Matematicas Financieras

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EL PROCESO DE TOMA DE DECISIONES EL PROCESO DE TOMA DE DECISIONES FINANCIERAS MEDIANTE EL EMPLEO DE LAS FINANCIERAS MEDIANTE EL EMPLEO DE LAS MATEMATICAS FINANCIERAS. MATEMATICAS FINANCIERAS.

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breve y conciso en su contenido

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EL PROCESO DE TOMA DE DECISIONES EL PROCESO DE TOMA DE DECISIONES FINANCIERAS MEDIANTE EL EMPLEO DE LAS FINANCIERAS MEDIANTE EL EMPLEO DE LAS MATEMATICAS FINANCIERAS.MATEMATICAS FINANCIERAS.

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¿Qué son las matemáticas?¿Qué son las matemáticas?

Viene del Griego y quiere decir “aprendizaje” o lo Viene del Griego y quiere decir “aprendizaje” o lo que puede ser aprendido, o estudiar, ciencia o que puede ser aprendido, o estudiar, ciencia o todo lo relacionado al aprendizaje o estudioso.todo lo relacionado al aprendizaje o estudioso.

Las matemáticas es un arte, pero también una Las matemáticas es un arte, pero también una ciencia de estudio, informalmente se puede ciencia de estudio, informalmente se puede decir que es el estudio de los números y decir que es el estudio de los números y símbolos.símbolos.

Es la investigación de estructuras abstractas Es la investigación de estructuras abstractas definidas a partir de axiomas, utilizando la definidas a partir de axiomas, utilizando la lógica y la notación matemática. lógica y la notación matemática.

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Históricamente la matemática surgió con el fin Históricamente la matemática surgió con el fin de hacer:de hacer:

- Cálculos en el comercio.- Cálculos en el comercio.

- Para medir la Tierra.- Para medir la Tierra.

- Para predecir los acontecimientos - Para predecir los acontecimientos astronómicos.astronómicos.

Estas tres necesidades pueden ser relacionadas Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisión amplia de en cierta forma con la subdivisión amplia de las matemáticas en el estudio de la cantidad, las matemáticas en el estudio de la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio. la estructura, el espacio y el cambio.

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Matemáticas FinancieraMatemáticas Financiera

Definición:Definición:

Las matemáticas financieras es una Las matemáticas financieras es una especialidad de las matemáticas con especialidad de las matemáticas con aplicación financiera (dinero) en los aplicación financiera (dinero) en los siguientes aspectos:siguientes aspectos:

- Estudio del comportamiento del valor del Estudio del comportamiento del valor del dinero en el tiempo.dinero en el tiempo.

- El comportamiento de las tasas de interés y El comportamiento de las tasas de interés y su efecto en el valor del dinero, así como sus su efecto en el valor del dinero, así como sus equivalencias.equivalencias.

- El estudio de los créditos y de sus diferentes El estudio de los créditos y de sus diferentes formas de amortización. formas de amortización.

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Valor del dinero en el tiempoValor del dinero en el tiempo

Según algunos economistas existen factores Según algunos economistas existen factores básicos que afectan de manera directa el básicos que afectan de manera directa el costo del dinero:costo del dinero:

a)a) Oportunidades de producciónOportunidades de producción

a)a) Consumo actualConsumo actual

a)a) RiesgoRiesgo

a)a) InflaciónInflación

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Las oportunidades de producción.Las oportunidades de producción.

Se refiere a los rendimientos disponibles Se refiere a los rendimientos disponibles dentro de una economía y que provienen dentro de una economía y que provienen de las inversiones en activos productivos, la de las inversiones en activos productivos, la cual se puede entender como la posibilidad cual se puede entender como la posibilidad de destinar los recursos de un negocio esto de destinar los recursos de un negocio esto indica que dichos recursos no estarán indica que dichos recursos no estarán disponibles en el mercado para prestarlos a disponibles en el mercado para prestarlos a nadie mas. Si el dinero no esta disponible nadie mas. Si el dinero no esta disponible entonces es escaso y si es escaso entonces entonces es escaso y si es escaso entonces el precio por conseguirlo es mayor.el precio por conseguirlo es mayor.

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El Consumo (Compras Diarias)El Consumo (Compras Diarias)

Es preferido por la gente en lugar de ahorrar y Es preferido por la gente en lugar de ahorrar y efectuar compras futuras; por ejemplo, si la efectuar compras futuras; por ejemplo, si la totalidad de la población de un país estuviese totalidad de la población de un país estuviese viviendo al nivel de subsistencia entonces las viviendo al nivel de subsistencia entonces las tendencias por el consumo actual serian tendencias por el consumo actual serian necesariamente altas, con los ahorradores necesariamente altas, con los ahorradores nulos, las tasas de interés altas y la nulos, las tasas de interés altas y la formación de cantidades de capital muy formación de cantidades de capital muy difícil. Si no hay quien ahorre entonces no difícil. Si no hay quien ahorre entonces no habrá recursos disponibles para que alguien habrá recursos disponibles para que alguien mas los utilice.mas los utilice.

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Al haber escasez de dinero, los individuos, Al haber escasez de dinero, los individuos, las empresas y las instituciones estarían las empresas y las instituciones estarían dispuestos a pagar mejores precios con tal dispuestos a pagar mejores precios con tal de conseguir los recursos. En este caso de conseguir los recursos. En este caso debemos entender que el dinero es como debemos entender que el dinero es como una mercancía y las leyes de la oferta y la una mercancía y las leyes de la oferta y la demanda afectaran el precio de este. Si demanda afectaran el precio de este. Si hay muchas mercancías en el mercado el hay muchas mercancías en el mercado el premio tendera a bajar; por el contrario, si premio tendera a bajar; por el contrario, si hay escasez siempre habrá alguien hay escasez siempre habrá alguien dispuesto a pagar un mayor precio por dispuesto a pagar un mayor precio por obtener las mercancía. Los cual genera obtener las mercancía. Los cual genera que los precios suban. que los precios suban.

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El RiesgoEl RiesgoEs otro factor que afecta el costo del dinero, en el Es otro factor que afecta el costo del dinero, en el

contexto de los mercados financieros. El riesgo contexto de los mercados financieros. El riesgo consiste en la probabilidad de que un préstamo consiste en la probabilidad de que un préstamo no sea reembolsado tal y como se prometió, no sea reembolsado tal y como se prometió, mientras mayor sea el riesgo, mas alto será el mientras mayor sea el riesgo, mas alto será el costo del dinero.costo del dinero.

La Inflación La Inflación Es la tendencia de los precios a aumentar a lo Es la tendencia de los precios a aumentar a lo

largo del tiempo, lo que trae como consecuencia largo del tiempo, lo que trae como consecuencia el aumento en el costo del dinero y la pérdida el aumento en el costo del dinero y la pérdida del poder adquisitivo de los consumidores. Si los del poder adquisitivo de los consumidores. Si los precios de los bienes y productos se precios de los bienes y productos se incrementan es lógico pensar que el prestamista incrementan es lógico pensar que el prestamista impactara en el costo del dinero ese incremento. impactara en el costo del dinero ese incremento.

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INTERÉS INTERÉS Definición:Es el costo del dinero por su uso y durante un

período de tiempo.Para su estudio el interés se puede dividir en:a) Interés simpleb) Interés compuesto.Interés simple.Se emplea sobre préstamos de dinero a corto

plazo (de un año o menos) y se calcula sobre el importe que se debe (Capital inicial o valor actual del presupuesto) durante cierto período y aplicando una tasa de interés.

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Operaciones a Interés Simple:Operaciones a Interés Simple:1.1. Cuentas de inversión inmediataCuentas de inversión inmediata2.2. Cuentas a plazoCuentas a plazo3.3. Certificados de depósitosCertificados de depósitos4.4. Se invierte dinero en forma productivaSe invierte dinero en forma productiva5.5. Se consigue o se otorga algún préstamoSe consigue o se otorga algún préstamo6.6. Se adquieren bienes o servicios en Se adquieren bienes o servicios en

operaciones crediticias.operaciones crediticias.El concepto de Interés se representa con El concepto de Interés se representa con

una Iuna ILa cantidad de dinero prestado o invertido La cantidad de dinero prestado o invertido

se conoce como:se conoce como:Capital ( C ). La operación financiera que con Capital ( C ). La operación financiera que con

el tiempo se incrementa a un valor M el tiempo se incrementa a un valor M (Monto del Capital)(Monto del Capital)

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El Capital también se conoce como valor presente El Capital también se conoce como valor presente o valor actual y el monto de Capital como valor o valor actual y el monto de Capital como valor futuro o valor acumulado dependiendo de la futuro o valor acumulado dependiendo de la aplicación.aplicación.

El Interés Simple (dinero ganado) se calcula como:El Interés Simple (dinero ganado) se calcula como:

( I ) Interés Simple = M(Monto de Capital – ( I ) Interés Simple = M(Monto de Capital – C(Capital) C(Capital)

Formula: I = M – CFormula: I = M – C

El plazo o tiempo. Es el número de días, meses o El plazo o tiempo. Es el número de días, meses o años que transcurren en un intervalo dado entre años que transcurren en un intervalo dado entre la fecha inicial y la fecha final de una operación la fecha inicial y la fecha final de una operación financiera:financiera:

C Plazo (n) MC Plazo (n) M

Fecha Inicial Fecha final Fecha Inicial Fecha final

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La unidad de tiempo que se acostumbra La unidad de tiempo que se acostumbra usar para expresar la tasa de interés es de usar para expresar la tasa de interés es de un año pero también se puede expresar un año pero también se puede expresar en períodos menores al año y se en períodos menores al año y se representa con una (n) o (t)representa con una (n) o (t)

La tasa de interés se calcula como; La tasa de interés se calcula como; - La razón entre el interés (I) y el capital ( C) La razón entre el interés (I) y el capital ( C)

por unidad de tiempo:por unidad de tiempo:

Fórmula: i = I / C(n)Fórmula: i = I / C(n)

El interés se acostumbra expresarlo en El interés se acostumbra expresarlo en porcentajes y se obtiene, multiplicando porcentajes y se obtiene, multiplicando por cien la tasa de interés.por cien la tasa de interés.

Una tasa de interés del 20% se calcula de la Una tasa de interés del 20% se calcula de la siguiente forma siguiente forma

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Por cada $1,000.00 de deudor deberá pagar $200 Por cada $1,000.00 de deudor deberá pagar $200 de interés en un año:de interés en un año:

Formula: i=I/C(n) i=200/1000(1) = 0.2 x 100=20%Formula: i=I/C(n) i=200/1000(1) = 0.2 x 100=20%Por lo tanto el interés es del 20%Por lo tanto el interés es del 20%- Algunas veces se acostumbra expresar la tasa Algunas veces se acostumbra expresar la tasa

de interés en porcentaje sin indicar el período; de interés en porcentaje sin indicar el período; sin embargo se debe entender que el período sin embargo se debe entender que el período es de un año.es de un año.

- En nuestro país las tasas de interés no son En nuestro país las tasas de interés no son constantes por largos períodos de tiempo, por constantes por largos períodos de tiempo, por lo que es necesario fijar tasas de referencia, de lo que es necesario fijar tasas de referencia, de las cuales las mas utilizadas son:las cuales las mas utilizadas son:

a)a) Tasa de Interés Interbancario de Equilibrio (TIIE)Tasa de Interés Interbancario de Equilibrio (TIIE)b)b) Costo porcentual promedio de capitalización Costo porcentual promedio de capitalización

(CPP)(CPP)

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c) Costo de capitalización a plazo (CCP)c) Costo de capitalización a plazo (CCP)

d) Certificación de la Tesorería de la Federación d) Certificación de la Tesorería de la Federación (Cetes)(Cetes)

Estas tasas de interés se aplican cuando se Estas tasas de interés se aplican cuando se realizan operaciones financieras y realizan operaciones financieras y comerciales.comerciales.

- Tasa de interés activa.- Tasa de interés activa.

Son tasas que los bancos cobran por los Son tasas que los bancos cobran por los diferentes tipos de crédito a los usuarios de diferentes tipos de crédito a los usuarios de estos.estos.

- Tasa de interés pasiva.Tasa de interés pasiva.

Son las tasas de interés que los bancos pagan a Son las tasas de interés que los bancos pagan a los ahorradores e inversionistas.los ahorradores e inversionistas.

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- Tasa de interés interbancario de equilibrio (TIIE)Tasa de interés interbancario de equilibrio (TIIE)

Es el punto de equilibrio entre las tasas de interés Es el punto de equilibrio entre las tasas de interés activas y pasivas. Se obtiene a partir de la activas y pasivas. Se obtiene a partir de la información que proporciona diariamente el información que proporciona diariamente el Banco de México a los diferentes bancos.Banco de México a los diferentes bancos.

Las tasas son precios reales que los bancos están Las tasas son precios reales que los bancos están dispuestos a pedir prestado o prestar al Banco dispuestos a pedir prestado o prestar al Banco de México.de México.

- Existen diferentes plazos de la TIIE, el mas Existen diferentes plazos de la TIIE, el mas usual es a 28 días.usual es a 28 días.

- Costo porcentual promedio de capitalización Costo porcentual promedio de capitalización (CPP)(CPP)

Mide el costo con el que se fondean los bancos Mide el costo con el que se fondean los bancos para cubrir sus pasivos.para cubrir sus pasivos.

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El Banco de México es el encargado de calcularlo El Banco de México es el encargado de calcularlo y publicarlo en el Diario Oficial de la y publicarlo en el Diario Oficial de la Federación.Federación.

- Costo de Capitalización a Plazo (CCP)Costo de Capitalización a Plazo (CCP)

Es la estimación mensual de la tasa de interés Es la estimación mensual de la tasa de interés de los pasivos a plazo en moneda nacional a de los pasivos a plazo en moneda nacional a cargo de la banca múltiple y éste se utiliza cargo de la banca múltiple y éste se utiliza para la tasa de interés de crédito en pesos.para la tasa de interés de crédito en pesos.

El Banco de México es el encargado de El Banco de México es el encargado de calcularlo y publicarlo en el Diario Oficial de la calcularlo y publicarlo en el Diario Oficial de la Federación.Federación.

- Certificados de la Tesorería de la Federación Certificados de la Tesorería de la Federación (Cetes)(Cetes)

La tasa de interés tiene un plazo de 28, 90 o La tasa de interés tiene un plazo de 28, 90 o 180 días y se utiliza como tasa de referencia. 180 días y se utiliza como tasa de referencia.

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EjemplosEjemplos1. Calcular el Interés ganado, tasa de interés, 1. Calcular el Interés ganado, tasa de interés,

tipo de interés. tipo de interés. Datos: Un comerciante invierte $1,000.00, Datos: Un comerciante invierte $1,000.00,

después de un año recibe la cantidad de después de un año recibe la cantidad de $1,200.00 por su inversión.$1,200.00 por su inversión.

a) Interés ganado.a) Interés ganado. Formula: I=M-C I=1,200.00 – 1,000.00 Formula: I=M-C I=1,200.00 – 1,000.00 I= $200I= $200 b) Tasa de Interés.b) Tasa de Interés.Fórmula: i=I/Cn i=200/1000(1) i=200/1000 = Fórmula: i=I/Cn i=200/1000(1) i=200/1000 =

0.20 anual.0.20 anual.c) Tipo de Interés.c) Tipo de Interés.Fórmula: T=i x 100 T=0.2 x 100 = 20% Fórmula: T=i x 100 T=0.2 x 100 = 20%

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2. Cálculo del Interés Ganado2. Cálculo del Interés Ganado.. a) Datos: La señora Gómez solicito un a) Datos: La señora Gómez solicito un

préstamo de $6,500 al 9% anual durante un préstamo de $6,500 al 9% anual durante un año. Calcule el interés simple a pagar.año. Calcule el interés simple a pagar.

C=6,500.00 n=1 año T=9% anual I=?C=6,500.00 n=1 año T=9% anual I=?Solución:Solución:I=Cni I= 6,500 (1)(0.09) I=585 I=Cni I= 6,500 (1)(0.09) I=585

b) Datos. El señor Godinez compra un b) Datos. El señor Godinez compra un automóvil para su negocio y pacta pagarlo en automóvil para su negocio y pacta pagarlo en dos años, con una tasa de interés de 36% dos años, con una tasa de interés de 36% anual. El automóvil cuesta $98,500. anual. El automóvil cuesta $98,500. Determinar el interés simple a pagar.Determinar el interés simple a pagar.

C= 98,500 n=2 años i= 36% anualC= 98,500 n=2 años i= 36% anualI= Cni I= 98,500 (2)(0.36) I= 70,920 I= Cni I= 98,500 (2)(0.36) I= 70,920

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3. 3. Calculo de tasa de InterésCalculo de tasa de Interés..c). Datos. ¿Cuál es la tasa de interés por un c). Datos. ¿Cuál es la tasa de interés por un

préstamo de $15,000 a un año, si se pagaron préstamo de $15,000 a un año, si se pagaron intereses de $3,000?intereses de $3,000?

I=3,000 C=15,000 n=un año I=3,000 C=15,000 n=un año Solución. i=I/Cn i=3,000/15,000(1) i=0.20 x Solución. i=I/Cn i=3,000/15,000(1) i=0.20 x

100= 20% anual.100= 20% anual.

d) A cierto fabricante de bicicletas se le presto d) A cierto fabricante de bicicletas se le presto un capital de $2,500,000 para pagarlo un capital de $2,500,000 para pagarlo durante tres años, la compañía pago un durante tres años, la compañía pago un interés preferencial de $660,000. ¿Cuál fue la interés preferencial de $660,000. ¿Cuál fue la tasa de interés pactado?tasa de interés pactado?

C= 2,500,000 I=660,000 n=3 añosC= 2,500,000 I=660,000 n=3 añosSolución. i=I/Cn i=660,000/2,500,000 (3) Solución. i=I/Cn i=660,000/2,500,000 (3) i=660,000/7,500,000=0.088 x 100 = 8.8% i=660,000/7,500,000=0.088 x 100 = 8.8%

anual anual

Page 21: Matematicas Financieras

e) La tasa de interés aplicable a las personas e) La tasa de interés aplicable a las personas que compran a crédito en una tienda que compran a crédito en una tienda comercial es la TIIE de 12.19% anual mas comercial es la TIIE de 12.19% anual mas 12.30 puntos porcentuales. ¿Cuál es la tasa de 12.30 puntos porcentuales. ¿Cuál es la tasa de interés aplicable?interés aplicable?

Datos: TIIE 12.19% anual Puntos porcentuales Datos: TIIE 12.19% anual Puntos porcentuales 12.30% 12.30%

T= ? (tasa de Interés)T= ? (tasa de Interés)

Solución: Solución:

T= TIIE + puntos porcentuales = porcentaje T= TIIE + puntos porcentuales = porcentaje anualanual

T= 12.19 + 12.30 = 24.49%T= 12.19 + 12.30 = 24.49%

Page 22: Matematicas Financieras

f) Un banco paga 8% anual en sus cuentas de f) Un banco paga 8% anual en sus cuentas de inversión inmediata los intereses simples se inversión inmediata los intereses simples se abonan trimestralmente. ¿Cuánto recibirá de abonan trimestralmente. ¿Cuánto recibirá de intereses por los primeros 90 días si el depósito intereses por los primeros 90 días si el depósito fue de $3,800?fue de $3,800?

Datos: C= 3,800 i=8% anual n=90 díasDatos: C= 3,800 i=8% anual n=90 díasSolución: I= C (i/100)(n/360)Solución: I= C (i/100)(n/360) I=3,800 (8/100)(90/360) I=3,800(0.08)(.25) I=$76I=3,800 (8/100)(90/360) I=3,800(0.08)(.25) I=$76g) Se compra un automóvil en $76,600 para g) Se compra un automóvil en $76,600 para

pagarse en un año, con una tasa de interés pagarse en un año, con una tasa de interés simple del 24% anual. Calcular el interés simple del 24% anual. Calcular el interés correspondiente al primer mes de pago.correspondiente al primer mes de pago.

Datos: C=76,600 i=24% anual n=1 mesDatos: C=76,600 i=24% anual n=1 mesSolución: I=C (i/100)(n/12)Solución: I=C (i/100)(n/12)I= 76,600 (24/100)(1/12) I=76,600(0.24)I= 76,600 (24/100)(1/12) I=76,600(0.24)

(0.0833333)(0.0833333)I= 1,531.99 I= 1,531.99

Page 23: Matematicas Financieras

h) ¿Cuál es el interés simple que produce un h) ¿Cuál es el interés simple que produce un capital de $15,000 que debe pagarse dentro de capital de $15,000 que debe pagarse dentro de 13 semanas, con una tasa de interés de 28% 13 semanas, con una tasa de interés de 28% anual?anual?

Datos: C=15,000 i=28% anual n=13 semanasDatos: C=15,000 i=28% anual n=13 semanas

Solución: I= C(i/100)(n/52) I=15,000(28/100)Solución: I= C(i/100)(n/52) I=15,000(28/100)(13/52)(13/52)

I=15,000(0.28)(.25) I=$1,050I=15,000(0.28)(.25) I=$1,050

Page 24: Matematicas Financieras

4. 4. Cálculo de Capital.a) Una persona gano en una inversión $10,000 en

una año a una tasa de interés del 6.5%. ¿Cuánto dinero necesito invertir?

Datos: C=? I=10,000 i=6.5%/100 n=1Solución: C=I/ni C=10,000/(1)(0.065)

C=10,000/0.065C= 153,8465. Cálculo del tiempo.a) Se invirtieron $70,000 a una tasa de interés de

7.8% anual y por el cual gano un total de $2,730. ¿Durante cuanto tiempo estuvo invertido el dinero?

Datos: n=? C= 70,000 I= 2,730 i= 7.8%/100Solución: n=I/Ci n=2,730/(70,000)(0.078) n=0.50

Page 25: Matematicas Financieras

5. Cálculo del Monto.5. Cálculo del Monto.

El monto es la suma del capital más el interés El monto es la suma del capital más el interés simple ganado. Se simboliza mediante la letra Msimple ganado. Se simboliza mediante la letra M

M= C + IM= C + I

Sustituyendo: M = C+ CinSustituyendo: M = C+ Cin

Factorizando: M = C (1+ni)Factorizando: M = C (1+ni)

Ejemplos: Ejemplos:

a) Calcular el monto de un préstamo de $13,000 a) Calcular el monto de un préstamo de $13,000 con un interés simple del 26% durante dos años. con un interés simple del 26% durante dos años.

Datos: C=13,000 i=26% anual i=0.26 n= 2 añosDatos: C=13,000 i=26% anual i=0.26 n= 2 años

Solución: M=C(i+ni) M=13,000 [1+(0.26)(2 años)]Solución: M=C(i+ni) M=13,000 [1+(0.26)(2 años)]

M=13,000 [1.52] M=19,760M=13,000 [1.52] M=19,760

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b) ¿Cuál es el monto que se debe pagar al ISSSTE por b) ¿Cuál es el monto que se debe pagar al ISSSTE por un crédito a corto plazo de $8,500 con un interés un crédito a corto plazo de $8,500 con un interés del 9% anual, después de un año y seis meses?del 9% anual, después de un año y seis meses?

Datos: C=$8,500 i=9% anual i=0.0075 mensual Datos: C=$8,500 i=9% anual i=0.0075 mensual

n=18 meses.n=18 meses.

Solución: M=C(1+ni) M=8,500[1+(0.0075)(18 meses)Solución: M=C(1+ni) M=8,500[1+(0.0075)(18 meses)

M=8,500 (1.135) M=9,647.50M=8,500 (1.135) M=9,647.50

c) Calcular el monto acumulado hasta el 25 de marzo c) Calcular el monto acumulado hasta el 25 de marzo de 2009, de un deposito de 25,000 realizado el 15 de 2009, de un deposito de 25,000 realizado el 15 de Octubre del 2008 en una cuenta que abona una de Octubre del 2008 en una cuenta que abona una TIIE de 22.3% anual mas un 4.2% puntos TIIE de 22.3% anual mas un 4.2% puntos porcentuales.porcentuales.

Datos: C=25,000 i=26.5%/100 anual n=160/360 díasDatos: C=25,000 i=26.5%/100 anual n=160/360 días

Solución: Solución:

M=C(1+ni) M=25,000[1+(0.265)(0.444444)] M=C(1+ni) M=25,000[1+(0.265)(0.444444)] M=27,944.44M=27,944.44

Page 27: Matematicas Financieras

6. Calculo del Valor Presente.6. Calculo del Valor Presente.

Es el valor del dinero en el presente (Al día de Es el valor del dinero en el presente (Al día de hoy). Se calcula conociendo el valor final o hoy). Se calcula conociendo el valor final o monto de una transacción.monto de una transacción.

Formula: C = M/(1+ni)Formula: C = M/(1+ni)

Ejemplo:Ejemplo:

a) Encontrar el valor presente de $10,000 a) Encontrar el valor presente de $10,000 pagaderos en 9 meses con tasa de interés pagaderos en 9 meses con tasa de interés simple del 20%simple del 20%

Datos: M=10,000 i=20% anual n= 9 mesesDatos: M=10,000 i=20% anual n= 9 meses

Solución: C=M/(1+ni) C=10,000/[1+(9/12)Solución: C=M/(1+ni) C=10,000/[1+(9/12)(0.20/12)](0.20/12)]

C=10,000/[1+(0.75)(0.20)] C=10,000/(1+0.15)C=10,000/[1+(0.75)(0.20)] C=10,000/(1+0.15)

C=10,000/1.15 C=8,695.65C=10,000/1.15 C=8,695.65

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7. Calculo del Tiempo para Prestamos o Inversión7. Calculo del Tiempo para Prestamos o Inversión

Formula: n= (M/C) – 1 / iFormula: n= (M/C) – 1 / i

a) El primero de diciembre del 2008 se depositan a) El primero de diciembre del 2008 se depositan $8,500. ¿En cuanto tiempo se acumularan $8,500. ¿En cuanto tiempo se acumularan $9,647.50 con una tasa de interés del 9%?$9,647.50 con una tasa de interés del 9%?

Datos: M=9,647.50 C=8,500 i=9% anual n=?Datos: M=9,647.50 C=8,500 i=9% anual n=?

Solución: n=(9,647.50/8,500)-1 /0.09 Solución: n=(9,647.50/8,500)-1 /0.09

n=1.135 -1 /0.09 n= 0.135/0.09 n= 1.5n=1.135 -1 /0.09 n= 0.135/0.09 n= 1.5

Resultado: Un año seis mesesResultado: Un año seis meses

b) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que un b) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que un capital de $3,000 sea un Monto de $7,000 si capital de $3,000 sea un Monto de $7,000 si la inversión se hizo con un 5% de interés la inversión se hizo con un 5% de interés simple mensual?simple mensual?

Page 29: Matematicas Financieras

Datos: C=3,000 M=7,000 i=5% anualDatos: C=3,000 M=7,000 i=5% anual

Solución: n=(7,000/3,000)-1 / 0.05 Solución: n=(7,000/3,000)-1 / 0.05

n= 2.33333-1/0.05 n=1.33333 – 1 /0.05 n= 2.33333-1/0.05 n=1.33333 – 1 /0.05

n= 26.6666 mesesn= 26.6666 meses

8. Descuento Comercial.8. Descuento Comercial.

Page 30: Matematicas Financieras

Datos: C=3,000 M=7,000 i=5% anualDatos: C=3,000 M=7,000 i=5% anual

Solución: n=(7,000/3,000)-1 / 0.05 Solución: n=(7,000/3,000)-1 / 0.05

n= 2.33333-1/0.05 n=1.33333 – 1 /0.05 n= 2.33333-1/0.05 n=1.33333 – 1 /0.05

n= 26.6666 mesesn= 26.6666 meses

8. Descuento Comercial.8. Descuento Comercial.

El descuento es la disminución que se hace a una El descuento es la disminución que se hace a una cantidad por pagarse antes de su vencimiento, es cantidad por pagarse antes de su vencimiento, es decir:decir:

El pago anticipado de un valor que vence a futuro.El pago anticipado de un valor que vence a futuro.

Cuando se obtiene un préstamo por una cantidad Cuando se obtiene un préstamo por una cantidad (C )(C )

- Se elabora un pagaré que es una promesa de pagoSe elabora un pagaré que es una promesa de pago- La promesa de pago ampara cierta cantidad de La promesa de pago ampara cierta cantidad de

dinero con o sin interés, con fecha determinada dinero con o sin interés, con fecha determinada porpor

Page 31: Matematicas Financieras

El deudor y el acreedor o dueño del documento.El deudor y el acreedor o dueño del documento.- El documento se suscribe a favor del acreedorEl documento se suscribe a favor del acreedor

El descuento a los documentos se puede realizar El descuento a los documentos se puede realizar de dos maneras:de dos maneras:

1.1. Descuento comercial o bancarioDescuento comercial o bancario

2.2. Descuento real o justoDescuento real o justo

9. El Descuento Comercial o Bancario o 9. El Descuento Comercial o Bancario o simplemente descuento, consiste en: simplemente descuento, consiste en:

- Cobrar el interés cuando se realiza el Cobrar el interés cuando se realiza el préstamo: es decir se cobran los intereses por préstamo: es decir se cobran los intereses por anticipado y no hasta la fecha de vencimiento.anticipado y no hasta la fecha de vencimiento.

- El cobro del interés se calcula considerando el El cobro del interés se calcula considerando el valor final del documento o valor futuro del valor final del documento o valor futuro del capital capital

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10. Descuento ( D )10. Descuento ( D )- Es la cantidad descontada en cierto tiempo ( n )Es la cantidad descontada en cierto tiempo ( n )- Con una tasa de descuento siempre ( d )Con una tasa de descuento siempre ( d )- El monto o valor final del documento es la El monto o valor final del documento es la

cantidad solicitada en el préstamo, pero nunca cantidad solicitada en el préstamo, pero nunca se recibe.se recibe.

- Formula: D = MndFormula: D = Mnd- Ejemplo: ¿Cuál es el descuento que se hace por Ejemplo: ¿Cuál es el descuento que se hace por

un préstamo de $50,000.00 para pagarse con un préstamo de $50,000.00 para pagarse con un plazo de 6 meses, con una tasa de un plazo de 6 meses, con una tasa de descuento simple del 24% anual?descuento simple del 24% anual?

- Datos: M= 50,000 n=6 meses d=24% anualDatos: M= 50,000 n=6 meses d=24% anual- Solución: D=Mnd D=50,000(6 meses)(0.24)Solución: D=Mnd D=50,000(6 meses)(0.24)- D=50,000 (0.12) D= 6,000 D=50,000 (0.12) D= 6,000

Page 33: Matematicas Financieras

11.Valor descontado.11.Valor descontado.Es la cantidad de dinero que recibe el solicitante Es la cantidad de dinero que recibe el solicitante

del préstamo después de haber descontado del préstamo después de haber descontado anticipadamente los intereses del monto anticipadamente los intereses del monto también se conoce como valor efectivo o también se conoce como valor efectivo o liquido o actual.liquido o actual.

Formula: C=M-DFormula: C=M-DEjemplo: el arquitecto González solicita un Ejemplo: el arquitecto González solicita un

préstamo de $100,000 con un plazo de tres préstamo de $100,000 con un plazo de tres meses y una tasa de descuento de 2.5% meses y una tasa de descuento de 2.5% mensual.mensual.

a)a) ¿A cuanto asciende el descuento en el ¿A cuanto asciende el descuento en el momento de recibir el préstamo?momento de recibir el préstamo?

b)b) ¿Qué cantidad en realidad recibe el arquitecto ¿Qué cantidad en realidad recibe el arquitecto González?González?

Datos: Préstamo = 100,000 Plazo = 3 meses Datos: Préstamo = 100,000 Plazo = 3 meses Tasa de descuento = 2.5% D=? C=? Tasa de descuento = 2.5% D=? C=?

Page 34: Matematicas Financieras

Solución: D=Mnd D=100,000(3 meses)(0.025)Solución: D=Mnd D=100,000(3 meses)(0.025)

D=7,500. D=7,500.

a)a) El descuento será de $7,500El descuento será de $7,500

b)b) La cantidad que recibirá el Arq. González es de:La cantidad que recibirá el Arq. González es de:

C=M-D C=100,000-7,500 C=92,500C=M-D C=100,000-7,500 C=92,500

La cantidad es de $92,500, sin embargo en La cantidad es de $92,500, sin embargo en tres meses deberá pagar $100,000.tres meses deberá pagar $100,000.

12. Tasa de Descuento.12. Tasa de Descuento.

1.1. Las ganancias de capital se obtienen al Las ganancias de capital se obtienen al comprar un pagaré o documento con menor comprar un pagaré o documento con menor valor y cobrarlo a futuro con su valor nominal.valor y cobrarlo a futuro con su valor nominal.

2.2. Estas operaciones son frecuentes en Estas operaciones son frecuentes en documentos (valores) que se venden con documentos (valores) que se venden con descuentos.descuentos.

Page 35: Matematicas Financieras

3.3. La diferencia que se tiene entre el precio de La diferencia que se tiene entre el precio de venta y el precio de cobro es la ganancia de venta y el precio de cobro es la ganancia de capital.capital.

4.4. . Los precios de venta en los documentos que . Los precios de venta en los documentos que se venden con un precio inferior al que tiene se venden con un precio inferior al que tiene en su fecha de vencimiento se determina en su fecha de vencimiento se determina calculando la tasa de descuento.calculando la tasa de descuento.

Formula: d = D / MnFormula: d = D / Mn

Ejemplo: El dueño de una empresa vendió a un Ejemplo: El dueño de una empresa vendió a un Banco un Documento con 6 meses antes de Banco un Documento con 6 meses antes de su vencimiento, con valor nominal de su vencimiento, con valor nominal de $28,550, el Banco pago $20,835. ¿Cuál es la $28,550, el Banco pago $20,835. ¿Cuál es la tasa de descuento?tasa de descuento?

Datos: C=20,835 M=28,550 n= 6 mesesDatos: C=20,835 M=28,550 n= 6 meses

Solución: a) Se determina DSolución: a) Se determina D

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D = M-C D=28,550-20,835 D= 7,715D = M-C D=28,550-20,835 D= 7,715b) Después se determina la tasa de descuentob) Después se determina la tasa de descuentod=D/Mn d=7,715/(28,550)(6 meses) d=D/Mn d=7,715/(28,550)(6 meses) d= 7,715/171,330 d=0.045 mensuald= 7,715/171,330 d=0.045 mensuald=(0.045)(6 meses) d=0.27 x 100 = 27% por d=(0.045)(6 meses) d=0.27 x 100 = 27% por

seis meses.seis meses.13. Tasa de Rendimiento.13. Tasa de Rendimiento.En el descuento comercial, el prestamista En el descuento comercial, el prestamista

dispone de inmediato del dinero generado dispone de inmediato del dinero generado por los intereses, al cobrarlo por adelantado.por los intereses, al cobrarlo por adelantado.

El deudor al pagar por adelantado los intereses El deudor al pagar por adelantado los intereses del préstamo, en realidad esta pagando más del préstamo, en realidad esta pagando más intereses que los estipulado o pactado, a esta intereses que los estipulado o pactado, a esta tasa se le conoce como “Tasa de tasa se le conoce como “Tasa de Rendimiento” ( R )Rendimiento” ( R )

Page 37: Matematicas Financieras

Formula: R = M-C/Cn en donde:Formula: R = M-C/Cn en donde:R= Tasa de rendimientoR= Tasa de rendimientoM= Monto a pagarM= Monto a pagarC= Valor descontadoC= Valor descontadoN= plazo.N= plazo.Ejemplo: un banco descuenta $17,400. al señor Ejemplo: un banco descuenta $17,400. al señor

López por un préstamo para pagar en cuatro López por un préstamo para pagar en cuatro meses con un tasa de descuento de 39% meses con un tasa de descuento de 39% anual. ¿Cuál es la tasa de Rendimiento?anual. ¿Cuál es la tasa de Rendimiento?

Datos: D=17,400 n= 4 meses d=39% anualDatos: D=17,400 n= 4 meses d=39% anualSolución: 1. Primero se calcula el montoSolución: 1. Primero se calcula el montoM=D/dn D=17,400/(39/100)(4/12)M=D/dn D=17,400/(39/100)(4/12)M= 17,400/(0.39)(0.333333) M= 17,400/(0.39)(0.333333)

M=17,400/0.1299999M=17,400/0.1299999M=133,846.25M=133,846.25

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2. Calcular el valor descontado.2. Calcular el valor descontado.C = M–D C=133,846.25 – 17,400 C=116,446.15C = M–D C=133,846.25 – 17,400 C=116,446.153. Cálculo de la tasa de Rendimiento.3. Cálculo de la tasa de Rendimiento.Fórmula: R=M-C/Cn Fórmula: R=M-C/Cn Solución: Solución: R=133,846.25–116,446.15/(116,446.15)(4 meses)R=133,846.25–116,446.15/(116,446.15)(4 meses)R=17,400.10/465,784.60 R=0.0373563 MensualR=17,400.10/465,784.60 R=0.0373563 MensualR=(0.0373563)(4 meses) R=(0.1494252)(100)R=(0.0373563)(4 meses) R=(0.1494252)(100)R= 14.94% por los 4 meses.R= 14.94% por los 4 meses.Ejemplo 2: Ejemplo 2: Calcular la tasa de Rendimiento, si el valor Calcular la tasa de Rendimiento, si el valor

descontado a los 6 meses es de $25,894 y el descontado a los 6 meses es de $25,894 y el monto es de $35,000monto es de $35,000

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Datos: M=35,000 C=25,894 n=6 mesesDatos: M=35,000 C=25,894 n=6 meses

Solución:Solución:

R=M-C/Cn R=35,000-25,894/(25894)(6 meses)R=M-C/Cn R=35,000-25,894/(25894)(6 meses)

R=9,106/155,364 R=0.0586 mensual R=9,106/155,364 R=0.0586 mensual

R=(0.0586)(12)=0.7033 R=(0.7033)(100) R=(0.0586)(12)=0.7033 R=(0.7033)(100) R=70.33%R=70.33%