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MATERIAL PREPARADO POR FERNANDO ARANGO BARRIENTOS I MATEMÁTICAS FINANCIERAS TABLA DE CONTENIDO Página 1. CONCEPTO DE INTERÉS 1 1.1- Definición 1 1.2- Clases de interés 1 1.3- Concepto de equivalencia 2 2. DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA 3 2.1- Qué son y cómo se representan 3 3. INTERÉS SIMPLE 4 3.1- Cálculo del interés simple 4 3.2- Monto 4 3.3- Descuento comercial a interés simple 6 3.4- Relación entre intereses vencido y anticipados 8 3.5- Ecuaciones de valor 9 3.6- Ejemplos de solución de problemas de interés simple y descuento mediante calculadora Hewlett Packard 11 3.7- Problemas de interés simple y descuento para resolver 13 4. INTERÉS NOMINAL ANUAL Y CONCEPTO DE INTERÉS EFECTIVO ANUAL 15 4.1- Cálculo del interés nominal 15 4.2- Concepto de capitalización como base para el interés efectivo anual 16 5. INTERÉS COMPUESTO 17 5.1- Cálculo del interés compuesto. Fórmulas. 17 5.2- Determinación del interés efectivo anual 19 5.3- Concepto de tasas equivalentes 21 5.4- Tasas comparables 22 5.5- Ejemplos de solución de problemas de conversión de tasas de interés nominal anual e interés efectivo anual. 26 5.6- Problemas de tasas de interés equivalentes para resolver 27 5.7- Cálculo de interés compuesto y su relación con el interés efectivo anual. Una explicación sencilla. 29 5.8- Ejemplos de solución de problemas de interés compuesto mediante Excel 31 5.9- Problemas de interés compuesto, esquema ingreso egreso o viceversa para resolver 32

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I

MATEMÁTICAS FINANCIERAS TABLA DE CONTENIDO

Página

1. CONCEPTO DE INTERÉS 1

1.1- Definición 1 1.2- Clases de interés 1 1.3- Concepto de equivalencia 2

2. DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA 3 2.1- Qué son y cómo se representan 3

3. INTERÉS SIMPLE 4 3.1- Cálculo del interés simple 4 3.2- Monto 4 3.3- Descuento comercial a interés simple 6 3.4- Relación entre intereses vencido y anticipados 8 3.5- Ecuaciones de valor 9 3.6- Ejemplos de solución de problemas de interés simple y descuento

mediante calculadora Hewlett Packard 11 3.7- Problemas de interés simple y descuento para resolver 13

4. INTERÉS NOMINAL ANUAL Y CONCEPTO DE INTERÉS EFECTIVO ANUAL 15 4.1- Cálculo del interés nominal 15 4.2- Concepto de capitalización como base para el interés efectivo anual 16

5. INTERÉS COMPUESTO 17 5.1- Cálculo del interés compuesto. Fórmulas. 17 5.2- Determinación del interés efectivo anual 19 5.3- Concepto de tasas equivalentes 21 5.4- Tasas comparables 22 5.5- Ejemplos de solución de problemas de conversión de tasas de interés

nominal anual e interés efectivo anual. 26 5.6- Problemas de tasas de interés equivalentes para resolver 27 5.7- Cálculo de interés compuesto y su relación con el interés efectivo anual.

Una explicación sencilla. 29 5.8- Ejemplos de solución de problemas de interés compuesto mediante Excel 31 5.9- Problemas de interés compuesto, esquema ingreso egreso o viceversa

para resolver 32

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6. ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES. 34 6.1- Clasificación y formulación de las anualidades 34

6.1-1. Fórmulas aplicables a las anualidades con interés compuesto 35 6.2- Amortización de deudas 37

6.2-1. Cuadro de amortización. 37 6.2-2. Período de gracia y período muerto 39

6.3- Problemas de anualidades para resolver 42 6.4- Pagos extraordinarios 45 6.5- Gradientes o pagos variables 48

7. FLUJOS DE CAJA IRREGULARES Y SISTEMAS DE CÁLCULO DE RENTABILIDAD DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN 52 7.1- Tasa de interés de oportunidad y costo de capital. Conceptos 52 7.2- Sistemas de evaluación de alternativas de inversión 52

7.2-1. Valor presente neto 52 7.2-2. Tasa interna de retorno 54

7.3- Ejemplo de solución de problemas de valor presente neto con Excel 56 7.4- Ejemplo de solución de problemas de tasa interna de retorno con Excel 57

8. BIBLIOGRAFÍA 58

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1- CONCEPTO DE INTERÉS 1.1- Definición El interés puede definirse como la suma pagada por el uso del dinero durante un tiempo

dado, o como el retorno obtenido de una inversión productiva. En la noción de interés intervienen cinco elementos, a saber: Plazo: Es la duración total de un préstamo o de una inversión y se mide en términos de

tiempo. Tasa de interés: Es el factor que se aplica al capital, y que se expresa en términos

decimales o en términos porcentuales. Período de aplicación: Es la frecuencia con que se aplica la tasa de interés y se indica

normalmente como una unidad de tiempo: anualmente, trimestralmente, semestralmente, mensualmente, etc.

Base de aplicación: Es la cantidad de dinero sobre la cual se aplica la tasa de interés

en cada período de aplicación. Ejemplo: saldo al comienzo del período, saldo mínimo del período, saldo promedio del período, etc.

Modalidad de aplicación: Hace relación al instante durante el período de aplicación en

que efectivamente se cobra o se paga el interés. Por ejemplo: anticipadamente, quiere decir que se cobra o paga al principio del período, y vencido, quiere decir que se cobra o paga al final del período.

1.2- Clases de interés: Los intereses pueden clasificarse según varios criterios, a saber: Según la oportunidad de su pago, los intereses pueden ser remuneratorios o

moratorios: a- Remuneratorios. Son aquellos que devenga un crédito durante el plazo y por regla general, los

que produce un préstamo mientras el deudor está legitimado para mantenerlo durante el plazo.

b- Moratorios. Corresponde a aquellas sumas que deben pagarse a título de indemnización de

perjuicios, desde el momento en que se constituye en mora el deudor, es decir desde el incumplimiento de la obligación principal.

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Según el período de capitalización se consideran dos tipos de interés: el interés simple y el interés compuesto.

Interés simple: es aquel en el cual al final de cada período previamente convenido

entre las partes se pagan los intereses causados y no se hacen abonos a capital, es decir, cuando el capital que genera los intereses permanece constante durante todo el período del préstamo.

Interés compuesto: es aquel en el cual al final de cada período previamente convenido

entre las partes se agregan o capitalizan los intereses causados durante el mismo período al capital que los generó, para formar un nuevo capital que igualmente generará intereses.

Según la base en la que deben ser informados al público, se dividen en intereses

nominales y en intereses efectivos. a- Interés nominal. Es aquel en el cual la tasa de interés anunciada se expresa casi siempre como

una tasa referida a una base anual (explícita o tácita), pero inmediatamente seguida del período real de aplicación y la modalidad de pago, ya sea anticipada o vencida. Ejemplo: 30% anual trimestre vencido, o el 24.32% semestre anticipado.

b- Interés efectivo. Es aquel en el cual se especifica la tasa de interés que realmente se aplica por

período y el período de aplicación. Se expresa como interés pagadero en forma vencida. Ejemplos: 36% efectivo anual, 10% efectivo semestral o 2.5% efectivo mensual. Se utiliza para determinar la verdadera rentabilidad ofrecida por una tasa nominal.

En cuanto al número de días del año se dividen en interés bancario o exacto, para el

cual el año es de 365 días y en interés común o comercial, en el cual el año es de 360 días.

1.3- Concepto de equivalencia: Para poder comparar cantidades diferentes de dinero ubicadas en distintos períodos es

necesario reducirlas a una base común o lo que es lo mismo darles una misma ubicación en el tiempo, lo que puede realizarse utilizando el concepto de equivalencia. Este concepto de equivalencia se usa para dar la misma ubicación a las diferentes cantidades, mediante el uso de fórmulas matemáticas, en las cuales al efectuar los cálculos, la tasa de interés debe estar referida al período en uso, o sea que haya correspondencia entre las unidades de la tasa de interés y las unidades en que se expresa el tiempo. Por ejemplo si la tasa de interés es mensual los períodos deben ser meses, o si la tasa de interés es trimestral los períodos deben ser trimestres.

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1.4- Principios básicos para el manejo de las matemáticas financieras:

Teniendo en cuenta el significado del concepto de equivalencia se deben tener en cuenta dos principios básicos para el manejo de las matemáticas financieras:

a. La tasa de interés y el período de aplicación deben estar expresadas

simultáneamente en función del mismo período es decir en términos homogéneos. Así por ejemplo si la tasa de interés es mensual el plazo debe ser expresado en meses, si la tasa de interés es semestral el plazo debe ser expresado en semestres, y así análogamente.

b. Para comparar dos cifras entre sí, estas deben estar ubicadas en el mismo

momento en el tiempo. 2- DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA. 2.1- Qué son y cómo se representan: Un diagrama de flujo de caja es la representación gráfica de las entradas y salidas de

caja a lo largo del tiempo, el cual se representa por una línea horizontal, uno de cuyos extremos, el izquierdo, se denomina momento cero o punto focal. Sin embargo, el punto focal puede desplazarse a lo largo de la línea del tiempo para indicar en qué momento se calculan los intereses.

A lo largo de la línea del tiempo se ubican y representan los diversos ingresos y

egresos, mediante la convención de que los ingresos se indican con una flecha vertical hacia arriba y los egresos con una flecha vertical hacia abajo.

Ejemplo: Representación gráfica de un flujo de caja en el cual hay un egreso en el momento cero

y en el momento 2 e ingresos en los períodos 1, 3 y 4. 0 2 1 3 4

Ingresos

Egresos

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3- INTERÉS SIMPLE 3.1- Cálculo del interés simple: Para el cálculo del interés simple que produce un capital a una tasa dada, durante un

período de aplicación, es necesario definir algunos elementos nemotécnicos que se usarán, a saber:

I : Es el valor del interés que se produce. P : Es la base de aplicación o capital. i : Es la tasa anual de interés aplicada, la cual se expresa en

forma decimal. t : Es el tiempo durante el cual se causa el interés, que se

expresa como año o como fracción de año. F : Es la suma acumulada final, del capital más los intereses,

mejor conocido como monto.

I Pit

Debe recalcarse que tanto la tasa de interés "i" como el tiempo "t" deben expresarse

en forma homogénea, es decir en términos de año. 3.2- Monto: Se denomina monto al total acumulado del capital inicial más los intereses, al final de

un período. F = P + I Pero como: I = Pit Entonces: F = P + Pit Factorizando: F = P (1 + it) Por lo tanto, el monto, o sea la suma final del capital y los intereses, denominado por

"F", se calcula así:

F P 1 it

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Ejemplos: 1. El Banco A le presta al Sr. Gómez $1.500.000 por un tiempo de 6 meses con

tasa de interés del 24% anual. a- ¿Cuánto ganó el banco por intereses? b- ¿Cuánto recibe el Banco a los 6 meses? a- I = Pit I = 1,500,000 x 0.24 x 180360 I = 180,000 b- F = P ( 1 + it ) F = 1,500,000 [ 1 + (0.24)(180360) ] F = 1,680,000 2. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que un capital se duplique, si la tasa de

interés es del 28% anual? De la fórmula básica del monto se despeja la variable tiempo t, así: F 2 ─── - 1 ──── - 1 P 1 t = ────────── = ─────────── = 3.5714 años i 0.28 t = 3 años, 6 meses y 25 días Comprobación: F = P ( 1 + it ) = 1 [ 1 + (0.28 * 3.5714) ] 2 3. Si dentro de 2 años se debe pagar un monto de $4,000,000 que incluyen

capital e intereses simples a la tasa del 32% anual, ¿Cuánto se debería cancelar si se decidiera pagar hoy?

De la fórmula del monto, se despeja el valor del capital inicial, así: F 4,000,000 P = ──────── = ──────────────── = 2,439,024.39 1 + it 1 + (0.32 x 2)

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3.3- Descuento comercial a interés simple: Descontar un documento es recibir por anticipado el valor del mismo, menos una

cantidad estipulada como interés del dinero. Igual concepto se aplica al cobro que hacen los intermediarios financieros cuando

reciben los intereses por anticipado. El descuento se hace sobre el valor nominal del documento o del préstamo. Para el cálculo del descuento, se definen los siguientes elementos nemotécnicos que

se usarán en las fórmulas: D : Cantidad que se paga por adelantado. S : Cantidad sobre la que se hace el descuento. d : Tasa anual de descuento expresada como decimal. t : Tiempo que dura la transacción, expresado como fracción de año. C : Cantidad que se recibe después de haber efectuado el

descuento. Cálculo del descuento:

D Sdt

Cantidad que se recibe después de haber cobrado el descuento: C = S - D Pero como D = Sdt Entonces C = S - Sdt Factorizando C = S ( 1 - dt ) Por lo tanto, para calcular el dinero que se recibe después de haber sido cobrado el

descuento se utiliza la fórmula siguiente:

C S 1 dt

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Ejemplo. 1. El Sr. Andrade pidió $7,000,000 al Banco, quien le cobró por anticipado los

intereses a la tasa del 30% durante el plazo de 90 días. a- ¿Cuánto recibió el Sr Andrade del Banco? b- ¿Cuánto descontó el Banco? c- ¿Cuál fue la tasa de descuento aplicada? d- ¿Cuál fue la tasa de interés que se cobró? e- ¿Cuánto necesita pedir el Sr. Andrade para que el banco le dé lo que pidió.? a- C = S (1 - dt) C = 7,000,000 [ 1 - (0.30)(90360) ] C = 6,475,000 b- D = S - C D = 7,000,000 - 6,475,000 = 525,000 c- D = Sdt D 525.000 d = ────── = ─────────────────── = 30% St 7.000.000 x (90360) c- De la fórmula de interés simple y teniendo en cuenta que el interés es lo

que se paga por el uso del dinero, se tiene: I 525,000 i = ─────── = ──────────────── = 32.4324% Pt 6,475,000 x (90360) d- En esta parte del problema es necesario averiguar la cantidad "S" sobre

la que se hace el descuento, para obtener "C",($7,000,000). De la fórmula básica del descuento, se despeja S. C S = ───────────── ( 1 - dt ) 7,000,000 S = ──────────────── = 7,567,567.57 [ 1 - (0.30)(90360)]

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3-4 Relación entre intereses vencidos e intereses anticipados. Como el valor del interés es siempre vencido y el valor del descuento es siempre

anticipado, para medir la tasa periódica vencida de interés que se paga por un crédito es necesario relacionar el valor pagado con el valor de lo que recibe el deudor.

Si se toma como ejemplo que el deudor pide prestado un peso y la tasa periódica de

descuento es del 7,5% trimestral anticipada, al relacionar el valor pagado por el deudor que es de 0,075 pesos, con el valor recibido que es de 0,925 pesos (resultado de restarle a un peso los siete centavos y medio (1-0,075) se encuentra la tasa periódica vencida de interés.

Expresando lo anterior en términos de fórmula se tiene: 0,075 ipv = = 8,1081% 1 - 0,075

Como el valor de 0,075 corresponde al descuento periódico, que también se puede llamar la tasa periódica anticipada (ipa), entonces es fácilmente deducible que la tasa de interés periódica vencida es igual a la tasa de interés periódica anticipada, dividida por la unidad menos la tasa de interés periódica anticipada:

ipa-1

ipaipv

Al despejar la tasa de interés periódica anticipada, se obtiene la expresión de la tasa

de interés periódica anticipada en función de la tasa de interés periódica vencida.

ipv1

ipvipa

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3.5- Ecuaciones de valor: Se denomina ecuaciones de valor a las igualdades que surgen cuando en una misma

fecha o punto focal se reúnen flujos de caja ubicados en distintas fechas. La ecuación se forma estableciendo que, dentro de la relación de equivalencia del capital con los intereses y el tiempo, la sumatoria de los ingresos es igual a la sumatoria de los egresos cuando se hace en la misma fecha o punto focal.

Σ Ingresos = Σ Egresos (en el punto focal) Para entender mejor el concepto, se propone a continuación un ejercicio en el cual se

utiliza una ecuación de valor, utilizando el interés simple. Ejemplo: Si se debe cancelar una deuda de $200,000 dentro de 3 meses, otra de $500,000

dentro de 7 meses y una última de $420,000 dentro de un año, cifras todas que ya incluyen intereses, y el deudor propone una refinanciación cancelando $300,000 hoy y el saldo en 10 meses, con intereses del 30%, ¿Cuál debe ser el valor pagado en 10 meses para que las deudas queden canceladas?

200.000 500.000 420.000 0 10 3 7 12 meses

300.0 x Para hallar la solución se deben ubicar tanto las deudas como los pagos en el

momento 10 o punto focal. Primero se trabaja con las deudas, ubicándolas en el punto focal y sumándolas, así: Los $200,000 deben desplazarse 7 períodos hacia el futuro, los $500,000 deben

moverse 3 períodos hacia el futuro y los $420,000 deben moverse 2 períodos hacia el pasado.

Como F = P ( 1 + it ) Por lo tanto F1 = 200,000 [1 + (0.30)(712)] = 235,000 F2 = 500,000 [1 + (0.30)(312)] = 537,500

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F Como P = ──────── 1 + it 420,000 Por lo tanto P = ─────────────── = 400.000 1 + (0.30)(212) Total de las deudas en el punto focal = 1,172,500 En seguida se trabaja con los pagos, colocándolos en el punto focal y sumándolos. Es necesario desplazar el pago de $300,000 que se hace hoy, para dentro de 10

meses. F = 300,000 [1 + (0.30)(1012)] = 375,000 El valor del pago que debe realizarse en el momento 10 y que es el valor

desconocido, se denomina con X. Por lo tanto la suma de los valores de los pagos en el momento 10 es:

Total de los pagos en el punto focal = 375,000 + X Ahora se puede entonces plantear la ecuación de valor, así: Σ Deudas = Σ Pagos 1,172,500 = 375,000 + X Por lo tanto X = 797,500 Pagando la suma de $797,500 dentro de 10 meses quedan canceladas las deudas.

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11 3.6- Ejemplos de solución de problemas de interés simple y descuento a través de

EXCEL.

Ejemplo No.1 El Banco A le presta al Sr. Gómez $1.500.000 por un tiempo de 6 meses con tasa de

interés del 24% anual. ¿Cuánto ganó el banco por intereses?

Ejemplo No.2 Si dentro de 2 años se debe pagar un monto de $4,000,000 que incluyen capital e

intereses simples a la tasa del 32% anual, ¿Cuánto se debería cancelar si se decidiera pagar hoy?

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Ejemplo No.3 El Sr. Andrade pidió $7,000,000 al Banco, quien le cobró por anticipado los intereses a

la tasa del 30% durante el plazo de 90 días. ¿Cuánto recibió el Sr. Andrade del Banco?

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3.7- Problemas de interés simple y descuento para resolver En algunos de los ejercicios que se presentan a continuación, se da la respuesta, en

negrilla, con el fin de que el lector compare el resultado de sus propios cálculos con los resultados presentados.

1- Se tiene una letra de $2.500.000 que vence dentro de 4 meses la cual reconoce

intereses a la tasa del 2.5% mensual simple. Faltando tres meses para su vencimiento se quiere negociarla en un banco que la descuenta al 3.2% mensual simple. ¿Cuánto se recibe por la letra?

Se recibe por la letra 2.486.000 2- Asumamos que tenemos tres documentos por cobrar, así: $85.000 para el 1º de Mayo,

$105.000 para el 1º de Julio y $350.000 para el 1º de Agosto. En vista de que necesitamos liquidez los entregamos a un intermediario que obtiene el 4% mensual de interés simple en sus inversiones. ¿Cuánto dinero esperamos recibir si la negociación la realizamos el 1º de Abril?

Si el negocio se hace el 1º de Abril 477.204,91 3- Durante 145 días con una tasa de interés simple del 31.61% anual, un capital de $x

produjo por intereses la suma de $154.159,13; determinar el valor del capital invertido si se considera el año de 365 días.

Capital invertido 1.227.636 4- ¿En cuánto tiempo un capital de $2.520.000 se convierte en $3.150.000 si la tasa de

interés simple es del 37.5% anual? En un total de: 240 días. 5- Un banco emite un CDT por $12.540.000 en el mercado primario con plazo de un año e

intereses del 34% anual pagadero trimestre vencido. Determinar el valor de los intereses que debe pagar periódicamente.

Intereses periódicos 1.065.900 6- ¿Cuál es la tasa de interés simple anual, si con $620.000 se cancela una deuda de

$500.000 al cabo de un semestre? ¿Cuál es la tasa mensual de interés? Tasa de interés anual: 48% anual Tasa de interés mensual: 4% mensual

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7- Hace dos meses se suscribió un documento de préstamo cuyo valor final, que incluye capital e intereses es de $4.200.000, con vencimiento a 5 meses. Si se considera la tasa de interés del 33% simple anual, ¿Qué cantidad se recibió en préstamo?

Cantidad recibida en préstamo 3.692.307.69 8- Un banco cobra una tasa anticipada del 40% sobre el valor de un préstamo. Determinar

el valor del mismo si el prestatario recibe $170.000 por un préstamo a 60 días. Valor del préstamo: 182.142,86 9- Hace año y medio se compró una máquina por $750.000; si la tasa de interés simple es

del 15% semestral, ¿por cuánto se debe vender hoy para obtener dicho rendimiento? Valor de venta 1.087.500 10- Un inversionista tiene la opción de elegir una de las siguientes alternativas, ¿qué le

recomienda usted? a)- Comprar de contado un terreno por $25.000.000 esperando venderlo dentro de

dos años por $42.000.000 b)- Prestarle los $25.000.000 a una entidad que le reconoce una tasa de interés

simple del 30% anual. Si compra y vende el terreno: 34% anual de interés Si presta el dinero recupera: 40.000.000 11- La Compañía XYX obtiene un préstamo por $3.000.000 a dos años de plazo, con una

tasa de interés simple bimestral del 3% ¿Cuánto pagará al final de los dos años al devolver el préstamo recibido?

Valor pagadero a los 2 años 4.080.000 12- Si de un préstamo otorgado por $2.175.000 se recibieron $2.000.000 netos en

préstamo a 90 días, ¿qué tasa de interés simple se cobró? Se cobró interés anual de: 32.1839% 13- ¿En qué fecha se descontó un documento con valor nominal de $5.750.000 si su fecha

de vencimiento era el 15 de Octubre, el tipo de descuento comercial fue del 32% anual y el valor descontado fue de $531.560? Haga el cálculo de la fecha tanto en tiempo exacto como en tiempo comercial.

La fecha en tiempo exacto fue: 3 de Julio La fecha en tiempo comercial fue: 1 de Julio

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4- INTERÉS NOMINAL ANUAL Y CONCEPTO DE CAPITALIZACIÓN 4.1 Definición de Interés nominal. Es aquel en el cual la tasa de interés anunciada se expresa casi siempre como una tasa

referida a una base anual (explícita o tácita), pero inmediatamente seguida del período real de aplicación y la modalidad de pago, ya sea anticipada o vencida. Ejemplo: 30% anual trimestre vencido, o el 24.32% anual semestre anticipado. El interés nominal, como ya se dijo, puede expresarse igualmente para períodos menores a un año. Matemáticamente hablando, el interés nominal puede multiplicarse o dividirse, para obtenerlo en períodos ya sean mayores o menores. Como el interés no se capitaliza su comportamiento se asimila al de las tasas de interés simple.

4.2- Definición de Interés efectivo. Es aquel en el cual se especifica la tasa de interés que realmente se aplica por período

y el período de aplicación. Se expresa como interés pagadero en forma vencida. Ejemplos: 36% efectivo anual, 10% efectivo semestral o 2.5% efectivo mensual. Se usa para comparar rentabilidades.

4.3- Cálculo de interés nominal. El interés nominal se expresa casi siempre, salvo que se diga lo contrario, en términos

anuales. Así por ejemplo, si se dice el 24% se entiende que es anual. El interés del 24% trimestre vencido indica entonces que se calculan los intereses a la

tasa del 24% anual pero con aplicación cada tres meses, es decir al 6% cada trimestre. Por lo tanto, para determinar el interés periódico se divide el interés nominal anual por el

número de períodos que hay en el año.

dias

360

anual nominal interesperiodico interes dias

De la fórmula anterior se deduce que el interés nominal anual es igual al interés

periódico multiplicado por el número de períodos que hay en el año.

dias

360 periodico interes anual nominal interes dias

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4.4- Concepto de capitalización como base para el interés efectivo anual. Para calcular el interés que realmente se recibiría al término de un año o interés

efectivo anual, es necesario definir el concepto de capitalización que caracteriza el interés compuesto.

Por capitalización se entiende el proceso mediante el cual se adicionan los intereses

al capital al final de cada período de capitalización. Período de capitalización es la fracción de tiempo para la cual se liquida el tipo de

interés. Una vez conocido el interés compuesto es posible determinar y calcular el interés

efectivo anual, el cual depende para su cálculo de la fórmula de interés compuesto.

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5- INTERÉS COMPUESTO 5-1- Definición Interés compuesto es aquel en el cual al final de cada período convenido de

capitalización se agregan o capitalizan los intereses causados durante el mismo período al capital que los generó, para formar un nuevo capital que igualmente generará intereses.

5.2- Cálculo del interés compuesto. Fórmulas En la misma forma como se hizo para el interés simple, es necesario definir algunos

elementos que se usan en la formulación del interés compuesto, a saber:

P : Es la cantidad única que se coloca en el momento cero o punto focal.

F : Es la suma acumulada al final de los períodos de capitalización. A : Es la cantidad igual y periódica, o anualidad, que se coloca

durante períodos sucesivos. n : Es el número de períodos durante los cuales se aplica la

capitalización de intereses. ipv : Es la tasa periódica vencida de interés aplicada en cada período

de capitalización. Cuando se coloca dinero a interés compuesto, el proceso de capitalización que se

produce se expresa matemáticamente así: Al final del primer período, se tiene F1 = P + P.ipv = P ( 1 + ipv) Al final del segundo período, se tiene F2 = P (1 + ipv) + P (1 + ipv) ipv = P (1 + ipv)

2

Al final del tercer período, se tiene F3 = P (1 + ipv)

2 + P (1 + ipv)

2 ipv = P (1 + ipv)

3

Al final de cualquier período n, la expresión que define el valor futuro en función del

valor presente, la tasa vencida de interés y el número de períodos, es la siguiente:

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vn

F P 1 ip

Para determinar el valor presente en función del valor futuro, la tasa de interés y el número de períodos, la fórmula es la siguiente:

nipv1

FP

Si se requiere calcular la tasa de interés es necesario despejar “ipv” de la fórmula del valor presente, mediante la siguiente expresión:

1P

Fipv n

Cuando se requiere calcular el número de períodos es necesario recurrir a los logaritmos mediante la fórmula siguiente:

ipv)1log(

P

Flog

n

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19

5.3- Determinación del interés efectivo anual. Definición y fórmulas. 5.3.1- Definición de Interés efectivo anual. Interés efectivo anual es la tasa de interés que aplicada una sola vez al año produce o

produciría el mismo valor futuro que el que se obtiene o se obtendría al final de un año, al aplicar y capitalizar la tasa periódica, en las mismas condiciones iniciales, "n" veces durante un año.

Por tratarse de intereses capitalizados su comportamiento se asimila al de las tasas de interés compuesto.

5.3.2- Fórmulas para el cálculo del interés efectivo anual. Utilizando la ecuación que expresa el valor futuro en función del valor presente y

realizando algunas transformaciones algebraicas es posible determinar una fórmula que exprese el interés efectivo anual en función del interés periódico.

A continuación se presenta la fórmula que permite calcular el interés efectivo anual en función del interés periódico, cuando éste último corresponde a modalidad vencida.

1 vencidoperiodico i1anual efectivo i Dias

360

dias

En forma similar es posible hacer la deducción de la fórmula que permite calcular el

interés efectivo anual cuando el interés periódico corresponde a modalidad anticipada.

1anticipado periodico i-1anual efectivo i Dias

360

dias

De cada una de las fórmulas anteriores puede despejarse el interés periódico en

función del interés efectivo anual. La siguiente es la fórmula que permite calcular el interés periódico vencido en función

del interés efectivo anual:

1anual efectivo i1 vencidoperiodico i 360

Dias

dias

A continuación se indica la fórmula para calcular el interés periódico anticipado en

función del interés efectivo anual:

360

anual efectivo i11 anticipado periodico i dias

Dias

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Ejemplos: 1-Un inversionista desea escoger la mejor alternativa para invertir su dinero a un año,

entre varias que le ofrecen en una entidad financiera. Tales opciones son las siguientes: a) El 26% anual trimestre vencido. b) El 24% anual trimestre anticipado. c) El 26.5% anual semestre vencido. d) El 22% anual año anticipado e) El 28% efectivo anual. ¿Cuál le recomendaría usted, a fin de que obtenga el mayor beneficio? Para resolver el problema es necesario convertir todas las alternativas a interés efectivo

anual, que es el que se utiliza para hacer comparaciones, a fin de recomendar la mejor. Para ello se utilizan las fórmulas deducidas anteriormente.

a) El 26% anual trimestre vencido: Se determina el interés periódico pagado bajo esta modalidad: i anual 0,26 ip = = = 0,065 # períodos 4 Se determina el interés efectivo anual: i efectivo anual = (1 + ipv)

360÷días - 1

i efectivo anual = (1 + 0,065)

360÷90 - 1 = 28,65% anual

b) El 24% anual trimestre anticipado: i anual 0,24 ipa = = = 0,06 # períodos 4 i efectivo = (1 - ipa)

-360÷dias - 1

i efectivo = (1 - 0,06)

-360÷90 - 1 = 28,08% anual

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21

c) El 26,5% anual semestre vencido. Utilizando la misma metodología del literal a) se tiene: i efectivo anual = (1 + 0,1325)

360÷180 - 1= 28,25% anual

d) El 22% anual año anticipado Utilizando la misma metodología del literal b) se tiene: i efectivo anual = (1 - 0,22)

-360÷360 - 1 = 28,21% anual

e) El 28% efectivo anual. Un cuadro resumen permite ver con más facilidad cuál es la mejor alternativa:

Modalidad propuesta Interés efectivo anual

26% anual trimestre vencido. 28,65%

24% anual trimestre anticipado 28,08%

26,5% anual semestre vencido 28,26%

22% anual año anticipado 28,21%

28% efectiva anual 28,00%

De las alternativas propuestas, la mejor es el 26% trimestre vencido pues representa

la tasa de interés efectiva más alta, el 28,65% efectivo anual. 5.3- Concepto de tasas equivalentes: Se dice que dos tasas nominales de interés son equivalentes entre sí cuando

aplicadas cada una de ellas con su propia periodicidad y su correspondiente modalidad de pago, producen el mismo valor futuro al cabo de un año, o lo que es lo mismo producen la misma tasa efectiva anual de interés. Igualmente, dos tasas son equivalentes entre sí cuando conducen a, o provienen del mismo interés efectivo anual.

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5.4- Tasas comparables:

Con el objeto de ilustrar sobre la forma de hacer comparables las tasas de interés, es necesario hacer algunas consideraciones acerca de los aspectos básicos que inciden en la determinación de la verdadera tasa de interés.

a- El dilema de la rentabilidad, la seguridad y la liquidez. b- Las tasas de interés antes y después de impuestos. c- La tasa de interés real vs. el índice de inflación. d- La tasa neta de devaluación. a- El dilema de la rentabilidad, la seguridad y la liquidez. Toda inversión que se realiza debe analizarse no sólo en consideración a la

rentabilidad que ofrece, sino también teniendo en cuenta la liquidez y la seguridad o nivel de riesgo de la inversión.

Quizás el factor más importante a considerar es el correspondiente a la seguridad,

que hace referencia a la certeza que se tiene de recibir, durante el plazo de la inversión, el capital invertido y sus rendimientos. Generalmente a mayor incertidumbre sobre el desempeño de la entidad emisora, el rendimiento debe ser superior al ofrecido por alternativas en las que el riesgo sea menor.

También debe considerarse la liquidez, concepto que se puede entender como la

posibilidad que tiene la inversión de ser convertida en dinero, ya sea antes o al vencimiento de su plazo. Se dice que una inversión tiene alta liquidez cuando el período de vencimiento hasta convertirla nuevamente en efectivo es corto, o cuando es fácilmente negociable; la inversión es de baja liquidez cuando su plazo de maduración es bastante largo y es imposible o muy difícil negociarla. Generalmente la rentabilidad es mayor cuando la inversión tiene menor liquidez y plazos más largos.

Igualmente debe considerarse la rentabilidad, concepto que se refiere a la retribución

económica que tiene el inversionista mientras tiene su dinero en la inversión. Entre mayor es la retribución, la rentabilidad es más adecuada y viceversa.

b- Las tasas de interés antes y después de impuestos. En relación con las tasas de interés antes y después de impuestos se debe considerar

que no todos los inversionistas tienen el mismo tratamiento tributario, pues algunos de ellos como las entidades sometidas al control y vigilancia de la Superintendencia Bancaria no son sujetos de retención en la fuente por rendimientos financieros, o porque las diferencias de nivel de tributación en las personas naturales hacen que no todos los intereses sean gravados a la misma tasa de impuestos.

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c- La tasa de interés real vs. el índice de inflación. La tasa de interés real busca medir el rendimiento de una inversión en términos del

poder real de compra, es decir eliminando la distorsión producida por la inflación. Con relación a la inflación es importante determinar un índice adecuado ya que el

cálculo del interés real difiere si se emplea el crecimiento en precios de la canasta familiar o el incremento de los precios para los productores de bienes y servicios.

La relación entre la tasa de interés real y la inflación, relación que se conoce como

efecto Fisher, hace surgir el concepto de interés nominal y es la siguiente:

nominal real inflación(1 i ) 1+i 1 i

en donde : i real : Tasa de interés real. I inflación : Tasa o índice de inflación. I nominal : Tasa de interés nominal. De esta última fórmula se deduce la correspondiente al interés real:

nominal

real

inflación

1+ii = 1

1+i

También la correspondiente al interés nominal:

nominal real inflacióni = 1+i 1 i 1

Ejemplo: Una institución financiera de un país con inflación esperada del 19% anual tiene dos

posibilidades de prestar dinero: - Presta con interés nominal del 34.8% anual. - Presta con interés real anual del 12% reajustable por inflación. ¿Cuál de las formas de prestar le conviene más a la institución financiera? Para encontrar la solución al problema planteado se determina, en ambos casos, una

tasa de interés común, como por ejemplo la tasa de interés real, que se calcula tomando como base las fórmulas deducidas anteriormente. La tasa de interés real para la primera posibilidad de préstamo, es la siguiente:

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real1+0.384

i = 1 13.277%1+0.19

Por lo tanto, a la entidad financiera le conviene más prestar bajo la modalidad de

interés nominal, pues su tasa de interés real es del 13.277%, mayor que el 12% de interés real de la segunda posibilidad.

d- La tasa neta de devaluación. Con respecto a esta última consideración es necesario aclarar que la devaluación es

la disminución del poder adquisitivo de una moneda local frente a otra moneda extranjera. Su tratamiento matemático es similar al de la tasa de inflación y la tasa de interés real, ya que corresponde a la combinación de dos tasas en una sola, que está compuesta de ellas.

local exterior devaluación(1 i ) 1+i 1 i

En donde: i exterior : Tasa de interés en el extranjero. i devaluación : Tasa de devaluación. i local : Tasa de interés local. De la fórmula anterior se deduce la correspondiente al interés en el extranjero:

local

exterior

devaluación

1+ii = 1

1+i

Igualmente la correspondiente al interés local:

local exterior devaluación= 1+i 1 i 1i

Ejemplo: La empresa XYZ coloca 700.000 unidades monetarias locales en un depósito en el

exterior a una tasa del 10% anual durante un año, período durante el cual en el país la devaluación se presupuesta en el 16% anual. ¿Qué tasa local puede ser comparable con la ofrecida por el depósito mencionado, si la tasa de cambio a la que se convirtió la moneda local fue de 350 unidades monetarias locales por cada unidad monetaria extranjera?

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25

El problema puede solucionarse en varios pasos o mediante el uso de una fórmula que combine el valor presente con la tasa de interés para determinar el valor futuro.

Los pasos necesarios para resolverlo son los siguientes: 1) Convertir las unidades monetarias locales a moneda extranjera. 700.000 350 = 2.000 2) Calcular los intereses generados por el depósito en moneda extranjera durante

el plazo de un año. 2.000 x 0.10 = 200 3) Calcular la tasa de cambio de moneda extranjera por moneda local, al cabo de

un año: 350 x 1.16 = 406 4) Convertir la moneda extranjera en moneda local a la nueva tasa de cambio

calculada. 2.200 x 406 = 893.200 5) Determinar la tasa de interés que hizo posible que 700.000 unidades

monetarias locales se conviertan en 893.200 unidades monetarias locales, en el plazo de un año.

893,200

= 1 27.6%700,000

i

Es posible llegar a la misma tasa de interés calculada por el procedimiento anterior,

sin tener que hacer el cálculo completo, utilizando la fórmula que se dedujo para el interés local.

local exterior devaluación= 1+i 1 i 1i

local= 1+0.10 1 0.16 1 27.6%i

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5.5- Ejemplos de solución de problemas de conversión de tasas de interés nominal anual e interés efectivo anual.

Ejemplo No.4 ¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual equivalente al 26% anual trimestre vencido?

Ejemplo No.5 ¿Cuál es la tasa de interés nominal anual mes anticipado equivalente al 35,18%

efectiva anual?

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5.6 Problemas de tasas de interés equivalentes para resolver En algunos de los ejercicios que se presentan a continuación, se da la respuesta, en

negrilla, con el fin de que el lector compare el resultado de sus propios cálculos con los resultados presentados.

1- Hallar la tasa efectiva anual equivalente al 28% nominal anual capitalizable tanto

anticipadamente como vencido, si la capitalización es: Anticipado Vencido a- Mensual 32,7528 31,8881 b- Bimestral 33,2083 31,4772 c- Trimestral 33,6805 31,0796 d- Semestral 35,2082 29,9600 2- Una entidad financiera asegura tasa efectiva anual del 38,05% mediante

capitalización de interés mensual. ¿Cuál es la tasa nominal vencida, tanto en términos anuales como en términos mensuales?

Tasa nominal anual 32,6817% anual Tasa nominal mensual 2,7235% mensual 3- Otra entidad financiera ofrece tasa efectiva anual del 36,11% mediante capitalización

anticipada. ¿Cuál es la tasa nominal periódica anticipada y cuál la tasa nominal anual anticipada?, si la capitalización es:

Periódica Anual a- Mensual 2,5364 30,4367 b- Trimestral 7,4178 29,6712 d- Semestral 14,2854 28,5707 e- Anual 26,5300 26,5300 4- ¿Cuál es la tasa semestral vencida equivalente a una tasa bimestral vencida del

4,04%? Tasa nominal anual 24,2400% bimestre vencido Tasa efectiva anual 26,8242% Tasa nominal anual 25,2325% semestre vencido Tasa semestral vencida 12,6162%

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5- ¿Cuál es la tasa periódica vencida para 10 meses equivalente a una tasa mensual vencida del 2%?

Tasa nominal anual 24,0000% mes vencido Tasa efectiva anual 26,8242% Tasa nominal anual 26,2793% diez meses vencido Tasa periódica vencida para 10 meses 21,8994% 6- ¿Cuál es la tasa mensual vencida equivalente a una tasa semestral vencida del

16,32%? Tasa nominal anual 32,6400% semestre vencido Tasa efectiva anual 35,3034% Tasa nominal anual 30,6191% mes vencido Tasa mensual vencida 2,5516% 7- ¿Cuál es la tasa periódica vencida para 7 meses equivalente a una tasa trimestral

vencida del 6%? Tasa nominal anual 24,00% trimestre vencido Tasa efectiva anual 26,2477% Tasa nominal anual 24,9663% siete meses vencido Tasa periódica vencida para 7 meses 14,5637% 8- ¿Cuál es la tasa semestral vencida equivalente al 14% semestral anticipado? Tasa efectiva anual 35,2082% Tasa nominal anual 32,5581% semestre vencido Tasa semestral vencida 16,2791% 9- ¿Cuál es la tasa nominal anual capitalizable mensualmente que equivale al 28% anual

capitalizable semestralmente? Tasa efectiva anual 29,9600% Tasa nominal anual 26,4939% mes vencido 10- ¿Cuál es la tasa nominal anual pagadera mes vencido equivalente al 12% anual

pagadero trimestre vencido? Tasa efectiva anual 12,5509% Tasa nominal anual 11,8820% mes vencido

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5.7- Cálculo de interés compuesto y su relación con el interés efectivo anual. Una explicación sencilla. Para la mayoría de los inversionistas a quienes las fórmulas mostradas en

anteriormente les pueden parecer no sólo complicadas sino también difíciles de interrelacionar con los intereses efectivos, es conveniente y necesario determinar una forma fácil de obtener no sólo el rendimiento efectivo de su inversión, sino también establecer las sumas correspondientes a los valores presentes o futuros invertidos.

Si un inversionista compra hoy un título por un precio de compra P y lo vende al final

de un período por un precio de venta F, mayor que el precio de compra, obtiene una utilidad y por lo tanto un rendimiento o interés en la inversión, medido este último por la relación entre la diferencia del precio de compra y el precio de venta, sobre el valor invertido.

F-P

interés periódico vencido = P

Factorizando: F

interés periódico vencido = 1P

vF

ip 1P

Como ya se vio, el interés efectivo anual, expresado en función del interés periódico,

se formula así:

360

díasvi efectivo anual = 1+ip 1

Por lo tanto, se puede hacer el reemplazo en la ecuación, para obtener una nueva

fórmula de interés efectivo, en función de los valores presentes y futuros, la cual queda así:

360

díasFi efectivo anual = 1

P

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De la fórmula anterior es posible deducir la correspondiente al valor presente en función del valor futuro y del tipo de interés, así:

días

360

FP =

1+ i efectivo anual

Igualmente, se deduce la fórmula del valor futuro en función del valor presente y del

tipo de interés, así:

días

360F = P 1+ i efectivo anual

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5.8 Ejemplos de solución de problemas de interés compuesto mediante EXCEL

Ejemplo No.6 Una persona invierte $600,000.00 en un depósito a término fijo por seis (6) meses. Si

se le garantiza una tasa del 32% anual capitalizado trimestralmente. ¿Cuál es el valor final obtenido?

Ejemplo No.7 Usted quiere tener $400.0000 dentro de ocho (8) meses. Para invertir se le ofrece la

posibilidad de hacerlo en una entidad que paga el 12% efectivo anual. ¿Cuánto debe invertir hoy?

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5.9- Problemas de interés compuesto, esquema ingreso egreso o viceversa, para resolver En algunos de los problemas que se presentan a continuación, se da la respuesta, en

negrilla, con el fin de que el lector compare el resultado de sus propios cálculos con los resultados presentados.

1- Calcule el monto o valor futuro a interés compuesto en que se convierten $1,000 al

cabo de ocho (8) años si el interés es del 36% anual y las capitalizaciones son: a- Trimestrales 15.763,33 2- Una persona recibe $1.939.982,42 por haber invertido en un depósito a término fijo

por nueve (9) meses. Si el banco le pagó una tasa del 18% anual capitalizado trimestralmente, ¿cuál es el valor de la inversión?

Valor final del documento 1.700.000,01 3- Usted quiere tener $400,000dentro de ocho (8) meses. Para invertir se le ofrece la

posibilidad de hacerlo en una entidad que paga el 2% mensual capitalizado anticipadamente con la misma periodicidad. ¿Cuánto debe invertir hoy?

Debe invertir 340.305,21 4- Si se invierten $500.000 a interés del 40% nominal anual capitalizado trimestralmente,

¿cuánto se acumula al cabo de nueve (9) meses? Se acumulan 665.500,00 5- ¿Cuánto se debe invertir hoy para tener $1.200.000 dentro de cinco (5) años,

$1.200.000 dentro de ocho (8) años y $1.200.000 dentro de diez (10) años, si la tasa de interés es del 18% anual y se hacen capitalizaciones semestrales?

Se debe invertir 1.023.253,75 6- Una máquina llega al final de su vida dentro de un año y medio y para reemplazarla se

comprará otra que cuesta $800.000. La máquina vieja será recibida como parte de pago en $150.000. ¿Qué depósito se debe hacer hoy en una cuenta que paga el 28% anual capitalizable trimestralmente, para poder hacer la compra en el momento oportuno?

Se deben depositar 433.122,45

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7- Si un inversionista desea $50,000 dentro de seis (6) meses, ¿cuánto deberá colocar

hoy en una alternativa de inversión que le genera un rendimiento del 30% nominal anual, capitalizado trimestre vencido?

Deberá colocar 43.266,63 8- ¿A qué tipo de interés nominal anual capitalizado cada trimestre vencido se deben

colocar hoy $26.000 para obtener $30.046,25 dentro de seis (6) meses? Interés nominal anual 30,00% 9- ¿Cuánto se debe depositar hoy en una entidad que reconoce el 31% anual convertido

mensualmente, si se quiere tener $500.000 al cabo de un (1) año? Se deben depositar 368.169,94 10- Una persona debe pagar dentro de seis (6) meses una letra por $50,000 más

intereses del 30% anual capitalizados trimestralmente. Si la letra correspondiente es vendida dos (2) meses antes del vencimiento y el comprador desea ganar en la compra de la letra un interés del 3% mensual capitalizado mensualmente sobre la inversión, ¿cuánto paga como precio de compra por la letra?

Debe pagar 54.464,37 11- Un inversionista desea obtener un interés efectivo que equivalga al 32% anual

pagadero por trimestre anticipado, al comprar un CDT, en el mercado secundario, título emitido originalmente a 90 días, con intereses pagaderos al 30% trimestre vencido. ¿A qué precio se debe efectuar la transacción si al título le faltan 45 días al vencimiento?

El precio debe ser 103,1104 12- Un CDT emitido el 10 de Abril con plazo de un año paga el 28% trimestre vencido. Si

un inversionista lo compra el 15 de febrero del año siguiente al de su emisión y obtiene durante su tenencia una rentabilidad total del 38,23% efectivo anual, ¿a qué precio neto lo compró?

Precio neto de compra 101,8364

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6- ANUALIDADES Se define una anualidad como una sucesión de pagos, depósitos o retiros iguales,

que se realizan a intervalos de tiempo iguales, con interés compuesto. Los pagos periódicos pueden ser anuales, semestrales, trimestrales, mensuales, o de

cualquier otra periodicidad. Período de pago: es el tiempo que transcurre entre dos pagos periódicos sucesivos. Tasa de la anualidad: es la tasa de interés periódica vencida aplicada entre dos

pagos iguales. Se representa por "ipv". Plazo de la anualidad: es el tiempo que transcurre entre el principio del primer

período y el final del último período de la anualidad. Se representa por "n". 6.1- Clasificación y formulación de las anualidades Los pagos de una anualidad pueden hacerse al principio o al final de cada período;

puede ser que se hagan desde el primer período o a partir de algunos períodos después de iniciado el plazo. Dependiendo de estas y otras variables, las anualidades pueden clasificarse en la forma siguiente:

Anualidad cierta: Están definidas en forma precisa tanto la fecha de inicio, la cantidad pagada, como la

fecha de terminación. Ejemplo: el pago de una cuota de un crédito para vehículo. Anualidades inciertas o eventuales: Tienen un tiempo esperado de duración pero no se puede precisar su fecha de

iniciación ni de terminación. Ejemplo: el pago de una pensión de jubilación. Anualidad a término: Tiene un plazo preciso. Renta perpetua: Su plazo es ilimitado. Ejemplo: Cuando una institución filantrópica hace una donación

de un capital para con su producido ayudar al sostenimiento de una entidad de caridad o una escuela.

Anualidad vencida: Cuando los pagos se realizan al final de cada período. Ejemplo de pago vencido: el

pago del salario.

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Anualidad anticipada: Si el primer pago se efectúa al inicio de cada período, Ejemplo de pago anticipado: el

arrendamiento de un bien inmueble. Anualidad diferida: Es aquella en la cual el primer pago se realiza después de transcurridos uno o más

períodos. Anualidad con cuota global: Es aquella en la cual, en algún momento de su vida, al final o en períodos

intermedios, tiene lugar un pago mayor que los pagos periódicos. Se conoce también como cuota extraordinaria.

6.1.1- Fórmulas aplicables a las anualidades con interés compuesto Para conocer los valores de las cuotas periódicas de una operación es necesario

integrar varios elementos, a saber:

P : Es el valor presente de las anualidades a pagar.

F : Es el valor futuro de las anualidades a pagar.

ipv : Es la tasa de interés periódica vencida, expresada en el mismo intervalo de tiempo del pago de las anualidades.

n : Es el número de pagos periódicos de las anualidades dentro del plazo.

A : Es el valor de la cuota periódica.

Al relacionar estos elementos se obtienen las siguientes fórmulas: Para determinar el valor presente en función de las anualidades:

n

n

1 ipv 1P A

(1 ipv) ipv

Para determinar el valor futuro en función de las anualidades:

n

1 ipv 1F A

ipv

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Para determinar el valor de la anualidad conocido el valor presente:

1ipv1

ipvipv1PA

n

n

Para determinar la anualidad en función del valor futuro:

1ipv1

ipvFA

n

Para conocer el valor presente en función de las anualidades anticipadas:

Para conocer el valor futuro en función de las anualidades anticipadas:

n(1 ipv) 1

F A 1 ipvipv

Para conocer el valor presente, cuando se trata de anualidades perpetuas, su expresión se deduce, así:

n

nn

1 ipv 1 AP A

ipv1 ipv ipvlim

ipv

AP

Debido a que no se conoce cuántas anualidades se van a pagar, la expresión se reduce ya que (1 + ipv)

-n tiende a tomar el valor de cero entre más numerosos sean

los períodos en los que se deben pagar las anualidades.

ipv1ipvipv1

1ipv1AP

n

n

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6.2- Amortización de deudas Amortizar una deuda es cancelarla mediante una serie de pagos que incluyen o no

capital e intereses, dependiendo de la modalidad del préstamo y de la forma como se causan y pagan los intereses.

6.2.1- Cuadro de amortización: La representación esquemática de la amortización de una deuda se hace a través del

denominado cuadro de amortización, que debe incluir, como mínimo, cinco columnas, a saber:

La primera corresponde al período de pago. La segunda refleja el saldo de la deuda al

finalizar el período en consideración, la tercera indica el valor pagado por intereses, la cuarta muestra la suma correspondiente al capital amortizado y la quinta señala el valor del flujo de caja total del período.

El cuadro de amortización debe indicar en sus filas las cifras correspondientes a las

columnas mencionadas, teniendo en cuenta que siempre se debe presentar el renglón correspondiente al período cero o inicio del préstamo.

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Ejemplo para amortización con abonos iguales a capital e intereses simples: Se tiene una deuda de $1,000,000 con plazo de un año, amortización trimestral con

abonos iguales a capital e intereses sobre saldos insolutos del 40% trimestre vencido. Preparar el cuadro de amortización correspondiente.

El valor de la cuota que se abona a capital se determina dividiendo el monto del

préstamo por el número de cuotas pactadas, de acuerdo con la fórmula siguiente: P Amortización = n En donde: P : Monto del préstamo. n : Número de cuotas pactadas.

Período Saldo final Intereses Capital Flujo de caja

0 1,000,000 -0- -0- 1,000,000

1 750,000 -100,000 -250,000 - 350,000

2 500,000 -75,000 -250,000 - 325,000

3 250,000 -50,000 -250,000 - 300,000

4 -0- -25,000 -250,000 - 275,000

Si los intereses se cobran a la tasa del 40% nominal anual trimestre anticipado el

cuadro de amortización es el siguiente:

Período Saldo final Intereses Capital Flujo de caja

0 1,000,000 -100,000 -0- 900,000

1 750,000 -75,000 -250,000 - 325,000

2 500,000 -50,000 -250,000 - 300,000

3 250,000 -25,000 -250,000 - 275,000

4 -0- -0- -250,000 - 250,000

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Ejemplo para amortización gradual, en cuotas iguales con interés compuesto, que contienen capital e intereses:

Se tiene una deuda de $1,000,000 con plazo de un año, amortización gradual en cuotas

iguales de amortización gradual, con intereses del 40% trimestre vencido. Preparar el cuadro de amortización correspondiente.

El valor de la cuota se determina utilizando la fórmula de anualidades en función del

valor presente, fórmula que se expresa a continuación:

v v

v

n1 ip ip

A P n1 ip 1

En donde: P : 1,000,000 ip : 0.10 n : 4

Período Saldo final Intereses Capital Flujo de caja

0 1,000,000.00 -0- -0- 1,000,000.00

1 784,529.20 -100,000.00 -215,470.80 -315,470.80

2 547,511.32 -78,452.92 -237,017.88 -315,470.80

3 286,791.64 -54,751.13 -260,719.67 -315,470.80

4 -0- -28,679.16 -286,791.64 -315,470.80

6.2.2- Período de gracia y período muerto. Cuando se habla de período de gracia, en relación con préstamos, existen dos

conceptos principales, a saber: Período de gracia propiamente dicho: durante el cual se causan y se pagan los

intereses del préstamo pero no hay pagos a capital, es decir que la deuda permanece constante. Cuando se otorga un préstamo de fomento bajo esta modalidad, se dirige básicamente al sector industrial.

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Período muerto: en el cual no hay pagos de capital ni de intereses, aunque estos

últimos si se causan incrementando el monto del préstamo. En Colombia no se acostumbra otorgar préstamos bajo esta modalidad. Algunas entidades de banca multilateral si conceden préstamos con período muerto, los cuales están casi siempre dirigidos al sector agropecuario.

Ejemplo para período de gracia: Se otorga un préstamo por $1,000,000 con plazo de un año y medio, intereses a la tasa

del 40% trimestre vencido, período de gracia de seis meses y amortización gradual trimestral en cuotas iguales.

Período Saldo final Intereses Capital Flujo de caja

0 1,000,000.00 -0- -0- 1,000,000.00

1 1,000,000.00 -100,000.00 -0- -100,000.00

2 1,000,000.00 -100,000.00 -0- -100,000.00

3 784,529.20 -100,000.00 -215,470.80 -315,470.80

4 547,511.32 -78,452.92 -237,017.88 -315,470.80

5 286,791.64 -54,751.13 -260,719.67 -315,470.80

6 -0- -28,679.16 -286,791.64 -315,470.80

Como puede observarse, los intereses correspondientes a los dos primeros trimestres

se cancelan a medida que transcurre el tiempo, dejando constante el monto de la deuda la cual se paga a partir del tercer trimestre en cuatro cuotas iguales de amortización gradual de $315,470.80 cada una.

Para el cálculo del valor de la cuota de amortización gradual se utiliza la fórmula que se

expresa enseguida:

v v

v

n1 ip ip

A P n1 ip 1

En donde: P : 1,000,000 ip : 0.10 n : 4

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Ejemplo para período muerto: Se otorga un préstamo por $1.000.000 con plazo de un año y medio, intereses a la tasa

del 40% trimestre vencido, período muerto de seis meses y amortización gradual trimestral.

Período Saldo final Intereses Capital Flujo de caja

0 1,000,000.00 -0- -0- 1,000,000.00

1 1,100,000.00 -100,000.00 100,000.00 -0-

2 1,210,000.00 -121,000.00 121,000.00 -0-

3 949,280.33 -121,000.00 -260,719.67 -381,719.67

4 662,488.69 -94,928.03 -286,791.64 -381,719.67

5 347,017.88 -66,248.87 -315,470.80 -381,719.67

6 -0- -34,701.79 -347,017.88 -381,719.67

Como puede observarse, los intereses correspondientes a los dos primeros trimestres

se agregan al capital, es decir se capitalizan, para formar un nuevo capital de $1,210,000 el cual se paga en cuatro cuotas trimestrales iguales de amortización gradual de $381,719.67 cada una.

Para el cálculo del valor de la cuota de amortización gradual se utiliza la fórmula que se

expresa enseguida:

v v

v

n1 ip ip

A P n1 ip 1

En donde: P : 1,210,000 ip : 0.10 n : 4

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6.3- Problemas de anualidades para resolver En algunos de los ejercicios que se presentan a continuación, se da la respuesta, en

negrilla, con el fin de que el lector compare el resultado de sus propios cálculos con los resultados presentados.

1- Un documento estipula pagos trimestrales de amortización gradual de $80,000 durante

seis (6) años. ¿Cuánto se paga si se cancela en un sólo pago al principio del período y los intereses son del 32% anual capitalizado trimestralmente vencido? ¿Cuánto se paga si se cancela al vencimiento del plazo?

Pago al principio 842.300,66 Pago al vencimiento 5.341.180,74 2- Una persona compra un automóvil en $6.000.000 de los cuales paga el 40% como

cuota inicial y el saldo es financiado en 36 cuotas mensuales iguales de amortización gradual, con intereses del 3.5% efectivo mensual. ¿De qué valor es la cuota?

Valor de la cuota 177.422,98 3- Si en la compra del automóvil del ejemplo anterior se ofrecen dos (2) cuotas

extraordinarias, la primera de $350,000 en el mes cinco (5) y la segunda de $500,000 en el mes diez y ocho (18). ¿Cuál es el valor de la cuota ordinaria?

Cuota ordinaria 149.633,07 4- La Compañía XYZ desea comprar una máquina cuyo costo será de $800,000 el 1º de

Diciembre de 2006. Con el objeto de disponer de esa suma futura comienza a hacer depósitos mensuales vencidos de $x en un fondo que paga el 30% anual capitalizable mensualmente. Si el primer depósito lo hace el 1º de Febrero de 2005, ¿cuál es el valor del depósito mensual?

Depósito mensual 26.157,10 5- Se necesitan $1.000.000 para la compra de una máquina. El Banco A ofrece prestar el

dinero pero exige que se le pague en sesenta (60) cuotas mensuales vencidas de amortización gradual de $36.132,96 ¿Qué tasa efectiva mensual (mensual vencida) cobra el banco?

Tasa mensual vencida 3.0%

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6- Una deuda de $800,000 será cancelada en pagos trimestrales de $78,000 durante tanto

tiempo como sea necesario. Si se supone una tasa del 30% capitalizable trimestralmente, ¿cuántos pagos de $78,000 deben hacerse? ¿Cuál es el valor del pago final hecho tres (3) meses después del último pago de $78,000 necesario para cancelar la deuda?

Pagos de $78,000.00 20.27 o sea 20 pagos Pago tres meses después 22,054.42 7- Desean reunirse exactamente $60,000 mediante depósitos mensuales de $1,000 en un

fondo que paga el 36% anual capitalizable mes vencido. ¿Cuántos depósitos de $1,000 deben hacerse? ¿Qué depósito adicional hecho conjuntamente con el último depósito de $1,000 completará los $60,000?

Depósitos de $1,000 34.83 o sea 34 depósitos Depósito adicional 2,269.82 8- Para cancelar una deuda de $2,000,000 con intereses del 36% capitalizado

trimestralmente se hacen pagos mensuales de $x durante quince (15) años. Calcular el valor de la deuda inmediatamente después de haber hecho el pago # 110.

Pagos mensuales 58,617.93 Saldo después cuota 110 1,742,137.15 9- Obtenga el valor de la incógnita (en negrilla o vacío) en cada renglón de la tabla que

sigue, si todo corresponde a anualidades vencidas. Valor Valor de Plazo Interés Frecuencia actual Anualidad años anual Capitaliz. en el año 6.100 -250 2.50 16.66% mensual (12) 3.144.68 -100 1.50 18% quincenal (24) 3.000 -467.60 3.00 45% trimestral (4) 15.000 -3.750 5.33 44% semestral (2) 10- Obtenga el valor de la incógnita (en negrilla o vacío) en cada renglón de la tabla que

sigue, si todo corresponde a anualidades anticipadas. Valor Valor de Plazo Interés Frecuencia futuro Anualidad años anual Capitaliz. en el año 4.000 -75 2.812 30% mensual (12) 1.288.93 -120 3.25 27% semestral (2) 10.000 -347.34 1.50 57% mensual (12) 3.750 -235.48 2.25 45% trimestral (4)

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11- Se adquiere un bien financiado así: 18 cuotas mensuales de $26.000 cada una siendo la primera dentro de 5 meses con tasa del 3,5% mensual. Al mes se opta por cancelar en un solo pago el valor de la deuda. ¿Cuál es el valor del pago único?

Valor del pago único 309,304.77 12- Ud. tiene un contrato que estipula el pago de una deuda mediante 30 cuotas mensuales

iguales de $22.000 cada una y un interés sobre saldos del 30% efectivo anual durante el primer año y del 33% efectivo anual de allí en adelante. Si usted desea pagar hoy este contrato en un solo pago, ¿De cuánto es dicho pago?

Valor del pago único 474,584.31 13- Ud. debe financiarle a una persona una deuda por valor de $3 millones, de hoy a veinte

meses con cuotas mensuales iguales y un interés del 29% nominal capitalizado trimestralmente durante el primer año y del 34,5% efectivo anual de allí en adelante. ¿De qué valor son las cuotas iguales?

Valor de las cuotas iguales 190,306.83 14- Financiar $1.000.000 a un año con cuotas mensuales iguales debiendo cancelar la

primera dentro de cuatro meses, sabiendo que la tasa de interés será del 3,5% mensual durante los cuatro primeros meses y del 4% mensual de allí en adelante. ¿De cuánto es la cuota?

Valor de la cuota 148,397.89

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6.4 Pagos extraordinarios

Como su nombre lo indica, los pagos extraordinarios son pagos adicionales a los normales con el fin de reducir el valor de la cuota ordinaria o para acortar el plazo de la deuda. Este tipo de pagos pueden ser pactados al tomar la deuda (o sea previamente pactados), o hacerse ocasionalmente.

Ejemplo El banco le presta al Sr. Pérez la suma de $2.000.000 a una tasa de interés del 28% nominal anual capitalizable trimestralmente. Se pacta cancelar la deuda con 6 pagos trimestrales y una cuota extraordinaria de $400.000 cada 9 meses. ¿Cuánto debe pagar cada período? Solución Los elementos del ejemplo son: ipv = 7% trimestral vencido equivalente al 28% NATV n = 6 períodos P = 2.000.000 Dos cuotas extraordinarias de $400.000 en el tercero y sexto períodos. Aplicando las fórmulas correspondientes, en la siguiente ecuación de valor se obtiene que:

636

6

07,01

000.400

07,01

000.400

07,007,01

1)07,01(A000.000.2

A = 295.170,93

Por lo tanto, las cuotas ordinarias son de $295.170,93 con excepción de los períodos tercero y sexto en los cuales se les suma la cuota extraordinaria, para pagar un valor total de $695.170,93 en cada uno de esos períodos.

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Ejemplo Del ejemplo anterior, el Sr. Pérez decide realizar un abono extraordinario de $750.000 en el cuarto período, para no tener que hacer el segundo pago extraordinario de $400.000. Hacer la tabla de amortización para los siguientes escenarios: a- El Sr. Pérez desea disminuir el valor de las cuotas hasta finalizar el plazo acordado. b- El Sr. Pérez desea acortar el plazo de la deuda. Solución Los elementos del ejemplo son: ipv = 7% trimestral vencido equivalente al 28% NATV n = 6 períodos P = 2.000.000 Dos cuotas extraordinarias, la una de $400.000 en el tercer período y la otra de $750.000 en el cuarto período, respectivamente. Escenario a. Disminuir el valor de las cuotas. Se elabora la tabla de amortización hasta el tercer período de igual manera que en el ejemplo No. 9 y como en el cuarto período se realiza un pago que no es planeado se suma la cuota ordinaria con la cuota extraordinaria de $750.000 dando como resultado $1.045.170,93. Con el saldo restante se calcula nuevamente el valor de los pagos uniformes, utilizando la fórmula asiguiente:

107,01

07,007,0191,049.133A

2

2

= 73.588,81

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Escenario b. Acortar el plazo de la deuda. Se hace la tabla de amortización hasta el tercer período y como en el cuarto período se realiza un pago que no es planeado se suma la cuota ordinaria con la extraordinaria de $750.000 dando como resultado $1.045.170,93. El valor del último pago es igual al saldo del período anterior más los intereses correspondientes, tal como se observa en la siguiente tabla:

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6.5 Gradientes o pagos variables

Concepto: Cuando se encuentran series de pagos o flujos de caja variables, cuyas aumentos o disminuciones son una misma cantidad con respecto a la anterior o cuya variación es el resultado de un aumento o disminución en un porcentaje fijo respecto del anterior, se dice que se está en presencia de un gradiente. Cuando el primero de los casos ocurre, es decir cuando la variación aritmética es constante, la serie de flujo de caja resultante se conoce con el nombre de gradiente lineal o gradiente aritmético. Si el flujo aumenta en una misma cantidad respecto del anterior se conoce como gradiente aritmético creciente. Si el flujo disminuye en una misma cantidad respecto del anterior se conoce como gradiente aritmético decreciente. Cuando la variación entre cifras consecutivas es un porcentaje fijo se conoce como gradiente geométrico. Si el flujo de caja aumenta respecto del anterior en un porcentaje constante se conoce como gradiente geométrico creciente, en tanto que si disminuye respecto del anterior en un porcentaje fijo se conoce como gradiente geométrico decreciente.

Gradiente aritmético La representación gráfica de una serie de gradiente aritmético creciente,

correspondiente a egresos es la siguiente: 100 200 300 400 500 Como puede observarse cada pago es mayor en 100 unidades al anterior.

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Gradiente geométrico Una serie de gradiente geométrico es aquel en el cual cada pago es igual al anterior

multiplicado por una constante que se representa por " 1 + J ", en donde la variable "J" es la tasa de crecimiento o variación de un pago con respecto al anterior.

Si " J " es positivo el gradiente será creciente. Si " J " es negativo el gradiente será decreciente. Si " J " es cero el gradiente equivale a una anualidad.

La representación gráfica de una serie de gradiente geométrico creciente, correspondiente a egresos es la siguiente:

100 110 121 133,10 Al dividir cada pago por el anterior se obtiene como constante 1,10 que indica que se

trata de una serie de gradiente geométrico creciente, con variación porcentual del 10% Manejo básico de las series de gradiente GRADIENTE ARITMETICO Para el manejo matemático de las series con variación aritmética es necesario definir

los términos que intervienen en su cálculo. Sean las siguientes variables: P : Valor presente. F : Valor futuro. Pago1 : Valor del primer pago. G : Valor del incremento. ip : Tasa periódica de interés. n : Número de pagos.

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Como la variación se representa por la letra "G" y el primer pago por "R1", puede

observarse que en un gradiente aritmético cada pago es igual al anterior más la constante "G".

El primer pago será entonces: Pago 1 = Pago 1 El segundo pago será Pago 2 = Pago 1 + G El tercer pago será Pago 3 = Pago 1 + 2 G El enésimo pago será Pago n = Pago 1 + (n - 1) G GRADIENTE GEOMETRICO Para el manejo matemático de las series con variación geométrica es necesario definir

los términos que intervienen en su cálculo. Sean las siguientes variables: P : Valor presente. F : Valor futuro. Pago 1 : Valor del primer pago. n : Número de pagos. ip : Tasa periódica de interés. j : Tasa de crecimiento de un pago con respecto al anterior. Como en una serie de gradiente geométrico el factor resultante al dividir un pago por el

anterior es (1 + i), se tiene lo siguiente: El primer pago será entonces: Pago 1 = Pago 1 El segundo pago será Pago 2 = Pago1 (1 + J) El tercer pago será Pago 3 = Pago 1 (1 + J)

2

El enésimo pago será Pago n = Pago 1 (1 + J)n-1

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Serie de pagos con gradiente escalonado Cuando se presentan series de pagos periódicos iguales durante un año pero

crecientes aritmética o geométricamente cada año, se dice que se está en presencia de una serie de gradiente escalonado. Sin embargo, no es necesario que los pagos deban ser mensuales, sino que pueden ser de cualquier periodicidad, con crecimiento escalonado con periodicidad mayor. A continuación se presenta un ejemplo gráfico de un gradiente escalonado con pagos trimestrales durante tres años.

El incremento periódico puede ser aritmético o en un porcentaje. Las cuotas fijas de

cada año se denominan intercuotas. Al igual que en los sistemas descritos anteriormente se hacen los pagos a intervalos regulares y existen tantas cuotas como períodos de pago. Así mismo en cada intercuota se pagan intereses, cada vez menores, sobre los saldos insolutos e igualmente se cancela una parte del capital en cada cuota.

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7- FLUJOS DE CAJA IRREGULARES Y SISTEMAS DE CÁLCULO DE RENTABILIDAD DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN

7-1 Tasa de interés de oportunidad y costo de capital. Conceptos. Si suponemos que a usted le regalan un dinero, tiene la posibilidad de colocarlo en un

depósito de ahorro, o en uno de valor constante UPAC o, quizá, en un certificado de depósito a término emitido por un banco, o en una inversión realizada a través de una Bolsa de Valores. Lo primero que debe considerar es, cuál es el tipo de interés que le ofrece cada una de las alternativas y una vez haya escogido aquella que le rente más, puede decirse que ese es su tasa de interés de oportunidad. Esta es una explicación simple, ya que desde el punto de vista teórico el inversionista debería tener un número ilimitado de alternativas de inversión entre las cuales, en un mercado transparente, podría escoger la mejor.

Si a usted mismo, en vez de recibir como regalo el dinero mencionado, le toca

conseguirlo en una entidad financiera, deseará obtenerlo al mínimo costo posible, el cual será su tasa de costo de capital. Igualmente, esta explicación es elemental pues teóricamente debería considerar una serie de variables relacionadas con la estructura financiera personal o de la empresa para la cual esta obteniendo los fondos.

Para quien se mueve en los negocios y por lo tanto debe colocar su dinero disponible u

obtener el que necesita para adelantarlos, lo ideal es que su costo de oportunidad sea mayor que su costo de capital.

En toda inversión se encuentra presente el concepto de riesgo, ya que el futuro no es

exactamente predecible. Algunas personas no desean someterse a él, en tanto que otras no le temen. Esa disposición al riesgo tiene su costo implícito, es decir que a mayor riesgo mayor interés. Da ahí surge el concepto de la tasa de rentabilidad mínima atractiva o TREMA que es propia de cada inversionista, en relación con su disposición al riesgo.

7-2 Sistemas de evaluación de alternativas de inversión. 7.2.1 Valor presente neto (VPN). Para su cálculo es necesario desplazar al período cero todos los ingresos y todos los

egresos de la alternativa de inversión, utilizando la tasa de interés de oportunidad y comparando esta equivalencia con el desembolso inicial.

El inversionista debe observar el resultado de su cálculo para decidir si es conveniente o

no realizar la inversión.

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Criterios de aceptación de inversiones por el sistema de valor presente neto: Si VPN (i) > 0 la inversión es recomendable. Si VPN (i) < 0 la inversión no es recomendable.

Si VPN (i) = 0 el inversionista es indiferente ante la inversión.

Si el resultado es positivo o igual a cero, significa que los ingresos que produce la

inversión son suficientes para garantizar la recuperación total de la inversión y obtener un rendimiento sobre capital no amortizado, equivalente a la tasa de descuento utilizada.

Ejemplo: ¿Cuál es el precio máximo que un inversionista debe dar por un negocio cuya vida útil

es de cinco años, si al final de cada año recibe ingresos de $1.200.000 y el valor final del negocio es de $10.000.000? La tasa de interés de oportunidad es del 30% anual El diagrama de flujo de caja es el siguiente:

10.000.000 1.200.000 1 2 3 4 5 años 1.200.000 1.200.000 1.200.000 1.200.000 11.200.000 VPN = + + + + (1,30)

1 (1,30)

2 (1,30)

3 (1,30)

4 (1,30)

5

En consecuencia, el inversionista debería pagar ahora un precio máximo de $5.615.974,45 por el negocio.

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7.2.2 Tasa interna de retorno (TIR) La Tasa Interna de Retorno (TIR) es aquella tasa de interés que hace que el valor

presente de los ingresos sea igual al valor presente de los egresos, o lo que es lo mismo que la diferencia entre el valor presente de los ingresos y el valor presente de los egresos de un proyecto, sea igual a cero.

Igualmente, es aquella tasa de interés que representa el porcentaje que se gana sobre

la parte de la inversión no amortizada, o aún involucrada en el proyecto, al comienzo de cada período.

El criterio utilizado para definir si la alternativa analizada es atractiva o no, es comparar

la Tasa Interna de Retorno (TIR) con la tasa de rentabilidad mínima atractiva o TREMA para el inversionista.

Si TIR > TREMA la inversión es recomendable. Si TIR < TREMA la inversión no es recomendable. Si TIR = TREMA el inversionista es indiferente ante la

inversión. Ejemplo: Hallar la Tasa Interna de Retorno (TIR) para el siguiente flujo de caja correspondiente a

una posibilidad de inversión en un proyecto: 35.000 30.000 25.000 1 2 3 (años) 50.000 25.000 30.000 35.000 (TIR) = - 50.000 + + + (1 +TIR)

1 (1 +TIR)

2 (1 +TIR)

3

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55

Al encontrarla mediante el uso de Excel se obtiene que la tasa interna de retorno es

equivalente al 33,8750%, porcentaje que se debe comparar con la tasa de rentabilidad mínima atractiva o TREMA, para saber si se escoge o no la inversión.

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7.3- Ejemplos de solución de un problema de valor presente neto mediante Excel Ejemplo No. 8

Suponga que usted desea comprar una máquina que tiene vida útil de 5 años y que genera ingresos anuales iguales durante su vida útil de $4.000.000. Al finalizar el año 5 es posible venderla en $3.000.000. La tasa de rentabilidad mínima atractiva (TREMA) para evaluar el proyecto es del 22%. Indique cuál es el valor presente neto y diga si el negocio es factible.

El valor presente de $12.564.557 quiere decir que si se compra la máquina en ese valor se obtiene un rendimiento del 22% sobre el capital no amortizado o que aún permanece invertido en el proyecto al final de cada año.

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7-4- Ejemplo de solución de un problema de tasa interna de retorno mediante Excel Ejemplo No .9

Suponga que usted decide comprar en $11.000.000 la máquina del ejercicio anterior que tiene vida útil de 5 años y que genera ingresos anuales iguales durante su vida útil de $4.000.000. Al finalizar el año 5 es posible venderla en $3.000.000. La tasa de rentabilidad mínima atractiva (TREMA) para evaluar si el proyecto es factible es del 22%. ¿Qué recomienda usted?

Como la tasa interna de retorno del 28,0049% es mayor que la TREMA del 22%, se concluye que el proyecto si es factible y por lo tanto se recomienda su compra. La TIR significa que se obtiene un rendimiento del 28,0049% sobre los fondos no amortizados o sea sobre los fondos que aún permanecen invertidos en el proyecto al final de cada período.

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8- BIBLIOGRAFÍA MEZA OROZCO, JHONNY DE JESÚS Matemáticas financieras aplicadas Bogotá, Ecoe Ediciones Segunda Edición, 2003, 520 pág. GARCÍA A. JAIME Matemáticas financieras con ecuaciones de diferencia finita Bogotá, Pearson Educación de Colombia Cuarta edición, 2000, 303 pág. CORREDORES ASOCIADOS S.A., Comisionista de Bolsa, Manual para el Cálculo de Rentabilidades Quinta edición, 1998, 168 pág. GUTIÉRREZ MARULANDA, LUIS FERNANDO. Decisiones financieras y costo del dinero en economías inflacionarias. Bogotá, Editorial Norma BACA CURREA, GUILLLERMO Ingeniería Económica Bogotá, Editorial Educativa Tercera Edición, 1994, 293 pág. VIDAURRI AGUIRRE, HECTOR MANUEL. Matemáticas financieras México, Cengage Learning Cuarta edición, 2008, 566 pág.