matemáticas financieras capítulo 1

download matemáticas financieras capítulo 1

of 39

Transcript of matemáticas financieras capítulo 1

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    1/39

    Matemticas Aplicadas Matemticas financieras

    1

    MATEMTICAS APLICADASMATEMTICAS APLICADASMATEMTICAS APLICADASMATEMTICAS APLICADAS

    CAPTULO ICAPTULO ICAPTULO ICAPTULO I

    Matemticas financierasMatemticas financierasMatemticas financierasMatemticas financieras

    Inters simpleInters simpleInters simpleInters simple

    Inters compuestoInters compuestoInters compuestoInters compuesto

    Inters continoInters continoInters continoInters contino

    Procesos de CrecimientoProcesos de CrecimientoProcesos de CrecimientoProcesos de Crecimiento

    y decrecimiento exponencialy decrecimiento exponencialy decrecimiento exponencialy decrecimiento exponencial

    Elasticidad de la demandaElasticidad de la demandaElasticidad de la demandaElasticidad de la demanda

    a.a.a.a.Niveles de ElasticidadNiveles de ElasticidadNiveles de ElasticidadNiveles de Elasticidadb.b.b.b.Elasticidad e Ingreso totalElasticidad e Ingreso totalElasticidad e Ingreso totalElasticidad e Ingreso total

    OpOpOpOptimizacin de una funcin de unatimizacin de una funcin de unatimizacin de una funcin de unatimizacin de una funcin de una

    variablevariablevariablevariable

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    2/39

    MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula

    2

    Captulo IMatemticas Financieras

    El presente captulo versa sobre las tasas de inters y sus efectos en el valor del dinero. El pblico

    gana dinero con sus inversiones en cuenta de ahorros, certificados de depsito y los fondoscolocados en el mercado de dinero. Pero tambin pagan por utilizar el dinero que ha pedido

    prestado para los gastos de colegiatura, el pago de hipotecas y las compras efectuadas con tarjeta

    de crdito. El concepto de inters tambin tiene aplicaciones que son ajenas al dinero. As, el

    crecimiento de la poblacin puede caracterizarse por una tasa de inters o de crecimiento.

    I.1 Inters Simple

    El inters es una cantidad que se paga por emplear el dinero ajeno. Los intereses suelenpagarse en proporcin al capital y al periodo durante el cual se usa el dinero. La tasa de inters

    especifica a que porcentaje se acumula el inters. Y suele expresarse como un porcentaje del capital

    por periodo.

    El inters que se paga exclusivamente sobre la cantidad de capital se llama inters simple. El

    inters ganado al finalizar un periodo se retira y se deja solo el capital para el siguiente periodo

    El inters simple se calcula como I C i n=

    Donde:

    I es el inters

    C es el capital

    i la tasa de inters por periodo

    n el nmero de periodos del prstamo.

    Es indispensable que los periodos de i y de n sean compatibles entre si. En otras palabras si i se

    expresa como porcentaje mensual, n habr de expresarse en nmero de meses.

    Ejemplo:

    Una organizacin crediticia ha concedido un prstamo a tres aos por $5000. Se cobra un inters

    simple a una tasa del 10% por ao. El capital y el inters habrn de liquidarse al final del tercer ao.

    Calcule el inters durante el periodo de tres aos. Qu cantidad pagar al final del tercer ao?

    Solucin

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    3/39

    MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula

    3

    Datos Frmula

    C = $5000 I = C i n A los tres aos se recibieron

    i = 10% anual I = 5000(0.10)3 C + I = 5000 + 1500n = 3 aos I = $1500 C + I = $6500

    Ejemplo: Un individuo presta $10,000 a una corporacin al comprar un bono emitido por ella. El

    inters simple se calcula trimestralmente a una tasa de 3% por trimestre, envindose por correo un

    cheque trimestral por concepto de intereses a todos los tenedores de bonos. Estos ltimos vencen al

    cabo de cinco aos, y el ltimo cheque incluye el capital inicial junto con los intereses acumulados

    en el ltimo trimestre. Calcula el inters ganado cada trimestre y el inters total que se ganardurante la vida de 5 aos de los bonos.

    Solucin

    Datos Frmula Inters total en los 5 aos

    C = $10,000 I = C i n ( o sea en n = 20 trimestres) es

    i = 3% trimestral I = 10,000(0.03)1 n x I = 20 x $300 = $60,000

    n = 1 trimestre I = $300 por trimestre

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    4/39

    MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula

    4

    I.2 Inters Compuesto

    Un procedimiento comn con el cual se calcula el inters es la capitalizacin de los intereses. En

    este procedimiento se reinvierte el inters que se genera en cada periodo sumndose al capital conel propsito de calcular el del siguiente periodo. La cantidad de intereses obtenida con este

    procedimiento recibe el nombre de inters compuesto.

    Periodo Capital Intereses Monto compuesto

    1 C iC C + iC = C(1 + i )

    2 C(1 + i) iC(1 + i) C(1 + i) + iC(1+ i) = C(1 + i)2

    3 C(1 + i)2 iC(1 + i)2 C(1 + i)2 + iC(1 + i )2= C(1 + i)34 C(1 + i)3 iC(1 + i)3 C(1 + i)3 + iC(1 + i)3 = C(1 +i)4

    n C(1 + i)n-1 iC(i + i)n-1 C(1 + i)n-1+ iC(1 +i)n-1= C(1 + i)n

    De donde resulta que el monto compuesto es ( )1 n

    C i= +

    Donde:

    M es el monto (siempre mayor al capital)C es el capital

    I el inters anual capitalizable por periodo

    m es el nmero de periodosen un ao

    Ii

    m= es el inters por periodo

    t es el tiempo

    n mt= es el nmero total de periodos en el tiempo t

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    5/39

    MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula

    5

    Ejemplo:

    Se invierten $5000 a un inters del 10% anual capitalizable anualmente. Se requiere calcular cuanto

    dinero se tendr depositado al final de tres aos, si no se retiran los intereses. Cul ser el intersganado al final de los tres aos?

    Solucin

    Datos

    M = ? ( )1 n

    M C i= +

    C = 5000 M = 5000(1 +0.10)3

    I = 10% anual M = $6655.00

    Capitalizable anualmente Inters ganado al final de los tres aos es

    0.100.10

    1

    Ii

    m= = = M C = 6655-5000 = $1655.00

    t = 3 aos

    1(3) 3n mt= = =

    Nota compare el resultado del inters ganado $6,655 con el del ejemplo de Inters simple $6,550.

    Ejemplo:Una inversin a largo plazo por 250,000 pesos ha sido efectuada por una compaa de tamao

    mediano. La tasa de inters es de 12% anual. Cada periodo el inters se reinvierte ntegramente a la

    misma tasa

    a) Si los intereses se capitalizan semestralmente., cul ser el valor de la inversin

    transcurridos veinte aos?

    Solucin

    Datos Frmula

    M = ? ( )1 n

    M C i= +

    C = $250,000.00 M = 250,000(1 + 0.06)40

    I = 12% anual M = $2,571,429.48

    Capitalizable semestralmente Inters ganado en los 20 aos

    m = 2 semestres en el ao M C = 2,571,429.48 250,000= 2,321,429.48

    0.120.06

    2

    Ii

    m= = =

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    6/39

    MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula

    6

    t = 20 aos

    2(20) 40n mt= = =

    b) Si la inversin es capitalizable trimestralmente cul ser el monto de la inversin y el

    inters ganado en los veinte aos?

    Datos

    M = ? ( )1 n

    M C i= +

    C = $250,000.00 M = 250,000(1 + 0.03)80

    I = 12% anual M = $2,660,222.64

    Capitalizable trimestralmente Inters ganado en los 20 aos

    m = 4 trimestres en el ao M C = 2,660,222.64 250,000 = 2,410,222.64

    0.120.03

    2

    Ii

    m= = =

    t = 20 aos

    4(20) 80n mt= = =

    c) Si la inversin es capitalizable mensualmenteCul ser el monto de la inversin y el inters

    ganado en los veinte aos?Datos

    M = ? ( )1 n

    M C i= +

    C = $250,000.00 M = 250,000(1 + 0.01)240

    I = 12% anual M = $2,723,138.41

    Capitalizable mensualmente Inters ganado en los 20 aos

    m = 12 meses en el ao M C = 2,723,138.41 250,000 = 2,473,138.41

    0.12 0.0112

    Iim

    = = =

    t = 20 aos

    12(20) 240n mt= = =

    De los tres incisos anteriores se observa que en 20 aos no aumenta mucho el monto conforme se

    aumenta el nmero de periodos de capitalizacin en el ao.

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    7/39

    MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula

    7

    Ejemplo:

    Se invierte una fuerte suma de dinero a una tasa de inters del 10% anual capitalizable

    trimestralmente, cunto tardar en duplicarse? y en triplicarse? en aumentar en 50%?Solucin

    Datos:

    C = C

    I = 10% anual

    Capitalizable trimestralmente

    m = 4 trimestres en el ao

    0.10 0.0254

    Iim

    = = =

    t = ?

    4n mt t = =

    Ejemplo:

    Un joven recibi hace poco una herencia de doscientos mil pesos. Quiere invertir una parte de ella

    para su vejez. Su meta es acumular trescientos mil pesos en quince aos. Qu parte de la herencia

    deber invertir si el dinero producir 12% anual capitalizable semestralmente? Cunto recibir por

    concepto de intereses en quince aos?

    (en duplicarse el capital)

    M = 2C

    4

    4

    4

    4

    (1 )

    2 (1 0.025)

    2(1.025)

    2 (1.025)

    2 (1.025)

    3 4 1.025

    2

    4 1.025

    7

    n

    t

    t

    t

    t

    M C i

    C C

    C

    C

    Ln Ln

    Ln tLn

    Lnt

    Ln

    aos t

    = +

    = +

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    (en triplicarse el capital)

    M = 3C

    4

    4

    4

    4

    (1 )

    3 (1 0.025)

    3(1.025)

    3 (1.025)

    3 (1.025)

    3 4 1.025

    3

    4 1.025

    11

    n

    t

    t

    t

    t

    M C i

    C C

    C

    C

    Ln Ln

    Ln tLn

    Lnt

    Ln

    aos t

    = +

    = +

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    (en incrementarse 50%)

    M = 1.5C

    4

    4

    4

    4

    (1 )

    1.5 (1 0.025)

    1.5(1.025)

    1.5 (1.025)

    1.5 (1.025)

    1.5 4 1.025

    1.5

    4 1.025

    4

    n

    t

    t

    t

    t

    M C i

    C C

    C

    C

    Ln Ln

    Ln tLn

    Lnt

    Ln

    aos t

    = +

    = +

    =

    =

    =

    =

    =

    =

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    8/39

    MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula

    8

    Solucin

    Datos:

    M = 300,000.00t = 15 aos

    C = ?

    I = 12% anual

    Capitalizable semestralmente

    m = 2 semestres

    0.120.06

    2

    Ii

    m= = =

    2(15) 30n mt= = =

    Ejemplo:

    Una persona desea invertir $10,000 y que su inversin llegue a $20,000 durante los prximos 10

    aos. A qu tasa de inters anual debera invertir para lograr el crecimiento deseado, suponiendo

    una capitalizacin semestral?

    Solucin

    Datos:

    C = 10,000 M = 20,000

    t = 10 aos I = ?

    Capitalizable semestralmente

    m = 2 semestres en el ao

    2= =

    I Ii

    m

    2(10) 20n mt= = =

    Ejemplo

    La junta de gobierno de una universidad

    esta planeando las futuras necesidades de del nivel universitario del estado. Sus miembros han

    observado que el nmero de estudiantes que asisten a las universidades pblicas ha ido elevndose

    a una tasa del 7% anual. En el momento actual hay 80,000alumnos inscritos en varias escuelas.

    30

    30

    (1 )

    300,0000 (1 0.06)

    300,000

    (1.06)

    52,233.04

    nM C i

    C

    C

    C

    = +

    = +

    =

    =

    20

    20

    20

    (1 )

    20,000 10,000 12

    20,0001

    10,000 2

    2 12

    = +

    = +

    = +

    = +

    nM C i

    I

    I

    I

    ( )

    20

    20

    20

    2 12

    2 12

    2 2 1

    0.07

    7%

    = +

    =

    =

    =

    =

    I

    I

    I

    I

    I

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    9/39

    MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula

    9

    Suponiendo que se mantenga constante esa tasa de crecimiento, cunto tardaran las inscripciones

    en llegar a la cifra de 200,000 estudiantes?

    SolucinDatos:

    La poblacin aumenta anualmentea una

    tasa del I = 7% anual

    m = 1 ao en 1 ao

    C = 80,000 alumnos

    t= ?

    M = 200,000 alumnos

    I.3 Inters capitalizable continuamente

    Los bancos se valen a menudo de modelos de capitalizacin continuaen las cuentas de ahorro a fin

    de promover su negocio. La capitalizacin continua significa que la capitalizacin se realiza de modo

    constante. Otra manera de concebirlo es recordar que hay un nmero infinito de periodos de

    capitalizacin cada ao.

    1

    = +

    mtI

    M Cm

    1

    1 = +

    mt

    M Cm

    I

    En el monto compuesto el nmero de periodos m se considera infinito

    lim 1

    mt

    m

    IM C

    mI

    = +

    1

    lim 1

    = +

    I tm

    I

    mM C

    mI

    De clculo diferencial se sabe que1

    lim 1 2.7182

    n

    ne

    n

    + = =

    Por lo tanto = I tCe .

    ( )

    ( )

    1

    200,000 80,000 1 0.07

    200,000(1.07)

    80,000

    2.5 (1.07)2.5 (1.07)

    2.5 1.07

    2.5

    1.07

    13.5

    n

    t

    t

    t

    t

    M C i

    Ln Ln

    Ln tLn

    Lnt

    Ln

    aos t

    = +

    = +

    =

    =

    =

    =

    =

    =

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    10/39

    MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula

    10

    Ejemplo

    Una inversin a largo plazo por $250,000 pesos ha sido efectuada por una compaa de tamao

    mediano. La tasa de inters es de 12% anual y los intereses se capitalizan continuamente. Culser el valor de la inversin transcurridos veinte aos?

    Solucin

    Datos:

    C = 250,000

    I = 12% anual

    Capitalizable continuamente

    t = 20 aos Inters ganado:M C = 2,755,794.10 250,000.00 = 2,505,794.10

    Comparando el monto $2,755,794.10 con un inters capitalizable continuamente contra el monto al

    mismo inters capitalizable mensualmente que fue de $2,723,138.41, se observa que la diferencia

    entre ambos montos es de $32,655.70. Tomando en cuenta que la inversin fue a 20 aos la

    diferencia no es muy grande.

    Ejercicios

    1. Se invierte en una cuenta de ahorros $500 dlares, al a que se paga un inters a una

    tasa anual del 5%, capitalizable anualmente. Si la cantidad se mantiene en deposito

    durante 8 aos, a qu ser igual el monto compuesto? Qu inters ganar durante

    ese tiempo?

    2. Si se pretende que una suma de $300,000 se convierta en $750,000 al cabo de un

    periodo de 10 aos, a que tasa anual de inters deber invertirse en caso de que los

    intereses se capitalicen cada semestre?

    3. Se invierte una fuerte suma de dinero a una tasa de inters del 6% anual capitalizable

    bimestralmente, cunto tardar en duplicarse? en aumentar en 200%?

    4. Una suma de $10,000 da intereses a una tasa del 12% anual capitalizable

    trimestralmente, cunto tardar la inversin en llegar a $75,000?

    0.12(20)250,000

    2,755,794.10

    =

    =

    =

    I tM Ce

    M e

    M

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    11/39

    MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula

    11

    5 Qu suma habr de depositarse hoy al 8% anual capitalizable mensualmente si la meta es

    tener en un periodo de 4 aos un monto compuesto de $200,000? Cunto se obtendr por

    concepto de intereses en ese lapso?

    6 Si los precios al consumidor estn creciendo a una tasa del 8% anual capitalizables

    semestralmente, Cunto costar al cabo de 10 aos un artculo cuyo precio actual es de

    $250?

    7 Se invierten $1000 en un banco que da intereses a una tasa del 9% anual capitalizable

    continuamente cul ser el saldo de la cuenta al cabo de 10 aos?

    I.4 Proceso de crecimiento exponencial

    Se caracteriza por un incremento porcentual constante del valor en el tiempo. Tales procesos se

    describen mediante la expresin general0( )

    ktV t V e=

    donde:

    0V es el valor inicial del proceso cuando t = 0

    ( )V t es el valor de la funcin al tiempo t.

    kdenota la tasa porcentual de crecimiento (constante).

    Ejemplo

    La poblacin de un pas fue de 100,000 habitantes en 1970, la que ha estado desde ese ao

    creciendo en forma exponencial a una tasa constante de 4% por ao.

    a) Obtener la expresin para la poblacin a cualquier tiempo t

    b) cul ser la poblacin proyectada para 1995?.

    c) En que ao se triplicar la poblacin?

    Datos: Solucin:

    a) Es un proceso exponencial creciente P(t) = P0ekt

    La poblacin inicial es

    P0= 100,000 habitantes P(25) = 100,000e0.04(25)

    t = 0 (equivalente a 1970) P(25) = 271,828

    K = 4% = 0.04 anual En 1995 habr 271,828 habitantes

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    12/39

    MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula

    12

    t = 1995-1970 = 25 aos

    b) t = ? Para que P(t) = 3P0

    P(t) = 3(100,000) = 300,000

    Se triplicar en el ao 1970 + 28 = 1998

    Proceso de decrecimiento exponencial

    Se caracteriza por un decremento porcentual constante del valor en el tiempo. Tales procesos se

    describen mediante la expresin general 0( ) ktV t V e=

    Ejemplo

    El valor de reventa V (expresado en dlares) de cierto equipo industrial se comporta conforme a la

    funcin V(t) = 100,000e-0.1t, donde t son los aos transcurridos desde la compra original:

    a) Use la funcin para encontrar Cul es el valor original del equipo?

    b) Cul es el valor esperado de reventa al cabo de 5 aos? al cabo de 10 aos?

    Solucin

    a) El valor original del equipo V(0) = 100,000e-0.1(0)

    se obtiene cuando t = 0 V(0) = $100,000

    b) El valor de reventa en t = 5 aos V(5) = 100,000e-0.1(5)

    V(5) = $60,653.07

    El valor de reventa en t = 10 aos V(10) = 100,000e-0.1(10)

    V(10) = $36,787.95

    0.04

    0.04

    0.04

    0.04

    0.04

    ( ) 100,000

    300,000 100,000

    300,000

    100,000

    3

    3

    3 0.04

    3

    0.04

    28

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    t

    t

    t

    t

    t

    p t e

    e

    e

    e

    Ln Lne

    Ln t

    Ln

    t

    aos t

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    13/39

    MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula

    13

    Ejercicios

    1, La poblacin de un pas sudamericano ha estado creciendo exponencialmente a una tasa

    constante de 2.8% anual. El 1 de enero de 1975 la poblacin era de 50,000,000 dehabitantes.

    a) Describa la funcin general de crecimiento exponencial de la poblacin de pas

    b) Si la tasa de crecimiento contina como actualmente. Qu poblacin se espera

    habr en el ao de 1990? y en el ao 2000?

    c) Determine en que ao la poblacin habr aumentado en 50%? en que ao la

    poblacin se habr duplicado?

    2. En el ao 1980 el valor de compra de un equipo industrial fue de 750,000 dlares. El valor

    de reventa ha estado decreciendo de forma exponencial a una tasa constante del 5% anual.

    a) Obtener la expresin general para el valor de la reventa.

    b) Cul ser el valor de reventa del equipo industrial en el ao 1987? y en el ao

    2005?

    c) En que ao el valor de reventa habr disminuido al 50% del valor original?

    3 Desperdicio de slidos. En la ciudad de Mxico, las toneladas anuales de desperdicios

    slidos (basura) han ido aumentando en una tasa exponencial de 7% por ao. Suponga que

    las toneladas diarias actuales son 4000 y que no han cambiado la tasa ni el patrn de

    crecimiento.

    a) Qu tonelaje diario se espera que se produzca al cabo de 10 aos?

    b) La actual capacidad de eliminacin de los desperdicios slidos es de 6000

    toneladas por da. cundo ser insuficiente

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    14/39

    MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula

    14

    I.5 Elasticidad de la demanda

    La demanda de consumo de un producto esta relacionada con su precio. En la mayor parte

    de los casos la demanda disminuye a medida que el precio se incrementa. La sensibilidad de la

    demanda ante los cambios en el preciovara de un producto a otro.

    Una manera conveniente de medir la sensibilidad de la demanda ante los cambios en el precio es el

    cambio en porcentaje de la demanda que se genera por un incremento de 1% en el precio.

    Si q denota la demanda de un artculo y p su precio, la elasticidad de la demanda denotada ( ) es

    definida como:

    dq

    dLnq p dqq

    dpdLnp q dp

    p

    = = =

    Y tiene la siguiente interpretacin: La elasticidad de la demanda ( ) es el cambio porcentual en la

    demanda (q) debido a un incremento del 1% en el precio (p).

    Ejemplo:

    Suponga que la demanda q y el precio p de cierto artculo se relacionan con la ecuacin:

    240 2 , 120= < q p para o p

    a) Exprese explcitamente la elasticidad de la demanda como funcin del precio p

    b) Calcule la elasticidad de la demanda cuando el precio es p = 50. Interprete el resultado.c) En que precio p la elasticidad de la demanda es -1?Cul es la interpretacin

    econmica de este resultado?

    d) Calcule la elasticidad de la demanda cuando el precio es P = 100. Interprete el

    resultado.

    Solucin

    a) La elasticidad de la demanda esp dq

    q dp=

    La demanda es 240 2q p=

    Su derivada respecto de p es 2dq

    dp=

    Sustituyendo ( 2)240 2

    p

    p=

    Simplificando2

    240 2

    p

    p

    =

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    15/39

    MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula

    15

    b) Para p = 502(50)

    0.71240 2(50)

    = =

    Interpretacin La demanda q disminuye un 0.71% cuando el preciop = 50 aumenta un 1%. Lo que indica que hay una leve

    disminucin en la demanda.

    c) P = ? Si 1=

    21

    240 2

    p

    p =

    ( )1 240 2 2p p =

    240 2 2p p + = 2 2 240

    4 240

    240

    4

    60

    p p

    p

    p

    p

    + =

    =

    =

    =

    P = 60 1=

    Interpretacin La demanda disminuye un 1% cuando el precio p = 60

    Se incrementa 1%. Lo que aumenta el precio p

    disminuye la demanda q.

    d). Para p =1002(100)

    5240 2(100)

    = =

    Interpretacin La demanda q disminuye un 5% cuando el precio

    p=100 aumenta en 1%. Lo que indica que hay una

    fuerte disminucin en la demanda.

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    16/39

    MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula

    16

    I.5 a.- Niveles de elasticidad de la demanda

    Cuando 1 = , los cambios porcentuales en el precio y la demanda son iguales. Los economistas

    dicen que la elasticidad de la demanda es unitaria.

    En precios para los cuales 1 < , la demanda es relativamente insensible a los cambios en el

    precio y los economistas dicen que la demanda es inelsticarespecto al precio.

    En precios para los cuales 1 > , la demanda es relativamente sensiblea los cambios en el precio

    y los economistas dicen que la demanda es elsticarespecto al precio.

    Nota:Elstica Sensible

    1 < 1 = 1 >

    Inelstica Unitaria Elstica

    Ejemplo:

    La demanda q y el precio p de cierto artculo estn relacionados por la ecuacin:

    2

    300 , 0 300q p p= <

    .a) Exprese explictamele la elasticidad de la demanda en trminos de p.

    b) Determine los intervalos donde la demanda es: unitaria, elstica e inelstica con

    respecto al precio. (haga la comprobacin e interprete el resultado).

    Solucin

    a) La elasticidad de la demanda esp dq

    q dp=

    La demanda es 2300q p=

    Su derivada respecto a p es 2dq

    pdp

    =

    Sustituyendo2

    2

    2

    ( 2 )300

    2

    300

    pp

    p

    P

    P

    =

    =

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    17/39

    MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula

    17

    b)

    La demanda es inelstica si

    1 0 300y p < < <

    La demanda es unitaria si

    1 0 300y p = <

    La demanda es elstica si

    1 0 300y p > < <

    2

    2

    2

    2

    2 2

    2 2

    2

    2

    2

    21

    300

    21

    300

    2 300

    2 300

    3 300300

    3

    100

    100

    0 10

    p

    p

    p

    p

    p p

    p p

    p

    p

    p

    p

    p

    <

    ( )

    1 1 1

    1

    0 1

    1 0

    Si la demandaes inelastica

    dRq

    dq

    El ingreso R es

    creciente

    < < > <

    < <

    +

    Inelstica Unitaria Elstica

    p R(p) R(p)0 20p< < 19 +

    20 0 (20) 1600R = Valor Mximo

    20 1200p< < 30

    ( )2

    19

    120 0.3 19 11.7 0p

    dRdp

    =

    = = >

    2

    30

    120 0.3(30) 150 0p

    dR

    dp=

    = = <

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    21/39

    MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula

    21

    Ejercicios:

    La demanda q y el precio p de cierto artculo estn relacionados por la ecuacin:

    1. 60 0.1 , 0 600q p p= < .

    2. 2600 2 , 0 300q p p= <

    3. 2240 0.2 , 0 1200q p p= <

    4. 500 2 , 0 250q p p= <

    Para cada una de las cuatro relaciones haga lo siguiente:

    a) Exprese explictamele la elasticidad de la demanda en trminos de p.

    b) Determine los intervalos donde la demanda es: unitaria, inelstica y elstica con

    respecto al precio. (haga la comprobacin e interprete el resultado)

    c) Halle la funcin de ingreso total R en forma explicita en trminos de p. Use el criterio de

    la primera derivada para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento del

    ingreso, as como el precio p al cual es mximo el ingreso total. Hacer un bosquejo de la

    grfica.

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    22/39

    MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula

    22

    BIBLIOGRAFA

    Weber, Jean E. Matemticas aplicadas para Administracin y Economa 4ta Editorial

    Harla,, Pags. 873

    Budnik, Frank S. Matemticas aplicadas para Administracin y Economa y Ciencias

    sociales 3 Edicin McGraw Hill, pags. 947

    Leithold, Clculo diferencial e Integral, 6 Edicin Editorial Harla, pags. 653

    Zill, Dennos G. Ecuaciones diferenciales, 6ta. Edicin Internacional Thomson Editores,

    pags. 500

    Ross, S. L. Integracin a ecuaciones diferenciales 3 Edicin Interamericana, pags.

    502

    Taj , Investigacin de operaciones, Editorial McGraw Hill, pags. 56

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    23/39

    MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula

    23

    MATEMTICAS APLICADASMATEMTICAS APLICADASMATEMTICAS APLICADASMATEMTICAS APLICADAS

    Apndice AApndice AApndice AApndice A

    DerivacinDerivacinDerivacinDerivacin,,,, por frmula,por frmula,por frmula,por frmula, dededede

    funciones de una variablefunciones de una variablefunciones de una variablefunciones de una variable

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    24/39

    MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula

    124

    Derivacin por frmulas de funciones de una variableSe ha observado que para el curso de matemticas aplicadas los alumnos llegan condeficiencias en la derivacin por frmulas y en el concepto de valores mximos y mnimos deuna funcin y su grfica. Quiz esto se deba a que en el primer semestre vio los temas en sucurso de clculo diferencial y al cursar la materia de Matemticas Aplicadas, en el cuarto

    semestre, los haya olvidado. Por ello es que considero necesario darles un rapazo de laderivacin por frmulas y de los conceptos de valores mximos y mnimos as como puntos deinflexin y grficas de funciones. Para despus hacer aplicaciones de esos temas.

    Es comn usar las siguientes notaciones para la derivada de y = f(x) con respecto a x:

    , , ', '( ),x

    dy df y f x D y

    dx dx

    La derivada de una funcin constante

    ( ) , 0 '( ) 0dc

    Si f x c donde c es u n nmero entonces o f x dx

    = = =

    Ejemplo7

    ( ) 7, 0 '( ) 0

    ( 3)0

    3 0s

    dsi f x entonces o f x

    dx

    d

    dt

    D

    = = =

    =

    =

    Ejercicio7

    ( ) 7,

    1

    2

    ( 3)

    u

    dsi g t entonces

    dt

    D

    d

    dx

    = =

    =

    =

    La derivada de una variable respecto de ella misma

    ( ) , '( ) 1 1dx

    Si f x x entonces f x o dx= = =

    Ejemplo

    ( ) , 1 '( ) 1

    ( )1

    1s

    dtsi f t t entonces o f t

    dt

    d v

    dv

    D S

    = = =

    =

    =

    Ejercicio

    ( )

    ( ) , '

    ( )

    r

    si h u u entonces h

    D r

    d w

    dw

    = =

    =

    =

    La derivada de una constante por una funcin

    ( ) ( ), tan , ( ) ( )d dSif x cw x con c u na cons te entonces cw x c w x dx dx

    = =

    Ejemplo

    ( )

    3( ) 3 , 3 3(1) 3

    8 8 8(1) 8

    44 4(1) 4

    s s

    df d x dx Si f x x entonces

    dx dx dx

    D s D s

    d v dv

    dv dv

    = = = = =

    = = =

    = = =

    Ejercicio

    ( )

    ( ) 2 ,

    30

    15u

    dhSi h x x entonces

    dx

    d t

    dt

    D u

    = =

    =

    =

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    25/39

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    26/39

    MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales

    126

    La regla de la potencia1

    ( ) , ( ),

    n n nd dw

    Si f w w con w x entonces w nw dw dx

    = =

    Ejemplo

    ( )( ) ( ) ( )

    3 3 1 2 2

    11 11 1 10 10

    5 5 1 4 4

    20

    20 1 19 19

    3 3 (1) 3

    ( ) , '( ) 11 11 (1) 11

    (10 7) 5(10 7) (10 1) 5(5 7) (10) 50(5 7)

    83 4620 83 46 (83 46 ) 20 83 46 ( 46) 92 83 46

    t

    d dhh h h h

    dh dh

    dxF x x entonces F x x x x

    dx

    D t t D t t t

    d y dy y y y

    dy dy

    = = =

    = = = =

    = = =

    = = =

    Ejercicio16

    7

    21

    5

    ( ) , '( )

    (9 12 )

    (89 57)

    x

    h

    G y y entonces G y

    D x

    du

    du

    D h

    = =

    =

    =

    + =

    La derivada de la suma y/o resta de funciones

    ( )d du dv dw

    u v wdx dx dx dx

    + = +

    Ejemplo

    ( )

    ( )

    4 24 2 3 3

    3 8 2 1 8 1 7

    91 41 91 41 91 1 41 1 90 40

    3( 3 ) 4 2 3 4 2 3

    93( ) 93 , '( ) 3 8 0 3 8

    54 54 91 41 0 91 41h h h h h h

    d dx dx d x dx dx x x x x x x x

    dx dx dx dx dx dx

    d dt dt Si f t t t entonces f t t t t t

    dt dt dt

    D h h D h D h D h D h h D h h h

    + = + = + = +

    = = =

    + = + = + = +

    Ejercicio

    ( )

    32 19

    23 45

    17 22

    ( ) 67 , '( )

    34

    ( 3 )

    z

    Si h t t t t entonces h t

    D z z

    dw w w

    dw

    = + =

    + =

    + =

    La regla del monomio1n nd dwcw cnw

    dx dx

    =

    Ejemplo

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    27/39

    MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales

    127

    3 2 3

    3 2 3 2 3 2

    3 2 2

    ( ) 15( 8) ,

    '( ) 3(15)( 8) ( 8)

    45( 8)(3 2 1)

    Si F x x x x entonces

    dF x x x x x x x

    dx

    x x x x x

    = +

    = + +

    = + +

    2 5 2 5 1 2

    2 4

    34( 3 ) 5(34)( 3 ) ( 3 )

    170( 3 ) (2 3)

    u

    dD u u u u u u

    du

    u u u

    =

    =

    9 9 1 8 88(6 7 ) 9(8)(6 7 ) (6 7 ) 72(6 7 ) ( 7) 504(6 7 )

    d dt t t t t

    dt dt

    = = =

    Ejercicios

    ( )

    6 9

    4

    21

    22( 3 )

    5(2 9)

    ( ) 60 , '( )

    hD h h

    dx

    dx

    Si h v v v entonces h v

    =

    + =

    = =

    La regla de la raz1

    2

    d dww

    dx dx w=

    Ejemplo5 5

    6 6

    6 6 6

    1 30 15( ) 5 , '( ) 5

    2 5 2 5 5

    d u uSi f u u entonces f u u

    duu u u= = = =

    ( )2 22 2 21 10 55 45 5 452 5 45 2 5 45 5 45

    d d x x x xdx dx x x x

    + = + = =+ + +

    ( ) ( )2 2

    2 2 2

    8 10 4 1518 5 (8 5 )

    2 8 5 2 8 5 8 5v v

    v vD v v D v v

    v v v v v v

    = = =

    Ejercicios3 2

    8 5hD h h+ =

    295 4

    dt t

    dt

    + =

    9( ) 6 , '( )Si G v v entonces G v = =

    La regla del recproco

    2

    d c c dw

    dx w dx w=

    Ejemplo

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    28/39

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    29/39

    MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales

    129

    2

    du dv v u

    d u dx dx dx v v

    =

    Ejemplo

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    2

    2

    2 2

    2 2

    2

    2

    3 9

    3 5 4

    ( ) 3 9 ( ) 3 5 4 ,

    (3 9) 3 93 0 3

    5 813 5 4 3 5 4

    2 3 5 4 2 3 5 4

    5 83 5 4 (3) 3 9

    ( ) 2 3 5 4

    ( )3 5

    d x

    dx x x

    Sea U x x y V x x x derivando por separado

    du d x d x d

    dx dx dx dx

    xdv d d x x x x

    dx dx dx x x x x

    xx x x

    d U x x x

    dx V x x

    =

    = =

    = = = =

    = = =

    =

    ( )( )( )

    22

    2

    2

    2

    4

    3 9 5 83 3 5 4

    2 3 5 4

    3 5 4

    x

    x xx x

    x x

    x x

    =

    Ejercicios2

    2

    2

    ( )( ) 3 2 5 ( ) 4 6 ,

    ( )

    ( )( ) 9 2 15 ( ) 14 26,

    ( )

    ( )( ) 41 83 ( ) 51 20 14 ,

    ( )

    t

    d f xSi f x x x y g x x entonces

    dx g x u t

    Si u t t t y v t t entoncesD v t

    d G zSi G z z y H z z z entonces

    dz H z

    = + = + =

    = = + =

    = + = + =

    Derivada de funciones trigonomtricas( ) ( ) ( )

    2cos tan

    cos ; ; secd senw d w d gw dw dw dw

    w senw w dx dx dx dx dx dx

    = = =

    Ejemplo

    ( )

    ( ) ( ) ( )( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )

    3 2 3 2 3 2 3 2 2

    4 2 4 4

    2 4 4

    4

    (4 2 8) (4 2 8) (4 2 8) (4 2 8) 12 4

    (9 2 ) 9 2 9 2 9 2 2 2 9 2

    ( 5 12) sec 5 12 5 12

    1sec 5 12 5 12 sec

    2 5 12

    w

    v

    w

    w

    d dSen t t Cos t t t t Cos t t t t

    dx dx

    dD Cos v Sen v v Sen v Sen v

    dx

    d dTan p p p

    dp dp

    dp p

    dpp

    + = + + = + +

    = = =

    = =

    = =

    1442443

    123

    14243

    ( ) 3

    2 4

    4

    205 12

    2 5 12

    pp

    p

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    30/39

    MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales

    130

    Ejercicios

    ( )

    6 3

    3 2

    48

    8 4

    5 9 45

    t

    dSen

    dp p

    D Cos t t

    dTan h h

    dh

    =

    + =

    + + =

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    31/39

    MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales

    131

    MATEMTICAS APLICADASMATEMTICAS APLICADASMATEMTICAS APLICADASMATEMTICAS APLICADAS

    Apndice B

    Derivacin parcial, por frmula,

    de funciones de dos variables

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    32/39

    MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales

    132

    Derivadas parciales por frmulas

    Sea f(x, y) una funcin que depende de las dos variables independientes x &y.

    Derivar simultneamente a f(x, y) respecto a x & y no se puede hacer. Por lo que solo se habla delas derivadas parciales con respecto a una de las variables independientes x o y.

    La derivada de f con respecto a x se denotax

    fo f

    x

    y se considera a y constante

    La derivada de f con respecto a y se denotay

    fo f

    y

    y se considera a x constante

    Por fortuna, las derivadas parciales se obtienen muy fcilmente empleando las mismas reglas dederivacin utilizadas para funciones de una sola variable x. La nica excepcin es que, cuando seencuentra una derivada parcial respecto a una variable independiente, se supone que se mantieneconstante la otra. Por ejemplo, al calcular la derivada parcial respecto a x, se supone que y esconstante. Y un punto muy importante es que la variable que se supone constante debe tratarsecomo tal al aplicar las reglas de derivacin

    Ejemplo

    Encuentre las primeras derivadas parciales con respecto a x & y para la funcin

    g(x, y) = -10xy3

    SolucinPrimera derivada parcial respecto a x Primera derivada parcial respecto a y

    ( )

    ( )

    3

    3

    3

    3

    10

    y se mantiene constante

    10

    10 1

    10

    gxy

    x x

    y xx

    y

    y

    =

    =

    =

    =

    ( )

    ( )

    3

    3

    3 1

    2

    10

    x se mantiene constante

    10

    10 3

    30

    gxy

    y y

    x yy

    x y

    xy

    =

    =

    =

    =

    Ejemplo

    Encuentre las primeras derivadas parciales con respecto a x & y para la funcin

    f(x, y) = 5x2+ 6y2

    SolucinPrimera derivada parcial respecto a x Primera derivada parcial respecto a y

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    33/39

    MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales

    133

    ( )

    ( )

    2 2

    2 2

    2 1

    5 6

    5 6

    y se mantiene constante

    2 5 0

    10

    fx y

    x x

    x yx x

    x

    x

    = +

    = +

    = +

    =

    ( )

    ( )

    2 2

    2 2

    2 1

    5 6

    5 6

    x se mantiene constante

    0 2 6

    12

    fx y

    y y

    x yy y

    y

    y

    = +

    = +

    = +

    =

    Encuentre las primeras derivadas parciales con respecto a x & y para la funcin

    h(x, y) = (3x-2y2)5

    SolucinPrimera derivada parcial respecto a x Primera derivada parcial respecto a y

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    52

    5 12 2

    42 2

    42

    42

    3 2

    5 3 2 3 2

    5 3 2 3 2

    y se mantiene constante

    5 3 2 3 0

    15 3 2

    hx y

    x x

    x y x yx

    y x yx x

    x y

    x y

    =

    =

    =

    =

    =

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    52

    5 12 2

    42 2

    42

    42

    3 2

    5 3 2 3 2

    5 3 2 3 2

    x se mantiene constante

    5 3 2 0 4

    20 3 2

    hx y

    y y

    x y x yy

    y x yy y

    x y y

    y x y

    =

    =

    =

    =

    =

    Encuentre las primeras derivadas parciales con respecto a x & y para la funcin2 43 2( , ) x yE x y e =

    SolucinPrimera derivada parcial respecto a x Primera derivada parcial respecto a y

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    34/39

    MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales

    134

    .

    ( )

    ( )

    ( )

    2 4

    2 4

    2 4

    2 4

    2 4

    3 2

    3 2 2 4

    3 2 2 4

    3 2

    3 2

    3 2

    3 2

    y se mantiene constante

    6 0

    6

    x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    Ee

    x x

    e x yx

    e x yx x

    e x

    xe

    =

    =

    =

    =

    =

    ( )

    ( )

    2 4

    2 4

    2 4

    2 4

    2 4

    3 2

    3 2 2 4

    3 2 2 4

    3 2 3

    3 3 2

    3 2

    3 2

    x se mantiene constante

    0 8

    8

    x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    Ee

    y y

    e x yy

    e x yy y

    e y

    y e

    =

    =

    =

    =

    =

    .

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    35/39

    MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales

    135

    Si 2 2( , ) ( ) cos( )z x y x sen y x y y x= + demostrar que 2x yz yz z+ =

    Solucin

    Primera derivada parcial respecto a x Primera derivada parcial respecto a y

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    2 2

    2 2

    2 2

    2

    2

    2

    2

    ( ) cos( )

    y se mantiene constante

    ( ) cos( )

    ( ) ( )

    ( )

    cos( ) 2 ( )

    ( )

    1cos( )

    xz x sen y x y y xx

    x sen y x y y xx x

    x sen y x sen y x xx x

    y

    y sen y x x x

    yx y x xsen y x

    x x

    yy sen y x

    x x

    x y x yx x

    = +

    = +

    = +

    +

    = +

    =

    ( )

    ( )

    2

    2

    2

    2

    2

    3 2

    3 2

    32

    2 ( )

    1( )

    1cos( ) 2 ( )

    1( )

    cos( ) 2 ( )

    ( )

    2 ( ) cos( )

    2 ( ) cos( )x

    xsen y x

    y sen y x y

    x x

    x y x y xsen y xx

    y sen y x yx

    y y x xsen y x

    y x sen y x

    y x sen y x y y x

    yxz x sen y x xy y xx

    +

    = +

    = +

    +

    = +

    = +

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( )( )

    ( )

    2 2

    2 2

    2

    2 2

    2

    2

    2

    ( ) cos( )

    x se mantiene constante

    ( ) cos( )

    ( )

    cos( ) cos( )

    1( )

    cos( )2

    1( )

    yz x sen y x y y xy

    x sen y x y y xy y

    yx cos y x

    y x

    y y x y x yy y

    yx cos y x

    x y

    yy sen y x

    y x

    y x y

    xcos y x y sen y xx

    = +

    = +

    =

    + +

    =

    +

    +

    =

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    2

    2

    2 3

    2 cos( )

    ( )

    2 cos( )

    2 cos( )

    2 cos( )y

    y

    y

    y y x

    xcos y x y x sen y x

    y y x

    x y y x y x sen y x

    yz xy y y x y x sen y x

    +

    =

    +

    = +

    = +

    _________________________________________________________________________

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    36/39

    MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales

    136

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( )

    2 3 2 3

    32

    2 3

    2 2 2 2

    2 ( ) cos( ) 2 cos( )

    2 ( ) ( ) cos( )

    cos( ) 2 cos( )

    2 ( ) 2 cos( ) 2 ( ) cos( ) 2

    + = + + +

    = +

    + +

    = + = + =

    x yxz yz x y x sen y x xy y x xy y y x y x sen y x

    y

    x sen y x sen y x xy y xx

    xy y x y y x y x sen y x

    x sen y x y y x x sen y x y y x z

    Derivadas parciales de segundo ordenIgual que en el caso de las funciones de una sola variable, podemos determinar derivadas de

    segundo orden para las funciones bivariadas. Estas sern de mucha importancia en la siguiente

    seccin cuando tratemos de optimizar el valor de una funcin.

    La segunda derivada de f con respecto a x se denota2

    2 xx

    f fo f

    x x x

    =

    La segunda derivada de f con respecto a y se denota2

    2 yy

    f fo f

    y y y

    =

    La segunda derivada mixta de f con respecto a x & y se denota2

    xy

    f fo f

    y x y x

    =

    La segunda derivada mixta de f con respecto a y & x se denota

    2

    x

    f f

    o fx y x y

    =

    Una proposicin conocida con el nombre de Teorema de Young establece que las derivadasparciales mixtas son iguales

    xy yxf f= a condicin de que ambas sean continuas.

    Ejemplo:Encuentre las primeras y segundas derivadas parciales para la funcin

    2

    ( , ) x

    f x y e Lny=

    SolucinPrimera derivada parcial respecto a x Primera derivada parcial respecto a y

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    37/39

    MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales

    137

    .

    ( )

    ( )

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    ln

    y se mantiene constante

    ln

    ln

    ln 2

    2 ln

    x

    x

    x

    x

    x

    fe y

    x x

    y ex

    xy e

    x

    y e x

    xe y

    =

    =

    =

    =

    =

    ( )2

    2

    2

    2

    ln

    x se mantiene constante

    ln

    1

    x

    x

    x

    x

    fe y

    y y

    e yx

    ye

    y y

    e

    y

    =

    =

    =

    =

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    38/39

    MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales

    138

    Segunda derivada parcial respecto a x Segunda derivada parcial respecto a y

    .

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )( )

    2

    2

    2 2

    2 2

    2 2

    2

    2

    2

    2

    2

    2 ln

    y se mantiene constante

    2ln

    2ln

    2ln 1

    2ln 2

    2 ln 2 1

    x

    x

    x x

    x x

    x x

    x

    fxe y

    x x

    y xex

    xy x e e

    x x

    xy xe e

    x

    y xe x e

    e y x

    =

    =

    = +

    = +

    = +

    = +

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    x se mantiene constante

    1

    1

    x

    x

    x

    x

    f e

    y y y

    ey y

    ey

    e

    y

    =

    =

    =

    =

    Segunda derivada parcial mixta Segunda derivada parcial mixta

    .

    ( )

    2

    2

    2

    2

    2

    y se mantiene constante

    1

    12

    2

    x

    x

    x

    x

    f f

    x y x y

    e

    x y

    ey x

    xey

    xe

    y

    =

    =

    =

    =

    =

    ( )

    ( )

    2

    2

    2

    2

    2

    2 ln

    x se mantiene constante

    2 ln

    12

    2

    x

    x

    x

    x

    f f

    y x y x

    xe yy

    xe yy

    xey

    xe

    y

    =

    =

    =

    =

    =

    Lo que confirma el teorema de Young2

    2 22 xf xe f

    x y x y

    = =

    Ejercicios.

    Si2

    u x y= demostrar que x yx y xxu u u u= En los siguientes ejercicios determine:

    3 2

    2 3

    5 3

    2 2

    5 2

    ( , ) 8 16

    ( , )

    ( , )

    ( , )

    ( , ) ln

    x y

    x y

    y

    f y f

    f x y x y

    f x y x y

    f x y x y

    f x y e

    f x y e x

    =

    =

    = +

    =

    =

    2 2

    3

    2 2

    , , ,

    ( , ) 2 3 6

    ( , ) ln

    ( , ) ( )

    ( , ) ln( )

    ( , ) cos

    xx yy xy yxf f f f

    f x y x xy y

    f x y xy x

    f x y y x

    f x y x y

    f x y x y y senx

    = +

    = +

    =

    = +

    = +

  • 8/13/2019 matemticas financieras captulo 1

    39/39

    MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales