Matemáticas Financieras. Teoria de rentas anuales constantes

TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS 1Rentas Constantes (teoría)

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

Concepto y clasificación

En general, una renta es un conjunto de capitales, finito o no, con distintos vencimientos. Vamos a estudiar en este tema aquellas en las que los vencimientos son equidistantes.

t0 t1 t3t2 tk tn-1tn

a1 a2 ak an

Elementos que definen la renta

• Los capitales que constituyen la renta se denominan términos. • Al intervalo de tiempo entre dos vencimientos consecutivos se llama periodo de la renta.• Se consideran tantos periodos como términos tenga la renta. • Se denomina duración de la renta al número de periodos (o de términos).

Valor de la renta

Se denomina valor de la renta en un momento del tiempo a la suma de los valores que en ese momentotienen sus términos utilizando una ley financiera.

Valor de la renta

Se denomina valor de la renta en un momento del tiempo a la suma de los valores que en ese momentotienen sus términos utilizando una ley financiera.

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Valor Actual (A)Es el valor de la renta en el origen de la misma. El valor actual se calcula sumando los valores descontados oactualizados, en el momento inicial, de todos y cada uno de los pagos.

a2a1 an

0 1 2 n

...

...

.

Valor Final (S)Es el valor de la renta al final del último periodo de la misma. Se calcula mediante la suma de los valores detodos los términos de la renta capitalizados hasta el momento en que ésta termina.

a2a1an-1 an

0 1 2 n

.......



• Según la amplitud de los periodos:• Discretas: cuando los periodos de la renta son finitos.• Continuas: cuando los periodos de la renta son infinitesimales, produciéndose un flujo continuo decapitales.

• Según su duración:

• Perpetuas: constan de un número de términos que tiende a infinito.• Temporales: constan de un número finito de términos.

•Según la cuantía de los términos:• Constantes: cuando todos los términos son iguales entre sí.• Variables: cuando todos los términos de la renta tienen una cuantía diferente.



•Según el momento del vencimiento:

• Postpagables: si los términos tienen sus vencimientos al final de cada periodo.

• Prepagables: si los vencimientos de cada término son al principio de cada periodo.

a2a1an-1 an

0 1 2 n

.......

a2a1an.......

0 1 2 nn-1



• Según el momento de evaluación (o momento de inicio y fin de los términos respecto a la valoración):

a) Inmediatas: cuando el inicio del primero periodo coincide con el origen.

b) Diferidas: cuando entre el inicio de la renta y el primer término, hay un periodo de tiempo “d”

a2a1an-1 an.......

0 1 2 n

an-1 an

d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1

a2

a1

........


VALORACIÓN DE UNA RENTA CONSTANTE, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL

Valor actual

Consideremos que los pagos anuales constantes son de cuantía “a”, que se efectúan al final de cadaaño durante n años. El valor actual se calcula sumando los valores actualizados o descontados, en elmomento inicial, de todos y cada uno de los pagos.

aa a

0 1 2 n

......

.

[ ]n

n

iiiia

iaiaiaiaA

−−−−

−−−−

++++++++⋅=

=+⋅+++⋅++⋅++⋅=

)1()1()1()1(

)1()1()1()1(

321

321

K

K



Valor actual

Se trata de una progresión geométrica, para cuya suma necesitamos conocer los siguientes valores:

Primer Término (PT)

Último Término (UT)

Razón (R)

Ya que la suma de la progresión geométrica es: ∑−

−×=

1R

PTRUTPG

1)1(

−+= iPT

niUT

−+= )1(

1)1(

−+= iR

=−+

+−+×+=∑ −

−−−

1)1(

)1()1()1(1

11

i

iiiPG

n

[ ] [ ] [ ][ ] i

i

i

i

i

i

i

i

ii

i

iinnnnn −−−−−−−

+−=

−

−+=

+−

−+=

+

+−

−+×+=

−+

−+×+=

)1(11)1(

)1(1

1)1(

)1(

)1(1

1)1()1(

1)1(

1

1)1()1(11



Valor actualin

n

aai

iaA ¬

−

×=+−

×=)1(1

MUY IMPORTANTE:

Es muy importante observar que está situado un periodo antes que el primer pagorealizado.

ina ¬

Interpretación económica de la funciónin

a ¬

1€1€ 1€

0 1 2 n

[ ]in

n

n

aiiii

iiiiA

⋅=++++++++⋅=

=+⋅+++⋅++⋅++⋅=

−−−−

−−−−

1)1()1()1()1(1

)1(1)1(1)1(1)1(1

321

321

K

K

Representa el valor actualde una renta unitaria (unaunidad monetaria) de ntérminos constantes,inmediata, pospagable ytemporal valorada a un tipode interés anual compuesto.



Valor final

Ahora hemos de calcular el valor final de la renta, que consiste en hallar la suma de los valores de todoslos términos de la renta llevados al momento en que termina la renta, que en este caso es el final del año n.

aa a a

0 1 2 n

......

[ ]1.....)1()1()1(

.....)1()1()1(

)3()2(1

321

+++++++⋅=

=+++⋅++⋅++⋅=

−−−

−−−

nnn

nnn

iiia

aiaiaiaS



Valor final

Se trata de una progresión geométrica, para cuya suma necesitamos conocer los siguientes valores:

Primer Término (PT)

Último Término (UT)

Razón (R)

Ya que la suma de la progresión geométrica es: ∑−

−×=

1R

PTRUTPG

)1()1(

−+=

niPT

1=UT1

)1(−

+= iR

=−+

+−+=∑ −

−−

1)1(

)1()1(1

)1(1

i

iiPG

n

[ ] [ ] [ ][ ] i

i

i

i

i

i

i

i

ii

i

iinnnnn

1)1()1(1

)1(1

)1(1

)1(

)1(1

)1(1)1(

1)1(

1

)1(1)1(11

−+=

−

+−=

+−

+−=

+

+−

+−×+=

−+

+−×+=

−−



Valor finalin

n

sai

iaS ¬×=

−+×=

1)1(

MUY IMPORTANTE:

Es muy importante observar que está situado justo en el momento en el que venceel último término.

ins ¬

Interpretación económica de la funciónin

s ¬

1€1€ 1€

0 1 2 n

[ ]in

nnn

nnn

Siii

iiiA

⋅=+++++++⋅=

=+++⋅++⋅++⋅=

−−−

−−−

11)1()1()1(1

1)1(1)1(1)1(1

321

321

K

K

Representa el valor final deuna renta unitaria (unaunidad monetaria) de ntérminos constantes,inmediata, pospagable ytemporal valorada a un tipode interés anual compuesto.


VALORACIÓN DE UNA RENTA CONSTANTE, ANUAL, INMEDIATA, PREPAGABLE Y TEMPORAL

Valor actualin

aaA¬

⋅=

Momento-1

)1( i+×

Valor finalin

saS¬

⋅=

Momento n-1

)1( i+×

aa a .......

0 1 2 nn-1


VALORACIÓN DE UNA RENTA CONSTANTE, ANUAL, DIFERIDA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL

Valor actualin

aaA¬

⋅=

Momento d

di

−+× )1(

Valor finalin

saS¬

⋅=

Momento d+n

a a

d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1

aa........


TEORIA DE RENTAS DISCRETAS 1

VALORACIÓN DE UNA RENTA CONSTANTE, ANUAL, DIFERIDA, PREPAGABLE Y TEMPORAL

Valor actualin

aaA¬

⋅=

Momento d-1

)1()1(

−−+×

di

Valor finalin

saS¬

⋅=

Momento d+n-1

a

d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1

aa........a

)1( i+×


VALORACIÓN DE UNA RENTA CONSTANTE, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA

Valor actual

aa

0 1 2

......

.

i

iLimaaLimaA

n

ninn

−

∞→¬∞→∞

+−⋅=⋅=

)1(1


a

3

i

a

ia

i

ia

i

ia

nnn

n =∞−

⋅=+

−

⋅=+−

⋅=

∞→−

∞→

11

)1(

1lim1

)1(lim1i

aA =

∞


VALORACIÓN DE UNA RENTA CONSTANTE, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA


)1( ii

aA +×=∞

MUY IMPORTANTE:

Es muy importante observar que está situado justo en el momento en el que venceel último término. i

a

Y si la renta constante perpetua es…….

Prepagable ?

di

i

aA

−

∞ +×= )1(Diferida ?

)1()1(

−−

∞ +×=d

ii

aAPrepagable y diferida?


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