Matemáticas Financieras. Teoria de rentas anuales variables en progresion aritmetica

TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS Rentas Variables en Progresión

Aritmética (teoría)

www.clasesuniversitarias.com

Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

RENTAS VARIABLES EN PROG. ARITMÉTICA

VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL

a1 a2 a3 …... an-1 an

0 1 2 3 n-1 n

Siendo, a1=a

a2=a+p

a3=a+2p

aK=a+(K-1)p

an=a+(n-1)p

n

n

n

n iaiaiaiaiaA −−−

−

−−−+⋅++⋅+++⋅++⋅++⋅= )1()1()1()1()1( )1(

1

3

3

2

2

1

1 K

nnipnaipnaipaipaiaA

−−−−−−+⋅−+++⋅⋅−++++⋅+++⋅+++⋅= )1())1(()1())2(()1()2()1()()1(

)1(321K

Sin embargo, hasta ahora únicamente sabemos calcular el valor actualizado de las rentas constantes, por loque no sabríamos calcular el valor actual de esta renta al no ser constante…




a a+p a+2p …... a+(n-2)p a+(n-1)p

0 1 2 3 n-1 n

Por tanto, vamos a desglosar esta renta en una serie de rentas constantes cuyo valor actual sí sepa calcular…

a a a …... a a

0 1 2 3 n-1 n

p p …... p p

0 1 2 3 n-1 np …... p p

0 1 2 3 n-1 n

p p

0 1 2 3 n-1 n

p

0 1 2 3 n-1 n

R1

R2

R3

Rn-1

Rn

inaaA ¬⋅=1

1

12 )1(−

¬− +⋅⋅= iapA in

2

22 )1(−

¬− +⋅⋅= iapA in

)2(

)2(1 )1(−−

¬−−− +⋅⋅=n

innn iapA

)1(

)1( )1(−−

¬−− +⋅⋅=n

innn iapA




De tal forma que el valor actual de la renta variable en progresión aritmética será igual a la suma de losvalores actuales de cada una de las rentas constantes en que he descompuesto la primera…

nn AAAAAA +++++= −1321 ...

)1(

)1(

)2(

)2(

2

2

1

1 )1()1(...)1()1(−−

¬−−

−−

¬−−

−

¬−

−

¬−¬ +⋅⋅++⋅⋅+++⋅⋅++⋅⋅+⋅=n

inn

n

innininin iapiapiapiapaaA

)1())1((

)2())2((

2)2(

1)1(

)1()1(1

)1()1(1

...)1()1(1

)1()1(1 −−

−−−

−−

−−−

−

−−

−

−−

¬ +⋅+−

⋅++⋅+−

⋅+++⋅+−

⋅++⋅+−

⋅+⋅=n

nnn

nnnn

in ii

ipi

i

ipi

i

ipi

i

ipaaA

Sustituyo la fórmula an/i por su valor…

Por simplificar, sustituyo (muy importante) por v1)1( −+ i

1)1( −+= iv

)1())1((

)2())2((

2)2(

1)1(

11...

11 −

−−

−

−−−−

¬ ⋅−

⋅+⋅−

⋅++⋅−

⋅+⋅−

⋅+⋅=n

nnn

nnnn

in vi

vpv

i

vpv

i

vpv

i

vpaaA




Sacando factor común …

( ) ( ) ( ) ( )[ ])1())1(()2())2((2)2()1(11...11

−−−−−−−−

¬ ⋅−+⋅−++⋅−+⋅−⋅+⋅=nnnnnnnn

in vvvvvvvvi

paaA

Multiplicando los paréntesis …

( ) ( ) ( ) ( )[ ]nnnnnn

in vvvvvvvvi

paaA −+−++−+−⋅+⋅=

−−

¬

)1()2(2...

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]nnnnnnnn

in vvvvvvvvvvi

paaA −+−+−++−+−⋅+⋅=

−−

¬

)1()2(2...

Reordenando….

( ) ( )[ ]nnnnnnn

in vvvvvvvvvvi

paaA ++−++−+++++⋅+⋅=

−

¬ ......)1(32

( )[ ]nnn

in vnvvvvvi

paaA ⋅−+++++⋅+⋅=

−

¬

)1(32...

OJO!!!




Por otro lado…

in

nnnnaiiiiivvvvv ¬

−−−−−−−=++++++++++=+++++ )1()1(...)1()1()1(...

)1(321)1(32

Por tanto…

[ ]n

inin vnai

paaA ⋅−⋅+⋅= ¬¬

1)1(

−+= ivsiendo

Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión aritmética de razón p a un período antes de

efectuar el primer pago, en este caso, el año 0

Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables ya las diferidas postpagables y prepagables




Respecto al valor final, no vamos a estudiar una segunda fórmula, sino que capitalizaremos el valor actualhasta el momento n para calcular el valor final de esta renta.

Por tanto…

[ ] nn

inin

nivna

i

paaiAS )1()1( +⋅

⋅−⋅+⋅=+⋅= ¬¬

1)1( −+= ivsiendo

Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión aritmética de razón p al momento en el que

vence el último término, en este caso, al momento n

Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables ya las diferidas postpagables y prepagables

[ ] [ ]nnn

inin

nn

in

n

in ivniai

psaivna

i

piaaS )1()1()1()1( +⋅−+⋅⋅+⋅=+⋅−⋅++⋅= ¬¬¬¬

[ ]nsi

psaS inin −⋅+⋅= ¬¬



VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL

[ ] dn

inin ivnai

paaA

−

¬¬ +⋅

⋅−⋅+⋅= )1(

1)1(

−+= ivsiendo

a+(n-2)p a+(n-1)p

d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1

a+pa ........

)()1( ndiAS ++⋅=



VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, PREPAGABLE Y TEMPORAL

[ ] )1( ivnai

paaA

n

inin +⋅

⋅−⋅+⋅= ¬¬

1)1(

−+= ivsiendo

niAS )1( +⋅=

a+pa a+(n-1)p .......

0 1 2 nn-1



VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, PREPAGABLEY TEMPORAL

[ ] )1()1( −−

¬¬ +⋅

⋅−⋅+⋅=

dn

inin ivnai

paaA

1)1(

−+= ivsiendo

a+(n-1)p

d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1

a+pa ........

)()1( ndiAS ++⋅=



VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA

[ ] [ ]n

ninninn

n

ininn vnLimaLimi

paaLimvna

i

paaLimA ⋅−⋅+⋅=

⋅−⋅+⋅= ∞→¬∞→¬∞→¬¬∞→∞

a a+p a+2p …...

0 1 2 3

iii

iLim

i

iLimaLim

nnn

ninn

101)1(

11

)1(1=

−=

+−

=+−

=

∞→−

∞→

¬∞→

∞

∞=

+=+⋅=⋅ ∞→

−

∞→∞→ nn

n

n

n

ni

nLiminLimvnLim

)1()1(

Aplicando el Criterio de Stolz, según el clual, si)1()(

)1()(

)(

)(,

)(

)(

−−

−−=

∞

∞= ∞→∞→∞→

nbnb

nanaLim

nb

naLim

nb

naLim nnn

( )[ ]0

1

11)1(

1

)1()1(

)1(

)1( )1()1(=

∞=

−+⋅+=

+−+

−−=

+−∞→−∞→∞→

iiLim

ii

nnLim

i

nLim

nnnnnnn



VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA

[ ]

−+=⋅−⋅+⋅= ∞→¬∞→¬∞→∞ 0

1

ii

p

i

avnLimaLim

i

paaLimA

n

ninninn

Si la renta perpetua es además prepagable…..

Por tanto…

2i

p

i

aA +=∞

)1(2

ii

p

i

aA +⋅

+=

∞

Si la renta perpetua es además diferida…..d

ii

p

i

aA

−

∞+⋅

+= )1(

2


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