Matematicas Financieras y Evaluación de Proyectos (3)

MMMAAATTTEEEMMMAAATTTIIICCCAAASSS FFFIIINNNAAANNNCCCIIIEEERRRAAASSS

YYY EEEVVVAAALLLUUUAAACCCIIIÓÓÓNNN DDDEEE PPPRRROOOYYYEEECCCTTTOOOSSS





MMAATTEEMMAATTIICCAASS FFIINNAANNCCIIEERRAASS

YY EEVVAALLUUAACCIIÓÓNN DDEE PPRROOYYEECCTTOOSS

(Para todo profesional o negociante)

HENRY E. JONES G.









2

TABLA DE CONTENIDO

1. EL CONCEPTO DE INTERES ................................................................................... 4

1.1 El interés .................................................................................................................. 4

1.2 La tasa de interés..................................................................................................... 4

1.3 Interés simple e interés compuesto. ......................................................................... 4

1.4 Tasa nominal y tasa efectiva .................................................................................. 7

1.5 Intereses vencidos e intereses anticipados ............................................................. 8

1.6 Tasas de interés equivalentes ............................................................................... 10

1.7 La tasa de interés y el impuesto ............................................................................ 10

1.8 La tasa de interés y la inflación ............................................................................. 11

1.9 La tasa de interés y la devaluación ....................................................................... 11

1.10 Tasa de interés promedio ponderado .................................................................. 12

1.11 Reflexiones sobre tasas de interés ...................................................................... 13

1.12 Otras denominaciones de tasas de interés .......................................................... 13

1.13 Otras aplicaciones del interés compuesto ........................................................... 13

2. FLUJOS PERIODICOS O ANUALIDADES ( A ) ....................................................... 14

2.1 Flujos uniformes de inversión ................................................................................ 14

2.2 Sistemas de amortización ..................................................................................... 15

2.3 Otras aplicaciones de las anualidades .................................................................. 20

3. EL CONCEPTO DE EQUIDAD FINANCIERA .......................................................... 21

3.1 Los conceptos de equidad y equivalencia financiera ............................................. 21

3.2 Los descuentos ..................................................................................................... 22

3

4. INDICADORES DE LA BONDAD FINANCIERA DE UN PROYECTO DE INVERSION ................................................................................................................. 23

4.1 Valor Presente Neto ............................................................................................... 23

4.2 Tasa Interna de Rentabilidad ................................................................................. 24

4.3 Costo Anual Equivalente ........................................................................................ 25

4.4 RELACION BENEFICIO COSTO ........................................................................... 25

5. COSTOS DE FINANCIACIÓN ................................................................................. 26

6. FUNCIONES FINANCIERAS EN EXCEL ................................................................ 28

7. EJERCICIOS DE REPASO .................................................................................... 29

4

MATEMATICAS FINANCIERAS Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Para todo profesional o negociante

Henry E. Jones G.

1. EL CONCEPTO DE INTERES

1.1 El interés

El interés refleja la capacidad que tiene el dinero de "producir más dinero", ya que los re-cursos financieros tienen la capacidad de generar riqueza con el transcurso del tiempo. En otras palabras, el interés muestra lo que una persona o entidad está dispuesta a pagar por hacer uso del dinero ahora y no más tarde, o lo que otra persona o entidad espera reci-bir por ceder la posibilidad de usar el dinero ahora. Se puede definir entonces que el interés es el alquiler que se debe pagar por el uso del di-nero, o dicho de otra forma, es la compensación que se paga o se recibe por su uso o por su cesión a otra persona.

1.2 La tasa de interés

La tasa de interés es el valor que se fija como remuneración, para un determinado período de tiempo (generalmente mes o año), por cada cien unidades monetarias que se dan o se reciben en préstamo. Sirve para cuantificar esa oportunidad que tiene el dinero de crecer. Está indicado por la expresión: i = ( I / C) , donde i : Tasa de interés I : Remuneración en el período C: Capital Si se expresa en forma porcentual basta con multiplicar la expresión anterior por 100.

1.3 Interés simple e interés compuesto.

Se habla de interés simple cuando los intereses causados, no pagados, no generan interés adicional. En el interés compuesto se generan intereses sobre intereses, es decir, los inter-eses son reinvertidos a la misma tasa, una vez se generan (al final de cada período).

5

Ejemplo 1: Margarita y Patricia le prestan hoy a Enrique $ 100 cada una, con la condición de que éste les pague dentro de un año, tanto capital como intereses. Margarita le otorga el préstamo al 3% mensual simple y Patricia le presta al 3% mensual compuesto. ¿Cuánto debe pagar Enrique dentro de un año a Margarita y cuánto a Patricia? En la tabla siguiente figura la deuda que tiene acumulada Enrique tanto con Margarita co-mo con Patricia al final de cada mes.

MES INTERES SALDO INTERES SALDO

CAUSADO DEUDA CAUSADO DEUDA

0 100,00

1 3,00 103,00 3,00 103,00

2 3,00 106,00 3,09 106,09

3 3,00 109,00 3,18 109,27

4 3,00 112,00 3,28 112,55

5 3,00 115,00 3,38 115,93

6 3,00 118,00 3,48 119,41

7 3,00 121,00 3,58 122,99

8 3,00 124,00 3,69 126,68

9 3,00 127,00 3,80 130,48

10 3,00 130,00 3,91 134,39

11 3,00 133,00 4,03 138,42

12 3,00 136,00 4,15 142,58

Se observa entonces que Enrique deberá pagarle a Margarita dentro de un año $ 136 y a Patricia $ 142.58. En el ejemplo anterior se puede observar que el valor a pagar, en el caso de interés simple, es el total de capital más el valor pagado por interés en cada período por la cantidad de períodos. Es decir, está dado por la fórmula:

F = P + n P i = P ( 1+ n i ) { 1 }

en donde : P: Valor de la inversión inicial

F: Valor futuro i : Tasa de interés (expresada como fracción y no como porcentaje) n: Número de períodos En el ejemplo: F = 100 (1+12 x 0.03) = 100 ( 1 + 0.36) = 136 En el caso de interés compuesto (en el ejemplo la deuda a Patricia), se observa que la deuda al final del primer mes es:

6

F1 = P ( 1 + i ) Al finalizar el segundo y el tercer mes, los saldos son: F2 = F1 ( 1 + i ) = P ( 1 + i ) ( 1 + i ) = P ( 1 + i )

2

F3 = F2 ( 1 + i ) = P ( 1 + i )

2 ( 1 + i ) = P ( 1 + i )

3

Y siguiendo el mismo procedimiento, encontramos que:

Fn = P ( 1 + i )n { 2 }

En el ejemplo, F = 100 (1 + 0.03)

12 = 100 (1.03 )

12 = 142.58

El interés simple es de poco uso en la actualidad. En general se puede decir que todo préstamo o inversión se hace a interés compuesto. EJERCICIOS 1. ¿Cuánto debo pagar al cabo de 10 meses si me prestan $ 2.000.000 al 2.1% mensual,

si el interés es simple? - $ 2.420.000 ¿Y cuánto si el interés es compuesto? - $ 2.461.996 2. ¿Durante cuánto tiempo estuvo invertido un capital de $ 1.000.000 para que al 3% men-

sual simple produjera $ 540.000? - 18 ¿Y cuánto tiempo hubiera estado si se hubiera pactado interés compuesto? - 14.6 3. ¿Usted tomó un préstamo bancario por $ 5.000.000 al 20% semestral

1. Si canceló a los

3 meses y 17 días, cuánto le liquidaron de intereses? - $ 572.356 4. Su amiga Rosa Adela vende ropa a crédito al 3% mensual de interés. En Febrero 15,

usted le compró $ 600.000 con la promesa que le pagaría con la prima en Junio 30. En Abril 30 le compró $ 450.000 adicionales. El 30 de Junio usted se presentó a cancelarle. ¿Cuánto cree usted que le cobrará Rosa Adela si ella aplica interés simple? - $ 81.000 + $ 27000 = $ 108.000

¿Y cuánto si aplica interés compuesto? - $ 85.360 + $ 27.405 = $ 112.765 5. ¿Qué capital es necesario invertir en una cuenta de ahorros que genera el 2% mensual

para que al cabo de dos años y medio se tengan $ 2.000.000? - $ 1.104.142

1El año comercial consta de 360 días y el calendario de 365 días. Si se aplica

el primero se habla de interés ordinario y si se aplica el segundo se habla de

interés exacto. El interés ordinario es mayor que el exacto (el denominador

empleado es menor).

7

1.4 Tasa nominal y tasa efectiva

Siendo, en general, los préstamos a interes compuesto, se especifican por medio de una tasa y de un período en el cual se generan intereses. Por ejemplo: 3% mensual, 8% tri-mestral. Sin embargo, éstas dos tasas se pueden expresar en términos anuales como 36% mes vencido y 32% trimestre vencido respectivamente, lo cual indica que para el pri-mer caso los intereses se generan y capitalizan (empezando ellos mismos a generar inter-eses) cada mes, y en el segundo caso se capitalizan cada tres meses. Cuando la tasa se especifica en términos anuales y se le indica la periodicidad con la cual

se generan intereses, se llama entonces la tasa de interés nominal. Se puede decir que ésta indica lo que nominalmente se pagaría si fuera interés simple. Al dividirla por la cantidad de períodos en los cuales se generan intereses, da el interés que se genera en cada período. Por ejemplo: Un interés del 30% anual pagadero mensualmen-te, indica que cada mes se debe pagar un interés del 2.5% (30/12).

La tasa de interés efectiva (generalmente se habla de ella en términos anuales) indica la tasa de interés real que se obtendría si los intereses generados en cada período permane-cieran en la inversión durante todo el año. Por ejemplo: Un interés del 36% pagadero men-sualmente equivale a un interés efectivo del 42.58%. En el ejemplo 1, el interés que efecti-vamente tendrá que pagarle Enrique a Patricia es del 42.58%. Se puede decir entonces que si se tiene una inversión inicial P, al final del año se tendrá: F = P ( 1 + i efectivo ) = P ( 1 + i )

n = P ( 1 + i nominal )

m

Tomando la segunda y cuarta expresión: m

in m 1/m ie = (1 + ------ ) - 1 in = m [( 1 + ie ) - 1 ] { 3 } m

En donde : ie = Interés efectivo in = Interés nominal m = Cantidad de períodos en el año EJERCICIOS 1. Un capital de $ 3.000.000 estuvo invertido durante tres años a una tasa del 30% anual

pagadero mensualmente. a. ¿Cuál es la tasa de interés efectivo anual? - 34.49 % b. ¿Cuánto es el monto del capital al cabo de los tres años? - $ 7.297,606

8

2. Un banco le presta al 32% trimestre vencido. ¿Cuál es el interés efectivo que le está co-brando? - 36.05%

3. ¿Cuál es el interés nominal pagadero semestre vencido equivalente a un interés efectivo

del 44 % anual? - 40.00 % 4. ¿Cuál es el interés efectivo correspondiente a un interés nominal del 30% anual pagade-

ro... a) trimestralmente; b) mensualmente ; c) diariamente? a) 33.55% ; b) 34.49%; c) 34.97%

1.5 Intereses vencidos e intereses anticipados

Normalmente se habla de intereses vencidos, es decir, que los intereses se generan al fi-

nal del período pactado. Pero en algunos países se volvió costumbre hablar de interés an-

ticipado, es decir, se cobra el interés al inicio del período. Para un solo período la relación entre el interés vencido y el anticipado, está dada por :

1 i a

iv = ( ----------) - 1 = ------------ { 4 } 1 - i a 1 - i a

1 i v ia = 1 - ( -------- ) = ---------- 1 + i v 1 + i v

en donde i a = Interés anticipado i v = Interés vencido

En el caso del préstamo que Patricia le hizo a Enrique, si los intereses los hubiera genera-do anticipadamente se hubiera presentado el siguiente cuadro:

MES INTERES SALDO

CAUSADO DEUDA

0 100,00

1 3,09 103,09

2 3,19 106,28

3 3,29 109,57

4 3,39 112,96

5 3,49 116,45

6 3,60 120,05

7 3,71 123,77

9

MES INTERES SALDO

CAUSADO DEUDA

8 3,83 127,59

9 3,95 131,54

10 4,07 135,61

11 4,19 139,80

12 4,32 144,12

Lo cual representa un interés efectivo del 44.12 % anual.

Nota. Para la construcción del anterior cuadro, el interés anticipado del 3% se convierte en un interés vencido del 3.0927835 % por la formula { 4} EJERCICIOS 1. ¿A qué interés vencido equivale un 8% de interés anticipado? - 8.7 % 2. ¿A qué interés vencido equivale un 2.5% de interés anticipado? - 2.56 % 3. Si a usted le prestan $ 1.000.000 a seis meses, pagando un interés del 18% al final del

período, ¿cuánto debieran cobrarle si usted propone pagar los intereses por anticipado? - $ 152.542

Cuando se tienen varios períodos en los cuales los intereses se generan por anticipado, la formulas que relacionan el interés efectivo y el interés nominal son:

1

ie = ( --------------) m - 1 { 5 }

1 - I n / m

1 in = m [ 1 - ------------- ] (1 + ie)

1/m

En donde : I e = Interés efectivo I n = Interés nominal m = Cantidad de períodos en el año

EJERCICIOS

10

1. Usted toma un préstamo al 32% trimestre anticipado. ¿Cuál es la tasa efectiva anual que le están cobrando? - 39.59%

2. ¿Cuánto es el interés efectivo cuando se está cobrando el 3% mes anticipado? - 44.12% 3. ¿Cuál es el interés nominal pagadero mes anticipado con el cual se logra un interés

efectivo del 50% anual? - 39.87%

1.6 Tasas de interés equivalentes

Se puede afirmar que dos tasas de interés son equivalentes cuando un mismo capital in-vertido en cada una de ellas produce el mismo monto en igual tiempo. EJERCICIOS 1. ¿Cuál es el interés nominal pagadero semestre vencido equivalente a un interés nominal

del 40% pagadero mes vencido? - 43.49 % 2. ¿Cuánto es el interés mes anticipado, equivalente al 32% trimestre anticipado? -

32.89%

1.7 La tasa de interés y el impuesto

Al analizar alternativas de inversión se debe tener en cuenta si los intereses ( o rendimien-tos financieros) van a ser susceptibles de pagar impuesto o no. Cuando los intereses se ven afectados por una tasa tributaria T, el interés efectivo neto (después de impuestos) va a estar expresado por :

i real = i - i * T = i (1 - T) { 6 }

donde: i r : Tasa real después de impuestos T : Tasa marginal de tributación del inversionista. Por ejemplo, en una empresa que tenga que tributar el 30% sobre la utilidad neta, cuando obtiene en una inversión financiera el 45% de interés efectivo anual, la tasa de interés real va a ser de : i real = 0,45 (1 - 0,30) = 0,315 => 31.5% Para muchos inversionistas individuales que no están obligados a declarar, la retención en la fuente se convierte en impuesto . Para ellos la tasa de tributación T a aplicar, para hallar la tasa efectiva de sus inversiones financieras, sería la tasa de retención en la fuente para rendimientos financieros.

11

EJERCICIOS 1. ¿Cuál es el rendimiento neto anual de una inversión financiera cuyo rendimiento es del

40% mes anticipado, si su tasa de impuesto es del 30%? - 28.0 % 2. ¿Usted no está obligado a declarar, cuál es el rendimiento neto de una inversión que le

genera el 45% efectivo anual si sobre ella le efectúan una retención en la fuente del 7%? - 41.85 %

1.8 La tasa de interés y la inflación

El rendimiento real de una inversión cualquiera se ve afectado por la inflación durante el período en el cual se hizo la inversión. En otras palabras, el aumento de su capacidad ad-quisitiva no es igual al rendimiento obtenido, sino a un factor que está dado por:

1 + i

i real = ---------- - 1 { 7 } 1 + if

donde: i : rendimiento de la inversión

i real : rendimiento real (aumento capacidad adquisitiva)

if : inflación EJERCICIOS 1. ¿En cuánto aumentó su capacidad adquisitiva, si usted logró hacer una inversión en el

último año que le generó un rendimiento del 2.8% mensual, si la inflación anual fue del 22%? -

2. ¿Cuánto fue el rendimiento real (expresado para el período y en términos anuales) de

una inversión que usted tuvo durante 5 meses si le generaba un interés efectivo anual del 48%, si la inflación promedio mensual fue del 1.9%? - 7.17% en cinco meses, 18.08 % anual

1.9 La tasa de interés y la devaluación

El rendimiento de inversiones realizadas en moneda extranjera se ve influido por la deva-luación que haya sufrido una moneda frente a otra. El rendimiento real de una inversión en moneda extranjera, cuando la moneda original se devalúa respecto a la moneda en la cual se hace la inversión, va a estar dado por :

i real = i + dev + i * dev { 8 }

12

donde i : rendimiento (interés) de la inversión

i real : rendimiento real

dev : devaluación de la moneda original

Cuando la moneda en la cual se hace la inversión se devalua respecto a la moneda origi-nal, el rendimiento real va a estar dado por:

1 + i i real = ------------ - 1 { 9 } 1 + dev.

donde i : rendimiento (interés) de la inversión

i real : rendimiento real

dev : devaluación de la moneda en la cual se hace la inversión

EJERCICIOS 1. ¿Cuánto es el rendimiento real de una inversión en dólares, que tiene un rendimiento

del 8% anual, si la devaluación anual del peso respecto al dólar fue del 20% anual? - 29.6%

2. Un fondo proveniente de Francia invierte en títulos de participación en Colombia, los

cuales dan un rendimiento anual del 28%. ¿Cual es el rendimiento que obtiene al con-vertir nuevamente los fondos a francos si la devaluación del peso respecto al franco fue del 10% anual? - 16.36%

1.10 Tasa de interés promedio ponderado

Cuando tenemos un portafolio de inversiones (fondos en diferentes inversiones, cada una rindiendo a diferente tasa), el rendimiento del portafolio va a ser la tasa de interés promedio ponderado, la cual se obtiene de multiplicar la tasa de interés de cada inversión por el por-centaje que dicha inversión representa respecto al valor total invertido en el portafolio. Por ejemplo, si un capital de $ 1.000.000.000 está invertido de la siguiente forma:

CAPITAL % TASA DE INTERES INTERES ANUAL

150.000.000 15 28 % 42.000.000

200.000.000 20 34 % 68.000.000

300.000.000 30 30 % 90.000.000

350.000.000 35 26% 91.000.000

1.000.000.000 100 29.1% 291.000.000

13

La tasa de interés promedio ponderado se calcula de la siguiente forma: i = 0,28 x 0,15 + 0,34 x 0,20 + 0,30 x 0,30 + 0,26 x 0,35 = 0,291 EJERCICIOS 1. ¿Cuánto es el rendimiento mensual de un fondo fiduciario si tiene $ 1.500 millones inver-

tidos al 2.8% mensual, $ 2.000 millones al 3% mensual y $ 3.000 millones al 47% anual? - 3.07 %

2. Usted tiene $ 10.000.000 prestados al 3.0% mensual, $ 5.000.000 en un CDT que le

produce el 32% trimestre anticipado, y US$ 2.500 dólares guardados debajo del colchón de su casa. ¿Cual es el interés promedio ponderado de sus inversiones, si la tasa de cambio es de $ 1.100 por dólar y la devaluación esperada es del 18% anual? - 37.93 %

1.11 Reflexiones sobre tasas de interés

1. Entre mayor es la frecuencia de capitalización, mayor es la tasa efectiva anual. 2. Dada una misma frecuencia de capitalización, la tasa efectiva anual será mayor si los

intereses son anticipados

1.12 Otras denominaciones de tasas de interés

Tasa de interés de oportunidad. - Es particular a cada persona o entidad y puede variar a través del tiempo. Es la tasa de interés a la que una persona o entidad puede colo-car a rendir su dinero.

Tasa de interés de mercado. Promedio general de la tasa de interés que los individuos y entidades están dispuestos a pagar por los dineros que reciben como préstamo o inversión.

1.13 Otras aplicaciones del interés compuesto

Las fórmulas de interés compuesto empleadas en este capítulo se utilizan en múltiples campos, especialmente en aquellos donde se determinan tasas de crecimiento (o decreci-miento), las cuales generalmente se expresan para un período de un año. Algunos de ellos son: Crecimiento demográfico, crecimiento de la economía (normalmente expresado en crecimiento del Producto Interno Bruto), crecimiento de consumos ( o de ventas ) de de-terminado artículo, crecimiento de precios, valorización de bienes, incrementos salariales. EJERCICIOS 1. ¿Cuál fue la tasa anual de crecimiento demográfico de una ciudad que en 1950 tenía

100.000 habitantes y en 1995 tenía 2.000.000 de habitantes? - 6.88 %

14

2. La empresa la Esperanza vendió en 1985 un promedio de 1.500 pantalones de mujer.

¿Cuál fue el promedio de crecimiento anual de unidades vendidas, si en 1995 alcanzó la cifra de 100.000 pantalones de mujer? - 52.19 %

3. En la ciudad se construyeron el año pasado, 400.000 metros cuadrados. Si se espera

que la construcción crezca en un 4% anual en los próximos años, ¿cuántos metros cua-drados se espera construir durante los próximos cinco años? - $ 2.253.190

4. ¿Cuál era el precio de un artículo en 1990 si el artículo cuesta hoy $ 35.580 y el creci-

miento efectivo de los últimos años ha sido del 22% anual? - $ 13.165

2. FLUJOS PERIODICOS O ANUALIDADES ( A )

A todos los flujos de fondos (sean ingresos o egresos) que se hacen periódicamente, ya sean para constituir un capital o abonar a una deuda, se les llamará anualidades. Aunque el término anualidad normalmente hace referencia a un año, en las matemáticas fi-nancieras se utiliza para indicar períodos iguales, pudiendo ser estos mensuales, trimestra-les, semestrales, anuales, etc. Ahora bien, los flujos periódicos o anualidades pueden ser constantes ( si todos son iguales entre sí) o variables. La variación de éstos últimos puede ser en forma aleatoria u obedecer a una progresión aritmética o geométrica.

2.1 Flujos uniformes de inversión

Cuando se tiene una serie de flujos uniformes, la formula que los hace equivalentes a un valor futuro es:

(1 + i ) n - 1

F = A ---------------- { 10 } i

donde A : Flujo periódico uniforme F : Valor futuro

Como F = P ( 1 + i )

n se tiene que:

(1 + i ) n - 1

P = A ---------------- { 11} i (1 + i )

n

15

EJERCICIOS 1. Si usted deposita $ 300.000 mensuales en una cuenta de ahorros que le rinde el 2.0%

mensual, ¿cuánto tendrá ahorrado al cabo de tres años? - $ 15.598.310 2. ¿Cuánto tendrá que depositar mensualmente en un fondo de capitalización, que le rinde

el 2.2 % mensual, para poder cumplir con un compromiso que tiene en 9 meses por un valor total de $ 2.500.000? - $ 254.219

3. Si le prestaron $ 6.000.000 para pagarlos en 24 cuotas iguales de $ 370.000 , ¿qué in-

terés le están cobrando? - 3.4 % 4. ¿Cuánto debe depositar hoy Filomeno Pérez en una cuenta especial que rinde el 2.8 %

mensual para cubrir los gastos de matricula de su hijo, quien acaba de ingresar a la uni-versidad, si estos al inicio de cada semestre, son constantes durante toda la carrera uni-versitaria de 5 años y ascienden a $ 1.000.000 semestrales? - 5.300.033

5. El BID hace un crédito para un proyecto agropecuario por valor total de US $ 500.000,

a un plazo de 10 años, pagaderos en cuotas anuales iguales, con un período de gracia de tres años y a una tasa de interés del 7% anual. ¿Cuál es la cuota que se deberá pa-gar a partir del cuarto año? - $ 113.655

2.2 Sistemas de amortización

Amortizar es disminuir una deuda hasta ponerla en cero. Existen varios sistemas:

2.2.1 De un solo abono

En este sistema, la obligación es cancelada en un solo pago a su vencimiento. Se puede pactar que los intereses se paguen periódicamente o que se acumulen y se paguen al final. Por ejemplo, si tomamos un préstamo de $ 10.000.000 a 5 años con un interés del 40 % efectivo anual, pagando intereses al finalizar cada año, el plan de pagos de la deuda sería:

PERIODO INTERESES AMORTIZACION CUOTA SALDO

0 1 2 3 4 5

4.000.000 4.000.000 4.000.000 4.000.000 4.000.000

10.000.000

4.000.000 4.000.000 4.000.000 4.000.000 14.000.000

10.000.000 10.000.000 10.000.000 10.000.000 10.000.000

0

Totales 20.000.000 10.000.000 30.000.000

16

Si no se pagan intereses cada año, sino que ellos se cancelan al finalizar el cuarto año con el abono del capital, el pago en el quinto año sería de:

F = 10.000.000 (1 + 0,40)

5 = 53.182.400

2.2.2 De abonos iguales a capital

En este sistema para hallar la amortización, basta dividir el préstamo por la cantidad de per-íodos. Y los intereses se encuentran multiplicando el saldo en cada período por la tasa de interés. Para el ejemplo mencionado, la tabla de amortización es la siguiente:


0 1 2 3 4 5

4.000.000 3.200.000 2.400.000 1.600.000 800.000

2.000.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000

6.000.000 5.200.000 4.400.000 3.600.000 2.800.000

10.000.000 8.000.000 6.000.000 4.000.000 2.000.000

0

Totales 12.000.000 10.000.000 22.000.000

2.2.3 De cuotas periódicas iguales

La cuota constante a pagar se encuentra empleando la formula {10}. Con base en ella se puede construir la tabla de amortización del préstamo. Para esto, se calculan los intereses sobre el saldo del período anterior y como la cuota es fija, basta restar del valor de ella los intereses para determinar cuánto es el valor que se amortiza. En el ejemplo considerado, la tabla de amortización es la siguiente:


0 1 2 3 4 5

4.000.000 3.634.556 3.122.935 2.406.666 1.403.888

913.609

1.279.053 1.790.674 2.506.943 3.509.721

4.913.609 4.913.609 4.913.609 4.913.609 4.913.609

10.000.000 9.086.391 7.807.338 6.016.664 3.509.721

0

Totales 14.568.045 10.000.000 24.568.045

Si A j es la amortización en el periodo j, se tiene que:

A 1 = Cuota - P i

17

A j = A 1 ( 1+ i )

j - 1 { 12 }

I j = P i - A 1 [ ( 1 + i )

j - 1 - 1 ]

donde P : Valor presente o del préstamo i : Tasa de interés

I j : Interés en el período j

2.2.4 De cuotas variables según progresión aritmética

Se habla de una progresión aritmética cuando cada cuota es mayor (o menor) a la anterior en una misma cantidad. En el caso de un préstamo, para poder hallar el valor de la primera cuota (clave para poder determinar todas las demás cuotas), es necesario primero convertir la serie (que inicia en la segunda cuota) formada por la cantidad aumentada en cada cuota respecto a la primera en una serie uniforme equivalente. La expresión de esta serie está dada por:

g n i A “ = ------ [ 1 - -------------------- ] { 13 } i ( 1 + i )

n - 1

donde g = gradiente o incremento i = interés n = Cantidad de períodos

Si en el ejemplo que venimos empleando se quisiera que cada cuota tuviera un incremento de $ 500.000 respecto a la anterior, se calcularía la serie equivalente con la formula ante-rior dando una serie equivalente de pagos uniformes de $ 678.994. Pero quedaría por determinar cuánto es el valor de la primera cuota. Para poder calcular esta se recurre a encontrar cuál sería el valor de una serie de cuotas iguales para cancelar la totalidad del préstamo; a dicho valor se le restaría el resultado de la serie equivalente a los incrementos y encontramos el valor de la primera cuota. En el ejemplo, los $ 10.000.000 del préstamo equivalen a una serie uniforme de pagos anuales de $ 4.913.609. Restándole los $ 678.994, de la serie equivalente a los incremen-tos, se encuentra que el primer pago es igual a $ 4.234.615. Y la amortización presenta el siguiente cuadro:

18


0 1 2 3 4 5

4.000.000 3.906.154 3.574.770 2.910.832 1.781.318

234.615 828.461

1.659.845 2.823.783 4.453.296

4.234.615 4.734.615 5.234.615 5.734.615 6.234.615

10.000.000 9.765.385 8.936.924 7.277.079 4.453.296

0

Totales 16.173.075 10.000.000 26.173.075

Con base en lo anterior, la formula para encontrar el primer pago cuando la progresión es aritmética es:

i ( 1 + i ) n g n i

A 1 = P --------------------- - ------ [ 1 - -------------------- ] { 14} ( 1 + i )

n - 1 i ( 1 + i )

n - 1

2.2.5 De cuota variable según progresión geométrica

Una progresión geométrica se presenta cuando cada uno de los términos es igual al ante-rior aumentado ( o disminuido) en un porcentaje determinado. Para hallar la primera cuota se emplea la formula siguiente:

( 1 + i ) n ( i - r )

A 1 = P ------------------------------- { 15 } ( 1 + i )

n - ( 1 + r )

n

donde A 1 = Primera cuota r = Tasa de crecimiento P = Valor presente o del préstamo

En el caso que venimos trabajando, si se desea que cada cuota aumente un 10% respecto a la anterior, la primera cuota sería $ 4.282.345. La tabla de amortización sería la siguien-te:


0 1 2 3 4 5

4.000.000 3.887.062 3.557.654 2.908.062 1.791.365

282.345 823.518

1.623.982 2.791.739 4.478.416

4.282.345 4.710.580 5.181.637 5.699.801 6.269.781

10.000.000 9.717.655 8.894.137 7.270.155 4.478.416

0

Totales 16.144.143 10.000.000 22.000.000

19

Cuando la tasa de crecimiento es igual a la tasa de interés, en la formula {14} se presenta una indeterminación, la cual se puede eliminar por métodos matemáticos, quedando la primera cuota expresada en la siguiente forma:

1 + i A 1 = P -------------- { 16 } n

EJERCICIOS 1. Construya la tabla de amortización del ejemplo utilizado en el texto, cuando la tasa de

crecimiento es igual a la tasa de interés.

Período Intereses Amortización Cuota Saldo

0 10.000.000

1 4.000.000 -1.200.000 2.800.000 11.200.000

2 4.480.000 -560.000 3.920.000 11.760.000

3 4.704.000 784.000 5.488.000 10.976.000

4 4.390.400 3.292.800 7.683.200 7.683.200

5 3.073.280 7.683.200 10.756.480 0

Totales 20.647.680 10.000.000 30.647.680

2. Construya la tabla de amortización cuando las cuotas son decrecientes en un 20 %.


0 10.000.000

1 4.000.000 2.389.280 6.389.280 7.610.720

2 3.044.288 2.067.136 5.111.424 5.543.585

3 2.217.434 1.871.705 4.089.139 3.671.880

4 1.468.752 1.802.559 3.271.311 1.869.321

5 747.728 1.869.321 2.617.049 0

Totales 11.478.202 10.000.000 21.478.202

3. Un inversionista efectúa un depósito de $ 10.000.000 que le rinde el 36 %. ¿Cuánto de-

be retirar el primer año, si desea recibir cada año, durante 10 años, el 20% más que el año anterior? - $ 2.241.015


0 10.000.000

1 3.600.000 -1.358.985 2.241.015 11.358.985

2 4.089.235 -1.400.017 2.689.218 12.759.002

3 4.593.241 -1.366.179 3.227.061 14.125.181

20

4 5.085.065 -1.212.591 3.872.474 15.337.773

5 5.521.598 -874.630 4.646.968 16.212.402

6 5.836.465 -260.103 5.576.362 16.472.505

7 5.930.102 761.533 6.691.635 15.710.972

8 5.655.950 2.374.012 8.029.962 13.336.960

9 4.801.306 4.834.648 9.635.954 8.502.312

10 3.060.832 8.502.312 11.563.145 0

Totales 48.173.793 10.000.000 58.173.793

4. Usted hace un depósito de $ 10.000.0000, el cual rinde al 2.5% mensual, con miras a

recibir una pensión mensual durante los próximos 20 años. Si usted quiere que esa pensión crezca al 1.53% mensual, cuál sería el valor de la primera pensión que recibir-ía? - $108.027

2.3 Otras aplicaciones de las anualidades

2.3.1 Inversiones periódicas

Llamadas por algunos autores “imposiciones”, se presentan cuando se busca constituir un capital a través de cuotas. Estas pueden ser constantes o variar de forma caprichosa, aritmética o geométrica. Se trabajan de forma similar a las amortizaciones, pero en ellas se busca el valor futuro. También se considera que, a menos que se especifique lo contrario, las cuotas se presentan a principio del período. EJERCICIOS 1. Doña Anastasia ha estado invirtiendo el primer día de cada mes en una cuenta de aho-

rros $ 30.000. ¿Cuánto tendrá capitalizado al finalizar el año, si sigue bien juiciosa con sus depósitos que le rinden 2.0% mensual? - $ 410.409

2. Un fondo de capitalización da un rendimiento nominal del 28% anual mes vencido. Si

quiere invertir en él $ 50.000 mensuales, ¿de cuánto dispondrá al término de 9 meses (sin abonar la décima cuota)? - $ 505.904

3. ¿Durante cuánto tiempo tiene usted que estar invirtiendo $ 300.000 trimestrales (al inicio

de cada trimestre), en un fondo que le produce el 40% efectivo anual con capitalizacio-nes trimestrales, para que pueda acumular $ 30.000.000? - 26.21 trimestres ( 78.63 meses)

2.3.2 Rentas perpetuas

21

Se definen como rentas perpetuas aquellas cuyo pago se debe hacer en forma indefinida. Si las rentas son constantes, el valor presente de esas rentas perpetuas es :

A P = ------- { 17 } i

Si las rentas crecen aritméticamente (g), el valor presente es :

A 1 g P = ---------- + ------------ { 18 } i i

2

Si las rentas tienen un gradiente geométrico (r), su valor presente se halla por:

A 1 P = ---------- { 19 } i - r

EJERCICIOS 1. Usted quiere crear un fondo para ayudar a un ancianato con $ 1.000.000 cada año. ¿De

que monto será el fondo, si usted lo coloca a un interés anual del 40%? - $2.500.000 2. Cómo usted es consciente que la moneda irá perdiendo su capacidad adquisitiva, usted

desea compensar esto aumentando el monto del fondo original de tal forma que el apor-te para el ancianato se pueda incrementar anualmente en $ 100.000. ¿Cuánto debería colocar en el fondo? - $ 3.125.000

3. Finalmente decide que va a dejar como instrucción que el aporte para el ancianato se in-

cremente anualmente en un 20 %. ¿De cuánto dinero debe constituir el fondo? - $ 5.000.000

3. EL CONCEPTO DE EQUIDAD FINANCIERA

3.1 Los conceptos de equidad y equivalencia financiera

Cuando hablamos de equidad en una transacción financiera, hablamos de justicia en la transacción. Esta equidad esta basada en la equivalencia, que quiere decir igualdad en el valor.

22

Las fórmulas que hemos visto reflejan una equivalencia financiera basada en que el dinero cambia de valor en el tiempo. Decimos que hay equidad financiera cuando, teniendo definida una tasa de interés, pode-mos cambiar una forma de pago por otra sin perjudicar a ninguna de las partes desde el punto de vista financiero. EJERCICIOS 1. Usted tiene dos letras: una de $ 3.000.000 a 24 meses y otra de $ 5.000.000 a 18 me-

ses. Usted quiere cubrir las dos obligaciones en seis meses. Si la tasa de interés que le reconocen por pagar adelantado es del 3% mensual, ¿por cuánto valor se debe elaborar una nueva letra? - $ 5.269.083

2. Un apartamento se puede comprar con el siguiente plan de pagos: $ 5.000.000 de pri-

mera cuota, cuatro cuotas trimestrales de $ 4.000.000 y el resto a subrogar con una cor-poración de ahorro y vivienda. Usted solicita que se lo dejen pagar en 15 cuotas men-suales iguales, iniciando con una de ellas en el momento de la aceptación y subroga la misma cantidad del plan original. Si la tasa de interés es del 3% mensual, ¿cuál es la cuota mensual que usted debe pagar? - $ 1.454.260

3. Usted está pagando una maquinaria que compró hace 12 meses (hoy canceló la décima

segunda cuota). Todavía le faltan por pagar 10 cuotas mensuales de $ 1.500.000 cada una. Usted tiene la posibilidad de hacer hoy un abono de $ 5.000.000. Si la tasa de in-terés que le reconocen es del 2.6% por mes, ¿a cuánto se le rebaja su cuota mensual? - A $ 925.750

3.2 Los descuentos

Los descuentos se presentan cuando se deduce una suma de dinero de una obligación por pagarse antes de su vencimiento o cuando se negocia un documento que todavía no se ha vencido. EJERCICIOS 1. Adrian le debe pagar una letra a Malala por $ 8.000.000 dentro de 4 meses. Si decide

pagarle hoy, cuánto descuento le debe dar Malala si la tasa de interés mensual en el medio es del 3%? - $ 892.103

2. La compañía Sueños S.A. elaboró en Abril 30 una factura por servicios a Esperanzas

S.A. por un valor de $ 20.000.000 y un plazo de 90 días. Pero el 15 de Mayo, urgida por fondos, la gerente de Sueños S.A. va a una corporación financiera para que le descuen-ten la factura. Normalmente dicha institución cobra el 48% efectivo anual por descuento de facturas. ¿Cuánto dinero recibirá Sueños S.A.? - $ 18.431.420

23

4. INDICADORES DE LA BONDAD FINANCIERA DE UN PROYECTO DE INVER-

SION

Existen tres factores fundamentales que se analizan cuando se va a hacer una inversión: rentabilidad, riesgo y liquidez. Aunque en este texto solamente estudiaremos los principales indicadores de rentabilidad, es importante recordar que normalmente:

A mayor riesgo, mayor rentabilidad.

A mayor liquidez, menor rentabilidad.

4.1 Valor Presente Neto

Es la sumatoria de los valores actuales equivalentes de todos los ingresos y egresos del proyecto. En otras palabras, es la utilidad (a pesos de inicio del proyecto) que se obtiene, al hacer la inversión que se está analizando, en comparación a que los fondos se queden ge-nerando a la tasa de oportunidad. Su expresión está dada por:

n

F j VPN (i o ) = -------------- { 20 }

( 1 + i o ) j

j = 0 donde F j : Flujo en el período j i o : Tasa de oportunidad Los criterios de decisión son: Si VPN ( i o ) > 0 La inversión es atractiva Si VPN ( i o ) < 0 La inversión no es atactiva Si VPN ( i o ) = 0 Es indiferente hacerla o dejar los dineros en la inversión que genera la

tasa de oportunidad . EJERCICIOS 1. Invertiría usted en un proyecto, al cual lo invitaron, cuyos flujos esperados son los si-

guientes:

AÑO FLUJO

0 - 50.000

1 - 100.000

24

2 0

3 80.000

4 160.000

5 240.000

6 320.000

si su tasa de oportunidad es del 36% anual? - Sí ¿Por qué? - VPN= 57.200 Y si su tasa de oportunidad fuera del 50%? - No ¿Por qué?- VPN= - 1.660 2. En un proyecto de construcción los flujos esperados para cada uno de los socios son los

siguientes:

FECHA FLUJO

Julio 30/96 - 45.000.000

Oct 30/96 - 35.000.000

Enero 31/97 - 50.000.000

Mayo 31/98 100.000.000

Julio 31/98 30.000.000

Oct 30/98 150.000.000

Si la tasa de oportunidad de los socios es del 32% anual efectiva, ¿cuál es el valor pre-

sente neto de esta inversión? - $ 36.470.855

4.2 Tasa Interna de Rentabilidad

Es la tasa que hace que el valor presente neto sea igual a cero. Indica la rentabilidad de los dineros que permanecen en la inversión. Si TIR > i o La inversión es atractiva Si TIR < i o La inversión no es atractiva Si TIR = i o Es indiferente hacerla o dejar los dineros en la inversión que genera la tasa

de oportunidad . EJERCICIOS 1. Halle la TIR del ejercicio 1 del numeral anterior - 49.46 % anual 2. Halle la TIR del ejercicio 2 del numeral anterior - 3.58 % mensual

Notas

25

1. Cuando compare alternativas de inversión, utilice preferiblemente el Valor Presente Ne-to, ya que la tasa interna de retorno indica solamente la rentabilidad de los dineros que permanecen en la inversión.

2. Tenga cuidado al buscar la tasa interna de retorno en inversiones que presentan más de

un cambio de signo en los flujos. Para éste tipo de inversiones existen tantas tasas de retorno como cambios de signos hay en los flujos.

4.3 Costo Anual Equivalente

Se emplea en proyectos que constituyen solamente egresos, o que la inversión en cifras absolutas no se recupera.

i (1+i o ) n

CAE (i o) = VPN ( i o) * [ ----------------- ] { 21} (1+i o)

n - 1

EJERCICIOS 1. ¿Cuál es el costo anual equivalente, a una tasa de oportunidad del 40%, de la inversión

en un bus para transporte de empleados, si el valor del bus es de $ 85 millones, los cos-tos de operación estimados para los cinco años en que se operará, son los siguientes:

AÑO COSTOS

1 20.000.000

2 25.000.000

3 30.000.000

4 36.000.000

5 42.000.000

Y al final del quinto año se espera vender el bus por $ 100.000.000? - $ 59.730.156 2. ¿Su compañía compra una maquinaria por un valor de $ 300 millones. La maquinaria

usted puede depreciarla a cinco años. Si considera que el valor de salvamento de la maquinaria es de $ 50 millones, ¿cuál es la depreciación anual si considera la deprecia-ción uniforme o de línea recta? - 50 millones

¿Y cuál es la depreciación financiera del activo (su costo anual equivalente) si la inflación es del 20% anual? - $ 93.594.926

4.4 RELACION BENEFICIO COSTO

Se utiliza frecuentemente en estudios de grandes proyectos de inversión pública.

26

La relación beneficio-costo indica, a unidades monetarias de hoy, cuántas unidades mone-tarias se generan por cada unidad monetaria invertida. Está expresada por la relación:

B VPN ingresos (i) ----- ( i o ) = ------------------------- { 22 } C VPN egresos (i)

Si B/C (i o) > 1 El proyecto es atractivo Si B/C (i o) = 1 El proyecto es indiferente financieramente Si B/C (i o) < 1 El proyecto no es atractivo

EJERCICIOS 1. Halle la relación beneficio-costo del proyecto que aparece en el ejercicio 1 del numeral

4.1 - 180.730 / 123.529 = 1.46 2. Halle la relación beneficio-costo del proyecto que aparece en el ejercicio 2 del numeral

4.1 - 157.643.379 / 121.172.525 = 1.3

5. COSTOS DE FINANCIACIÓN

Cuando se analicen alternativas de crédito se deben incluir todas las “arandelas” que con-lleva la consecución del crédito, para encontrar el verdadero costo del crédito. EJEMPLOS 1. Pepa quiere tomar un crédito bancario por $ 10 millones. Las condiciones de este son: plazo de un año, pagadero por cuotas fijas y se cobra una tasa de interés del 32% trimestre anticipado. Pero además, Pepa pregunta sobre otras condiciones y costos que se puedan generar. Se le informa que el banco presta solamente tres veces el promedio del saldo de los últimos tres meses, y que los costos de comisiones y trámites asciende a máximo $ 100.000. ¿Cuál es la tasa de costo anual efectivo de este crédito? - 2. Usted compra un electrodoméstico por un valor de $ 1.000.000, para lo cual debe pagar $ 200.000 como cuota inicial para retirarlo y ocho cuotas de $ 100.000. ¿Cuál es la tasa de interés que le están cobrando por esta compra a crédito, sabiendo que si hubiera hecho la compra de contado, le hubieran hecho un descuento del 20%? -

27

3. Clarabella piensa comprar una casa que le vale $ 60.000.000, para lo cual tiene disponi-ble $ 40.000.000. El resto lo puede conseguir con dos opciones de crédito a cinco años: a. Un préstamo en UPAC, con una corrección monetaria del 25.5% e interés del 9.55% anuales, pagando con el sistema de cuotas mensuales iguales en UPAC b. Un préstamo bancario que le exige tener un saldo de $ 200.000 como mínimo hasta el final del crédito. El pago se hace en cuotas mensuales de $ 730.000 cada una. Se debe pagar una comisión del 1.5% del valor del préstamo en el momento de recibirlo. ¿Cuál es la mejor alternativa y por qué? -

28

6. FUNCIONES FINANCIERAS EN EXCEL

FUNCIONES SOBRE INVERSIONES CON FLUJOS PUNTUALES O CONSTANTES VA(tasa;nper;pago;vf;tipo) Valor actual de una inversión VF(tasa;nper;pago;va;tipo) Valor futuro de una inversión PAGO(tasa;nper;va;vf;tipo) Valor del pago en una serie de flujos constantes TASA(nper;pago;va;vf;tipo;estimar) Tasa de interés de una inversión Nota. Cuando se tiene que estimar una tasa y no se le indica, el Excel asume el 10%. El

número de iteraciones que realiza son máximo 20 NPER(tasa;pago;va;vf;tipo) Número de períodos de una inversión PAGOINT(tasa;período;nper;va;vf;tipo) Interés pagado en la cuota (o pago) de un determinado período PAGOPRIN(tasa;período;nper;va;vf;tipo) Abono a capital en un período determinado FUNCIONES SOBRE INVERSIONES CON FLUJOS NO NECESARIAMENTE CONS-TANTES VNA(tasa;valor1;valor2;...) Valor presente neto de una inversión TIR(valores;estimar) Tasa interna de retorno de una inversión TIRM(valores;tasa de financiamiento;tasa de reinversión) Tasa interna de retorno donde los flujos de caja positivo y negativo se financian a tasas di-ferentes

29

7. EJERCICIOS DE REPASO

1. Si hoy se invierten $ 1.000 a un interés del 32% anual vencido ¿cuánto se obtendrá al

cabo de cinco años? R: $ 4.007 2. Si un inversionista desea $ 50.000 dentro de seis meses, ¿cuánto deberá colocar hoy

en una inversión que le genera un rendimiento del 30 % anual, pagadero trimestre vencido?

R: $ 43.267 3. ¿Cuál es el interés efectivo anual de una inversión que ofrece un interés del 28% anual

nominal, pagado anticipadamente cada trimestre? R: 33.7 % 4. ¿Cuál es la tasa de interés efectivo anual de una inversión en un CDT que usted

compró por $ 35.000.000 en marzo 18 y redimió el 13 de junio, recibiendo $ 37.780.500? R:

5. Si usted invirtió durante 55 días, $ 150.000.000 en una cuenta de ahorros que le gene-

ra interés diario a una tasa equivalente al 28.5 % anual, ¿cuánto recibió al final? R: 6. Una inversión ofrece un interés nominal anual del 31 % pagado cada mes al vencimien-

to. Si otra alternativa paga los intereses anticipadamente cada trimestre, ¿qué renta-bilidad nominal anual se debe exigir en esta segunda opción para que las dos sean equivalentes?

R: 29.42 % 7. Cuánto se debe invertir anualmente en cuotas iguales en un fondo durante los próxi-

mos tres años, si la final de dicho período se desean tener $ 400.000 acumulados y si la tasa de interés que paga el mencionado fondo es del 34 % anual?

R: $ 96.721 8. A cuánto debe ascender una inversión P, colocada durante tres años a una tasa de in-

terés anual vencida del 30 %, si al final de cada año se le devuelven $ 10.000 al inver-sionista?

R: $ 18.161 9. ¿Cuál deberá ser el depósito anual al final de cada año durante 8 años, para poder reti-

rar $6.500.000 al final de los años 9 al 13 inclusive, si la tasa de interés es de un 30 % anual compuesto?

R: $ 663.57

30

10 Su amiga Clotilde va a invertir, en el fondo de empleados que rinde el 2% mensual, cuotas mensuales que aumentarán de a $ 5.000. Si la primera cuota que aportó es de $ 40.000, ¿cuánto tendrá al término de dos años? y ¿cuánto se ganó por intereses? -

NOTA. Recuerde que la suma de una progresión aritmética es igual a: n S = ( A n + A 1 ) ------- 2 11. Giliberto tiene un sueldo mensual de $ 800.000 y el aumento promedio anual esperado

para los próximos 5 años es del 18 %. Como sus cesantías (un sueldo anual) son consignadas al principio de cada año en un fondo cuyo rendimiento esperado es del 32% anual, ¿cuánto tendrá Giliberto al final de los 5 años?, ¿y cuánto se ganó por intereses? -

NOTA. Recuerde que la suma de una progresión geométrica es igual a: A n ( 1 + r ) - A 1 S = -------------------------- An = A1 (1 + r )

n-1

r

N INTERES CESANTIA

GENERADA

SALDO

FINAL

1 800.000 800.000

2 256.000 944.000 2.000.000

3 640.000 1.113.920 3.753.920

4 1.201.254 1.314.426 6.269.600

5 2.006.272 1.551.023 9.826.895

Total 4.103.526 5.723.369

12. Hallar la tasa interna de retorno de un proyecto que produjo los siguientes flujos: Fo= -100.000 F1= 50.000 F2= 60.000 F3= 70.000 R: 33.875% 13. Calcule la tasa de rentabilidad obtenida si se invierten $ 4.000 ahora y se reciben $ 200

al final de cada mes durante doce meses, más unos ingresos extras de $ 1.000 en el mes 6 y $ 2.000 al final del mes 12.- R: 3.724 % Y ¿cuál es el valor presente neto si la tasa de oportunidad mensual es del 2.5%? $ 400.96

FIN

Matematicas Financieras y Evaluación de Proyectos (3)

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