Matemáticas financieras básicas con Excel para UJ

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MATERIAL PREPARADO POR FERNANDO ARANGO BARRIENTOS I MATEMTICAS FINANCIERAS TABLA DE CONTENIDO Pgina 1.CONCEPTO DE INTERS1 1.1-Definicin1 1.2-Clases de inters1 1.3-Concepto de equivalencia2 2.DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA 3 2.1-Qu son y cmo se representan3 3.INTERS SIMPLE4 3.1-Clculo del inters simple4 3.2-Monto4 3.3-Descuento comercial a inters simple6 3.4-Relacin entre intereses vencido y anticipados 8 3.5-Ecuaciones de valor 9 3.6-Ejemplos de solucin de problemas de inters simple y descuentomediante calculadora Hewlett Packard11 3.7-Problemas de inters simple y descuento para resolver13 4.INTERS NOMINAL ANUAL Y CONCEPTO DE INTERS EFECTIVO ANUAL15 4.1-Clculo del inters nominal15 4.2-Concepto de capitalizacin como base para el inters efectivo anual16 5.INTERS COMPUESTO17 5.1-Clculo del inters compuesto. Frmulas.17 5.2-Determinacin del inters efectivo anual19 5.3-Concepto de tasas equivalentes21 5.4-Tasas comparables22 5.5-Ejemplos de solucin de problemas de conversin de tasas de intersnominal anual e inters efectivo anual.26 5.6-Problemas de tasas de inters equivalentes para resolver27 5.7-Clculo de inters compuesto y su relacin con el inters efectivoanual. Una explicacin sencilla.29 5.8-Ejemplos de solucin de problemas de inters compuesto mediante Excel 31 5.9-Problemas de inters compuesto, esquema ingreso egreso o viceversapararesolver32 MATERIAL PREPARADO POR FERNANDO ARANGO BARRIENTOS II 6.ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES.34 6.1-Clasificacin y formulacin de las anualidades34 6.1-1.Frmulas aplicables a las anualidades con inters compuesto35 6.2-Amortizacin de deudas37 6.2-1.Cuadro de amortizacin.37 6.2-2.Perodo de gracia y perodo muerto39 6.3-Problemas de anualidades para resolver42 6.4-Pagos extraordinarios45 6.5-Gradientes o pagos variables 48 7.FLUJOS DE CAJA IRREGULARES Y SISTEMAS DE CLCULO DE RENTABILIDAD DE ALTERNATIVAS DE INVERSIN52 7.1-Tasa de inters de oportunidad y costo de capital. Conceptos52 7.2-Sistemas de evaluacin de alternativas de inversin52 7.2-1.Valor presente neto52 7.2-2.Tasa interna de retorno 54 7.3-Ejemplo de solucin de problemas de valor presente neto con Excel 56 7.4-Ejemplo de solucin de problemas de tasa interna de retorno con Excel 57 8.BIBLIOGRAFA58 MATERIAL PREPARADO POR FERNANDO ARANGO BARRIENTOS 1 1-CONCEPTO DE INTERS 1.1-Definicin El inters puede definirse como la suma pagada por el uso del dinero durante un tiempo dado, o como el retorno obtenido de una inversin productiva. En la nocin de inters intervienen cinco elementos, a saber: Plazo: Es la duracin total de un prstamo o de una inversin y se mide en trminos de tiempo. Tasadeinters:Eselfactorqueseaplicaalcapital,yqueseexpresaentrminos decimales o en trminos porcentuales. Perodo de aplicacin: Es la frecuencia con que se aplica la tasa de inters y se indica normalmentecomounaunidaddetiempo:anualmente,trimestralmente, semestralmente, mensualmente, etc. Base de aplicacin: Es la cantidad de dinero sobre la cual se aplica la tasa de inters encadaperododeaplicacin.Ejemplo:saldoalcomienzodelperodo,saldomnimo del perodo, saldo promedio del perodo, etc. Modalidad de aplicacin: Hace relacin al instante durante el perodo de aplicacin en que efectivamente se cobra o se paga el inters. Por ejemplo: anticipadamente, quiere decir que se cobra o paga al principio del perodo, y vencido, quiere decir que se cobra o paga al final del perodo. 1.2-Clases de inters: Los intereses pueden clasificarse segn varios criterios, a saber: Segnlaoportunidaddesupago,losinteresespuedenserremuneratorioso moratorios: a-Remuneratorios. Sonaquellosquedevengauncrditoduranteelplazoyporreglageneral,los queproduceunprstamomientraseldeudorestlegitimadoparamantenerlo durante el plazo. b-Moratorios. Corresponde a aquellas sumas que deben pagarse a ttulo de indemnizacin de perjuicios,desdeelmomentoenqueseconstituyeenmora el deudor, es decir desde el incumplimiento de la obligacin principal. MATERIAL PREPARADO POR FERNANDO ARANGO BARRIENTOS 2 Segnelperododecapitalizacinseconsiderandostiposdeinters:elinters simple y el inters compuesto. Interssimple:esaquelenelcualalfinaldecadaperodopreviamenteconvenido entrelaspartessepaganlosinteresescausadosynosehacenabonosacapital,es decir, cuando el capital que genera los intereses permanece constante durante todo el perodo del prstamo. Inters compuesto: es aquel en el cual al final de cada perodo previamente convenido entrelaspartesseagreganocapitalizanlosinteresescausadosduranteelmismo perodo al capital que los gener, para formar un nuevo capital que igualmente generar intereses. Segnlabaseenlaquedebenserinformadosalpblico,sedividenenintereses nominales y en intereses efectivos. a-Inters nominal. Es aquel en el cual la tasa de inters anunciada se expresa casi siempre como unatasareferidaaunabaseanual(explcitaotcita),peroinmediatamente seguida del perodo real de aplicacin y la modalidad de pago, ya sea anticipada ovencida.Ejemplo:30%anualtrimestrevencido,oel24.32%semestre anticipado. b-Inters efectivo. Es aquel en el cual se especifica la tasa de inters que realmente se aplica por perodo y el perodo de aplicacin. Se expresa como inters pagadero en forma vencida.Ejemplos:36%efectivoanual,10%efectivosemestralo2.5%efectivo mensual.Seutilizaparadeterminarlaverdaderarentabilidadofrecidaporuna tasa nominal. En cuanto al nmero de das del ao se dividen en inters bancario o exacto, para el cual el ao es de 365 das y en inters comn o comercial, en el cual el ao es de 360 das. 1.3-Concepto de equivalencia: Para poder comparar cantidades diferentes de dinero ubicadas en distintos perodos es necesarioreducirlasaunabasecomnoloqueeslomismodarlesunamisma ubicacin en el tiempo, lo que puede realizarse utilizando el concepto de equivalencia. Esteconceptodeequivalenciaseusaparadarlamismaubicacinalasdiferentes cantidades,medianteelusodefrmulasmatemticas,enlascualesalefectuarlos clculos,latasadeintersdebeestarreferidaalperodoenuso,oseaquehaya correspondenciaentrelasunidadesdelatasadeintersylasunidadesenquese expresa el tiempo. Por ejemplo si la tasa de inters es mensual los perodos deben ser meses, o si la tasa de inters es trimestral los perodos deben ser trimestres. MATERIAL PREPARADO POR FERNANDO ARANGO BARRIENTOS 3 1.4-Principios bsicos para el manejo de las matemticas financieras: Teniendoencuentaelsignificadodelconceptodeequivalenciasedebenteneren cuenta dos principios bsicos para el manejo de las matemticas financieras: a.Latasadeintersyelperododeaplicacindebenestarexpresadas simultneamenteenfuncindelmismoperodoesdecirentrminos homogneos. As por ejemplo si la tasa de inters es mensual el plazo debe ser expresadoenmeses,silatasadeintersessemestralelplazodebeser expresado en semestres, y as anlogamente. b.Paracomparardoscifrasentres,estasdebenestarubicadasenelmismo momento en el tiempo. 2-DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA. 2.1-Qu son y cmo se representan: Un diagrama de flujo de caja es la representacin grfica de las entradas y salidas de caja a lo largo del tiempo, el cual se representa por una lnea horizontal, uno de cuyos extremos, el izquierdo, se denomina momento cero o punto focal. Sin embargo, el punto focal puede desplazarse a lo largo de la lnea del tiempo para indicar en qu momento se calculan los intereses. Alolargodelalneadeltiemposeubicanyrepresentanlosdiversosingresosy egresos, mediante la convencin de que los ingresos se indican con una flecha vertical hacia arriba y los egresos con una flecha vertical hacia abajo. Ejemplo: Representacin grfica de un flujo de caja en el cual hay un egreso en el momento cero y en el momento 2 e ingresos en los perodos 1, 3 y 4.

02 134 Ingresos Egresos MATERIAL PREPARADO POR FERNANDO ARANGO BARRIENTOS 4 3-INTERS SIMPLE 3.1-Clculo del inters simple: Paraelclculodelinterssimplequeproduce un capital a una tasa dada, durante un perododeaplicacin,esnecesariodefiniralgunoselementosnemotcnicosquese usarn, a saber: I:Es el valor del inters que se produce. P:Es la base de aplicacin o capital. i:Eslatasaanualdeintersaplicada,lacualseexpresaen forma decimal. t:Eseltiempoduranteelcualsecausaelinters,quese expresa como ao o como fraccin de ao. F:Eslasumaacumuladafinal,delcapitalmslosintereses, mejor conocido como monto. I Pit = Debe recalcarse que tanto la tasa de inters "i" como el tiempo "t" deben expresarse en forma homognea, es decir en trminos de ao. 3.2-Monto: Se denomina monto al total acumulado del capital inicial ms los intereses, al final de un perodo. F=P + I Pero como: I=Pit Entonces:F= P + Pit Factorizando:F=P (1 + it) Por lo tanto, el monto, o sea la suma final del capital y los intereses, denominado por "F", se calcula as: ( )F P 1 it = + MATERIAL PREPARADO POR FERNANDO ARANGO BARRIENTOS 5 Ejemplos: 1.El Banco A le presta al Sr. Gmez $1.500.000 por un tiempo de 6 meses con tasa de inters del 24% anual.a- Cunto gan el banco por intereses? b- Cunto recibe el Banco a los 6 meses? a-I=Pit I= 1,500,000 x 0.24 x 180360 I= 180,000 b-F=P ( 1 + it ) F=1,500,000 [ 1 + (0.24)(180360) ] F=1,680,000 2.Cunto tiempo debe transcurrir para que un capital se duplique, si la tasa de inters es del 28% anual? De la frmula bsica del monto se despeja la variable tiempo t, as: F 2 - 1 - 1 P 1 t= ==3.5714 aos i0.28 t=3 aos, 6 meses y 25 das Comprobacin: F=P ( 1 + it ) = 1 [ 1 + (0.28 * 3.5714) ] ~ 2 3.Sidentrode2aossedebepagarunmontode$4,000,000queincluyen capitaleinteresessimplesalatasadel32%anual,Cuntosedebera cancelar si se decidiera pagar hoy? De la frmula del monto, se despeja el valor del capital inicial, as: F4,000,000 P= = =2,439,024.39 1 + it 1 + (0.32 x 2) MATERIAL PREPARADO POR FERNANDO ARANGO BARRIENTOS 6 3.3-Descuento comercial a inters simple: Descontarundocumentoesrecibirporanticipadoelvalordelmismo,menosuna cantidad estipulada como inters del dinero. Igualconceptoseaplicaalcobroquehacenlosintermediariosfinancieroscuando reciben los intereses por anticipado. El descuento se hace sobre el valor nominal del docume