Matematicas i grado en econom - desconocido

Matematicas IGrado en Economıa

Curso 2010-2011

UniversidaddeValladolid

Departamento deEconomía Aplicada

1. Matrices y Vectores

1.1 Definicion y operaciones con matrices. Tipos de matriz

1.2 Determinante y rango de matrices

1.3 Matriz inversa

1.4 Definicion y operaciones con vectores

1.5 Combinaciones lineales. Dependencia e independencia lineales

1. Matrices y vectores 1.1 Definicion y operaciones con matrices. Tipos de matriz

Definicion de matriz

Definiciones

Se llama matriz de orden m× n a un conjunto de m× n elementos,dispuestos en m filas y n columnas.

Se llama elemento de lugar (i, j) o ij de una matriz A al elemento queesta situado en la interseccion de la fila i-esima y la columna j-esima.

Denotando por aij a este elemento, la matriz se representa por

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

= (aij) .

Dep. Economıa Aplicada (UVA) Matematicas I 2010-2011 3 / 32


Definicion de matriz

Definicion

Dos matrices A = (aij) y B = (bij) del mismo orden son iguales si loselementos que ocupan el mismo lugar son iguales, es decir, si aij = bijpara cada lugar ij.

Observacion

El concepto de matriz se define de forma general tomando sus elementosen un conjunto cualquiera. Sin embargo, a lo largo de este curso noslimitaremos a usar matrices de numeros reales.

Notacion

El conjunto formado por todas las matrices de orden m× n con elementosen R se denota por Mm×n(R) o simplemente Mm×n.



Tipos de matrices

Definiciones

1 Una matriz A de orden m× n se dice que es cuadrada si m = n.Nos referiremos a las matrices cuadradas de orden n× n comomatrices de orden n y escribiremos A ∈Mn(R).

2 Una matriz A de orden m× n se dice que es rectangular si m 6= n.Cuando m = 1 se dice que A es una matriz fila, y si n = 1 que A esuna matriz columna.

3 Se denomina matriz nula de orden m× n y se denota por Om×n, O u(0) a aquella cuyos elementos son todos iguales a 0 ∈ R.

4 Dada una matriz A ∈Mm×n(R), una submatriz de A es una matrizobtenida a partir de A eliminando una o varias filas y/o una o variascolumnas.



Tipos de matrices

Definiciones

1 Se denomina diagonal principal de una matriz cuadrada A = (aij) deorden n al conjunto de los elementos que tienen iguales sus subındicesde ordenacion, es decir, a11, a22, . . . , ann.

2 Una matriz cuadrada se dice que es triangular superior si todos loselementos situados por debajo de su diagonal principal son nulos.Cuando todos los elementos situados por encima de su diagonalprincipal son nulos se denomina triangular inferior.

3 Una matriz cuadrada es una matriz diagonal si los elementos nodiagonales son nulos. Si ademas los elementos diagonales son igualesentre sı se denomina matriz escalar.

4 Se llama matriz identidad de orden n y se denota por In o I a lamatriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a1 ∈ R.



Operaciones con matrices

Suma de matrices

Definicion

Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij) del mismo orden m× n, sellama suma de A y B a la matriz A+B = (aij + bij) de orden m× n.

PropiedadesPara cualesquiera que sean las matrices A, B y C del mismo orden m× nse verifica

1 Asociativa: A+ (B + C) = (A+B) + C.

2 Conmutativa: A+B = B +A.

3 La matriz nula es el elemento neutro.

4 Dada A = (aij), la matriz −A = (−aij) es su elemento opuesto.




Producto de un escalar por una matriz

Definicion

Dadas una matriz A = (aij) de orden m× n y un escalar λ ∈ R, se llamaproducto del escalar λ por A a la matriz λA = (λaij) de orden m× n.

PropiedadesPara cualesquiera que sean las matrices A y B del mismo orden m× n ypara cualesquiera escalares λ, µ ∈ R, se verifica

1 λ(A+B) = λA+ λB.

2 (λ+ µ)A = λA+ µA.

3 λ(µA) = (λµ)A.

4 1A = A.




Producto de matrices

Definicion

Dadas las matrices A = (aij) de orden m× n y B = (bij) de orden n× p,se llama producto de A por B a la matriz A ·B o AB de orden m× pcuyo elemento de lugar ij es

ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj =n∑

k=1

aikbkj .

Ejemplo

(1 -1 22 3 0

) 2 51 13 2

=

(1 · 2− 1 · 1 + 2 · 3 8

7 13

)




Producto de matrices. Propiedades

1 Asociativa: A(BC) = (AB)C, ∀A ∈Mm×n(R),∀B ∈Mn×p(R) y∀C ∈Mp×q(R).

2 NO conmutativa.

3 Siempre que los ordenes de las matrices permitan realizar lasoperaciones se verifica

A(B + C) = AB +AC y (B + C)D = BD + CD.

4 λ(AB) = (λA)B = A(λB), ∀A ∈Mm×n(R),∀B ∈Mn×p(R) y∀λ ∈ R.

5 Puede ser AB = (0) sin ser A = (0) o B = (0).

6 Dada A ∈Mm×n(R), se verifica A · In = Im ·A = A.La matriz identidad es el elemento neutro para el producto en elconjunto Mn(R).




Trasposicion de matrices

Definiciones

1 Dada una matriz A ∈Mm×n(R), se llama traspuesta de A a lamatriz At cuyo elemento de lugar ij es el elemento de lugar ji de A.

2 Una matriz A ∈Mn×n(R) es simetrica si coincide con su traspuesta(A = At) y es antisimetrica si coincide con la opuesta de sutraspuesta (A = −At).

Propiedades

1 (At)t = A, ∀A ∈Mm×n(R).

2 (A+B)t = At +Bt, ∀A,B ∈Mm×n(R).

3 (λA)t = λAt, ∀A ∈Mm×n(R) y ∀λ ∈ R.

4 (AC)t = CtAt, ∀A ∈Mm×n(R) y ∀C ∈Mn×p(R)


1. Matrices y vectores 1.2 Determinante y rango de matrices

Determinante de una matriz cuadrada

Definicion

El determinante de una matriz de orden 2 es el numero real obtenido de lasiguiente forma:

det

(a11 a12a21 a22

)=

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Definicion

La expresion del determinante de una matriz de orden 3 se conoce comoregla de Sarrus y es la siguiente:∣∣∣∣∣ a11 a12 a13

a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣ = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32−−a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33.



Desarrollo por los elementos de una fila o columna

NotaPara calcular el determinante de matrices cuadradas de orden superior a 3necesitamos introducir algunos conceptos previos.

Definicion

Dada una matriz cuadrada A ∈Mn×n(R), el menor complementario delelemento aij es el determinante de la matriz de orden n− 1, que resultade eliminar en la matriz A, la fila i-esima y la columna j-esima. Se denotapor Mij .

Definicion

El adjunto del elemento aij es el producto del menor complementario deaij por (−1)i+j . Se denota por Aij .



Desarrollo por los elementos de una fila o columna

Nota

1 El valor del determinante de una matriz cuadrada A coincide con lasuma de los productos de los elementos de una fila, o columna, porsus respectivos adjuntos.

fila i : |A| =n∑

k=1

aikAik columna j : |A| =n∑

k=1

akjAkj

2 La forma de escritura del determinante que aparece en la notaanterior se conoce como desarrollo del determinante por los elementosde esa fila, o columna.

Definicion

Dada una matriz cuadrada A, el numero real obtenido mediantedesarrollos sucesivos por los elementos de una fila o columna se denominadeterminante de A y se denota por det(A) o |A|.



Propiedades de los determinantes

1 det(A) = det(At), para cada matriz cuadrada A.

2 Si todos los elementos de una fila, o columna, estan multiplicados porun escalar, este puede salir multiplicando al determinante. Por tanto,se verifica

|α ·A| = αn · |A|, si A ∈Mn×n(R).

3 Si una matriz cuadrada tiene una fila, o columna, cuyos elementosson todos cero, entonces su determinante es cero.

4 Si se intercambian dos filas, o columnas, de una matriz cuadrada, sudeterminante cambia de signo.

5 Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas iguales, sudeterminante vale cero.

6 El determinante del producto de matrices cuadradas, es el productode los determinantes, es decir, |AB| = |A||B|.

7 El determinante de la suma NO es la suma de los determinantes.



Propiedades de los determinantes

1 Dada una matriz A = (aij) de orden m× n con filas F1, F2, . . . , Fm,se llama combinacion lineal de las filas i1, . . . , is a la filaλ1Fi1 + λ2Fi2 + · · ·+ λsFis de elementos

λ1ai11 + λ2ai21 + · · ·+ λsais1 . . . λ1ai1n + λ2ai2n + · · ·+ λsaisn

con λ1, λ2, . . . , λs ∈ R.

Si a una fila, o columna, de una matriz cuadrada, se le suma unacombinacion lineal de las otras, el valor de su determinante no varıa.

2 Si en una matriz cuadrada, una fila, o columna, es combinacion linealde las otras, su determinante es cero.



Rango de una matriz

Definicion

Dada una matriz A de orden m× n, se llama menor de orden p de A aldeterminante de una submatriz cuadrada de orden p de A.

Definicion

El rango de una matriz A de orden m× n es el orden del mayor menor nonulo de A. Se denota rg(A).

Teorema

Sea A ∈Mm×n(R). Considerando las filas de A como vectores de Rn ysus columnas como vectores de Rm, el rango de A coincide con el maximonumero de vectores fila linealmente independientes, y con el maximonumero de vectores columna linealmente independientes.



Rango de una matriz

Calculo del rango de una matriz como el orden del mayor menor nonuloEl procedimiento para calcular el rango de una matriz hallando el mayormenor no nulo es el siguiente:

1 Se elige un elemento no nulo. Si no existe, la matriz es la matriz nulay su rango es 0.

2 Se busca una submatriz de orden 2 que contenga el elemento anteriory cuyo determinante sea no nulo. Si no existe el rango es 1.

3 Se busca una submatriz de orden 3 que contenga (que orle) lasubmatriz anterior y cuyo determinante sea no nulo. Si no existe elrango es 2.

4 Y ası sucesivamente hasta que no sea posible encontrar una submatrizque orle la del paso anterior con determinante no nulo. En ese caso,el rango de la matriz corresponde al del ultimo menor no nulo hallado.



Rango de una matriz

Propiedades

1 El rango de una matriz coincide con el de su traspuesta.

2 El rango no varıa si a una fila o columna se le suma una combinacionlineal del resto.

3 El rango de una matriz no varıa si se suprime una fila que escombinacion lineal de las otras.

4 El rango de una matriz no varıa si una fila se multiplica por un escalarno nulo.

5 El rango de una matriz no varıa si se permutan dos filas entre sı.



Operaciones y matrices elementales

Definicion

Se llaman operaciones elementales en una matriz a las siguientes:

1 Permutar dos filas, o columnas.

2 Multiplicar por un escalar α ∈ R no nulo, los elementos de una fila, ocolumna.

3 Sumar a una fila, o columna, otra multiplicada por un escalar.



Matrices escalonadas y rango

Definicion

Una matriz se dice que esta en forma escalonada si el numero de cerosanteriores al primer elemento no nulo de cada fila, aumenta en cada fila.

NotaEl rango de una matriz escalonada coincide con el numero de filas conalgun elemento no nulo.

EjemploLa matriz

3 2 1 0 −1 20 1 0 −1 2 30 0 2 0 1 00 0 0 0 0 0

es una matriz escalonada y su rango es 3.



Algoritmo de eliminacion gaussiana

Nota Toda matriz se puede transformar en una matriz en formaescalonada mediante operaciones elementales. Una forma de hacerlo esmediante el algoritmo de eliminacion gaussiana.Ademas, teniendo en cuenta que las operaciones elementales no modificanel rango de una matriz, este procedimiento nos permite hallar el rango dela matriz de partida.

Algoritmo de eliminacion gaussiana

1 Permutar filas y/o columnas de modo que el elemento de lugar (1, 1)sea no nulo (si esto no es posible tenemos la matriz nula).

2 Hacer ceros los elementos de la primera columna debajo de este,sumando multiplos adecuados de la primera fila a las restantes.

3 Repetir el proceso con el elemento de lugar (2, 2), haciendo cero loselementos de la segunda columna debajo del de lugar (2, 2).

4 Continuar con los elementos de lugar (i, i) con i > 2 mientras existanelementos no nulos en las filas inferiores a la i.


1. Matrices y vectores 1.3 Matriz inversa

Inversa de una matriz cuadrada

Definiciones

1 Se dice que una matriz cuadrada es regular o inversible si poseeelemento inverso para el producto. A su elemento inverso se ledenomina matriz inversa de la de partida. La matriz inversa de lamatriz A se denota por A−1.

2 Una matriz cuadrada es ortogonal si es inversible y su inversa coincidecon su traspuesta (A−1 = At).

Propiedades de la matriz inversa1 La inversa de una matriz cuadrada, si existe es unica.2 Si A es una matriz cuadrada inversible, (A−1)−1 = A.3 Si A y B son matrices cuadradas inversibles, (A ·B)−1 = B−1 ·A−1.4 Si A y B son matrices cuadradas tales que AB = I, entonces son

inversibles y se verifica A−1 = B y B−1 = A.5 Si A es una matriz cuadrada e inversible se tiene (A−1)t = (At)−1.


1. Matrices y vectores 1.3 Matriz inversa

Calculo de la inversa

Definicion

Se llama matriz adjunta de una matriz cuadrada A a la matriz formadapor los adjuntos de los elementos de A. Se denota por Adj(A).

Teorema

Una matriz cuadrada A de orden n es inversible si y solo si |A| 6= 0.

Ademas, si es inversible, su inversa es A−1 =1

|A|Adj(A)t.

Calculo de la inversa de una matriz mediante operacioneselementalesDada una matriz cuadrada A, si mediante operaciones elementalesaplicadas a las filas y solo a las filas (o a las columnas, pero solo a lascolumnas), se obtiene la matriz identidad, entonces la matriz es inversible.Ademas su inversa es la matriz resultante de aplicar a la identidad lasoperaciones elementales aplicadas a la matriz A.


1. Matrices y vectores 1.4 Definicion y operaciones con vectores

Vectores

Definiciones

1 Un vector de Rn es una n-upla de numeros reales.Los vectores se suelen denotar con letras minusculas y con una flechao una raya encima, x = (x1, x2, . . . , xn).

2 Los numeros x1, x2, . . . , xn que definen el vector x = (x1, x2, . . . , xn)se llaman componentes o coordenadas del vector x.

3 El numero n se llama orden o dimension de x = (x1, x2, . . . , xn).



Operaciones con vectores

Suma de vectores

Definicion

Dados dos vectores x = (x1, x2, . . . , xn) e y = (y1, y2, . . . , yn) del mismoorden, se llama suma de x e y al vector

x+ y = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn).

PropiedadesPara cualesquiera que sean los vectores x, y y z del mismo orden se verifica

1 Asociativa: x+ (y + z) = (x+ y) + z.

2 Conmutativa: x+ y = y + x.

3 El vector nulo 0 = (0, 0, . . . , 0) es el elemento neutro.

4 Dado x = (x1, x2, . . . , xn), el vector −x = (−x1,−x2, . . . ,−xn) essu elemento opuesto.



Operaciones con vectores

Producto de un escalar por un vector

Definicion

Dados un vector x = (x1, x2, . . . , xn) y un escalar λ ∈ R, se llamaproducto del escalar λ por x al vector

λx = (λx1, λx2, . . . , λxn).

PropiedadesPara cualesquiera que sean los vectores x y y del mismo orden y paracualesquiera escalares λ, µ ∈ R, se verifica

1 λ(x+ y) = λx+ λy.

2 (λ+ µ)x = λx+ µx.

3 λ(µx) = (λµ)x.

4 1x = x.Dep. Economıa Aplicada (UVA) Matematicas I 2010-2011 27 / 32


El espacio vectorial Rn

Nota

El conjunto junto con las operaciones de suma de vectores y multiplicacionpor un escalar es un espacio vectorial.

Al hablar del espacio vectorial Rn, estamos empleando un concepto masamplio que no vamos a introducir formalmente. De hecho, el conjunto dematrices de orden m× n con las operaciones suma de matrices ymultiplicacion por un escalar (observense las propiedades que verifican lasoperaciones en uno y otro caso) tambien es un espacio vectorial.


1. Matrices y vectores 1.5 Combinaciones lineales. Dependencia e independencia lineales

Combinaciones lineales

Definicion

Dados los vectores u1, u2, . . . , um de Rn, se dice que un vector v de Rn escombinacion lineal de los vectores u1, u2, . . . , um, si existen escalaresλ1, λ2, . . . , λm en R tales que

v = λ1u1 + λ2u2 + · · ·+ λmum.

Los escalares λ1, λ2, . . . , λm son los coeficientes de la combinacion lineal.

Propiedad

El vector nulo es combinacion lineal de cualquier conjunto de vectores.



Dependencia e independencia lineales

Definiciones

1 Los vectores u1, u2, . . . , um de Rn son linealmente dependientes siuno de ellos es combinacion lineal del resto, o equivalentemente siexisten escalares λ1, λ2, . . . , λm en R, no todos nulos, tales que

0 = λ1u1 + λ2u2 + · · ·+ λmum.

2 Un sistema ligado es un conjunto de vectores linealmentedependientes.




Definiciones

1 Los vectores u1, u2, . . . , um son linealmente independientes si no sonlinealmente dependientes.En este caso, ninguno de ellos se puede escribir como combinacionlineal del resto y la unica forma posible de escribir el vector nulo comocombinacion lineal de esos vectores, es con todos los coeficientesnulos, es decir, si 0 = λ1u1 + λ2u2 + · · ·+ λmum, conλ1, . . . , λm ∈ R, entonces λ1 = · · · = λm = 0.

2 Un sistema libre es un conjunto de vectores linealmenteindependientes.




Propiedades

1 Un conjunto de vectores de Rn que contiene al 0 es ligado.

2 Si el conjunto de vectores {u1, u2, . . . , um, . . . , xp} es un sistemalibre, entonces {u1, u2, . . . , um} es un sistema libre.

3 Si el conjunto de vectores {u1, u2, . . . , um} es un sistema ligado,entonces{u1, u2, . . . , um, um+1, . . . , uq} es un sistema ligado.

Teorema

Sea A ∈Mm×n(IR). Considerando las filas de A como vectores de IRn ysus columnas como vectores de IRm, el rango de A coincide con elmaximo numero de vectores fila linealmente independientes, y con elmaximo numero de vectores columna linealmente independientes.


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