MATEMÁTICAS FINANCIERAS. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARTIMÉTICA. TEORÍA.

TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS Rentas Variables en Progresión

Aritmética (teoría)

www.jagonzalez.blogsgo.com

Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

www.jagonzalez.blogsgo.com RENTAS VARIABLES EN PROG. ARITMÉTICA

VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL

a1 a2 a3 …... an-1 an

0 1 2 3 n-1 n

Siendo, a1=aa2=a+pa3=a+2p

aK=a+(K-1)p

an=a+(n-1)p

nn

nn iaiaiaiaiaA

)1()1()1()1()1( )1(1

33

22

11

nn ipnaipnaipaipaiaA )1())1(()1())2(()1()2()1()()1( )1(321

Sin embargo, hasta ahora únicamente sabemos calcular el valor actualizado de las rentas constantes, por lo que no sabríamos calcular el valor actual de esta renta al no ser constante…



a a+p a+2p …... a+(n-2)p a+(n-1)p

0 1 2 3 n-1 n

Por tanto, vamos a desglosar esta renta en una serie de rentas constantes cuyo valor actual sí sepa calcular…

a a a …... a a

0 1 2 3 n-1 n p p …... p p

0 1 2 3 n-1 n p …... p p

0 1 2 3 n-1 n

p p

0 1 2 3 n-1 n

p

0 1 2 3 n-1 n

R1

R2

R3

Rn-1

Rn

inaaA 1

112 )1( iapA in

222 )1( iapA in

)2()2(1 )1( ninnn iapA

)1()1( )1( ninnn iapA



De tal forma que el valor actual de la renta variable en progresión aritmética será igual a la suma de los valores actuales de cada una de las rentas constantes en que he descompuesto la primera…

nn AAAAAA 1321 ...

)1()1(

)2()2(

22

11 )1()1(...)1()1(

ninn

ninnininin iapiapiapiapaaA

)1())1((

)2())2((

2)2(

1)1(

)1()1(1

)1()1(1

...)1()1(1

)1()1(1

nnn

nnnnn

in ii

ipi

i

ipi

i

ipi

i

ipaaA

Sustituyo la fórmula an/i por su valor…

Por simplificar, sustituyo (muy importante) por v1)1( i 1)1( iv

)1())1((

)2())2((

2)2(

1)1( 11

...11

nnn

nnnnn

in vi

vpv

i

vpv

i

vpv

i

vpaaA



Sacando factor común …

)1())1(()2())2((2)2()1( 11...11 nnnnnnnnin vvvvvvvvi

paaA

Multiplicando los paréntesis …

nnnnnnin vvvvvvvvi

paaA

)1()2(2 ...

nnnnnnnnin vvvvvvvvvvi

paaA

)1()2(2 ...

Reordenando….

nnnnnnnin vvvvvvvvvvi

paaA

...... )1(32

nnnin vnvvvvvi

paaA

)1(32 ...

OJO!!!



Por otro lado…

innnnn aiiiiivvvvv

)1()1(...)1()1()1(... )1(321)1(32

Por tanto…

ninin vnai

paaA

1)1( ivsiendo

Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión aritmética de razón p a un período antes de efectuar el primer pago, en este caso, el año 0

Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables y a las diferidas postpagables y prepagables



Respecto al valor final, no vamos a estudiar una segunda fórmula, sino que capitalizaremos el valor actual hasta el momento n para calcular el valor final de esta renta.

Por tanto…

nninin

n ivnai

paaiAS )1()1(

1)1( ivsiendo

Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión aritmética de razón p al momento en el que vence el último término, en este caso, al momento n

Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables y a las diferidas postpagables y prepagables

nnninin

nnin

nin ivnia

i

psaivna

i

piaaS )1()1()1()1(

nsi

psaS inin


VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL

dninin ivna

i

paaA

)1(

1)1( ivsiendo

a+(n-2)p a+(n-1)p

d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1

a+pa ........

)()1( ndiAS


VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, PREPAGABLE Y TEMPORAL

)1( ivnai

paaA n

inin

1)1( ivsiendo

niAS )1(

a+pa a+(n-1)p

.......

0 1 2 nn-1


VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, PREPAGABLEY TEMPORAL

)1()1(

dn

inin ivnai

paaA

1)1( ivsiendo

a+(n-1)p

d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1

a+pa ........

)()1( ndiAS


VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA

nninninnn

ininn vnLimaLimi

paaLimvna

i

paaLimA

a a+p a+2p …...

0 1 2 3

iii

iLim

i

iLimaLim

nnnn

inn

101)1(

11

)1(1

nnn

nn

ni

nLiminLimvnLim

)1()1(

Aplicando el Criterio de Stolz, según el clual, si )1()(

)1()(

)(

)(,

)(

)(

nbnb

nanaLim

nb

naLim

nb

naLim nnn

01

11)1(

1

)1()1(

)1(

)1( )1()1(

iiLim

ii

nnLim

i

nLim

nnnnnnn


VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA

01

ii

p

i

avnLimaLim

i

paaLimA n

ninninn

Si la renta perpetua es además prepagable…..

Por tanto…

2i

p

i

aA

)1(2

ii

p

i

aA

Si la renta perpetua es además diferida…..di

i

p

i

aA

)1(

2

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