1. Ingeniera EconmicaMatemticas FinancierasProfesor: Pablo Diez BennewitzDepto de Industrias UTFSM

2. MATEMTICAS FINANCIERASSon herramientas matemticas de decisinpara comparar racionalmente alternativaseconmicas, de modo de seleccionar lams convenienteSe evalan aspectoseconmicos de diferentesopciones, las que cumplirun mismo objetivo 3. CRDITOEs el traspaso del derecho al uso de un bien porparte de una persona natural o jurdica que gozade tal derecho y que renuncia a ese uso, a favorde otra persona natural o jurdica, la cual loadquiere por un plazo especfico o no 4. DINEROBien o recurso econmico circulable, cuyo uso oposesin, ocasiona un costo o un beneficio, cuyamagnitud depende tanto de la valoracin que sele d, como del tiempo de usufructo de dichobien 5. VALOR DEL DINEROEN EL TIEMPOSupngase el problema de decidir entredos alternativas mutuamente excluyentes: Recibir hoy da $100.000 Recibir $100.000 dentro de un ao ms Cul alternativa preferira usted ? 6. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPOLos motivos para preferir la primera alternativa son: La prdida del poder adquisitivoDebido a la existencia de inflacin, con $100.000disponibles hoy, es posible adquirir ms bienesy servicios que con $100.000 dentro de un ao El riesgoMs vale tener $100.000 seguros hoy que poseeruna promesa de recibir $100.000 en un ao ms 7. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPOLos motivos para preferir la primera alternativa son: Los usos alternativos del dineroCon $100.000 colocados a trabajar hoy, esposible tener ms de $100.000 dentro de un ao 8. INTERSEs la renta que se paga por el uso del dinerotomado en crdito (punto de vista del deudor), obien, es la renta que se cobra por renunciar aluso del dinero otorgado en prstamo (punto devista del acreedor) 9. INTERSPor lo tanto: Inters = Monto Final Monto InicialPor ejemplo, si se solicitaun prstamo de $100.000y se devuelven $105.000,entonces el interspagado es de $5.000 10. TASAS DE INTERSEs el porcentaje del monto inicial de un crdito,en un instante de tiempo especficoPor ejemplo, con un monto inicial de $100.000e intereses de $5.000, se desprende que:IntersTasa de Inters (%) = Monto del crditox 100 11. COSTO DE OPORTUNIDADEs la ganancia o rentabilidad de la mejoralternativa desechada o sacrificada al asignarun bien o recurso a un uso especfico,existiendo usos alternativos rentables paraese mismo bien o recurso 12. EJEMPLO 1Existen tres nicas y mutuamente excluyentesalternativas para invertir $250.000 a un mesplazo, todas ellas con el mismo nivel de riesgo Realizar el depsito en un banco, que ofrecepagarle a fin de mes un inters de $2 por cada$100 depositados Colocar el dinero en una alternativa quereporta un inters de $4.750 al final del mes 13. EJEMPLO 1 Colocar el dinero en un fondo que reporta, a findel mes, un inters de $0,25 por cada $100 deldepsito previamente reajustado por inflacin 14. EJEMPLO 11. Determine cul sera la mejor alternativa, si se estima una tasa de inflacin mensual del 1,6%2. Obtenga la ganancia (en $), la tasa de rentabilidad (sobre $) de cada alternativa y el costo de oportunidad relevante (en $ y en tasa), al seleccionar cada una de las alternativas3. Encuentre a partir de cul tasa de inflacin (mnima o mxima) se entrara a modificar la respuesta en 1. 15. FACTORES DE LOS QUE DEPENDE EL INTERS Capital: Es la suma de dinero originalmenteprestada o la parte de ella que an resta porpagar (capital insoluto o impago). El capitalinsoluto depende, a su vez, de la forma de pago Tiempo (n): Extensin donde se calcula el inters Tasa de inters (i): El inters por unidad detiempo, expresado como tanto por ciento o tantopor uno, del capital sobre el cual se devenga 16. TIPOS DE INTERSInters Se devenga sobre el capitalNominal no reajustado por inflacinInters Se devenga sobre el capitalRealreajustado por inflacin 17. TIPOS DE INTERS Inters Se cobran los intereses al Vencido final del perodo en que se ha usado el capital Inters Implica el cobro de losAnticipado intereses de un perodo, a inicios de dicho perodo 18. TIPOS DE INTERSLos intereses se calculan Intersslo sobre el capital Simpleinsoluto o saldo de capitalInters Los intereses se calculanCompuesto slo sobre el saldo insolutoo saldo de la deuda 19. SALDO INSOLUTOEs el saldo de deuda vigente en un instanteespecfico, conformado por el capital insolutovigente y la totalidad de los interesesdevengados y no pagados hasta ese momento,de acuerdo a la modalidad del crditoDe esta manera, en elinters compuesto sedevengan interesessobre intereses 20. EJEMPLO 22 ahorrantes depositan a un mes plazo su dineroen un banco, quien se compromete al cabo de unmes, mediante un pagar, a devolverles a cadaahorrante el capital y los intereses respectivosEl ahorrante A deposit $180.000 y tras un mesretir los intereses, volviendo a depositar slo elcapital por otro mes. El ahorrante B deposit$180.000 y al cabo de un mes deposit por otromes todo el dinero retirado del primer depsito 21. EJEMPLO 2En los dos meses (de 30 das) relevantes, el bancoaplica tasa de inters del 1% mensual para ahorros1. Calcule el capital insoluto de la deuda del banco con el ahorrante A y con el ahorrante B, al cabo de los primeros 15 das y al comienzo de la ltima semana del lapso relevante2. Calcule el saldo insoluto a favor del ahorrante A y del ahorrante B, al final del primer mes y al final del segundo mes, respectivamente 22. DIAGRAMAS ECONMICOSEs la representacin grfica de los flujos deefectivo trazados en una escala de tiempoConsta de una lnea horizontal, dividida enintervalos de tiempo, adems de flechasverticales que representan los ingresos yegresos 23. GRFICO REPRESENTATIVO DE MOVIMIENTOS ECONMICOS Ingresos Tiempo01 2 3 ..... n EgresosValor Presente 24. VALOR FUTUROEl valor futuro (VF) alcanzado por un capital (valorpresente VP) al final de un perodo dado, a unatasa de inters conocida, es ese capital ms losintereses devengados a esa tasa de inters yacumulados sobre l en ese perodoSe tiene que: VF = VP + Intereses 25. VALOR FUTUROA INTERS SIMPLEiVFTiempo 01 2 . n 2 n1nVP Inters en 1 unidad de tiempo: VP i Inters en 2 unidad de tiempo: VP i.... Inters en n unidad de tiempo: VP i 26. VALOR FUTUROA INTERS SIMPLEPor ende, el inters simple acumulado a unatasa de inters fija sobre un capital fijo, es: Intereses = n VP iLuego, el valor futuro a inters simple es:VF = VP + Intereses = VP + ( nVPi )VF = VP ( 1 + i n ) 27. VALOR FUTURO A INTERS COMPUESTO i ii i iVF Tiempo 0 1 2 . n 2 n1 nVP VF en 1 unidad tiempo: VP + (VPi) VF en 2 unidad tiempo: VP(1+i) + VP(1+i)i VF en 3 unidad tiempo: VP(1+i)2 + VP(1+i)2i VF en n unidad tiempo: VP(1+i)n-1 + VP(1+i)n-1i 28. VALOR FUTURO A INTERS COMPUESTO i ii i iVF Tiempo 0 1 2 . n 2 n1 nVP Valor futuro en 1 unidad tiempo: VP (1 + i) Valor futuro en 2 unidad tiempo: VP (1 + i)2 Valor futuro en 3 unidad tiempo: VP (1 + i)3 Valor futuro en n unidad tiempo: VP (1 + i)n 29. VALOR FUTURO A INTERS COMPUESTOEn definitiva,Valor futuro en n unidad de tiempo:VP(1+i)n-1 + VP(1+i)n-1i = VP(1+i)nVF = VP ( 1 + i )n 30. EJEMPLO 3Una persona A deposita $250.000 durante 6meses, a una tasa de inters simple del 6%trimestral y retira todo el dinero al final de eselapsoOtra persona B coloca $90.000 ainters simple durante 6 meses yretira todo el dinero (exactamente$101.880) al fin de ese lapso 31. EJEMPLO 31. Calcule el monto retirado por la persona A, a fin de los 6 meses2. Obtenga la tasa de inters mensual simple para la persona B durante los 6 meses3. Determine cul ahorrante consigue una mejor tasa de inters 32. EJEMPLO 4Se requiere obtener en prstamo un capital de$800.000, a 2 aos plazo, con un pago nico alvencimiento. Se tiene para ello 3 alternativas detasas de inters mutuamente excluyentesA. 60% Anual con capitalizacin anualB. 60% Anual con capitalizacin semestralC. 60% Anual con capitalizacin mensualHalle el monto a pagar al vencimiento del crditoen cada alternativa y determine la mejor opcin 33. FRECUENCIA DECAPITALIZACINA mayor frecuencia de capitalizacin de la tasade inters dentro del perodo relevante, mayor esel inters que se devengaEn el ejemplo anterior se tiene que en A) lafrecuencia anual es 1, en B) es 2 y en C) es 12Obs: si hay un solo perodo de capitalizacin, noexiste diferencia entre inters simple y compuesto 34. EJEMPLO 5Una persona tena un depsito a inters, cuyomonto alcanzaba a $630.000 en el momento de laltima capitalizacin. Esa cantidad fue colocadaluego durante 27 meses, a una tasa de inters del40% anual compuesto con capitalizacin semestralObtenga el valor futurodevengado al final delmes nmero 27 35. INTERS EFECTIVO Y NOMINALLa tasa de inters nominal (r) significa aparente opretendida, pues si hay inters compuesto conms de un perodo de capitalizacin, no secondice con el inters efectivo del crditoLa tasa de inters efectiva (i)es aquella que mide enconcreto el inters otorgadoo cobrado 36. INTERS EFECTIVO Y NOMINALPor ejemplo, $1000 depositados al 10% anualcon capitalizacin semestral (nominal)Tasa de inters en cada semestre = 0,1 / 2 = 0,05 5% 5% 1.0001.0501.102,5Equivalente a una tasa de inters anual del 10,25% 37. CONVERSIN DE UNA TASA DEINTERS NOMINAL A EFECTIVA En general, es posible calcular una tasa de inters efectiva a partir de una tasa de inters nominal, por medio de la siguiente ecuacin: r mi = 1+ m 1Donde m: Nmero de capitalizaciones que ocurrendentro del perodo que dice la tasa nominal 38. CONVERSIN DE UNA TASA DEINTERS NOMINAL A EFECTIVAEn el ejemplo anterior: rm0,1 2i = 1+ m 1 = 1+2 1i = 0,1025 39. CONVERSIN DE TASAS EFECTIVAS (1 + iA) = (1 + iS)2 = (1 + iT)4 = (1 + iM)12 = (1 + iD)365Donde: iA : Inters anual efectivo iS : Inters semestral efectivo iT : Inters trimestral efectivo iM : Inters mensual efectivo 40. INTERS EFECTIVO PARA CAPITALIZACIONESCONTINUASSe sabe que la ecuacin:r m i = 1+ 1mSirve para convertir una tasade inters nominal en efectivaSin embargo, cuando hay capitalizacionescontinuas, es decir cuando m tiende al infinito,sirve la siguiente estimacin: i = er 1 41. INTERS EFECTIVO PARA CAPITALIZACIONESCONTINUASPor ejemplo, un banco aplica a los prstamos unatasa de inters del 15% anual con capitalizacinen segundos Cul sera la tasa de inters efectiva ?. m es muy grande !!!m tiende a Luego: i = e0,15 1 = 0,16183 = 16,183% 42. INTERS EFECTIVO PARA CAPITALIZACIONESCONTINUASCalculando la tasa efectiva con precisin:m = 365246060 = 31.536.000Se llega a:0,1531.536.000i = 1+ 31.536.000 1 = 0,16196La diferencia entre la estimacin y el valor precisoempieza en el 4 decimal (2 si es con porcentaje) 43. VALORES EQUIVALENTESDos o ms cantidades de dinero, expresadas enuna misma unidad monetaria, son equivalentesentre s, dada una tasa de inters, si y slo si enuna fecha comn llamada fecha focal, sus valorescapitalizados (montos) y/o sus valoresdescontados (valores actuales) a esa tasa deinters, resultan iguales entre s 44. FECHA FOCALEs una fecha comn de referencia, ubicada dentrodel lapso en que se considera pertinente la tasa deinters usada en el clculo de las equivalenciasPor lo tanto, la eleccin de lafecha focal no debiese alterarlas equivalencias 45. ECUACIN DEVALORES EQUIVALENTESEs una ecuacin financiera que, en una fecha y auna tasa de inters conocidas, involucra slo alos valores equivalentes de distintas sumas dedinero 46. EJEMPLO 6A una empresa le resta por pagar las dos ltimascuotas de un crdito: $12.000 dentro de 3 meses y$18.000 dentro de 9 mesesSi quisiera liquidar anticipadamente la deuda, haydos opciones mutuamente excluyentes:1. Pagar $29.500 dentro de 5 meses2. Pagar $31.400 dentro de 7 meses 47. EJEMPLO 6Si en cada mes de los prximos tres trimestres,los fondos de esta empresa tendran una tasa derentabilidad del 2% mensual compuesto,entonces decida cul sera la opcin msconveniente para esta empresa 48. EJEMPLO 7Una empresa a la que le restaba pagar slo doscuotas de un crdito, renegoci la deuda con suacreedor, sustituyndose las dos cuotas de$15.000 y $25.000, con vencimiento dentro de 3 y 5meses respectivamente, por otras dos cuotas de$R, con vencimiento dentro de 4,5 y 7,5 mesesrespectivamente 49. EJEMPLO 7La renegociacin se hizo de una forma tal, que lasituacin final es equivalente a la situacinoriginal, dada una tasa de inters del 2,1%mensual compuestoCalcule $R mediante clculo terico en lasfracciones de perodo de capitalizacin, usando:1. Fecha focal en el instante 5 (final del mes 5)2. Fecha focal en el instante 7,5 (mitad del mes 8) 50. PAGOS PERIDICOS (PAYMENT)Con frecuencia se reconocen pagos o ingresos detipo peridicos, tales como sueldos y salarios,imposiciones, pensiones de jubilacin, pagos dearriendos, cuotas mensuales de crditos, etcPayment es una sucesin devalores monetarios de igual signoe igual monto, por lo que lospagos peridicos son constantes 51. PAGOS PERIDICOS (PAYMENT)Con una ecuacin de valor equivalente al inicio: PMT PMT PMT ..... PMTTiempo 01 2 3 .. n VP PMTPMTPMT PMTVP = (1 + i)1+(1 + i)2 + (1 + i)3+ .. + (1 + i)n 52. PAGOS PERIDICOS (PAYMENT)n1 (1 + i)n 1VP = PMT = PMT (1 + i) j(1 + i)n ij=1Despejando PMT se obtiene: (1 + i)n iPMT= VP (1 + i)n 1FRC: Factor derecuperacin del capital 53. PAGOS PERIDICOS (PAYMENT)Recordando que VF = VP ( 1 + i n )Es posible relacionar PMT con el valor futuro: iPMT= VF (1 + i)n 1SFF: Factor deamortizacin del capital 54. EJEMPLO 8Se depositan $50.000 cada fin de perodo mensual,en una cuenta que paga una tasa de inters del24% anual compuesto con capitalizacin mensualCalcule el monto acumulado en la cuenta, encada uno de los siguientes casos:1. Inmediatamente despus del depsito n 42. Inmediatamente despus del depsito n 36, junto con hallar los intereses devengados en el conjunto de los 36 meses involucrados 55. EJEMPLO 9Sea una determinada cuenta que otorgauna tasa de inters constante del 36%anual con capitalizacin mensual, a lolargo de un perodo de 120 mesesEncuentre el monto acumulado enla cuenta al final del mes n 120,en cada uno de los siguientescasos: 56. EJEMPLO 91. El primer depsito se efectu por $200 a inicios del primer mes y posteriormente se depositan $10 al comienzo de cada mes, desde el 2 mes2. El primer depsito se realiz por $150 al trmino del primer mes y posteriormente se depositan $15 al final de cada mes, a contar del 2 mes3. El primer depsito se hizo por $200 al empezar el primer mes y posteriormente se depositan $10 al final de cada mes, desde el mes n 16 57. EJEMPLO 94. El primer depsito se realiz por $150 al trminodel primer mes y posteriormente se depositan$15 al principio de cada mes, desde el mes n 16 58. SIMULACIN 59. SIMULACIN 60. EJEMPLO 10Una conocida multitienda ofrece para todos susclientes vacaciones, las que se permiten cancelarde dos maneras mutuamente excluyentes: preciocontado y crdito en cuotas fijasDetermine la tasa de inters compuestay el valor que tendra un crdito en 6cuotas fijas, si es que se opta por lasvacaciones de invierno en Punta Cana Sera esa una tasa de inters razonable ? 61. EJEMPLO 10 62. GRADIENTESOtra alternativa es que los flujos de ingresos oegresos varen en el tiempo, ya sea en forma fija(uniforme) o en cierto porcentaje (escalada) F1 F2F3 ..... F4 Tiempo 01 2 3 nLos flujos ya no son iguales en cada perodo 63. GRADIENTE UNIFORMEEl aumento en los flujos es constanteSe denomina P al valor base (que no cambia) y Gal aumento constante perodo a perodo ... P + (n-1)G PP + G P + 2GTiempo 0 12 3 n 64. GRADIENTE UNIFORME Al aplicar una ecuacin de valor equivalente que lleve todos los flujos a valor presente, se llega a: (1 + i)n 1 G (1 + i)n 1n VP = P (1 + i)n i+i (1 + i)n i (1 + i)nEl primer trmino Signo positivo si elequivale al PMT degradiente es creciente,los flujos constantes negativo si es decreciente 65. EJEMPLO 11Considere los siguientes flujos:PerodoFlujo Con una tasa de inters 1 1.000 del 4% en cada perodo 2 1.100 3 1.200 4 1.300 5 1.400 Cunto es el valor presente de los flujos ? 66. GRADIENTE EN ESCALADALa variacin en los flujos es en algn porcentaje P (1+E)n 1.. P (1+E)2 P P (1+E) Tiempo 01 23 nDonde E: porcentaje de aumento del flujo 67. GRADIENTE EN ESCALADALlevando a valor presente (instante 0) todos losflujos, se obtiene la siguiente expresin:P1+EVP = Ei 1+i1Si se dice que los flujos aumentanE = 0,15perodo a perodo en un 15% y que i = 0,1la tasa de inters es del 10% 68. EJEMPLO 12Considere los siguientes flujos:PerodoFlujo Con una tasa de inters110.000del 2% en cada perodo212.000314.400417.280520.736 Cunto es el valor equivalente delos flujos al finalizar el perodo 5 ? 69. EJEMPLO 13Considere los siguientes flujos:Perodo FlujoCon una tasa de inters 12.000del 2% en cada perodo 22.250 32.500 42.750 53.000 63.300 73.630 Cunto es el valor 83.993presente de los flujos ? 70. INTERS INTERPERIDICOSi es que algunos pagos se efectan al interiorde los perodos de capitalizacin, debendefinirse las condiciones para los perodos decapitalizacinPor ejemplo, asumiendo capitalizacin anual:35 4010Aos0 125 15 71. INTERS INTERPERIDICOCondiciones para los perodos de capitalizacin:1. No se paga inters sobre el dinero depositado (o retirado) entre los perodos de capitalizacin2. El dinero depositado (o retirado) entre perodos de capitalizacin gana inters simple 72. INTERS INTERPERIDICOA travs del siguiente ejemplo, se reconocercmo se hace el clculo para ambas modalidadesEl siguiente diagrama de flujos muestralos depsitos y giros que realiz Jorge ensu cuenta de ahorros durante 12 mesesCalcule la cantidad de dinero que tiene Jorge alfinal de los 12 meses, si el banco paga un intersdel 3% trimestral; para cada uno de los dos casos 73. INTERS INTERPERIDICO DepsitosGiros909050 30 30 50012 3456 7 89 101112 50 20 707040 Tasa de inters = 3% trimestral 74. INTERS INTERPERIDICOCondicin 1 para los perodos de capitalizacin:1. No se paga inters sobre el dinero depositado (o retirado) entre los perodos de capitalizacinLos depsitos se consideran como si sehiciesen al inicio del siguiente perodo decapitalizacin, mientras que los giros seconsideran como efectuados al final delperodo de capitalizacin anterior 75. INTERS INTERPERIDICO909050 30 3050012 34567 89 101112 50 20 70 70409090 + 5030 + 3050012 34567 89 1011125020 + 7070 + 40 76. INTERS INTERPERIDICOAhora se calcula la cantidad de dinero que, enel caso 1., tendra Jorge al final de los 12 meses40 140 5001 23 45 6 789 10 1112 90 50VF12 = 40(1 + 0,03)4 90(1 + 0,03)3 + 140(1 + 0,03)2 50(1 + 0,03)1 + 50 = 94 77. INTERS INTERPERIDICOCondicin 2 para los perodos de capitalizacin:2. El dinero depositado (o retirado) entre perodos de capitalizacin gana inters simpleLos depsitos realizados en un inter perodoganan inters simple, llevando el monto al iniciodel siguiente perodo de capitalizacin. Losgiros, al igual que en el caso 1. se consideran alfinal del perodo de capitalizacin anterior 78. INTERS INTERPERIDICO9090 50 30 30 500123 4 5678 9101112 50 20 70 70409050 + 90(1 + 0,032 )2 130(1 + 0,03 ) + 30(1 + 0,03 ) 5033 30123 4 5678 91011125020 + 7070 + 40 79. INTERS INTERPERIDICOLuego se obtiene la cantidad de dinero que, enel caso 2., tendra Jorge al final de los 12 mesesVF12 = 40(1 + 0,03) 4 90(1 + 0,03)3 + + [ 50 + ( 90(1 + 0,032 ) ](1 + 0,03)2 +3+ [ 30(1 + 0,03 2 ) + (30(1 + 0,03 1 ) 110 ](1 + 0,03) + 33 + 50 = 97 80. EJEMPLO 14Calcule la cantidad de dinero al final de los 12meses, si el banco paga un inters del 5%cuatrimestral, si es que se paga inters inter peridico a los depsitos aunque no a los giros1001040 20 100 1234 567 8910 1112 20 50 30 30 20 81. AMORTIZACINEs aquella parte de la cuota de pago deuna deuda correspondiente a abonosque disminuyen el capital insolutoCada cuota en que se cancela una deudacontiene pagos de amortizacin (abonosal capital insoluto) y de interesesEl pago de intereses es, en cadapago, proporcional al capital insoluto 82. CRDITOSEl crdito principal es el monto que se adeuda,que al final del plazo debe ser igual a cero 83. CUOTA DEL CRDITOEs el monto peridico para cancelar la deuda,que se compone de la amortizacin (pago de unaparte de la deuda) y los intereses (pago de losservicios de la deuda)Existen dos modalidades decuotas para pagar la deuda:cuota fija (que es lo usual) oamortizacin fija 84. CUOTA FIJA DEL CRDITOImplica un desembolso constante a lo largo delos aos en que se pacta el crdito Es la ecuacin de payment !! (1 + i)n iCuota = VP (1 + i)n 1 85. EJEMPLO DE CRDITOValor del crdito= $ 4.000Plazo= 4 aosTasa de inters=10 %Obtngase el valor de las cuotaspara pagar el crdito: tanto en elcaso de amortizacin fija como enel caso de cuota fija 86. AMORTIZACIN FIJAFlujo de pagos amortizacin fija: (4.000/4) = $ 1.000Ao 1 2 3 4Capital Insoluto4.000 3.000 2.000 1.000Intereses 400300 200 100Amortizacin1.000 1.000 1.000 1.000Cuota del crdito 1.400 1.300 1.200 1.100 87. AMORTIZACIN FIJA - CRDITOEn cada perodo se paga un monto fijo deamortizacin, mientras que el pago de interesesdisminuye con cada sucesivo pagoCuota del crdito Intereses Fijo AmortizacinPago del crditoen el tiempo 88. CUOTA FIJA Valor futuro: VF = (4.000 (1,10 4) = $ 5.856,4 Cuota = (5.856,4 0,10) / ([1,10 4] 1) = $ 1.261,9Flujo de pagos con cuota fija:Ao1 2 3 4Capital Insoluto 4.000 3.138 2.190 1.147Intereses400 314219 115Cuota del crdito1.262 1.262 1.262 1.262Amortizacin 862 948 1.043 1.147 89. CUOTA FIJA DEL CRDITOEn los perodos iniciales (finales) se paga unamayor (menor) proporcin de intereses y unamenor (mayor) proporcin de amortizacinCuota del crditoCuota ese s Intern rtiz a c i AmoPago del crditoen el tiempo 90. CUOTA FIJA DEL CRDITOCuota del crditoCuota e s Int er es cinrtizaAmoPago del crditoen el tiempoEl primer pago tiene El ltimo pago tienealtos intereses y bajos intereses y baja amortizacinalta amortizacin 91. PERODOS DE GRACIAIndependiente del mtodo de pago, son perodosen los que solamente se cancelan intereses, sinabonos que reduzcan el capital insoluto 92. EJEMPLO 15Se pacta un crdito de $1.000.000, a pagar en unperodo de 3 aos en cuotas anuales, con unatasa de inters del 10% anual y 2 aos de graciaCalcule el pago de intereses y deamortizacin, en cada cuota, tantocon el mtodo de cuota fija comocon el mtodo de amortizacin fija 93. BONOSEs un instrumento de deuda a largo plazo, emitidopor una corporacin o entidad gubernamental,con el propsito de conseguir el capital necesariopara financiar algn proyecto de inversin 94. BONOSSe utilizan frecuentemente debido al mayoratractivo que posee para el deudor y el acreedor,pues la tasa de inters de los bonos sueleubicarse dentro del margen de ganancia (spread)que maneja el sistema financiero 95. SPREADTasa de inters donde: icolocacin : es la tasa de intersicolocacinque cobran los bancosSpreadcuando prestan dinero icaptacin icaptacin : es la tasa de inters que pagan los bancos cuando reciben dinero 96. CONDICIONES DE PAGOSe especifican al emitir los bonos e incluyen: Valor nominal del bono Tasa de inters del bono Fecha de vencimientoLos intereses se pagan peridicamenteEn la fecha de vencimiento se paga el interscorrespondiente ms el valor nominal del bono 97. FLUJOS DE PAGO DE UN BONO I + Valor nominalI I I ........... Tiempo 01 23 nValor nominal 98. BONOS MERCADO ABIERTOSon documentos pagaderos al portador. Luego,es posible comprarlos y venderlos en el mercadoabierto. Tanto el acreedor actual como el deudoractual de un bono, quizs no lo sean maana 99. BONOS MERCADO ABIERTOPor ejemplo, a usted le ofrecen un bono de $10.000cuya tasa de inters es del 3% semestral y pagalos intereses semestralmenteSi la fecha de vencimiento es en 15 aos, Cunto pagara hoy por el bono si deseaganar un 4% de inters semestral ? 100. SOLUCIN DEL EJEMPLOEl pago de intereses semestral300 + 10.000es de: 10.0000,03 = 300 300300300 ......... Tiempo 0 1 2 3 30 Para resolver el ejemplo, debe hallarse VPVP 101. SOLUCIN DEL EJEMPLOLuego: (1 + i)n 1 Valor nominal VP = Intereses (1 + i)n i+ (1 + i) n(1 + 0,04)30 110.000 VP = 300 (1 + 0,04)30 i+(1 + 0,04) 30ObtenindoseVP= 8.271 102. BONOS DE MERCADOUn ejemplo es un bono emitido por el Banco deChile, con las siguientes caractersticas: Valor nominal: 10.000 UF Tasa de inters: 6,5% anual Moneda de pago: el monto equivalente en pesos Reajuste: UF, unidades de fomento Perodo de maduracin: 5 aos Emisin: 5.000.000 UF en 2 series de 250 bonos de Transferencia: al portador 10.000 UF c/u 103. BONOS DE MERCADO 104. BONOS DE MERCADO 105. EJEMPLO 16A usted le ofrecen un bono de valor nominal de 18UF, con tasa de inters del 6% anual capitalizabletrimestralmente. Se pagan los intereses cada 6meses y el plazo de maduracin pendiente delbono es de 15 aosSi usted compra hoy el bono, en 5aos ms, despus de retirar el 10inters devengado, usted estima quees posible vender el bono en 26 UF 106. EJEMPLO 16 Cul es el monto mximo que usted pagarahoy por el bono si su tasa de descuento (costo deoportunidad) es del 14,5% anual y lo vendera enel ao 5 inmediatamente despus de retirar el 10inters devengado ? 107. INFLACINCon $1.000 de hoy no alcanzoEs debido a la inflacin,a comprar la misma canasta deya que el valor del dinerobienes y servicios como lo hice disminuye con el paso delen el ao 2008 .....tiempo, entregndose ms dinero por menos bienes 108. CLCULOS DE VALOR FUTURO CONSIDERANDO INFLACINSe reconocen 4 diferentes posibilidades para lacantidad de dinero futuro: 1. Cantidad real de dinero 2. Poder adquisitivo 3. Nmero de pesos de entonces requeridos 4. Ganancia de inters sobre inflacin 109. CANTIDAD REAL DE DINERONo toma en cuenta la existencia de inflacinSe limita slo a calcular la cantidad de dinero quese alcanzara con un inters especficoEl clculo del valor futuro es de forma tradicional: VF = VP ( 1 + i ) n 110. CANTIDAD REAL DE DINEROUsted deposita $100.000 en una cuenta deahorros con un 10% anual de inters por 8 aos Cul sera la cantidad de dineroque obtendra al finalizar los 8 aos ?VF = VP ( 1 + i ) nVF = 100.000 ( 1 + 0,1 ) 8VF = 214.359 111. PODER ADQUISITIVOEn el ejemplo de la diapositiva anterior, al cabode 8 aos usted tendra ms del doble del dineroque deposit inicialmenteSin embargo, probablemente no ser posiblecomprar el doble de bienes y servicios encomparacin con la situacin inicialDesde luego, en los 8 aos los precios de losbienes y servicios aumentan por la inflacin 112. PODER ADQUISITIVO Cmo es posible comparar el poder de compradel presente con el poder de compra del futuro ?Una solucin es construir una ecuacin de valorequivalente que lleve a valor presente (V),mediante la tasa de inflacin (f), el valor futuro(VF) obtenido con la tasa de inters (i) 113. PODER ADQUISITIVOLlevando a valor futuro el depsito:VF = VP ( 1 + i ) nAhora el valor futuro (VF) se actualiza a su valorpresente (V) equivalente en el poder de compraVFVP ( 1 + i ) nV= (1 + f) n = (1 + f)n 114. TASA DE INTERS REALRepresenta la tasa (ir) a la cual el dinero presenteposee un poder adquisitivo equivalente al deldinero futuro(i f)Tasa de inters real ir =(1 + f)Llegndose ala ecuacin: VP ( 1 + i ) n V =(1 + f) n= VP ( 1 + ir ) n 115. EJEMPLO 17Usted deposita $100.000 en una cuenta de ahorroscon un 10% anual de inters por 7 aosSe espera que la tasa de inflacin sea un 8% anualEncuentre, a travs de dos formas de clculodistintas, la cantidad de dinero que es posibleacumular con el poder de compra actual 116. NMERO DE PESOS DE ENTONCES REQUERIDOSComprar algo en una fecha futura necesita mspesos de los requeridos ahora para dicha compraSe calcula el valor futuro (VF) segn:VF = VP ( 1 + f ) nReconocindose que los precios crecendurante los perodos inflacionarios 117. GANANCIA DE INTERSSOBRE INFLACINMantiene el poder de compra, aadindose laganancia de intersSe utiliza la ecuacin del caso nmero de pesosde entonces requeridos, a la que posteriormentese le agrega la ganancia de inters VF = VP ( 1 + f ) n ( 1 + ir ) n 118. TASA INFLADASe define la tasa inflada (if):if =ir + ( ir f ) + fCumplindose que: VF = VP ( 1 + f ) n ( 1 + ir ) n = VP ( 1 + if ) n