matemticas financieras bsicas

of 26

  • date post

    30-Oct-2015
  • Category

    Documents

  • view

    25
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of matemticas financieras bsicas

  • MBTEMTICBS FINBNCIERBS

    Raimundo Alba Garca Jos Mara Vzquez de la Torre Prieto

  • ndice General

    I Introduccin 2

    II Inters simple y compuesto 4

    III Ley nanciera de capitalizacin compuesta 6

    IV Tanto nominal. Nueva frmula para el inters compuesto 9

    V Prstamos 12

    VI Mtodo de amortizacin francs 15

    VI.1.Relacin entre capital inicial, inters nominal y tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    VI.2.Cuotas de inters y de amortizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    VII T.A.E.: Tasa Anual Equivalente 21

    VIII Bibliografa 24

    1

  • Parte J

    Introduccin

    2

  • Nuestra intencin es encender una luz en el mundo de los prstamos para aquellos que como nosotros

    no son anes al campo de las nanzas. Quin no se ha encontrado en la situacin del futuro matrimonio

    que nos ayudar en nuestra exposicin?

    Les comentamos el caso de Borja y Mara: Dentro de dos meses se casan y acaban de pagar una

    entrada para un piso. An as, les quedan por pagar 60.000 euros, por lo que deciden negociar con una

    entidad bancaria para que les preste este dinero. El Banco X les ofrece un prstamo hipotecario a 4'5%

    de inters nominal pagadero en cuotas mensuales.

    Es en esta ltima frase donde Borja y Mara se pierden y lo nico que les interesa es conocer la

    respuesta a la pregunta del milln: cmo quedara la cuota mensual? A lo que les responde el empleado

    bancario que la cuota sera de 380 euros. El matrimonio ante la respuesta asiente y se conforma, ya

    que en estos ltimos das han visitado otras entidades bancarias y han visto que ese inters nominal es

    un poquito ms bajo que el que le ofrecan en otras (4'75, 4'63, ...), y por lgica la cuota debe ser ms

    baja.

    Pero siempre quedarn algunas preguntas en el aire: estar bien calculada la cuota? cmo se

    calcula? cunto acabaramos pagando al nal?. Sabemos que con la cuota se paga parte del prstamo

    o capital concedido, siendo la otra parte de inters. Cmo se calcula esa parte de capital que se paga?

    (el resto ser de inters).

    Siempre es bueno al menos conocer la frmula con la que se calcula la cuota y el capital pagado,

    aparte de por curiosidad por seguridad (no sera la primera vez que un prestamista se equivocase).

    Es nuestra intencin responder a stas y otras preguntas que se pueden plantear. Para hacer esta

    tarea lo ms grata al lector se ha procurado desarrollar el tema sin caer demasiado en tecnicismos

    nancieros, aunque se introducen los trminos ms usuales. Si bien, debido a nuestra condicin de

    licenciados en Ciencias Matemticas, no hemos podido evitar realizar un desarrollo matemtico riguroso

    para la deduccin de la mayora de las frmulas que aparecen, aunque a todo aquel que slo le interese

    conocer las frmulas slo tendr que saltarse dicho desarrollo.

    Por ltimo, sealar que en las frmulas aparecen subndices (ik, k es el subndice) lo que entraa unadicultad para todo aquel no acostumbrado en el clculo simblico de las Matemticas, pero optamos

    por no eliminarlo para precisamente mantener la rigurosidad matemtica. Para salvar esta dicultad se

    han aadido ejemplos con el manejo de las frmulas.

    3

  • Parte JJ

    Inters simple y compuesto

    4

  • Es imprescindible para comprender el mundo de los prstamos, entender el concepto de inters simple

    e inters compuesto. Pongamos un ejemplo de cada tipo para intentar comprender en qu consiste cada

    inters:

    Inters simple: Borja tiene 100 euros y desea depositarlos en un banco, el cual le ofrece un inters

    anual del 6%, es decir, al cabo de un ao el banco le devuelve 100 euros ms el 6% de 100 (6 euros de

    inters), luego le devuelve 106 euros.

    A Borja le ha gustado esta operacin y vuelve a realizar la misma operacin con los 100 euros, ya que

    los 6 euros decide gastrselos. Entonces al cabo del segundo ao se encontrara de nuevo con 106 euros.

    En dos aos ha pasado de 100 euros a 112, ya que le ha aadido 6 cada ao a los 100 primeros. Si esto

    lo hiciramos durante varios aos, podramos resumirlo en la siguiente tabla:

    Ao 0 1 2 3 4

    Capital total 100 106 112 118 124

    Inters compuesto: Supongamos ahora que Mara realiza la misma operacin que Borja el primer

    ao, transcurrido el cul tendr 106 euros. Mara decide al igual que su novio en volver a depositar en

    el banco el dinero, pero ella no deposita slo los 100 euros, sino que aade el inters conseguido. La

    situacin sera que el 6% en el segundo ao se debe calcular sobre 106 euros, y este inters sera de

    106 6100

    Al nal del segundo ao, Mara tendra 112'36 euros , y si continusemos el proceso, calculando siem-

    pre el 6% sobre el capital obtenido el ao anterior, los primeros aos quedaran reejados en la siguiente

    tabla:

    Ao 0 1 2 3 4

    Capital total 100 106 112'36 119'1016 126'247696

    La diferencia entre los dos tipos de inters es evidente, en el primer caso, los intereses no se acumulan al

    capital, pero en el segundo si lo hacen, siendo este segundo caso ms benecioso para la parte que aporta

    el dinero. El proceso que consiste en sumar al capital inicial el inters correspondiente al tiempo que

    dura la inversin o el prstamo se le llama capitalizacin. En nuestros dos ejemplos, tras cuatro aos

    el proceso de capitalizacin ha dado dos cantidades distintas, que se han obtenido mediante las llamadas

    leyes nancieras de capitalizacin simple y compuesta, respectivamente.

    Habitualmente, el inters compuesto o la llamada ley nanciera de capitalizacin compuesta es

    la que se utiliza en los prstamos. La razn es evidente, porque si el banco nos prestase 5.000 euros es

    ms benecioso para ellos que el inters que tengamos pactado sea un inters compuesto, se acumularan

    ms intereses a lo largo del tiempo.

    5

  • Parte JJJ

    Ley nanciera de capitalizacin

    compuesta

    6

  • En este apartado pretendemos describir el clculo de la frmula que nos determina el capital nal (C')

    tras aplicarle un determinado inters compuesto(i) a un capital inicial (C). El clculo de dicha frmula

    es prescindible en el desarrollo de este tema, y slo aparece a modo informativo para aquellos iniciados

    en el clculo simblico.

    Qu mejor que pedirle ayuda a nuestros novios para entender el desarrollo. Borja y Mara han decidi-

    do ingresar en un banco 4.000 euros y han pactado que lo cedern durante 5 aos a un inters del 5% (por

    supuesto, compuesto). Inmediatamente podramos hacer una tabla en la que apareciesen el desarrollo de

    los 5 aos.

    Ao 0 1 2 3 4 5

    Capital total 4.000 4.200 4.410 4.630'5 4.862'025 5.105'12625

    Cmo ya hemos comentado, hay un mtodo para averiguar cunto tendremos al nal de los 5 aos,

    sin tener que utilizar una tabla en nuestros clculos. En denitiva, queremos que saber qu capital nal

    C( tendramos a partir de un capital C a un inters compuesto anual i durante n aos.

    Clculo de la frmula

    Dado el capital C, calculemos que cantidad tendremos al cabo de un ao. Si el inters es i%, la

    cantidad que habra que aadir tras el primer ao sera Ci/100=Ci0'01. Es decir, el capital que tendratras el primer ao sera C+Ci0'01=C(1+i0'01), slo hemos multiplicado el capital que tenamos por(1+i0'01).

    Calculemos ahora cunto tendramos al segundo ao, observando que el capital que tendramos ahora

    C(1+i0'01), sera el capital inicial, y que para calcular el capital tras aplicarle el inters slo habra quemultiplicarlo por (1+i0'01), lo que nos dara C (1 + i 001)2. Todo este proceso se puede resumir enla siguiente tabla:

    Ao 0 1 2 3 . . . n

    Capital total C C (1 + i 001) C (1 + i 001)2 C (1 + i 001)3 . . . C (1 + i 001)n

    As que si Borja y Mara quieren averiguar cunto tendra al cabo de n aos slo tendra que aplicar

    la frmula C = C (1 + i 001)n, ms conocida como

    C = C (1 +

    i

    100

    )n(1)

    En este caso particular era

    C=4.000

    i=5%

    7

  • n=5 aos

    Entonces

    C = 4.000 (1 +

    5100

    )5= 4.000 (1 + 005)5 = 4.000 1055 = 5.10512625 euros

    8

  • Parte JV

    Tanto nominal. Nueva frmula para el

    inters compuesto

    9

  • Habitualmente cuando un banco nos habla de un inters nos habla del llamado inters nominal, al que

    llamaremos ik. Junto a este inters nominal debe aparecer la expresin capitalizable por semestres,capitalizable mensualmente, capitalizable por trimestres,.... Esta segunda expresin nos indica

    el valor de la k del siguiente modo: k ser la cantidad de perodos que hay en un ao del orden que

    nos indica la capitalizacin. Por ejemplo, si nos indicasen que el inters nominal es capitalizable por

    trimestres, al haber 4 trimestres en un ao, sera k=4 y pondramos i4 para referirnos al inters nominal.Es corriente que la propuesta del prestamista incluya una expresin parecida a sta: capitalizable por

    trimestres al 8% nominal. Esta frase nos est diciendo que cuando calculemos el valor del capital nal

    tendremos que aplicar la ley nanciera de capitalizacin compuesta, aadindose los intereses cada tres

    meses. Pero, para utilizar la frmula vista en el apartado anterior, debemos conocer el valor de i (no es

    igual a ik).El valor de viene de la relacin

    i =ikk

    es decir, se divide el tanto por ciento nominal por el nmero de perodos en los que el capital se capitalizar

    durante un ao. Por ejemplo, si nos dijesen que invertimos un capital al 5% nominal capitalizable por

    semestres, el valor de i es igual a i =52= 25%.

    Slo nos quedara modicar algo la Frmula 1 deducida antes para en el caso de qu