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Matemticas Financiera

Ingeniera Econmica

EIQ 657Primer Semestre 2015Profesor: Luis Vega A

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Valor del dinero en el tiempo

El valor del dinero en el tiempo es el concepto fundamental de la Ingeniera Econmica

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En general, el uso de bienes ajenos con valor intrnseco implica necesariamente un pago por

ese uso

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El dinero como cualquier otro bien, tiene un valor intrnseco. Unhombre puede tener una casa o puede cambiarla por dinero enefectivo, o tener un auto y cambiarlo por dinero en efectivo. Sieste hombre no es dueo de una casa y necesita utilizar una,deber rentarla, es decir, deber pagar por ello; si no posee unauto y necesita utilizar uno, deber pagar una renta, noimportando si es por media hora, como en el caso de un taxi, opor un da o un mes. Del mismo modo, si este hombre no tienedinero y lo necesita, deber pagar cierta cantidad para tenerlo.

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El inters es una medida del valor del dinero en el tiempo,representa el incremento entre la suma originalmente prestadao invertida y la cantidad final debida o acumulada.

Inters y tasa de inters

Para un prstamo

Original Prestamo -Debida CantidadInters

Original Inversin - AcumuladaCantidadInters Para una inversin

6

Cuando se expresa el inters como porcentaje del montooriginal por unidad de tiempo el resultado es la Tasa deInters.

100 original Cantidad

tiempo de unidad por acumulado Inters

PorcentualInters

de Tasa

Junto a la tasa de inters se debe identificar la unidad detiempo usada, a esta unidad de tiempo se le denominaPeriodo de Inters. El periodo ms comnmente empleado esde 1 ao, sin embargo, a menudo se utilizan periodos deinters mas cortos que un ao (inters trimestral, intersmensual, etc.).

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Inters simple e inters compuesto

Cuando se considera ms de un periodo de inters esnecesario distinguir entre inters simple e inters compuesto.

El Inters Simple se calcula considerando el capital inicialsolamente sin considerar las ganancias generadas entrelos periodos.

El calculo con Inters Compuesto considera el capital ylas ganancias obtenidas entre los periodos.

8

Ejemplo 1. Se solicita un prstamo de $1000 a un 14% anual.Cuanto dinero se deber al cabo de 3 aos?

a) Calculo con inters simple.

Fin de Capital Interes Cantidadao adeudada0 1000 10001 140 11402 140 12803 140 1420

420 $ .14)1000)(3)(0 $ ( interes) de tasaperiodos)( de nmero(Capital)(Interes

1420 $ 420 $ 1000 $ )(Intereses (Capital) AdeudadaCantidad

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b) Calculo con inters compuesto.Fin de Capital Interes Cantidad

ao adeudada0 1000 10001 140,00 1140,002 159,60 1299,603 181,94 1481,54

481,54

1481.54 $ 481.54 $ 1000 $ (Inters) (Capital) AdeudadaCandidad

Cantidad adeudada luego de tres aos:

Inters Simple

Inters Compuesto $ 1481.54

$ 1420.00

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Flujos de efectivo o Flujo de cajaUn flujo de efectivo (o flujo de caja) es el resultado neto de losdiversos ingresos de dinero y pagos de dinero (costos) queocurren en ciertos intervalos de tiempo.

Una empresa tiene un flujo de efectivo positivo cuando recibedinero por la venta de sus productos; de igual forma, tendr unflujo de efectivo negativo cuando el dinero salga de la empresa,como cuando paga el sueldo a sus trabajadores.

Ingresos por Ventas + $ 10.000Pago de sueldos - $ 4.000Flujo de Efectivo Neto = $ 6.000

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Un flujo de caja normalmente tendr lugar en algn tiempodentro de un periodo de inters. Comnmente para simplificarse adopta la convencin de fin de periodo que supone quetodos los flujos de dinero ocurren al final del correspondienteperiodo de inters.

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

Fecha real de pago

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

Con el convenio de fin de periodo

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Se acostumbra representar los flujos de efectivo en formagrfica.

Al tiempo se le representa como una lnea horizontal. El iniciodel periodo siempre se ubica en el extremo izquierdo y el finalen el extremo derecho de la lnea. Los flujos de efectivo estarnrepresentados por flechas, con la punta hacia arriba o haciaabajo, segn sea positivo o negativo el flujo analizado.

+

-

0 1 2 3 4 5 6 7 8 Aos

$ 3600

$ 700$ 1800

$ 600

$ 3200

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Formulas de Ingeniera EconmicaLas formulas matemticas de ingeniera econmica general-mente involucran los siguientes trminos:

P : Suma de dinero en el tiempo presente.F : Suma de dinero en algn tiempo futuro.A : Una serie consecutiva e igual de dinero al final

de cada periodo.G : Gradienten : Nmero de perodos.i : Tasa de inters por perodo

14

Tanto P como F son valores sencillos que ocurren una sola vezen el tiempo, expresadas en unidades monetarias, mientrasque A se expresa en unidades monetarias por unidad detiempo.

0 1 2 3 7 8aos

P

F

4 5 6

A A A

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0 1 2 3 n-1 naos

P conocida

F ?

Considerando que se conoce el valor presente de una inversinP y se quiere conocer su valor futuro F al final del periodo n conuna tasa de inters anual i.

El monto de dinero acumulado al final del primer ao seria:

)i1(PiPPF1

16

0 1 2 3 n-1 naos

F2

F ?

Al final del segundo ao la cantidad acumulada F2 ser igual ala acumulada al final del primer ao F1 mas los intereses delsegundo periodo.

2112 )i1(Pi)i1(P)i1(PiFFF

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De la misma forma tenemos que la cantidad de dineroacumulada al final del tercer ao es:

322223 )i1(P)i1()i1(P)i1(FiFFF

De los resultados anteriores se puede generalizar para n aoscomo:

n)i1(PF

Ejemplo 2. Si deposita hoy $ 50.000 en un banco que paga el26% anual. Qu cantidad de dinero habr acumulado al cabode 5 aos, si usted no hace ningn retiro durante dicho tiempo?

790.158$26.01000.50)i1(PF 5n

18

Ejemplo 3. Cuanto debe depositarse hoy en un banco que da un2% mensual para poder retirar dentro de un ao $300.000?

ni11FP

548.236 $02.011300000P 12

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Si conocemos el valor de una serie de pagos o cuotas igualesA en n periodos a una tasa de inters i y queremos conocer elvalor presente P.

0 1 2 3 n-1 naos

P ?

A A A A A A

20

Considerando cada A como un valor futuro para el calculo delvalor presente tenemos:

n1n321 )i1(1A

)i1(1A.........

)i1(1A

)i1(1A

)i1(1AP

0 1 2 3 n-1 naos

P ?

A A A A A A

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11

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Factorizando y reordenado la relacin anterior obtenemos:

0)(i )i1(i

1)i1(AP nn

Ejemplo 4. Cunto debe depositarse hoy en vez de depositarmensualmente $ 3000 en un banco al 2% mensual durante 3aos?

76.467 $ )02.01(02.01)02.01(3000P 36

36

22

1)i1()i1(iPA nn

Ejemplo 5. Un banco otorga un crdito de $5.000.000 a 2 aosa una tasa del 3% mensual. Cul ser el valor del dividendomensual?

295237 $1)03.01()03.01(03.05000000A 24

24

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Para conocer el valor A de la serie de cuotas uniformesequivalentes a un valor futuro F conocido en el periodo n a unatasa de inters i.

0 1 2 3 n-1 naos

F

A A A A A A A?

24

Combinando las dos ecuaciones anteriores:

1)i1(iFA n

n)i1(PF

0)(i )i1(i

1)i1(AP nn

Obtenemos:

Ejemplo 6. Cuanto debe depositar mensualmente en un bancoque da un 3% mensual, para tener acumulado al final de dosaos la suma $5.000.000?

145.237 $1)03.01(

03.0000.000.5A 24

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i

1)i1(AFn

670604.5 $ 02.0

1)02.01(50000F12

Ejemplo 7. Cunto se tendr acumulado al final de un ao enun banco que da un 2% mensual si se hacen depsitosmensuales de $50.000?

26

P

A F

n)i1(PF )i1(i1)i1(AP n

n

1)i1(iFA n

i y n

En resumen:

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En algunos casos se conoce la cantidad de dinero invertida P yla recibida F despus de un numero especifico de aos, y sedesea determinar la tasa de inters o tasa de retorno. La tasade inters desconocida puede determinarse por solucin directade la ecuacin cuando slo estn involucrados un pago nico yuna entrada nica, o una serie uniforme de pagos o entradas.Sin embargo, cuando se trata de pagos no uniformes o variosfactores estn involucrados, el problema debe resolverse pormedio de mtodos de ensayo y error.

28

Ejemplo 8. Si hoy se hace una inversin comercial que de$3.000 para recibir $ 5.000 dentro de 5 aos. Cual sera latasa de retorno sobre la inversin?

1076.0135i i130005000

)i1(PF5

1

5

n

0 1 2 3aos

F =5000

P=3000

i ?

4 5

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En otro casos, se requiere determinar el numero de periodosrequeridos para que una inversin produzca una cantidaddeterminada de dinero.

Ejemplo 9. En cunto tiempo se duplicarn $ 1000 si la tasade inters es de 5% anual?

0 1 2 3 n-1 naos

F=2000

i=5%

P=1000

n ?

30

0 1 2 3 n-1 naos

F=2000

i=5%

P=1000

n ?

n

n

n

05.012

05.0110002000

)i1(PF

Aplicando logaritmo: n=14.2Luego, en 14.2 aos se duplica el capital.

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La mejor herramienta para medir el costo de un crdito o larentabilidad de una inversin la constituye la tasa de intersefectiva. Es comn, que cuando se habla de tasas de inters sehaga referencia a tasa nominales; por esta razn es necesarioaprender a calcular las tasas de inters efectivas con las cualesse medirn los costos de un crdito y la rentabilidad de unainversin.

Tasa de inters nominal y tasa de inters efectiva

32

Las tasas de inters compuestas y simple tiene la mismarelacin que las tasas de inters efectiva y nominal, en lo querespecta a considerar los intereses ganados entre periodos. Ladiferencia esta en que la tasas de inters efectiva y nominal seutilizan cuando el periodo de capitalizacin es menor a un ao.

Cuando se ocupan periodos de capitalizacin menor a un ao se utilizan las tasas de inters

nominal y efectiva

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Tasa de Inters NominalLa tasa inters nominal r es la tasa de inters que noconsidera la capitalizacin de intereses, se define:

periodos) de umeroperiodo)(N por interes de Tasa(r Ejemplo 10. La tasa de inters nominal del 1.8% mensualpuede expresarse como:

a) 5.4% nominal trimestral (1.8% 3).b) 10.8% nominal semestral (1.8% 6).c) 21.6% nominal anual (1.8% 12).

Ejemplo 11. Formas de enunciar la tasa nominal:

a) 6% anual , compuesto mensualmente.b) 4% semestral , capitalizable semanalmente.

Tasa de Inters EfectivaLa tasa de inters efectiva es la tasa real aplicable a un periodode tiempo establecido. La tasa de inters efectiva toma encuenta la acumulacin de inters durante el periodo de la tasanominal correspondiente.

a) Cuando no se especifica un periodo de capitalizacin, la tasade inters es una tasa efectiva, suponiendo que el periodo decapitalizacin es igual al periodo de tiempo especificado.

Ejemplo 12. Interpretaciones de tasas de inters nominal oefectiva:

anual %12

Se interpreta como un 12% efectivo anual compuestoanualmente (o capitalizado anualmente).

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b) Cuando se especifica el periodo de capitalizacin sindeterminar si la tasa de inters es nominal o efectiva, se suponeque est es nominal. Por ejemplo:

entesemestralm compuesto anual, %14

Se interpreta como un 14% nominal anual compuestosemestralmente (o capitalizable semestralmente).

c) Si la tasa de inters se expresa como una tasa efectiva,entonces es una tasa efectiva. Si el periodo de capitalizacin noesta dado, se supone que este periodo de capitalizacincoincide con el periodo establecido.

trimestral efectivo %6Se interpreta como un 6% efectivo trimestral compuestotrimestralmente (capitalizable trimestralmente).

La ecuacin para obtener la tasa de inters efectiva a partir deuna tasa de inters nominal es la siguiente:

cincapitaliza de periodos de numero m periodo por interes de nominal tasa r perodo por efectiva interes de tasa i

:Donde

1mr1i

m

En esta ecuacin tanto i como r deben ser expresados con elmismo periodo de capitalizacin.

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Ejemplo 13. Un banco anuncia que su tasa de inters nominalpara prestamos es 5% trimestral. Calcule:

anual%55.212155.01

420.01i

anual%20trimestre4trimestral%5r4

semestral%25.101025.01

210.01i

semestral%10trimestres2trimestral%5r2

a) Tasa de inters efectiva semestral

b) Tasa de inters efectiva anual

38

A medida que el periodo de capitalizacin disminuye, el valor dem, nmero de periodos de capitalizacin por periodo de inters,aumenta. Cuando el inters se capitaliza en forma continua, mse acerca a infinito la frmula de la tasa de inters efectivapuede escribirse de una nueva forma.

1mr1i

m

Considerando la definicin de la base del logaritmo natural.

...71828.2eh11lim

h

h

Tasa de inters efectiva continua

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Aplicando limite a la ecuacin del inters efectivo cuando mtiende al infinito:

1mr1limilim

m

mm

Tomando:h1

mr

1h11limilim1

h11limilim

rh

mm

rh

mm

Luego:

1ei r Esta ecuacin se utiliza para calcular la tasa de inters efectivacontinua.

40

Ejemplo 14. Cul es la tasa inters efectiva continua anual deuna tasa nominal del 15% anual?

1618.01ei 15.0 ) % 18.16 (Ejemplo15. Si un inversionista exige un retorno efectivo de porlo menos el 15% sobre su dinero, Cul es la tasa mnima anualnominal aceptable si tiene lugar una capitalizacin continua?

15.01er 15.1er

)15.1( ln)e( ln r 14.0r

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Periodos de pago menores que el periodo de capitalizacin

Es muy importante distinguir entre periodo de capitalizacin y periodo de pago porque en

muchos casos pueden no coincidir.

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Ejemplo 16. Si una empresa deposita dinero cada mes en unacuenta que paga un inters nominal del 14% anual capitalizadosemestralmente.

meses. seis es cincapitaliza de periodo Elmes. un es pago de periodo El

Meses1 2 3 4 5 6 7

Periodo de capitalizacin

0

Periodo de pago

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Para los casos donde los periodos de pago son menores que elperiodo de capitalizacin, existen varios caminos para calcularel valor presente o valor futuro, dependiendo de lassuposiciones hecha respecto al manejo de los pagos hechosentre los periodos de capitalizacin.

No hay un inters pagado sobre el dinero depositado oretirado entre los periodos de capitalizacin.

El dinero depositado o retirado entre los periodos decapitalizacin gana un inters simple.

Todas las transacciones entre los periodos ganan uninters compuesto.

1.

2.

3.

44

Caso 1. Si no se paga inters sobre las transacciones entre losperiodos, entonces se considera que cualquier cantidad dedinero depositado o retirado entre los periodos de capitalizacinha sido depositada al final del periodo de capitalizacin oretirada al principio de dicho periodo. Esta es la manerahabitual de operacin de los bancos e instituciones de crdito.

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45

Ejemplo 17. Considerando el siguiente diagrama de flujo decaja y capitalizacin trimestral.

0 1 32 4 5 6 7

120

8 9

10

11

12

150200

75 10050

meses

90 45

0 1 32 4 5 6 7 8

9

10 11 12

150 200175

50meses

16590

46

El segundo diagrama de flujo de caja que se muestraanteriormente, es la disposicin que toma el primer diagramade flujo de caja, para el calculo del valor presente o valor futuropara un periodo de capitalizacin trimestral y suponiendo nopago de intereses sobre el dinero depositado o retirado entreperiodo de capitalizacin.

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Caso 2. Para el caso donde cualquier cantidad de dinero quese deposite o retire entre periodos de capitalizacin ganainters simple; con el objeto de obtener el inters ganado en elinterperiodo, cada depsito debe multiplicarse por:

iNM

cin.capitaliza de perodo por inters de tasa : icin.capitaliza de periodo del final al anteriores perodos de nmero : M

cin.capitaliza de perodo un en perodos de nmero : N:Donde

48

Ejemplo 18. Calcule la cantidad de dinero que habra en lacuenta de ahorro de una persona despus de 12 meses, si sehan hecho depsitos como lo muestra la figura. Supongase queel banco paga 6% anual capitalizable semestralmente e interssimple sobre depsitos interperidicos.

0 1 32 4 5 6 7

F ?

8 9 10 11 12

100 9080 75 85

70meses

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25

49

0 1 32 4 5 6 7

F ?

8 9 10 11 12

100 9080 75 85

70meses

273.85 $ 8003.063909003.0

65100100F6

Primero se calcula la cantidad de dinero que se acumula encada periodo de capitalizacin (cada seis meses) utilizando unatasa del 3% semestral:

50

La cantidad acumulada el segundo periodo de capitalizacin es:

233.93 $ F

03.061707003.0

64858503.0

657575F

12

12

0 1 32 4 5 6 7

F ?

8 9 10 11 12

7585

70meses

273.85

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El valor futuro F al final del ao ser:

516.0 $93.233)03.01(85.273F 1

Con lo que el diagrama de flujo de caja se reduce:

0 1 32 4 5 6 7

F ?

8 9 10 11 12

273.85

meses

233.93

Equivalencia Econmica

Diferentes sumas de dinero en diferentes tiempos pueden tener igual valor econmico

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Comnmente los flujos de caja encontrados en los problemasdel mundo real, no se ajustan a los flujos de caja con los cualesdeducimos las ecuaciones financieras encontradas anterior-mente, por lo que ser necesario combinar estas ecuacionesa fin de resolver estos problemas.

Aplicacin de factores mltiples

0 1 2 3 4 5 6 7 8

60 000

1 100 000

i = 8%

50 000

80 000 200 000

54

No es posible comparar cantidades de dinero ubicadas endiferentes tiempos debido a las diferencias en el poderadquisitivo que se tiene en el tiempo.

Para comparar en forma valedera cantidades diferentes dedinero ubicadas en distintos periodos se necesita reducir estascantidades a una base comn; es decir transportar estascantidades a una misma ubicacin en el tiempo, esto se conocecomo mecanismo de movilizacin o transformacin dedinero en el tiempo.

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Ejemplo 19. Si deposita $600 hoy, $300 dos aos mas tarde y$400 dentro de cinco aos. Cuanto tendr en su cuenta dentrode 10 aos, si la tasa de inters es 5% anual?

10 2 3 4

F?

5 6 7 8i =5%

$600$300 $400

9

10

Trasladamos todos los depsitos al ao 10 para determinar F.

1931)05.01(400)05.01(300)05.01(600F 5810

56

Factores de Gradiente AritmticoUn gradiente aritmtico es una serie de flujos de efectivo queaumenta o disminuye en una cantidad constante.

Es preciso derivar una nueva formula

Primero se supone que el flujo de efectivo al final del ao 1 noforma parte de la serie del gradiente, sino que es una cantidadbase.

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.............

0 1 2 3 4 n-1 n

1000 11001200

1300

1000 + (n-2)100 1000 +

(n-1)100100G Donde:

58

Si se ignora la cantidad base, se puede construir un diagrama deflujo de efectivo del gradiente creciente:

.............

0 1 2 3 4 n-1 n

G

2G

(n-2)G(n-1)G

5

3G

4G

n1n432 i11n

i12n.....

i13

i12

i11GP

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30

59

Multiplicando ambos lados de la ecuacin por (1+i):

1n2n321 i11n

i12n.....

i13

i12

i11Gi1P

nn1n321 i1nG

i11

i11.....

i11

i11

i11GiP

Restando a esta ecuacin la ecuacin anterior:

0)(i )i1(i

1)i1(n

n

nn

n

i1nG

)i1(i1)i1(GiP

60

Luego:

nnn

i1n

)i1(i1)i1(

iGP

Ejemplo 20. Un estudiante de ingeniera patenta un invento.Espera obtener ingresos de US$ 80000 por los derechos deluso de la patente el prximo ao. Se espera que los ingresospor los derechos se incremente de manera uniforme hasta unnivel de US$ 200000 en nueve aos. Determine el gradientearitmtico.

1nAumentoG

15000 $1980000200000G

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61

Para convertir un gradiente aritmtico G en una anualidaduniforme A.

62

nnn

i1n

)i1(i1)i1(

iGP

)i1(i1)i1(AP n

n

nn

n

n

n

i1n

)i1(i1)i1(

iG

)i1(i1)i1(A

1)i1(

ni1GA n

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32

63

Para derivar el valor futuro F de un gradiente aritmtico G:

nnn

i1n

)i1(i1)i1(

iGP n)i1(PF

ni

1)i1(iGF

n

64

El valor presente total PT para una serie gradiente debeconsiderar por separado la base y el gradiente.

La cantidad base es la cantidad A de serie uniforme queempieza en el ao 1 y se extiende hasta el ao n. Su valorpresente se simboliza con PA.

Para un gradiente creciente, la cantidad gradiente debeagregarse a la cantidad de la serie uniforme. El valor presentees PG.

Para un gradiente decreciente, la cantidad gradiente deberestarse de la cantidad de la serie uniforme. El valor presentees -PG.

As:GAT PPP y GAT PPP

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33

65

De manera similar, las series anuales totales equivalentes son:

GAT AAA y GAT AAA

66

Factores de Gradiente GeomtricoEs comn que las series de flujo de efectivo, tales como loscostos de operacin y los ingresos, aumenten o disminuyan deun periodo a otro en un porcentaje constante, por ejemplo, 2%anual.

Tasa de cambio constante, en forma decimal, mediante lacual las cantidades aumentan o disminuyen de un periodoal siguiente.

g :

02-03-2015

34

67

n

1ni

4

3i

3

2i

2i

1i

i1g1A.....

i1g1A

i1g1A

i1g1A

i1AP

n

1n

4

3

3

2

21i i1g1.....

i1g1

i1g1

i1g1

i11AP

Multiplicando ambos lados por (1+g)/(1+i), restando a la ecuacinanterior y factorizando por P, se obtiene:

68

i1

1i1g1A1

i1g1P 1n

n

i

Simplificando:

i)(g gi

i1g11

AP

n

i

Cuando i = g se tiene:

i1nAP i

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35

69

Ejemplo 21. Una ingeniera qumica que planea su jubilacindepositara 10% de su salario cada ao en un fondo accionario.Si este ao su salario es de $60000 (al final del ao 1) y esperaque se incremente 4% cada ao, Cul ser el valor presentedel fondo despus de 15 aos si rinde 4% anual?

Cuando g = i se tiene:

i1nAP i

86538 $04.01

15)1.0)(60000(P

70

Problemas Resueltos

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36

71

0 1 2 3 30292827

A=1000

F?

164494 $1.0

11.011000F

i1i1AF

30

n

Problema N1. Si se efectan depsitos anuales de $1000 enuna cuenta de ahorro durante 30 aos empezando dentro de 1ao. Cunto habr en la cuenta inmediatamente despus quese efecta el ultimo deposito, si est paga inters a una tasaanual de 10%?

72

Problema N2. Un banco anuncia que su tasa de inters paraprestamos es 2% nominal mensual. Calcule la tasa de intersefectiva semestral.

%62.121262.01612.01i

semestral%12meses6mensual%2r

6

1mr1i

m

02-03-2015

37

73

Problema N3. Que tasa de inters nominal trimestral esequivalente a una tasa anual efectiva de 6%?

trimestral%467.101467.0106.1r1

44r106.0

41

4

1mr1i

m

74

Problema N4. Interprete las siguiente expresiones de inters yestablezca si el inters es nominal o efectivo, adems deindicar el periodo de capitalizacin.

a) 15% anual, compuesto mensualmente.Tasa Periodo de

CapitalizacinNominal Mensual

b) 15% anual.Tasa Periodo de

CapitalizacinEfectiva Anual

c) 20% anual, compuesto trimestralmente.Tasa Periodo de

CapitalizacinNominal Trimestral

02-03-2015

38

75

c) 2% nominal mensual, compuesto semanalmente.Tasa Periodo de

CapitalizacinNominal Semanal

d) 2% mensual, compuesto mensualmente.Tasa Periodo de

CapitalizacinEfectiva Mensual

e) 2% efectivo mensual, compuesto diariamente.Tasa Periodo de

CapitalizacinEfectiva Diaria

f) 1% semanal, compuesto continuamente.Tasa Periodo de

CapitalizacinNominal Continua

76

Problema N5. Si usted ha depositado US$ 700 anuales durante8 aos. A partir del noveno ao aument sus depsitos US$1200 anuales durante 5 aos. Cuanto dinero tendr en sucuenta inmediatamente despus que hizo su ltimo depsito sila tasa de inters es 15% anual?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

F?

A` = 700 A``= 1200

i = 15%

02-03-2015

39

77

Transformamos las anualidades de US$ 700 en un valor futuroubicado en el ao 8.

9608.8 US$ 15.0

1)15.01(700F8

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

F?

A``= 1200

i = 15%

F8 = 9608.8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

F?

A` = 700 A``= 1200

i = 15%

78

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

F?

A``= 1200

i = 15%

F8 = 9608.8

Calculo del valor futuro en el ao 13 de las anualidades de US$1200.

8090.9 US$ 15.0

1)15.01(1200F5

13

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

F?i = 15%

F8 = 9608.9 F13 = 8090.9

02-03-2015

40

79

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

F?i = 15%

F8 = 9608.9 F13 = 8090.9

Luego:

27417.8 $US9.8090)15.01(9.9608F 5

80

Problema N6. Una compaa petrolera esta planeando venderuna cantidad de pozos petrolferos en produccin. Se esperaque los pozos produzcan 100000 barriles de petrleo por ao,durante 11 aos ms. Si el precio de venta por barril esactualmente de US$ 35, cunto estara usted dispuesto apagar por los pozos si se espera que el precio del petrleoaumenta US$ 3 por barril cada 3 aos, con el primer aumentodespus del 2 aos? Suponga que la tasa de inters es 12%anual para los primeros 4 aos y 15% por ao despus y quelas ventas de petrleo se hacen al final de cada ao.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11i = 15%i = 12%

35 38 41 44

02-03-2015

41

81

443

35

413

35

415

22

25

2

25

12.011

15.011

)15.01(15.01)15.01(1044

12.011

15.011

)15.01(15.01)15.01(1041

12.011

15.0111038

12.011

)12.01(12.01)12.01( 1038

)12.01(12.01)12.01(1035P

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11i = 15%i = 12%

35 38 41 44

)i(i

)i(AP nn

111

82

)6355.0)(5718.0)(2832.2(1044 )6355.0)(8696.0)(2832.2(1041

)6355.0(8696.01038)7972.0(6901.11038 6901.11035P

5

5

55

5

5106.219 $USP

02-03-2015

42

83

5

5

5

5

55

5

5

5

5

5

10219.6 US$ P0.63550.57182.28321044

0.63550.86962.28321041 0.63550.86961038

0.79721.690110381.69011035P4 12%, P/F,4 15%, P/F,3 15%, P/A,1044

4 12%, P/F,1 15%, P/F,3 15%, P/A,1041 4 12%, P/F,1 15%, P/F,1038 2 12%, P/F,2 12%, P/A,1038

12%,2 P/A,1035P

Resolucin utilizando factores sacados de las Tablas de Inters.

84

Problema N7. Calcule la cantidad de dinero que habra en lacuenta de ahorro de una persona despus de 12 meses, si sehan hecho depsitos y retiros como lo muestra la figura.Suponga que el inters que paga el banco es 8% anualcapitalizable trimestralmente. Considere inters simple sobrelos depsitos interperidicos y no considere pago de intersinterperidicos para los retiros.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

9001700

11 12

900 1100

800

1500800

1000 F ?

mes

02-03-2015

43

85

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

9001700

11 12

900 1100

800

1500800

1000 F ?

mes

02.0408.0i

1812900]02.032900900[D3

3.1107]02.03111001100[D6

2310800]02.03115001500[D9

86

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1700

11 12

18121107,3

800

2310

1000 F ?

mes

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1700

11 12

1012107,3

2310

F ?

mes

0.02)(1 23100.02)(1 3.1070.02)(1 10120.02)(1 1700F 234 91.5381F

02-03-2015

44

87

Problema Resueltos en Clases

88

Problema N1. Un estudiante previsor planea tener un ahorropersonal por un total de US$ 1.000.000 cuando se jubile a los65 aos de edad. Ahora tiene 20 aos. Si la tasa de intersanual en promedio ser 7% durante los prximos 45 aos parasu cuenta de ahorro, Qu cantidad uniforme debe ahorrar alfinal de cada ao para cumplir su objetivo?

Problema N2. Qu tasa de inters es mejor: 20% anualcompuesto anualmente o 18% anual compuesto cada hora?Asuma un ao de 8760 horas.

02-03-2015

45

89

Problema N3. Para los siguientes flujos de efectivo, calcule elvalor presente y el valor anual uniforme equivalenteconsiderando i=10% anual.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1200 1400 1600

$

800300

200700

aos

90

Problema N4. Una importante compaa manufactureracompr una maquina semiautomtica por US$ 13000. Sumantenimiento anual y el costo de operacin ascendieron aUS$ 1700. Despus del quinto ao de la adquisicin inicial, lacompaa decidi comprar una unidad adicional para que lamquina fuera totalmente automtica. La unidad adicional tuvoun costo original de US$ 7100. El costo de operacin de lamquina en condiciones totalmente automticas fue US$ 900anuales. Si la compaa us la mquina durante un total de 16aos y luego vendi la unidad automtica en US$ 1800. Cuales la cuota anual uniforme equivalente de la mquina a unatasa de inters de 9% anual?

02-03-2015

46

91

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

A` =1 700

14 15 16

A``= 900

7100

1800

13000

Problema N5. Un prstamo de $ 60.000.000 es pagado en 20cuotas anuales, donde la primera cuota se paga a partir deltercer ao. Determine el valor de la cuota, si la tasa de interses del 10% anual capitalizable bimensualmente.

0 1 2 3 4 5 6 7 222120

A

$ 60.000.000

02-03-2015

47

Problema N6. Calcule el valor futuro de los flujos de efectivoque se muestran en el siguiente diagrama. Donde las tasas deinters son 10%, 12% y 14% anuales.

1 2 3 4 5 6 7 8 90 10

10% 12% 14%

$ 12000

$ 5000$ 8000

$ 4000

94

Problema N7. Calcule el valor presente de los depsitos yretiros que muestra la figura. Suponga que el inters que pagael banco es 10% anual capitalizable semestralmente. Considereinters simple sobre los depsitos interperidicos y noconsidere pago de inters interperidicos para los retiros.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

9001700

11 12

900 1200

700

1500800

10002000

mes

600

02-03-2015

48

95

Problema N8. Texaco espera que los ingresos provenientes depozos stripper (aquellos que producen menos de diez barrilesdiarios) disminuyan de acuerdo con un gradiente aritmtico de$50000 por ao. Estos ingresos anuales se espera sean de$280000 (es decir, al final del ao 1), y la compaa espera quela vida til de los pozos sea de cinco aos.

Cul es el monto del flujo de efectivo en el ao 3?a)

Cul es el valor anual uniforme equivalente en los aos 1 a5 del ingreso que generan los pozos, con una tasa deinters de 12% anual?

b)

96

Problema N9. Un fabricante de ladrillos refractarios quecomienza sus operaciones espera gastar $ 1000000 el primerao por concepto de publicidad, con cantidades que disminuyen$ 100000 cada ao. Se espera que el ingreso sea de $ 4000000el primer ao y que aumenten $ 500000 anualmente. Determineel valor anual equivalente en los primeros 5 aos con una tasade inters del 16%.

Problema N10. Una ingeniera qumica que planea su jubilacindepositara 10% de su salario cada ao en un fondo accionario.Si este ao su salario es de $60000 (al final del ao 1) y esperaque se incremente 4% cada ao, Cul ser el valor presentedel fondo despus de 15 aos si rinde 4% anual?

02-03-2015

49

97

Problema N11. Calcule el valor presente (ao 0) de un arriendoque requiere hoy un pago de $20 000, cantidad que seincrementan anualmente 5% hasta el ao 10. Utilice una tasa de14% de inters anual.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

20000

g=0.05 i=0.14

98

Problema Propuestos

02-03-2015

50

99

Problema N1. Determinar la Cuota Anual Uniforme Equivalente(A) del siguiente flujo de efectivos que se muestra en la figura,donde las cantidades estn en millones de pesos. La tasa deinters es del 12% anual.

0 1 2 3 4 5 aos

100

15

343434 3434

6 7 8 9 10

62 62 62

100

Problema N2. Calcule la cantidad de dinero que habra en lacuenta de ahorro de una persona despus de 12 meses, si sehan hecho depsitos y retiros como lo muestra la figura.Suponga que el inters que paga el banco es 12% anualcapitalizable semestralmente. Considere inters simple sobre losdepsitos interperidicos y no considere pago de intersinterperidicos para los retiros.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12meses

$ 1000 $ 2000 $ 3000 $ 1000

$ 1000 $ 2000 $ 3000 $ 4000 $ 2000 $ 5000

02-03-2015

51

Problema N3. Un retiro del banco de $40000 es cancelado con8 anualidades iguales, que parten el ao 3, luego de lo cual, elbanco devuelve $2000. Lo que se muestra en el siguientediagrama de flujo de efectivo. Determine el valor de Aconsiderando las tasas de inters anual que figuran.

A A A A A A A A

$ 40000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10% 20% 30%

$ 2000

aos

102

Problema N4. Cuanto dinero debo depositar hoy para quepueda retirar $ 6000 cada ao durante los primeros 8 aos, $8000 cada ao por los siguiente 9 aos y $ 4000 cada ao porlos 3 aos posteriores. La tasa de inters anual es del 12%.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Aos

$ 8000

$ 4000

P

i=0.12

11 12 1314 15 16 1718 19 20

$ 6000

02-03-2015

52

103

Problema N5. Calcule el valor presente de los flujos de efectivoque se muestran en el siguiente diagrama. Donde las tasas deinters son 8%, 10% y 12% anuales.

1 2 3 4 5 6 7 8 90 10

8% 10% 12%

$ 2000

$ 500$ 1000

104

Problema N6. Determine la anualidad uniforme equivalentepara los 20 aos de los flujos de dinero que muestra la siguientefigura. Donde se hacen depsitos el ao cero de $ 7000, el ao5 de $ 4500 y el ao 20 de $ 1800. Mientras se hacen retirosiguales todos los aos a partir de ao 8 hasta el ao 20 inclusivede $ 3800. Considere una tasa de inters del 10% anualcapitalizable mensualmente.

0 52 431 109876 11 12 17 19 2018

$ 3800 anuales

aos

$ 7000 $ 4500

$ 1800

02-03-2015

53

105

Problema N7. El ingreso por concepto del reciclado de cartn seha estado elevando a una tasa constante de $1000 en cada unode los tres ltimos aos. Si el de este ao (es decir, al final delao 1) se espera sea de $ 4000, y la tendencia de incrementocontina hasta el ao 5:

Cul ser el ingreso dentro de tres aos (es decir, al finaldel ao 3)?

a)

Cul es el valor presente del ingreso durante el periodo decinco aos, con una tasa de inters de 10% anual?

b)

Respuesta: a) $6000 y b) $22025.

106

Problema N8. Para el flujo de efectivo que se muestra acontinuacin, determine el valor de G que har que el valorfuturo en el ao 4 sea igual $ 6000 a una tasa de inters anualdel 15%.

Ao 0 1 2 3 4Flujo de efectivo 0 200 200 + G 200 + 2G 200 + 3G

Respuesta: $601.94

02-03-2015

54

107

Problema N9. Determine cunto dinero habra en una cuenta deahorros que comenz con un depsito de $2 000 en el ao 1, ycantidades posteriores que se incrementaban 10% cada ao.Use una tasa de inters de 15% anual y un periodo de sieteaos.

Respuesta: $ 28452.

Problema N10. Determine el valor presente de una mquinaque tiene un costo inicial de $29000, con vida til de 10 aos yun costo de operacin anual de $13000 durante los cuatroprimeros aos, con incrementos de 10% de entonces enadelante. Emplee una tasa de inters de 10% anual.

Respuesta: $ 123483.

108

Anexos

02-03-2015

55

109

Uso del ExcelCalculo del Valor Futuro dado el Valor Presente.Ejemplo. Si se depositan en el banco $ 50000 cuanto setendr en 5 aos ms a una tasa del 20% anual.

PosesionarseClick

110

Abrir la pestaa

02-03-2015

56

111

Click

112

Buscar la funcin VF

02-03-2015

57

113

Click

114

02-03-2015

58

115

Click

116

Resultado

02-03-2015

59

117

Calculo del Valor Presente dado el Valor Futuro.

Ejemplo. Cuanto se tendr que depositar hoy para tener enel banco $ 50000 luego de 3 aos con una tasa de inters del20% anual?. 1

2

3

118

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60

119

Resultado

120

Calculo de la Anualidad dado el Valor Futuro.Ejemplo. Cunto dinero se tiene que depositar anualmenteal 5.5% para tener $6000 en siete aos?

1

2

3

02-03-2015

61

121Click

122

Resultado

02-03-2015

62

123

Calculo de la tasa de inters.Ejemplo. Un banco ofrece depositar $500 anuales para luegode 15 aos tener $10000. Cul es la tasa de intersofrecida?

1

2

3

124Click

02-03-2015

63

125

Resultado

126

Otra forma de calcular la tasa:

02-03-2015

64

127

1

2

3

Click

128Click

02-03-2015

65

129

Posesionarse en el primer flujo de efectivo

Marcamos todo el rango de flujos de efectivo

130

130

Click

02-03-2015

66

131

Click

132

Resultado

02-03-2015

67

133

Ejemplo. En cunto tiempo se duplicarn $ 1000 si la tasade inters es de 5% anual?

Calculo del numero de periodo.

1

2

3

134

Click

02-03-2015

68

135

Resultado

n)i1(PF

ni11FP

n

n

)i1(i1)i1(AP

1)i1()i1(iPA nn

Factor Cantidad CompuestaPago Unico (FCCPU).

Factor Valor Presente Pagonico (FVPPU).

Factor Valor Presente SerieUniforme (FVPSU).

Factor de Recuperacin deCapital (FRC)

Factores de Inters

02-03-2015

69

137

1)i1(

iFA n

i

1)i1(AFn

Factor Fondo de Amortiza-cin (FFA).

Factor Cantidad Com-puesta Serie Uniforme(FCCSU).

138

Tablas de Factores de Inters

Para simplificar los clculos rutinarios de Ingeniera Econmicaque involucran los factores anteriormente vistos, se disponende tablas de valores de factores para tasas de inters desde0.5% hasta el 50% y periodos de pago desde 1 hasta 100.Esta tablas de encuentran en el Apndice A del texto gua.

Algunas veces es necesario localizar el valor de un factor parauna tasa de inters i o un ao n que no aparece en las tablasde inters. Para estos casos:

Usar las formulas deducidas. Interpolar en la tabla. Calculadoras con factores programados.

02-03-2015

70

139

Notacin Estndar con Tablas de Inters

n i%, Y, / XLo que se quiere

encontrar

Lo dado (conocido)

La tasa de inters en porcentaje

Numero de periodos involucrados

)20%,6,P/F(

Significa obtener el factor que al ser multiplicado por un P dadopermita encontrar la cantidad futura F que se acumulara en 20periodos si el inters es del 6% por periodo.