Matematicas financieras

Matemtica financieraConcepto de inversin Componentes de la tasa de inters Inters simple y compuesto Factores de conversin Tasas equivalentesAnticipas y vencidas Nominales y efectivas

MATEMATICAS Financierashttp://www.javeriana.edu.co/cursad/modulo.finanzas

Criterios decisorios VPN TIR Consideraciones sobre los metodos Costo del dinero Construccin de flujos Riesgo Ejercicios:

Julio A. Sarmiento S.Profesor - investigador Departamento de Administracin Pontificia Universidad Javeriana

Julio Alejandro Sarmiento Sabogal - 2002


ObjetivosConceptuales Entender el concepto de equivalencia. Diferenciar entre tasas nominales, efectivas periodicas y saber para qu sirve cada una de ellas. Instrumentales Manejar los factores de conversin. Construir tablas de amortizacin. Manipular las tasas de inters. y



INVERSIONCualquier sacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algn beneficio en el futuro.



El Concepto de inversinsacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algn beneficio en el futuro.


Tendencia al consumo inmediato Si se quiere que alguien no consuma algo, hay que recompensarla. Ejemplo: Si Usted tiene el dinero para comprar un carro hoy, guardara ese dinero debajo del colchn para adquirirlo dentro de un ao?


El Concepto de inversinsacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algn beneficio en el futuro.


No solamente se evalan los recursos monetarios, tambin se deben tener en cuenta los dems recursos DESEABLES y ESCASOS. Un problema: La valoracin de los activos.


El Concepto de inversinsacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algn beneficio en el futuro. futuro


El tiempo es el elemento principal de la matemtica financiera: El valor del dinero como recurso tiene sentido UNICAMENTE cuando este se usa por un periodo de tiempo.


El Concepto de inversinsacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algn beneficio en el futuro


En cualquier inversin, existe el riesgo de no recibir parte o toda la inversin y los beneficios esperados.


El Concepto de inversinsacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algn beneficio en el futuro


Implica que adems de recibir la inversin, debe recibir algn recurso adicional.

Beneficio =

Recuperacin de la inversin

+

Ingreso Intereses adicional

Matemtica financieraConcepto de inversin

Estudiando los Beneficios...La tasa de Inters:La tasa de inters es la utilidad (rentabilidad) medida en trminos porcentuales del rendimiento de un capital determinado

Componentes de la tasa de inters Inters simple y compuesto Factores de conversin Tasas equivalentesAnticipas y vencidas Nominales y efectivas



Estudiando los Beneficios...De cunto deben ser estos beneficios o intereses? Cunto es lo mnimo que debo cobrar para no perder?


Los beneficios debern cubrir:1. La prdida del poder adquisitivo. (Inflacin) 2. El riesgo de perder una parte o todo el dinero. 3. El sacrificio de no consumir ahora (componente real)


Estudiando los Beneficios...Anlisis de los componentes de la tasa de inters.La inflacin: Medida del aumento del nivel general de precios a travs de la canasta familiar. En Colombia se utiliza el IPC para clculo la inflacin. Esta medida se basa en la medicin de la canasta familiar en diferentes ciudades. Esta canasta familiar esta compuesta por diferentes grupos de gasto y para cada uno de los estratos socio-econmicos




Estudiando los Beneficios...Anlisis de los componentes de la tasa de inters.La inflacin: Componentes de la canasta familiar en ColombiaGrupos de gasto: Alimentos Cultura y Diversin Educacin Gastos varios Transporte Salud Vestuario Vivienda Ciudades: Santaf de Bogot Neiva Medelln Cali Pasto Cartagena Barranquilla Bucaramanga Ccuta Manizales Montera Pereira Villavicencio Cobertura Socio-econmica Alta Media Baja



Estudiando los Beneficios...El UPAC y la UVREn la prctica, la utilizacin de este componente es mucho ms popular de lo que se podra pensar. De hecho, el desaparecido UPAC y la reciente UVR nacen del problema de la gran variabilidad de la inflacin, la cual no permita hacer prstamos de largo plazo. Por lo tanto, en 1972 se cre la correccin monetaria, que debera ser igual al componente inflacionario.




Estudiando los Beneficios...El componente realAunque se ha generalizado la suposicin de que este componente oscila entre el 3% y el 4% a nivel mundial, este depende de varios factores:Las situaciones de liquidez o iliquidez del mercado. El tamao de la economa del pas. La capacidad de ahorro La variabilidad de la inflacin.



Estudiando los Beneficios...La tasa real en Colombia



Fuente:


Estudiando los Beneficios...Riesgo pais = Spread. Diferencia entre la tasa que paga un bono de la FED (USA) y un bono del gobierno colombiano (Bono Yankie) en la bolsa de Nueva York.http://www.minhacienda.gov.co



Riesgo sector = Indicador sectorial. Calculado por la ANIF, para cada ao segn el comportamiento del mismo.


Estudiando los Beneficios...nicamente cuando la tasa de inters pagada cubre estos tres componentes, el inversionista acepta el proyecto. Esta tasa a la cual el proyecto es aceptado, se le conoce cmo: Tasa de descuento (TD) Tasa de rentabilidad mnima aceptable (TREMA) Tasa de inters de oportunidad (TIO)




Estudiando los Beneficios...EN CONCLUSION1 peso de hoy es equivalente (no igual) a 1+x pesos dentro de un perodo de tiempo. Esto se conoce como el concepto de equivalencia. La tasa de inters, sintetiza este concepto en un porcentaje inters que mnimo al cual se decide invertir. Ic = (1+if) x (1+ir) x (1+i) - 1 Donde: Ic: tasa de inters if : componente de inflacin i : Componente de riesgo ir : representa el componente real.




Estudiando los Beneficios...Las tasas de Descuento en Colombia (2003)



Un ejemplo...Le han solicitado un prstamo por $1.000.000 para pagarlo en un mes. Qu tasa de inters cobrara Ud. por este prstamo? La T.D. es diferente para cada uno de los inversionistas y depende de muchos factores




Un ejemplo...Beneficios


$1.000.000

Consideraciones sobre los metodos Costo del dinero Construccin de flujos Riesgo Ejercicios:

Recuperacin de la inversin

Criterios decisorios VPN TIR


Un ejemplo...$ 7.974 $ 3.274 $ 8.752 Inflacin Real Riesgo


Consideraciones sobre los metodos Costo del dinero Construccin de flujos Riesgo Ejercicios:

$1.000.000

Criterios decisorios VPN TIR

Recuperacin de la inversin Beneficios


Un ejemplo...Cul es la rentabilidad?Ingresos 1 rentabilidad = Inversin Intereses Tasa = Inversin 1.020.000 1 = 2% 1.000.000 20.000 = 2% 1.000.000




Los trminosNombre comn Ingresos Inversin Utilidad ($) Rentabilidad (%) Matemtica financiera Valor futuro Suma presente Intereses (I) Tasa de interes (i)




Las ecuaciones bsicas



Valor Futuro = Valor Actual * (1+Tasa de Inters)

Intereses( I ) Tasa de Inters (i) = Valor _ Actual (VA)


El diagrama de flujo de caja


1.000.000


0

1

2

n

(1.000.000)


Inters simple e inters compuestoLa historia de un amigo...1.000 Mi teora 0i%=10% Diario



1

2 1.200

i%=10% Diario

1.210 2

La de mi amigo

0 1.000

1


Inters simple e inters compuestoLa historia de un amigo...Los intereses de los 100 que NO pag 100 10 100 100 1.000 2



0 1.000

1


Inters simple e inters compuestoInters simple: Se cobran intereses nicamente sobre la suma inicial1.000 Mi teora 0i%=10% Diario



1

2 1.200

Inters compuesto: Se cobran intereses sobre la suma inicial y sobre los intereses no 1.210 i%=10% Diario pagados.La de mi amigo 0 1.000 1 2


Los trminos (2)



Nombre comn Ingresos Inversin Utilidad ($) Rentabilidad (%) Nmero de perodos Cuotas o pagos

Matemtica financiera Valor futuro Suma presente Intereses (I) Tasa de inters (i) Nper (n) Cuotas o pagos


Los trminos (2)LA CUOTA O PAGOSe tiene una cuota o pago cuando en lugar de pagar la totalidad de la inversin al finalizar el plazo, se entregan VARIAS sumas de dinero en diferentes periodos de tiempo. En EXCEL pago se entiende como una suma uniforme que se entrega en todos y cada uno de los periodos en los que esta compuesta la inversin.




Las ecuaciones bsicasValor Futuro = Valor Actual * (1+Tasa de Inters)


n


Intereses( I ) Tasa de Inters (i) = Valor _ Actual (VA)


LA CAPITALIZACION DE INTERESES... El caso del UPACSaldo en sistema UPAC segn % aumento en cuota


80000 70000 60000 50000 40000 30000 20000 10000 0 -10000 0 50 100 Mes 150 200


Tomado de Ignacio Vlez.


LA CAPITALIZACION DE INTERESES... El caso del UPACSalario vs. Cuota en UPACsS a la rio v s . c u o t a e n UP A C



25, 000, 000

20, 000, 000

1 5, 000, 000

1 0, 000, 000

5, 000, 000

M a y -9 0 E n e -9 3 Oc t -9 5 J u l -9 8 Ab r -0 1 E n e -0 4 Oc t -0 6 J u l -0 9


Factores de conversinSuma presente -> Suma Futura Suma Futura -> Suma Presente Suma presente -> Serie de cuotas uniformes Serie de cuotas uniformes -> Suma presente Suma Futura -> Serie de cuotas uniformes Serie de cuotas uniforme -> Suma Futura Clculo de la tasa de inters Clculo del nmero de Perodos



Para insertar funciones en Excel...


Factores de conversinFactor Principales frmulas de ExcelVA : Perodos iguales y pagos uniformes. VNA : Perodos iguales y pagos no uniformes. Valor VNA.NO.PER : Perodos de diferente longitud y pagos no actual uniformes. Tasa constante para todos los periodos, en todas las frmulas



Valor VF.PLAN : Perodos iguales, pagos no uniformes y tasas Futurodiferentes para cada periodo. PAGO : Calcula una serie de cuotas uniformes. PAGOPRIN : Calcula la parte correspondiente al abono a Pagos capital de una cuota uniforme, en un periodo dado. PAGOINT : Calcula la parte correspondiente a el pago de intereses de una cuota uniforme, en un periodo dado.

VF : Perodos iguales y pagos uniformes.

TASA : Perodos iguales y pagos uniformes. Tasa TIR : Perodos iguales y pagos no uniformes.


Factores de conversinExplicacin de las funciones en Excel...Frmula que se desea aplicar rea de variables necesarias para el clculo de la funcin.



Area de explicacin de la variable en uso

Resultado obtenido rea de explicacin de la Funcin


Tablas de AmortizacinDescriben el plan de pagos (comportamiento mensual de un crdito, en trminos del valor adeudado, la cuota cancelada, y su distribucin entre abonos a capital e intereses.DOS FORMAS DE DEFINIR EL PAGO DE CREDITOS



Se decide el monto de la CUOTA o PAGO

Se decide el monto del Abono a Capital


Tablas de AmortizacinCuando se decide el monto de la CUOTA o PAGOPERIODO 0 1 SALDO INICIAL INTERESE S ABONO A CAPITAL CUOTA SALDO FINAL



Es el Es igual al Es igual al Es igual a la Cuota menos clculo Saldo saldo final del periodo Inicial por los Intereses de una cuota anterior la tasa de uniforme inters al monto peridica prestado SALDO INICIAL 10,000,000 9,295,379 8,569,620 7,822,087 7,052,129 6,259,072 5,442,223 4,600,869 3,734,275 2,841,682 1,922,312 975,360 INTERESE S 300,000 278,861 257,089 234,663 211,564 187,772 163,267 138,026 112,028 85,250 57,669 29,261 ABONO A CAPITAL 704,621 725,759 747,532 769,958 793,057 816,849 841,354 866,595 892,593 919,370 946,952 975,360

Es igual al Saldo Inicial menos el Abono a Capital

0.03 PERIODO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

CUOTA SALDO FINAL 10,000,000 9,295,379 8,569,620 7,822,087 7,052,129 6,259,072 5,442,223 4,600,869 3,734,275 2,841,682 1,922,312 975,360 (0)

1,004,621 1,004,621 1,004,621 1,004,621 1,004,621 1,004,621 1,004,621 1,004,621 1,004,621 1,004,621 1,004,621 1,004,621


Tablas de AmortizacinSe decide el monto del Abono a CapitalPERIODO


SALDO INICIAL

INTERESE S

ABONO A CAPITAL

CUOTA SALDO FINAL

0 1


Es igual al Es igual al Es igual al Es la saldo final Saldo monto del suma de del periodo Inicial por prstamo los anterior la tasa de dividido por el Intereses inters nmero de mas el peridica periodos Abono a Capital SALDO INICIAL 10,000,000 9,166,667 8,333,333 7,500,000 6,666,667 5,833,333 5,000,000 4,166,667 3,333,333 2,500,000 1,666,667 833,333 INTERESE S 300,000 275,000 250,000 225,000 200,000 175,000 150,000 125,000 100,000 75,000 50,000 25,000 ABONO A CAPITAL 833,333 833,333 833,333 833,333 833,333 833,333 833,333 833,333 833,333 833,333 833,333 833,333

Es igual al Saldo Inicial menos el Abono a Capital

0.03 PERIODO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

CUOTA SALDO FINAL 10,000,000 9,166,667 8,333,333 7,500,000 6,666,667 5,833,333 5,000,000 4,166,667 3,333,333 2,500,000 1,666,667 833,333 0

1,133,333 1,108,333 1,083,333 1,058,333 1,033,333 1,008,333 983,333 958,333 933,333 908,333 883,333 858,333


Tasas equivalentesSe puede observar cmo las tasas de inters se estipulan para un periodo de tiempo como por ejemplo meses, trimestres semestres o aos, adicionalmente se determina el momento en el que se pagan los intereses dentro del periodo, es decir, los intereses se pueden pagar de forma anticipada o vencida. Siguiendo la idea del concepto de equivalencia, se puede determinar relaciones entre las tasas para: Convertir tasas anticipadas a tasas vencidas. Convertir tasas de un tipo de periodo a otro, por ejemplo de meses a semestres. Comparar tasas anticipadas con tasas vencidas Comparar tasas de diferentes perodos.




Inters anticipado e inters vencidoLos intereses se pueden pagar al comienzo o al final del periodo, aunque internacionalmente no es muy comun que se paguen de la primera forma, en Colombia, se usan continuamente los dos formatos. El inters anticipado se ocasiona cuando los intereses se pagan al comienzo del periodo. VA I VA El inters vencido se ocasiona con el pago de intereses al final del periodo. I VA VA




Inters anticipado e inters vencidoUn ejemplo... A alguna empresa le acaban de pagar una factura por $400.000 con un cheque postfechado a un mes, como la empresa necesita urgentemente el dinero, decide recurrir a los servicios de un prestamista que entre sus actividades tiene el cambio de cheques postfechados. El prestamista, gustosamente cambia el cheque y le entrega a Agricol $380.000, pues cobr los intereses (5%) por adelantado.




Inters anticipado e inters vencidoEl diagrama de flujo de caja del prestamista....


$400.0000


1

$380.000


Inters anticipado e inters vencidoCalculando la tasa de inters....



i% =

I 20.000 = VA 380.000

=5.26%Observe que el cobro anticipado de intereses ocasiona un aumento de 0.26% en la tasa. En conclusin una tasa de 5% anticipado es equivalente a un 5.26% vencido.


Inters anticipado e inters vencidoia iv = 1 ia0.05 iv = 1 0.05



En este caso

iv = 5.26%

iv ia = 1 + iv


INTERS NOMINAL, INTERS EFECTIVO:La diferencia entre las tasas efectivas y nominales, surge cuando se pacta una tasa de inters para un periodo de tiempo determinado (Ej. Aos) pero los intereses se liquidan en lapsos de tiempo mas cortos (ej. Meses). La tasa de inters nominal se ocasiona cuando los periodos de pago de intereses son fracciones del periodo para el cual se ha pactado la tasa. Las tasas de inters efectivas son el reconocimiento a la capitalizacin de intereses que ocasiona una tasa de inters nominal. Ud. quiere invertir $500.000, por lo cual llama a un asesor de su entidad financiera, para que le proponga opciones para colocar su dinero en esta entidad, quien le ofrece dos opciones:



INTERS NOMINAL, INTERS EFECTIVO:Un ejemplo... Ud. quiere invertir $500.000, por lo cual llama a un asesor de su entidad financiera, para que le proponga opciones para colocar su dinero en esta entidad, quien le ofrece dos opciones: OPCION 1: Invertir los $500.000 en un CDT a un ao, con una tasa del 24.63% anual, en el cual que le paga intereses cada trimestre vencido OPCION 2: Invertir los $500.000 en un CDT a un ao con una tasa del 24.14% anual, que le paga el intereses cada mes vencido.



INTERS NOMINAL, INTERS EFECTIVO:Invertir los $500.000 en un CDT a un ao, con una tasa del 24.63% anual, en el cual que le paga intereses cada trimestre vencido24.63% = 6.16% * 500.000 = 30.788 4

OPCION 1:


500.000

30.788

30.788

30.788 3

30.788

1 500.000

2i = 24.63% anual (Tasa de inters vencida)

4


INTERS NOMINAL, INTERS EFECTIVO: OPCION 2: Invertir los $500.000 en un CDT a un

ao con una tasa del 24.14% anual, que le paga el intereses cada mes vencido.500.000 * * 24% 500.000 24,14% 12 10.058 1 500.000 2.... 12


500.000


INTERS NOMINAL, INTERS EFECTIVO:OPCION 1: DESARROLLOVF = 30.788 * (1 + 0.061) 3


36.832 34.696 32.684 30.788 135.000

VF = 30.788 * (1 + 0.061) 2


VF = 30.788 * (1 + 0.061)

30.788 1 500.000

30.788

30.788

500.000

2

3

4


INTERS NOMINAL, INTERS EFECTIVO: Clculo de la tasa de inters....OPCION 1: DESARROLLO


I i= VA

135.000 i= 500.000,00n n

i=27%

inom 24.63% ief = 1 + 1 = 1 + 1 = 27% n 4 OPCION 2:

24.14% = 1 + 1 = 27% 12

12


INTERS NOMINAL, INTERS EFECTIVO:


En resumen..Nominal: Es una tasa pactada para un perodo, pero los Nominal rendimientos (intereses) se pagan en perodos menores al pactado en la tasa. 24.63%N.A.T.V. Efectiva: Es una tasa a la cual se llega capitalizando los Efectiva intereses pagados antes de que se culmine el perodo pactado para la tasa nominal. 27% E.A. Peridica: Es la tasa pactada para un periodo. Con ella se Peridica calculan los flujos de caja. 6.1% Trimestral vencido.

Tres tipos de tasas:



INTERS NOMINAL, INTERS EFECTIVO:OPCION 1: DESARROLLOANUAL TRIMESTRE VENCIDO


24.63% NOMINALAdvierte que los periodos de pago de intereses son menores que el perodo en el que se pact la tasa de inters


Indica el periodo al cual fue pactada la tasa de inters

Se refiere a los perodos de pago de intereses

Muestra si la forma de pago es anticipada o vencida



Componentes de la tasa de inters Inters simple y compuesto Factores de conversin

En resumen...Tasa.nominal(1 + i )1 1 n n* ef inom 1+ n 1 n

Tasas equivalentesAnticipas y vencidas Nominales y efectivas

inom n

ia =

iv (1+iv )

Anticipada Vencida

Peridica

Nominal vencida

Efectiva


[i

per

* n]

iV =

Int.efectivo

ia (1 ia )

NUNCA divida una tasa Efectiva NUNCA Multiplique una tasa de nominal SIEMPRE que multiplique una tasa, el resultado ser una nominal SIEMPRE que divida una tasa nominal el resultado ser una tasa peridica NUNCA divida una tasa peridica. Si requiere hacerlo, suponga que esta es una efectiva.




La utilidad de los efectivos...TV Perodica EfectivaLa tasa efectiva es un puente que permite cambiar tasas de un perodo a otro


MV SV AA

TA




La utilidad de los efectivos...24,14% NAMV12

Criterios decisorios VPN TIR Consideraciones sobre los metodos Costo del dinero Construccin de flujos Riesgo

nn=4

=

n=2

25,39% NASV

24,63% NATV

27,00% E. A.

n=6

n

=

1

24,38% NABV

27,00% NAAVEjercicios:

Matemtica financiera

Manejo de Calculadora Hewlet PackardFIN COM SUMA CALEN RESOL TEXTO

Concepto de inversin Componentes de la tasa de inters Men Principal: Inters simple y compuesto Factores de conversin

Men para Finanzas

Calcula Tasas equivalentesfactores a partir de otros. Criterios decisorios flujos Basado en VPN uniformesTIRAnticipas y conversin de vencidas Nominales y efectivas

VDT

CONVI

FCAJ

BONO

DEPRC

N %IA Consideraciones sobre los metodosCosto del dinero Construccin de flujos Riesgo

VA

PAGO

VF

OTRO

Convierte Tasas equivalentes de efectivas a nominales y viceversa

P/AO

INIC

FINAL

AMRT Sirve para introducir flujos de caja no uniformes y hallar TIR, VPN o VFN

EFECT

CONT

Ejercicios:

Siempre debe estar en:1 PGOS/AO: MODO FINA L

%NOM

%EFE

P

Debe cargarse:

No. de periodos

Matemtica financiera

Manejo de Calculadora Hewlet Packardperiodos Input con el nmero de veces que se repite otros negativos. Input Input

Concepto de inversin Componentes de la tasa de inters Inters simple y Flujo de compuesto

1 2

caja inicial

Factores de conversin Flujo de caja Tasas equivalentes

Tenga en cuenta que unos son positivos y 3Anticipas y vencidasNominales y efectivas

Criterios decisorios VPN TIR Luego de cargar

Para ello utilice la tecla

+/-

luego de ingresar el nmero.

!

Recuerde:Exit lo devuelve al men

La tecla los datos revise lo que escribi con las teclas VPN, VFN y otro tipo de clculos se usa

4 5

Consideraciones sobre Para los metodos hallar TIR, Costo del dinero

anterior y, la tecla color rosa llamada Clear Data + Input borra

la opcin CALC. CALC

Construccin de flujos Riesgo Ejercicios:

los anteriores resultados y los flujos de caja (para %I VAN SNU VFN stos se pide autorizacin especial de borrar listas, Es la tasa de descuento Es el VPN Es el Valor Futuro Neto S o No.)

TOTAL %TIR


Bibliografa RecomendadaVELEZ, Ignacio. Decisiones de Inversin, enfocado a la valoracin de empresas. 2da Edicin, CEJA. 2002. GARCIA, Jaime. Matemticas Financieras, con ecuaciones de diferencia finita. Pearson. 2000. SERRANO, Javier. Matemticas Financieras y evaluacin financiera de proyectos. Alfaomega. 2001. HERNANDEZ, Abraham. Matemticas Financieras, teoria y practica. 2da Edicin, Ecafsa. 2000. White et all. Ingeniera econmica. 2da Edicin. LIMUSA WILEY. 2001.



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