Matematicas financieras 3-2_egp-27.02.2012

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Carlos Mario Morales C © 2012 Curso Matemáticas Financieras Unidad de aprendizaje 3

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Curso Matemáticas Financieras

Unidad de aprendizaje 3

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S Contenido

Gradientes Definición de gradiente Gradiente aritmético Amortización con cuota creciente Gradiente aritmético infinito Gradiente geométrico Gradiente geométrico infinito Gradientes escalonados

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S GradientesDefinición de gradiente Serie de pagos que cumplen con las siguientes condiciones: Los pagos cumplen con una ley de

formación Los pagos se efectúan a iguales intervalos

de tiempo Todos los pagos se calculan a la mista tasa

de interés El número de pagos es igual al número de

periodos

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S Gradientes

Ley de Formación Gradiente Lineal o Aritmético Gradiente Geométrico

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S Gradientes

Gradiente Lineal o AritméticoSe produce un incremento lineal en pago de cada periodo.

0 1 2 3 n

A

A +K

A +2KCuotas Periódicas

Periodo 1 ---- APeriodo 2 ---- A+KPeriodo 3 ---- A+2K….Periodo n ---- A+(n-1)K

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S

Valor Presente Gradiente Aritmético

𝑉 𝑝=𝐴1[ 1− (1+𝑖 )−𝑛

𝑖 ]+ 𝐾𝑖 [ 1−(1+𝑖)−𝑛

𝑖−

𝑛(1+𝑖 )𝑛 ]

Gradientes

0 1 2 3 n

A

A +K

A +2K

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S GradientesEjemplo 1Hallar el valor presente de la siguiente serie, considerando una tasa del 5%.

0 1 2 3 5

800

4

1000

1200

1400

16001800

6 7 8

0 1 2 3 4 65

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S GradientesEjemplo 1

1. Se calcula el valor presente en 2Vp2 = (800/0,05)(1-(1+0,05)-6)+(200/0,05)((1-(1+0,05)-6)/0,05)-

(6(1+0,05)-6)

Vp2 = 6456,55 Vp2 = 6456,55 + 800 Vp2 = 7256,55

2. Se calcula valor presente en 0 Vp0 = 800(1+0,05)-1 + 7256,55(1+0,05)-2

Vp0 = 7.343,80

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S GradientesValor Futuro Gradiente Aritmético

0 1 2 3 n

A

A +K

A +2K

𝑉 𝑓=𝐴1[ (1+𝑖 )𝑛−1𝑖 ]+ 𝐾𝑖 [ (1+ 𝑖 )𝑛−1

𝑖−𝑛 ]

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S GradientesEjemplo 2Se pacta pagar un crédito de USD$100.000 en 4 pagos, suponiendo una tasa del 8% y un crecimiento lineal de $USD12.000. Calcular la cuota para cada periodo

0 1 2 3 4

1. Se calcula la cuota base (A)

100.000 = (A/0,08)(1-(1+0,08)-4) +(12000/0,08)((1-(1+0,08)-4)/0,08)-(4(1+0,08)-4)

A = 13.339,66

2. Se calculan las cuotas por periodo.

Periodo 1 ---- $13.345Periodo 2 ---- $25.345Periodo 3 ---- $37.345Periodo 4 ---- $49.345

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S GradientesTabla de Amortización (Ejemplo 2)

Periodo Pago Mensual Interés Cuota de capital Saldo de Capital

0 0 100.000

1 13.345 8.000

5.345 94.655

2 25.345 7.572

17.773 76.882

3 37.345 6.151 31.194 45.688

4 49.345 3.655 45.690 (2)

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S GradientesEjemplo 3Se pacta pagar un crédito de USD$100.000 en 4 pagos, suponiendo una tasa del 8% y un decremento lineal de $USD12.000. Calcular la cuota para cada periodo

0 1 2 3 4

1. Se calcula la cuota base (A)

100.000 = (A/0,08)(1-(1+0,08)-4) +(-12000/0,08)((1-(1+0,08)-4)/0,08)-(4(1+0,08)-4)

A = 47.040,00

2. Se calculan las cuotas por periodo.

Periodo 1 ---- $47.040Periodo 2 ---- $35.040Periodo 3 ---- $23.040Periodo 4 ---- $11.040

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S GradientesTabla de Amortización (Ejemplo 3)

Periodo Pago Mensual Interés Cuota de capital Saldo de Capital

0 100.000

1 47.040

8.000 39.040

60.960

2 35.040

4.877 30.163

30.797

3 23.040

2.464 20.576

10.221

4 11.040

818 10.222

(2)

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S Gradientes

Gradiente Aritmético InfinitoSe produce un incremento lineal en pago de cada periodo.

0 1 2 3 n

A

A +K

A +2KCuotas Periódicas

Periodo 1 ---- APeriodo 2 ---- A+KPeriodo 3 ---- A+2K….Periodo n ---- A+(n-1)K

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Valor Presente Gradiente Aritmético Infinito (Valor Presente)

𝑉 𝑝=𝐴1𝑖

+ 𝐾𝑖2

Gradientes

0 1 2 3 n

A

A +K

A +2K

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S GradientesGradiente Geométrico Las cuotas crecen exponencialmente, con base en una tasa de crecimiento.

0 1 2 3 n

A

A(1+G)1

Cuotas Periódicas

Periodo 1 ---- APeriodo 2 ---- A(1+G)1

Periodo 3 ---- A(1+G)2

Periodo 4 ---- A(1+G)3

….Periodo n ---- A(1+G)n

A(1+G)2

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S GradientesValor Presente Gradiente Geométrico Se puede demostrar que el valor presente de una serie geométrica, se puede expresar como:

0 1 2 3 n

A

A(1+G)1

G = Tasa de crecimiento

A(1+G)2

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S GradientesValor Futuro Gradiente Geométrico Se puede demostrar que el valor futuro de una serie geométrica, se puede expresar como:

0 1 2 3 n

A

A(1+G)1

G = Tasa de crecimiento

A(1+G)2

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S GradientesEjemplo 4Elaborar la tabla de amortización de un crédito de USD$100.000 en 4 pagos, suponiendo una tasa efectiva del 8% y un crecimiento geométrico de la cuota del 10%

0 1 2 3 4

1. Se calcula la cuota base (A)

100.000=(A(1+0,1)4(1+0,08)-4-1)/ (0,1-0,08)

A = 26.261

2. Se calculan las cuotas por periodo.

Periodo 1 ---- 26.261Periodo 2 ---- 26.261(1+0,1) =

$28.888Periodo 3 ---- 26.261(1+0,1)2=

$31.776Periodo 4 ---- 26.261(1+1,1)3=

$34.954

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S GradientesTabla de Amortización (Ejemplo 4)

Periodo Pago Mensual Interés Cuota de capital Saldo de Capital

0 0 100.000

1 26.261

8.000 18.261

81.739

2 28.888

6.539 22.349

59.390

3 31.776

4.751 27.025

32.365

4 34.954

2.589 32.365

1

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S GradientesEjemplo 5Elaborar la tabla de amortización de un crédito de USD$100.000 en 4 pagos, suponiendo una tasa efectiva del 8% y un crecimiento geométrico de la cuota del 8%

0 1 2 3 4

1. Se calcula la cuota base (A), considerando que G = i

100.000=(Ax4)/ (1+0,08)

A = 27.000

2. Se calculan las cuotas por periodo.

Periodo 1 ---- $27.000Periodo 2 ---- 27.000(1+0,08) = $29.160Periodo 3 ---- 27.000(1+0,08)2= $31.493Periodo 4 ---- 27.000(1+0,08)3= $34.012

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S GradientesTabla de Amortización (Ejemplo 5)

Periodo Pago Mensual Interés Cuota de capital Saldo de Capital

0 0 100.000

1 27.000

8.000 19.000

81.000

2 29.160

6.480 22.680

58.320

3 31.493

4.666 26.827

31.493

4 34.012

2.519 31.493

-

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S GradientesEjemplo 6Elaborar la tabla de amortización de un crédito de USD$100.000 en 4 pagos, suponiendo una tasa efectiva del 8% y un decrecimiento geométrico de la cuota del 10%

0 1 2 3 4

1. Se calcula la cuota base (A), considerando que G ≠ i

100.000=(A(1-0,1)4(1+0,08)-4-1)/ (-0,1-0,08)

A = 34.766

2. Se calculan las cuotas por periodo.

Periodo 1 ---- $34.766Periodo 2 ---- 34.766(1-0,1) =

$31.289Periodo 3 ---- 34.766 (1-0,1)2=

$28.160Periodo 4 ---- 34.766 (1-0,1)3=

$25.344

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S GradientesTabla de Amortización (Ejemplo 6)

Periodo Pago Mensual Interés Cuota de capital Saldo de Capital

0 0 100.000

1 34.766

8.000 26.766

73.234

2 31.289

5.859 25.431

47.803

3 28.160

3.824 24.336

23.467

4 25.344

1.877 23.467

-

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S GradientesGradiente Geométrico Infinito (Valor Presente)

0 1 2 3 n

A

A(1+G)1

A(1+G)2

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S Gradientes

Ejemplo 7Hallar el valor presente de una serie infinita de pagos que crecen un 10%, si la tasa de interés es del 20% y el primer pago es de $300

0 1 2 … n

Se calcula el valor Presente

Vp= 300/ (0,2- 0,1)

Vp = 3.000

Esto significa que si se colocan $3.000 al 20% podemos hacer infinitos retiros crecientes en un 10%, partiendo de uno de $300