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Cecilia Mª Moruja Miguélez.

Rosa Mª Vidal Nieto.

Miriam Villaverde Rouco.

3º Ed. Musical.

Matemáticas en

el círculo de

quintas.  

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Matemáticas en el círculo de quintas.

Si observamos con cierto detenimiento, comprobaremos que las

matemáticas se encuentran presentes en cada rincón de la música.

Por ejemplo, lo primero que salta a la vista en una partitura es la

notación métrica, indicada en forma de fracción. También se muestra en la

relación existente entre las figuras, definida por un esquema binario que asigna

valores en función de una progresión geométrica de razón ½ (redonda 1,

blanca, 1/2 , negra 1/4 , corchea  1/8 , etc.).

No debemos olvidar que a menudo los matemáticos han tenido una

preparación musical, así como los músicos han sido en muchas ocasiones

expertos matemáticos.

Nosotras hemos decidido centrarnos en algo tan matemático como es

una figura geométrica, un círculo, que para la música adquiere una gran

importancia al incluir la sucesión de quintas, base de las escalas y afinaciones

actuales: el Círculo de quintas.

En música se denomina círculo de quintas a una sucesión ascendente o

descendente de notas musicales separadas por intervalos de quinta. Se trata de

una representación geométrica de las relaciones entre los 12 tonos de la escala

cromática en el espacio entre tonos.

Fue descrito por primera vez en 1728 por el músico alemán Johann

David Heinichen en su tratado Der Generalbass in der Composition.

Las escalas musicales occidentales antiguas se construyeron en torno a

la idea de producir la máxima consonancia posible; cosa que ocurría cuando la

relación de las frecuencias de dos tonos tocados simultáneamente era

expresable mediante una fracción simple. Se consideró como la distancia total

a subdividir, la distancia existente entre un tono y otro de frecuencia doble, que

dan la sensación del mismo tono pero más agudo (ej. Do4 y Do5). Teniendo en

cuenta esto, la fracción más simple posible es la de 3/2, que es la que se usa

para crear nuevas frecuencias a partir de la de origen, que llamaremos tónica .

Si la tónica es un Do , al multiplicarla por 3/2 obtendremos un Sol . Este

intervalo se denomina una quinta justa.

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Si seguimos multiplicando por 3/2, obtendríamos los 7 sonidos

naturales (las teclas blancas), y si continuásemos haciéndolo hasta completar

12 quintas (multiplicar 12 veces por 3/2), obtendríamos los 5 sonidos que nos

faltaban: las notas alteradas (las teclas negras). Con esta sucesión de intervalos

de quinta, conseguimos obtener los 12 sonidos de la escala cromática.

Esta sucesión de quintas se extiende en 7 octavas, porque una octava

contiene 12 semitonos y una quinta 7; para llevar todas las notas a la misma

escala, es suficiente con multiplicar o dividir la frecuencia de cada nota por 2.

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1. COMA PITAGÓRICA

Sin embargo, por más que continuásemos multiplicando por 3/2, nunca

obtendríamos, exactamente, una potencia de 2 y por tanto, nunca volveríamos a

oír exactamente el sonido del que partimos, el círculo de quintas nunca llegaría

a cerrarse; nos saldría una espiral que podríamos prolongar hasta el infinito,

obteniendo siempre sonidos intermedios de los que ya tenemos (por ejemplo, si

reiteramos el procedimiento, llegamos al sonido (3/2)×(9/8) = 27/16 = 1,6875,

que es, muy aproximadamente el la (el error es 0,0125, ciertamente pequeño),

y un nuevo intento lleva a (27/16)×(3/2) = 81/32. Estamos en el intervalo

superior, y corresponde en él a 81/64 = 1,266, que nuevamente queda cerca del

mi, precisamente con el mismo error anterior).

Pitágoras, el gran matemático por excelencia, descubrió este problema

de manera empírica, con la ayuda de una cuerda :

Según lo dicho anteriormente, en 7 octavas hay 12 quintas, pero

Pitágoras comprobó que si tensaba una cuerda 7 veces y la disminuía la

mitad, obtenía un sonido completamente distinto del que se conseguía

disminuyéndola 1/3 12 veces, lo que significa que subiendo 12 quintas y

bajando 7 octavas no se volvía al punto de partida, 12 quintas no son 7

octavas:

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Esta diferencia se conoce como coma

pitagórica y es algo menos de la cuarta parte de un semitono temperado.

El problema creado por la coma es serio, especialmente si queremos

utilizar notas alteradas por sostenidos o bemoles, ya que por ejemplo re b y do

# no son en realidad la misma nota, ya que la diferencia entre ambas es de una

coma y el bemol es más grave que el sostenido, en el sentido que está a su

izquierda. Esto mismo se repite para todas las notas alteradas.

reb + coma = do#

Sostenido =bemol =semitono + coma.

Tono = bemol + coma + sostenido = semitono + coma + semitono.

Do- si#- reb- do#- re- mib- re#- fab- mi- fa- mi#- solb- fa#- sol- lab- sol#- la- sib- la#-

dob- si.

Teniendo en cuenta o dicho hasta ahora, nos encontramos con que

existen dos tipos de semitonos, los semitonos cromáticos y los semitonos

diatónicos.

Los semitonos cromáticos son los que hay entre notas con el mismo

nombre, una natural y otra alterada, esto es, entre: do-do#, mi♭-mi, fa-fa#, sol-

sol# y si♭-si. Todas estas notas se hayan en proporción de

.

Los semitonos diatónicos son los que hay entre notas con distinto

nombre: do#-re, re-mi♭, mi-fa, fa#-sol, sol#-la, la-si♭ y si-do. La proporción en

este caso es de .

La diferencia, de nuevo, no es mucha:

Esto nos suena, es lo mismo que dividir 12 quintas entre siete octavas,

es decir, que tal como decía Pitágoras, 12 quintas no son 7 octavas, y la

diferencia es, nuevamente, la coma pitagórica.

Todo esto es muy importante para los violinistas, pues, a pesar de que

este sistema de afinación (pitagórica) ya no se utiliza ( se usa la temperada),

suele sonar mejor una nota sostenida (como fa#, sensible) que resuelve

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ascendentemente (sol), si ambos sonidos están más próximos, como separados

por un semitono diatónico ( como ya vimos, de valor menor que el cromático) .

Por eso algunos podrán decir que las enarmonías no son posibles, ya que para

ellos un sol♭ no es lo mismo que un fa#.

Lógicamente, esto es así para los instrumentos de cuerda frotada. Para

un pianista, que usa la afinación temperada, no existen estos conflictos.

Como curiosidad, podemos decir que la coma pitagórica es una de las

razones por las que nunca se han igualado los instrumentos de cuerdas creados

hace300 años, por el fabricante de violines de Cremona, Italia, Antonio

Stradivarius.

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2. QUINTA DEL LOBO

Observemos la siguiente imagen:

En el círculo aparecen señaladas en rojo las 12 quintas de las que antes

hablamos, obtenidas por el método antes mencionado (multiplicando cada

frecuencia por 3/2).

Como se dijo antes, 12 quintas son algo mayores que 7 octavas, por lo

tanto, con este método, nunca llegaríamos a cerrar el círculo; para conseguirlo,

tendríamos que acortar el último intervalo de quinta, que quedaría bastante

más pequeño que los demás. A este intervalo más corto se le conoce como

quinta del lobo, debido a que su sonido (desagradable) es similar al aullido de

un lobo.

Para alejar este intervalo (de sonido desagradable) de las notas más

usuales en una amplia gama de tonalidades, su lugar más habitual está entre el

sol # (ocho quintas desde el do en sentido horario) y el mi b (tres quintas desde

el do en sentido antihorario).

La solución que se adoptó, y que aceptamos hoy en día, fue repartir esta

diferencia de la quinta del lobo entre todos los intervalos equitativamente, de

manera que se mantenga dentro de lo posible la armonía de 3/2, construyendo

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así lo que nosotros conocemos como escala temperada, la más utilizada hoy en

día.

Podemos comprobar por qué la 5ª del lobo es más pequeña que el resto:

mientras todas las demás tienen 3 semitonos cromáticos y 4 diatónicos, el

intervalo entre mi♭ y sol#, tiene 2 semitonos cromáticos y 5 diatónicos.

La diferencia es, por tanto, la prevista: una coma pitagórica.

Esta diferencia entre la quinta del lobo pitagórica y las quintas puras es

igual a la diferencia entre doce quintas puras y siete octavas; dicha diferencia

es, una vez más, la ya mencionada coma pitagórica.

Destacamos aquí que a los antiguos, amantes de las consonancias

perfectas, no les gustó esta solución, por una simple razón, así no existe

ninguna quinta justa.

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3. AFINACIONES Y TONALIDADES

La afinación es la acción de poner en tono justo los instrumentos

musicales en relación con un diapasón o acordarlos bien unos con otros.

También se le llama afinación al canto o ejecución de un instrumento

entonando con perfección los sonidos.

Los sistemas de afinación buscan construir una serie de relaciones de

frecuencia vibratoria que dan lugar a las notas de una escala.

La afinación pitagórica es un sistema de construcción de la escala

musical que se fundamenta en la quinta perfecta de razón 3/2 o quinta justa,

mencionada anteriormente; esta afinación era la usada durante la Edad Media.

A pesar de que este sistema es el único que respeta las dos consonancias

principales (8as y 5as), la incompatibilidad entre ambas daba lugar, como ya

vimos, a bastantes inconvenientes.

Como alternativa se propusieron otros sistemas a lo largo de la historia,

algunos basados en la consonancia de terceras (como el sistema justo o el

mesotónico), otros, en unidades interválicas más pequeñas que el semitono

(sistema de Holder, por ejemplo).

Finalmente, el sistema que se impuso fue el sistema temperado, o

temperamento igual, basado en 12 semitonos iguales y que sólo respeta la

consonancia de octavas, y que resultó como consecuencia de la solución

adoptada ante el problema ocasionado por la coma pitagórica y la quinta del

lobo.

Una escala es un conjunto de sonidos (constitutivos de un sistema) que

se suceden regularmente en sentido ascendente o descendente, es decir, la

sucesión ordenada de los sonidos de una tonalidad.

Como ya vimos, a partir de un sonido base y manteniendo la razón de

3/2 , y teniendo en cuenta la solución ideada a partir del problema ocasionado

por la coma pitagórica, se obtienen los 12 sonidos que forman la escala

cromática temperada (sucesión de los 12 semitonos contenidos en la octava, de

los cuales 7 son naturales y 5 alterados). Esta limitación de los sonidos a doce

es determinante para la construcción de instrumentos de teclado e instrumentos

de cuerda con trastes.

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A partir del círculo de quintas también se ha realizado tradicionalmente

la ordenación de las Tonalidades (la altura a la que se encuentra una

determinada escala mayor o menor). De esta manera, cada vez que pasamos de

una tonalidad a otra que tiene un sostenido más o un bemol menos (la siguiente

en el círculo), la nueva tónica está a un intervalo de quinta justa (2/3) con

respecto a la tónica anterior.

Hay que tener en cuenta que si vamos hacia la derecha nos movemos

por quintas y si vamos hacia la izquierda nos movemos por cuartas.

Cada tonalidad dispone de una armadura ( las alteraciones propias que

la escala de esa tonalidad posee).

Estas alteraciones siguen un orden, que se corresponde con el orden de

las tonalidades en el círculo:

- Hacia la derecha: orden de sostenidos ( fa, do, sol, re , la , mi, si).

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- Hacia la izquierda: orden de bemoles (si, mi, la, re, sol, do, fa).

Por lo tanto, el círculo de quintas (como podemos observar en la

imagen superior) nos muestra las armaduras de las doce escalas mayores y de

cada una de sus escalas relativas menores)

Para calcular la armadura de las diferentes tonalidades, emplearemos el

círculo de quintas de la siguiente manera:

Partiendo de la tonalidad base (sin alteraciones) que será Do mayor, o

su relativo menor la menor ( para obtener el relativo menor de una escala

mayor, partimos del sexto grado de dicha escala mayor ), contaremos las

quintas (o cuartas) por las que pasaremos hasta llegar a la tonalidad deseada, el

número que nos salga serán la cantidad de alteraciones que pondremos en la

armadura. De nuevo hay que tener en cuenta, que si vamos hacia la derecha

serán sostenidos, y si vamos hacia la izquierda serán bemoles, y su orden será

el mencionado anteriormente.

· Ejemplos:

- Do M / la m: sin alteraciones.

- Mi M / si m: Partimos del Do en el sentido de las agujas del reloj,

pasamos por Sol (1), Re (2), La (3) y llegamos a Mi (4), por lo tanto hemos

pasado por 4 quintas, la armadura tiene 4 sostenidos (fa, do, sol y re).

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- Do # M / la # m: Partimos del Do en sentido de las agujas del reloj,

pasamos por Sol (1), Re (2), La (3), Mi (4), Si (5), Fa # (6) y llegamos a Do #

(7), por lo tanto hemos pasado por 7 quintas, la armadura tiene 7 sostenidos (fa,

do, sol, re, la, mi y si).

- Si b M / sol m: Partimos del Do en sentido contrario a las agujas del

reloj, pasamos por Fa (1) y llegamos a Si b (2), por lo tanto hemos pasado por

2 cuartas, la armadura tiene dos bemoles (si y mi).

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4. JUEGO CON EL CÍRCULO DE QUINTAS

Para afianzar los conocimientos, podemos emplear un juego sacado de

una páginas web educativa musical:

-­‐  ALICIA  Y  EL  CÍRCULO  

http://www.pdimusica.com/Juegosgratisswf/aliciayelcirculo.swf

Se trata de adivinar cuantas alteraciones tiene la tonalidad que suena.

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5.BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA

- Leránoz, Martín. (2008) Dossier de Lenguaje Musical. Universidad de

Santiago de Compostela.

-­‐  Odifreddi, P. (2007). Pluma, pincel y batuta. Las tres envidias del

matemático. Madrid: Alianza Editorial.

-­‐  Pedro, Dionisio de. (2008). Teoría completa de la música I. Madrid:

Real Musical.

-­‐  Rodriguez Somoza, Xiao. (2009) Dossier de Agrupaciones Musicales

. Universidad de Santiago de Compostela.

-­‐  Rodriguez Somoza, Xiao. (2008) Dossier de Formación Instrumental.

Universidad de Santiago de Compostela.

- www.albaiges.com/matematicas/musica/matematicamusica2.htm  

-http://aulamusicaldeadriana.blogspot.com/2009/01/el-crculo-de-

quintas.html

- http://bloguitar.es/teoria/circulo-de-quintas  

-­‐www.conserv-sup-

malaga.com/documentos/programas/Musicologia%2008-09.pdf  

-­‐  www.enchufa2.es

-­‐http://reguerapucela.wordpress.com/2008/04/23/la-quinta-del-loboes-

un-bien-temperado/

http://rincones.educarex.es/musica/index.php?option=com_conte

nt&task=view&id=495&Itemid=92  

-­‐  http://ruedaarmonica.com/12.php  

http://www.schillerinstitute.org/newspanish/institutoschiller/Arte/Coma

Pitagorica.html

-­‐  http://www.slideshare.net/vumsa/el-crculo-de-quintas  

-­‐  es.wikipedia.org/wiki/Círculo_de_quintas