Matemáticas Financieras. Teoria de rentas fraccionadas

$: Matemáticas Financieras. Teoria de rentas fraccionadas$
TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS Rentas Fraccionadas (teoría)

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

VALORACIÓN DE RENTAS FRACCIONADAS CONSTANTES

Una renta fraccionada se caracteriza porque sus términos tienen una periodicidad distinta del año,ya sea superior o inferior al año.

aa aa a……………………….

0 1/k 2/k 3/k (k-1)/k 1 1+1)/k

……………………….aa aa a……………………….

0 1/k 2/k 3/k (k-1)/k 1 1+1)/k

……………………….

Cuando vamos a calcular el valor actual y el valor final de esta renta la podemos tratar de distintasmaneras, según sea el tipo de interés dado. En este curso solo estudiaremos estas rentas de laforma más sencilla posible que consiste en simplificarlas todas rentas k-esimales.

RENTAS FRACCIONADASwww.clasesuniversitarias.com


La liquidación de los intereses tiene la misma periodicidad que la de los términos de la renta, es decir, disponemos del tanto k-esimal, ik .

Su valor actual se calcula de manera similar a la renta anual constante:

Su valor final se calcula de manera similar a la renta anual constante:

k

kn

kink

i

iaaaA

k

⋅−

¬

+−⋅=⋅=

)1(1

k

kn

kink

i

iasaS

k

1)1( −+⋅=⋅=

⋅

¬



Si nos dan un tipo de interés k-esimal para una renta k-esimal…

Si nos dan un tipo de interés anual para una renta k-esimal…

k

kii )1()1( +=+

Si nos dan un tipo de interés k’-esimal para una renta k-esimal…

1)1(

'

' −+= k

k

kk ii

kinkaaA ¬⋅=kinksaS

¬⋅=

RENTAS FRACCIONADAS

1)1(

1

−+= kk ii

k

k

k

k ii )1()1('

' +=+

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VALORACIÓN DE RENTAS FRACCIONADAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

A. Varían periodo k-esimal a periodo k-esimal en progresión aritmética

[ ]nk

ink

k

ink vnkai

paaA

kk⋅−⋅+⋅=

¬¬

1)1(

−+= kivsiendo

nnk

k iAiAS )1()1( +⋅=+⋅=

0 1 /k

a+(k-2)pa a+p a+2p

2/k 3/k k-1/k 1 1 /k 2/k 3/k k-1/k 1 /k

a+(nk-2)pa+(nk-3)p

2/k 3/k k-1/k

a+(nk-1)p

n2



B. Son constantes periodo k-esimal y varían de año en año en progresión aritmética

0 1 /k

a a a+pa a a

2/k 3/k k-1/k 1 1 /k 2/k 3/k k-1/k 1 /k

a+(n-1)p

2/k 3/k k-1/k n2

a+p a+p a+p a+p a+(n-1)pa+2p

n-1

a+(n-2)p

Como no sabemos resolver este tipo de rentas, la convertimos en una renta anual, calculando el valor final de cada renta k-esimal

0 1 /k

S1

2/k 3/k k-1/k 1 1 /k 2/k 3/k k-1/k 1 /k 2/k 3/k k-1/k n2 n-1

S2 Sn-1 Sn

Siendo,kiksaS ¬⋅=1

kikspaS¬

⋅+= )(2

kikspaS ¬⋅+= )2(3

kikn spnaS¬

⋅−+= ))1((

kiksaS¬

⋅=1

kk ikik spsaS¬¬

⋅+⋅=2

kk ikik spsaS ¬¬ ⋅+⋅= 23

kk ikikn spnsaS¬¬

⋅−+⋅= )1(




Se parecen en algo las siguientes expresiones?

kiksaS¬

⋅=1

kk ikik spsaS¬¬

⋅+⋅=2

kk ikik spsaS ¬¬ ⋅+⋅= 23

kk ikikn spnsaS¬¬

⋅−+⋅= )1(

aS =1

paS +=2

paS 23 +=

pnaSn )1( −+=

Ambas son rentas variables en progresión aritmética…

La segunda es una RVPA de primer término “a” y factor “p”

La primera es una RVPA de primer término y factorkiksa

¬⋅

kiksp ¬⋅




Por tanto, el valor actual de la segunda será el valor actual de una renta anual variable en progresión aritmética “tipo”

[ ]n

inin vnai

paaA ⋅−⋅+⋅=

¬¬

Y el valor actual de la primera sería similar, pero para los valores descritos del primer términoy el factor

kiksa ¬⋅

kiksp ¬⋅

[ ]n

in

ik

inik vnai

spasaA k

k⋅−⋅

⋅+⋅⋅=

¬

¬

¬¬

Sacando factor común, quedaría:kiks ¬

[ ]kik

n

inin svnai

paaA

¬¬¬⋅

⋅−⋅+⋅=




Por tanto, este tipo de rentas variables de año en año y constantes para cada periodo k-esimal se resuelven en dos partes

1. COMO SI SE TRATARA DE UNA RENTA ANUAL VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

2. COMO NO ES ANUAL SINO K-ESIMAL, SE CORRIGE

1

kikS ¬

2

[ ]n

inin vnai

paaA ⋅−⋅+⋅=

¬¬


VALORACIÓN DE RENTAS FRACCIONADAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

A. Varían periodo k-esimal a periodo k-esimal en progresión aritmética

0 1 /k

aqa aq aq

2/k 3/k k-1/k 1 1 /k 2/k 3/k k-1/k 1 /k

aqaq

2/k 3/k k-1/k

aq

n2

2 3kn-3 kn-2 kn-1

1

1

−⋅

−⋅⋅⋅

vq

vqva

nknk

Siempre que 1≠⋅vq )1( kiq +≠

knva ⋅⋅⋅Siempre que 1=⋅vq )1( kiq +=

=A

nnk

k iAiAS )1()1( +⋅=+⋅=



B. Son constantes periodo k-esimal y varían de año en año en progresión geométrica

0 1 /k

a a aqa a a


Como no sabemos resolver este tipo de rentas, la convertimos en una renta anual, calculando el valor final de cada renta k-esimal

0 1 /k

S1


S2 Sn-1 Sn

Siendo,kiksaS ¬⋅=1

kiksqaS¬

⋅⋅=2

kiksqaS¬

⋅⋅=2

3

kik

n

n sqaS¬

−⋅⋅=

1

aq aq aq aq aq aq aq2 n-2 n-1

aqn-1

aqn-1

aqn-1

kiksaS¬

⋅=1

qsaSkik ⋅⋅=

¬2

2

3 qsaSkik ⋅⋅=

¬

1−

¬⋅⋅=

n

ikn qsaSk




Se parecen en algo las siguientes expresiones?

Ambas son rentas variables en progresión geométrica…

La segunda es una RVPG de primer término “a” y factor “q”

La primera es una RVPG de primer término y factor “q”kiksa

¬⋅

kiksaS ¬⋅=1

qsaSkik ⋅⋅= ¬2

2

3 qsaSkik ⋅⋅= ¬

1−

¬⋅⋅=

n

ikn qsaSk

aS =1

qaS ⋅=2

2

3 qaS ⋅=

1−⋅=

n

n qaS




Por tanto, el valor actual de la segunda será el valor actual de una renta anual variable en progresión geométrica “tipo”

Y el valor actual de la primera sería similar, pero para los valores descritos del primer términoy el factor “q”

kiksa¬

⋅

1

1

−⋅

−⋅⋅⋅

vq

vqva

nn

Siempre que )1( iq +≠

Siempre que )1( iq +=

=A


Siempre que )1( iq +=

=A =A1

1

−⋅

−⋅⋅⋅

¬vq

vqsva

nn

ik k

nvsakik ⋅⋅⋅ ¬

kik

nn

svq

vqva

¬⋅

−⋅

−⋅⋅

1

1

kiksnva ¬⋅⋅⋅




Por tanto, este tipo de rentas variables de año en año y constantes para cada periodo k-esimal se resuelven en dos partes

1. COMO SI SE TRATARA DE UNA RENTA ANUAL VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

2. COMO NO ES ANUAL SINO K-ESIMAL, SE CORRIGE

1

1

−×

−×××=

vq

vqvaA

nn

1

kikS ¬

2


Siempre que )1( iq +=nvaA ××=

1

kikS ¬

2


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