MBTEMTICBS FINBNCIERBS

Raimundo Alba Garca Jos Mara Vzquez de la Torre Prieto

ndice General

I Introduccin 2

II Inters simple y compuesto 4

III Ley nanciera de capitalizacin compuesta 6

IV Tanto nominal. Nueva frmula para el inters compuesto 9

V Prstamos 12

VI Mtodo de amortizacin francs 15

VI.1.Relacin entre capital inicial, inters nominal y tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

VI.2.Cuotas de inters y de amortizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

VII T.A.E.: Tasa Anual Equivalente 21

VIII Bibliografa 24

1

Parte J

Introduccin

2

Nuestra intencin es encender una luz en el mundo de los prstamos para aquellos que como nosotros

no son anes al campo de las nanzas. Quin no se ha encontrado en la situacin del futuro matrimonio

que nos ayudar en nuestra exposicin?

Les comentamos el caso de Borja y Mara: Dentro de dos meses se casan y acaban de pagar una

entrada para un piso. An as, les quedan por pagar 60.000 euros, por lo que deciden negociar con una

entidad bancaria para que les preste este dinero. El Banco X les ofrece un prstamo hipotecario a 4'5%

de inters nominal pagadero en cuotas mensuales.

Es en esta ltima frase donde Borja y Mara se pierden y lo nico que les interesa es conocer la

respuesta a la pregunta del milln: cmo quedara la cuota mensual? A lo que les responde el empleado

bancario que la cuota sera de 380 euros. El matrimonio ante la respuesta asiente y se conforma, ya

que en estos ltimos das han visitado otras entidades bancarias y han visto que ese inters nominal es

un poquito ms bajo que el que le ofrecan en otras (4'75, 4'63, ...), y por lgica la cuota debe ser ms

baja.

Pero siempre quedarn algunas preguntas en el aire: estar bien calculada la cuota? cmo se

calcula? cunto acabaramos pagando al nal?. Sabemos que con la cuota se paga parte del prstamo

o capital concedido, siendo la otra parte de inters. Cmo se calcula esa parte de capital que se paga?

(el resto ser de inters).

Siempre es bueno al menos conocer la frmula con la que se calcula la cuota y el capital pagado,

aparte de por curiosidad por seguridad (no sera la primera vez que un prestamista se equivocase).

Es nuestra intencin responder a stas y otras preguntas que se pueden plantear. Para hacer esta

tarea lo ms grata al lector se ha procurado desarrollar el tema sin caer demasiado en tecnicismos

nancieros, aunque se introducen los trminos ms usuales. Si bien, debido a nuestra condicin de

licenciados en Ciencias Matemticas, no hemos podido evitar realizar un desarrollo matemtico riguroso

para la deduccin de la mayora de las frmulas que aparecen, aunque a todo aquel que slo le interese

conocer las frmulas slo tendr que saltarse dicho desarrollo.

Por ltimo, sealar que en las frmulas aparecen subndices (ik, k es el subndice) lo que entraa unadicultad para todo aquel no acostumbrado en el clculo simblico de las Matemticas, pero optamos

por no eliminarlo para precisamente mantener la rigurosidad matemtica. Para salvar esta dicultad se

han aadido ejemplos con el manejo de las frmulas.

3

Parte JJ

Inters simple y compuesto

4

Es imprescindible para comprender el mundo de los prstamos, entender el concepto de inters simple

e inters compuesto. Pongamos un ejemplo de cada tipo para intentar comprender en qu consiste cada

inters:

Inters simple: Borja tiene 100 euros y desea depositarlos en un banco, el cual le ofrece un inters

anual del 6%, es decir, al cabo de un ao el banco le devuelve 100 euros ms el 6% de 100 (6 euros de

inters), luego le devuelve 106 euros.

A Borja le ha gustado esta operacin y vuelve a realizar la misma operacin con los 100 euros, ya que

los 6 euros decide gastrselos. Entonces al cabo del segundo ao se encontrara de nuevo con 106 euros.

En dos aos ha pasado de 100 euros a 112, ya que le ha aadido 6 cada ao a los 100 primeros. Si esto

lo hiciramos durante varios aos, podramos resumirlo en la siguiente tabla:

Ao 0 1 2 3 4

Capital total 100 106 112 118 124

Inters compuesto: Supongamos ahora que Mara realiza la misma operacin que Borja el primer

ao, transcurrido el cul tendr 106 euros. Mara decide al igual que su novio en volver a depositar en

el banco el dinero, pero ella no deposita slo los 100 euros, sino que aade el inters conseguido. La

situacin sera que el 6% en el segundo ao se debe calcular sobre 106 euros, y este inters sera de

106 6100

Al nal del segundo ao, Mara tendra 112'36 euros , y si continusemos el proceso, calculando siem-

pre el 6% sobre el capital obtenido el ao anterior, los primeros aos quedaran reejados en la siguiente

tabla:

Ao 0 1 2 3 4

Capital total 100 106 112'36 119'1016 126'247696

La diferencia entre los dos tipos de inters es evidente, en el primer caso, los intereses no se acumulan al

capital, pero en el segundo si lo hacen, siendo este segundo caso ms benecioso para la parte que aporta

el dinero. El proceso que consiste en sumar al capital inicial el inters correspondiente al tiempo que

dura la inversin o el prstamo se le llama capitalizacin. En nuestros dos ejemplos, tras cuatro aos

el proceso de capitalizacin ha dado dos cantidades distintas, que se han obtenido mediante las llamadas

leyes nancieras de capitalizacin simple y compuesta, respectivamente.

Habitualmente, el inters compuesto o la llamada ley nanciera de capitalizacin compuesta es

la que se utiliza en los prstamos. La razn es evidente, porque si el banco nos prestase 5.000 euros es

ms benecioso para ellos que el inters que tengamos pactado sea un inters compuesto, se acumularan

ms intereses a lo largo del tiempo.

5

Parte JJJ

Ley nanciera de capitalizacin

compuesta

6

En este apartado pretendemos describir el clculo de la frmula que nos determina el capital nal (C')

tras aplicarle un determinado inters compuesto(i) a un capital inicial (C). El clculo de dicha frmula

es prescindible en el desarrollo de este tema, y slo aparece a modo informativo para aquellos iniciados

en el clculo simblico.

Qu mejor que pedirle ayuda a nuestros novios para entender el desarrollo. Borja y Mara han decidi-

do ingresar en un banco 4.000 euros y han pactado que lo cedern durante 5 aos a un inters del 5% (por

supuesto, compuesto). Inmediatamente podramos hacer una tabla en la que apareciesen el desarrollo de

los 5 aos.

Ao 0 1 2 3 4 5

Capital total 4.000 4.200 4.410 4.630'5 4.862'025 5.105'12625

Cmo ya hemos comentado, hay un mtodo para averiguar cunto tendremos al nal de los 5 aos,

sin tener que utilizar una tabla en nuestros clculos. En denitiva, queremos que saber qu capital nal

C( tendramos a partir de un capital C a un inters compuesto anual i durante n aos.

Clculo de la frmula

Dado el capital C, calculemos que cantidad tendremos al cabo de un ao. Si el inters es i%, la

cantidad que habra que aadir tras el primer ao sera Ci/100=Ci0'01. Es decir, el capital que tendratras el primer ao sera C+Ci0'01=C(1+i0'01), slo hemos multiplicado el capital que tenamos por(1+i0'01).

Calculemos ahora cunto tendramos al segundo ao, observando que el capital que tendramos ahora

C(1+i0'01), sera el capital inicial, y que para calcular el capital tras aplicarle el inters slo habra quemultiplicarlo por (1+i0'01), lo que nos dara C (1 + i 001)2. Todo este proceso se puede resumir enla siguiente tabla:

Ao 0 1 2 3 . . . n

Capital total C C (1 + i 001) C (1 + i 001)2 C (1 + i 001)3 . . . C (1 + i 001)n

As que si Borja y Mara quieren averiguar cunto tendra al cabo de n aos slo tendra que aplicar

la frmula C = C (1 + i 001)n, ms conocida como

C = C (1 +

i

100

)n(1)

En este caso particular era

C=4.000

i=5%

7

n=5 aos

Entonces

C = 4.000 (1 +

5100

)5= 4.000 (1 + 005)5 = 4.000 1055 = 5.10512625 euros

8

Parte JV

Tanto nominal. Nueva frmula para el

inters compuesto

9

Habitualmente cuando un banco nos habla de un inters nos habla del llamado inters nominal, al que

llamaremos ik. Junto a este inters nominal debe aparecer la expresin capitalizable por semestres,capitalizable mensualmente, capitalizable por trimestres,.... Esta segunda expresin nos indica

el valor de la k del siguiente modo: k ser la cantidad de perodos que hay en un ao del orden que

nos indica la capitalizacin. Por ejemplo, si nos indicasen que el inters nominal es capitalizable por

trimestres, al haber 4 trimestres en un ao, sera k=4 y pondramos i4 para referirnos al inters nominal.Es corriente que la propuesta del prestamista incluya una expresin parecida a sta: capitalizable por

trimestres al 8% nominal. Esta frase nos est diciendo que cuando calculemos el valor del capital nal

tendremos que aplicar la ley nanciera de capitalizacin compuesta, aadindose los intereses cada tres

meses. Pero, para utilizar la frmula vista en el apartado anterior, debemos conocer el valor de i (no es

igual a ik).El valor de viene de la relacin

i =ikk

es decir, se divide el tanto por ciento nominal por el nmero de perodos en los que el capital se capitalizar

durante un ao. Por ejemplo, si nos dijesen que invertimos un capital al 5% nominal capitalizable por

semestres, el valor de i es igual a i =52= 25%.

Slo nos quedara modicar algo la Frmula 1 deducida antes para en el caso de que el inters dado

sea nominal. Quedara as:

C = C (1 +

ik100 k

)nk(2)

Ntese que el exponente no sera n, sino nk, ya que si el los intereses se aaden k veces en un ao,en n aos se aadirn nk veces.

Veamos el uso de esta Frmula 2 con un ejemplo.

Calculemos el capital nal C( que se obtiene al capitalizar trimestralmente durante 2 aos 400 euros

al 3% de inters nominal.

La expresin "capitalizar trimestralmente", nos indica que en un ao se aadirn intereses cada tres

meses. Calculemos cada elemento de la Frmula 2:

C=400

k=4 (hay 4 trimestres en un ao)

i4=3%

Entonces C' saldra de aplicar la Frmula 2

C = C (1 +

i4100 4

)24= 400

(1 +

3400

)8= 400 (1 + 00075)8 = 400 100758 = 4246395 euros

Qu ocurre si el proceso no dura aos completos?

Si por ejemplo tuvisemos que capitalizar un capital C durante dos aos y 3 meses, cmo utilizaramos

la frmula?. Bien, la frmula seguira siendo la misma, slo que n no sera entero, ya que los tres meses

habra que pasarlos a aos mediante una simple regla de tres

Si 1 ao son 12 meses, Cuntos aos sern 3 meses?

10

La respuesta es que 3 meses=3/12 aos=0'25 aos, por lo que el tiempo que hay que capitalizar C es

2+0'25=2'25 aos, sera n=2'25.

Otra forma de proceder es tener en cuenta qu es nk, el nmero de veces que se aaden intereses alcapital inicial o las veces que se capitaliza. As, si la capitalizacin fuese mensual en dos aos y 3 meses

se aaden intereses 27 veces mediante la ley de capitalizacin compuesta, luego sera nk=27 (comprobarque es lo que saldra de multiplicar 2'2512). Si la capitalizacin fuese trimestral, se aadiran intereses9 veces, sera nk=9(=2'254).

11

Parte V

Prstamos

12

La losofa de un prstamo es siempre la misma: Un prestamista (Banco) cede un dinero (nominal

del prstamo) a un prestatario (Borja y Mara) y, a cambio, ste se compromete a devolver dicha cuanta

ms los intereses correspondientes derivados de la prestacin, mediante un pago nico o mediante un

conjunto de pagos o cuotas. La variedad en los tipos de prstamos es inmensa. Todos los prstamos son

devueltos al prestamista mediante una o varias cuotas, siendo stas iguales o no. stas cuotas vienen

determinadas por el tipo de inters, jo o variable, pactado por el prestamista.

Las cuotas se descomponen en dos partes: una cuota de inters que se destina al pago de intereses

y una cuota de amortizacin de capital que se destina a amortizar (pagar) el capital prestado.

Slo por ver la variedad de prstamos que hay, destacaremos los posibles criterios para clasicarlos:

A) Segn la forma de amortizacin del capital:

a. Prstamos por amortizacin nica: Lo debido junto a los intereses se paga en una sla cuota.

b. Prstamos con amortizacin peridica: Lo debido junto a los intereses se paga en varias cuotas

peridicas (mensuales, trimestrales, semestrales,...).

B) Segn la forma de pago de las cuotas de inters:

a. Prstamos con pago nico de intereses.

b. Prstamos con pago peridico de intereses.

C) Segn el momento en que se pagan las cuotas de inters:

a. Prstamos con pago de intereses por vencido: Los pagos se realizan al nal de cada perodo, por

ejemplo, si los perodos son mensuales los intereses se pagaran al nalizar el mes.

b. Prstamos con pago de intereses por anticipado: Los pagos se realizan al comienzo del perodo.

D) Segn las cuantas del trmino amortizativo:

a. Prstamos con cuotas constantes: En cada perodo se paga la misma cuota.

b. Prstamos con cuotas variables.

E) Segn el inters vigente durante la vida del prstamo:

a. Prstamo a inters jo.

b. Prstamo a inters variable.

La verdad es que conjugando distintas caractersticas de las expuestas podramos crear decenas de

tipos de prstamos, as podramos hablar de prstamos con amortizacin nica de capital y pago nico

de intereses por vencido (que en el esquema anterior seran las caractersticas: Aa, Ba, Ca), o prstamos

con amortizacin nica de capital y pago peridico de intereses por vencido (Ab, Bb, Ca, Db).

Nosotros vamos a hacer un estudio del Prstamo amortizable por el sistema francs. Para

realizar el estudio haremos la restriccin de suponer el inters jo para el clculo de la frmula que nos

relacione los distintos parmetros de una operacin nanciera de este tipo (cuotas, tiempo, inters,...).

Sera imposible tratar el problema con inters variable si la variacin de ste, como pasa habitualmente,

no se conoce con anterioridad. Aunque esto no es problema a la hora de hacer los clculos de las cuotas,

ya que un vez que termine un perodo con un tipo de inters, al comenzar otro perodo con otro inters

se puede considerar este nuevo perodo como si realmente fuese el primero, considerando el momento

13

actual como si fuese el inicial y el capital restante por amortizar el capital inicial.

14

Parte VJ

Mtodo de amortizacin francs

15

Es el tipo de prstamo ms habitual en la prctica nanciera. Sus caractersticas son:

Las cuotas de inters y las cuotas de amortizacin de capital se hacen efectivas peridicamente alnal del perodo (Ab, Bb, Ca).

La cuota es constante siendo la cuota = cuota de inters + cuota de amortizacin (Da). Tanto la cuota de inters como la de amortizacin varan, decreciendo aquella y creciendo sta. El inters pactado es jo (Ea), aunque volvemos a insistir, si fuese variable anualmente (lo habitual),una vez que se efecte esa variacin, slo hay que realizar de nuevo los clculos con los datos (capital,

inters y tiempo) que en ese momento tengamos.

VI.1.-Relacin entre capital inicial- inters nominal y tiempo.

A continuacin vamos a calcular una frmula que nos relacione el capital prestado (C), el inters

nominal (ik) y el tiempo (k perodos en n aos). Slo aconsejamos su lectura a aquellos con un nivelmedio de Matemticas (1

o

Bachiller o superior).

Clculo de la frmula

Nos olvidamos por un momento del inters nominal y hablaremos slo de un inters i anual. Sabemos

ya que si tenemos un capital C, al cabo de n aos el valor nal ser el capital inicial C ms los intereses,

lo cual se representa en la expresin de la Formula 1

Valor nal=C (1 +

i

100

)n

Como ya hemos dicho, para devolver esa cantidad nal se pagan cuotas anuales jas de valor a euros,

ahora bien, estas cuotas tambin acumulan intereses a lo largo del tiempo. Por ejemplo, la primera cuota

que se paga al nal del primer ao, acumular intereses a lo largo de n-1 aos. Su valor nal sera

a (1 +

i

100

)n1La segunda cuota que se paga al nal del segundo ao, acumular intereses durante n-2 aos, y as

sucesivamente con todas las cuotas. Todo esto quedara mejor reejado en la siguiente tabla, donde la

cuota que se paga cada ao siempre es a.

16

Cuota n

o

Valor nal de la cuota

1 Tras n-1 aos a (1 +

i

100

)n12 Tras n-2 aos a

(1 +

i

100

)n23 Tras n-3 aos a

(1 +

i

100

)n3. . . . . .

n-1 Tras 1 ao a (1 +

i

100

)1n Tras 0 aos a (no acumula intereses)

La suma de todas las cuotas junto con sus intereses debe ser igual al capital prestado junto con sus

intereses para poder decir que hemos devuelto el prstamo. Esto se reeja en la siguiente igualdad,

donde el 2

o

miembro es la suma de los valores nales de las cuotas

C (1 +

i

100

)n= a

(1 +

i

100

)n1+ a

(1 +

i

100

)n2+ a

(1 +

i

100

)n3+ . . .+ a

(1 +

i

100

)1+ a

Se observa que el segundo miembro de la igualdad es la suma de los trminos de una progresin geomtri-

ca de razn (1+i/100)(si la miramos de derecha a izquierda)

2

.

Calculando la suma total del segundo miembro, la igualdad quedara

C (1 +

i

100

)n= a

(1 +

i

100

)n 1(

1 +i

100

) 1

C (1 +

i

100

)n= a

(1 +

i

100

)n 1

i

100

Y si despejamos a quedara

C i

100(1 +

i

100

)n(1 +

i

100

)n 1

Aunque la expresin quedara ms completa si la expresamos en funcin del tanto nominal

C ik

100 k (1 +

ik100 k

)n(1 +

ik100 k

)n 1

Para simplicar los clculos para aquellos que no dominan las operaciones matemticas, haremos unos

pequeos cambios en la frmula nal. Llamaremos

Ik =ik

100 k2

Secordemos que si tenamos una progresin geomtrica de trminos

a, a r, a r2, . . . , a rn1

la suma total de toda la progresin es

S = a rn 1r 1

17

Mk = 1 + Ik

Quedando nalmente la frmula como sigue

a = C Ik Mnkk

Mnkk 1(3)

Nota: Si el tiempo no viniese dado en aos exactos, slo habra que convertirlo mediante una regla de

tres en aos, por ejemplo, 3 aos y 4 meses seran 3'33 aos. (Recordar lo que se coment al nal de la

parte IV).

Caso de la hipoteca de Borja y Mara

Recordemos a nuestra pareja protagonista y su problema, necesitan un prstamo hipotecario por un

capital de 60.000 euros y el banco les ofrece ese prstamo a un 4'5% de inters nominal pagadero en

cuotas mensuales durante 20 aos. Qu cuota tendran que pagar?

Antes de aplicar la frmula calculemos todos los datos necesarios:

n=20 (Se paga en 20 aos)

k=12 (En cada ao se pagan 12 cuotas, al ser mensual el pago)

nk=2012=240 (durante los 20 aos se realizarn 240 pagos)I12 =

i12100 12 =

451200

= 000375

M12 = 1 + I12 = 100375Finalmente la cuota sera igual a

a = C I12 M201212

M201212 1= 60.000 0

00375 100375240100375240 1 = 379

5896 ' 380 euros

Nuestros novios se preguntan adems cunto pagaran en total despus de 20 aos.Para ello bastara slo

multiplicar el nmero de cuotas (nk) por su valor.

ank=3802012=380240=91200 euros

31.200 euros ms.

Compra de un coche

Supongamos ahora que el prstamo solicitado es de 18.400 euros para comprarse un coche. La

nanciera les exige pagar 36 cuotas cada 2 meses. Qu cuota pagaran bimestralmente, si el inters

pactado es del 7'6% nominal?

Calculamos los datos necesarios:

n=6 (36 cuotas cada dos meses nos indica que estaran pagando 6 aos)

k=6 (En cada ao se pagan 6 cuotas, al ser bimestral el pago)

nk=66=36I6 =

i6100 6 =

76600

= 00126

18

M6 = 1 + I6 = 10126Finalmente la cuota nal ser igual a

a = C I6 M666

M666 1= 18.400 0

0126 10126361012636 1 = 638

9238 ' 639 euros

y, cunto acabaran pagando por el coche?

ank=63966=63936=23.004 euros

VI.2.-Cuotas de inters y de amortizacin.

Ya sabemos que la cuota que pagamos peridicamente mediante el mtodo de amortizacin francs

se divide en dos cuotas: de inters y de amortizacin. Veamos que cmo se calcula cada una. Para ello

necesitaremos conocer el valor de la cuota a. Una vez calculado el valor de a, si llamamos CP al capital

pendiente por amortizar antes de pagar la cuota, entonces se cumple que la cuota de inters ci es igual a

ci = CP ik100 k (4)

y a partir de a y ci, se calcula la cuota de amortizacin, ca, simplemente efectuando la siguiente diferencia

ca = a ci (5)

Para ilustrar su aplicacin veamos los dos ejemplos anteriores

Hipoteca de Borja y Mara

Seguimos con Borja y Mara y su prstamo de 60.000 euros, al 4'5% con capitalizacin mensual. La cuota

era de 380 euros, pues bien calculemos cunto hay de inters y de amortizacin en esa cuota.

ci = CP i12100 12 = 60.000 451200

= 225 euros

ca = a ci = 380 225 = 155 eurosEntonces tras pagar la primera cuota el capital pendiente se reducira en 155 euros, luego para la siguiente

cuota el capital quedara en 60.000-155=59.845 euros.

Sigamos hasta la siguiente cuota, que volver a ser de 380 euros. Pero, cunto sern ahora la cuota de

inters y la cuota de amortizacin?

ci = CP i12100 12 = 59.845 451200

' 224 euros

ca = a ci = 380 224 = 156 eurosQuedando ahora como capital pendiente

CP=59.845-156=59.689 euros

Se podra resumir todo el proceso en la siguiente tabla para verlo ms claro

19

Mes CP a ci ca CP tras la cuota0 60.000 380 225 155 59.845

1 59.845 380 224 156 59.689

2 59.689 380 224 156 59.533

3 59.533 380 223 157 59.376

4 59.376 380 . . . . . . . . .

Y as podramos continuar con todos los meses, hasta que acabase o cambiase el inters y en ste caso

se volveran a realizar los clculos con otro inters, menos meses y con un capital distinto, que sera el

capital pendiente tras la ltima cuota.

Compra del coche

Recordemos que en este caso la cuota a pagar cada dos meses era de 639 euros con un inters nominal del

7'6%. Calculemos las cuotas de amortizacin y de inters, adems del capital pendiente por amortizar

tras el pago de la cuota.

ci = CP i6100 6 = 18.400 76600

' 233 eurosca = a ci = 639 233 = 406 eurosQuedando ahora como capital pendiente

CP=18.400-406=17.994 euros

Representemos en una tabla las operaciones ligadas al pago de las primeras cuotas

Bimestre CP a ci ca CP tras la cuota0 18.400 639 233 406 17.994

1 17.994 639 228 411 17.583

2 17.533 639 223 416 17.167

3 17.167 639 217 422 16.745

4 17.745 639 . . . . . . . . .

20

Parte VJJ

T.A.E.: Tasa Anual Equivalente

21

La idea del T.A.E. surge para simplicar la informacin que se nos da. La idea es intentar buscar

un inters anual que sea equivalente al inters nominal que me ofrece el prestamista. Por ejemplo, si nos

hablan de un inters nominal del 6'5% capitalizable trimestralmente la cosa no nos queda muy clara,

pero si nos quedara ms clara si nos dijesen que en un ao el inters que vamos a pagar es del 6'66%,

el T.A.E.. Hay una frmula que relaciona el inters nominal con el T.A.E., y es la que a continuacin

deducimos.

Clculo de la frmula

Partimos de un capital C, que se va a capitalizar k veces en un ao al inters nominal ik. Al pasar unao (n=1) este capital se habr convertido en

()C (1 +

ik100 k

)kQu inters anual habra que aplicar a ese capital C para obtener la misma cantidad?

Buscamos un inters anual, que llamaremos TAE, de tal forma que al aplicarse a C, nos de la misma

cantidad anterior.

Si aplicamos ese inters anual TAE a C el capital al nal del ao sera

()C (1 +

TAE

100

)Entonces las dos cantidades (*) y (**) deben ser iguales, lo cual se indica en la siguiente igualdad que

desarrollamos

C (1 +

TAE

100

)= C

(1 +

ik100 k

)k 1+ TAE

100=(1 +

ik100 k

)k TAE

100=(1 +

ik100 k

)k 1

TAE = 100 [(

1 +ik

100 k)k

1]

Resumiendo, el TAE se calculara aplicando la frmula:

TAE = 100 (Mkk 1) donde Mk = 1 + ik100 k (6)Comprobemos la validez de la frmula con el ejemplo que utilizbamos para comenzar este apartado.

Era un inters del 6'5% capitalizable trimestralmente, cul sera su T.A.E.?

k=4 (hay cuatro trimestres en un ao)

i4 = 65

M4 = 1 +i4

100 4 = 1 +65400

= 101625

TAE=100(1016254-1)'100(1'0666-1)=1000'0666=6'66%

En un ao se ha pagado de intereses el 6'66% del capital inicial.

22

Para nalizar, veamos el T.A.E. en los dos ejemplos de la Hipoteca y la compra del coche.

Hipoteca de Borja y Mara

Calculamos el T.A.E. del prstamo hipotecario de Borja y Mara, que estaba a un inters nominal del

4'5% capitalizable mensualmente.

k=12

i12=4'5

M12 = 1 +i12

100 12 = 1 +451200

= 100375

TAE=100(10037512-1)=4'59%

En un ao se pagaran de intereses el 4'59% de 60.000 euros.

Compra del coche

k=6

i12 = 76 M6 = 1 +i6

100 6 = 1 +761200

= 10126

TAE=100(101266-1)=7'82%

Nota:Comentar que en el T.A.E., por denicin, se deberan incluir como intereses todos los gastos

de apertura de un prstamo (comisin de apertura, de estudio, ...), lo cual hace que en el primer ao

el T.A.E. no nos indique con claridad qu porcentaje real del capital inicial pagamos. Actualmente, la

mayora de los bancos notican al cliente el T.A.E. calculado slo a partir del inters nominal, es lo que

se denomina Coste Efectivo Remanente (C.E.R.).

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Parte VJJJ

Bibliografa

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Matemticas 4o de E.S.O., Opcin B: Jos Mara Vzquez de la Torre Prieto, Ma Carmen FloresFernndez, Adolfo Lpez Gmez, Ladislao Navarro Peinado y Jos Mara Vicente Carreto.

Matemtica Financiera: Concepcin Delgado con la colaboracin de Juan Palomero. Matemtica Financiera: A. Terceo, J. Sez, M. G. Barber, F. Ort, J. de Andrs y C. Belvis. Matemticas Financieras: Mariano lvarez Garca. Pgina Web http://www.5campus.com/leccion/operncp/inicio.html: Sara Fernndez Lpez. Pgina Web http://www.platea.pntic.es/ migarcia/basicos.htm: Miguel Garca.

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