Matematicas financieras y evaluacion de proyectos serrano 2ed

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Matemáticas financieras

y evaluación de proyectos

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Matemáticas financieras y evaluación de proyectos

Segunda edición

J AV I E R S E R R A N O R O D R Í G U E Z

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Matemáticas financieras y evaluación de proyectos

2ª edición

ISBN: 978 958 682 792 8

© 2011

© Javier Serrano Rodríguez

© Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V.

© Universidad de los Andes.

Facultad de Administración,

Comité de Investigaciones y Publicaciones, 2011

Calle 21 No. 1-20, P.7, Ed. SD

Ediciones Uniandes

Carrera 1 No. 19-27, Aulas 6, A.A. 4976,

Teléfonos 3394949 ext. 2133

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catalogación u niversidad de los andes

Serrano Rodríguez, JavierMatemáticas financieras y evaluación de proyectos / Javier Serrano Rodríguez. ª ed. -- Bogotá :

Alfaomega : Universidad de los Andes, Facultad de Administración, Ediciones Uniandes, p. ; x cm.

isbn:----

. Matemáticas financieras . Evaluación de proyectos . Administración financiera . Empresas - Finanzas I. Universidad de los Andes (Colombia). Facultad de Administración II. Tít.

cdd . sbua

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Contenido

Introducción 17

Capítulo 1. Proyectos de inversión y proyectos de financiamiento 19

La evaluación de proyectos como parte del ciclo del proyecto 22

Términos básicos 23

Diagramas de flujo 26

Ejemplos de diagramas de flujo 29

Ejercicios para resolver 31

Capítulo 2. La tasa de interés de oportunidad y las relaciones de equivalencia 33

Concepto de equivalencia 33

Relaciones de equivalencia más importantes 37

Resumen de las relaciones de equivalencia 61

Observaciones respecto a la utilización de las relaciones de equivalencia 61

Ejercicios resueltos 62

Ejercicios para resolver 65

Capítulo 3. Interés nominal y efectivo 69

Presentación 69

Interés efectivo: pagos vencidos 70

Interés efectivo: pagos anticipados 73

Intereses en dólares o en unidades de valor real (UVR) 78

Tasas de interés reales y nominales. Crecimientos reales y nominales 80

Interés continuo 81

Resumen 83

Ejercicios resueltos 84

Ejercicios para resolver 87

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Capítulo 4. Indicadores para medir la bondad económica de un proyecto de inversión 91

Valor presente neto 91

Tasa interna de retorno 96

Relación beneficio-costo 106

Costo anual equivalente (CAE) 107

Ordenamiento de alternativas mutuamente excluyentes 108

Ordenamiento de alternativas con diferente vida útil 113

Rentabilidad de los recursos propios 114

Resumen 116

Ejercicios resueltos 117

Ejercicios de recapitulación o autoevaluación 125

Ejercicios para resolver 129

Capítulo 5. Matemáticas financieras: resumen a través de problemas avanzados 135

Tasas de interés: nominales y efectivas 135

Relaciones básicas y tasas efectivas 138

Indicadores de la bondad económica de un proyecto de inversión 141

Amortización y reestructuración de créditos 146

Número de períodos necesarios para lograr un objetivo específico 150

Gradientes, con crecimiento constante, a perpetuidad o con una duración finita 153

Solución analítica versus solución exhaustiva 162

Capítulo 6. Información financiera. Estructura operacional y apalancamiento operacional 167

Información financiera 167

Balance general y estado de pérdidas y ganancias 168

El flujo de caja de una empresa o de un proyecto 172

EBITDA y flujo de caja libre para la firma 173

Función de producción y los costos involucrados en un proyecto de inversión 175

Punto de equilibrio y apalancamiento operacional. Riesgo operacional 177

Capítulo 7. Rentabilidad del proyecto en sí y rentabilidad

del capital propio aportado al proyecto 183

Tratamiento de la depreciación 184

Tratamiento de otras cuentas 187

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Rentabilidad del proyecto en sí. Flujo de fondos para el proyecto 189

Utilización de la depreciación acelerada 192

Ahorro en impuestos 193

Rentabilidad del capital propio aportado al proyecto. Flujo de caja para el capital propio aportado al proyecto o flujo de caja libre para el inversionista 193

Rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto y uso de la depreciación acelerada 197

Ejemplos detallados del cálculo de la rentabilidad del proyecto en sí y de la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto 198

Otros costos en la evaluación de proyectos 206

Ejercicio de recapitulación 209

Proyecciones financieras 212

Ejercicios para resolver 214

Respuestas a los problemas 219

Capítulo 8. Flujo de caja libre para el proyecto y para el inversionista: casos 227

Caso 1 227

Caso 2 238

Caso 3 251

Capítulo 9. Financiamiento de vivienda 257

Metodología general para la determinación de las cuotas a pagar (amortización más intereses) 258

Relaciones matemáticas básicas para los cálculos actuariales involucrados en el financiamiento de vivienda: un resumen 259

Línea en pesos, amortización constante durante la vigencia del préstamo. Intereses sobre saldos 260

Línea en pesos, cuota mensual uniforme o constante durante toda la vigencia del préstamo (“Payment”) 261

Línea en UVR, con una cuota de amortización constante en UVR 262

Línea en UVR, con cuota de amortización en UVR, decreciente por un factor g 263

Ejemplo, Crédito Hipotecario, cuota uniforme en pesos y en UVR 265

Cuota uniforme con crecimiento constante de un año al siguiente 270

Beneficios fiscales a través de una cuenta de ahorro para el fomento de la construcción 273

Ejercicios 276

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Capítulo 10. Rentabilidad de títulos y riesgo de tasa de interés 283

Valor de un título a descuento 283

Valor de mercado de un bono a tasa fija 284

Principales relaciones en bonos 286

Riesgo de tasa de interés. Duration y convexidad 287

Valoración de inversiones a precios de mercado 294

Tasas implícitas 294

Aproximación utilizando duration y convexidad 296

Ejercicios resueltos 298

Valoración a precios de mercado 305

Ejercicios para resolver 309

Capítulo 11. Costo promedio ponderado de capital y valor económico agregado (VEA) 313

Estructura operativa, estructura financiera y estructura de capital 314

Cálculo del costo promedio ponderado de capital para una empresa 320

Ejemplos sobre cálculo del costo de capital 325

Valor del apalancamiento financiero 330

Valor económico agregado (VEA) 332

Valor económico agregado: dos aproximaciones a través de un ejemplo 335

Ejercicios para resolver 340

Respuestas a los problemas 343

Capítulo 12. Tratamiento del riesgo en la evaluación de proyectos 349

Tratamiento de un proyecto en términos de valor esperado y varianza 352

Utilización del valor esperado y de la varianza para la toma de decisiones de inversión 358

Simulación de Montecarlo 361

Frontera eficiente en media y varianza 372

Análisis del riesgo a través del análisis de escenarios 381

Ejemplos 382

Ejercicios 392

Capítulo 13. Riesgo operacional y financiero: ajustes a la tasa de descuento 399

Modelo CAPM: planteamiento general 400

Utilización del modelo CAPM en la selección de proyectos 404

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Utilización del modelo CAPM para estimar el costo de la aportación patrimonial. Estimación del WACC (CPPC) 409

Estimación del costo promedio ponderado de capital en Colombia: una aproximación a través de un minicaso 414

Caso: distribución de energía eléctrica en Colombia 418

Ejercicios 423

Bibliografía 431

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Javier Serrano Rodríguez

Profesor titular de la Facultad de Administración de la Universidad de

los Andes. Es ingeniero Cum Laude de la Universidad Industrial de

Santander, con posgrados en Ingeniería Industrial y Ciencia Política

de la Universidad de los Andes. Tiene una maestría en Operations

Research de la Universidad de Pittsburg, Pa, donde también adelantó

estudios de doctorado en Ingeniería Industrial.

Su experiencia académica pasa los treinta años como profesor de

la Universidad de los Andes, donde ha sido decano de la Facultad

de Administración, director del MBA, fundador y director de la

especialización en Finanzas, director del programa Alta Gerencia y del

magíster en Ingeniería Industrial; en la actualidad es el director de la

Escuela de Posgrados de la Facultad.

El profesor Serrano dicta clases en el área de Finanzas, en particular,

los cursos de Evaluación Financiera de Proyectos de Inversión,

Finanzas Corporativas y Mercado de Capitales; tanto en programas

de posgrado (MBA y especializaciones) como de pregrado. Su

experiencia académica se complementa con su experiencia profesional

en la consultoría y en cargos directivos en el mundo empresarial

latinoamericano.

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Agradecimientos

Un agradecimiento a todos mis estudiantes de la Facultad de

Administración de la Universidad de los Andes, en sus diferentes

programas de Maestría, de Pregrado y de Alta Gerencia, que

durante varias promociones contribuyeron con sus observaciones

y preguntas al desarrollo de este libro. Un agradecimiento

especial a la doctora María Lorena Gutiérrez Botero, Decana de

la Facultad de Administración de la Universidad de los Andes por

su apoyo permanente, consejo, observaciones y sugerencias. La

Dra. Gutiérrez ha corregido las diferentes ediciones del libro; en

ese proceso ha hecho observaciones, correcciones y adiciones de

gran importancia y valor que aumentaron significativamente la

riqueza de la versión original. Para esta edición conté con el apoyo

de Paola García H., quien ayudó en la edición del documento,

revisó la versión original e hizo observaciones significativas al

desarrollo de esta nueva edición; para ella mis agradecimientos.

Así mismo quiero agradecer y dedicar el libro a mi esposa, Clara

Elvira Varela Cortés, por su apoyo permanente a mi trabajo como

profesor en la Universidad de los Andes y consultor de empresas

en Jaser Consultores Asociados Ltda. También quiero agradecer a

los dos decanos anteriores de la Facultad de Administración de la

Universidad de los Andes, Raúl Sanabria T. (q.e.p.d.) y Jorge Hernán

Cárdenas S., quienes con su apoyo y confianza contribuyeron a la

primera edición de esta obra. Finalmente, un agradecimiento especial

a todos los profesores que han utilizado el libro, quienes han hecho

observaciones importantes que han contribuido a su enriquecimiento.

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Introducción

Este libro de matemáticas financieras y evaluación de proyectos es el resultado del tra-bajo docente del profesor Javier Serrano Rodríguez en sus cursos de pregrado y posgrado en la Facultad de Administración de la Universidad de los Andes, durante los últimos 30 años, especialmente en el curso de Gerencia Financiera del MBA y en el curso de Análisis de Decisiones de Inversión y Financiamiento en el Magíster en Admi-nistración Ejecutivo (EMBA), del cual ha sido su profesor en las nueve promociones del programa. En el libro se exponen conceptos básicos de matemáticas financieras y evaluación de proyectos, que se ilustran con múltiples ejemplos basados en aplicaciones de la vida real. Su enfoque es integral, ya que a partir de la presentación de los elementos bási-cos de las matemáticas financieras desarrolla los indicadores para medir la bondad económica de un proyecto de inversión, a la vez que profundiza en la construcción del flujo de caja para hacer la evaluación de un proyecto de inversión o la valoración de una empresa, lo cual se complementa con el análisis de temas más avanzados como el costo promedio ponderado de capital, EVA y riesgo. En esta nueva edición se han complementado y actualizado varios capítulos incluidos en la primera edición, enfati-zando el uso de Excel en la parte computacional; se incluye la estimación de la frontera eficiente en media varianza y la utilización del CAPM para estimar el costo de la apor-tación patrimonial en el cálculo del costo promedio ponderado de capital. Se ha ampliado la base de ejercicios, incluyendo un nuevo capítulo con problemas de dife-rente naturaleza y dificultad, que resumen la tipología de problemas que va a encontrar cualquier profesional en el área financiera, especialmente en lo que se llama tradicionalmente como matemáticas financieras; y otro capítulo de casos, para analizar problemas más complejos e ilustrar el efecto de diferentes decisiones, incluyendo al-gunas de modelaje financiero. El libro está diseñado para un curso completo de evaluación de proyectos para estu-diantes con elementos básicos de finanzas y algún entrenamiento matemático. Parte de lo sencillo y avanza hacia lo complejo, en forma tal que el estudiante va evaluando su avance en el tema, y se complementa con ejercicios para resolver al final de la ma-yoría de capítulos. El estudiante debe aprovechar esos ejercicios como una alternativa de autoevaluación, y el profesor la solución a los mismos para dar retroalimentación a sus estudiantes sobre su progreso en el conocimiento de los temas.

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Los proyectos se pueden clasificar en dos categorías básicas: proyectos de inversión y proyectos de financiamiento. En un proyecto de inversión se realizan desembolsos ne-tos al comienzo del proyecto para obtener unos ingresos netos después del período de construcción y arranque durante el resto de la vida útil del proyecto, en forma tal que el inversionista recupere el monto de la inversión realizada y obtenga un rendimiento acorde con sus expectativas y con las condiciones del mercado. Por ello en un proyec-to de inversión lo que importa es la rentabilidad obtenida por el inversionista durante la vida útil del proyecto. En un proyecto de financiamiento, por ejemplo un crédito, se reciben unos recursos al comienzo del proyecto y se adquiere la obligación de repagar el financiamiento otorgado y los gastos financieros correspondientes al mismo, de acuerdo con las condiciones establecidas en el mercado; por ello lo que importa en el proyecto de financiamiento es el costo del financiamiento. A continuación dos ejem-plos de cada una de las dos categorías de proyectos: A.� Proyectos de inversión

�� Un proyecto consistente en montar una fábrica de cerveza requiere una inver-

sión durante el período de montaje, una vez que se ha tomado la decisión de construir la planta con base en las expectativas de rentabilidad del negocio y se ha asegurado el financiamiento correspondiente. Terminado el período de montaje y de pruebas, se procede a la producción de cerveza dentro de una estrategia comercial que parte del análisis del mercado correspondiente. La venta de cerveza genera unos ingresos brutos de los cuales se descuentan im-puestos de venta, costos de la mercancía vendida y gastos operativos para generar una utilidad operativa o utilidad antes de intereses e impuestos. A partir de esta utilidad operativa se estima la utilidad neta teniendo en cuenta los gastos financieros y la provisión para impuestos. Con la información ante-rior se procede a la construcción de un flujo de caja periódico (anual, mensual) que se contrasta con los desembolsos realizados durante el período de monta-je para determinar la rentabilidad del proyecto. La decisión de construir o no la planta se toma con base en los estimativos de inversión requerida, pronósticos de ventas, precio de la cerveza, costos de producción, gastos de operación, etc. Por ello en el momento de analizar la decisión de construir o no la planta, lo que se tiene es un estimativo de rentabilidad que se puede dar o no. Lo an-terior implica que la decisión se toma bajo incertidumbre, y que en últimas la rentabilidad va a depender del escenario económico que finalmente ocurra.

�� Un fondo de inversión recauda unos recursos del público para invertirlos en un

portafolio de inversiones, tal y como ocurre con un fondo de pensiones obli-

Capítulo 1

PROYECTOS DE INVERSIÓN Y PROYECTOS DE FINANCIAMIENTO

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[20]

Capítulo 1

[20] J A V I E R S E R R A N O�

gatorias administrado por una sociedad administradora de fondos de pensio-nes y cesantías. Al final de cada mes, los aportes del patrono y los descuentos al trabajador se invierten con los correspondientes a los otros afiliados al fon-do, en un portafolio de títulos valores. La rentabilidad que genera el portafolio de títulos valores, una vez deducida la comisión que cobra la administradora, se capitaliza a la cuenta de capitalización individual del afiliado, en forma tal que con los recursos aportados por el patrono, los descuentos al trabajador y los rendimientos obtenidos se acumula una suma que es la que se va a utilizar para comprar un seguro de renta vitalicia una vez el afiliado cumple con todos los requisitos para obtener la pensión de jubilación de cuerdo con el marco le-gal correspondiente.

B. Proyectos de financiación

�� Una empresa de acueducto va a realizar una inversión por valor de 10.000 mi-llones de pesos, de los cuales el 60% se financia con un crédito bancario a 10 años, con una tasa de interés del 24% anual, que se paga mes vencido. Du-rante el período de construcción la empresa recibe el monto del financia-miento (6.000 millones de pesos), de acuerdo con un cronograma de desem-bolsos y con el avance de la construcción. Al comienzo la empresa de acueducto paga los intereses correspondientes, que liquidados al 2% mensual sobre el saldo inicial, suman 120 millones de pesos mensuales. Una vez que comienza el período de amortización a capital, el saldo de la deuda disminuye con la correspondiente amortización periódica, lo cual hace que los intereses también disminuyan. El costo del financiamiento estará determinado por los gastos financieros a pagar al banco (intereses del 2% mensual), comisiones de administración o de compromiso que pueda cobrar el banco, y otros costos en que pueda incurrir la empresa para obtener el financiamiento (p. ej., constitu-ción de garantías).

�� Una familia va a adquirir un apartamento como vivienda por valor de 100 mi-

llones de pesos y recurre a un banco para que le financie un 70% bajo la modalidad de un crédito hipotecario, que utiliza la vivienda adquirida como garantía al banco. Selecciona una modalidad de financiamiento en pesos con una cuota constante durante el período de amortización del crédito (p. ej., 15 años o 180 meses). El grupo familiar se compromete a pagar una cuota uni-forme de “A” pesos mensuales, durante los 180 meses de vigencia del crédito; el monto de esta cuota se estima en forma tal que el banco obtiene el repago o amortización del crédito y el costo de financiamiento del mismo. Pa-ra el grupo familiar, usuario del crédito, el costo depende de los intereses que cobra el banco y de otros costos necesarios para poder tener acceso al crédito (p. ej., seguros de vida, gastos de hipoteca).

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[21] [21]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Proyectos de inversión y proyectos de financiamiento

En estos cuatro proyectos que se acaban de mencionar hay unos elementos comunes: Una o varias decisiones a analizar. Por ejemplo, realizar la construcción de la cerve-cería de acuerdo con el escenario esperado y la incertidumbre que rodea al proyecto, definir el portafolio en el cual se van a invertir los recursos recaudados por la adminis-tradora, realizar aportes voluntarios para aumentar el monto de la pensión, tomar un crédito por 6.000 millones de pesos en las condiciones establecidas por parte de la compañía de acueducto o recurrir a otras fuentes de financiamiento, y finalmente to-mar el crédito hipotecario para adquirir la vivienda por parte del grupo familiar o posponer su decisión si el monto de la cuota a pagar resulta muy elevado frente a sus ingresos. Un horizonte de tiempo. La vida útil de la cervecería, el tiempo durante el cual se van a hacer aportes al fondo de pensiones, el período de amortización del crédito por parte de la empresa de acueducto o los 180 meses durante los cuales el grupo familiar va amortizar o pagar el crédito obtenido para adquirir la vivienda. Un flujo de caja que cambia de signo. En el proyecto de construcción de la cerve-cería, unos desembolsos (inversiones) al comienzo y un flujo de caja neto y positivo (ingresos menos costos y gastos) una vez que comienza la etapa productiva. En el caso del fondo de pensiones, el afiliado aporta al fondo durante un tiempo, acumula una suma y después recibe un ingreso mensual correspondiente a su mesada pensional, una vez se cumplan los requisitos para la pensión de jubilación. En el financiamiento de la empresa de acueducto, al desembolso de 6.000 millones de pesos durante el período de construcción, que constituye un ingreso financiero para la empresa, le va a seguir un período de amortización del crédito en el cual hay que pagar amortización a capital y los gastos financieros correspondientes al financiamiento. El grupo familiar que va a adquirir la vivienda recibe un ingreso proveniente del crédito con el cual completa el monto que va a pagar por la vivienda adquirida; posteriormente tiene que pagar una cuota mensual de “A” pesos, que contiene amortización a capital e intereses. Una rentabilidad esperada para un proyecto de inversión o un costo de financiamien-to para un proyecto de financiación. La rentabilidad esperada o el costo de financiamiento dependerá del flujo de caja asociado, esto es el flujo de caja que cam-bia de signo al cual se acaba de hacer referencia. En el caso de un proyecto de financiación, el costo del financiamiento dependerá de los intereses y comisiones que el establecimiento de crédito está cobrando y de otros costos asociados (p. ej., consti-tución de garantías). Un escenario de análisis de la decisión. El resultado de la decisión dependerá en últi-mas del escenario que ocurra respecto al comportamiento de las variables que pueden afectar el proyecto (p. ej., inflación, tasas de interés, ingresos). La volatilidad del esce-nario determina en buena parte el riesgo que va a enfrentar el inversionista, o el costo

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[22]

Capítulo 1

[22] J A V I E R S E R R A N O�

del financiamiento (p. ej., la devaluación en una situación donde el financiamiento de la empresa de acueducto hubiera sido en euros o a tasa de interés variable). L A E V A L U A C I Ó N D E P R O Y E C T O S C O M O P A R T E D E L C I C L O D E L P R O Y E C T O

La evaluación de proyectos constituye una etapa del denominado ciclo de proyecto, que comienza con la identificación de alternativas, estudios de prefactibilidad para se-leccionar las más relevantes o promisorias, recolección de información para documentar las alternativas bajo evaluación, construcción de metodologías e indicado-res para medir su conveniencia, evaluación de alternativas, selección de la alternativa más conveniente según los indicadores seleccionados, e implantación de esa alternati-va o proyecto. En esta última fase se van a concretar los beneficios identificados en las etapas previas. El Grupo del Banco Mundial identifica ocho etapas bien definidas en el ciclo del pro-yecto, para aquellos que aspiran a contar con su financiamiento1: estrategia de asistencia para el país, identificación, preparación, evaluación inicial, negociaciones y aprobación del directorio, implementación y supervisión, implementación y conclusión, evaluación final, todo ello como parte de un proceso de planeación. Se cuenta además con metodologías y documentación bien definida para cada una de las diferentes etapas. La diferenciación entre las etapas del ciclo del proyecto es muy importante; sin embar-go, a veces no se le da la suficiente relevancia. A manera de ejemplo, la mayor parte del material que se cubre en este libro se aplica y es útil en el análisis de la toma de la decisión en situaciones tales como: ¿se hace o no el proyecto?, ¿se posterga la deci-sión o la iniciación del proyecto?, ¿se continúa con la implementación del proyecto?, ¿se cierra el negocio o se continúa operando?, ¿se toma el crédito o se hace con recur-sos propios?, ¿cuál es la combinación entre deuda y patrimonio que se va a utilizar para financiar el proyecto o la inversión?, ¿cuál es la rentabilidad de este fondo de in-versión?, ¿se invierte o no en el fondo? Con estos ejemplos se puede apreciar el tipo de decisiones que se analizan bajo diferentes supuestos, incluyendo la proyección en el tiempo del negocio que se está considerando. Una vez tomada la decisión de realizar el proyecto, lo importante es la ejecución de las actividades necesarias para llevarlo a cabo, su gestión, incluyendo el control sobre el uso de los diferentes recursos involucrados, para lograr los objetivos buscados con el proyecto o con la decisión. Por ello, todo el análisis que se hace para tomar la decisión sirve como referencia para guiar la ejecución del proyecto y para identificar las causas

�������������������������������������������������1 Grupo del Banco Mundial, Ciclo del Proyecto, Proyectos y Programas, página web del Banco Mundial, www.worldbank.org.

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[23] [23]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Términos básicos

de posibles desfases entre lo proyectado y lo ejecutado. Posteriormente se analizará si se alcanzó o no la rentabilidad esperada. Como se desprende de lo anterior, la etapa de implantación es crítica para el logro de los objetivos de proyecto y para alcanzar los beneficios esperados con la ejecución del mismo. Es de esperar la presencia de desfa-ses entre lo planeado, lo ejecutado y los resultados finalmente obtenidos, ya que en la ejecución se van a presentar desfases importantes que van a afectar los resultados es-perados. Sin embargo, proyectos bien formulados pueden fracasar si no se toman las precauciones necesarias en la fase de implantación. Para un adecuado control de las actividades involucradas, en la etapa de implementación se suele disponer de herra-mientas especializadas de gestión y control de proyectos, que permiten hacer seguimiento a las actividades planeadas, identificar desfases y sus causas, y tomar las decisiones necesarias a tiempo. Como tal, la evaluación de proyectos comprende el desarrollo de una serie de metodo-logías que le permiten al inversionista analizar una o varias alternativas de inversión y de financiamiento, buscando seleccionar la más adecuada según uno o varios criterios, tales como rentabilidad, valor presente neto o valor económico agregado, dentro de un horizonte de planeamiento incierto que requiere una consideración adecuada del riesgo que enfrenta el inversionista. Como se presenta a lo largo de este libro, la con-sideración simultánea de las dos dimensiones de rentabilidad esperada y riesgo lleva a que las decisiones no sean obvias, como consecuencia de la ponderación que ese in-versionista le puede dar a estas dos dimensiones, que en últimas depende de varios factores: tamaño de la inversión, situación financiera del inversionista, propensión o aversión al riesgo, etc. Los aspectos computacionales inherentes a las matemáticas financieras y a la evalua-ción de proyectos han perdido importancia como consecuencia del desarrollo tecnológico, permitiendo que el analista se concentre en los aspectos conceptuales y en las consecuencias que una determinada decisión puede traer sobre la situación fi-nanciera de la empresa. Las herramientas computacionales cada vez son más amigables y permiten acercar los temas de matemáticas financieras y evaluación de proyectos a profesionales de disciplinas no técnicas (p. ej. abogados, psicólogos, médi-cos) que antes sentían estos temas como algo alejado, no obstante la importancia que ellos tienen en el ejercicio de su profesión. T É R M I N O S B Á S I C O S

A continuación se definen algunos términos de uso frecuente en matemáticas financie-ras y evaluación de proyectos, a manera de glosario. Sin embargo, en el transcurso del libro se vuelven a retomar algunos de estos términos, para explicar su sentido, profun-dizar la definición y su utilización, establecer indicadores para su medición y plantear su utilización en el análisis de una situación real, como puede ser el análisis de un pro-yecto de inversión o de financiamiento.

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[24]

Capítulo 1

[24] J A V I E R S E R R A N O�

1.� Alternativa de inversión: un proyecto o una decisión cuya implantación contribu-ye a alcanzar uno o varios objetivos estratégicos de una empresa o una organización.

2.� Proyecto de inversión: programación en el tiempo de una serie de inversiones buscando que más adelante se genere una serie de beneficios que justifiquen des-de el punto de vista económico las inversiones que se realizaron inicialmente.

3.� Plan de inversiones: corresponde al conjunto de proyectos necesarios para lograr el cumplimiento de los objetivos estratégicos de una empresa dentro de un hori-zonte de planeamiento, por ejemplo 5 años.

4.� Financiamiento de un proyecto: se refiere a la mezcla de recursos (crédito, patri-monio, etc.) que se va a utilizar para financiar los desembolsos que requiere la implantación de un proyecto de inversión.

5.� Plan de financiamiento: trata de la combinación de recursos de financiamiento de corto, mediano y largo plazo que se va a utilizar para financiar el plan de inversio-nes durante el horizonte de planeamiento de la empresa. En este sentido, para todo plan de inversiones debe existir el correspondiente plan de financiamiento.

6.� Proyecto de financiamiento: al inicio se reciben los desembolsos de un crédito; posteriormente se hacen los pagos por amortización a capital y pagos de intereses.

7.� Interés: algunos lo definen como el costo por utilizar el capital en el caso de un financiamiento o el retorno por invertir una suma determinada en un proyecto, posponiendo el consumo actual. Usualmente se mide por el incremento entre una suma original invertida o tomada en préstamo y el monto final acumulado o pa-gado.

El interés ganado en términos absolutos, medido en pesos, de una inversión,

durante un período de tiempo, se calcula como:

Interés = Cantidad final acumulada - inversión inicial

Si el dinero fue tomado en préstamo, el interés en términos absolutos, medido en pesos, será:

Interés = Cantidad pagada - préstamo inicial

La expresión porcentual o tasa de interés se calcula así:

inicial Cantidad

tiempo de unidad por Interésinterés deTasa �

8.� Período de interés: unidad de tiempo para expresar la tasa de interés. El interés se puede expresar en períodos anuales, semestrales, diarios, etc. Cualquiera que sea el período que se utilice para expresar el interés, siempre debe haber una corres-pondencia o equivalencia con otros períodos de tiempo; por ejemplo, si el interés

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[25] [25]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Términos básicos

se expresa en términos mensuales, se debe poder expresar también en términos semestrales o anuales.

9.� Vida útil de un proyecto de inversión: período de tiempo durante el cual se justifi-ca, desde el punto de vista económico, mantener operando el proyecto. En otras palabras, período de tiempo durante el cual los beneficios generados por el pro-yecto superan los costos en que incurre el proyecto.

10.�Retorno sobre la inversión: corresponde al rendimiento porcentual que genera una inversión, medida ésta a través de la relación entre los beneficios netos en el período (descontando los costos) y el tamaño promedio de la inversión durante el período de tiempo considerado.

11.�Apalancamiento financiero: utilización de la deuda financiera para aumentar la rentabilidad de los recursos propios aportados a un proyecto o a una empresa.

12.�Estructura de costos de un proyecto o de un negocio: combinación entre costos fijos y costos variables, para varios niveles de producción.

13.�Tasa impositiva: porcentaje de las utilidades que se debe pagar como impuestos. 14.�Estados proforma: estados financieros de un proyecto o de una empresa proyec-

tados en el tiempo (p. ej., balance, estado de pérdidas y ganancias, flujo de efectivo).

15.�Estructura financiera: combinación de todas las fuentes de financiamiento de una empresa en un momento dado.

16.�Estructura de capital: combinación de las fuentes de financiamiento de mediano y largo plazo, que utiliza una empresa en un momento dado.

17.�Estructura marginal de capital: combinación de las fuentes de financiamiento de mediano y largo plazo, que va a utilizar la empresa para financiar un proyecto o el plan de inversiones durante su horizonte de planeamiento.

18.�Flujo de fondos: resultado neto de representar o resumir en el tiempo todos los ingresos y los egresos de un proyecto o de una empresa, para cada uno de los períodos que se está considerando.

19.�Riesgo: variabilidad de los resultados de un proyecto alrededor de su valor pro-medio o valor esperado, como consecuencia de la incertidumbre existente en el horizonte de planeamiento.

20.�Causación: movimiento de registro contable que no corresponde necesariamente a un movimiento de efectivo o de caja (p. ej., el cargo por depreciación que afecta el estado de resultados sin afectar el flujo de caja de la empresa).

21.�Valor económico agregado: magnitud de valor que agrega un proyecto a una empresa o la gestión de una administración a una empresa.

22.�Análisis de decisiones de inversión: comparación entre varias alternativas de in-versión de acuerdo a un conjunto de criterios.

23.�Valor de salvamento (contable): valor en libros de un activo al final de su período de depreciación.

24.�Valor de salvamento (económico): valor que se puede recibir por el activo al final de su vida útil; también se conoce como valor terminal o valor de disposición.

25.�Valor nominal de un bono: cantidad que se va a recibir por el bono el día de su vencimiento, si la amortización del mismo se hace a través de un solo pago.

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[26]

Capítulo 1

[26] J A V I E R S E R R A N O�

26.�Valor de reposición de un activo: valor al cual se puede adquirir un activo similar en una fecha determinada; similar implica un activo con las mismas características.

27.�Valor de mercado de un activo usado: valor al cual se puede vender en el merca-do un activo usado en una fecha dada.

28.�Alternativas mutuamente excluyentes: de las alternativas bajo consideración, so-lamente se va a escoger una. También, la escogencia de una alternativa excluye a las otras bajo consideración.

29.�Alternativas colectivamente exhaustivas: el conjunto de alternativas bajo conside-ración constituye el universo de alternativas posibles.

30.� Inflación: crecimiento en el índice de precios durante un período dado de tiempo; también se define como la pérdida del poder adquisitivo del dinero durante un período dado de tiempo.

31.�Devaluación: aumento porcentual en el precio de una divisa (p. ej., el dólar), du-rante un período determinado.

32.� Inversión permanente en un proyecto de inversión: inversión permanente en acti-vos fijos y en capital de trabajo que requiere el proyecto de inversión, para que pueda operar en condiciones aceptables.

D I A G R A M A S D E F L U J O

Una de las herramientas más importantes para el análisis financiero de una empresa o de un proyecto son los diagramas de flujo, que representan en el tiempo los flujos de fondos o de caja que va a necesitar el proyecto (egresos) y los flujos de fondos o de caja que va a generar el proyecto (ingresos), si se trata de un proyecto de inversión. Si se trata de un proyecto de financiamiento, representan los desembolsos del crédito (ingresos financieros) en el momento en que ellos se producen, el plan de amortiza-ción a capital según lo acordado y los intereses que se tienen que pagar, en fechas específicas, según el contrato de crédito. Los elementos básicos de un diagrama de flujos son: 1.� Escala de tiempo: representa la unidad de tiempo básica con relación a la cual se

van a medir todas las variables cuyo comportamiento depende del tiempo: año, mes, semana.

2.� Horizonte de tiempo de un proyecto de inversión: corresponde al tiempo total dentro del cual se va a analizar el proyecto de inversión (p. ej., la vida útil del pro-yecto de inversión).

3.� Período básico de análisis: corresponde a la unidad de tiempo básica, en la cual se divide todo el horizonte de tiempo de un proyecto de inversión, para su análisis. Por ejemplo, un proyecto con una vida útil de 5 años se puede dividir en períodos mensuales, trimestrales o anuales como períodos básicos de análisis. Entre más pequeño sea el período básico de análisis, más realista va a ser la representación del proyecto pero más compleja su solución numérica. La escogencia del período

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[27] [27]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Diagramas de flujo

básico de análisis debe ser un compromiso entre la realidad y la simplicidad para la solución computacional del problema.

4.� j-ésimo período básico de análisis: por convención, todos los ingresos y egresos se concentran al final del período (fecha j, para el j-ésimo período de análisis), sin tener en cuenta la forma como efectivamente se producen durante el j-ésimo período. Corresponde a una convención para simplificar los cálculos que va a afec-tar los resultados. A mayor longitud del período básico, mayor la fuente de error, como consecuencia de esta aproximación.

5.� Fechas dentro de un proyecto de inversión: la fecha cero corresponde a la fecha actual o de arranque del proyecto. En muchos proyectos, la inversión inicial se concentra en la fecha cero, que corresponde al inicio del primer período, mientras que la fecha uno (1) corresponde a la finalización del primer período básico de análisis. Todos los ingresos y egresos del proyecto durante el primer período bási-co de análisis, excepto la inversión inicial, se concentran en la fecha 1 o fecha de finalización del primer período. La fecha dos (2) corresponde a la fecha de finaliza-ción del segundo período básico de análisis, que empieza en la fecha uno (1), y así sucesivamente. La fecha j-1, es el inicio del j-ésimo período, que termina en la fe-cha j.

6.� Flujos de efectivo: los ingresos o flujos de efectivo positivos (como ingresos por ventas, ingresos operacionales, pagos que se reciben por amortización de créditos, intereses obtenidos por una inversión, ingresos por venta de activos, etc.) se re-presentan con flechas hacia arriba. En el caso de los egresos o flujos de efectivo negativos (como inversiones, pagos de intereses por un financiamiento, cuotas que se pagan por gastos de operación, etc.) se utilizan flechas hacia abajo. Usual-mente, los ingresos y egresos se netean, colocando, a manera de resumen, el valor neto (ingresos menos egresos) en una fecha dada.

En el Cuadro 1.1 se muestran los ingresos y egresos totales de un proyecto de inver-sión con una vida útil de 5 años:

Cuadro 1.1

Fecha 0 1 2 3 4 5Año 1 2 3 4 5

Inversión -3.000.000 Ingresos totales 0 900.000 1.300.000 1.800.000 2.300.000 3.000.000Egresos totales 0 400.000 500.000 800.000 900.000 1.200.000Ingreso neto -3.000.000 500.000 800.000 1.000.000 1.400.000 1.800.000

Los ingresos que se producen durante cada año se acumulan y representan al final del año. Los egresos que se producen durante cada año se acumulan y representan al final del año. Los ingresos netos (ingresos menos egresos) se calculan y representan al final

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[28]

Capítulo 1

[28] J A V I E R S E R R A N O�

del año. Por lo tanto el diagrama de flujos resumido correspondería a la última fila en el Cuadro 1.1, que se muestra en la Figura 1.1

Figura 1.1

En el Cuadro 1.2 se muestran los desembolsos, amortizaciones a capital, saldos al co-mienzo de cada período e intereses sobre saldos de un proyecto de financiamiento, correspondiente a un crédito por valor de $80.000.000, a 6 años, amortización a capi-tal en cuatro contados iguales al final de los años 3, 4, 5 y 6; intereses pagaderos año vencido, sobre el saldo de capital al comienzo del año; tasa de interés del 20%.

Cuadro 1.2 Fecha 0 1 2 3 4 5 6

Año 1 2 3 4 5 6

Tasa de interés 20,00%

Desembolso 80.000.000

Amortización capital 0 0 0 -20.000.000 -20.000.000 -20.000.000 -20.000.000

Saldo, comienzo año 0 80.000.000 80.000.000 80.000.000 60.000.000 40.000.000 20.000.000

Intereses -16.000.000 -16.000.000 -16.000.000 -12.000.000 -8.000.000 -4.000.000

Flujo resumen 80.000.000 -16.000.000 -16.000.000 -36.000.000 -32.000.000 -28.000.000 -24.000.000

Los ingresos corresponden al desembolso del crédito en la fecha cero, esto es en el comienzo del año 1. Los egresos corresponden a la amortización a capital, al final de

������������������������������������������������������������

� ��� ���

��� ���

��� ���

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[29] [29]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ejemplos de diagramas de flujo

los años 3, 4, 5 y 6 y al pago de intereses al final de cada año, para todos los 6 años. El saldo al comienzo de cada período no corresponde a un flujo de caja, sino a un re-sultado que define el valor sobre el cual se liquidan los intereses. En la Figura 1.2 se muestra el diagrama de flujo para los flujos parciales:

Figura 1.2 E J E M P L O S D E D I A G R A M A S D E F L U J O

Ejemplo 1 Suponga que se realiza una inversión de $10.000 mensuales durante 15 meses, al final de los cuales se recibe un ingreso de $200.000. El diagrama de flujo sería (cifras en miles): Horizonte de tiempo del proyecto de inversión: 15 meses. Período básico de análisis: mes. Diagrama de flujo, en miles de pesos, en la Figura 1.3:

�� ��� ���

���������� ���������� ���������� ���������� ��������� ��������

��

� � �

���������� ���������� ���������� ����������

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[30]

Capítulo 1

[30] J A V I E R S E R R A N O�

Figura 1.3

� Ejemplo 2 Un proyecto de inversión con una vida útil de 6 años, que se va a analizar anualmente, para determinar su rentabilidad; el flujo neto del j-ésimo año (ingresos de efectivo me-nos egresos de efectivo) se representa por FJ, mientras que la inversión que se concentra en la fecha cero se representa por I0. Horizonte de tiempo del proyecto de inversión: 6 años. Período básico de análisis: año. Diagrama de flujo en la Figura 1.4:

Figura 1.4

Ejemplo 3 Un crédito a 2 años por valor de 100 millones de pesos, que se desembolsa en la fecha cero y se va a amortizar en dos pagos iguales, uno al final del primer año y otro al final del segundo año. El interés del crédito es del 20% nominal anual pagadero semestre

������ ������

�������

���������������������������������������������������������������� ��������������������� ����

���� ��� �� �� ��� �� �

��

��

�� ��

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[31] [31]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ejercicios para resolver

vencido; esto es, se paga un 10% al final de cada semestre sobre el saldo del crédito al comienzo del semestre. Horizonte de tiempo del proyecto de inversión: 2 años. Período básico de análisis: semestre, ya que los intereses se pagan cada 6 meses. Diagrama de flujo en la Figura 1.5:

Figura 1.5

E J E R C I C I O S P A R A R E S O L V E R

Establecer los diagramas de flujo para: 1. Un bono ordinario con una madurez de 3 años, amortizaciones iguales al final

de cada año; intereses del 24% anual pagaderos semestralmente; esto es, al fi-nal de cada semestre se paga un 12% sobre el saldo al comienzo del semestre.

2. Un proyecto con una vida útil de 4 años, con una inversión de 1.000 millones de pesos, que se realiza en la fecha cero. Los flujos netos de fondos para los 4 años son respectivamente de -300, 600, 800, 1.200 millones de pesos. Al final de los 4 años, los activos completamente depreciados se venden por 500 millo-nes de pesos.

3. Un crédito a 2 años por valor de 80 millones de pesos, que se amortiza en un solo pago al final de los 2 años. Intereses del 24% anual, pagaderos trimestre vencido, sobre saldos; esto es, al final de cada uno de los 8 trimestres se paga un interés del 6% sobre el saldo al comienzo del trimestre.

4. El mismo problema 3, pero con amortización semestral (cuatro pagos iguales, al final de cada semestre).

5. Un proyecto de inversión con los flujos de caja que se muestran en el Cuadro 1.3:

������������������������������������������������������ ���

��

��

��

��

���

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[32]

Capítulo 1

[32] J A V I E R S E R R A N O�

Cuadro 1.3

Fecha 0 1 2 3 4 5 6 7

Año 1 2 3 4 5 6 7

Inversión -2.000.000

Ingresos totales 0 700.000 1.000.000 1.300.000 1.600.000 2.000.000 2.300.000 2.700.000

Egresos totales 0 350.000 500.000 700.000 900.000 1.200.000 1.300.000 1.600.000

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[33]

Capítulo 2

LA TASA DE INTERÉS DE OPORTUNIDAD Y LAS RELACIONES DE EQUIVALENCIA Una de las mayores equivocaciones en el análisis financiero consiste en el tratamiento igual de cantidades de dinero recibidas en puntos diferentes en el tiempo. Con fre-cuencia en la realización de un análisis de rentabilidad de un negocio se suman directamente como utilidad total las utilidades que se obtienen durante un horizonte de tiempo, por ejemplo 10 años, sin que se considere la diferencia que existe entre los mismos pesos nominales en diferentes épocas del tiempo. Cuando este es el caso, la cifra de rentabilidad que se obtiene carece de sentido; y es necesario homogeneizar las cantidades recibidas antes de proceder a la suma de las mismas. La homogeneiza-ción de las cantidades recibidas en puntos diferentes del tiempo se hace a través de las denominadas relaciones de equivalencia que constituyen el punto central de este capítulo. C O N C E P T O D E E Q U I V A L E N C I A

Para introducir el concepto de equivalencia se va a considerar el siguiente problema, que corresponde a un proyecto de inversión que requiere una inversión de $1.000.000, y va a producir unos ingresos para el inversionista durante los próximos 10 años según lo mostrado en el Cuadro 2.1:

Cuadro 2.1

Año Flujo de efectivo

1 $ 150.0002 $ 200.0003 $ 250.0004 $ 300.0005 $ 350.0006 $ 400.000 7 $ 450.000 8 $ 500.000 9 $ 550.000

10 $ 600.000

La Figura 2.1 muestra el diagrama de flujos de ingresos para los 10 años, en miles de pesos:

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[34] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 2

Figura 2.1

En términos nominales la suma de los ingresos para los 10 años es igual a $3.750.000. La equivocación que se comete frecuentemente consiste en concluir que la rentabilidad del negocio es del 275% para los 10 años cuando en realidad sólo lle-ga a un 25,88% como se verá en el Capítulo 4. Esta equivocación consiste en darle la misma importancia a pesos recibidos en diferentes puntos del tiempo. Se puede afirmar que en términos generales las personas tienen una preferencia por el dinero en el tiempo; ella lleva a los individuos a preferir una cantidad P hoy en lu-gar de esa misma cantidad P dentro de 1 año. Algunos argumentan que eso es así dado que la moneda pierde poder adquisitivo por el proceso inflacionario y que lo que hoy se puede adquirir con la cantidad P es superior a lo que se podrá adquirir con esa misma cantidad dentro de 1 año. Otros argumentan que al disponer hoy de la cantidad P, la pueden invertir a una tasa de interés i y recibir un ingreso por intereses

igual a �� que sumado a la cantidad original permitirá acumular una suma iPP� ó P(1+i) al final del año, suma mayor que la disponible al comienzo. Si bien es cierto que el dinero pierde poder adquisitivo en el tiempo, para un inversio-nista la preferencia en el tiempo proviene de las oportunidades de inversión que él pueda encontrar para sus excedentes monetarios. En otras palabras, si el inversionista deja inmovilizado su dinero en una caja fuerte o en una cuenta bancaria (sin intentar obtener ninguna reciprocidad), la equivalencia de una cantidad futura versus una cantidad presente sería la misma ya que la suma acumulada al final del período sería idéntica. Sin embargo, si el inversionista dispone de alternativas de inversión que le generen un interés determinado, la equivalencia en el tiempo sería mayor; ya que al

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 añ os

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

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[35]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Concepto de equivalencia

invertir en esas oportunidades podría acumular una mayor cantidad al final del perío-do que se está considerando. Lo anterior se ilustra mediante un ejemplo: Ejemplo 2.1 Se invierte una cantidad inicial de $1.000.000 en alternativas que pagarán un interés anual del 35%; al final del primer año, el inversionista dispondrá de la siguiente suma:

Principal: P = 1.000.000

Interés: iP = 350.000

Suma total: iPP � = 1.000.000 + 350.000 = 1.350.000

iPP � = )1( iP � = 1.000.000 (1,35) = 1.350.000

Gráficamente la situación se representaría de la siguiente forma:

Figura 2.2

Para el inversionista existe una equivalencia en el tiempo que se podría definir di-ciendo que para él, recibir $1.350.000 dentro de 1 año sería equivalente a recibir una cantidad de $1.000.000 hoy, de acuerdo con las alternativas disponibles. Si la tasa de interés fuera igual a cero (equivalente a decir que el inversionista no tiene alternativas de inversión) la suma acumulada sería de $1.000.000. Para este inversionista, con oportunidades alternas de inversión del 35%, si alguien le ofreciera tomar en préstamo esa cantidad y devolverle $1.300.000 dentro de un año, a riesgos iguales, la oferta sería inaceptable ya que él dispone de alternativas que le permiten acumular $1.350.000 al final del año. Por el contrario, si dispone $1.000.000 en la fecha cero y le ofrecen $1.400.000 al final del año y le garantizan la eliminación del riesgo, deberá prestar el dinero, debido a que con las alternativas dis-ponibles no puede acumular esa cantidad.

� � �

1.000.000

1.350.000

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[36] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 2

El ejemplo anterior ilustra el concepto de equivalencia definido alrededor de la tasa de interés de oportunidad (TIO). Si la tasa de interés de oportunidad para un período es igual a i, disponer de una cantidad P hoy, será equivalente a disponer de una canti-dad )1( �� � dentro de un período; o en forma similar, recibir una cantidad )1( �� �

dentro de un período será equivalente a recibir una cantidad P hoy. El concepto de equivalencia que se acaba de presentar se establece alrededor de la tasa de interés de oportunidad definida como la tasa de interés correspondiente a las alternativas convencionales de inversión que están disponibles para una empresa o un individuo. Como la tasa de interés de oportunidad es diferente para los individuos o las empresas, las sumas correspondientes a las equivalencias en el tiempo también lo serán; un par de ejemplos aclaran la situación anterior. Ejemplo 2.2 Para un individuo cuyas oportunidades de inversión están en el sistema financiero, a través de la modalidad de cuentas de ahorro, en un momento donde los intereses que se están pagando son del 4% efectivo anual, la equivalencia en el tiempo se daría en términos de una tasa de interés de oportunidad del 4% anual, que corresponde al rendimiento anual de la cuenta de ahorro antes de impuestos. Por otro lado, otro in-dividuo con mayores conocimientos del mercado de capitales, al poder obtener rendimientos mayores, tendrá una tasa de interés de equivalencia superior ya que su tasa de interés de oportunidad también es superior; por ejemplo, una inversión en títulos emitidos por el gobierno central, tal y como ocurre con los TES en Colombia o con los treasuries en Estados Unidos, que usualmente generan una rentabilidad supe-rior a las cuentas de ahorro, que suelen ser las de menor rendimiento en el sistema financiero. Ejemplo 2.3 Una empresa, en el sector industrial, donde la rentabilidad anual del negocio es del 30% después de impuestos, tendrá una tasa de interés de equivalencia inferior a otra empresa que pertenezca a otro sector industrial donde la rentabilidad anual sea del 40% después de impuestos. Cuando este es el caso, las inversiones marginales se evaluarán en la primera empresa a una tasa de interés igual o superior al 30% anual, mientras que en la segunda empresa esas inversiones se evaluarán a una tasa de in-terés igual o superior al 40% anual. En los ejemplos anteriores se ha mencionado la palabra impuestos, cuya considera-ción es crucial en la evaluación de proyectos tal y como se ilustrará en los capítulos siguientes. En general, las decisiones de inversión y financiamiento se analizan des-pués de impuestos.

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[37]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Relaciones de equivalencia más importantes

R E L A C I O N E S D E E Q U I V A L E N C I A M Á S I M P O R T A N T E S

Equivalencias considerando distintos horizontes de planeamiento Equivalencia futura de una suma presente

En el numeral anterior se estableció que al invertir una cantidad P a una tasa de in-terés i se obtiene una suma acumulada igual a )1( iP � al final del primer año. La aplicación repetitiva de este resultado permite obtener la relación de equivalencia más importante en el campo de las matemáticas financieras, debido a que proporciona la equivalencia cuando se consideran diferentes horizontes de planeamiento. Para ilus-trar lo anterior, se parte de una cantidad inicial P y de una tasa de interés de oportunidad igual a i. Al final del primer año, la suma acumulada será: Principal: P Interés: iP Suma acumulada al final del primer año: F1

F1 = iPP� = )1( iP �

Para el segundo año, el principal corresponde a la suma acumulada al final del primer año; la aplicación del ejercicio anterior lleva a:

Principal: )1( iP � Interés: )1( iiP � Suma acumulada al final del primer año: F2

2F = )1()1( iiPiP ��� = )1)](1([ iiP �� = 2)1( iP �

Para el tercer año, y procediendo en una forma similar, se obtendrá: Principal: 2)1( iP �

Interés: 2)1( iiP � Suma acumulada al final del tercer año: F3

�3F 22 )1()1( iiPiP ��� = )1]()1([ 2 iiP �� = 3)1( iP �

La repetición del ejercicio anterior lleva a la fórmula general para encontrar la equiva-lencia de sumas recibidas en puntos diferentes en el tiempo. Para este caso particular, la equivalencia futura de una suma presente.

n

n iPF )1( �� (1)

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[38] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 2

En la expresión anterior, nF corresponde a la suma futura equivalente dentro de n

períodos a una suma presente igual a P. Gráficamente, se tiene:

Figura 2.3

Un ejemplo aclara la aplicación de la fórmula anterior. Ejemplo 2.4

Se invierte una suma de $1.000.000 durante 10 años a una tasa de interés anual igual al 35%; no se retiran los intereses, se capitalizan cada año y se reinvierten a la misma tasa de interés. La suma que se acumulará al final de los 10 años se obtiene de la siguiente forma:

� �� �� �

556.106.20106,20*000.000.1

35,1*000.000.1

35,01*000.000.1

1*

10

1010

1010

1010

���

��

��

F

F

F

iPF

En la situación anterior, el inversionista podría retirar $20.106.556 al final del año 10. Es decir, para la tasa de interés considerada, disponer de $1.000.000 hoy será equiva-lente a disponer de $20.106.556 dentro de 10 años. En forma similar, para esa tasa de interés, $20.106.556 recibidos dentro de 10 años serían equivalentes a recibir $1.000.000 en la fecha presente, tal y como se muestra en la Figura 2.4:

0 1 2 3 n-2 n-1 naños

0 1 2 3 n-2 n-1 naños

P

FN = P(1+1)N

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[39]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Relaciones de equivalencia más importantes

Figura 2.4 Por lo tanto, se puede decir que para una tasa de interés de equivalencia o tasa de interés de oportunidad del 35%, el valor actual o presente correspondiente a una cantidad igual a $20.106.556 recibidos dentro de 10 años es igual a $1.000.000. Es-tos valores permiten mostrar el efecto ilusorio del dinero, especialmente cuando se está trabajando con tasas de interés elevadas. Vale la pena destacar varios aspectos sobre la relación de equivalencia: 1. En la relación de equivalencia está presente el concepto de interés compuesto o

interés sobre intereses, figura que no siempre está permitida según las disposicio-nes del Código de Comercio (anatocismo). Esto es, en la fórmula (1) está implícita la capitalización de intereses al final del período para el cual se están causando.

2. No se retira cantidad alguna de dinero durante los n años que se están contem-plando; todos los retiros se hacen al final del período n.

3. La tasa de interés permanece constante durante los n años, lo cual era necesario en el pasado para facilitar la realización de los cálculos. Si este no es el caso, se puede utilizar la siguiente relación:

)1(*)1(*............*)1(*)1(* 121 NNN iiiiPF ����� �

Que se transforma en (1), si las tasas de interés de cada período son iguales.

4. La relación es válida independientemente de la longitud de tiempo que se esté considerando para el período básico, siempre y cuando los intereses se refieran a ese período de tiempo. Un ejemplo aclara lo anterior.

Ejemplo 2.5 Un fondo de inversión liquida intereses diariamente, equivalentes a una tasa nominal anual del 9,75937%, que corresponde a un interés diario del 0.026738%, para un

0 1 2 3 8 9 10años

0 1 2 3 8 9 10años

1.000.000

F10 = 20.106.556

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[40] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 2

año de 365 días. Suponga un depósito de $10.000.000 que se coloca en el banco por 38 días, devengando ese interés diario. La cantidad acumulada al final de los 38 días será:

� �� �� �

10.102.1080102108,1*000.000.10

00026738,1*000.000.10

00026738,01*000.000.10

1

38

3838

3838

3838

���

��

��

F

F

F

iPF d

La suma anterior indica que el monto ganado por concepto de intereses durante el período de 38 días es igual a $102.108.

Una notación comúnmente utilizada para la representación de los factores en las fórmulas de equivalencia es:

� � �niniPF �� 1,,/

Donde F/P se lee F dado P. Esta notación era útil cuando el valor del factor se tenía que encontrar en tablas de factores para un interés i y un número de períodos n, lo cual ha perdido toda vigencia, como consecuencia de los desarrollos en las herra-mientas de computación. De esta forma, la fórmula para la equivalencia, que la mantenemos por propósitos de notación, será:

� niPFPF ,,/�

Ejemplo 2.6 Un fondo de inversión paga un interés del 1,01% mensual. Suponga que se hace una inversión en el fondo por valor de $8.500.000, durante 24 meses, sin realizar retiros durante este período. La cantidad acumulada al final de los 24 meses será:

� �� �� �

10.818.419272755.1*000.500.8

0101,1*000.500.8

0101,01*000.500.8

1

24

2424

2424

2424

���

��

��

F

F

F

iPF m

La cantidad acumulada al final de los 24 meses será de $10.818.419.

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[41]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Relaciones de equivalencia más importantes

Equivalencia presente de una suma futura La expresión anterior, para la determinación de la suma futura equivalente a una su-ma presente, se puede utilizar para encontrar el equivalente presente de una suma futura. Despejando de la expresión básica, se obtiene:

� �nn

i

FP

��

1 (2)

A continuación se presenta la representación gráfica:

Figura 2.5

Un ejemplo aclara la utilización de la expresión anterior. Ejemplo 2.7 Suponga que alguien le ofrece la promesa de entregarle $100 millones dentro de 20 años. Se quiere determinar el valor actual (valor real) de esa promesa, si la tasa de interés de equivalencia es del 35% anual.

� �

� �

357.24727,404

000.000.10035,1

000.000.10035,01

000.000.100

20

20

��

P

P

P

P

0 1 2 3 n-2 n-1 naños

0 1 2 3 n-2 n-1 naños

P=FN/(1+i)N

FN

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[42] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 2

La cifra anterior pone de manifiesto el efecto ilusorio del dinero. El valor actual o real de los $100.000.000 recibidos dentro de 20 años es de $247.357.

En la expresión para encontrar el equivalente presente de una suma futura es intere-sante observar el efecto del tiempo (n) y de la tasa de interés (i). 1. Efecto del tiempo: para la misma suma anterior, se consideran 3 épocas para la

recepción de los $100 millones: 5, 10 y 20 años. Los equivalentes presentes res-pectivos, a una tasa de interés del 35%, son:

Cuadro 2.2

n n)35.01(

1

� P

5 0,223014 22.301.350 10 0,049735 4.973.502 20 0,002474 247.357

Los resultados presentados en el Cuadro 2.2 muestran cómo el equivalente pre-sente de una suma futura disminuye drásticamente cuando esa suma futura se aleja en el tiempo.

2. Efecto de la tasa de interés: considere la suma de $100 millones a recibirse

dentro de 10 años. Se requiere determinar los equivalentes presentes para tres ta-sas de interés diferentes: 20%, 35% y 45%.

Cuadro 2.3

I � �101

1

i� P

20% 0,161506 16.150.558 35% 0,049735 4.973.502 45% 0,024340 2.433.997

Los resultados presentados en el Cuadro 2.3 muestran cómo el equivalente pre-sente de una suma futura disminuye cuando se incrementa la tasa de interés. Cuando las tasas de interés son elevadas, el valor presente de sumas alejadas en el tiempo es muy bajo. Esto hace que proyectos de tardío rendimiento como son los proyectos de desarrollo, difícilmente pasen un examen o estudio de viabilidad económica; y por eso en épocas recesivas es necesario bajar las tasas de interés para lograr una reactivación de la economía.

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Relaciones de equivalencia más importantes

La representación del factor para hallar el equivalente presente de una suma futura es:

� � �ni

niFP�

�1

1,,/

De esta forma, la fórmula para la equivalencia será:

� niFPFP ,,/�

Ejemplo 2.8

Una persona debe acumular en 10 años $38 millones; para esto va a invertir en un fondo de inversión que le ofrece un interés semestral del 6,8%. ¿Cuál es el monto que se debe invertir en el fondo en la fecha cero?

� �

� �

326.194.10727563,3

000.000.38068,1

000.000.38068,01

000.000.38

20

20

��

P

P

P

P

Valor futuro de una serie uniforme Otra relación de equivalencia que puede resultar útil es la correspondiente a la equi-valencia entre una serie uniforme de pagos iguales al final de cada período, durante n períodos, y una suma futura al final de esos n períodos. En la Figura 2.6 se muestra la situación a contemplar en términos gráficos:

Figura 2.6

0 1 2 3 n-2 n-1 naños

0 1 2 3 n-2 n-1 naños

FN =P[(1+i)N-1]/i

A A A A A A

N

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[44] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 2

Donde “A” se refiere al flujo periódico (ingreso o egreso) al final de cada período; por ejemplo, se refiere a anualidades iguales en el caso de que los períodos sean de 1 año. Para propósitos de la presentación se supone, como lo muestra la gráfica, que se trata de egresos o depósitos en un fondo. El equivalente futuro de cada uno de los desembolsos estará dado por:

Cuadro 2.4

Egresos Equivalente futuro

1 � � 11 �� niA

2 � � 21 �� niA

3 � � 31 �� niA

… …

(n-2) � �21 iA �

(n-1) � �11 iA �

N A

Por lo tanto, la suma acumulada al final de los n períodos es igual a:

� �� � � �� � � � � �� 111...11 1221 ���������� �� iiiiAF nn

Multiplicando ambos lados de la ecuación por (1+i) se obtiene:

� � � �� � � �� � � � � � � �� 1231 111...111 iiiiiAFi nnn ������������ �

Restando de esta expresión la anterior, se obtiene:

� � � �� �� 111 ����� nnn iAFFi

Despejando F de la expresión anterior:

� �� iiA

Fn

n11 ��

� (3)

Ejemplo 2.9 Suponga que se hacen depósitos a un fondo de inversión por un valor de $25.000 al final de cada mes durante 5 años. El primer depósito se hace dentro de 1 mes, mien-tras que el último se hace al final del mes 60. El fondo paga un interés del 2.5%

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Relaciones de equivalencia más importantes

mensual; además, los intereses se reinvierten dentro del mismo fondo a la misma tasa de interés. El diagrama de flujo de caja se muestra en la Figura 2.7. La cantidad acu-mulada al final de los 60 meses se calcula de acuerdo con la expresión anterior:

Figura 2.7

� �� �

790.399.3025.0

74,994.84025,0

139979,4000.25025,0

1025,01000.25

60

60

60

60

60

��

���

F

F

F

F

En una hoja electrónica Excel el valor futuro de una serie uniforme se calcula utilizan-do la función “Valor futuro” de un pago periódico, VF (i,n,A), donde i corresponde a la tasa de interés periódica, n al número de períodos y A la anualidad o pago periódi-co. Para resolver el ejemplo anterior, la función sería VF(0,025,60,25.000). Ejemplo 2.10

Considere la situación anterior, pero suponga que los depósitos se hacen en una forma más real, al comienzo de cada período. El primero se hace en el período cero, por lo cual se ga-narán intereses durante los 60 períodos; el segundo al final del año 1 y comienzo del 2, por lo cual se ganarán intereses durante 59 períodos, y así sucesivamente.

0 1 2 3 58 59 60

F

… …

A A A A A A

0 1 2 3 58 59 60

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[46] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 2

Figura 2.8

Una forma de resolver este caso consiste en considerar por aparte el primer depósito, que genera intereses durante 60 períodos, y luego los 59 depósitos restantes, como se muestra a continuación: 1. Depósito en la fecha 0:

� � 995.109025,1*000.25 6060 ��F

Figura 2.9

2. Serie uniforme de depósitos para los siguientes 59 meses. La cantidad acumulada

al final del mes 59 se obtiene aplicando la relación (3):

� �� �

477.292.3025,0

1292478,4*000.25025,0

1025,01*000.25

59

59

59

59

��

���

F

F

F

0 1 2 3 58 59 60

F

… …

A A A A A A

0 1 2 3 58 59 60

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[47]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Relaciones de equivalencia más importantes

Figura 2.10

En la Figura 2.11 se muestran los dos valores resultantes de lo que se acaba de presentar en 1 y 2; un valor de $3.292.478 al final del mes 59 y un valor de $109.995 al final del mes 60.

Figura 2.11

El valor de los $3.292.478 en el mes 59, al final del mes 60, sería:

� � 790.374.3025,1*5960 �� FF

3. El total acumulado al final del mes 60 sería:

784.484.3790.374.3994.10960 ���F

En la Figura 2.12 se resume el planteamiento del problema y su resultado:

0 1 2 3 58 59 60

F59

… … 0 1 2 3 58 59 60

25.000

… 0 1 2 3 56 57 58 59 60

3.292.478

109.995

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[48] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 2

Figura 2.12

La representación del factor para encontrar el valor futuro de una serie uniforme es:

� � �i

iniAF

n 11,,/

���

Es decir, dada una serie periódica uniforme de valor A, durante n períodos y un interés periódico i, calcular el valor futuro acumulado al final de los n períodos. De esta forma, la fórmula para la equivalencia será:

� niAFAF ,,/�

Ejemplo 2.11

Una persona desea ahorrar $1.500.000 mensualmente en un fondo que genera un interés mensual del 1,5%. ¿Cuánto acumulará en el fondo después de hacer 12 de-pósitos, si el primero lo hace en un mes? ¿Cuánto acumulará si el primero lo hace inmediatamente? Si el primer depósito se hace en un mes:

� �� �

817.561.19015,0

25,427.293015,0

1195618,1*000.500.1015,0

1015,01*000.500.1

12

12

12

12

12

��

���

F

F

F

F

Si el primer depósito se hace inmediatamente y siguiendo los pasos indicados ante-riormente se obtiene que:

0 1 2 3 4 56 57 58 59 60

25.000 25.000

3.484.784

meses

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1. Depósito en la fecha 0:

� � 427.793.1015,1*000,500.1 1212 ��F

2. Serie uniforme de depósitos para los siguientes 11 meses:

� �� � ��

894.794.17015,0

40,923.266015,0

117794,1*000.500.1015,0

1015,01*000.500.1

11

11

11

11

11

��

���

F

F

F

F

El valor de la cantidad anterior, al final del mes 12, sería:

� � 817.061.18015,1*1112 �� FF

3. El total acumulado al final del mes 60 sería:

244.855.19817.061.18427.793.112 ���F

Valor presente de una serie uniforme

Para encontrar la expresión del valor presente de una serie uniforme, definida en la misma forma utilizada en la deducción de la expresión (3), se trae a valor presente la suma acumulada al final de los n años, resultante de aplicar la misma expresión (3):

Figura 2.13

0 1 2 3 n-2 n-1 n 0 1 2 3 n-2 n-1 n

P

… …

A A A A A A

Relaciones de equivalencia más importantes

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[50] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 2

El resultado correspondiente será:

� �� �

� �

��� n

n

ii

iAP

1

11 (4)

Ejemplo 2.12

Considere la misma serie uniforme de pagos vencidos del ejemplo 2.9; esto es una serie uniforme de 60 pagos mensuales por valor de $25.000 cada uno, al final del respectivo mes. Se quiere calcular el valor presente de la serie uniforme, si la tasa de interés de oportunidad es del 2,5% mensual.

� �� � �

� � �

716.77210999,0

74,994.8439979,4 025,0

139979,4 000.25025,01 025,0

1025,01*000.25

60

60

60

60

60

60

��

���

P

P

P

P

Figura 2.14

En una hoja electrónica de Excel el valor presente de una serie uniforme se calcula utilizando la función valor actual de una serie periódica uniforme, VA(i,n,A), donde i es la tasa de interés, n el número de períodos y A el valor de la serie periódica uni-forme. Para resolver el ejemplo anterior, la función sería VA(0,025,60,25.000).

La representación del factor para hallar el valor presente de una serie uniforme es:

� � �� �n

n

ii

iniAP

���

1

11,,/

0 1 2 3 58 59 60

772,716

… …

25,000

0 1 2 3 58 59 60

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De esta forma, la fórmula para la equivalencia será:

� niAPAP ,,/� Ejemplo 2.13

Considere la misma serie uniforme de pagos anticipados del ejemplo 2.10.

1. Serie uniforme de depósitos para los últimos 59 pagos. El valor presente se obtie-

ne aplicando la relación (4):

� �� � �

� � �

034.76710731,0

94,311.8229247,4*025,0

1292478,4*000.25025,01*025,0

1025,01*000.2559

59

��

���

P

P

P

P

2. Valor presente de los 60 pagos:

034,792000,25034,767 ���P

En la Figura 2.15 se resume el planteamiento del problema y los resultados del mismo.

Figura 2.15

0 1 2 3 58 59 60

792.034

… …

A A A A A A

0 1 2 3 58 59 60

Relaciones de equivalencia más importantes

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[52] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 2

Serie uniforme equivalente a un valor futuro La expresión (3), que corresponde al valor futuro de una serie uniforme, se puede utilizar para encontrar el equivalente en términos de una serie uniforme para una su-ma futura:

Figura 2.16

El resultado correspondiente será:

� � �

� �

���

11 ni

iFA (5)

Ejemplo 2.14 Suponga que al término de 6 meses se desea retirar una suma de $6.000.000 de una cuenta de ahorros, depositando una suma constante al final de cada mes. Si el interés que se puede obtener mensualmente es del 1,8%, ¿qué cantidad debe ahorrarse ca-da mes?

� �

� 936.95515932,0*000.000.611297,0

018,0*000.000.6

1018,01

018,0*000.000.6

6

��

� �

��

���

A

A

A

0 1 2 3 n-2 n-1 n0 1 2 3 n-2 n-1 n ……

A A A A A A

F

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[53]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

0 1 2 3 n-2 n-1 n0 1 2 3 n-2 n-1 n ……

A A A A A A

P

Figura 2.17

En una hoja electrónica Excel el valor de una serie uniforme teniendo el valor futuro se calcula utilizando el comando PAGO (i,n,0,F), donde i es la tasa de interés periódi-ca, n el número de períodos, 0 un indicador de que los pagos son vencidos y F el valor futuro, al final de los n períodos. Para resolver el ejemplo anterior, la función sería PAGO(0.018,6,0,6.000.000). Si los pagos son vencidos, se utiliza un 1 como indicador; en vez de cero, también se puede dejar en blanco, para pagos vencidos. La representación del factor para hallar el valor de una serie uniforme dado un valor futuro es:

� � �

� �

���

11,,/ ni

iniFA

De esta forma, la fórmula para la equivalencia será:

� niFAFA ,,/�

Serie uniforme equivalente a un valor presente

La expresión (4), que corresponde al valor presente de una serie uniforme, se puede utilizar para encontrar la serie uniforme dado un valor presente:

Figura 2.18

Relaciones de equivalencia más importantes

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[54] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 2

El resultado correspondiente será:

� �� �

� �

���

�11

1n

n

i

iiPA (6)

Ejemplo 2.15

Se quiere saber cuál es el pago mensual (al final de cada mes) que se debe realizar por un crédito de $6.000.000 a 6 años (72 meses), si la tasa de interés mensual es del 2,3%.

1)023,01()023,01(*023,0

*000.000.6 72

72

���

�A

A = 6.000.000*0,028554 = 171.325

Figura 2.19

En una hoja electrónica Excel el valor de una serie uniforme teniendo el valor presente se calcula utilizando la función PAGO(i,n,P). Para resolver el ejemplo anterior, la fun-ción sería PAGO(0.023,72,6.000.000).

La representación del factor para hallar el valor de una serie uniforme dado un valor presente, es:

� � �� �

� �

��

��

11

1,,/ n

n

i

iiniPA

De esta forma, la fórmula para la equivalencia será:

� niPAPA ,,/�

0 1 2 3 70 72 0 1 2 3 70 71 72 … …

A = $171.325

P = $ 6.000.000

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Valor presente de una serie infinita que tiene un crecimiento constante igual a g

En muchos casos se tiene una situación donde los flujos de caja crecen de un período al siguiente con un crecimiento constante, en forma tal que: FJ = FJ-1 * (1+g), donde g es la tasa de crecimiento periódica. Si el flujo de caja se extiende hasta infinito, se puede encontrar una expresión cerrada que permite calcular el valor presente de la serie, en términos del flujo de caja al final del primer período, la tasa de interés y la tasa de crecimiento. Para encontrar la fórmula a que se hace mención, suponga que el ingreso al final del primer período, D1, es igual a D. El ingreso al final del segundo período, D2, es igual a D*(1+g) El flujo de caja al final del tercer período, D3, es igual a:

223 )1(*)1(* gDgDD ����

El flujo de caja al final del cuarto período, D4, es igual a:

3

34 )1(*)1(* gDgDD ����

En general,

11 )1(*)1(* �

� ���� JJJ gDgDD

En la Figura 2.20 se muestra el resumen de la secuencia de ingresos que se compor-tan de acuerdo con el modelo de crecimiento constante, para una serie infinita:

Figura 2.20

0 1 2 3 4 5

D1

D2

D3

D4

D5

�������

Relaciones de equivalencia más importantes

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[56] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 2

El valor presente de esta serie, en términos generales, sería igual al resultado de traer a la fecha cero cada uno de los pagos, utilizando repetitivamente la expresión (1); en términos resumidos:

� �� �

� �� �� ���

��

���

��

����

����

��

�� J

JJ

JJ

JJ

J

k

gD

k

DP

1

1

1 1

1*

1

donde k es la tasa de descuento y � corresponde al símbolo de infinito.

� �� �� � � �

� �� ���

���

����

���

����

����

���

��

�� I

I

IJ

J

J

kg

kD

kg

kD

P01

1

11

111

1

En el paso anterior se hizo un cambio de variable, definiendo I=J-1, para tomar la sumatoria desde cero, y poder utilizar el siguiente resultado bien conocido del álgebra clásica:

� �aa

I

I

I

���

� 11

0

Si valor absoluto de a es inferior a 1; de otra forma la serie es divergente. Por lo tanto,

� � � �� � �

���

����

��

���

kgk

DP

11

1

11

,

si k > g; esto es, si la tasa de descuento o tasa de interés de oportunidad es mayor que la tasa de crecimiento.

� �� �� � � �gk

Dgkk

kD

P�

����

����

���

��

11

, si k > g

Si k < g, la serie sería divergente y el valor de P sería igual a infinito. ¿Cuál sería la interpretación de esta situación? La expresión anterior es bastante útil en cálculos financieros y cuando se aplica a un flujo infinito de dividendos con un crecimiento constante g se conoce como el modelo de Gordon para calcular el precio de una acción. Este resultado se utilizará poste-riormente; el mismo requiere una consistencia en la definición de parámetros, ya que k y g deben estar ambos en condiciones nominales o ambos en condiciones reales.

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[57]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ejemplo 2.16

¿Cuál es el precio de la acción si el primer dividendo de $400.000 será pagado en un año? El crecimiento esperado de la acción es del 7% anual y la tasa interna de opor-tunidad del inversionista es del 18% anual.

� �

633.636.363,11000,0

000.40007,018,0

000.400��

��P

El precio de la acción es de $3.636.363,63.

Valor presente de una serie finita que tiene un crecimiento constante igual a g Condiciones similares al planteamiento anterior, crecimiento constante, salvo que el número de períodos es finito e igual a N. El planteamiento general sería el siguiente:

� �� �� ���

��

����

����

����

����

��

NJ

JJ

JNJ

JJ

J

k

gD

k

DP

1

1

1 1

1*

1

Siguiendo un procedimiento similar al utilizado, en el caso finito se llega a la siguiente expresión:

� �� �� � ��

���

��

���

� �

���

��

�N

kg

gkD

P11

1*

Ejemplo 2.17

¿Cuál es el precio de la acción, si el primer dividendo de $600.000 será pagado en un año? El número de dividendos anuales esperado es infinito, el crecimiento esperado de la acción es del 8,5% anual y la tasa interna de oportunidad del inversionista es del 20% anual. ¿Cuál es el precio de la acción anterior, si el número de dividendos anuales esperado es de 20? Si el número de dividendos anuales esperado es infinito:

Relaciones de equivalencia más importantes

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[58] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 2

� �

� � 305.217.391,

11500,0000.600

085,0200,0000.600

��

P

P

P

¿Cuál sería el precio de la acción, si el número de dividendos anuales esperado es de 20?

� �� �� �

� �� �

� ��

304.521.689,

0,86666* 305.217.391,

13334,01*11500,0

000.600

90417,01*11500,0

000.600

200,01085,01

1*085,0200,0

000.600

20

20

��

��

��

���

��

���

� �

���

��

P

P

P

P

P

Serie uniforme equivalente a cantidades que varían de manera uniforme (gradientes)

Suponga que se tiene un flujo de caja que se muestra en la Figura 2.21:

Figura 2.21

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[59]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Para encontrar la equivalencia entre una serie de sumas futuras cuyo valor aumenta gradualmente en la cantidad g, y una serie uniforme, se utiliza la expresión:

� �

� �

����

11

1ni

ni

gA (7)

El nuevo diagrama será:

Figura 2.22

Ejemplo 2.18 Encontrar el equivalente en términos de una serie periódica uniforme anual, del si-guiente esquema (i=35%).

Figura 2.23

La serie original es equivalente a la suma de las siguientes dos series:

Figura 2.24

0 1 2 3 n-2 n-1 n…

A A A A A A

0 1 2 3 4 5 6

300 350

400 450

500 550

0 1 2 3 4 5 6

A

0 1 2 3 4 5 6

50 100

150 200

250

0 1 2 3 4 5 6

300

Relaciones de equivalencia más importantes

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[60] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 2

Figura 2.25

A2 = g[A/g, 0,35,6] = 50*(1,6698) = 83,4917

A = A1 + A2 = 300 + 83,4917 = 383,49 La representación del factor para hallar el valor de la serie uniforme es:

� � �

� �

����

11

1,,/ ni

ni

nigA

De esta forma, la fórmula para la equivalencia será:

� nigAgA ,,/�

0 1 2 3 4 5 6

50 100

150 200

250

0 1 2 3 4 5 6

300

A1=300 A2

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[61]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Resumen de las relaciones de equivalencia

R E S U M E N D E L A S R E L A C I O N E S D E E Q U I V A L E N C I A

En el Cuadro 2.5 se presenta un resumen de las principales relaciones de equivalencia:

Cuadro 2.5

Para encontrar Dado Factor Fórmula Excel

Valor futuro F

Valor presente P

� � �niniPF �� 1,,/ � niPFP ,,/

VF(i,n,VA)

Valor presente P

Valor futuro F

� � �ni

niFP�

�1

1,,/ � niFPF ,,/ VA(i,n,VF)

Valor futuro F

Serie uniforme A � � �

ii

niAFn 11

,,/��

� � niAFA ,,/

VF(i,n,A)

Valor presente P

Serie uniforme A

� � �� �n

n

ii

iniAP

���

1

11,,/ � niAPA ,,/

VA(i,n,A)

Serie uniforme A

Valor futuro F

� � � 11

,,/��

� ni

iniFA � niFAF ,,/

PAGO(i,n,0,F)

Serie uniforme A

Valor presente P

� � �� � 11

1,,/

��

�� n

n

i

iiniPA � niPAP ,,/

PAGO(i,n,P)

Serie uniforme A

Gradiente G

� � �

� �

����

11

1,,/ ni

ni

nigA � nigAg ,,/

Valor presente, gradiente creciente,

crecimiento constante

infinito

Dividendo del año 1 igual a

D

P= D/(k-g), donde k es

la tasa de descuento y g

el crecimiento

Valor presente, gradiente creciente,

crecimiento constante

finito

Dividendo del año 1 igual a D, número de años igual a N

donde k es la tasa de

descuento, g, la tasa de

crecimiento y N, el

número de años

O B S E R V A C I O N E S R E S P E C T O A L A U T I L I Z A C I Ó N D E L A S R E L A C I O N E S D E E Q U I V A L E N C I A

Algunas observaciones para tener en cuenta al aplicar las relaciones de equivalencia cuyo resumen se acaba de presentar:

� �� �� � ��

���

��

���

� �

���

��

��

��

����

111*

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[62] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 2

a)� Se supone la reinversión de los intereses. Se estarían pagando intereses sobre in-tereses (interés compuesto en oposición al interés simple).

b)� Las relaciones de equivalencia suponen que los intereses se pagan período venci-do; si ese no es el caso no se pueden utilizar directamente. Para el pago de in-tereses anticipados habría que encontrar las equivalencias correspondientes, tal y como se verá posteriormente.

c)� Para la consideración de pagos anticipados en lugar de pagos vencidos, algunas calculadoras y hojas de cálculo permiten hacer fácilmente la conversión, haciendo la indicación correspondiente, sin que el usuario tenga que realizar cálculos adi-cionales.

d)� Las relaciones de equivalencia suponen que la tasa de interés permanece cons-tante durante todo el tiempo del flujo que se está analizando. Esta suposición era crítica cuando no existían las hojas de cálculo, que permiten realizar los cómputos necesarios en el caso de que la tasa de interés varíe, como es usual en una situa-ción de la vida real.

e)� Si la tasa de interés varía período a período, para traer a valor presente una suma futura Fn, al final del período n, habría que utilizar la expresión general, con los factores de descuento individuales para cada período; esto es:

� � � � � � � � � � � � � �� �nnnJ

n

iiiiiii

FP

��������

�� 1*1*1...*1*...*1*1*1 12321

E J E R C I C I O S R E S U E L T O S

Los siguientes seis ejercicios se presentan para ilustrar en forma resumida la utilización de las relaciones de equivalencia:

1. Suponga un fondo que reconoce un interés del 1.5% mensual. Se van a hacer 48 depósitos al fondo por un valor de $100.000 mensuales durante los próxi-mos 4 años. ¿Cuánto se acumularía en el fondo si el primer depósito se hace dentro de un mes a partir del momento en que la persona se afilia al fondo de inversión?

Para la solución de este problema se aplica directamente la fórmula para en-contrar el equivalente futuro de una serie uniforme mensual, por valor de $100.000, con una tasa de interés del 1.5% mensual, durante 48 períodos de un mes.

� �� 521.956.656529,69*000.100

015.01015,01

*000.100

48

48

48

��

���

F

F

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[63]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ejercicios resueltos

2. Para el caso del ejemplo anterior suponga, como es usual, que el primer de-pósito se hace inmediatamente.

No se puede aplicar directamente la fórmula anterior, ya que los pagos se hacen anticipados y no vencidos. Con pequeñas adaptaciones, se puede resol-ver el problema, para lo cual existirían diferentes alternativas. En este ejemplo, se van a considerar dos de ellas.

La más sencilla consistiría en mirar la serie de pagos un período atrás de la fe-cha cero (fecha -1). Desde ese punto del tiempo se ven 48 pagos vencidos, que se acumulan en el mes 47, con un valor total de 6.956.521. Para llevar el valor anterior al mes 48, simplemente habría que multiplicar por (1+0,015), obteniendo un valor acumulado al final del mes 48 de 7.060.869.

Otra forma de resolver el problema sería la siguiente:

Lleve el primer pago a la fecha 48, utilizando la relación 100.000*(1.015)48, lo cual daría 204.347,82. Lleve los 47 pagos restantes, vencidos, si se mira la se-rie de 47 pagos desde la fecha cero, a la fecha 47, utilizando la fórmula correspondiente para n=47, pago de 100.000 y tasa de interés del 1,5% men-sual; esto es,

� �� 194.755.6

015,01015,01

*000.10047

47 ���

�F

Lleve a la fecha 48 el valor anterior, multiplicando por (1+0.015), para obtener 6.856.521,93. El valor acumulado por este segundo método sería igual a: F48 = 6.856.521,93 + 204.347,82 = 7.060.869

Se deja al lector, como ejercicio, encontrar otro método equivalente para re-solver este problema.

3. El dividendo de una empresa para el primer año va a ser de $5.000 por acción,

y se supone que para los siguientes años crece al 18%. El pago de los dividen-dos cada año, se va a concentrar al final del año. ¿Cuál sería el precio actual de la acción si la tasa de interés de oportunidad es del 28% anual y el primer pa-go de dividendos se hace exactamente dentro de un año, y así sucesivamente?

Aplicando la fórmula deducida de crecimiento constante que se denomina co-mo modelo de Gordon, se obtendría:

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[64] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 2

� � � � 000.5018,028,0

000.5�

��

��

gkD

P

El precio actual de la acción sería de $50.000.

4. Un préstamo de $20.000.000 a 48 meses con un interés mensual del 2,2%,

que se paga mes vencido. La cuota mensual que se va a pagar va a ser unifor-me o constante durante los 48 meses y comprende tanto amortización a capital como intereses. ¿Cuál sería la cuota mensual a pagar?

Como los pagos se hacen vencidos y se realizan 48 pagos iguales, se puede encontrar el valor de la cuota a pagar utilizando la fórmula de la equivalencia entre una suma presente y una serie uniforme de 48 pagos mensuales. Para este caso, P = 20.000.000, i = 2,2%, n = 48.

� �� �� � � � 0622672,0

842123,1*

022,01*22,0

1022,01*000.000.20

48

48

MM ��

���

46138,29*000.000.20 M�

Despejando M, se obtiene el valor de la cuota mensual igual a $678.854

5. Se compra un activo por valor de $100.000.000 y se va a colocar en un con-trato de leasing con una opción de compra del 20% al final del contrato, el cual tiene una duración de 3 años. Los pagos son mensuales, pero vencidos (el primer pago se hace dentro de un mes); la tasa de interés que la empresa de leasing quiere cobrar es del 2.5% mensual; ¿cuál debería ser el canon mensual de arrendamiento, si el mismo va a permanecer constante durante la duración del contrato?

Valor del activo en la fecha 0 = 100.000.000

Valor de la opción de compra en el mes 36 = 20.000.000

Valor actual del activo menos el valor presente de la opción de compra (VNA)

� �53,125.778.91

025,01

000.000.20000.000.100 36 �

���VNA

Este valor se hace equivalente a una serie uniforme de 36 pagos mensuales iguales (canon de arrendamiento), que por pagarse vencidos (primer pago al final del primer mes) permite aplicar directamente la fórmula:

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Ejercicios para resolver

� �� �

55625,23*025,01025,0

1025,01*53,125.778.91

36

36

MM ��

���

Despejando M, se obtiene: M = $3.896.126,14, como canon de arrendamiento mensual.

6. ¿Cómo variaría el problema anterior, si el primer pago se hace inmediatamen-

te, esto es, el pago se hace por anticipado?

� �53,125.778.91

025,01

000.000.20000.000.100 36 �

���VNA

Este valor se hace equivalente a una serie uniforme de 36 pagos mensuales iguales (canon de arrendamiento), que por pagarse adelantados (primer pago en la fecha cero) no permite aplicar directamente la fórmula.

Para resolver este problema, se resta el primer pago del VNA, encontrado pre-viamente, y el valor resultante se hace equivalente a una serie de 35 pagos vencidos, también de valor M. En términos notacionales:

� �� �

145157,23*025,01*025,0

1025,01*53,125.778.91

35

35

MMMMVNA ��

������

Despejando M, se obtiene:

91.778.125,53 = 24,145157*M

M = $3.801.098 de canon mensual, pagadero por anticipado.

E J E R C I C I O S P A R A R E S O L V E R

1.� Si la tasa de interés de oportunidad es del 25% anual, ¿cuál es el equivalente

futuro dentro de 6 años de una suma actual de $100.000? ¿Cómo cambiaría el equivalente futuro si la tasa de interés de oportunidad disminuye al 20%. ¿Cómo cambiaría si la tasa de interés de oportunidad fuera del 35%? ($298.598,40; $381.470,73; $605.345,51).

2.� Si la tasa de interés de oportunidad es del 2,5% mensual, ¿cuál es el equiva-lente futuro dentro de 2 años de una suma presente de $100.000 invertida hoy? ¿Cómo cambiaría su respuesta si los intereses se liquidan trimestre venci-do, y la tasa de interés de oportunidad es del 7,5% trimestral? ($180.872,59; $178.347,78).

3.� Suponga un flujo de fondos durante 6 años, con los siguientes valores para cada año, que se supone ingresan al final del año: $1.500.000; $2.000.000;

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[66] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 2

$2.500.000; $3.000.000; $3.500.000; $4.000.000. Su tasa de interés de opor-tunidad es del 25% anual. Usted tiene derecho a recibir ese flujo o a cederlo a un tercero. ¿Cuánto debería cobrar como mínimo, por ceder el flujo de fondos a un tercero? ($7.184.256,00).

4.� ¿Cómo cambiaría el problema anterior si su tasa de interés de oportunidad fuera del 22%? ¿Y si la misma fuera del 30%?. ¿Qué conclusiones sacaría de los resultados encontrados? ($ 7.812.307,17; $ 6.296.933,44).

5.� Si la tasa de interés de un fondo es del 24% anual, ¿cuánto debe invertir al final de cada año durante los próximos 5 años, para acumular al final de dicho período una suma de $50.000.000? ¿Cómo cambiaría su respuesta si los de-pósitos se hacen mensualmente y la tasa de interés mensual es del 2%? ($6.212.385,74; $438.398,29).

6.� Suponga un fondo de inversión que reconoce un interés mensual del 2,1%. Usted planea ahorrar una suma de $50.000.000 al final de 4 años, haciendo 48 depósitos iguales en ese fondo, al final de cada mes, el primero de ellos al mes contado a partir de la fecha actual. ¿Cuál debería ser el monto del depósi-to a realizar? ($613.438,72).

7.� ¿Cómo cambiaría el valor del depósito en el problema anterior si se hacen los mismos 48 depósitos, pero el primero de ellos se hace hoy (fecha “cero”) y así sucesivamente? ($600.821,47).

8.� Una empresa tiene que pagar una indemnización con un valor actual (fecha “cero”) de $100.000.000. Se ha llegado a un acuerdo entre las partes para pagar esa indemnización en 36 pagos mensuales iguales, el primero de los cuales se hará dentro de un mes. Así mismo, se ha acordado como tasa de in-terés a reconocer una del 2,5% mensual. ¿Cuál debería ser el monto de cada pago mensual? ($4.245.158).

9.� ¿Cómo cambiaría el valor del pago mensual en el problema anterior si se hacen los mismos 36 pagos, pero el primero de ellos se hace hoy (fecha “ce-ro”) y así sucesivamente? ($4.141.617,24).

10.� Una compañía de leasing adquiere un activo que implica una inversión de 30.000.000. Lo arrienda a una empresa en forma tal que le permita obtener un rendimiento (antes de impuestos) mensual del 2,8%. Si la vida del activo es de 4 años, con un valor de salvamento nulo, ¿cuál deberá ser el monto del arrendamiento que se debe cobrar? ($1.143.888,43).

11.� Se adquiere un activo con un desembolso de $50.000.000; la vida útil del acti-vo es de 10 años; su valor de salvamento es de $300.000. ¿Cuál es el costo económico equivalente anual por la utilización de ese activo? Suponga una ta-sa de interés de oportunidad del 30%. ($16.166.133,95).

12.� ¿Cuál es el costo económico de utilizar un activo que tiene un valor de $100.000.000, una vida útil de 5 años y un valor de salvamento de $5.000.000? Suponga una tasa de interés de oportunidad del 30%. ($40.505.247,09).

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[67]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ejercicios para resolver

13.� En un fondo que da un rendimiento del 6% trimestral, ¿cuánto se debe depo-sitar al final de cada trimestre para acumular $10.000.000 dentro de cuatro años? ($389.521,44).

14.� El mismo caso del problema anterior, pero cuando los depósitos se hacen al comienzo del trimestre. ($367.473,05).

15.� ¿Cuál es el valor actual de la siguiente serie, a una tasa de interés del 35% (flujos en miles de pesos)? ($39,75).

Figura 2.26

16.� El dividendo de una empresa para el primer año va a ser de $16.000 por ac-ción, para los siguientes años se supone que va a crecer con un crecimiento nominal del 20%. El pago anual se va a concentrar al final del año ¿Cuál sería el precio actual de la acción si la tasa de interés de oportunidad es del 30% anual y el primer pago de dividendos se hace exactamente dentro de un año y así sucesivamente? ($160.000,00).

17.� ¿Cómo cambiaría el problema anterior si los dividendos se pagan al final de cada trimestre en cuatro pagos trimestrales iguales, manteniendo los demás supuestos del problema anterior? Esto es, en el primer año habría 4 pagos tri-mestrales de $4.000 cada uno, en el segundo año, 4 pagos trimestrales de $4.800 cada uno, y así sucesivamente. Además la tasa de interés de oportuni-dad trimestral es del 6,8% y el primer pago de dividendos se hace exacta-mente dentro de un trimestre, y así sucesivamente. ($175.279,12).

18.� Un préstamo de $40.000.000 a 36 meses con un interés mensual del 2,5%, que se paga mes vencido. La cuota mensual que se va a pagar va a ser uni-forme o constante durante los 36 meses y comprende tanto amortización a capital como intereses. ¿Cuál sería la cuota mensual a pagar? ($1.698.063,07).

19.� Un fondo de inversión le reconoce un interés del 2% mensual; usted va a hacer depósitos mensuales, durante los próximos 4 años. Los depósitos que hace cada año son iguales; sin embargo, de un año al otro se va a presentar un incremento del 3% en el valor del depósito. En el primer año se hacen doce depósitos de $200.000; en el segundo año 12 depósitos iguales de $206.000,

0 1 2 3 4 5 6 7 8

5 10

15 20

25 30

35 40

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[68] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 2

y así sucesivamente. ¿Cuánto se acumularía al final de los 4 años, si no se hace ningún retiro parcial? ($6.361.353,62).

20.� Se compra un activo por valor de $150.000.000 y se va a colocar en un con-trato de leasing con una opción de compra del 15% al final del contrato, el cual tiene una duración de 4 años. Los pagos son mensuales, pero vencidos (el primer pago se hace dentro de un mes); la tasa de interés que la empresa de leasing quiere cobrar es del 2,3% mensual; ¿cuál debería ser el canon mensual de arrendamiento, si el mismo va a permanecer constante durante la duración del contrato? ($4.932.014,89).

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[69]

Capítulo 3 INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVO P R E S E N T A C I Ó N

En el Capítulo 2, al presentar la equivalencia futura de una suma presente P, se de-

mostró que la misma se establecía a través de la relación � �mvm iPF �� 1* , donde iv co-

rresponde al interés para el período básico de pago de intereses y m corresponde al número total de períodos básicos. Por ejemplo, si se trata de un interés nominal del 24% anual, pagadero mes vencido, el interés nominal anual sería del 24%, que al pagarse mes vencido da un interés periódico iv del 2% mensual. Por ello, si se trata de encontrar la suma acumulada al final de 4 años a partir de una suma presente de $100.000, suponiendo que los intereses se pagan mes vencido, la expresión para su cálculo sería:

� � 707.25802,01*000.100 4848 ���F

Observe que si el interés nominal (in) es del 24% anual, el número de veces que se paga el interés mensual en un año, que denominaremos n, es igual a 12; por lo tanto:

n

ii nv �

m = 4*n

F48 = 100.000 * (1+ in/n)4*n = 100.000 * (1+0,24/12)12*4 = 258.707 En la tabla siguiente se muestra la suma acumulada al final de 4 años para diferentes valores del interés nominal y para diferentes frecuencias de pago de interés: diario (n=365), quincenal (n=24), mensual (n=12), trimestral (n=4), semestral (n=2) y anual (n=l). Allí se puede observar que para el mismo interés nominal anual, a mayor fre-cuencia de pago de intereses (mayor valor de n), mayor será la cantidad acumulada al final de los 4 años. Asimismo, se muestra que a medida que aumenta la tasa de interés nominal, se amplían las diferencias entre las sumas acumuladas para un mismo interés nominal, como función de la frecuencia de pago de intereses. Por ello, así se trate del mismo interés nominal, van a existir diferencias significativas dependiendo de la frecuencia de pago de intereses, las cuales son mayores a medida que aumentan las tasas de interés.

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[70] [70] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 3

Cuadro 3.1

Suma inicial 100.000

Plazo 4 años

Interés nominal 12,00% 16,00% 24,00% 28,00% 36,00% 42,00% 48,00%

Suma acumulada

Día vencido 161.595 189.621 261.087 306.354 421.770 536.038 681.236

Quincena vencida 161.414 189.246 259.927 304.505 417.580 528.815 669.293

Mes vencido 161.223 188.848 258.707 302.567 413.225 521.359 657.053

Trimestre vencido 160.471 187.298 254.035 295.216 397.031 494.079 613.039

Semestre vencido 159.385 185.093 247.596 285.259 375.886 459.497 558.951

Año vencido 157.352 181.064 236.421 268.435 342.102 406.587 479.785

La argumentación que hasta ahora se ha presentado, resumida en la tabla, permite introducir uno de los conceptos más importantes en el análisis financiero: el de interés efectivo equivalente a un interés nominal con una frecuencia dada de pago. I N T E R É S E F E C T I V O : P A G O S V E N C I D O S

Suponga una tasa de interés anual i. Si se coloca una cantidad P a la tasa de interés mencionada, al final del año se habrá acumulado una cantidad )1( iP � ; si se coloca la misma cantidad P, a una tasa de interés mensual de i/12, al final del año (con rein-

versión de los intereses) se acumularía una cantidad 12

121 �

��

��� �

iP .

En general se tiene que:

� �iPi

P �!���

��� � 1

121

12

, para i > 0

Esto se puede ver mediante un ejemplo. Suponga una tasa de interés anual i del 24%; entonces:

� � 26824,1024,11224,0

1 1212

�����

��� �

Mientras que: (1+ i) = (1+ 0,24) = 1,24 Con lo anterior se demuestra que, si el interés se computa mensualmente, la suma acumulada al final del año será mayor. Se puede encontrar una tasa efectiva anual

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[71] [71]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Interés efectivo: pagos vencidos

equivalente a una tasa nominal anual del i% con una periodicidad dada de pago, que permita acumular la misma suma al final del año. Teniendo en cuenta el concep-to de equivalencia, esa tasa efectiva (ie) se obtiene a partir de la siguiente igualdad:

i

+ = P +iP e

12

121)1( �

��

���

En otras palabras, la tasa efectiva corresponde a aquella tasa de interés que pagada una sola vez al final del año permitirá acumular la misma cantidad que una tasa no-minal pagadera por período vencido, cuando los intereses devengados se reinvierten. Por lo tanto, la expresión general para el interés efectivo correspondiente a uno no-minal anual igual a i, cuando éste se paga mensualmente y vencido, será:

112

112

����

���

i+ = ie

Ejemplo 3.1 Si se tiene un interés nominal i=36%, pagadero mensualmente al final del mes,

42576,011236,0

112

�����

��� + = ie

Para este caso, 42,576% será el interés efectivo anual correspondiente a un interés nominal del 36% anual, pagadero mensualmente.

El caso particular presentado en el ejemplo 3.1 se puede generalizar para cualquier período de tiempo y/o frecuencia de capitalización de intereses. Para ello se definen:

i = Interés nominal anual n = Número de períodos iguales en un año; frecuencia de pago del interés ie = Interés efectivo anual

iv = Interés vencido por período (id si es diario, it si es trimestral, etc.)

= (i/n) Forma de pago: vencido (al final del período)

� � +iPni

+ = P +iP nv

nn

e 11)1( ����

���

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[72] [72] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 3

Entonces, ie = (1+iv)n-1 (8) Ejemplo 3.2 ¿Cuál es el interés efectivo equivalente a un 32% anual pagado trimestralmente?

En el año se tienen 4 trimestres. De esta forma:

%05,363605,01432,0

14

������

��� ��ei

Ejemplo 3.3 ¿Cuál es el interés efectivo equivalente a un 36% anual pagado semestralmente?

%24,3939240,01236,0

12

������

��� ��ei

Ejemplo 3.4 Suponga una cuenta de ahorro de un banco, que le paga un interés efectivo anual del 19%; ¿cuál sería el interés diario equivalente a ese interés efectivo del 19%?

� � %1919,011 365 ����� diie

Despejando se obtiene:

� �365119,1 di��

� � %047,000047,0119,1 365/1 ����di

Nota: Observe que si en lugar de un interés efectivo anual del 19% se hablara de un 19% nominal anual, computado diariamente, el interés efectivo anual sería del:

%919,2020919,01365

19,01

365

������

��� ��ei

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[73] [73]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Interés efectivo: pagos anticipados

En el Cuadro 3.1, para diferentes valores del interés nominal y para diferentes fre-cuencias de pago, se observa que a mayor frecuencia de pagos, mayor el interés efec-tivo correspondiente a un mismo interés nominal. Por ello, el orden de mayor a me-nor interés efectivo, en términos de intereses pagados en forma vencida, sería: diario, quincenal, mensual, trimestral, semestral, anual.

Ejemplo 3.5 Encontrar el interés nominal anual que, pagadero trimestre vencido, es equivalente a un pago de interés del 18% nominal anual, pagadero mes vencido.

Primero se calcula el interés efectivo equivalente a un interés nominal del 18% anual, pagadero mes vencido:

%562,1919562,011218,0

112

������

��� ��ei

Luego, se encuentra el interés que, pagadero trimestre vencido, es equivalente a un interés del 19,562% efectivo anual.

� �41)19562,01( tvi���

Despejando,

� � 04567,0119562,1 4/1 ���tvi

Por lo tanto, el interés nominal anual que, pagadero trimestre vencido, es equivalente a un interés del 18% nominal anual pagadero mes vencido, sería igual a: 4* itv = 4*0,0456 = 0,18271=18,271% Por ello, un interés nominal anual del 18,271%, pagadero trimestre vencido, es equi-valente a un interés del 18% nominal anual, pagadero mes vencido. I N T E R É S E F E C T I V O : P A G O S A N T I C I P A D O S

Para el cálculo de intereses efectivos cuando se pagan por anticipado, se procede de la siguiente forma (caso de un préstamo): i = Interés nominal anual ia= Interés anticipado por período (iad si es diario, iat si es trimestral, etc.)

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[74] [74] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 3

ia = (i/n) Forma de pago: anticipado (al comienzo del período) Suponga el caso de un préstamo, a un período (p. ej., un trimestre, un mes), donde el interés se paga al comienzo del período. La situación se describe en el siguiente flujo:

Figura 3.1

Cantidad recibida: P – (in/n)*P Cantidad pagada al final del período: P Costo efectivamente pagado:

� �� � �PniP

PniPP

���

inicial Préstamoinicial préstamo-pagada Cantidad

Despejando se encuentra el costo que se paga realmente, en términos de su equiva-lente vencido:

a

a

alno

alno

e ii

n

in

i

i�

��

�1

)1( min

min

El interés anterior corresponde al equivalente vencido del interés cobrado anticipa-damente. Para el cálculo del interés efectivo se utilizará este interés en la expresión (8). Un ejemplo aclara lo que se acaba de exponer. Ejemplo 3.6

Suponga un interés del 36% nominal anual cuyos intereses se pagan por trimestre anticipado. Para su cálculo, se siguen tres pasos:

� �������

� �

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[75] [75]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Interés efectivo: pagos anticipados

1.� Interés trimestral: 0,36/4 = 0,09, pagado o cobrado (según sea el caso) por anti-cipado.

2.� Equivalente vencido para el interés pagado por anticipado:

%890,909890,0

436,0

1

436,0

������

����

��tvi

En otras palabras, un interés del 9% trimestral pagadero o cobrado por anticipado (comienzo del trimestre), es equivalente a uno del 9.890% pagadero o cobrado ven-cido (al final de trimestre). 3.� Interés efectivo

� � aeie .%83,454583,0109890,01 4 �����

Ejemplo 3.7

¿Cuál es el interés efectivo correspondiente a uno nominal del 32% pagadero por se-mestre anticipado? 1.� Interés semestral: 16% pagado por anticipado. 2.� Interés semestral vencido equivalente a uno del 16% semestral pagadero por an-

ticipado:

%048,1919048,016,01

16,0���

��

���

��svi

3.� Interés efectivo:

� � %72,414172.0119048,01 2 �����ei

Ejemplo 3.8

¿Cuál es el interés efectivo correspondiente a un interés nominal del 30%? si los in-tereses se pagan:

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[76] [76] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 3

1.� Mes vencido:

� � %49,343449,01025,011

1230,0

1 1212

���������

��� ��ei

2.� Trimestre vencido:

� � %55,333355,01075,011430,0

1 44

���������

��� ��ei

3.� Día vencido:

� � %97,343497.01000822,011365

30,01 365

365

���������

��� ��ei

4.� Trimestre anticipado:

a)� Interés trimestral anticipado: ita= 0,075 b)� Interés trimestral vencido equivalente:

%108,808108,0075,01

075,0���

��

���

��tvi

c)� Interés efectivo:

� � %59,363659,0108108,01 4 �����ei

5.� Semestre anticipado:

a)� Interés semestre anticipado: isa= 0.15 b)� Interés semestre vencido equivalente:

%647,1717647,015,01

15,0���

��

���

��svi

c)� Interés efectivo:

� � %41,383841,0117647,01 2 �����ei

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[77] [77]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Interés efectivo: pagos anticipados

Ejemplo 3.9

¿Cuál es el interés nominal que, pagadero mes vencido, es equivalente a un interés del 20% nominal anual, pagadero trimestre anticipado? Primero se calcula el interés que, pagadero trimestre vencido, es equivalente a un pago trimestral anticipado del 5%.

%263,505263,005,01

05,0

41

4 �����

���

��

����

����

��

n

n

i

i

itv

Ahora se calcula el interés efectivo anual equivalente a un pago trimestral vencido del 5,263%, que a su vez es el interés efectivo, correspondiente a un interés nominal del 20% pagadero trimestre anticipado.

� � %773,2222773,0105263,01 4 �����ei

En el siguiente paso, se calcula el interés que, pagadero mes vencido, es equivalente a un interés efectivo del 22,773%.

� � 22773,11 12 �� mi

de donde, imv = 0,01724 = 1,7244%

Por lo tanto el interés nominal que, pagadero mes vencido, es equivalente a un in-terés del 20% nominal anual, pagadero trimestre anticipado, sería igual a:

12*0,01724 = 0,20693 = 20,693% Entonces, un interés del 20,693% nominal anual pagadero mes vencido es equivalen-te a un interés del 20% nominal anual pagadero trimestre anticipado. En el siguiente cuadro se muestra el ordenamiento para diferentes tasas de interés nominal y para diferentes frecuencias de pago de interés (vencidos y anticipados):

�������

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[78] [78] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 3

Cuadro 3.2 Intereses efectivos�

Interés nominal 12,00% 16,00% 24,00% 28,00% 36,00% 42,00% 48,00%

Año anticipado 13,64% 19,05% 31,58% 38,89% 56,25% 72,41% 92,31%Semestre anticipado 13,17% 18,15% 29,13% 35,21% 48,72% 60,23% 73,13%Trimestre anticipado 12,96% 17,74% 28,08% 33,68% 45,83% 55,85% 66,75%Mes anticipado 12,82% 17,48% 27,43% 32,75% 44,12% 53,35% 63,21%Quincena anticipada 12,78% 17,41% 27,28% 32,53% 43,72% 52,76% 62,40%Continuo 12,75% 17,35% 27,12% 32,31% 43,33% 52,19% 61,60%Día vencido 12,75% 17,35% 27,11% 32,30% 43,31% 52,16% 61,56%Quincena vencida 12,72% 17,29% 26,97% 32,10% 42,95% 51,64% 60,84%Mes vencido 12,68% 17,23% 26,82% 31,89% 42,58% 51,11% 60,10%Trimestre vencido 12,55% 16,99% 26,25% 31,08% 41,16% 49,09% 57,35%Semestre vencido 12,36% 16,64% 25,44% 29,96% 39,24% 46,41% 53,76%Año vencido 12,00% 16,00% 24,00% 28,00% 36,00% 42,00% 48,00%

Los valores que se muestran en la tabla permiten las siguientes conclusiones:

a)� Para una misma tasa de interés nominal, el ordenamiento de mayor a menor interés

efectivo es: año anticipado, semestre anticipado, trimestre anticipado, mes anticipado, quincena anticipada, interés continuo, día vencido, quincena vencida, mes vencido, trimestre vencido, semestre vencido y año vencido.

b)� Para una misma tasa de interés nominal, las diferencias existentes para diferentes fre-

cuencias de pago se aumentan en la medida en que se incrementa la tasa de interés nominal.

c)� En el caso colombiano, donde es usual cobrar intereses anticipados, las diferencias

fueron muy grandes en la época (período comprendido entre 1985-1998) cuando los intereses nominales fluctuaron entre el 30% y el 48% nominal anual. Hoy, con intereses más bajos, las diferencias han disminuido significativamente.

I N T E R E S E S E N D Ó L A R E S O E N U N I D A D E S D E V A L O R R E A L ( U V R )

Para el cálculo del interés efectivo en pesos de una cuenta en dólares, se utiliza la si-guiente expresión, cuya deducción se deja al lector como ejercicio: (1+Rent efectiva anual en pesos) = (1+Rent efectiva anual en dólares)*(1+Devaluación efectiva anual) Con mucha frecuencia, para calcular la rentabilidad efectiva en pesos, se suma la de-valuación a la rentabilidad efectiva en dólares, lo cual es un error, que aumenta con el incremento de la tasa de interés y/o de la devaluación.

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[79] [79]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Intereses en dólares o en unidades de valor real (UVR)

En el caso de créditos en unidades de valor real, se tendría una expresión similar, te-niendo en cuenta que la UVR se ajusta por la inflación: (1+Costo efectivo anual en pesos) = (1+Costo efectivo anual en UVR)*(1+ Inflación efectiva anual) Con mucha frecuencia, para calcular la rentabilidad efectiva en pesos, se suma la in-flación a la rentabilidad efectiva en UVR, lo cual también es un error, que aumenta con el incremento de la tasa de interés en UVR y/o con la inflación.

Ejemplo 3.10

Suponga un Certificado de Depósito a Término, CDT, en dólares con un rendimiento del 5% nominal anual pagadero semestre vencido. La devaluación efectiva anual proyectada es del 12%. ¿Cuál sería la rentabilidad efectiva en pesos?

Rentabilidad efectiva anual en dólares = � � %0625,5050625,01205,01 2 ����

Devaluación efectiva anual = 12% Rentabilidad efectiva en pesos = � � � � %67,171767,0112,01*050625,01 �����

La rentabilidad efectiva en pesos del CDT en dólares sería del 17,67%

Ejemplo 3.11 Suponga que una entidad financiera en el exterior ofrece un rendimiento en dólares del 7,5% nominal anual pagadero trimestre vencido. La devaluación efectiva anual proyectada es del 4% efectiva anual. ¿Cuál sería el rendimiento equivalente efectivo anual en pesos?

Rentabilidad efectiva anual en dólares = � � %7136,7077136,014075,01 4 ����

Devaluación efectiva anual = 4% Rentabilidad efectiva en pesos = � � � � 12022,0104,01*077136,01 ����

La rentabilidad efectiva en pesos del CDT en dólares sería del 12,0221% �Ejemplo 3.12

Suponga un crédito en unidades de valor real (UVR) con un costo efectivo del 12% en UVR, con una inflación proyectada para el año del 10% efectivo anual. ¿Cuál es el costo efectivo del crédito en pesos?

� � � � 1 anualefectiva Inflación1* UVR en efectivo Costo+1pesos en efectivo Costo ��� � � � � %20,231 10,01* 0,12+1pesos en efectivo Costo ����

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[80] [80] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 3

Ejemplo 3.13

Suponga un crédito en unidades de valor real (UVR) con un costo del 10,55% NASV (nominal anual semestre vencido) en UVR, con una inflación proyectada para el año del 6,5% efectivo anual, ¿Cuál es el costo efectivo del crédito en pesos?

Costo efectivo en UVR = � � %8283,10108283,0121055,01 2 ���� � � � � 1 anualefectiva Inflación1* UVR en efectivo Costo+1pesos en efectivo Costo ��� � � � � %0320,181065,01* 0,108283+1pesos en efectivo Costo ����

T A S A S D E I N T E R É S R E A L E S Y N O M I N A L E S . C R E C I M I E N T O S R E A L E S Y N O M I N A L E S

Suponga la siguiente notación: iR = tasa de interés efectiva en reales iN = tasa de interés efectiva en nominales inf = Inflación efectiva anual

La relación existente entre tasas de interés nominales y tasas de interés reales está dada por la siguiente expresión:

inf)+(1 * )i+(1 = )i+(1 RN

A su vez, suponga la siguiente notación: gR = crecimiento efectivo en reales gN = crecimiento efectivo en nominales inf = Inflación efectiva anual

La relación existente entre el crecimiento efectivo en nominales y el crecimiento efec-tivo en reales está dada por la siguiente expresión:

inf)+(1 * )g+(1 = )g+(1 RN

Algunos ejemplos aclaran lo que se acaba de exponer:

Ejemplo 3.14 Suponga una tasa real efectiva del 8% y una inflación anual del 10%. ¿Cuál sería la tasa efectiva en nominales?

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[81] [81]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Interés continuo

18,80%0,18801-0,10)+(1 * 0,08)+(1 = iN �� Nuevamente, se comete una equivocación cuando a la tasa en reales se suma la infla-ción, para encontrar la tasa de interés en nominales. El error aumenta con el aumento de la tasa de interés y/o con el aumento de la inflación.

Ejemplo 3.15 El pronóstico de crecimiento de la economía para el próximo año es del 4% efectivo en reales, y la inflación proyectada para el próximo año es del 10%. ¿Cuál sería el crecimiento proyectado de la economía en nominales?

14,40%0,14401-0,10)+(1 * 0,04)+(1 = gN ��

I N T E R É S C O N T I N U O

En el mundo de los negocios no es usual cobrar un interés continuo. Sin embargo, esta modalidad se utiliza con alguna frecuencia en documentos académicos. Una forma simple de aproximarse al interés continuo es ir disminuyendo el período de pa-go o aumentando la frecuencia de pago, hasta que la primera llegue a cero y la se-gunda a infinito. A manera de ejemplo, mes vencido (frecuencia: 12 meses); día ven-cido (frecuencia: 365 días); hora vencida (frecuencia: 8.760 horas); minuto vencido (frecuencia: 525.600 minutos). Con el fin de encontrar la expresión para el interés continuo, se hacen las siguientes consideraciones: La fórmula general para encontrar el equivalente futuro de una suma presente dentro de k años, si los intereses se pagan en n períodos cada año, es:

nk

nkn n

iPF

*

1* ���

��� ��

Si el interés se liquida diariamente (día vencido), la expresión anterior se convierte en:

kn

ki

PF365

365 3651* �

���

� ��

Recordando que,

kikn

n

ne

ni

Lim ����

��� �

"#1

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[82] [82] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 3

donde e = 2,71828, corresponde a la base de los logaritmos naturales; por lo tanto, si n tiende a infinito (computación continua del interés), y se utiliza un interés i calcula-do continuamente, el valor futuro dentro de k años de una suma presente P estaría dado por:

ki

k ePF *�

Si k=1, entonces iePF *1 �

Por ello, para calcular el interés efectivo correspondiente a un interés nominal del i%, computado continuamente, se utilizaría la expresión:

� � ie ei ��1 , donde i es el interés nominal anual.

Ejemplo 3.16 ¿Cuál es el interés efectivo, correspondiente a un interés nominal anual del 24%, computado en forma continua?

%12.272712.0124.0 ���� eie

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[83] [83]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Resumen

R E S U M E N

En el Cuadro 3.3 se muestran, a manera de resumen, las relaciones principales para calcular intereses pagaderos en forma vencida y en forma anticipada.

Cuadro 3.3

Para encontrar Dado Fórmula

Interés vencido por período, iv

Interés nominal anual, i Forma de pago: final del período n

iiv �

Interés anticipado por período, ia

Interés nominal anual, i Forma de pago: principio del período n

iia �

Interés vencido por período, iv

Interés anticipado por período, ia � � a

av i

i

nin

ii

��

��

11

Interés efectivo anual, ie

Interés vencido por período, iv � � 11 ��� nve ii

Interés efectivo anual, ie

Interés anticipado por período, ia

1.Interés vencido por período 2.Interés efectivo por período

� � 11 ��� nve ii

Interés efectivo en pesos, ie$

Interés efectivo (anual) en dólares (ieUS$) y devaluación efectiva anual (dev)

� � � � � � dev+i+i usee �� 1*11 $$

Interés efectivo en pesos, ie$

Interés efectivo (anual) en UVR(ieUVR) e inflación efectiva anual (inf)

� � � � � �inf1*11 $ �� eUVRe +i+i

Tasa de interés no-minal, iN

Tasa efectiva (anual) de interés real (iR) e inflación efectiva anual (inf)

� � � � � �inf1*11 �� RN +i+i

Tasa de crecimiento nominal, gN

Tasa de crecimiento (anual) en reales (gR) e inflación efectiva anual (inf)

� � � � � �inf1*11 �� RN +g+g

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[84] [84] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 3

E J E R C I C I O S R E S U E L T O S

La solución de los siguientes ocho ejercicios resume la aplicación de los conceptos aprendidos en este capítulo. 1.� ¿Cuál es el interés efectivo de un préstamo en pesos, con una tasa de interés

nominal anual del 24%, que se cobra trimestre anticipado?

Interés trimestre vencido equivalente: %38298,60638298,006,01

06,0���

��

���

��tvi

� � %082,2828082,010638298,01 4 �����ei

El interés efectivo del préstamo en pesos es del 28,08%.

2. ¿Cuál es el interés nominal anual que, pagadero trimestre vencido, es equivalente

a un interés del 18% nominal anual, pagadero semestre anticipado? Primero se encuentra el interés efectivo equivalente a un interés del 18% nominal

anual, pagadero semestre anticipado:

Interés semestre vencido equivalente: %89011,90989011,009,01

09,0���

��

���

��svi

Interés efectivo anual: � � %758,2020758,010989011,01 2 �����ei

Interés trimestre vencido equivalente: � � %8284,4120758,01 4/1 ����tvi

Interés nominal anual, pagadero trimestre vencido: 4*0,048284% = 0,19313 = 19,313% Por lo tanto, un interés del 19,313% nominal anual pagadero trimestre vencido es equivalente a un interés del 18% nominal anual pagadero semestre antici-pado.

3. ¿Cuál es el interés efectivo en términos nominales equivalente a un interés efecti-

vo en términos reales del 10%, si la inflación efectiva actual es del 10%?

1,21 0,10)+(1 * 0,10)+(1 = )i+(1 N �

Por lo tanto, el interés efectivo en términos nominales sería del 21%, diferente a sumar la tasa efectiva real y la inflación, lo cual daría un 20%.

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[85] [85]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ejercicios resueltos

4. ¿A qué es equivalente, en términos nominales, un crecimiento de la economía del 3,8% anual en términos reales, si la inflación proyectada es del 11% efectivo anual?

1,152180,11)+(1 * 0,038)+(1 = )g+(1 N �

Por lo tanto, el crecimiento en términos nominales sería del 15,218% efectivo anual, diferente a sumar el crecimiento real y la inflación, lo cual daría un 14,8%.

5. En el capítulo anterior se encontró una expresión cerrada para el valor presente

de una serie infinita que crece de un período al siguiente con un modelo de cre-cimiento constante. La fórmula encontrada conocida con el nombre del modelo de Gordon, es:

gk

DP

�� 1

Con frecuencia surge una discusión respecto de si se deben utilizar valores nomi-nales o valores reales. No importa si se trabaja con valores reales o nominales, siempre y cuando se sea consistente; esto es, si se trabaja con valores reales, los tres términos en la fórmula, D1, k y g, deben estar expresados en valores reales; si se trabaja en valores nominales, los mismos tres términos deben estar expresados en valores nominales.

Demostrar que el resultado es el mismo, trabajando en valores nominales o en valores reales, siempre y cuando se sea consistente en los términos definidos en el párrafo anterior.

Las relaciones entre tasas de interés y crecimientos nominales y reales serían las siguientes: � � � � � �inf1*11 �� RN +k+k

� � � � � �inf1*11 �� RN +g+g

Por lo tanto, � � � � � �RRNN gkgk ���� *inf1

Entonces, la expresión para P, en nominales, sería:

� � � �� �RR

N

NN

N

gk

D

gk

DP

���

��

*inf1

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[86] [86] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 3

Recordando que � �inf1�ND

corresponde al valor del dividendo del primer año, ex-

presado en reales, que denominamos DR, la demostración quedaría completa, conduciendo a:

RR

R

gk

DP

��

6. ¿Cuál debería ser el interés en pesos de una cuenta de ahorro, que liquida in-

tereses diariamente, para que el interés efectivo fuera el mismo de una cuenta en dólares que paga un interés del 4,5% nominal anual, liquidado diariamente. La devaluación efectiva proyectada para el año en curso es del 12%.

%4,60250,04602511-365

0,045+1US$

365

�����

����enefectivoInterés

Interés efectivo de la cuenta en pesos= (1+0,046025)*(1+0,12)-1=0,171548 =17,1548% Interés diario en pesos de la cuenta de ahorro = (1+0,171548)(1/365)-1 = 0,0004339

Interés nominal de la cuenta de ahorro = 365*0,0004339 = 0,15836 = 15,836% Por lo tanto, la cuenta de ahorros debería ofrecer un interés del 15,836% nomi-nal anual, liquidado diariamente.

7. ¿Cuál es el costo efectivo en pesos de un préstamo en dólares con una tasa de

interés nominal anual del 8%, que se paga trimestre vencido? La devaluación del último trimestre ha sido del 3,5% efectivo y se va a utilizar para proyectar la de-valuación de todo el año.

Tasa efectiva del préstamo en dólares: %2432,80824322,01408.0

14

������

��� �

Devaluación proyectada para el año: � � 14,7523%= 0,147523 10,0351 4 ���

Costo efectivo del préstamo en pesos: (1,147523)*(1,0824322) - 1 = 0,242115 El costo efectivo del préstamo en pesos sería del 24,21%.

8. ¿Cuál es el costo efectivo en pesos de un préstamo en UVR, con una tasa del

12% nominal anual, pagadera mes vencido sobre UVR, si la inflación proyectada es del 10%?

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[87] [87]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ejercicios para resolver

Costo efectivo del préstamo en UVR: 12.682%0,126825112

0,121

12

������

��� �

Costo efectivo del préstamo en pesos = � � � � 0,239507 = 1- 0,10+1*0,126825+1

El costo efectivo del préstamo en pesos sería del 23,95%, bien diferente a sumar la tasa efectiva en UVR y la inflación efectiva, lo cual daría 22,68%.

E J E R C I C I O S P A R A R E S O L V E R

1. Considere un negocio en el cual usted invierte hoy $8.000.000, para recibir, en

forma garantizada, $8.300.000 dentro de dos meses. a)� ¿Cuál es la rentabilidad esperada en el negocio, para los dos meses del

mismo? (3,75%). b)� ¿Cuál es la rentabilidad efectiva del negocio? (24,71%). c)� ¿Se justificaría invertir en este negocio, si la tasa de interés de oportunidad

fuera del 20%? (Sí). 2. ¿Cómo cambiaría el negocio planteado en el problema 1, si se demoran 15

días, adicionales a los dos meses, en entregarle los $8.300.000 que le prome-tieron? (3,75%, 19,62%, No).

3. Suponga una inversión de $10.000.000. ¿Cuánto acumulará al final de tres años (suponiendo reinversión automática de intereses) en un fondo, con una tasa nominal anual de interés del 22%, si los intereses los pagan: a)� Día vencido ($19.344.082,69), año de 365 días. b)� Quincena vencida ($19.289.838,93), para 24 quincenas en el año. c)� Mes vencido ($19.232.624,38). d)� Trimestre vencido ($19.012.074,86). e)� Trimestre anticipado ($19.715.976,73). f)� Mes anticipado ($19.466.792.88).

4. Un fondo de inversión le ofrece un rendimiento del 20% efectivo anual. Usted va a hacer depósitos mensuales, el primero de los cuales se haría en la fecha de hoy (fecha cero); el valor de cada depósito mensual es de $100.000. Usted espera permanecer en el fondo de inversión por 3 años, haciendo 36 depósitos dé $100.000, ¿Cuál sería la suma acumulada al final de los 3 años, si usted no hace ningún retiro del fondo? ($ 4.828.026,46).

5. Usted está considerando invertir $5.000.000 en un CDT de un banco, para lo cual ha investigado 4 instituciones que le ofrecen las siguientes alternativas: a)� Una tasa de interés del 18% nominal anual pagadera trimestre anticipado. b)� Una tasa de interés del 18,5% nominal anual pagadera trimestre vencido. c)� Una tasa de interés del 18,2% nominal anual pagadera mes vencido. d)� Una tasa de interés del 17% nominal anual pagadera semestre anticipado.

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[88] [88] J A V I E R S E R R A N O

Capítulo 3

¿Cómo ordenaría las alternativas de inversión que le están ofreciendo los 4 bancos? ¿Cuál sería su selección? (Orden: a, b, c y d, selección: a).

6. ¿Cuál es el interés nominal anual que, pagadero semestre vencido, es equiva-lente a un interés del 21% nominal anual pagadero mes anticipado? (22,34%).

7. ¿Cuál es el interés nominal anual que, pagadero trimestre anticipado, es equi-valente a un interés del 24% nominal anual pagadero mes vencido?(23,07%).

8. ¿Cuál es el interés nominal anual que, pagadero semestre anticipado, es equi-valente a un interés del 22% nominal anual pagadero día vencido? (20,82%).

9. ¿Cuál es el interés nominal en pesos que, pagadero trimestre vencido, es equi-valente a un interés en dólares del 6% nominal anual pagadero mes vencido? Suponga una devaluación efectiva anual del 12,5%. (18,16%).

10. ¿Cuál es el interés nominal anual en dólares que, pagadero mes vencido, sería equivalente a un interés en pesos del 18% nominal anual pagadero trimestre anticipado? Suponga una devaluación efectiva del 12%. (7,10%).

11. ¿Cuál es el valor de las cuotas mensuales que se deben pagar a un concesiona-rio por un carro que vale $30.000.000 si se paga una cuota inicial del 40% y el concesionario financia el resto 3 años, con un interés efectivo del 28%? ($715.121,72).

12. Un crédito bancario a 3 años por valor de $20.000.000, con un interés efecti-vo del 28% anual, se va a amortizar en 36 cuotas mensuales iguales durante la vigencia del crédito; la primera cuota se paga un mes después del desembolso. ¿Cuál será el valor de la cuota a pagar cada mes? ($794.579,69).

13. Resuelva el problema anterior, suponiendo que las cuotas van a subir un 0,5% cada mes; esto es, la primera cuota que usted debe calcular sería igual a M; la segunda igual a M* 1,005; la tercera igual a M* 1,0100, y así sucesivamente. ($735.233,50).

14. Suponga un crédito en dólares, a 2 años, con una tasa de interés nominal anual del 10% en dólares, pagadera trimestre vencido. Para los próximos tres años se espera una devaluación efectiva anual del 12%. ¿Cuál sería el costo efectivo del crédito en pesos? ¿Cuál sería el riesgo de tomar ese crédito en dólares frente a un crédito en pesos? (23,63%, riesgo de la devaluación del peso frente al dólar).

15. Suponga una línea de crédito para financiamiento de vivienda en unidades de valor real (UVR), con una tasa de interés sobre UVR del 11% nominal anual pagadera mes vencido. La inflación esperada para los próximos años es del 11%. ¿Cuál sería el costo efectivo del crédito en pesos? (23,84%).

16. Una empresa va a pagar dividendos anuales una vez al final del año; el primer pago de dividendos, por valor de $35.000 por acción, se hará al año a partir de la fecha actual y así sucesivamente. Se espera que los dividendos en los próximos años crezcan a una tasa constante en reales del 3,5% anual; la infla-ción esperada para los próximos años es en promedio del 12%. La tasa de interés de mercado a la que se van a descontar los dividendos es del 28%

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[89] [89]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S �

efectivo anual (en nominales). Usando el modelo de crecimiento constante de los dividendos, ¿cuál sería el valor actual de la acción? ($289.735,10).

17. El Banco de la República fijó como tasa máxima de interés para financiamiento de vivienda una del 13% nominal anual pagadera mes vencido sobre unidades de valor real (UVR). La inflación esperada para el año en curso es del 11%. ¿Cuál sería la tasa de interés equivalente, para una línea de financiamiento en pesos, que cobra los intereses mensualmente? (20,73%).

18. Suponga una línea de crédito para pequeña y mediana empresa, con una tasa de interés real del 12% nominal anual, pagadera mes vencido. Se está trami-tando un crédito por valor de $30.000.000, que se va a pagar en 36 cuotas iguales durante la vigencia del crédito, la cual es de 3 años. ¿Cuál sería el valor de cada cuota, si se utiliza para su determinación la inflación proyectada para el próximo año, que es del 9%? ($1.126.178,54).

19. Un fondo de inversión reconoce un interés del 20% nominal anual, calculado en forma continua. Usted va a invertir $10.000.000 en ese fondo, los cuales va a dejar ahí por los próximos 3 años. ¿Cuál sería la cantidad acumulada al fi-nal de esos tres años? ($18.221.118,00).

20. Usted tiene tres alternativas de financiamiento: a)� Un crédito en dólares con una tasa de interés del 11% efectivo anual, li-

quidada mes vencido. La devaluación esperada es del 12%. b)� Un crédito en pesos, con una tasa de interés del 23,5% nominal anual,

pagadero mes vencido. c)� Un crédito en UVR, con una tasa de interés del 13% nominal anual, paga-

dero mes vencido. La inflación esperada es del 10%. ¿Cuál sería su selección? ¿Qué factores influyeron en la misma? (Selección: al-

ternativa a con un costo de financiamiento del 24,32%).

Ejercicios para resolver

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[91]

Capítulo 4

INDICADORES PARA MEDIR LA BONDAD ECONÓMICA DE UN PROYECTO DE INVERSIÓN La determinación de la viabilidad económica de un proyecto de inversión requiere la proyección del flujo de fondos del proyecto durante su vida útil y la construcción de un conjunto de indicadores para medir la bondad económica del proyecto. En este capítulo se aborda el tema de los indicadores más importantes para medir la bondad económica de un proyecto de inversión o de financiamiento, tales como valor presen-te neto, tasa interna de retorno, relación beneficio-costo y costo anual equivalente, enfatizando el alcance de los mismos y su interpretación, lo cual es especialmente importante para entender su utilización en el proceso de toma de decisiones. Inicial-mente no se va a discutir la construcción del flujo de fondos para medir la rentabilidad del proyecto en sí y la rentabilidad del capital propio aportado al proyec-to, tema que será abordado en el Capítulo 7 de este libro. La construcción de los indicadores para medir la bondad económica de un proyecto de inversión, que se presentan en este capítulo, es una extensión de los conceptos presentados en los capítulos 2 y 3 de este libro, y como tal la parte computacional es bastante fácil, especialmente si se dispone de ayudas tales como calculadoras finan-cieras y/o hojas electrónicas, por ejemplo Excel. Por ello, el aporte más importante de este capítulo está en la interpretación de cada uno de los indicadores, sus limitaciones y su utilización en el proceso de toma de decisiones, para evitar conclusiones equivo-cadas a las cuales se puede llegar si no se tienen claros los conceptos.

V A L O R P R E S E N T E N E T O

Definición e interpretación del valor presente neto

El valor presente neto es el resultado algebraico de traer a valor presente, utilizando una tasa de descuento adecuada, todos los flujos (positivos o negativos) relacionados con un proyecto. Ejemplo 4.1 Si la tasa de interés de oportunidad es del 35%, ¿cuál es el valor presente neto para el proyecto que corresponde al diagrama de flujo mostrado en la Figura 4.1, para un horizonte de 5 años? Los flujos se muestran al final de cada año.

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[92]

Capítulo 4

[92] J A V I E R S E R R A N O

Figura 4.1

VPN (i) = -1.000.000 + 500.000 [P/A, i = 0,35, n = 5]

� �nn

ii

i

���

���1

1)1(000,500000,000,1VPN

VPN (i) = -1.000.000 + 500.000 * 2,21996 = 109.980,7 Si la tasa de interés de oportunidad es del 35%, el valor presente neto del proyecto es de 109.980,7. La pregunta importante se relaciona con el significado de la cifra obte-nida anteriormente. El valor presente neto corresponde a una cifra relativa adicional a lo que se obtendría al invertir en las oportunidades convencionales (para el ejemplo, aquellas con un ren-dimiento del 35%). En términos generales, si el flujo de fondos de un proyecto descontado a la tasa de interés de oportunidad es igual a B (VPN(i = TIO) = B), entonces el valor de B sería la magnitud adicional de valor a precios de la fecha cero, que el proyecto generaría res-pecto a las oportunidades convencionales, que tienen un rendimiento igual a la tasa de interés de oportunidad. Esta interpretación se puede ver más clara en los siguien-tes cuatro puntos:

a)� Suponga que la inversión de una suma P durante un horizonte de tiempo dado

en las alternativas convencionales, con una tasa de interés de oportunidad dada, permite acumular al final de este período una cantidad FA.

b)� Por otro lado, se tiene un proyecto con una inversión de P pesos en la fecha cero

y con una vida útil igual al período considerado anteriormente. El flujo de fondos

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[93] [93]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Valor presente neto

del proyecto se descuenta a una tasa de interés igual a la tasa de interés de opor-tunidad y nos da un valor igual a B.

c)� Los flujos de caja que libera el proyecto reinvertidos a la tasa de interés de opor-

tunidad permitirían acumular, al final de la vida útil del proyecto, una cantidad FP. d)� La diferencia entre FP, la cantidad que permite acumular el proyecto, y FA, la can-

tidad que permiten acumular las oportunidades convencionales (FP - FA), traída a valor presente a la tasa de interés de oportunidad, sería igual a B, que es el valor presente neto del proyecto.

Para el ejemplo bajo análisis, la situación a que se hace referencia es:

a)� La inversión inicial de $1.000.000, hecha a la tasa de interés de oportunidad del

35%, permitiría acumular al final de los 5 años una cantidad igual a $4.484.033,43.

b)� El valor presente neto del proyecto descontado a la tasa de interés de oportuni-

dad del 35% resultó igual a $109.980,7. c)� Los flujos de caja liberados por el proyecto bajo análisis, reinvertidos a la tasa de

interés de oportunidad, permitirían acumular al final de los 5 años, que corres-ponde a la vida útil del proyecto, una cantidad igual a $4.977.190,62.

FP = 500.000 * [(1+0,35)5-1]/0,35 = 4.977.190,62

d)� La diferencia al final del año 5 entre lo que permite acumular el proyecto ($4.977.190,62) y lo que permite acumular la inversión en las oportunidades convencionales ($4.484.033,43) es igual a $493.157,19, que traída a valor pre-sente a la tasa de interés de oportunidad del 35% resulta igual a $109.908,7, que es precisamente el valor presente neto del proyecto bajo análisis.

En este caso, por invertir en el proyecto y no en las oportunidades convencionales se obtienen $109.980,7 adicionales (en pesos de la fecha 0) al valor presente que se tendría si en vez de invertir en el proyecto se invirtiera en las oportunidades conven-cionales de la empresa, esto es, en aquellas que determinan la tasa de interés de oportunidad. En otras palabras, si la tasa de interés de oportunidad del inversionista es del 35%, y alguien ofrece una prima para que se le ceda el proyecto anterior, el valor mínimo de dicha prima debería ser de $109.980,7. Si el costo de capital fuese del 35%, el proyecto anterior generaría una ganancia neta en términos de valor presente de $109.980,70; o lo que es lo mismo, la magnitud de

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[94]

Capítulo 4

[94] J A V I E R S E R R A N O

valor agregado a la empresa por el proyecto sería de $109.980,70. Esta sencilla inter-pretación del valor presente neto descontado a una tasa de interés igual al costo de capital es la base del concepto moderno de EVA1, que se analizará posteriormente. Por lo tanto, para definir la conveniencia económica de un proyecto de inversión se tiene la siguiente regla de decisión:

Si VPN > 0, el proyecto es conveniente, ya que agrega valor. Si VPN < 0, el proyecto no es conveniente desde el punto de vista económico, ya que destruye valor. Un VPN > 0, significa que el proyecto genera un beneficio adicional al que generan las oportunidades convencionales de la empresa (cuando se usa como tasa de des-cuento a la tasa de interés de oportunidad) o un beneficio económico neto con respecto al costo de financiación (tasa de descuento igual al costo de capital de la empresa). Por lo tanto, proyectos con valor presente neto positivo agregan valor a una empresa; lo contrario ocurre con proyectos con un valor presente neto negativo.

Caso ilustrativo

1.� Proyecto A: Suponga que se tiene una tasa de interés de oportunidad del 35% y considere un proyecto cuyos flujos de caja se pueden representar en el siguiente esquema (flujos en miles de pesos):

Cuadro 4.1

Año 0 1 2 3 4 5 6

Flujo (3.000) 1.000 1.500 2.000 2.500 2.800 3.000

VPN (i=35%) = 1.249.364,2 2.� Inversión B: Suponga que existe una alternativa que consiste en invertir

$3.000.000 al 35% de interés, con el flujo de caja mostrado en el Cuadro 4.2, en miles de pesos

Cuadro 4.2

Año 0 1 2 3 4 5 6

Flujo (3.000) 1.050 1.050 1.050 1.050 1.050 4.050

1 EVA, Economic Value Added, es una marca registrada de Stern Stewart & Co.

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[95] [95]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Claramente el proyecto de inversión que se muestra en el Cuadro 4.2 tiene un rendimiento del 35%.

La diferencia entre el proyecto A y esta inversión B en miles de pesos está dada por:

Cuadro 4.3

Año 0 1 2 3 4 5 6

Flujo 0.0 (50) 450 950 1.450 1.750 (1.050)

El valor presente de la diferencia, a una tasa del 35% será: VPN = 1.249.364,2 El valor presente de la diferencia permite interpretar al valor presente neto como una cantidad relativa, correspondiente al valor presente de la diferencia acumu-lada al final de la vida útil del proyecto, entre los flujos del proyecto y los de cualquier inversión cuyo rendimiento sea igual a la tasa de descuento utilizada (p. ej., la tasa de interés de oportunidad).

Variación del valor presente neto con la tasa de interés

Suponga que se está considerando el proyecto A del caso ilustrativo. El siguiente cua-dro muestra cuál sería el valor presente neto para el proyecto si cambia la tasa de interés de oportunidad:

Cuadro 4.4

Tasa de interés de oportunidad VPN (TIO)

0% 9.800.000,010% 5.790.925,120% 3.367.991,330% 1.818.106,535% 1.249.364,240% 778.272,750% 51.851,9 60% (473.468,8)70% (864.833,9)80% (1.164.010,7)90% (1.397.901,4)

En este caso se puede observar claramente cómo disminuye el valor presente neto cuando se incrementa la tasa de interés de oportunidad, como consecuencia del me-

Valor presente neto

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[96]

Capítulo 4

[96] J A V I E R S E R R A N O

nor peso que tendrían los flujos alejados en el tiempo. De modo simultáneo se obser-va el corte, cuando el valor presente neto pasa de positivo a negativo, que corresponde precisamente a la tasa interna de retorno del proyecto, concepto que se presenta y analiza posteriormente. La conclusión principal está relacionada con la menor probabilidad que tiene un proyecto de inversión de resultar factible desde el punto de vista financiero, cuando se aumentan las tasas de interés, enfatizando la importancia de tasas de interés bajas para motivar a que la gente invierta en proyec-tos de inversión, especialmente cuando se trata de reactivar una economía después de una recesión. En la Figura 4.2 se muestra la curva del valor presente neto como función de la tasa de descuento, para el proyecto que se ha venido analizando.

Figura 4.2 Valor Presente Neto, como función de la tasa de interés.

Proyecto de inversión

T A S A I N T E R N A D E R E T O R N O

Definición y cálculo de la tasa interna de retorno

La tasa interna de retorno corresponde a aquella tasa de interés que hace igual a cero (0) el valor presente neto de un proyecto.

Ejemplo 4.2 Para el ejemplo 4.1 se tendría: VPN (i) = -1.000.000+500.000[P/A, i, n = 5]

-2.000.000

0

2.000.000

4.000.000

6.000.000

8.000.000

10.000.000

12.000.000

0% 20% 40% 60% 80%

Val

or P

rese

nte

Net

o

Tasa de interés

100%

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[97] [97]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Por lo tanto, la tasa interna de retorno corresponde a aquella tasa de interés que sa-tisface la siguiente ecuación: 500.000 [P/A, i, n = 5] = 1.000.000 [P/A, i, n = 5] = 2 � �� �

21

115

5

��

��ii

i

Buscando la tasa de interés que hace válida la ecuación anterior se encuentra un valor i, igual a: 0,4104. Por consiguiente, la tasa interna de retorno correspondiente al ejemplo es 41,04%. En el pasado la tasa interna de retorno se obtenía a través de un proceso de prueba y error denominado interpolación, similar al que se describe en el Cuadro 4.4, lo cual era bastante dispendioso. Hoy las herramientas de computación han resuelto cualquier dificultad computacional para encontrar tanto el valor presente neto como la tasa interna de retorno.

Ejemplo 4.3

¿Cuál es la tasa interna de retorno para el proyecto A en el cuadro 4.1? La gráfica del valor presente neto, como función de la tasa de interés de oportunidad, muestra que el valor presente neto se vuelve igual a cero para una tasa de interés del 50,85%, que es precisamente la tasa interna de retorno, obtenida en este caso a través de una solución gráfica de la ecuación. En el caso del proyecto A en el cuadro 4.1, la tasa interna de retorno fue la solución a la siguiente ecuación: VPN (i)=0= -3000 +1.000/(1+i) +1.500/(1+i)2 + 2.000/(1+i)3 +…+3.000/(1+i)6

La ecuación anterior es una ecuación polinomial de grado seis, que puede tener seis posibles soluciones, no obstante que en la mayoría de proyectos existe una sola solución a la ecuación. La solución a la ecuación anterior para encontrar la tasa inter-na de retorno a través de Excel se hace utilizando la función TIR, que se cubrirá posteriormente.

Ejemplo 4.4

Encontrar la tasa interna de retorno para el proyecto que corresponde al siguiente diagrama de flujos:

Tasa interna de retorno

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[98]

Capítulo 4

[98] J A V I E R S E R R A N O

Figura 4.3

VPN = -10.000 + 250 [P/A, i, n = 6] + 10.000[P/F, i, n = 6] = 0

� �� � � �

000,101

1000,10

1

11250 66

6

��

� �

��

��

iii

i

Si i = 0,022 el lado izquierdo será igual a 10.166.90. Si i = 0,028 el lado izquierdo será igual a 9.836,40.

Por lo tanto, el valor de i que hace válida la ecuación se encuentra entre 0,022 y 0,028. Escogiendo un valor de i = 0,025 se obtiene un valor para el lado izquierdo igual a 10.000. Por lo tanto, la tasa interna de retorno para el proyecto en cuestión es del 2,5% (i = 0,025). En general para un proyecto de inversión con una vida útil de n años, y con flujos de fondos FJ, j=1,2,…,n-1, n, para cada uno de los años del proyecto, y una inversión I0 en la fecha cero, la expresión general para el valor presente neto, descontado a una tasa de interés i, sería la siguiente:

i)+(1F

+...+ i)+(1

F +

i)+(1F

+ i)+(1

F + I - = VNP(i) n

n3

32

210

Para encontrar la tasa interna de retorno se resuelve la siguiente ecuación:

0 i)+(1

F +...+

i)+(1F

+ i)+(1

F +

i)+(1F

+ I - nn

33

221

0 �

La ecuación anterior es una ecuación polinomial de grado n, que se resuelve a través de métodos numéricos (p. ej., interpolación o prueba y error), no obstante que hoy en día las ayudas computacionales existentes (calculadoras, hojas de cálculo) hacen que el método de solución sea relativamente transparente al usuario.

0 1 2 3 4 5 6

250

10.000

10.000

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[99] [99]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Sin embargo, no se puede olvidar que una ecuación polinomial de grado n puede tener hasta n raíces, tema que se volverá a plantear posteriormente. Interpretación de la tasa interna de retorno

Entonces, ¿cuál es el significado de la tasa de interna de retorno? La tasa interna de retorno es la rentabilidad de los fondos que realmente se encuentran invertidos en el proyecto, o la rentabilidad que el proyecto le permite generar a un peso, mientras el mismo se encuentre invertido en el proyecto. Con frecuencia se habla de la tasa interna de retorno como la rentabilidad del pro-yecto. En un sentido estricto esto será cierto si los fondos que libera el proyecto se reinvierten a una tasa de interés igual a esa tasa interna de retorno. Esto es, la rentabilidad final del proyecto durante un cierto período depende finalmente de la forma como se inviertan los fondos que libera el proyecto en fechas anteriores a su culminación. Como se mencionó anteriormente, la tasa interna de retorno es la rentabilidad del proyecto, interpretada como la rentabilidad que el proyecto le permite generar a un peso mientras el mismo se encuentre invertido en el proyecto. Por ello es necesario distinguir entre dos conceptos:

a)� La rentabilidad del proyecto interpretada, como se acaba de mencionar, esto es la

rentabilidad que el proyecto le permite generar a un peso mientras se encuentre invertido en el mismo.

b)� La rentabilidad de la inversión durante la vida útil del proyecto, que tiene en

cuenta lo que permite hacer el proyecto (generación de unos flujos de fondos) y la reinversión de los flujos fondos que libera el proyecto, que se hace precisamen-te a la tasa de interés de oportunidad.

Considere el proyecto de inversión que se muestra en el Cuadro 4.5:

Cuadro 4.5

Período Flujo

0 (4.500.000)1 2.000.0002 2.000.0003 2.500.0004 3.000.0005 3.500.000

Tasa interna de retorno

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[100]

Capítulo 4

[100] J A V I E R S E R R A N O

Para el proyecto anterior, la tasa interna de retorno se calcula a partir de la expresión:

0i)+(1

3.500.000

i)+(1

3.000.000+

i)+(1

2.500.000 +

i)+(1

2.000.000 +

i)+(12.000.000

+ 4.500.000 - = VNP(i)

543

2

Resolviendo la ecuación por prueba y error, o utilizando la función TIR de Excel, se obtiene: TIR = 0,4342 = 43,42% La interpretación de la tasa interna de retorno como la rentabilidad que el proyecto le permite generar a un peso mientras se encuentre invertido en el proyecto, se pue-de observar en el Cuadro 4.6 (se considera que el rendimiento de cualquier peso invertido en el proyecto es igual a la tasa interna de retorno):

Cuadro 4.6

Año Monto inversión, comienzo del año

(a)

Retiro al final del año

(b)

Intereses

(c)=(a)*0,4342

Retiro de capital al final del año

(d)=(b)-(c)

Saldo inversión

(a)-(d)

1 4.500.000 2.000.000 1.953.969 46.031 4.453.9692 4.453.969 2.000.000 1.933.981 66.019 4.387.9503 4.387.950 2.500.000 1.905.315 594.685 3.793.2654 3.793.265 3.000.000 1.647.094 1.352.906 2.440.3595 2.440.359 3.500.000 1.059.641 2.440.359 0

El siguiente ejemplo aclara aún más el concepto de la tasa interna de retorno.

Ejemplo 4.5

Figura 4.4

0 1 2 3

5,123

10,000

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[101] [101]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

La tasa interna de retorno, es del 25%, ya que: VPN(i =0,25) = -10.000 + 5.123 * [P/A,0,25,3] = 0

VPN(i =0,25) = -10.000 + 5.123 * 1,952 = 0

Cuadro 4.7

Período Saldo acumulado al principio del período

Intereses ganados durante el período

Saldo al final del período

Retiros al final del período

0-1 10.000,00 2.500,00 12.500,00 5.123,00 1-2 7.377,00 1.844,25 9.221,25 5.123,00 2-3 4.098,25 1.024,56 5.123,00 5.123,00

Esto aclara el significado de la tasa interna de retorno: como el interés compuesto que ganan los dineros que se mantienen invertidos en el proyecto, durante el tiempo que se mantengan invertidos. En este sentido, la tasa interna de retorno se interpreta como la rentabilidad interna del proyecto. ¿Cómo determinar la verdadera rentabilidad de la inversión? ¿Cuál es el rendimiento que se obtiene de los 10.000 durante los tres años que dura el proyecto? Para res-ponder estas preguntas se debe establecer cuál es la cantidad total de dinero que se puede acumular al cabo de 3 años al invertir 10.000 en el proyecto y reinvertir los dineros que se van liberando a la tasa de interés de oportunidad del inversionista (p. ej., 20%). Al finalizar el primer año se reciben 5.123, los cuales, reinvertidos a la tasa del 20% anual compuesto durante 2 años, acumulan:

� � 7.377,12 = (1,2)*5.123 0,2+1 * 5.123 22 �

Al final del segundo año se reciben 5.123 los cuales reinvertidos a la tasa del 20% anual durante 1 año, acumulan al final del período considerado:

� � 6.147,6= (1,2)*5.123 =0,2+1 * 5.123

La cantidad total acumulada al final del tercer año, con las posibilidades de reinver-sión que tiene nuestro inversionista, es igual a:

7.377,12 + 6.147,6 + 5.123 = 18.647,72

El proyecto de inversión resultante, considerado bajo las oportunidades de reinversión disponibles, será equivalente a:

Tasa interna de retorno

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[102]

Capítulo 4

[102] J A V I E R S E R R A N O

Figura 4.5

Para calcular la rentabilidad de los $10.000 durante los tres años, se procede de la siguiente forma:

10.000*(1+i)3 = 18.647,72 (1+i) = (1,864772)(1/3) = 1,2309 i = 0,2309 = 23,09%

El proyecto de inversión resultante, teniendo en cuenta el proyecto inicial y las opor-tunidades de reinversión disponibles para los flujos de caja que libera el proyecto, permite que el capital original tenga un rendimiento del 23,09% anual. En otras pala-bras, mientras un peso se encuentre invertido en el proyecto, su rentabilidad será igual a la tasa interna de retorno. Una vez que el proyecto libera un peso, éste se reinvierte a la tasa de interés de oportunidad. Los $10.000 iniciales tendrán una ren-tabilidad promedio diferente a la tasa interna de retorno, durante los tres años de la vida útil del proyecto, ya que hay que tener en cuenta la forma como se invierten los fondos liberados por el proyecto. Al tener en cuenta esa reinversión, se obtiene una rentabilidad del 23,09%, que resulta de lo que permite hacer el proyecto, a través de los flujos de caja liberados, combinado con la reinversión de los fondos que genera el proyecto a la tasa de interés de oportunidad. Si la reinversión se hace a la tasa interna de retorno se tendrían los siguientes resultados:

5.123 * (1+0,25)2 = 8.004,69

5.123 * 1,25 = 6.403,755.123 = 5.123,00Total acumulado al final del tercer año = 19.531,44

El proyecto considerado, con una alternativa de reinversión al 25% anual, sería equi-valente al que se muestra en la Figura 4.6:

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Figura 4.6

� � 19.531,4431 * 10.000 �+i

� � � � 1,2500041,953144 1 3/1 ��+i i = 0,250004 = 25%

Ejemplo 4.6

Considere nuevamente el caso del proyecto A en el cuadro 4.8 (valores en miles de pesos):

Cuadro 4.8

Año 0 1 2 3 4 5 6

Flujo (3.000) 1.000 1.500 2.000 2.500 2.800 3.000

Como la tasa interna de retorno corresponde a la tasa de interés que hace igual a ce-ro el valor presente neto, en este caso se plantea la siguiente ecuación:

6543

2

i)+(1

3.000.000

i)+(1

2.800.000

i)+(1

2.500.000+

i)+(1

2.000.000 +

i)+(1

1.500.000 +

i)+(11.000.000

+ 3.000.000 -0 = VNP(i)

��

Resolviendo la ecuación anterior se encuentra que: TIR = 0,5086 = 50,86% La tasa interna de retorno es del 50,86% y corresponde a la rentabilidad que el pro-yecto le permitirá devengar a cualquier peso invertido en el mismo durante el tiempo que se encuentre invertido, que será diferente a la rentabilidad de los 3.000 durante el período de 6 años, cuyo cálculo se deja como ejercicio al lector.

0 1 2 3

19.531,44

10.000

Tasa interna de retorno

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[104]

Capítulo 4

[104] J A V I E R S E R R A N O

Proyectos con múltiples tasas internas de retorno

Como se mencionó la tasa interna de retorno para un proyecto con una inversión inicial I0 y con unos flujos FJ, J=1,2,…,n, durante la vida útil del proyecto, es la solu-ción a la ecuación:

0 i)+(1

F +...+

i)+(1F

+ i)+(1

F +

i)+(1F

+ I - nn

33

221

0 �

La ecuación anterior es una ecuación polinomial de grado n que puede tener hasta n raíces, lo cual podría complicar el cálculo y la interpretación de la tasa interna de re-torno en algunas situaciones particulares. En la mayoría de los casos, solamente se va a presentar una raíz real; ¿cómo recono-cer la existencia potencial de una o más raíces? Para ello se define un proyecto de inversión puro, como uno en el cual hay un período de inversión al comienzo seguido por unos flujos positivos; o un proyecto de financiamiento puro, como uno en el cual se contabilizan unos ingresos al comienzo (desembolsos del crédito), seguidos por unos flujos negativos (pago de intereses y amortización del crédito). En ambos casos, solamente existe un cambio en el signo o en la dirección de los flujos representando el proyecto, lo cual permite asegurar que solamente existe una raíz real, que se puede calcular e interpretar tal y como se ha mencionado hasta este momento. Cuando hay varios cambios de signo o de dirección en los flujos de fondos que con-forman el diagrama de flujos, éste se denomina “no convencional”; y puede haber varias tasas de interés que hacen igual a cero el valor presente neto. Esto es, puede haber varias tasas internas de retorno. El número potencial de tasas internas de retor-no o de raíces es equivalente al número de cambios de signo en el flujo.

Figura 4.7

a)� Proyecto de inversión puro b) Proyecto no convencional

Una sola raíz Podría haber dos raíces

En la Figura 4.7 que se acaba de mostrar, en el proyecto a) (izquierda), se puede ase-gurar que solamente hay una raíz (un solo cambio de signo); mientras que en el proyecto b) (derecha), podría haber hasta dos raíces ya que hay dos cambios de sig-no, lo cual no quiere decir que haya necesariamente dos raíces reales, puesto que

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depende de las magnitudes involucradas; una raíz puede ser real y la otra imaginaria. Cuando se sospecha la presencia de tasas múltiples (p. ej., varios cambios de signo en el diagrama de flujo del proyecto), se deberá proceder a graficar el valor presente neto del proyecto como función de la tasa de interés, para revisar su presencia, ya que usualmente las herramientas computacionales calculan una sola tasa o se blo-quean ante una situación de esta naturaleza. En presencia de tasas múltiples se pierde la interpretación de la tasa interna de retor-no a que se hizo referencia, y habrá que analizar cada situación en particular para poder interpretar los valores obtenidos. Por ejemplo, el proyecto b, mostrado en la gráfica (proyecto no convencional), se podría analizar como un proyecto de inversión inicialmente y como un proyecto de financiamiento posteriormente. Para ilustrar el problema de tasas múltiples considere el siguiente proyecto (flujos en miles de pesos): Tasa de interés de oportunidad = 35%

Cuadro 4.9

Año 0 1 2 3 4 5 6 7 Flujo 0 -7.000 15.000 8.000 -20.000 -15.000 14.500 5.000

VPN (i= 0,35) = (62.598,5)

Cuadro 4.10

Tasa de interés de oportunidad VPN

35% (62.598,5)0% 500.000,05% 16.064,2

10% (179.850,1)15% (228.952,3)20% (208.833,5)25% (161.536,0)30% (109.152,1)35% (62.598,5)40% (26.595,5)45% (2.503,6)50% 10.059,455% 12.304,760% 5.762,665% (7.992,2)70% (27.480,5)75% (51.382,9)80% (78.559,5)85% (108.048,6)90% (139.052,6)95% (170.919,9)100% (203.125,0)105% (235.249,7)

Tasa interna de retorno

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[106]

Capítulo 4

[106] J A V I E R S E R R A N O

El flujo descrito presenta tres cambios de signo, es decir, pueden existir tres tasas in-ternas de retorno, tal y como aquí ocurre, cuya magnitud se puede observar en la Figura 4.8.

Figura 4.8

Tasas múltiples de rentabilidad

Los valores aproximados de las tasas internas de retorno son 5,27%, 45,72% y 62,39%. Cuando se presenta el problema de múltiples tasas internas de retorno es recomen-dable utilizar para la evaluación de alternativas de inversión los métodos de valor presente neto o costo anual equivalente.

R E L A C I Ó N B E N E F I C I O - C O S T O

La relación beneficio-costo se calcula como el cociente entre el valor presente de los ingresos y el valor presente de los egresos para una tasa de interés i. La expresión general para su cálculo está dada por:

i

i

i

i

egresos los de presente Valoringresos los de presente Valor

=CB

Cuando la relación beneficio costo es mayor que 1 (el valor presente de los ingresos supera al valor presente de los egresos), se justifica el proyecto desde el punto de vis-ta económico ya que esto equivale a decir que el valor presente neto es positivo. Para el proyecto A resumido en el cuadro 4.11 se tendría (flujos en miles de pesos):

-300.000

-200.000

-100.000

0

100.000

200.000

300.000

400.000

500.000

600.000

0% 20% 40% 60% 80% 100% 120%

���

����

����

� ���

� �

���������� ����

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Costo anual equivalente (CAE)

Cuadro 4.11

Año 0 1 2 3 4 5 6

Flujo (3.000) 1.000 1.500 2.000 2.500 2.800 3.000

Valor presente de los ingresos (i = 0,35) = 4.249.364,2

Valor presente de los egresos (i = 0,35) = 3.000.000,0

(BENEFICIO-COSTO)i = 1,42

Como la relación (beneficio-costo), a una tasa de interés del 35%, es mayor que 1, el proyecto se justificaría desde el punto de vista económico, para esa tasa de interés de oportunidad.

C O S T O A N U A L E Q U I V A L E N T E ( C A E )

Para explicar el costo anual equivalente se suponen tres alternativas de inversión que proporcionan un mismo servicio. Los beneficios para cada una de esas alternativas son los mismos y no se pueden cuantificar. Se quiere decidir por la alternativa de mínimo costo. La tasa de interés de oportunidad es del 35% (i=0,35). Las alternativas se muestran en el Cuadro 4.12:

Cuadro 4.12

Alternativa A Alternativa B Alternativa C

Inversión 4.000.000 5.000.000 6.000.000Operación y mantenimiento por año 1.200.000 800.000 500.000Vida útil (años) 6 6 6Valor al final 0 0 0CAE de la inversión 1.677.039 2.096.298 2.515.558Costo anual total 2.877.039 2.896.298 3.015.558

El costo anual equivalente de la inversión corresponde a las 6 anualidades equivalen-tes al monto de la inversión para cada alternativa, con un interés del 35%; por ejemplo, para determinar el CAE de la inversión para la alternativa A, se tiene:

CAEA= P*(A/P,i,n) = 4.000.000*[0,35*(1+0,35)6]/[(1+0,35)6-1] = 1.677.038

Para una tasa de interés de oportunidad del 35%, la alternativa más económica de proporcionar el servicio es la A, ya que representa el costo total anual equivalente más bajo.

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[108]

Capítulo 4

[108] J A V I E R S E R R A N O

En el Cuadro 4.13 se presenta un análisis de sensibilidad de la decisión, para diferen-tes tasas de interés de oportunidad.

Cuadro 4.13

Tasa de interés de oportunidad

Alternativa A Alternativa B Alternativa C Decisión

0,15 2.256.947,6 2.121.184,5 2.085.421,4 C 0,20 2.402.823.0 2.303.528,7 2.304.234,5 B 0,25 2.555.278,0 2.494.097,5 2.532.917,0 B 0,30 2.713.577,2 2.691.971,5 2.770.365,8 B 0,35 2.877.038,7 2.896.298,4 3.015.558,1 A 0,40 3.045.040,4 3.106.300,5 3.267.560,6 A 0,45 3.217.021,4 3.321.276,7 3.525.532,0 A 0,50 3.392.481,2 3.540.601,5 3.788.721,8 A 0,55 3.570.976,8 3.763.721,0 4.056.465,2 A 0,60 3.752.118,1 3.990.147,6 4.328.177,1 A 0,65 3.935.563,6 4.219454,5 4.603.345,4 A

Los resultados anteriores muestran la forma como puede cambiar la decisión, al variar la tasa de interés de oportunidad. O R D E N A M I E N T O D E A L T E R N A T I V A S M U T U A M E N T E E X C L U Y E N T E S

El problema de ordenamiento de alternativas mutuamente excluyentes se presenta frecuentemente en la vida cotidiana y no siempre se analiza en la forma debida. Un ejemplo permitirá hacer la correspondiente aclaración: Considere las alternativas de inversión que se muestran en las Figuras 4.9, 4.10 y 4.11, las cuales son mutuamente excluyentes: A:

Figura 4.9

0 1 2 3

294.833

500.000

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[109] [109]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ordenamiento de alternativas mutuamente excluyentes

B: Figura 4.10

C:

Figura 4.11 Si la tasa de interés de oportunidad fuera del 30%, ¿cuál será el ordenamiento prefe-rencial de las tres alternativas? 1. Utilizando el criterio del valor presente neto: VPNA(i=0,30) = -500.000 + 294.833 [P/A, i=0,30,n=3]

VPNA(i=0,30) = -500.000 + 535.450 = 35.450

VPNB(i=0,30) = -1.000.000 + 629.358 [P/A, i=0,30,n=3]

VPNB(i=0,30) = -1.000.000 + 1.142.985,2 = 142.985,2

VPNC(i=0,30) = -1.200.000 + 3.153,700 [P/F, i=0,30, n=3]

VPNC(i=0,30) = -1.200.000 + 1.435.457 = 235.457,4

El ordenamiento correcto de las alternativas será C > B > A, lo cual indica que se prefiere la alternativa C a las demás.

0 1 2 3

629.358

1.000.000

0 1 2 3

3.153.700.

1.200.000

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[110]

Capítulo 4

[110] J A V I E R S E R R A N O

2. Utilizando el criterio de la tasa interna de retorno:

Proyecto A: VPNi = 0 = -500.000 + 294.833[P/A,i,n=3]

Entonces, TIRA = 0,35

Proyecto B: VPNi = 0 = -1.000.000 + 629.358[P/A,i,n=3]

Entonces, TIRB = 0,40

Proyecto C: VPNi = 0 = -1.200.000 + 3.153.700[P/F,i,n=3]

Entonces, TIRC = 0,38

El ordenamiento de las alternativas será B > C > A, e indica que se prefiere la alterna-tiva B a las demás, lo cual es un ordenamiento incorrecto como se demostrará a continuación. Observe la existencia de una aparente inconsistencia entre el ordenamiento produci-do por el valor presente neto y el producido por la tasa interna de retorno. La inconsistencia se deriva del hecho de que las magnitudes involucradas en las tres al-ternativas son diferentes. Para determinar el ordenamiento correcto se debe tener en cuenta la cantidad acumulada al tercer año, si se dispone de una misma cantidad de dinero en el período cero, y se contempla tanto la inversión en el proyecto como en aquellas oportunidades convencionales que corresponden a la tasa de interés de oportunidad del 30%. Si se dispone de 1.200.000 en el período cero, las cantidades acumuladas serían: Proyecto A e inversión de 700.000 en la fecha 0 al 30%:

Cantidad acumulada = 294.833+294.833(1,3)+294.833(1,3)2+700.000(1,3)3 Cantidad acumulada = 2.714.283,70 Proyecto B e inversión de 200.000 en la fecha 0 al 30%:

Cantidad acumulada = 629.358+629.358(1,3)+629.358(1,3)2+200.000(1,3)3 Cantidad acumulada = 2.950.538,42 Proyecto C sin inversión adicional en la fecha 0: Cantidad acumulada = 3.153.700,00 Teniendo en cuenta la cantidad acumulada al final del año 3, partiendo de la misma magnitud y considerando simultáneamente cada proyecto y las oportunidades con-

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[111] [111]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ordenamiento de alternativas mutuamente excluyentes

vencionales de inversión, el ordenamiento preferencial es C > B > A. Este ordena-miento coincide con el ordenamiento producido por el valor presente neto. Esto era de esperarse, si se tiene en cuenta su significado (recuerde su sentido relativo con respecto a las oportunidades convencionales, esto es, aquellas que corresponden a la tasa de interés de oportunidad). Al utilizar el criterio del valor presente neto, se supo-ne implícitamente que los fondos que libere el proyecto o cualquier cantidad en exceso a la que requiere el proyecto se invierten a una tasa de interés igual a la tasa de interés de oportunidad. Por eso, el criterio del valor presente neto siempre genera el ordenamiento correcto, en el caso de alternativas mutuamente excluyentes, con la misma vida útil, aun en el caso de que los montos iniciales de inversión sean diferentes. Nota: Si las cantidades acumuladas al final del tercer año, se traen a valor presente y se resta 1.200.000, precisamente se obtiene el valor presente neto: Proyecto A: 2.714.283,7*0,4551 – 1.200.000 = 35.450,0 Proyecto B: 2.950.538,4*0,4551 – 1.200.000 = 142.985,2 Proyecto C: 3.153.700,0*0,4551 – 1.200.000 = 235.457,4 La tasa interna de retorno produce el ordenamiento correcto si se consideran las al-ternativas diferenciales; esto es, si se consideran las diferencias involucradas en las inversiones originales y se comparan las alternativas por pares. Alternativa B - Alternativa A: (B-A):

Figura 4.12

VPN(B-A) = -500.000+334.505[P/A, i,n=3] = 0

VPN(B-A) = � �� �

031

11505.334000.500

3

3

����

����

����

i

i

TIR(B-A) = 44,92%

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[112]

Capítulo 4

[112] J A V I E R S E R R A N O

El proyecto diferencial tiene una TIR mayor al 30%; esto indica que la inversión adi-cional de 500.000 que requiere el proyecto B se justifica cuando se compara con el proyecto A, dado que en el proyecto B esta cantidad genera un rendimiento mayor que el que se generaría en las oportunidades convencionales. Entonces B > A. Alternativa C - Alternativa B: (C-B):

Figura 4.13

� � � � � � � �0

1

342,524,2

1

358,6291

358,629000,200VPN 32B-C �

��

��

����

iii

TIR(C-B) = 0,3604= 36,04% > 0,30

Por lo tanto, se justifica la inversión adicional que requiere el proyecto C, cuando se le compara con el proyecto B; esto es, C > B, Por lo tanto, C > B > A. Al comparar la tasa interna de retorno con el valor presente neto, la comparación re-sulta favorable al segundo de los indicadores, especialmente si se tiene en cuenta que: a)� El valor presente neto es más fácil de calcular que la tasa interna de retorno, no

obstante que esto ha perdido importancia con las herramientas modernas de computación.

b)� Pueden existir tasas internas de retorno múltiples, lo cual complica su utilización e

interpretación. c)� En el caso de alternativas mutuamente excluyentes con vidas iguales, el valor pre-

sente neto siempre lleva al ordenamiento correcto de ellas, tal y como se acaba de demostrar. No ocurre lo mismo con la tasa interna de retorno aplicada direc-tamente.

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[113] [113]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Teniendo en cuenta lo anterior, surge la pregunta sobre la utilización de la tasa inter-na de retorno como un indicador usual para medir la conveniencia financiera de un proyecto de inversión. ¿Por qué no utilizar únicamente el valor presente neto? La res-puesta a esta pregunta o inquietud se relaciona con la preferencia que tienen los inversionistas a utilizar directamente un indicador de rentabilidad, con el cual están más familiarizados y con una presentación intuitiva mejor para ellos que el valor pre-sente neto, cuya interpretación en términos de valor relativo o adicional no siempre es fácilmente comprensible.

O R D E N A M I E N T O D E A L T E R N A T I V A S C O N D I F E R E N T E V I D A Ú T I L

El método de valor presente neto, como se ha presentado, permite comparar proyec-tos de igual duración. En el caso de vidas útiles diferentes, se requiere unificar la duración de los proyectos utilizando el mínimo común múltiplo de la vida útil de to-das las alternativas. Un ejemplo permite aclarar la situación.

Ejemplo 4.7

Suponga que una industria requiere comprar una máquina, para lo cual cuenta con las alternativas que se muestran en el Cuadro 4.14:

Cuadro 4.14

Máquina 1 Máquina 2

Inversión inicial 1.000.000 1.500.000 Vida útil (años) 2 3 Costo de operación anual 250.000 350.000 Valor de venta de la máquina al final de la vida útil 700.000 1.400.000

La tasa de interés de oportunidad es del 30%. En el Cuadro 4.15, se presenta el flujo de efectivo con el mínimo común múltiplo de la duración de las máquinas (6 en este ejemplo):

Cuadro 4.15

Máquina 1

Año 0 1 2 3 4 5 6Inversión inicial -1.000.000 -1.000.000 -1.000.000 Costo de operación -250.000 -250.000 -250.000 -250.000 -250.000 -250.000Valor de venta 700.000 7.000.000 700.000Flujo -1.000.000 -250.000 -550.000 -250.000 -550.000 -250.000 450.000V.P.N. -1.798.216

Ordenamiento de alternativas con diferente vida útil

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[114]

Capítulo 4

[114] J A V I E R S E R R A N O

Máquina 2

Año 0 1 2 3 4 5 6Inversión inicial -1.500.000 -1.500.000 Costo de operación -350.000 -350.000 -350.000 -350.000 -350.000 -350.000Valor de venta 1.400.000 1.400.000Flujo -1.500.000 -350.000 -350.000 -450.000 -350.000 -350.000 1.050.000V.P.N. -2.180.431

Observe que cada flujo se repite hasta que la duración del proyecto sea igual al mínimo común múltiplo. En este caso la mejor alternativa es la compra de la máquina 1, ya que presenta un valor presente neto mayor. Para evaluar las alternativas de diferente duración a través de la tasa interna de retor-no, se requiere hacer un análisis incremental unificando la duración de los proyectos utilizando el mínimo común múltiplo de la vida útil de cada par de alternativas. La evaluación con el método del costo anual equivalente se realiza en la forma con-vencional; no es necesario unificar la duración de las alternativas porque la base de comparación es la misma para todas, independientemente de su duración (se compa-ran flujos anuales). Por esta razón conviene usar el CAE para la evaluación de alterna-tivas con diferente vida útil.

R E N T A B I L I D A D D E L O S R E C U R S O S P R O P I O S

Considere el proyecto de inversión que se muestra en la Figura 4.14:

Figura 4.14

Teniendo en cuenta que la tasa de interés de oportunidad de un inversionista es del 35%, no es atractivo adelantar el proyecto. El inversionista cuenta con recursos por $285.000.000; y para adelantar el proyecto le ofrecen un crédito “atado” a la reali-zación del proyecto, cuyas condiciones se aprecian en el diagrama de flujos que se muestra en la Figura 4.15:

� �

����������

�����������

��������

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[115] [115]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Rentabilidad de los recursos propios

Figura 4.15

Desde el punto de vista del inversionista, la rentabilidad de los recursos propios, es decir, la rentabilidad de los recursos que efectivamente aporta al proyecto, está dada por la suma de los dos flujos anteriores, tal y como se observa en la Figura 4.16:

Figura 4.16

La rentabilidad de los recursos propios es del 40%, superior a la tasa de interés de oportunidad, por lo cual se podría llegar a pensar en adelantar el proyecto. En este caso se observa que la rentabilidad total del proyecto no es atractiva pero la rentabilidad de los recursos propios sí lo es. La financiación puede hacer atractiva la inversión en proyectos que por sí solos no lo son. Como se verá posteriormente, esto se justifica únicamente si el financiamiento está atado al proyecto, tal y como ocurría anteriormente en Colombia, cuando se tenía crédito de fomento subsidiado, atado específicamente a un determinado proyecto. En general no se deben utilizar fuentes de financiamiento baratas, para justificar e implantar proyectos que no tienen por sí solos la rentabilidad adecuada. En los capítulos 6, 7 y 8 de este libro se precisan el concepto de flujo de caja libre pa-ra la firma o para el proyecto, y el de flujo de caja libre para el equity, patrimonio o inversionista, cuya diferenciación, estimación y aplicación son la base de todo el cam-po de valoración de activos.

� �

���������

����������

��������

� �

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[116]

Capítulo 4

[116] J A V I E R S E R R A N O

R E S U M E N

En el Cuadro 4.16 se presenta un resumen de los principales indicadores para medir la bondad económica de un proyecto de inversión o el costo de un proyecto de finan-ciación, incluyendo las funciones de Excel utilizadas para su estimación

Cuadro 4.16

Método de evaluación

Definición Características Excel

Valor presente neto

Cifra relativa adicional a lo que se obtendría al invertir en oportunidades convencionales

- i: interés de oportunidad- Se seleccionan proyectos con

VPN > 0 - Considera las magnitudes

involucradas en los proyectos - Genera el ordenamiento

correcto en el caso de alternati-vas mutuamente excluyentes de igual vida útil

- Requiere unificar flujos para evaluar alternativas con diferente vida útil

VNA(i,rango), si los períodos son constantes VNA.NO.PER., si los períodos no son constantes

Tasa interna de retorno

Rentabilidad de los fondos que se encuentran invertidos en un proyecto. Tasa de interés que hace 0 el valor presente neto

- Se seleccionan proyectos con TIR mayor a la tasa de interés de oportunidad

- Difiere de la rentabilidad de una inversión si los montos liberados no se reinvierten a la misma TIR

- Requiere análisis incremental al evaluar alternativas mutuamente excluyentes de igual vida útil

- Requiere análisis incremental y unificar flujos para evaluar alternativas con diferente vida útil

- Puede haber proyectos con múltiples tasas internas de retorno

TIR(rango, resultado aproximado), si los períodos son constantes El resultado aproxi-mado es un punto de partida para que Excel inicie las iteraciones; se puede cambiar en caso de error TIR.NO.PER., si los períodos no son constantes

Relación beneficio /costo

Relación entre los ingresos y los costos traídos a valor presente neto.

- Se seleccionan proyectos con relación B/C>1

- Requiere análisis incremental al evaluar alternativas mutuamente excluyentes de igual vida útil

Costo anual equivalente

Serie uniforme equivalente a los flujos de un proyecto

- Se seleccionan proyectos con menor costo anual equivalente o mayor beneficio anual equivalente

- Útil para evaluar alternativas con diferente duración

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[117] [117]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

E J E R C I C I O S R E S U E L T O S

Los siguientes nueve ejercicios resumen la mayoría de los conceptos presentados en este capítulo.

1. Considere los siguientes dos proyectos de inversión, con los flujos que se mues-

tran en el Cuadro 4.17, el cual incluye el cálculo de los valores presentes netos y las tasas internas de retorno para cada proyecto y para la alternativa incremental.

Cuadro 4.17

Año Proyecto A Proyecto B (B-A)

0 -300.000 -300.000 0 1 160.000 140.000 -20.000 2 164.800 151.200 -13.600 3 169.744 163.296 -6.448 4 174.836 176.360 1.523 5 180.081 190.468 10.387 6 185.484 205.706 20.222 7 191.048 222.162 31.114 8 196.780 239.935 43.156 9 202.683 259.130 56.447

10 208.764 279.861 71.097

TIO 25,00% VPN (i=0,25) 322.326 332.625 10.299

TIR 55% 53% 31%

a)� Graficar el valor presente neto como una función de la tasa de interés de oportunidad.

b)� ¿Cuál sería su recomendación sobre el proyecto a escoger, si fueran mutua-mente excluyentes y la tasa de interés de oportunidad fuera del 25%? Justifique su respuesta.

a)� Gráficas del valor presente neto para cada proyecto:

Ejercicios resueltos

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[118]

Capítulo 4

[118] J A V I E R S E R R A N O

Figura 4.17 �

En la Figura 4.17, tomada de Excel, se muestra el comportamiento del valor presente neto para los dos proyectos A y B, donde se puede apreciar cómo el mismo disminuye con la tasa de interés de oportunidad hasta volverse negativo en ambos casos, para tasas de interés elevadas. Allí también se muestra la tasa de interés para la cual el valor presente neto de cada pro-yecto es igual a cero, que corresponde precisamente a la tasa interna de retorno de cada proyecto.

b)� Selección entre los dos proyectos, si los mismos son mutuamente excluyen-

tes, para una tasa de interés de oportunidad del 25%.

Se escogería el proyecto con el mayor valor presente neto, que es el proyec-to B, no obstante que la tasa interna de retorno del proyecto A es mayor. Se recalca que en caso de alternativas mutuamente excluyentes el valor pre-sente neto siempre conduce al ordenamiento correcto de alternativas; no así la tasa interna de retorno aplicada directamente.

La alternativa incremental (B-A) tiene un valor presente neto positivo, para una tasa de interés de oportunidad del 25%. La tasa interna de retorno de la alternativa incremental (31%) es superior a la tasa de interés de oportu-nidad, mostrando una vez más que el proyecto B se prefiere al proyecto A.

2. Un proyecto de inversión A con el flujo de fondos que se muestra en el Cuadro

4.18:

-500.000

0

500.000

1.000.000

1.500.000

2.000.000

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Val

or P

rese

nte

Net

o

Tasa de interés

Proyecto A Proyecto B

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[119] [119]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ejercicios resueltos

Cuadro 4.18

Año 0 1 2 3 4 5

Flujo -10.000 3.000 4.500 5.500 6.000 7.000

a)� ¿Cuál es el valor presente neto del proyecto para una tasa de interés de

oportunidad del 25%? ¿Cómo interpreta la cifra obtenida? b)� ¿Cuál es la tasa interna de retorno del proyecto? ¿Cómo interpreta la cifra

obtenida? c)� ¿Cuál es la rentabilidad de los 10.000 durante el horizonte de 5 años? ¿Cuál

es la diferencia con el valor obtenido en b)?

a)� El valor presente neto del proyecto para la tasa de interés de oportunidad del 25% es igual a 2.847,36. Esta cifra se puede interpretar como el valor adicional que se genera por invertir en el proyecto y no en las oportunidades convencionales, con un rendimiento del 25%.

b)� La tasa interna de retorno del proyecto es del 36,41%. Esta cifra se puede

interpretar como la rentabilidad que el proyecto le permite generar a un pe-so mientras el peso se encuentre invertido en el proyecto.

c)� Para calcular la rentabilidad de los 10.000, durante los 5 años, hay que tener

en cuenta los flujos de fondos liberados por el proyecto y su reinversión a la tasa de interés de oportunidad del 25%, lo cual permite acumular la siguien-te cifra al final de los 5 años:

Ac5 = 3.000*(1+0,25)4 + 4.500*(1+0,25)3 + 5.500*(1+0,25)2 +

6.000*(1+0,25)1 + 7.000 Ac5 = 39.207,03

Para encontrar la rentabilidad de los 10.000, durante los 5 años, se plantea la siguiente ecuación:

10.000 * (1+R)5 = 39.207,03

Despejando R, se obtiene R = 31,42% como la rentabilidad anual de los 10.000 durante los 5 años, que es inferior a la tasa interna de retorno, ya que los flujos liberados por el proyecto se reinvierten a una tasa del 25% y no a la tasa interna de retorno.

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[120]

Capítulo 4

[120] J A V I E R S E R R A N O

3. Considere un proyecto de inversión B con el flujo de fondos que se muestra en el Cuadro 4.19:

Cuadro 4.19

Año 0 1 2 3 4 5

Flujo -15.000 5.500 6.000 6.800 8.500 9.500

a) ¿Cuál es el valor presente neto del proyecto para una tasa de interés de

oportunidad del 25%? ¿Cómo interpreta la cifra obtenida? b) ¿Cuál es la tasa interna de retorno del proyecto? ¿Cómo interpreta la cifra

obtenida? c) Suponga que este proyecto y el del ejercicio anterior son mutuamente ex-

cluyentes, ¿Cuál de los dos proyectos escogería?

a) El valor presente neto del proyecto para la tasa de interés de oportunidad

del 25% es igual a 3.316,16. Esta cifra se puede interpretar como el valor adicional en la fecha “cero” que se genera por invertir en el proyecto y no en las oportunidades convencionales, con un rendimiento del 25%.

b) La tasa interna de retorno del proyecto es del 34,35%. Esta cifra se puede

interpretar como la rentabilidad que el proyecto le permite generar a un pe-so mientras el peso se encuentre invertido en el proyecto.

c) El proyecto B, de este problema tiene un valor presente neto de 3.316 supe-

rior al del proyecto A del segundo problema (2.847), y por lo tanto sería el proyecto a seleccionar en el caso de que ambos fueran mutuamente exclu-yentes, no obstante que la tasa interna de retorno del proyecto B (34,35%) es menor que la tasa interna de retorno del proyecto A (36,41%).

4. Comparando los proyectos A y B de los dos problemas anteriores, ¿cómo podría

utilizar la tasa interna de retorno para hacer la selección correcta si los dos pro-yectos fueran mutuamente excluyentes?

Como se trata de inversiones de tamaño diferente, se analizaría la alternativa in-cremental, representada por (B-A), cuyo flujo se resume en el Cuadro 4.20:

Cuadro 4.20

Año 0 1 2 3 4 5

(B-A) -5.000 2.500 1.500 1.300 2.500 2.500

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[121] [121]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ejercicios resueltos

La tasa interna de retorno de este flujo incremental (B-A) es igual a 29,48%, su-perior a la tasa de interés de oportunidad del 25%, por lo cual se justifica invertir los 5.000 adicionales en el proyecto B y no en las oportunidades convencionales que solo rentan un 25%. Como conclusión, se prefiere el proyecto B al A, que era precisamente el ordenamiento que se había obtenido anteriormente a través del valor presente neto.

5. Un proyecto de inversión con los siguientes flujos durante su vida útil de 4 años:

año 0, -3.000; año 1, 900; año 2, 1.500; año 3, 1.800; año 4, 2.500, y cuya tasa de interés de oportunidad es del 25%. ¿Cuál es la rentabilidad de los 3.000 du-rante los 4 años?

La tasa interna de retorno del proyecto es del 34,53%, que va a resultar superior a la rentabilidad de los 3.000, durante los 4 años, ya que los flujos de fondos libe-rados por el proyecto se reinvierten a la tasa de interés de oportunidad, la cual es del 25%.

Para el cálculo de la rentabilidad de los 3.000 durante los 4 años, hay que tener en cuenta los flujos de fondos liberados por el proyecto y la reinversión de esos flujos a la tasa de interés de oportunidad, lo cual permite acumular al final del cuarto año:

Ac4 = 900*(1+0,25)3 + 1.500*(1+0,25)2 + 1.800*(1+0,25) + 2.500 Ac4 = 8.851,56 Para encontrar la rentabilidad de los 3.000, durante los 4 años, se plantea la si-guiente ecuación: 3.000 * (1+R)4 = 8.851,56 Despejando R, se obtiene R = 31,06% como la rentabilidad anual de los 3.000 durante los 4 años, que es inferior a la tasa interna de retorno, ya que los flujos liberados por el proyecto se reinvierten a una tasa del 25% y no a la tasa interna de retorno.

6. Dos proyectos de inversión mutuamente excluyentes, con un horizonte de 5

años, muestran los flujos presentados en el Cuadro 4.21:

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[122]

Capítulo 4

[122] J A V I E R S E R R A N O

Cuadro 4.21

Fecha Proyecto A Proyecto B

0 (280) (400) 1 70 100 2 120 1623 150 2034 180 2585 210 300

Tasa de interés de oportunidad: 25%.

a)� ¿Cuál de los dos proyectos seleccionaría? b)� Si únicamente existen esos dos proyectos, adicionalmente a las inversiones

convencionales que determinan la tasa de interés de oportunidad, ¿cuál sería la rentabilidad promedio de los 400 millones durante los 5 años?

a)� Para la selección de uno de los dos proyectos se utiliza el valor presente neto: El valor presente neto del proyecto A es igual a 72,14. El valor presente neto del proyecto B es igual a 91,59. Por lo tanto se escogería el proyecto B, con un mayor valor presente neto. b)� Para determinar la rentabilidad de los 400 millones de pesos, durante el

período de 5 años, se selecciona el proyecto B, reinvirtiendo los flujos de fondos a la tasa de interés de oportunidad del 25%, lo cual permitiría acu-mular al final de los 5 años:

Ac5 = 100*(1+0,25)4 +162*(1+0,25)3 +203*(1+0,25)2 + 258*(1+0,25) +300 Ac5 = 1.500,23

Para encontrar la rentabilidad de los 400 millones, durante los 5 años, se plantea la siguiente ecuación:

400 * (1+R)5 = 1.500,23 Despejando R, se obtiene R =30,26% como la rentabilidad anual de los 400

durante los 5 años, que es inferior a la tasa interna de retorno, ya que los flujos liberados por el proyecto se reinvierten a una tasa del 25% y no a la tasa interna de retorno.

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[123] [123]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

7. Un crédito a 2 años, que paga intereses netos del 28% nominal anual, pagaderos trimestre vencido, se amortiza en dos pagos iguales, al final de cada año. Los gas-tos de tramitación del crédito, incluyendo constitución de hipotecas, son del 1,5%, pagaderos al comienzo del crédito. ¿Cuál es el costo efectivo del crédito antes y después de impuestos?

Período básico de análisis: trimestre, ya que los intereses se pagan trimestralmente. En el Cuadro 4.22 se muestran los flujos de fondos antes de impuestos:

Cuadro 4.22

Trim Desembolso Trámites Amortización Intereses Flujo neto

0 1.000 -15 985 1 -70 -70 2 -70 -70 3 -70 -70 4 -500 -70 -570 5 -35 -35 6 -35 -35 7 -35 -35 8 -500 -35 -535

La tasa interna de retorno del flujo anterior (antes de impuestos) es del 7,3239% trimestral, que anualizada da un costo del 32,67% efectivo anual, como costo del crédito antes de impuestos.

El flujo de fondos después de impuestos, al tener en cuenta el crédito tributario derivado de los gastos para la tramitación del crédito y de los pagos de intereses, que por simplicidad se consideran acumulados al final del primer y segundo año, se muestra en el Cuadro 4.23:

Cuadro 4.23

Trim. Desembolso Trámites Amortización Intereses Crédito

tributario Flujo neto

0 1000 -15 985 1 -70 -70 2 -70 -70 3 -70 -70 4 -500 -70 103,25 -466,75 5 -35 -35 6 -35 -35 7 -35 -35 8 -500 -35 49 -486

Ejercicios resueltos

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[124]

Capítulo 4

[124] J A V I E R S E R R A N O

La tasa interna de retorno del flujo anterior sería del 4,9369% trimestral, que anualizada da un costo efectivo del crédito, después de impuestos, del 21,258% efectivo anual.

Observe que al considerar el costo del crédito antes de impuestos (32,67%), mul-tiplicado por 0,65 (1-tasa de impuestos), el costo después de impuestos sería del 21,235%.

8. A un Certificado de Depósito a Término (CDT), que paga un interés del 28%

nominal anual pagadero trimestre anticipado, emitido inicialmente a 90 días, le faltan 37 días para su vencimiento. ¿Cuál es el valor de mercado actual del CDT, si la tasa de interés del mercado es del 24% efectivo anual?

El flujo de fondos del proyecto sería:

Fecha (días) Flujo

0 -P0

37 100

Entonces: � �3701

100

d+iP �

Recordando que:

� � � �36511 de +i = +i

Entonces, � � � �

%843,9724,01

100

1

100365/37365/370 ���

++iP

d

El valor actual del CDT, para una tasa de interés de mercado del 24% efectiva anual, sería del 97,843% de su valor nominal (100%).

9. Un bono a 4 años amortizable totalmente al final de los 4 años paga intereses del 22% nominal anual pagaderos semestre vencido. Le faltan 217 días para su ven-cimiento. La tasa de interés de mercado es del 23% efectiva anual. ¿Cuál es el valor de mercado del bono?

El flujo de fondos del bono, cuando le faltan 217 días para su vencimiento, es el siguiente:

� � 365/11 ed +ii �

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[125] [125]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Fecha (días) Flujo

37 11217 111

Para determinar el valor del bono en la fecha cero con el anterior flujo de fondos, se calcula el valor presente del flujo a una tasa de interés diaria equivalente al 23% efectivo anual que es la tasa de interés del mercado. Lo anterior se puede expresar en términos generales como:

� � � �`

23,1

11`

23,1

11365/217365/37

��P

91,1081459,987715,10 ���P

El valor actual del bono es del 108,91% de su valor nominal.

E J E R C I C I O S D E R E C A P I T U L A C I Ó N O A U T O E V A L U A C I Ó N

Problema 1 Suponga tres proyectos mutuamente excluyentes, con los montos de inversión y de flujo de caja anual que se muestran en el Cuadro 4.24. ¿Cuál sería el ordenamiento correcto de las tres alternativas de inversión, si la tasa de interés de oportunidad es del 20%?

Cuadro 4.24

Proyectos

Fecha A B C

0 -2.500.000 -3.000.000 -3.500.000 1 500.000 350.000 400.000 2 700.000 450.000 600.000 3 900.000 550.000 700.000 4 1.000.000 700.000 800.000 5 1.100.000 900.000 1.100.000 6 1.250.000 1.200.000 1.700.000 7 1.400.000 1.500.000 2.200.000 8 1.550.000 1.900.000 3.000.000 9 1.700.000 2.500.000 4.000.000 10 1.900.000 3.000.000 5.000.000

Tasa de interés de oportunidad 20%Valor presente neto 1.654.079 853.133 1.946.725 Tasa interna de retorno 33,64% 25,27% 29,13% Tasa de rentabilidad verdadera 26,25% 23,04% 25,43%

Ejercicios de recapitulación o autoevaluación

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[126]

Capítulo 4

[126] J A V I E R S E R R A N O

Al final del Cuadro 4.24 se muestran los resultados de los tres indicadores que se utili-zan para hacer la comparación: valor presente neto al 20%, tasa interna de retorno (TIR) y tasa interna de retorno modificada (TIRM), utilizando respectivamente las funciones de Excel, VNA, TIR y TIRM. En el caso de la tasa interna de retorno modifi-cada (TIRM), se supone que la reinversión de los flujos que libera el proyecto se hace a una tasa especificada, que para nuestro ejemplo fue la TIO del 20%. La función en Excel, tiene la siguiente forma: TIRM = TIRM (rango de valores; tasa de financiamiento; tasa de reinversión) TIRM = TIRM (C5:C15;18%), suponiendo que el rango de valores se encuentra en el rango C5:C15 de la hoja de Excel, no se considera tasa de financiamiento y la tasa de reinversión es del 20%. El ordenamiento correcto para alternativas de inversión mutuamente excluyentes con la misma vida, independientemente de que los montos de inversión sean diferentes, es el que se obtiene a través de la utilización del valor presente neto, ya que supone correctamente que cualquier peso por fuera del proyecto se reinvierte a la TIO. Por lo tanto, el ordenamiento correcto de la tres alternativas de inversión es: C > A > B ¿Cómo explicar los ordenamientos incorrectos que se producen utilizando la TIR y la TIRM? En el caso de la TIR, se estaría suponiendo incorrectamente que los pesos por fuera del proyecto se están reinvirtiendo a la TIR, lo cual en general es incorrecto. En el caso de la TIRM, ésta no tiene en cuenta los montos diferentes de inversión, no obstante que la misma considera que la reinversión de los flujos que libera el proyecto se hace a la TIO. Para que los tres proyectos sean mutuamente excluyentes se debe disponer inicialmente de $3.500.000; si se utiliza la alternativa A, $2.500.000 se in-vierten inicialmente en el proyecto, que genera una rentabilidad interna igual a la TIR (mientras un peso se encuentre invertido en el proyecto). Por ello, la TIRM es del 26,25%, una combinación entre una rentabilidad interna del 33,64% y una reinver-sión del 20%. Sin embargo, inicialmente quedan $1.000.000 por fuera del proyecto, que invertidos al 20% hacen que la rentabilidad ponderada sea inferior a la que se obtiene a través de la alternativa C, donde los $3.500.000 se invierten totalmente en el proyecto C, con una rentabilidad interna (TIR) del 29.13% y una tasa de reinver-sión igual a la TIO, esto es, 20%, para obtener una tasa interna de retorno modificada del 25.43%, que ya tuvo en cuenta la inversión adicional de los $1.000.000 que hay de diferencia entre la alternativa C y la A. Se deben comprobar los resultados anteriores a través de los montos acumulados al final de los 10 años, suponiendo que la reinversión de cualquier suma por fuera del proyecto se hace a la TIO del 20%.

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[127] [127]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ejercicios de recapitulación o autoevaluación

Si las alternativas son mutualmente excluyentes, la comparación se tiene que hacer entre: �� $2.500.000 invertidos inicialmente en el proyecto A y $1.000.000 a la tasa de

interés de oportunidad del 20%, durante 10 años. Los flujos que libera el proyec-to A se reinvierten a la TIO.

�� $3.000.000 invertidos inicialmente en el proyecto B y $500.000 a la tasa de in-

terés de oportunidad del 20%, durante 10 años. Los flujos que libera el proyecto B se reinvierten a la TIO.

�� $3.500.000 invertidos inicialmente en el proyecto C. Los flujos que libera el pro-

yecto C se reinvierten a la TIO. Los resultados se resumen en el Cuadro 4.25, que confirma lo mostrado previamente, con el ordenamiento correcto correspondiente al del valor presente neto.

Cuadro 4.25

Proyectos Acumulado al final del año 10

Fecha A B C A B C

0-

2.500.000 -

3.000.000-

3.500.000 1 500.000 350.000 400.000 2.579.890 1.805.923 2.063.912 2 700.000 450.000 600.000 3.009.872 1.934.918 2.579.890 3 900.000 550.000 700.000 3.224.863 1.970.749 2.508.227 4 1.000.000 700.000 800.000 2.985.984 2.090.189 2.388.787 5 1.100.000 900.000 1.100.000 2.737.152 2.239.488 2.737.152 6 1.250.000 1.200.000 1.700.000 2.592.000 2.488.320 3.525.120 7 1.400.000 1.500.000 2.200.000 2.419.200 2.592.000 3.801.600 8 1.550.000 1.900.000 3.000.000 2.232.000 2.736.000 4.320.000 9 1.700.000 2.500.000 4.000.000 2.040.000 3.000.000 4.800.000 10 1.900.000 3.000.000 5.000.000 1.900.000 3.000.000 5.000.000 Acumulado, inversión inicial: 25.720.961 23.857.587 33.724.688Acumulado inversión restante: 6.191.736 3.095.868 0Acumulado, inversión $3.500.000: 31.912.697 26.953.455 33.724.688Tasa de rentabilidad verdadera: 24,74% 22,65% 25,43%

Problema 2 Un bono emitido inicialmente a 6 años, con un cupón semestral del 5%. El 15 de sep-tiembre del año 2009, fecha de la valoración, al bono le faltan 3 años y 143 días para su vencimiento. ¿Cuál es el valor de mercado del bono si la tasa de interés de merca-do es del 14% efectivo anual?

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[128]

Capítulo 4

[128] J A V I E R S E R R A N O

Valor nominal del bono = $1.000.000 Cupón semestral = 5,00% Tasa de interés de mercado = 14,00% efectivo anual Tasa de interés de mercado = 6,77% semestral En el Cuadro 4.26 se muestran los cálculos necesarios para determinar el valor de mercado el 15 de septiembre del año 2009, si la tasa de interés de mercado es del 14% efectivo anual:

Cuadro 4.26

Fecha (días) Fecha (años) Fecha Flujo caja Valor presente

0 0 15/09/2009 0 0 143 0,39 5/02/2010 50.000 47.498 325 0,89 6/08/2010 50.000 44.494 508 1,39 5/02/2011 50.000 41.665 690 1,89 6/08/2011 50.000 39.030 873 2,39 5/02/2012 50.000 36.548

1.055 2,89 5/08/2012 50.000 34.237 1.238 3,39 4/02/2013 1.050.000 673.256

Suma = 916.728

El valor de mercado, a la fecha del 15 de septiembre del 2009, es de $916.728 por un bono de valor nominal o facial de $1.000.000. Al mismo valor se puede llegar aplicando la función de valor presente no periódico (VNA.NO.PER), que calcula el valor presente de un flujo de caja que no es periódico. La forma de la función es: Valor presente = VNA.NO.PER (C3;F6:F13;E6:E13), donde C3, corresponde a la tasa de interés de mercado, F6:F13 al rango en que se encuentran los valores y E6:E13 a las fechas en las cuales hay flujo de caja. Para nuestro ejemplo: Valor presente = VNA.NO.PER(14%;0,50.000,…,1.050.000;15/09/2009…4/02/2013) Valor presente = 916,728 ¿Cual sería la rentabilidad de una inversión, si el bono se compra por un valor de $890.000 el 15 de septiembre del año 2009? En el Cuadro 4.27 se muestran los valores necesarios para una respuesta a la pregun-ta formulada; como se trata de períodos que no son iguales, no se puede utilizar directamente la tasa interna de retorno (TIR). Una forma de resolver el problema es utilizar la función “Buscar objetivo” de Excel al flujo de caja, donde la celda objetivo

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[129] [129]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

es la suma de los valores presentes individuales, la cual muestra el valor final de 890.000, y la celda a variar es la que contiene la tasa de interés de mercado, cuyo valor inicial fue de 14%.

Cuadro 4.27

Fecha (días) Fecha (años) Fecha Flujo caja Valor presente

0 0 15/09/2009 -890.000143 0,39 5/02/2010 50.000 47.308 325 0,89 6/08/2010 50.000 44.091 508 1,39 5/02/2011 50.000 41.077 690 1,89 6/08/2011 50.000 38.283 873 2,39 5/02/2012 50.000 35.666

1.055 2,89 5/08/2012 50.000 33.241 1.238 3,39 4/02/2013 1.050.000 650.333

Suma = 890.000

Al utilizar la función “Buscar objetivo” de Excel se obtiene una tasa de interés de mercado igual al 15,17% efectivo anual. Este valor también se hubiera podido encontrar utilizando directamente la función TIR.NO.PER, que devuelve la tasa interna de retorno para un flujo no periódico. En este caso: Rentabilidad = TIR.NO.PER(F22:F29; E22:E29; 0,12), donde el rango F22:F29 contie-ne los valores del flujo de caja; el rango E22:E29 contiene las fechas en las cuales hay flujo de caja; 0,12 es un valor inicial, para que comience a iterar; se podría haber utili-zado otro valor cercano: Rentabilidad = TIR.NO.PER (- 890.000,50.000…,1.050.000;15/09/2009…4/02/2013;0,12) Rentabilidad = 15,17%

E J E R C I C I O S P A R A R E S O L V E R

1. Considere los dos proyectos de inversión A y B, con los flujos de fondos que se

muestran en el Cuadro 4.28, donde también se presenta la alternativa incremen-tal (B-A); los dos proyectos son mutuamente excluyentes:

Ejercicios para resolver

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[130]

Capítulo 4

[130] J A V I E R S E R R A N O

Cuadro 4.28

Año Proyecto A Proyecto B (B-A)

0 -400.000 -400.000 01 190.000 165.000 -25.0002 195.700 178.200 -17.5003 201.571 192.456 -9.1154 207.618 207.852 2345 213.847 224.481 10.6346 220.262 242.439 22.1777 226.870 261.834 34.9648 233.676 282.781 49.1059 240.686 305.403 64.717

10 247.907 329.836 81.929

a)� Grafique el valor presente neto de los dos proyectos.

Figura 4.18

b)� Calcule el valor presente neto y la tasa interna de retorno para los dos pro-

yectos; la tasa de interés de oportunidad es del 25%. ($339.011,99, $345.593,23).

c)� ¿Cuál sería el proyecto a seleccionar, si los dos proyectos son mutuamente excluyentes? (Selección, B).

2. Para el problema anterior y utilizando la tasa interna de retorno, llegue al orde-namiento correcto de las dos alternativas de inversión.

3. Para el problema 1, ¿cuál sería la rentabilidad anual de los $400.000 durante los 10 años, si la tasa de interés de oportunidad, a la cual se reinvierten los flujos de

-500.000

0

500.000

1.000.000

1.500.000

2.000.000

2.500.000

0% 20% 40% 60% 80% 100%

���

��������������� �� ���

VPN(A) VPN(B)

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[131] [131]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ejercicios para resolver

fondos liberados por el proyecto, es del 25% efectivo anual? (Rentabilidad del proyecto A: 32,91%, rentabilidad de B: 33,03%).

4. Considere los dos proyectos de inversión que se muestran en el Cuadro 4.29, si ambos son mutuamente excluyentes; la tasa de interés de oportunidad es del 25% efectivo anual. a)� Calcule el valor presente neto de los dos proyectos. ($344.564,44,

$403.749,70). b)� Calcule la tasa interna de retorno de los dos proyectos. (51,27%, 46,04%). c)� ¿Cómo se compara el ordenamiento a través del valor presente neto, con el

que se obtiene a través de la tasa interna de retorno? (Contradictorio, orden por valor presente neto: B, A; orden por tasa interna de retorno: A, B).

d)� Calcular la relación beneficio - costo para los dos proyectos. (1,91, 1,80). e)� ¿Cuál sería la selección adecuada entre los dos proyectos, si son mutuamente ex-

cluyentes? Justifique su respuesta. (B, porque tiene un mayor presente neto).

Cuadro 4.29

Año Proyecto A Proyecto B (B-A)

0 -375.000 -500.000 -125.0001 185.000 200.000 15.0002 190.550 216.000 25.4503 196.267 233.280 37.0144 202.154 251.942 49.7885 208.219 272.098 63.8796 214.466 293.866 79.4007 220.900 317.375 96.4758 227.527 342.765 115.2389 234.352 370.186 135.834

10 241.383 399.801 158.418

5. Para el problema anterior y utilizando la tasa interna de retorno, llegue al orde-

namiento correcto de las dos alternativas de inversión. 6. Para el proyecto del problema 4, ¿cuál sería la rentabilidad anual de los $500.000

durante los 10 años, si la tasa de interés de oportunidad, a la cual se reinvierten los flujos de fondos liberados por el proyecto, es del 25% efectivo anual? (29,63%, 32,62%).

7. Considere los tres proyectos de inversión que se muestran en el Cuadro 4.30, con la misma vida útil a 6 años, pero con montos de inversión diferentes; la tasa de interés de oportunidad es del 25% y los tres proyectos son mutuamente exclu-yentes.

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[132]

Capítulo 4

[132] J A V I E R S E R R A N O

Cuadro 4.30

Año 0 1 2 3 4 5 6

Proyecto A -400.000 200.000 280.000 392.000 548.800 768.320 1.075.648Proyecto B -600.000 250.000 350.000 490.000 686.000 960.400 1.344.560Proyecto C -800.000 300.000 420.000 588.000 823.200 1.152.480 1.613.472

a)� ¿Cuál es el valor presente neto para cada uno de los tres proyectos?

($898.430,25, $1.123.037,81, $1.147.645,37). b)� ¿Cuál es la tasa interna de retorno para cada uno de los tres proyectos?

(78,27%, 67,42%, 61,71%). c)� ¿Cuál es la relación beneficio-costo para cada uno de los tres proyectos?

(3,24, 2,70, 2,43). d)� ¿Cuál sería el ordenamiento correcto de los tres proyectos? Justifique su res-

puesta. (C, B, A, por el criterio del valor presente neto). 8. Para los tres proyectos considerados en el problema 7, llegue al ordenamiento

correcto utilizando análisis incremental y la tasa interna de retorno. (Orden por análisis incremental: C, B, A; orden por tasa interna de retorno: A, B, C).

9. Para el problema 7, ¿cuál sería la rentabilidad anual de los $800.000 durante los 6 años? (35,50%, 40,64%, 44,98%).

10. Calcule el costo efectivo de un préstamo, que es pactado a un interés del 32% nominal anual y plazo de un año, para las siguientes dos condiciones: a)� Si los intereses se pagan: - Trimestre anticipado (39,58%). - Quincena anticipada (38,00%). b)� ¿Cuál será si a las condiciones iniciales (trimestre anticipado) se agrega el

pago de una comisión por estudio del crédito del 1%, cobrada anticipada-mente? (41,32%).

11. ¿Cuál es el costo efectivo anual de un crédito ordinario con las siguientes condi-ciones? Interés: 30% nominal anual trimestre anticipado. Plazo: 2 años. Comisión de manejo: 2% pagadera anticipadamente, una sola vez. Amortización: la deuda se amortiza semestralmente a partir del final del cuarto trimestre y los intereses se pagan sobre saldo. (39,05%).

12. ¿Cuál es la rentabilidad de un CDT (Certificado de Depósito a Término) que paga un interés del 6% NASV, emitido a 6 meses, si se compra por un 92,50% de su valor nominal? (23,99%).

13. El propietario de un CDT que paga un interés del 6% NASV, cuyo vencimiento es dentro de 13 días le propone que usted se lo descuente (compre) por un valor igual al 99% de su valor nominal. ¿Le interesaría el negocio? ¿Qué rentabilidad efectiva obtendría? (204,07%).

14. ¿Cuánto debería ofrecer por un CDT al que le faltan 48 días para su vencimien-to? El CDT fue emitido inicialmente a 90 días, con un interés del 14% nominal

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[133] [133]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

anual pagadero mes vencido. El objetivo es obtener en la transacción una renta-bilidad efectiva del 24% anual. (99,48%).

15. ¿Cuánto debería ofrecer por un CDT emitido en las siguientes condiciones nomi-nales? Interés: 18% pagadero trimestre anticipado Plazo: 90 días Valor nominal: $1.000.000

Al certificado le faltan 52 días para su madurez. El objetivo es obtener una renta-bilidad efectiva anual del 24%. ($969.818,80).

16. ¿Cuánto se debe ofrecer por un CDT emitido en las siguientes condiciones?: Interés: 17% nominal anual pagadero mes vencido Plazo: 90 días Valor nominal: $10.000.000

Actualmente le faltan 37 días para su madurez. El objetivo es obtener una renta-bilidad efectiva anual del 23%. ($10.072.166,66).

17. ¿Cuál es la rentabilidad en pesos de un bono en dólares emitido a 2 años, con un interés del 7% nominal anual, pagadero trimestre vencido, el cual se compra a un 98,5% de su valor nominal? La devaluación efectiva esperada para los próximos 2 años es del 12% anual. (21,01%).

18. ¿Cuál es el costo de una financiación en dólares otorgada en las siguientes condi-ciones?

Interés: “Prime” más dos puntos y medio (Prime+2,5), pagaderos trimestre ven-cido sobre saldo Amortización: semestral Plazo: 4 años Período de gracia: 1 año

Adicionalmente se cobra un gasto administrativo del 1,5% anual sobre el saldo al comienzo del mismo período. La devaluación efectiva esperada para los próximos años es del 12% anual. (25,32%).

19. ¿Cuál es la rentabilidad de un bono en pesos, emitido a 3 años, que paga un in-terés del 18% nominal anual pagadero trimestre vencido, el cual se compra a un 98% de su valor nominal? (20,27%).

20. Para el problema anterior, ¿cuánto debería ofrecer por el bono, cuando le faltan 187 días para su vencimiento, si el objetivo es obtener una rentabilidad efectiva anual del 23,5%? (102,52%).

21. Una compañía de leasing lo contrató a usted para que realice los cálculos necesa-rios para desarrollar su “Tabla de precios” (tarifas) oficial. El objetivo de la compañía es obtener en todas sus operaciones una rentabilidad efectiva anual del 32% antes de impuestos. Se cobran las cuotas mensualmente de manera antici-pada y se ofrecen contratos de arrendamiento a 24 y 36 meses con opciones de compra (valor residual) al final del contrato del 5% o 10% a libre escogencia del cliente.

Asuma que el cliente paga el valor residual un mes después del último canon de arrendamiento.

Ejercicios para resolver

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[134]

Capítulo 4

[134] J A V I E R S E R R A N O

(Cuota: mes anticipado, 24 meses, valor residual del 5% = 5,21%; cuota: mes anticipado, 24 meses, valor residual del 10% = 5,05%; cuota: mes anticipado, 36 meses, valor residual del 5% = 3,95%, y cuota: mes anticipado, 36 meses, valor residual del 10% = 3,87%).

22. Una empresa productora de carnes frías emitió bonos en las siguientes condiciones: Fecha de emisión: 26 de octubre de 1998 Fecha de vencimiento: 26 de octubre de 2001 Valor nominal; $100.000.000 Interés: 18% nominal anual pagadero semestre anticipado

Actualmente faltan 569 días para el vencimiento. ¿En cuánto se debe comprar el bono en el mercado secundario para obtener una rentabilidad del 24% efectivo anual? ($95.099.511,12).

23. Un constructor se encuentra indeciso sobre la forma de pago que más le convie-ne al vender una propiedad. Las alternativas son: a)� Pago de contado por valor de $35.000.000. b)� Cuota inicial de $6.000.000 el 1º de abril, 12 cuotas mensuales (al final del

mes) de $1.500.000 y $17.500.000 al final del mes 12. c)� 4 cuotas de $6.000.000 pagaderas trimestre anticipado a partir del 1º de abril

y $17.500.000 el 1º de abril del siguiente año. Los pagos que se reciben se invierten a una tasa de interés efectiva anual del

20%. ¿Cuál es la mejor decisión para el constructor? (Mejor decisión: alternativa C, maximiza el valor presente neto: $37.026.391,35).

24. Un préstamo en dólares por valor de US$ 200.000 a 18 meses, con un interés nominal igual a Prime + 2, se va a amortizar totalmente al final de los 18 meses. Los intereses se cobran mensualmente; además se cobra una comisión del 1,5% al comienzo del préstamo por una sola vez. Suponga una tasa Prime nominal anual del 7,5% y una devaluación efectiva anual del 12%. ¿Cuál sería el costo del préstamo en pesos? (24,44%).

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[135]

Capítulo 5

MATEMÁTICAS FINANCIERAS: RESUMEN A TRAVÉS DE PROBLEMAS AVANZADOS Los capítulos 2, 3 y 4 muestran las principales relaciones que comprenden las bases de las finanzas y que se conocen usualmente como matemáticas financieras. Su deri-vación es bastante sencilla; sin embargo, su utilización requiere la familiarización con la correcta aplicación de esas relaciones, especialmente con los supuestos inherentes a cada una de las fórmulas derivadas, que solamente se adquiere con la realización de muchos ejercicios. En este capítulo y a manera de resumen de las relaciones conocidas como matemáticas financieras, se presenta un conjunto de problemas de mayor difi-cultad que permiten interrelacionar las diferentes expresiones derivadas paulatina-mente a lo largo de los capítulos 2, 3 y 4 anteriores. El objetivo es dar una visión integral de las matemáticas financieras, independientemente del orden en el cual fue-ron derivadas, y preparar al lector, a manera de repaso, para los siguientes capítulos. T A S A S D E I N T E R É S : N O M I N A L E S Y E F E C T I V A S

En el Capítulo 3 se dedujeron y aplicaron las relaciones que permiten encontrar el interés efectivo equivalente a un interés nominal pagadero período vencido o período anticipado, y se propusieron varios ejemplos que ilustran aplicaciones que se presen-tan con frecuencia. En este capítulo, a modo de ilustración, se ofrecen cuatro ejem-plos que resumen lo expuesto en el Capítulo 3. Ejemplo 5.1 Encontrar el interés que, pagadero trimestre anticipado, es equivalente a un interés del 16% nominal anual pagadero mes vencido. El primer paso para resolver este problema es encontrar el interés efectivo correspon-diente a un interés del 16% nominal anual pagadero mes vencido. Para ello, se aplica la fórmula que relaciona el interés efectivo con un interés pagado periódicamente; esto es:

0,17227 = 1-(0,01333))+(1 = 1-12

0,16+1 = 1-)i+(1 = i 12

12periódos#

pe ���

����

����

���

De igual forma se encuentra el interés periódico que, pagadero trimestre vencido, es equivalente a un interés del 17,227% efectivo anual.

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[136]

Capítulo 5

[136] J A V I E R S E R R A N O

itv = (1+0,17227)(1/4) –1 = 0,040535 Ahora se encuentra el interés trimestral, pagadero trimestre anticipado, equivalente a un interés del 4,0535%:

0,038956 = 0,040535)+(1

0,040535 =

)i +(1i

= itv

tvta

Por lo tanto, un interés del 15,5826%, pagadero trimestre anticipado, es equivalente a un interés del 16% nominal anual pagadero mes vencido, en la medida en que am-bos tienen el mismo interés efectivo. Ejemplo 5.2 Construir una tabla que permita encontrar equivalencias entre diferentes modalidades de pagos, para un mismo interés vencido. La tabla se debe construir para un rango de intereses que fluctúe entre el 12% y el 24% efectivo, con incrementos del 2%. Los resultados se muestran en el Cuadro 5.1 y se obtuvieron aplicando las relaciones deri-vadas en el Capítulo 3. A manera de ejemplo, un interés del 14,570% nominal anual pagadero trimestre anticipado es equivalente a un interés del 15,121% nominal anual pagadero trimestre vencido, ya que ambos tienen el mismo interés efectivo del 16%. Los resultados se presentan en el Cuadro 5.1:

Cuadro 5. 1

Tasa de interés efectiva

Frecuencia Frecuencia 12,000% 14,000% 16,000% 18,000% 20,000% 22,000% 24,000%

Interés nominal, pagadero período vencido 1 AV 12,000% 14,000% 16,000% 18,000% 20,000% 22,000% 24,000%2 SV 11,660% 13,542% 15,407% 17,256% 19,089% 20,907% 22,711%4 TV 11,495% 13,320% 15,121% 16,899% 18,654% 20,388% 22,100%12 MV 11,387% 13,175% 14,934% 16,666% 18,371% 20,051% 21,705%24 QV 11,360% 13,139% 14,888% 16,609% 18,302% 19,968% 21,608%

365 DV 11,335% 13,105% 14,845% 16,555% 18,237% 19,891% 21,517%

Interés nominal, pagadero período anticipado 365 DA 11,331% 13,100% 14,839% 16,548% 18,228% 19,880% 21,505%24 QA 11,306% 13,067% 14,796% 16,495% 18,163% 19,803% 21,415%12 MA 11,280% 13,032% 14,751% 16,438% 18,094% 19,721% 21,319%4 TA 11,174% 12,891% 14,570% 16,214% 17,823% 19,399% 20,943%2 SA 11,018% 12,683% 14,305% 15,885% 17,426% 18,929% 20,395%1 AA 10,714% 12,281% 13,793% 15,254% 16,667% 18,033% 19,355%

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[137] [137]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Tasas de interés: nominales y efectivas

Ejemplo 5.3 ¿Cuál es el interés nominal anual que, pagadero mes vencido, es equivalente a un interés del 13% nominal anual trimestre vencido? Interés solicitado: NA MV Interés nominal dado:13,00% NA TV Interés trimestral (vencido): 3,25% Relación básica: (1+ ie) = (1+ipv)Número de períodos

a)� Interés efectivo correspondiente a un interés del 13,00% NATV

(1+ ie) = (1+itv)4 ie = 13,648%

b)� Interés mes vencido equivalente a un interés efectivo del 13,648%

(1+ 0,13648) = (1+imv) 12 imv = (1,13648)(1/12) - 1 = 1,0718%

c)� Interés solicitado

NA MV = 12* 1,0718% = 12,86%

d)� Comprobación:

Ambas modalidades de interés son equivalentes, porque tienen el mismo interés efectivo:

NA TV: 13,00%; Efectivo:13,648%, NA MV: 12,86%; Efectivo:13,648%

Ejemplo 5.4 ¿Cuál es el interés nominal anual que pagadero trimestre vencido es equivalente a un interés del 11% nominal anual pagadero día vencido? Interés solicitado: NA TV Interés nominal dado: 11,00% NA DV Interés diario: 0,0301% DV

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[138]

Capítulo 5

[138] J A V I E R S E R R A N O

Fórmula básica Relación básica: (1+ ie) = (1+ipv) Número de períodos

a)� Interés efectivo correspondiente a un interés del 11,00% NA DV

(1+ ie) = (1+idv)365 ie = 11,626% (1+ 0,11626) = (1+itv) 4 itv = (1,11626)(1/4) - 1 = 2,7877%

b)� Interés solicitado NA TV = 4* 2,7877 =11,15%

c)� Comprobación

Ambos son equivalentes, porque tienen el mismo interés efectivo NA DV: 11,00%; efectivo: 11,626% NA TV: 11,15%; efectivo: 11,626%

R E L A C I O N E S B Á S I C A S Y T A S A S E F E C T I V A S

Las relaciones de equivalencia presentadas en los capítulos 2 y 3 constituyen las bases de las matemáticas financieras; el desarrollo moderno de las herramientas de compu-tación, especialmente las hojas de cálculo, facilita la realización de cómputos que de otra manera serían complejos y tomarían un tiempo apreciable. La derivación de las relaciones de equivalencia se hizo en una forma independiente de la expresión de las tasas de interés en términos anuales, ya sea en términos de intereses efectivos o de intereses nominales pagaderos período vencido. En los dos problemas que se presen-tan a continuación se hace una integración de las principales relaciones de equivalen-cia y de las tasas de interés expresadas inicialmente en períodos diferentes: períodos mensuales y tasas anuales. Como se explicó las fórmulas de equivalencia se pueden aplicar a cualquier período (día, mes, año, etc.) siempre y cuando se mantenga una consistencia con la tasa de interés que se está utilizando.

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[139] [139]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Relaciones básicas y tasas efectivas

Ejemplo 5.5

Un fondo de inversión reconoce un interés efectivo del 13% anual; se van a hacer 96 depósitos mensuales al fondo durante los próximos 8 años, por valor de $800.000 cada uno; el primer depósito se hace dentro de un mes y así sucesivamente hasta fi-nalizar el año 8. ¿Cuál sería la cantidad acumulada al final de los 8 años? Interés efectivo: 13% anual Número de años: 8 Número de depósitos a realizar: 96 Valor de cada depósito: $800.000, vencido, al final de cada mes a)� Conversión del interés efectivo en un interés mensual

Relación básica: (1+ ie) = (1+ipv) Número de períodos Para el caso mensual: (1+ ie) = (1+imv)12 Por lo tanto, Interés mensual (vencido), imv = (1+ ie)(1/12) – 1 = 1,0237%

b)� Valor futuro de una serie uniforme

FN = Depósito * [(1+imv)N - 1]/imv F96 = 800.000 * [(1+imv)96 - 1]/imv F96 = 800.000 * [(1+0,010237)96 - 1] / 0,010237 F96 = 800.000 * 162,01 = 129.605.893

c)� Utilización de la función “Valor futuro” de Excel

El mismo valor se hubiera podido encontrar utilizando la función de valor futuro de Excel. F96 = - FV (Tasa de interés; Número de períodos; valor del pago mensual) F96 = - FV (1,0237%; 96; 800.000) = 129.605.893

Ejemplo 5.6 ¿Cómo cambia la respuesta a la pregunta anterior si los depósitos se hacen anticipa-dos, esto es, el primer depósito se hace hoy (fecha cero) y así sucesivamente, y el

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[140]

Capítulo 5

[140] J A V I E R S E R R A N O

depósito 96 que es el último, se hace al finalizar el mes 95 (comienzo del mes 96), (las demás condiciones permanecen iguales)? En la Figura 5.1 se muestra la diferencia en los diagramas de flujos entre la situación planteada en este problema y la del problema anterior:

Figura 5.1

Si nos situamos en la fecha -1, en el diagrama de flujo correspondiente a este pro-blema (segundo), se tienen 96 pagos iguales que acumularían al final del mes 95 la misma suma que se calculó en el problema anterior, pero en el mes 96. Por ello, para llevar al mes 96, lo único que se tendría que hacer es llevar el valor acumulado al final del mes 95 al mes 96, multiplicando por (1+imv). Por lo tanto,

0,010237)+(1 * mvi

1] - 96imv)+[(1 * 800.000 = F96

F96 = 129.605.893 * 1,010237 = 130.932.648 El mismo valor se hubiera podido encontrar utilizando la función “Valor futuro” de Excel. F96 = -FV (tasa de interés; número de períodos; valor del pago mensual; 1) El 1 como argumento al final del conjunto de parámetros, indica que los pagos son anticipados, que corresponde exactamente a lo propuesto en este problema. F96 = -FV (1,0237%; 96; 800.000; 1) = 130.392.648 Este problema se puede resolver a través de otros esquemas que son equivalentes; el más extenso, llevando cada pago a valor futuro, lo cual se puede hacer en una forma muy fácil en Excel. Otra alternativa, sería llevar el primer pago a valor futuro, los 59 restantes a valor futuro al final del mes 59 utilizando la forma de una serie uniforme

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[141] [141]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Indicadores de la bondad económica de un proyecto de inversión

con 59 pagos, llevar nuevamente el valor resultante al mes 60 y sumar el valor futuro equivalente al primer pago; brevemente: F96,1 = 800.000 * (1+0,010237)96 = 2.126.755

3128.805.89= 0,010237)+(1 * 0,010237

1] - 0,010237)+[(1 * 800.000 = F

95

96,2�

F96 = 2.126.755 + 128.805.893 = 130.932.648 I N D I C A D O R E S D E L A B O N D A D E C O N Ó M I C A D E U N P R O Y E C T O D E I N V E R S I Ó N

Los dos indicadores principales para medir la bondad de una inversión, valor presente neto y tasa interna de retorno cubiertos en el Capítulo 4, tienen un amplio campo de aplicación en problemas de la vida real, ya sea para encontrar precios actuales de ac-tivos financieros, valor económico agregado por decisiones de inversión o simplemen-te la rentabilidad de decisiones gerenciales. En los siguientes dos ejemplos se revisa el cálculo de los indicadores, su interpretación, su aplicación, y se derivan otros indica-dores de rentabilidad como la rentabilidad media o verdadera, que combina la renta-bilidad interna del proyecto con la rentabilidad externa, medida esta última a través de la tasa de interés de oportunidad (TIO). Ejemplo 5.7

Considere el siguiente proyecto de inversión, con una vida útil de 10 años y los flujos de caja libre para el proyecto que se muestran en el Cuadro 5.2:

Cuadro 5.2

Año Proyecto A Flujos

0 -150.000.0001 35.000.0002 40.000.0003 44.000.0004 50.000.0005 60.000.0006 70.000.0007 80.000.0008 90.000.0009 105.000.00010 125.000.000

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[142]

Capítulo 5

[142] J A V I E R S E R R A N O

La tasa de interés de oportunidad del inversionista (TIO) es del 20% a)� ¿Cuál es el valor presente neto del proyecto? b)� ¿Cuál es la tasa interna de retorno? c)� ¿Cuál es la interpretación del valor presente neto que usted encontró en a)? d)� ¿Cuánto acumula al final del año 10 un inversionista a través del proyecto y de

las oportunidades convencionales? e)� ¿Cuál es la rentabilidad verdadera del inversionista para su inversión de

$150.000.000, a través de lo que permite el proyecto y lo que él puede hacer por fuera del proyecto?

f)� ¿Por qué la diferencia entre el valor encontrado en e) y el encontrado en b)?

En el Cuadro 5.3 se muestran los cálculos necesarios para dar respuesta a las pregun-tas solicitadas:

Cuadro 5.3

Año Proyecto A Valor presente Acumulación al Rentabilidad Flujos Flujo individual final del año 10 verdadera

0 -150.000.000 -150.000.000 -150.000.000 1 35.000.000 29.166.667 180.592.312 0 2 40.000.000 27.777.778 171.992.678 03 44.000.000 25.462.963 157.659.955 04 50.000.000 24.112.654 149.299.200 0 5 60.000.000 24.112.654 149.299.200 0 6 70.000.000 23.442.858 145.152.000 0 7 80.000.000 22.326.532 138.240.000 0 8 90.000.000 20.931.124 129.600.000 09 105.000.000 20.349.703 126.000.000 010 125.000.000 20.188.198 125.000.000 1.472.835.346

TIO= 20.00%

VPN(i=TIO) 87.871.131 87.871.131 Acum10 = 1.472.835.346 TIR = 32,18% RV = 25,66% 25,66%

a)� El valor presente neto del proyecto es igual a $87.871.131. Para su cálculo se

utilizó la función de valor presente neto (VNA en español) de Excel, utilizando como tasa de descuento la TIO del 20%.

b)� La tasa interna de retorno es igual al 32,18% y corresponde a la rentabilidad in-

terna del proyecto; para su cálculo se utilizó la función TIR de Excel.

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Indicadores de la bondad económica de un proyecto de inversión

c)� La interpretación del valor presente neto encontrado en a) corresponde a un va-lor económico adicional en la fecha cero, que el proyecto en estudio le agregaría a la empresa, frente a las inversiones convencionales que generan una rentabili-dad del 20%. Lo anterior significa que si las oportunidades convencionales gene-ran un valor económico igual a Z, este proyecto genera Z + $87.871.131 en términos de valor económico.

d)� La penúltima columna muestra la cantidad acumulada al final del año 10, por

cada flujo que libera el proyecto, reinvertido a la tasa de interés de oportunidad. A manera de ejemplo, para el flujo liberado al final del año 5:

AC10 = 60.000.000 * (1+0,20)5 = 149.299.200 Procediendo de igual forma para cada flujo y sumando, se obtiene: AC10 = 1.472.835.346

e)� Para encontrar la rentabilidad verdadera, se debe encontrar la tasa de interés que

permite acumular la cifra anterior ($1.472.835.346), partiendo de una inversión de $150.000.000, esto es:

150.000.000 * (1+Rv)10 =1.472.835.346 Despejando, se obtiene: Rv = (1.472.835.346/150.000.000)(1/10) -1 = 25,66% El mismo valor se puede obtener encontrando la tasa interna de retorno (TIR) del flujo que se muestra en la última columna, lo cual da nuevamente 25,66%. Así mismo, el valor anterior se puede obtener aplicando directamente la función de tasa de interés modificada (TIRM) al flujo original (flujos del proyecto A); esto es: RV = TIRM(valores; tasa de financiamiento; tasa de reinversión) RV = TIRM(35.000:125.000.000; 0; 0,20) = 25,66%

f)� La tasa encontrada en b) es una rentabilidad interna del proyecto; es lo que el

proyecto le permite generar a 1 peso, mientras el mismo se encuentre invertido en el proyecto. La rentabilidad verdadera es un promedio entre lo que renta in-ternamente el proyecto y lo que se puede hacer por fuera del proyecto, esto es, reinvertir los flujos liberados a la tasa de interés de oportunidad (20%).

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[144]

Capítulo 5

[144] J A V I E R S E R R A N O

Ejemplo 5.8

Considere los dos proyectos de inversión A y B, mutuamente excluyentes, que se muestran en el Cuadro 5.4, donde también se muestran los resultados de los cálculos para el valor presente neto calculado para una TIO del 18% y la tasa interna de re-torno, cálculos que se deben verificar. Como se muestra, el ordenamiento o selección que produce el valor presente neto es diferente al ordenamiento o selección que pro-duce la tasa interna de retorno. a)� ¿Cuál ordenamiento es el correcto? ¿Por qué? b)� ¿Cuál es la suma que permite acumular cada proyecto y las oportunidades con-

vencionales? c)� ¿Cuál es la rentabilidad verdadera del inversionista para su inversión de

$150.000.000, a través de lo que permite hacer cada proyecto y lo que él puede hacer por fuera del proyecto?

Cuadro 5.4

Año Proyecto A Proyecto B

Flujos Flujos

0 -150.000.000 -150.000.0001 35.000.000 20.000.0002 40.000.000 30.000.0003 44.000.000 35.000.0004 50.000.000 45.000.0005 60.000.000 50.000.0006 70.000.000 70.000.0007 80.000.000 95.000.0008 90.000.000 120.000.0009 105.000.000 170.000.000

10 125.000.000 190.000.000

TIO= 20.00%

VPN (i=TIO)= 87.871.131 91.046.876 TIR = 32,18% 30,39%

En el Cuadro 5.5 se muestran los cálculos necesarios para responder a las preguntas: ��������

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[145] [145]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Cuadro 5.5

Año Proyecto A

flujos Proyecto B

flujos

Valor presente flujo individual

Proyecto A

Valor presente flujo individual

Proyecto B

Acumulación al final del año 10

Proyecto A

Acumulación al final del año 10

Proyecto B 0 150.000.000 -150.000.000 -150.000.000 -150.000.000 1 35.000.000 20.000.000 29.166.667 16.666.667 180.592.312 103.195.607 2 40.000.000 30.000.000 27.777.778 20.833.333 171.992.678 128.994.509 3 44.000.000 35.000.000 25.462.963 20.254.630 157.659.955 125.411.328 4 50.000.000 45.000.000 24.112.654 21.701.389 149.299.200 134.369.280 5 60.000.000 50.000.000 24.112.654 20.093.879 149.299.200 124.416.000 6 70.000.000 70.000.000 23.442.858 23.442.858 145.152.000 145.152.000 7 80.000.000 95.000.000 22.326.532 26.512.756 138.240.000 164.160.000 8 90.000.000 120.000.000 20.931.124 27.908.165 129.600.000 172.800.000 9 105.000.000 170.000.000 20.349.703 32.947.139 126.000.000 204.000.000

10 125.000.000 190.000.000 20.188.198 30.686.061 125.000.000 190.000.000 91.046.876

TIO= 20,00%

VPN(i=TIO) 87.871.131 91.046.876 87.871.131 Acum10 = 1.472.835.346 1.492.498.724 TIR = 32,18% 30,39% RV = 25,66% 25,83%

a)� El ordenamiento correcto es el que produce el valor presente neto, ya que tiene

implícito el supuesto correcto, esto es, que los flujos que libera el proyecto se re-invierten a la tasa de interés de oportunidad (TIO). Como se verá posteriormen-te, este ordenamiento coincide con el de la rentabilidad verdadera o rentabilidad media.

b)� En el cuadro se muestran los cálculos intermedios y el resultado final para cada

proyecto: ACA,10 = $1.472.835.346 ACB,10 = $1.492.498.724 La acumulación a través del proyecto B es mayor que la acumulación a través del proyecto A.

c)� Encontrar la rentabilidad verdadera del inversionista para su inversión de

$150.000.000, para ello se resuelve en cada caso la ecuación:

150.000.000 * (1+RVA)10 =1.472.835.346 150.000.000 * (1+RVB)10 =1.492.498.724 Por lo tanto, RVA = 25,66% RVB = 25,83%

Indicadores de la bondad económica de un proyecto de inversión

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[146]

Capítulo 5

[146] J A V I E R S E R R A N O

A M O R T I Z A C I Ó N Y R E E S T R U C T U R A C I Ó N D E C R É D I T O S

La determinación de la cuota a pagar para amortizar un crédito es un problema relati-vamente sencillo, que requiere un trabajo adicional bastante importante para des-componer la cuota mensual en intereses y amortización a capital. Hay que recordar que el valor total de la cuota afecta el flujo de caja de un proyecto o de una empresa; sin embargo, solamente los intereses hacen parte del estado de pérdidas y ganancias (gastos financieros) y son deducibles de impuestos. En los siguientes cinco ejemplos se ilustra el cálculo de la cuota mensual y su descomposición en intereses y amortiza-ción a capital.

Ejemplo 5.9

Suponga un crédito a 5 años, con un interés efectivo del 20% anual, y 60 pagos mensuales iguales al final de cada mes (cuota uniforme). El valor del crédito es de $60.000.000. ¿Cuál sería la cuota mensual?

Para calcular la cuota mensual se debe tener en cuenta que las 60 cuotas mensuales traídas a valor presente a una tasa mensual equivalente a un 20% efectivo anual, tienen que ser iguales al monto del crédito. En otras palabras, se trata de calcular el valor presente correspondiente a una serie uniforme de 60 pagos, que sea igual a $60.000.000, utilizando una tasa de interés mensual equivalente a una tasa efectiva anual del 20%. Esta tasa mensual es del 1,5309%. Por lo tanto:

60.000.000 = Cuota mensual * ]0,015309)+(1*[0,015309

1]-0,015309)+[(160

60

60.000.000 = Cuota mensual * 39,068786 Cuota mensual = 1.535.752,84

El valor de la cuota anterior se podría haber calculado directamente utilizando la fun-ción de pago de Excel: PAGO(0,015309,60,60.000.000).

Ejemplo 5.10

Descomponer el valor de la cuota mensual del problema anterior entre intereses y amortización a capital.

Para la descomposición de la cuota en intereses y amortización a capital hay que construir una tabla como la que se muestra en el Cuadro 5.6, en la cual del valor de la cuota mensual se resta el monto de los intereses mensuales a pagar, sobre saldo al comienzo del período. A manera de ejemplo, al comienzo del mes 15, el saldo del crédito era de $50.444.636; si se aplica un interés del 1,5309% mensual sobre este saldo, el valor de los intereses mensuales sería de $772.281. El valor de la cuota uni-

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[147] [147]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Amortización y reestructuración de créditos

forme es de $1.535.753; por lo tanto la amortización a capital durante el mes 15 co-rresponde a la diferencia ($1.535.753-$772.281), para un valor de $763.472; de igual forma se hace la descomposición entre intereses y amortización a capital, para cualquier mes durante la vigencia del crédito. Como se mencionó, los gastos financie-ros son los únicos deducibles de impuestos.

Para encontrar el valor correspondiente al pago de intereses y a la amortización de capital se podrían haber utilizado respectivamente las dos fórmulas de Excel, PAGOINT y PAGOPRIN.

PAGOINT(0,015309;15;60;60.000.000) = 772.281 PAGOPRIN(0,015309;15;60;60.000.000) = 763.472

Cuadro 5.6

Cuota Valor Saldo

Interés Amortización

CuotaValor Saldo

Interés Amortización

Cuota Crédito a capital Cuota Crédito a capital

1 1.535.753 59.382.815 918.568 617.185 31 1.535.753 35.747.524 562.181 973.572

2 1.535.753 58.756.182 909.119 626.633 32 1.535.753 34.759.047 547.276 988.477

3 1.535.753 58.119.955 899.526 636.227 33 1.535.753 33.755.437 532.143 1.003.610

4 1.535.753 57.473.988 889.786 645.967 34 1.535.753 32.736.462 516.778 1.018.975

5 1.535.753 56.818.131 879.896 655.857 35 1.535.753 31.701.887 501.178 1.034.575

6 1.535.753 56.152.234 869.856 665.897 36 1.535.753 30.651.473 485.339 1.050.414

7 1.535.753 55.476.142 859.661 676.092 37 1.535.753 29.584.978 469.258 1.066.495

8 1.535.753 54.789.700 849.310 686.442 38 1.535.753 28.502.155 452.930 1.082.823

9 1.535.753 54.092.748 838.801 696.952 39 1.535.753 27.402.755 436.353 1.099.400

10 1.535.753 53.385.127 828.131 707.622 40 1.535.753 26.286.524 419.522 1.116.231

11 1.535.753 52.666.672 817.298 718.455 41 1.535.753 25.153.204 402.433 1.133.320

12 1.535.753 51.937.218 806.299 729.454 42 1.535.753 24.002.533 385.082 1.150.671

13 1.535.753 51.196.596 795.131 740.622 43 1.535.753 22.834.247 367.466 1.168.287

14 1.535.753 50.444.636 783.793 751.960 44 1.535.753 21.648.074 349.580 1.186.173

15 1.535.753 49.681.164 772.281 763.472 45 1.535.753 20.443.742 331.421 1.204.332

16 1.535.753 48.906.003 760.592 775.161 46 1.535.753 19.220.972 312.983 1.222.770

17 1.535.753 48.118.976 748.725 787.028 47 1.535.753 17.979.482 294.263 1.241.490

18 1.535.753 47.319.899 736.676 799.077 48 1.535.753 16.718.985 275.256 1.260.497

19 1.535.753 46.508.588 724.443 811.310 49 1.535.753 15.439.191 255.959 1.279.794

20 1.535.753 45.684.857 712.022 823.731 50 1.535.753 14.139.804 236.366 1.299.387

21 1.535.753 44.848.516 699.411 836.342 51 1.535.753 12.820.524 216.473 1.319.280

22 1.535.753 43.999.370 686.607 849.146 52 1.535.753 11.481.047 196.275 1.339.477

23 1.535.753 43.137.224 673.607 862.146 53 1.535.753 10.121.063 175.769 1.359.984

24 1.535.753 42.261.879 660.408 875.345 54 1.535.753 8.740.258 154.948 1.380.805

25 1.535.753 41.373.133 647.007 888.746 55 1.535.753 7.338.314 133.809 1.401.944

26 1.535.753 40.470.781 633.401 902.352 56 1.535.753 5.914.907 112.346 1.423.407

27 1.535.753 39.554.615 619.586 916.167 57 1.535.753 4.469.708 90.554 1.445.199

28 1.535.753 38.624.422 605.560 930.193 58 1.535.753 3.002.384 68.429 1.467.324

29 1.535.753 37.679.989 591.319 944.433 59 1.535.753 1.512.596 45.965 1.489.788

30 1.535.753 36.721.096 576.861 958.892 60 1.535.753 0 23.157 1.512.596

Con frecuencia se presenta la necesidad de reestructurar un crédito una vez que ha transcurrido un período de tiempo desde el momento del desembolso y la deuda se ha estado sirviendo adecuadamente. La reestructuración puede consistir en cambiar

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[148]

Capítulo 5

[148] J A V I E R S E R R A N O

una o varias condiciones de las que fueron pactadas inicialmente (p. ej., plazo, tasa de interés, modalidad de pago, modalidad de amortización).

Ejemplo 5.11

En el crédito del problema anterior, una vez que han transcurrido 26 meses desde el desembolso, y se han hecho 26 pagos, se solicita una reestructuración del crédito, para ampliar su plazo por cinco años más a partir de la finalización del mes 26 y dis-minuir la tasa de interés al 16% efectivo anual. ¿Cuál debería ser el monto de la cuo-ta a pagar, si se mantiene el sistema de una cuota uniforme o constante, durante la vigencia del crédito?

La tasa de interés del 16% efectiva anual es equivalente a una tasa de interés del 1,2445% mes vencido. El saldo del crédito al finalizar el mes 26, después de 26 pagos mensuales, es de $40.470.781, tal y como se puede observar en la tabla que se cons-truyó para el problema anterior. Hay que recordar que todo pago tiene dos compo-nentes, uno de interés y otro de amortización a capital.

Por lo tanto, el valor del crédito, o sea el saldo por amortizar a la finalización del mes 26, una vez se ha hecho el correspondiente pago, es de $40.470.781, que sería el monto a amortizar durante la vigencia del crédito reestructurado, esto es durante 5 años o 60 meses. Aplicando nuevamente la relación básica para encontrar el valor presente de una cuota mensual uniforme o constante durante 60 meses, a una tasa de interés mensual del 1,2445%, se obtiene el valor de la nueva cuota a pagar:

40.470.781 = Nueva cuota mensual * ]0,012445)+(1*[0,012445

1]-0,012445)+[(160

60

Despejando, se obtiene el valor de la nueva cuota a pagar:

Nueva cuota a pagar: $961.399,05

Ejemplo 5.12

Un crédito por valor de $100.000.000 a 7 años, se va a pagar mensualmente, en pa-gos iguales, al final de cada mes, durante la vigencia del crédito (cuota constante). La tasa de interés del crédito es del 21% nominal anual, trimestre vencido. ¿Cuál es el valor de la cuota mensual? Monto del crédito: $100.000.000 Tasa de interés: 21% NA TV Plazo: 7 años Plazo: 84 meses

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[149] [149]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Tasa efectiva del crédito: 22,71% Tasa mensual: 1,720% Valor de la cuota anual:

100.000.000 = Cuota* ])i+(1*[i

1]-)i+[(184

mvmv

84mv

100.000.000 = Cuota * 44,26

Valor de la cuota mensual: $2.259.490

Utilizando la función “Pago” de Excel: Valor de la cuota = PAGO(1,720%;84;100.000.000) = $2.259.490

Ejemplo 5.13

¿Cómo se descompone la cuota número 50 del problema 5.12, entre amortización a capital y pago de interés?

En el Cuadro 5.7 se muestra parcialmente un procedimiento para descomponer la cuota pagada en pago de interés y amortización a capital; para el caso de la cuota del mes 50, el valor de la cuota ($2.259.490) se descompone en pago de intereses ($1.015.684) y amortización a capital ($1.243.806).

En la Figura 5.2 se muestra la cuota, y su descomposición mes a mes, durante la vida del crédito:

Figura 5.2 Descomposición de la cuota

Amortización y reestructuración de créditos

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[150]

Capítulo 5

[150] J A V I E R S E R R A N O

La descomposición de cualquier cuota entre intereses y amortización a capital se pue-de realizar utilizando las dos funciones de Excel:

PAGOINT(tasa; período solicitado; número de períodos; monto) PAGOINT(1,720%; 50; 84; 100.000.000) = $1.015.684 PAGOPRIN(tasa; período solicitado; número de períodos; monto) PAGOPRIN(1,720%; 50; 84; 100.000.000) = $1.243.805 �

Cuadro 5.7

Año Saldo comienzo mes Cuota Interés Amortización 1 100.000.000 2.259.490 1.720.238 539.252 2 99.460.748 2.259.490 1.710.962 548.528 3 98.912.220 2.259.490 1.701.526 557.964 4 98.354.256 2.259.490 1.691.927 567.562 5 97.786.694 2.259.490 1.682.164 577.326 6 97.209.368 2.259.490 1.672.233 587.257 7 96.622.111 2.259.490 1.662.130 597.359 8 96.024.752 2.259.490 1.651.854 607.635 9 95.417.117 2.259.490 1.641.402 618.088 10 94.799.028 2.259.490 1.630.769 628.721 37 73.422.219 2.259.490 1.263.037 996.453 38 72.425.766 2.259.490 1.245.896 1.013.594 39 71.412.172 2.259.490 1.228.459 1.031.030 40 70.381.142 2.259.490 1.210.723 1.048.766 41 69.332.375 2.259.490 1.192.682 1.066.808 42 68.265.568 2.259.490 1.174.330 1.085.159 43 67.180.408 2.259.490 1.155.663 1.103.827 44 66.076.581 2.259.490 1.136.675 1.122.815 45 64.953.766 2.259.490 1.117.359 1.142.130 46 63.811.636 2.259.490 1.097.712 1.161.778 47 62.649.858 2.259.490 1.077.727 1.181.763 48 61.468.095 2.259.490 1.057.398 1.202.092 49 60.266.003 2.259.490 1.036.719 1.222.771 50 59.043.232 2.259.490 1.015.684 1.243.806 81 8.662.254 2.259.490 149.011 2.110.478 82 6.551.775 2.259.490 112.706 2.146.784 83 4.404.992 2.259.490 75.776 2.183.713 84 2.221.278 2.259.490 38.211 2.221.278

N Ú M E R O D E P E R Í O D O S N E C E S A R I O S P A R A L O G R A R U N O B J E T I V O E S P E C Í F I C O

En algunos casos es necesario estimar el número de períodos para lograr un objetivo específico, bajo ciertas circunstancias, por ejemplo cuando un inversionista quiere co-nocer el tiempo que le lleva recuperar una inversión teniendo en cuenta el valor del dinero en el tiempo, o cuando se quiere acumular una cantidad haciendo depósitos

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[151] [151]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Número de períodos necesarios para lograr un objetivo específico

en algún fondo para cubrir un gasto futuro, tal como el pago de una pensión o la matrícula de un estudiante. En los siguientes dos ejemplos usted se enfrentará a de-terminar los períodos de tiempo necesarios para alcanzar un objetivo específico.

Ejemplo 5.14

Considere el flujo de caja del ejemplo 5.7 de este capítulo y estime el número de años que se requieren para recuperar la inversión, teniendo en cuenta el valor del dinero en el tiempo.

En el Cuadro 5.8 se muestran los cálculos necesarios para dar respuesta a la pregunta formulada:

Cuadro 5.8

Año Proyecto A

flujos Valor presenteflujo individual

Valor presente acumulado

0 -150.000.000 -150.000.000 -150.000.000 1 35.000.000 29.166.667 -120.833.333 2 40.000.000 27.777.778 -93.055.556 3 44.000.000 25.462.963 -67.592.593 4 50.000.000 24.112.654 -43.479.938 5 60.000.000 24.112.654 -19.367.284 6 70.000.000 23.442.858 4.075.574 7 80.000.000 22.326.532 26.402.106 8 90.000.000 20.931.124 47.333.230 9 105.000.000 20.349.703 67.682.933

10 125.000.000 20.188.198 87.871.131 TIO= 20,00% Número de años= 5,826 VPN (i=TIO) 87.871.131 Número de meses= 69,91 TIR = 32,18%

En la última columna se muestra el valor presente acumulado hasta ese momento, el cual se vuelve positivo en algún punto entre los años 5 y 6. Si se hace una aproxima-ción en línea recta, el tiempo necesario para recuperar la inversión sería de 5,826 años o su equivalente de 69,91 meses.

Ejemplo 5.15

Considere una situación en la cual se quiere acumular una suma de $120.000.000, haciendo depósitos mensuales iguales (serie uniforme), durante N meses. El valor de cada uno de los N depósitos será igual a $800.000. Se quiere averiguar el número de meses necesarios para acumular los $120.000.000. La tasa de interés anual es del 20% efectivo que corresponde a una tasa mensual vencida del 1,5309%.

Nuevamente se parte de la fórmula del valor futuro de una serie mensual uniforme, donde cada pago mensual es igual a $800.000.

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[152]

Capítulo 5

[152] J A V I E R S E R R A N O

[0,015309]1]-0,015309)+[(1

* 800.000 = 0120.000,00N

Despejando N en la ecuación anterior se obtiene:

1+ (VF/Cuota)*i = (1+i)N

N = i]+Ln[1

i]*)Cuota

VF( +Ln[1

N = 0,015193

1,1928 = 78,5

Si se hicieran 78 depósitos, el valor acumulado sería de $118.668.148 Si se hicieran 79 depósitos, el valor acumulado sería de $121.284.839

Otra forma de encontrar la misma respuesta sería a través de Excel, utilizando la fun-ción “Buscar objetivo”, para resolver la ecuación:

120.000.000 = [0.015309]

1]-0.015309)+[(1 * 800.000 N

Se calcula la función financiera de valor futuro (VF), para una cuota mensual de 800.000, con un interés mensual de 1,5309% y un número de períodos cualquiera, por ejemplo 70. Esto es,

VF(0,015309;70;800.000) = 99.108.005

A manera de ejemplo, en una hoja de cálculo en Excel (Cuadro 5.9):

Cuadro 5.9

Columna A Columna B45 Valor futuro 99.108.00546 Cuota mensual 800.00047 48 Tasa de interés 20,00%49 1,5309%50 51 Plazo 70

En la celda B45 se introduce la función de valor futuro, relacionada con las otras cel-das, esto es, VF(B49,B51,B46), y aparece el número 99,108,005, que corresponde al valor futuro para las condiciones especificadas. Inmediatamente se busca en Herra-mientas, la función “Buscar objetivo”, donde la celda objetivo es la celda B45, con un valor objetivo de 120.000.000, para variar el contenido de la celda B51, esto es el

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Gradientes con crecimiento constante, a perpetuidad o con una duración finita

número de meses. Una vez que hacemos lo anterior y aceptamos, la hoja de cálculo nos devuelve el valor de 78,5 en la celda B51 y la celda B45 queda con el valor de 120.000.000.

La utilización de la función “Buscar objetivo” de Excel puede ser útil en problemas con una estructura matemática más compleja, que no permitan encontrar una expre-sión cerrada, como la que se acaba de encontrar en este ejemplo.

G R A D I E N T E S C O N C R E C I M I E N T O C O N S T A N T E , A P E R P E T U I D A D O C O N U N A D U R A C I Ó N F I N I T A

El gradiente con crecimiento constante tiene múltiples aplicaciones en la vida real tal y como se mostrará en los siguientes ejemplos.

El planteamiento general del problema es el mismo del gradiente infinito con creci-miento constante g. Esto es, un flujo que para el primer año es igual a F1, para el se-gundo año sería igual a:

F2 = F1* (1+g)

Para el tercer año, F3 = F2*(1+g) = F1*(1+g)2

Para el cuarto año, F4 = F3*(1+g) = F1*(1+g)3

Para el enésimo año, FN = FN-1*(1+g) = F1*(1+g)(N-1)

Cuando se trata de un gradiente con crecimiento constante a perpetuidad, en el Capítulo 2 de este libro se demostró que el valor presente es igual a:

g) - (TIOD

= P 1

Cuando el número de períodos durante el cual se da el crecimiento constante g es finito e igual a N, la relación anterior se modifica a:

��

��

����

���

���

����

� N1

k)+(1g)+(1

-1 *g) - (k

D = P

Ejemplo 5.16 Suponga un flujo de caja con un crecimiento constante, pero finito. El flujo del primer año es de 1.850, y de ahí en adelante crece a una tasa constante g igual a 10%. La tasa de interés de oportunidad es del 18%. ¿Cuál es el valor presente si se trata de un flujo finito a 40 años?

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[154]

Capítulo 5

[154] J A V I E R S E R R A N O

Si se tratara de un flujo infinito, en las condiciones de crecimiento y de tasa de interés especificados, el valor presente sería:

Pinfinito = 23.125 = 0,10)-(0,18

1.850

En la medida en que se trata de un flujo finito a 40 años, el factor de corrección sería:

Factor de corrección = 0,9397 = 0,18)+(10,10)+(1

-1 =k)+(1g+(1

-140m

��

��

���

���

���

��

����

���

Por lo tanto, P40 =� �� � �

��

����

����

���

���

�40

0,18+10,10+1

-1 *0,10) - (0,18

1.850

P40 = 23.125 * 0,9397 = 21.730 En el Cuadro 5.10 se muestran los resultados para una serie finita, hasta 40 años, en las condiciones de tasa de interés de oportunidad y crecimiento definidas previamente.

Cuadro 5.10

Año FJ JJ

TIO)(1+F Valor

presenteAño FJ J

J

TIO)+(1

F

Valor Presente

1 1.850 1.568 1.568 21 12.446 385 17.831 2 2.035 1.462 3.029 22 13.690 359 18.190 3 2.239 1.362 4.392 23 15.060 335 18.524 4 2.462 1.270 5.662 24 16.565 312 18.836 5 2.709 1.184 6.846 25 18.222 291 19.127 6 2.979 1.104 7.949 26 20.044 271 19.398 7 3.277 1.029 8.978 27 22.049 253 19.651 8 3.605 959 9.937 28 24.253 236 19.886 9 3.966 894 10.831 29 26.679 220 20.106 10 4.362 833 11.665 30 29.347 205 20.310 11 4.798 777 12.442 31 32.281 191 20.501 12 5.278 724 13.166 32 35.510 178 20.679 13 5.806 675 13.841 33 39.060 166 20.845 14 6.387 629 14.471 34 42.967 155 21.000 15 7.025 587 15.057 35 47.263 144 21.144 16 7.728 547 15.604 36 51.990 134 21.278 17 8.501 510 16.114 37 57.188 125 21.403 18 9.351 475 16.590 38 62.907 117 21.520 19 10.286 443 17.033 39 69.198 109 21.629 20 11.314 413 17.446 40 76.118 101 21.730

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Gradientes con crecimiento constante, a perpetuidad o con una duración finita

Ejemplo 5.17 Estamos al finalizar el año 2009 y se quiere valorar el precio de una acción, que va a pagar dividendos para el año 2010 de $16.000 por acción. El pago de dividendo se va a hacer en cuatro contados trimestrales iguales, al finalizar los meses de marzo, junio, septiembre y diciembre. La tasa de interés de oportunidad del inversionista es del 20% efectivo anual. ¿Cuál es el valor de mercado de la acción, bajo el siguiente escenario: los dividendos crecen de un año al siguiente en un 10%; sin embargo, el dividendo de cada año se paga en cuatro contados iguales al final de los meses espe-cificados? En el Cuadro 5.11 y en la Figura 5.3 se muestra la secuencia de pagos esperados para los próximos 6 años y para cada año el equivalente anual al final del año. En otras palabras, el flujo de pagos trimestrales iguales durante un año se puede transformar en un flujo de pagos anuales que crecen a una tasa constante g igual al 10%, que corresponde al crecimiento supuesto de un año al siguiente. ��

Cuadro 5.11

Año Trimestre Pago Equivalente Crecimiento trimestral anual anual

1 1 4.000 1 2 4.000 1 3 4.000 1 4 4.000 17.154 2 1 4.400 2 2 4.400 2 3 4.400 2 4 4.400 18.870 10,00% 3 1 4.840 3 2 4.840 3 3 4.840 3 4 4.840 20.757 10,00% 4 1 5.324 4 2 5.324 4 3 5.324 4 4 5.324 22.833 10,00% 5 1 5.856 5 2 5.856 5 3 5.856 5 4 5.856 25.116 10,00% 6 1 6.442 6 2 6.442 6 3 6.442 6 4 6.442 27.627 10,00%

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[156]

Capítulo 5

[156] J A V I E R S E R R A N O

Figura 5.3

�Para el año 1, el dividendo anual que se paga se representa por D1; por lo tanto, el dividendo trimestral sería igual a D1/4; se trata de cuatro pagos trimestrales iguales. Si el interés efectivo anual es igual a i, el interés trimestral vencido equivalente sería igual a itv; para estas condiciones generales, el flujo acumulado al final del primer año o flujo equivalente al final del primer año, sería igual a:

F1 = ���

����

���

���

tv

4tv1

i1-)i+(1

*4

D

Para el año 2, el dividendo anual que se paga se representa por D2; por tanto, el divi-dendo trimestral sería igual a D2/4. Sin embargo, D2 es igual a D1*(1+g), donde g es la tasa de crecimiento del dividendo entre años. Se trata de cuatro pagos trimestrales iguales. Si el interés efectivo anual es igual a i, el interés trimestral vencido equivalen-te sería igual a itv; para estas condiciones generales, el flujo acumulado al final del se-gundo año o flujo equivalente al final del segundo año sería igual a:

���

����

tv

4tv

1 2 i1-)i+(1

*g)+(1*/4)(D =F

De igual forma, el flujo equivalente anual al final del tercer año sería igual a:

���

����

tv

4tv2

1 3 i1-)i+(1

*g)+(1*/4)(D =F

En general, el flujo equivalente anual al final del j-ésimo año sería igual a:

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���

����

tv

4tv1-J

1J i1-)i+(1

*g)+(1*/4)(D =F , para todo J, J = 1, 2, 3, 4, 5,…, infinito

Como se puede observar, se trata de un flujo infinito anual que crece a una tasa constante g, con un valor para el primer año igual a 17.154,45; para el problema par-ticular que se está resolviendo,

���

����

tv

4tv

11 i1-)i+(1

*/4)(D =F

Por lo tanto, el valor de la acción en la fecha cero es igual al valor presente de un flu-jo que crece a una tasa constante g igual al 10%, con una tasa de interés efectiva anual del 20%.

Precio de la acción = 171.544,46 =0,10)-(0,20

17.154,45 =

g)-(iF

= P 10

Ejemplo 5.18 ¿Cuál es el valor de una acción que para el primer año paga un dividendo de $1.500.000, al año a partir de la fecha actual (fecha cero)? Los dividendos crecen anualmente con una tasa de crecimiento del 4% en términos reales. La inflación es-perada es del 5%. La tasa de interés de oportunidad del inversionista es del 18% efectivo anual. Dividendo, primer año: $1.500.000 Tasa de crecimiento: 4% en términos reales Inflación: 5% Cálculo del crecimiento en términos nominales Fórmula a utilizar: (1+iN) = (1+iR)*(1+inflación) iN = (1+0,04)*(1+0,05)-1 = 0,092 Tasa de crecimiento en términos nominales: 9,200% Tasa de interés de oportunidad del inversionista = 18,00%

Gradientes con crecimiento constante, a perpetuidad o con una duración finita

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[158]

Capítulo 5

[158] J A V I E R S E R R A N O

Valor de la acción, horizonte infinito = = 0,092)-(0,18

1.500.000 =

g)-(1D 1

El valor de la acción en las condiciones especificadas sería de $17.045.455 Ejemplo 5.19 Suponga el mismo ejemplo 5.18, pero en donde usted tiene una obligación de vender la acción al final del año 10 por valor de $20.000.000, después de haber recibido el dividendo de ese año. La tasa de interés de oportunidad del inversionista es del 18%. Valor presente crecimiento infinito = 17.045.455 Valor presente crecimiento finito = 17.045.455 * FC

Valor presente crecimiento finito = 17.045.455 * 10

0,18)+(10,092)+(1

-1 ���

����

����

���

Valor presente crecimiento finito = 17.045.455 * 0,539 = 9.192.829 El valor presente de los $20.000.000 (recompra) al final de los 10 años, a una tasa de descuento del 18% (TIO), es igual a $3.821.289. La suma de los dos valores daría $13.014.118, que correspondería al precio de la acción en las condiciones señaladas. Al mismo resultado se podría haber llegado si se toma en cuenta el flujo de ingresos esperados de la acción, de acuerdo con las condiciones especificadas, tal y como se muestra en el cuadro adjunto (columna derecha, Cuadro 5.12). El valor presente de ese flujo, descontado a la TIO del 18%, es igual a $13.014.118; para ello se utiliza la función de valor presente neto (VNA en español) o se trae a valor presente cada flujo individualmente (Cuadro 5.12).

Cuadro 5.12

Año Dividendos Venta Flujo total

0 1 1.500.000 1.500.000 2 1.638.000 1.638.000 3 1.788.696 1.788.696 4 1.953.256 1.953.2565 2.132.956 2.132.956 6 2.329.188 2.329.188 7 2.543.473 2.543.473 8 2.777.472 2.777.472 9 3.033.000 3.033.000 10 3.312.036 20.000.000 23.312.036

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Ejemplo 5.20 Para el problema anterior, ¿cuánto le deberían dar por la acción al final del año 10, para que resultara indiferente, frente al valor que tiene la acción si no la tiene que vender al final del año 10, esto es el valor encontrado en el ejemplo 5.18? Para encontrar el valor de recompra que lleve al mismo resultado de la acción bajo el escenario de crecimiento infinito ($17.045.455), se aplica la función “Buscar objeti-vo” al Cuadro 5.12, y se varía la celda que contiene el valor de recompra, para dar el monto especificado. El resultado obtenido para el valor de recompra es de $41.099.354, tal y como se muestra en el Cuadro 5.13.

Cuadro 5.13

Año Dividendos Venta Flujo

0 1 1.500.000 1.500.000 2 1.638.000 1.638.000 3 1.788.696 1.788.696 4 1.953.256 1.953.256 5 2.132.956 2.132.956 6 2.329.188 2.329.188 7 2.543.473 2.543.473 8 2.777.472 2.777.472 9 3.033.000 3.033.000 10 3.312.036 41.099.354 44.411.390

VNA = $ 17.045.455.00

Ejemplo 5.21 Al finalizar el año 2009 se requiere hacer 80 pagos trimestrales, durante los 20 años siguientes. Los cuatro pagos trimestrales que se hacen durante un año son iguales y van a crecer de un año al siguiente a una tasa constante g igual al 10% (p. ej., el cre-cimiento podría ser igual a la inflación esperada más unos puntos por encima de ella). Cada pago trimestral se hará al finalizar los meses de marzo, junio, septiembre y di-ciembre. La tasa de interés de oportunidad del inversionista es del 20% efectivo anual. A usted le proponen reemplazar la secuencia de pagos anteriormente descrita por un solo pago al final de diciembre de 2009, equivalente en valor presente utilizando las condiciones especificadas, y le dan un descuento del 10%. ¿Cuál sería el valor del pago a realizar? El valor del pago para el primer año es de 160 millones de pesos; por lo tanto, el pago para cada uno de los cuatro trimestres del año sería de 40 millones de pesos.

Gradientes con crecimiento constante, a perpetuidad o con una duración finita

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[160]

Capítulo 5

[160] J A V I E R S E R R A N O

Siguiendo la lógica del problema anterior, se calcularía el valor presente de un flujo de pagos anuales equivalentes al final de cada año que crecen a una tasa constante g igual al 10%, durante 20 años. El valor del flujo para el primer año sería igual a:

F1= i

1)-)i+((1*40.000.000 =

i1)-)i+((1

*4

000.000 160

tv

4tv

tv

4tv

���

����

����

����

����

���

Si se tratara de un flujo infinito de pagos anuales que crecen a una tasa constante del 10% anual, el valor presente sería: VP = F1/(i-g) = 171.544.464/(0,20-0,10) = 1.715.444.640 Sin embargo, se trata de un flujo finito a 20 años. Aplicando el factor de corrección correspondiente derivado previamente, se obtendría:

Factor de corrección para 20 años = 0,8245=0,20)+(10,10)+(1

-1 =k)+(1g)+(1

-120N

��

��

���

���

���

��

����

���

Por lo tanto, el valor presente sería igual a 1.715.444.640*0,8245 =1.414.417.613 Con un descuento del 10%, el valor a pagar sería de $1.272.975.852. Ejemplo 5.22 Un fondo de inversión reconoce un interés efectivo del 12% anual, y se van a hacer 84 depósitos mensuales al fondo durante los próximos 7 años. El primer depósito se hace dentro de un mes y así sucesivamente hasta finalizar el año 7; los 12 depósitos que se hacen cada año son iguales; sin embargo, incrementan de un año al siguiente con la inflación esperada que es del 5%. ¿Cuál sería la cantidad acumulada al final de los 7 años, si cada uno de los 12 depósitos que se hacen durante el primer año tiene un valor de $900.000? En la Figura 5.4 se muestra el diagrama de depósitos mensuales que se hacen de in-versión: ���������

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Figura 5.4 Comportamiento de los depósitos

El interés mensual equivalente (imv) a un interés efectivo del 12% es del 0,9489%. imv = (1+0,12)(1/12) – 1 = 0,009489 Los 84 depósitos mensuales se pueden reemplazar por 7 depósitos anuales, que se incrementan con la inflación, a través de la siguiente expresión:

F1 = 11.381.848 = 12,646 *900.000 = i

1] - )i+[(1 * 900.000

mv

12mv

F2 = 12,646*0,05)(1 *900.000 = i

1] - )i+[(1*g)(1 * 900.000

mv

12mv ��

F2 = 11.381.848 *(1+0,05) = 11.950.941, y así sucesivamente. Por lo tanto, los siete flujos anuales equivalentes (Cuadro 5.14) son:

Cuadro 5.14

Equivalencia Año Equivalente Crecimiento

1 11.381.848 2 11.950.941 5,00% 3 12.548.488 5,00% 4 13.175.912 5,00% 5 13.834.708 5,00% 6 14.526.443 5,00%7 15.252.765 5,00%

��������

��������

��������

��������

���������

���������

���������

���������

���������

���������

� � �� � � �� � �� �� �� �� � �� ��� �� � � � � � � � � �� � �� �� �� �� � �� �� �� �� � ��� �� �� �� ��MESES

��������

��������

��������

�����������

��������

Gradientes con crecimiento constante, a perpetuidad o con una duración finita

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[162]

Capítulo 5

[162] J A V I E R S E R R A N O

Ahora se tiene un gradiente anual finito a 7 años equivalente a los 84 depósitos men-suales, con un primer valor de $11.381.848 y una tasa de crecimiento anual del 5%; para esta situación, el valor presente es:

P = 0,05)-(0,12

11.381.848* FC

FC = ��

��

���

���

�7

0,12)+(10,05)+(1

-1 = 0,363499

P = 0,05)-(0,12

11.381.848* 0,363499 = 59.104.186

Todos los pasos que se realizaron hasta el momento se pueden resumir en la siguiente expresión:

P = FC * g)-(i

i1) - )i+(1

* 900.000mv

12mv

���

����

P = 0,036499 * 0,05) - (0,12

0,0098491) - 0,009849) + ((1 900.000 12

El valor futuro solicitado sería igual a F84 = 59.104.186 * (1+0,12)7 = 130.660.525 S O L U C I Ó N A N A L Í T I C A V E R S U S S O L U C I Ó N E X H A U S T I V A

Los siguientes dos problemas muestran situaciones de alguna complejidad, que aun-que se pueden resolver analíticamente, como se hace en cada uno de ellos, se pueden a su vez resolver más fácilmente si se hace una solución exhaustiva en Excel, proyec-tando el flujo correspondiente y calculando un valor presente o un valor futuro.

Ejemplo 5.23

Un crédito por valor de $300 millones, con un plazo de 5 años, se va a amortizar en 60 cuotas mensuales tales que las 12 cuotas de cada año permanecen constantes o iguales. Sin embargo, las cuotas aumentan de un año al siguiente en un 2% en térmi-

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[163] [163]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Solución analítica versus solución exhaustiva

iguales. Sin embargo, las cuotas aumentan de un año al siguiente en un 2% en térmi-nos reales, con una inflación anual del 5%. La tasa de interés del crédito es una equi-valente al 21% nominal anual pagadero trimestre vencido. Determinar el valor de la cuota durante el primer año. a) Solución analítica (utilización de fórmulas)

Monto del crédito = $300.000.000 Tasa de interés: 21% NA TV Plazo del crédito (años) = 5 años Plazo del crédito (meses) = 60 meses Cuota uniforme durante el año: Incremento de la cuota anual: 2% real Inflación proyectada: 5% Incremento de la cuota anual: 7,1% nominal Tasa de interés efectiva, crédito: 22,71% efectivo Tasa de interés del crédito mensual: 1,72%

300.000.000 = FC* )g - (i

)g+(1 *

i1]-)i+[(1

*Cuotaaa

a

m

12m

1 ��

��

����

����

FC = 0,494 =)i+(1)g+(1

-15

a

a��

��

����

����

300.000.000 = Cuota1 * 13,203 * 6,405 * 0,494 300.000.000 = Cuota1 * 41,74 Cuota1 = 7.187.090

b) Solución exhaustiva

En el Cuadro 5.15 se muestra parcialmente el flujo de caja del crédito mes a mes, omitiendo, para facilitar, la presentación de los valores comprendidos entre los meses 19 y 46. Se parte de un valor supuesto de la cuota para el primer año (p. ej., $6.000.000) y se calcula el flujo en las condiciones especificadas, tal y como aparece en la segunda columna (cuota supuesta) del Cuadro 5.15. El valor presente de ese flujo es inferior a los $300.000.000 que corresponden al monto del crédito; si se aumenta la cuota del primer año aumentará el valor pre-sente, por lo cual la solución se podría encontrar por prueba y error.

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[164]

Capítulo 5

[164] J A V I E R S E R R A N O

Esto se hace más fácilmente si se utiliza la función “Buscar objetivo” de Excel, donde la celda objetivo es el valor presente neto (VNA) a la tasa de interés men-sual del crédito (1,7202%), el objetivo a alcanzar es el monto de $300.000.000 (desembolso del crédito) y la celda a modificar es el valor de la cuota en el año 1; automáticamente se obtiene la columna de la derecha (cuota real), para la cual el valor presente neto es igual al monto del crédito:

Cuadro 5.15

VNA(i) = 250.449.059 300.000.000

Cuota supuesta Cuota real0 1 6.000.000 7.187.0902 6.000.000 7.187.0903 6.000.000 7.187.0904 6.000.000 7.187.0905 6.000.000 7.187.0906 6.000.000 7.187.0907 6.000.000 7.187.0908 6.000.000 7.187.0909 6.000.000 7.187.09010 6.000.000 7.187.09011 6.000.000 7.187.09012 6.000.000 7.187.09013 6.426.000 7.697.37414 6.426.000 7.697.37415 6.426.000 7.697.37416 6.426.000 7.697.37417 6.426.000 7.697.37418 6.426.000 7.697.37419 6.426.000 7.697.37446 7.370.885 8.829.20347 7.370.885 8.829.20348 7.370.885 8.829.20349 7.894.218 9.456.07750 7.894.218 9.456.07751 7.894.218 9.456.07752 7.894.218 9.456.07753 7.894.218 9.456.07754 7.894.218 9.456.07755 7.894.218 9.456.07756 7.894.218 9.456.07757 7.894.218 9.456.07758 7.894.218 9.456.07759 7.894.218 9.456.07760 7.894.218 9.456.077

Ejemplo 5.24 El problema del ejemplo 5.22, resuelto en forma exhaustiva.

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Solución analítica versus solución exhaustiva

En el Cuadro 5.16 se presenta parcialmente el flujo de caja de los depósitos que se hacen al fondo de inversión, al final de cada mes, escondiendo los depósitos entre los meses 24 y 70. Para estimar el valor acumulado al final de los 7 años o de los 84 me-ses, con una tasa de interés del 12% efectivo, equivalente a una tasa del 0,9489% mensual, se aplica la función de valor presente neto, VNA, al flujo de depósitos, lo cual da un valor presente en la fecha cero de $59.104.186. Para llevar el valor pre-sente anterior a un valor futuro en el mes 84, se utiliza la fórmula convencional para llevar un valor presente a valor futuro; esto es: F84 = 59.104.186 * (1+0,009489)84 = 130.660.525

Cuadro 5.16

Real

Mes Depósito01 900.000 2 900.0003 900.0004 900.000 5 900.0006 900.000 7 900.0008 900.000 9 900.00010 900.000 11 900.00012 900.000 13 945.000 14 945.00015 945.000 16 945.00017 945.000 18 945.00019 945.000 20 945.00021 945.000 22 945.00023 945.00024 945.000 70 1.148.65371 1.148.653 72 1.148.65373 1.206.086 74 1.206.08675 1.206.086 76 1.206.08677 1.206.086 78 1.206.086 79 1.206.08680 1.206.086 81 1.206.08682 1.206.086 83 1.206.08684 1.206.086

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[167]

Capítulo 6 �

INFORMACIÓN FINANCIERA ESTRUCTURA OPERACIONAL Y APALANCAMIENTO OPERACIONAL I N F O R M A C I Ó N F I N A N C I E R A

Cualquier decisión de inversión o de financiamiento requiere información interna de la empresa, tal como costos, capacidad operacional, estrategia de producto precio, etc. e información externa a la misma, tal como comportamiento de la demanda de los bienes y servicios que vende la empresa, disponibilidad y precio de los insumos básicos, tasas de interés, tasas de cambio, etc. Esta información a veces la genera la misma empresa a través del registro contable y de los estados de resultados; sin em-bargo, no siempre se encuentra disponible en la forma como lo requiere la evaluación de un proyecto y hay que conseguirla o estimarla, lo cual es fuente permanente de incertidumbre y por lo tanto de riesgo. La información financiera de una empresa comprende un grupo de estados financie-ros entre los cuales se pueden mencionar: balance de la empresa (activos y pasivos), estado de pérdidas y ganancias del negocio (ingresos y egresos causados en la ejecu-ción de las actividades propias del negocio), flujo de caja de la empresa o del proyecto (ingresos recibidos y egresos efectivos pagados), cambio en el capital de trabajo de la empresa y cambio en el patrimonio de los accionistas. Con la informa-ción anterior se construyen indicadores que permiten hacer el seguimiento al negocio, desde las razones financieras tradicionales de liquidez, rentabilidad, eficiencia, endeu-damiento y riesgo, hasta sistemas más complejos de indicadores de gestión como el Balanced Score Card (BSC) de Kaplan y Norton1 que muestra la interacción entre las diferentes perspectivas2, para obtener un objetivo específico. Los profesionales que por diferentes razones se dedican al análisis de empresas cuen-tan con información proveniente de firmas especializadas tales como Bloomberg, Reuters o Morningstar, a nivel nacional e internacional; las entidades de vigilancia o de supervisión cuentan con información general y especializada sobre los estados fi-nancieros de las empresas que regulan o supervisan. En el caso específico de Colombia, las superintendencias Financiera, de Sociedades, de Servicios Públicos, pro-veen información básica muy útil e información procesada que han bajado a bases de datos de fácil acceso y utilización, lo que permite el análisis de alguna empresa en particular o de sectores empresariales. Las mismas empresas, como parte de sus pro-gramas de buen gobierno corporativo o para informar a sus inversionistas, han

�������������������������������������������������1 Kaplan & Norton, Balanced Score Card.

2 Perspectiva financi ra, del cliente o del mercado, de los procesos internos y del crecimiento y apren-

dizaje, Kaplan & Norton, Balanced Score Card.�

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[168]

Capítulo 6

[168] J A V I E R S E R R A N O

comenzado a colocar en Internet la información básica del negocio, tal como estados de resultados periódicos o memorias anuales. Para un proyecto de inversión hay que construir y proyectar los estados financieros básicos a partir de estimaciones sobre proyecciones de precios, demanda, participa-ción en el mercado y estimaciones de los costos y gastos propios del proyecto. Para la proyección de los estados proforma de un proyecto hay que hacer supuestos sobre el escenario macroeconómico en que se va a desarrollar el proyecto, la generación de ingresos y su estructura de egresos, lo cual requiere utilizar fuentes externas para de-finir un escenario básico (inflación, devaluación, crecimiento del PIB, etc.), fuentes externas para estimar los precios de venta del producto en el mercado por parte de la competencia, los precios de los insumos que requiere el proyecto y fuentes internas tales como gastos directos e indirectos asociados con el proyecto, y la política laboral para estimar el crecimiento de los costos laborales, etc., que suministrará el área con-table o el área de recursos humanos de la empresa. Con esta información y con los supuestos que sea necesario y razonable hacer sobre inversiones requeridas en activos fijos y en capital de trabajo, comportamiento de la estructura de ingresos del proyecto (precio de venta, demanda y participación en el mercado), supuestos sobre la estructura de costos del proyecto (costos involucrados, clasificación entre costos fijos y variables, etc.), políticas de depreciación y amortiza-ción de diferidos, política de provisiones, se proyectan los estados proforma durante el horizonte correspondiente a la vida útil del proyecto. Con los estados proforma del proyecto, proyectados para el horizonte de su vida útil, se tiene información básica para entrar a analizar el proyecto, a través de los indicadores que se cubrieron en el capítulo 4. B A L A N C E G E N E R A L Y E S T A D O D E P É R D I D A S Y G A N A N C I A S

�El balance general y el estado de pérdidas y ganancias son los estados básicos de cualquier negocio o proyecto; el primero comprende los activos que posee la empresa en una fecha dada y las obligaciones que tiene con diferentes proveedores de finan-ciamiento a la misma fecha, lo cual da el valor neto o patrimonio contable del negocio, mientras que el estado de pérdidas y ganancias registra los ingresos, costos y gastos de la empresa para establecer su utilidad neta. En el Cuadro 6.1 se muestra el balance de ISAGEN, una empresa de generación de energía eléctrica en Colombia, para los años 2007 y 2008; en el Cuadro 6.2 se muestra la participación relativa de las diferentes cuentas del balance respecto a los activos totales, para los años 2007 y 2008. Para este caso, las tres cuentas más importantes del activo son: propiedad planta y equipo; valorizaciones, y deudores, neto, con una participación relativa al finalizar el año 2008 del 56,19%, el 24,76% y el 7,72% respectivamente. La princi-pal fuente de financiamiento es el patrimonio de los accionistas, con una participación

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Balance general y estado de pérdidas y ganancias

del 74,79%, mientras que las obligaciones financieras sólo representaban un 12,9% del total de activos.

Cuadro 6.1 ISAGEN – Balance, años 2007 y 2008

ACTIVOS 2007 2008 PASIVOS 2007 2008

DISPONIBLE 185.553 291.408 OBLIGACIONES FINANCIERAS 24.595 24.654

INVERSIONES, NETO 66.218 61.203 CUENTAS POR PAGAR 93.718 165.720

DEUDORES, NETO 231.465 323.300 IMPUESTOS, CONTRIBUCIONES 34.475 45.626

GASTOS PAGO x ANTICIPADO 20.778 30.580 OBLIGACIONES LABORALES 7.433 8.076

OTROS 26.216 30.846 DEPÓSITOS RECIBIDOS 12.374 820

INVENTARIOS, NETO 16.351 15.938 OTROS PASIVOS 11.770 14.825

TOTAL, ACTIVO CORRIENTE 546.581 753.275 TOTAL PASIVOS CORRIENTES 184.365 259.721

DEUDORES, NETO 27.820 28.323 OBLIGACIONES FINANCIERAS 538.409 515.452

INVERSIONES, NETO 300 396 OBLIGACIONES LABORALES 48.777 60.671

PROPIEDAD, PLANTA Y EQUIPO 2.343.494 2.353.398 IMPUESTO DIFERIDO 186.082 220.010

DIFERIDOS 25.487 9.434 TOTAL PASIVOS NO CORRIENTES 773.268 796.133

OTROS ACTIVOS 5.847 6.300 TOTAL PASIVOS 957.633 1.055.854

TOTAL ACTIVOS NO CORRIENTES 2.402.948 2.397.851 PATRIMONIO 3.035.999 3.132.491

VALORIZACIONES 1.044.103 1.037.219

TOTAL ACTIVOS 3.993.632 4.188.345 TOTAL PASIVO Y PATRIMONIO 3.993.632 4.188.345

Fuente: Informe Anual Isagen, años 2007 y 2008

Cuadro 6.2 ISAGEN – Balance, años 2007 y 2008

ACTIVOS 2007 2008 PASIVOS 2007 2008

DISPONIBLE 4,65% 6,96% OBLIGACIONES FINANCIERAS 0,62% 0,59%

INVERSIONES, NETO 1,66% 1,46% CUENTAS POR PAGAR 2,35% 3,96%

DEUDORES, NETO 5,80% 7,72% IMPUESTOS, CONTRIBUCIONES 0,86% 1,09%

GASTOS PAGO x ANTICIPADO 0,52% 0,73% OBLIGACIONES LABORALES 0,19% 0,19%

OTROS 0,66% 0,74% DEPÓSITOS RECIBIDOS 0,31% 0,02%

INVENTARIOS, NETO 0,41% 0,38% OTROS PASIVOS 0,29% 0,35%

TOTAL, ACTIVO CORRIENTE 13,69% 17,99% TOTAL PASIVOS CORRIENTES 4,62% 6,20%

DEUDORES, NETO 0,70% 0,68% OBLIGACIONES FINANCIERAS 13,48% 12,31%

INVERSIONES, NETO 0,01% 0,01% OBLIGACIONES LABORALES 1,22% 1,45%

PROPIEDAD, PLANTA Y EQUIPO 58,68% 56,19% IMPUESTO DIFERIDO 4,66% 5,25%

DIFERIDOS 0,64% 0,23% TOTAL PASIVOS NO CORRIENTES 19,36% 19,01%

OTROS ACTIVOS 0,15% 0,15% TOTAL PASIVOS 23,98% 25,21%

TOTAL ACTIVOS NO CORRIENTES 60,17% 57,25% PATRIMONIO 76,02% 74,79%

VALORIZACIONES 26,14% 24,76%

TOTAL ACTIVOS 100,00% 100,00% TOTAL PASIVO Y PATRIMONIO 100,00% 100,00%

Fuente: Informe Anual Isagen, años 2007 y 2008

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[170]

Capítulo 6

[170] J A V I E R S E R R A N O

El estado de pérdidas y ganancias muestra los ingresos y egresos causados en el desa-rrollo del negocio, durante un período dado de tiempo (por ejemplo, un año), así los mismos no se hayan materializado aún en un ingreso de efectivo o en un pago real; en otras palabras, los registros contables del balance y del estado de pérdidas y ga-nancias se hacen por causación. El análisis de cualquier decisión financiera, por ejemplo, la viabilidad de un proyecto de inversión, requiere la proyección del balance y del estado de pérdidas y ganancias, para lo cual hay que hacer supuestos sobre los escenarios probables en los cuales se va a desenvolver la economía y sobre el com-portamiento de los parámetros críticos que inciden significativamente sobre los resultados, en los escenarios que se estén utilizando para proyectar el negocio. En el Cuadro 6.3 se muestra la estructura general del estado de pérdidas y ganancias, mientras que en el Cuadro 6.4 se muestra el estado de pérdidas y ganancias simplifi-cado para ISAGEN, durante los años 2007 y 2008, a partir de los informes a las asambleas de accionistas de esos años. En el Cuadro 6.4 se discriminan aquellos gas-tos que, como la depreciación de activos fijos y la amortización de diferidos, son causaciones que no afectan el flujo de efectivo: �

Cuadro 6.3 Estructura general del estado de P y G

Ingresos operacionales - Costo de ventas Utilidad bruta - Gastos de operación - Gastos de administración - Gastos de ventas Utilidad operacional, UAII + Ingresos no operacionales - Egresos no operacionales Utilidad antes de impuestos - Provisión impuesto de renta Utilidad neta

�La participación del costo de ventas en el caso de ISAGEN representó un 63,63% y un 62,57% respectivamente para los años 2007 y 2008; la utilidad operacional, resul-tante de restar de los ingresos operacionales los costos de ventas y los gastos administrativos y de operación, representó un 30,55% y un 31,49% de los ingresos operacionales del negocio, consistentes en venta de energía; la participación de la utilidad operacional en los ingresos operacionales se conoce como margen operacio-nal, mientras que la participación de la utilidad neta en los ingresos operacionales, se conoce como margen neto; este fue respectivamente del 19,43% y el 21,14% para los años 2007 y 2008.

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[171] [171]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Cuadro 6.4�ISAGEN, Estado de pérdidas y ganancias, años 2007 y 2008

� 2007 2008 2007 2008 Participación Participación Ingresos operacionales 1.070.018 1.231.700 100,00% 100,00%Costos de venta 680.842 770.621 63,63% 62,57% Compra de energía 185.017 216.454 17,29% 17,57% Cargos por uso y conexión 148.872 166.633 13,91% 13,53% Depreciación 100.306 100.561 9,37% 8,16% General y personal 129.983 149.150 12,15% 12,11% Otros 116.664 137.823 10,90% 11,19%Utilidad bruta 389.176 461.079 36,37% 37,43%Gastos de administración 62.247 73.191 5,82% 5,94% Gastos de personal, sin ajuste pensiones 20.573 24.757 1,92% 2,01% Ajuste pensiones 6.375 18.524 0,60% 1,50% Impuestos y contribuciones 3.945 6.758 0,37% 0,55% Depreciaciones de activos fijos 2.243 2.792 0,21% 0,23% Amortizaciones diferidos y otros 3.625 2.946 0,34% 0,24% Honorarios 4.650 5.245 0,43% 0,43% Publicidad 9.490 753 0,89% 0,06% Otros gastos de administración 11.346 11.416 1,06% 0,93%Utilidad operacional 326.929 387.888 30,55% 31,49%Ingresos no operacionales 28.506 40.073 2,66% 3,25%Egresos no operacionales 70.019 64.248 6,54% 5,22%Utilidad antes de impuestos 285.416 363.713 26,67% 29,53%Provisión impuesto de renta 77.521 103.392 7,24% 8,39%Utilidad neta 207.895 260.321 19,43% 21,14%

Fuente: Informes anuales años 2007 y 2008�

��

Cuadro 6.5 ISAGEN - Indicadores financieros�

�Indicadores financieros, ejemplo Definición 2007 2008 Rentabilidad Margen neto (Utilidad neta/Ingresos operacionales) 19,43% 21,14%Margen operacional (Utilidad operacional/Ingresos operacionales) 30,55% 31,49%Rentabilidad sobre patrimonio (Utilidad neta/Patrimonio promedio) 7,20% 8,44%Liquidez Razón corriente (Activo corriente/ pasivo corriente) 2,96 2,90EBITDA, flujo de caja operacional Utilidad operacional+depreciaciones+amort. 433.405 493.986Endeudamiento y riesgo Endeudamiento total (Pasivo/Activo) 23,98% 25,21%Solvencia (Patrimonio/Activos) 76,02% 74,79%Endeudamiento financiero (Obligaciones financieras/Activos) 14,10% 12,90%Cobertura de gastos financieros, veces (Utilidad operacional/Gastos financieros) 5,16 6,12Cobertura de gastos financieros, veces (EBITDA/Gastos financieros) 6,85 7,80Eficiencia Eficiencia operacional (Gastos admin y operacionales/Ing. operac.) 5,82% 5,94%Rotación de cartera, veces (Ingresos operacionales/Cartera promedio) 3,50 4,44Período medio de recaudo, días (365/Rotación de cartera) 104,2 82,2

��

Balance general y estado de pérdidas y ganancias

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[172]

Capítulo 6

[172] J A V I E R S E R R A N O

El cruce entre la información del balance y la del estado de pérdidas y ganancias per-mite la generación de indicadores básicos sobre rentabilidad, endeudamiento, liquidez, eficiencia, etc., que han sido usados en el análisis financiero tradicional. En el Cuadro 6.5 se muestran algunos de estos indicadores para el caso de ISAGEN, duran-te los años 2007 y 2008, en cuatro categorías: rentabilidad, liquidez, endeudamiento y riesgo y eficiencia operacional. �F L U J O D E C A J A D E U N A E M P R E S A O D E U N P R O Y E C T O

�El estado de pérdidas y ganancias de la empresa o del proyecto muestra los resultados de la causación de los ingresos, costos y gastos de acuerdo con la normatividad con-table vigente en un momento dado. Entre las causaciones que afectan los resultados de la empresa se encuentran algunas que inciden sobre el resultado contable del ne-gocio pero que no corresponden a un desembolso efectivo de caja; las más importantes son: depreciación de activos fijos, amortización de diferidos, provisión de cuentas por cobrar, inventarios y activos fijos, ajustes por tasa de cambio, amortiza-ción de pensiones de jubilación, cuando sea el caso, etc. En el estado de flujo de efectivo se parte de la utilidad neta y se devuelven todas las causaciones que, aunque afectan el estado de pérdidas y ganancias, no afectan la caja de la empresa; se contabilizan las variaciones en las cuentas del balance, depen-diendo de si se trata de un uso o de una fuente; se restan las inversiones que realiza la empresa, y se contabiliza el efecto del financiamiento de la empresa, para explicar el aumento o la disminución de efectivo. �En el Cuadro 6.6 se muestra el estado de flujo de efectivo simplificado para ISAGEN durante los años 2007 y 2008, donde se puede observar lo que se acaba de exponer. Algunas observaciones: �a)� Se parte de la utilidad neta. b)� Se devuelven aquellas causaciones que afectando la utilidad neta no afectan la

caja, tales como depreciación de activos fijos, amortización de diferidos, amortiza-ción del cálculo actuarial por pensiones, impuestos diferidos, provisiones, ajustes de cambio, utilidades o pérdidas en la venta de propiedad planta y equipo, etc.

c)� El cambio en activos y pasivos se calcula en la siguiente forma:

Un aumento en un activo es un uso y como tal consume caja. Una disminución en un activo es una fuente y como tal genera caja. Un aumento en un pasivo es una fuente y como tal genera caja. Una disminución en un pasivo es un uso y como tal consume caja.

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[173] [173]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

EBITDA y flujo de caja libre para la firma

d)� El flujo de efectivo utilizado en actividades de inversión comprende principalmente la inversión en activos fijos.

e)� El efectivo neto utilizado en las actividades de financiación tiene en cuenta los di-

videndos que la empresa paga anualmente a sus accionistas o las amortizaciones a los créditos que ha contratado la empresa.

�Cuadro 6.6

Estados de flujos de efectivo – ISAGEN

2007 2008 Utilidad neta 207.895 260.321 Más (menos) gastos (ingresos) que no afectaron el capital de trabajo Depreciación de activos fijos 102.877 103.176 Amortización diferidos 3.625 2.946 Amortización del cálculo actuarial 6.375 18.524 Impuesto diferido 30.019 33.935 Otros (neto) 1.880 -248 Subtotal 352.671 418.654 Cambios en activos y pasivos Deudores -64.976 -42.536 Gastos pagados por anticipado -3.849 -9.802 Cuentas por pagar 22.506 38.860 Impuestos, contribuciones y tasas -13.591 -10.309 Otros (neto) -81 -8.570 Efectivo provisto por la operación 292.680 386.297 Efectivo utilizado en actividades de inversión -112.503 -127.016 Efectivo neto utilizado en actividades de financiación -178.044 -158.441 Aumento neto en efectivo y equivalentes 2.133 100.840 Efectivo y equivalentes al principio del año 249.638 251.771 Efectivo y equivalentes al final del año 251.771 352.611

Fuente: Informes anuales ISAGEN, años 2007 y 2008

E B I T D A Y F L U J O D E C A J A L I B R E P A R A L A F I R M A

�El EBITDA y el flujo de caja libre son dos indicadores muy utilizados. El primero es la utilidad antes de intereses, impuestos, depreciación y amortización, por sus siglas en inglés: earnings before interests, taxes and depreciation. Este es un indicador de flujo de caja operativo que corresponde a la siguiente expresión: EBITDAJ = UAIIJ + (depreciación A.F)J + (amortización diferidos)J

En algunas versiones del cálculo del EBITDA se suman las provisiones y otras causa-ciones que afectando a la utilidad operacional no implican un desembolso de efectivo. En el Cuadro 6.7 se muestra el cálculo del EBITDA para ISAGEN durante los años 2007 y 2008:

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[174]

Capítulo 6

[174] J A V I E R S E R R A N O

Cuadro 6.7 Cálculo del EBITDA para ISAGEN

EBITDA 2007 2008 2007 2008 Monto Monto Porcentaje Porcentaje Utilidad operacional 326.929 387.888 30,55% 31,49% Depreciaciones 102.549 103.353 9,58% 8,39% Ajustes depreciaciones 302 -201 0,03% -0,02% Amortizaciones 3.625 2.946 0,34% 0,24% EBITDA 433.405 493.986 40,50% 40,11%

El segundo indicador, flujo de caja libre para la firma, descuenta del EBITDA lo que habría que pagar en impuestos sin tener en cuenta el efecto de los gastos financieros sobre los impuestos y las inversiones que hay que hacer en activos fijos y en capital de trabajo para cumplir con las proyecciones de ingresos y egresos. FCLFJ = UAIIJ * (1-timp) + (depreciación A.F)J + (amortización diferidos)J

– (inversión en A.F)J - (inversión en C.T)J �

En el Cuadro 6.8 se muestra un estimativo del flujo de caja libre para la firma ISAGEN, durante los años 2007 y 2008. Para esta estimación se tomó la tasa de im-puestos nominal para los años 2007 y 2008 vigente en Colombia, que es diferente a la tasa de impuestos efectiva que tuvo la empresa para esos años. Así mismo, se toma únicamente la inversión en capital de trabajo operativo (aumento de cuentas por co-brar deudores comerciales + aumento de inventarios menos aumento de cuenta por pagar, proveedores principalmente) generada en el giro ordinario del negocio. Para rehacer los cálculos hay que tener en cuenta que el saldo al finalizar el año 2006, de deudores corto plazo, era de $179.938 millones, y de deudores largo plazo, de $13.444 millones; así mismo, los saldos de inventarios y cuentas por pagar al finalizar el año 2006 fueron respectivamente de $13.777 millones y $71.140 millones.

Cuadro 6.8 ISAGEN – Flujo de caja libre para la firma

Año 2007 2008 Utilidad operacional 326.929 387.888 + Depreciación de activos fijos 102.549 103.353 + Ajustes depreciaciones 302 -201 + Amortización de diferidos 3.625 2.946 EBITDA 433.405 493.986 Tasa de impuestos corporativa, nominal 34,00% 33,00%

EBITDA*(1-timp) 286.047 330.971 - Inversiones en activos fijos 112.503 127.016 - Inversiones en capital de trabajo operativo 45.899 19.923 + Aumento de cuentas por cobrar, deudores 65.903 92.338 + Aumento de inventarios 2.574 -413 - Aumento de cuentas por pagar 22.578 72.002 Flujo de caja libre para la firma, FCLFJ 127.645 184.032

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[175] [175]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Función de producción y los costos involucrados en un proyecto de inversión

F U N C I Ó N D E P R O D U C C I Ó N Y L O S C O S T O S I N V O L U C R A D O S E N U N P R O Y E C T O D E I N V E R S I Ó N

�La función de producción muestra el costo total de producir un cierto volumen de unidades, con la tecnología propia del proceso que se está analizando; es una función de costos que contempla todos los costos involucrados en el proceso de producción, sean costos fijos o costos variables. Existen varias categorías de costos: costos fijos y variables de producción, costo total y promedio de producción, costo marginal, costo de oportunidad, etc. A continuación, las definiciones de cada uno de ellos. �Costo fijo: el que no varía con el nivel de producción durante un período dado de tiempo. � Costo fijo = CF = constante, durante un período dado de tiempo. Algunos ejemplos de costo fijo: mano de obra asociada con un proceso productivo, costo conocido usualmente como la mano de obra directa (MOD); arrendamiento de instalaciones industriales o de bodegaje. Costo variable unitario: costo variable asociado con la producción de una unidad; puede ser constante, cuando el costo variable unitario no se modifica con el nivel de producción, o puede ser variable, si el costo variable unitario se modifica con el nivel de producción, por ejemplo, ante la presencia de economías de escala. Algunos ejemplos de costo variable unitario: la materia prima utilizada para producir una unidad de alimento balanceado para animales; los kilos de clinker para producir una tonelada de cemento. �Costo variable: se modifica directamente con el nivel de producción; puede variar en forma lineal con el nivel de producción, cuando el costo variable unitario no varía, o con cualquier otra función, por ejemplo exponencial.

CVT = F(Q), siendo Q el nivel de producción.

Para el caso lineal, cuando el costo variable unitario es constante:

CVT = CVU * Q

Costo total de producción: la suma de los costos fijos más los costos variables totales.

CT = CF + CVT

Para el caso lineal, cuando el costo variable unitario es constante:

CT = CF + CVU * Q

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[176]

Capítulo 6

[176] J A V I E R S E R R A N O��

Costo promedio de producción: el costo total de producir un cierto volumen de uni-dades dividido por el número de unidades producidas.

Costo medio = CM = CT/Q

Para el caso lineal, cuando el costo variable unitario es constante:

CM = CF/Q + CVU

Costo marginal: el costo incremental de producir una unidad adicional, respecto al volumen actual de producción.

Costo marginal= CMg = QCT$$

�Costo de oportunidad: el costo de mercado de un artículo o de un insumo que puede ser diferente al costo contable de producir el mismo artículo o del costo histórico al que se adquirió el artículo. En el Cuadro 6.9 se muestran los valores de las diferentes categorías de costos, para un rango de unidades producidas entre 605 y 700 unidades, para un proceso que tiene un costo fijo por valor de $6.500.000, y un costo variable unitario constante de $10.000. En este caso el costo marginal de producir una unidad coincide con el costo variable unitario, mientras que el costo medio va disminuyendo en la medida en que el número de unidades producidas va aumentando.

Cuadro 6.9 Costos para un rango de producción

CF1 CVT1 CT1 Ingreso Costo medio Costo marginal

605 6.500.000 6.050.000 12.550.000 12.100.000 20.744 10.000610 6.500.000 6.100.000 12.600.000 12.200.000 20.656 10.000615 6.500.000 6.150.000 12.650.000 12.300.000 20.569 10.000620 6.500.000 6.200.000 12.700.000 12.400.000 20.484 10.000625 6.500.000 6.250.000 12.750.000 12.500.000 20.400 10.000630 6.500.000 6.300.000 12.800.000 12.600.000 20.317 10.000635 6.500.000 6.350.000 12.850.000 12.700.000 20.236 10.000640 6.500.000 6.400.000 12.900.000 12.800.000 20.156 10.000645 6.500.000 6.450.000 12.950.000 12.900.000 20.078 10.000650 6.500.000 6.500.000 13.000.000 13.000.000 20.000 10.000655 6.500.000 6.550.000 13.050.000 13.100.000 19.924 10.000660 6.500.000 6.600.000 13.100.000 13.200.000 19.848 10.000665 6.500.000 6.650.000 13.150.000 13.300.000 19.774 10.000670 6.500.000 6.700.000 13.200.000 13.400.000 19.701 10.000675 6.500.000 6.750.000 13.250.000 13.500.000 19.630 10.000680 6.500.000 6.800.000 13.300.000 13.600.000 19.559 10.000685 6.500.000 6.850.000 13.350.000 13.700.000 19.489 10.000690 6.500.000 6.900.000 13.400.000 13.800.000 19.420 10.000695 6.500.000 6.950.000 13.450.000 13.900.000 19.353 10.000700 6.500.000 7.000.000 13.500.000 14.000.000 19.286 10.000

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[177] [177]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Puntos de equilibrio y apalancamiento operacional. Riesgo operacional

La importancia del costo marginal y del ingreso marginal en un proceso productivo se deriva del resultado demostrable de que el nivel óptimo de producción se obtiene cuando el costo marginal de producir una unidad es igual al ingreso marginal deriva-do de la venta de esa unidad marginal. Para el caso de un proceso de producción con un costo variable unitario constante la función de producción es una función lineal, como se puede ver en la Figura 6.1: �

Figura 6.1 Costo total de producción

��

En la Figura 6.1 se muestra el costo total de producir Q unidades, señalado como C(Q), que involucra un costo fijo y un costo variable. ��P U N T O S D E E Q U I L I B R I O Y A P A L A N C A M I E N T O O P E R A C I O N A L . R I E S G O O P E R A C I O N A L

�El punto de equilibrio operacional se define como el punto a partir del cual se co-mienzan a generar utilidades operacionales, o sea el punto para el cual la utilidad operacional es igual a cero. Para el caso de relaciones lineales: Ingresos operacionales = P * Q Costo operacionales = CF + CVU * Q UAII = P * Q – CF - CVU * Q

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[178]

Capítulo 6

[178] J A V I E R S E R R A N O

Si UAII es igual a cero, se tiene: 0 = P * Q – CF – CVU * Qo Despejando Qo, para el punto de equilibrio (Qo), Qo = CF/(P-CVU) En un proceso de producción con relaciones lineales, el punto de equilibrio operacio-nal es igual al costo fijo de producción (CF) dividido por el margen de contribución a costos fijos (P - CVU). En la Figura 6.2 se resume la determinación del punto de equilibrio operacional: �

Figura 6.2 Punto de equilibrio operacional

��El punto de equilibrio operacional, señalado como PE, se da cuando los ingresos ope-racionales igualan a los costos operacionales, incluyendo los costos fijos. El riesgo inicial de un proyecto es el de no alcanzar el punto de equilibrio operacional o tardar un tiempo prolongado para ello, lo cual puede afectar sensiblemente las finanzas de la empresa que está realizando la inversión. �A manera de ejemplo, un proceso de producción con las siguientes características: Costo fijo: $6.500.000 CVU: $10.000 P: $20.000 El punto de equilibrio, Qo = 6.500.000 /(20.000-10.000) = 650 unidades.

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[179] [179]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Puntos de equilibrio y apalancamiento operacional. Riesgo operacional

En términos gráficos, la Figura 6.3 muestra la determinación del punto de equilibrio, para el proceso que se acaba de describir. �

Figura 6.3 Determinación gráfica del punto de equilibrio

En la Figura 6.4 se muestra el comportamiento de la utilidad antes de intereses e im-puestos o utilidad operacional. A manera de ejemplo, si el pronóstico de ventas fluctúa entre 450 y 850 unidades, la utilidad antes de intereses e impuestos estaría entre -$2.000.000 y $2.000.000, tal y como se muestra en la Figura 6.4:

Figura 6.4 Determinación de la utilidad operacional (UAII)

��La volatilidad de la utilidad operacional frente a un cambio en el volumen de ventas es la segunda componente del riesgo operacional o comercial de un proceso produc-tivo.

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[180]

Capítulo 6

[180] J A V I E R S E R R A N O

Suponga otro proceso productivo para producir el mismo artículo con unos costos fijos de $3.000.000 y unos costos variables unitarios de $15.000. Para este proceso productivo, el punto de equilibrio será de 600 unidades, inferior al anterior que tenía un mayor volumen de costos fijos. En la Figura 6.5 se muestra el comportamiento de la utilidad operacional para los dos procesos, para un rango de ventas entre 450 y 850 unidades; la volatilidad de la utili-dad operacional es menor en el segundo proceso productivo, con un menor volumen de costos fijos, fluctuando entre -$750.000 si las ventas fueran de 450 unidades y $1.250.000 si las ventas fueran de 850 unidades. Esta menor fluctuación de la utilidad operacional ante una fluctuación en el volumen de ventas indica un menor riesgo operativo o comercial del proceso 2, con un menor volumen de costos fijos frente al proceso 1, con un mayor volumen de costos fijos. Por ello las empresas con mayor volumen de costos fijos, esto es, con una mayor apa-lancamiento operacional, tienen un mayor riesgo operacional, consistente en que una vez que realizan las inversiones en activos fijos y capital de trabajo, definiendo una estructura operativa, quedan expuestas a las volatilidades y/o cambios que se pro-duzcan en el mercado (reducción de la demanda, aumento de la competencia, etc.). En la medida en que la estructura operacional permanece en la empresa por un buen número de años, la empresa con un mayor volumen de costos fijos queda mayor-mente expuesta que la empresa con un menor volumen de costos fijos, que se puede adaptar mejor a los cambios en el entorno del negocio.

�Figura 6.5

Utilidad operacional y apalancamiento operacional

��

Un análisis de la función de producción del proyecto y su adecuación al mercado es crítico en la evaluación de cualquier proyecto de inversión. En general se parte de un

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[181] [181]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

estudio de prefactibilidad en el cual se hace una primera evaluación del mercado al cual se dirige el producto que se va a producir con el proyecto de inversión que se está analizando, incluyendo el análisis de la participación esperada, el precio de ven-tas esperado y una estimación del volumen de ventas para ese precio de ventas y para esa participación en el mercado. Posteriormente se establece la función de pro-ducción propia de la tecnología que se va a utilizar en el proyecto, para poder hacer un estimativo del punto de equilibrio operacional del proyecto y de la viabilidad de alcanzar ese punto de equilibrio, con las condiciones de mercado que va a enfrentar el proyecto. Con este análisis se define la primera componente del riesgo comercial u operacional de un proyecto de inversión, consistente en un estimativo de la probabili-dad de alcanzar el punto de equilibrio operacional, o también, un estimativo del año a partir del cual se va a alcanzar un punto de equilibrio operacional, bajo un escenario de comportamiento del mercado, de la participación en el mercado, del precio de ventas esperado, que permita hacer una proyección de los ingresos esperados y por lo tanto una estimación de la utilidad operacional, teniendo en cuenta la estructura de costos del negocio. Así mismo, se debe analizar otro componente del riesgo, la volati-lidad de la utilidad operacional para un rango razonable de fluctuación de las ventas.

Puntos de equilibrio y apalancamiento operacional. Riesgo operacional

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[183]� ���������������������������������������� �

Capítulo 7 RENTABILIDAD DEL PROYECTO EN SÍ Y RENTABILIDAD DEL CAPITAL PROPIO APORTADO AL PROYECTO Este capítulo profundiza en la construcción del flujo de fondos para analizar la viabili-dad financiera de un proyecto de inversión y en la identificación de los costos relevantes para hacer la correspondiente evaluación. Especialmente, se aborda la construcción del flujo de fondos para medir la rentabilidad del proyecto en sí, inde-pendientemente de cómo se va a financiar, y para medir la rentabilidad del capital propio aportado al proyecto, la cual tiene en cuenta el efecto del apalancamiento fi-nanciero. Los dos flujos a que se hace referencia son, respectivamente, el flujo de caja para el proyecto y el flujo de caja para los recursos propios aportados al proyecto, conocido también como flujo de caja para el patrimonio o flujo de fondos para el equity, o para el inversionista. La construcción del flujo de caja para evaluar la rentabilidad de un proyecto de inver-sión usualmente parte de la información contable disponible o proyectada (balances proforma), la cual lleva implícitamente un tratamiento particular de algunas cuentas según las reglas de contabilidad establecidas al respecto. El flujo de caja que se utiliza para la evaluación de un proyecto de inversión se construye sobre movimientos de caja, lo cual requiere una adecuación de la información contable, que se basa en el concepto de causación. Por ello, para la construcción del flujo de caja para medir la rentabilidad del proyecto en sí, se requiere: a)� Identificar aquellas cuentas que afectan el estado de pérdidas y ganancias pero no

afectan el flujo de caja, para hacer la correspondiente adecuación de la información contable, hacia la construcción del flujo de caja para evaluar un proyecto de inversión. Entre estas cuentas se tendrían las siguientes: �� Depreciación. �� Amortización de diferidos. �� Provisiones por pensiones de jubilación que aumentan la reserva actuarial. �� Ajustes por inflación.

b)� Identificar aquellas cuentas que sin afectar el estado de pérdidas y ganancias, si

afectan el flujo de caja, para hacer la correspondiente adecuación de la información contable, hacia la construcción del flujo de caja para evaluar un proyecto de inversión. Entre estas cuentas se tendrían: �� Pagos parciales o totales de jubilados actuales contra una provisión para pen-

siones de jubilación. �� Pagos efectivos incurridos en el mantenimiento de equipos especiales, que se

cargan contra una reserva realizada previamente.

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[184]

Capítulo 7

[184] J A V I E R S E R R A N O� ���������������������������������������� �

c)� Corregir las diferencias en el tiempo entre el momento en que se causa conta-blemente un ingreso o un egreso y aquel en que se recibe o se paga el correspon-diente flujo de efectivo, tal y como ocurre con los ingresos por ventas a crédito, o con las causaciones mensuales por cesantías. En general, la diferencia entre ingresos y egresos causados e ingresos y egresos efectivamente recibidos va a dar lugar a una inversión neta en capital de trabajo operativo, como se analizará posterior-mente.

Además de las correcciones que se acaban de mencionar hay que establecer los cos-tos relevantes que se deben considerar en la evaluación de proyectos, tema sobre el cual se profundiza al final del capítulo, ya que puede existir una diferencia importante entre el tratamiento contable de un costo y su consideración en la evaluación de pro-yectos, tal y como ocurre con los denominados costos muertos (sunk costs en inglés). El criterio principal a utilizar para determinar si un costo es relevante o no en la eva-luación de un proyecto de inversión se desprende de la respuesta a la pregunta relacionada con el hecho de si el mismo se genera como consecuencia de la ejecución del proyecto, o se puede evitar en caso de que el proyecto no se realice. En síntesis, este capítulo se centra básicamente en la construcción de los flujos de caja para el proyecto y para el capital propio aportado al proyecto, enfatizando la separa-ción entre la información contable y la información relevante para la evaluación de proyectos. Los flujos de caja que aquí se ilustran también se conocen como flujo de caja libre para el proyecto y flujo de caja libre para el patrimonio o para el inversionista. T R A T A M I E N T O D E L A D E P R E C I A C I Ó N

El cargo por depreciación que se lleva periódicamente al estado de pérdidas y ganan-cias se puede ver desde dos puntos de vista complementarios: �� Llevar al estado de pérdidas y ganancias un cargo (gasto) por la utilización del activo

correspondiente. �� Generar internamente los recursos necesarios para la reposición del activo, una vez

haya transcurrido su vida útil. Cualquiera que sea el punto de vista que se esté utilizando, el cargo que se hace pe-riódicamente por depreciación no implica la realización de un pago efectivo en ese momento; el pago en efectivo se hace efectivamente en el momento en que se realiza la inversión. Por ello, si se consideran simultáneamente la inversión (por ejemplo, co-mo un flujo negativo en la fecha cero) y los cargos periódicos por depreciación, se estaría haciendo una doble contabilización de la inversión:

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[185] [185]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Tratamiento de la depreciación

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�� Correctamente en la fecha en que se incluyó la inversión (usualmente al comienzo del proyecto).

�� Incorrectamente en cada período en el cual se ha llevado al estado de pérdidas y ganancias un cargo por depreciación, ya que no se tiene en cuenta el valor del dinero en el tiempo.

Por ello, para evitar una doble contabilización de la inversión se requiere corregir en el flujo de caja el cargo por depreciación, sumándolo a la utilidad neta proyectada. Co-rregir no significa eliminar, ya que el cargo por depreciación está afectando la utilidad antes de intereses e impuestos y por lo tanto afecta el monto de los impuestos a pa-gar, cifra que es muy importante en la determinación de la rentabilidad del proyecto después de impuestos. Ejemplo 7.1

Para ilustrar lo que se acaba de mencionar considere el proyecto de inversión que se presenta en el Cuadro 7.1, donde se suministra el monto de la inversión y la utilidad neta (después de impuestos), para cada uno de los 5 años que constituyen la vida útil del proyecto. Para simplificar la presentación se supone que no existen gastos finan-cieros, o sea que el proyecto se financia en un 100% con recursos propios. Así mismo se supone que la inversión es en activos fijos, los cuales se deprecian en un 100%; al final de la vida útil, lo que se obtendría por la venta del activo depreciado sería exac-tamente igual al costo de preparar la maquinaria para su disposición y entrega al comprador potencial. Rentabilidad del proyecto en sí Supuestos: Valor depreciable:100% Depreciación en línea recta No hay ajustes por inflación El proyecto se financia con recursos propios Tasa de impuestos:35% Inversión en la fecha 0:$100.000

Cuadro 7.1 Rentabilidad del proyecto en sí

Año Utilidad neta

0 1 30.000 2 40.0003 50.000 4 60.000 5 70.000

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[186]

Capítulo 7

[186] J A V I E R S E R R A N O� ���������������������������������������� �

Una de las principales equivocaciones que se comete en la evaluación de proyectos es igualar el flujo de caja a la utilidad neta, lo cual lleva a subestimar la rentabilidad del proyecto. En el caso específico del ejemplo considerado, una equivocación de esta naturaleza resulta en una estimación equivocada de la rentabilidad del 34,12%, que sería la tasa interna de retorno del flujo compuesto únicamente por las utilidades ne-tas, lo cual llevaría a rechazar el proyecto si la tasa de interés de oportunidad fuera del 40%. Para calcular la rentabilidad correcta del proyecto hay que construir el flujo de caja a partir de la utilidad neta sumando la depreciación que se cargó anualmente al estado de pérdidas y ganancias, la cual no genera un pago efectivo en el momento en que se hace el cargo correspondiente, además de que la inversión ya se ha considerado por su valor real en la fecha cero. Partiendo del supuesto especificado de que el proyecto se está financiando con recur-sos propios, el flujo de caja o flujo de fondos para determinar la rentabilidad del proyecto se construye sumando a la utilidad neta el valor de la depreciación de cada año, tal y como se muestra en el Cuadro 7.2, utilizando la expresión: FJ = (Utilidad neta)J + (Depreciación)J donde:

FJ: Flujo de caja en el período j (Depreciación)J: Depreciación en el período j (Utilidad neta)J: Utilidad neta en el período j

Cuadro 7.2 Tratamiento de la depreciación

Año Utilidad neta Depreciación Flujo de fondos

0 -100.000

1 30.000 20.000 50.000

2 40.000 20.000 60.000

3 50.000 20.000 70.000

4 60.000 20.000 80.000

5 70.000 20.000 90.000

Tasa de interés de oportunidad: 40,00% Tasa interna de retorno: 54,97% Valor presente neto: 29.395

Para el ejemplo que se está analizando, tal y como se muestra en el Cuadro 7.2, la rentabilidad del proyecto, medida a través de la tasa interna de retorno, resulta igual al 54,97%, cifra bastante mayor a la que se había estimado previamente en forma equivocada, y superior a la tasa de oportunidad del 40%, lo cual llevaría a aceptar el proyecto.

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[187] [187]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Tratamiento de otras cuentas

� ���������������������������������������� �

T R A T A M I E N T O D E O T R A S C U E N T A S

Amortización de diferidos La amortización de diferidos debe ser tratada en forma similar a la depreciación, debi-do a que la inversión y/o gasto correspondiente al desembolso real se realizó en otro momento, todo ello para evitar una doble contabilización que lleva a subestimar la rentabilidad de un proyecto de inversión. FJ = (Utilidad neta)J + (Depreciación)J + (Amortización de diferidos)J Ajustes por inflación Para tener en cuenta los ajustes por inflación en la construcción del flujo de caja de un proyecto, hay que considerar los siguientes puntos: a)� La cuenta de corrección monetaria hace parte del estado de pérdidas y ganancias. b)� El ajuste de los activos no monetarios aumenta el valor del activo y genera un

ingreso en la cuenta de corrección monetaria. Su resultado neto sobre la utilidad antes de intereses e impuestos es positivo, o sea aumenta dicha utilidad.

c)� El ajuste del patrimonio aumenta el valor del patrimonio (revalorización del

patrimonio) y genera un egreso en la cuenta de corrección monetaria. Su resultado neto sobre la utilidad antes de intereses e impuestos es negativo, es decir disminuye dicha utilidad.

d)� En el momento no se requiere hacer ajustes por inflación. Esto simplifica la situación

respecto a la que existía anteriormente, cuando había necesidad de realizar dichos ajustes a las diferentes cuentas del estado de pérdidas y ganancias y al balance general.

Por lo tanto, para corregir el efecto de la cuenta de corrección monetaria hay que restar de la utilidad neta el ajuste de los activos no monetarios y sumar a la utilidad neta el ajuste del patrimonio; lo anterior sería equivalente a restar con el signo alge-braico correspondiente el valor de la cuenta de corrección monetaria. En otras palabras, si la cuenta de corrección monetaria resulta positiva se resta dicho valor; si resulta negativa, se suma dicho valor.

Llamando:

FJ = (Utilidad neta)J + (Depreciación)J + (Amortización de diferidos)J - (A x Inf)J

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[188]

Capítulo 7

[188] J A V I E R S E R R A N O� ���������������������������������������� �

Valor de salvamento En muchos proyectos el valor de salvamento contable difiere del valor de salvamento real, que corresponde al dinero que efectivamente se va a recibir al final de la vida útil del activo cuando se venda. Por ello, en la evaluación de proyectos habría que tener en cuenta como un ingreso el valor proyectado que efectivamente se recibiría si el activo se llegara a vender, menos el monto de los impuestos que habría que pagar en el caso de generarse una ganancia ocasional (diferencia entre el precio de venta y el costo fiscal del activo). VSNT: Valor de salvamento neto, después de impuestos, al disponer del activo en la fecha T (final de su vida útil).

VSNT = (Ingreso por venta activo)T - (Ingreso por venta activo - valor fiscal del activo)T*t

donde t corresponde a la tasa de tributación. FJ = (Utilidad neta)J + (Depreciación)J + (Amortización de diferidos)J - (A x Inf )J + VSNT Provisión para pensiones de jubilación Algunas empresas aún llevan a su estado de pérdidas y ganancias una provisión para pensiones de jubilación con el fin de incrementar su reserva actuarial. Cuando ese sea el caso, como la misma no corresponde a un desembolso de efectivo, habría que su-mar a la utilidad neta el valor de esa provisión para construir el flujo de caja o de fondos del proyecto. La situación contraria se presentaría cuando se pagan las pen-siones de jubilación con cargo a la reserva actuarial. En este último caso, habría que llevar al flujo de caja el valor efectivamente pagado, ya que el mismo no estaría in-cluido en la utilidad neta. (Am. Cact)J: Amortización del cálculo actuarial en el j-ésimo período (Pag efect jub)J: Pago efectivo a los jubilados en el j-ésimo período, contra la reserva actuarial FJ = (Utilidad neta)J + (Depreciación)J + (Amortización de diferidos)J - (A x Inf )J + VSNT + (Am. Cact)J - (Pag efect jub)J Ventas a crédito Para hacer el ajuste por ventas a crédito hay que desplazar el valor de las mismas a la fecha en que efectivamente se espera recaudar el importe de esas ventas. El ingreso de la venta a crédito se causa en el momento de su realización; pero el ingreso de

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[189] [189]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Rentabilidad del proyecto en sí. Flujo de fondos para el proyecto

� ���������������������������������������� �

efectivo se recibe en el momento en que se recauda la correspondiente cuenta por cobrar. La diferencia anterior da lugar a una cartera o cuentas por cobrar, que surgen en el giro ordinario del negocio y hacen parte de la inversión en el capital de trabajo operativo, conjuntamente con los inventarios. La inversión en cuentas por cobrar y en inventarios se financia parcialmente con las cuentas por pagar a proveedores. Cesantías (Ley 50) Las cesantías, según la Ley 50, se causan periódicamente pero sólo se transfieren a las Sociedades Administradoras de Fondos de Cesantías y Pensiones en el mes de febrero del próximo año. Por ello, habría que hacer la correspondiente corrección para tener en cuenta la diferencia entre la causación y el desembolso de caja que efectivamente se realizará en una fecha posterior. Impuesto de renta Usualmente se hace una provisión para el impuesto de renta, al final de cada ejercicio, sin que el pago del mismo se realice en esa fecha. El pago real del impuesto de renta se realiza en el siguiente año, de acuerdo con el calendario tributario que para tal efecto acuerda la Dirección de Impuestos Nacionales, el cual se reparte en varios pa-gos, dependiendo del tipo de contribuyente. En sentido estricto, el desembolso por impuestos se debería establecer en las fechas reales de pago; sin embargo, se acos-tumbra como una aproximación, concentrar esos pagos al final del año, para simplificar el tratamiento correspondiente. Otros casos En cada situación específica hay que tener en cuenta la fecha en que se hace la cau-sación del ingreso (o egreso) y aquella en la cual efectivamente se recauda el mismo (o se desembolsa efectivamente el pago). Sin embargo, cuando se proceda a la reali-zación de este tipo de correcciones no hay que perder el sentido de las proporciones, y hay que realizar sólo aquellas que por su tamaño y/o discrepancia puedan tener un efecto realmente significativo sobre los resultados de la evaluación del proyecto. R E N T A B I L I D A D D E L P R O Y E C T O E N S Í . F L U J O D E F O N D O S P A R A E L P R O Y E C T O

En la evaluación de un proyecto de inversión hay dos conceptos que se suelen con-fundir y por lo tanto conducen a decisiones equivocadas, a saber: �� Rentabilidad del proyecto en sí. �� Rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto.

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[190]

Capítulo 7

[190] J A V I E R S E R R A N O� ���������������������������������������� �

El primero de los conceptos, rentabilidad del proyecto en sí, corresponde a una carac-terística intrínseca del proyecto, independientemente de la forma como se vaya a financiar; corresponde a una rentabilidad sin tener en cuenta el apalancamiento fi-nanciero. Por ello, algunos la denominan como rentabilidad del proyecto en sí, independientemente de sus fuentes de financiación. Para la definición del flujo de caja correspondiente a la rentabilidad del proyecto en sí, o flujo de caja libre para el proyecto, se supone que el mismo se va a financiar con recur-sos propios. En otras palabras, no se consideran los gastos financieros correspondientes a la deuda utilizada para financiar la inversión (activos fijos y capital de trabajo). Los pasos que se deben seguir para calcular esa rentabilidad son los siguientes: a)� Calcular la utilidad antes de intereses e impuestos. Mejor aún, parta de la utilidad

antes de intereses o impuestos (UAII). b)� Hacer la utilidad antes de impuestos igual a la utilidad antes de intereses e im-

puestos, a que se hace referencia en a) (UAI). c)� Calcular los impuestos a pagar, sobre la base de la utilidad definida en el literal b)

(sin gastos financieros; esto es sin considerar el efecto del apalancamiento financiero).

d)� Calcular la utilidad neta, con base en c) y b). e)� Calcular el flujo de caja, sumando a la utilidad neta encontrada en d) la depreciación

de cada período, adicionalmente a efectuar los ajustes correspondientes por efecto de las amortizaciones de diferidos, provisiones por pensiones de jubilación que aumentan la reserva actuarial, ajustes por inflación y demás ajustes a que se hizo referencia

f)� Lo anterior conduce al flujo de caja que se fue construyendo paulatinamente, el cual

se conoce como el flujo de caja libre para el proyecto, o flujo de caja para calcular la rentabilidad del proyecto en sí, independientemente de la forma como se vaya a financiar.

g)� Estimar la inversión en activos fijos y en capital de trabajo que se requiere en cada

período.

IJ: Inversión en activos fijos durante el j-ésimo período. (ICT)J: Inversión en capital de trabajo durante el j-ésimo período. Usualmente,

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[191] [191]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Rentabilidad del proyecto en sí. Flujo de fondos para el proyecto

� ���������������������������������������� �

(ICT)J = (CCJ - CCJ-1) + (INVJ - INVJ-1) - (CPJ - CPJ-1)

donde: CCJ: Valor de las cuentas por cobrar al final del j-ésimo período.

INVJ: Valor de los inventarios al final del j-ésimo período. CPJ: Valor de las cuentas por pagar al final del j-ésimo período.

h)� La expresión final para el flujo de caja libre para el proyecto, o flujo de caja para

calcular la rentabilidad del proyecto en sí, sería la siguiente:

FJ = (Utilidad neta)J + (Depreciación)J + (Amortización de diferidos)J

- (A x Inf)J + (Am. Cact)J - (Pag efect jub)J - IAFJ - ICTJ

para J= 1,2,…T-1 FT= (Utilidad neta)T + (Depreciación)T + (Amortización de diferidos)T

- (A x inf)T + (Am. Cact)T - (Pag efect jub)T – IAFT - ICTT + VSNT

Para aquellas empresas que no tienen a su cargo el cálculo actuarial ni jubilados, la expresión anterior se reduce a:

FJ = (Utilidad neta)J + (Depreciación)J + (Amortización de diferidos)J

- (A x inf)J - IAFJ - ICTJ

J= 1,2,… T-1 FT = (Utilidad neta)T + (Depreciación)T + (Amortización de diferidos)T

- (A x inf)T – IAFT - ICTT + VSNT

Hay que enfatizar que en las expresiones que se acaban de presentar la utilidad neta se calcula sin tener en cuenta los gastos financieros correspondientes a la deuda que utilice la empresa en su estructura de capital y con base en unos impuestos que no tienen en cuenta esos gastos financieros. Esto es, la utilidad neta se calcula sin tener en cuenta el apalancamiento financiero, lo cual sería equivalente a partir de la utilidad antes de intereses e impuestos (UAII), ya que solamente se tienen en cuenta ingresos operativos, costos y gastos operativos. Como se ve, en el cálculo del flujo de caja libre para el proyecto se asume, independientemente de que ese sea el caso, que el pro-yecto se va a financiar en su totalidad con recursos propios. Los pasos necesarios para la construcción del flujo de caja para el cálculo de la rentabilidad del proyecto en sí, independientemente de sus fuentes de financiamiento. Para el ejemplo que se ha venido analizando, la rentabilidad del proyecto en sí es del 54,97%, superior a la tasa de interés de oportunidad, lo que significa la viabilidad financiera del proyecto de inversión. Para el mismo flujo de caja o de fondos, el valor presente neto del proyecto, a la tasa de interés de oportunidad del 40%, es 29.395.

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[192]

Capítulo 7

[192] J A V I E R S E R R A N O� ���������������������������������������� ��

Para que un proyecto de inversión resulte atractivo desde el punto de vista financiero, la rentabilidad del proyecto en sí debe ser mayor a la tasa de interés de oportunidad, o lo que es equivalente, el valor presente neto del flujo de caja libre para el proyecto, utilizado para analizar la rentabilidad del proyecto en sí, descontado a la tasa de in-terés de oportunidad, debe ser mayor que cero. U T I L I Z A C I Ó N D E L A D E P R E C I A C I Ó N A C E L E R A D A

La escogencia del método de depreciación puede afectar la rentabilidad del proyecto en sí, por la incidencia que la selección de un método específico tiene sobre el flujo de impuestos a pagar. Para ilustrar lo que se acaba de afirmar, se va a comparar la ren-tabilidad del proyecto en sí utilizando un método de depreciación en línea recta versus un método de depreciación acelerado (40%, 40%, 20%). Para ello se utiliza el mismo ejemplo que se ha venido trabajando, donde la utilidad neta mostrada inicial-mente, se supone que se produjo utilizando un método de depreciación en línea rec-ta. En este caso, la rentabilidad del proyecto en sí resultó igual al 54,97%, con un valor presente neto a una tasa de interés de oportunidad del 40%, igual a 29.395. En el Cuadro 7.3 se muestra el flujo de caja necesario para calcular la rentabilidad del proyecto en sí, utilizando el método de depreciación acelerada. Cuando se utiliza la depreciación acelerada, la rentabilidad del proyecto se incrementa del 54,97% al 58,55%, y el valor presente neto para una tasa de interés de oportunidad del 40% se incrementa de 29.395 a 34.843.

Depreciación acelerada

Supuestos: Depreciación acelerada: 40%, 40%, 20% Tasa de impuestos: 35%

Cuadro 7.3 Depreciación acelerada

Años

Utilidad neta con deprec. (línea recta)

Utilidad antes de impuestos (línea recta)

Utilidad antes de impuestos y depreciación

Depreciaciónacelerada

Utilidad antes de

impuestos

Utilidad neta

deprec. aceler.

Flujo de cajalibre para el

proyecto

0 -100.000

1 30.000 46.154 66.154 40.000 26.154 17.000 57.000

2 40.000 61.538 81.538 40.000 41.538 27.000 67.000

3 50.000 76.923 96.923 20.000 76.923 50.000 70.000

4 60.000 92.308 112.308 0 112.308 73.000 73.000

5 70.000 107.692 127.692 0 127.692 83.000 83.000

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[193] [193]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ahorro en impuestos

� ���������������������������������������� ��

Tasa de interés de oportunidad 40% Tasa interna de retorno 58,55% Valor presente neto 34.843

A H O R R O E N I M P U E S T O S

La explicación del aumento de la rentabilidad del proyecto en sí y del valor presente neto que se mostró en el numeral anterior al utilizar un método de depreciación ace-lerada versus uno en línea recta, se encuentra en el flujo diferente de los impuestos que se pagan en cada caso, tal y como se ilustra en el Cuadro 7.4, bajo el título de ahorro en impuestos.

Cuadro 7.4 Ahorro en impuestos

Año Impuestos utilizando

depreciación en línea recta Impuestos utilizando

depreciación acelerada Ahorro en impuestos

1 16.154 9.154 7.000

2 21.538 14.538 7.000

3 26.923 26.923 0

4 32.308 39.308 -7.000

5 37.692 44.692 -7.000

Tasa de interés de oportunidad: 40% Valor presente del ahorro en impuestos: 5.448 Diferencia en valor presente: 5.448 Aunque en ambos casos se paga el mismo monto de impuestos en valor nominal du-rante el período de 5 años, cuando se utiliza un método de depreciación acelerada se pagan menos impuestos al principio y más al final, respecto de los impuestos que se pagarían si se utilizara un método de depreciación en línea recta. Si no se tiene en cuenta el valor del dinero en el tiempo, no habría un ahorro neto en impuestos; sin embargo, al tener en cuenta el valor del dinero en el tiempo, se tendría un ahorro neto en impuestos, cuyo valor presente a la tasa de interés de oportunidad del 40% resulta igual a 5.448, que es precisamente la diferencia existente entre el valor pre-sente del proyecto utilizando un método de depreciación acelerado y el valor presente del proyecto utilizando un método en línea recta. R E N T A B I L I D A D D E L C A P I T A L P R O P I O A P O R T A D O A L P R O Y E C T O .

F L U J O D E C A J A P A R A E L C A P I T A L P R O P I O A P O R T A D O A L P R O Y E C T O

O F L U J O D E C A J A L I B R E P A R A E L I N V E R S I O N I S T A

En este caso se tiene en cuenta el apalancamiento financiero, esto es, el efecto de la deuda utilizada para financiar el proyecto sobre la rentabilidad de los recursos propios

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[194]

Capítulo 7

[194] J A V I E R S E R R A N O� ���������������������������������������� ��

que efectivamente se aportaron para financiar el proyecto. Los pasos a seguir para la construcción del flujo de caja se ilustran en el Cuadro 7.5, que se presenta a conti-nuación, donde la inversión se va a financiar de la siguiente forma: el 50% con recursos propios y el 50% con un crédito, a 5 años, amortizado totalmente al final de los 5 años, con un interés del 40% anual que se paga al final de cada año. Inversión en la fecha 0: 100.000 Deuda: 50.000 Recursos propios: 50.000 Tasa interés deuda: 40%

Cuadro 7.5

Cálculo de la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto

Año

Utilidad antes de

intereses e impuestos

Gastos financieros

Utilidad antes de

impuestos

Utilidad neta

Depreciación(línea recta)

Amortización a capital

Flujo de caja

inversionista

0 -50.000

1 46.154 20.000 26.154 17.000 20.000 37.000

2 61.538 20.000 41.538 27.000 20.000 47.000

3 76.923 20.000 56.923 37.000 20.000 57.000

4 92.308 20.000 72.308 47.000 20.000 67.000

5 107.692 20.000 87.692 57.000 20.000 -50.000 27.000

Tasa de interés de oportunidad: 40% Tasa interna de retorno: 84,47% Valor presente neto: 43.642 Para la construcción del flujo de caja para calcular la rentabilidad de los recursos pro-pios aportados al proyecto, conocido también como flujo de caja libre para el inversionista o para el patrimonio, hay que seguir los siguientes pasos: 1.� Calcular los recursos propios invertidos en el proyecto; igual al monto de la inversión

menos los ingresos derivados del financiamiento: I0 - F0, I0: Inversión en la fecha cero F0: Financiamiento en la fecha cero 2. Calcular la utilidad antes de intereses e impuestos utilizando el método de

depreciación escogido. 3. Calcular los gastos financieros, teniendo en cuenta la tasa de interés de los créditos

utilizados para financiar el proyecto.

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[195] [195]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Rentabilidad del capital propio aportado al proyecto...

� ���������������������������������������� ��

4. Calcular la utilidad antes de impuestos, teniendo en cuenta 2 y 3. 5. Calcular los impuestos sobre la base de la utilidad definida en 4. 6. Calcular la utilidad neta teniendo en cuenta 4 y 5. 7. Corregir la depreciación, amortización de diferidos, etc., tal y como se hizo cuando

se calculó el flujo de caja libre para el proyecto, o flujo de caja para medir la rentabilidad del proyecto en sí.

8. Estimar la inversión en activos fijos y en capital de trabajo que se requiere en cada

período, diferente a la fecha cero: IJ e ICTJ. 9. Restar la amortización del crédito hasta completar el servicio de la deuda utilizada

para financiar el proyecto. Esto es, la amortización periódica que hay que realizar correspondiente al desembolso F0, con el cual se financió la inversión inicial I0 o cualquier otro crédito cuyo desembolso haya sido contabilizado como un ingreso financiero.

(Amort deuda)J: amortización de la deuda, correspondiente al financiamiento inicial,

para el j-ésimo período, o para cualquier otro crédito cuyo desembolso se haya realizado previamente y contabilizado como un ingreso financiero.

10. En términos notacionales y para una empresa que no tenga a su cargo el cálculo

actuarial ni jubilados, el flujo de caja libre para calcular la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto o flujo de caja libre para el capital propio aportado al proyecto o para el inversionista, sería:

FJ = (Utilidad neta)J + (Depreciación)J + (Amortización de diferidos)J - (A x Inf)J + VSNT - IJ - (ICT)J - (Amort deuda)J donde: (Utilidad neta)J = UAIIJ - GFJ - (UAIIJ - GFJ)*t (Utilidad neta)J = (UAIIJ - GFJ)*(1-t) UAIIJ: Utilidad antes de intereses e impuestos durante el j-ésimo período GFJ: Gastos financieros durante el j-ésimo período t: Tasa de tributación

11. Comparar el flujo anterior con la inversión neta de recursos propios del inversionista, en la fecha cero, que es igual a I0 - F0.

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[196]

Capítulo 7

[196] J A V I E R S E R R A N O� ���������������������������������������� ��

Otra forma de analizar la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto con-siste en definir separadamente el flujo de caja del proyecto de inversión y el flujo de caja del proyecto de financiación, para encontrar el flujo neto, restando el uno del otro. Cuando se utilice esta metodología, hay que tener en cuenta el impacto de los gastos financieros sobre el monto de los impuestos a pagar, como consecuencia del crédito tri-butario que se genera. Este procedimiento se explica en los Cuadros 7.6, 7.7 y 7.8.

Cuadro 7.6 Forma alterna de calcular la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto

Año Utilidad antes de

intereses e impuestos Utilidad neta Depreciación

Flujo de caja proyecto de inversión

0 -100.000 1 46.154 30.000 20.000 50.000 2 61.538 40.000 20.000 60.000 3 76.923 50.000 20.000 70.000 4 92.308 60.000 20.000 80.000 5 107.692 70.000 20.000 90.000

En el Cuadro 7.6 se muestra el flujo de fondos para el proyecto de inversión, y en el Cuadro 7.7 se muestra el flujo de fondos para el proyecto de financiación.

Cuadro 7.7

Proyecto de financiación

Año Ingresos por financia-miento

Gastos financieros

Amortización del capital

Crédito tributario

gastos financ.

Flujo de caja proyecto de financiación

0 50.000 50.000 1 -20.000 7.000 -13.000 2 -20.000 7.000 -13.000 3 -20.000 7.000 -13.000 4 -20.000 7.000 -13.000 5 -20.000 -50.000 7.000 -63.000

En el Cuadro 7.8 se muestra la superposición entre el flujo de caja para el proyecto de inversión y el flujo de caja para el proyecto de financiación:

Cuadro 7.8 Flujo de caja para el inversionista

Año Flujo de fondos proyecto

de inversión Flujo de fondos proyecto

de financiación�Flujo de fondos

neto

0 A

-100.000 B

50.000 (A+B)

-50.000 1 50.000 -13.000 37.000 2 60.000 -13.000 47.000 3 70.000 -13.000 57.000 4 80.000 -13.000 67.000 5 90.000 -63.000 27.000

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[197] [197]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto y uso de la depreciación acelerada

� ���������������������������������������� ��

Tasa de interés de oportunidad: 40% Tasa interna de retorno: 84,47% Valor presente neto: 43.642 R E N T A B I L I D A D D E L O S R E C U R S O S P R O P I O S A P O R T A D O S A L P R O Y E C T O Y U S O D E L A D E P R E C I A C I Ó N A C E L E R A D A

En los siguientes cuadros 7.9, 7.10 y 7.11 se repiten los cálculos necesarios para en-contrar la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto utilizando un método de depreciación acelerada y el correspondiente ahorro en impuestos que se generaría frente a la situación cuando se utiliza un método de depreciación en línea recta. En el Cuadro 7.9 se muestran los cálculos necesarios para llegar a la utilidad neta, utilizando un método de depreciación acelerada.

Cuadro 7.9 Cálculo de la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto utilizando

un método de depreciación acelerada

Año

Utilidad antes de intereses e impuestos (línea recta)

Utilidad antes de intereses, impuestos y depreciación

Depreciación acelerada

Gastos financieros

Utilidad antes de

impuestos

Utilidad neta

(depreciaciónacelerada)

0

1 46.154 66.154 40.000 20.000 6.154 4.000

2 61.538 81.538 40.000 20.000 21.538 14.000

3 76.923 96.923 20.000 20.000 56.923 37.000

4 92.308 112.308 0 20.000 92.308 60.000

5 107.692 127.692 0 20.000 107.692 70.000

En el Cuadro 7.10 se muestran los cálculos necesarios para determinar la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto, utilizando un método de depreciación acelerada.

Cuadro 7.10 Construcción del flujo de caja para el inversionista

Año Inversión Financiamiento Utilidad neta Depreciación Amortización Flujo de

Fondos

0 -100.000 50.000 -50.000

1 4.000 40.000 44.000

2 14.000 40.000 54.000

3 37.000 20.000 57.000

4 60.000 0 60.000

5 70.000 0 -50.000 20.000

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[198]

Capítulo 7

[198] J A V I E R S E R R A N O� ���������������������������������������� ��

Tasa de Interés de Oportunidad: 40% Tasa Interna de Retorno: 93,59% Valor presente neto: 49.089 En el Cuadro 7.11 se muestra el valor presente del ahorro en impuestos al utilizar un método de depreciación acelerada versus uno de línea recta.

Cuadro 7.11 Ahorro en impuestos

Año Impuestos

(línea recta) Impuestos (dep. acel.)

Ahorro en impuestos

1 9.154 2.154 7.000

2 14.538 7.538 7.000

3 19.923 19.923 0

4 25.308 32.308 -7.000

5 30.692 37.692 -7.000

Tasa de interés de oportunidad: 40% Valor presente ahorro en impuestos: 5.448 Diferencia valor presente: 5.448

E J E M P L O S D E T A L L A D O S D E L C Á L C U L O D E L A R E N T A B I L I D A D D E L P R O Y E C T O E N S Í Y D E L A R E N T A B I L I D A D D E L O S R E C U R S O S P R O P I O S A P O R T A D O S A L P R O Y E C T O

Ejemplo 7.2 En el Cuadro 7.12 se muestra la utilidad antes de intereses e impuestos para un pro-yecto con una inversión inicial en activos fijos por valor de $180.000 y con una vida útil de 5 años; la inversión inicial en activos fijos se deprecia en un 100%, utilizando un método de depreciación en línea recta. La inversión inicial se va a financiar en un 60% con un crédito a 5 años, que se amortiza en un solo pago al final de los 5 años; la tasa de interés del crédito es del 35% y se supone que se paga al final de cada año. La tasa de impuestos es del 35%.

Cuadro 7.12

Año UAII

0

1 53.846

2 69.231

3 92.308

4 107.692

5 138.462

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[199] [199]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ejemplos detallados del cálculo de la rentabilidad del proyecto en sí...

� ���������������������������������������� ��

a)� Calcular la rentabilidad del proyecto en sí, utilizando un método de depreciación en línea recta y un método de depreciación acelerado (40%, 40%, 20%). Calcular el valor presente del ahorro en impuestos.

b)� Calcular la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto, utilizando un

método de depreciación en línea recta y un método de depreciación acelerado. Calcular el valor presente del ahorro en impuestos.

a)� Calcular la rentabilidad del proyecto en sí, utilizando un método de depreciación

en línea recta y un método de depreciación acelerado (40%, 40%, 20%). Los principales supuestos son: Valor depreciable: 100% Depreciación en línea recta No hay ajustes por inflación El proyecto se financia con recursos propios Tasa de impuestos: 35% Inversión fecha 0: 180.000

En el Cuadro 7.13 se muestran los cálculos necesarios para determinar la rentabi-lidad del proyecto en sí, independientemente de sus fuentes de financiamiento.

Cuadro 7.13

Tratamiento de la depreciación

Año Utilidad neta sin finan-

ciamiento Depreciación (LR) Flujo de fondos

0 (180.000)

1 35.000 36.000 71.000

2 45.000 36.000 81.000

3 60.000 36.000 96.000

4 70.000 36.000 106.000

5 90.000 36.000 126.000

TIO: 30,00% TIR: 39,42% Valor presente neto: 37.289 En el Cuadro 7.14 se muestran los cálculos necesarios, para hallar la rentabilidad del proyecto en sí, utilizando un método de depreciación acelerada. Suposiciones: Depreciación acelerada: 40%, 40%, 20% Tasa impuestos: 35%

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[200]

Capítulo 7

[200] J A V I E R S E R R A N O� ���������������������������������������� ��

Cuadro 7.14 Depreciación acelerada

Año Utilidad neta con dep. en

LR

Utilidad antes de imp-

tos. (LR)

Utilidad antes de imp-tos. y deprec.

Deprec. acelerada

Utilidad antes de imp-

tos. (DA)

Utilidad neta (DA)

Flujo de fondos

0 (180.000)

1 35.000 53.846 89.846 72.000 17.846 11.600 83.600

2 45.000 69.231 105.231 72.000 33.231 21.600 93.600

3 60.000 92.308 128.308 36.000 92.308 60.000 96.000

4 70.000 107.692 143.692 0 143.692 93.400 93.400

5 90.000 138.462 174.462 0 174.462 113.400 113.400

TIO: 30% TIR: 42,46% Valor presente neto: 46.632 En el Cuadro 7.15 se muestra la comparación en el ahorro en impuestos, utilizan-do tanto el método de depreciación en línea recta como el de depreciación acelerada.

Cuadro 7.15

Ahorro en impuestos

Año Impuestos utilizando

dep. línea recta Impuestos utilizando

dep. acelerada Ahorro en impuestos

0

1 18.846 6.246 12.600

2 24.231 11.631 12.600

3 32.308 32.308 0

4 37.692 50.292 (12.600)

5 48.462 61.062 (12.600)

TIO: 30% Valor presente ahorro impuestos: 9.343 Diferencia en VPN entre depreciación acelerada y línea recta: 9.343

b)� Calcular la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto, utilizando

un método de depreciación en línea recta y un método de depreciación acelerada. Calcular el valor presente del ahorro en impuestos.

En el Cuadro 7.16 se muestran los cálculos necesarios para hallar la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto, utilizando un método de deprecia-ción en línea recta. Inversión en la fecha 0: 180.000 Deuda: 108.000

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[201] [201]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ejemplos detallados del cálculo de la rentabilidad del proyecto en sí...

� ���������������������������������������� ��

Recursos propios: 72.000 Tasa interés deuda: 35%

Cuadro 7.16

Cálculo de la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto

Año UAII (LR)

Gastos financieros

Utilidad antes de impuestos

Utilidad neta (LR)

Depreciación(LR)

Amort. deuda

Flujo deFondos

0 (72.000) 1 53.846 37.800 16.046 10.430 36.000 46.430 2 69.231 37.800 31.431 20.430 36.000 56.430 3 92.308 37.800 54.508 35.430 36.000 71.430 4 107.692 37.800 69.892 45.430 36.000 81.430 5 138.462 37.800 100.662 65.430 36.000 (108.000) (6.570)

TIO: 30% TIR: 68,48% Valor presente neto: 56.360 En los cuadros 7.17, 7.18 y 7.19 se muestra otra forma de calcular la rentabilidad de los recursos propios, enfrentando el proyecto de inversión con el de financia-miento.

Cuadro 7.17

Proyecto de inversión

Año UAII (LR) Utilidad neta (LR) Deprec. (LR) Flujo de fondos 0 (180.000) 1 53.846 35.000 36.000 71.000 2 69.231 45.000 36.000 81.000 3 92.308 60.000 36.000 96.000 4 107.692 70.000 36.000 106.000 5 138.462 90.000 36.000 126.000

Cuadro 7.18 Proyecto de financiación

Año Desembolso Intereses Amortización Crédito tributario Flujo de fondos

0 108.000 108.000 1 (37.800) 13.230 (24.570) 2 (37.800) 13.230 (24.570) 3 (37.800) 13.230 (24.570) 4 (37.800) 13.230 (24.570) 5 (37.800) (108.000) 13.230 (132.570)

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[202]

Capítulo 7

[202] J A V I E R S E R R A N O� ���������������������������������������� ��

Cuadro 7.19 Flujo neto

Año Proyecto de inversión (A)

Proyecto de financiación (B)

Flujo neto (A+B)

0 (180.000) 108.000 (72.000) 1 71.000 (24.570) 46.430 2 81.000 (24.570) 56.430 3 96.000 (24.570) 71.430 4 106.000 (24.570) 81.430 5 126.000 (132.570) (6.570)

TIO: 30% TIR: 68,48% Valor presente neto: 56.360 En el Cuadro 7.20 se muestran los cálculos para la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto, utilizando un método de depreciación acelerado, a partir de la construcción del flujo de fondos para los recursos propios aportados al proyecto.

Cuadro 7.20

Construcción del flujo de caja libre para el inversionista

UAII (LR) Utilidad antes de intereses imptos.

y dep.

Depreciación acelerada

Gastos financieros

Utilidad antes de impuestos

Utilidad neta (DA)

0

1 53.846 89.846 72.000 37.800 (19.954) (12.970)

2 69.231 105.231 72.000 37.800 (4.569) (2.970)

3 92.308 128.308 36.000 37.800 54.508 35.430

4 107.692 143.692 0 37.800 105.892 68.830

5 138.462 174.462 0 37.800 136.662 88.830

��

Cuadro 7.20 (cont.) Construcción del flujo de caja libre para el inversionista

Año Inversión Financiamiento Utilidad neta Depreciación Amortización Flujo de

caja

0 (180.000) 108.000 (72.000)

1 (12.970) 72.000 59.030

2 (2.970) 72.000 69.030

3 35.430 36.000 71.430

4 68.830 0 68.830

5 88.830 0 (108.000) (19.170)

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[203] [203]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ejemplos detallados del cálculo de la rentabilidad del proyecto en sí...

� ���������������������������������������� ��

TIO: 30% TIR: 79,85% Valor presente neto: 65.703 En el Cuadro 7.21 se muestra el cálculo del valor presente del ahorro en impues-tos, utilizando depreciación acelerada versus depreciación en línea recta.

Cuadro 7.21

Ahorro en impuestos

Año Impuestos (línea recta)

Impuestos (dep. acel.)

Ahorro en impuestos

0

1 5.616 (6.984) 12.600

2 11.001 (1.599) 12.600

3 19.078 19.078 0

4 24.462 37.062 (12.600)

5 35.232 47.832 (12.600)

TIO: 30% Valor presente ahorro en impuestos: 9.343 Diferencia en valor presente: 9.343

Ejemplo 7.3 Un proyecto de inversión a 5 años requiere una inversión en activos fijos por valor de $1.800.000 y una inversión inicial en capital de trabajo por valor de $400.000. La inversión en activos fijos se va a depreciar en un 90%, mientras que la inversión en capital de trabajo se va a reponer actualizada con la inflación, lo cual requiere una inversión adicional en capital de trabajo cada año; se va a utilizar un método de de-preciación en línea recta; la inflación esperada es del 18%. Se espera vender el activo fijo, al final de los 5 años, por un valor de $600.000. La inversión inicial (activos fijos y capital de trabajo) por un valor de $2.200.000 se va a financiar en un 40% con un crédito a 5 años, el cual se amortiza en dos pagos iguales al final de los años 4 y 5; la tasa de interés de este crédito es del 30% y por simplicidad se va a suponer que se paga año vencido. Las utilidades antes de intereses e impuestos, bajo los supuestos de depreciación que se acaban de mencionar, son respectivamente, para los 5 años, de $1.000.000, $1.100.000, $1.200.000, $1.450.000, $1.900.000. 1.� Calcular la rentabilidad del proyecto en sí. 2.� Calcular la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto. 1.� Cálculo de la rentabilidad del proyecto en sí

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[204]

Capítulo 7

[204] J A V I E R S E R R A N O� ���������������������������������������� ��

Supuestos principales (miles): Inversión en activos fijos: 1.800 Inversión en capital de trabajo: 400 Valor depreciable: 1,620 Valor de salvamento: 180 Depreciación anual línea recta: 324 Inflación: 18% Valor de venta activo fijo: 600 Utilidad venta activo fijo: 420 Impuestos a pagar: 147 Ingreso neto venta activo fijo: 453

En el Cuadro 7.22 se muestra el capital de trabajo al final de cada año y la inver-sión requerida en capital de trabajo durante cada año, suponiendo la reposición del capital de trabajo con la inflación.

Cuadro 7.22

Inversión en capital de trabajo

Año CT Inv. en CT

0 400 400

1 472 72

2 557 85

3 657 100

4 776 118

5 915 140

En el Cuadro 7.23 se muestran los cálculos necesarios para llegar al flujo de fon-dos para el proyecto y calcular la rentabilidad del proyecto en sí, a partir de la utilidad antes de intereses e impuestos (UAII).

�Cuadro 7.23

Año UAII Util. neta Depr. Inv. enCT

Recup.del CT

Ing. neto venta

Inv. en AF

Flujo defondos

0 (400) (1.800) (2.200) 1 1.000 650 324 (72) 902 2 1.100 715 324 (85) 954 3 1.200 780 324 (100) 1.004 4 1.450 943 324 (118) 1.148 5 1.900 1.235 324 (140) 915 453 2.788

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[205] [205]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S � ���������������������������������������� ��

A partir del flujo de caja del Cuadro 7.23 se obtiene una rentabilidad del proyecto en sí igual al 42,56%. Observe que en la construcción del flujo de fondos para el proyecto no se tuvieron en cuenta los gastos financieros correspondientes al ser-vicio de la deuda. En otras palabras, el flujo de fondos para el proyecto se calcula suponiendo que el proyecto se va a financiar con recursos propios.

2. Cálculo de la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto

En el Cuadro 7.24 se muestra el servicio de la deuda; en el Cuadro 7.25, el cálcu-lo de la utilidad neta, teniendo en cuenta los gastos financieros, mientras que en el Cuadro 7.26 se muestran los cálculos necesarios para la construcción del flujo de caja libre para la aportación de recursos propios, que permite calcular la renta-bilidad de los recursos propios aportados al proyecto. Monto crédito: 880 Tasa interés: 30%

Cuadro 7.24

Servicio de la deuda

Año Saldo com. Amortización Intereses

0

1 880 0 264

2 880 0 264

3 880 0 264

4 880 440 264

5 440 440 132

Cuadro 7.25 Cálculo de la utilidad neta

Año UAII Intereses Utilidad antes de impuestos Utilidad neta

0

1 1.000 264 736 478

2 1.100 264 836 543

3 1.200 264 936 608

4 1.450 264 1.186 771

5 1.900 132 1.768 1.149

���

Ejemplos detallados del cálculo de la rentabilidad del proyecto en sí...

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[206]

Capítulo 7

[206] J A V I E R S E R R A N O� ���������������������������������������� ��

Cuadro 7.26 Flujo de caja libre para el patrimonio

Año Utilidad neta

Deprec. Inv. CT

Recup. CT

Ing. neto vta. AF

Inv. Act. fijo

Ingreso financ.

Amortiz. Flujo fondos

0 (400) 0 0 (1.800) 880 (1.320

) 1 478 324 (72) 0 0 0 730

2 543 324 (85) 0 0 0 782

3 608 324 (100) 0 0 0 832

4 771 324 (118) 0 0 (440) 537

5 1.149 324 (140) 915 453 (440) 2.262

Con base en el flujo de fondos presentado en el Cuadro 7.26 se calcula una tasa interna de retorno del 57,15%, que corresponde a la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto. Se deja al lector como ejercicio, validar la respues-ta anterior, enfrentado el flujo de caja del proyecto de inversión, con el flujo de caja del proyecto de financiación.

O T R O S C O S T O S E N L A E V A L U A C I Ó N D E P R O Y E C T O S

Como norma general sólo se deben incluir aquellos costos que son relevantes para la decisión que se va a tomar; costos que no se generen como consecuencia de la deci-sión que se está analizando no se deberían incluir en el flujo de caja. Algunos utilizan el concepto de costos muertos para hacer referencia a esta categoría de costos. A continuación varios ejemplos que aclaran estos conceptos. Terminación de un proyecto abandonado Se va a analizar la terminación de un proyecto que se abandonó durante un cierto tiempo después de haber realizado inversiones importantes que a la fecha de aban-donar el proyecto, cuatro años atrás, sumaban 2.000 millones de pesos. El proyecto requiere inversiones adicionales para su terminación por valor de 3.000 millones de pesos durante los próximos 18 meses, a partir de los cuales comienza a operar y a generar un flujo proyectado para cada período j igual a FCj. La decisión por analizar es si se continúa el proyecto o se abandona su ejecución y se hace una liquidación definitiva del mismo. La primera tentación para construir el flujo de caja del proyecto consistiría en llevar como inversión del proyecto, a la nueva fecha cero (hoy), el valor actualizado de los 2.000 millones a la fecha actual (cuatro años después) a una tasa de interés de opor-tunidad especificada, adicional a la nueva inversión que habría que realizar para concluir la obra (3.000 millones de pesos en los próximos 18 meses). Proceder en esta

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[207] [207]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Otros costos en la evaluación de proyectos

� ���������������������������������������� ��

forma sería una equivocación ya que en este momento no se está analizando la viabi-lidad del proyecto como un todo, la cual se debió haber analizado 4 años atrás, sino la decisión de terminar o no el proyecto. Teniendo en cuenta que la inversión previa ya se realizó, el monto de la misma sería un costo muerto para analizar la decisión de terminar el proyecto versus aquella mutuamente excluyente de abandonar el proyec-to y proceder a su liquidación. Teniendo en cuenta la decisión alternativa, y el hecho de que al abandonar el proyec-to y proceder a su liquidación se podría recuperar una parte importante de los costos incurridos previamente, por ejemplo A pesos en la fecha de hoy, son precisamente esos A pesos los que se deberían llevar a la fecha cero (hoy), para tener en cuenta las inversiones realizadas previamente, adicionalmente a la inversión marginal requerida (los 3.000 millones de pesos) para su terminación, como la inversión total para anali-zar la decisión de terminar el proyecto versus abandonarlo y liquidarlo. El lector debe ser consciente de que el tratamiento contable sería diferente, ya que en el mismo sí habrá necesidad de mantener la inversión realizada previamente. Decisión de reemplazo de un activo con un valor de mercado diferente a su valor contable Suponga una situación donde se va a tomar la decisión de reemplazar un equipo que se ha tornado obsoleto desde el punto de vista tecnológico, pero todavía se encuen-tra operando correctamente. El valor en libros del activo es igual a B, en el momento en que se evalúa la decisión de su reemplazo por otra tecnología; sin embargo, el va-lor de mercado de ese activo solo llega a C, con C < B. La pregunta se relaciona con el valor que se debería llevar al flujo de caja para comparar la decisión de reemplazo, que implícitamente compara dos alternativas: inversión en la nueva tecnología versus continuar con el equipo actual. El nuevo proyecto requiere unas inversiones por un monto D; el flujo de fondos para analizar la inversión estaría conformado principalmente por la diferencia en los costos operativos entre las dos situaciones (tecnología nueva versus tecnología obsoleta), más los ingresos incrementales que se pudieran generar por un aumento de la pro-ducción que se pueda vender en el mercado. La inversión en el nuevo proyecto permite vender el activo obsoleto por un valor igual a C, siendo precisamente el mon-to que se debería llevar como un ingreso, al considerar la decisión de invertir en la nueva tecnología y no su valor contable actual igual a B. En otras palabras, el monto de la inversión al analizar la decisión de invertir en la nueva tecnología sería igual a (D - C), menos el crédito tributario que se podría generar por la pérdida contable (B - C), que por ser una pérdida en la venta de activos tendría un tratamiento tributario de pérdida ocasional, que no siempre se puede cruzar con las utilidades operativas del negocio, para disminuir el monto de los impuestos a pagar.

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[208]

Capítulo 7

[208] J A V I E R S E R R A N O

� ���������������������������������������� ��

Repartición de costos indirectos Suponga que en el momento actual se tienen tres líneas de producción A, B y C, con las unidades que se muestran en el Cuadro 7.27, donde a su vez se presenta la repar-tición de gastos indirectos por valor de 400 millones de pesos, de acuerdo con la política que sigue la empresa de repartir los gastos indirectos según el número de uni-dades producidas:

Cuadro 7.27 �

Producto A Producto B Producto C

Unidades producidas 80.000 70.000 50.000

Gastos directos asignados 160 140 100

Se está evaluando la construcción de una nueva línea de producción, producto D, sin que en la realidad se incrementen los gastos indirectos (asignados), con un nivel de producción de 50.000 unidades. Suponiendo que no hay incremento en los gastos indirectos, la contabilidad haría una nueva asignación de gastos indirectos, de acuer-do con los nuevos niveles de producción, así: Producto A: 128 millones Producto B: 112 millones Producto C: 80 millones Producto D: 80 millones No obstante que al producto D se le asignaron 80 millones de gastos indirectos para su tratamiento contable, los mismos no se deberían incluir en la evaluación de la viabilidad financiera de la nueva línea de producción, ya que los 80 millones no se generaron co-mo consecuencia de realizar el proyecto, consistente en la inversión para producir el producto D. En la evaluación del nuevo proyecto sólo se deben incluir aquellos gastos que se generen efectivamente como consecuencia de la decisión tomada. Los tres ejemplos anteriores ponen de manifiesto el tipo de análisis que se debe reali-zar para determinar si un costo es o no relevante en la evaluación de un proyecto de inversión; sólo se deben incluir aquellos costos y gastos que sean relevantes, esto es, que se generen como consecuencia de la decisión a tomar o que se puedan evitar en el caso de no tomar la decisión. En otras palabras, se debe trabajar sobre la base de costos incrementales, correspondiendo estos últimos a los costos que efectivamente se generan como consecuencia de la implantación de la decisión que se está analizan-do. Por lo tanto, para la determinación de si un costo es o no relevante, se deben responder las siguientes dos preguntas:

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[209] [209]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ejercicio de recapitulación

� ���������������������������������������� ��

1. ¿Se genera el costo como una consecuencia de la decisión que se va a tomar y/o de la implantación del nuevo proyecto?

2. ¿Se podría evitar el costo si se toma la decisión contraria, esto es, si no se llega a

implantar el nuevo proyecto? Si la respuesta a estas preguntas es negativa, el costo no es relevante para la evaluación del proyecto. El otro aspecto importante en la evaluación de proyectos tiene que ver con la informa-ción a utilizar, cuando existan discrepancias entre la información contable y la de mercado. En general, se deben utilizar valores de oportunidad o valores de mercado, cuando se presente la discrepancia a que se hace referencia. E J E R C I C I O D E R E C A P I T U L A C I Ó N

Usted requiere evaluar un proyecto con una inversión en activos fijos por 18.000 mi-llones y en capital de trabajo por 8.500 millones. Los activos fijos se deprecian en un 85% en línea recta durante la vida útil del proyecto, la cual es de 6 años, mientras el capital de trabajo se reaprecia con la inflación. El proyecto incurre en gastos preopera-tivos por valor de 2.000 millones de pesos en el momento 0. Al final de la vida útil del proyecto se espera vender los activos fijos por valor de 7.000 millones y recuperar el 87% del capital de trabajo. Para financiar el proyecto se solicita un crédito por el 50% de la inversión realizada en la fecha 0 para activos fijos y capital de trabajo. El crédito es a una tasa de interés del 20% efectivo anual, que se pagará al final de cada año y se amortizará en tres pagos iguales en los años 4, 5 y 6. La tasa impositiva es del 35%, la inflación esperada del 5% y la TIO del 17%.

1.� Calcular la rentabilidad del proyecto en sí. 2.� Hallar el flujo de financiación. 3.� Calcular la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto. 1.� Cálculo de la rentabilidad del proyecto en sí

Supuestos principales: Inversión en activos fijos: $ 18.000 millones Inversión en capital de trabajo: $ 8.500 millones Valor depreciable: 85% Valor de salvamento: $ 2.700 millones Depreciación anual línea recta: $ 2.550 millones Inflación: 5%

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Capítulo 7

[210] J A V I E R S E R R A N O� ���������������������������������������� ��

Valor de venta activo fijo: $ 7.000 millones Utilidad venta activo fijo: $ 4.300 millones Impuestos a pagar: $ 1.505 millones Ingreso neto venta activo fijo: $ 5.495 millones Valor en libros del CT en período 6: $ 11.390 millones Porcentaje a recuperar del CT: 87% Valor a recuperar del CT: $ 9.910 millones Pérdida en la recuperación del CT $ 1.480 millones Crédito tributario por recuperación CT $ 518 millones Recuperación neta del CT $ 10.428 millones

En el Cuadro 7.28 se muestra el capital de trabajo al final de cada año y la inver-sión requerida en capital de trabajo durante cada año, suponiendo la reposición del capital de trabajo con la inflación.

Cuadro 7.28

Inversión en capital de trabajo (en millones de pesos)

Año CT Inv. en CT Recuperación

neta CT

0 $ 8.500,00

1 $ 8.925,00 $ 425,00

2 $ 9.371,25 $ 446,25

3 $ 9.839,81 $ 468,56

4 $ 10.331,80 $ 491,99

5 $ 10.848,39 $ 516,59

6 $ 11.390,81 $ 542,42 $ 10.428,29

En el Cuadro 7.29 se muestran los cálculos necesarios para llegar al flujo de caja libre para el proyecto y calcular la rentabilidad del proyecto en sí, a partir de la utilidad antes de intereses e impuestos (UAII).

Cuadro 7.29

Flujo de fondos del proyecto en sí (en millones de pesos)

Año UAII UAII*(1-t)

Depr. Amortiz. diferidos

Inv. enAF

Inv. en CT

Gtos. preoper.

Ing. neto venta AF

Recup. del CT

Flujo defondos

0 -$ 18.000,0 -$ 8.500,0 -$ 2.000,0 $ 0,0 $ 0,0 -$ 28.500,0

1 $ 5.000,0 $ 5.850,0 $ 2.550,0 $ 333,3 $ 0.0 -$ 425,0 $ 0.0 $ 0,0 $ 0,0 $ 8.308,3

2 $ 9.500,0 $ 6.175,0 $ 2.550,0 $ 333,3 $ 0.0 -$ 446,3 $ 0,0 $ 0,0 $ 0,0 $ 8.612,1

3 $ 11.500,0 $ 7.475,0 $ 2.550,0 $ 333,3 $ 0.0 -$ 468,6 $ 0,0 $ 0,0 $ 0,0 $ 9.889,8

4 $ 13.500,0 $ 8.775,0 $ 2.550,0 $ 333,3 $ 0.0 -$ 492,0 $ 0,0 $ 0,0 $ 0,0 $ 11.166,3

5 $ 14.500,0 $ 9.425,0 $ 2.550,0 $ 333,3 $ 0.0 -$ 516,6 $ 0,0 $ 0,0 $ 0,0 $ 11.791,7

6 $ 15.500,0 $ 10.075,0 $ 2.550,0 $ 333,3 $ 0.0 -$ 542,4 $ 0,0 $ 5.495.0 $ 10.428,3 $ 28.339,2

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[211] [211]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ejercicio de recapitulación

� ���������������������������������������� ��

A partir del flujo de caja mostrado en el Cuadro 7.29 se obtiene una rentabilidad del proyecto en sí igual al 30,61%. El flujo de fondos para el proyecto se calcula suponiendo que el proyecto se va a financiar con recursos propios.

2. Hallar el flujo de financiación

En el Cuadro 7.30 se muestra el flujo de financiación. Monto crédito: 26.550 Tasa interés: 20%

Cuadro 7.30

Flujo de financiación (en millones de pesos)

Año Saldo com. Desembolso Amortización Intereses Crédito tributario

Flujo de financiación

0 $ 13.250,0 $ 13.250,0

1 $ 13.250,0 -$ 2.650,0 $ 927,5 -$ 1.722,5

2 $ 13.250,0 -$ 2.650,0 $ 927,5 -$ 1.722,5

3 $ 13.250,0 -$ 2.650,0 $ 927,5 -$ 1.722,5

4 $ 13.250,0 -$ 4.416,7 -$ 2.650,0 $ 927,5 -$ 6.139,2

5 $ 8.833,3 -$ 4.416,7 -$ 1.766,7 $ 618,3 -$ 5.565,0

$ 4.416,7 -$ 4.416,7 -$ 883,3 $ 309,2 -$ 4.990,8

A partir del flujo de financiación mostrado en el Cuadro 7.30 se obtiene el costo del financiamiento después de impuestos, que es igual al 13%.

Cuadro 7.31

Flujo de fondos de los recursos propios

Año Flujo de fondos del proyecto de inversión

Flujo de fondos del proyecto de financiación

Flujo de los recursos propios

0 -$ 28.500,0 $ 13.250,0 -$ 15.250,0

1 $ 8.308,3 -$ 1.722,5 $ 6.585,8

2 $ 8.612,1 -$ 1.722,5 $ 6.889,6

3 $ 9.889,8 -$ 1.722,5 $ 8.167,3

4 $ 11.166,3 -$ 6.139,2 $ 5.027,2

5 $ 11.791,7 -$ 5.565,0 $ 6.226,7

6 $ 28.339,2 -$ 4.990,8 $ 23.348,4

Con base en el flujo de fondos presentado en el Cuadro 7.31 se calcula la tasa in-terna de retorno del 44,57%, que corresponde a la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto.

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Capítulo 7

[212] J A V I E R S E R R A N O� ���������������������������������������� ��

P R O Y E C C I O N E S F I N A N C I E R A S

Para la construcción del flujo de fondos para un proyecto o para los recursos propios aportados a un proyecto con miras a determinar la rentabilidad del proyecto en sí o la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto, hay que proyectar el com-portamiento del proyecto en un escenario macroeconómico, donde se incluyen aquellas variables que pueden afectar su desempeño futuro. La construcción de un conjunto de proyecciones financieras comprende cinco aspectos, que aunque diferen-tes se encuentran relacionados, a saber:

1.� Modelaje del proyecto: construcción de un modelo de

proyecciones financieras para el proyecto

En el modelaje se establecen los pasos necesarios para la determinación del flujo de caja para el proyecto o para los recursos propios, a partir de la proyección del comportamiento de las diferentes variables que afectan su desempeño y de las relaciones que existen entre esas variables. Usualmente se hace en una hoja de cálculo (p. ej., Excel), en la cual se establecen las relaciones entre las diferentes variables que afectan el proyecto, dentro de una estructura parametrizada a un conjunto de variables de entrada, críticas en el desempeño del proyecto, sobre las cuales se va a hacer análisis de sensibilidad. El modelaje de cualquier situación (proyecto o empresa) debe ser el resultado de un compromiso entre realismo y simplicidad; en otras palabras, modelos muy re-cargados en el detalle resultan demasiado pesados para su utilización e inter-pretación de resultados. Por otro lado, modelos sencillos, con simplificaciones y supuestos fuertes para hacer más fácil su solución y/o utilización, pueden adole-cer de falta de realismo y llevar a resultados que se alejan bastante de la respuesta que se está estimando. La sola escogencia del período básico de pro-yección (mes, trimestre, año) ya genera un dilema entre las dos dimensiones a que se ha hecho referencia: realismo y simplicidad.

2.� Separación de la información contable de la información pertinente para la evaluación del proyecto Este tema se ha analizado a lo largo de este capítulo y es especialmente impor-tante cuando se parte de información contable, como suele ocurrir en la mayoría de casos. No solo hay que determinar los costos relevantes sino también hacer las correspondientes correcciones, por ejemplo: depreciación, amortización de diferi-dos, para la construcción del flujo de caja para el proyecto.

3.� Definición de escenarios macroeconómicos

El resultado de las proyecciones financieras va a depender del escenario macroe-conómico que se esté utilizando como marco de referencia para analizar el desem-

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[213] [213]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Proyecciones financieras

� ���������������������������������������� ��

peño de las diferentes variables. No es lo mismo el resultado de un proyecto en un escenario de expansión de la demanda del bien que produce el proyecto, que en uno de contracción de la demanda. La construcción de escenarios es un trabajo altamente profesional, ya que se de-ben respetar todas las relaciones teóricas entre las diferentes variables macroeconómicas; como dicen los economistas, el escenario debe “cerrar”. Co-mo tal, existen entidades especializadas en la construcción de escenarios macroe-conómicos, entre las cuales uno debe escoger los escenarios macroeconómicos que va a utilizar en sus proyecciones financieras. Usualmente se escogen tres es-cenarios: normativo, optimista y pesimista, con el propósito de poder hacer una calificación del riesgo inherente al proyecto. La calificación de los escenarios como normativo, optimista o pesimista es una cuestión de criterio por parte de la per-sona que está haciendo la evaluación del proyecto.

4.� Análisis de sensibilidad del proyecto

El objetivo principal de un análisis de sensibilidad es la cualificación del riesgo del proyecto; aquí se puede tener la tentación de hacer análisis de sensibilidad a la mayoría de las variables que se han incluido en el modelo de proyecciones finan-cieras, lo cual puede dificultar la interpretación de los resultados de las diferentes simulaciones. Una mejor estrategia consistiría en identificar los factores críticos (value drivers) que afectan el comportamiento del proyecto o de la empresa y centrar la atención sobre esos factores, estableciendo su comportamiento espera-do dentro de los escenarios macroeconómicos que se están utilizando para proyectar la empresa o el proyecto. El análisis de sensibilidad dentro de cada es-cenario se debe centrar sobre esos factores críticos.

5.� Estimación de la tasa de descuento

Independientemente de que se use como tasa de descuento la tasa de interés de oportunidad o el costo promedio ponderado de capital, debe existir una consis-tencia entre los escenarios macroeconómicos que se están utilizando como base de las proyecciones financieras y las diferentes componentes de la tasa de des-cuento, como el costo de la deuda en nominales y el costo de la aportación patrimonial. Sus valores van a depender de la proyección del comportamiento de algunas variables macroeconómicas (por ejemplo, inflación, devaluación) o de al-gunos supuestos sobre la empresa o el proyecto (por ejemplo, estructura de capital). Lo anterior lleva a que la tasa de descuento cambie de un período a otro, por lo cual habría que construir factores de descuento individuales para cada período, con el propósito de establecer el factor de descuento para cada flujo; en otras pa-

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[214]

Capítulo 7

[214] J A V I E R S E R R A N O� ���������������������������������������� ��

labras en lugar de utilizar para el flujo del año n, el factor de descuento (1/(1+i)n), habría que utilizar como factor de descuento la expresión más general:

� � � � � � � � � � � � � �nnnj iiiiiii ������� �� 11

11

11

*...*1

1*...*

11

*1

1*

11

12321

donde ij corresponde a la tasa de interés para el j-ésimo período.

Las proyecciones financieras de una empresa comprenden la proyección de los esta-dos oficiales (balance, pérdidas y ganancias, cambios en el capital de trabajo, flujo de efectivo); la proyección de un proyecto en cierta forma refleja la proyección de los mismos estados financieros para el proyecto, no obstante que muchas veces se limita a la proyección del estado de pérdidas y ganancias y del flujo de caja del proyecto, a partir de los cuales se construyen los flujos de caja libre para el proyecto y para los recursos propios aportados al proyecto. En concepto del autor, se debe proyectar el balance específico del proyecto, para poder hacer una mejor proyección del estado de resultados y del flujo de caja. En el caso de empresas en marcha, que van a evaluar la viabilidad de un proyecto de inversión, es muy importante separar la proyección de la empresa como un todo y la proyección del comportamiento del proyecto, tratando de establecer el impacto del proyecto sobre el desempeño de la empresa, dentro de un horizonte de tiempo dado. Sobre todo es muy importante establecer el impacto del proyecto sobre la proyección del flujo de caja de la empresa; dependiendo del tamaño de la inversión, se debería establecer la situación de la empresa con y sin el proyecto, en particular la proyección del flujo de caja en ambas situaciones. Existen varios libros de finanzas en los cuales se aborda con detalle el tema de la construcción de estados pro-forma, especialmente de los cuidados que hay que tener para proyectar el comportamiento de las diferentes cuentas que afectan un balance, un estado de pérdidas y ganancias y un flujo de caja, por lo cual el tema no se aborda con mayor extensión en este libro. Sin embargo, se sugiere, cuando se utilice este libro como texto de clase, dejar un ejercicio completo, de proyección de los estados de resultados de una empresa y de un proyecto, separando claramente las proyeccio-nes de la empresa sin el proyecto, las proyecciones del proyecto y las proyecciones de la empresa con el proyecto. En el siguiente capítulo se examinan varios casos de ma-yor complejidad, que enfatizan problemas de modelaje financiero, incluyendo los de proyección de los flujos de caja.

E J E R C I C I O S P A R A R E S O L V E R

1. Considere un proyecto de inversión que requiere una inversión en activos fijos

en la fecha 0 por valor de 4.000 millones de pesos, con una vida útil de 6 años,

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[215] [215]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ejercicios para resolver

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cuya utilidad antes de intereses e impuestos, utilizando un método de deprecia-ción en línea recta, para cada año, es la siguiente: año 1: $1.500 millones; año 2: $2.000 millones; año 3: $2.500 millones; año 4: $3.000 millones; año 5: $3.500 millones; año 6: $4.000 millones. La inversión en activos fijos se depre-cia totalmente durante los 6 años. Se supone que al final de la vida útil del activo lo que se puede recibir por la venta del activo depreciado es exactamente igual a lo que se requiere pagar para deshacerse del activo. La tasa de interés de oportunidad es del 40% y la tasa de impuestos del 35%. ¿Cuál sería la rentabi-lidad del proyecto en sí, independientemente de sus fuentes de financiamiento? (47,79%).

2. Para el problema 1, ¿cuál sería la rentabilidad del proyecto en sí, al utilizar un

método de depreciación acelerada (40%, 40% y 20%)? ¿Cuál sería el valor pre-sente del ahorro en impuestos al utilizar un método de depreciación acelerada frente a uno en línea recta, si la tasa de interés de oportunidad es del 40%? (51,70%, $281,89).

3. Suponga que el proyecto se va a financiar en un 40%, con una línea de crédito

que se amortiza totalmente al final de los 6 años. La tasa de interés del financia-miento es del 40% año vencido (los intereses se pagan al final de cada año). ¿Cuál sería la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto en ambos casos, utilizando tanto un método de depreciación en línea recta como un método de depreciación acelerada? (62,10%, 69,78%).

4. Repita los cálculos de los problemas 1, 2 y 3 teniendo en cuenta que el activo se

deprecia en un 90%, con un valor de salvamento igual al 10%. Así mismo, se espera vender el activo al final de la vida útil por un valor neto de 1.200 millo-nes de pesos al finalizar el año 6, una vez descontados los gastos necesarios para disponer del activo. (Con depreciación en línea recta, la rentabilidad del proyecto: 47,31%, la rentabilidad de los recursos propios: 60,79%. Con depre-ciación acelerada, la rentabilidad del proyecto: 50,69%, la rentabilidad de los recursos propios: 67,38% y el valor presente del ahorro en el pago de impues-tos utilizando depreciación acelerada es $253,71).

5. Repita el problema 3, suponiendo que el crédito se amortiza en 4 contados igua-

les, a partir del año 3, esto es, con dos años de gracia. (59,02% y 65,38%). 6. Suponga un bono a 4 años que paga un interés nominal del 36% anual, paga-

dero semestre vencido, el cual se va a amortizar en un 50% al finalizar el año 2 y en un 50% al finalizar el año 4. Existe una línea de crédito para adquirir este tipo de bonos, que financia un 50% del valor nominal de lo mismos, con las si-guientes condiciones: plazo 4 años, amortizable un 50% al finalizar el año 2 y un 50% al finalizar el año 4; los intereses se cobran sobre saldos, a una tasa del 26% pagadero trimestre vencido, y la tasa de impuestos es del 35%. ¿Cuál es la

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Capítulo 7

[216] J A V I E R S E R R A N O� ���������������������������������������� ��

rentabilidad del bono? ¿Cuál es el costo del financiamiento? ¿Cuál es la rentabi-lidad de los recursos propios aportados para comprar el bono? (Rentabilidad del bono después de impuestos: 25,57%, costo de financiamiento: 18,65%, renta-bilidad de los recursos propios: 32,35%).

7. Suponga un proyecto de inversión con una vida total de 8 años, con el siguiente

cronograma de inversiones: Año 0: $2.000 millones en activos fijos. Año 1: $2.000 millones en activos fijos. Año 2: $2.000 millones en activos fijos y $2.000 millones en capital de trabajo,

que se repone anualmente ajustado por inflación. (Suponga una inflación promedio del 18% anual).

Los activos fijos en su totalidad se van a depreciar en un 90%, durante los 6 años en que estará funcionando el proyecto (años 3, 4, 5, 6, 7 y 8), utilizando un método de depreciación en línea recta. Se espera vender esos activos al final de su vida útil (año 8) por un valor de $1.200 millones. Para los seis años que dura funcionando el proyecto, las utilidades antes de intereses e impuestos pro-yectadas en millones de pesos fueron las siguientes:

Año 3: 3.500 Año 4: 5.000 Año 5: 6.500 Año 6: 10.000 Año 7: 12.000 Año 8: 14.000 El proyecto requiere financiar el total de la inversión en activos fijos en el año 0

y en el año 1; los desembolsos de crédito se hacen de la siguiente forma: $2.000 millones en la fecha cero y $2.000 millones al finalizar el año 1. Los intereses se pagan año vencido a la tasa del 38% anual; el crédito se amortiza en cinco contados iguales, al final de los años 4, 5, 6, 7, 8; los intereses pagados durante los dos primeros años (período de construcción) se capitalizan al valor de los activos fijos. Suponga que la tasa de interés de oportunidad es del 38% y la tasa de impuestos del 35%. a) ¿Cuál sería la rentabilidad del proyecto en sí? (40,59%). b) ¿Cuál sería la rentabilidad del capital propio aportado al proyecto?

(48,80%). 8. Repita el problema anterior utilizando un método de depreciación acelerada

(40%, 40%, 20%), ¿Cuál sería el valor presente del ahorro en impuestos? ($199,38).

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[217] [217]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ejercicios para resolver

� ���������������������������������������� ��

9. ¿Cuál sería su recomendación sobre el proyecto del problema 7, si la informa-ción suministrada se da en un escenario normativo con una probabilidad de ocurrencia igual al 60%? Al mismo tiempo se tendrían otros dos escenarios mu-tuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos con el escenario normativo: uno pesimista, en el cual las utilidades mencionadas pueden estar un 25% por debajo de las mostradas, y uno optimista, donde las utilidades antes de intereses e impuestos pueden estar un 35% por encima de las mostradas en el escenario normativo. Las probabilidades de ocurrencia de los escenarios pesimista y opti-mista son respectivamente del 15% y 25%.

10. Suponga un proyecto de inversión a 5 años que requiere en la fecha 0 una in-

versión en activos fijos por valor de $1.500 millones y una inversión en capital de trabajo por valor de 300 millones de pesos. La inversión en activos fijos se va a depreciar en un 90% durante la vida útil del proyecto que es de 5 años, utili-zando un método de depreciación en línea recta, mientras que la inversión en capital de trabajo se renueva anualmente mediante el índice de inflación, que se supone del 12% anual para el período de 5 años; asimismo, se espera vender el activo depreciado al final de su vida útil en 600 millones de pesos. La tasa de impuestos tanto para ganancias ordinarias como de capital es del 35%. La utili-dad antes de intereses e impuestos para cada uno de los 5 años se muestra en el Cuadro 7.32:

Cuadro 7.32

Año UAII

1 650

2 850

3 1.050

4 1.250

5 1.550

El proyecto requiere financiar un 40% de la inversión total requerida en el

período 0 (activos fijos y capital de trabajo) utilizando una línea de crédito que se amortiza en tres contados iguales al final de los años 3, 4 y 5, con intereses del 30% anual pagaderos sobre saldos al final de cada año.

a) Calcular la rentabilidad del proyecto en sí. (42,02%). b) Calcular la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto.

(54,76%). 11. Mencione dos situaciones en las cuales se presentarían costos muertos o no re-

levantes en la evaluación de proyectos. ¿Cuál sería el tratamiento a seguir en ambas situaciones?

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[218]

Capítulo 7

[218] J A V I E R S E R R A N O� ���������������������������������������� ��

12. En relación con la evaluación financiera de un proyecto de inversión, presente una situación en la cual usted tendría que utilizar valores de mercado en vez de los valores contables registrados en los libros oficiales de la empresa.

13. Suponga un proyecto de inversión a 5 años que requiere en la fecha 0 una in-

versión en activos fijos por valor de $2.500 millones y una inversión en capital de trabajo por valor de $800 millones. La inversión en activos fijos se va a de-preciar en un 90% durante la vida útil del proyecto que es de 5 años, utilizando un método de depreciación en línea recta, mientras que la inversión en capital de trabajo se renueva anualmente mediante el índice de inflación, que se supo-ne del 12% anual para el período de 5 años; asimismo, se espera vender el activo depreciado al final de su vida útil en $1.400 millones. La tasa de impues-tos tanto para ganancias ordinarias como de capital es del 35%. La utilidad antes de intereses e impuestos para cada uno de los 5 años se muestra en el Cuadro 7.33, en millones de pesos.

Cuadro 7.33

Año UAII

1 1.500

2 1.800

3 2.200

4 2.800

5 3.500

El proyecto se va a financiar en un 50% utilizando una línea de crédito que se

amortiza en dos contados iguales al final de los años 4 y 5, con un interés del 32% anual pagadero sobre saldos al final de cada año.

a) Calcular la rentabilidad del proyecto en sí. (47,64%). b) Calcular la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto.

(70,80%). 14. Repita los cálculos del problema 13, suponiendo depreciación acelerada (40%,

40% y 20%). (Rentabilidad del proyecto en sí: 49,67%, rentabilidad de los re-cursos propios: 75,94%).

15. Un bono a cuatro años que paga intereses del 20% nominal anual pagadero

semestre vencido, se compra en el momento de su emisión a un 97% de su va-lor inicial, y se amortiza en 2 pagos iguales, al final de los años 3 y 4. Existe un financiamiento (subsidiado) del 40% del valor de compra atado a la adquisición del bono, en las siguientes condiciones: tasa de interés del 18% nominal anual pagadero semestre vencido, con una amortización en dos pagos iguales, al final de los años 2 y 3.

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[219] [219]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Respuestas a los problemas

� ���������������������������������������� ��

a) Calcular la rentabilidad del bono. (Rentabilidad efectiva anual después de impuestos: 14,88%).

b) Calcular la rentabilidad de una inversión de $1.000.000, invertidos para adquirir bonos en las condiciones especificadas, utilizando el financiamien-to ofrecido. (Rentabilidad anual después de impuestos: 36,27%).

R E S P U E S T A S A L O S P R O B L E M A S

Aquí se presentan las respuestas a la mayoría de problemas; se ha incluido informa-ción adicional a la pura respuesta, por ejemplo, los flujos de caja en algunos casos, para guiar al lector en el desarrollo del problema si es que no obtiene la respuesta adecuada en su primer intento. Problema 1 El flujo de fondos, para determinar la rentabilidad del proyecto en sí, se calcula como si el mismo se financiara con recursos propios, esto es, sin tener en cuenta la estructu-ra de capital.

Año Inversión UAII Depreciación

(LR) UAI Impuestos

Util. neta

Flujo: Util. neta+dep.

0 -4.000 -4.000

1 1.500 667 1.500 525 975 1.642

2 2.000 667 2.000 700 1.300 1.967

3 2.500 667 2.500 875 1.625 2.292

4 3.000 667 3.000 1.050 1.950 2.617

5 3.500 667 3.500 1.225 2.275 2.942

6 4.000 667 4.000 1.400 2.600 3.267

Tasa de interés de oportunidad: 40% Valor presente neto: 673,1 Tasa interna de retorno: 47,79% Para una tasa de interés de oportunidad del 25%, el proyecto tiene un valor presente neto positivo. La rentabilidad del proyecto en sí, independientemente de las fuentes de financiamiento, es del 47.79%, superior a la tasa de interés de oportunidad. Problema 2 Utilización de la depreciación acelerada

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[220]

Capítulo 7

[220] J A V I E R S E R R A N O� ���������������������������������������� ��

Año Inversión UAII y dep. Depreciación UAI Impuestos Util. neta Flujo 0 -4.000 -4.000

1 2.167 1.600 567 198 368 1.968

2 2.667 1.600 1.067 373 693 2.293

3 3.167 800 2.367 828 1.538 2.338

4 3.667 3.667 1.283 2.383 2.383

5 4.167 4.167 1.458 2.708 2.708

6 4.667 4.667 1.633 3.033 3.033

Tasa de interés de oportunidad: 40% Valor presente neto: 955,01 Tasa interna de retorno: 51,70%

Año Impuestos LR

Impuestos DA

Ahorro

0

1 525 198 327

2 700 373 327

3 875 828 47

4 1.050 1.283 -233

5 1.225 1.458 -233

6 1.400 1.633 -233

Suma 5.775 5.775 0

Valor presente, ahorro en impuestos: 281,9 Diferencia en valor presente (DA - DLR): 281,9 Problema 3 Cálculo de la utilidad neta con financiamiento:

Año Inversión UAII (LR) Depreciación (LR) Intereses UAI Impuestos Utilidad neta 0 -4.000

1 1.500 667 640 860 301 559

2 2.000 667 640 1.360 476 884

3 2.500 667 640 1.860 651 1.209

4 3.000 667 640 2.360 826 1.534

5 3.500 667 640 2.860 1.001 1.859

6 4.000 667 640 3.360 1.176 2.184

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[221] [221]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Respuestas a los problemas

� ���������������������������������������� ��

Cálculo del flujo de caja libre para el patrimonio (equity)

Año Utilidad neta Depreciación Inversión Financiación Amortización Flujo de

caja libre 0 -4.000 1.600 -2.400

1 559 667 1.226

2 884 667 1.551

3 1.209 667 1.876

4 1.534 667 2.201

5 1.859 667 2.526

6 2.184 667 -1.600 1.251

Valor presente neto: 1.159 Rentabilidad recursos propios: 62,10% El mismo resultado, contrastando el proyecto de inversión con el de financiación:

Año Proyecto inversión

Financiamiento Intereses Amortización Crédito tributario

Proyecto financiación

Flujo neto

0 -4.000 1.600 1.600 -2.400

1 1.642 -640 224 -416 1.226

2 1.967 -640 224 -416 1.551

3 2.292 -640 224 -416 1.876

4 2.617 -640 224 -416 2.201

5 2.942 -640 224 -416 2.526

6 3.267 -640 -1.600 224 -2.016 1.251

Problema 4

Año Inversión UAII Deprec. (LR) UAI Imptos. Util. neta Depreciac. Ing. Venta

activo fijo Flujo

0 -4.000 -4.000

1 1.500 600 1.500 525 975 600 1.575

2 2.000 600 2.000 700 1.300 600 1.900

3 2.500 600 2.500 875 1.625 600 2.225

4 3.000 600 3.000 1.050 1.950 600 2.550

5 3.500 600 3.500 1.225 2.275 600 2.875

6 4.000 600 4.000 1.400 2.600 600 920 4.120

Tasa de interés de oportunidad: 40% Valor presente neto: 650,8 Tasa interna de retorno: 47,31% Para determinar el efecto de la depreciación acelerada y la rentabilidad de los recursos propios se pueden seguir los pasos que se siguieron en los problemas 2 y 3.

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[222]

Capítulo 7

[222] J A V I E R S E R R A N O� ���������������������������������������� ��

Problema 5 Los flujos de caja de los proyectos de inversión y de financiamiento y el flujo de caja resultante para el inversionista serían:

AÑO Proyecto Proyecto Flujo neto inversión financiación inversionista

0 -4.000 1.600 -2.400

1 1.642 -416 1.226

2 1.967 -416 1.551

3 2.292 -816 1.476

4 2.617 -712 1.905

5 2.942 -608 2.334

6 3.267 -504 2.763

Rentabilidad recursos propios o rentabilidad para el inversionista: 60,25%. Problema 6 El flujo del bono, después de impuestos:

Semestre Amortización Valor

del bono Intereses del bono

Impuestosa pagar

Flujo de fondos

0 -1.000 -1000,0

1 180 180,0

2 180 -126,0 54,0

3 180 180,0

4 500 180 -126,0 554,0

5 90 90,0

6 90 -63,0 27,0

7 90 90,0

8 500 90 -63,0 527,0

Rentabilidad del bono, después de impuestos: 12,06% semestral Rentabilidad efectiva anual: 25,57% anual Para las condiciones del crédito, con períodos trimestrales de pago de intereses, se obtienen los siguientes resultados: Costo efectivo del crédito, después de impuestos: 4,37% trimestral Costo efectivo anual, después de impuestos: 18,65% Para calcular la rentabilidad de los recursos propios se contraponen los flujos del pro-yecto de inversión y del proyecto de financiamiento; como el período del proyecto de inversión es semestral y el de financiación es trimestral, se hizo una homologación a

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[223] [223]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Respuestas a los problemas

� ���������������������������������������� ��

períodos trimestrales, replanteando el flujo de inversión en términos trimestrales, pero suponiendo que todo el flujo se recibe al final del trimestre, tal y como se muestra en el siguiente cuadro:

Trimestre Proyecto de inversión

Proyecto de financiamiento

Flujo neto

0 -1.000,0 500,00 -500,00 1 0 -32,50 -32,502 180,0 -32,50 147,50 3 0 -32,50 -32,504 54,0 13,00 67,00 5 0 -32,50 -32,506 180,0 -32,50 147,50 7 0 -32,50 -32,508 554,0 -237,00 317,009 0 -16,25 -16,25 10 90,0 -16,25 73,7511 0 -16,25 -16,25 12 27,0 6,50 33,5013 0 -16,25 -16,25 14 90,0 -16,25 73,75 15 0 -16,25 -16,25 16 527,0 -243,50 283,50

Para este flujo, la rentabilidad de los recursos propios resulta en: Rentabilidad de los recursos propios, después de impuestos: 7,26% trimestral Rentabilidad de los recursos propios, después de impuestos: 32,35% La respuesta hubiera sido diferente si se hubiera hecho otro supuesto para equiparar el período del proyecto de inversión con el período del proyecto de financiación. Problema 10 1.� El flujo del proyecto de inversión resultante, flujo de caja libre para el proyecto,

para determinar la rentabilidad del proyecto en sí, sería:

Año Flujo de cajaproyecto

0 -1.800

1 657

2 782

3 907

4 1.032

5 2.192

Rentabilidad proyecto en sí: 42,02%

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[224]

Capítulo 7

[224] J A V I E R S E R R A N O� ���������������������������������������� ��

Si la tasa de interés de oportunidad es del 25% el valor presente neto sería de 831,3.

2.� Para el cálculo de la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto, el

flujo de caja resultante para el inversionista sería:

Año Utilidad neta Flujo fondos0 1.080 1 282 516 2 412 642 3 542 527 4 719 698 5 961 1.905

Rentabilidad del capital propio aportado al proyecto: 54,76%.

Problema 13 1.� El flujo del proyecto de inversión resultante, flujo de caja libre para el proyecto,

para determinar la rentabilidad del proyecto en sí, sería:

Año Flujo proyecto

Inversión 0 -3.300 1 1.329 2 1.512 3 1.760 4 2.135 5 4.981

Rentabilidad proyecto en sí: 47,64%. Si la tasa de interés de oportunidad es del 25%, el valor presente neto resultante sería de 2.138,9. 2.� Para el cálculo de la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto, el

flujo de caja resultante para el inversionista sería:

Año Utilidad neta Flujo de caja Inversionista

0 -1.650 1 632 986 2 827 1.169 3 1.087 1.416 4 1.477 967 5 2.103 3.985

Rentabilidad del capital propio aportado al proyecto: 70,80%.

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[225] [225]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Respuestas a los problemas

� ���������������������������������������� ��

Problema 14 Rentabilidad proyecto en sí: 49,67%. La rentabilidad del proyecto en sí aumenta del 47.64% al 49.67%. Si la tasa de interés de oportunidad es del 25%, el valor presente neto, con depreciación acelerada, sería de 2.249,6; el valor presente neto con depreciación en línea recta resultó en 2.138,9, con un aumento de 110,7, como consecuencia del valor presente neto del ahorro en impuestos en el método de depreciación acelerada respecto al método de de-preciación en línea recta.

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[227]

Capítulo 8 FLUJO DE CAJA LIBRE PARA EL PROYECTO Y PARA EL INVERSIONISTA: CASOS En este capítulo se presentan tres casos que permiten hacer un análisis detallado del material presentado en el Capítulo 7, relacionado con la estimación de los flujos de caja libre para el proyecto y para el patrimonio o inversionista, y la respectiva estimación de la rentabilidad del proyecto en sí y de la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto (rentabilidad del inversionista). C A S O 1

Un proyecto de inversión para producir el producto ABC requiere una inversión en activos fijos y en capital de trabajo durante el primer año de $8.300 y $4.300 millones respectivamente. El activo fijo se va a depreciar un 93% en línea recta, y el capital de trabajo (inventarios, cartera, menos cuentas por pagar proveedores) se debe reajustar cada año con la inflación y el nivel operativo, medido este último a través de las ventas. La empresa espera vender 2.300.000 unidades durante el primer año y a un precio promedio de $16.500 por unidad. Los estimativos de mercadeo en el escenario más probable son tales que se espera un crecimiento de las ventas del 1% anual y del precio en un 1.8% en términos reales por año, con una inflación esperada del 6% promedio para los 10 años que constituyen la vida útil del proyecto. La tasa de impuestos corporativa es del 33%. La empresa incurrió en gastos preoperativos (permisos, licencias, promoción del proyecto, etc.) por valor de $2.300 millones que va a amortizar durante la vida útil del proyecto (10 años). El margen bruto estimado para el primer año es del 45% y se espera que el mismo mejore en un 0.23% cada año, durante la vida del proyecto. Los gastos fijos de administración durante el primer año son de $8.300 millones, con un crecimiento esperado del 1.7% anual en términos reales, durante la vida del proyecto. Los gastos de ventas se han estimado en un 15% de los ingresos operativos por ventas. Al final de la vida útil del proyecto se cuenta con disponer de los activos fijos por un valor esperado de $5.300 millones. Así mismo, se espera una recuperación del capital de trabajo parcial, equivalente a un 93% del valor del mismo al final de la vida útil del activo (10 años). La tasa de impuestos de las ganancias por capital es igual a la tasa de impuestos de la renta ordinaria.

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[228]

Capítulo 8

[228] J A V I E R S E R R A N O

Las primeras preguntas en relación con este proyecto se refieren a:

a)� ¿Cuál es el flujo de caja libre para el proyecto? b)� ¿Cuál es la rentabilidad del proyecto? (Rentabilidad del proyecto en sí,

independiente de sus fuentes de financiación).

Datos básicos del problema En el Cuadro 8.1 se muestra un resumen de los datos principales del proyecto que se acaba de plantear, con los cálculos básicos para estimar la depreciación, amortización de preoperativos, utilidad en la venta de activos fijos, impuestos a pagar por este concepto y el ingreso neto en la venta del activo fijo. Así mismo, se muestran las tasas de crecimiento del precio de ventas tanto en reales como en nominales y la tasa de crecimiento de los gastos fijos administrativos, tanto en reales como en nominales, para una inflación esperada durante todo el período del 6% anual.

Cuadro 8.1 Resumen datos básicos

Inversión en activos fijos 8.300.000.000 Inversión en capital de trabajo 4.300.000.000 Vida útil del activo 10 Años Porcentaje a depreciar, activo fijo 93.00% Valor depreciable 7.719.000.000 Depreciación anual en línea recta 771.900.000 Valor de salvamento 581.000.000 Tasa de impuestos corporativa 33,00% Gastos preoperativos 2.300.000.000 Amortización anual preoperativos 230.000.000 Valor esperado venta activo fijo 5.300.000.000 Utilidad en venta activo fijo 4.719.000.000 Impuestos a pagar, venta PP y E 1.557.270.000 Ingreso neto, venta PP y E 3.742.730.000 Recuperación del CT 93,00% Tasa de crecimiento del precio en reales 1,80% Inflación proyectada 6,00% Tasa de crecimiento del precio en nominales 7,91% Tasa crecimiento anual del volumen de ventas, unidades 1,00% Margen bruto, año 1 45,00% Mejoramiento anual, margen bruto 0,23% Gastos fijos de administración, año 1 8.300.000.000 Crecimiento gastos fijos, anuales, reales 1,70% Crecimiento gastos fijos, anuales en nominales 7,80% Participación gastos de ventas en ingresos por ventas 15,00%

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[229] [229]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

En el Cuadro 8.2 se muestra el comportamiento esperado de las ventas y del precio de ventas. El precio de ventas crece en un 1,80% en reales, que con una inflación del 6% equivale a un crecimiento en nominales del 7,91% anual. Las ventas crecen en un 1%, mientras que el margen bruto se mejora en un 0,23% año, pasando del 45% el primer año a un 45,23% para el segundo año, a un 45,46% para el tercer año y así sucesivamente.

Cuadro 8.2 Comportamiento esperado de ventas y precio

Año Precio Cantidad Margen bruto

1 16.500 2.300.000 45,00%2 17.805 2.323.000 45,23%3 19.213 2.346.230 45,46%4 20.732 2.369.692 45,69%5 22.372 2.393.389 45,92%6 24.141 2.417.323 46,15%7 26.050 2.441.496 46,38%8 28.110 2.465.911 46,61%9 30.333 2.490.570 46,84%

10 32.732 2.515.476 47,07%

En el Cuadro 8.3 se muestra el comportamiento del capital de trabajo, teniendo en cuenta que se recupera un 93% del capital de trabajo neto y que al mismo tiempo existe una pérdida en la recuperación del capital de trabajo, que genera un crédito tributario (33% del valor de la pérdida). Aunque la recuperación del capital de trabajo no se hace al final del año 10 pues la misma toma un tiempo prudencial (la venta de inventarios y recuperación de la cartera), y la inversión adicional en capital de trabajo durante el año 10 no se hace al final del año, lo cual no tendría sentido, sino a lo largo de todo el año, en el modelo de evaluación se considera que los dos eventos tienen lugar al final del año 10, lo cual sin duda es una simplificación de la situación real.

Cuadro 8.3 Comportamiento del capital de trabajo

CT Inversión en CT Recupera CT Crédito tributario Inversión CT

0 4.300.000.000 4.300.000.000 -4.300.000.0001 4.603.580.000 303.580.000 -303.580.0002 4.928.592.748 325.012.748 -325.012.7483 5.276.551.396 347.958.648 -347.958.6484 5.649.075.925 372.524.529 -372.524.5295 6.047.900.685 398.824.760 -398.824.7606 6.474.882.473 426.981.788 -426.981.7887 6.932.009.176 457.126.703 -457.126.7038 7.421.409.024 489.399.848 -489.399.8489 7.945.360.501 523.951.477 -523.951.477

10 8.506.302.952 560.942.451 7.910.861.745 196.495.598 7.546.414.892

Caso 1

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[230]

Capítulo 8

[230] J A V I E R S E R R A N O

Flujo de caja libre para el proyecto y rentabilidad del proyecto en sí En los Cuadros 8.4 y 8.5 se muestran las proyecciones de la utilidad operacional (UAII) y del flujo de caja libre para el proyecto. El margen bruto se mejora año a año (0,23%), los gastos operativos crecen en un 1,70% real anual, para un crecimiento nominal del 7,80% con una inflación del 6,00%, los gastos de ventas corresponden a un 15% de los ingresos operativos por ventas. En la Figura 8.1 se muestra la formulación básica para el flujo de caja libre para el proyecto, recordando que es un flujo de caja operacional después de impuestos sin tener en cuenta el efecto de los gastos financieros sobre los impuestos.

Figura 8.1 Rentabilidad del proyecto en sí

Flujo de caja libre para el proyecto

En el Cuadro 8.5 se muestra como inversión en la fecha cero la suma de la inversión en activos fijos por valor de $8.300 millones y los gastos preoperativos por valor de $2.300 millones, para una inversión total en esa fecha de $10.600 millones, sin tener en cuenta la inversión en capital de trabajo La inversión en activos fijos se deprecia y los gastos preoperativos se amortizan. Sobre este punto se puede presentar una controversia argumentando que los gastos preoperativos constituyen un costo muerto para el proyecto y por lo tanto no se deberían introducir en la fecha cero como parte de la inversión; su efecto debería ser únicamente en la estimación de los impuestos (restar su amortización para la determinación de la utilidad operacional y volver a sumar una vez se han estimado los impuestos a pagar, sin tener en cuenta el efecto de los gastos financieros sobre los impuestos). Quienes argumentan en esa dirección pueden estar en lo correcto; no obstante lo anterior, para este caso se introdujo como inversión total la inversión en activos fijos más la inversión en preoperativos, menos la recuperación al final del año 10 de parte de la inversión en

1 2 6 9 10

O

I

F1 F2 F6 F9 F10

FJ = (UAII)J* (1-t) + (DEP)J + (Amort diferidos)J+(Causaciones - Efectivo)J-INV AFJ - INV CTJ

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[231] [231]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Caso 1

activos fijos, como consecuencia de la venta del activo, disminuida en los impuestos a pagar, más la inversión en capital de trabajo en la fecha cero menos la recuperación neta del capital de trabajo en la fecha 10.

Cuadro 8.4 Proyección de la utilidad operacional

Año Precio CantidadMargen bruto

Utilidadbruta

Gastosoperativos

ventas Utilidad operacional

(UAII)

1 16.300 2.300.000 45,00% 16.870.500.000 8.300.000.000 5.623.500.000 2.947.000.000

2 17.589 2.323.000 45,23% 18.480.641.621 8.947.566.000 6.128.888.444 3.404.187.177

3 18.980 2.346.230 45,46% 20.243.933.682 9.645.655.099 6.679.696.551 3.918.582.031

4 20.481 2.369.692 45,69% 22.174.898.959 10.398.209.110 7.280.006.224 4.496.683.625

5 22.101 2.393.389 45,92% 24.289.433.617 11.209.477.385 7.934.266.208 5.145.690.024

6 23.848 2.417.323 46,15% 26.604.936.765 12.084.040.811 8.647.325.059 5.873.570.895

7 25.734 2.441.496 46,38% 29.140.452.211 13.026.837.675 9.424.467.080 6.689.147.457

8 27.769 2.465.911 46,61% 31.916.823.553 14.043.191.550 10.271.451.476 7.602.180.527

9 29.965 2.490.570 46,84% 34.956.863.863 15.138.841.355 11.194.555.037 8.623.467.471

10 32.335 2.515.476 47,07% 38.285.541.337 16.319.973.757 12.200.618.654 9.764.948.925

Cuadro 8.5 Proyección del flujo de caja libre para el proyecto

Año UAII UAII*(1-t) Depreciaciónactivos fijos

Amortizaciónpreoperativos

Inversión en AF

+preoperativos

Inversión en CT

Flujo de caja libre para el

proyecto 0 -10.600.000.000 -4.300.000.000 -14.900.000.000

1 3.085.000.000 2.066.950.000 771.900.000 230.000.000 -303.580.000 2.765.270.000

2 3.555.742.431 2.382.347.429 771.900.000 230.000.000 -325.012.748 3.059.234.681

3 4.085.014.388 2.736.959.640 771.900.000 230.000.000 -347.958.648 3.390.900.992

4 4.679.443.045 3.135.226.840 771.900.000 230.000.000 -372.524.529 3.764.602.311

5 5.346.366.925 3.582.065.840 771.900.000 230.000.000 -398.824.760 4.185.141.079

6 6.093.909.689 4.082.919.492 771.900.000 230.000.000 -426.981.788 4.657.837.704

7 6.931.061.385 4.643.811.128 771.900.000 230.000.000 -457.126.703 5.188.584.425

8 7.867.767.915 5.271.404.503 771.900.000 230.000.000 -489.399.848 5.783.904.655

9 8.915.029.543 5.973.069.794 771.900.000 230.000.000 -523.951.477 6.451.018.317

10 10.085.009.326 6.756.956.249 771.900.000 230.000.000 3.742.730.000 7.546.414.892 19.048.001.141

En la última columna del Cuadro 8.5 se muestra el flujo de caja libre para el proyecto, que se utiliza para estimar la rentabilidad del proyecto en sí, independiente de sus fuentes de financiamiento. La tasa interna de retorno de ese flujo de caja es igual al 25,18%, que corresponde a la rentabilidad del proyecto en sí independientemente de sus fuentes de financiamiento. Si no se hubieran tenido en cuenta los gastos preoperativos como inversión en la fecha cero (costo muerto), la rentabilidad del

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Capítulo 8

[232] J A V I E R S E R R A N O

proyecto en sí, con independencia de sus fuentes de financiamiento, hubiera sido del 29,59%. Si el anterior valor del 25,18% es alto o bajo, va a depender de la meta con la cual se compare. Por ejemplo, si la tasa de interés de oportunidad para el inversionista es del 20%, la rentabilidad interna del proyecto es mayor y por lo tanto se justificaría invertir en el mismo. Igualmente, si el costo promedio ponderado de capital (WACC) fuera del 14%, el proyecto le estaría agregando valor a la empresa. Con estos datos se pueden diferenciar dos conceptos: valor económico agregado relativo y valor económico agregado absoluto. c)� ¿Cuál es el valor económico relativo que el proyecto le agrega a la empresa,

frente a las oportunidades tradicionales que generan una rentabilidad equivalente a la TIO (20%)?

d)� ¿Cuál es el valor absoluto (EVA) que el proyecto le genera a la empresa, si el costo promedio ponderado de capital es del 14%?

La respuesta a la pregunta c) se obtiene de descontar el flujo de caja libre para el proyecto a la TIO (20%), mientras que la respuesta a la segunda pregunta se obtiene de descontar el mismo flujo de caja libre para el proyecto al costo promedio pon-derado de capital (14%): �� El valor económico relativo que el proyecto le agrega a la empresa, frente a las

oportunidades tradicionales que generan una rentabilidad equivalente a la TIO (20%), es de $3.668,2 millones.

�� El valor absoluto (EVA) que el proyecto le genera a la empresa, si el costo prome-

dio ponderado de capital es del 14%, es de $9.916,0 millones. Financiamiento vía deuda y flujo de caja para el proyecto de financiamiento El proyecto se va a financiar con la siguiente mezcla de financiamiento (estructura de capital): deuda, un 30%, y patrimonio, un 70%. La deuda se contrata con una tasa del 19% efectivo anual antes de impuestos y se va a amortizar en cuatro contados iguales al final de los años 7, 8, 9 y 10. El establecimiento de crédito cobra una comisión de administración y seguimiento del 2.10% año anticipado sobre saldos; los intereses se pagan sobre el saldo al comienzo del período. El crédito es equivalente al 30% de la inversión en activos fijos y en capital de trabajo, esto es, 30%*(8.300 + 4.300) = $3.780 millones. e)� ¿Cuál es el flujo de caja del proyecto de financiación?

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[233] [233]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

f)� ¿Cuál es el costo después de impuestos del crédito? En el Cuadro 8.6 se muestra el flujo de caja para el proyecto de financiamiento, teniendo en cuenta el esquema de amortización (abono a capital) sugerido para el crédito; y los intereses causados sobre el saldo al comienzo del período. El ahorro en impuestos involucra el pago de intereses y de comisiones; para ello se ha supuesto que es un 33% (tasa de impuestos corporativa), multiplicado por la suma de los intereses pagados en ese año (vencidos) y por la comisión del año anterior (anticipada). El cálculo real deberá tener en cuenta las fechas precisas en las cuales se pagan los intereses y las comisiones.

Cuadro 8.6 Flujo de caja para el proyecto de financiamiento (crédito)

Año Desembolso Saldo

comienzo semestre

Amortización Cto. final semestre

Intereses anuales

Comisionesanticipadas

Ahorro e impuestos

Flujo de caja financiamiento

0 3.780.000.000 -79.380.000 3.700.620.000

1 3.780.000.000 -718.200.000 -79.380.000 263.201.400 -534.378.600

2 3.780.000.000 -718.200.000 -79.380.000 263.201.400 -534.378.600

3 3.780.000.000 -718.200.000 -79.380.000 263.201.400 -534.378.600

4 3.780.000.000 -718.200.000 -79.380.000 263.201.400 -534.378.600

5 3.780.000.000 -718.200.000 -79.380.000 263.201.400 -534.378.600

6 3.780.000.000 -718.200.000 -79.380.000 263.201.400 -534.378.600

7 3.780.000.000 -945.000.000 -718.200.000 -59.535.000 263.201.400 -1.459.533.600

8 2.835.000.000 -945.000.000 -538.650.000 -39.690.000 197.401.050 -1.325.938.950

9 1.890.000.000 -945.000.000 -359.100.000 -19.845.000 131.600.700 -1.192.344.300

10 945.000.000 -945.000.000 -179.550.000 0 65.800.350 -1.058.749.650

El costo del financiamiento vía deuda (crédito) corresponde a la tasa interna de retorno del flujo de caja para el proyecto de financiamiento (última columna) y es igual a un 14.44% efectivo anual. Esta tasa se hubiera podido obtener en una forma simplificada, tal y como se muestra en el Cuadro 8.7; los valores que se obtienen son muy similares.

Caso 1

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Capítulo 8

[234] J A V I E R S E R R A N O

Cuadro 8.7 Cálculo simplificado del costo después de impuestos

Simplificado Costo intereses 19,00% Costo comisiones 2,10% Anticipado Costo comisiones 2,145% equivalente vencido Costo antes de impuestos 21,55% Tasa de impuestos 33,00% Costo después de impuestos 14,44%

En el Cuadro 8.7 se calculó la comisión vencida equivalente a una comisión anticipada (0,021/0,979). El costo antes de impuestos es igual a (1+0,02145)*(1+0,19)-1 = 21,55%. El costo después de impuestos es igual a 21,55%*(1-0,33) = 14,44%. Flujo de caja libre para el patrimonio o para el inversionista (equity) El proyecto financiado con deuda requiere un aporte de recursos propios o recursos del inversionista inferior al monto total de la inversión, permitiendo a su vez aumentar la rentabilidad de los recursos propios aportados por el inversionista (el patrimonio o equity del inversionista). g)� ¿Cuál es el flujo de caja libre para el inversionista (flujo de caja libre para el

patrimonio)? h)� ¿Cuál es la rentabilidad para los recursos propios aportados al proyecto

(rentabilidad para el inversionista o rentabilidad para el equity)? Una forma fácil de obtener el flujo de caja libre para los recursos propios o para el inversionista es superponiendo los flujos de caja del proyecto de inversión y del proyecto de financiamiento, tal y como se muestra en el Cuadro 8.8:

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[235] [235]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Cuadro 8.8 Flujo de caja para el inversionista

Año Proyecto inversión Proyecto

financiación Flujo de caja libre, equity

0 -14.900.000.000 3.700.620.000 -11.199.380.000

1 2.765.270.000 -534.378.600 2.230.891.400

2 3.059.234.681 -534.378.600 2.524.856.081

3 3.390.900.992 -534.378.600 2.856.522.392

4 3.764.602.311 -534.378.600 3.230.223.711

5 4.185.141.079 -534.378.600 3.650.762.479

6 4.657.837.704 -534.378.600 4.123.459.104

7 5.188.584.425 -1.459.533.600 3.729.050.825

8 5.783.904.655 -1.325.938.950 4.457.965.705

9 6.451.018.317 -1.192.344.300 5.258.674.017

10 19.048.001.141 -1.058.749.650 17.989.251.491

La rentabilidad de los recursos propios aportados por el inversionista o rentabilidad para el inversionista (equity) se obtiene aplicando la tasa interna de retorno al flujo de caja libre para el equity o patrimonio o inversionista (última columna del Cuadro 8.8), lo cual da una TIR o rentabilidad interna del 28.06%, superior a la obtenida para el proyecto (25.18%). Esto es consecuencia de apalancar un 30% la inversión con una deuda que tiene un costo después de impuestos (14.44%) inferior a la rentabilidad del proyecto en sí (25.18%), que también es una rentabilidad después de impuestos. En los cuadros 8.9 y 8.10 se muestra otra forma de llegar al mismo flujo de caja para el inversionista, partiendo de la utilidad neta, que ya incluye los gastos financieros. Éstos, que se muestran en la segunda columna del Cuadro 8.9, corresponden a los intereses pagados sobre saldos al comienzo del período, que se pagan vencidos, y por las comisiones de administración que se pagan anticipadas. La formulación general del flujo de caja libre para el inversionista o equity, para el j-ésimo período (FCLEJ), presentada en el capítulo anterior, es: FCLEJ = (Utilidad neta)J + (Depreciación activos fijos )J + (Amortización diferidos)J - (Inversión en activos fijos)J – (Inversión en capital de trabajo)J + (Ingresos por financiamiento)J - (Amortización a capital del financiamiento)J

Caso 1

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[236]

Capítulo 8

[236] J A V I E R S E R R A N O

Observe que en la expresión anterior se mezclan tanto el proyecto de inversión como el proyecto de financiamiento, pues en la utilidad neta se incluyen los gastos finan-cieros y su impacto sobre los impuestos a pagar como consecuencia de su tratamiento tributario. Se corrige el efecto de aquellas causaciones que, afectando la utilidad neta (contable), no afectan el flujo de caja, tales como la depreciación de activos fijos y la amortización de diferidos (a manera de ejemplo), y se suman los ingresos financieros derivados de nuevos financiamientos (p. ej., créditos y emisión de bonos), que a su vez se deben amortizar, esto es, restar del flujo de caja en el momento convenido. En este flujo de caja construido ya se ha incluido el efecto del apalancamiento financiero sobre los impuestos. Para propósitos de determinar el valor económico agregado al inversionista por el proyecto con la estructura de capital seleccionada, el flujo de caja libre para el inversionista (patrimonio) se debe descontar al costo del patrimonio; pues si se descontara al costo promedio ponderado de capital (WACC) no solo sería incorrecto sino que se estaría contabilizando doblemente el efecto del apalancamiento financiero. El procedimiento que se acaba de explicar se presenta en los cuadros 8.9 y 8.10, para obtener el flujo de caja libre para el equity o para el inversionista que se muestra en la última columna del Cuadro 8.10. El flujo de caja para el inversionista difiere ligeramente del que se obtuvo con anterioridad como consecuencia del tratamiento de las comisiones para el cálculo del ahorro en impuestos.

Cuadro 8.9 Cálculo de la utilidad neta

Año Utilidad

operacional (UAII) Gastos financieros intereses y com.

Utilidad antes impuestos

Impuestos corporativos

Utilidad neta

0 1 3.085.000.000 -797.580.000 2.287.420.000 754.848.600 1.532.571.400

2 3.555.742.431 -797.580.000 2.758.162.431 910.193.602 1.847.968.829

3 4.085.014.388 -797.580.000 3.287.434.388 1.084.853.348 2.202.581.040

4 4.679.443.045 -797.580.000 3.881.863.045 1.281.014.805 2.600.848.240

5 5.346.366.925 -797.580.000 4.548.786.925 1.501.099.685 3.047.687.240

6 6.093.909.689 -797.580.000 5.296.329.689 1.747.788.797 3.548.540.892

7 6.931.061.385 -797.580.000 6.133.481.385 2.024.048.857 4.109.432.528

8 7.867.767.915 -598.185.000 7.269.582.915 2.398.962.362 4.870.620.553

9 8.915.029.543 -398.790.000 8.516.239.543 2.810.359.049 5.705.880.494

10 10.085.009.326 -199.395.000 9.885.614.326 3.262.252.728 6.623.361.599

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[237] [237]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Cuadro 8.10 Flujo de caja libre para el inversionista

Año Utilidad neta Depreciaciónactivos fijos

Preoperativos Inversión en AF +preoperativos

Inversión en CTIngresos por

financiamientoAmortización

deuda Flujo de caja

recursos propios 0 -10.600.000.000 -4.300.000.000 3.780.000.000 -11.120.000.000

1 1.532.571.400 771.900.000 230.000.000 0 -303.580.000 0 2.230.891.400

2 1.847.968.829 771.900.000 230.000.000 0 -325.012.748 0 2.524.856.081

3 2.202.581.040 771.900.000 230.000.000 0 -347.958.648 0 2.856.522.392

4 2.600.848.240 771.900.000 230.000.000 0 -372.524.529 0 3.230.223.711

5 3.047.687.240 771.900.000 230.000.000 0 -398.824.760 0 3.650.762.479

6 3.548.540.892 771.900.000 230.000.000 0 -426.981.788 0 4.123.459.104

7 4.109.432.528 771.900.000 230.000.000 0 -457.126.703 -945.000.000 3.709.205.825

8 4.870.620.553 771.900.000 230.000.000 0 -489.399.848 -945.000.000 4.438.120.705

9 5.705.880.494 771.900.000 230.000.000 0 -523.951.477 -945.000.000 5.238.829.017

10 6.623.361.599 771.900.000 230.000.000 3.742.730.000 7.546.414.892 -945.000.000 17.969.406.491

Análisis de sensibilidad al precio y a la cantidad Suponga que el precio de venta del producto ABC para el primer año se comporta como una variable aleatoria con una distribución normal con valor esperado de $6.500 y una desviación estándar de $500. Así mismo, el volumen de ventas para el primer año se comporta como una variable aleatoria con una distribución uniforme entre 2.100.000 y 2.500.000 unidades. ¿Cuál sería la distribución de probabilidad de la rentabilidad del proyecto en sí, independientemente de sus fuentes de financiamiento?

Para dar una respuesta al planteamiento que se acaba de hacer se utiliza la simulación de Montecarlo, que se explica posteriormente en el Capítulo 10 de este libro, a partir de números aleatorios uniformemente distribuidos entre 0 y 1, estableciendo la relación con la función de distribución de probabilidad acumulada, que también corresponde a un rango entre 0 y 1. En el mercado existen programas de computador que, unidos al Excel, facilitan la realización de las simulaciones de Montecarlo necesarias para estimar la distribución de probabilidad para una variable de respuesta o variable dependiente; uno de esos programas es Crystal Ball1, que se acopla muy bien con Excel y permite realizar las simulaciones que sean necesarias en una forma eficiente y amigable.

A manera de ejemplo, para el caso que nos ocupa se realizaron 2.000 simulaciones del proyecto con las distribuciones de probabilidad sugeridas para el precio de venta y para el número de unidades vendidas (variables de entrada o independientes); la variable de respuesta es la rentabilidad del proyecto en sí, independientemente de sus fuentes de financiamiento. En la figura 8.2 se muestra el histograma para las 2.000 simulaciones, que facilitan el análisis estadístico de la variable de respuesta, tomado de la salida de Crystal Ball.

1 Crystal Ball es una marca registrada de Decisioneering, Inc.

Caso 1

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Capítulo 8

[238] J A V I E R S E R R A N O

Figura 8.2 Rentabilidad del proyecto en sí2

C A S O 2

Un proyecto de inversión con una vida útil de 8 años para fabricar y vender el producto XYZ, requiere una inversión original en activos fijos por valor de $7.000 millones y en capital de trabajo por valor de $2.800 millones. El activo fijo se va a depreciar en línea recta, con un valor depreciable del 93%, y el capital de trabajo (inventarios, cartera menos cuentas por pagar a proveedores) se debe reajustar cada año con la inflación y el nivel operativo, medido este último a través de las ventas. La empresa espera vender 3.500.000 unidades durante el primer año a un precio promedio de $12.500 por unidad. Los estimativos de mercadeo en el escenario más probable son tales que se espera un crecimiento de las ventas del 1.50% anual y del precio de venta en un 2% en términos reales, con una inflación esperada del 5.5% promedio para los 8 años que constituyen la vida útil del proyecto. La tasa de impuestos corporativa es del 33%. La empresa incurrió en gastos preoperativos (permisos, licencias, promoción del proyecto, etc.) por valor de $1.500 millones que va a amortizar durante la vida útil del proyecto (8 años). El costo de venta unitario para el primer año es de $7.250 por artículo producido; así mismo, el costo de ventas comprende costos fijos efectivos, por valor de $3.000 millones para el primer año (mano de obra directa, arriendos, servicios públicos), y los no efectivos correspondientes a la depreciación en línea recta, equivalentes a $813.750.000 por año, según las condiciones establecidas previamente. El costo de ventas unitario (CVU) se va a incrementar en un 1% real anual, mientras que el costo de ventas fijo efectivo se va a incrementar con la inflación. Los gastos fijos de administración durante el primer año son de $7.000 millones con un crecimiento esperado del 1.3% anual en términos reales, durante la vida del proyecto; los gastos de ventas se han estimado en un 12% de los ingresos operativos por ventas. 2 Salida de Crystal Ball.

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Caso 2

Al final de la vida útil del proyecto se espera disponer de los activos fijos por un valor de $3.500 millones. Así mismo, se espera una recuperación del capital de trabajo parcial, equivalente al 93% del valor del mismo al final de la vida útil del activo (8 años). La tasa de impuestos de las ganancias por capital es igual a la tasa de impuestos de renta ordinaria. Las primeras preguntas a resolver son:

a)� ¿Cuál es el flujo de caja libre para el proyecto?

b)� ¿Cuál es la rentabilidad del proyecto en sí, independientemente de las fuentes de financiamiento?

En el Cuadro 8.11 se muestra un resumen de los datos básicos del problema y de algunos cálculos preliminares.

Cuadro 8.11 Datos básicos y cálculos preliminares

Inversión en activos fijos 7.000.000.000 Inversión en capital de trabajo 2.800.000.000 Vida útil del activo 8 años

Porcentaje a depreciar, activo fijo 93,00%

Valor depreciable 6.510.000.000

Depreciación anual en línea recta 813.750.000

Valor de salvamento 490.000.000

Tasa de impuestos corporativa 33,00%

Gastos preoperativos 1.800.000.000

Amortización anual preoperativos 225.000.000

Valor esperado venta activo fijo 3.500.000.000

Utilidad en venta activo fijo 3.010.000.000

Impuestos a pagar, venta PP y E 993.300.000

Ingresos neto, venta PP y E 2.506.700.000

Recuperación del CT 93,00%

Tasa de crecimiento del precio en reales 2,00%

Inflación proyectada 5,50%

Tasa de crecimiento del precio en nominales 7,61%

Tasa crecimiento anual del volumen de ventas, unidades 1,50%

Tasa de crecimiento del CVU en reales 1,00%

Tasa de crecimiento del CVU en nominales 6,56%

Costo fijo de ventas, efectivo, año 1 (excluye depreciación) 3.000.000.000

Incremento del costo fijo de ventas (efectivo) 5,50%

Gastos fijos de administración, año 1 7.000.000.000

Crecimiento gastos fijos de administración, anuales, en reales 1,30%

Crecimiento gastos fijos, anuales, en nominales 6,87%

Participación gastos de ventas en ingresos por ventas 12,00%

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Capítulo 8

[240] J A V I E R S E R R A N O

En el Cuadro 8.12 se presentan los cálculos necesarios para determinar la utilidad bruta y en el Cuadro 8.13 se presentan los cálculos necesarios para determinar la utilidad operacional esperada, según las condiciones especificadas, para los 8 años que comprende la vida útil del proyecto. La utilidad bruta es igual a los ingresos operacionales (precio de venta por cantidad demandada) menos los costos de ventas que corresponden al costo variable unitario por las unidades demandadas más los costos fijos de producción efectivos más la depreciación de activos fijos, que siendo un costo fijo de producción no es un costo efectivo. La utilidad operacional año a año, se estima restando de la utilidad bruta los gastos operativos, los gastos de ventas y la amortización de los gastos preoperativos, según las condiciones especificadas en el problema (valores, crecimientos reales y crecimientos nominales).

Cuadro 8.12 Determinación de la utilidad bruta

Año Precio Cantidad Costo

variable unitario

Costos fijode ventas (efectivo)

Costo fijo de vtas.No

efectivo (dep.)

Costo de ventas

Utilidad bruta

0 1 16.000 2.500.000 8.750 3.000.000.000 813.750.000 25.688.750.000 14.311.250.0002 17.218 2.537.500 9.324 3.165.000.000 813.750.000 27.637.289.844 16.052.370.1563 18.528 2.575.563 9.935 3.339.075.000 813.750.000 29.740.322.487 17.979.337.2854 19.938 2.614.196 10.586 3.522.724.125 813.750.000 32.010.203.442 20.111.189.3285 21.455 2.653.409 11.280 3.716.473.952 813.750.000 34.460.282.360 22.468.865.8616 23.088 2.693.210 12.019 3.920.880.019 813.750.000 37.104.983.362 25.075.394.8857 24.845 2.733.608 12.807 4.136.528.420 813.750.000 39.959.891.874 27.956.097.7328 26.736 2.774.612 13.647 4.364.037.483 813.750.000 43.041.848.504 31.138.813.858

Cuadro 8.13 Determinación de la utilidad operacional

Año Utilidad Gastos Gastos de Amortización Utilidad bruta operativos ventas preoperativos operacional (UAII)

0 1 14.311.250.000 7.000.000.000 4.800.000.000 225.000.000 2.286.250.000

2 16.052.370.156 7.481.005.000 5.242.759.200 225.000.000 3.103.605.956

3 17.979.337.285 7.995.062.259 5.726.359.173 225.000.000 4.032.915.854

4 20.111.189.328 8.544.442.962 6.254.567.132 225.000.000 5.087.179.234

5 22.468.865.861 9.131.574.360 6.831.497.787 225.000.000 6.280.793.715

6 25.075.394.885 9.759.050.492 7.461.645.390 225.000.000 7.629.699.003

7 27.956.097.732 10.429.643.646 8.149.918.753 225.000.000 9.151.535.333

8 31.138.813.858 11.146.316.610 8.901.679.483 225.000.000 10.865.817.765

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[241] [241]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Cuadro 8.14 Estimación de la inversión en capital de trabajo

CT fin del año Inversión en CT Recuperación CT Crédito tributario Inversión CT

0 2.800.000.000 2.800.000.000 -2.800.000.000

1 2.998.310.000 198.310.000 -198.310.000

2 3.210.665.306 212.355.306 -212.355.306

3 3.438.060.676 227.395.370 -227.395.370

4 3.681.561.323 243.500.647 -243.500.647

5 3.942.307.904 260.746.581 -260.746.581

6 4.221.521.861 279.213.957 -279.213.957

7 4.520.511.147 298.989.286 -298.989.286

8 4.840.676.349 320.165.202 4.501.829.005 111.819.624 4.293.483.427

Cuadro 8.15 Determinación del flujo de caja libre para el proyecto

Año UAII UAII*(1-t) Depreciaciónactivos fijos

Amortizaciónpreoperativos

Inversión en AF+preoperativos

Inversión en CT Flujo de caja librepara el proyecto

0 -8.800.000.000 -2.800.000.000 -11.600.000.000

1 2.286.250.000 1.531.787.500 813.750.000 225.000.000 -198.310.000 2.372.227.500

2 3.103.605.956 2.079.415.991 813.750.000 225.000.000 -212.355.306 2.905.810.685

3 4.032.915.854 2.702.053.622 813.750.000 225.000.000 -227.395.370 3.513.408.252

4 5.087.179.234 3.408.410.087 813.750.000 225.000.000 -243.500.647 4.203.659.439

5 6.280.793.715 4.208.131.789 813.750.000 225.000.000 -260.746.581 4.986.135.208

6 7.629.699.003 5.111.898.332 813.750.000 225.000.000 -279.213.957 5.871.434.375

7 9.151.535.333 6.131.528.673 813.750.000 225.000.000 -298.989.286 6.871.289.387

8 10.865.817.765 7.280.097.903 813.750.000 225.000.000 2.506.700.000 4.293.483.427 15.119.031.329

En el Cuadro 8.14 se muestra la estimación del capital de trabajo al final de cada uno de los 8 años, la estimación de la inversión anual en capital de trabajo, la recuperación del capital de trabajo al final de la vida útil del proyecto, estimada en un 93% del valor contable del mismo, y el crédito tributario o ahorro en impuestos, derivado de la pérdida contable en que se incurre al recuperar el capital de trabajo. La inversión inicial en capital de trabajo (fecha cero) es igual a los $2.800 millones; la inversión en capital de trabajo para cada año es igual al aumento del valor contable del capital de trabajo durante el año, como consecuencia de la inflación y del incremento en el nivel operacional. El crédito tributario es igual a la tasa de impuestos (33%) multiplicada por la pérdida contable incurrida en la recuperación del capital de trabajo. En el Cuadro 8.15 se muestra la construcción del flujo de caja libre para el proyecto, con los valores que se muestran año a año, en la última columna del mencionado cuadro. Para estimar la rentabilidad del proyecto en sí independientemente de sus

Caso 2

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[242]

Capítulo 8

[242] J A V I E R S E R R A N O

fuentes de financiamiento, se calcula la tasa interna de retorno del flujo de caja libre para el proyecto, lo cual da un valor del 31.34%. Así mismo, para estimar el valor económico que este proyecto le agregaría a la empresa, si se cumplen las expectativas que conducen al flujo de caja para cada año, se calcula el valor presente neto de ese flujo descontado a la tasa de interés de oportunidad. Para una tasa de interés de oportunidad del 18% ese valor económico relativo sería de $7.337 millones. Si se fuera a calcular el EVA absoluto que el proyecto le agregaría a la empresa, el mismo flujo de caja libre para el proyecto se descontaría al costo promedio ponderado de capital (WACC por sus siglas en inglés), que se explicará en otro capítulo. Un 35% de la inversión inicial en activos fijos y en capital de trabajo se va a financiar con un crédito que se va a cancelar en 96 cuotas mensuales durante la vida del proyecto, con cuotas iguales mensuales y una tasa de interés del 23% efectivo. Adicionalmente la entidad financiera cobra una comisión anual de administración del crédito del 1.90% año vencido sobre los saldos al comienzo de cada año. c)� ¿Cuál es el flujo del proyecto de financiación? d)� ¿Cuál es la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto o

rentabilidad para el inversionista? La tasa de interés mensual equivalente a una tasa efectiva del 23% es de 1,740%; el monto del crédito es de $3.430 millones y su plazo de 8 años (96 meses). Con estas condiciones, la cuota mensual uniforme es de $73.765.163. En el Cuadro 8.16 se pre-senta el flujo de caja del proyecto de financiación, para las condiciones establecidas. La tasa interna de retorno de flujo es del 1,312% mensual, equivalente a una tasa del 16,93% anual, que sería el costo del financiamiento vía deuda, después de impuestos. También se hubiera obtenido una muy buena aproximación utilizando una versión simplificada: Costo intereses 23% Costo comisiones 1,9% Costo antes de impuestos: (1 + 0,23)* (1+0,0190) -1 = 25,34% Costo después de impuestos: 25,34% * (1-0,33) = 16,98%

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[243] [243]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Cuadro 8.16 Flujo de caja proyecto de financiamiento

Año Desembolso Saldo comienzo Cuota Interés Amortización Comisión Ahorro imptos. Flujo financiamiento

0 3.430.000.000 3.430.000.000

1 3.430.000.000 -73.765.133 -59.684.887 -14.080.246 -73.765.133

2 3.415.919.754 -73.765.133 -59.439.879 -14.325.254 -73.765.133

3 3.401.594.500 -73.765.133 -59.190.608 -14.574.526 -73.765.133

4 3.387.019.975 -73.765.133 -58.936.999 -14.828.135 -73.765.133

5 3.372.191.840 -73.765.133 -58.678.977 -15.086.157 -73.765.133

6 3.357.105.684 -73.765.133 -58.416.465 -15.348.668 -73.765.133

7 3.341.757.015 -73.765.133 -58.149.385 -15.615.748 -73.765.133

8 3.326.141.267 -73.765.133 -57.877.658 -15.887.475 -73.765.133

9 3.310.253.792 -73.765.133 -57.601.202 -16.163.931 -73.765.133

10 3.294.089.861 -73.765.133 -57.319.936 -16.445.197 -73.765.133

11 3.277.644.664 -73.765.133 -57.033.776 -16.731.357 -73.765.133

12 3.260.913.307 -73.765.133 -56.742.636 -17.022.497 -65.170.000 252.199.995 113.264.862

13 3.243.890.811 -73.765.133 -56.446.431 -17.318.702 -73.765.133

14 3.226.572.108 -73.765.133 -56.145.071 -17.620.062 -73.765.133

15 3.208.952.046 -73.765.133 -55.838.467 -17.926.666 -73.765.133

16 3.191.025.379 -73.765.133 -55.526.528 -18.238.605 -73.765.133

17 3.172.786.774 -73.765.133 -55.209.161 -18.555.973 -73.765.133

18 3.154.230.801 -73.765.133 -54.886.271 -18.878.862 -73.765.133

19 3.135.351.939 -73.765.133 -54.557.763 -19.207.370 -73.765.133

20 3.116.144.569 -73.765.133 -54.223.539 -19.541.595 -73.765.133

21 3.096.602.975 -73.765.133 -53.883.498 -19.881.635 -73.765.133

22 3.076.721.340 -73.765.133 -53.537.541 -20.227.592 -73.765.133

23 3.056.493.748 -73.765.133 -53.185.564 -20.579.569 -73.765.133

24 3.035.914.179 -73.765.133 -52.827.462 -20.937.671 -61.633.925 236.907.403 101.508.344

25 3.014.976.508 -73.765.133 -52.463.129 -21.302.004 -73.765.133

26 2.993.674.504 -73.765.133 -52.092.456 -21.672.677 -73.765.133

27 2.972.001.827 -73.765.133 -51.715.334 -22.049.800 -73.765.133

28 2.949.952.027 -73.765.133 -51.331.648 -22.433.485 -73.765.133

29 2.927.518.543 -73.765.133 -50.941.287 -22.823.846 -73.765.133

30 2.904.694.696 -73.765.133 -50.544.133 -23.221.000 -73.765.133

31 2.881.473.696 -73.765.133 -50.140.068 -23.625.065 -73.765.133

32 2.857.848.631 -73.765.133 -49.728.972 -24.036.161 -73.765.133

33 2.833.812.469 -73.765.133 -49.310.722 -24.454.411 -73.765.133

34 2.809.358.059 -73.765.133 -48.885.195 -24.879.938 -73.765.133

35 2.784.478.121 -73.765.133 -48.452.263 -25.312.870 -73.765.133

36 2.759.165.251 -73.765.133 -48.011.798 -25.753.335 -57.284.554 218.097.515 87.047.828

37 2.733.411.915 -73.765.133 -47.563.668 -26.201.465 -73.765.133

38 2.707.210.450 -73.765.133 -47.107.741 -26.657.392 -73.765.133

39 2.680.553.058 -73.765.133 -46.643.880 -27.121.254 -73.765.133

Caso 2

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[244]

Capítulo 8

[244] J A V I E R S E R R A N O

Cuadro 8.16 Flujo de caja proyecto de financiamiento (cont.)

Año Desembolso Saldo comienzo Cuota Interés Amortización Comisión Ahorro imptos. Flujo financiamiento

40 2.653.431.804 -73.765.133 -46.171.947 -27.593.186 -73.765.133

41 2.625.838.618 -73.765.133 -45.691.802 -28.073.331 -73.765.133

42 2.597.765.287 -73.765.133 -45.203.303 -28.561.830 -73.765.133

43 2.569.203.457 -73.765.133 -44.706.303 -29.058.830 -73.765.133

44 2.540.144.626 -73.765.133 -44.200.655 -29.564.478 -73.765.133

45 2.510.580.148 -73.765.133 -43.686.208 -30.078.925 -73.765.133

46 2.480.501.223 -73.765.133 -43.162.809 -30.602.324 -73.765.133

47 2.449.898.899 -73.765.133 -42.630.303 -31.134.830 -73.765.133

48 2.418.764.069 -73.765.133 -42.088.531 -31.676.602 -51.934.826 194.961.352 69.261.392

49 2.387.087.466 -73.765.133 -41.537.331 -32.227.802 -73.765.133

50 2.354.859.665 -73.765.133 -40.976.540 -32.788.593 -73.765.133

51 2.322.071.072 -73.765.133 -40.405.991 -33.359.142 -73.765.133

52 2.288.711.930 -73.765.133 -39.825.514 -33.939.619 -73.765.133

53 2.254.772.311 -73.765.133 -39.234.936 -34.530.197 -73.765.133

54 2.220.242.114 -73.765.133 -38.634.082 -35.131.051 -73.765.133

55 2.185.111.063 -73.765.133 -38.022.772 -35.742.361 -73.765.133

56 2.149.368.701 -73.765.133 -37.400.825 -36.364.308 -73.765.133

57 2.113.004.393 -73.765.133 -36.768.055 -36.997.078 -73.765.133

58 2.076.007.315 -73.765.133 -36.124.275 -37.640.858 -73.765.133

59 2.038.366.456 -73.765.133 -35.469.292 -38.295.841 -73.765.133

60 2.000.070.615 -73.765.133 -34.802.912 -38.962.221 -45.354.662 166.503.872 47.384.077

61 1.961.108.394 -73.765.133 -34.124.937 -39.640.196 -73.765.133

62 1.921.468.198 -73.765.133 -33.435.164 -40.329.969 -73.765.133

63 1.881.138.229 -73.765.133 -32.733.389 -41.031.744 -73.765.133

64 1.840.106.485 -73.765.133 -32.019.402 -41.745.731 -73.765.133

65 1.798.360.753 -73.765.133 -31.292.991 -42.472.142 -73.765.133

66 1.755.888.611 -73.765.133 -30.553.940 -43.211.193 -73.765.133

67 1.712.677.418 -73.765.133 -29.802.029 -43.963.104 -73.765.133

68 1.668.714.313 -73.765.133 -29.037.034 -44.728.099 -73.765.133

69 1.623.986.214 -73.765.133 -28.258.727 -45.506.406 -73.765.133

70 1.578.479.808 -73.765.133 -27.466.877 -46.298.256 -73.765.133

71 1.532.181.552 -73.765.133 -26.661.249 -47.103.884 -73.765.133

72 1.485.077.668 -73.765.133 -25.841.602 -47.923.532 -37.261.059 131.501.172 20.474.979

73 1.437.154.136 -73.765.133 -25.007.692 -48.757.441 -73.765.133

74 1.388.396.694 -73.765.133 -24.159.271 -49.605.862 -73.765.133

75 1.338.790.832 -73.765.133 -23.296.087 -50.469.046 -73.765.133

76 1.288.321.787 -73.765.133 -22.417.884 -51.347.250 -73.765.133

77 1.236.974.537 -73.765.133 -21.524.398 -52.240.735 -73.765.133

78 1.184.733.802 -73.765.133 -20.615.365 -53.149.768 -73.765.133

79 1.131.584.034 -73.765.133 -19.690.515 -54.074.618 -73.765.133

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[245] [245]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Cuadro 8.16 Flujo de caja proyecto de financiamiento (cont.)

Año Desembolso Saldo comienzo Cuota Interés Amortización Comisión Ahorro imptos. Flujo financiamiento

80 1.077.509.416 -73.765.133 -18.749.571 -55.015.562 -73.765.133

81 1.022.493.854 -73.765.133 -17.792.254 -55.972.879 -73.765.133

82 966.520.974 -73.765.133 -16.818.279 -56.946.855 -73.765.133

83 909.574.120 -73.765.133 -15.827.355 -57.937.778 -73.765.133

84 851.636.342 -73.765.133 -14.819.189 -58.945.944 -27.305.929 88.447.850 -12.623.212

85 792.690.398 -73.765.133 -13.793.480 -59.971.653 -73.765.133

86 732.718.745 -73.765.133 -12.749.923 -61.015.210 -73.765.133

87 671.703.535 -73.765.133 -11.688.207 -62.076.926 -73.765.133

88 609.626.608 -73.765.133 -10.608.016 -63.157.117 -73.765.133

89 546.469.491 -73.765.133 -9.509.029 -64.256.104 -73.765.133

90 482.213.387 -73.765.133 -8.390.919 -65.374.214 -73.765.133

91 416.839.173 -73.765.133 -7.253.352 -66.511.781 -73.765.133

92 350.327.392 -73.765.133 -6.095.992 -67.669.142 -73.765.133

93 282.658.251 -73.765.133 -4.918.491 -68.846.642 -73.765.133

94 213.811.609 -73.765.133 -3.720.502 -70.044.631 -73.765.133

95 143.766.978 -73.765.133 -2.501.666 -71.263.467 -73.765.133

96 72.503.511 -73.765.133 -1.261.622 -72.503.511 -15.061.118 35.492.265 -53.333.986

TIR mensual 1,312%

Costo anual 16,93%

En muchas ocasiones el flujo de caja para el proyecto de financiamiento se resume en un flujo anual, tal y como se muestra en el Cuadro 8.17, lo cual sin duda es una aproximación no siempre aceptable en términos de precisión, ya que estará suponiendo implícitamente que todos los pagos de interés se hacen al final de año y no al final de mes, tal y como ocurre realmente. Como consecuencia de lo anterior, el costo del crédito después de impuestos sería del 14.39%, bien diferente e inferior a su costo real calculado previamente, del 16.93%. Para evitar esto se debería trabajar todo el problema con flujos mensuales, tanto para el proyecto de inversión como para el proyecto de financiación, lo cual no se hizo acá por razones de simplicidad. Aceptando la simplificación a que se hace referencia previamente, el flujo de caja para el inversionista se podría obtener sobreponiendo el proyecto de inversión con el proyecto de financiamiento, tal y como se muestra en el Cuadro 8.18:

Caso 2

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[246]

Capítulo 8

[246] J A V I E R S E R R A N O

Cuadro 8.17 Flujo de caja del proyecto de financiación – resumen anual

Semestre Desembolso Saldo comienzo Amortización Intereses Comisiones Ahorro en Flujo de caja año final año anuales vencidas impuestos financiamiento

0 3.430.000.000 3.430.000.000

1 3.430.000.000 -186.109.189 -699.072.409 -65.170.000 252.199.995 -698.151.603

2 3.243.890.811 -228.914.303 -656.267.295 -61.633.925 236.907.403 -709.908.121

3 3.014.976.508 -281.564.593 -603.617.006 -57.284.554 218.097.515 -724.368.637

4 2.733.411.915 -346.324.449 -538.857.149 -51.934.826 194.961.352 -742.155.072

5 2.387.087.466 -425.979.072 -459.202.526 -45.354.662 166.503.872 -764.032.388

6 1.961.108.394 -523.954.259 -361.227.339 -37.261.059 131.501.172 -790.941.486

7 1.437.154.136 -644.463.738 -240.717.860 -27.305.929 88.447.850 -824.039.676

8 792.690.398 -792.690.398 -92.491.200 -15.061.118 35.492.265 -864.750.451

Cuadro 8.18 Flujo de caja libre para el inversionista

Año Proyecto inversión Proyecto

financiación Flujo de caja libre, equity

0 -11.300.000.000 3.430.000.000 -7.870.000.000

1 2.225.852.500 -698.151.603 1.527.700.897

2 2.772.186.170 -709.908.121 2.062.278.050

3 3.395.757.715 -724.368.637 2.671.389.078

4 4.105.670.642 -742.155.072 3.363.515.569

5 4.912.016.615 -764.032.388 4.147.984.227

6 5.825.977.904 -790.941.486 5.035.036.418

7 6.859.940.150 -824.039.676 6.035.900.474

8 15.147.965.100 -864.750.451 14.283.214.649

La tasa interna del flujo de caja libre para el inversionista es del 36.09%, resultante de una combinación entre un proyecto que tiene una rentabilidad en sí del 31.34% y un apalancamiento financiero, utilización de la deuda para financiar el proyecto en un 35%, con un costo después de impuestos del 16.93% si se calcula en forma exacta o del 14.39%, utilizando el flujo resumido para cada año, que no tiene en cuenta que la deuda se amortiza en cuotas mensuales y los intereses se pagan mes vencido. e)� ¿Cómo se comparan los resultados anteriores si todos los cálculos se hubieran

hecho mensualmente, tanto para el flujo de caja del proyecto de inversión como para el flujo de caja del proyecto de financiamiento?

En el Cuadro 8.19 se muestran los cálculos de la utilidad operacional mes a mes para los dos primeros años, lo cual se repite para los otros 6 años que comprende la vida útil del proyecto (8 años). En el Cuadro 8.20 se muestran los cálculos del flujo de caja

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[247] [247]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

libre para el proyecto mes a mes para unos meses de muestra. En la última fila se muestran los resultados acumulados de cada una de las componentes del flujo de caja libre para el proyecto cuyos totales coinciden, a manera de verificación, con los mismos totales en el Cuadro 8.15, donde se presenta el flujo de caja calculado año a año. Si se aplica la tasa interna de retorno al flujo de caja libre para el proyecto estimado mes a mes (Cuadro 8.20), la TIR mensual da un valor de 2,57%, equivalente a una rentabilidad anual del 35,60%, que corresponde a la rentabilidad del proyecto en sí independientemente de sus fuentes de financiación, valor bien diferente al que se había obtenido previamente, del 31,34%, cuando los flujos se habían estimado año a año. La diferencia se explica en que en el caso de los cálculos mensuales los flujos se reinvierten anticipadamente, aumentando la rentabilidad del proyecto. A manera de comparación, una rentabilidad del 31,34% nominal anual año vencido se aumenta a un 36,26% efectivo si los cálculos se hacen para el mismo 31.34% nominal anual, pagadero mes vencido, que acerca bastante los valores estimados. Lo anterior pone de manifiesto la importancia del período básico para el cual se va a realizar el análisis. Si el período se acorta (p. ej., mes) se gana en precisión, pero la solución del modelo se vuelve más compleja, ya que hay que tener estados de resultados mensuales y acumular anualmente para simular el cierre del ejercicio anual, calcular impuestos, dividendos a repartir, etc., lo cual puede hacer bastante pesado el modelo. Pasar a un año simplifica el modelo, pero le resta precisión a los resultados, tal y como se acaba de analizar con este ejemplo. En el Cuadro 8.21 se muestran los resultados obtenidos para el flujo de caja libre para el proyecto de inversión, el flujo de caja para el proyecto de financiamiento y el flujo de caja libre para el patrimonio (equity) o para el inversionista. Los totales al final del cuadro, últimas columnas de la derecha, coinciden con los totales que se muestran en el Cuadro 8.18, cuando los flujos se calcularon para períodos anuales.

Caso 2

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[248]

Capítulo 8

[248] J A V I E R S E R R A N O

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8.19

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67.8

12.5

00

67.8

12.5

00

67.8

12.5

00

67.8

12.5

00

67.8

12.5

00

67.8

12.5

00

67.8

12.5

00

67.8

12.5

00

67.8

12.5

00

67.8

12.5

00

67.8

12.5

00

67.8

12.5

00

Cos

tos

fijo

de

ven

tas

efec

tivo

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250.

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250.

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000

250.

000.

000

250.

000.

000

250.

000.

000

250.

000.

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250.

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250.

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263.

750.

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263.

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263.

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263.

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263.

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000

263.

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263.

750.

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263.

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000

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263.

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000

CV

U

7.25

0

7.25

0

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0

7.25

0

7.25

0

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0

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0

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0

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0

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5

7.72

5

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5

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5

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5

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5

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5

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5

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5

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5

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5

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5

Can

tidad

291.

667

291.

667

291.

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291.

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291.

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291.

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291.

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291.

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291.

667

296.

042

296.

042

296.

042

296.

042

296.

042

296.

042

296.

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296.

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296.

042

296.

042

296.

042

296.

042

Prec

io

12.5

00

12.5

00

12.5

00

12.5

00

12.5

00

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00

12.5

00

12.5

00

12.5

00

12.5

00

12.5

00

12.5

00

13.4

51

13.4

51

13.4

51

13.4

51

13.4

51

13.4

51

13.4

51

13.4

51

13.4

51

13.4

51

13.4

51

13.4

51

Mes

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

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15

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www.FreeLibros.me

Page 251: Matematicas financieras y evaluacion de proyectos serrano 2ed

[249] [249]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Cuadro 8.20 Estimación del flujo de caja libre para el proyecto (parcial)

Año UAII UAII*(1-t) Depreciación activos fijos

Amortización preoperativos

Inversión en AF +preoperativos

Inversión en CT Flujo de caja libre para el proyecto

0 -8.500.000.000 -2.800.000.000 -11.300.000.000

1 176.979.167 118.576.042 67.812.500 15.625.000 0 -16.525.833 185.487.708

2 176.979.167 118.576.042 67.812.500 15.625.000 0 -16.525.833 185.487.708

3 176.979.167 118.576.042 67.812.500 15.625.000 0 -16.525.833 185.487.708

4 176.979.167 118.576.042 67.812.500 15.625.000 0 -16.525.833 185.487.708

5 176.979.167 118.576.042 67.812.500 15.625.000 0 -16.525.833 185.487.708

6 176.979.167 118.576.042 67.812.500 15.625.000 0 -16.525.833 185.487.708

7 176.979.167 118.576.042 67.812.500 15.625.000 0 -16.525.833 185.487.708

8 176.979.167 118.576.042 67.812.500 15.625.000 0 -16.525.833 185.487.708

9 176.979.167 118.576.042 67.812.500 15.625.000 0 -16.525.833 185.487.708

10 176.979.167 118.576.042 67.812.500 15.625.000 0 -16.525.833 185.487.708

11 176.979.167 118.576.042 67.812.500 15.625.000 0 -16.525.833 185.487.708

12 176.979.167 118.576.042 67.812.500 15.625.000 0 -16.525.833 185.487.708

13 246.678.044 165.274.290 67.812.500 15.625.000 0 -17.696.275 231.015.514

14 246.678.044 165.274.290 67.812.500 15.625.000 0 -17.696.275 231.015.514

15 246.678.044 165.274.290 67.812.500 15.625.000 0 -17.696.275 231.015.514

16 246.678.044 165.274.290 67.812.500 15.625.000 0 -17.696.275 231.015.514

17 246.678.044 165.274.290 67.812.500 15.625.000 0 -17.696.275 231.015.514

18 246.678.044 165.274.290 67.812.500 15.625.000 0 -17.696.275 231.015.514

52 518.844.925 347.626.100 67.812.500 15.625.000 0 -21.728.882 409.334.718

53 518.844.925 347.626.100 67.812.500 15.625.000 0 -21.728.882 409.334.718

54 518.844.925 347.626.100 67.812.500 15.625.000 0 -21.728.882 409.334.718

55 518.844.925 347.626.100 67.812.500 15.625.000 0 -21.728.882 409.334.718

56 518.844.925 347.626.100 67.812.500 15.625.000 0 -21.728.882 409.334.718

57 518.844.925 347.626.100 67.812.500 15.625.000 0 -21.728.882 409.334.718

58 518.844.925 347.626.100 67.812.500 15.625.000 0 -21.728.882 409.334.718

59 518.844.925 347.626.100 67.812.500 15.625.000 0 -21.728.882 409.334.718

60 518.844.925 347.626.100 67.812.500 15.625.000 0 -21.728.882 409.334.718

85 913.747.721 612.210.973 67.812.500 15.625.000 0 -26.680.434 668.968.039

86 913.747.721 612.210.973 67.812.500 15.625.000 0 -26.680.434 668.968.039

87 913.747.721 612.210.973 67.812.500 15.625.000 0 -26.680.434 668.968.039

88 913.747.721 612.210.973 67.812.500 15.625.000 0 -26.680.434 668.968.039

89 913.747.721 612.210.973 67.812.500 15.625.000 0 -26.680.434 668.968.039

90 913.747.721 612.210.973 67.812.500 15.625.000 0 -26.680.434 668.968.039

91 913.747.721 612.210.973 67.812.500 15.625.000 0 -26.680.434 668.968.039

92 913.747.721 612.210.973 67.812.500 15.625.000 0 -26.680.434 668.968.039

93 913.747.721 612.210.973 67.812.500 15.625.000 0 -26.680.434 668.968.039

94 913.747.721 612.210.973 67.812.500 15.625.000 0 -26.680.434 668.968.039

95 913.747.721 612.210.973 67.812.500 15.625.000 0 -26.680.434 668.968.039

96 913.747.721 612.210.973 67.812.500 15.625.000 2.506.700.000 4.586.968.195 7.789.316.668

Caso 2

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[250]

Capítulo 8

[250] J A V I E R S E R R A N O

Cuadro 8.21 Flujo de caja libre para el proyecto y para el inversionista (resumen)

Mes Flujo de caja libre para el proyecto

Flujo de caja libre para la financiación

Flujo de caja libre para el inversionista

Mes

Flujo de caja libre para el

proyecto

Flujo de caja libre para la financiación

Flujo de caja libre para el inversionista

0 -11.300.000.000 3.430.000.000 -7.870.000.000 49 409.334.718 -73.765.133 335.569.585

1 185.487.708 -73.765.133 111.722.575 50 409.334.718 -73.765.133 335.569.585

2 185.487.708 -73.765.133 111.722.575 51 409.334.718 -73.765.133 335.569.585

3 185.487.708 -73.765.133 111.722.575 52 409.334.718 -73.765.133 335.569.585

4 185.487.708 -73.765.133 111.722.575 53 409.334.718 -73.765.133 335.569.585

5 185.487.708 -73.765.133 111.722.575 54 409.334.718 -73.765.133 335.569.585

6 185.487.708 -73.765.133 111.722.575 55 409.334.718 -73.765.133 335.569.585

7 185.487.708 -73.765.133 111.722.575 56 409.334.718 -73.765.133 335.569.585

8 185.487.708 -73.765.133 111.722.575 57 409.334.718 -73.765.133 335.569.585

9 185.487.708 -73.765.133 111.722.575 58 409.334.718 -73.765.133 335.569.585

10 185.487.708 -73.765.133 111.722.575 59 409.334.718 -73.765.133 335.569.585

11 185.487.708 -73.765.133 111.722.575 60 409.334.718 47.384.077 456.718.795

12 185.487.708 113.264.862 298.752.570 61 485.498.159 -73.765.133 411.733.026

13 231.015.514 -73.765.133 157.250.381 62 485.498.159 -73.765.133 411.733.026

14 231.015.514 -73.765.133 157.250.381 63 485.498.159 -73.765.133 411.733.026

15 231.015.514 -73.765.133 157.250.381 64 485.498.159 -73.765.133 411.733.026

16 231.015.514 -73.765.133 157.250.381 65 485.498.159 -73.765.133 411.733.026

17 231.015.514 -73.765.133 157.250.381 66 485.498.159 -73.765.133 411.733.026

18 231.015.514 -73.765.133 157.250.381 67 485.498.159 -73.765.133 411.733.026

19 231.015.514 -73.765.133 157.250.381 68 485.498.159 -73.765.133 411.733.026

20 231.015.514 -73.765.133 157.250.381 69 485.498.159 -73.765.133 411.733.026

21 231.015.514 -73.765.133 157.250.381 70 485.498.159 -73.765.133 411.733.026

22 231.015.514 -73.765.133 157.250.381 71 485.498.159 -73.765.133 411.733.026

23 231.015.514 -73.765.133 157.250.381 72 485.498.159 20.474.979 505.973.138

24 231.015.514 101.508.344 332.523.858 73 571.661.679 -73.765.133 497.896.546

25 282.979.810 -73.765.133 209.214.676 74 571.661.679 -73.765.133 497.896.546

26 282.979.810 -73.765.133 209.214.676 75 571.661.679 -73.765.133 497.896.546

27 282.979.810 -73.765.133 209.214.676 76 571.661.679 -73.765.133 497.896.546

28 282.979.810 -73.765.133 209.214.676 77 571.661.679 -73.765.133 497.896.546

29 282.979.810 -73.765.133 209.214.676 78 571.661.679 -73.765.133 497.896.546

30 282.979.810 -73.765.133 209.214.676 79 571.661.679 -73.765.133 497.896.546

31 282.979.810 -73.765.133 209.214.676 80 571.661.679 -73.765.133 497.896.546

32 282.979.810 -73.765.133 209.214.676 81 571.661.679 -73.765.133 497.896.546

33 282.979.810 -73.765.133 209.214.676 82 571.661.679 -73.765.133 497.896.546

34 282.979.810 -73.765.133 209.214.676 83 571.661.679 -73.765.133 497.896.546

35 282.979.810 -73.765.133 209.214.676 84 571.661.679 -12.623.212 559.038.468

36 282.979.810 87.047.828 370.027.637 85 668.968.039 -73.765.133 595.202.906

37 342.139.220 -73.765.133 268.374.087 86 668.968.039 -73.765.133 595.202.906

38 342.139.220 -73.765.133 268.374.087 87 668.968.039 -73.765.133 595.202.906

39 342.139.220 -73.765.133 268.374.087 88 668.968.039 -73.765.133 595.202.906

40 342.139.220 -73.765.133 268.374.087 89 668.968.039 -73.765.133 595.202.906

41 342.139.220 -73.765.133 268.374.087 90 668.968.039 -73.765.133 595.202.906

42 342.139.220 -73.765.133 268.374.087 91 668.968.039 -73.765.133 595.202.906

43 342.139.220 -73.765.133 268.374.087 92 668.968.039 -73.765.133 595.202.906

44 342.139.220 -73.765.133 268.374.087 93 668.968.039 -73.765.133 595.202.906

45 342.139.220 -73.765.133 268.374.087 94 668.968.039 -73.765.133 595.202.906

46 342.139.220 -73.765.133 268.374.087 95 668.968.039 -73.765.133 595.202.906

47 342.139.220 -73.765.133 268.374.087 96 7.789.316.668 -53.333.986 7.735.982.682

48 342.139.220 69.261.392 411.400.613Su

ma33.945.366.797 -2.688.347.435 31.257.019.362

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[251] [251]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S 25

C A S O 3

Un proyecto de inversión con una vida útil de 7 años requiere una inversión inicial (fecha cero) de $8.000 millones en activos fijos y de $4.000 millones en capital de trabajo. Así mismo, la empresa ha invertido en gastos preoperativos la suma de $1.000 millones. La inversión en activos fijos se va a depreciar en un 95%, mientras que la inversión en capital de trabajo se va a reapreciar con la inflación, que se estima del 5% durante la vida útil del proyecto. Al final de la vida útil del proyecto se espera vender los activos fijos por un valor de $4.000 millones y recuperar un 90% del capital de trabajo existente en ese momento. La tasa de impuestos corporativa es del 33%. En el Cuadro 8.22 se muestra el EBITDA (utilidad antes de intereses, impuestos, depreciación y amortización de diferidos) proyectado para los próximos 7 años, en el escenario más probable en que se espera opere el proyecto. La tasa de interés de oportunidad (TIO) del inversionista es del 24%, mientras que el costo promedio ponderado de capital (WACC) es del 19.22%. La inversión en activos fijos y en capital de trabajo en la fecha cero se va a financiar parcialmente (40%) con un crédito a 5 años, que se amortiza en dos pagos iguales al final de los años 4 y 5. La tasa de interés del crédito (sobre saldos al comienzo de cada año) es del 18% efectivo, que se paga al final de cada año.

Cuadro 8.22

Año EBITDA01 3.800.000.0002 4.200.000.0003 5.500.000.0004 6.500.000.0005 7.900.000.0006 10.000.000.0007 13.000.000.000

a)� ¿Cuál es el flujo de caja libre para el proyecto de inversión? b)� ¿Cuál es la rentabilidad del proyecto en sí independientemente de sus fuentes de

financiación? c)� ¿Cuál es el valor económico agregado por el proyecto frente a las oportunidades

convencionales que generan una rentabilidad igual a la TIO? d)� ¿Cuál es el valor económico absoluto (EVA) que el proyecto le generaría a la

empresa? e)� ¿Cuál es el flujo de caja libre para el proyecto de financiación? f)� ¿Cuál es el costo del crédito después de impuestos? g)� ¿Cuál es el flujo de caja libre para el inversionista (flujo de caja de los recursos

propios aportados al proyecto)?

Caso 3

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[252]

Capítulo 8

[252] J A V I E R S E R R A N O 26

h)� ¿Cuál es la rentabilidad del inversionista (rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto)?

i)� ¿Usted invertiría en este proyecto? (Justifique su respuesta).

En el Cuadro 8.23 se muestran los datos básicos y algunos cálculos preliminares, tales como montos de depreciación, amortización de preoperativos, utilidad en la enajena-ción de propiedad planta y equipo, impuestos a pagar por esa utilidad, ingreso neto recibido por la venta de los activos fijos al final de la vida útil del proyecto.

Cuadro 8.23

Activo fijo 8.000.000Capital de trabajo 4.000.000Vida útil 7Valor depreciable 95%Valor depreciable 7.600.000Depreciación anual 1.085.714Valor de salvamento 400.000Preoperativos 1.000.000Amortización preoperativos 142.857Tasa de impuestos 33%Venta del activo fijo 4.000.000Utilidad en venta del activo fijo 3.600.000Impuestos venta del activo fijo 1.188.000Ingreso neto venta del activo fijo 2.812.000Recuperación capital de trabajo 90%Inflación 5%TIO = 24%WACC= 19,22%

En el Cuadro 8.24 se muestran la estimación de la inversión inicial y anual en capital de trabajo y los ingresos por su recuperación al final de la vida útil del proyecto, incluyendo el crédito tributario que se obtiene por la pérdida en la recuperación de ese capital de trabajo al final de los 7 años.

Cuadro 8.24

Año Valor CT fin

de año Inversión

bruta en CT Recuperación

CT Ahorro

tributario Inversión

en CT

0 4.000.000 -4.000.000 -4.000.000 1 4.200.000 -200.000 -200.000 2 4.410.000 -210.000 -210.000 3 4.630.500 -220.500 -220.500 4 4.862.025 -231.525 -231.525 5 5.105.126 -243.101 -243.101 6 5.360.383 -255.256 -255.256 7 5.628.402 -268.019 5.065.562 185.737 4.983.280

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[253] [253]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S 27

En el Cuadro 8.25 se muestran los cálculos para determinar la utilidad operativa o utilidad antes de intereses e impuestos a partir del EBITDA (utilidad antes de intereses, impuestos, depreciación y amortización de diferidos).

Cuadro 8.25

Año EBITDA Depreciación AF Amortización dif. UAII

0

1 3.800.000 1.085.714 142.857 2.571.429

2 4.200.000 1.085.714 142.857 2.971.429

3 5.500.000 1.085.714 142.857 4.271.429

4 6.500.000 1.085.714 142.857 5.271.429

5 7.900.000 1.085.714 142.857 6.671.429

6 10.000.000 1.085.714 142.857 8.771.429

7 13.000.000 1.085.714 142.857 11.771.429

En el Cuadro 8.26 se muestran los cálculos necesarios para determinar el flujo de caja libre para el proyecto de inversión (FCLPinversión), a partir de la utilidad operacional después de impuestos sin tener en cuenta el efecto de los gastos financieros sobre los impuestos.

Cuadro 8.26

Año UAII UAII*(1-t) Depreciación AmortizaciónInversión enAF y preop

Inversión en CT

FCLPinversión

0 -9.000.000 -4.000.000 -13.000.000

1 2.571.429 1.722.857 1.085.714 142.857 0 -200.000 2.751.429

2 2.971.429 1.990.857 1.085.714 142.857 0 -210.000 3.009.429

3 4.271.429 2.861.857 1.085.714 142.857 0 -220.500 3.869.929

4 5.271.429 3.531.857 1.085.714 142.857 0 -231.525 4.528.904

5 6.671.429 4.469.857 1.085.714 142.857 0 -243.101 5.455.327

6 8.771.429 5.876.857 1.085.714 142.857 0 -255.256 6.850.172

7 11.771.429 7.886.857 1.085.714 142.857 2.812.000 4.983.280 16.910.708

Las respuestas a las preguntas b), c), d) son: Rentabilidad del proyecto en sí: 29,57% Valor económico relativo: $2.618.244 Valor económico absoluto: $5.538.575 Para estimar la rentabilidad del proyecto en sí, independientemente de sus fuentes de financiamiento, se calcula la tasa interna de retorno del flujo de caja libre para el proyecto, lo cual da un valor del 29.57%.

Caso 3

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[254]

Capítulo 8

[254] J A V I E R S E R R A N O 28

Para calcular el valor económico que el proyecto le agrega a la empresa frente a las oportunidades convencionales que generan la TIO del 24%, se descuenta el flujo de caja libre para el proyecto a esta tasa, lo cual da un valor de $2.618.244. Para calcular el valor económico absoluto (EVA) que el proyecto le agrega a la empresa se descuenta el flujo de caja libre para el proyecto al costo promedio ponderado de capital, supuesto para este problema en un 19,22%, lo cual da un valor de $5.538.575. En el Cuadro 8.27 se muestran los cálculos necesarios para determinar el flujo de caja para el proyecto de financiación y el costo del financiamiento después de impuestos:

Cuadro 8.27

Año Saldo comienzo Amortización Intereses Ahorro imptos. Desembolso Flujo financiación0 4.800.000 4.800.0001 4.800.000 0 -864.000 285.120 0 -578.8802 4.800.000 0 -864.000 285.120 0 -578.8803 4.800.000 0 -864.000 285.120 0 -578.8804 4.800.000 -2.400.000 -864.000 285.120 0 -2.978.8805 2.400.000 -2.400.000 -432.000 142.560 0 -2.689.440

El costo del financiamiento después de impuestos se determina calculando la tasa interna de retorno del flujo de caja del proyecto de financiación (última columna a la derecha), lo cual da un valor del 12,06%. Un cálculo simplificado llevaría al mismo valor, el cual sería: CostoDI = CostoAI * (1- timpuestos) = 18% * (1-0,33) = 12,06% Finalmente, el flujo de caja libre para el inversionista se obtiene superponiendo el proyecto de inversión y el proyecto de financiamiento, tal y como se muestra en el Cuadro 8.28.

Cuadro 8.28

Año FCLP

inversión FC financiación FCLE

0 -13.000.000 4.800.000 -8.200.000

1 2.751.429 -578.880 2.172.549

2 3.009.429 -578.880 2.430.549

3 3.869.929 -578.880 3.291.049

4 4.528.904 -2.978.880 1.550.024

5 5.455.327 -2.689.440 2.765.887

6 6.850.172 0 6.850.172

7 16.910.708 0 16.910.708

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[255] [255]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S 29

La rentabilidad para el inversionista se obtiene calculando la tasa interna de retorno del flujo de caja libre para el inversionista o flujo de caja libre para el patrimonio (equity) o flujo de caja libre para los recursos propios aportados al proyecto, lo cual da un valor del 36,48%, que es la resultante de invertir en un proyecto con una rentabilidad en sí del 29,57%, financiado parcialmente (40%) con un crédito que tiene un costo después de impuestos del 12,06%. La rentabilidad del proyecto no cambia; se aumenta la rentabilidad de los recursos propios que el inversionista aporta al proyecto.

Caso 3

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[257]

���

Capítulo 9

FINANCIAMIENTO DE VIVIENDA La adquisición de vivienda corresponde a una de las decisiones más importantes que toma un individuo o un grupo familiar durante su vida. El financiamiento de esa adquisición se suele hacer con crédito a largo plazo (15 o más años), que como tal tiene características especiales, en términos de amortización y/o pago de intereses, para facilitar al individuo el acceso al crédito en condiciones aceptables, frente a su ingreso mensual. Existen diferentes sistemas de amortización, que dependen de la unidad de cuenta escogida (pesos, UVR, dólar), con efectos diferentes sobre el ingreso del individuo o del grupo familiar en el corto y el largo plazo1. El sistema UPAC2, creado en 1973, entró en crisis por razones que no se exponen en este libro; durante el segundo semestre del año 2000, la Corte Constitucional prohibió los sistemas de financiamiento de vivienda que contemplaran la capitalización de intereses, al mismo tiempo que estableció otra serie de requisitos que deberían cumplir las entidades que otorguen crédito para la adquisición de vivienda y los sistemas que se utilicen para la amortización del crédito. En este capítulo se presentan los fundamentos matemáticos para calcular la cuota a pagar correspondiente a un financiamiento de vivienda, que no son otra cosa que una aplicación especializada de los conceptos cubiertos en los primeros capítulos del libro, especialmente en los capítulos 2, 3 y 4, y la descomposición de esa cuota en pago de interés y amortización a capital. Como tal, en Colombia existen dos posibilidades para financiar la adquisición de vivienda: financiamiento en pesos y financiamiento en unidades de valor real (UVR).

�������������������������������������������������1 Los usuarios del crédito de vivienda no siempre entienden lo que les están cobrando, especialmente cuando las cuotas y los saldos en pesos crecen simultáneamente, tal y como ocurrió en Colombia con el sistema UPAC, creado en 1973, que facilitó el acceso de muchas familias al financiamiento necesario para adquirir una vivienda, y como ocurre con el nuevo sistema alrededor de la unidad de valor real (UVR). �2 UPAC, unidad de poder adquisitivo constante, era una unidad de cuenta especial para el finan-ciamiento de vivienda, inicialmente atada a la inflación, la cual se ajustaba diariamente con el índice de precios al consumidor. Posteriormente se cambió varias veces el sistema de ajuste, llegando en su última etapa a atarse el ajuste, denominado corrección monetaria, a una tasa de mercado (DTF), lo cual ayudó a precipitar la crisis del sistema.

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[258]

Capítulo 9

[258] J A V I E R S E R R A N O

���

a)� Financiamiento en pesos

El crédito se otorga en pesos y se paga en pesos; los sistemas de amortización no pueden contemplar la capitalización de intereses, por lo cual desde el pago de la primera cuota se debe hacer alguna amortización a capital. El valor de la cuota no puede sobrepasar un porcentaje establecido de los ingresos del grupo familiar. La tasa de interés del crédito se mantiene constante dentro de la vigencia del crédito, salvo que se acuerde una disminución de la misma. El plazo para la amortización del crédito puede ir hasta los 30 años, y al comienzo de cada año se puede considerar una reestructuración del crédito, aumentando el plazo remanente.

b)� Financiamiento en unidades de valor real (UVR)

El crédito se otorga en una unidad de cuenta denominada “unidad de valor real” (UVR), la cual se ajusta de acuerdo con la inflación dentro de una metodología elaborada por la Junta Directiva del Banco de la República. Las cuotas, amortización más intereses, se calculan en UVR, no obstante que el valor de la cuota se convierte a pesos, utilizando el valor de la UVR vigente en la fecha de corte. Como en el caso anterior, no puede haber capitalización de intereses en UVR y la tasa de interés en UVR permanece constante durante la vigencia del crédito, salvo que se acuerde una disminución de la misma. Sin embargo, la utilización de la UVR es equivalente a capitalizar la inflación.

M E T O D O L O G Í A G E N E R A L P A R A L A D E T E R M I N A C I Ó N D E L A S C U O T A S A P A G A R ( A M O R T I Z A C I Ó N M Á S I N T E R E S E S )

Con variantes, que se pueden presentar en casos particulares, la metodología general para el cálculo de la cuota a pagar cada mes (amortización más intereses) contempla los siguientes pasos: a)� Definición de la unidad de cuenta bajo la cual se va a manejar el crédito de

vivienda (pesos o UVR).

b)� Establecimiento del plazo del crédito (entre 5 y 30 años).

c)� Definición de la tasa de interés del crédito, la cual se mantendrá constante durante su vigencia.

d)� Establecimiento del sistema de amortización del principal (p. ej., amortización

constante en pesos o en UVR).

e)� Cálculo de los intereses a pagar, los cuales se estiman sobre el saldo del crédito al comienzo del mes para el cual se va a pagar la cuota.

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[259] [259]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Relaciones matemáticas básicas para los cálculos actuariales involucrados...

���

f)� Determinación del valor de la cuota a pagar, sumando la amortización a capital más los intereses del período, calculados estos últimos sobre saldos al comienzo del período.

g)� Establecimiento de una expresión genérica para la cuota de cada mes,

considerando amortización a capital y pago de intereses.

h)� Establecimiento de una relación de equivalencia entre el valor presente de todas las cuotas mensuales, descontadas a la tasa de interés mensual equivalente a la tasa de interés anual del crédito, y el valor del crédito.

i)� A partir de la relación de equivalencia a que se hace referencia en el punto

anterior, establecimiento del valor de la cuota para cada uno de los meses de la vigencia del crédito, en la unidad de cuenta que se haya escogido (pesos o UVR).

R E L A C I O N E S M A T E M Á T I C A S B Á S I C A S P A R A L O S C Á L C U L O S

A C T U A R I A L E S I N V O L U C R A D O S E N E L F I N A N C I A M I E N T O D E V I V I E N D A : U N R E S U M E N

A continuación se presentan las relaciones matemáticas básicas para los cálculos actuariales correspondientes a cada uno de los sistemas de amortización que se analizan posteriormente. La mayoría de estas relaciones se han derivado con anterioridad dentro del libro o como ejercicios de clase. a)� Valor de una serie uniforme infinita, desde cero

�� �

��

0 11

k

k

aa , si �a � < 1

b)� Valor de una serie uniforme infinita, desde uno

a

aa

aa

aak

k

k

k

��

���

���

��� ���� 11

111

11

101

��

c)� Valor de una serie uniforme finita, desde cero

� � �� � ��

��m

k k mk

kkk aaa0 0 1

� �

Se hace el siguiente cambio de variable:

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[260]

Capítulo 9

[260] J A V I E R S E R R A N O

���

i = k – m - 1

Por lo tanto, k = i + m + 1

����

��

��

���

��

��

0

1

0

1

0 11

11

i

im

i

mim

k

k aaa

aa

a a

am

��

��

11 1

d)� Valor de una serie uniforme finita, desde uno

� �� �

��m

k

m

k

kk aa1 0

1 11

1 1

��

��

aam

aaam

����

��

111 1

a

aa m

��

��

1

1

L Í N E A E N P E S O S , A M O R T I Z A C I Ó N C O N S T A N T E D U R A N T E L A V I G E N C I A D E L P R É S T A M O . I N T E R E S E S S O B R E S A L D O S

Corresponde a un sistema clásico de amortización utilizado en el sector financiero, donde la amortización a capital es constante durante todos los meses de la vigencia del crédito; en la medida en que se va amortizando el crédito, van disminuyendo los intereses que se cobran sobre el saldo del crédito que también va decreciendo. Este sistema implica un esfuerzo muy grande al comienzo del crédito, el cual disminuye a medida que se avanza en la amortización del crédito y las cuotas en términos reales disminuyen progresivamente con la inflación. Tampoco utiliza sistema alguno de capitalización de intereses. El comportamiento de la cuota en pesos sigue la programación que se muestra en la Figura 9.1:

Figura 9.1

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[261] [261]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Línea en pesos, cuota mensual uniforme o constante durante toda la vigencia del préstamo...

���

Definiendo:

AJ = valor de la amortización a capital en el j-ésimo mes

AJ = 12)*(N

préstamo) del inicial (Monto = constante

N = Número de años para la amortización del crédito

IJ = Intereses a pagar en el j-ésimo mes

SJ = Saldo de la deuda al comienzo del j-ésimo mes

IJ = SJ * im donde im corresponde al interés mensual que se está utilizando.

SJ = (MIP) - (J-1) * 12)*(N

(MIP)

donde MIP corresponde al monto inicial del préstamo.

Por lo tanto, el valor de la cuota al final del j-ésimo mes, (Cuota)J, estaría dado por:

(Cuota)J = AJ + IJ

(Cuota)J = ���

���

12)*(N(MIP)

* 1)-(J - (MIP) * i + N)*(12

(MIP)m

Suponiendo una tasa de interés constante durante la vigencia del crédito, el valor de la cuota a pagar cada mes, va disminuyendo a medida que se avanza en la amortización del crédito. L Í N E A E N P E S O S , C U O T A M E N S U A L U N I F O R M E O C O N S T A N T E

D U R A N T E T O D A L A V I G E N C I A D E L P R É S T A M O ( “ P A Y M E N T ” )

En este sistema de amortización, la cuota a pagar en cada mes permanece constante durante la vigencia del préstamo, haciendo que el esfuerzo en términos reales sea mayor al comienzo que al final de la vigencia del crédito. Cada cuota contiene amortización y pago de intereses, por lo cual tampoco se utiliza la capitalización de intereses. En la Figura 9.2 se muestra la programación de pagos:

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[262]

Capítulo 9

[262] J A V I E R S E R R A N O

���

Figura 9.2 Cuota mensual constante

Definiendo: (Cuota)J = Cuota a pagar durante el j-ésimo mes N = Número de años im = interés mensual que está utilizando, supuesto constante M = 12 * N = Número de meses para amortizar el crédito Entonces, el valor de la cuota en el j-ésimo mes estaría dado por:

MIP = (Cuota)J *})i+(1*{i

1} - )i+{(1M

mm

Mm

(Cuota)J = MIP *1} - )i+{(1

})i+(1*{iM

m

Mmm

donde MIP corresponde al monto inicial del crédito. L Í N E A E N U V R , C O N U N A C U O T A D E A M O R T I Z A C I Ó N C O N S T A N T E E N U V R

Es la línea más sencilla de concebir en UVR, donde la amortización anual a capital en UVR es la misma para todos los períodos; en términos notacionales: ACj: Amortización a capital en UVR, al finalizar el j-ésimo período (mes) P: Valor del préstamo en UVR M: Plazo total del préstamo en meses

MP

�jAC

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[263] [263]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Línea en UVR, con la cuota de amortización en UVR, decreciente por un factor g

���

Al final del mes se calcula el interés a pagar, teniendo en cuenta el interés pactado en UVR y el saldo de la deuda en UVR; esto es: iu: Interés efectivo anual en UVR

imu: Interés mensual en UVR imu = (1+iu)(1/12) - 1

Su j = Saldo de la deuda en UVR al comienzo del j-ésimo período (antes de

pagar la cuota de amortización) Iuj = Liquidación de los intereses a pagar en UVR al finalizar el j-ésimo

período

Iuj = imu * Suj = imu * ���

��� ��

MP

jP *)1(

La cuota que finalmente paga el cliente cada mes, corresponde a la suma de la cuota en UVR deducida según el procedimiento anterior más el pago de los intereses en UVR, a la tasa pactada, todo ello convertido a pesos según el valor del UVR en la fecha de liquidación; por lo tanto, sería la siguiente:

(Cuota)j = Cuota en pesos al finalizar el j-ésimo mes

(Cuota)j = (ACj + Iuj) * UVRj donde UVRj corresponde al valor de la unidad de valor real al finalizar el j-ésimo período. L Í N E A E N U V R , C O N L A C U O T A D E A M O R T I Z A C I Ó N E N U V R , D E C R E C I E N T E P O R U N F A C T O R G

Sistema de amortización utilizado en el pasado por varias de las anteriores corporaciones de ahorro y vivienda, según el cual la amortización a capital, ACj, que se hace mensualmente va decreciendo según un factor g constante, hasta el vencimiento del préstamo. En este sistema se definen las siguientes relaciones básicas: Sean:

AC: Valor de la primera cuota, de amortización a capital en UVR, que no

incluye el pago de intereses

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[264]

Capítulo 9

[264] J A V I E R S E R R A N O

���

AC2 = AC * g: Valor de la segunda cuota de amortización Tal que g < 1 Factor menor, pero próximo a 1; permanece constante durante la

vigencia del préstamo; por ejemplo, 0.99307 AC3 = AC2 * g = AC * g2 Valor de la tercera amortización ACj = AC * g(j-1) Valor de la j-ésima amortización P: Valor del préstamo en UVR Entonces,

� �� �

� ��n

k

n

k

kk Pgg

ACgAC

1 1

)1( **

Por lo tanto,

Pg

ggg

AC n

��

� �

1*

)1(

Despejando AC, se obtiene el valor de la primera cuota de amortización y por lo tanto de las cuotas de amortización siguientes en UVR.

)1(

)1(*

ng

gPAC

��

Al final del mes se calcula el interés a pagar, teniendo en cuenta el interés pactado en UVR y el saldo de la deuda en UVR, esto es: iu: Interés efectivo anual en UVR imu: Interés mensual en UVR imu = (1+iu)(1/12) - 1

Su j = Saldo de la deuda en UVR al comienzo del j-ésimo período (antes de pagar la cuota de amortización)

Iuj = Liquidación de los intereses a pagar en UVR al finalizar el j-ésimo

período Iuj = imu * Su

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[265] [265]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ejemplo: crédito hipotecario, cuota uniforme en pesos y en UVR

���

La cuota que finalmente paga el cliente cada mes, corresponde a la suma de la cuota de amortización en UVR deducida según el procedimiento anterior más el pago de los intereses en UVR, a la tasa pactada, todo ello convertido a pesos según el valor del UVR en la fecha de liquidación; por lo tanto, sería la siguiente:

(Cuota)j = Cuota en pesos al finalizar el j-ésimo mes (Cuota)j = (ACj + Iuj) * UVRj donde UVRj corresponde al valor de la unidad de valor real al finalizar el j-ésimo período. E J E M P L O : C R É D I T O H I P O T E C A R I O , C U O T A U N I F O R M E E N P E S O S Y E N U V R

a)� Cuota en pesos Un crédito hipotecario a 15 años, con un desembolso de $100.000.000 en la fecha cero; tasa efectiva del crédito en pesos del 19% efectivo anual. El crédito se va a amortizar mensualmente en cuotas mensuales uniformes (iguales), durante los 180 meses de su vigencia. Tasa de interés: 19% efectivo anual Tasa de interés (mensual): (1+0,19)1/12 – 1 = 0,0146 = 1,46%

Cuota mensual= ]1)0146,01[(

])0146,01(*0146,0[*000.000.100 180

180

���

Cuota mensual = $100.000.000 * 0,015762 = $1.576.151 También se hubiera podido obtener utilizando la función “Pago” de Excel: Cuota mensual = PAGO[0,0146;180;100.000.000] En el Cuadro 9.1 se muestra el saldo al comienzo de cada mes, la cuota uniforme que se paga y su descomposición en términos de interés y amortización a capital. En la última fila se muestra un resumen en valores nominales y se comprueba la amorti-zación de los $100.000.000.

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[266]

Capítulo 9

[266] J A V I E R S E R R A N O

����

Cuadro 9.1 Cronograma de amortización del crédito

Mes Saldo

comienzo Cuota Interés Amortización

0

1 100.000.000 1.576.151 1.460.169 115.983

2 99.884.017 1.576.151 1.458.475 117.676

3 99.766.341 1.576.151 1.456.757 119.395

4 99.646.946 1.576.151 1.455.014 121.138

5 99.525.808 1.576.151 1.453.245 122.907

6 99.402.902 1.576.151 1.451.450 124.701

7 99.278.200 1.576.151 1.449.629 126.522

8 99.151.678 1.576.151 1.447.782 128.370

118 64.634.586 1.576.151 943.774 632.378

119 64.002.208 1.576.151 934.540 641.611

120 63.360.597 1.576.151 925.172 650.980

121 62.709.617 1.576.151 915.666 660.485

122 62.049.132 1.576.151 906.022 670.129

123 61.379.002 1.576.151 896.237 679.915

176 7.546.967 1.576.151 110.198 1.465.953

177 6.081.014 1.576.151 88.793 1.487.358

178 4.593.656 1.576.151 67.075 1.509.076

179 3.084.580 1.576.151 45.040 1.531.111

180 1.553.468 1.576.151 22.683 1.553.468

Suma 283.707.268 183.707.268 100.000.000

La descomposición de una cuota entre pago a interés y pago por amortización a capital se hubiera podido obtener utilizando dos funciones de Excel; a manera de ejemplo, para la cuota 120: Pago por amortización a capital = PAGOPRIN[0,0146;120;180;100.000.000] Pago por amortización a capital = $650.980 Pago interés = PAGOINT[0,0146;120;180;100.000.000] = $925.172 Esto es, la cuota uniforme que se espera pagar en el mes 120, de $1.576.151, se descompone entre un pago de intereses por valor de $925.172 y un pago por amortización a capital por valor de $650.980. En la Figura 9.3 se muestra la descomposición entre amortización a capital e interés, para los 180 meses de duración del crédito.

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[267] [267]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ejemplo: crédito hipotecario, cuota uniforme en pesos y en UVR

����

b)� Cuota en UVR Los datos básicos para un crédito equivalente en UVR, desembolsado el 26 de octubre de 2009, cuando el valor de la UVR era de $186,7159 son los siguientes: Crédito: $100.000.000 Valor de la UVR, el 26/10/2009: $186,7159 Crédito en UVR: 535.573,03 UVR Inflación esperada: 4% Tasa de interés en pesos: 19% Tasa de interés en UVR: 14,42% Tasa de interés mensual en UVR: 1,13% Número de años: 15 Número de meses: 180 Cuota en UVR: 6.970,97, utilizando la función “Pago” de Excel, para un saldo de 535.573,03 UVR, con una tasa de interés en UVR del 1,13% mensual y 180 meses. En el Cuadro 9.2 se muestra el valor de la cuota, su descomposición en términos de pago de interés y amortización a capital, bajo el supuesto de un crecimiento mensual del valor de la UVR equivalente a una inflación anual del 4%.

Figura 9.3 Descomposición de la cuota entre pago por interés y amortización a capital

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[268]

Capítulo 9

[268] J A V I E R S E R R A N O

����

Cuadro 9.2 Crédito en UVR: cronograma de amortización del crédito

Mes Saldo

comienzo Cuota del

mes Interés

Amortización UVR

Valor UVR fin mes

Saldo comienzo Cuota pesos Interés pesos Amortización

pesos-

0 186,72

1 535.573 6.970,97 6.047 924 187,33 100.000.000 1.305.852 1.132.795 173.057

2 534.649 6.970,97 6.037 934 187,94 100.154.317 1.310.127 1.134.543 175.584

3 533.715 6.970,97 6.026 945 188,56 100.306.612 1.314.416 1.136.268 178.148

4 532.770 6.970,97 6.015 955 189,17 100.456.842 1.318.719 1.137.970 180.749

5 531.815 6.970,97 6.005 966 189,79 100.604.962 1.323.036 1.139.648 183.388

6 530.848 6.970,97 5.994 977 190,41 100.750.928 1.327.367 1.141.301 186.066

7 529.871 6.970,97 5.983 988 191,04 100.894.694 1.331.713 1.142.930 188.783

8 528.883 6.970,97 5.972 999 191,66 101.036.214 1.336.073 1.144.533 191.540

9 527.884 6.970,97 5.960 1.011 192,29 101.175.441 1.340.446 1.146.110 194.336

115 323.129 6.970,97 3.648 3.323 271,91 87.573.758 1.895.443 992.031 903.412

116 319.806 6.970,97 3.611 3.360 272,80 86.957.040 1.901.648 985.045 916.603

117 316.446 6.970,97 3.573 3.398 273,69 86.325.112 1.907.873 977.886 929.987

118 313.048 6.970,97 3.535 3.436 274,58 85.677.730 1.914.119 970.553 943.566

119 309.612 6.970,97 3.496 3.475 275,48 85.014.651 1.920.386 963.041 957.344

120 306.137 6.970,97 3.457 3.514 276,39 84.335.622 1.926.672 955.349 971.323

121 302.623 6.970,97 3.417 3.554 277,29 83.640.392 1.932.980 947.474 985.506

122 299.069 6.970,97 3.377 3.594 278,20 82.928.703 1.939.308 939.412 999.896

123 295.474 6.970,97 3.336 3.635 279,11 82.200.295 1.945.657 931.161 1.014.496

124 291.840 6.970,97 3.295 3.676 280,02 81.454.901 1.952.026 922.717 1.029.309

125 288.164 6.970,97 3.254 3.717 280,94 80.692.254 1.958.417 914.078 1.044.339

174 46.666 6.970,97 527 6.444 329,73 15.337.036 2.298.571 173.737 2.124.834

175 40.221 6.970,97 454 6.517 330,81 13.262.412 2.306.096 150.236 2.155.860

176 33.705 6.970,97 381 6.590 331,90 11.149.970 2.313.645 126.306 2.187.339

177 27.114 6.970,97 306 6.665 332,98 8.999.133 2.321.220 101.942 2.219.278

178 20.449 6.970,97 231 6.740 334,07 6.809.316 2.328.819 77.136 2.251.683

179 13.709 6.970,97 155 6.816 335,17 4.579.924 2.336.443 51.881 2.284.561

180 6.893 6.970,97 78 6.893 336,26 2.310.356 2.344.092 26.172 2.317.920

Suma 1.254.774 719.201 535.573 319.485.868

Observe que el crédito se amortiza totalmente tanto en pesos como en UVR; sin embargo, la suma en pesos de todas las cuotas equivalentes en pesos que se pagan durante los 180 meses ($319.485.868) es mayor que la suma de todas las cuotas en pesos cuando el sistema era en pesos ($283.707.268), diferencia que va aumentando con la tasa de interés. En la Figura 9.4 se muestra la comparación entre las cuotas en pesos de los dos sistemas; al comienzo la cuota equivalente en pesos del sistema UVR es menor; sin embargo, después de cierto tiempo la situación cambia y la cuota mensual del sistema en pesos se vuelve menor. Por ello el sistema en pesos implica un mayor esfuerzo al comienzo que se ve compensado posteriormente. En la Figura 9.5 se muestra la comparación de los saldos en pesos, de los dos sistemas:

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[269] [269]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

El saldo en pesos del sistema en pesos cae paulatinamente mientras el saldo equivalente en pesos del sistema UVR aumenta inicialmente para caer con posterioridad; el aumento por encima del valor equivalente en pesos será mayor en la medida en que aumenten las tasas de interés, como se observa en la Figura 9.5:

Figura 9.5 Saldo del crédito como función del tiempo

Ejemplo: crédito hipotecario, cuota uniforme en pesos y en UVR

Figura 9.4 Comparación de la cuota, entre los créditos en pesos y en UVR

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[270]

Capítulo 9

[270] J A V I E R S E R R A N O

����

C U O T A U N I F O R M E C O N C R E C I M I E N T O C O N S T A N T E D E U N A Ñ O A L S I G U I E N T E

La cuota es constante o uniforme durante el año; sin embargo, crece con la inflación de un año al siguiente. Los valores iniciales son idénticos al financiamiento en pesos, esto es, un crédito hipotecario a 15 años, con un desembolso de $100.000.000 en la fecha cero; tasa efectiva del crédito en pesos del 19% efectivo anual; el crédito se va a amortizar mensualmente en cuotas mensuales uniformes (iguales) durante el año, que incrementan de un año al siguiente con la inflación. Para encontrar el valor de la cuota del primer año se utiliza la siguiente expresión:

100.000.000 = Cuota1 * �

���

���

���

����

����

� ����

���

��

1512

19,0105,01(

1*0146,0

1)0146,01()05,019,0(

1

100.000.000 = Cuota1 * 7,142* 13,01* 0,85 Despejando, se obtiene: Cuota1 = $1.270.234 El mismo valor se hubiera obtenido dibujando todo el flujo como ocurre en la realidad, con los aumentos anuales (cada 12 meses) iguales a la inflación del 5%, a partir de un supuesto sobre el valor de la cuota del año 1 (Cuota1); con el flujo así construido se utiliza la función “Buscar objetivo” de Excel, donde el objetivo es obtener un valor presente neto igual a $100.000.000, correspondiente a las 180 cuotas mensuales, con una tasa de interés mensual del 1,46%. En la Figura 9.6 se muestra la comparación entre el sistema de cuota uniforme (constante) a lo largo de la vida del crédito y el sistema de cuota uniforme anual, que permanece constante durante el año, pero se incrementa de un año al siguiente con la inflación. El segundo sistema muestra un alivio en el valor de la cuota durante los primeros años, para terminar pagando un mayor valor de la cuota al final, como efecto de la capitalización implícita de intereses, que aumenta el saldo del crédito. Como consecuencia de lo anterior, un crédito con cuota uniforme anual, que incremente de un año al siguiente, puede ser ilegal en Colombia, en la medida en que implica capitalización de intereses y aumento del saldo del crédito en la unidad en que fue desembolsado (pesos), lo cual se encuentra expresamente prohibido como consecuencia de fallos de la Corte Constitucional al respecto. En el Cuadro 9.3 se observa cómo se da la capitalización de intereses y el aumento del saldo del crédito.

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[271] [271]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Cuota uniforme con crecimiento constante de un año al siguiente

����

Cuadro 9.3 Cuota uniforme creciente de un año al siguiente

Cronograma de amortización del crédito

Mes Saldo comienzo Cuota Interés Amortización

0

1 100.000.000 1.270.234 1.460.169 -189.934

2 100.189.934 1.270.234 1.462.942 -192.708

3 100.382.642 1.270.234 1.465.756 -195.521

4 100.578.163 1.270.234 1.468.611 -198.376

5 100.776.540 1.270.234 1.471.507 -201.273

6 100.977.813 1.270.234 1.474.446 -204.212

7 101.182.025 1.270.234 1.477.428 -207.194

8 101.389.219 1.270.234 1.480.454 -210.219

9 101.599.438 1.270.234 1.483.523 -213.289

10 101.812.727 1.270.234 1.486.638 -216.403

11 102.029.130 1.270.234 1.489.797 -219.563

12 102.248.693 1.270.234 1.493.003 -222.769

13 102.471.462 1.333.746 1.496.256 -162.510

120 90.112.061 1.970.551 1.315.788 654.762

121 89.457.298 2.069.078 1.306.227 762.851

122 88.694.448 2.069.078 1.295.089 773.989

123 87.920.458 2.069.078 1.283.787 785.291

124 87.135.167 2.069.078 1.272.320 796.758

125 86.338.410 2.069.078 1.260.686 808.392

126 85.530.018 2.069.078 1.248.883 820.195

127 84.709.823 2.069.078 1.236.906 832.172

176 12.042.276 2.514.977 175.838 2.339.140

177 9.703.137 2.514.977 141.682 2.373.295

178 7.329.841 2.514.977 107.028 2.407.949

179 4.921.892 2.514.977 71.868 2.443.109

180 2.478.783 2.514.977 36.194 2.478.783

Suma 328.918.013 228.918.013 100.000.000

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[272]

Capítulo 9

[272] J A V I E R S E R R A N O

Figura 9.6 Comportamiento de la cuota en los dos sistemas

Figura 9.7 Crédito con cuota uniforme creciente de un año al siguiente

Comportamiento del saldo del crédito

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[273] [273]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Beneficios fiscales a través de una cuenta de ahorro para el fomento de la construcción

����

B E N E F I C I O S F I S C A L E S A T R A V É S D E U N A C U E N T A D E A H O R R O P A R A E L F O M E N T O D E L A C O N S T R U C C I Ó N

El Estatuto Tributario de la República de Colombia establece un beneficio tributario a las personas que ahorren en una cuenta AFC (ahorro para el fomento de la construcción); la suma ahorrada se considera que no es un ingreso para propósitos tributarios, con la condición de que esa suma no se retire antes de cinco años, salvo que la misma se utilice para pagar parcial o totalmente una vivienda o para pagar la cuota de un crédito hipotecario, que se haya utilizado para adquirir vivienda. El beneficio es doble porque además del estímulo anterior continúan siendo deducibles los gastos financieros pagados al establecimiento de crédito en el transcurso del año, con un tope que establece el mismo marco legal. El valor presente de los dos beneficios es alto, como se verá en el ejemplo, y representa un porcentaje apreciable del monto del crédito en valor presente. El artículo 7º. del Decreto Reglamentario 2577 de 1999, del 23 de diciembre, estableció:

Las sumas que destine el trabajador al ahorro a largo plazo en las cuentas de ahorro denominadas ahorro para el fomento de la construcción AFC, no harán parte de la base para aplicar la retención en la fuente y serán consideradas como un ingreso no constitutivo de renta ni ganancia ocasional, hasta una suma que no exceda del treinta por ciento (30%) de su ingreso laboral o ingreso tributario del año.

En el Cuadro 9.4 se muestran, a manera de ejemplo, los resultados correspondientes al valor presente de los ahorros que se obtienen por el doble beneficio tributario relacionados con el ahorro y pago de un crédito tributario a través de una cuenta AFC y con la deducibilidad de los intereses pagados por el correspondiente crédito hipotecario, para una persona natural que toma el crédito del numeral 9.8, por un valor de $100.000.000, con una cuota uniforme a lo largo de la vida del crédito (180 meses) y una tasa de interés del 19% efectivo. En el ejemplo se ha supuesto una persona natural con un sueldo de $15.000.000 mensuales, que permanece constante durante el año y aumenta de un año al siguiente en un porcentaje igual a la inflación. Se suponen unos porcentajes de aportes a un fondo obligatorio de pensiones y al fondo de solidaridad pensional, del 3,75% y el 1% respectivamente. Para ambos casos, sin cuenta AFC y sin crédito hipotecario (II), y con cuenta AFC y con crédito tributario (I), se calculan las bases gravables, y los impuestos a pagar en las columnas marcadas respectivamente como “2B”, “2I” y “1B”, “1I”. Para el primer caso, sin cuenta AFC y sin crédito hipotecario (II), la base gravable se determina teniendo en cuenta los aportes obligatorios al fondo de pensiones y al fondo de solidaridad y una deducción general del 30%. Para el segundo caso, con cuenta AFC y con crédito tributario (I), la base gravable se

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[274]

Capítulo 9

[274] J A V I E R S E R R A N O

����

calcula teniendo en cuenta que la cuota pagada a través de una cuenta AFC es un ingreso que no constituye renta ni ganancia ocasional; también se tiene en cuenta la deducción de los intereses en la cuota del crédito tributario. En ambos casos se utiliza una tasa de tributación del 30%.

Cuadro 9.4 Determinación de la base gravable y los impuestos a pagar

Mes Cuota Interés Sueldo Aporte

obligatorio pensión

Fondo de solidaridad pensional

Base 1 Salario para impuesto

Valor exento de impuestos

Base 1 Menos valor

exento

0 3,75% 1,00% 30,00%

1 1.576.151 1.460.169 15.000.000 562.500 150.000 12.711.349 3.813.405 8.897.944

2 1.576.151 1.458.475 15.000.000 562.500 150.000 12.711.349 3.813.405 8.897.944

3 1.576.151 1.456.757 15.000.000 562.500 150.000 12.711.349 3.813.405 8.897.944

4 1.576.151 1.455.014 15.000.000 562.500 150.000 12.711.349 3.813.405 8.897.944

5 1.576.151 1.453.245 15.000.000 562.500 150.000 12.711.349 3.813.405 8.897.944

6 1.576.151 1.451.450 15.000.000 562.500 150.000 12.711.349 3.813.405 8.897.944

7 1.576.151 1.449.629 15.000.000 562.500 150.000 12.711.349 3.813.405 8.897.944

8 1.576.151 1.447.782 15.000.000 562.500 150.000 12.711.349 3.813.405 8.897.944

9 1.576.151 1.445.907 15.000.000 562.500 150.000 12.711.349 3.813.405 8.897.944

10 1.576.151 1.444.006 15.000.000 562.500 150.000 12.711.349 3.813.405 8.897.944

11 1.576.151 1.442.076 15.000.000 562.500 150.000 12.711.349 3.813.405 8.897.944

12 1.576.151 1.440.118 15.000.000 562.500 150.000 12.711.349 3.813.405 8.897.944

13 1.576.151 1.438.132 15.750.000 590.625 157.500 13.425.724 4.027.717 9.398.006

14 1.576.151 1.436.117 15.750.000 590.625 157.500 13.425.724 4.027.717 9.398.006

15 1.576.151 1.434.072 15.750.000 590.625 157.500 13.425.724 4.027.717 9.398.006

16 1.576.151 1.431.997 15.750.000 590.625 157.500 13.425.724 4.027.717 9.398.006

17 1.576.151 1.429.892 15.750.000 590.625 157.500 13.425.724 4.027.717 9.398.006

18 1.576.151 1.427.757 15.750.000 590.625 157.500 13.425.724 4.027.717 9.398.006

19 1.576.151 1.425.590 15.750.000 590.625 157.500 13.425.724 4.027.717 9.398.006

20 1.576.151 1.423.392 15.750.000 590.625 157.500 13.425.724 4.027.717 9.398.006

21 1.576.151 1.421.161 15.750.000 590.625 157.500 13.425.724 4.027.717 9.398.006

22 1.576.151 1.418.898 15.750.000 590.625 157.500 13.425.724 4.027.717 9.398.006

23 1.576.151 1.416.602 15.750.000 590.625 157.500 13.425.724 4.027.717 9.398.006

24 1.576.151 1.414.272 15.750.000 590.625 157.500 13.425.724 4.027.717 9.398.006

170 1.576.151 232.315 29.698.974 1.113.712 296.990 26.712.121 8.013.636 18.698.485

171 1.576.151 212.692 29.698.974 1.113.712 296.990 26.712.121 8.013.636 18.698.485

172 1.576.151 192.783 29.698.974 1.113.712 296.990 26.712.121 8.013.636 18.698.485

173 1.576.151 172.584 29.698.974 1.113.712 296.990 26.712.121 8.013.636 18.698.485

174 1.576.151 152.089 29.698.974 1.113.712 296.990 26.712.121 8.013.636 18.698.485

175 1.576.151 131.296 29.698.974 1.113.712 296.990 26.712.121 8.013.636 18.698.485

176 1.576.151 110.198 29.698.974 1.113.712 296.990 26.712.121 8.013.636 18.698.485

177 1.576.151 88.793 29.698.974 1.113.712 296.990 26.712.121 8.013.636 18.698.485

178 1.576.151 67.075 29.698.974 1.113.712 296.990 26.712.121 8.013.636 18.698.485

179 1.576.151 45.040 29.698.974 1.113.712 296.990 26.712.121 8.013.636 18.698.485

180 1.576.151 22.683 29.698.974 1.113.712 296.990 26.712.121 8.013.636 18.698.485

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[275] [275]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Beneficios fiscales a través de una cuenta de ahorro para el fomento de la construcción

����

Cuadro 9.4 (cont.) Determinación de la base gravable y los impuestos a pagar

Mes Gastos

financieros

Salario base

gravable “1B”

Impuesto a pagar “1I”

30,00%

Impuesto a pagar “2I”

30,00%

Base 2 Salario para impuesto

Exento de impuestos 30,00%

Base 2 Menos valor

exento "2B"

0

1 1.460.169 7.437.775 2.231.333 3.000.375 14.287.500 4.286.250 10.001.250

2 1.458.475 7.439.469 2.231.841 3.000.375 14.287.500 4.286.250 10.001.250

3 1.456.757 7.441.187 2.232.356 3.000.375 14.287.500 4.286.250 10.001.250

4 1.455.014 7.442.930 2.232.879 3.000.375 14.287.500 4.286.250 10.001.250

5 1.453.245 7.444.699 2.233.410 3.000.375 14.287.500 4.286.250 10.001.250

6 1.451.450 7.446.494 2.233.948 3.000.375 14.287.500 4.286.250 10.001.250

7 1.449.629 7.448.315 2.234.494 3.000.375 14.287.500 4.286.250 10.001.250

8 1.447.782 7.450.162 2.235.049 3.000.375 14.287.500 4.286.250 10.001.250

9 1.445.907 7.452.037 2.235.611 3.000.375 14.287.500 4.286.250 10.001.250

10 1.444.006 7.453.938 2.236.182 3.000.375 14.287.500 4.286.250 10.001.250

11 1.442.076 7.455.868 2.236.760 3.000.375 14.287.500 4.286.250 10.001.250

12 1.440.118 7.457.826 2.237.348 3.000.375 14.287.500 4.286.250 10.001.250

13 1.438.132 7.959.874 2.387.962 3.150.394 15.001.875 4.500.563 10.501.313

14 1.436.117 7.961.890 2.388.567 3.150.394 15.001.875 4.500.563 10.501.313

15 1.434.072 7.963.935 2.389.180 3.150.394 15.001.875 4.500.563 10.501.313

16 1.431.997 7.966.009 2.389.803 3.150.394 15.001.875 4.500.563 10.501.313

17 1.429.892 7.968.114 2.390.434 3.150.394 15.001.875 4.500.563 10.501.313

18 1.427.757 7.970.250 2.391.075 3.150.394 15.001.875 4.500.563 10.501.313

19 1.425.590 7.972.416 2.391.725 3.150.394 15.001.875 4.500.563 10.501.313

20 1.423.392 7.974.615 2.392.384 3.150.394 15.001.875 4.500.563 10.501.313

21 1.421.161 7.976.845 2.393.054 3.150.394 15.001.875 4.500.563 10.501.313

22 1.418.898 7.979.109 2.393.733 3.150.394 15.001.875 4.500.563 10.501.313

23 1.416.602 7.981.405 2.394.421 3.150.394 15.001.875 4.500.563 10.501.313

24 1.414.272 7.983.734 2.395.120 3.150.394 15.001.875 4.500.563 10.501.313

170 232.315 18.466.170 5.539.851 5.940.537 28.288.273 8.486.482 19.801.791

171 212.692 18.485.793 5.545.738 5.940.537 28.288.273 8.486.482 19.801.791

172 192.783 18.505.701 5.551.710 5.940.537 28.288.273 8.486.482 19.801.791

173 172.584 18.525.901 5.557.770 5.940.537 28.288.273 8.486.482 19.801.791

174 152.089 18.546.395 5.563.919 5.940.537 28.288.273 8.486.482 19.801.791

175 131.296 18.567.189 5.570.157 5.940.537 28.288.273 8.486.482 19.801.791

176 110.198 18.588.286 5.576.486 5.940.537 28.288.273 8.486.482 19.801.791

177 88.793 18.609.692 5.582.908 5.940.537 28.288.273 8.486.482 19.801.791

178 67.075 18.631.410 5.589.423 5.940.537 28.288.273 8.486.482 19.801.791

179 45.040 18.653.445 5.596.033 5.940.537 28.288.273 8.486.482 19.801.791

180 22.683 18.675.802 5.602.740 5.940.537 28.288.273 8.486.482 19.801.791

Suma 662.234.686 776.925.393

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[276]

Capítulo 9

[276] J A V I E R S E R R A N O

����

Las dos columnas, marcadas respectivamente como “1I” y “2I”, muestran los impuestos a pagar en cada caso. En el Cuadro 9.5 se muestran los impuestos acumulados por año y el ahorro en impuestos por año, que se obtendría al utilizar los dos beneficios tributarios.

Cuadro 9.5 Estimación de los beneficios tributarios, cuentas AFC

Año Impuestos apagar “1I”

Impuestos apagar “2I”

Ahorro enimpuestos

1 26.811.210 36.004.500 9.193.290

2 28.697.459 37.804.725 9.107.266

3 30.690.064 39.694.961 9.004.898

4 32.796.630 41.679.709 8.883.079

5 35.025.579 43.763.695 8.738.115

6 37.386.271 45.951.880 8.565.608

7 39.889.149 48.249.473 8.360.325

8 42.545.909 50.661.947 8.116.038

9 45.369.709 53.195.045 7.825.336

10 48.375.396 55.854.797 7.479.401

11 51.579.798 58.647.537 7.067.738

12 55.002.054 61.579.913 6.577.859

13 58.664.005 64.658.909 5.994.904

14 62.590.668 67.891.855 5.301.186

15 66.810.784 71.286.447 4.475.663

Suma 662.234.686 776.925.393 114.690.707

El valor presente del ahorro anual en impuestos, al descontar ese ahorro a una tasa de descuento igual al costo del crédito (19%), da un valor de $41.325.779, que corresponde a un 41,32% del monto del crédito. E J E R C I C I O S

1. Un crédito hipotecario a 15 años, con un desembolso de $180.000.000, y una

tasa de interés efectivo anual del 17%, se va a amortizar en cuotas mensuales durante 15 años (180 cuotas), con un sistema de cuota uniforme, esto es, que permanece constante durante la vigencia del crédito. ¿Cuál es el monto de la cuota? ¿Cuál es el saldo, al finalizar el año 7? (Cuota, $2.619.047; saldo, $142.235.654).

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[277] [277]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ejercicios

2. Para el crédito del problema 1, ¿cómo cambia la cuota si el número de años para amortizar el crédito es igual a 10, 15, 18, 20? ¿Cómo cambia si la tasa de interés varía a 15%, a 20% y a 30%? ¿Qué conclusiones saca sobre la conveniencia de ampliar el plazo del crédito? La tabla que se presenta a continuación resume la respuesta a las preguntas que se están formulando:

Número de

años Cuota Tasa =

15% Cuota Tasa =

17% Cuota Tasa =

20% Cuota Tasa =

30%

10 2.801.066 2.993.235 3.286.491 4.289.989

15 2.404.141 2.619.047 2.946.980 4.058.082

18 2.294.057 2.519.818 2.863.251 4.014.500

20 2.245.911 2.477.767 2.829.510 3.999.847

3. Para el crédito del problema 1, ¿cómo se descompone la cuota 120 entre inte-

reses y amortización a capital? (Interés, $1.439.998; amortización a capital, $1.179.049).

4. Para el crédito del problema 1, ¿cómo se descompone la cuota entre amorti-zación a capital y pago de intereses? La figura 9.8 muestra la descomposición que se está solicitando:

Figura 9.8

Descomposición de la cuota entre intereses y amortización a capital

5. Un crédito hipotecario a 20 años, con un desembolso de $250.000.000, y una

tasa de interés efectivo anual del 18%, se va a amortizar en cuotas mensuales durante 20 años (240 cuotas), con un sistema de cuota uniforme, esto es, que permanece constante durante la vigencia del crédito. ¿Cuál es el monto de la cuota? ¿Cuál es el saldo, al finalizar el año 10? (Cuota, $3.603.662; saldo, $209 886 279)

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[278]

Capítulo 9

[278] J A V I E R S E R R A N O

6. Un crédito hipotecario a 20 años, con un desembolso de $250.000.000, y una tasa de interés efectiva anual del 18%, se va a amortizar en cuotas mensuales durante 20 años (240 cuotas), con un sistema de cuota uniforme, esto es, que permanece constante durante la vigencia del crédito. ¿Cómo se descompone la cuota del mes 120, entre interés y amortización a capital? (Interés, $2.924.561; amortización a capital, $679.100).

7. Un crédito hipotecario por un monto de $180.000.000 y con un plazo a 15 años se va a amortizar en cuotas mensuales iguales (180 cuotas). La tasa de interés del crédito es del 17% efectivo anual; el sistema de amortización es de amortización constante durante la vida del crédito; por lo tanto, la cuota disminuye paulatinamente a lo largo de la vida del crédito. ¿Cuál es el monto de la cuota para el mes 12? ¿Cómo se descompone entre interés y amortización a capital? (Cuota, $3.225.664; interés, $2.256.664; amortización a capital, $1.000.000).

8. Para el problema 7, ¿cuál es el saldo del crédito al finalizar el año 7 (mes 84)? ¿Cómo se compara con el saldo de un crédito, con las mismas condiciones, excepto que se sigue un sistema de amortización uniforme (constante) a lo largo de la vida del crédito? (El saldo en las condiciones del crédito del problema 7, al finalizar el mes 84, sería de $96.000.000, inferior al saldo a la misma fecha para el crédito con cuota uniforme, $142.971.817).

9. Compare el comportamiento de la cuota para los créditos de los problemas 1 y 7. ¿Qué le sugiere la comparación anterior sobre la conveniencia de una modalidad frente a la otra? La comparación se presenta en la figura 9.9:

Figura 9.9

Comparación, cuota uniforme y amortización constante

����

10. Compare el comportamiento de los saldos de los créditos de los problemas 1 y 7. ¿Qué le sugiere la comparación anterior sobre la conveniencia de una mo-dalidad frente a la otra? La comparación se presenta en la figura 9.10:

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[279] [279]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Figura 9.10 Comparación, saldos, cuota uniforme y amortización constante

Ejercicios

����

11. Suponga un crédito hipotecario a 15 años, con un desembolso de

$180.000.000, utilizando como unidad de cuenta la UVR; su valor el día del desembolso, 26 de octubre de 2009, es igual a $186,7159. La tasa de interés efectivo anual del crédito, sobre UVR, es del 11,43%; el crédito se va a pagar en cuotas mensuales durante 15 años (180 cuotas), con un sistema de cuota uniforme en UVR, esto es, que permanece constante durante la vigencia del crédito. ¿Cuál es el monto de la cuota en UVR? ¿Cuál es el monto de la cuota 84, en pesos, suponiendo que la UVR va a crecer con una tasa de crecimiento mensual equivalente a una inflación anual del 5%? (El monto de la cuota 84, en UVR, es de 10.878,76 UVR; el valor de la cuota 84 en pesos sería de $2.858.156).

12. ¿Cómo se compara la cuota a pagar en el problema 11 y en el problema 1? La comparación se muestra en la figura 9.11:

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[280]

Capítulo 9

[280] J A V I E R S E R R A N O

Figura 9.11 Comparación entre la cuota uniforme en pesos y el equivalente

en pesos de la cuota uniforme en UVR

� ¿Qué le sugiere la comparación entre los dos sistemas, cuota uniforme en pesos y cuota uniforme en UVR?

13. Para el problema 11, ¿cómo evoluciona el saldo del crédito desembolsado en UVR, en pesos? Compare su evolución con el saldo, en el caso del problema 1, cuando el crédito se desembolsa en pesos. La comparación se muestra en la figura 9.12:

Figura 9.12

Comparación entre los saldos cuotas uniformes en pesos y en UVR

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[281] [281]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

����

14. Suponga un crédito hipotecario a 20 años, con un desembolso de $180.000.000, utilizando como unidad de cuenta la UVR; su valor el día del desembolso, 26 de octubre de 2009, es igual a $186,7159. La tasa de interés efectivo anual del crédito, sobre UVR, es del 15%; el crédito se va a pagar en cuotas mensuales iguales durante 20 años (240 cuotas), con un sistema de cuota uniforme en UVR, esto es, que permanece constante durante la vigencia del crédito. ¿Cuál es el monto de la cuota en UVR? Cuál es el monto de la cuota 120, en pesos, suponiendo que la UVR va a crecer con una tasa de crecimiento mensual equivalente a una inflación anual del 6%? ¿Cuál es el saldo del crédito, en pesos, después del pago de la cuota 120? (El monto de la cuota 120, en UVR, es de 12.028,49 UVR; el valor de la cuota 120 en pesos sería de $4.022.084; el saldo en pesos sería de $258.464.199).

Ejercicios

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[283]

1

Capítulo 10

RENTABILIDAD DE TÍTULOS Y RIESGO DE TASA DE INTERÉS La rentabilidad de un título se mide a través de su tasa interna de retorno, mientras que el precio de mercado de un título se calcula por el valor presente de los flujos de efectivo que el mismo genera durante su vida, descontados a la tasa de interés del mercado. La implantación en Colombia de la valoración de portafolios a precios de mercado (Resol. 200 de 1995) ha requerido por parte de los administradores de portafolios centrar su atención sobre el riego de tasa de interés, lo cual ha llevado a la utilización de otros conceptos complementarios al valor presente neto y a la tasa interna de retorno como indicadores, para evaluar la conveniencia de una inversión. Los dos conceptos a que se hace referencia son los de duration o duración efectiva y convexity o convexidad del título, los cuales se explicarán en el numeral 10.4, como parámetros que permiten estimar y controlar el riesgo de un título o de un portafolio por exposición a mercado. V A L O R D E U N T Í T U L O A D E S C U E N T O

Para ilustrar cómo se calcula el valor de un título se toma el caso más sencillo, que es el de un título a descuento, esto es, un título cuyo rendimiento proviene del des-cuento con el cual se compra respecto a su valor nominal o valor de redención, sin que existan pagos de intereses durante la vida del título. Para ello, se considera un título valor emitido inicialmente a 180 días, a descuento, cuyo valor nominal es de 1.000. El valor del título se va a calcular en varias fechas diferentes, cuando le falta un cierto número de días para su vencimiento. Si d es el número de días para su vencimiento, el valor del título estaría dado por:

Valor =� � � � )365/(1

000.1

1

000.1d

imd

diario ti ��

donde,

idiario: Interés diario equivalente a la tasa de interés de mercado

tim: Tasa de interés de mercado, en términos anuales En el caso del título a descuento, cuando le faltan 77 días para su vencimiento y la tasa de interés de mercado es igual al 40%, el valor del título estaría dado por:

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[284]

Capítulo 10

[284] J A V I E R S E R R A N O

2

Valor = � �

48,93140,01

000.1)365/77( �

El Cuadro 10.1 muestra el valor del título para diferentes tasas de interés y para diferentes fechas, medidas estas últimas como el número de días que faltan para su vencimiento.

Cuadro 10.1

Valor de un título a descuento como función de la tasa de interés de mercado y el número de días a su vencimiento

Tasa de Precio Precio Precio Precio interés si d=100 si d=77 si d=50 si d=37 0,00% 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00

10,00% 974,23 980,09 987,03 990,38

20,00% 951,28 962,27 975,33 981,69

30,00% 930,64 946,16 964,70 973,75

35,00% 921,07 938,65 959,72 970,04

40,00% 911,94 931,48 954,95 966,47

45,00% 903,21 924,61 950,37 963,04

50,00% 894,86 918,02 945,97 959,73

55,00% 886,86 911,69 941,73 956,55

60,00% 879,18 905,61 937,64 953,47

70,00% 864,70 894,10 929,89 947,63

Tal y como se puede observar en el Cuadro 10.1, el valor de mercado del título varía inversamente con la tasa de interés, lo cual ilustra el riesgo de tasa de interés que será analizado posteriormente. La relación entre precio y tasa de interés no es una relación lineal ya que está dada por una expresión no lineal de índole exponencial, como se mostró previamente. Esa relación no lineal entre precio y tasa de interés se conoce con el nombre de convexidad. V A L O R D E M E R C A D O D E U N B O N O A T A S A F I J A

El valor de mercado de un bono en una fecha dada corresponde al valor presente de los flujos de efectivo que paga el bono a partir de esa fecha, intereses (o cupones) y principal, descontados a la tasa de interés del mercado en la misma fecha. Para ilustrar los cálculos se toma el ejemplo de un bono a 6 años con valor nominal de 1.000, amortizado totalmente a la fecha de su vencimiento, que paga intereses del 36% año vencido. Para el bono al cual se está haciendo referencia, el flujo de fondos recién emitido sería el siguiente (Cuadro 10.2):

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[285] [285]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Valor de mercado de un bono a tasa fija

3

Cuadro 10.2

Fecha Flujo

1 3602 3603 3604 3605 3606 1.360

Para ilustrar los cálculos que se presentan en la siguiente tabla, se va a considerar un caso particular, esto es, cuando al bono le faltan 767 días para su vencimiento y la tasa de interés de mercado es igual al 40%. En esa fecha, al bono le faltarían 37 días para el pago que se debe recibir al final del año 4 y por lo tanto su flujo de fondos sería el que se muestra en el Cuadro 10.3:

Cuadro 10.3

Número de días al vencimiento

Número de días para recibir el flujo de efectivo

Flujo de efectivo

767 37 360

365 402 360

0 767 1.360

La expresión para el valor del bono, cuando le faltan 767 días para su vencimiento, estaría dada por:

Valor del bono = � � � � � � )365/767()365/402()365/37( 4,01

360.1

4,01

360

4,01

360

��

��

Valor del bono = 347,92 + 248,52 + 670,61 = 1.267,05

Cuando le faltan 767 días para su vencimiento, a una tasa de interés de mercado del 40%, habría que pagar una prima sobre su valor nominal. Otra forma alterna de hacer el cálculo anterior sería la siguiente: a)� Calcular el valor del bono al final del año 4, después de recibir el pago de

intereses estipulado en esa fecha.

Valor = � � � �24,1

360.14,1

360�

Valor = 257,14 + 693,88 = 951,02

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[286]

Capítulo 10

[286] J A V I E R S E R R A N O

4

b)� Calcular el valor del bono al finalizar el año 4, antes de recibir el pago de intereses estipulado en esa fecha.

Valor = 951,02 + 360 = 1.311,02

c)� Calcular el valor del bono en la fecha solicitada.

Valor = 05,267.1)4,1(

02,311.1)365

37(�

En el Cuadro 10.4 se presenta el valor del bono en diferentes fechas, para dos tasas de interés de mercado, 40% y 45%:

Cuadro 10.4 Valor del bono para diferentes fechas y a diferentes tasas de interés de mercado

Fecha

Próximo pago de intereses

(año)

Número de días para el próximo pago de interés

Número de días para el vencimiento

del título

Valor del título para una tasa de mercado del 40%

Valor del título para una tasa de mercado del 45%

0 1 365 2.190 913,28 821,51 305 1 60 1.885 1.209,79 1.202,83 335 1 30 1.855 1.243,71 1.240,13 365 2 365 1.825 918,59 831,20 670 2 60 1.520 1.216,83 1.209,83 700 2 30 1.490 1.250,95 1.247,35 730 3 365 1.460 926,03 845,24 1035 3 60 1.155 1.226,68 1.219,62 1065 3 30 1.125 1.261,07 1.257,44 1095 4 365 1.095 936,44 865,60 1400 4 60 790 1.240,47 1.233,34 1430 4 30 760 1.275,26 1.271,58 1460 5 365 730 951,02 895,12 1765 5 60 425 1.259,78 1.252,53 1795 5 30 395 1.295,10 1.291,37 1825 6 365 365 971,42 937,93 2130 6 60 60 1.286,82 1.279,42 2160 6 30 30 1.322,90 1.319,09

P R I N C I P A L E S R E L A C I O N E S E N B O N O S

Al analizar el comportamiento de un bono se deben tener en cuenta las siguientes relaciones principales:

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[287] [287]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Riesgo de tasa de interés. DDuration y convexidad

5

a)� Relación inversa entre el precio del bono y la tasa de interés de mercado. El análisis de los ejercicios anteriores muestra claramente esta relación que es preci-samente la que da lugar al riesgo de tasa de interés. La relación se puede descom-poner en: �� A mayor tasa de interés de mercado corresponde un menor valor del bono.

Por lo tanto, siempre que aumenta el valor de la tasa de interés de mercado disminuye el valor del bono y se tendría una pérdida.

�� A menor tasa de interés de mercado corresponde un mayor valor del bono. Por lo tanto, siempre que disminuye el valor de la tasa de interés de mercado aumenta el valor del bono y se tendría una utilidad.

Los principios enunciados en los dos párrafos anteriores constituyen la base para la valoración de portafolios a precios de mercado.

b)� Relación entre el precio de un bono y el valor del cupón o pago de interés nomi-nal del mismo. �� Para una tasa de interés de mercado específica, a mayor valor del cupón o de

la tasa de interés nominal que se va a pagar periódicamente, mayor el valor del bono.

�� A menor valor del cupón o de la tasa de interés nominal que se va a pagar periódicamente, menor el valor del bono.

c)� Bonos cupón cero. Un bono cupón cero es aquel cuyo rendimiento proviene únicamente del descuento con el cual se compra el bono; en otras palabras, no existen pagos de intereses. Se crean sintéticamente a partir de strips de bonos con cupón, operación que consiste en registrar y negociar por separado los cupones de interés y el principal.

En el caso de bonos cupón cero continúa siendo válida la relación inversa entre el precio del bono y la tasa de interés de mercado. Así mismo, si no varía la tasa de interés del mercado, el precio del bono irá aumentando según una relación exponencial en la medida en que el bono cupón cero se acerca a su vencimiento. R I E S G O D E T A S A D E I N T E R É S . D U R A T I O N Y C O N V E X I D A D

La relación inversa entre el valor del bono y la tasa de interés es la que da lugar al riesgo de tasa de interés. De manera gráfica, la forma de la relación podría ser la siguiente (Figura10.1):

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[288]

Capítulo 10

[288] J A V I E R S E R R A N O

6

Figura 10.1 Valor de un título como función de su tasa de interés

En esta figura, un aumento de la tasa de interés de t0 a t1 produciría una pérdida en el valor del título dada por la diferencia entre P0 y P1; mientras que una caída en la tasa de interés de t0 a t2 produciría una ganancia dada por la diferencia entre P2 y P0. Las pérdidas o ganancias no siempre son simétricas sino que dependen de la curvatura de la gráfica, esto es, de la convexidad (convexity) de la misma. Un caso extremo se tendría cuando la relación tiene máxima convexidad, tal y como se ilustra en la Figura 10.2; si esa fuera la situación, un aumento en la tasa de interés produciría una pérdi-da mínima, mientras que una caída en la tasa de interés produciría una utilidad máxima. Caso contrario se tendría en la situación de la Figura 10.3, máxima conca-vidad, donde una caída en la tasa de interés solo produciría ganancias mínimas, mientras que un aumento en la tasa de interés podría producir pérdidas muy grandes, inclusive catastróficas. En la administración moderna de portafolios hay que tener en cuenta la convexidad del mismo para tomar decisiones, la cual no es otra cosa que el promedio ponderado de la convexidad de cada uno de los títulos. Las decisiones deberían estar encami-nadas a moverse hacia portafolios con una convexidad cercana a la presentada en la Figura 10.2 (máxima convexidad) y alejarse de la situación mostrada en la Figura 10.3 (máxima concavidad). Las matemáticas de la convexidad son un tanto complejas y se presentan en forma resumida al final de este capítulo. Para el análisis del riesgo de tasa de interés se suele utilizar el concepto de duration o duración efectiva de un título, definida como el promedio ponderado de las fechas en las cuales el título genera un flujo de efectivo, donde los factores de ponderación corresponden a la contribución de cada flujo de efectivo en la determinación del valor presente del título.

�� �� ��

��

��

��

����������� ��������

�������������������

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[289] [289]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Riesgo de tasa de interés. y convexidad

7

Figura 10.2 Valor de un título como función de su tasa de interés

Máxima convexidad

Figura 10.3 Valor de un título como función de su tasa de interés

Máxima concavidad

En términos notacionales:

duration = NN22111j

ii t*W...t*Wt*WtW ������

N

donde t1, t2,...,tN corresponden a las fechas expresadas en días, meses, años en las cuales se producen flujos de efectivo. A su vez, W1, W2,...,WN corresponden a los factores de ponderación, que no son otra cosa que el valor presente de cada flujo

SituaciónExtrema TeóricaRiesgoMáximo

VALOR

TASA t0

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[290]

Capítulo 10

[290] J A V I E R S E R R A N O

8

dividido por el valor presente total de todos los flujos de efectivo generados por el bono.

� �� �im

jim

j

j tVPt1

FC

W�

donde VP(tim) corresponde al valor del título a la tasa de interés de mercado (tim), que no es otra cosa que el valor presente calculado a dicha tasa, y FCj corresponde al flujo de caja generado por el título en la fecha j. La expresión anterior corresponde al denominado duration de Macaulay, que al dividirse por (1+tim) da lugar al duration modificado o duración modificada. Para ilustrar el cálculo del duration o duración efectiva se va a considerar el título del ejemplo presentado en el cuadro 10.2, recién emitido, para una tasa de interés de mercado igual al 40% (Cuadro 10.5).

Cuadro 10.5 Cálculo del duration, bono recién emitido

tj FCj FCj/(1+tim)j Wj Wj * tj

1 360 257,14 0,2816 0,2816

2 360 183,67 0,2011 0,4022

3 360 131,20 0,1436 0,4308

4 360 93,71 0,1026 0,4104

5 360 66,94 0,0733 0,3665

6 1.360 180,62 0,1978 1,1868

Suma 912,28 1,0000 3,0783

Para el ejemplo analizado, bono recién emitido, el duration resulta igual a 3,0783 años. Suponga que ha transcurrido algún tiempo y se quiere calcular el duration del bono cuando le faltan exactamente tres años para su vencimiento (al finalizar el año 3, después del pago del interés establecido en esa fecha). Los cálculos correspondientes se ilustran en el Cuadro 10.6:

Cuadro 10.6

Cálculo del duration, final del año 4

tj FCj FCj/(1+tim)j Wj Wj * tj 1 360 257,14 0,2746 0,2746 2 360 183,67 0,1961 0,3922 3 1.360 495,63 0,5293 1,5879 Suma 936,44 1,0000 2,2547

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[291] [291]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

9

En la misma fecha (finalizando el año 3, después del pago de intereses establecidos en esa fecha), pero con una tasa de interés de mercado del 45%, el cálculo del duration daría un valor igual a 2,2286 años (Cuadro 10.7):

Cuadro 10.7 Cálculo del duration, final del año 4, tim = 45%�

tj FCj FCj/(1+tim)j Wj Wj * tj 1 360 248,28 0,2868 0,2868 2 360 171,22 0,1978 0,3956 3 1.360 446,10 0,5154 1,5462 Suma 865,60 1,0000 2,2286

Los cálculos que se acaban de realizar para el duration o duración efectiva muestran un conjunto de características de esta medida, entre las cuales se destacan las siguientes: a)� El duration o duración efectiva depende tanto de la tasa de interés de mercado

como del número de días que faltan para el vencimiento del título. b)� Para una misma tasa de interés de mercado, el duration cambia en la medida en

que el título se acerca a su vencimiento. c)� Para una misma fecha, el duration cambia en la medida en que cambia la tasa de

interés de mercado. d)� El duration de un título con cupón (p. ej., un bono con pagos periódicos de

interés) es inferior a la madurez nominal del título. e)� El duration de un título a descuento (no hay pago de intereses) es igual a la

madurez nominal del título.

La importancia del duration en la evaluación del riesgo de tasa de interés se deriva de la relación aproximada que existe entre el cambio que puede haber en el valor del título y el cambio en la tasa de interés de mercado:

� �

t1*Duration -

P P

im�

%&

% I

donde %P corresponde al cambio en el valor del título y %I corresponde al cambio en la tasa de interés de mercado. Aunque la fórmula anterior es una aproximación, la misma es bastante buena para pequeñas fluctuaciones alrededor de la tasa de interés con base en la cual se calculó el duration o duración efectiva. Algunos ejemplos aclaran lo que se acaba de mencionar:

Riesgo de tasa de interés. y convexidad

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[292]

Capítulo 10

[292] J A V I E R S E R R A N O

10

a)� El bono del ejemplo en el cuadro 10.2, al finalizar el año 3, con una tasa de interés de mercado del 40%. Los cálculos se presentaron en el cuadro 10.6, para un duration en las condiciones especificadas igual a 2,255. Ahora se quiere saber cuál sería el cambio proporcional en el valor del bono, para esa fecha, si la tasa de interés de mercado cambiara del 40% al 43%. La utilización del concepto de duration llevaría a la siguiente predicción:

4,8321%0,04832140,1

0,03*2,255 -

P P

��&%

Nuevo valor = 936,44 – 0,048321*936,44 = 891,19

Si se hubieran hecho los cálculos exactos, el nuevo valor de mercado hubiera sido igual a 892,87. Por lo tanto, el error en la predicción como consecuencia de la aproximación de la relación hubiera sido:

Error = � �

19,89187,89219,891 �

= 0,189%

b)� El título a descuento considerado en el cuadro 10.1, cuando le faltan 77 días para

su vencimiento y la tasa de interés de mercado es del 45% y cambia al 50%.

duration = 77 días = 0,2109 años

Valor del título, cuando le faltan 77 días para el vencimiento y la tasa de interés de mercado es del 45%, es igual a 924,61.

0,727%45,1

0,05*0,2109 -

P P

�&%

Nuevo valor = 924,61- 0,007272 * 924,61 = 917,88

El valor exacto del título bajo las nuevas condiciones sería igual a 918,02, lo cual daría un error de predicción del -0,015%.

c)� Consideremos una variante del ejemplo analizado en el cuadro 10.2, que consiste

en amortizar el capital periódicamente al final de cada año. Los cálculos para el nuevo ejemplo serían los siguientes (Cuadro 10.8):

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11

Cuadro 10.8 duration para el bono con amortización periódica

tj (Amort)j (Interés)j FCj FCj/(1+tim)j Wj Wj* tj

1 166,67 360 526,67 376,19 0,4019 0,4019

2 166,67 300 466,67 238,10 0,2543 0,5086

3 166,67 240 406,67 148,20 0,1583 0,4749

4 166,67 180 346,67 90,24 0,0964 0,3856

5 166,66 120 286,66 53,30 0,0569 0,2845

6 166,66 60 226,66 30,10 0,0321 0,1926

Suma 936,13 1,0000 2,2481

El duration del título, bajo las nuevas condiciones de amortización, resultó igual a 2,248, bastante inferior al caso analizado en el cuadro 10.2, cuando el bono se amortizaba al final, cuyo duration para la misma tasa de interés de mercado resultó igual a 3,078 (ver cuadro 10.5). Lo anterior significa que el bono amortizable totalmente al final de los 6 años es mucho más sensible a fluctuaciones en la tasa de interés, y por consiguiente más riesgoso. Una explicación a lo que se acaba de anotar en el párrafo anterior se encuentra en que el bono con amortización periódica “recauda” el principal más rápidamente que el bono del cuadro 10.2, que sólo lo hace al final. Anticipar los flujos de caja le resta sensibilidad a fluctuaciones en la tasa de interés, y por lo tanto riesgo. La conclusión que se extrae del análisis presentado en este numeral es que aquellos títulos con un duration muy alto son muy sensibles a fluctuaciones en la tasa de interés de mercado y por consiguiente muy riesgosos. Ello no significa que dichos títulos no sean atractivos, especialmente si el rendimiento de los mismos es elevado. Lo que se acaba de exponer implica que para analizar la viabilidad financiera de una inversión que hace parte de un portafolio no solo hay que considerar su tasa interna de retorno, sino también el duration y la convexidad del título y su impacto sobre el duration y la convexidad del portafolio. Un corolario equivocado que suele sacarse del análisis presentado es que hay que invertir sólo en títulos de corto plazo que tendrían un duration muy bajo, olvidándose de que es tan importante el riesgo de tasa de interés como el de reinversión, el cual se incrementa significativamente cuando el horizonte de inversión es de corto plazo.

Riesgo de tasa de interés. DDuration y convexidad

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[294]

Capítulo 10

[294] J A V I E R S E R R A N O

12

V A L O R A C I Ó N D E I N V E R S I O N E S A P R E C I O S D E M E R C A D O

Los establecimientos de crédito y las entidades financieras que administran portafolios de inversión (p. ej., sociedades fiduciarias, sociedades administradoras de fondos de cesantías y de pensiones) tienen que hacer una valoración periódica de sus inversiones de renta fija y de renta variable a precios de mercado, teniendo en cuenta, entre otros, el riesgo de tasa de interés por exposición al mercado (inicial-mente, Resol. 200 de 1995). Previamente se han introducido los conceptos funda-mentales para la valoración de las inversiones de renta fija a precios de mercado. Para precisar aún más el significado de la valoración a precios de mercado se toma el ejemplo analizado en el cuadro 10.2, cuando al bono le faltan 767 días para su vencimiento y la tasa de interés de mercado es del 40%. Como se demostró, el valor del bono bajo esas condiciones es de 1.267,05. Suponga que al siguiente día la tasa de interés de mercado aumenta al 45%, en cuyo caso el valor del bono a precios de mercado disminuiría a 1.263,84. Esta pérdida en el valor del bono (3,21 por bono), al pasar de 1.267,05 a 1.263,84, es real y habría que llevarla directamente al estado de pérdidas y ganancias. T A S A S I M P L Í C I T A S

La tasa de interés de mercado a la que se descuentan las inversiones tiene tres componentes básicos:

tim = Tasa básica de corto plazo + '1 + '2

tim = Tasa básica para un plazo dado + margen de crédito donde '1 y '2 son, respectivamente, las primas por liquidez y por riesgo de solvencia, conocida esta última como el margen de crédito en las resoluciones sobre valoración de portafolios a precios de mercado. La tasa básica para un plazo dado, definida como la suma de la tasa básica de corto plazo y la prima de liquidez, usualmente sigue una curva con una pendiente positiva, en la cual no solo se encuentra la información para las tasas directas a diferentes plazos, sino también la de las tasas implícitas o tasas forward (tasas a futuro). En el caso particular de papeles de la Tesorería de Estados Unidos esta curva tiene la forma que se presenta en la Figura 10.4:

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Tasas implícitas

13

Figura 10.4 yield curve

La curva de rendimiento de los papeles de la Tesorería de Estados Unidos se conoce como yield curve, y muestra una tasa libre de riesgo para diferentes plazos. La lectura directa sobre dicha curva muestra el rendimiento de papeles de la Tesorería a diferentes plazos, que van desde 90 días hasta 30 años. Así mismo, implícitamente muestra las expectativas que tiene el mercado sobre tasas futuras o implícitas; por ejemplo, si se quisiera estimar en este momento cuál sería la tasa de interés que dentro de 9 años se estaría reconociendo por inversiones libres de riesgo de solvencia a 1 año, se podría hacer una estimación con base en los rendimientos que muestra directamente la curva de rendimientos de papeles de la Tesorería de Estados Unidos. La rentabilidad a que se hace referencia, aquella que se reconocería dentro de 9 años por inversiones a 1 año, se conoce con el nombre de tasa implícita o tasa forward y se representa por f9,1. Suponga que la tasa que en un momento dado se reconoce por papeles de la Tesorería a 9 años (t9) es igual al 6.5% (lectura directa de la curva), mientras que la tasa que el mercado está reconociendo en el momento por papeles de la Tesorería a 10 años (t10) es del 6.65%. La forma de calcular la tasa forward, f9,1, sería la siguiente: (1+t9)9 * (1+f9,1) = (1+t10)10 (1+0,065)9 * (1+ f9,1) = (1+0,0665)10

%00,8176257,1903744,1

f 1,9 ���

La expresión que se acaba de mostrar se puede generalizar para cualquier combinación de períodos, lo cual se deja como ejercicio al lector.

90 días

Rendimiento

P10P 9

9 10 30 años

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[296]

Capítulo 10

[296] J A V I E R S E R R A N O

14

A P R O X I M A C I Ó N U T I L I Z A N D O D U R A T I O N Y C O N V E X I D A D

En el libro de Livingston G. Douglas, Bond Risk Analysis, A Guide to Duration and Convexity, publicado por el New York Institute of Finance en 1990, se hace una presentación bastante rigurosa de las matemáticas del duration o duración efectiva y de la convexidad, a partir de una expansión de la función del precio, alrededor de la tasa de interés actual, utilizando una serie de Taylor. La expresión general de la función relacionando el precio de un bono a tasa fija y la tasa de interés sería: P = f (i, otras variables, que se mantienen constantes) La utilización de una serie de Taylor alrededor del valor actual de la tasa de interés estaría dada por la siguiente expresión:

� � � � � �nn

n3

3

32

2

2

idi

Pdn!1

...idi

Pd3!1

idi

Pd2!1

ididP

P ::::: ����� (1)

Las definiciones del duration modificado y de la convexidad son:

-duration modificado = P1

*didP

Convexidad = P1

*di

Pd2

2

Dividiendo la ecuación (1) por P, se obtiene:

� � � � � �nn

n3

3

32

2

2

iP1

*di

Pdn!1

...iP1

*di

Pd3!1

iP1

*di

Pd2!1

iP1

*didP

PP :::::

����� (2)

Entonces,

PP: = - Duración modificada (∆i) +

21 Convexidad (∆i)2 + Efecto residual (3)

Por lo tanto, el cambio en el precio se podría expresar aproximadamente como:

PP: & - Duración modificada (∆i) +

21 Convexidad (∆i)2 (4)

La expresión general para el valor de mercado de un bono a tasa fija, con un pago periódico de interés, sería:

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Aproximación utilizando duration y convexidad

15

� ��� �

�N

J 1J

J

i1

CP

donde i es la tasa de interés de mercado para el período de pago de los intereses y CJ es el flujo de caja del bono en la fecha j. Tomando la primera derivada de la expresión anterior, se obtiene:

� � � �����

� ����

���

N

1JJ

JN

1J1)(J

J

i1

CJ

i11

i1

CJ

didP

Recordando la definición del duration de Macaulay, se obtiene:

P*Duration*i1

1didP

���

Por lo tanto,

Duration*i1

1P1

*didP

��� = -Duración modificada

Tomando la derivada de la expresión anterior (dP/di), se puede demostrar que:

� �� �� �� ��

���

��

N

1J2J

J2

2

i1

C*1J*Jdi

Pd

Así mismo, recordando que la convexidad se definió como:

Convexidad = P1

*di

Pd2

2

entonces, la aproximación a través de la expansión de Taylor, desechando los términos por encima del término cuadrático, estaría dada por:

PP: & - (Duración modificada)* :i +

21 * (Convexidad)* (:i)2

donde �i corresponde al cambio en la tasa de interés de mercado, para la cual se quiere estimar el cambio proporcional en el valor de mercado del bono; en la expre-sión anterior, la convexidad y la duración de Macaulay se expresan en términos anuales y el cambio en la tasa de interés, �i, también se expresa en términos anuales

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[298]

Capítulo 10

[298] J A V I E R S E R R A N O

16

(p. ej., un cambio del 2% o 200 puntos básicos en la tasa de interés de mercado anual, sería igual a 0.02). Lo anterior requiere una consideración adicional para calcular la convexidad en térmi-nos anuales, a partir de la convexidad calculada para el período de pago de intereses para el bono; para ello se utiliza la expresión1:1

Convexidad en años = 2m

año por períodos m en Convexidad

Para encontrar el nuevo valor de mercado (PN) se utiliza la expresión:

� �

���

��� %

PP

= P - P

0

0N

P

E J E R C I C I O S R E S U E L T O S

Ejemplo 10.1 Un bono a 4 años, recién emitido, que paga intereses del 24% nominal anual, pagadero semestre vencido, se negocia a un 96% de su valor nominal, que corres-ponde al precio de mercado, de acuerdo a la tasa de interés de mercado actual. En el Cuadro 10.9 se muestran los cálculos necesarios para estimar la duración de Macaulay y la duración modificada:

Cuadro 10.9

Semestre CJ CJ/(1+i)J WJtJ

0 -96 1 12 10,64 0,111 2 12 9,43 0,196 3 12 8,35 0,261 4 12 7,40 0,309 5 12 6,56 0,342 6 12 5,82 0,364 7 12 5,16 0,376 8 112 42,64 3,554

Precio 96,00 Macaulay duration 5,512 semestres Macaulay duration 2,756 años duration modificada 2,165 años TIR 12,83% semestral Tasa de interés de mercado 27,30% anual

11 Para un tratamiento más profundo sobre el tema ver Fabozzi, Frank J., Bond Markets, Analysis and Strategies, Capítulo 4, “Bond Price Volatility, Prentice Hall.

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Ejercicios resueltos

17

En el Cuadro 10.10 se muestran los cálculos necesarios para la segunda derivada y para la convexidad en años:

Cuadro 10.10

j(j+1)CJ 1/(1+i)(J+2) (j(+j+1)CJ)/(1+i)(J+2)

1 12 24 0,6962 16,71 2 12 72 0,6171 44,43 3 12 144 0,5469 78,75 4 12 240 0,4847 116,33 5 12 360 0,4296 154,66 6 12 504 0,3808 191,90 7 12 672 0,3375 226,77 8 112 8.064 0,2991 2.411,88

Segunda derivada 3.241,43

Convexidad (semestres) 33,76

Convexidad (años) 8,44

Ahora se va a suponer un aumento del 2% en la tasa de interés de mercado, que disminuye el valor de mercado del bono. Se va a calcular el nuevo valor de mercado, una aproximación a ese valor de mercado, utilizando únicamente la duración modifi-cada, y otra aproximación utilizando la duración modificada y la convexidad. Cambio en la tasa de interés de mercado: 2,00% anual Nueva tasa de interés de mercado: 29,30% anual Nueva tasa de interés de mercado: 13,71% semestral Nuevo valor del bono: 91,98% a)� Aproximación utilizando únicamente la duración modificada

Aproximación utilizando únicamente duration AP/P = -duration modificada * 0,02 = -0,04329605 Nuevo valor del bono: 91,84 Error de estimación = 0,152%

b)� Aproximación utilizando duración y convexidad

Corrección introducida por convexidad = (1/2) * Convexidad * (0.02)2 = 0,00169 AP/P = -Duración modificada * 0,02 + (1/2) * Convexidad * (0,02)2 = -0,04161 Nuevo valor del bono: 92,01 Error de estimación: -0,025%

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[300]

Capítulo 10

[300] J A V I E R S E R R A N O

18

Tal y como se desprende de los cálculos que se acaban de presentar, la utilización simultánea de la duración modificada y de la convexidad mejora significativamente la estimación de nuevo valor del bono, frente a un cambio en la tasa de interés de mercado. Ejemplo 10.2 Un TES emitido por la Dirección del Tesoro Nacional (DTN) en Colombia con las condiciones que se muestran en el Cuadro 10.11, se va a valorar el 24 de junio del año 2009, cuando le faltan 1.148 días para su vencimiento; la tasa de interés de mercado ese día era del 9,50% efectivo.

Cuadro 10.11 Condiciones del TES

Valor nominal 1.000.000.000TES Cupón anual 12,00%Vencimiento 15/08/12Madurez inicial, años 7Fecha de valoración 24/06/09Fecha de emisión 15/08/05Tasa de interés, efectiva 9,50%

En el Cuadro 10.12 se muestran los cálculos necesarios para la valoración del bono, a una tasa de interés de mercado del 9,50% efectivo:

Cuadro 10.12 Valoración del bono

Fecha Días Años Flujo

24/06/09

15/08/09 52 0,142 120.000.000 118.458.460

15/08/10 417 1,142 120.000.000 108.181.242

15/08/11 782 2,142 120.000.000 98.795.655

15/08/12 1.148 3,145 1.120.000.000 841.884.510

Suma (valor) = 1.167.319.868

Valor de mercado 116,73%

El valor de mercado resultante es del 116,73% o equivalente, $1.167.319.868, por cada bono de $1.000.000.000. Si la tasa de interés de mercado se incrementara en

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100 puntos básicos, el nuevo valor de mercado sería de $1.140.412.049, 114,04%, con lo cual la pérdida porcentual sería de 0,023050939, equivalente al 2,305%. La pérdida porcentual o absoluta se puede encontrar utilizando la aproximación de la duración efectiva. En el Cuadro 10.13 se muestran los cálculos necesarios para esti-mar la duración efectiva del bono cuando le faltan 3,145 años para su vencimiento y la tasa de interés del mercado es del 9,5%.

Cuadro 10.13 Estimación de la duración efectiva del bono

Fecha Días Años Flujo Vp(FJ) Wj WjTj

24/06/09

15/08/09 52 0,142 120.000.000 118.458.460 10,15% 0,014

15/08/10 417 1,142 120.000.000 108.181.242 9,27% 0,106

15/08/11 782 2,142 120.000.000 98.795.655 8,46% 0,181

15/08/12 1.148 3,145 1.120.000.000 841.884.510 72,12% 2,268

Suma (valor) = 1.167.319.868 100,00% 2,570

duration (años) = 2,570

Para las condiciones establecidas, 3,145 años para su vencimiento y una tasa de interés del mercado del 9,5%, la duración efectiva del bono es de 2,57 años. Utilizan-do la aproximación de la duración efectiva únicamente, se obtienen los siguientes resultados: (∆P/P) = -duration * ∆I/(1+im) = -2,570 *0,01 *0,913 ∆P/P = -0,0234705 = -2,347%, muy similar a los cálculos exactos (-2,305%) El valor de PN sería igual a: P0 – P0 * duration[1,148 días, TIM = 9.5%]*∆I/(1+i) PN = 116,73 – 116,73*2,570*0,01*(1/1+0,095) = 113,99% En la Figura 10.5 se grafica el valor de mercado del TES, exacto y la aproximación, utilizando la duración efectiva, para las condiciones especificadas, esto es, 3,145 años para su vencimiento y la tasa de interés del mercado del 9,5%.

Ejercicios resueltos

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[302]

Capítulo 10

[302] J A V I E R S E R R A N O

20

Figura 10.5 Valor exacto y aproximación usando la duración efectiva

En el Cuadro 10.14 se muestran los cálculos necesarios para estimar la convexidad en las condiciones especificadas, 3,145 años para su vencimiento y la tasa de interés del mercado del 9,5%; para estas condiciones, el valor de la convexidad es igual a 8,52 años.

Cuadro 10.14

Cálculo de la convexidad

Fecha Días Años Flujo j(j+1)Cj 1/(1+i)j+2 j(j+1)Cj/(1+i)(j+2) 24/06/09 15/08/09 52 0,142 120.000.000 19.531.469 0,8233 16.080.20315/08/10 417 1,142 120.000.000 293.723.250 0,7519 220.841.56015/08/11 782 2,142 120.000.000 807.915.031 0,6866 554.745.83415/08/12 1.148 3,145 1.120.000.000 14.602.025.746 0,6269 9.154.178.316Segunda derivada 9.945.845.912Convexidad = 8,52

Si se utiliza la aproximación de la duración efectiva y de la convexidad, los resultados serían:

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(∆P/P) = -duration * ∆I/(1+im) + 0,5 * Convexidad * (∆i)2 (∆P/P) = -2,570 *0,01 * 0,913 +0,5*8,52*(0,01)2 (∆P/P) = -2,3471% + 0,043% = 2,304% Por consiguiente, PN = P0 - P0 * 0,02304 = 114,042% El valor obtenido, 114,04%, es más cercano al valor exacto (114,04%), tal como era de esperarse. En la Figura 10.6 se muestra la aproximación utilizando la convexidad y la duración, y en el Cuadro 10.15 se muestran los valores para la construcción de la Figura 10.6, en el rango entre 5% y 15%.

Figura 10.6 Aproximación utilizando duración efectiva y convexidad

Ejercicios resueltos

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[304]

Capítulo 10

[304] J A V I E R S E R R A N O

22

Cuadro 10.15 Aproximación utilizando duración efectiva y convexidad

Tasa Valor Aproximación Error Aporte (∆P/P) Aproximación Errorexacto duration duration convexidad duration y conv. total dur. y conv.

5,00% 130,14% 129,06% 0,83% 0,863% 11,42% 130,07% 0,06%

5,50% 128,54% 127,69% 0,66% 0,682% 10,07% 128,49% 0,04%

6,00% 126,96% 126,32% 0,51% 0,522% 8,74% 126,93% 0,03%

6,50% 125,42% 124,95% 0,37% 0,383% 7,42% 125,40% 0,02%

7,00% 123,90% 123,58% 0,26% 0,266% 6,13% 123,89% 0,01%

7,50% 122,42% 122,21% 0,17% 0,170% 4,86% 122,41% 0,01%

8,00% 120,96% 120,84% 0,09% 0,096% 3,62% 120,95% 0,00%

8,50% 119,52% 119,47% 0,04% 0,043% 2,39% 119,52% 0,00%

9,00% 118,11% 118,10% 0,01% 0,011% 1,18% 118,11% 0,00%

9,50% 116,73% 116,73% 0,00% 0,000% 0,00% 116,73% 0,00%

10,00% 115,37% 115,36% 0,01% 0,011% -1,16% 115,37% 0,00%

10,50% 114,04% 113,99% 0,04% 0,043% -2,30% 114,04% 0,00%

11,00% 112,73% 112,62% 0,10% 0,096% -3,42% 112,73% 0,00%

11,50% 111,45% 111,25% 0,17% 0,170% -4,52% 111,45% -0,01%

12,00% 110,18% 109,88% 0,27% 0,266% -5,60% 110,19% -0,01%

12,50% 108,94% 108,51% 0,39% 0,383% -6,66% 108,96% -0,02%

13,00% 107,72% 107,14% 0,54% 0,522% -7,69% 107,75% -0,03%

13,50% 106,52% 105,77% 0,70% 0,682% -8,71% 106,57% -0,04%

14,00% 105,34% 104,40% 0,89% 0,863% -9,70% 105,41% -0,06%

14,50% 104,19% 103,03% 1,11% 1,065% -10,67% 104,28% -0,09%

15,00% 103,05% 101,66% 1,35% 1,289% -11,62% 103,17% -0,11%

Para obtener los cálculos anteriores, se pueden utilizar directamente las correspon-dientes funciones de Excel. En el Cuadro 10.13 aparecen los flujos y las fechas, éstas últimas tanto en años como en formato fecha. Como se trata de un flujo no periódico en términos de años, para encontrar el valor presente se puede utilizar directamente la función de valor presente para flujos no periódicos de Excel (VNA.NO.PER). Para el caso que se muestra en el cuadro: Valor = VNA.NO.PER(B9;E12:E16;B12:B16) = $1.167.319.868 En la expresión anterior, en la celda B9 está la tasa de interés efectiva; en el rango E12:E16 están los flujos de caja en valor absoluto, y en el rango B12:B16 están las fechas correspondientes a cada uno de esos flujos.

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Ejemplo 10.3 Suponga que en la fecha del 24 de junio del año 2009 se compra el bono cuando le faltan 1.148 días para su vencimiento, a un valor del 110%, esto es, $1.100.000.000. ¿Cuál sería la rentabilidad que obtendría el inversionista? Como se trata de flujos no periódicos en años, se puede utilizar directamente la tasa interna de retorno para flujos no periódicos: TIR.NO.PER. Para este ejemplo, con compra por el 110%, los valores básicos se presentan en el Cuadro 10.16:

Cuadro 10.16 Flujo del título, para determinar la rentabilidad de la inversión

Fecha Días Años Flujo

24/06/09 0 0 -1.100.000.000

15/08/09 52 0,142 120.000.000

15/08/10 417 1,142 120.000.000

15/08/11 782 2,142 120.000.000

15/08/12 1.148 3,145 1.120.000.000

Rentabilidad = TIR.NO.PER(E12:E16;B12:B16;10%) = 12,07% En la expresión anterior, en el rango E12:E16 se encuentran los valores correspon-dientes a los flujos de caja, mientras que en el rango B12:B16 se encuentran las fechas correspondientes a esos flujos, en formato de fecha; el 10% que aparece como parámetro corresponde a un estimativo preliminar. V A L O R A C I Ó N A P R E C I O S D E M E R C A D O

La Circular Básica Contable y Financiera (Circular Externa 100 de 1995) de la Super-intendencia Financiera de Colombia establece los lineamientos básicos para la valoración de inversiones a precios de mercado, lo cual es de por sí un tema básico y especializado para todos los gestores de portafolios y para los establecimientos de crédito. En este numeral, a través de un ejemplo, se explica cómo opera la valoración de un TES a precios de mercado, utilizando la información que provee el mercado, sin pretender ser exhaustivos sobre un tema tan extenso. La citada circular establece en el numeral 2.1 lo siguiente sobre el propósito de la valoración y los esquemas generales para la misma:

“La valoración de las inversiones tiene como objetivo fundamental el cálculo, el registro contable y la revelación al mercado del valor o precio justo de intercambio al cual un valor, podría ser negociado en una fecha determinada,

Valoración a precios de mercado

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Capítulo 10

[306] J A V I E R S E R R A N O

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de acuerdo con sus características particulares y dentro de las condiciones prevalecientes en el mercado en dicha fecha.

Para los efectos propios de la presente norma, el precio justo de intercambio que se establezca debe corresponder a aquel por el cual un comprador y un vendedor, suficientemente informados, están dispuestos a transar el correspondiente valor. Se considera precio justo de intercambio: a. El que se determine de manera puntual a partir de operaciones

representativas del mercado, que se hayan realizado en módulos o sistemas transaccionales administrados por el Banco de la República o por entidades vigiladas por la Superintendencia Financiera de Colombia, así como a partir de operaciones que se realicen en el mercado mostrador (OTC) y sean registradas en sistemas de registro de operaciones sobre valores autorizados por la Superintendencia Financiera de Colombia.

b. El que se determine mediante el empleo de tasas de referencia y márgenes calculados a partir de operaciones representativas del mercado agregadas por categorías, que se hayan realizado en módulos o sistemas de negociación de valores autorizados por la Superintendencia Financiera de Colombia, así como a partir de operaciones que se realicen en el mercado mostrador (OTC) y sean registradas en sistemas de registro de operaciones sobre valores autorizados por la Superintendencia Financiera de Colombia.

c. El que se determine mediante otros métodos, debido a la inexistencia de un valor o precio justo de intercambio que pueda ser establecido a través de cualquiera de las previsiones de que tratan los literales anteriores”.

Como se mencionó, a través de un ejemplo se hace una presentación básica, paso a paso, de la metodología de valoración de inversiones a precios de mercado. Este ejemplo fue preparado por la Dra. Carolina Balanzó Muñoz, experta en el tema, egresada de los programas de MBA de la Facultad de Administración de la Univer-sidad de los Andes, a quien agradezco el trabajo realizado. El ejemplo a analizar trata de un TES con las siguientes características: Valor nominal: 1.000.000.000 Tasa de interés nominal: 11% Modalidad de pago: año vencido Fecha de emisión: 24 de julio de 2005 Fecha de valoración: 9 de junio de 2009 Fecha de vencimiento: 24 de julio de 2020

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Valoración a precios de mercado

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Precio vigente en la fecha de valoración (lo calcula y publica la Bolsa de Valores de Colombia, BVC, con base en las negociaciones del día): 120,149%; el valor anterior se conoce como el precio sucio, resultante de traer a valor presente los flujos (cupones y principal), cada uno de ellos con la tasa de descuento apropiada, esto es, con la tasa que genera la curva cero cupón. El precio limpio se obtiene restando del precio sucio los intereses causados hasta la fecha de la valoración. La curva cero cupón se calcula utilizando información de mercado.

Valor de mercado = Precio sucio x valor nominal = 1.201.490.000 En el Cuadro 10.17, en la segunda columna se muestran el flujo de caja del bono, en la fecha de la valoración, 9 de junio de 2009, mientras que en la primera columna se muestra la fecha en que vencen los cupones y el principal. La tasa de descuento es la suma de dos componentes, una tasa básica y un margen de crédito que refleja el mayor riesgo que el título tiene frente a la tasa básica2.2

Tasa de descuento = Tasa básica + Margen de crédito Para el caso particular de este TES, la tasa básica se obtiene de la curva cero cupón mientras que el margen de crédito lo publica el sistema de información de la Bolsa de Valores de Colombia. Para este caso el margen de crédito fue del -0,1629%, muy cercano a cero. En la Figura 10.7 se muestra la forma de la curva cero cupón para la fecha de la valoración.

Cuadro 10.17 Valoración TES: Flujo de caja y tasas de descuento

Fecha Flujo Tasa básica Margen Tasa descuento Días Valor presente9/06/2009 24/07/2009 110.000.000 4,2184% -0,1629% 4,0487% 45 109.463.072

24/07/2010 110.000.000 5,8373% -0,1629% 5,6649% 410 103.397.846

24/07/2011 110.000.000 7,0379% -0,1629% 6,8635% 775 95.538.772

24/07/2012 110.000.000 7,9213% -0,1629% 7,7455% 1.140 87.136.630

24/07/2013 110.000.000 8,5664% -0,1629% 8,3895% 1.505 78.909.663

24/07/2014 110.000.000 9,0333% -0,1629% 8,8557% 1.870 71.218.536

24/07/2015 110.000.000 9,3680% -0,1629% 9,1899% 2.235 64.208.269

24/07/2016 110.000.000 9,6050% -0,1629% 9,4264% 2.600 57.904.638

24/07/2017 110.000.000 9,7701% -0,1629% 9,5913% 2.965 52.273.511

24/07/2018 110.000.000 9,8826% -0,1629% 9,7036% 3.330 47.254.934

24/07/2019 110.000.000 9,9568% -0,1629% 9,7777% 3.695 42.781.525

24/07/2020 1.110.000.000 10,0035% -0,1629% 9,8243% 4.060 391.403.086

Valor mercado 1.201.490.483

22Superintendencia Financiera, Circular Contable y Financiera (Circular Externa 100 de 1995).

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Capítulo 10

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Figura 10.7 Curva estimada cero cupón

Fuente: Bolsa de Valores de Colombia

Los valores de la tasa básica se pueden leer directamente de la curva cero cupón; también se puede hacer una estimación de esas tasas de referencia a partir de las siguientes expresiones matemáticas3:3

� �� �

� � � �()(

())) tt

tts ��

��

���

��

���

� ����� exp

exp1)( 2210

La tasa cero cupón estimada tiene la siguiente expresión4:4

1))(exp()( �� tstsd

Para el ejemplo que se está tratando, el sistema de información de la Bolsa de Valores de Colombia suministra los valores de los parámetros, 0, 1, 2 y ; para el día de la valoración los valores fueron: Beta 0: 9,136507% Beta 1: -5,22990% Beta 2: 7,572271% Tao: 3,43722 Con los valores anteriores se calcula la tasa de referencia para diferentes plazos, tal y como se muestra en el Cuadro 10.18:

33Fuente: Bolsa de Valores de Colombia, BVC, Sistema de información para valoración. 44Ídem.

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Cuadro 10.18 Estimación de la tasa de referencia a partir de los parámetros básicos

t (días) t (años) (t/tao) (-t/tao) exp(-t/tao) s(t) sd(t)

45 0,123 0,036 -0,036 0,965 4,1319% 4,2184%

410 1,123 0,327 -0,327 0,721 5,6733% 5,8373%

775 2,123 0,618 -0,618 0,539 6,8012% 7,0379%

1.140 3,123 0,909 -0,909 0,403 7,6232% 7,9213%

1.505 4,123 1,200 -1,200 0,301 8,2191% 8,5664%

1.870 5,123 1,491 -1,491 0,225 8,6484% 9,0333%

2.235 6,123 1,781 -1,781 0,168 8,9549% 9,3680%

2.600 7,123 2,072 -2,072 0,126 9,1713% 9,6050%

2.965 8,123 2,363 -2,363 0,094 9,3218% 9,7701%

3.330 9,123 2,654 -2,654 0,070 9,4242% 9,8826%

3.695 10,123 2,945 -2,945 0,053 9,4918% 9,9568%

4.060 11,123 3,236 -3,236 0,039 9,5342% 10,0035%

Con los valores de la tasa de referencia y del margen de crédito se procede a calcular las tasas de descuento individuales para cada cupón, tal y como se muestra en el Cuadro 10.17. Se calcula el valor presente de cada cupón utilizando la tasa de referencia y el margen de crédito y se procede a calcular el valor presente de cada cupón y el del título, tal y como se muestra en el Cuadro 10.17. El valor resultante aplicando la metodología explicada en el ejemplo, para el 9 de junio de 2009, fue de $1.201.490.483 por cada título de valor nominal o facial igual a $1.000.000.000. E J E R C I C I O S P A R A R E S O L V E R

1. Suponga un bono emitido inicialmente a 4 años, con un interés nominal del

30%, pagadero semestre vencido; el bono se amortiza totalmente al final de los 4 años. En la fecha, al bono le faltan 779 días para su vencimiento. Si lo fuera a comprar en esa fecha, ¿cuál debería ser el máximo precio a ofrecer, si mi objetivo es obtener una rentabilidad efectiva anual equivalente al 45% antes de impuestos? (96,18%).

2. Para el bono del problema anterior, en la misma fecha, ¿cuál sería el duration, si la tasa de interés de mercado es del 45% efectivo anual? (1,51 años).

3. Para el bono del problema 2, y utilizando el concepto de duration, ¿cuál sería la pérdida posible si la tasa de interés de mercado cambiara (una vez comprado el bono) al 48% efectivo anual y el bono se hubiera comprado al precio encontrado en el punto 1? (Pérdida exacta, -3,03%; pérdida utilizando la aproximación del duration, -3,1003%).

Ejercicios para resolver

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Capítulo 10

[310] J A V I E R S E R R A N O

28

4. Repita los cálculos del problema, corrigiendo la aproximación del duration, con la aproximación de la convexidad. (Convexidad, 2,873 años; pérdida aproximada, utilizando duration y convexidad, -2,974%).

5. Suponga un bono con un valor nominal de $1.000.000, inicialmente a 3 años, que paga un interés nominal anual del 30%, pagadero semestre vencido; el bono se amortiza totalmente al final de los tres años. A la fecha de hoy, al bono le faltan 387 días para su vencimiento final. La tasa de interés de mercado es del 38% efectivo anual. ¿Cuál es el valor de mercado del bono? (Valor porcentual, 108,97%).

6. Para las mismas condiciones del problema 5 y cuando faltan 387 días para su vencimiento: a) ¿Cuál sería el duration del bono? (0,87 años). b) Utilizando el concepto de duration, ¿cuál sería la pérdida porcentual en el

valor del bono, cuando le faltan 387 días para su vencimiento, si la tasa de interés de mercado subiera al 41%? (Pérdida exacta, 1,85%; utilizan-do la aproximación del duration, -1,886%).

a)� ¿Cuánto tendría que provisionar con cargo al estado de pérdidas y ganancias, si al día siguiente la tasa efectivamente sube al 41%? ($20.113).

b)� Repita la parte b), corrigiendo la aproximación a través del duration con la aproximación a través de la convexidad. (Convexidad, 1,23 años; pérdida aproximada utilizando duration y convexidad, -1,831%).

7. Considere un bono de valor nominal igual a $50.000 millones, que paga un

interés del 32% anual pagadero semestre vencido, con una madurez a 4 años, el cual se amortiza totalmente al final de los 4 años: a)� ¿Cuál es el valor de mercado del bono recién emitido, si la tasa de interés

de mercado es del 38% efectivo anual? ($46.946 millones). b)� ¿Cuál es la rentabilidad del bono si se compra con un descuento del 7%

sobre su valor nominal? (38,53%).

8. Para el bono del problema anterior, grafique el valor del bono como función del número de días para su vencimiento, teniendo en cuenta que la tasa de mercado permanece constante e igual al 38% efectivo anual. ¿Cuál sería la nueva gráfica si el valor de la tasa de interés de mercado fuera del 42% efectivo anual? La figura 10.8 muestra el valor del bono para una tasa de interés del mercado del 38% es la siguiente:

�������

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Ejercicios para resolver

29

Figura 10.8 Valor presente del bono

9. Para el bono del problema 5, grafique el valor del bono como una función de

la tasa de interés de mercado. Identifique en la gráfica la convexidad del bono. 10. Para el bono del problema 7, suponiendo una tasa de mercado del 38% efec-

tivo anual, calcule el duration del bono. ¿Cuál sería el cambio proporcional en el valor del bono si la tasa de interés de mercado cambiara del 38% al 41%, calculado exactamente y calculado utilizando duration y convexidad? ¿Cuál es el error de la estimación utilizando duration y convexidad?

11. Repita el problema 8, suponiendo que al bono le faltan 325 días para su maduración.

12. Haga los mismos cálculos contemplados en los problemas 7, 10 y 11, supo-niendo que se cambia el sistema de amortización por uno en el cual se amor-tiza el valor del bono en cuatro partes iguales, al final de cada año, y los intereses se pagan sobre saldos.

13. ¿Cuánto se debe ofrecer por un título cuya rentabilidad depende del descuento con el cual se compra, al cual le faltan 47 días para su vencimiento, si el objetivo es obtener un rendimiento equivalente a uno del 46% efectivo anual? (95,24%).

14. Para el ejercicio del problema 13, grafique el valor del título como una función de la tasa de interés de mercado. Identifique en la gráfica la convexidad del título. La figura 10.9 muestra el valor exacto y la aproximación utilizando duration únicamente.

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Capítulo 10

[312] J A V I E R S E R R A N O

Figura 10.9 Valor del título y aproximación utilizando la duración efectiva

30

15. Suponga que la yield curve de papeles de la Tesorería de Estados Unidos

muestra que el rendimiento de títulos a 5 años es igual al 5.5%, mientras que el rendimiento de los títulos a 6 años resulta del 5.9%. ¿Cuál sería la tasa implícita que se estaría reconociendo por inversiones a 1 año, realizadas dentro de 5 años?

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Capítulo 11 COSTO PROMEDIO PONDERADO DE CAPITAL Y VALOR ECONÓMICO AGREGADO (VEA)

El concepto de costo promedio ponderado de capital es uno de los más importantes en la teoría financiera, principalmente por la relación existente entre valor económico agregado y costo promedio ponderado de capital; a menor costo promedio ponderado de capital, mayor el valor económico que un proyecto le agrega a la empresa. Varios premios Nóbel1 se han otorgado para reconocer las investigaciones realizadas con miras a establecer las relaciones existentes entre valor económico, estructura de capital, costo promedio ponderado de capital y riesgo financiero. La estimación del costo promedio de capital se vuelve crítica para muchas decisiones, ya sea que su valor se utilice para descontar un flujo de caja libre para el proyecto con el propósito de estimar el valor económico que el proyecto le agrega a la empresa, o se utilice para encontrar el valor de mercado de la firma2 en una transacción, o se utilice para estimar el costo económico que se debe imputar a un conjunto de activos operativos para estimar el valor económico agregado (EVA) por una determinada gestión empresarial, o se utilice para estimar la tasa remuneratoria del capital inverti-do, tal y como ocurre en la industria de transmisión y distribución de energía eléctrica, en la medida en que el valor del kilowatio hora se encuentra regulado. Los cuatro ejemplos que se acaban de citar muestran la importancia de una definición meto-dológica adecuada para la estimación del parámetro, lo cual se torna aún más crítico si se tiene en cuenta que pequeñas desviaciones en la estimación del costo promedio ponderado de capital producen desviaciones significativas en el valor de un activo. En este capítulo se hará una presentación general del tema de estructura de capital y de costo promedio ponderado de capital; en el Capítulo 13 se presentará el modelo CAPM para valoración de activos con riesgo y se planteará su uso dentro de una metodología para estimar el costo de la aportación patrimonial. En general, el costo promedio ponderado de capital, CPPC, o WACC por sus siglas en inglés, se expresa como: WACC = �1 KD * (1-timp) + �2 KE En la expresión anterior, �1 y �2 son respectivamente los porcentajes de deuda financiera y de patrimonio que conforman la estructura de capital; KD es el costo de la deuda antes de impuestos, y KE es el costo de la aportación patrimonial, antes de 1 Franco Modigliani, 1985, Harry M. Markowitz, Merton H.Miller & William Sharpe, 1990. 2 En Finanzas Corporativas se entiende por firma los activos operativos de la empresa, que definen su función de producción y su función de costos.

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Capítulo 11

[314] J A V I E R S E R R A N O

impuestos, que a su vez es igual al costo de la aportación patrimonial después de impuestos, en la medida en que los dividendos no son deducibles de impuestos; timp es la tasa efectiva de impuestos, que puede ser diferente a la tasa nominal. En este capítulo se analizarán aspectos relacionados con las fuentes que se deben introducir en el cálculo del costo promedio ponderado de capital, con la escogencia de la estructura de capital que define los factores de ponderación �1 y �2 y con la estimación del costo individual de cada una de las fuentes de financiamiento. En general, el objetivo que se busca es el de minimizar el costo promedio ponderado de capital a través de la utilización de la deuda, para maximizar el valor de mercado de la firma.

E S T R U C T U R A O P E R A T I V A , E S T R U C T U R A F I N A N C I E R A Y E S T R U C T U R A D E C A P I T A L

En la Figura 11.1 se destacan dos secciones, la del lado izquierdo que corresponde a la estructura operativa del negocio y la del lado derecho que corresponde a la estru-ctura de capital con la cual se financia la estructura operativa del negocio. La estructura operativa de una empresa es la resultante de las decisiones de inversión en activos fijos operativos y en capital de trabajo que se han tomado al interior de la empresa, y como tal determina la función de producción del negocio, definida como la función con la cual se estima el costo total de producir un cierto volumen de unidades, que comprende tanto los costos fijos como los costos variables.

Figura 11.1

Estructuras operativa y de capital

Una vez que se conforma una estructura operativa, la empresa no la puede modificar en un tiempo corto con un costo razonable, por lo cual queda expuesta a las fluctuaciones del mercado, lo cual genera un riesgo llamado riesgo comercial o riesgo operacional, que se explicará con posterioridad, consistente principalmente en no alcanzar el punto de equilibrio operacional y en la mayor volatilidad de la utilidad

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[315] [315]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Estructura operativa, estructura financiera y estructura de capital

antes de intereses e impuestos o utilidad operacional como consecuencia de fluctua-ciones en el nivel de ventas. Los activos involucrados en el negocio (activos fijos, capital de trabajo, etc.) se financian con recursos de corto, mediano y largo plazo, cuya combinación determina la estructura financiera de la empresa; el costo promedio ponderado de todas esas fuentes de financiamiento determina el costo de financiamiento. Las fuentes de financiamiento tienen un costo explícito (p. ej., intereses, comisiones) o un costo implícito (p. ej., un costo de oportunidad), que no siempre se tiene en cuenta en la estimación contable de los costos de un negocio. El ejemplo más destacado de lo que se acaba de mencionar es el patrimonio, al que no obstante ser la principal fuente de financiamiento del negocio, no se le asigna costo alguno en la contabilidad administrativa, situación que hay que corregir en la estimación del costo promedio ponderado de capital, ya que el costo económico de utilizar el patrimonio es el costo de oportunidad del accionista. Entre los activos se encuentran los activos corrientes (efectivo, bancos, cuentas por cobrar, inventarios), que se financian parcialmente con el pasivo corriente (obligaciones financieras de corto plazo, proveedores, cuentas por pagar princi-palmente), tal y como se muestra en la figura 11.2; la otra porción del activo corrien-te, que se financia con pasivo de largo plazo, en general corresponde a la inversión permanente en capital de trabajo que demanda el negocio.

Figura 11.2

Estructura general del balance

La inversión permanente en capital de trabajo es muy importante en los resultados financieros de una empresa y su subestimación lleva a sobrestimar rentabilidades y valores de mercado de la empresa o de un proyecto. En muchos negocios la inversión permanente en capital de trabajo puede ser tan importante como la inversión en activos fijos. Un buen ejemplo de ello podría ser una empresa de alimentos balan-

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Capítulo 11

[316] J A V I E R S E R R A N O

ceados para animales, donde se requieren inventarios de seguridad en materias primas (p. ej., dos meses del consumo) y vender a crédito para poder competir en el mercado (p. ej., a 45 días), lo cual trae como consecuencia que la inversión permanente en inventarios y en cuentas por cobrar sea de un monto apreciable frente a las otras inversiones que requiere el negocio. Los activos operativos del negocio que conforman la inversión permanente en activos fijos y en capital de trabajo se deben financiar, en teoría, con fuentes de finan-ciamiento de mediano y largo plazo (capital financiero) que tienen un costo promedio ponderado (CPPC, o WACC por sus siglas en inglés). La participación de las diferentes fuentes de financiamiento de mediano y largo plazo determina la estructura de capital de la empresa, que es un subconjunto de la estructura financiera, tal y como se muestra en la Figura 11.2. En el flujo de caja libre para la firma o para el proyecto ya se tiene en cuenta que una porción importante del activo corriente se financia con fuentes de corto plazo, generadas en el giro ordinario del negocio; este flujo, que es un flujo no apalancado e independiente de la estructura de capital que se utilice para financiar la estructura operativa, se expresa como:

FJ = (UAII)J – (Imp)J + (Deprec.)J + (Amort. Dif.)J + (Otras correcciones)J - (Inversión en AF)J – (Inversión en CT)J

donde, (Inversión en AF)J: Inversión en activos fijos en el j-ésimo período (Inversión en CT)J: Inversión en capital de trabajo en el pésimo período (Inversión en CT)J = (Aumento en cuentas por cobrar)J + (Aumento en inventarios)J

– (Aumento en cuentas por pagar)J Por ello, la estructura operativa y financiera original se debe modificar antes de proceder a definir la estructura de capital y la participación de cada una de las fuentes de financiamiento, tal y como se muestra en la Figura 11.3, donde el activo corriente se netea con el pasivo corriente para incluir en la estructura operativa únicamente el capital de trabajo operativo neto. En teoría, una vez que se ha neteado el capital de trabajo operativo, los pasivos que quedan, de mediano y largo plazo, deberían corres-ponder a obligaciones financieras (deuda) y a patrimonio. En general, lo anterior no es estrictamente válido cuando se analiza un caso particular, en la medida en que en el giro ordinario del negocio pueden surgir otras fuentes de financiamiento de mediano y largo plazo que no corresponden a las dos categorías mencionadas, de naturaleza principalmente contable, tal y como ocurre con cuentas por cobrar de me-

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diano plazo, provisiones para prestaciones laborales (p. ej., provisiones para pensiones de jubilación), etc.

Figura 11.3 Estructuras operativa y de capital modificadas

En síntesis, el subconjunto de la estructura financiera que sólo tiene en cuenta las fuentes de financiamiento de mediano y largo plazo se denomina estructura de capital de la empresa, lo cual es aún más claro si se tiene en cuenta que en términos financieros el concepto de capital financiero se refiere a la sumatoria de todas las fuentes de financiamiento de mediano y largo plazo, el cual es mayor que el capital contable, que se restringe únicamente al patrimonio del negocio. El costo de estas fuentes de financiamiento de mediano y largo plazo determina el costo promedio ponderado de capital de la empresa. Las fuentes de financiamiento de mediano y largo plazo más comunes son: a)� Créditos bancarios a mediano y largo plazo (p. ej., 3 años) Financiamiento otorgado por un establecimiento de crédito (banco, compañía de financiamiento comercial) en unas condiciones acordadas entre las partes (monto, tasa de interés, forma de amortización, años de gracia a capital, comisiones de administración, etc.). El costo de la fuente de financiamiento dependerá de la tasa de interés, de las comisiones y de los costos de tramitación del crédito (p. ej., constitución de hipotecas). b)� Contratos de leasing En vez de un crédito comercial se tiene un contrato de leasing financiero que da acceso a los servicios del activo que es propiedad de la empresa que lo adquirió para arrendarlo, usualmente una compañía de financiamiento comercial. El costo del financiamiento corresponde al canon de arrendamiento que se paga periódicamente, el cual tiene las dos componentes: amortización a capital y gasto financiero.

Estructura operativa, estructura financiera y estructura de capital

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Capítulo 11

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c)� Bonos ordinarios La empresa puede ir directamente al mercado público de valores (MPV) y emitir bonos ordinarios que pagan un interés periódicamente, conocido como cupón, y que tienen algún esquema de amortización del capital, el cual muchas veces es al final de la madurez del bono. La emisión de bonos en el MPV está reglamentada y sometida a una legislación especial; al mismo tiempo, quien emite bonos en el MPV adquiere responsabilidades con el mercado, entre las cuales se cuenta el suministro de información eventual. Quien invierte en un bono le está dando un financiamiento a la empresa; asume el riesgo de solvencia del emisor, que se conoce a través de la calificación de una sociedad calificadora. d)� Bonos convertibles El bono de contenido crediticio inicialmente, con un cupón periódico, se puede amortizar al final de su vencimiento mediante la conversión del mismo en acciones de acuerdo con una fórmula preestablecida. La conversión puede ser obligatoria o a conveniencia del tenedor; en el primer caso se tienen los bonos obligatoriamente con-vertibles en acciones y en el segundo caso se tienen los denominados como con-vertibles. e)� Utilidades retenidas La asamblea de accionistas de la empresa puede decidir retener las utilidades dentro de la empresa en la forma de una reserva o repartirlas en la forma de dividendos. Las reservas son: reserva legal, reservas estatutarias, reservas con destinación específica y reservas de libre disponibilidad. f)� Financiamiento a través de la emisión de acciones ordinarias La empresa emite acciones y recibe el precio de suscripción, disminuido en los costos de la emisión (promoción, costos de depósito, etc.); la emisión de acciones en el MPV está reglamentada y para ello hay que seguir una normatividad especial. El tenedor de la acción (inversionista) adquiere el derecho a recibir un dividendo anual, pagadero en el monto y en la forma que lo establezcan los estatutos de la empresa y la asamblea de accionistas, y a participar en el gobierno de la empresa en la alícuota que le corresponda. g)� Financiamiento a través de la emisión de acciones preferentes Es similar al financiamiento a través de la emisión de acciones ordinarias, salvo que no se tiene derecho a participar en el gobierno de la empresa; como contraprestación, el accionista puede recibir un dividendo preferente que es mayor o igual al dividendo

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ordinario, o puede recibir un dividendo establecido como un porcentaje del valor nominal de la acción. En el resto del capítulo se estudian dos formas frecuentes de utilizar el concepto del costo promedio ponderado de capital, para evaluar el valor económico agregado por decisiones gerenciales: �� Establecer el capital invertido en el proyecto, estimar un costo en pesos, a partir

del costo promedio ponderado de capital, y restar dicho costo de la utilidad operacional después de impuestos, para determinar el valor económico agregado por el proyecto en el j-ésimo año, lo cual es la base del concepto moderno de EVA (valor económico agregado, en español)3.

�� Descontar el flujo de caja libre para el proyecto a una tasa igual al costo

promedio ponderado del capital invertido en el proyecto, lo cual dará como resultado el valor económico absoluto agregado a la empresa en el momento cero, como consecuencia de realizar el proyecto.

En general, si la rentabilidad del proyecto en sí es mayor que el costo promedio ponderado de capital, el proyecto se justificaría, ya que las inversiones por sí solas rentan más que el costo promedio en que se ha incurrido para financiarlas, por lo cual agregarían valor a la empresa. Otra forma de expresar lo anterior: si al descontar los flujos de caja libre para el proyecto a una tasa de interés igual al costo promedio ponderado de capital se obtiene un valor igual a A (VPN (i=CPPC) = A), este valor corresponde al valor adicional que el proyecto genera una vez que se han descontado todos los costos operativos incluidos en el flujo de caja libre para el proyecto y todos los costos financieros incluidos en el cálculo del costo promedio ponderado de capital, utilizado como tasa de descuento. Esto es, A sería el valor económico que el proyecto le agregaría a la empresa en el caso que el mismo fuera ejecutado. Por lo tanto, si: VPN(i=CPPC) = A > 0, el proyecto agregaría una magnitud de valor igual a A y por lo tanto se justificaría desde el punto de vista económico. Por el contrario, si VPN(i=CPPC) = C < 0, el proyecto no se justificaría ya que está destruyendo valor.

3 EVA, marca registrada de Stern Stewart & Co.

Estructura operativa, estructura financiera y estructura de capital

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Capítulo 11

[320] J A V I E R S E R R A N O

C Á L C U L O D E L C O S T O P R O M E D I O P O N D E R A D O D E C A P I T A L P A R A U N A E M P R E S A

El costo de capital se calcula como un costo promedio ponderado de capital de todas las fuentes de financiamiento de mediano y largo plazo (capital financiero). En términos simbólicos:

��

��

KJ

JJJ CWCPPC

1*

con W1+ W2+ W3+...+ Wj +...+ WK = 1

donde CJ corresponde al costo financiero (implícito o explícito) de la j-ésima fuente de financiamiento, K corresponde al número de fuentes de financiamiento que conforman la estructura de capital y WJ corresponde al factor de ponderación de la j-ésima fuente de financiamiento. En la determinación del costo promedio ponderado de capital para una empresa hay que responder tres preguntas que, aunque diferentes, están relacionadas, a saber: ¿Cuáles son las fuentes de financiamiento utilizadas en la determinación del costo promedio ponderado de capital? En otras palabras, ¿cuál es el valor de K? ¿Cuál es el costo de la j-ésima fuente de financiamiento? ¿Cómo se determinan los factores de ponderación? A continuación se establecen las respuestas a cada una de las preguntas que se aca-ban de formular. a)� Fuentes de financiamiento involucradas en el cálculo del costo promedio ponde-

rado de capital Solamente se deben incluir las fuentes de financiamiento de mediano y largo plazo para la determinación del costo promedio ponderado de capital, bajo el supuesto de que en un esquema de racionalidad económica las inversiones permanentes (activos fijos y la porción permanente del capital de trabajo) se financian con capital financiero (fuentes de financiamiento de mediano y largo plazo), a las cuales se hizo referencia previamente. Estas son principalmente: obligaciones financieras con establecimientos de crédito a mediano y largo plazo, contratos de leasing, bonos ordinarios, bonos convertibles en acciones, utilidades retenidas, acciones preferentes y acciones ordi-narias. Se deja al lector la discusión de cuándo se debería incluir el financiamiento de pro-veedores y cómo tratar la depreciación, ya que ésta hace parte de la generación inter-

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[321] [321]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Cálculo del costo promedio ponderado de capital para una empresa na de fondos con la cual se financia parte de la actividad empresarial, incluyendo la inversión. b)� Cálculo del costo financiero de la j-ésima fuente de financiamiento A estas alturas del libro ya se sabe con profundidad cómo se calcula el costo de cada una de las diferentes fuentes de financiamiento, por lo cual solamente se harán unos breves comentarios sobre el cálculo del costo de las más importantes:

b.1) Esquema general para el cálculo del costo de una fuente de financiamiento Se establece el flujo de fondos correspondiente a la fuente de financiamiento consistente en los ingresos financieros recibidos (usualmente al comienzo) y en las obligaciones adquiridas que se materializan en unos pagos periódicos (usualmente después de haber recibido los ingresos por financiamiento); adicionalmente hay que establecer el impacto tributario de los pagos realizados (usualmente un crédito tributario) y otros costos relacionados con la fuente de financiamiento (p. ej., comi-siones, gastos de constitución de hipotecas, etc.) en el momento en que se incurren. Al flujo resultante se le calcula la tasa interna de retorno para determinar el costo financiero de la fuente de financiamiento.

b.2) Costo de un crédito bancario Este tema se trató varias veces en los primeros capítulos del libro, y es consistente con el esquema general planteado en b.1: unos ingresos financieros al comienzo (desembolsos), unos egresos financieros posteriormente (amortizaciones a capital y pago de intereses), un crédito tributario (ya que los intereses y otros costos son dedu-cibles de impuestos), otros gastos por la tramitación del crédito (comisiones, consti-tución de hipotecas), todo lo cual resulta en un flujo de caja en un horizonte de tiempo, utilizando como período de análisis uno que usualmente coincide con la periodicidad para el pago de intereses. Al flujo resultante se le calcula la tasa interna de retorno, la cual se anualiza para determinar el costo financiero de un crédito (p. ej., un crédito bancario). Aunque el esquema anterior es bastante claro, no siempre el cálculo del costo de un crédito bancario está exento de error; esto ocurre cuando se contratan créditos indexados sobre algún benchmark o tasa de referencia que cambia con el tiempo, tal y como es usual en muchos países, incluyendo a Colombia4. Para el cálculo del costo financiero del crédito bancario hay que suponer o proyectar un comportamiento de la tasa de referencia, lo cual genera una dispersión de posibles valores como consecuencia de los diferentes valores que puede tomar la tasa de referencia, lo cual

4 Tasa de captación de certificados de depósito a término, conocida como tasa DTF en Colombia, tasa Prime en Estados Unidos o tasa Libor.

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Capítulo 11

[322] J A V I E R S E R R A N O

le agrega incertidumbre (riesgo) al cálculo del costo de la fuente de financiamiento. Aunque lo usual es suponer valores esperados de la tasa de referencia, obteniendo un valor esperado del costo de la fuente de financiamiento, no se puede ignorar que el comportamiento de la tasa de referencia es variable, y por lo tanto el cálculo del costo de la fuente de financiamiento está sujeto a un error, mayor o menor, dependiendo de la volatilidad de la tasa de interés que se está utilizando como tasa de referencia.

b.3) Costo de una emisión de acciones El esquema general al que se hace referencia en b.1 también sería aplicable: unos ingresos al comienzo, correspondientes al valor neto recibido por la colocación de cada acción; unos pagos periódicos de dividendos, inciertos ya que dependen del desempeño de la empresa y de una decisión de la asamblea de accionistas; los dividendos no generan crédito tributario. Al flujo resultante se le calcula la tasa interna de retorno, la cual estará sujeta a un error relacionado con la incertidumbre de los valores proyectados como dividendos. El valor neto recibido por acción (Po) corresponde al valor de suscripción por acción (Ps) menos los costos incurridos por acción para colocar la emisión en el mercado (Cs). En capítulos previos de este libro se demostró que en el caso en que los dividendos sigan un modelo de crecimiento constante, tal que: DJ = D1 * (1 + g)J-1, J = 2, 3 , 4, …, m, …, infinito el costo de un financiamiento a través de acciones, Ka, sería: Ka = (D1/Po) + g donde g corresponde a la tasa de crecimiento de los dividendos, que para este modelo se considera constante; Po corresponde al ingreso neto por acción, y D1 al dividendo decretado por acción para el primer período. Existen otras versiones más complejas que también se pueden calcular a través de expresiones algebraicas cerradas, que se dejan al lector como ejercicio (p. ej., el dividendo se decreta anual-mente y se paga con una periodicidad mensual, todos los pagos iguales dentro del mismo año; el dividendo para el segundo año se incrementa por la tasa g constante, manteniendo la periodicidad mensual para el pago, y así sucesivamente). La fórmula anterior solamente es válida si el supuesto de crecimiento constante de los dividendos también es válido. Si ese no es el caso, habría que proyectar utilidades, establecer una política de dividendos para proyectar los dividendos a pagar durante un período de tiempo dado y calcular la tasa interna de retorno del flujo resultante. Su utilización como aproximación es buena si se tiene en cuenta que el costo que se está imputando al financiamiento por acciones tiene dos componentes:

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�� Un yield o rendimiento que recibe el accionista por dividendos y que la empresa

tiene que pagar a perpetuidad, igual al dividendo decretado para el año dividido por el precio de la acción en el mercado (D1/P0), incluidos los gastos de emisión de acciones.

�� El crecimiento futuro esperado de las utilidades, igual a g, que espera recibir el

accionista, el cual muchas veces constituye la motivación principal para invertir.

b.4) Costo de financiamiento mediante utilidades retenidas El costo explícito de las utilidades retenidas corresponde al costo del ajuste por inflación, cuando existe contablemente; sin embargo, el costo financiero corresponde al costo de oportunidad de los accionistas, bajo el supuesto de que el accionista dejará las utilidades en la empresa solamente si la reinversión de las mismas le genera un rendimiento mayor o igual al que puede obtener por fuera del negocio. Lo an-terior, aunque válido desde el punto de vista teórico, no resulta operativo. Por lo tan-to se suele tomar como costo de las utilidades retenidas el mismo costo de una emisión de acciones, sin incluir los gastos incurridos en la emisión de acciones, lo cual resulta en un costo financiero menor. En el modelo de crecimiento constante de los dividendos, el costo resultante sería: Kur = (D1/Ps) + g donde Ps es el precio de suscripción por acción. c)� Determinación de los factores de ponderación La determinación de los factores de ponderación corresponde a una de las discusiones más interesantes desde el punto de vista conceptual: ¿se deben utilizar los factores de ponderación resultantes de la estructura de capital actual de la empresa, o se deben utilizar factores de ponderación estimados con base en la estructura marginal de capital? La respuesta a la pregunta anterior depende de la utilización que se le va a dar al valor del costo de capital que se está estimando; si el mismo se va a utilizar para tomar decisiones de inversión, no se puede utilizar la estructura actual de capital (p. ej., factores de ponderación extraídos del balance de la empresa), sino factores de ponderación extraídos de la estructura marginal de capital; en otras palabras, habría que establecer cómo se va a financiar la empresa en el futuro y, con base en esa estructura marginal de capital, estimar los factores de ponderación.

Cálculo del costo promedio ponderado de capital para una empresa

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Capítulo 11

[324] J A V I E R S E R R A N O

Para que lo anterior tenga sentido, se debe hacer dentro del contexto de la planea-ción estratégica, a través de los siguientes pasos: �� Establecer la situación actual o punto de partida (p. ej., A) a través de un análisis

de fortalezas y debilidades. �� Establecer lo que permite y/o restringe el medio ambiente a través de un análisis

de oportunidades y amenazas. �� Con base en lo anterior, establecer los objetivos estratégicos de la empresa, esto

es, el punto o nivel al que se quiere llegar (p. ej., B), en un horizonte dado de tiempo (p. ej., 3 o 5 años).

�� Identificar las diferentes alternativas estratégicas para ir de A a B. �� Evaluar alternativas y seleccionar el plan estratégico más eficiente para lograr los

objetivos estratégicos, en el horizonte de tiempo considerado (p. ej., 3 o 5 años). �� En el plan estratégico a que se hace referencia en el punto anterior, identificar el

plan o presupuesto de inversiones necesario para lograr los objetivos estratégicos contemplados en el plan estratégico de la empresa (p. ej., el plan quinquenal de inversiones).

�� Para el plan de inversiones hay que establecer el plan financiero de la empresa,

para el mismo horizonte de tiempo dado, consistente en cuánto se puede generar internamente y cuánto se puede obtener externamente en los mercados finan-cieros (créditos, emisión de bonos, emisión de acciones), durante el horizonte de tiempo del plan estratégico.

�� Finalmente, con base en el plan financiero de la empresa resultante del

procedimiento anterior, se establecen los factores de ponderación para deter-minar el costo de capital con el cual se irían a evaluar las decisiones de inversión de la empresa en los próximos años.

�� No hay que olvidar que el plan financiero tiene que “cuadrar” con el plan de

inversiones, lo cual se logra a través de un proceso iterativo que lleva a modificar los objetivos estratégicos establecidos inicialmente. Si el plan financiero no es suficiente para cubrir las necesidades de inversión de la empresa, habría que reducir los niveles de aspiración, modificando los objetivos estratégicos, replan-teando el plan de inversiones y así sucesivamente, hasta que se logre el “cuadre” entre el plan de inversiones modificado y el plan financiero.

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d)� Consecuencias de los errores incurridos en la estimación del costo de capital Tal y como se desprende de las respuestas a las preguntas formuladas en los literales a, b y c, la estimación del costo de capital corresponde a un proceso que no está libre de error. A mayor incertidumbre, mayor error con consecuencias muy diversas sobre la empresa, que se pueden resumir en dos categorías dependiendo de si se presenta una sobreestimación o una subestimación del costo de capital para la empresa. �� En el caso de una sobreestimación, la consecuencia principal sería la de rechazar

proyectos que le podrían agregar valor a la empresa, lo cual no será grave si existe un número suficiente de proyectos de inversión ya identificados que agreguen valor.

�� En el caso de una subestimación, la situación puede ser más grave, ya que se

podrían estar aceptando proyectos que en vez de crear valor estuvieran destru-yendo valor. No es de extrañar, por lo tanto, que algunas empresas agreguen una prima adicional al estimativo inicial del costo de capital, como una previsión para no incurrir en la aceptación de proyectos que no agreguen valor a la empresa.

El criterio de aceptación o de rechazo de proyectos con base en el costo promedio ponderado de capital, que se ha visto hasta ahora en este capítulo, supone que todos los proyectos tienen el mismo riesgo, lo cual no es necesariamente cierto. Por ello, hay que ajustar el costo promedio ponderado de capital así estimado, con una prima por riesgo, para reflejar el mayor o menor riesgo operativo o comercial de un proyecto frente al riesgo operativo promedio de la empresa. Usualmente ese ajuste se hace a través de la utilización del modelo denominado CAPM, que se presentará posteriormente. E J E M P L O S S O B R E C Á L C U L O D E L C O S T O D E C A P I T A L

Ejemplo 11.1 Una empresa paga dividendos de acuerdo con el modelo de valoración de acciones de Gordon (modelo de crecimiento constante). El rendimiento por dividendos (dividend yield) es del 7% y el crecimiento en reales esperado de la utilidad y del dividendo es del 4%, con una inflación esperada del 4,5%. ¿Cuál es el costo de la aportación patrimonial (equity)?

Rendimiento por dividendo: 7,00%, yield Crecimiento en reales: 4,00% Inflación esperada: 4,50% Crecimiento en nominales: 8,68%

Ejemplos sobre cálculo del costo de capital

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Capítulo 11

[326] J A V I E R S E R R A N O

Costo de la aportación patrimonial: 15,68% según la aplicación del modelo de Gordon.

La empresa del problema anterior utiliza deuda y patrimonio con las siguientes parti-cipaciones en la estructura de capital: 35% deuda y 65% patrimonio; consigue deuda en el mercado con un costo efectivo antes de impuestos del 14%. La tasa de impuestos corporativa es del 33%. ¿Cuál es el costo promedio ponderado de capital de la empresa (WACC, por sus siglas en inglés)?

Costo de la deuda, AI: 14,00% Tasa de impuestos: 33,00% Costo de la deuda, DI: 9,38% Estructura de capital Deuda: 35,00% Patrimonio: 65,00%

WACC = 0,35 * 9,38% + 0,65 * 15,68% = 13,48%

La empresa con los parámetros de los dos problemas anteriores está considerando un proyecto cuyo flujo de caja libre para la firma se muestra en el siguiente cuadro, para su vida útil de 7 años.

Año FCLFJ

0 -350.000.000

1 60.000.000

2 75.000.000

3 87.000.000

4 99.000.000

5 112.000.000

6 128.000.000

7 140.000.000

El valor económico (EVA) que el proyecto le agrega a la empresa es igual a $57.636.665, que es el valor presente neto del flujo de caja libre para la firma descontado al costo promedio ponderado de capital. Ejemplo 11.2 Una empresa está estudiando la factibilidad de su plan de inversiones a 3 años, el cual tiene una tasa interna de retorno promedio del 28% después de impuestos. La estructura actual de capital muestra las siguientes participaciones: deuda a largo plazo: 35%, bonos: 20%, acciones: 25% y utilidades retenidas: 20%. El proyecto

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[327] [327]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ejemplos sobre cálculo del costo de capital

requiere una inversión total de $10.000 millones; la empresa espera conseguir recur-sos durante los próximos años para financiar el plan de inversiones según el siguiente presupuesto: �� Generación interna de fondos a través de utilidades retenidas por un valor de

$2.500 millones. �� Emisión de acciones con miras a conseguir unos recursos netos del orden de

$2.500 millones. En el momento actual el precio de mercado de la acción, que sería el mismo precio de suscripción, es de $5.000; la empresa pagará un dividendo de $600 por acción durante el año en curso; los pagos se hacen trimestrales, en partes iguales (considere el pago al final de cada trimestre), y así sucesivamente para los siguientes años. Se espera que el dividendo declarado para los próximos años crezca en un 3% en términos reales; suponga una tasa de inflación del 12% anual. Los gastos de emisión de acciones se estiman en un 3% del valor de suscripción.

�� Un préstamo bancario a 3 años, por valor de $5.000 millones, con una tasa del

26% nominal anual pagadero trimestre vencido, el cual se amortiza por partes iguales al final de cada uno de los tres años; los costos de tramitación del crédito se estiman en 1% del valor del mismo.

¿Qué puede decir sobre la conveniencia o no del plan de inversiones, teniendo en cuenta el plan financiero? ¿Habrá adición de valor como consecuencia de la realización del plan de inversiones? Teniendo en cuenta lo expuesto en el numeral anterior, la estimación del costo promedio ponderado de capital se va a hacer con base en la estructura marginal de capital, que corresponde precisamente a la programación establecida para conseguir recursos en el horizonte de planeamiento de 3 años. Los factores de ponderación se van a estimar teniendo en cuenta el peso relativo de cada fuente de financiamiento en el valor total de la estructura marginal de capital. A continuación se presentan las bases del cálculo del costo de cada una de las tres fuentes de financiamiento disponibles, que conforman la estructura marginal de capital: a)� Costo de la emisión de acciones El flujo de dividendos del primer año corresponde a 4 pagos iguales al final de cada trimestre de tamaño 150; para el segundo año, se tienen cuatro pagos iguales al final de cada trimestre, por un valor de 150*(1+g); para el tercer año, se tienen cuatro pagos iguales al final de cada trimestre, por un valor de 150*(1+g)2, y así suce-

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Capítulo 11

[328] J A V I E R S E R R A N O

sivamente para los siguientes años. Para calcular el costo de esta fuente de financiamiento se acumulan los 4 flujos trimestrales iguales de cada año, al final del año, y se aplica el modelo conocido de crecimiento constante a los valores acumu-lados al final de cada año. Para el primer año, habría 4 pagos de dividendos, iguales a A. Los cuatro pagos acumulan al final del año A[((1+itv)4-1)/itv]. Para el segundo año, habría 4 pagos de dividendos, iguales a A*(1+g). Los cuatro pagos acumulan al final del año A*(1+g)[((1+itv)4-1)/itv]. Para el tercer año, habría 4 pagos de dividendos, iguales a A*(1+g)2. Los cuatro pagos acumulan al final del año A*(1+g)2[((1+itv)4-1)/itv].

y así sucesivamente. Aplicando el modelo de crecimiento constante de los dividendos, para los valores acumulados al final de cada año, se tendría:

)1)1((*)(*

)(

)1)1((

*4

1

4

����

��

�eaea

ea

ea

tv

tv

igi

iA

giii

AP

donde P = (5.000 -0,03*5.000) = 4.850 A = 150 (1+iea) = (1+itv)4 g = (1+0,03)*(1+0,12)-1 = 0,1536 Resolviendo la ecuación anterior para iea, se obtiene iea = 29,01%, que es el costo de la emisión de acciones.

b)� Costo del crédito En el Cuadro11.1 se muestra el flujo de caja para el cálculo del costo del crédito después de impuestos, teniendo en cuenta los créditos tributarios que generan los pagos de intereses y los costos involucrados en la tramitación del crédito.

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[329] [329]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Cuadro 11.1

Per. Desembolso Trámites Amortización InteresesCrédito trib.

intereses Crédito trib.

trámites Flujo neto

0 5.000 50 4.950,001 325,00 -325,002 325,00 -325,003 325,00 -325,004 1.666,67 325,00 455,00 17,50 -1.519,175 216,67 -216,676 216,67 -216,677 216,67 -216,678 1.666,67 216,67 303,33 -1.580,009 108,33 -108,33

10 108,33 -108,3311 108,33 -108,3312 1.666,67 108,33 151,67 -1.623,33

Tasa interna de retorno: 4,48% trimestral Costo efectivo anual: 19,17%

c)� Costo de las utilidades retenidas Cálculos similares a los del costo de la emisión de acciones, sin tener en cuenta los costos de emisión; en otras palabras, la ecuación se resuelve para P = 5.000.

Esto es, la solución a la siguiente ecuación:

)1)1((*)1536,0(

*150000.54

1���

�eaea

ea

ii

i

Resolviendo la ecuación anterior para iea, se obtiene iea = 28,58% d)� Cálculo del costo promedio ponderado de capital En el Cuadro 11.2 se muestra el resumen para el cálculo del costo promedio pon-derado de capital; como se mencionó, los factores de ponderación se estiman con base en la estructura marginal de capital, a partir de los valores brutos que habría que conseguir para completar los 10.000 millones netos, teniendo en cuenta los costos involucrados:

Ejemplos sobre cálculo del costo de capital

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[330]

Capítulo 11

[330] J A V I E R S E R R A N O

Cuadro 11.2

Fuente de financiación

Estadoactual

Estructuramarginal

Costofuente

Factorponderac.

CPPC

Deuda largo plazo 35% 5.050,51 19,17% 49,87% Bonos 20% 0,00 0,00% Acciones 25% 2.577,32 29,01% 25,45% Utilidades retenidas 20% 2.500,00 28,58% 24,68% Total 100% 10.127,82 24,00%

Costo promedio ponderado: 24%. e)� Análisis del plan de inversiones La rentabilidad del plan de inversiones es del 28% después de impuestos, superior al costo promedio ponderado de capital calculado (24%). Por lo tanto, el plan de inver-siones es conveniente, ya que agrega valor a la empresa. La magnitud de valor agregado sería igual 10.000 * (0.28 - 0.24) = $400 millones por año. V A L O R D E L A P A L A N C A M I E N T O F I N A N C I E R O

La descomposición de la rentabilidad sobre el patrimonio en sus tres factores expli-cativos permite establecer la importancia del apalancamiento financiero: RSP = (Utilidad neta/Patrimonio) RSP = (Utilidad neta/Ventas) * (Ventas/Activos) * (Activos/Patrimonio) RSP = (Utilidad neta/Ventas) * (Ventas/Activos) * (1+(Pasivo/Patrimonio)) RSP = (Margen neto) * (Rotación de activos) * (1+ Apalancamiento financiero) La expresión anterior muestra que a mayor apalancamiento financiero, esto es, a mayor utilización de la deuda, mayor la rentabilidad sobre el patrimonio. Como se presenta a continuación, existen restricciones, ya que las ventajas del apalancamiento se pierden en la medida en que se aumente el endeudamiento financiero y se alcancen niveles de riesgos que lleven a los proveedores de recursos a cobrar primas adicionales para compensar la mayor exposición al riesgo financiero. El uso excesivo de la deuda financiera en la estructura de capital genera un stress financiero que puede llevar a anular las ventajas del apalancamiento financiero provenientes del beneficio tributario derivado de la deducibilidad de los gastos financieros5.

5 El beneficio tributario proveniente de esta deducibilidad de los gastos financieros se conoce como escudo fiscal o “tax Shield”, en inglés.

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Valor del apalancamiento financiero En otras palabras, existen limitaciones al uso de la deuda, que llevan a eliminar las ventajas del apalancamiento financiero, tal y como se muestra en la Figura 11.4, donde se presentan las curvas correspondientes al costo de la aportación patrimonial, al costo de la deuda financiera y al costo promedio ponderado de capital, para una estructura de capital que utilice aportación patrimonial y deuda financiera.

Figura 11.4 Apalancamiento financiero

Algunas observaciones con respecto a la forma de las curvas en la gráfica anterior y sus posiciones relativas:

a)� El costo de la aportación patrimonial corresponde al rendimiento para el accio-nista; el mismo comienza a aumentar a partir de cierto nivel de endeudamiento (apalancamiento financiero), como consecuencia del mayor riesgo a que está expuesto el inversionista; en otras palabras el inversionista espera recibir una prima que le compense el mayor riesgo financiero. Por lo tanto existe una prima por riesgo, que aumenta con el nivel del apalancamiento financiero.

b)� La curva del costo de la deuda tiene un comportamiento similar a la curva del costo de la aportación patrimonial ya que los establecimientos de crédito o los tenedores de bonos van a exigir un mayor rendimiento a medida que aumenta el riesgo financiero, o la entidad va a tener que recurrir a fuentes de financiamiento más costosas, por tener cerradas las más baratas.

c)� La curva del costo de la deuda, en general, está por debajo de la curva del costo de la aportación patrimonial como consecuencia del tratamiento tributario de los gastos financieros, ya que éstos son deducibles de impuestos, mientras que el pago de dividendos no lo es. En otras palabras, el Estado, a través del crédito tributario, correspondiente a los gastos financieros, contribuye a cubrir el costo de la utilización de la deuda. La conocida relación existente entre el valor de una empresa apalancada y el valor de una empresa no apalancada derivada por

AportaciónPatrimonial

Deuda

Costo PromedioPonderado de Capital

COSTO

Deuda/(Deuda+Patrimonio)

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[332]

Capítulo 11

[332] J A V I E R S E R R A N O

Modigliani-Miller, VA = VNA + t B 6, solamente es válida bajo ciertos supuestos entre los cuales se cuenta la inexistencia de riesgo financiero para los tenedores de bonos. En general se alcanza un valor máximo de la firma7 cuando el costo promedio ponderado de capital es mínimo; cuando el costo promedio ponderado de capital comienza a aumentar nuevamente como consecuencia del stress financiero, empieza a disminuir el valor de mercado de la firma.

d)� Al comienzo, la combinación entre deuda y aportación patrimonial disminuye el costo promedio ponderado de capital a un nivel donde ese costo es mínimo; a partir de ese momento, como consecuencia del mayor riesgo que perciben los diferentes proveedores de recursos, empieza a aumentar el costo promedio pon-derado de capital y por lo tanto se comienzan a perder las ventajas del apalan-camiento financiero.

e)� La combinación entre deuda y aportación patrimonial, para la cual el costo promedio ponderado de capital es mínimo, corresponde a la estructura óptima de capital de la empresa, que se debería buscar como un objetivo de la utilización de la deuda financiera.

V A L O R E C O N Ó M I C O A G R E G A D O ( V E A )

Previamente se enfatizó que al descontar el flujo de caja libre para el proyecto a una tasa de interés igual al costo promedio ponderado de capital [VPN(i = CPPC) = A] la cifra resultante A sería la magnitud de valor que la ejecución del proyecto le agregaría a la empresa. El concepto anterior ha servido como guía para la toma de decisiones de inversión.

En tiempos más recientes, G. Bennett Stewart III retomó este concepto y estableció otra forma de presentación, para construir un indicador que permite una mejor comprensión y utilización desde el punto de vista administrativo. Así surge el concepto moderno de valor económico agregado (VEA en español, o EVA en inglés, correspondiendo a las siglas de economic added value)8.

Para determinar el valor económico que la gestión gerencial le agrega a una empresa hay que establecer, por un lado, la estructura operativa del negocio y, por el otro, su estructura de capital; en otras palabras, determinar las inversiones permanentes en el negocio (activos fijos e inversión permanente en capital de trabajo) y las fuentes de

6 En esta expresión, t es la tasa de impuestos y B es el valor de mercado de la deuda, VA es el valor de la firma apalancada y VNA es el valor de la firma no apalancada. Para un tratamiento riguroso del tema ver Copeland Thomas E., Fred Weston, Kuldeep Shrastri, Financial Theory and Corporate Policy, 4ª. ed., Pearson, Adison Wesley, Capítulo 15. 7 Firma igual a activos operativos. 8 La obra clásica es The Quest for Value, de G. Bennett Stewart III (Harper Business, 1991). EVA es una marca registrada de Stern Stewart & Co.

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Valor económico agregado (VEA)

financiamiento que se han utilizado para financiar esas inversiones permanentes (capital financiero). Al comparar los flujos que genera la primera (UAII) y los costos que ocasiona la segunda se obtiene el valor económico agregado por la gestión gerencial a una empresa durante un período dado de tiempo.

La estructura operativa del negocio en un período dado, interactuando con el mer-cado, genera una utilidad antes de intereses e impuestos (UAII)J, que al no tener en cuenta el apalancamiento financiero resulta en una utilidad operativa después de impuestos (UAII)J * (1-timp), donde timp corresponde a la tasa de tributación de la empresa, sin tener en cuenta el efecto del apalancamiento financiero sobre los impuestos. Por otro lado, el capital invertido en la empresa para financiar su estruc-tura operativa (CAPITAL)J, durante el mismo período de tiempo, tiene un costo en términos absolutos, igual al producto de ese capital invertido por el costo promedio ponderado de capital (CAPITAL)J * CPPCJ; la comparación entre los dos produce el valor económico agregado a la empresa durante el mismo período de tiempo. En términos puramente notacionales: (VEA)J = (UAII)J * (1-timp) - (CAPITAL)J * CPPCJ

donde:

(VEA)J: valor económico agregado durante el j-ésimo período de tiempo.

(UAII)J * (1-timp): utilidad operativa después de impuestos durante el j-ésimo período, sin tener en cuenta el efecto del apalancamiento financiero sobre los impuestos, para evitar una doble contabilización del mismo, ya que éste se considera en el cálculo del costo promedio ponderado de capital, al considerar el costo de la deuda después de impuestos.

(CAPITAL)J: corresponde al capital invertido en la empresa para financiar la estructura operativa, el cual tiene un costo porcentual igual al costo promedio ponderado de capital durante el mismo período de tiempo, CPPCJ. Aunque en la versión original de Stewart se considera el capital invertido al comienzo del j-ésimo período, en otras versiones se podría utilizar el capital promedio durante todo el período.

La formulación anterior corresponde a la versión original de Bennett Stewart; posteriormente han aparecido otras versiones, con una mayor inclinación hacia la utilización de flujo de caja operativo después de impuestos sin el apalancamiento, en lugar de la utilidad operativa después de impuestos. Aunque los resultados numéricos son diferentes, la utilización del concepto básico sigue siendo la misma.

Al volver a la definición del retorno sobre la inversión, como:

ROIJ = [(UAII)J * (1-timp)]/(CAPITAL)J

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Capítulo 11

[334] J A V I E R S E R R A N O

se puede expresar el valor económico agregado (VEA)J, así: VEAJ = (ROIJ - CPPCJ) * (CAPITAL)J En otras palabras, solo generan valor aquellas decisiones cuyo retorno sobre la inversión después de impuestos sea mayor que el costo promedio ponderado de capital necesario para su financiamiento, concepto que es muy viejo en la teoría financiera, el cual ha sido la base para la toma de decisiones de inversión durante mucho tiempo.

El valor del aporte de Bennett Stewart fue el de retomar un concepto antiguo y presentarlo en una forma más accesible para la gerencia en general, permitiendo la identificación de aquellos factores que generan valor al interior de una empresa (value drivers), entre los cuales se pueden mencionar:

�� Eficiencia operativa y/o administrativa, reflejada en la (UAII)J. �� Una menor utilización de activos para soportar la misma utilidad operacional; esto

es, una mayor rotación de activos fijos y de capital de trabajo. �� La utilización del apalancamiento financiero, para disminuir el costo promedio

ponderado de capital. �� La definición de una estructura óptima de capital. �� La planeación tributaria para disminuir el monto de los impuestos a pagar.

Otro aspecto especialmente importante del concepto del valor económico agregado es que puede ser aplicado a una empresa como un todo, para determinar si la gestión global está agregando valor o no, o a una unidad de negocios, para determinar la contribución de la misma a la creación de valor de una empresa, o a un proyecto, para determinar si el mismo se justifica desde del punto de vista económico, al agre-gar valor a la empresa. La tendencia moderna es a analizar cada unidad de negocios de una empresa desde el punto de vista de su contribución a la creación o destrucción de valor, lo cual permite establecer planes de acción concretos para determinar cuándo se debe mantener una unidad de negocios y/o tomar las acciones pertinentes para su eliminación y/o reestructuración.

Al tener en cuenta estas prácticas, el concepto de valor económico agregado se comienza a utilizar ampliamente para establecer planes de compensación tanto para los ejecutivos como para el resto del personal de la empresa, ya que se puede ligar el desempeño al valor económico agregado de una unidad de negocios y distribuir parte de ese valor agregado por la gestión, entre todos los trabajadores de la unidad de negocios.

Asimismo, se puede relacionar el concepto de valor económico agregado con el valor de mercado de un negocio, al descontar los valores económicos agregados durante un período dado, al costo promedio ponderado de capital. El resultado de esta operación se denomina valor de mercado agregado (VMA); en otras palabras,

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[335] [335]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

��

� ��

NJ

JJ

J

CPPC

VEAVMA

10 )1(

)(

En la Figura 11.5 se resumen los pasos para el cálculo del valor económico agregado de una empresa: en la parte superior se calcula la utilidad antes de intereses e impuestos como la resultante de la interacción entre la estructura operativa y la dinámica del mercado; en la parte inferior se calcula el costo promedio ponderado de capital como la resultante de la estructura de capital utilizada y se estima un costo imputado por utilizar ese capital, igual a la inversión permanente por el costo promedio ponderado estimado; finalmente, la comparación entre las dos resulta en el valor económico agregado (VEA) para el período.9

Figura 11.5 Determinación del valor económico agregado

V A L O R E C O N Ó M I C O A G R E G A D O : D O S A P R O X I M A C I O N E S A T R A V É S D E U N E J E M P L O

Suponga un proyecto de inversión con una vida de 6 años, que requiere una inversión inicial en activos fijos por valor de $2.500 millones (fecha cero) e inversiones adicionales, también en activos fijos, de $200, $250, $300 y $350 millones durante los cuatro primeros años. Así mismo se requiere una inversión inicial en capital de trabajo de $500 millones, e inversiones adicionales, también en capital de trabajo, respectivamente de $77, $77, $87, $98, $112 y $126 millones durante los 6 años de la vida del proyecto. Se va a depreciar el 90% de la inversión en activos fijos, en 9 G. Bennett Stewart, III , , Stern Stewart & co, Harper Business, 1990.

MERCADO

UAIIJ*(CPPC)J

(capital)J*(CPPC)�

ESTRUCTURA OPERATIVA Inversiones

Permanentes

ESTRUCTURA DE

CAPITAL (CPPC)J

INVERSIÓN PERMANENTE

(Capital)J

(VEA)J=UAIIJ*(1-t)- (capital)J*(CPPC)J

Valor económico agregado: dos aproximaciones a través de un ejemplo

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Capítulo 11

[336] J A V I E R S E R R A N O

forma tal que la que se realiza en la fecha cero se deprecia a 6 años, la que se realiza en el primer año se deprecia a 5 años, la que se realiza en el segundo año, a 4 años, y así sucesivamente. Al final de los 6 años, los activos se venden por $600 millones. La utilidad antes de intereses, impuestos y depreciación para cada uno de los 6 años es la que se muestra en el Cuadro 11.3:

Cuadro 11.3 Año 1 2 3 4 5 6

Utilidad antes de intereses, impuestos y depreciación

1.375 1.566 1.801 2.098 2.494 2.770

La inversión inicial en activos fijos y capital de trabajo por valor de $3.000 millo-nes se va a financiar en un 55% con un crédito a 6 años, amortizable totalmente al final de los 6 años, con una tasa de interés del 32% efectivo anual; para simplificar, se supone que los intereses se pagan al final de cada año. El 45% restante se va a financiar con emisión de acciones y/o utilidades retenidas, sin tener en cuenta los costos de emisión de acciones; la tasa libre de riesgo en el mercado es del 16% y la rentabilidad promedio del mercado es del 22%; el Beta apalancado para esta estructura de capital es de 1.5; la tasa de tributación es del 35%.

a)� Calcular el valor económico agregado utilizando la metodología tradicional de evaluación de proyectos.

b)� Calcular el valor económico agregado utilizando la metodología de VEA.

En este ejemplo se ilustra el cálculo del valor económico agregado utilizando la metodología tradicional de evaluación de proyectos y la más reciente de VEA. Para el primer caso se calcula el flujo de caja libre para el proyecto, o flujo de caja para el cálculo de la rentabilidad del proyecto en sí, independientemente de sus fuentes de financiamiento, tal y como se presentó en el Capítulo 7 de este libro.

En el segundo caso se calcula la utilidad antes de intereses e impuestos, los impuestos a pagar sin tener en cuenta los gastos financieros, esto es, sin tener en cuenta el apalancamiento financiero, que se considera en el cálculo del costo promedio ponderado de capital. A la utilidad operativa después de impuestos, sin tener en cuenta el efecto del apalancamiento, se le resta el costo correspondiente al financiamiento de los recursos invertidos en el proyecto, que no es otro que la inversión en activos fijos, teniendo en cuenta la depreciación y la inversión en capital de trabajo. En otras palabras,

EVAt = UAIIt * (1-t) - I(t-1) * (CPPC)t donde I(t-1) es la inversión neta que se mantiene en el negocio, teniendo en cuenta la depreciación, al final del período t-1 (o comienzo del período t), y (CPPC)t es el

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Valor económico agregado: dos aproximaciones a través de un ejemplo

costo promedio ponderado de capital para el período t; UAIIt corresponde a la utilidad antes de intereses e impuestos y t a la tasa de tributación (35%).

Para el cálculo del costo promedio ponderado de capital se utiliza la estructura marginal de capital; se estima el costo de la deuda después de impuestos y se estima el costo de la aportación patrimonial utilizando el modelo CAPM, que se verá posteriormente; en otras palabras:

(CPPC)t = W1Kd * (1-t) + W2KE

donde Kd * (1-t) corresponde al costo de la deuda después de impuestos y KE corresponde al costo de la aportación patrimonial, calculado de acuerdo con la siguiente expresión:

KE = RF + (RM - RF) * Bj

donde RF la tasa libre de riesgo, RM la rentabilidad promedio del mercado y Bj el coeficiente Beta para el proyecto, teniendo en cuenta el porcentaje de deuda que se usa en la estructura de capital.

Los cálculos que se presentan a continuación muestran la aplicación de las dos metodologías (tradicional y VEA), con resultados que coinciden, tal y como era de esperarse; en ambos casos el valor económico agregado es igual a $831,87 millones a la fecha cero.

Equivalencia entre el concepto de VEA y la evaluación tradicional de proyectos

En el Cuadro 11.4 se resumen los datos básicos del problema:

Cuadro 11.4 Datos básicos del problema

Año 0 1 2 3 4 5 6

Inflación 12,0% 10,0% 10,0% 10,0% 10,0% 10,0%Inversiones Inversión inicial activos fijos 2.500 Inversión adicional activos fijos 200 250 300 350 Inversión total en activos fijos 2.500 200 250 300 350 0 0 Inversión inicial en capital de trabajo 500 Inversión adicional en capital de trabajo 77 77 87 98 112 126Inversión total en capital de trabajo 500 77 77 87 98 112 126Inversión total 3.000 277 327 387 448 112 126Inversión acumulada en activos fijos 2.500 2.700 2.950 3.250 3.600 3.600 3.600Inversión acumulada en capital de trab. 500 577 654 740 839 950 1.077Inversión acumulada total 3.000 3.277 3.604 3.990 4.439 4.550 4.677

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Capítulo 11

[338] J A V I E R S E R R A N O

En el Cuadro 11.5 se resumen los cálculos para determinar el valor en libros de la inversión, teniendo en cuenta la depreciación correspondiente de los activos fijos:

Cuadro 11.5

Cálculo del valor en libros de la inversión

Año 0 1 2 3 4 5 6 Cálculo de la depreciación

Inversión depreciable 90,00%

Inversión acumulada en activos fijos 2.500 2.700 2.950 3.250 3.600 3.600 3.600

Valor depreciable inv. año 0 2.250

Valor depreciable inv. año 1 180

Valor depreciable inv. año 2 225

Valor depreciable inv. año 3 270

Valor depreciable inv. año 4 315

Depreciación, inv. año 0, 6 años 375 375 375 375 375 375

Depreciación, inv. año 1, 5 años 36 36 36 36 36

Depreciación, inv. año 2, 4 años 56 56 56 56

Depreciación, inv. año 3, 3 años 90 90 90

Depreciación, inv. año 4, 2 años 158 158

Cargo por depreciación anual 375 411 467 557 715 715

Valor en libros inversión activos fijos 2.500 2.325 2.164 1.997 1.790 1.075 360

Venta del activo, final vida útil 600

Utilidad en venta de activo fijo al final 156

En el Cuadro 11.6 se resumen los cálculos necesarios para estimar el costo promedio ponderado de capital de la empresa, bajo las condiciones especificadas:

Cuadro 11.6 Cálculo del costo promedio ponderado de capital

Financiamiento inicial 55% crédito a 6 años al 32% efectivo anual, amortizable al final 1.650 45% acciones y/o utilidades retenidas Tasa libre de riesgo 16%; Beta del 1.5 1.350 Rentabilidad promedio del mercado: 22%Financiamiento total 3.000 Cálculo del costo de capital Cálculo del costo de de la deuda Cd= 0,32*(1-0.35) 20,80% Cálculo del costo de los recursos propios Ke=Rf + (Rm-Rf)*Beta Ke=16% + (22%-16%)*1.5 25,00% Costo promedio ponderado de capital CPPC = 0,55*Cd + 0.45*Ke 22,69%

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En el Cuadro 11.7 se muestran los cálculos necesarios para calcular el valor presente neto del proyecto, utilizando la aproximación tradicional de evaluación de proyectos y recordando que el valor presente neto, calculado utilizando el costo promedio ponderado de capital como tasa de descuento, es igual a la magnitud de valor que el proyecto le agrega a la empresa.

Cuadro 11.7 Cálculo del valor presente neto (aproximación tradicional)

Año 0 1 2 3 4 5 6Cálculo del valor agregado a la fecha cero Utilidad antes de intereses, impuestos y depreciación 1.375 1.566 1.801 2.098 2.494 2.770Depreciación 375 411 467 557 715 715Utilidad antes de intereses e impuestos 1.000 1.155 1.334 1.541 1.780 2.055 Impuestos sin apalancamiento financiero 350 404 467 539 623 719Utilidad operativa después de impuestos 650 751 867 1.002 1.157 1.336 + Depreciación activos fijos 375 411 467 557 715 715 - Inversión en activos fijos -2.500 -200 -250 -300 -350 0 0 - Inversión en capital de trabajo -500 -77 -77 -87 -98 -112 -126 + Ingreso neto venta activos fijos 516 + Ingreso recuperación capital de trabajo 1.077Flujo de caja libre para el proyecto -3.000,0 748,2 835,0 947,4 1.110,3 1.759,9 3.517,3

Costo promedio ponderado de capital 22,690% 22,69% 22,69% 22,69% 22,69% 22,69% 22,69%Valor presente neto al CPPC 831,87

Tasa interna de retorno 31,10%

En el Cuadro 11.7 se presentaron los pasos necesarios para la construcción del flujo de caja libre para el proyecto, que permite calcular la rentabilidad del proyecto en sí y el valor presente neto del proyecto, descontado al costo promedio ponderado de capital, el cual dio igual a 831,87, que es la magnitud de valor que la ejecución del proyecto le agregaría a la empresa. En el Cuadro 11.8 se muestran los cálculos necesarios para determinar el valor económico agregado, utilizando la metodología del VEA. El valor presente de los valores económicos agregados por año, utilizando como tasa de descuento el costo promedio ponderado de capital, da el valor de mercado agregado o valor económico que se agregaría, en la fecha “cero”, como conse-cuencia de la ejecución del proyecto, que es 831,87, igual al valor obtenido previamente, utilizando la aproximación tradicional de evaluación de proyectos.

Valor económico agregado: dos aproximaciones a través de un ejemplo

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[340]

Capítulo 11

[340] J A V I E R S E R R A N O

Cuadro 11.8

Cálculo del valor económico agregado por año

Año 0 1 2 3 4 5 6Utilidad antes de intereses e impuestos 1.000 1.155 1.334 1.541 1.780 2.055 Impuestos sin apalancamiento financiero 350 404 467 539 623 719 + utilidad neta venta activo fijo al final vida útil 156Utilidad operativa después de impuestos

650 751 867 1.002 1.157 1.492

Inversión en la empresa Inversión en activos fijos 2.500 2.325 2.164 1.997 1.790 1.075 360 Inversión en capital de trabajo 500 577 654 740 839 950 1.077Inversión total 3.000 2.902 2.818 2.737 2.628 2.025 1.437

Costo de capital (porcentaje): CPPC 22,69% 22,69

%22,69

%22,69

%22,69

% 22,69

% 22,69

%

Costo en pesos por uso capital 681 658 639 621 596 460

Valor económico agregado (VEA) -31 92 228 380 560 1.033Valor de mercado agregado (VMA) 831,87 VALOR DE LA FIRMA = INVo + MVAo 3.831,87

E J E R C I C I O S P A R A R E S O L V E R

1. El plan financiero de una empresa para los próximos 3 años, que constituyen

su horizonte de planeamiento comprendería la consecución de recursos provenientes de las siguientes fuentes: �� Utilidades retenidas por valor de $15.000 millones. �� Una emisión de acciones para conseguir recursos netos por valor de

$10.000 millones; se estima un precio de suscripción de la acción por va-lor de $2.200; el dividendo para el año en curso, que se supone se pagará al final del año, dentro de un año, es de $300 por acción. Se supone que el dividendo, que se continuará pagando al final de cada año, después de la emisión, va a crecer durante los próximos años al 3% anual en términos reales; la inflación esperada para los próximos años es del 10%. Utilice el modelo de Gordon para el cálculo del costo de la emisión de acciones, suponiendo que el costo de colocación de la emisión es del 2,5% anual, sobre el precio de suscripción.

�� Una emisión de bonos a 6 años para conseguir recursos netos por valor

de $10.000 millones, con un interés del 23% nominal anual, pagadero semestre vencido, amortizable totalmente al final de los 6 años. Los

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Ejercicios para resolver

gastos de colocación de la emisión son del 1,5% sobre el valor nominal de la emisión.

�� Un primer crédito a 3 años, por valor de $8.000 millones, con un costo

efectivo antes de impuestos del 28% anual. �� Un segundo crédito a 6 años, por valor de $7.000 millones, con un costo

efectivo antes de impuestos del 30% anual. ¿Cuál sería el costo promedio ponderado de capital para la empresa, durante el período de planeamiento de 3 años, si fuera a conseguir recursos en la forma especificada?

2. Para el ejemplo del problema anterior, encuentre la curva de costo marginal de capital, suponiendo que la empresa intenta mantener en todo momento una relación de aportación patrimonial a deuda del 50%, y primero va a utilizar los recursos más baratos que está consiguiendo, tanto de deuda como de patrimonio.

3. La empresa está considerando la inversión en 8 proyectos que generan

respectivamente las siguientes rentabilidades después de impuestos: proyecto A, 28%, con una inversión de $10.000 millones; proyecto B, 27%, con una inver-sión de $7.000 millones; proyecto C, 26,5%, con una inversión de $3.000 millones; proyecto D, 24%, con una inversión de $10.000 millones; proyecto E, 23%, con una inversión de $3.000; proyecto F, 22%, con una in-versión de $3.000; proyecto G, 21,8%, con una inversión de $4.000; proyecto H, 21%, con una inversión de $10.000 millones. ¿Cuál sería el nivel óptimo de inversión, si el mismo se encuentra cuando el rendimiento marginal de la inversión es igual al costo marginal de capital?

4. Suponga un programa de inversión con proyectos por valor de $35.000 millo-nes, que generan una rentabilidad promedio después de impuestos del 34%, para el cual se ha identificado el siguiente programa de financiamiento:

�� Un crédito bancario por valor de $20.000 millones, a cuatro años, con una tasa de interés del 27% nominal anual, pagadero trimestre anticipado.

�� Una emisión de acciones que generará recursos netos por valor de $8.000

millones. El precio actual de la acción, que sería el precio al cual se ofrecerá la emisión, es de $10.000 por acción, mientras que el dividendo a repartir en el próximo año, el cual se pagará al final del mismo, es de $1.500 por acción. Los

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[342]

Capítulo 11

[342] J A V I E R S E R R A N O

gastos por emisión de acciones son equivalentes a un 3% del precio actual de emisión. Suponga una inflación para los próximos años del 15%.

�� Utilidades retenidas por valor de $7.000 millones.

¿Cuál sería el valor económico agregado esperado por año, para este paquete de inversiones y de financiamiento?

5. Suponga un programa de inversión en proyectos por valor de $30.000 millo-nes, que generan una rentabilidad promedio después de impuestos del 33%, para el cual se ha identificado el siguiente programa de financiamiento:

�� Un crédito bancario por valor de $15.000 millones, a cuatro años, con una tasa de interés del 26% nominal anual, pagadero trimestre anticipado.

�� Una emisión de acciones que generará recursos netos por valor de $8.000

millones. El precio actual de la acción, que sería el precio al cual se ofrecerá la emisión, es de $10.000 por acción, mientras que el dividendo a repartir en el próximo año, el cual se pagará al final del mismo, es de $1.500 por acción. Los gastos por emisión de acciones son equivalentes a un 3% del precio actual de emisión. Suponga una inflación para los próximos años del 15%.

�� Utilidades retenidas por valor de $7.000 millones.

¿Cuál sería el valor económico agregado esperado por año, para este paquete de inversiones y de financiamiento?

6. Suponga la valoración de una empresa con el flujo de caja libre para la firma que se muestra en el siguiente cuadro, para un período de 5 años, al final del cual se supone que se ha estabilizado dicho flujo de caja.

Año 1 2 3 4 5Flujo de caja libre para la firma (millones)

25.000 29.000 35.000 42.000 48.000

Inflación 12% 12% 12% 12% 12%

El valor de mercado de la deuda actual es de $42.000 millones. Suponga que el costo promedio ponderado de capital en el momento actual es del 24% efectivo anual, después de impuestos, y además que como valor residual al final del año 5, el valor presente del flujo de caja libre proyectado para 25 años, a partir del año 6, suponiendo que el mismo crece al 3% en reales, a partir del flujo del año 5 ($48.000 millones).

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[343] [343]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Repuestas a los problemas

El valor presente del flujo de caja libre para los 5 años más el valor presente del valor residual, descontados a una tasa de interés igual al costo promedio ponderado de capital, da el valor de la firma, que es igual al valor de mercado del patrimonio más el valor de mercado de la deuda actual. Utilizando la información que se acaba de suministrar, se debe determinar el valor de mercado del patrimonio de la empresa.

7. Cuál sería el valor de mercado del patrimonio de la empresa en el problema 6, en la siguiente situación: si la firma fuera a conseguir deuda en el mercado la conseguiría con un costo antes de impuestos del 30% (tasa de impuestos del 35%). La tasa libre de riesgo en el mercado es del 16% después de impuestos, mientras que la rentabilidad promedio del mercado después de impuestos es del 22%. El Beta de la firma para la estructura actual de capital (60% deuda, 40% patrimonio) es de 1.43 y la firma espera mantener en el futuro esa misma estructura de capital.

R E P U E S T A S A L O S P R O B L E M A S

A continuación se presentan las respuestas a los problemas formulados en el numeral 11.8, con indicaciones para su solución y resultados intermedios en la mayoría de los casos:

1. Costo promedio ponderado de capital

Utilidades retenidas 15.000 15.000 29,76% 26,94%Acciones 10.000 10.256 20,35% 27,29%Bonos 10.000 10.152 20,14% 16,26%Crédito 1 8.000 8.000 15,87% 18,20%Crédito 2 7.000 7.000 13,89% 19,50% Total fuentes de financiamiento 50.000 50.409 100,00% Costo promedio ponderado de capital, WACC 22,44%

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[344]

Capítulo 11

[344] J A V I E R S E R R A N O

2. Costo marginal de capital Manteniendo la estructura de capital del 50%, se procede a utilizar inicialmente las fuentes más baratas

Deuda Patrimonio

Costo marginal

Rango a bTramo 1, utilidades retenidas y bonos 10.152 10.152 21,60% 0 20.304Tramo 2, utils. retenidas y crédito 1 4.848 4.848 22,57% 20.304 30.000Tramo 3, acciones y crédito 1 3.152 3.152 22,74% 30.000 36.304Tramo 4. Acciones y crédito 2 7.104 7.104 23,39% 36.304 50.513

La gráfica del cuadro anterior representa el costo marginal de capital. 3. Nivel óptimo de inversión

El nivel óptimo de inversión se obtiene cuando el costo marginal de capital es igual al rendimiento marginal de la inversión. En el caso particular analizado, ello ocurre cuando el monto de inversión es de $33.000 millones, y la curva de costo marginal de capital cruza a la curva de rendimiento marginal de la inversión; esto se puede ver mejor si se procede a graficar ambas curvas, como función del nivel de inversión, tal y como se puede observar en el siguiente cuadro.

Rango

inversión Rendimiento

marginal Costo

marginal

0 28,0% 21,60%

10.000 28,0% 21,60%

17.000 27,0% 21,60%

20.000 26,5% 21,60%

20.304 24,0% 21,60%

30.000 24,0% 22,57%

33.000 23,0% 22,74%

36.000 22,0% 22,74%

36.304 21,8% 22,74%

40.000 21,8% 23,39%

50.000 21,0% 23,39%

4. Valor económico (EVA), agregado por año

Para calcular el costo promedio ponderado de capital, con base en la estructura marginal de capital, se usa el cuadro siguiente:

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[345] [345]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Repuestas a los problemas

Fuente Monto nominal

Monto efectivo Costo fuenteFactor

ponderación

Crédito bancario 20.000 20.000 20,96% 56,74%

Acciones 8.000 8.247 31,61% 23,40%

Utilidades retenidas 7.000 7.000 31,15% 19,86%

Total 35.000 35.247 100,00%

Costo promedio ponderado de capital, WACC = 25,48%. Valor económico agregado (VEA) = Inversión * (Rendimiento de la inversión - Costo marginal de capital). VEA = $2.982 millones por año, mientras se mantengan las condiciones.

5. Valor económico agregado (VEA) esperado por año, para el paquete de

inversiones y financiamiento

Monto inversión: $30.000 millones Rentabilidad inversión: 33% después de impuestos Tasa marginal de tributación: 35%

Para calcular el costo promedio ponderado de capital, con base en la estructura marginal de capital, se usa el cuadro siguiente:

Fuente Monto nominal

Monto efectivo Costo fuenteFactor

ponderación

Crédito bancario 15.000 15.000 20,05% 42,56% Acciones 8.000 8.247 31,61% 23,40% Utilidades retenidas 7.000 7.000 31,15% 19,86% Total 30.000 30.247 85,81%

Costo promedio ponderado de capital, WACC = 22,12% El costo promedio ponderado de capital aumenta, no obstante el menor costo del crédito, como consecuencia de una menor utilización del apalancamiento finan-ciero (deuda). Valor económico agregado (EVA) = Inversión * (Rendimiento de la inversión - Costo marginal de capital).

VEA = $3.265 millones por año, mientras se mantengan las condiciones.

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Capítulo 11

[346] J A V I E R S E R R A N O

6. Determinación del valor de mercado del patrimonio

Valor de mercado de la deuda: $42.000 millones Costo promedio ponderado de capital, CPPC (WACC): 24% efectivo anual Inflación: 12% anual Tasa de crecimiento del flujo, después del año 5: 3% reales Tasa de crecimiento del flujo, después del año 5: 15,36% nominales Se llega al siguiente cuadro:

Año

Flujo de caja librepara la firma

Valor terminal

0

1 25.000

2 29.000

3 35.000

4 42.000

5 48.000 535.542

Valor presente flujo de caja libre, 5 años: $91.517 Valor presente, valor residual: $182.678 Valor de mercado de la firma: $274.194 Firma = Deuda + Patrimonio Valor de mercado de la firma = Valor de mercado de la deuda + Valor de mercado del patrimonio Valor de mercado del patrimonio: $232.194

7. Valor de mercado de la empresa

Los cálculos requieren estimar el costo promedio ponderado de capital:

Tasa de tributación: 35% Costo de la deuda: 30% antes de impuestos Costo de la deuda: 19,5% después de impuestos

Tasa libre de riesgo: 16% después de impuestos Rentabilidad promedio del mercado: 22% después de impuestos Beta de la firma: 1,43

La estructura de capital es:

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[347] [347]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Deuda: 60% Patrimonio: 40% Total: 100%

Rentabilidad esperada mínima, para el nivel de riesgo equivalente a un Beta de 1.43 calculada según el CAPM:

E(Rj) = Rf +(E(Rm)-Rf)*BjA = 24,58%

El valor anterior corresponde al costo de la aportación patrimonial.

El costo promedio ponderado de capital, para la estructura marginal de capital, que mantiene las mismas proporciones es:

WACC: 21,53% efectiva anual

Año Flujo de caja libre

para la firma Valor

terminal

0

1 25.000

2 29.000

3 35.000

4 42.000

5 48.000 653.388

Valor presente flujo libre, 5 años: $97.060 Valor presente, valor residual: $246.444 Valor de mercado de la firma: $343.504

Firma = Deuda + Patrimonio

Valor de mercado de la firma = Valor de mercado de la deuda + Valor de mercado del patrimonio

Valor de mercado del patrimonio: $301.50

Repuestas a los problemas

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[349]

Capítulo 12

TRATAMIENTO DEL RIESGO EN LA EVALUACIÓN DE PROYECTOS En los capítulos anteriores, poca mención se ha hecho al tratamiento del riesgo en la evaluación de proyectos, no obstante que el mismo está presente en toda decisión de inversión como consecuencia de la incertidumbre sobre el desempeño de los dife-rentes factores que pueden afectar el comportamiento de las variables que determi-nan las proyecciones de la empresa o del proyecto durante su vida útil. Se pospuso el tratamiento del riesgo para hacer una presentación más sencilla de conceptos y herra-mientas. Si se trabaja con valores esperados, el resultado que se obtiene es una rentabilidad esperada o un valor presente neto esperado, que no tiene en cuenta la variación alrededor de estos indicadores, derivada de la volatilidad de los parámetros de entrada y de la estimación de los flujos de caja, lo cual es crítico para determinar la conveniencia o no de emprender un proyecto de inversión. La variación a que se hace referencia en el párrafo anterior, derivada de la incerti-dumbre que acompaña a las proyecciones financieras, refleja el riesgo que existe al tomar una decisión con base en el valor esperado del valor presente neto o de la tasa interna de retorno. Esa incertidumbre se mide en primera instancia a través de la desviación estándar del valor presente neto o de la tasa interna de retorno, la cual por definición mide la variación alrededor del valor esperado. La consideración simultánea de los dos parámetros, rentabilidad esperada y desviación estándar de la rentabilidad esperada como medida del riesgo, cambia significativamente la forma como se en-frenta el proceso de toma de decisiones. Un ejemplo sencillo aclara lo que se acaba de mencionar: Suponga un proyecto de inversión de 100 millones de pesos para recibir 200 millones dentro de un año, el cual tendría una rentabilidad del 100%. Si esta rentabilidad se presenta como un hecho cierto, nadie dudaría de la bondad económica del proyecto y de tomar una decisión sobre su ejecución. La situación sería bien diferente si el proyecto se plantea en una forma diferente, más real, estableciendo que existen dos escenarios, cada uno con una probabilidad igual al 50%, tales que en el primero de ellos el flujo del proyecto es de 400 millones de pesos y en el segundo el mismo flujo es igual a 0. No obstante que el valor esperado del flujo resultante es de 200 millones de pesos al finalizar el año, con una rentabilidad esperada del proyecto igual a la rentabilidad del primer caso (situación cierta), la decisión a tomar podría ser bien diferente, dependiendo de la consideración que se le otorgue al segundo escenario, con una rentabilidad negativa o un valor presente negativo, que afectaría sensible-mente el desempeño de la empresa. Aunque la rentabilidad esperada sigue siendo la

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Capítulo 12

[350] J A V I E R S E R R A N O

misma, el mayor riesgo que se presenta en el segundo caso (situación incierta) puede cambiar la forma como se mira la conveniencia del proyecto de inversión. La consideración simultánea de las dos variables, rentabilidad esperada y el riesgo de obtener esa rentabilidad esperada, medidas respectivamente por el valor esperado y por la varianza (o la desviación estándar) de la rentabilidad o del valor presente neto, cambia la forma como se define la conveniencia o no de un proyecto de inversión, especialmente si se tiene en cuenta que: a)� Existen individuos más aversos o propensos al riesgo; esto depende de las carac-

terísticas del comportamiento del individuo, lo cual se puede validar en muchas situaciones de la vida real (p. ej., en juegos de azar, en la vida personal o en el tipo de decisiones que se toman en el mundo de los negocios). La propensión o aversión al riesgo se mide a través de la función de utilidad del individuo.

En la Figura 12.1 se muestran la función de utilidad para un individuo totalmente propenso al riesgo y la función de utilidad para un individuo totalmente averso al riesgo.

Figura 12.1

Funciones de utilidad

La aversión o propensión al riesgo de un individuo cambia con la magnitud involucrada; con sumas pequeñas somos propensos al riesgo mientras que con sumas grandes tendemos a ser adversos al riesgo. Un ejemplo sencillo ayuda a entender lo que se acaba de mencionar: suponga un juego, consistente en jugar por una sola vez cierta cantidad de dinero Q, lanzando un dado, en forma tal que si el resultado del dado es 1, 2, 3, 4 o 5 el lector gana una cantidad equivalente a Q, mientras que si el mismo resultado es 6 el casino gana la misma cantidad Q que sería la apuesta del lector. En este juego la posibilidad que tiene el lector de

Función ConvexaPropensa al riesgo

Función cóncavaAversa al riesgo

Utilidad = U(Q) Utilidad = U(Q)

Q Q

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[351] [351]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Tratamiento del riesgo en la evaluación de proyectos

ganar es de 5/6, mientras que la de perder es de solamente 1/6, lo cual es altamente favorable, y la única restricción del juego es que el mismo se realiza una sola vez. Si la cantidad involucrada en el juego fuera de $10.000, nadie dudaría en jugar, salvo por problemas de tipo moral o religioso frente al juego; lo mismo ocurriría si la cantidad involucrada fuera de $100.000. En la medida en que se aumente la cantidad involucrada irán apareciendo los desertores, hasta llegar a un monto en el cual ninguno participaría en el juego, no obstante que las probabilidades de ganar no han cambiado, permaneciendo el juego desequi-librado para el casino. En otras palabras, la posición de un individuo frente al riesgo derivado de una decisión cambia dependiendo del valor en riesgo (VAR)1, frente al tamaño de su patrimonio. Ningún individuo es totalmente averso al riesgo o totalmente propenso al riesgo, pues, como se acaba de mostrar, usualmente se es propenso al riesgo para sumas pequeñas y averso al riesgo para sumas grandes. Por ello, en la Figura 12.2 se muestra una función de utilidad más general, con la característica mencionada, esto es, propensos para sumas pequeñas y aversos para sumas grandes:

Figura 12.2

b)� La situación financiera de la empresa afecta la forma como la misma enfrenta la ejecución de proyectos de diferente riesgo; cuando la misma es boyante, puede tomar mayores riesgos; en caso contrario, será muy cuidadosa de emprender pro-yectos con niveles de riesgo significativos.

1 VAR, por sus siglas en inglés: Value at Risk.

Utilidad = U(Q)

Cantidad =Q

Función de utilidad

RegiónPropensa

RegiónAversa

Utilidad = U(Q)

Cantidad =Q

Función de utilidad

RegiónPropensa

RegiónAversa

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[352]

Capítulo 12

[352] J A V I E R S E R R A N O

T R A T A M I E N T O D E U N P R O Y E C T O E N T É R M I N O S D E V A L O R E S P E R A D O Y V A R I A N Z A

Como se mencionó, la rentabilidad esperada se mide a través del valor esperado de la tasa interna de retorno o del valor presente neto del proyecto; mientras que el riesgo se mide a través de la varianza o de la desviación estándar, que no es otra cosa que la raíz cuadrada de la varianza.

Para el caso general de una variable aleatoria X discreta, con la siguiente distribución de probabilidad:

X = X1 X2 X3 X4 X5

Px (x) = P1 P2 P3 P4 P5

Tal que P1+ P2+ P3+ P4+ P5 = 1

el valor esperado estaría dado por: E (X) = X1* P1 + X2* P2 + X3* P3 + X4* P4 + X5* P5= *i Xi* Pi VAR(X) = +2 = (X1-E(X))2 * P1 + (X2-E(X))2 * P2 + (X3-E(X))2 * P3 +

(X4-E(X))2 * P4 + (X5-E(X))2 * P5 VAR(X) = +2 = *i (Xi – E(X))2* Pi Igualmente, VAR(X) = +2 = E (X2) – (E(X))2 donde E (X2) corresponde al segundo momento. En el caso general de una variable aleatoria continua X, con una función de densidad de probabilidad fx (x), para valores de x, en el intervalo (a,b) y 0, fuera de dicho intervalo, el valor esperado y la varianza se expresarían respectivamente por: E(x) = ,x x * fx (x) dx, a < x < b VAR(X) = +2 = ,x (x – E(X))2 * fx (x) dx, a < x < b Suponga el siguiente ejemplo:

X = 2 3 4 5 6 7

Px (x) = 1/8 1/8 2/8 2/8 1/8 1/8

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[353] [353]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Tratamiento de un proyecto en términos de valor esperado y varianza

2,25 = 818

= 81

*4,5) - (7+8 1

*4,5) - (6+

82

*4,5) - (5+ 82

*4,5) - (4+81

*4,5) - (3 + 81

*4,5) - (2 = (X) Var

4,5 = 81

*7+81

*6+82

*5+82

*4+81

*3+81

*2 = )P *(X= (X) E

22

22222

i ii

<

VAR(X) = +2 = E (X2) – (E(X))2

E (X2) = 8

180 =

81

*49+81

*36+82

*25+82

*16+81

*9+81

*4

Entonces, VAR(X) = 180/8 – (4,5)2 = 22,5 -20,25 = 2,25

En el caso de una variable aleatoria continua z, con una distribución uniforme en el intervalo (a,b), tal que:

Fz (z) =ab

1�

, para todo z entre a y b

fz(z) = 0, para z>b o z <a

E(z) = 2

b)+(a =

a)-(b*2)a-(b

= dza-b

1 * z= dz (z)f *z

22

zz ,,

VAR(z) = +z

2 = E (z2) – (E(z))2

E (z2) = dza-b

1 * z= dz (z)f *z

2

z

2

z ,,

E (z2) = a)(b*3

ab3

ab*

ab1 3333

��

��

Entonces,

VAR(z) = +z2 = E (z2) – (E(z))2 =

233

2ba

a)(b*3ab

���

��� �

��

VAR(z) = +z2 = E (z2) – (E(z))2 =

12a)(b 2�

Así mismo, hay que recordar que el valor esperado es un operador lineal; por lo tanto, si x y y son variables aleatorias, y A y B son constantes, y se define una nueva variable aleatoria como z = Ax + By, entonces:

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[354]

Capítulo 12

[354] J A V I E R S E R R A N O

E(z) = E (Ax+By) = A * E(x) + B * E(y) La expresión anterior se puede generalizar a cualquier número de variables aleatorias; por ejemplo, si x, y, z son variables aleatorias, A, B y C constantes y W = Ax + By + Cz, entonces, E(W) = E (Ax+By+Cz) = A * E(x) + B * E(y) + C * E(z) La expresión de la varianza es un poco más compleja. Se puede demostrar que: VAR(z) = A2Var(x) + B2Var(y) + 2 A*B COV(x, y) donde Cov(x,y) corresponde a la covarianza entre las variables aleatorias x y y, que a su vez es igual a: Cov(x,y) = -x,y* +x+y donde -x,y corresponde al coeficiente de correlación entre x y y. Para el caso particular en el cual x y y son variables aleatorias independientes, la covarianza entre x y y es igual a cero, simplificándose la expresión a: VAR(z) = A2Var(x) + B2Var(y) En el caso de la variable aleatoria W, definida previamente como W = Ax + By + Cz, la expresión de la varianza de la variable aleatoria W sería: VAR(W) = A2Var(x) + B2Var(y) + C2Var(z) + 2A*B COV(x, y) + 2A*C COV(x, z) + 2B*C COV(y, z) En el caso particular de que las tres variables aleatorias x, y y z fueran estadísticamente independientes, las covarianzas serían iguales a cero y la expresión anterior se reduce a: Var(W) = A2Var(x) + B2Var(y) + C2Var(z) Usualmente se utiliza la desviación estándar como medida de fluctuación alrededor del valor esperado. La desviación estándar, como se mencionó, es la raíz cuadrada de la varianza y tiene la misma dimensión que el valor esperado, mostrando la fluctua-ción en términos absolutos. Para mostrar la fluctuación relativa o riesgo relativo, se utiliza el coeficiente de variación que se define como: Coeficiente de variación = (Desviación estándar)/(Valor esperado)

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[355] [355]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Este coeficiente de variación permite relativizar la fluctuación, como un porcentaje del valor esperado. En el siguiente ejemplo se ilustra la aplicación de los conceptos anteriores al caso específico de un proyecto de inversión a tres años:

Ejemplo 12.1 Proyecto:

donde x, y y z corresponden a los flujos para calcular la rentabilidad del proyecto en sí al final de los años 1, 2 y 3; esos flujos son variables aleatorias con sus respectivas distribuciones de probabilidad; así mismo, i corresponde a la tasa de interés de oportunidad. La expresión general para el cálculo del valor presente neto sería:

VPN(i) = 32 i)+(1

z +

i)+(1

y

i)+(1x

� - I

Para encontrar el valor esperado y la varianza del valor presente neto se supone en este ejemplo que la tasa de interés de oportunidad i es constante y conocida, con lo cual:

VPN(i) = 32 i)+(1

z +

i)+(1

y

i)+(1x

� = Ax + By + Cz

Con A = i)+(1

1 , B= 2i)+(1

1 , C = 3i)+(1

z

Entonces,

E(VPN(i)) = 32 i)+(1

E(z) +

i)+(1

E(y)

i)+(1E(x)

� (1)

Para encontrar una expresión tan sencilla como la anterior, aún en este caso tan elemental, se tuvo que suponer que la tasa de interés de oportunidad era una cons-tante conocida, ya que si fuese una variable aleatoria i, con una determinada distri-bución de probabilidad, se hubiera tenido que conocer la distribución de probabilidad conjunta entre las variables x e i, y e i y z e i, para poder calcular los valores

Z YX

I

Tratamiento de un proyecto en términos de valor esperado y varianza

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Capítulo 12

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esperados de x/(1+i), y/(1+i)2 y z/(1+i)3. Esta situación, en general, desborda la información que usualmente está disponible para analizar un proyecto. Para encontrar la expresión de la varianza del valor presente neto, a la suposición realizada anteriormente se agrega otra consistente en la independencia estocástica entre las variables aleatorias x, y y z, con lo cual las covarianzas serían igual a cero. En este caso particular, se tiene:

Var(VPN(i)) = 642 i)+(1Var(z)

+i)+(1

Var(y)

i)+(1Var(x)

� (2)

Si las variables no son aleatoriamente independientes, se hubieran tenido que conocer las distribuciones de probabilidad conjuntas entre x y y, x y z, y y z, lo cual como se mencionó, usualmente desborda la información disponible para analizar un proyecto de inversión.

Como se observa, aunque la teoría de probabilidades permite, en general, calcular el valor esperado y la varianza del valor presente neto para una situación general, los cálculos podrían llegar a ser muy complejos, con información que no siempre está disponible. Para simplificar los cálculos hubo necesidad de recurrir a unos supuestos (tasa de interés de oportunidad constante y conocida, e independencia estocástica entre las variables aleatorias), que muchas veces alejan el problema de la realidad, disminuyendo la validez de los resultados obtenidos. Por ello más adelante presen-taremos otra alternativa para resolver el problema, utilizando la técnica de simulación de Montecarlo, que permite estimar los dos parámetros de rentabilidad esperada y riesgo. A manera de ejemplo, se va a suponer que los flujos X, Y y Z son variables aleatorias independientes con las siguientes distribuciones de probabilidad:

X = 10.000 2.000

Px(x) ½ ½

Y = 10.000 5.000 1.000

Py(y) 2/3 1/6 1/6

Además, Z sería una variable aleatoria continua con una distribución uniforme entre 5.000 y 15.000 (Z: .[5.000-15.000]). Se supone adicionalmente que la tasa de interés de oportunidad es constante, conocida e igual al 25% y con un monto de inversión igual a 10.000. Primero se procede a calcular los valores esperados y las varianzas de las variables tomadas individualmente.

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E(x) = (2.000)21

+ (10.000)21

= 5.000 + 1.000 = 6.000

E(y) = (1.000)61

+ (5.000)61

+ (10.000)32

= 7.666,67

E(z) = 2

5.000 + 15.000 =

2a+b

=10.000

De donde se sigue que el valor esperado del valor presente neto, descontado a una tasa de interés de oportunidad del 25%, E(VPN(25%)), sería igual a:

E(VPN(25%)) = 32 1,25

10.000 +

1,25

7.666,67 +

1,256.000

+ 10.000-

E(VPN(25%)) = 4.827 Para los cálculos de las varianzas:

VAR(x) = 000.000.16)000.6000.2(21

)000.6000.10(21

22 ����

VAR(y) = 222 )67,666.7000.1(61

7.666,67)000.5(61

7.666,67)-(10.00032

����

VAR(y) = 12.222.222,22

VAR(z) = 338.333.333, = 12

5.000) - (15.000 =

12a)-(b 22

Por lo tanto, la varianza del valor presente neto es igual a:

VAR(VPN(25%)) = 642 1,25

338.333.333,+

1,25

,2212.222.222 +

1,25

16.000.000 + 0

VAR(VPN(25%)) = 17.430.755 La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza e igual a 4.175. Por lo tanto, el coeficiente de variación (4.175/4.827) sería igual al 86.5%, indicando un riesgo muy alto al utilizar el valor esperado del valor presente neto como criterio para tomar una decisión de invertir o no en el proyecto bajo análisis. En este numeral se ilustró la utilización de los parámetros de valor esperado y varianza del valor presente neto para analizar la conveniencia de un proyecto de inversión. Se tuvieron que hacer suposiciones fuertes, que le restan realismo a la

Tratamiento de un proyecto en términos de valor esperado y varianza

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Capítulo 12

[358] J A V I E R S E R R A N O

solución del problema, con el propósito de simplificar las expresiones que se utilizan como base para calcular el valor de los dos parámetros. Posteriormente se presenta una técnica computacional para estimar dichos valores.

U T I L I Z A C I Ó N D E L V A L O R E S P E R A D O Y D E L A V A R I A N Z A P A R A L A T O M A D E D E C I S I O N E S D E I N V E R S I Ó N

Previamente se presentaron los aspectos principales para calcular el valor esperado y la varianza del valor presente neto de un proyecto de inversión. Aunque se utilizó un proyecto con una vida útil de 3 años, la expresión general y los cálculos se pueden extender a cualquier número de períodos. La utilización de los dos parámetros para la toma de decisiones de inversión no siempre es obvia, ya que en últimas va a depen-der de cómo la persona que toma la decisión de inversión pondera las dos dimen-siones: rentabilidad esperada y riesgo. Para ilustrar esta situación se analizarán a continuación dos proyectos de inversión A y B, con los siguientes valores en términos de rentabilidad esperada y riesgo: Proyecto A: rentabilidad esperada (RA); riesgo (+A). Proyecto B: rentabilidad esperada (RB); riesgo (+B). Caso A (mayor rentabilidad esperada y menor riesgo) RA > RB y +A < +B: dominancia absoluta o dominancia estocástica. La decisión es obvia: claramente el proyecto A se prefiere al proyecto B. Caso B (mayor rentabilidad esperada y mayor riesgo) RA > RB y +A > +B La decisión no es obvia: a mayor rentabilidad, mayor riesgo. Dependería de la forma como cada persona pondere rentabilidad y riesgo, lo cual en últimas va a depender de su función de utilidad, de la suma involucrada, y de su situación financiera, entre otras.

Caso C (menor rentabilidad esperada y menor riesgo)

RA < RB y +A < +B

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Utilización del valor esperado y de la varianza para la toma de decisiones de inversión

La decisión tampoco es obvia, por las razones anotadas en el caso B. El siguiente ejemplo aclara lo que se acaba de mencionar: se está considerando la selección entre dos proyectos de inversión, mutuamente excluyentes, en cuatro escenarios (exclu-yentes y colectivamente exhaustivos); en el Cuadro 12.1 se muestra la rentabilidad de cada uno de los dos proyectos en los 4 escenarios a que se hace referencia y las probabilidades de ocurrencia de cada uno de los escenarios y algunos cálculos básicos.

Para analizar la conveniencia de cada uno de los dos proyectos se calcula la renta-bilidad esperada, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación, con los cálculos que se muestran en el Cuadro 12.1.

Los cálculos presentados en el Cuadro 12.1 muestran que el ejemplo bajo análisis cae en el caso B a que se hizo referencia previamente, ya que: RA > RB y +A > +B

Cuadro 12.1

Escenario Probabilidad Ra Rb 1 20,00% 15,00% 25,00% 2 30,00% 35,00% 40,00% 3 30,00% 55,00% 50,00% 4 20,00% 90,00% 60,00%

Valor esperado 48,00% 44,00% Cálculo de la varianza Escenario Probabilidad [Ra-E(Ra)] [Rb-E(Rb)] 1 20,00% -33,00% -19,00% 2 30,00% -13,00% -4,00% 3 30,00% 7,00% 6,00% 4 20,00% 42,00% 16,00% Varianza 6,36% 1,39% Desviación estándar 25,22% 11,79% Coeficiente de variación 52,54% 26,80%

Por lo tanto, la decisión no es obvia ya que en últimas va a depender de la forma como se pondere rentabilidad y riesgo. En otras palabras, se debería evaluar si los cuatro puntos adicionales de rentabilidad esperada compensan el mayor riesgo de invertir en el proyecto A y no en el proyecto B. El modelo CAPM que se presentará posteriormente permite establecer un precio al riesgo y resolver precisamente el punto que se acaba de mencionar, bajo un conjunto de supuestos sobre el mercado y el tipo de inversionista.

Esta situación es típica en la evaluación de proyectos, ya que usualmente a mayor rentabilidad se va a encontrar un mayor riesgo y no todos los individuos ponderan rentabilidad y riesgo en la misma forma. Durante mucho tiempo la teoría financiera ha tratado de encontrar una forma de ponderar las dos dimensiones de rentabilidad y riesgo, para facilitar el proceso de toma de decisiones.

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Capítulo 12

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A continuación se hace un breve resumen de algunos de los desarrollos que se han dado en la teoría financiera en la dirección de encontrar una respuesta a la consi-deración simultánea de las dos dimensiones, rentabilidad esperada y riesgo, en el análisis de una decisión de inversión.

a)� Evaluación simultánea de los dos parámetros, valor esperado y desviación estándar de la rentabilidad o del valor presente neto

Corresponde al planteamiento presentado hasta ahora en este capítulo. Aunque existen los desarrollos teóricos para formular expresiones para el valor esperado y la varianza, usualmente no existe la información necesaria o hay que hacer supuestos muy fuertes, para estimar los dos parámetros, que al simplificar el problema lo alejan de la situación real.

Aun disponiendo de buenos estimadores del valor esperado y de la varianza del valor presente neto o de la tasa interna de retorno, estaría pendiente la ponde-ración de las dos dimensiones de rentabilidad y riesgo, para llegar a la decisión final.

b)� Utilización de funciones de utilidad

Consiste en maximizar la utilidad del inversionista, expresándola como una función de la rentabilidad esperada y del riesgo medido a través de la varianza o de la desviación estándar, al tiempo que se mantienen constantes otras variables (p. ej., la liquidez). En otras palabras, encontrar el portafolio o proyecto que en términos de rentabilidad esperada y varianza, maximiza U = U[E(R),VAR(R)], dentro del conjunto de portafolios o proyectos factibles, teniendo en cuenta algún conjunto de restricciones. La solución de este problema es clásica en la literatura financiera, dando lugar a diferentes aproximaciones entre las cuales se cuentan algunas que se mencionan a continuación.

c)� Utilización de equivalentes de certeza

Para cada flujo incierto, se encuentra su equivalente de certeza a partir de la función de utilidad del individuo; el equivalente de certeza corresponde al valor que hace al inversionista indiferente entre una cantidad cierta y el flujo incierto con su respectiva distribución de probabilidad, teniendo en cuenta la función de utilidad del individuo.

d)� Maximización de la utilidad esperada

Para un grupo de alternativas mutuamente excluyentes, se plantea como criterio ordenador correcto el valor esperado de la utilidad de cada proyecto, que es diferente a la utilidad del valor esperado. En otras palabras, se selecciona la alter-

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Simulación de Montecarlo

nativa con un mayor valor esperado de la utilidad, teniendo en cuenta la función de utilidad del individuo.

e)� Desarrollo de una frontera eficiente

En el caso específico de un mercado de capitales se podría construir una frontera eficiente de inversión, sobre la cual se sitúan todos los portafolios eficientes. La frontera eficiente se construye a través de la solución de múltiples problemas de optimización en los cuales se encuentra, para cada nivel de rentabilidad esperada, el portafolio que minimiza el riesgo. Sobre este punto se volverá posteriormente.

f)� Fijación de un precio y/o prima por el riesgo

A partir de un conjunto de supuestos (p. ej., eficiencia del mercado), se encuentra un precio al riego como función de varios parámetros, entre los cuales se encuentran la tasa libre de riesgo, la rentabilidad y el riesgo promedio del merca-do. El modelo CAPM, sobre el cual se volverá posteriormente, es un buen ejem-plo de esta situación.

S I M U L A C I Ó N D E M O N T E C A R L O

La técnica de simulación de Montecarlo corresponde a un procedimiento numérico que permite estimar la rentabilidad esperada de un proyecto de inversión y el riesgo inherente del mismo, a partir de un número grande de simulaciones del proyecto, con base en las cuales se estima tanto el valor esperado como la varianza, ya sea de la tasa interna de retorno o del valor presente neto. Para realizar una simulación de Montecarlo se generan muestras de cada variable aleatoria o flujo aleatorio, en el caso de un proyecto de inversión, a partir de su distri-bución de probabilidad, teniendo en cuenta la distribución de probabilidad acumulada de esa variable aleatoria y la existencia de una correspondencia biunívoca entre el valor de la variable aleatoria y el valor de la distribución de probabilidad acumulada. Suponga una variable aleatoria continua con una distribución de probabilidad fx(x), para valores de x en el intervalo (a, b) y cero fuera de dicho intervalo. La distribución de probabilidad acumulada de la variable aleatoria x evaluada en el punto Xo (Fx(Xo)), está dada por: Fx(Xo) = 0, para valores de Xo< a;

Fx(Xo) = P(X ≤ X0) = ,(a,Xo) fx(x) dx, para valores de a < Xo< b;

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Capítulo 12

[362] J A V I E R S E R R A N O

Fx(Xo) = 1, para valores de x > b Reconociendo la correspondencia biunívoca a la que se hizo referencia previamente y utilizando números aleatorios uniformemente distribuidos entre 0 y 1, se puede encontrar el valor simulado de Xo, a partir de la relación inversa de la distribución acumulada de probabilidad, F-1

x(Ro), del número aleatorio uniformemente distribuido entre 0 y 1, (Ro), mediante la siguiente ecuación: Xo = F-1

x(Ro) En el siguiente ejemplo se muestran los pasos que hay que seguir para generar los valores de una variable aleatoria a partir de un número aleatorio con una distribución uniforme entre 0 y 1. Suponga una variable aleatoria con una distribución uniforme entre 10 y 30; se van a generar valores de esa variable aleatoria a través del método de Montecarlo. Para ello se siguen los siguientes pasos: a)� Función de densidad de probabilidad

fx(x) = 1/20, para valores de x en el intervalo (10, 30) fx(x) = 0, para x < 10 o x >30

b)� Función de distribución de probabilidad acumulada

Fx(Xo) = 0, para valores de X0, tales que X0 < 10 Fx(Xo) = ,(10,Xo ) (1/20) dx, para valores de X0, tales que 10 < X0 < 30 Fx(Xo) = (Xo-10)/20, para valores de X0, tales que 10 < X0< 30 Fx(Xo) = 1, para valores de X0, tales que X0 > 30

c)� Generación del número aleatorio, (Ro), uniformemente distribuido entre 0 y 1.

Para ello se usa un generador de números aleatorios con esa característica, usando una calculadora o un programa de computador, o la función “Aleatorio” de Excel.

d)� Igualdad entre el número aleatorio (R0) y la distribución de probabilidad conjunta,

para encontrar el valor de la variable aleatoria (X0) Fx(X0) = (X0-10)/20 = R0

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Simulación de Montecarlo

e)� Generación de un valor de la variable aleatoria (Xo), utilizando la relación inversa de la distribución de probabilidad conjunta

Xo = 10 + 20 * Ro

f)� Generación de una muestra de valores de la variable aleatoria con una

distribución uniforme entre 10 y 20

Para la generación de una muestra de tamaño m de valores de la variable aleatoria x, con una distribución uniforme entre 10 y 20, se genera una muestra de m números aleatorios uniformemente distribuidos entre 0 y 1. A cada uno de los números aleatorios así generados se le aplica la relación anterior (10+20R0), para generar la muestra de tamaño m de la variable aleatoria x. Por ejemplo, si el número aleatorio fuera igual a 0,6, el valor de x sería de 22. Para una muestra de 6 números aleatorios, la muestra de 6 valores de la variable aleatoria x sería:

Número aleatorio 0,60 0,48 0,25 0,17 0,87 0,95

Valor de X 22,0 19,60 15,0 13,4 27,4 29,0

En el caso de variables aleatorias discretas se sigue un procedimiento similar, no obstante que no se puede encontrar una expresión cerrada, tal y como se obtuvo en el caso de la variable aleatoria con una distribución uniforme. Un ejemplo aclara el procedimiento: Suponga una variable aleatoria z con la distribución de probabilidad que se muestra en el siguiente cuadro:

Z 1.000 3.000 5.000 8.000

Pz(z) 1/6 2/6 2/6 1/6

Se va a generar una muestra aleatoria de tamaño 6 de la variable aleatoria con la anterior distribución de probabilidad; para ello se siguen los siguientes pasos: a)� Asignar rangos, para el número aleatorio uniformemente distribuido entre 0 y 1,

según la distribución de probabilidad.

b)� Z = 1.000 si el número aleatorio Ro es tal que 0,0000 < Ro / 0,1667 Z = 3.000 si el número aleatorio Ro es tal que 0,1667 < Ro / 0,5000 Z = 5.000 si el número aleatorio Ro es tal que 0,5000 < Ro / 0,8333 Z = 8.000 si el número aleatorio Ro es tal que 0,8333 < Ro / 1,0000

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Capítulo 12

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c)� Generar una muestra de 6 números aleatorios uniformemente distribuidos entre 0 y 1, y encontrar los 6 valores de la variable aleatoria, de acuerdo con la asignación anterior, tal y como se muestra en la siguiente tabla:

Número aleatorio 0,1800 0,5600 0,7500 0,6800 0,2700 0,9400

Valor de Z 3.000 5.000 5.000 5.000 3.000 8.000

Ejemplo 12.2 (simulación de Montecarlo) Se va a analizar el ejemplo 12.1, asumiendo que la tasa de interés de oportunidad es una variable aleatoria con una distribución uniforme entre 20% y 30%.

La suposición que se acaba de hacer, tasa de descuento aleatoria, complica la solu-ción analítica que se presentó previamente, en la cual se pudo calcular exactamente el valor esperado y la varianza del valor presente neto, bajo el supuesto de una tasa de descuento constante y conocida. Aun en un caso tan sencillo, la mejor alternativa sería simular el comportamiento del proyecto y estimar tanto el valor esperado como la varianza del valor presente neto. Monto de la inversión, en la fecha 0,10.000. Para ello se seguirían los siguientes pasos: a)� Establecer las correspondencias y/o relaciones para generar valores de cada una

de las tres variables aleatorias x, y y z, representando los flujos aleatorios de los 3 años, a través de la técnica de Montecarlo.

b)� Establecer la relación para generar valores de la tasa de interés de oportunidad, a

través de la técnica de Montecarlo. c)� Generar cuatro números aleatorios independientes y uniformemente distribuidos

entre 0 y 1, utilizando un generador de números aleatorios con esta característica. d)� A partir de los 4 números aleatorios a que se hace referencia en el punto anterior,

establecer los valores de x, y, z y la tasa de interés de oportunidad; para esta combinación de flujos y tasa de interés de oportunidad se calcula el valor presente neto del proyecto resultante.

e)� Los dos pasos anteriores (c y d) se repiten N veces, para obtener una muestra

aleatoria de tamaño N, en relación con el comportamiento del proyecto y el valor del valor presente neto. Como con cualquier muestra aleatoria, a mayor tamaño de la muestra, mejor la precisión de los estimadores que se van a obtener.

f)� Con la muestra de tamaño N a que se hace referencia en el paso anterior se

estima el valor presente neto y la varianza del valor presente neto, utilizando respectivamente la media muestral y la varianza muestral.

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Simulación de Montecarlo

Para el problema que se planteó, los pasos a que se acaba de hacer referencia llevan a los siguientes resultados:

a)� Establecer las correspondencias y/o relaciones para generar valores de cada una

de las tres variables aleatorias x, y y z, representando los flujos aleatorios de los 3 años, a través de la técnica de Montecarlo.

X = 10.000 2.000

Px(x) ½ ½

Asignación Si 0<r/0,5; X=10.000

Si 0,5<r/1,0; X=2.000

Y = 10.000 5.000 1.000

Py(y) 2/3 1/6 1/6

Asignación Si 0<r/4/6; Y=10.000

Si 4/6<r/5/6; Y=5.000

Si 5/6<r/1,0; Y=1.000

Para el flujo del tercer año, con una distribución uniforme entre 5.000 y 15.000, se utiliza la expresión deducida previamente; esto es, Z = 5.000 + 10.000 * r, donde r corresponde al valor del número aleatorio. Las asignaciones que se acaban de presentar para las variables X y Y se pueden formular a través de la función condicional “SI” en Excel. Para el primer caso: X = SI(R1<0,5;10.000;2.000) Para el segundo caso, Y = SI(R2<0,66667;10.000;SI(R2<0,83333;5.000;1.000))

b)� Establecer la relación para generar valores de la tasa de interés de oportunidad, a través de la técnica de Montecarlo. De nuevo, utilizando la relación derivada previamente, para una distribución uniforme entre el 20% y el 30%, se tiene:

TIO = 20 + 10r

c)� Generar cuatro números aleatorios independientes y uniformemente distribuidos entre 0 y 1, utilizando un generador de números aleatorios con esta característica o la función “Aleatorio” de Excel. Los cuatro números aleatorios, uniformemente distribuidos entre 0 y 1, son: (r1, r2, r3, r4) = (0,2300; 0,6920; 0,7980; 0,5050)

d)� A partir de los cuatro números aleatorios a que se hace referencia en el punto

anterior, establecer los valores de x, y y z y la tasa de interés de oportunidad; para esta combinación de flujos y tasa de interés de oportunidad se calcula el valor presente neto del proyecto resultante.

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Capítulo 12

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Por lo tanto los valores de x, y y z y de la TIO serían respectivamente: x = 10.000 y = 5.000 z = 12.980 TIO = 25,05% I = 10.000 Para estas condiciones del proyecto, el valor presente neto sería igual a 7.832,03.

e)� Los dos pasos anteriores (c y d) se repiten 20 veces, para obtener una muestra aleatoria de tamaño 20, en relación con el comportamiento del proyecto y el valor del valor presente neto. En el Cuadro 12.2 se muestran los resultados de las 20 simulaciones del proyecto.

f)� Con la muestra de tamaño 20 a que se hace referencia en el paso anterior, se estima el valor presente neto y la varianza del valor presente neto, utilizando respectivamente la media muestral y la varianza muestral.

En el Cuadro 12.2 se presentan los resultados de las 20 simulaciones:

Media muestral = (1/20)* �i VPNi = 4.164,20 Varianza muestral = S2 = (1/(19)) �i (VPNi – media muestral)2 =15.238.916,71 Desviación estándar muestral = 3.903,70 Coeficiente de variación = 3.903,70/4.164,20 = 0,9374 = 93,74%

Ejemplo 12.3 Suponga los siguientes proyectos (A y B), mutuamente excluyentes, con una inversión de 10.000, y tome una decisión acerca del proyecto a ejecutar, bajo las siguientes condiciones:

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Cuadro 12.2

X Y Z TIO VPN

r1 0,23 0,692 0,798 0,505

Valor 10000 5000 12.980 25,05% $ 7.832,03

r2 0,644 0,786 0,872 0,128

Valor 2000 5000 13.720 21,28% $ 2.739,46

r3 0,078 0,721 0,849 0,098

Valor 10000 5000 13.490 20,98% $ 9.300,56

r4 0,153 0,416 0,412 0,172

Valor 10000 10000 9.120 21,72% $ 10.022,33

r5 0,931 0,606 0,393 0,107

Valor 2000 10000 8.930 21,07% $ 3.506,19

r6 0,508 0,394 0,123 0,01

Valor 2000 10000 6.230 20,10% $ 2.194,49

r7 0,818 0,057 0,465 0,754

Valor 2000 10000 9.650 27,54% $ 2.367,20

r8 0,0357 0,3161 0,0388 0,4407

Valor 10000 10000 5.388 24,41% $ 7.297,38

r9 0,5351 0,0421 0,2231 0,1292

Valor 2000 10000 7.231 21,29% $ 2.498,38

r10 0,6895 0,3131 0,9541 0,5593

Valor 2000 10000 14.541 25,59% $ 5.272,18

r11 0,6272 0,7131 0,8669 0,5634

Valor 2000 5000 13.669 25,63% $ 1.652,56

r12 0,5462 0,8802 0,1891 0,8777

Valor 2000 1000 6.891 28,78% $ -4.617,01

r13 0,2648 0,8284 0,2528 0,5931

Valor 10000 5000 7.528 25,93% $ 4.863,03

r14 0,9817 0,1249 0,7375 0,8198

Valor 2000 10000 12.375 28,20% $ 3.518,44

r15 0,6567 0,6826 0,0925 0,4155

Valor 2000 5000 5.925 24,15% $ -2.049,24

r16 0,1025 0,3301 0,283 0,4571

Valor 10000 10000 7.830 24,57% $ 8.522,30

r17 0,6914 0,797 0,9508 0,7008

Valor 2000 5000 14.508 27,01% $ 1.755,68

r18 0,3976 0,8333 0,0893 0,1863

Valor 10000 5000 5.893 21,86% $ 4.829,35

r19 0,1504 0,1829 0,6951 0,5897

Valor 10000 10000 11.951 25,90% $ 10.241,13

r20 0,7801 0,3384 0,3064 0,7867

Valor 2000 10000 8.064 27,87% $ 1.537,48

Simulación de Montecarlo

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[368]

Capítulo 12

[368] J A V I E R S E R R A N O

a)� Suponiendo una TIO conocida (25%).

b)� Suponiendo una tasa de interés de oportunidad, con una distribución uniforme (.[20,30]), entre el 20% y el 30%.

Además, para los dos proyectos, suponga que los flujos de caja libre para el proyecto de cada año son variables aleatorias independientes.

Proyecto A:

Con las siguientes distribuciones de probabilidad para X, Y y Z (variables aleatorias):

X Px(X) Y Py(Y) Z

10.000 0,5 10.000 0,667 Z~U[5.000, 15.000]

2.000 0,5 5.000 0,167

1.000 0,167

Proyecto B:

Con las siguientes distribuciones de probabilidad para L, W y M (variables aleatorias):

L PL(L) W PW(W) M

6.000 0,25 8.000 0,250 M~U[8.000, 12.000]

4.000 0,75 7.000 0,250

6.000 0,250

5.000 0,250

MW L

I

Z YX

I

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[369] [369]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Parte A: La tasa de interés de oportunidad es constante y conocida Los cálculos para el proyecto A se realizaron previamente. El proyecto A tiene un VPN esperado de 4.827, con una desviación estándar de 4.175, es decir, un coeficiente de variación del 86,5%. Para el proyecto B se tiene:

E(L) = 500.4000.3500.1)000.4(43

)000.6(41

����

E(W) = (5.000) 41

+ (6.000)41

)000.7(41

)000.8(41

��

= 2.000 + 1.750 + 1.500 +1.250 = 6.500

E(M) = 10.000 = 2

8.000) + (12.000 =

2a)+(b

De donde el E(VPN(25%)) es:

E(VPN(25%)) = 32 1,25

10.000 +

1,25

6.500 +

1,254.500

+ 10.000-

E(VPN(25%)) = 2.880 Bajo el supuesto de independencia estocástica de los tres flujos de fondos (L, W y M), el cálculo de la varianza se simplifica significativamente. Por ello,

VAR(L) = = 4.500) - (4.00043

+ 4.500) - (6.00041 22 562.500 + 187.500 = 750.000

VAR(W) = 222 6.500) - (6.000 41

+ 6.500) - (7.00041

+ 6.500) - (8.00041

26.500) - (5.00041

+

VAR(W) = 562.500 + 62.500 + 62.500 + 562.500 VAR(W) = 1.250.000

VAR(M) = 331.333.333, = 12

8.000) - (12.000 =

12a)-(b 22

Por lo tanto, la varianza del valor presente neto sería:

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[370]

Capítulo 12

[370] J A V I E R S E R R A N O

VAR(VPN(25%)) = 642 1,25

331.333.333, +

1,25

1.250.000 +

1,25

750.000 + 0

VAR(VPN(25%)) = 0 + 480.000 + 512.000 + 349.525,33

VAR(VPN(25%)) = 1.341.525,33 De donde se desprende que la desviación estándar del valor presente neto es 1.158,24. Por lo tanto, el proyecto B tiene un valor presente neto esperado de 2.880, con una desviación de 1.158,24, es decir, un coeficiente de variación del 40%. En el Cuadro 12.3 se resume la situación de los dos proyectos:

Cuadro 12.3

Proyecto A B Valor esperado VPN 4.827 2.880 Desviación estándar VPN 4.175 1.158 Coeficiente de variación 86,5% 40%

La selección entre los dos proyectos A y B, mutuamente excluyentes, no es obvia, ya que en últimas va a depender de la forma como el inversionista pondere valor espera-do y riesgo. En otras palabras, el inversionista tendrá que evaluar si el mayor valor esperado del proyecto A (o mayor rentabilidad esperada del proyecto A) compensa el mayor riesgo que a su vez tiene el proyecto A. Esta ponderación no es fácil, y como se mencionó depende de varios factores: curva de utilidad del inversionista, monto in-volucrado, situación financiera del inversionista, etc. Parte B Suponiendo que la tasa de descuento es una variable aleatoria con una distribución de probabilidad uniforme entre el 20% y el 30% y utilizando las técnicas de simula-ción de Montecarlo. Los cálculos para el proyecto A se realizaron previamente, con los resultados que se muestran a continuación: Media muestral del valor presente neto: 4.164,20 Desviación estándar del valor presente neto: 3.903,70 Coeficiente de variación: 93,74% En el Cuadro 12.4 se resumen los cálculos para la estimación de los parámetros del proyecto B:

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[371] [371]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Cuadro 12.4

L W M TIO VPN r1 0,978 0,8373 0,5215 0,2307 Valor 4.000 5000 10.086,00 22,31% $ 2.125,64 r2 0,1563 0,8452 0,5342 0,5034 Valor 6000 5000 10.136,80 25,03% $ 3.182,90 r3 0,4069 0,5872 0,3266 0,554 Valor 4000 6000 9.306,40 25,54% $ 1.697,10 r4 0,1513 0,9774 0,5813 0,8739 Valor 6000 5000 10.325,20 28,74% $ 2.516,56 r5 0,8118 0,6275 0,8714 0,1844 Valor 4000 6000 11.485,60 21,84% $ 3.673,79 r6 0,8588 0,8595 0,9393 0,5482 Valor 4000 5000 11.757,20 25,48% $ 2.313,75 r7 0,0362 0,7686 0,1718 0,099 Valor 6000 5000 8.687,20 20,99% $ 3.279,66 r8 0,7996 0,893 0,4709 0,4866 Valor 4000 5000 9.883,60 24,87% $ 1.487,09 r9 0,9474 0,9681 0,2391 0,2288 Valor 4000 5000 8.956,40 22,29% $ 1.512,20 r10 0,4904 0,486 0,7671 0,9163 Valor 4000 7000 11.068,40 29,16% $ 2.429,21 r11 0,3477 0,2285 0,4635 0,857 Valor 4000 8000 9.854,00 28,57% $ 2.587,25 r12 0,3777 0,908 0,6069 0,9963 Valor 4000 5000 10.427,60 29,96% $ 788,36 r13 0,8622 0,4024 0,4023 0,6456 Valor 4000 7000 9.609,20 26,46% $ 2.292,59 r14 0,963 0,5015 0,5851 0,0117 Valor 4000 6000 10.340,40 20,12% $ 3.455,19 r15 0,5593 0,5725 0,1384 0,6925 Valor 4000 6000 8.553,60 26,93% $ 1.058,91 r16 0,6644 0,7595 0,8894 0,9608 Valor 4000 5000 11.557,60 29,61% $ 1.371,25 r17 0,9626 0,2679 0,4462 0,8036 Valor 4000 7000 9.784,80 28,04% $ 2.056,08 r18 0,0125 0,6244 0,8239 0,0973 Valor 6000 6000 11.295,60 20,97% $ 5.440,14 r19 0,4811 0,8117 0,3137 0,1247 Valor 4000 5000 9.254,80 21,25% $ 1.892,46 r20 0,1665 0,3905 0,8022 0,2486 Valor 6000 7000 11.208,80 22,49% $ 5.663,94

Nuevamente los dos parámetros, valor esperado y desviación estándar del valor presente neto, se estiman respectivamente con la media muestral y con la desviación estándar muestral; los resultados obtenidos son:

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[372]

Capítulo 12

[372] J A V I E R S E R R A N O

Media muestral del valor presente neto: 2.541,20 Desviación estándar del valor presente neto: 1.291,86 Coeficiente de variación: 50,80% En el Cuadro 12.5 se resumen los resultados obtenidos para los dos proyectos A y B, utilizando técnicas de simulación de Montecarlo:

Cuadro 12.5

Proyecto A B

Valor esperado VPN 4.164,20 2.541,20

Desviación estándar VPN 3.903,70 1.291,86

Coeficiente de variación 93,74% 50,80%

La escogencia entre los dos proyectos no es obvia. Observe las diferencias entre los resultados exactos para el caso de la tasa interna de retorno constante y conocida (Parte A) y los obtenidos para el caso en el cual la tasa de descuento es una variable aleatoria, uniforme, entre el 20% y el 30% (Parte B). ¿Qué puede decir usted al respecto? F R O N T E R A E F I C I E N T E E N M E D I A Y V A R I A N Z A

Considere un mercado en el cual hay N oportunidades o alternativas de inversión básicas (p. ej., acciones, proyectos, empresas), cada una de ellas con una rentabilidad RJ, J = 1, …, N, que es una variable aleatoria, con su respectivo valor esperado (E(RJ)) y varianza (+2

J). En otras palabras: Alternativas: 1 2 3 4 ,...... J,….. N-1 N

Valor esperado: E(R1) E(R2) E(R3) E(R4) E(RJ) E(RN-1) E(RN)

Varianza: +2

1 +22 +2

3 +24 +2

J +2N-1 +2

N Fracción: P1 P2 P3 P4 PJ PN-1 PN Con cada una de las alternativas de inversión básicas se puede conformar un portafolio de inversión, invirtiendo una fracción PJ en cada una de ellas, en forma tal que:

1PN

1jJ /�

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Frontera eficiente en media y varianza

Cada combinación de las PJ, J=1,2,3,…,N, satisfaciendo la restricción anterior, cons-tituye un portafolio de inversión, el cual es una combinación convexa de todas las alternativas de inversión básicas. La rentabilidad de cada uno de estos portafolios de inversión es a su vez una variable aleatoria, con una rentabilidad esperada y una va-rianza. Existe un número infinito de portafolios de inversión, los cuales constituyen un conjunto convexo. Suponga que R es la rentabilidad del portafolio de inversión, consistente en invertir Pj, j=1,2,3,…,N, en las alternativas básicas. La rentabilidad de este portafolio de inver-sión estaría dada por: R = P1* R1+ P2* R2 + …+ PJ* RJ + ...+ PN* RN

j

N

1jj R*PR �

��

A su vez, el valor esperado de la rentabilidad del portafolio y la varianza de la renta-bilidad del portafolio estarían dados respectivamente por:

)E(R*PE(R) j

N

1jj�

��

ji

Ni

1ij

Nj

1jiR

2 *P*P << ���

��

donde +ij corresponde a la covarianza entre la rentabilidad de la i-ésima alternativa de inversión básica y la j-ésima alternativa de inversión básica, recordando que:

+ij = +2i, cuando i es igual a j

+ij = +ji, para todo i,j

Lo ideal es encontrar el portafolio o combinación convexa de las alternativas básicas que minimice el riesgo total y maximice la rentabilidad esperada. Esto es, encontrar la combinación de Pj, j=1, 2, 3,…, N, tales que:

)E(R*PE(R) Max j

N

1jj�

��

ji

Ni

1ij

Nj

1jiR

2 *P*P Min << ���

��

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[374]

Capítulo 12

[374] J A V I E R S E R R A N O

Sujeto a que:

1PN

1jj /�

Pj 0 0 Para j =1, 2, 3,…, j,... N

La optimización simultánea de las dos variables (máxima rentabilidad y mínimo riesgo) no es posible. Una posibilidad para avanzar en la selección de alternativas mutuamente excluyentes es la construcción de una frontera eficiente que facilitó posteriormente el desarrollo del modelo CAPM, que se explicará más adelante. Para encontrar la frontera eficiente de inversión se fija un nivel dado de rentabilidad esperada (p. ej., E(RP)) y se encuentra el portafolio que para ese nivel dado de rentabilidad esperada minimiza el riesgo; en otras palabras, en vez de resolver el problema original, se resuelve el siguiente problema de programación cuadrática para diferentes valores de E(RP). En términos notacionales, encontrar la combinación de Pj, j=1, 2, 3,…, N, tales que:

ji

Ni

1ij

Nj

1jiR

2 *P*P Min << ���

��

Sujeto a que:

)E(R)E(R*PE(R) pj

Nj

1jj �� �

1PNj

1jj /�

Pj 0 0 Para j =1, 2, 3, …,j,..., N

La solución repetitiva de este problema de programación cuadrática para diferentes valores de E(RP) conduce a la frontera eficiente de inversión, la cual se representa en la figura 12.3, donde se muestran las dos dimensiones de rentabilidad esperada y riesgo. Los portafolios que están por encima de la frontera eficiente de inversión (p. ej., portafolio C) son ineficientes porque o existe un portafolio con la misma rentabilidad esperada y menor riesgo (p. ej. portafolio A) o existe otro portafolio con el mismo riesgo pero con una mayor rentabilidad esperada (p. ej., portafolio B). Los portafolios por debajo de la frontera eficiente son portafolios no factibles, pues no existen para el conjunto de restricciones especificadas. Los portafolios sobre la frontera (p. ej., portafolio A y B) son eficientes en términos de media varianza; aunque un inversionista racional se localizaría sobre la frontera eficiente, la decisión

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[375] [375]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Frontera eficiente en media y varianza

entre los portafolios A y B sobre la frontera eficiente no es obvia, ya que en últimas va a depender de la forma como ese inversionista pondera rentabilidad esperada y riesgo.

Figura 12.3 Frontera eficiente de inversión

Ejemplo 12.4 Determinación de la frontera eficiente

Considere los cuatro activos financieros cuyas rentabilidades se presentan en el Cuadro 12.6 para 15 períodos (Ra, Rb, Rc, Rd). Se quiere encontrar la frontera efi-ciente para este conjunto de cuatro activos financieros. Al final del cuadro bajo el encabezado de parámetros básicos se muestran los estimativos del valor esperado de la rentabilidad, desviación estándar de la rentabilidad y varianza de la rentabilidad de cada uno de los activos financieros, calculadas utilizando la media muestral para el valor esperado de la rentabilidad y la desviación estándar muestral. Así mismo se muestran los estimativos de los coeficientes de correlación entre la rentabilidad de los diferentes activos financieros.

La matriz de varianza-covarianza se calcula utilizando la facilidad que ofrece Excel para su estimación, tal y como se muestra en el Cuadro 12.7. Para ello se selecciona “Herramientas” en el menú, se sigue con “Análisis de datos, Covarianza”, se escoge el rango de entrada como el correspondiente a las 60 observaciones de la rentabilidad para los cuatro activos financieros para los 15 períodos, se selecciona un rango de salida y se le da la instrucción de aceptar para obtener la salida que se muestra en el Cuadro 12.7, donde se hizo la correspondiente señalización.

RIESGO

RENTABILIDAD ESPERADA

FRONTERA EFICIENTEDE INVERSIÓN

C

A

B

PORTAFOLIOSINEFICENTES

PORTAFOLIOS NOFACTIBLES

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[376]

Capítulo 12

[376] J A V I E R S E R R A N O

El Cuadro 12.7 se debe completar teniendo en cuenta que la matriz de varianza-covarianza es una matriz simétrica en la medida en que la covarianza entre la rentabilidad de a y la rentabilidad de b es igual a la covarianza entre la rentabilidad de b y la rentabilidad de a. Al llenar las celdas vacías se obtiene la matriz de varianza-covarianza que se muestra en el Cuadro 12.8:

Cuadro 12.6

Período Ra Rb Rc Rd

1 10,00% 15,00% 16,00% 15,00%

2 12,00% 18,00% 20,00% 8,00%

3 18,00% 30,00% 34,00% 40,00%

4 20,00% 12,00% 8,00% 12,00%

5 30,00% 40,00% 42,00% 50,00%

6 18,00% 35,00% 38,00% 10,00%

7 25,00% 34,00% 30,00% 60,00%

8 24,00% 18,00% 20,00% 50,00%

9 12,00% 32,00% 34,00% 12,00%

10 18,00% 30,00% 30,00% 5,00%

11 12,00% 33,00% 33,00% 60,00%

12 14,00% 12,00% 14,00% 28,00%

13 18,00% 15,00% 15,00% 29,00%

14 20,00% 25,00% 28,00% 30,00%

15 40,00% 24,00% 35,00% 10,00%

Parámetros básicos Valor esperado, E(Rj) 19,40% 24,87% 26,47% 27,93% Desviación estándar, Desv. est. (Rj) 7,66% 8,97% 9,84% 19,01%

Varianza 0,59% 0,80% 0,97% 3,62%

Coeficientes de correlación entre pares de variables, utilizando la función de Pearson

100% 23,29% 36,65% 14,90%

23,29% 100,00% 94,02% 33,59%

36,65% 94,02% 100,00% 21,44%

14,90% 33,59% 21,44% 100,00%

Cuadro 12.7

Columna 1 Columna 2 Columna 3 Columna 4

Columna 1 0,005864000

Columna 2 0,001598667 0,00803822

Columna 3 0,002761333 0,00829289 0,00967822

Columna 4 0,002169333 0,00572578 0,00400978 0,03615289

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Cuadro 12.8 Matriz de varianza-covarianza

Ra Rb Rc Rd

Ra 0,0058640 0,0015987 0,0027613 0,0021693

Rb 0,0015987 0,0080382 0,0082929 0,0057258

Rc 0,0027613 0,0082929 0,0096782 0,0040098

Rd 0,0021693 0,0057258 0,0040098 0,0361529

Con la información anterior se calcula tanto el valor esperado del portafolio como su varianza. A manera de ejemplo, se selecciona el portafolio que tiene la siguiente composición: Pa, 22%; Pb, 15%; Pc, 25% y Pd, 38%, para un total del 100%. La selección del portafolio fue arbitraria y no corresponde a un portafolio eficiente en media y varianza como se mostrará posteriormente, simplemente es una selección arbitraria para comenzar el proceso. En el Cuadro 12.9 se muestran los cálculos intermedios necesarios para calcular el valor esperado y la varianza de la rentabilidad del portafolio, esto es, E(RP) y VAR(RP):

RP = P1 * R1 + P2 * R2 + P3 * R3 + P4 * R4 = 0,22 * R1 + 0,15 * R2 + 0,25 * R3 + 0,38 * R4

E(RP) = P1 * E(R1) + P2 * E(R2 ) + P3 * E(R3) + P4 * E(R4) E(RP) = 0,22 * E(R1) + 0,15 * E(R2 ) + 0,25 * E(R3) + 0,38 * E(R4 ) = 25,23% VAR(RP) = (0,22)2 * VAR(R1) + (0,15)2 * VAR(R2) + (0,25)2 * VAR(R3) + (0,38)2 * VAR(R4) + 2 * 0,22 * 0,15 * COV(R1,R2) + 2 * 0,22 * 0,25 * COV(R1,R3) + 2 * 0,22 * 0,38 * COV(R1,R4) + 2 * 0,15 * 0,25 * COV(R2,R3) + 2 * 0,15 * 0,38 * COV(R2,R4) + 2 * 0,25 * 0,38 * COV(R3,R4)

El valor esperado es igual al 25,23% y la varianza (suma), es igual a 0,0090986 (0,90986%).

Frontera eficiente en media y varianza

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[378]

Capítulo 12

[378] J A V I E R S E R R A N O

Cuadro 12.9 Cálculos intermedios

E(Rp)= 0.2522933

P2 0.0484000 0.0225000 0.0625000 0.1444000

P2*VAR(Rj) 0.0002838 0.0001809 0.0006049 0.0052205

Pi*Pj*∂IJ 0.0002838 0.0000528 0.0001519 0.0001814

0.0000528 0.0001809 0.0003110 0.0003264

0.0001519 0.0003110 0.0006049 0.0003809

0.0001814 0.0003264 0.0003809 0.0052205

Suma 0.0090986

Las dos celdas clave corresponden a aquellas en las cuales se encuentra el valor espe-rado de la rentabilidad y la varianza de la rentabilidad como función de los porcen-tajes de participación de cada activo financiero en el portafolio. Para este ejemplo, son respectivamente las celdas B38 y B48, a manera de ejemplo. A partir de estas celdas se procede a la utilización de “Solver” de Excel, para un valor dado de la rentabilidad, siguiendo los siguientes pasos: �� Definición de las participaciones iniciales en un rango de celdas; por ejemplo,

B35:E35. �� Selección de una celda (p. ej., C58), para establecer el nivel de rentabilidad espe-

rado (p. ej., 25%). �� Fijación de una celda donde se encuentre la suma de los porcentajes (p. ej., la

celda F35), la cual durante el proceso se deberá hacer igual a 100%. �� Seleccionar en el menú la opción de “Herrramientas”, y después “Solver”. Para el

cuadro que aparece, seleccionar como celda objetivo la B48 (celda de la varianza parametrizada); y mínimo como valor de la celda objetivo, combinando las celdas $B$35:$E$35. Esto es, las celdas donde se encuentran los porcentajes de parti-cipación de cada activo financiero en el portafolio, que son las que se van a variar automáticamente como respuesta de “Solver” para encontrar el portafolio de mí-nima varianza que, cumpliendo con las restricciones del problema, da una renta-bilidad esperada igual a 25%.

�� Se establecen las restricciones del problema, específicamente: o� Las participaciones de cada activo financiero en el portafolio deben ser igua-

les o mayores a cero ($B$35:$E$35 ≥ 0). o� La rentabilidad esperada (celda $B$38, parametrizada) debe ser igual a la

rentabilidad esperada que se fijó, el 25% para el ejemplo en la celda C58. La ecuación sería: $B$38 = $C$58.

o� La suma de los porcentajes deberá ser igual al 100% ($F$35 = 100%).

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�� Se procede con la opción de resolver, aparece la pregunta sobre si se debe utilizar la solución de solver, a lo cual se responde aceptar, para encontrar la solución que se está buscando, esto es, el portafolio de mínima varianza para una rentabilidad esperada del 25%.

�� Se obtiene una solución en el rango de celdas B35:E35, con los participaciones de cada activo financiero en el portafolio eficiente; esto es: P1 = 23,14%; P2 = 2,17%; P3 = 60,86%; P4 = 13,84%; la suma de los cuatro porcentajes es igual al 100%, que era una de las restricciones establecidas en “Solver”.

�� Para el portafolio anterior el valor esperado de la rentabilidad del portafolio es el 25% (fijado) y la varianza es 0,0064556 o 0,64556%, que corresponde al porta-folio de mínima varianza para una rentabilidad esperada del 25%, entre todos los portafolios factibles de acuerdo con el mercado que forman los cuatro activos financieros.

�� En la figura 12.4 se muestra una foto a manera de imagen de la página en Excel, donde se resumen todos los pasos que se acaban de presentar.

�� El proceso continúa iterativamente, cambiando la rentabilidad esperada, definida en la celda C58 a un nuevo valor.

�� Para el ejemplo se encontraron los valores que se muestran en el Cuadro 12.10. �� Se procede a graficar los valores de rentabilidad esperada y varianza que se mues-

tran en el Cuadro 12.10, para obtener la Figura 12.5, donde se muestran los ocho puntos correspondientes a las diferentes corridas.

�� Si se hace un ajuste a los 8 puntos anteriores se muestra una curva que contiene la frontera eficiente, tal y como se muestra en la Figura 12.6.

Cuadro 12.10

Corrida P1 P2 P3 P4 E(RP) VAR(RP)

1 89,02% 10,98% 0,00% 0,00% 20,000% 0,5057%

2 70,73% 29,27% 0,00% 0,00% 21,000% 0,4284%

3 54,24% 42,55% 0,00% 3,21% 22,000% 0,4188%

4 40,07% 46,23% 6,54% 7,16% 23,000% 0,4665%

5 31,61% 24,17% 33,72% 10,50% 24,000% 0,5458%

6 23,15% 2,10% 60,90% 13,85% 25,000% 0,6456%

7 10,01% 0,00% 73,55% 16,43% 26,000% 0,7719%

8 0,00% 0,00% 63,63% 36,37% 27,000% 1,0557%

Frontera eficiente en media y varianza

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[380]

Capítulo 12

[380] J A V I E R S E R R A N O

Figura 12.4

Figura 12.5 Frontera eficiente (media-varianza)

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[381] [381]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Figura 12.6 Frontera eficiente (media-varianza)

A N Á L I S I S D E L R I E S G O A T R A V É S D E L A N Á L I S I S D E E S C E N A R I O S

No obstante los desarrollos existentes en la teoría financiera sobre el tratamiento del riesgo, a algunos de los cuales se ha hecho referencia en este capítulo, su aplicación práctica es limitada, especialmente cuando los mismos suponen la asignación de distribuciones de probabilidad a las diferentes variables involucradas en la evaluación de un proyecto de inversión. Por ello, a veces no es posible una cuantificación precisa del riesgo, tal y como se mostró en este capítulo, reduciéndose la consideración del riesgo al análisis del comportamiento del proyecto de inversión en un conjunto de escenarios macroeconómicos y al análisis de sensibilidad de los factores críticos o “value drivers” dentro de cada uno de esos escenarios. El análisis de escenarios permite una cualificación del riesgo del proyecto (p. ej., alto, medio, bajo), frente a una cuantificación del mismo, tal y como lo suponen algunas de las técnicas vistas en este capítulo. Para ello usualmente se escogen tres escenarios (normativo, optimista, pesimista) que, como se mencionó en el Capítulo 7, son el resultado del trabajo de firmas especializadas en este tema. El proyecto se evalúa dentro de cada escenario, haciendo un análisis de sensibilidad sobre los factores críticos o “value drivers”. La dispersión de posibles resultados de los indicadores que se estén utilizando (p. ej., valor presente neto o tasa interna de retorno) permite hacer la cualificación del riesgo del proyecto, que hace parte de la información que debe analizar el inversionista, para tomar una decisión. Algunos van más allá y le asignan probabilidades subjetivas a los diferentes escenarios, buscando una cuan-tificación del riesgo, lo cual no deja de generar dudas sobre la validez teórica de esta aproximación.

Análisis del riesgo a través del análisis de escenarios

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[382]

Capítulo 12

[382] J A V I E R S E R R A N O

E J E M P L O S

Ejemplo 12.5

Considere el siguiente proyecto con una vida útil de tres años y una inversión de $10.000 millones. Los flujos de caja libre para el proyecto para cada uno de los tres años son variables aleatorias estadísticamente independientes con las siguientes distribuciones de probabilidad:

FCLP1 = X, variable aleatoria, con 3 posibles resultados: 4.000, con probabilidad de 1/6; 5.000, con probabilidad de 4/6; 6.000, con probabilidad de1/6. FCLP2 = Y, variable aleatoria con 4 posibles resultados: 3.000, con probabilidad de 1/6; 4.500, con probabilidad 2/6; 7.500, con probabilidad de 2/6; 9.000, con probabilidad de1/6. FCLP3 = Z = variable aleatoria con distribución uniforme entre 6.000 y 10.000.

a)� Suponiendo que la TIO es una constante e igual al 22%, ¿cuál sería el valor

presente promedio, la desviación estándar y el coeficiente de variación? Los cálculos correspondientes para determinar el valor esperado del valor presen-te neto y la desviación estándar del valor presente neto se presentan en el Cua-dro 12.11:

Cuadro 12.11 Cálculos y resultados

Flujos E Var. Dist. est.

X 5.000 333.333 577,35 Y 6.000 4.500,000 2.121,32 Z 8.000 1,333,333 1.155

VPN 2.535 2.659.621 1.630

E[VPN(i=22%)] = 2.535 = 1,22

8.000 +

1,22

6.000 +

1,225.000

+ 10,000- 32

VAR(VPN) = 642 i)+(1

Var(Z) +

i)+(1

Var(y) +

i)+(1

Var(X)

VAR(VPN) = 642 0,22)+(1

1.333.333 +

0,22)+(1

4.500.000 +

0,22)+(1

333.333

VAR(VPN) = 223.954 + 2.031.296 + 404.371 = 2.659.621 Coeficiente de variación = 1.630/2.535 = 64,33%

b)� Si la TIO es una variable aleatoria con una distribución uniforme entre el 19% y el 25%. La solución analítica es muy compleja; por ello se procede a una estimación de los parámetros pertinentes utilizando la simulación de Montecarlo. Las asignaciones para cada flujo aleatorio son:

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Ejemplos

Para el flujo del año 1, X: SI(R1<0,167;X=4.000; SI(R1<0,833;X=5.000;X=6.000)) Para el flujo del año 2, Y: SI(R2<0,167; Y= 3.000;SI(R2<0,5;Y=4.500;SI(R2<0,833;Y=7.500;Y=9.000))) Para el flujo del año 3, Z: Z = 6.000 + 4.000 * R3 Para la tasa de interés de oportunidad, TIO: TIO = 19%+ 6%*R4 En el Cuadro 12.12 se muestran los resultados para una muestra parcial de 30 simulaciones.

Los resultados estimados con base en una muestra de 360 simulaciones fueron:

�� Media muestral = 2.513; estimador del valor esperado del valor presente neto. �� Desviación estándar muestral = 1.622; estimador de la desviación estándar del

valor presente neto. �� Coeficiente de variación estimado = 64,57%

En la Figura 12.7 se muestra el histograma correspondiente a los resultados observa-dos para una muestra de 360 simulaciones:

Figura 12.7 Histograma (360 simulaciones): frecuencia

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[384]

Capítulo 12

[384] J A V I E R S E R R A N O

Cuadro 12.12 Muestra parcial de simulaciones

I R1 R2 R3 R4 X Y Z TIO VNA

1 -10,000 0.8890 0.7245 0.2378 0.6092 6,000 7,500 6,951 22.66% 3,6442 -10,000 0.8528 0.4426 0.2352 0.0015 6,000 4,500 6,941 19.01% 2,3373 -10,000 0.1130 0.5586 0.6570 0.1205 4,000 7,500 8,628 19.72% 3,6014 -10,000 0.1095 0.2681 0.8949 0.3467 4,000 4,500 9,580 21.08% 1,7705 -10,000 0.3059 0.0890 0.4440 0.2584 5,000 3,000 7,776 20.55% 6516 -10,000 0.7343 0.0906 0.0897 0.7622 5,000 3,000 6,359 23.57% -6197 -10,000 0.5239 0.9683 0.9212 0.6246 5,000 9,000 9,685 22.75% 5,2838 -10,000 0.0325 0.5832 0.4199 0.8746 4,000 7,500 7,680 24.25% 2,0829 -10,000 0.5649 0.9665 0.1330 0.0473 5,000 9,000 6,532 19.28% 4,366

10 -10,000 0.1100 0.7734 0.2210 0.2621 4,000 7,500 6,884 20.57% 2,40411 -10,000 0.3874 0.8071 0.1789 0.9205 5,000 7,500 6,716 24.52% 2,33012 -10,000 0.1945 0.2839 0.4435 0.8837 5,000 4,500 7,774 24.30% 98313 -10,000 0.6668 0.5799 0.4477 0.6068 5,000 7,500 7,791 22.64% 3,28714 -10,000 0.2036 0.4109 0.8633 0.9019 5,000 4,500 9,453 24.41% 1,83515 -10,000 0.2681 0.2545 0.8285 0.4000 5,000 4,500 9,314 21.40% 2,37816 -10,000 0.6249 0.8346 0.0068 0.7421 5,000 9,000 6,027 23.45% 3,15917 -10,000 0.8800 0.2993 0.5339 0.2997 6,000 4,500 8,136 20.80% 2,66618 -10,000 0.1048 0.9186 0.1035 0.1380 4,000 9,000 6,414 19.83% 3,33419 -10,000 0.7419 0.5050 0.1017 0.4734 5,000 7,500 6,407 21.84% 2,69820 -10,000 0.5397 0.9950 0.6199 0.9026 5,000 9,000 8,479 24.42% 4,23621 -10,000 0.0250 0.9085 0.1297 0.7329 4,000 9,000 6,519 23.40% 2,62122 -10,000 0.3323 0.8662 0.3953 0.5521 5,000 9,000 7,581 22.31% 4,24723 -10,000 0.1326 0.2581 0.8115 0.0514 4,000 4,500 9,246 19.31% 1,95824 -10,000 0.4879 0.1709 0.1664 0.4382 5,000 4,500 6,666 21.63% 85725 -10,000 0.5082 0.4271 0.6760 0.7621 5,000 4,500 8,704 23.57% 1,60626 -10,000 0.7393 0.4953 0.9495 0.5095 5,000 4,500 9,798 22.06% 2,50527 -10,000 0.9265 0.2011 0.5118 0.3567 6,000 4,500 8,047 21.14% 2,54628 -10,000 0.3334 0.1250 0.3614 0.4567 5,000 3,000 7,446 21.74% 25829 -10,000 0.9953 0.7708 0.8292 0.3140 6,000 7,500 9,317 20.88% 5,37030 -10,000 0.6081 0.3978 0.5017 0.8660 5,000 4,500 8,007 24.20% 1,123

¿Cuál sería el riesgo de invertir en este proyecto?

El coeficiente de variación estimado es alto (64,57%) y en principio indicativo de un riesgo alto por una volatilidad elevada alrededor del valor esperado. Sin embargo, el valor esperado puede caer en 1,549 veces la desviación estándar y aún no obtener un valor presente neto negativo, que es el riesgo real que enfrenta el inversionista. Bajo el supuesto de una distribución normal, la probabilidad de que el verdadero valor del valor presente neto caiga por debajo de 0 es de 0,0606, o 6,06%, que es la probabilidad de que una variable aleatoria con una distribución normal estándar con media cero y desviación estándar igual a 1 caiga por debajo de -1,549. Por lo tanto, el riesgo de obtener un resultado negativo en términos de valor presente neto sería bajo.

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Ejemplo 12.6

En el Cuadro 12.13 se muestra la rentabilidad de cuatro activos financieros durante 30 períodos. Se solicita construir la frontera eficiente para un mercado conformado por esos cuatro activos financieros:

Cuadro 12.13

Año Activo 1 Activo 2 Activo 3 Activo 4

1 19,00% 17,00% 21,00% 15,00%

2 19,00% 17,00% 22,00% 17,00%

3 19,50% 20,00% 21,00% 24,00%

4 20,00% 21,00% 23,00% 26,00%

5 20,50% 22,00% 22,00% 27,00%

6 20,00% 21,00% 21,00% 21,00%

7 19,00% 18,00% 21,00% 22,00%

8 20,00% 19,00% 22,00% 25,00%

9 19,00% 18,00% 20,00% 26,00%

10 20,00% 19,00% 24,00% 27,00%

11 19,00% 18,00% 25,00% 28,00%

12 19,50% 18,50% 26,00% 22,00%

13 20,00% 19,00% 19,00% 17,00%

14 21,00% 22,00% 18,00% 19,00%

15 18,00% 17,00% 23,00% 22,00%

16 19,00% 18,00% 25,00% 24,00%

17 19,50% 21,00% 22,00% 25,00%

18 20,00% 21,00% 21,00% 21,00%

19 20,50% 22,00% 21,00% 19,00%

20 21,00% 22,00% 17,00% 22,00%

21 21,50% 23,00% 24,00% 25,00%

22 20,00% 21,00% 25,00% 26,00%

23 19,50% 21,00% 17,00% 27,00%

24 19,00% 20,00% 21,00% 21,00%

25 18,50% 19,00% 22,00% 21,00%

26 19,00% 21,00% 21,00% 23,00%

27 20,00% 22,00% 17,00% 21,00%

28 20,50% 22,00% 18,00% 24,00%

29 21,00% 23,00% 22,00% 19,00%

30 21,50% 24,00% 23,00% 25,00%

En el Cuadro 12.14 se muestran algunos cálculos básicos para la determinación del valor esperado y la varianza de la rentabilidad de un portafolio, constituido con los cuatro activos financieros. Específicamente, el valor esperado y la desviación estándar de cada activo financiero, estimados respectivamente por la media muestral y la desviación estándar muestral, y la matriz de varianza-covarianza.

Ejemplos

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[386]

Capítulo 12

[386] J A V I E R S E R R A N O

Cuadro 12.14

Activo 1 Activo 2 Activo 3 Activo 4 Promedio 19,80% 20,22% 21,47% 22,70% Desviación estándar 0,88% 1,97% 2,45% 3,34% Varianza (muestral) 0,0077% 0,0389% 0,0598% 0,1118% Matriz de varianza-covarianza Activo 1 Activo 2 Activo 3 Activo 4 Activo 1 0,00007690 0,00014017 -0,00003733 0,00001900 Activo 2 0,00014017 0,00038911 -0,00013178 0,00010817 Activo 3 -0,00003733 -0,00013178 0,00059816 0,00023733 Activo 4 0,00001900 0,00010817 0,00023733 0,00111828

Para cada portafolio sobre la frontera eficiente hay que resolver el siguiente problema de optimización, fijando un nivel dado de rentabilidad, por ejemplo, el 20%.

)R,Cov(R*P*P Minimizar ji

Ni

1ij

Nj

1ji��

Sujeto a que:

%20R)E(R*P 1j

Nj

1jj ���

1PNj

1jj /�

Pj 0 0 Para j =1, 2, 3 ,…,j,..., N La función objetivo a minimizar corresponde a la varianza de la rentabilidad del portafolio, para una combinación dada de los porcentajes que se invierten en cada activo financiero (PJ, J=1,2,3,4), esto es:

VAR(RP) = P1

2*0,00007690+ 2* P1* P2* 0,00014017-2*P1* P3*0,00003733

+2*P1* P4* 0,00001900 + P22*0,00038911 - 2*P2* P3* 0,00013178

+2*P2* P4* 0,00010817 + P32*0,00059816 + 2*P3* P4* 0,00023733

+ P42 * 0,00111828

Como se mostró, el problema de optimización se resuelve a través de la opción “Solver” de Excel, tal y como se explicó exhaustivamente. A manera de ejemplo, para un valor esperado del 20,75%, el portafolio eficiente estará dado por los valores de P1 = 53,40%; P2 = 3,31%; P3 = 25,88%; P4 = 17,41%, con una varianza igual a

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[387] [387]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

0,00011486, o lo que es equivalente, una desviación estándar de la rentabilidad del portafolio igual al 1,0717%. En el Cuadro 12.15 se muestran 13 portafolios resul-tantes de la utilización de “Solver” para diferentes niveles de rentabilidad esperada. La Figura 12.8 muestra una curva continua que se forma con la extrapolación de los 13 puntos, que contiene la frontera eficiente. Para encontrar la frontera eficiente solicitada para los cuatro activos financieros hay que eliminar la porción inferior iz-quierda de la curva, ya que la misma contiene portafolios ineficientes.

Cuadro 12.15

P1 P2 P3 P4 E Var. Desv. est. Valor esper.

100,00% 0,00% 0,00% 0,00% 19,80% 0,00007690 0,877% 19,80%

88,00% 0,00% 12,00% 0,00% 20,00% 0,00006028 0,776% 20,00%

76,96% 0,00% 17,68% 5,36% 20,25% 0,00006336 0,796% 20,25%

66,72% 0,00% 21,50% 11,78% 20,50% 0,00008170 0,904% 20,50%

53,40% 3,31% 25,88% 17,41% 20,75% 0,00011486 1,072% 20,75%

34,52% 12,62% 31,25% 21,61% 21,00% 0,00016053 1,267% 21,00%

15,65% 21,92% 36,62% 25,80% 21,25% 0,00021807 1,477% 21,25%

0,00% 27,92% 41,08% 31,00% 21,50% 0,00028769 1,696% 21,50%

0,00% 17,85% 41,08% 41,07% 21,75% 0,00037855 1,946% 21,75%

0,00% 7,79% 41,07% 51,14% 22,00% 0,00049559 2,226% 22,00%

0,00% 0,00% 36,49% 63,51% 22,25% 0,00064074 2,531% 22,25%

0,00% 0,00% 16,22% 83,78% 22,50% 0,00086522 2,941% 22,50%

0,00% 0,00% 0,00% 100,00% 22,70% 0,00111828 3,344% 22,70%

Figura 12.8 Riesgo versus rentabilidad esperada

Ejemplos

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[388]

Capítulo 12

[388] J A V I E R S E R R A N O

Ejemplo 12.7 Considere un proyecto de inversión a cuatro años, con flujos aleatorios para cada año, y con los valores esperados que se presentan en el Cuadro 12.16:

Cuadro 12.16

Año Valor esperado

0 I -180.000

1 FCLF1 50.000

2 FCLF2 102.700

3 FCLF3 150.000

4 FCLF4 200.000

FCLF1 es una variable aleatoria discreta que puede tomar tres valores con igual probabilidad: 25.000, 50.000, 75.000.

FCLF2 es una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad:

Cuadro 12.17

Probabilidad Valor

0,1500 50.000

0,2800 80.000

0,3500 120.000

0,2200 140.000

FCLF3 es una variable aleatoria uniforme entre 120.000 y 180.000. FCLF4 es una variable aleatoria entre 150.000 y 250.000. Parte A Se supone que la tasa de interés de oportunidad, TIO, es constante e igual al 20% y los flujos de caja libre para la firma son variables aleatorias estadísticamente inde-pendientes. ¿Cuál es el valor esperado del valor presente neto? ¿Cuál es la desviación estándar del valor presente neto? ¿Cuál es el coeficiente de variación? ¿Qué puede decir sobre el riesgo de realizar el proyecto?

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Parte B A través de la simulación de Montecarlo, estime los mismos parámetros, suponiendo que la TIO es una variable aleatoria con una distribución uniforme entre el 17% y el 23%.

La solución de la parte A se hace a través de la formulación matemática estándar: cuadros 12.18, 12.19 y 12.20.

Cuadro 12.18 FCLF1

Probabilidad Valor 0,3330 25.000 0,3333 50.000 0,3337 75.000

E(FCLF1) = 50.000 VAR(FCLF1) = 416.666.667 Desv. estándar 20.412

FCLF2

Probabilidad Valor 0,1500 50.0000,2800 80.000 0,3500 120.000 0,2200 140.000

E(FCLF2) = 102.700VAR(FCLF2) = 971.710.000 Desv. estándar 31.172

Cuadro 12.19

Flujo Distribución a b (a+b)/2 (b-a)2/12

FCLF3 Uniforme 120.000 180.000 150.000 300.000.000

FCLF4 Uniforme 150.000 250.000 200.000 833.333.333

El valor esperado del valor presente neto, descontado al 20%, es igual a $116.242. Los cálculos necesarios para la varianza del valor presente neto se resumen en el siguiente cuadro:

Cuadro 12.20

VAR(FCLF1)=416.666.667 VAR(FCLF1)/(1+0,20)2 =289.351.852 VAR(FCLF2)=971.710.000 VAR(FCLF2)/(1+0,20)4 =468.610.147 VAR(FCLF3)=300.000.000 VAR(FCLF3)/(1+0,20)6 =100.469.393 VAR(FCLF4)=833.333.333 VAR(FCLF4)/(1+0,20)8 =193.806.699

Suma =1.052.238.091

Ejemplos

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[390]

Capítulo 12

[390] J A V I E R S E R R A N O

Por lo tanto la varianza del valor presente neto, con una TIO del 20%, es igual a $1.052.238.091. La desviación estándar del valor presente neto, con una TIO del 20%, es igual a $32.438. El coeficiente de variación es igual a: (32.438/116.242) = 27,91%, que se puede considerar bajo. Parte B Solución a través de Montecarlo, suponiendo que la TIO es una variable aleatoria con una distribución uniforme entre el 17% y el 23%. El procedimiento es el siguiente:

a)� Para cada variable aleatoria se genera un número aleatorio, utilizando la función

“Aleatorio” de Excel. b)� Se asigna a cada número aleatorio un valor de la variable de acuerdo con la

respectiva regla, a partir de la distribución de probabilidad acumulada. SI(R1<0,3333;25.000;SI(R1<0,6666;50.000;75.000)), para generar valores de FCLF1.

SI(R2<0,1500;50.000;SI(R2<0,43000;80.000;SI(R2<0,7800;120.000;140.000)), para generar valores de FCLF2.

FCLF3 = 120.000 + 60.000 * R3 FCLF4 = 150.000 + 100.000 * R4 TIO = 17% + 6% * R5

c)� Cada 5 números aleatorios se generan 5 valores respectivamente de FCLF1, FCLF2,

FCLF3, FCLF4 y TIO; los cinco valores así generados constituyen una simulación del proyecto, para la cual se calcula el valor presente neto.

d)� Para este ejemplo se realizaron 200 simulaciones del proyecto, lo cual constituyó

la muestra que se utilizó para estimar el promedio y la desviación estándar. En el Cuadro 12.21 solamente se muestran 40 simulaciones.

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[391] [391]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

e)� Con la muestra de 200 simulaciones se estima el promedio y la desviación están-dar; con los dos estimadores se procede a calcular el coeficiente de variación.

Cuadro 12.21

Simulación de Montecarlo, 12.7, parte B

R1 R2 R3 R4 R5 FCLF1 FCLF2 FCLF3 FCLF4 TIO VPN

1 0,8551 0,7084 0,8319 0,2708 0,9190 75.000 120.000 169.912 177.084 22,51% 132.167

2 0,2267 0,1331 0,1611 0,7290 0,3481 25.000 50.000 129.665 222.902 19,09% 63.848

3 0,3062 0,6525 0,0034 0,7138 0,8077 25.000 120.000 120.203 221.382 21,85% 88.231

4 0,4250 0,3577 0,7168 0,2584 0,2784 50.000 80.000 163.010 175.842 18,67% 105.147

5 0,0184 0,3200 0,0405 0,1780 0,4561 25.000 80.000 122.431 167.801 19,74% 49.636

6 0,1752 0,9785 0,9703 0,8604 0,1307 25.000 140.000 178.219 236.042 17,78% 173.850

7 0,7299 0,0783 0,3077 0,8713 0,3514 75.000 50.000 138.461 237.134 19,11% 117.975

8 0,1474 0,6884 0,9348 0,1460 0,1665 25.000 120.000 176.085 164.596 18,00% 119.443

9 0,4328 0,3182 0,7472 0,1861 0,9820 50.000 80.000 164.832 168.610 22,89% 76.392

10 0,3713 0,6688 0,4347 0,3886 0,0206 50.000 120.000 146.079 188.857 17,12% 141.444

11 0,9109 0,3572 0,2853 0,4020 0,8308 75.000 80.000 137.119 190.201 21,98% 96.684

12 0,6840 0,0769 0,4655 0,1472 0,7056 75.000 50.000 147.930 164.720 21,23% 75.155

13 0,0607 0,8596 0,9533 0,7253 0,2475 25.000 140.000 177.195 222.531 18,48% 160.264

14 0,4423 0,1750 0,1860 0,7565 0,1191 50.000 80.000 131.161 225.647 17,71% 118.139

15 0,2339 0,2960 0,5763 0,2678 0,5760 25.000 80.000 154.580 176.776 20,46% 68.300

16 0,2310 0,1969 0,0628 0,9287 0,2410 25.000 80.000 123.766 242.872 18,45% 96.005

17 0,7304 0,1403 0,1078 0,0176 0,2140 75.000 50.000 126.471 151.755 18,28% 73.090

18 0,0681 0,9813 0,6037 0,2890 0,7257 25.000 140.000 156.222 178.897 21,35% 105.565

19 0,3407 0,2890 0,8011 0,4807 0,7540 50.000 80.000 168.069 198.071 21,52% 99.783

20 0,3251 0,6887 0,4768 0,7669 0,6148 25.000 120.000 148.610 226.687 20,69% 114.484

181 0,0172 0,5023 0,4981 0,4309 0,3010 25.000 120.000 149.887 193.087 18,81% 112.359

182 0,7942 0,5840 0,9205 0,5845 0,5940 75.000 120.000 175.231 208.447 20,56% 163.409

183 0,1782 0,4783 0,5926 0,1814 0,6505 25.000 120.000 155.559 168.135 20,90% 89.481

184 0,9987 0,9658 0,6456 0,3357 0,8604 75.000 140.000 158.736 183.569 22,16% 144.695

185 0,5738 0,7426 0,6683 0,0154 0,7905 50.000 120.000 160.100 151.537 21,74% 99.745

186 0,7656 0,9964 0,4962 0,5070 0,6882 75.000 140.000 149.770 200.700 21,13% 154.837

187 0,5134 0,1223 0,8958 0,7389 0,4490 50.000 50.000 173.749 223.894 19,69% 107.079

188 0,1010 0,4875 0,5380 0,7016 0,4960 25.000 120.000 152.282 220.164 19,98% 118.642

189 0,0550 0,6198 0,3632 0,1526 0,4191 25.000 120.000 141.789 165.265 19,51% 88.988

190 0,5163 0,5993 0,3583 0,9094 0,5599 50.000 120.000 141.501 240.941 20,36% 140.345

191 0,9538 0,4281 0,1986 0,5520 0,9644 75.000 80.000 131.915 205.200 22,79% 95.680

192 0,8089 0,1174 0,7605 0,2542 0,3843 75.000 50.000 165.630 175.416 19,31% 102.105

193 0,1513 0,6267 0,8405 0,1393 0,1064 25.000 120.000 170.430 163.930 17,64% 118.251

194 0,9572 0,8105 0,7188 0,0389 0,3608 75.000 140.000 163.131 153.892 19,16% 154.248

195 0,1903 0,4755 0,7662 0,4543 0,6091 25.000 120.000 165.971 195.428 20,65% 109.863

196 0,6481 0,8066 0,2016 0,3416 0,1786 50.000 140.000 132.099 184.160 18,07% 137.782

197 0,5606 0,5665 0,5722 0,6219 0,5246 50.000 120.000 154.331 212.189 20,15% 135.552

198 0,2008 0,8574 0,9218 0,2365 0,2476 25.000 140.000 175.310 173.649 18,49% 134.321

199 0,4822 0,9764 0,9902 0,9188 0,5179 50.000 140.000 179.412 241.880 20,11% 178.457

200 0,6468 0,6195 0,6015 0,0968 0,0882 50.000 120.000 156.092 159.684 17,53% 129.255

Ejemplos

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[392]

Capítulo 12

[392] J A V I E R S E R R A N O

Los valores estimados fueron respectivamente: �� Promedio: $116.400, como estimador del valor esperado del valor presente neto. �� Desviación estándar: $33.718, como estimador de la desviación estándar del valor

presente neto. �� Coeficiente de variación: 28,97%, como el cociente entre la desviación estándar

del valor presente neto y el valor esperado del valor presente neto. �� El histograma para frecuencias y porcentaje acumulado, que se presenta en la

Figura 12.9, muestra un bajo riesgo en la ejecución de este proyecto:

Figura 12.9 Frecuencia y porcentaje acumulado

E J E R C I C I O S

1. Considere el proyecto de inversión que se muestra en el Cuadro 12.22:

Cuadro 12.22

Año 0 1 2 3 4

Flujo, fin año -12.000 X Y Z W

donde X, Y, Z y W son variables aleatorias independientes con las siguientes distribuciones de probabilidades: Px(x) = 1/3, x = 2.000; Px(x) = 1/3, x = 5.000; Px(x) = 1/3, x = 8.000 Py(y) = 1/6, y = 3.000; Py(y) = 4/6, y = 6.000; Py(y) = 1/6, y = 9.000

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[393] [393]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ejercicios

Pz(z) = 1/6, z = 4.000; Pz(z) = 2/6, z = 7.000; Pz(z) = 3/6, z = 10.000

W es una variable aleatoria con una distribución uniforme entre 8.000 y 12.000.

La tasa de interés de oportunidad es constante y conocida, igual al 20%.

a.� Calcule el valor esperado del valor presente neto del proyecto ($5.785). b.� Calcule la varianza del valor presente neto del proyecto (desviación están-

dar igual a $2.765). c.� ¿Qué puede decir sobre conveniencia o no del proyecto? (Valor presente

neto positivo y alto; la probabilidad de que el proyecto arroje un VPN negativo, esto es, una desviación superior a dos veces la desviación están-dar, es muy baja, no obstante que el coeficiente de variación es alto e igual a 47,64%).

2. Para el problema anterior, suponga que la tasa de interés de oportunidad es

una variable aleatoria con una distribución uniforme entre el 17% y el 23%. Utilizando técnicas de simulación de Montecarlo, resuelva las mismas pregun-tas que se hacen en relación con el problema 1.

En el Cuadro 12.23 se muestran las reglas de generación de variables alea-torias, a partir de números aleatorios uniformemente distribuidos entre 0 y 1. La respuesta depende de la secuencia de números aleatorios generados, pero deberá estar cercana a los siguientes valores, para una muestra de tamaño 20: �� Promedio del VPN para las 20 simulaciones: 5.422,49 �� Desviación estándar muestral del VPN, para las 20 simulaciones: 1.836,20

�� Coeficiente de variación: 33,86% Como se ve, los resultados difieren de los que se mostraron en el problema 1, ya que en éste los valores calculados del E(VPN) y de su varianza son exactos, teniendo en cuenta los supuestos; además, se introdujo un nuevo supuesto, TIO, como variable aleatoria. En el caso de la simulación los valores se estima-ron con una muestra de tamaño 20; por lo tanto están afectados por el error de estimación por el tamaño de la muestra, que se puede considerar bajo.

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[394]

Capítulo 12

[394] J A V I E R S E R R A N O

Cuadro 12.23

Distribución de X

Número aleatorio entre a <= R1 < b a b X=

0 33,33% 2.000

33,33% 66,67% 5.000

66,67% 100,00% 8.000

Distribución de Y

Número aleatorio entre a <= R2 < b a b Y=

0 16,67% 3.000

16,67% 83,33% 6.000

83,33% 100,00% 9.000

Distribución de Z

Número aleatorio entre a <= R3 < b a b Z=

0 16,67% 4.000

16,67% 50,00% 7.000

50,00% 100,00% 10.000

Distribución de W

Número aleatorio, R4 0,5

W=8,000+4000*R4 10.000,00

Distribución de la TIO

Número aleatorio, R5 0,5

TIO=0.17+0.06*R5 20,00%

3. Considere el siguiente proyecto de inversión, con una vida útil de 4 años y con

los flujos de fondos que se muestran en el Cuadro 12.24:

Cuadro 12.24

Año 0 1 2 3 4

Flujo, fin año -12.000 L M N Q

L, M, N y Q son variables aleatorias independientes con las siguientes distribuciones de probabilidades:

L, una variable aleatoria con una distribución uniforme entre 3.500 y 4.500. M, una variable aleatoria con una distribución uniforme entre 5.000 y 6.000. N, una variable aleatoria con una distribución uniforme entre 7.000 y 8.000. Q, una variable aleatoria con una distribución uniforme entre 8.500 y 9.500.

La tasa de interés de oportunidad es constante y conocida, igual al 20%.

a.� Calcule el valor esperado del valor presente neto del proyecto ($3.833).

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[395] [395]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

b.� Calcule la varianza del valor presente neto del proyecto (varianza igual a $145.347; desviación estándar igual a $381,24; coeficiente de variación, 9,95%).

c.� ¿Qué puede decir sobre conveniencia o no del proyecto? (Valor presente neto positivo, riesgo bajo).

4. Para el problema anterior, suponga que la tasa de interés de oportunidad es

una variable aleatoria con una distribución uniforme entre el 17% y el 23%. Utilizando técnicas de simulación de Montecarlo, resuelva las mismas pregun-tas que se hacen en relación con el problema 3.

La respuesta se obtuvo con una muestra de tamaño 20. Promedio del VPN para las 20 simulaciones: 3.830,34 Desviación estándar muestral del VPN, para las 20 simulaciones: 675,86 Coeficiente de variación: 17,64% Estos resultados difieren de los que se mostraron en el problema 4, ya que en ese problema los valores calculados del E(VPN) y de su varianza son exactos, teniendo en cuenta los supuestos. Además se introdujo un nuevo supuesto, TIO, variable aleatoria. En el caso de la simulación los valores se estimaron con una muestra de tamaño 20 que se puede considerar pequeña; por lo tanto están afectados por el error de estimación.

5. Haga una comparación entre los proyectos contemplados en los problemas 1 y

3, en términos de rentabilidad y riesgo. Si los dos proyectos fueran mutua-mente excluyentes, ¿cuál sería su recomendación?

Cuadro 12.25

Comparación Problema 1 Problema 3

E(VPN) $5.785 3.833

Desviación est. (VPN) $2.765 381

Coeficiente variación 47,64% 9,95%

Riesgo Volatilidad alta, riesgo bajo de un VPN negativo

Riesgo bajo, probabilidad nula de un VPN negativo

6. En términos conceptuales, ¿cómo cambiaría la solución de los problemas 1 y 3,

si los flujos de cada año no fueran variables aleatorias estadísticamente inde-pendientes? (La solución se complicaría, pues hay que estimar las covarianzas entre los diferentes pares de flujos aleatorios. En el caso del problema 1, implicaría la estimación de 6 covarianzas).

Ejercicios

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[396]

Capítulo 12

[396] J A V I E R S E R R A N O

7. Suponga un proyecto de inversión a 4 años, con las siguientes características:

Inversión inicial: 5.000 millones de pesos, en la fecha cero. Flujo de fondos en el año 1: x, donde x es una variable aleatoria con una distribución uniforme entre 2.000 y 4.000 millones de pesos. Flujo de fondos en el año 2: y, donde y es una variable aleatoria que puede tomar los siguientes valores: 0 con probabilidad 1/6, 2.000 millones con pro-babilidad 2/6, 4.000 millones con probabilidad 2/6 y 6.000 millones con probabilidad 1/6. Flujo de fondos en el año 3: z, donde z es una variable aleatoria que puede tomar los siguientes valores: 2.000 millones con probabilidad 1/3, 4.000 millo-nes con probabilidad 1/3 y 7.000 millones con probabilidad 1/3. Flujo de fondos en el año 4: w, donde w es una variable aleatoria con una distribución uniforme entre 4.000 y 8.000 millones de pesos. Se supone que la tasa de interés de oportunidad es conocida y constante, e igual al 40%. Además se supone que x, y, z y w son variables aleatorias inde-pendientes. Calcular el valor presente neto promedio para el proyecto bajo análisis y el riesgo existente en el caso de tomar una decisión con ese valor presente neto. E(VPN) = $1.814,52; desviación estándar del VPN, $1.332,53; coeficiente de variación, 73,44%. El riesgo del proyecto medido a través del coeficiente de variación es alto.

8. Para el problema anterior, haga la siguiente modificación: suponga que la tasa

de interés de oportunidad, TIO, es una variable aleatoria con una distribución uniforme entre el 34% y el 46%; además, x, y, z, w, TIO son variables aleatorias independientes. ¿Por qué el problema no se puede resolver como se hizo en el punto 7? Utilizando una técnica de simulación de Montecarlo esti-me, con base en una muestra de tamaño 25, el valor presente neto esperado y el riesgo de tomar una decisión con ese valor presente neto esperado.

9. Suponga un bono de valor nominal $100.000 a 4 años obligatoriamente

convertible en acciones que paga un interés nominal anual del 32%, pagadero semestre vencido. La razón de conversión del bono al final de los 4 años es de 3 acciones por bono. Se estima que el precio de la acción al final de los 4 años puede estar entre $30.000 y $50.000, siguiendo una distribución uniforme entre esos valores. ¿Cuál sería la rentabilidad esperada del bono si se compra a su valor nominal? (37,68%). ¿Cuál sería el precio a ofrecer para obtener una rentabilidad esperada del 45%? ($87.788, por cada bono de $100.000 de valor nominal). ¿Cuál sería el riesgo en ambos casos?

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Si el bono se compra al 100%, buscando obtener una rentabilidad esperada del 37,68% anual (17,34% semestral), la desviación estándar del valor espe-rado ($100.000) sería de $4.820, por lo cual el valor en riesgo sería de 4,82%. Si el bono se compra al 87,788% buscando obtener una rentabilidad esperada del 45% anual, la desviación estándar del valor esperado sería de $3,918, por lo cual el valor en riesgo sería del 4,46%.

El bono del párrafo anterior se va a financiar en un 50% con una línea de crédito a 4 años, amortizable en dos pagos al finalizar los años 3 y 4. El interés de la línea de crédito es del 36% año vencido, sobre saldos al comienzo del año. ¿Cuál sería la rentabilidad esperada de los recursos propios aportados al proyecto en el caso de que se compre a los dos precios encontrados en el párrafo anterior?

10. Suponga un bono obligatoriamente convertible en acciones (BOCA), que paga

un interés nominal anual del 18%, pagadero semestre vencido (cupones semestrales del 9%), con una madurez de 3 años; el valor nominal de cada bono es de $100.000. Al final de los 3 años, el bono se convierte en 5 acciones de la empresa; el precio actual de la acción es de $20.000. Las proyecciones que hacen los expertos sobre el valor de la acción al final del período de conversión, indican que el precio futuro de la misma se puede modelar a través de una variable aleatoria con una distribución uniforme entre $16.000 y $30.000.

a.� ¿Cuál sería la rentabilidad esperada del bono si se compra a la par, esto es,

a su valor nominal? (22,99% efectiva). b.� ¿Cuál es el riesgo de la inversión si se compra a la par? Si el objetivo es

obtener una rentabilidad del 22,99% (10,90% semestral), la desviación es-tándar del valor presente neto ($100.000) es de $10.862, con lo cual el valor en riesgo sería de 10,86%.

c.� ¿Cuál sería su recomendación sobre adquirir este bono? d.� ¿Cómo se compararía la inversión en este bono con la inversión en un bo-

no ordinario a tasa fija, que tiene una rentabilidad del 21%? La rentabilidad esperada del bono comprado a la par (22.99%) es incierta y muy cercana al valor del bono ordinario, 21%, pero cierto. La rentabilidad del BOCA puede fluctuar entre el 12,66% y el 31,67% anual; la desviación estándar del valor presente, comprado a la par, es de $10.862, lo cual daría un valor en riesgo del 10,86%. Usted tiene los elementos para tomar la decisión.

11. Suponga que la adquisición del bono del problema anterior se va a financiar en

un 50% con un crédito a 3 años, amortizable al final de los 3 años, con un interés del 16% nominal anual pagadero semestre vencido:

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[398]

Capítulo 12

[398] J A V I E R S E R R A N O

a.� ¿Cuál sería la rentabilidad esperada de los recursos propios aportados para adquirir el bono?

b.� ¿Cuál sería el riesgo del capital propio aportado para adquirir el bono? c.� ¿Usted realizaría esta inversión? d.� ¿Cómo cambiaría su análisis si la tasa de interés del crédito fuera del 19%

nominal anual, pagadera semestre vencido?

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[399]

Capítulo 13 RIESGO OPERACIONAL Y FINANCIERO: AJUSTES A LA TASA DE DESCUENTO

En los capítulos 7 y 8 de este libro se definieron los flujos de caja libre para el proyec-to y para el patrimonio y se analizaron varios problemas, sin profundizar en la deter-minación de la tasa de descuento apropiada para los recursos propios que aporta el inversionista y en la definición del costo promedio ponderado de capital resultante de la mezcla entre deuda y patrimonio, según la estructura de capital que se haya defi-nido como una estructura objetivo. Allí se definieron el flujo de caja libre para el proyecto o flujo de caja libre para la fir-ma, resultante de la interacción entre la estructura operativa del negocio y la dinámi-ca del mercado, y el flujo de caja libre para el patrimonio (equity) o flujo de caja libre para el inversionista, que es un flujo de caja residual, teniendo en cuenta el apalan-camiento financiero proveniente de la utilización de la deuda. Se debe recordar que el flujo de caja libre para el patrimonio es el flujo de caja resultante de superponer, al flujo de caja libre para el proyecto o firma, el flujo de caja de la financiación después de impuestos. Los dos flujos de caja están expuestos a riesgos provenientes del comportamiento del mercado y de utilización de la deuda; pues una vez que se han realizado las inversiones en activos fijos y en capital de trabajo que definen la estructura operativa de la empresa, ésta queda expuesta al comportamiento del mercado al que se dirige el negocio, lo cual genera un riesgo de tipo comercial u operacional. A manera de ejemplo, si se trata de una empresa productora de cemento, la estructura operativa no se puede modificar significativamente en el mediano plazo, por lo cual variaciones en el mercado y en la demanda van a afectar la utilidad operacional incrementando su volatilidad y a aumentar el riesgo de no alcanzar el punto de equilibrio operacional. Por lo tanto, el flujo de caja libre para la firma o para el proyecto está expuesto únicamente a riesgo comercial u operacional, el cual es independiente de la estructura de capital con la cual se haya financiado la estructura operativa. El flujo de caja para el patrimonio (equity) o para el inversionista para un mismo flujo de caja operativo para la firma, va a depender de la estructura de capital que se esté utilizando, por lo cual el flujo de caja libre para el patrimonio estará expuesto a dos tipos de riesgo: comercial y financiero, proveniente este último de la utilización de la deuda. En síntesis: flujo de caja libre para el proyecto o para firma: riesgo comercial únicamente; y flujo de caja libre para el patrimonio: riesgo comercial + riesgo financiero.

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Capítulo 13

[400] J A V I E R S E R R A N O

El costo económico del patrimonio es igual a la rentabilidad que espera recibir el in-versionista de acuerdo con el nivel de riesgo que está asumiendo, operativo y finan-ciero; por ello, a mayor riesgo operacional, mayor el rendimiento que espera el accio-nista. Si adicionalmente al riesgo operacional propio del negocio se le agrega riesgo financiero, mayor será el rendimiento que espera recibir el accionista, para compensar los dos, el riesgo operacional, que depende del tipo de negocio y de la estructura operativa que se esté utilizando, y el riesgo financiero, que depende de la utilización de la deuda. La figura 13.1 se puede apreciar el comportamiento de la rentabilidad esperada del inversionista frente a los dos riesgos que enfrenta, operacional y financiero:

Figura 13.1

Como se muestra en esta figura, cuando la empresa se financia totalmente con pa-trimonio, el único riesgo que enfrenta el inversionista es el riesgo operacional; a medida que comienza a utilizar deuda aparece el riesgo financiero superpuesto sobre el riesgo operacional. Para medir la prima por riesgo operacional, riesgo financiero y riesgo total se han desarrollado varios modelos, entre los cuales el más conocido es el CAPM, al cual se hace una introducción en el siguiente numeral.

M O D E L O C A P M : P L A N T E A M I E N T O G E N E R A L

El modelo CAPM (Capital Asset Pricing Model) constituye uno de los desarrollos más importantes de la teoría financiera, ya que permite establecer una prima a pagar por el riesgo en un mercado eficiente, medido este último a través de los coeficientes “Beta”. La derivación del modelo escapa al alcance de este libro, y solo se establecen

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Modelo CAPM: planteamiento general

los hechos más importantes alrededor del mismo, resumidos en los siguientes puntos1: a)� En todo mercado de capitales existe una tasa libre de riesgo (Rf), que usualmente

corresponde a la tasa de los papeles de la Tesorería del país, para un plazo dado (p. ej., rendimiento de las T-Notes, en el mercado americano, a 10 años, o rendimiento de los TES emitidos por la Dirección del Tesoro Nacional, DTN, en Colombia).

b)� En todo mercado de capitales existe una rentabilidad promedio del mercado para

el portafolio totalmente diversificado consistente en invertir en cada alternativa básica existente en el mercado un porcentaje igual a la relación entre el valor de mercado de esa alternativa y el valor total del mercado. En otras palabras, PJ = VMJ/VTM, donde VMJ corresponde al valor de mercado de la j-ésima alternativa básica y VTM corresponde al valor total del mercado.

c)� El portafolio a que se hace referencia en el punto anterior es un portafolio

óptimo, en el sentido de que bajo condiciones de eficiencia maximiza la utilidad esperada, para el conjunto convexo de portafolios factibles. Se supone que el riesgo de este portafolio es igual a 1, se conoce como el riesgo de mercado y es el punto de referencia para medir el riesgo de cualquier activo financiero existente en el mercado.

d)� El riesgo de cualquier activo financiero, proyecto o portafolio se mide en términos

relativos frente al portafolio totalmente diversificado o portafolio de optimalidad descrito previamente, a través del coeficiente Beta del proyecto, del portafolio o del activo, definido como:

)Var(R

)R,COV(RB

M

MJJ ��

Coeficiente de correlaciónM+

+ JMJ *)R,(R

En la expresión anterior se muestran las dos componentes del riesgo; por un lado la variación relativa de la rentabilidad del j-ésimo proyecto o portafolio, medida respecto al mercado (relación entre las desviaciones estándar, volatilidad relativa) y la asociación lineal entre la rentabilidad del mercado y la rentabilidad del j-ésimo proyecto o portafolio, medida a través del coeficiente de correlación, que mide el riesgo sistémico de la empresa o del proyecto. El único riesgo por el cual se reconoce una prima es el riesgo sistemático, o riesgo de movimiento con la economía, ya que el riesgo no sistemático, se puede

1 Para un tratamiento más riguroso ver Copeland, Thomas E., Fred Weston, Kuleep Shastri, Financial Theory and Corporate Policy, 4ª. ed., Pearson, Addison Wesley, 2005.

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[402]

Capítulo 13

[402] J A V I E R S E R R A N O

diversificar. En ese sentido, el coeficiente “Beta” definido previamente mide riesgo sistemático.

e) En un mercado eficiente, cualquier combinación convexa entre el activo libre de riesgo y el portafolio de optimalidad también maximiza la utilidad esperada. En otras palabras, un inversionista racional se situará sobre la línea recta repre-sentando la combinación convexa entre el activo libre de riesgo y el portafolio óptimo.

f) El conjunto de los supuestos subyacentes al modelo CAPM es numeroso y

alejado de la realidad de los mercados financieros, por lo cual su utilización siempre estará sujeta a controversia sobre el realismo de su aplicación. No obs-tante lo anterior, es el modelo que se utiliza predominantemente en la estima-ción del costo de la aportación patrimonial dentro de la metodología tradi-cional usada para estimar el cálculo del costo promedio ponderado de capital (WACC, por sus siglas en inglés), parámetro crítico para todos los procesos de valoración de activos financieros y de empresas.

g) En la teoría de finanzas corporativas se hace énfasis en el mundo ideal que se

define a partir de los supuestos del modelo CAPM; Copeland, Weston y Shastri, en su libro2 Financial Theory and Corporate Policy, establecen las siguientes:

�� “Los inversionistas son individuos adversos al riesgo quienes maximizan la utilidad esperada de su riqueza”.

�� “Los inversionistas son tomadores de precios y tienen expectativas homogéneas sobre la rentabilidad de los activos que tienen una distribución normal conjunta”.

�� “Existe un activo libre de riesgo tal que los inversionistas pueden tomar en préstamo y colocar cantidades ilimitadas de recursos a la tasa libre de riesgo”.

�� “Las cantidades de activos son fijas. También, todos los activos son negociables y perfectamente divisibles”.

�� “Los mercados de los activos no tienen fricciones, la información no tiene costo y está disponible simultáneamente a todos los inversionistas”.

�� “No existen imperfecciones en los mercados tales como impuestos, regulaciones o restricciones a las ventas en corto”.

h) En la figura 13.2 se muestra una representación gráfica del modelo CAPM:

2 Ibíd., p. 147.

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[403] [403]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Figura 13.2 Capital Asset Pricing Model, CAPM

i) La línea de seguridad del mercado estaría dada por la siguiente ecuación:

E(RJ) = Rf + (E(RM) - Rf) * BJ E(RJ) = Rf + (Risk Premium) * BJ

donde E(RM) corresponde al valor esperado de la rentabilidad del mercado y BJ corresponde al coeficiente “Beta” para el j-ésimo proyecto o portafolio; E(RJ) co-rresponde a la rentabilidad esperada mínima, aceptable para el riesgo correspon-diente al coeficiente BJ.

j) En otras palabras, la línea de seguridad del mercado mide la rentabilidad esperada

mínima aceptable para un nivel dado de riesgo, para un tipo especial de inver-sionista y para un mercado particular (ver supuestos).

k) Un proyecto localizado por encima de la línea de seguridad del mercado se jus-

tificaría, en la medida en que la rentabilidad esperada del proyecto para su nivel de riesgo es superior a la que el mercado en promedio está exigiendo para el mis-mo nivel de riesgo. Por el contrario, si se encuentra por debajo de la línea de se-guridad del mercado, la rentabilidad esperada no es suficiente para compensar el nivel de riesgo del proyecto; en otras palabras, en el mercado se pueden encon-trar alternativas que para el mismo nivel de riesgo ofrecen una rentabilidad esperada superior.

l) Otra forma de expresar lo anterior sería la siguiente: si el activo financiero se encuentra por debajo de la línea de seguridad del mercado, su rentabilidad es inferior frente a las expectativas del mercado, lo cual es equivalente a decir que su precio es muy alto, teniendo en cuenta la relación inversa entre precio y

E(RJ) = R F + (E(RM) – RF) * BJ

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BM =1 BJ

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RENTABILIDAD

BETAS (RIESGO)

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2 �1�

Modelo CAPM: planteamiento general

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Capítulo 13

[404] J A V I E R S E R R A N O

rentabilidad, por lo cual la demanda por ese activo es muy baja y por lo tanto su precio tenderá a caer o, lo que es equivalente, su rentabilidad a aumentar. En la medida en que aumenta su rentabilidad o disminuye su precio, la demanda por el activo aumenta y llevará en primera instancia al precio por encima de la línea de seguridad del mercado. Cuando el precio del activo se encuentra por encima de la línea de seguridad del mercado, su precio es muy bajo como consecuencia de una rentabilidad por encima de la esperada y como tal el activo comienza a tener una gran demanda que hace que incremente su precio o, lo que es equivalente, disminuya su rentabilidad, tendiendo a localizar el activo por debajo de la línea de seguridad de mercado; este proceso de arbitramento debe continuar hasta que finalmente el activo se sitúa sobre la línea de seguridad del mercado que es un punto de equilibrio.

m) En resumen, el modelo CAPM permite encontrar una prima o un precio al riesgo

en un mercado eficiente, medido el riesgo a través de los coeficientes Beta. En otras palabras, la línea de seguridad del mercado es un lugar geométrico de pun-tos de equilibrio donde el individuo maximiza utilidad, compensando rentabilidad esperada por riesgo, bajo ciertos supuestos a los que se hizo referencia previa-mente.

U T I L I Z A C I Ó N D E L M O D E L O C A P M E N L A S E L E C C I Ó N D E P R O Y E C T O S

El modelo CAPM permite establecer la prima por riesgo en un mercado y como tal facilita la evaluación de la conveniencia económica de un proyecto de inversión, teniendo en cuenta las dos variables: rentabilidad esperada y riesgo, al establecer en términos de mercado, para un inversionista con unas características especiales3, si la rentabilidad esperada que se está ofreciendo es suficiente para compensar el riesgo a que está expuesto el inversionista si decide invertir en ese proyecto. Un par de ejemplos aclaran la situación a que se hace referencia. Ejemplo 13.1

En el Cuadro 13.1 se muestran las rentabilidades de dos proyectos de inversión A y B, en 4 escenarios mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. También se muestra la rentabilidad del mercado para cada uno de los cuatro escenarios a que se acaba de hacer referencia. La tasa libre de riesgo es del 25%.

3 Ver supuestos del modelo CAPM.

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Utilización del modelo CAPM en la selección de proyectos

Utilizando el modelo CAPM, se debe analizar la conveniencia de cada uno de los dos proyectos (A y B) desde el punto de vista financiero, teniendo en cuenta el riesgo inherente a cada uno de ellos.

Cuadro 13.1

Escenario Probabilidad Rm RA RB

1 0,20 20,00% 15,00% 25,00%

2 0,30 30,00% 35,00% 40,00%

3 0,30 40,00% 55,00% 50,00%

4 0,20 50,00% 90,00% 60.00%

En el Cuadro 13.2 se muestra un resumen de los proyectos en términos de los dos parámetros, valor esperado y varianza:

Cuadro 13.2

Mercado Proyecto A Proyecto B

Rentabilidad esperada 35,00% 47,25% 44,25%

Desviación estándar 10,24% 25,23% 11,79%

Coeficiente de variación 29,25% 53,39% 26,64%

Como se observa, el proyecto A tiene una rentabilidad esperada mayor que el mercado y que el proyecto B; sin embargo su riesgo también es mayor; por ello la conveniencia del proyecto A frente al mercado y frente al proyecto B va a depender de la forma como el inversionista pondere rentabilidad esperada y riesgo. Por ejem-plo, un inversionista averso al riesgo tiende a escoger el proyecto menos riesgoso no obstante que tenga mayor rentabilidad esperada, dándole un mayor peso a la varia-ble riesgo. El modelo CAPM provee una forma de estimar el precio del riesgo bajo condiciones de eficiencia, con miras a analizar si la mayor rentabilidad esperada ofrecida por el proyecto A, frente al mercado y frente al proyecto B, justifica el mayor riesgo que habría en su implantación. En el Cuadro 13.3 se muestran los cómputos necesarios para el cálculo de los coeficientes Beta y las rentabilidades mínimas esperadas para cada uno de los dos niveles de riesgo.

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Capítulo 13

[406] J A V I E R S E R R A N O

Cuadro 13.3

Escenario Probabilidad Rm Ra Rb

1 20,00% 20,00% 15,00% 25,00%

2 30,00% 30,00% 35,00% 40,00%

3 30,00% 40,00% 55,00% 50,00%

4 20,00% 50,00% 90,00% 60,00% Valor esperado 35,00% 48,00% 44,00% Escenario Probabilidad Rm – E(Rm) Ra - E(Ra) Rb - E(Rb) ()*()*P ()*()*P 1 20,00% -15,00% -33,00% -19,00% 0,99% 0,57% 2 30,00% -5,00% -13,00% -4,00% 0,20% 0,06% 3 30,00% 5,00% 7,00% 6,00% 0,11% 0,09% 4 20,00% 15,00% 42,00% 16,00% 1,26% 0,48%Covarianzas 2,55% 1,20%

Escenario Probabilidad (Rm - E(Rm)2)*p

(Ra – E(Ra)2)*p

(Rb - E(Rb)2)* 1 20,00% 0,450% 2,178% 0,722% 2 30,00% 0,075% 0,507% 0,048% 3 30,00% 0,075% 0,147% 0,108% 4 20,00% 0,450% 3,528% 0,512% Varianza 1,050% 6,360% 1,390% Desviación estándar 10,2470% 25,2190% 11,7898% Cálculo de los Betas A B Tasa libre de riesgo 25,00% Beta 2,429 1,143 E(RJ), según CAPM 49,29% 36,43% E(RJ), estimado 48,00% 44,00%

Para el cálculo de la covarianza, se parte de la definición general de covarianza entre dos variables aleatorias x y y:

COV(X, Y) = *i*jPij (xi, yj) (xi - E(x))*(yj - E(y)) donde Pij(xi, yj), corresponde a la distribución de probabilidad conjunta de las dos variables aleatorias, evaluadas en (xi, yj). Para el ejemplo de los dos proyectos, la expresión anterior se convierte en:

COV(X, Y) = *iP(i-ésimo escenario) * (xi - E(x))*(yi - E(y))

Para el cálculo de cada una de las varianzas, se utiliza la expresión:

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[407] [407]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

VAR(X) = *iP(i-ésimo escenario) * (xi - E(x))2

En el Cuadro 13.3 se presentan todos los cálculos necesarios para encontrar la rentabilidad esperada para el nivel de riesgo de cada proyecto, utilizando el modelo CAPM. La rentabilidad esperada del proyecto A no compensa su mayor riesgo. En otras palabras, para el nivel de riesgo del proyecto A, el mercado exige una ren-tabilidad esperada superior. La situación del proyecto B es diferente, ya que su rentabilidad esperada es superior a la mínima exigida por el mercado para ese nivel de riesgo. Por ello se debería seleccionar el proyecto B frente al proyecto A. Ejemplo 13.2

Se tienen dos proyectos, A y B, mutuamente excluyentes, con las rentabilidades, en cuatro escenarios mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, presenta-das en el Cuadro 13.4; también se muestra la rentabilidad del mercado en los cuatro escenarios; la tasa libre de riesgo es del 28%. Utilizando el modelo CAPM, ¿cuál sería su recomendación sobre el proyecto a implantar?

Cuadro 13.4

Escenario Probabilidad Rm Ra Rb

1 20,00% 25,00% 10,00% 25,00%

2 30,00% 30,00% 35,00% 40,00%

3 30,00% 40,00% 55,00% 50,00%

4 20,00% 45,00% 85,00% 55,00%

Para determinar la situación de cada uno de los dos proyectos, se calculan los coe-ficientes Beta de cada uno de ellos, y la línea de seguridad del mercado. En otras palabras, se calcula la rentabilidad esperada mínima que el mercado estaría exigiendo para los niveles de riesgo de los dos proyectos, medidos estos últimos a través de los coeficientes Beta. En el Cuadro 13.5 se muestran los cómputos necesarios para el cálculo de las covarianzas de cada proyecto con el mercado, los coeficientes Betas y las rentabi-lidades mínimas esperadas para cada nivel de riesgo.

Utilización del modelo CAPM en la selección de proyectos

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[408]

Capítulo 13

[408] J A V I E R S E R R A N O

Cuadro 13.5

Escenario Probabilidad Rm Ra Rb 1 20,00% 25,00% 10,00% 25,00% 2 30,00% 30,00% 35,00% 40,00% 3 30,00% 40,00% 55,00% 50,00% 4 20,00% 45,00% 85,00% 55,00%

Valor esperado 35,00% 46,00% 43,00% Escenario Probabilidad Rm – E(Rm) Ra - E(Ra) Rb - E(Rb) ()*()*P ()*()*P 1 20,00% -10,00% -36,00% -18,00% 0,72% 0,36% 2 30,00% -5,00% -11,00% -3,00% 0,17% 0,04% 3 30,00% 5,00% 9,00% 7,00% 0,14% 0,11% 4 20,00% 10,00% 39,00% 12,00% 0,78% 0,24%

Covarianzas 1,80% 0,75% Escenario Probabilidad (Rm - E(Rm)2)*p (Ra - E(Ra)2)*p (Rb - E(Rb)2)*p 1 20,00% 0,200% 2,592% 0,648% 2 30,00% 0,075% 0,363% 0,027% 3 30,00% 0,075% 0,243% 0,147% 4 20,00% 0,200% 3,042% 0,288%

Varianza 0,550% 6,240% 1,110% Desviación estándar 7,4162% 24,9800% 10,5357% Cálculo de los Betas A B Tasa libre de riesgo 28,00%

Beta 3,273 1,364 E(RJ), según CAPM 50,91% 37,55% E(RJ), estimado 46,00% 43,00%

En este ejemplo, aunque el proyecto A ofrece una rentabilidad esperada mayor que la del proyecto B, su riesgo también es superior. Al utilizar el modelo CAPM para el nivel de riesgo del proyecto A el mercado estaría exigiendo como mínimo una rentabilidad esperada del 50.91%, superior a la que ofrece ese proyecto (46.00%); por lo tanto no se justificaría invertir en el proyecto A, ya que la rentabilidad esperada no compensa su mayor nivel de riesgo. En otras palabras, para ese nivel de riesgo, en el mercado existirían alternativas de inversión con una mayor rentabilidad esperada. En el caso del proyecto B, el mercado exige como mínimo una rentabilidad esperada del 37.55% (28% + 7%*1.36364), inferior a la rentabilidad esperada del proyecto (43.00%); por lo cual se justificaría invertir en el proyecto B. En otras palabras, la rentabilidad esperada del proyecto B compensa el riesgo de ese proyecto, medido a través de su coeficiente Beta. La recomendación final sería invertir en el proyecto B en lugar de invertir en el proyecto A.

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U T I L I Z A C I Ó N D E L M O D E L O C A P M P A R A E S T I M A R E L C O S T O D E L A

A P O R T A C I Ó N P A T R I M O N I A L . E S T I M A C I Ó N D E L W A C C ( C P P C )

El modelo CAPM se utiliza con frecuencia en la determinación del costo de la aportación patrimonial como componente del costo promedio ponderado de capital de una empresa. A manera de ejemplo, suponiendo una estructura marginal de capi-tal con deuda y aportación patrimonial, en proporciones 31 y 32, tales que 31 + 32 =1, la expresión general para el costo promedio ponderado de capital sería: WACC = �1 kd (1-t) + �2 kE donde KE = Rf + [E(RM) - Rf)] * BJ

BJ corresponde al Beta de la empresa, para el nivel de apalancamiento correspon-diente a la estructura marginal de capital que se está utilizando, KD al costo de la deuda antes de impuestos, KE al costo de la aportación patrimonial antes de im-puestos, que es igual al costo después de impuestos, en la medida en que los dividendos que paga la empresa no son deducibles de impuestos. Los Betas se estiman a partir de un símil del mercado; por ejemplo, el índice bursátil S&P 500, definido como una canasta de 500 acciones que se negocian en los dos principales mercados de Estados Unidos, NYSE EURONEXT y NASDAQ, con predominancia del primero de ellos; para su estimación, se utilizan regresiones lineales entre la rentabilidad del S & P 5004 y la rentabilidad del activo financiero bajo análisis. Para quienes quieran profundizar en este punto, referirse a Ross, Westerfield & Jaffe, Capítulo 12, numeral 12.2, Estimación de Betas5. Aunque el índice Standard & Poors es una construcción matemática, hoy se puede invertir en portafolios que tienen la misma composición de acciones del índice, en proporciones similares a los factores de ponderación, a través de los denominados Exchange Traded Funds (ETF) que cons-tituyen compañías virtuales de inversión que se negocian por acciones en las bolsas de valores, cuyo objetivo de inversión es replicar la rentabilidad del índice, propor-cionando un instrumento equivalente a invertir en el propio índice. A manera de ejemplo, en la figura 13.3 se muestra el comportamiento del I-Shares S&P 500 índex, y el propio índice, para el año corrido que terminó el 15 de julio de 2009, con base en información gráfica tomada del Wall Street Journal de esa fecha vía Internet. Se

4 El índice bursátil S & P 500 lo publica y mantiene la firma Standard & Poors, y es uno de los índices más tradicionales del mercado, con una capitalización ajustada de su canasta de 500 empresas, por un valor de 8.044 billones, a 15 de julio de 2009; la compañía con un mayor peso no pasa de un 4.24% y las 10 compañías más grandes en la canasta de 500 empresas representaban aproximadamente un 20.26% de la capitalización total del mercado; información tomada de la página web de Standard & Poors, vía Internet. 5 Ross, Stephen A., Randolph W. Westerfield, Jeffrey F. Jaffe, Finanzas Corporativas, 5a. ed., Irwin-McGraw-Hill, n m. 12.2, pp. 346 a 351.

Utilización del modelo CAPM para estimar el costo de la aportación patrimonial...

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Capítulo 13

[410] J A V I E R S E R R A N O

observa cómo la acción de la compañía virtual, administrada por I-Shares, cuyo símbolo es IVV, replica con gran precisión al propio índice S & P 500.

Figura 13.3 Comportamiento del I-Shares & P 500 Index, año corrido a 15 de julio de 2009

Fuente: Wall Street Journal, 15 de julio de 2009, via internet.

Como se mencionó anteriormente, el flujo de caja libre para el proyecto o para firma está expuesto únicamente a riesgo comercial, mientras que el flujo de caja libre para el patrimonio está expuesto a riesgo comercial6 más riesgo financiero. Por lo tanto, cuando se utiliza el modelo CAPM para medir la rentabilidad esperada por un inver-sionista sobre sus recursos propios, hay que tener en cuenta que él enfrenta riesgo operacional y financiero, por lo cual habrá necesidad de diferenciar entre un Beta operacional o no apalancado, que mide únicamente riesgo comercial u operacional, y un Beta total o apalancado, que mide riesgo operacional y financiero. La relación en-tre ambos se puede encontrar y demostrar en libros de nivel intermedio de finanzas corporativas7, y está dada por:

BA = BNA * [1+(1-timpuestos)*(Deuda/Patrimonio)]

En la expresión anterior se observa que se tiene un mayor valor del Beta apalancado cuando aumenta la utilización de la deuda frente al patrimonio (endeudamiento relativo), reflejo del mayor riesgo que enfrenta el inversionista. El efecto negativo que lleva a aumentar el Beta apalancado se disminuye parcialmente en la medida en que los gastos financieros que se pagan por la utilización de la deuda son deducibles de impuestos.

6 Riesgo comercial o riesgo operacional o riesgo de mercado. 7 Ross, Westerfield and Jaffe, Finanzas corporativas, ob. cit., pp. 346 a 351.

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Utilización del modelo CAPM para estimar el costo de la aportación patrimonial...

Lo ideal sería tener Betas no apalancados, ya que se pueden apalancar con la estructura de capital; sin embargo muchas veces el Beta se calcula y suministra para un nivel dado de apalancamiento, lo cual requiere des-apalancar el Beta y volverlo a apalancar para la estructura de capital que se va a utilizar. En el Cuadro 13.6, tomado de la página web del profesor A. Damodaran8, se muestran los Betas apalancados para unas condiciones dadas y des-apalancados; por ejemplo, el caso de empresas de energía eléctrica en el Este, con un Beta apalancado de 0,74, una estructura (deu-da/patrimonio) del 73,30% y una tasa de impuestos del 32,09%. Suponga que usted va a utilizar otra estructura de capital (p. ej., 25% deuda y 75% patrimonio): ¿cuál sería el valor del Beta, si la tasa de impuestos es del 30% y la estructura de capital es un 25% deuda y un 75% patrimonio?

Cuadro 13.6 Betas apalancados y no apalancados

Industry Name Número D/P Tasa

impositivaBeta no

apalncado Beta

apalancado Costo del

patrimonio

Electric Util. (Central) 24 107,83% 33,02% 0,478 0.82 6.32%

Electric Utility (East) 26 73,30% 32,09% 0,495 0.74 5.92%

Electric Utility (West) 16 90,70% 30,47% 0,482 0.79 6.14%

Electrical Equipment 83 23,53% 14,23% 1,142 1.37 9.07%

Electronics 173 45,62% 11,87% 0,936 1.31 8.77%

Entertainment 84 79,23% 17,17% 1,004 1.66 10.52%

Entertainment Tech 33 11,54% 13,67% 1,315 1.45 9.44%

Environmental 79 49,86% 15,45% 0,780 1.11 7.76%

Financial Svcs. (Div.) 296 261,38% 17,93% 0,403 1.27 8.55%

Food Processing 109 35,15% 21,67% 0,625 0.80 6.20%

Water Utility 16 82,79% 35,46% 0,561 0.86 6.51%

Wireless Networking 57 36,37% 14,08% 1,172 1.54 9.90%

Public/Private Equity 10 391,15% 6,70% 0,448 2.08 12.63%

Total Market 6870 48,81% 16,67% 0,845 1.19 8.15%

Fuente: A. Damodaran, valuation dataset, www.stern.nyu.edu/~adamodar Lo primero que se debe hacer, si no se tiene el Beta desapalancado (operacional), es obtenerlo a través de la expresión:

0,74 = BNA * [1+(1-0,3209)*(0,7330)]

Despejando se obtiene el valor del Beta no apalancado, BNA = 0,494

8 www.stern.nyu.edu/~adamodar, data set valuation, información sobre parámetros para valoración de empresas.

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Capítulo 13

[412] J A V I E R S E R R A N O

Se estima nuevamente el Beta apalancado para las condiciones solicitadas:

BA = 0,494 * [1+(1-0,30)*(0,25/0,75)] = 0,609

Ejemplo 13.3

La empresa ABC opera en un mercado donde se puede utilizar razonablemente el CAPM; en ese mercado la tasa libre de riesgo es del 11% y el premio al riesgo es del 7%. La tasa de impuestos en la economía es del 33%. La empresa puede conseguir deuda en el mercado con un costo del 25% antes de impuestos.

El flujo de caja libre para la firma (activos operativos) para el primer año proyectado es de $435.000 millones; para los años 2, 3, 4 y 5 es el que se muestra en el Cuadro 13.7:

Cuadro 13.7

Año FCLFJ 1 FCLF1 435.0002 FCLF2 485.0003 FCLF3 550.0004 FCLF4 620.0005 FCLF5 725.000

A partir del año 6, el flujo de caja libre para la empresa ABC se espera que crezca con el crecimiento de largo plazo de la economía, que se supone es del 3.5% en términos reales, a infinito. Sugerencia: usted puede calcular el valor presente del flujo entre el año 6 e infinito, utilizando el modelo de Gordon, con una tasa de interés igual al WACC y una tasa de crecimiento en nominales, equivalente al 3.5% en reales; para ello tiene que proyectar el flujo del año 6 en nominales.

El Beta operacional de la empresa ABC es de 0,82, y su estructura de capital es un 28% deuda y un 72% patrimonio, la cual los accionistas de ABC consideran que es la estructura óptima. La inflación proyectada para todo el problema es del 4.5%.

a)� ¿Cuál es el costo promedio ponderado de capital? b)� ¿Cuál es el valor de mercado de la firma (activos operativos), que es igual al flujo

de caja libre para la firma descontado al WACC? c)� ¿Cuál es el valor de mercado del patrimonio?

Tasa libre de riesgo: 11% Premio al riesgo: 7% Tasa de impuestos: 33% Costo de la deuda: 25%, antes de impuestos Tasa de crecimiento del flujo de caja libre, a partir del 5 año: 3,50% real

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[413] [413]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Inflación: 4,50% anual Tasa de crecimiento, nominal: 8,16%

Estructura de capital sugerida:

Deuda: 28%

Patrimonio: 72% Beta no apalancado, BNA: 0,82

Beta apalancado, BA = 0,82 * [1 + (1-0,33)*(0,28/0,72)] =1,03337

Costo de la deuda, después de impuestos: 25,00% * (1-0,33) = 16,75%

Costo de la aportación patrimonial, utilizando el CAPM:

KE = RF + [E(RM) – RF] * BA = 11% + 7% * 1,03337 = 18,24%

WACC = 0,28 * 16,75% + 0,72 * 18,24% = 17,82%

Por lo tanto, el valor del costo promedio ponderado de capital, WACC, es del 17,82%.

En el Cuadro 13.8 se muestra la proyección de los flujos de caja libres para la firma para los 6 primeros años; los flujos de los cinco primeros años fueron suministrados, el del sexto año fue proyectado:

FCLF6 = FCLF5 * (1+GN) = 725.000*(1 + 0,0816) = 784.142

El flujo de caja libre proyectado para el año 6 se utiliza para estimar el valor terminal, que es el valor presente al finalizar el año 5 (comienzo del año 6) de los flujos de caja libre para la firma entre el año 6 e infinito, bajo el supuesto de que los flujos crecen de acuerdo con el modelo de crecimiento constante de Gordon, a una tasa anual del 8,16%, utilizando como tasa de descuento el WACC ya calculado. Esto es:

Valor terminal = VT = FCLF6/(WACC – GN) = 784.142/(0,1782 – 0,0816)

Valor terminal = VT = 8.115.626

Utilización del modelo CAPM para estimar el costo de la aportación patrimonial...

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[414]

Capítulo 13

[414] J A V I E R S E R R A N O

Cuadro 13.8

Año Flujo Valor terminal Flujo total 1 435.000 0 435.000 2 485.000 0 485.000 3 550.000 0 550.000 4 620.000 0 620.000 5 725.000 8.115.626 8.840.6266 784.142

En la última columna del cuadro 13.8 se muestra el flujo total, que descontado al costo promedio ponderado de capital nos da el valor de mercado de la firma, que es igual al valor de mercado de los activos operativos; utilizando la función VNA de Excel se obtiene:

Valor de la firma = VNA[0,1782; 435.000: 8.840.626] = 5.270.624,28

Valor del patrimonio = 0,72 * 5.270.624 = 3.794.849,48

E S T I M A C I Ó N D E L C O S T O P R O M E D I O P O N D E R A D O D E C A P I T A L E N

C O L O M B I A : U N A A P R O X I M A C I Ó N A T R A V É S D E U N M I N I C A S O

En los cuadros 13.9 y 13.10 se resume información tomada de la página web del profesor A. Damodaran, sección de Valuation, sobre Betas, estructura de capital, cos-to de la aportación patrimonial y costo promedio ponderado de capital para una muestra de sectores industriales en Estados Unidos, con ajustes recientes (www.stern.nyu.edu/~adamodar).

Estime el costo promedio ponderado de capital para valorar una empresa de carbón que opera en Colombia. La estructura de capital de esa empresa es un 25% deuda y un 75% patrimonio. Haga la estimación a partir de información suministrada en la base de datos del profesor A. Damodaran, para el sector carbón, utilizando como promedio para el EMBI Colombia un valor de 320 puntos básicos. Así mismo, en el artículo de A. Damodaran titulado “Country Risk and Company Exposure”, Journal of Applied Finance, Fall/Winter 2003, se menciona cómo ajustar el EMBI para medir riesgo país; en otras palabras, allí se sugiere:

“Para corregir este indicador, Damodaran (2003) propone calcular el riesgo del equity para una empresa promedio en un país como el producto del EMBI para ese país, multiplicado por el cociente entre la volatilidad del mercado accionario (traducido a dólares) y la del mercado de bonos, que para el caso de nuestra estimación lo puede suponer de 1.17. Para estimar la prima por riesgo país específica para una empresa, también se propone otro ajuste sobre el anterior, resultante de comparar la proporción de los ingresos de la

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Estimación del costo promedio ponderado de capital en Colombia: una aproximación...

compañía que se va a valorar que se producen en el país con la proporción de los ingresos de la empresa promedio colombiana, que opera en el país”.9

Para los dos factores mencionados suponga valores de 1,17 y 1,22, en forma tal que la prima por riesgo país sería:

Prima por riesgo país = EMBI promedio Colombia * 1,17*1,22

La empresa puede conseguir deuda en el mercado local a una tasa del 13% antes de impuestos. La tasa de impuestos corporativa es del 33%.

En general, para la estimación del costo de la aportación patrimonial y del costo promedio ponderado de capital se recomienda seguir los siguientes pasos:

a)� Definir los parámetros básicos a través de su estimación o de la utilización de fuentes de información especializadas: estructura de capital, tasa de impuestos efectiva, tasa libre de riesgo, prima al riesgo en Estados Unidos o en otro mercado, tasa de inflación proyectada en Estados Unidos, tasa de inflación proyectada en Colombia.

b)� Partir de un Beta no apalancado, directamente, o de uno apalancado con otras condiciones de endeudamiento y tasa de impuestos.

c)� Calcular el Beta apalancado para las condiciones de este caso, las que se mencionaron en a).

d)� Calcular el costo del patrimonio (equity) en Estados Unidos en dólares, utilizando la estructura de capital sugerida, el Beta apalancado y el modelo del CAPM, con la tasa libre de riesgo y el premio al riesgo especificados en a).

e)� Calcular la prima por riesgo país, a partir del EMBI, con los ajustes necesarios.

f)� Calcular el costo del equity en Colombia, en dólares, aumentando al costo en dólares en Estados Unidos la prima por riesgo país, lo cual le da el costo del equity en dólares en Colombia.

g)� Calcule el costo en pesos del equity en Colombia, utilizando equilibrio cambiario.

h)� Calcule el costo de la deuda antes y después de impuestos, en pesos, teniendo en cuenta la calificación de riesgo de solvencia de la empresa.

i)� Calcule el costo promedio ponderado de capital, teniendo en cuenta la estructura

de capital sugerida y los valores estimados.

9 A. Damodaran, , Journal of Applied Finance, Fall/Winter 2003.

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Capítulo 13

[416] J A V I E R S E R R A N O

j)� Calcule el WACC en reales después de impuestos, a través de la relación usual.

¿Cuál sería el costo promedio ponderado de capital en pesos, a utilizar para la empre-sa de carbón que se va a valorar? Para este ejercicio suponga equilibrio cambiario, una tasa de inflación de largo plazo en Estados Unidos del 2% y una tasa de inflación de largo plazo en Colombia del 4.5%. ¿Cuál sería el costo en reales? Para el cálculo del WACC en esta situación real (inversión en una empresa de carbón en Colombia) se seguirán los pasos recomendados previamente: �� Selección de los parámetros básicos, resumidos en el Cuadro 13.9; la tasa libre de

riesgo, el premio al riesgo (risk Premium) y el Beta no apalancado para el sector carbón10 fueron tomados de A. Damodaran. Los valores de inflación en Estados Unidos y en Colombia son valores supuestos a partir de la evolución real de esos indicadores; la devaluación resultante es el resultado de un supuesto de equilibrio cambiario.

Cuadro 13.9 Parámetros básicos, Estimación del costo del patrimonio

Inflación en Estados Unidos 2,00%

Inflación en Colombia 4,50%

Devaluación proyectada 2,45%

Tasa libre de riesgo (Long term treasury bond rate) 2,21%

Premio al riesgo (Risk Premium to Use for Equity) 5,00%

Tipo de negocio: carbón

Beta no apalancado 1,39

Tasa de impuestos 33,00%

Estructura de capital

Deuda 25,00%

Patrimonio 75,00%

Costo de la deuda, AI 13,00% Fuente: A. Damodaran, Valuation, www.stern.nyu.edu/~adamodar.

En el Cuadro 13.10, tomado de la fuente referenciada11, se presenta una muestra de los parámetros básicos para algunos sectores, incluyendo carbón:

10 A. Damodaran, vía Internet, Betas y risk premiums para febrero de 2009, (www.stern.nyu.edu/~adamodar). 11 Ídem.

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Cuadro 13.10 Betas apalancados y no apalancados

Industry Name Número de firmas

Beta

promedio

Relación D/P a precios de mercado

Tasa de impuestos

Beta no apalancado

Chemical (Basic) 19 1,26 29,11% 19,29% 1,02 Chemical (Diversified) 33 1,21 26,70% 25,47% 1,01 Chemical (Specialty) 88 1,18 35,74% 18,99% 0,92 Coal 18 1,98 48,02% 10,52% 1,39 Computer Software/Svcs

322 1,22 7,77% 12,65% 1,15

Computers/Peripherals 125 1,29 18,36% 9,90% 1,11 Diversified Co. 113 1,25 160,98% 20,23% 0,55 Drug 342 1,16 14,51% 5,96% 1,02 Water Utility 16 0,86 82,79% 35,46% 0,56 Wireless Networking 57 1,54 36,37% 14,08% 1,17 Grand Total 6870 1,19 48,81% 16,67% 0,84

Fuente: A. Damodaran, Valuation, www.stern.nyu.edu/~adamodar.

�� Escoja el Beta no apalancado para el negocio del carbón: BNA = 1,39 �� Calcule el Beta apalancado (riesgo operacional y financiero), a partir del Beta no

apalancado, utilizando la estructura de capital sugerida y la fórmula: BetaA = BetaNA * [1+(1-timp)*(deuda/patrimonio)] BetaA = 1,39 * [1+(1-0,33)*(0,25/0,75)] = 1,7004 �� Calcule el costo del equity en Estados Unidos en dólares, utilizando la estructura

de capital sugerida, el Beta apalancado y el modelo del CAPM. KE = RF + [Risk Premium] * BetaA = 2,21% + 5.00% * 1,7004 = 10,71%, en

dólares en Estados Unidos. �� Calcule la prima por riesgo país. Según lo indicado: 3,20% * 1.17 *1.22 = 4,57% �� Calcule el costo del equity en Colombia, en dólares, aumentando al costo en

dólares en Estados Unidos la prima por riesgo país, lo cual le da el costo del equity en dólares en Colombia:

KE,$US = (1+0,1071)*(1+0,0457)-1 = 15,77% �� Calcule el costo en pesos del equity en Colombia, utilizando equilibrio cambiario:

Estimación del costo promedio ponderado de capital en Colombia: una aproximación...

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[418]

Capítulo 13

[418] J A V I E R S E R R A N O

KE,$ = (1+0,1577) * (1+0,0245)-1 = 18,61% �� Calcule el costo de la deuda después de impuestos, en pesos:

KD * (1-t) = 13,00% * (1-0,33) = 8,71% �� Calcule el costo promedio ponderado de capital, teniendo en cuenta la estructura

de capital sugerida y los valores estimados: WACC = 0,25*8,71% + 0,75*18,61% = 16,13% �� Costo en reales: aplique la relación usual: (1 + WACCReal) * (1+ inf) = (1 + WACCNominal) WACCReal = (1+0,1613)/(1+0,045) = 11,13% El costo promedio ponderado de capital en reales, después de impuestos, es del

11,13%. C A S O : D I S T R I B U C I Ó N D E E N E R G Í A E L É C T R I C A E N C O L O M B I A

En Colombia existe una regulación especial para las empresas de servicios públicos domiciliarios; en el caso específico de la actividad de transmisión y distribución de energía eléctrica, la Comisión de Regulación de Energía y Gas (CREG) define la meto-dología tarifaria y aprueba las tarifas máximas que las empresas pueden cobrar a sus usuarios dentro de un esquema que se denomina de techo de precio (price cap)12. Este aspecto es especialmente importante, ya que en Estados Unidos el sistema de regulación es el denominado rate of return, que ofrece un menor riesgo para la empresa prestadora del servicio. En la metodología tarifaria se definen los pasos que se deben seguir para calcular la tasa remuneratoria del capital invertido que es el mis-mo WACC, fundamental para encontrar el costo medio de largo plazo por inversión que se debe trasladar al usuario, de acuerdo con la metodología tarifaria existente. La Resolución de la CREG 093 de 2008 estableció la metodología para el cálculo del WACC para las empresas de distribución de energía eléctrica, incluyendo la meto-dología a utilizar, fuentes de información para estimar los diferentes parámetros, pe-ríodos de tiempo para la estimación de los diferentes parámetros, orden de la conver-sión, etc., siguiendo una metodología similar a la que se presentó en el numeral 13.6. Se utilizan parámetros básicos del mercado de Estados Unidos tales como la tasa libre 12 Para una industria regulada según el esquema price cap, el regulador o alguna entidad competente establece el precio o tarifa máxima que la empresa puede cobrar por el producto que se ofrece al mercado regulado.

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Caso: distribución de energía eléctrica en Colombia

de riesgo, el premio por riesgo de mercado, el valor del EMBI para Colombia, el Beta del sector de distribución de energía eléctrica, el ajuste al Beta por la diferencia en los regímenes regulatorios, etc. La resolución se expidió luego de un proceso de análisis y discusión con el sector que tomó aproximadamente un año, en el cual se analizaron diferentes trabajos elaborados por entidades especializadas sobre la estimación del WACC para el sector, se realizaron diferentes foros académicos y audiencias públicas. Al definir la tarifa máxima que pueden cobrar las empresas a sus usuarios, se define la rentabilidad de la actividad de distribución de energía eléctrica. En la parte resolutoria la citada Resolución 093 de 2008 establece:

“Artículo 1: Tasa de Retorno. Para remunerar la actividad de distribución de energía eléctrica se utilizarán dos tasas de retorno calculadas con la metodología del Costo Promedio Ponderado de Capital: una tasa para los sistemas que se remuneren mediante la metodología de Ingreso Máximo y otra tasa para los sistemas remunerados mediante la metodología de Precio Máximo”. “Artículo 2: Elementos para el cálculo de la Tasa de Retorno. Los valores de los parámetros, las fórmulas de cálculo, las fuentes de información y los períodos de tiempo de los datos requeridos para el cálculo de las tasas de retorno que se utilizarán en las fórmulas tarifarias de la actividad de distribución de energía eléctrica durante el próximo período tarifario, serán los establecidos en el Anexo de la presente Resolución”. “Artículo 3: Valor de la Tasa de Retorno. Las tasas de retorno para remunerar la actividad de distribución de energía eléctrica en el próximo período tarifario, calculadas de acuerdo con lo establecido en los artículos anteriores serán: 13,0% para la metodología de Ingreso Máximo y 13,9% para la metodología de Precio Máximo, las dos en constantes y antes de impuestos”. “Artículo 4: Vigencia. Esta resolución rige a partir de su publicación en el Diario Oficial, deroga las normas que le sean contrarias y se aplicará a partir de la fecha en que queden en firme los actos particulares requeridos para determinar los costos anuales y los cargos por uso de los Operadores de Red, con base en la metodología de remuneración de la actividad de distribución de energía eléctrica que se defina para el próximo período tarifario”.

En el Cuadro 13.11, tomado textualmente de la citada resolución13, se resumen los parámetros a utilizar, la fuente a emplear para su estimación y el período de tiempo a

13 CREG, Resolución 093 de 2008.

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[420]

Capítulo 13

[420] J A V I E R S E R R A N O

tomar para la estimación del respectivo parámetro; ∆� corresponde al ajuste del Beta para tener en cuenta la diferencia entre un sistema price cap como el vigente en Colombia y el sistema rate of return existente en Estados Unidos.

Cuadro 13.11

Variable Fuente Período

u) Morningstar (Ibbotson)

SIC 4911 Últimos cuatro trimestres

disponibles

∆�, “Regulatory Structure and Risk and Infrastructure Firms”

Alexander, Ian y otros, 1996

CInf DANE

Índice de precios al consumidor Últimos 60 meses

EUInf

The Livingston SurveyFederal Reserve Bank of Philadelphia.

Consumer Price Index Long-Term Outlook

Encuesta más reciente publicada

dr

Superintendencia Financiera de Colombia y Banco de la República.

(Tasa de interés del “Crédito Preferencial”; bancos con más del 50% de datos en el período)

Últimos 60 meses

fr Reserva Federal de Estados Unidos.

Tasa de bonos a 20 años: Mensual : Anual :

Últimos 60 meses

Desde 1926

mr Morningstar (Ibbotson)S&P 500, retornos anuales

Desde 1926

pr J.P. Morgan

Spread de los bonos de la República estimado con base en el EMBI plus de Colombia

Últimos 60 meses

( Estatuto Tributario.

Tarifa de impuesto de renta Actual

En el Cuadro 13.12 se muestran los parámetros estimados y se resumen los cálculos utilizados para llegar al valor estimado del 13.9% en constantes y antes de impuestos para la metodología de precio máximo14.

14 Ibíd.

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[421] [421]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Cuadro 13.12

ESQUEMA REGULATORIO Ingreso máximo

Precio máximo

Inflación US$ 2,50% 2,50% Tasa de impuestos 33,0% 33,0% ESTRUCTURA DE CAPITAL Deuda 40,0% 40,0% Capital propio 60,0% 60,0% COSTO DE LA DEUDA Costo real 6,94% 6,94% Costo nominal 9,61% 9,61% COSTO DEL CAPITAL PROPIO Tasa libre de riesgo 4,88% 4,88% Beta (SIC 4911) 0,44 0,44 Ajuste de Beta 0,11 0,22 Prima riesgo mercado 7,05% 7,05% Prima riesgo país 2,85% 2,85% Beta desapalancado 0,55 0,66 Beta apalancado 0,80 0,95 Prima riesgo negocio 5,61% 6,73% 13,34% 14,46% COSTO PROMEDIO PONDERADO WACC US$ después de impuestos 10,58% 11,25% WACC US$ antes de impuestos 15,79% 16,80% WACC real antes de impuestos 13,0% 13,9%

Para estimar el costo de la deuda en pesos, se define15:

“El costo real de la deuda se estimará como el promedio del percentil 80 de las tasas de interés reportadas mensualmente por los establecimientos bancarios a la Superintendencia Financiera de Colombia, para el “Crédito preferencial”, expresado en términos reales, de los bancos que tengan datos para más del 50% del período tomado. A este valor se adicionará la diferencia que tienen las tasas de interés de los créditos preferenciales con plazos mayores a 5 años”.

La Superintendencia Financiera de Colombia define el crédito preferencial o corporativo como sigue16:

“Se definen como créditos comerciales todos los créditos distintos a los de vivienda, de consumo y microcrédito. El crédito comercial comprende los créditos ordinario, preferencial o corporativo y el de tesorería. Se considera que un cliente es preferencial o corporativo cuando éste posee los

15 Ibíd. 16 Superintendencia Financiera de Colombia, Nota metodológica sobre las modalidades de crédito, consulta vía Internet (www.superfinanciera.gov.co).

Caso: distribución de energía eléctrica en Colombia

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[422]

Capítulo 13

[422] J A V I E R S E R R A N O

elementos necesarios para entrar a pactar una tasa de interés. El crédito preferencial o corporativo se define para plazos superiores a 30 días”. “Para el caso del crédito comercial preferencial o corporativo, las entidades deben excluir del reporte la información correspondiente a las operaciones realizadas con sobregiros bancarios, los créditos que involucren cupos de redescuento, operaciones en la financiación de impuestos, los créditos con reciprocidades o contraprestaciones que conlleven niveles de tasa de interés distantes de la realidad del mercado, los créditos redescontados independientemente del monto aprobado, los créditos otorgados a su matriz o a las subordinadas de esta, así como a cualquier otra sociedad donde se evidencie el control de gestión o administrativo por parte de la entidad vigilada o de su matriz o de las subordinadas de esta, así como los créditos que se originen de los acuerdos de reestructuración según lo establecido en la Ley 550 de 1999 de Intervención Económica”.

El Banco de la República, en sus series sobre tasas de interés, publica información histórica sobre los valores de la tasa de interés del crédito preferencial, que se puede consultar vía Internet; un estudio de la información que allí se muestra permite con-cluir que la mayor parte del crédito preferencial se otorga a menos de un año. Para el análisis de este caso se pueden formular preguntas como las que se muestran a continuación: a) Seguimiento de la metodología resumida en los cuadros 13.11 y 13.12. b) ¿Por qué la tasa remuneratoria para el sistema de ingreso regulado es inferior a la

del esquema conocido como de price cap? c) ¿Influye el orden de conversión, pesos a dólares versus dólares a pesos? ¿La tasa

real en dólares es equivalente a la tasa real en pesos? d) ¿Cuáles son las consecuencias de utilizar como costo de la deuda la tasa del

crédito preferencial, con las anotaciones hechas? ¿Qué otra alternativa se tiene disponible?

e) Tome otras fuentes de información para los parámetros básicos (tasas, primas, Betas). ¿Cómo varían sus resultados? ¿Qué le sugiere la variación observada?

f. Tome otros períodos de tiempo para la estimación de los parámetros básicos (ta-sas, primas, Betas): ¿cómo varían sus resultados? ¿Qué le sugiere la variación observada?

g. Si fuera a hacer los cálculos hoy, con la información de la fecha, ¿cuál sería el valor del WACC? ¿Qué le sugieren las variaciones observadas?

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E J E R C I C I O S

1. En el Cuadro 13.13 se muestran las rentabilidades de dos proyectos de inver-

sión (a y b) en 4 escenarios mutuamente excluyentes y colectivamente exhaus-tivos. También se muestra la rentabilidad del mercado para cada uno de los 4 escenarios a que se acaba de hacer referencia. La tasa libre de riesgo es del 28%.

Utilizando el CAPM se debe analizar la conveniencia de cada uno de los dos proyectos (a y b) desde el punto de vista financiero, teniendo en cuenta el ries-go inherente a cada uno de ellos.

Cuadro 13.13

Tasa libre de riesgo 28%

Escenario Probabilidad Rm Ra Rb 1 0.25 28.00% 10.00% 30.00% 2 0.25 30.00% 30.00% 40.00% 3 0.30 40.00% 55.00% 50.00% 4 0.20 43.00% 80.00% 55.00%

La respuesta se resume en el Cuadro 13.14; se aceptaría únicamente el proyecto B.

Cuadro 13.14

A B Tasa libre de riesgo 28,00% Beta 3,899 1,448 E(RJ), según CAPM 55,68% 38,28% E(RJ), estimado 42,50% 43,50%

2. ¿Qué puede decir sobre la conveniencia del siguiente proyecto, con las renta-

bilidades que se muestran en el Cuadro 13.15, en tres escenarios mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos? Allí también se muestra la renta-bilidad del mercado en los tres escenarios; la tasa libre de riesgo es del 28%.

Ejercicios

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[424]

Capítulo 13

[424] J A V I E R S E R R A N O

Cuadro 13.15

Escenario Probabilidad Rm Ra

1 25,00% 20,00% 15,00%

2 35,00% 34,00% 35,00%

3 40,00% 40,00% 65,00%

Los cálculos necesarios para dar una respuesta a la pregunta son:

Beta: 2,41 E(RJ), según CAPM, 39,79% E(RJ), estimado: 42%

Por los tanto se aceptaría el proyecto.

3. En el Cuadro 13.16 se muestran las rentabilidades de dos proyectos de inver-

sión (a y b) en 4 escenarios mutuamente excluyentes y colectivamente exhaus-tivos. También se muestra la rentabilidad del mercado para cada uno de los 4 escenarios. La tasa libre de riesgo es del 28%.

Utilizando el CAPM, se debe analizar la conveniencia de cada uno de los dos proyectos (a y b) desde el punto de vista financiero, teniendo en cuenta el ries-go inherente a cada uno de ellos.

Cuadro 13.16

Tasa libre de riesgo 28%

Escenario Probabilidad Rm Ra Rb

1 0.15 28.00% 23.00% 28.00%

2 0.35 30.00% 34.00% 32.00%

3 0.35 38.00% 52.00% 45.00%

4 0.15 40.00% 60.00% 55.00%

En el Cuadro 13.17 se resumen los resultados de los cálculos necesarios:

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[425] [425]A L F A O M E G A F A C U L T A D D E A D M I N I S T R A C I Ó N / U N I A N D E S

Ejercicios

Cuadro 13.17

A B

Beta 2,659 1,932

E(RJ), según CAPM 43,95% 39,59%

E(RJ), estimado 42,55% 39,40%

Por lo tanto, ninguno de los dos proyectos sería aceptable.

4. La empresa XYZ opera en Colombia en un sector económico, para el cual el

Beta no apalancado, tomado de la base de datos del profesor A. Damodaran (www.stern.nyu.edu/~adamodar), es de 1,15; suponga una tasa libre de ries-go del 2,21% y una prima por riesgo de mercado del 5%, correspondientes a los parámetros publicados en febrero de 2009. Suponga una tasa de impuestos corporativos del 33%, un valor del EMBI de 320 puntos básicos y valores para los dos ajustes sugeridos por Damodaran (cociente entre la volatilidad del mercado accionario y la del mercado de bonos soberanos y la proporción de los ingresos de la compañía que se va a valorar que se producen en el país con la proporción de los ingresos de la empresa promedio colombiana), respectivamente de 1,20 y 1,18. La estructura de capital de la empresa XYZ es del 40% de deuda y el 60% de patrimonio. Así mismo, suponga una inflación en Estados Unidos de largo plazo del 2% y una inflación en Colombia de largo plazo del 5%. La empresa XYZ puede conseguir deuda en el mercado colom-biano en pesos con un costo del 15% antes de impuestos.

a. ¿Cuál es el costo de la aportación patrimonial en dólares, si la inversión

en la empresa se fuera a hacer en Estados Unidos? (10,53%). b. ¿Cuál es el costo de la aportación patrimonial en dólares, si la inversión

en la empresa XYZ se hace en Colombia? (15,54%). c. ¿Cuál es el costo de la aportación patrimonial en pesos, si la inversión en

la empresa XYZ se hace en Colombia? (18,93%). d. ¿Cuál es el costo de WACC en pesos nominales para una inversión en la

empresa XYZ en Colombia, después de impuestos? (15,38%). e. ¿Cuál es el costo del WACC en pesos reales o constantes para una

inversión en la empresa XYZ en Colombia, después de impuestos? (9.89%).

5. Suponga que el flujo de caja libre para la firma de la empresa XYZ del

problema anterior para los próximos 5 años es el que se muestra en el Cuadro 13.18:

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[426]

Capítulo 13

[426] J A V I E R S E R R A N O

Cuadro 13.18

Año Flujo

1 350.000

2 485.000

3 550.000

4 620.000

5 725.000

Para el año 5, el flujo de caja libre se ha estabilizado, en forma tal que a partir del año 6 crece según un modelo de crecimiento constante a infinito, con una tasa de crecimiento en reales del 3,5. ¿Cuál sería el valor de mercado de la firma? ($7.475.838). ¿Cuál sería el valor de mercado del patrimonio? ($4.485.503).

6. La empresa XYZ opera en Colombia, en el sector de la industria de servicios médicos, sin estar sometida a un régimen especial de regulación. La utilidad operacional (UAII) para el año base (año cero) fue de 135.000, afectada por gastos de depreciación y amortización de diferidos del orden de los $120.000 millones de pesos. Una buen escenario para proyectar el negocio sería un crecimiento del EBITDA del 7% en reales durante 3 años, para caer a un creci-miento normal con la industria, estimado en el largo plazo del 3.5% real; la inflación proyectada para Colombia en ese escenario es del 4,8% y la de Estados Unidos del 2%. La empresa puede conseguir deuda en Colombia con un Spread del 4,5% sobre la tasa DTF; se espera que la tasa DTF crezca paulatinamente del nivel actual a un nivel del 11%, durante los próximos 5 años. La tasa de impuestos corporativos es del 33%. Utilice la información de la base de datos de A. Damodaran y los valores actuales del EMBI, para estimar la tasa de descuento apropiada. La estructura actual de capital es tal que la relación deuda a patrimonio es de 0,6. Las inversiones en activos fijos para el primer año del período de proyección son de $50.000 millones y van a crecer con la tasa de crecimiento del EBITDA; la depreciación de las nuevas inversiones se hace a 20 años. La inversión en capital de trabajo estimada se puede proyectar en $20.000 millones para el primer año, y también se puede proyectar creciendo con la tasa de crecimiento del EBITDA.

a. ¿Cuál es el valor de mercado de la firma? b. ¿Cuál es el valor de mercado del patrimonio? c. ¿Qué ocurriría si usted endeuda la empresa en $250.000 millones para

descapitalizarla? d. ¿Qué ocurriría si usted endeuda la empresa en $250.000 millones para

invertir en TES?

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En el Cuadro 13.19 se muestran los pasos necesarios para estimar un WACC año a año, durante los 6 años, utilizando la información disponible en ese momento (septiembre de 2009): no se han incluido ajustes por riesgo país, más allá de los del EMBI.

Cuadro 13.19

Año 0 1 2 3 4 5 6

Inflación Colombia 4,80% 4,80% 4,80% 4,80% 4,80% 4,80%

Inflación Estados Unidos 2,00% 2,00% 2,00% 2,00% 2,00% 2,00%

Devaluación 3,00% 2,75% 2,75% 2,75% 2,75% 2,75% 2,75%

Tasa impuestos 33,00% 33,00% 33,00% 33,00% 33,00% 33,00% 33,00%

Crecimiento EBITDA real 7,00% 7,00% 7,00% 7,00% 7,00% 3,50%

Crecimiento nominal 12,14% 12,14% 12,14% 12,14% 12,14% 8,47%

Tasa DTF 5,00% 6,00% 7,00% 8,00% 9,00% 10,00% 11,00%

Spread 4,50% 4,50% 4,50% 4,50% 4,50% 4,50% 4,50%

Costo deuda, AI 9,73% 10,77% 11,82% 12,86% 13,91% 14,95% 16,00%

Tasa libre de riesgo, Rf 2,21% 3,00% 4,00% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00%

Premio al riesgo 5,00% 5,50% 6,00% 6,50% 7,00% 7,00% 7,00% Relación (Deuda/Patrimonio) 60,00% 60,00% 60,00% 60,00% 60,00% 60,00% 60,00%

Patrimonio 62,50% 62,50% 62,50% 62,50% 62,50% 62,50% 62,50%

Deuda 37,50% 37,50% 37,50% 37,50% 37,50% 37,50% 37,50%

Beta no apalancado 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9

Costo del equity USA 8,52% 9,94% 11,57% 13,20% 13,83% 13,83% 13,83%

EMBI 2,43% 3,40% 3,80% 4,00% 4,00% 4,50% 4,50% Costo del equity, Colombia, US$

11,16% 13,68% 15,81% 17,73% 18,39% 18,96% 18,96%

WACC 11,50% 13,20% 14,84% 16,33% 17,02% 17,64% 17,91%

En el Cuadro 13.20 se muestran los pasos seguidos para estimar un valor de mercado de la firma y del patrimonio, consistente con el cálculo del WACC que se acaba de presentar:

Ejercicios

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[428]

Capítulo 13

[428] J A V I E R S E R R A N O

Cuadro 13.20

Año 0 1 2 3 4 5 6

Factores de descuento individuales 88,34% 87,08% 85,96% 85,46% 85,00% 84,81%Factor de descuento acumulado 88,34% 76,92% 66,12% 56,51% 48,03% 40,74% Inversión en AF 50.000 56.068 62.872 70.503 79.059 85.754Inversión en CT 20.000 22.427 25.149 28.201 31.624 34.301Depreciación adicional, años 20 1.250 3.902 6.875 10.210 13.949 18.069Depreciación inversión año 1 1.250 2.500 2.500 2.500 2.500 2.500Depreciación inversión año 2 1.402 2.803 2.803 2.803 2.803Depreciación inversión año 3 1.572 3.144 3.144 3.144Depreciación inversión año 4 1.763 3.525 3.525Depreciación inversión año 5 1.976 3.953Depreciación inversión año 6 2.144 Año 0 1 2 3 4 5 6 UAII 135.000 164.697 196.748 232.688 272.990 318.184 352.350 EBITDA 255.000 285.947 320.649 359.563 403.200 452.132 490.419Depreciación y amortización, actual 120.000 120.000 120.000 120.000 120.000 120.000 120.000Depreciación, nueva inversión 1.250 3.902 6.875 10.210 13.949 18.069 UAII*(1-t) 90.450 110.347 131.821 155.901 182.904 213.183 236.074UAII*(1-t) + dep. + amort. – inv. AF-Inv. CT 161.597 177.227 194.755 214.409 236.449 254.088 FCLF 161.597 177.227 194.755 214.409 236.449 254.088VALOR TERMINAL 2.692.027 Valor presente flujos individuales 142.747 154.329 167.413 183.231 200.987Valor presente, 5 flujos individuales 848.708 39,63% Valor presente valor terminal 1.293.057 60,37% Valor de la firma 2.141.765 Valor del patrimonio 1.338.603 Valor de la deuda 803.162

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