Matematicas Financieras. Teoria de rentas anuales variables en progresion geometrica

TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS Rentas Variables en Progresión

Geométrica (teoría)

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA

VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “q” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL

a1 a2 a3 …... an-1 an

0 1 2 3 n-1 n

Siendo,

n

n

n

n iaiaiaiaiaA −−−

−

−−−+⋅++⋅+++⋅++⋅++⋅= )1()1()1()1()1(

)1(

1

3

3

2

2

1

1 K

nnnn iqaiqaiqaiqaiaA −−−−−−−−+⋅⋅++⋅⋅+++⋅⋅++⋅⋅++⋅= )1()1()1()1()1(

1)1(23221K

aa =1

qaa ⋅=22

3 qaa ⋅=1−

⋅=k

k qaa

1−⋅=

n

n qaa

nnnnvqavqavqavqavaA ⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+⋅=

−−− 112322K

Por simplificar, sustituyo (muy importante) por v1)1(

−+ i 1

)1(−

+= iv


Sacando factor común…


VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL

( )1122221

−−−−⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅=

nnnnvqvqvqvqvaA K

Se trata de una progresión geométrica, para cuya suma necesitamos conocer los siguientes valores:

Primer Término (PT)

Último Término (UT)

Razón (R)

Ya que la suma de la progresión geométrica es: ∑−

−×=

1R

PTRUTPG

1=PT11 −−

⋅=nn

vqUT

vqR ⋅=

=−⋅

−⋅⋅⋅=∑

−−

1

111

vq

vqvqPG

nn

∑−⋅

−⋅=

1

1

vq

vqPG

nn


Por lo tanto,



1

1

−⋅

−⋅⋅⋅=

vq

vqvaA

nn

Siempre que 1≠⋅vq

)1(1)1(

1)1(11

iqi

qiqvq +≠⇔≠

+⇔≠+⋅⇔≠⋅

−

)1( iq +≠

Si ocurre lo contrario, es decir, si volvemos a la fórmula anterior:1=⋅vq

( )1122221

−−−−⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅=

nnnn vqvqvqvqvaA K

( ) nvavaAnn

⋅⋅=+++++⋅⋅=−− 122

11111 K


Tenemos, por tanto, dos fórmulas distintas para el valor actual de una renta variable en progresióngeométrica



1

1

−⋅

−⋅⋅⋅

vq

vqva

nn

Siempre que 1≠⋅vq )1( iq +≠

nva ⋅⋅ Siempre que 1=⋅vq )1( iq +==A

Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión geométrica de razón q a un período antes de

efectuar el primer pago, en este caso, el año 0

Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables ya las diferidas postpagables y prepagables


Respecto al valor final, no vamos a estudiar una segunda fórmula, sino que capitalizaremos el valor actualhasta el momento n para calcular el valor final de esta renta.

Por tanto…

1

)1()1(

1

1)1(

−⋅

+−⋅⋅=+⋅

−⋅

−⋅⋅⋅=+⋅=

vq

iqvai

vq

vqvaiAS

nnn

nnn

Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión aritmética de razón p al momento en el que

vence el último término, en este caso, al momento n

Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables ya las diferidas postpagables y prepagables



Siempre que )1( iq +≠

nninvaiAS )1()1( +⋅⋅⋅=+⋅= Siempre que )1( iq +≠


VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL

d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1

........


2−naq

1−naqaqa

dnn

ivq

vqva

−+⋅

−⋅

−⋅⋅⋅ )1(

1

1 Siempre que 1≠⋅vq )1( iq +≠

dinva

−+⋅⋅⋅ )1(

Siempre que 1=⋅vq )1( iq +==A

niAS )1( +⋅=


VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, PREPAGABLE Y TEMPORAL

.......

0 1 2 nn-1


2−naq

1−naqaqa

)1(1

1i

vq

vqva

nn

+⋅−⋅

−⋅⋅⋅ Siempre que 1≠⋅vq )1( iq +≠

)1( inva +⋅⋅⋅Siempre que 1=⋅vq )1( iq +=

=A

niAS )1( +⋅=


VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, PREPAGABLEY TEMPORAL

d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1

........


2−naq

1−naqaqa

)1()1(

1

1 −−+⋅

−⋅

−⋅⋅⋅

dnn

ivq

vqva Siempre que 1≠⋅vq )1( iq +≠

)1()1(

−−+⋅⋅⋅

dinva

Siempre que 1=⋅vq )1( iq +==A

niAS )1( +⋅=


VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA

0 1 2 3


aqa 2aq

1

1

−⋅

−⋅⋅⋅∞→

vq

vqvaLim

nn

nSiempre que 1≠⋅vq )1( iq +≠

nvaLimn ⋅⋅∞→

Siempre que 1=⋅vq )1( iq +=ALimA n ∞→∞ =

∞=⋅⋅∞→ nvaLimn

1

1)1(

1

1

1

1

−⋅

−+

⋅⋅=−⋅

−⋅⋅⋅=

−⋅

−⋅⋅⋅

∞→

∞→

∞→vq

i

qLim

vavq

vqLimva

vq

vqvaLim

n

n

nnn

n

nn

n

=+

∞→ n

n

ni

qLim

)1(

Si ∞=+

→+ ∞→ n

n

ni

qLimiq

)1()1(f

Si 0)1(

)1( =+

→+ ∞→ n

n

ni

qLimiq p




∞= Siempre que )1( iq +f

∞=Siempre que )1( iq +=

ALimA n ∞→∞ =

Por tanto,

qi

a

iq

a

i

iq

i

a

i

q

i

a

vq

av

vqva

vq

i

qLim

vaLimn

n

n

n−+

=+−

−=

+

+−

+

−

=

−+

+

−

=−⋅

−=

−⋅

−⋅⋅=

−⋅

−+

⋅⋅=

∞→

∞→1)1(

)1(

)1(

)1(

1)1(

)1(

11

10

1

1)1(

qi

a

−+=

1

Siempre que )1( iq +p



Si la renta perpetua es además prepagable…..

Por tanto…

)1(1

iqi

aA +⋅

−+=

∞

Si la renta perpetua es además diferida…..d

iqi

aA

−

∞+⋅

−+= )1(

1


qi

aA

−+=∞

1Si )1( iq +p


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