Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 1 Enrique Castillo Universidad de Cantabria Un Algoritmo...

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 1

Enrique Castillo

Universidadde

Cantabria

Un Algoritmo que Revoluciona Un Algoritmo que Revoluciona la enseñanza del Álgebra. la enseñanza del Álgebra.

Aplicaciones a la IngenieríaAplicaciones a la Ingeniería

porpor


El algoritmo de Jubete

1. Obtener el subespacio ortogonal a un subespacio dado y su complemento.

2. Calcular la inversa de una matriz.

3. Actualizar la inversa de una matriz tras cambiar una fila o columna.

4. Obtener el determinante de una matriz.

5. Actualizar el determinante de una matriz tras cambiar una fila o columna.

6. Determinar el rango de una matriz.

7. Determinar si un vector pertenece a un espacio vectorial.

8. Obtener el subespacio intersección de dos subespacios.

9. Resolver un sistema lineal homogéneo de ecuaciones.

10. Resolver un sistema lineal completo de ecuaciones.

11. Estudiar la compatibilidad de un sistema lineal de ecuaciones.


ALGORITMO DE ORTOGONALIZACION DE JUBETE


INVERSA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ


INVERSAS SIMULTANEAS DE SUBMATRICES DE UNA MATRIZ


INVERSAS AL MODIFICAR FILAS DE UNA MATRIZ

ACTUALIZACION DE INVERSAS


Subespacios Ortogonales y Complementos


RANGO DE UNA MATRIZ

Además da los coeficientes de la

combinación lineal


PERTENENCIA A UN ESPACIO VECTORIAL


INTERSECCION DE DOS SUBESPACIOS


RESOLUCION DE UN SISTEMA HOMOGENEO


RESOLUCION DE UN SISTEMA HOMOGENEO (EJEMPLO)


RESOLUCION DE UN SISTEMA COMPLETO


COMPATIBILIDAD DE UN SISTEMA


COMPATIBILIDAD DE UN SISTEMA (EJEMPLO)


Conexión modelo-realidad

Las matemáticas son herramienta fundamental en Ciencia e Ingeniería.



El alumno debe conocer la relación entre los elementos ingenieriles y los matemáticos.

El alumno debe saber cómo actualizar soluciones.



El alumno debe saber cuando un elemento es redundante tanto desde el punto de vista ingenieril como matemático y de sus implicaciones en la seguridad del servicio y los grados de libertad de la solución general.



El alumno debe relacionar la topología de una red con el número de incógnitas y ecuaciones matemáticas que la definen.

El alumno debe saber plantear el problema de formas diferentes.



El alumno debe saber plantear problemas con desigualdades.

El alumno debe saber plantear hipótesis alternativas.


El Problema del abastecimiento de agua

El alumno debe identificarlas incógnitas del problema.

El alumno debe identificarlas ecuaciones del problema.


El Problema del abastecimiento de agua

Número de ecuaciones.Número de incógnitas.

Numeración de los nodos.Restricciones.

¿Cuáles son los datos? ¿Cuáles son las incógnitas?


Planteamiento del

problema

El alumno debe saber plantear el problema enforma de ecuacionesmatemáticas y especialmenteen forma matricial.


Planteamiento del

problema

El alumno debe saber numerar los nodos y diferenciar entre una numeración correcta y una que no lo es.


Análisis de la

Solución

¿Tiene solución?

¿Es única la solución?


CONDICION DE COMPATIBILIDAD

Caudal que entra = caudal que sale :


CONDICION DE COMPATIBILIDAD


CONJUNTO DE SOLUCIONES(sin límites de capacidad)

El alumno debe saber obtener todas las soluciones posibles.Hay infinitas soluciones.

(Espacio afín asociado a un espacio vectorial de dimensión 4).


Interpretación de las soluciones

Solución particular.Se puede cambiar por cualquier otra.


Interpretación de las

soluciones

Solución de flujo interno localsin entradas

ni salidasde fluído.



soluciones




Planteamiento del

problema

El alumno deberáidentificar modelosno adecuados e identificar lasrestricciones quefaltan.


Conos

a1

a2

a1

a2

-a1


Espacio vectorial como cono

a1

a2

-a1

-a2

a1

a2

-a1-a2


Cono y dual de un cono

a1

a2

Conoinicial

Conodual

w1

w2


Dual de un cono. Algoritmo Gamma


Algunos problemas que resuelve el algoritmo Gamma

1. Obtener el cono dual de uno dado

2. Obtener la representación mínima de un cono.

3. Obtener las caras de cualquier dimensión (vértices, aristas, caras, etc.) de un cono o polítopo.

4. Determinar si un vector pertenece a un cono.

5. Comprobar si dos conos son idénticos.

6. Obtener la intersección de dos conos.

7. Obtener la imagen recíproca de un cono por una aplicación lineal.

8. Decidir si un sistema lineal de inecuaciones es compatible.

9. Resolver un sistema lineal homogéneo de inecuaciones.

10. Resolver un sistema lineal completo de inecuaciones.


Cono asociado a un polítopo


Caras y vértices de un polítopo


Caras y vértices de un politopo


Resolución de Sistemas homogéneos de inecuaciones


Resolución de Sistemas completos de inecuaciones


Compatibilidad de Sistemas de inecuaciones


Planteamiento del

problema

El alumno deberáidentificar modelosno adecuados e identificar lasrestricciones quefaltan.


Condiciones de

compatibilidad

Es necesario Interpretarlasfísicamente paraver si representanel modelo deseado.


Condiciones de

compatibilidad


CONJUNTO DE SOLUCIONES (con límites de capacidad)

Capacidad de cada conducción = 6

El conjunto de todas las soluciones sirve para contestar a muchas preguntas interesantes desde los puntos de vista matemático e ingenieril.

La solución es un polítopo


CONJUNTO DE SOLUCIONES (Búsqueda de conducciones sobredimensionadas)


En ninguna de las componentes de la solución alcanzan su capacidad. Podría limitarse la capacidad de cada una de ellas al máximo que figura en las distintas soluciones.


CONJUNTO DE SOLUCIONES (Búsqueda de conducciones que no pueden fallar)


Toman valores del mismo signo (todos positivos o todos negativos) en todas las soluciones.


CONJUNTO DE SOLUCIONES (Búsqueda de parejas que no pueden fallar simultáneamente)


Esta condición implica que todas las landas deben ser nulas.


CONJUNTO DE SOLUCIONES (Búsqueda de conducciones con caudal fijo)


Toman idénticos valores en todas las aristas.


CONJUNTO DE SOLUCIONES(Conducción 10 averiada)


Para que la conducción 10 no lleve caudal deben ser las cuatro primeras landas nulas.


CONJUNTO DE SOLUCIONES(Conducción 10 averiada)

La conducción 7 puede fallar pues tiene componentes positivas y negativas.

¿Puede fallar la conducción 7?


CONJUNTO DE SOLUCIONES (Conducciones 7 y 10 averiadas)

La conducción 4 puede fallar si landa 2 es nula.

¿Puede fallar la conducción 4?


CONJUNTO DE SOLUCIONES (Conducciones 4,7 y 10 averiadas)

¿Puede fallar alguna otra conducción?

Ninguna puede fallar, pues la solución es única (mala ingenierilmente, pues no queda flexibilidad alguna).


VALVULAS DE RETENCION EN LAS CONDUCCIONES 2 Y 15

Es la suma de un espacio afin de dimensión 2 y un cono generado por dos vectores.


EJEMPLO DE EVALUACION (1)


BIBLIOGRAFIA


INTERNET

Con la colaboración de Elena Alvarez Sáiz se ha implementado el algoritmo de ortogonalización en una aplicación de enseñanza asistida por computador, accesible a través de Internet:

http://personales.unican.es/alvareze/


TALLER

1. Diseñar un sistema de abastecimiento de agua con dos depósitos y varios nudos de servicio que contenga un sistema redundante de tuberías.

2. Determinar la dimensión del espacio vectorial que aparece en la solución general del sistema de ecuaciones resultante.

3. Obtener la solución general de éste sistema manualmente.

4. Plantear un problema de programación matemática que conduzca a solución única del problema.

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