MATEMÁTICAS FINANCIERAS. Interés y Tasas de Interés Alvaro Hernán Sarria.

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Interés y Tasas de Interés

Alvaro Hernán Sarria

Interés y Tasas de interés

DefiniciónEl rendimiento que proporciona el enajenamiento temporal del dinero, es decir, el importe del alquiler del dinero.

Como importe de alquiler que es, el interés debe referirse a períodos de tiempo y según el capital comprometido.

La expresión porcentual del interés se denomina TASA DE INTERES.

Modalidades de Interés

Cuando los intereses se acumulan dan lugar a dos modalidades de acumulación:

• Interés Simple – los intereses se acumulan en una cuenta aparte.

• Interés Compuesto – los intereses se acumulan en la misma cuenta del capital, es decir, son objeto de generar más intereses una vez capitalizados.

El interés compuesto capitaliza los intereses mientras que el simple no lo hace.

Interés Simple

Mes CapitalInicial ($)

Intereses generados ($)

Capital final ($)

Intereses acumulados ($)

1 100,000,000 2,000,000 100,000,000 2,000,000

2 100,000,000 2,000,000 100,000,000 4,000,000

3 100,000,000 2,000,000 100,000,000 6,000,000

4 100,000,000 2,000,000 100,000,000 8,000,000

5 100,000,000 2,000,000 100,000,000 10,000,000

6 100,000,000 2,000,000 100,000,000 12,000,000

Final en cuentas 100,000,000 12,000,000

Total por cancelar 112,000,000

Capital principal = $100,000,000Tiempo = 6 mesesTasa de interés = 2% mensual

Interés Compuesto

Mes CapitalInicial ($)

Intereses generados ($)

Capital final ($)

Intereses acumulados ($)

1 100,000,000 2,000,000 102,000,000

2 102,000,000 2,040,000 104,040,000

3 104,040,000 2,080,800 106,120,800

4 106,120,800 2,122,416 108,243,216

5 108,243,216 2,164,864 110,408,080

6 110,408,080 2,208,162 112,616,242

Total por cancelar 112,616,242

Capital principal = $100,000,000Tiempo = 6 mesesTasa de interés = 2% mensual

Interés Simple - Fórmulas

Monto de Intereses

I = P * i * tdonde:I: Monto de interés ($)P: Monto de capital principal ($)i: Tasa de interés por período (%)t: Número de períodos (días, meses, años, etc.)

Ejemplo:

Calcular el monto de interés que paga un préstamo de $500,000 al 1.5% mensual por 18 meses:

Capital: $500,000Tasa de interés: 1.5% = 0.015Tiempo: 18 meses

I = $500,000 * 0.015 * 18 = $135,000


Relación entre valor presente y valor futuroVF = P + I VF = P + P*i*t = P (1 + i * t)

Ejemplo:Calcular el valor a pagar en 18 meses cuando se cumpla un préstamo por $500,000 al 1.5% mensual simple.

I = $500,000 * 0.015 * 18 = $135,000VF = $500,000 + $135,000 = $635,000 oVF = $500,000 * (1 + 0.015 * 18) = $635,000


Relación entre valor presente y valor futuroVP = F / (1 + i * t)

Ejemplo:Calcular el valor presente de una deuda que debe cancelar $3,000,000 dentro de 18 meses si el interés pactado es del 3% mensual:

VP = $3,000,000 / (1 + 0.03 * 18) = $1,948,052


Cálculo de Tasa de Interési = (VF/P -1)/t

Ejemplo:Calcule la tasa de interés mensual que se aplica a un préstamo de $1,948,052 que cancela $3,000,000 a los 18 meses:

i = ($3,000,000/ $1,948,052 – 1)/18 = 0.03 = 3% mensual


Cálculo de Tiempot = (VF/P -1)/i

Ejemplo:Calcule el tiempo necesario para que una deuda de $1,948,052 de convierta en $3,000,000 al 3% mensual:

t = ($3,000,000/ $1,948,052 – 1)/0.03 = 18 meses


Equivalencia de tasas:

Tasa nominal o anual (in) = ip*n

Donde n el número de períodos en un año.

Igualmente, Tasa periódica (ip) = in/n


Relación entre valor presente y valor futuro

Interés Compuesto

Período Capital al inicio del período

Interés del período

Capital al final del período

1 P P*i P + P*i = P(1+i)

2 P(1+i) P(1+i)i P(1+i)+P(1+i)i=P(1+i)(1+i)=P(1+i)2

3 P(1+i)2 P(1+i)2i P(1+i)2+P(1+i)2i=P(1+i)2(1+i)=P(1+i)3

*

*

n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1i P(1+i)n-1+P(1+i)n-1i = P(1+i)n-1(1+i) = P(1+i)n

VFn = P(1+i)n

Ejemplo:Un depósito de $5,000,000 se mantiene por cuatro años en una fiducia que capitaliza intereses y ofrece una tasa de interés del 1.5% mensual. ¿Cuánto se retira al final de los cuatro años?

VF = $5,000,000*(1+0.015)4*12

VF = $10,217,391

Interés Compuesto

Similarmente:VP = F / (1 + i)n

Ejemplo:¿Cuánto debo invertir en la misma fiducia anterior si quiero retirar $1,000,000 en 12 meses (i=1.5% mes)?

VP=$1,000,000/(1.015)12=$836,387.42

Interés Compuesto

Similarmente, despejando para ii = (F / P)1/n – 1

Ejemplo:¿Qué tasa de interés mensual triplica una inversión en un año?

i = (3P / P)1/12 – 1 = 31/12 – 1 = 0.0959 = 9.59% mensual

Interés Compuesto

Finalmente despejando para nn = log(F / P) / log(1 + i)

Ejemplo:¿En cuanto tiempo se triplica una inversión al 3% mensual?

n = log(3P/P) / log(1+0.03) = log(3)/log(1.03) = 37.17 meses

Interés Compuesto

Interés Compuesto

Flujos de Fondos MúltiplesHasta ahora hemos trabajado solamente con un flujo de fondos. En la vida real generalmente son flujos múltiples:

FF0

0 1 2 3 4 n

FF1

FF2 FFn

FF3 FF4

Interés Compuesto

Flujos de Fondos MúltiplesCálculo de valor presente:

VP

0 1 2 3 4 n

FF1

FF2 FFn

FF3 FF4

Interés Compuesto

Flujos de Fondos MúltiplesCálculo de valor futuro:

0 1 2 3 4 n

FF1

FF2 VF

FF3 FF4

Ejemplo Flujos Múltiples:Un padre requiere pagar las cuotas universitarias de sus hijos en Enero, Marzo y Abril (último día del mes) por valor de $5, $7 y $12 millones respectivamente. El 31 de Diciembre recibe la prima y quiere saber cuanto debe ahorrar de ella para poder cubrir las cuotas si su inversión renta 2.5% mensual?

Interés Compuesto

VP

0 1 2 3 4 125

7 12

431 )025.1(12

)025.1(7

)025.1(5 VP

VP = $22.25 MM

Ejemplo Flujos Múltiples:Un pobre empleado puede ahorrar $30, $40, $50 y $50 millones en uno, dos, tres, cuatro meses respectivamente para un viaje al exterior que tiene planeado dentro de un año. Si la inversión le da el 3% mensual, cuánto tendrá para su viaje?

Interés Compuesto

412312212112 %)31(*50%)31(*50%)31(*40%)31(*30 VFVF

0 1 2 3 4 12

30 40 50 50

VF = $223.86 MM

Como caso especial de lo anterior que pasa cuando los flujos son todos iguales:

Interés Compuesto

VP

0 1 2 3 … n-1 n

A A A A A A

Interés Compuesto

n

n

n

n

n

n

nnn

n

n

nn

nn

nn

nn

iii

AVP

ii

AVPiii

AiVP

ii

Aii

iA

iAVPiVPecec

eciiii

AiVP

iiiiiAiiVP

eciiiii

AVP

iA

iA

iA

iA

iA

VP

n

)1(1)1(

)1(1)1(

)1(1)1(

)11(

)1(1)1(

)1(1

)1()1(

)1(1

1)1(12

2)1(1

)1(1

...)1(

1)1(

11)1(

)1(1

)1(1

...)1(

1)1(

1)1(

1)1()1(

1)1(

1)1(1

...)1(

1)1(

1)1(

1

)1()1(...

)1()1()1(

1221

1321

1321

1321

Despejando de la ecuación anterior podemos encontrar la formula para A (alicuota)

para futuros, como VFn=P(1+i)n

Interés Compuesto

1)1()1(

n

n

iii

PVA

ii

Aiiii

AVFn

nn

n 1)1()1(

)1(1)1(

1)1( ni

iVFVA

Si usted compra un automóvil de $40,000,000 con una cuota inicial del 20%, con el saldo a 60 meses al 1% mensual, cuál es el monto de las cuotas mensuales?

P = $40,000,000 menos la cuota inicial = $32,000,000i = 1% mensualn = 60 mesesA (cuota) =

Interés Compuesto

33.822,711$1)01.01()01.01(01.0

*000,000,32$ 60

60

Si ahorra mensualmente $700,000 en una corporación que le ofrece un rendimiento mensual del 0.7%, cuánto tendrá en dos años?

A = $700,000i = 0.7% mensualn = 24 mesesF = A((1+i)n – 1)/i =

Interés Compuesto

55.447,224,18$007.0

1)007.01(*000,700$

24

Estudiemos ahora el caso cuando los flujos aumentan en un porcentaje cada período. Se le llama gradiente geométrico.

Interés Compuesto

1 2 3 4 5 n

B

B(1+j)

b(1+j)2

b(1+j)3

b(1+j)4

b(1+j)n-1

Interés Compuesto

1)1()1(

)(

1)1()1(

1)1()1(

)(

1)1()1(

)1(1

)1(1

)1()1(

)1()(

)1()(

)1()1()1(

)1()1(

)1()1(

1)1()1(

)1(1

)1()1(

)1()1(

1.2.

.2.)1()1(

...)1()1(

)1()1(

)1()1(

)1()1(

)1()1(

...)1()1(

)1()1(

)1(1

)1()1(

)1()1(

.1.)1()1(

...)1()1(

)1()1(

)1(1

)1()1(

...)1()1(

)1()1(

)1(

1

1

14

3

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

1

3

2

2

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

ij

ijB

VP

ij

Bij

BijVP

ij

iB

iij

Biij

VP

iij

VPi

ijVP

ii

ij

VPij

VP

iij

BVPij

VPecec

ecij

ij

ij

ij

Bij

VP

ij

ij

ij

iij

Bij

VP

ecij

ij

ij

iBVP

ijB

ijB

ijB

iB

VP

Ejemplo:Calcular el valor del préstamo cuya primera cuota es de $100,000 que aumenta en un 1% mensual y que tiene como tasa de interés 2% mensual a 12 meses.

B = 100,000; i = 0.02; j = 0.01; n = 12

VP = B/(j-i) * {[(1+j)/(1+i)]n-1} VP = 100,000/(0.01-0.02)*{[(1+0.01)/(1+0.02)]n -1}VP = $1,115,062

Interés Compuesto

En el caso de proyectos que no tienen caducidad, el tiempo podría ser infinito por lo cual se requiere saber el valor presente de una serie infinita de flujos. En principio supongamos que dichos flujos son iguales:

Interés Compuesto

iA

VP

iA

iA

iiA

VP

iiA

VP

iii

iA

ii

iA

iii

AVP

n

n

n

nn

n

n

n

n

n

011

1)1(1

1

)1(1

1

)1(1

)1()1(

)1(1)1(

)1(1)1(

¿Cuál es el valor presente del costo de mantenimiento y actualización ($4,000,000 anuales) que cobra una empresa de desarrollo por un aplicativo a su cliente suponiendo que el cliente lo usará indefinidamente y que el costo de oportunidad de la empresa es del 15% anual?

VP = A/i = $4,000,000 / 0.15 = $26,666,667

Interés Compuesto

Igualmente, se puede aplicar la teoría a gradientes geométricos infinitos.

Interés Compuesto

1)(

1)1()1(

)(

,

)(10

)(1

)1()1(

)(

,

1)1()1(

)(

ijB

ij

ijB

VP

jiSi

jiB

ijB

ij

ijB

VP

jiSi

ij

ijB

VP

n

n

n

Igualmente, se puede aplicar la teoría a gradientes geométricos infinitos.

Interés Compuesto

)1()1(

)1(1

...)1(

1)1(

1)1(

1

)1()1(

...)1()1(

)1()1(

)1(1

)1()1(

...)1()1(

)1()1(

)1(

,

1

3

2

2

1

3

2

2

inB

in

BVP

iiiiBVP

ii

ii

ii

iBVP

ijB

ijB

ijB

iB

VP

jisi

n

n

n

n

¿Cuál es el valor presente del costo de mantenimiento ($4,000,000 anuales que sube con el IPC anualmente) que cobra una empresa de desarrollo por un aplicativo a su cliente suponiendo que el cliente lo usará indefinidamente y que el costo de oportunidad de la empresa es del 15% anual? Suponga un IPC del 4,5%.

VP = B/(i-j) = $4,000,000 / (0.15-0.045) = $38,095,238

Interés Compuesto

Plazo MuertoPeriodo en el cual no se hacen pagos ni se contabilizan intereses pero si se toma en cuenta el tiempo transcurrido del plazo muerto dentro del plazo total del préstamo.

Interés Compuesto

1)1()1(

PMn

PMn

iii

PVA

Periodo de GraciaPeríodo en el cual no se hacen pagos pero sí se contabilizan intereses. Igualmente el tiempo transcurrido de gracia cuenta en el tiempo total.

Interés Compuesto

1)1()1(

1)1()1(

)1(

PGn

n

PGn

PGnPG

iii

PVA

iii

iPVA

AmortizaciónFórmulas:INTt = SIt * i

ABt = Ct – INTt

SFt = SIt – ABt

SIt+1 = SFt

donde:INTt = Monto de los intereses del período t

ABt = Abono a capital período t

Ct = Monto de pago o cuota período t

SIt = Saldo inicial del período t

SFt = Saldo final del período t

i = Tasa de interés a aplicar en cada período

Ejemplo en Excel (alicuota):

Amortización

P 100,000,000

i 30%

n 5

Periodo Saldo ini intereses capital cuota saldo fin

1 100,000,000 30,000,000 11,058,155 41,058,155 88,941,845

2 88,941,845 26,682,554 14,375,601 41,058,155 74,566,244

3 74,566,244 22,369,873 18,688,282 41,058,155 55,877,962

4 55,877,962 16,763,389 24,294,766 41,058,155 31,583,196

5 31,583,196 9,474,959 31,583,196 41,058,155 0

Ejemplo en Excel (gradiente geométrico):

Amortización

P 100,000,000

i 30%

j 10%

n 5

Periodo Saldo ini intereses capital cuota saldo fin

1 100,000,000 30,000,000 5,320,535 35,320,535 94,679,465

2 94,679,465 28,403,839 10,448,750 38,852,589 84,230,715

3 84,230,715 25,269,215 17,468,633 42,737,848 66,762,082

4 66,762,082 20,028,625 26,983,008 47,011,633 39,779,074

5 39,779,074 11,933,722 39,779,074 51,712,796 0

Tasas de interés

Denominaciones de la Tasa de Interés

Según como proponga la información de los períodos de tiempo:

• Periódica – corresponde al periodo de composición (día, mes, trimestre, etc.)

• Nominal – la expresión anualizada de la tasa periódica, es decir, la tasa periódica multiplicada por el número de períodos al año

• Efectiva – la expresión equivalente a una tasa periódica pero con período igual a un año

Denominaciones de la Tasa de Interés

Según la causación:

• Anticipada – cuando el interés se causa en forma anticipada en el período.

• Vencida - cuando el interés se causa en forma vencida en el período. La tasa efectiva solamente se expresa como vencida.

Ejemplos de Tasas de Interés

Tasa periódica:

2% m.v. 2% mes vencido, es decir, paga de interés el 2% del valor prestado al final de cada mes.

3% t.a.3% trimestre anticipado, es decir, paga anticipadamente el 3% del valor prestado cada tres meses empezando desde el mes cero.


Tasa nominal:

24% a.m.v.24% anual compuesto mensualmente causado al final del mes, es decir, equivalente al 2% m.v. de la página anterior (2%*12)

12% a.t.a.12% anual compuesto trimestralmente con pago anticipado, equivalente al 3% t.a. anterior (3%*4).


Tasa efectiva:

Fórmulas de conversión de tasas periódicas y nominales a efectivas:

de periódica anticipada a periódica vencida: ipv = ipa/(1-ipa)

de periódica vencida a periódica anticipada: ipa = ipv/(1+ipv)

de periódica vencida a efectiva: ie = (1 + ipv)n – 1

de efectiva a periódica vencida: ipv = (1 + ie)1/n – 1

Ruta de Equivalencia de Tasas

m periodos por año ñ periodos por año

inv ipv ie ipv inv

ina ipa ipa ina

ipv=ipa/(1-ipa) ipa=ipv/(1+ipv)

ipa=ina/m

inv=ipv*ñ

ina=ipa*ñ

ie=(1+ipv)m-1 ipv=(1+ie)1/ñ-1ipv=inv/m


Tasa efectiva:

24% a.m.v. = 24% / 12 m.v. = 2% m.v. = (1 + 2%)12 - 1 e.a. =(1.02)12 – 1 = 0.2682 = 26.82% e.a.

12% a.t.a. = 12% / 4 t.a. = 3% t.a. = 3% / (1 – 3%) t.v. =0.03/0.97 t.v. = 0.0309 t.v. = 3.09% t.v. = (1 + 3.09%)4 -1 e.a. =(1.0309)4 – 1 e.a. = 0.1296 e.a. = 12.96% e.a.

Tasa real

Tasa de interés sobre moneda constante, es decir, libre del efecto de la inflación.

Fórmula: iR = (1 + ie) / (1 + if) - 1

Ejemplo 1: 20% e.a. con inflación del 5% e.a.Tasa real = (1 + 20%)/(1 + 5%) -1 = 14.29% e.a.

Tasa real

Ejemplo 2Hoy Tengo : $10,000Precio panela : $100Puedo comprar : 100 panelas

Inflación = 5% e.a.Tasa inversión = 20% e.a.

En un añoTengo : $10,000*(1+20%)=$12,000Precio panela : $100*(1+5%)=$105Puedo comprar : $12,000 / $105 = 114.29 panelas

Tasas Mixtas

Una tasa es mixta cuando se declara como la suma de dos tasas, generalmente una variable o de referencia y una fija.

Las dos tasas deben referirse al mismo período antes de sumarse. Normalmente se acepta como guía la declaración de la fija a menos que ésta no se defina y en ese caso se toma la declarada por la variable.

Ejemplo: DTF + 5% a.t.v. (si el DTF está en 7% ea)1)Pasar la DTF a a.t.v.

7% e.a. -> (1+7%)(1/4)-1 t.v.=1.706% t.v.=6.823% a.t.v.

2)Sumar las tasas6.823% + 5% = 11.823% a.t.v.

3)Pasar la tasa a efectiva anual para comparación:11.823% a.t.v. -> 2.956% t.v. -> (1+2.956%)4-1 e.a. = 12.358% e.a.

Otras tasas de referencia: Libor, Prime rate

Tasas Mixtas

Tasas Compuestas

Cuando la tasa se define entre dos o más tasas y una de ellas se declara sobre una base monetaria diferente a la base de declaración de la tasa original.

Fórmula: i = (1 + iu)(1 + ic) - 1

Ejemplo 1: Inversión que gana 9% e.a. en dólares – tasa equivalente en pesos si la devaluación es del -2% e.a.

i = (1 + 9%)(1 – 2%) – 1 = 6.82% e.a.

Tasas Compuestas

Ejemplo 2:Hoy:Tengo : $100,000,000 COPTRM : $2,500 COP/USDCompro: $40,000 USD

Tasa inversión USD : 9% e.a.Devaluación : -2% e.a.

En un año:Tengo : $40,000*(1+9%) = $43,600 USDTRM: $2,500*(1-2%) = $2,450 COP/USDCompro : $43,600*2,450 = $106,820,000 COPUtilidad : ($106,820,000 / $100,000,000 )-1 = 6.82%

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