Matemáticas FinancierasINTERÉS COMPUESTO

Objetivos

Brindar los conocimientos necesarios en el manejo de los factores que intervienen en el calculo del interés compuesto. Con los análisis matemáticos que conducen al desarrollo de las formulas para el calculo de los montos tasas y tiempo.

Sistema de conocimientos

Introducción

Valor futuro a interés compuesto

Comparación entre interés simple e interés compuesto.

Tasa nominal y tasa equivalente.

Ejercicios

Interés compuesto

El interés compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (c) o principal a una tasa de interés (i) durante un periodo (t) en el cual los intereses que se obtienen al final de cada periodo de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial, es decir se capitalizan, produciendo un capital final (Ct)

Calculo de interés compuesto

Año Deposito inicial

Interés Saldo

O $1,000.000 ($1,000.000*10%)= $100.000

$1,100.000

1 $1,100.000 ($1,100.000*10%)= $110,000

$1,210.000

2 $1,210.000 ($1,210.000*10%)=$121,000

$1,331.000

3 $1,331.000 ($1,331.000*10%)= $133.100

$1,464.100

4 $1,464.100 ($1,464.100*10%)=$146,410

$1,610.510

Calculo de interés compuesto

Formula utilizada para calcular el interés compuesto.

VF= VP* (1+ r) ^n

(1,000)(1+0.10)^5= $1,610.51

Se multiplica el préstamo inicial por (1+ tasa de interés) para calcular el “préstamo final”.

Ejemplos

Calcular el monto, el interés simple y el interés compuesto de un capital de $4,000.000 a una tasa de interés del 10% durante 6 periodos.

Calculo a interés simple:

I= Cit ; I= 4,000.000(0.10)(6)= $2,400.000

M= C(1+it)= 4,000.000 (1+0.10(6))= $6,400.000

Calculo a interés compuesto:

(Para el primer periodo)

M= 4,000.000 (1+0.10(1))= $4,400.000

(Para el segundo periodo)

M= 4,400.000(1+0.10(1))= $4,840.000

(Para el tercer periodo)

M= 4,840.000 (1+0.10(1))= $5,324,000

Puede notarse la diferencia, en el mismo tiempo y con la misma tasa de interés, del monto total que producen:

Monto con interés simple: $6,400.000

Monto con interés compuesto: $7,086.244

En el siguiente cuadro se demuestra el comportamiento del interés simple y el interés compuesto y sus respectivos montos:

Interés simple vs Interés compuestoPeriodo Monto

interés simple

Interés Monto interés compuesto

Interés Diferencia

1 4,400.000 400.000 4,400.000 400.000

2 4,800.000 800.000 4,840.000 840.000 40.000

3 5,200.000 1,200.000 5,324.000 1,324.000 124.000

4 5,600.000 1,600.000 5,856.400 1,856.400 256,400

5 6,000.000 2,000.000 6,442.040 2,442.040 442.040

6 6,400.000 2,400.000 7,086.244 3,086.244 686.244

Interés simple vs Interés compuesto

1 2 3 4 5 6

Comportamiento del interès

Interes simple Interes compuesto

Monto del interés compuesto

El monto de un capital a interés compuesto, o monto compuesto, es el valor del capital final o capital acumulado después de sucesivas adiciones de los interés.

A la diferencia entre el monto de interés compuesto, se parte de un ejemplo en el que se conoce el capital, la tasa de interés y el numero de periodos de capitalización.

Ejemplo

Calcular el monto de un capital de $200,000 a interés compuesto durante 5 años, si la tasa de interés es del 12% anual capitalizable en la siguiente forma:

Tasa del 12% efectiva:

M= 200,000(1+0.12)^5= $352,468.34

Tasa del 12% anual capitalizable semestralmente:

M= 200,000(1+0.12/2)^10= $358,169.54

Tasas equivalentes

Tasa nominal es aquella que puede ser capitalizable varias veces en un año y se denomina (j). Tasa efectiva de interés es la que realmente actúa sobre el capital una vez en el año y se denomina (i).

Se dice que dos tasas anuales de interés con diferentes periodos de conversión (capitalización) son equivalentes si producen el mismo interés compuesto al final de un año.

Ejemplo

Un capital de $1 al 18% anual capitalizable mensualmente, será:

M= 1(1+0.18/12)^12= 1(1.05)^12= 1(1.1956182)

M= $1.1956182

A una tasa de interés efectiva del 19.56182%:

M= 1(1+0.1956182)= 1(1.1956182)

M= $1.1956182

En este ejemplo se puede apreciar que la tasa nominal, 18% anual capitalizable mensualmente, es equivalente a la tasa efectiva del 19.56182%, puesto que las dos producen el mismo resultado.

Formula de equivalencia tasa nominal/efectiva

El monto de 1$ a la tasa i en un año, es:

i(1+i)= 1+i= M

El monto de $1, a la tasa j con m capitalizaciones en el año, es:

M=(1+j/m)^m

(1+i)= (1+j/m)^m

Que es la ecuación de equivalencia, que relaciona una tasa efectiva con una tasa nominal capitalizable varias veces en el año, y viceversa con tasas de interés vencidas.

Ejemplo

¿A que tasa efectiva de interés equivalente una tasa nominal del 18% anual capitalizable trimestralmente?

(1+i)= (1+0.18/4)^4

(1+i)= (1+0.045)^4

(1+i)= 1.1925186

i= .11925186 – 1= 0.1925186

i= 19.25186%

¿A que tasa nominal capitalizable trimestralmente es equivalente una tasa efectiva del 19.25186%?

(1+0.1925186)= (1+j/4)^4

(1.1925186)= (1+j/4)^4

(1.192518)^1/4= (1+j/4)^4/4

1.045= 1+j/4

1.045-1= j/4

0.045= j/4

4(0.045)= j

j= 0.18 j= 18%