Matemáticas Financieras. Ley financiera de capitalización compuesta. problemas

LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA.

PROBLEMAS

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

EJERCICIO 1:

Un ahorrador invierte en una cuenta de ahorro que le ofrece un interés del 3% anual con liquidaciones trimestrales los siguientes importes:

- Hoy, una cantidad de 2.000 €- A los 13 meses, 5.500 €- A los dos años, 7.000 €

¿Cuál es el montante que obtendrá a los tres años y medio?

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Y podemos trabajar con este tipo de interés trimestral, del siguiente modo:

Un tipo de interés anual con liquidaciones trimestrales hace referencia a una J, en este caso, J4

A partir de este dato, calculamos el interés k-esimal equivalente, en este caso, i4, mediante la equivalencia:

0075,04

03,0

4

4

4 ===J

i

PROBLEMAS LEY FRA CAP.COMPUESTA

0 3,5 años

2.000

13 meses

i4 = 0,75%

Cn5.500

2 años

7.000

45,13

)1342(

45,3)0075,01(7000)0075,01(5500)0075,01(2000

⋅

−

⋅+⋅++⋅++⋅=

nC

∈=++= 48,453.1597,320.796,911.555,220.2n

C


O bien, trabajar con el tipo de interés anual equivalente, a través de la equivalencia… ( ) k

kii )1(1 +=+

03033919,01)0075,01(4

=−+=i


5,112

)1342(

5,3)03033919,01(7000)03033919,01(5500)03033919,01(2000 +⋅++⋅++⋅=

−

nC

∈=++= 48,453.1597,320.796,911.555,220.2n

C

0 3,5 años

2.000

13 meses

i = 3,03%

Cn5.500

2 años

7.000


EJERCICIO 2:

Al cabo de cuánto tiempo un capital de 12.000 euros invertido a un tipo de interés anual del 3% anual compuesto será equivalente a un capital de 10.000 euros invertido a un tipo de interés del 4% anual con liquidaciones semestrales?


Ambos capitales serán equivalentes en aquel momento (n) en el que valgan exactamente igual, es decir, el montante del primero en ese momento sea igual al montante del segundo en ese mismo momento.

0 n años

12.000

i= 3%

Cn


0 n años

10.000

J2 = 4%

Cn

02,02

04,0

2

2

2 ===J

i

nn 2)02,01(10000)03,01(12000 +⋅=+⋅



nn 2)02,01(10000)03,01(12000 +⋅=+⋅

n

n

)03,01(

)02,01(

10000

120002

+⋅

+=

n)

03.1

02.1(2,1

2

=

n)01009708,1(2,1 =

n)01009708,1ln(2,1ln = )01009708,1ln(2,1ln ⋅= n

14786,18)01009708,1ln(

2,1ln==n 18 años, 1 mes y 23 dias


EJERCICIO 3:

Una entidad financiera ofrece depósitos a la vista abonando un 5% de interés anual liquidable semestralmente, con una comisión de apertura del 0,15%

¿Cuál es la TAE del depósito?Un cliente decide contratar el producto realizando un depósito de 10.000 euros durante 4 años. Determine el valor del montante obtenido.¿Cuál es el tanto efectivo obtenido por el inversor en la operación?


Como se trata de una operación con vencimiento abierto, cuando nos piden la TAE del depósito, no tenemos en cuenta las comisiones.Por tanto, para calcular la TAE bastaría con calcular el tipo de interés anual equivalente al tipo de interés que nos facilita el enunciado del problema.

Y ahora calcularíamos el interés anual equivalente, mediante la equivalencia:

( ) k

kii )1(1 +=+

Un tipo de interés anual liquidable cuatrimestralmente hace referencia a una J, en este caso, J2

A partir de este dato, calculamos el interés k-esimal equivalente, en este caso, i3, mediante la equivalencia:

025,02

05,0

2

2

2 ===J

i

050625,01)025,01(2

=−+=i

Por tanto, la TAE sería igual a un 5,06%


El cliente deposita 10.000 euros sobre los que se aplica una comisión de apertura del 0,15%, es decir, 15 euros (10,000 x 0,0015). Por tanto, la cantidad que va a generar es intereses será 9.985 euros (10.000 – 15)

Y ahora calcularíamos el montante:

24)025,01(9985

x

nC +×=

0 4 años

9.985

J2 = 5%

Cn

75,165.12=n

C


025,02

05,0

2

2

2 ===J

i


10.000 12.165,75

4

Para poder calcular el tanto efectivo obtenido por el inversor hay que plantear una equivalencia entre la cantidad que se invierte y la que se recibe.

Qué se invierte? El importe total invertido asciende a 10.000 euros.Cuándo se invierte? En el momento 0

Por tato, la ecuación quedaría:

( ) 75,121651100004

=+× i i = 5,02%

Qué recibo? La cantidad de 12.165,75 eurosCuándo lo recibo? En el momento 4 años

0


EJERCICIO 4:

Una persona contrata un fondo de 10 años de duración, ingresando 15.000 euros al inicio de la operación y 23.000 euros al finalizar el quinto año. La entidad financiera que gestiona el fondo ofrece un 6% anual con liquidaciones mensuales los dos primeros años, un 2% efectivo semestral los tres años siguientes, un 8% anual liquidable cada bienio durante los dos siguientes y un 4% cuatrimestral efectivo los restantes.¿Cuál es el montante obtenido al finalizar la operación?


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 332

1233

2

1223122

04,116,12300004,116,102,1005,115000××××××

××+××××=Cn

02 años 10 años

15.000 23.000

7años5 años

i2 = 2% J1/2 = 8%J12 = 6% i3 = 4%

005,012

06,012 ==i 16,0

21

08,02/1 ==i


96,3793762,31436 +=n

C

58,374.69=n

C


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