rectas, añadiendo la condición que y= 0, tenemos resuelto el asunto. Vamos a comenzar con el planteamiento. Usaremos la fórmula de la distancia entre un punto y una recta. Vamos a colocar los datos, ordenados, para no montarnos una pirula. El punto pedido será: P ( x, 0) Recta r: 4x + 3y + 6 = 0 Recta s: 3x + 4y - 9 = 0 Como se tiene que cumplir que d(P,r) = d(P,s) Igualamos ambas expresiones y obtenemos: Por tanto, ya tenemos la 1ª solución: ¿Por qué decimos la 1ª solución? Recordarrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr..........que la fórmula de la distancia de un punto a una recta, es en términos de valores absolutos., por tanto hay que tener en cuenta el signo ± Es el momento de aplicar signo negativo al 2ª miembro, para calcular el segundo punto:

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Por tanto, ya tenemos la 2ª solución: 58.- Dada la recta r: x - 2y - 4 = 0 y el punto P(1,1), calcula los vértices de un cuadrado que tiene en P uno de sus vértices y uno de los lados sobre la recta r. Aquí “atención” vamos a tener que usar mucha literatura, para llegar a conclusiones y seguir avanzando, de forma lenta, pero seguraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa. Está muy rebuscado y con bastante mala leche. Es una buena forma de tocarnos las narices. Comenzamos, despacito. ¿Qué propiedad tienen las rectas que forman los lados consecutivos de un cuadrado? Algo tan sencillo, pero que hay que recordar: Forman ángulos rectos, es decir de 90ª ¿Cómo son las rectas qué al cruzarse forman un ángulo recto o de 90ª? Las PERPENDICULARESSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS.... Por tanto y llegando a la conclusión que queremos, para pode resolverlo: Si desde el punto dado en el enunciado P(1,1) trazáis una perpendicular a la recta dada, el punto de corte de ambas rectas, SERÁ OTRO VÉRTICE DEL CUADRADO. Datos de partida: P ( 1, 1) recta dada r : x - 2y - 4 = 0 x0 y0 Vamos a intentar calcular la recta perpendicular a esta dada. Procederemos como lo hacemos habitualmente, siguiendo nuestro método propio. Aplicamos, la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente: Por tanto, ya tenemos calculada la perpendicular a la recta dada en un punto dado. Como nos piden calcular un vértice. Y un vértice es un punto en el plano representado por coordenadas, tendremos que montarnos un sistema de ecuaciones: El punto de corte de ambas rectas, viene dado por el siguiente sistema: Vamos a multiplicar por (-2) la 2ª ecuación. Nos queda:

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Sumando: Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones, este resultado obtenido: Le vamos a llamar a éste vértice: Vértice A. Por tanto, ya tenemos la 1ª solución: Vértice A ( 2 , - 1) Vamos a seguir con la “fiesta” que tenemos montada, porque ahora, nos toca ser cautas/os y muy precavidas/os. Es hora de “centrarse mucho y leer con calma y, por supuesto pensar muy rápido y de forma clara y contundente, para saber que tenemos y que necesitamos para avanzar” 1ª conclusión, con los datos que estamos viendo: El punto P(1,1) NO PERTENECE a la recta dada en el enunciado. Esto significa por si hay “alguna burra/burro” que no lo entienda: Que la recta dada en el enunciado NO pasa por este punto (1,1). 2º:- El vértice A que hemos calculado SI PERTENECE a la recta dada. Conclusión de estos 2 apartados: SI UNIMOS ESTOS DOS VÉRICES OBTENEMOS UN “LADO” DEL CUADRADO. Bueno, coño, ¿Alguien está cansada/cansado de razonar? Puessssssssssssssssss..............todavía quedan muchas cosas por razonar. Y la siguiente pregunta que todas/todos nos hacemos: ¿Y cómo vamos a calcular los otros dos lados del cuadradoooooooooooooooooooooo..........................................? ¿Alguna ideaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa? Bahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh........seguir así sin pensar nada de nada, que vais muy biennnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn. A ver coño: ¿Qué característica tienen todos los cuadrados? Que tiene los lados PARALELOS 2 a dos. Y las rectas que lo forman: SON PERPENDICULARES. ¿Yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy.................os preguntáis, ehhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh? Para que a ninguna/ninguno os entren diarreas mentales, hay una clave truco o alguna mariconada escondida en todo lo que estamos razonando, es ésta:

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Si los 4 lados del cuadrado son iguales TRADUCIDO (miden lo mismo). Y esto que acabamos de escribir, como lo podremos volver a TRADUCIR para sacarle partido a nuestra manera: LA DISTANCIA QUE HAY ENTRE LOS VÉRTICESSSSSSSSSSSSSSSSSS ES LA MISMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA............................... Con esta conclusión, podemos seguir avanzando y tenemos TODOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO resuelto. Por consiguiente y sin acritud: PODEMOS calcular la distancia entre el punto dado P(1,1) y el vértice calculado A(2, -1) que forman uno de los LADOS del cuadrado. ¿Y cómo? Con algo tan sencillo, como aplicar la fórmula de la distancia entre dos puntos. Ojito!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! calculamos DISTANCIA, ya veremos como la vamos a utilizar Ahora creo que viene el “detalle fundamental del ejercicio” es darse cuenta de lo que vamos a escribir: Atentas y atentos, pero que mussssssssshhhhhhhhhhhhhhoooooooooooo..ehhhhhhhhh Si trazamos una RECTA PARALELA A LA DEL LADO PA, la distancia DEL VÉRTICE P A ESA RECTA ES IGUAL A LA DISTANCIA ENTRE EL PUNTO P Y EL VÉRTICE A. Por todo lo que hemos escrito de las condiciones que cumple un cuadrado. Haced una parada y volver a leer un poquito atrás, cuando hemos llegado a esta conclusión. Os daréis cuentaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa......a donde queríamos llegar. Vamos a hacer esto último que hemos escrito. Puesto que hablarrrrrrrrrrrrrrrrr es fácil, pero hacerrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr es muy complicado, parece ser. ¿Qué datos tenemos? La recta del lado PA, que hemos calculado al principio de este problema: r(PR) : 2x + y - 3 = 0

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Tenemos que buscar a puro huevo una paralela a esta recta, por las condiciones que cumplen los cuadrados. ¿Cómo tiene que ser esta recta qué pretendemos buscar? ¿O dicho de otra manera, qué condiciones va a tener que cumplir? Rascando un poquito el coco, creo que esta es la solución: La distancia del punto P a esta recta que queremos calcular tiene que ser la misma que la distancia existente entre el punto P y el vértice A. Si volvéis a leer lo que tenemos escrito hace un ratito, Que está escrito. De ahí que lo leáis con mucha calma. Bueno, vamos a seguir hacia adelante, para calcular esta recta paralela, a la que tenemos escrita como un dato. Para NO perdernos un segundo más: Si hablamos de distancia entre puntos, tendremos que aplicar la distancia de un punto a una recta. Doy por supuesto que os estáis enterando que además del dado de la recta, el punto P, tiene por coordenadas P(1,1) y el punto A(2, -1). Buenooooooooooooooo..............vamos a recolocarnos todas y todos, para que no haya mareos mentales. P ( 1, 1) A ( 2 , -1) x1 y1 x2 y2 La recta que estamos utilizando como dato, para calcular su paralela es: r:2x+y-3 Como son valores absolutos, vamos a trabajar con + 5: Ahora con valor - 5: Ya tenemos 2 solucionessssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss...........

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Lo cual quiere decir, que hay 2 rectas paralelas que cumplan las condiciones que hemos impuesto: Lo único en que se diferencian las rectas paralelas es en el TERMINO INDEPENDIENTE. Son las siguientes: Ya es el momento de seguir calculando el resto de los vértices del cuadrado. Para ellos, tenemos que “montarnos nuestros sistemas de ecuaciones” como siempre. Atentas/atentos” este sistema estarán formados por 2 rectas “perpendiculares entre si” puesto que son las que se “cortan” determinando los vértices. Vamos con nuestro primer sistema: Como hemos calculado dos rectas, por el asunto de los valores absolutos, habrá que hacer dos cálculos con cada uno de estos resultados, por tanto EXISTIRÁN DOS CUADRADOS. Para resolverlo, multiplicamos la 1ª ecuación por 2 Ahora multiplicamos por -1 la 1ª ecuación: Sumando: Sustituimos en cualquiera de las ecuaciones: x + 4 - 4 = 0 x = 0 Ya tenemos un primer vértice: C( 0 , -2) Multiplicamos la 1ª ecuación por - 2 Sumando: 5y +8 -8 = 0 5y = 0 y = 0 Sustituimos este valor en cualquier otra ecuación: x - 0 -4 = 0 x = 4 Ya tenemos un segundo vértice: C ’( 4 , 0) Seguimos haciendo lo mismo. Creando otro nuevo sistema con 2 perpendiculares.

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Esta es la nueva recta que hemos elegido. Vamos a multiplicar la 1ª ecuación por - 2: Sumando: 5y + 2- 2 = 0 y = 0 Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones x - 0 + 1 = 0 x = - 1 Ya tenemos un tercer vértice: D( - 1 , 0) Volvemos a multiplicar la 1ª ecuación por - 2 Sumando: 5y - 10 = 0 y =10/5 = 2 Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones: x - 4 + 1 = 0 x = 3 Ya tenemos un cuarto vértice: D ‘( 3 , 2) Y ya hemos resuelto el problema. Ahora vamos a ver como nos queda el cuadrado, mejor dicho los cuadrados: 59.- Calcula el punto de la recta 2x-4y-1 = 0 que con el origen de coordenadas y el punto P(-4,0) forma un triangulo de 6 unidades de superficie. Vamos a comenzar por hacernos un dibujo, para verlo mucho más claro.

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Vamos a hacer otro dibujo, para ver como quedaría determinado el triángulo: -Vamos a tomar como base el lado OP. Porque nos da la ganaaaaaaaaaaaaaa.......podemos elegir el lado que cada una/uno quiera. Por tanto la BASE es la distancia entre O y P. Es decir que tendremos que aplicar la fórmula de la distancia entre 2 puntos. O(0.0) P (-4, 0) x1 y1 x2 y2

La superficie de un triángulo es: Vamos a sustituir valores:

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Ahora hacemos una parada y nos ponemos a pensar un ratito, a ver como continuamos: El punto “Q” que buscamos, ¿qué condiciones tiene que cumplir? 1º.- Pertenece a la recta dada. 2º.- La distancia entre Q y OP, tiene que ser 3 unidades. El valor de la altura que hemos calculado. ¿Qué más datos tenemos? La recta OP está sobre el eje de las “x”. Por tanto ya podemos y debemos deducir que y = 0. Creo, que esta es una de las claves para resolverlo. Quizás fuese lo oculto del enunciado. Todo lo que hemos escrito, vamos a plasmarlo en términos de matemáticas: 1º) 2x - 4y - 1 = 0 2º) d(Q,OP) = 3 Como estamos hablando de calcular coordenadas de puntos, por intersección de dos rectas, tenemos que montarnos nuestros sistema de ecuaciones. 1ª Ecuación: La dada: 2x -4y - 1 = 2ª Ecuación la distancia de Q a OP. Ecuación OP : y = 0. Por tanto, el sistema, nos quedará: Por tanto, tenemos 2 soluciones, por el asunto del valor absoluto. El valor de x: 1ª .Solución: 2ª.Solución: Por tanto,Soluciones:

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El dibujo final, nos quedaría de la forma siguiente: 60.- Dados los puntos A(-2,-1) y B(4,0), determinan un punto C tal que AC = 2BC. Calcular la recta que pasa por C y tiene como pendiente 2. Llamando D al punto de corte de esa recta con el eje de ordenadas, demostrar que el área del triángulo ACD es doble de la del triángulo BCD. Con los datos del enunciado, podemos establecer el siguiente dibujo: Lo dejamos aquí parado y vamos a razonar con un poquito de lógica, para facilitarnos la comprensión de ese mensaje del doble de no se que historieta. Vamos a ver: Si AC = 2BC entonces BC = ½ AC. Por tanto el punto B es el punto medio entre A y C. Esto es el primer escollo que hemos salvado, para poder seguir avanzando. Bien...................conocemos las coordenadas del punto B(4,0) y estas coordenadas, significan que son las coordenadas del punto medio del segmento AC. Aplicamos la fórmula de las coordenadas del punto medio entre 2 puntos, yyyyyy....

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Los puntos, son los siguientes: A( -2 , -1 ) PM= B ( 4,0 ) C ( x , y ) x1 y1 x2 y2 Vamos a sustituir valores conocidos: 1ª Solución. Coordenadas punto C( 10,1) Seguimos avanzando. Vamos a calcular la recta que pasa por este punto C y tiene como pendiente 2. Aplicando la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente, lo tenemos solucionado. C ( 10 , 1 ) m = 2 x0 y0 2ª Solución. Ecuación que pasa por C y pendiente m= 2: Es el momento de calcular el punto D. ¿Cuando se corta con el eje de ordenadas una recta, qué valor tiene x? Siempre x = 0 Entoncesssssssssssssssssssssssss............sustituimos el valor de o en la ecuación que acabamos de calcular y tenemos la coordenada que nos falta “y”. 0-y-19 = 0 - y = 19 y = 19 3ª Solución. Coordenadas punto D( 0,-19) Es el momento de hacer otro dibujo, para ver como quedan los triángulos. Vamos a ello:

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El otro triángulo, quedaría de la forma siguiente: Y todas las figuras en conjunto, nos quedarían de este modo: Vamos a comenzar, calculando la superficie del triángulo ACD. Lo mejor que podemos hacer es irnos a la primera figura, en donde le tenemos dibujado solo. Vamos a tomar como base CD. Porque nos da la ganaaaaaaaaaaa. El/la que quiera que elija otro segmento como base y haga sus cálculos. ¿Cómo seremos capaces de calcular la longitud de esta base?. Entiendo, que será la distancia entre los puntos B y D. Aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos: C (10 , 1 ) D ( 0 , - 19) x1 y1 x2 y2

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Esto queda muy chungooooooooooooo. ¿Seremos capaces entre todo el personal de ajustar un poquito más la raíz cuadrada de 500? Boooooooooooooooooooooooo.........................aquí ni Dios se apunta a mejorarlo. Entonces ahí va, despacito, para que os gastéis el coco, pensando mucho en estas pequeñas cosas. Por tanto la longitud de la base CD es : 10 √5 unidades. Ahora tenemos que calcular la altura de este triángulo, a la cual en el dibujo le hemos llamado “h”. ¿Cuál será este valor? Creo, que la distancia desde el punto A, hasta la recta que pasa por la base y que hemos llamado CD. Como no conocemos la ecuación de la recta que forma la base CD(no confundir, ehhhhhhhhhhhh en este caso CD, NO es un Compact Disc), tenemos que calcularla. Por tanto será la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos C y D. C( 10 , 1) D ( 0 , -19 ) x1 y1 x2 y2 Por tanto ecuación del lado BC: 2x - y - 19 = 0 Hemos dicho que la altura “h” es la distancia del punto A, hasta la recta BC. Por tanto es el momento de aplicar la fórmula de la distancia de un punto a una recta, para calcular este valor. A (- 2 , - 1) x , y Superficie = 1/2 . base . altura

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Ya tenemos calculada la superficie del primer triángulo. Vamos con el otro. Más de lo mismooooooooooooooooooooooooo..................................... ¿Quéééééééééé´...... estaís así de cabreadas y cabreados. A seguir toca aaaaaaaaaa....... hay que terminar. ¡¡ YA QUEDA POQUITOOOOOO!!!!!!!!!! Vamos a comenzar, calculando la superficie del triángulo BCD. Lo mejor que podemos hacer es irnos a la segunda figura, en donde le tenemos dibujado solo. Seguimos tomando como base CD.. ¿Cómo seremos capaces de calcular la longitud de esta base?. Entiendo, que será la distancia entre los puntos B y D. Pero ya la tenemos calculada. Nos ha hecho falta para calcular la superficie del triángulo anterior. Por tanto este asuntillo está liquidado. Tendremos que calcular la altura que hemos llamado “h‘ “ que será la distancia desde el vértice B a la recta que pasa por CD(la base del triángulo) La ecuación de la base, era : 2x - y - 9 = 0 El vértice B, desde donde parte la altura h’ es : B ( 4, 0 ) x , y Por tanto, queda demostrado, que se cumple la condición impuesta en el enunciado. Y.......yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy a otra cosa, que este ejercicio ya queda resuelto.

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61.- Sean A, B, C y D los puntos de corte de las rectas r: x -2y + 2 = y la recta s: 2x - y - 2 con los ejes de coordenadas. Calcular la superficie del triángulo isósceles que resulta. Lo primero, vamos a hacer un dibujo con las ecuaciones de las rectas dadas, a ver como lo vemos: Este dibujo, son los datos que “literalmente” nos proporcionan en el enunciado. Los he puesto a posta, a ver como seriáis capaces de continuar. Personalmente, no me proporcionan ninguna idea de por donde va la tostada. Entonces, no me queda más remedio, que razonar un poquito: ¿Qué es un trapecio isósceles? Trapecio es el cuadrilátero que tiene sólo un par de lados paralelos Trapecio isósceles es el que tiene sus lados no paralelos iguales. Con esta definición, a nivel gráfico tampoco solucionamos casi nada. Si sabemos algo, que los lados del trapecio NO iguales tienen que ser paralelos. Entonces, ¿qué nos queda por hacer? Creo que calcular los vértices del trapeciucho de marrassssssss. Como buscamos coordenadas, tendremos que “montarnos unos sistemas de ecuaciones”. Leyendo de nuevo el enunciado, si vamos a ser capaces de hacerlo. ¿Cómooooooooooooooooooooooooooooooo....................................................? Cumpliendo la condición impuesta por el enunciado. ¿Y cuál eraaaaaaaaaaaaaaa.......? Que cada una de las rectas se corta con el eje de coordenadasssssssssss Por tanto, vamos a tomar cada una de las ecuaciones y buscar los puntos de corte. Nos van a proporcionar los vértices del trapecio de marras.

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1º Vamos a comenzar con la recta: r. Busquemos los puntos de corte. Sistema de ecuaciones, cuando se corta con el eje OX. Por tanto x = 0 Vértice A ( 0 , 1) Nuevo sistema de ecuaciones con la misma recta: r. Cuando corta al eje de ordenadas, es decir al eje OY. Se cumple que y = 0 Vértice B ( -2 , 0) 2º.- Continuamos con la recta: s. Vamos a buscar sus puntos de corte. Cuando se corta con el eje de abcisas OX. Se cumple que x = 0 Vértice C ( 0 , -2) Nuevo sistema de ecuaciones con la misma recta: s. Cuando corta al eje de ordenadas, es decir al eje OY. Se cumple que y = 0 Vértice D ( 1 , 0) Ya podemos dibujar el trapecio de marras, a ver como nos queda Superficie trapecio = ½ (CD+AB) . h Siendo CD y AB, las bases del trapecio.

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1º.- Vamos a calcular la BASE MENOR: AB. Al conocer las coordenadas de los 2 puntos, aplicaremos la fórmula de la distancia entre 2 puntos. A ( 0, 1) B ( 1, 0) x1 y1 x2 y2 2º.- Vamos a calcular la BASE MAYOR: CD. Será la distancia entre los puntos C y D, cuyas coordenadas, también conocemos. Aplicamos la misma fórmula: C ( 0, -2) B ( -2, 0) x1 y1 x2 y2 3º.- Vamos a calcular la ALTURA. Será la distancia entre el punto B(de donde parte) hasta la recta CD. Tendremos que calcular la ecuación de la recta que pasa por C y D( que es la base del trapecio) C ( 0, -2) B ( -2, 0) x1 y1 x2 y2 Aplicamos la fórmula de la ecuación de la recta, que pasa por 2 puntos: Ecuación de la base: Estamos en condiciones de aplicar la formula de la distancia del punto B a la recta CD, para calcular la altura que estamos buscando: B ( 1, 0 ) x, y Solución: Superficie = 9/2 unidades

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62.- La recta x + y - 2 = 0 y una recta paralela a ella que pasa por un punto D(0,5) determinan, junto con los ejes de coordenadas un trapecio isósceles. Calcular la superficie del mismo. Vamos a hacer un dibujo con los datos que disponemos, que me parece a mi, que poquita cosa vamos a ver. Pero lo intentaremos a ver que vemos. Buenooooooooo........tenemos figura. Vamos a darle la vuelta al dibujo:

Lo primero que tenemos que calcular, es el valor de la recta paralela(la que está dibujada en

color rojo) a la dada en el enunciado del ejercicio.

Procedamos como siempre: Calculemos el vector director de la recta da y su pendiente: D ( 0, 5 ) x y Las condiciones entre rectas paralelas, referente a sus pendientes: m . m’ = 1 - 1.m’ = 1 m’ = - 1 Vemos que ambas rectas, tienen la misma pendiente, por tanto es correcto. Aplicamos la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente:

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P ( 0, 5 ) m = - 1 x, y Ahora ya podemos comenzar a calcular los vértices del trapecio. Sabemos que los puntos de corte que nos faltan, nos lo tienen que dar el punto de corte de las rectas con los ejes OX y OY, es decir con el eje de coordenadas. 1º Vértice: tomamos una de las rectas, por ejemplo la recta r: x+y-2 = 0. Buscaremos el punto de corte con ambos ejes. En el eje OX x = 0 Por tanto, el sistema, quedará de la forma siguiente: Vértice A ( 0,2) 2º Vértice: tomamos una de las rectas, por ejemplo la recta r: x+y-2 = 0. Buscaremos el punto de corte con ambos ejes. En el eje OY y = 0 Por tanto, el sistema, quedará de la forma siguiente: Vértice B ( 2,0) 3º Vértice: tomamos la otra recta, s: x+y-5 = 0. Buscaremos el punto de corte con ambos ejes. En el eje OX x = 0 Por tanto, el sistema, quedará de la forma siguiente: Vértice C ( 0,5) 4º Vértice: tomamos la otra recta, s: x+y-5 = 0. Buscaremos el punto de corte con ambos ejes. En el eje OY y = 0 Por tanto, el sistema, quedará de la forma siguiente: Vértice D ( 5,0) Además, este último vértice, ya nos lo habían facilitado en el enunciado del problema. Ahora vamos a dibujar el trapecio con todos los vértices calculados. Nos queda:

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Superficie trapecio = ½ (CD+AB) . h Siendo CD y AB, las bases del trapecio. Vamos a calcular la base menor, que será el lado AB. Como conocemos las coordenadas de los dos vértices, aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos. A ( 0, 2 ) B ( 2 , 0) x1 y1 x2 y2 Vamos a calcular la base menor, que será el lado CD. Como conocemos las coordenadas de los dos vértices, aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos. C ( 0, 5 ) D ( 5 , 0) x1 y1 x2 y2 Las alturas desde los vértices A y B, hasta al Base Mayor CD, vemos que son iguales, por tanto con calcular una de ellas, ya estamos en condiciones de calcular el área del trapecio. Peroooooooooooooo........cuidadooooooooooo..........antes debemos de calcular al ecuación de la recta que forma la Base Mayor CD. Ya nos suponemos, para que la necesitamos. Pero tranauisssssssss, vamos a llegara ello.

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Esta ecuación de la Base Mayor, es la ecuación de la recta que pasa por los puntos C y D. Por tanto vamos aplicar la fórmula de la ecuación de la recta que pasa por 2 puntos. C ( 0, 5 ) D ( 5 , 0) x1 y1 x2 y2 Esta es la ecuación de la Base Mayor. Por cierto, ya la habíamos calculado al principio del ejercicio, cuando hemos calculado la paralela a la recta dada en el enunciado con la condición impuesta, que pasase por el punto D(0,5). Biennnnnnnnnn..........seguimos. La altura, por tanto, será la distancia desde cualquiera de los vértices A o B, hasta la Base Mayor, que acabamos de calcular. Por tanto vamos a aplicar la fórmula de la distancia de un punto a una recta. Elegimos uno de los vértices, por ejemplo el vértice A. Tenemos: Ecuación de la Base Mayor. Recta: x+y-5 = 0 A ( 0 , 2) x , y Por tanto, ya estamos en disposición de calcular la superficie: Solución: Superficie = unidades. 63.- Los puntos A(1, -2) y B(2,3) son los vértices de un triángulo de área 8 unidades. El vértice C está sobre la recta 2x +y -2 =0. Calcularlo. Los datos que tenemos, representados gráficamente, da lugar a esto:

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En este ejercicio, de lo único con lo cual podemos comenzar a trabajar, es con el área del triángulo. La conocemos. Vamos a calcular la base y la altura, del citado triángulo, datos imprescindibles, para poder continuar: Elegimos, porque nos da la gana, como base el lado AB. Además no podremos elegir otro, puesto que no tenemos datos del tercer vértice. Esta base, en realidad, es la distancia entre los vértices A y B, cuyas coordenadas conocemos. Por tanto, aplicando la fórmula de la distancia entre 2 puntos, habremos calculado su valor. A ( 1, -2 ) B ( 2 , 3) x1 y1 x2 y2 Para calcular la altura, ya “tenemos obligatoriamente” que utilizar, la fórmula de la superficie de un triángulo: La altura “h” en realidad es la distancia entre el vértice (x,y) y la recta que forma la base AB. Por tanto, nos queda más INRI que calcular, la ecuación de la base AB del triángulo. Será aplicar la fórmula de la ecuación de la recta que pasa por 2 puntos, cuyas coordenadas conocemos. Vamos a ello: A ( 1, -2 ) B ( 2 , 3) x1 y1 x2 y2 La ecuación de la base, es: 5x - y - 7 = 0 Apliquemos la fórmula de la distancia entre un punto y una recta, como habíamos acordado: Simplificando: Ecuación de la altura. Como estamos hablando de valores absolutos: vamos a darle valor negativo a 16 y obtenemos otra ecuación de la altura. La otra ecuación de la altura.

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Por tanto, ya sabemos una cosa más, vamos a tener dos soluciones, para ese vértice desconocido: 1ª Sistema de ecuaciones. Puesto que vamos a calcular coordenadas: Sustituyendo este valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones: 1ª Solución. Coordenadas del punto C: 2ª Sistema de ecuaciones. Puesto que vamos a seguir calculando coordenadas: Sustituyendo este valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones: 2ª Solución. Coordenadas del punto: La solución gráfica, es la siguiente:

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64.- Un punto P, es equidistante de los puntos A(3,4) y B(-5,6), además dista el doble del eje de abcisas que del eje de ordenadas.¿Cuáles son las coordenadas de ese punto P? Para no liarnos con los conceptos, vamos a plantearlo, del modo más grafico posible. Que nos sea fácil a la vista el colocarnos para arrancar: Datos: A ( 3, 4 ) B ( -5 , 6) P(x,y) = Equidistante entre A y b. x1 y1 x2 y2 ¿Cómo nos sería fácil, ver esa equidistancia? Vamos a probar de esta forma, para evitar que a alguna/alguno le de un siroco. Hay que tener un poquito de inventiva personalllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll x1 , y1 (x,y) x2, y2 Como son iguales, ambas distancias. Igualamos ambos miembros: Ya tenemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados y equidista del punto que vamos a calcular. Necesitamos “montar nuestros sistema de ecuaciones” porque estamos tratando de buscar coordenadas de puntos. ¿Cuál será la otra ecuación? Ahhhhhhhhh..... la que habla del doble de no se que historia con respecto a otra historieta.

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Vamos a pararnos un poquito y ver de organizarnos nuevamente de forma visual, para poder escribir lo que nos dice la segunda parte del enunciado: ¿Qué condiciones nos ponen o nos obligan? Que el dichoso punto P, además, esté situado al doble de distancia del eje de abcisas, que es el eje OX, que del eje de ordenadas, que por supuesto es el eje OY. Vamos a rompernos un poquito la cabeza, a ver como podemos expresar esta condición, para que se nos convierta en una ecuación y poder montar el sistema de marras. Buenoooooooooo....vamos a intentar plasmarlo de forma, que nos podamos entender. Despacio, vamosa a ser cuidadodas/cuidadosos con lo que vamos a razonar... Ordenadas: Se representan en el eje OY Son las coordenadas en “y” Abcisas: Se representan en el eje OX Son las coordenadas en “x” Ahoraaaaaaaaaaaa: Condición impuesta por el enunciado: El punto de las ordenadas(eje OY, o también punto de las “y”) = 2 veces el punto del eje de las abcisas(Eje OX, o también punto de las “x”) Es decir: ordenadas(OY) = 2 veces ABCISAS (OX). Por tanto, la ecuación, será: y = 2 x Y la otra ecuación, en otro cuadrante: y = - 2 x Por fin hemos llegado a deducir, las ecuaciones que nos van a servir para calcular las coordenadas pedidas. Vamos a montar el primero de nuestros sistemas de ecuaciones: Esta es la primera condición: Equidistante de los puntos dados Esta es la segunda condición: A dobles distancia del eje de De abcisas que del de ordenadas.

No vale pedir ayudaaaaaaaaaa Así, noooooooooo. A romper el coco.

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Ya hemos calculado las coordenadas del punto P: Vamos a montar el segundo de nuestros sistemas de ecuaciones: Ya hemos calculado las coordenadas del punto P ‘: La solución gráfica, sería la siguiente: 65.- De todas las rectas que pasan por el punto A(1,2), calcula la pendiente de aquella recta, cuya distancia al origen es 1. Esto de entrada, le veo muy chungooooooooooooooooo.....De verdad, casi no sabe una/uno por donde le va a meter la mano. ¿Qué datos tenemos? Un punto por donde tiene que pasar a pinrel esa recta: A( 1, 2), nada más de momento. Porque tenemos que aplicar la única fórmula que podemos y es la de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente: y-y0 = m( x -x0)

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Nos encontramos con una sola ecuación y con 2 incógnitas. Por tanto la solución tiene que estar en la 2ª parte del enunciado, y se refiere a la distancia de esta recta al origen de coordenadas. El origen de coordenadas es O(0,0) y la distancia de la recta a este punto tiene que ser 1. Y como tiene que pasar por el punto A(1,2), tendremos que aplicar la fórmula de la distancia de un punto a una recta. No nos queda otra forma. Ya tenemos establecidas las condiciones que nos obliga el enunciado. Vamos a hacer operaciones con la ecuación que hemos escrito anteriormente: Una “gran clave del ejercicio, viene ahora mismo”. Vamos a ordenar esta ecuación y pasarla a forma general: Sabemos que la ecuación de una recta en forma general es: Ax + By + C. Pues consiste en los cálculos que hemos hecho, colocarlos de forma correcta: O (0 ,0) x,y Es el momento de aplicar la fórmula de la distancia de un punto a esta recta: Vamos a elevar los dos miembros de la igualdad al cuadrado: Por tanto la solución, es: 66.- Calcular las ecuaciones de las rectas que pasan por A(1,-2) y cuya distancia a B(3,1) es 2 unidades de longitud. La recta dada, tiene que pasar por el punto A(1,-2) x0 y0 Vamos a intentar calcular la pendiente de esta recta. Aplicamos la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente y sustituimos valores:

.

Ya tenemos calculado, hasta donde podemos la ecuación de la recta, en forma general.

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Tendremos que buscar soluciones, basándonos en la distancia que hay entre el punto B y la ecuación de la recta que queremos calcular. B ( 3 , 1 ) x, y Es el momento de aplicar la fórmula de la distancia de un punto a esta recta: El punto es B y la recta, es la que tenemos escrita anteriormente: Ahora al conocer la pendiente de la recta, la sustituimos en la ecuación que tenemos a medias y que recordamos: Por tanto la solución, es: Y otra ecuación, será: x = 1 La solución gráfica, es la siguiente:

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67.- Un rombo tiene un vértice en el punto A(6,1) y una diagonal que mide 2 √ 5 unidades sobre la recta 2x + y - 3 = 0. Se pide calcular los otros tres vértices. Lo primero que vamos a comprobar, es si el punto dado A(6,1) pertenece a la recta dada en el enunciado. Sustituimos valores: 2(6) + 1+ 3 = 12 + 1 + 3 ≠ 0. Por tanto este punto NO pertenece a la recta. Por tanto la recta dada r: es la diagonal correspondiente al lado BD. Esto es un dato fiable y seguro. La otra diagonal es AC. ¿Y qué propiedad cumple con respecto a la diagonal BD? Que es perpendicular a ella y además tiene que pasar por el punto A(6,1). Vamos a calcularla, puesto que podemos. ¿Cómo procedemos? De forma tan sencilla como calcular la perpendicular a la diagonal BD. Partimos de la ecuación de la recta dada r: 2x + y - 3 = 0. Aplicamos la condición de perpendicularidad entre rectas: Tiene que pasar por el punto A(6, 1) x0 y0 Aplicamos la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto pendiente: El punto donde se cortan las 2 diagonales, es el punto medio del polígono, por tanto es un punto equidistante de todos los vértices del rombo. Como buscamos coordenadas de puntos, vamos a montar nuestro sistema de ecuaciones. Serán las de las 2 diagonales. Multiplicamos la 1ª ecuación por 2:

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Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones: 2(2)+ y - 3 = 0 4+y-3 = 0 y = - 1 Por tanto el punto medio del rombo es Pm ( 2, - 1). Ya veremos como lo vamos a utilizar. Es el momento de ello. Conocemos las coordenadas del punto medio, por tanto nos deben de conducir, a calcular las coordenadas de uno de los vértices: ¿Cuál es la fórmula de las coordenadas del punto medio de un segmento? ¿A qué siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii................? Como conocemos el valor de Pm que hemos calculado, vamos a sustituir valores en la fórmula y veréis como obtenemos uno de los vértices: Va a ser el punto medio de AC. A ( 6, 1 ) Pm( 2, -1) C ( x, y) x1 y1 x,y Por tanto coordenadas del punto C ( -2, -3) Ahora, quizás sea el momento crítico del problema. Si no somos capaces de razonar lo que viene a continuación, seremos incapaces de resolverlo. Vamos a tratar de ir despacio, explicando lo que pretendemos hacer, paso a paso y con mucha calma. Desconocemos el valor de los puntos B y D. Son los que nos faltan por calcular. Biennnnnnnnnnnnnnn................admitidooooooooooooooooooo................................. Y nuestro subconsciente nos dice algo: si queremos calcular coordenadas de puntos, tendremos que llegar a montarnos nuestro sistema propio de ecuaciones. Creo que hasta este momento, estamos todas/todos de acuerdo con este planteamiento. Vamos a trazar una recta PARALELA a la diagonal AC por el punto D. ¿Por qué la trazamos? Porque la distancia de Pm hasta el vértice D, es la mitad del valor de la diagonal BD.

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Y esa distancia la conocemos, puesto que nos facilita ese dato el enunciado del problema. Y esa distancia es 2 √ 5. No nos perdamos a estas alturas del ejercicio. Ahora viene lo importante, ligar un concepto con otro. Seguimos hablando de que estamos trazando una paralela por el punto D a la diagonal AC. Recta AC : x - 2y - 4 = 0. ¿Cómo es la distancia desde el punto Pm hasta D? algo tan sencillo, como la distancia del Pm hasta la recta que pasa por el vértice D y es paralela a la recta AC. Si la recta r: es paralela a la recta que pasa por AC, OBLIGATORIAMENTE tienen la misma pendiente ambas rectas y tan solo se diferencian en el valor del término independiente. Es el momento de aplicar esa fórmula que tenemos pendiente de un punto a una recta. Como estamos hablando de valores absolutos, habrá dos soluciones, una con signo + y otra con signo -. + 5 = x - 2y - 4 x - 2y - 9 = 0 1º ecuación - 5 = x - 2y - 4 x - 2y + 1 = 0 2ª ecuación Ojitoooooooooooooooooooooo¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ NO NOS PERDAMOS EN ESTE MOMENTO PRECISO. ¿Para calcular coordenadas, como tienen que ser las rectassssssssssssssssssssssssss? Secantessssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss............es decir tienen que cruzarse. Por razones de simetría, en este ejercicio son perpendiculares, además de todo. Si estas dos rectas, son paralelas a la diagonal AC, ¿con qué recta se van a cortar, para determinar los vértices? Creo que con la otra diagonal, DB, que es la recta 2x + y -3 = 0. Además son dos rectas perpendiculares. Por tanto ya podemos establecer o montar nuestros sistemas de ecuaciones: Este es el primer sistema de ecuaciones.

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Vamos a multiplicar la 1ª ecuación por 2. y la 2ª por - 1 Sumando: Sustituimos este valor calculado, en cualquiera de las rectas que tenemos en el sistema: Por tanto coordenadas del punto B ( 3, -3) Ahora establecemos el segundo sistema de ecuaciones, para calcular el vértice que nos falta. Multiplicamos la 1ª ecuación por - 2 Sumamos: Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones: Por tanto coordenadas del punto D ( 1, 1)

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68.- Un cuadrado tiene una diagonal sobre la recta x + 5y - 6 = 0 y uno de sus vértices es A(-2,-1). Calcular los otros vértices y la longitud de la diagonal. Si vamos dando valores a x, vemos que el punto dado A(-2,-1), no pertenece a la recta dada en el enunciado. Por tanto serán dos vértices opuestos a esta diagonal. Esta diagonal, corresponde a la recta que une los vértices B y D. Por tanto es la recta BD. Por tanto la diagonal AC, será la recta perpendicular a la dada BD. Vamos a calcularla: Aplicamos la condición de perpendicularidad entre rectas: Como tiene que pasar por el punto A ( -2, -1) x0 y0 Aplicamos la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto pendiente: Ecuación de la diagonal AC: 5x - y + 9 = 0. El punto medo del cuadrado, es el punto equidistante de los 4 vértices. Por tanto el punto donde se crucen estas diagonales, nos van a dar esas coordenadas. Vamos a calcular ese punto medio (Pm) que es son la soluciones del sistema montado por las 2 diagonales. Multiplicamos la 1ª ecuación por - 5 Ahora es el momento de sustituir en cualquiera de las ecuaciones:

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Por tanto las coordenadas del Punto Medio (Pm) son: Es el momento de ello. Conocemos las coordenadas del punto medio, por tanto nos deben de conducir, a calcular las coordenadas de uno de los vértices: ¿Cuál es la fórmula de las coordenadas del punto medio de un segmento? ¿A qué siiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii................? Como conocemos el valor de Pm que hemos calculado, vamos a sustituir valores en la fórmula y veréis como obtenemos uno de los vértices: Va a ser el punto medio de AC. A ( -2, -1 ) Pm( -3/2, 3/2) C ( x, y) x1 y1 x,y Por tanto coordenadas del punto C ( -1, 4) Si nos detenemos en este momento y echamos un vistazo rápido, vemos que hemos calculado las coordenadas del punto C y ya conocíamos las de A. Estamos en condiciones de dar una solución de las planteadas en el enunciado. Y es el calcular el valor de la otra diagonal del cuadrado. Esa diagonal, la llamamos AC. Y no es otro cálculo que la distancia entre dos puntos. Estos puntos, por supuesto son A y C. Vamos a calcular en estos momentos y dejamos resuelta una de las cuestiones planteadas. A ( 6, 1 ) C ( x, y) x1 y1 x2 y2 Por tanto primer solución: Diagonal AC: unidades. El paso siguiente, creo que es el trascendente para solucionar el problema. Aquí tenemos que estar todas/todos muy atentas/atentos a ver como seguimos. Vamos a trazar una paralela a la diagonal AC, que pase por el vértice B ¿Por qué justamente esa diagonal? 1º.- Porque B es un vértice que queremos calcular. 2º.- Porque la recta AC conocemos su ecuación

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3º.- Porque conocemos 2 puntos de esta recta AC Resumiendo: tenemos datos suficientes y precisos, para poder calcular las coordenadas de este vértice B. Buenooooooooooooooooooooo..............la pregunta que os estáis haciendo: ¿Qué puntos conocemos? Ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhoooooooooooraaaaaaaaaaaaaaaaaa................ conocemos la distancia que hay entre el punto Pm(que pertenece a la recta AC) y B. ¿Cuál es esta distancia? Puessssssssssssssssssssssssssssssssssssss....................la mitad del valor de la diagonal. Y la longitud de esa diagonal, era una de las soluciones pedidas en el enunciado. Por tanto, lo primero que haremos, será calcular la distancia entre el punto Pm y la recta que hemos trazado por el punto B, que va a ser paralela a la diagonal AC. Apliquemos la fórmula de la distancia de un punto a una recta: Recordatorio: d ( Pm, A ) = √26/2. A la vista de todo esto, ya intuimos, que vamos a tener dos soluciones, serán ambos vértices desconocidos 1ª Ecuación: 5x - y- 4 = 0 cuando aplicamos el valor + 13 2ª Ecuación: 5x - y + 22 = 0 cuando aplicamos el valor - 13. Vamos a montar nuestro primer sistema: Ecuación de la perpendicular a la diagonal BD AC. Ecuación de la diagonal BD. Como tenemos que buscar coordenadas y son puntos de cortes, estamos eligiendo, como siempre dos rectas que se cruzan. En este caos son las diagonales, que además son perpendiculares entre si. Los resultados de ambos sistemas, nos van a proporcionar las coordenadas de los vértices. Multiplicando por 5 la 1ª ecuación, el sistema montado, nos queda de la forma siguiente:

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Sustituimos este valor, en cualquiera de las ecuaciones de este sistema y obtenemos: Por tanto coordenadas del punto B ( 1, 1) Ahora vamos a montar el segundo sistema de ecuaciones: 2ª Ecuación de la perpendicular a la diagonal BD Ecuación de la diagonal BD. Multiplicamos por - 5 la 2ª ecuación y, el sistema nos queda de la forma siguiente: Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema, obtenemos: x + 5. 2 - 6 = 0 x + 10 - 6 = 0 x = - 4 Por tanto coordenadas del punto D ( -4, 2) Esta sería la solución gráfica:

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69.- De un cuadrado conocemos dos vértices contiguos A(3,1) y B( 4, 5). Calcular los otros vértices. Al ser vértices contiguos, cada uno de los puntos, pertenece a rectas “paralelas” diferentes. Lo primero que se nos ocurre, es calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B, que va a ser perpendicular a las rectas que contenga a los puntos A por un lado y B por otro, ya que comos hemos escrito, están en rectas perpendiculares diferentes. A ( 3, 1 ) B ( 4, 5 ) x1 y1 x2 y2 Aplicamos la fórmula de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos: Ecuación de la recta AB: 4x - y - 11 = 0 Si echamos un vistazo al dibujo que tenemos, nos damos cuenta de una cosa: La recta DD ‘ es “perpendicular” a la recta AB que acabamos de calcular. Vamos a calcularla. ¿Cómo lo haremos? Partiendo de la recta AB y calculando su perpendicular, que además tiene una condición, y es que tiene que pasar por el punto A(3,1) Vamos a aplicar la condición de perpendicularidad entre 2 rectas, respecto a sus pendientes: Como tiene que pasar “por pelotas” por el punto A (3, 1) x0 y0

Vamos a aplicar la ecuación de la recta en forma punto-pendiente:

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Ecuación de la recta DD ‘: x + 4y - 7 = 0. Si echamos otro vistazo al dibujo que tenemos, nos damos cuenta de otra cosa: La recta CC ‘ es “perpendicular” a la recta AB que acabamos de calcular. Vamos a calcularla. ¿Cómo lo haremos? Partiendo de la recta AB y calculando su perpendicular, que además tiene una condición, y es que tiene que pasar por el punto B(4,5) Vamos a aplicar la condición de perpendicularidad entre 2 rectas, respecto a sus pendientes: Como tiene que pasar “forzosamente” por el punto B (4, 5) x0 y0

Vamos a aplicar la ecuación de la recta en forma punto-pendiente: Ecuación de la recta CC ‘: x + 4y - 24 = 0. Si nos damos cuenta “cosa raraaaaaaaaaaaaaaaa” veos que ambas ecuaciones tan solo difieren en el término independiente, por tanto SI SON paralelas. Paso siguiente: Vamos a calcular la distancia que existe entre estas rectas paralelas que hemos calculado, es decir entre CC ‘ y DD ‘. Conocemos 2 puntos: Uno en cada recta. Por tanto aplicamos la fórmula de la distancia entre 2 puntos: en este caso entre el punto A y el punto B. A ( 3, 1 ) B ( 4, 5 ) x1 y1 x2 y2 Esta es la distancia entre A y B, por tanto es la distancia entre las rectas CC ‘ y DD Ahora, viene la clave para resolver el ejercicio. Atentas/atentos: La figura geométrica es un cuadrado.

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Biennnnnnnnnnn...........un cuadro tiene los 4 lados IGUALESSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS. Por tanto las distancias de los lados son iguales entre sí, para cumplir esta condición. Es decir, se cumple lo siguiente: d( AB) = d ( AB ‘) = d (AD ‘ ) = d ( AD) = d (BC) = d (BC ‘) ¿Para que nos sirve esa igualdad que hemos escrito? Para calcular las ecuaciones de las rectas perpendiculares a la recta AB, que hemos calculado al principio. ¿Por qué? Porque como estamos buscando coordenadas, tenemos que buscar rectas que se crucen, para poder determinar estos puntos de cortes, que no son más que las coordenadas de los vértices pedidos. Conocemos la distancia entre 2 puntos de esa recta y la recta AB. Apliquemos la fórmula de la ecuación entre un punto y una recta: Por tanto: 1ª Ecuación: Cuando es positivo el valor: 4x - y - 11 = + 17 4x - y - 28 = 0 2ª Ecuación: cuando es negativo el valor: 4x - y - 11 = - 17 4x - y - 11 = 0 Simplificando, nos quedan las siguientes ecuaciones: 1ª 4x - y - 28 = 0 2ª 4x - y + 6 = 0 Estamos en condiciones de montar nuestro 1ª sistema de ecuaciones y dar las coordenadas de uno de los vértices: Multiplicamos la 2ª ecuación por - 4. el sistema nos queda: Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones de este sistema: x + 0 - 7 = 0 x = 7 Vértice D ( 7, 0 ) Montemos el segundo sistema con la otra ecuación:

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Multiplicamos la 2ª ecuación por - 4. el sistema nos queda: Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones de este sistema: x + 4.2 - 7 = 0 x+ 8 - 7 = 0 x = -1 Vértice D ‘ ( -1, 2 ) Montemos nuestro 3º sistema de ecuaciones: Multiplicamos la 2ª ecuación por - 4. el sistema nos queda: Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones de este sistema: x+ 4.4. - 24 = 0 x +16 -24 = 0 x - 8 = 0 x = 8 Vértice C‘ ( 8, 4 ) Ahora, vamos con el 4º y último sistema de ecuaciones: Multiplicamos la 2ª ecuación por - 4. el sistema nos queda: Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones de este sistema: x + 4.6 - 24 = 0 x = 0 Vértice C‘ ‘ ( 0, 6 )

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La solución gráficas, sería la siguiente: 70.- Calcular la ecuación de una recta que pasa por el punto P(3,1) y forma con la parte positiva de los ejes de coordenadas un triángulo de área 6. Lo primero, vamos a hacer un dibujo a ver que vemos: Por el enunciado, ya sabemos que uno de los vértices es el origen de coordenadas, es decir el punto (0,0). Los otros 2 vértices que vamos a calcular, tienen que ser los puntos de corte de la recta dada en el enunciado con los ejes de coordenadas x e y.

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Vamos a comenzar por calcular uno de los vértices, que vamos a llamar vértice A, que va a ser porque así lo elegimos, el punto de corte de la recta con el eje OX. El punto por el que pasa la recta, es P (3, 1) x0 , y0 Por tanto x = 0. Ahora, echamos manos de la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente: y-y0 = m ( x-x0) Ahora, todas/os, atentos a los valores que conocemos, dados por el enunciado y otro que hemos deducido por nuestra parte: Por enunciado, sabemos que x0 = 3 y que y0 = 1 Y nosotros queremos que x = 0 Sustituimos valores en la fórmula: Vamos a comenzar por calcular uno de los vértices, que vamos a llamar vértice B, que va a ser porque así lo elegimos, el punto de corte de la recta con el eje OY. El punto por el que pasa la recta, es P (3, 1) x0 , y0 Por tanto y = 0. Ahora, echamos manos de la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente: y-y0 = m ( x-x0) Por enunciado, sabemos que x0 = 3 y que y0 = 1 Y nosotros queremos que y = 0 Sustituimos valores en la fórmula: Las nuevas coordenadas que tenemos, son las siguientes: Altura (OA) Base(OB) Tomamos, estos valores, porque así lo queremos, tanto la base como la altura. La superficie de un triángulo, es: sustituimos valores:

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Por tanto m(la pendiente de la recta es – 1/3. Como por enunciado pasa por el punto P(3,1) y tiene como pendiente – 1/3. La ecuación pedida, será: y-y0 = m ( x-x0) La solución es: Ahora, vamos a calcular los vértices del triángulo: Cuando x = 0 Por tanto, vértice A: Cuando y = 0 Por tanto, vértice B: 71.- Determinar la ecuación de una recta de pendiente – 2 que forma con los ejes un triángulo de superficie igual a 81. Conocemos un dato importante: la pendiente de la recta y sabemos que uno de los vértices es el punto O(0,0) que es el origen de coordenadas. Si rebuscamos en nuestra memoria, la mejor fórmula que se nos presta para este ejercicio, es la de la ecuación de la recta en forma explícita. y = mx + n

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Como corta a los ejes, la recta propuesta en el enunciado, comenzamos haciendo: x = 0 Vamos a la ecuación de la recta en forma explícita y sustituimos los valores conocidos: Y = – 2 . 0 + n por tanto y = n Ya podemos fijar una condición: Vértice A ( 0, n) Continuamos, dado valor a y = 0 y sustituimos: 0 = - 2x +n por tanto x = n/2 Ya podemos fijar otra condición: Vértice B ( n/2, 0) Es el momento de echar mano de la fórmula de la superficie del triángulo: Y elegimos a nuestra manera, la base y la altura, para sustituirla en esta fórmula: Hemos calculado el término independiente y tiene dos valores: + 18 y – 18. Por tanto, sustituyendo en la fórmula de la ecuación explícita, obtenemos: y = - 2 x + 18 y’ = - 2x – 18 Son las ecuaciones pedidas. Vértice A (o, n) = (0, 18) Vértice A’ (0, n’) = ( 0 , - 18) Vértice B ( n/2, 0) = ( 9, 0) Vértice B’ = n’/2, = ( - 9, 0) Gráficamente, éste, sería el dibujo:

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72.- Conocemos 2 vértices de un trapecio rectángulo A(1,1) y B(5,1) y además sabemos que uno de sus lados está sobre la recta y = x+1. Se pide calcular los otros dos vértices. 1º.- Los puntos A y B no pertenecen a la recta dada. 2º.-Por condición impuesta en el enunciado uno de los lados está sobre la recta. 3º.-Podemos sacar la conclusión, que los puntos A y B al NO pertenecer a la recta r, tienen que ser consecutivos.

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Recordamos: Trapecio Rectángulo es el que tiene dos de sus ángulos de 90º. Por tanto esto nos indica, que tiene 2 LADOS PARALELOS. Más cosas que tenemos que saber antes de fijar criterio, para seguir: Vamos a calcular el vector director de la recta r. r: y =x + 1 x – y + 1 = 0 Coordenadas del segmento AB: NO son proporcionales. De aquí, deducimos, que los lados AB y CD NO son paralelos. Por tanto NO son las bases del trapecio. Vamos a hacer una representación gráfica de lo que hemos deducido: Es el momento de trazar las rectas perpendiculares al segmento AB, para obtener los otros dos lados del trapecio. Y son perpendiculares, porque el trapecio, obligatoriamente, tiene que tener 2 ángulos de 90º. Serán las rectas: Recta s: Paralela al eje OY. Pendiente ∞ Pasa por el punto A(1,1) x = 1 Recta t: Paralela al eje OY Pendiente ∞. Pasa por el punto B(5,1) x= 5

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Es el trapecio pedido. Ahora vamos a calcular los vértices C y D. Pero ya tenemos una visual de cómo nos va a quedar. Todas y todos nosotros, posiblemente, estemos acostumbrados a ver los trapecios rectángulos, representados de esta manera: Una base es AD y la otra es BC. Observamos claramente los ángulos rectos. Sus bases son paralelas. La distancia entre sus bases, es la altura. Echando un vistazo a la figura de arriba, ¿quién determina el vértice C? Sencillamente la unión de las rectas t con la recta r. Puesto que vamos a calcular puntos de unión, siempre necesitamos formar un sistema de ecuaciones: x= 5 Y= x+1 y = 5 +1 = 6 Vértice C ( 5, 6 ) ¿Y el vértice D? La unión de las rectas s con la recta r. x = 1 y = x+1 y = 1 + 1 = 2 Vértice D ( 1, 2 ) Y problema resuelto.

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73.- Las rectas x+y-2 = 0 y 9x-3y-4 = 0 son dos alturas de un triángulo ABC que tiene un vértice en el punto (2,2). Calcular las ecuaciones de los lados del triángulo. Con los datos que tenemos en e enunciado, vamos a ver que dibujo podemos hacer, por si nos sirviese de orientación para resolver el ejercicio: Nadaaaaaa de momento naaaaaaa de naaaaaaaaaaaaaaaaaaa. Entonces, vamos por otro lado, a ver que podemos hacer. Se me ocurre, comenzar por este lado, debido a los datos que tenemos: Tomamos la recta r: x+y-2 = 0 que es perpendicular al lado AC y además, sabemos que pasa por un vértice conocido, concretamente por A(2,2) Calculemos la pendiente de esta recta: a,b Ahora vamos a aplicar la condición de Perpendicularidad entre rectas: Por consiguiente, podemos decidir algo importante: La recta del lado AC, tiene como pendiente 1 y pasa por el punto A(2,2) siendo perpendicular a la recta r. Con aplicar la fórmula de la ecuación en forma punto-pendiente, ya la podemos calcular. A( 2, 2) m’ = 1 x0 y0

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Por tanto, ya tenemos calculada la ecuación del: LADO BC: X – y = 0 Ahora, vamos a comenzar a trabajar con la ecuación de la otro altura s: 9x-3y-4= 0 Comenzamos por calcular la pendiente de esta recta: a ,b Establecemos la condición de perpendicularidad entre dos rectas: La recta del lado AB tiene como pendiente 3 y pasa por el punto A(2,2), siendo perpendicular a la altura dada por la recta s: 9x-3y-4= 0. Aplicamos la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente: Por tanto, ya tenemos calculada la ecuación del: LADO AB: x + 3y - 8 = 0 Ahora, es el momento de calcular los vértices que nos faltan, puesto que ya podemos montar nuestro sistema de ecuaciones. Puesto que no podemos calcular la ecuación del 3º lado que nos falta, no sabemos porque puntos pasa. Por ello, calculamos los vértices. Comenzamos, por ejemplo, calculando las coordenadas del vértice B. Es la unión del lado AB con la recta r. Entonces nuestro sistema, nos queda de la forma siguiente: Multiplicamos por (-1) la 2ª ecuación, y nos queda: Este valor, lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones: x + 3.3. – 8 = 0 x + 9 -8 = 0 x +1 = 0 x = - 1 Por tanto vértice B ( - 1, 3)

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Ahora vamos a calcular el vértice C. Es la unión del lado AC con la recta s. El sistema, nos queda de esta manera: Como x = y Por tanto vértice C ¿La pregunta que nos surge, cómo calculamos la ecuación del lado que nos falta BC? Tenemos todos los datos. Aplicaremos la fórmula de la ecuación de la recta que pasa por 2 puntos, que son los vértices B y C, que hemos calculado: B ( - 1 , 3 ) C ( 2/3 , 2/3 ) x1 , y1 x2 , y2 Simplificando: Por tanto, ya tenemos calculada la ecuación del: LADO BC: 7x + 5y - 8 = 0

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74.- Suponiendo que la recta r: x+2y-4 = 0 es un espejo sobre el que se refleja un rayo luminoso que parte del punto A(1,5) y llega al punto B(6,2). Se pide calcular en que punto de la recta ha incidido el rayo? Lo primero que debemos hacer, es un dibujo con los datos conocidos, para ver de forma gráfica que cuestión se nos plantea: Lo primero que vamos a hacer es calcular las coordenadas del punto A’. Lo necesitamos para poder calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos AA’. Más adelante, vamos a ver para que y tendremos la respuesta. Gráficamente nos queda nuestro gráfico, de esta manera: Es posible, que visto de esta forma, No nos hagamos una idea correcta de lo que queremos observar. Hacemos una cosa, vamos a “colocar” el espejo de pie:

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El punto A’, está situado tras el espejo. Si miramos atentamente el dibujo, ya ya podemos intuir algo importante: La recta que pasa por los puntos A y A’ es perpendicular a la recta r que nos facilita el enunciado. Dándose cuenta de este detalle, podemos iniciar cálculos RECTA AA’: 1º.- Perpendicular a r. 2º.- Pasa por A(1,5) r: x + 2y – 4 = 0 A ( 1, 5 ) x0 y0 Vamos a calcular la pendiente de la nueva recta, perpendicular a r: Establecemos la condición de perpendicularidad entre dos rectas: Es el momento de aplicar la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente:

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Por tanto, ECUACIÓN QUE PASA POR LOS PUNTOS AA’: Para no perdernos en el ejercicio, todavía no hemos calculado las coordenadas del punto A’. NOOOOOOOOOOOOO tenemos datos para hacerlo. Por tanto, vamos a calcular otro punto. Concretamente el punto C ’ Lo vamos a ver representado en un nuevo dibujo, va a ser el punto dado por la intersección de las rectas r y la recta que acabamos de calcular AA’. Como es una intersección de 2 rectas, para calcular coordenadas, necesitamos siempre “montar” un sistema de ecuaciones: En este caso una de las ecuaciones es la de la recta r y a otra la de la recta que pasa por los puntos AA’: (-2) Ahora sustituimos este valor, en cualquiera de las ecuaciones, para calcular el valor de x. Por tanto: COORDENADAS DEL PUNTO C ‘ : Observando la figura que tenemos dibujada, C ‘ es el punto medio entre A y A ‘. Por tanto, nos vemos obligadas/os a tener que utilizar la fórmula de las coordenadas del punto medio de un segmento.

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¿Qué valores conocemos, para poder sustituirlos en esta fórmula? Conocemos el valor de Xm que son las coordenadas del punto C ‘ que acabamos de calcular. Y también conocemos las coordenadas de uno de los puntos del segmento, y son las coordenadas del punto A(1,5) Vamos a sustituir valores: COORDENADAS DEL PUNTO A ‘ Vamos a representarlo en nuestro dibujo, para ir paso a paso construyéndole: Queremos calcular las coordenadas del punto C. Para ello vamos a comenzar por calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos A‘B. Aplicamos la fórmula de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos: A’ ( - 9/5 , - 3/5) B ( 6 , 2 ) x1 y1 x2 y2

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Por tanto, ECUACIÓN QUE PASA POR LOS PUNTOS A’B: x-3y = 0 El punto C, es el punto de corte de la recta r, dada en el enunciado y esta recta A’B que hemos calculado. Como es una intersección de 2 rectas, para calcular coordenadas, necesitamos siempre “montar” un sistema de ecuaciones: En este caso una de las ecuaciones es la de la recta r y a otra la de la recta que pasa por los puntos A’B: COORDENADAS DEL PUNTO C : Por tanto las coordenadas pedidas en el enunciado eran estas: las del punto C. Este es el dibujo final: