MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Valor del Dinero en el Tiempo

•Es el cambio en la cantidad de dinero en un período de tiempo.

•Ej: Si invertimos dinero hoy mañana habremos acumulado más dinero que el que teníamos originalmente. ¿Por qué?

•Una persona que cuenta con dinero para gastarlo hoy, estará dispuesta a esperar por hacer uso de este derecho sólo si se lo compensa debidamente por éste sacrificio.

•Una persona que hoy no cuenta con dinero, pero que si lo tendrá en el futuro, estará dispuesta a pagar por tener el privilegio de contar con este dinero hoy.

Valor del dinero

El valor del dinero se refiere al poder adquisitivo que éste tiene en el tiempo.

La manifestación del valor del dinero en el tiempo se conoce como interés.

Interés = Monto Final – Principal Original

Al capital también se le conoce como Principal, valor presente ó valor actual.

Sinónimos de monto son: Valor futuro, valor acumulado, montante.

Valor del dinero

El número de días (meses, años u otros) que transcurren entre las fechas inicial y final de una operación financiera se le llama plazo ó tiempo.

•Es la evidencia del valor del dinero en el tiempo. Es la medida del incremento entre la suma originalmente prestada o invertida y la cantidad final debida o acumulada.

•Ejemplo: Pido prestado 100.000 y tengo que devolver 105.000. El interés pagado es 5.000

•Cuando el interés se expresa como porcentaje del monto original por unidad de tiempo se obtiene la tasa de interés.

Tasa de Interés = Interés Acumulado por Unidad de Tiempo X 100%Cantidad Original

Interés

Es el incremento entre una suma original de dinero prestado y la suma final debida, o la suma original poseída (o invertida) y la suma final acumulada.

Este incremento se puede expresar porcentualmente:

Interés

100Inicial Monto

Interés (%) Interés de Tasa

Ej. Si invierto Q. 300.00 y al termino de un año recibo Q. 315.00, entonces el valor presente C = Q 300.00, el monto M = Q. 315.00 y los intereses la diferencia entre los dos es decir I = Q. 315.00 – Q. 300.00 ó I = Q.15.00.

Interés

5% 100300

15 (%) Interés de Tasa

Análisis Cuantitativo

•VP = Cantidad de Dinero con que se cuenta hoy.

•VF = Su equivalente dentro de un tiempo.

•VF = VP + VP*i

= (1 + i)*VP

•Donde i : tasa de interés.

•El interés es el pago que se debe hacer por transformar VP en VF, por trasladar dinero de tiempo presente a tiempo futuro.

Interés Simple

El Interés Simple se calcula utilizando sólo el principal, ignorando cualquier interés causado en los periodos de interés o de capitalización anteriores.

Para calcular el valor futuro de una cantidad aplicando interés simple, se debe utilizar la siguiente fórmula:

niVPVF 1

Interés Simple

Ej. Se consigue un préstamo por Q. 3,000.00 a dos años de plazo , con una tasa simple bimestral del 3% ¿cuanto pagará al final de los dos años por el préstamo recibido?

4080.1203.013000 QVF

Interés Simple

Ej. Cuánto debe invertirse ahora con un tipo de interés del 13% simple semestral para disponer de dos millones y medio de quetzales de tres años?

613.012500 C

49.140478.12500 C

Interés Simple

Ej. ¿En cuanto tiempo se triplica una inversión con un tipo de interès del 23%?

Si se denomina con C al capital inicial, entonces el monto al final del plazo es el triple de C, es decir M = 3C tendremos:

dìasmesesañosn

n

n

nCC

10,8,86956.8

23.0/2

)23.0(13

23.013

Descuento Simple

El compromiso para liquidar un préstamo se formaliza mediante un documento ó pagaré que ampara una cantidad mayor que se llama: valor nominal.

Al negociar el documento antes de la fecha de vencimiento ofreciéndolo a un tercero a un precio menor que la cantidad estipulada en el mismo, ocurre un DESCUENTO.

El descuento puede ser evaluado como:a) Descuento real.b) Descuento comercial.

Descuento Simple

Descuento real: se calcula en base al capital del valor nominal del documento en el momento en que se negocia, usando la fórmula del interés simple.

Descuento comercial:Se calcula tomando como base el valor futuro del capital recibido en préstamo.

Si D es la cantidad que se descuenta, n el tiempo , d la tasa de descuento simple y M el monto o valor nominal del documento, entonces….

MdnD

Descuento Simple

Ejemplo: Cual es el descuento que se hace a un pagaré de Q. 500.00 seis meses antes de su vencimiento, con una tasa de descuento simple del 40%?

1005004.02/1 D

Descuento Simple: Fórmula General

El descuento en el pagaré se obtiene restando del valor nominal la cantidad en que se negocia es decir: D = M-C de donde el capital ó valor presente es C = M-D.

Puesto que D = n(d)M al reemplazarlo tendremos:

C = M – n(d)M Si: M es el valor al vencimiento y C el valor descontado del documento, n = períodos antes de su vencimiento y d = tasa de descuento simple, entonces…

)1( ndMC

Descuento Simple: Fórmula General

¿Cuánto recibe el Sr. López por un documento de dos millones de quetzales, cuatro meses antes del vencimiento y con un descuento del 39% simple anual?

Para tener las mismas unidades de tiempo, la tasa se divide entre 12, d = 0.39/12 = 0.0325 (el plazo tambièn puede expresarse en años dividiendo los 4 meses entre 12, es decir 4/12 = 1/3 años)

Si: M = 2,000,000.00, plazo = 4 meses entonces…

00.1740000.)87.0(2000000

))0325.0(41(2000000

QC

C

PORCENTAJE

Es común que un comerciante ofrezca sus productos con ciertas rebajas ó descuentos. Se pueden evaluar con las fórmulas que estamos usando. Por Ej. si en la ecuación D = n(d)M se hace n = 1, entonces D = d(M)

C = M(1-d) ¿A que precio vende un televisor una tienda si lo ofrece con un 28% de descuento sobre el precio de lista que es de Q. 1,860.00?

20.1339.)72.0(1860

)28.01(1860

QC

C

INTERES SIMPLE EXACTO Y ORDINARIO

• El interés (ó descuento) simple es exacto si el año se considera de 365 días ó 366 si es bisiesto, y es ordinario si el año es considerado con 360 días.

Ej. Obtener el monto acumulado por un capital de Q. 800.00 que se invierten a 45 días de plazo con una tasa de interés simple del 36%, suponiendo que es: a) exacto y b) ordinario.

a) Interés simple exacto. M = 800 (1 + 45(0.36/365) M = 800 (1.044383562) M = Q. 835.51b) Interés simple ordinario. M = 800 (1+ 45 (0.36/360) M = 800 (1.045) M = Q. 836.00

INTERES SIMPLE EXACTO Y ORDINARIO

• Como se observa y aunque es mínima la diferencia, es más productivo invertir con interés simple ordinario que con el exacto.

TIEMPO REAL Y TIEMPO APROXIMADO

• También el plazo puede ser medido de dos maneras distintas que son:

• a) Con tiempo real ó exacto.• b) Con tiempo aproximado.• En la 1ª. El plazo se calcula contando los días naturales

entre fechas y en la segunda los meses son considerados de 30 días.

INTERES SIMPLE

1. Interés simple, exacto, con tiempo real.2. Interés simple, exacto, con tiempo aproximado.3. Interés ordinario, con tiempo real.4. Interés ordinario, con tiempo aproximado.

• Ej. Con las cuatro formas descritas obténgase el monto acumulado al 15 de octubre , por un capital de Q. 5,000.00 que se ha invertido el 25 de marzo anterior con intereses del 24.5%.

Interés simple, exacto, con tiempo real: se hace con un calendario a la vista, entre las dos fechas hay 204 días (marzo 6, abril 30, may 31, junio 30, julio 31, agosto 31, septiembre 30 y octubre 15). i=0.245/365

M = 5,000 ( 1 + 204 (0.000671233) = Q. 5,684.66

INTERES SIMPLE

Interés simple, exacto, con tiempo aproximado: como los meses se considera de 30 días y el depósito se hace el 25 de marzo, a este mes corresponden 5 días, de abril a septiembre son 6 meses igual a 180 días y del mes de octubre son 15, n = 5 +180 + 15 = 200 días.

M = 5,000 ( 1 + 200 (0.000671233) = Q. 5,671.23

Interés simple, ordinario, con tiempo real: respecto al primero solo cambia la tasa de interés diaria. i=0.245/360.

M = 5,000 ( 1 + 204 (0.245/360) = Q. 5,694.17

Interés simple ordinario con tiempo aproximado. M = 5000 ( 1 + 200 (0.245/360) = Q. 5680.55

Ejemplo

El 9 de mayo se consiguió un préstamo y se firmo un pagaré por dos y medio millones de quetzales, con vencimiento al 6 de abril del año siguiente que es bisiesto y con recargos del 45% simple anual. Encontrar el capital que se prestó y la tasa de descuento simple, si el acreedor negocia el documento el día 30 de noviembre anterior en dos millones de quetzales.

Solución: a) encontrar en la fecha préstamo el VP 2.5 millones. (al no mencionar = interés ordinario y t. real)

tiempo = 333 días. M = Q. 2,500,000.00 tasa es .45/360 = 0.00125 2500000 = C (1 + 333 (0.00125) 2500000 = C (1.41625) C = 2500000/1.41625 = Q. 1,765,225.07

Ejemplo

b) Hallar tasa de descuento simple con la que se negocia el documento.

C = M (1 –nd) 2,000,000= 2500000 ( 1-128 (d)) 0.80 = 1 – 128 (d) d = (1-0.8)/128 = 0.0015625 tasa = x 360 = .5625 ó 56.25% anual

Interés Compuesto

En el caso del interés compuesto, el interés para cada periodo se calcula sobre el principal más el monto total de interés aplicado en todos los periodos anteriores.

En otras palabras se aplica interés sobre interés, de forma de ajustar el valor del dinero en el tiempo no sólo sobre el principal, sino también sobre el interés.

Q.200.00 30 años0% 8% 20% 40%

0 0.006666667 0.016666667 0.033333333Q72,000.00 Q298,071.89 Q4,595,567.56 Q802,982,511.22

Q.300.00 30 años0% 8% 20% 40%

0 0.006666667 0.016666667 0.033333333Q108,000.00 Q447,107.83 Q6,893,351.34 Q1,204,473,766.83

INVERSIONES

Juan Wesley dijo…

Gane todo lo que pueda

Ahorre todo lo que pueda.

Dé todo lo que pueda.

Ejemplo: Si colocamos Q. 100.00 durante 5 años

AÑOS CAPITAL INICIAL

INTERES INICIAL

SUMA TOTAL

1 100.00 10.00 110.00

2 110.00 11.00 121.00

3 121.00 12.10 133.10

4 133.10 13.31 146.41

5 146.41 14.64 161.05

Con interés simple hubieran sido: M = C(1+0.1*5)=150

a) M1 = Co (1+ (i*n) se quita el n porque es igual a 1 M1 = Co (1+ i) = 100 (1+10/100) = 110

b) M2 = S1 (1+i) = Co (1+i) (1+i)

22 )1( iCoM

121)100/101(100 22 M

c) M3 = S2(1+i) = Co (1+i) (1+i) (1+i) 3

3 )1( iCoM

10.133)100/101(100 33 S

Y así sucesivamente, de esto podemos concluir que para obtener la suma total al término de un año determinado, aplicamos la expresión siguiente: (5) n

n iCoM )1(

al aplicar con el año cinco tendremos:

05.161)100/101(100 55 M

Interés Compuesto

El cálculo del valor futuro de una cantidad aplicando interés compuesto se hace de la siguiente forma:

nn iCM 1

En donde: M: Valor Futuro.C: Valor Presente. n : Numero de periodos de capitalización. i : Tasa de interés.

Interés Compuesto

Obtener el monto acumulado si un capital de Q. 100.00 es invertido al 60% anual en un plazo de cinco años.

58.1048.6.01100 5 QM n

En donde: M: Valor Futuro.C: Valor Presente. n : Numero de periodos de capitalización. i : Tasa de interés.

Interés Compuesto

Obtener el monto acumulado si un capital de Q. 100.00 es invertido al 60% anual en un plazo de cinco años.

58.1048.6.01100 5 QM n

En donde: M: Valor Futuro.C: Valor Presente. n : Numero de periodos de capitalización. i : Tasa de interés.

Ejemplo Interés

Ud. Ha pedido un crédito automotriz por un valor de 18.000 a una tasa de 12% anual, el cual se debe cancelar en tres años más ¿Cuánto se debe cancelar si se aplica interés simple? ¿Qué pasa si el interés es compuesto?

Solución:Usando interés simple:

Usando interés compuesto:

480.24312.01000.18 M

289.2512.01000.18 3 M

Ejemplo Interés

•Comparando ambas formas de pago:

Monto Inicial Tasa de Interés Interés Pagado Monto Final18,000 12% 6,480 24,48018,000 12% 7,289 25,289

Diferencia. 809

Se observa claramente que en un mismo crédito, utilizando interés compuesto, el interés y el monto final son siempre mayores o iguales que si se usara interés simple.

Período de capitalización

Es el tiempo que hay entre dos fechas sucesivas en la que los intereses son agregados al capital.

El número de veces por año en las que los intereses se capitalizan, se llama Frecuencia de capitalización y se denota con p.

Si el período de capitalización de intereses es, digamos mensual, entonces las expresiones siguientes son equivalentes: “el interés es capitalizable mensualmente”, “es convertible mensualmente”, es “compuesto mensualmente”, “es interés nominal mensual” ó “compuesto por mes”. En este caso p = 12.

Valores más comunes para p

Período Frecuencia (p)

Anual 1

Semestral 2

Cuatrimestral 3

Trimestral 4

Bimestral 6

Mensual 12

Quincenal 24

semanal 52

diario 360

Valor futuro para datos con Frecuencia de capitalización

El valor futuro M de un capital C al final de np períodos, esta dado por:

Donde n es el plazo en año, i la tasa de interés anual capitalizable en p períodos por año.

Ej. Obtener el monto acumulado en cinco años por un capital de Q. 500.00 que se invierte con un tipo de interés del 40% compuesto bimestralmente.

nppiCM /1

03.466,3

)93.6(500

6/40.01500 6*5

M

M

M

Encontrar tasa si….

Encontrar la tasa de interés compuesto trimestral, si un capital se duplica en dos años.

Si C es el capital, entonces el monto acumulado en dos años debe ser el doble es decir M = 2 ( C ) , el plazo n = 2 años, la frecuencia de capitalización p = 4, porque es capitalizable trimestralmente: np = 8,

362030932.0

090597733.04/

10905.14/

24/1

)4/1(2

4/12

8

8

8

i

i

i

i

i

iCC

Encontrar n si….

¿En cuanto tiempo se triplica un capital que se invierte al 48% compuesto mensualmente?

Solución: n es la incógnita, i = 0.48, p = 12, el capital se triplica por tanto M = 3 (C) .

díasmesesañosañosn

n

n

n

CCn

n

33.0,4,2.3342518.2

470648558.0/098612289.1

)04.1ln()12(

)3ln(

)3ln()04.1ln()12(

)04.1(3

12/48.01312

12

FLUJO DE DINERO

EN EL TIEMPO

Flujo de Dinero en el Tiempo

•Línea de Tiempo

»Corresponde a una recta dividida en intervalos, donde se ubican barras verticales que indican los movimientos de dinero

»El cero denotará el tiempo presente, inicio del período o primer instante.

»El 1 denotará el período siguiente, es decir, al primer período transcurrido entre los instantes 0 y 1 respectivamente, y así sucesivamente.

Flujo de Dinero en el Tiempo

•Línea de Tiempo

»Las barras verticales sobre la línea indicarán los ingresos o flujos positivos.

»Las barras verticales bajo la línea indicarán los egresos o flujos negativos

Representación Gráfica

Ingresos

0 1 2 3 nn - 1

Egresos

Presente

Tiempo

TASA EFECTIVA Y TASA NOMINAL

•Es mas rentable una tasa compuesta mensualmente que cuando es semestralmente, pero ¿qué tanto es más productiva? Y ¿cuál será la tasa compuesta mensualmente que produce los mismos intereses que otra con capitalización semestral?

•TASAS EQUIVALENTES: Son dos tasas que con diferentes períodos de capitalización producen iguales intereses en el mismo plazo.

Ej. Tasas equivalentes

•¿Qué tasa de interés compuesto mensual producirá el mismo monto acumulado que un 50% compuesto semestralmente?

•SOLUCION.•

454689792.0

)12)(037890816.0(

)25.1()12/1(

)2/5).01()12/1(

)2/5.01()12/1(

....

)2/5.01(

)12/1(

6/1

212

212

22

121

i

i

i

i

CiC

igualarAl

CM

iCM

TASA EFECTIVA

•La tasa e compuesta anual, equivalente a la tasa nominal i compuesta en p períodos por año, se denomina tasa efectiva

1)/1(

)/1(1

)/1()1(

....

)/1(

)1(

1

11

p

p

p

p

pie

pie

piCeC

igualarAl

piCM

eCM

Ej. TASA EFECTIVA

•Encontrar la tasa efectiva que corresponde a la tasa nominal del 68% compuesta trimestralmente.

87388721.0

187388721.1

1)4/68.01(

1)/1(4

e

e

e

pie p

Ej. TASA EFECTIVA

•Cuál es la tasa nominal bimestral que corresponde a un 25% de tipo de interés efectivo?

227344896.06*037890816.0

1037890816.16/

25.16/1

1)6/1(25.0

1)/1(

6

6

i

i

i

i

pie p

ANUALIDADES

•Sistema de pago de sumas fijas, a intervalos iguales de tiempo. Se usa el término anualidad por costumbre, por anualidad contingente que es la probabilidad anual de vida de las personas.

•Es sinónimo de rentas, series uniformes, pagos periódicos, amortizaciones, cuotas, etc.

CALCULO DEL MONTO DE UNA ANUALIDAD

•C = pago períodico de una anualidad ó renta.•i = tasa efectiva por período capitalización.•j = tasa nominal anual.•p = número capitalizaciones en el año.•j(p)= tasa nominal con m períodos de capitalizaciones/año.•VF = Monto de una anualidad.•VA = Valor actual ó presente de una anualidad.

i

iCVF

n)1(

i

iCVA

n

)1(1

CALCULO DEL MONTO Y VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD

•Ejemplo:•Hallar el monto y el valor actual de una anualidad de Q.5000.00 pagaderas semestralmente durante 7 años 6 meses al 8.6% capitalizable semestralmente.

34.379,102

12/086.0

)2/086.01(5000

1)1(

15

VF

VF

i

iCVF

n

71.544432/086.0

)2/086.01(15000

15

VA

VA

i

iCVA

n

)1(1

CALCULO DEL MONTO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA

•Una anualidad anticipada ó inmediata es una sucesión de pagos o rentas que se efectúan ó vencen, al principio del priódo de pago. Este tipo de anualidades son muy frecuentes en los negocios

11)1( 1

i

iCVF

n

1)1(1 )1(

i

iCVA

n

CALCULO DEL MONTO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA

•Ej. Una compañía deposita al principio de cada año Q. 20,000 en una cuenta de ahorro que abona el 7%. ¿A cuanto ascenderán los depósitos al cabo de 5 años? Cuanto será al día de hoy?

81.123065

107.

1)07.1(20000

15

VF

VF 107.

)07.1(15000

)15(

VA

1)1(1 )1(

i

iCVA

n11)1( 1

i

iCVF

n

23.87744107.

)07.1(15000

)4(

VA

AMORTIZACION DE PRESTAMOS

•En la amortización de una deuda, cada pago o anualidad que se entrega al acreedor, sirve para pagar los intereses y reducir el importe de la deuda. En el estudio de la amortización se presentan tres problemas básicos que son: hallar el importe de los pagos periódicos, hallar el número de pagos necesarios para amortizar una deuda y hallar la tasa de interés.

FONDO DE AMORTIZACION

•Un fondo de amortización es una cantidad que va acumulándose mediante pagos periódicos que devengan cierto interés, de modo que en un número determinado de períodos se obtenga un monto prefijado. Ej. Fondo de pensiones, reservas para reemplazar activos, etc.

FONDO DE AMORTIZACION

•Un fondo de amortización es una cantidad que va acumulándose mediante pagos periódicos que devengan cierto interés, de modo que en un número determinado de períodos se obtenga un monto prefijado. Ej. Fondo de pensiones, reservas para reemplazar activos, etc.

i

iVFC

n 1)1(/

FONDO DE AMORTIZACION

•Una compañía contrae una deuda de Q. 500,000 para ser cancelada dentro de 4 años. La Junta Directiva de la compañía decide que se hagan reservas anuales iguales, con el objeto de cancelar la deuda en la fecha de su vencimiento. Si el dinero puede invertirse ganando el 8%, hallar la suma que es necesario acumular cada año y hacer un cuadro que muestre el crecimiento del fondo.

i

iVFC

n 1)1(/

40.110960

08.

1)08.1(/500000

4

C

FONDO DE AMORTIZACION

•Cuadro de amortización.

FECHA Pago anual Total agregado al fondointereses TOTAL EN FONDOfinal año 1 1 110960.402 110960.4022 0 110960.4022final año 2 2 110960.402 119837.2344 8876.83218 230797.6366final año 3 3 110960.402 129424.2132 18463.8109 360221.8498final año 4 4 110960.402 139778.1502 28817.748 500000

500000 56158.3911

C 500000i 0.08n 4