MATEMATICAS I MAT- 011 CUADERNO DEL ESTUDIANTE · PDF file27.Ejercicios: Trigonometria 78...

UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIADepartamento de Matematica

MATEMATICAS IMAT- 011

CUADERNO DEL ESTUDIANTE

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Prologo

Este cuaderno (en su segunda edicion) esta dirigido a los alumnos de la asignatura Matematicas I, Mat011, asignatura que se imparte para las carreras de Construccion Civil , Ingenierıa en Mecanica Industrial yen la carrera Ingenierıa Diseno y Productos, de la Universidad Tecnica Federico Santa Marıa.

La asignatura Mat 011, se divide fundamentalmente en una parte teorica (Clases expositivas) y unaparte practica ( Taller).

La estrategia didactica propuesta para las clases Teoricas es que cada tema a tratar sera abordado apartir de una situacion modelada ya sea para el desarrollo de las matematicas o de sus aplicaciones para laIngenierıa. En esta situacion o problema se identificaran los conocimientos de matematica necesarios parainiciar su tratamiento y resolucion y se revisaran y repasaran o complementaran en un estilo de ”justo atiempo”de modo que el alumno vea la pertinencia e importancia de los conocimientos matematicos paralograr solucionar y/o responder a las problematicas planteadas.

La metodologıa, sera una exposicion centrada en conceptos y procedimientos fundamentales, de modoque se orientara el aprendizaje identificando las claves sobre los cuales se estructura cada unidad. Esto dara alestudiante una vision global de las herramientas entregadas en la asignatura.

La clase es activa ya que requiere la participacion y el trabajo del estudiante. Se complementara contareas breves pero significativas y no rutinarias.

Para las clases de Taller, el estudiante utilizara este cuaderno, en donde con la supervision de unprofesor, el aplicara conceptos y metodos de los distintos contenidos ya entregados en la clase teorica y asipodra resolver los diferentes tipos problemas y aplicaciones en las paginas destinadas para ello.

Fundamentalmente lo que se pretende con esta metodologıa es ayudar al estudiante a seguir y entendermejor los contenidos de la asignatura, pues de esta forma se repasa lo explicado en las clases teoricas y ademasse ejercita, consiguiendo afianzar los conocimientos.

Agradecimientos.La primera edicion de este trabajo nacio con la idea y el aporte del Proyecto USM, DGIP 30.07.31. A losprofesores S. Alarcon , E. Hernandez y al ayudante del Departamento de Matematica P. Guzman, a todosellos por sus valiosos aportes en los temas introductorios, observaciones y correcciones.

Ivan Szanto Departamento de Matematica U.S.M 2009

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Indice

1. Numeros Reales 5

2. Potenciacion 5

3. Logaritmacion. Logaritmo de un numero real 9

4. Orden en los numeros reales 10

5. Conjuntos y operaciones sobre ellos 12

6. Logica simbolica 13

7. Numeros Naturales: Principio de induccion matematica 18

8. Ejercicios induccion 20

9. Sumatorias 21

10. Productorias. 21

11.Ejercicios Sumatorias y productorias. 23

12.Progresiones. 24

13.Ejercicios progresiones. 26

14. Teorema del Binomio 29

15. Ejercicios Binomio 32

16. Ejercicios varios 35

17.Ejercicios: Desigualdades 41

18.Ejercicios: Ecuaciones e Inecuaciones 45

19.Plano cartesiano, Rectas 51

20.Conicas 52

21.Ejercicios: Rectas y Conicas 53

22.Funciones de una variable real 58

23.Ejercicios: Funciones 60

24.Ejercicios: Modelacion 64

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25.Ejercicios: Funciones Polinomiales 71

26. Trigonometria 77

27.Ejercicios: Trigonometria 78

28.Ejercicios Numeros Complejos 104

29.Lımites y Continuidad 112

30.Ejercicios de Lımites 115

31.Continuidad 120

32.Ejercicios: Continuidad 122

33.Derivada 133

34.Regla de L‘Hopital 136

35.Teorema del valor medio 136

36.Ejercicios: Teorema del valor medio 138

37.Analisis del comportamiento de funciones 140

38.Construccion de graficas 141

39.Optimizacion 141

40.Ejercicios: Derivadas, Optimizacion 142

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1. Numeros Reales

Numeros Reales.Los numeros reales son familiares al lector. Son los numeros que se usan en forma comun en la mayorparte de las mediciones. La masa, la velocidad, la temperatura y la densidad de un cuerpo se expresanmediante numeros reales. Estos se pueden representar por desarrollos decimales finitos o infinitos; dehecho, todo numero real tiene un desarrollo decimal infinito, pues un desarrollo finito puede seguir conuna infinidad de ceros:

38 = 0, 375 = 0, 3750000000000 . . .

Cualquier decimal periodico, como

722 = 0, 3181818181818181818

representa un numero racional, dado como el cociente de dos enteros. Recıprocamente, todo numeroracional se representa mediante un desarrollo decimal periodico, como los que se muestran aquı. Eldesarrollo decimal de un numero irracional (un numero que no es racional), como por ejemplo

√2 = 1, 414213562 . . . o π = 3, 141592653589793 . . .

es infinito y no periodico.

En otras palabras, los numeros irracionales son todos aquellos numeros reales que no se pueden repre-sentar como una fraccion con numerador y denominador enteros, siendo el denominador distinto de 0.Es decir, los numeros irracionales son todos aquellos numeros reales que poseen infinitos decimales, loscuales no son periodicos ni semiperiodicos.

Otros ejemplos conocidos de numeros irracionales son

- El numero pi: π = 3, 1415926535897 . . .

- El numero exponencial: e = 2, 7182818284 . . .

- El numero aureo: Φ = 1, 6180339887498 . . .

2. Potenciacion

. Esta operacion parte en el contexto de los numeros naturales y corresponde a la multiplicacion de unmismo numero natural m, una cantidad n de veces; actualmente al numero m lo conocemos como basey al numero n como exponente. Estudiar el proceso inverso de esta operacion es bastante mas difıcilque en el caso de la adicion y la multiplicacion por una razon fundamental: en general, no se obtieneun mismo resultado si intercambiamos la base con el exponente. Esta falta de conmutatividad entre labase y el exponente nos permite vislumbrar que la potenciacion debe tener dos operaciones inversas:una relacionada con la base y la otra relacionada con el exponente. Estas nuevas operaciones son lasque nos permiten determinar muchısimos otros numeros reales que son irracionales.

Cuando estamos interesados en identificar la base de una potencia, nos enfrentamos a la siguienteinterrogante:

Sea n un numero natural y sea q un numero racional. ¿Que valor debe tener x para que se cumpla:xn = q?

Entonces surge la operacion radicacion, la cual nos permite concluir que x = n√

q. Sin embargo, estono es tan simple, pues la expresion n

√q define un numero real solo para adecuados valores de n y q.

Este concepto ahora se relaciona con el de potencia de exponente fraccionario.

En un sentido similar, cuando estamos interesados en identificar el exponente, nos enfrentamos a lasiguiente interrogante:

5


Sean a y b dos valores racionales. ¿Que valor debe tener x para que se cumpla: ax = b?

Entonces surge la operacion logaritmacion y obtenemos x = loga b. Nuevamente este asunto no estan simple pues la expresion loga b define un numero real solo para valores adecuados de a y b, donde ase llama base del logaritmo y b se llama argumento del logaritmo. Finalmente, extendemos el conceptode potencia considerando su base y su exponente real, y el de logaritmo considerando su base y suargumento real.

Sin embargo, antes de comenzar nuestro estudio sobre las dos ultimas operaciones antes mencionadas(con el afan de obtener mas numeros irracionales) es conveniente senalar que historicamente los numerosy operaciones entre ellos surgieron de acuerdo a las necesidades que existıan en determinadas epocas yno necesariamente en el orden que hemos planteado anteriormente. Sabemos que los primeros numerosconocidos, incluso en la pre-historia, fueron los naturales, usados basicamente para contar o enumerar.Existen antecedentes que alrededor del ano 2300 A.C. los sumerios poseıan una forma de organizar losnumeros, el sistema sexagesimal, y que para alrededor del 2000 A.C. los babilonios ya operaban con lascuatro operaciones elementales entre numeros naturales, e incluso habıan desarrollado el concepto decuadrado y cubo de un numero. Los egipcios, alrededor del ano 1800 A.C. introdujeron las fraccionesentre naturales con numerador igual a la unidad, salvo algunas excepciones; concepto desarrollado porlos griegos. Los egipcios tambien introdujeron en su simbologıa, quizas de una forma intuitiva, el sistemade numeracion decimal y aparentemente tambien habıan desarrollado el concepto del cero. Algunosejemplos de numeros no racionales fueron introducidas por los griegos alrededor del ano 500 A.C.;segun la tradicion griega, por esos anos Hipaso de Metaponto, un discıpulo de Pitagoras, descubrio elafamado Teorema de Pitagoras (quedo con ese nombre pues el era un miembro de la Escuela Pitagorica);y como consecuencia de esto, descubrio que

√2 no era un numero racional. Como Pitagoras no estaba de

acuerdo con la aparicion de numeros de estas caracterısticas, intento rebatir los argumentos de Hipasocon el uso de la logica. La molestia de Pitagoras se producıa porque el numero

√2 “ensuciaba”la

perfeccion de los numeros racionales, por lo que no deberıa existir. Hipaso fue entonces expulsado de laEscuela Pitagorica donde se construyo una tumba con su nombre, mostrando ası que para los pitagoricosel estaba muerto. Pero para nuestra sorpresa aun no se conocıan los numeros negativos. De hecho, lossiguientes hitos historicos acerca de los numeros ya son parte de la era cristiana. Existen antecedentesde que fueron los indios quienes introdujeron los numeros enteros negativos y el cero de manera masformal recien alrededor del ano 600, pero esto no se conocerıa en el mundo occidental sino hasta el sigloX cuando los arabes, quienes complementaron sus conocimientos matematicos con los de los indios,los introdujeron a Europa durante su invasion Espana. De hecho, formalmente esto ocurrio gracias aFibonacci en su libro Liber abaci publicado el ano 1202. A esas alturas tambien se conocıa el conceptode potencia de un numero, el cual hacia finales del siglo XIII habıa extendido su uso considerando labase positiva en Q y el exponente en N y en un grado similar se habıa estudiado el concepto de raızn-esima de un numero racional positivo. Fue el profesor parisino Nicole Oresmes en el siglo XIV, quienextendio el concepto de radicacion a potencias con exponente fraccionario; uniendo de esta forma estosdos conceptos. El concepto de logaritmo fue introducido por John Neper el ano 1614, en su obra tituladaCanonis mirifici logarithmorum descriptio, aunque hay quienes sugieren que el primero en usarlos fueJoost Burgi, un matematico y relojero suizo contemporaneo a Neper. Con la introduccion de las raıcesy los logaritmos quedo claro que habıan muchos numeros reales no racionales, ası que ya era momentode ordenar todos los conocimientos. Los numeros reales (R), tal como los conocemos hoy, es historiabastante mas reciente, al igual que la concepcion de las operaciones potenciacion y logaritmacion en R.

Radicacion. Raız n-esima de un numero real

Raız cuadrada de un numero real

Definicion 2.1. La raız cuadrada de un numero real a existe en R y se denota por√

a, si existe unnumero real b tal que el cuadrado de b es igual a a. Es decir:

√a = b ⇔ b2 = a

Observacion 2.1. De acuerdo a la definicion, no todo numero real tiene raız cuadrada. En efecto,para que

√a tenga sentido en R, a debe ser mayor o igual que cero.

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Algunas raıces cuadradas elementales√

0 = 0 pues 02 = 0 ;√

49 = 7 pues 72 = 49 ;√

196 = 14 pues 142 = 196;√

1 = 1 pues 12 = 1 ;√

64 = 8 pues 82 = 64 ;√

225 = 15 pues 152 = 225;√

4 = 2 pues 22 = 4 ;√

81 = 9 pues 92 = 81 ;√

256 = 16 pues 162 = 256;√

9 = 3 pues 32 = 9 ;√

100 = 10 pues 102 = 100;√

289 = 17 pues 172 = 289;√

16 = 4 pues 42 = 16 ;√

121 = 11 pues 112 = 121;√

324 = 18 pues 182 = 324;√

25 = 5 pues 52 = 25 ;√

144 = 12 pues 122 = 144;√

361 = 19 pues 192 = 361;√

36 = 6 pues 62 = 36 ;√

169 = 13 pues 132 = 169;√

400 = 20 pues 202 = 400

Observacion 2.2. La raız cuadrada de un numero negativo no esta definida, por lo tanto no es unnumero irracional y tampoco un racional.

Otros numeros irracionales

I Todas las raıces cuadradas no exactas son numeros irracionales. Por ejemplo:√

2 = 1, 414213562 . . .√

3 = 1, 732050808 . . .√

5 = 2, 236067977 . . .

I Las operaciones entre un racional y un irracional, salvo la multiplicacion y/o divisionpor cero, producen un irracional. Por ejemplo:

−2√

3 ∈ I√

25∈ I

23π

∈ I 5 + π ∈ I15e− 2

3∈ I.

Observacion 2.3. No siempre las operaciones entre numeros irracionales corresponden a un irracional.Por ejemplo: √

2 ∈ I ∧√

8 ∈ I, pero√

2 ·√

8 =√

16 = 4 /∈ I

Observacion 2.4. El sımbolo √ es una variante de la letra r correspondiente a la inicial dela palabra, en latın, radix que significa es nuestra lengua raız. Este sımbolo es el que se asocia a laoperacion radicacion. En el siglo XVI usaban la letra mayuscula R y le agregaban q para quadratus ouna c para cubus, que era extraer raız cuadrada o raız cubica, ası por ejemplo R.q4372 era

√4372.

Raız cubica de un numero real.

Para tener mas ejemplos de numeros irracionales, introducimos aquı el concepto de raızcubica de un numero.

Definicion 2.2. La raız cubica de un numero real a existe en R y se denota por 3√

a, si existe unnumero real b tal que el cubo de b es igual a a. Es decir:

3√

a = b ⇔ b3 = a

Observacion 2.5.

I Recordemos que en una raız cuadrada la cantidad subradical (la cantidad numericabajo la raız) NO puede ser negativa. Por ejemplo:

√−4 /∈ IR, pues no hay numeros reales cuyo cuadrado sea − 4,

(De hecho todo numero real al cuadrado es mayor o igual a cero gracias a la regla de los signos puesestamos multiplicando un numero por sı mismo; esto es x · x ≥ 0, ∀x ∈ IR).

I Cuando se trata de una raız cubica la situacion es diferente. Ahora todo numero real posee raızcubica, esto se debe nuevamente a la regla de los signos. Por ejemplo:

3√−8 = −2 ∈ IR, pues (−2)3 = −8.

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Algunas raıces cubicas elementales

3√

1 = 1 pues 13 = 1 ; 3√

216 = 6 pues 63 = 216 ;3√

8 = 2 pues 23 = 8 ; 3√

343 = 7 pues 73 = 343 ;3√

27 = 3 pues 33 = 27 ; 3√

512 = 8 pues 83 = 512 ;3√

64 = 4 pues 43 = 64 ; 3√

729 = 9 pues 93 = 729 ;3√

125 = 5 pues 53 = 125 ; 3√

1000 = 10 pues 103 = 1000.

Raız n-esima de un numero real y sus propiedades.Los conceptos de raız cuadrada y raız cubica se pueden extender al de raız de ındice n, obien raız n-esima de un numero real como sigue:

Definicion 2.3. Sea a,∈ IR y sea n un numero natural. Entonces, decimos que la raız n-esima delnumero real a existe en R y se denota por n

√a, si existe un numero real b tal que la n-esima potencia

de b es igual a a. Es decir:n√

a = b ⇔ bn = a

Observacion 2.6. Las raıces de ındice par no estan definidas en IR si a < 0; mientras que las raıcesde ındice impar estan definidas en IR para todo a ∈ IR.

Sean n y m dos numeros naturales, y sean a y b dos numeros reales. Asumamos que existenen R: n

√a, n√

b, m√

a, m√

b, n√

ab, n√

ab , n√

anb, n√

m√

a y nm√

a. Entonces:

a. n√

0 = 0

b. n√

1 = 1

c. n√

a · n√

b = n√

ab

ch.n√

an√

b= n√

ab si b 6= 0

d. n√

a · m√

a = mn√

an+m

e.n√

am√

a= mn

√a

m−n

f. n√

m√

a = nm√

a

g. a n√

b = n√

anb

Prioridad en la operatoria1o) Parentesis

2o) Potencias y/o Raıces

3o) Productos y/o Cuocientes

4o) Sumas y/o Restas Potencias de exponente racional.Sea a un numero real y sean p un numero entero y n un numero natural tales que p y nno poseen factores comunes. Si n

√a ∈ R, definimos:

apn = n

√a

p.

Con esta definicion, se comprueba facilmente que las potencias de exponente fraccionariocumplen las mismas propiedades de las potencias de exponente entero. Mas aun, ahora to-das las raıces n-esimas se pueden interpretar como potencias y extender las potencias debase real y exponente fraccionario a exponentes que tambien son reales. Propiedadesde la raız n-esima de un numero real Sean p y q dos numeros enteros, sean n y mdos numeros naturales, y sean a y b dos numeros reales. Asumamos que existen en R:n√

a, n√

b, m√

a, m√

b, n√

ab, n√

ab , n√

anb, n√

m√

a y nm√

a. Entonces:

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a. 0pn = 0

b. 1qm = 1

c. apn b

pn = (ab)

pn

ch. apn

bpn

=(

ab

) pn si b 6= 0

d. apn · a

qm = a

mp+nqmn

e. apn

aqm

= amp−nq

mn

f.(a

pn

) qm = a

pqmn .

3. Logaritmacion. Logaritmo de un numero real

Definicion 3.1. Sean a y p dos numeros reales positivos, a 6= 1. El logaritmo en base a de p existe enR y se denota por loga p, si existe un numero real r tal que ar es igual a p. Es decir:

loga p = r ⇔ ar = p.

El numero real positivo p se llama argumento del logaritmo.

Observacion 3.1. Es usual usar la siguiente notacion

log10 p = log p

yloge p = ln p

conocido como logaritmo natural.

La definicion de logaritmo nos permite establecer una relacion de reciprocidad con lade potencia. De esta forma, para estudiar las propiedades que verifican los logaritmospodemos hacerlo mediante las propiedades de las potencias.

Propiedades de los logaritmos

Sean a, b y c numeros reales positivos distintos de 1, sean p y q numeros reales positivosy sea r un numero real. Entonces:

a. loga 1 = 0

b. loga a = 1

c. loga pq = loga p + loga q

ch. logapq = loga p− loga q si b 6= 0

d. loga pr = r loga p

e. loga b = logc alogc b

f. aloga p = p

g. loga p = − log 1a

p

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4. Orden en los numeros reales

La interpretacion geometrica de los numeros reales como puntos en la recta real (o rectanumerica real R) tambien debe serle familiar. Cada numero real es representado precisa-mente por un punto de R, y cada punto de R representa precisamente un numero real.Por convencion, los numeros positivos estan a la derecha del cero y los numeros negativosa la izquierda.

• Si a es un numero positivo, este se denota como a > 0

• Si a es un numero negativo, este se denota como a < 0

• Si a es un numero no positivo, este se denota como a ≤ 0

• Si a es un numero no negativo, este se denota como a ≥ 0

Las propiedades siguientes de las desigualdades de numeros reales son fundamentales y seusan con frecuencia:

Si a < b y b < c, entonces a < c.

Si a < b , entonces a + c < b + c.

Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.

Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.

(1)

Las ultimas dos proposiciones significan que una desigualdad se preserva cuando sus miem-bros se multiplican por un numero positivo, pero se invierte cuando se multiplican porun numero negativo.

Valor Absoluto.La distancia (que es no negativa) en la recta real entre cero y el numero real a es el valorabsoluto de a, que se escribe |a|. En forma equivalente,

|a| ={

a si a ≥ 0−a si a < 0 (2)

La notacion a ≥ 0 significa que a es mayor que cero o igual a cero. La ecuacion (2) implicaque |a| ≥ 0 para todo numero real a y que |a| = 0 si y solo si a = 0

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Las propiedades siguientes de los valores absolutos se usan con frecuencia:

|a| = | − a| =√

a2 ≥ 0,

|a|2 = a2,

|ab| = |a||b|,

|ab | =|a||b| , b 6= 0

|a| < b si y solo si − b < a < b.

−|a| ≤ a ≤ |a| y

|a| > b, si y solo si a > b, o a < −b

(3)

La distancia entre los numeros reales a y b se define como d(a, b) = |a− b| como d(a, b) =d(b, a) se tiene |a− b| = |b− a|. Esta distancia es simplemente la longitud del segmento derecta de la recta real R con extremos a y b.

Las propiedades de las desigualdades y de valores absolutos en las ecuaciones (1) a (3)implican el siguiente e importante teorema.

Teorema 1 (Desigualdad del triangulo). Para todos los numeros reales a y b,

|a + b| ≤ |a|+ |b| (4)

Intervalos.Supongamos que S es un conjunto (coleccion o reunion ) de numeros reales. Es comundescribir S mediante la notacion

S = {x : condicion}

donde la ”condicion” es verdadera para todos los numeros x en S y falsa para todos losnumeros x que no estan en S. Los conjuntos mas importantes de numeros reales en calculoson los intervalos. Si a < b, entonces el intervalo abierto (a, b) se define como el conjunto

(a, b) = {x : a < x < b}

de numeros reales, y el intervalo cerrado [a, b] es

[a, b] = {x : a ≤ x ≤ b}.

Ası, un intervalo cerrado contiene a sus extremos, mientras que un intervalos abierto no.Tambien usaremos los intervalos semiabiertos

[a, b) = {x : a ≤ x < b} y (a, b] = {x : a < x ≤ b}

Ası, el intervalo abierto (1, 3) es el conjunto de aquellos numeros reales x tales que 1 < x < 3,el intervalo cerrado [−1, 2] es el conjunto de numeros reales x tales que −1 ≤ x ≤ 2 y elintervalo semiabierto [−1, 2) es el conjunto de numeros reales x tales que −1 ≤ x < 2.

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Tambien existen intervalos no acotados, que tienen formas tales como

[a,∞) = {x : x ≥ a},

(−∞, a] = {x : x ≤ a},

(a,∞) = {x : x > a} y

(−∞, a) = {x : x < a}.

El sımbolo ∞, que denota infinito, es simplemente una convencion de notacion y no rep-resenta a un numero real; la recta real R no tiene ”extremos en infinito”.

5. Conjuntos y operaciones sobre ellos

Por conjunto ya entendemos como cualquier totalidad de objetos, llamados elementos delconjunto.

Los conjuntos notables de Numeros que vamos a utilizar en cada momento son

• N, Numeros Naturales.• N0, Numeros Naturales y el cero.• Z+, Numeros Enteros positivos (Igual al conjunto N ).• Z−, Numeros Enteros negativos.• Z, Numeros Enteros.• Q, Numeros Racionales.• I, Numeros Irracionales.• R, Numeros Reales.• C, Numeros Complejos.

La notacion a ∈ A significa que el objeto a es un elemento del conjunto A (pertenece alconjunto A); en el caso contrario se escribe a 6∈ A. Un conjunto que no contiene ningunelemento, se denomina vacıo y se designa por el sımbolo φ. la notacion A ⊂ B (A esta con-tenido en B) quiere decir que todo elemento del conjunto A es un elemento del conjuntoB pero en ningun caso A es igual a B, y de esta forma el conjunto A lleva el nombre desubconjunto propio del conjunto B.Los conjuntos A y B se llaman iguales (A = B), si A ⊂ B y B ⊂ A.Nota: A ⊆ B quiere decir que todo elemento del conjunto A es un elemento del conjuntoB; en este caso el conjunto A lleva el nombre de subconjunto del conjunto B, quedan-do la posibilidad de que los conjuntos A y B sean iguales. Antiguamente, se denotabaA ⊂ B, como A $ B

Existen dos formas para definir (escribir) los conjuntos.

a) El conjunto A se determina por enumeracion directa de todos sus elementos a1, a2, . . . , an,es decir, se escribe en la forma:

A = {a1, a2, . . . , an}.

b) El conjunto A se determina como una totalidad de aquellos, y solo de aquellos, ele-mentos de cierto conjunto basico T , que poseen la propiedad comun α. En este casose emplea la designacion

A = {x ∈ T | α(x)}Donde la notacion α(x) significa que el elemento x posee la propiedad α.

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Se llama union de los conjuntos A y B el conjunto

A ∪B = {x | x ∈ A o x ∈ B}.

Se llama interseccion de los conjuntos A y B el conjunto

A ∩B = {x | x ∈ A y x ∈ B}.

Se llama diferencia de los conjuntos A y B el conjunto

A\B = {x | x ∈ A y x 6∈ B}.

Si, en particular, A es un subconjunto de cierto conjunto universal T , entonces la diferenciaT\A se designa por el sımbolo A o Ac y se denomina complemento del conjunto A (hastaque se obtenga el conjunto T ).

Como propiedad importante se tienen la Ley de Morgan

(A ∪B)c = Ac ∩Bc

(A ∩B)c = Ac ∪Bc

Un conjunto X se denomina numerable, si puede establecerse correspondencia biunıvocaentre los elementos del conjunto mencionado y los del conjunto N de todos los numerosnaturales.

Cotas superiores e inferiores.

Sea X un conjunto arbitrario no vacıo de numeros reales. El numero M = max X sedenomina elemento mayor (maximal) del conjunto X, si M ∈ X y para todo x ∈ X severifica la desigualdad x ≤ M. Analogamente se determina el concepto de elemento menor(minimal) m = mın X del conjunto X.

El conjunto X se llama acotado superiormente, si existe un numero real a tal que x ≤ apara cualquier x ∈ X. Todo numero que posee dicha propiedad lleva el nombre de cotasuperior del conjunto X. Para el conjunto dado X acotado superiormente, el conjunto detodas sus cotas superiores tiene un elemento menor, que se denomina Supremo o cotasuperior mınima del conjunto X y se designa mediante el sımbolo Sup X.

Analogamente se determinan los conceptos de conjunto acotado inferiormente, de cotainferior y de cota inferior maxima o Infimo del conjunto X; esta ultima se designamediante el sımbolo Inf X.

El conjunto X se denomina acotado, si esta acotado superior e inferiormente.

6. Logica simbolica

Al anotar los razonamientos matematicos resulta razonable aplicar ciertos sımbolos economi-cos usados en la logica. He aquı algunos sımbolos de los mas sencillos utilizados con mayorfrecuencia.

Sean α y β ciertas declaraciones y afirmaciones o bien proposiciones es decir, oracionesnarratorias, con respecto a cada una de las cuales podemos decir si es cierta o falsa.

La notacion α significa �no α�, es decir, negacion de la afirmacion α.

La notacion α ⇒ β significa: � de la afirmacion α resulta la afirmacion β � (⇒ es elsımbolo de implicacion).

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La notacion α ⇔ β significa : � la afirmacion α es equivalente a la afirmacion β �, esdecir, de α proviene β y de β se deduce α (⇔ es el sımbolo de equivalencia).

La notacion α ∧ β significa � α y β � (∧ es el sımbolo de conjuncion).

La notacion α ∨ β significa � α o β � o ambos (∨ es el sımbolo de disyuncion).

La notacion α Y β significa � α o β � pero no ambos (Y es el sımbolo de disyuncionexclusiva).

La notacion∀x ∈ Xα(x)

significa: � para todo elemento x ∈ X la afirmacion α(x) es verıdica� (∀ es el cuantificadoruniversal).

La notacion∃x ∈ Xα(x)

significa: �existe tal elemento x ∈ X, para el cual la afirmacion α(x) es verıdica� (∃ es elcuantificador existencial).

Si un elemento x ∈ X, para el cual la afirmacion α(x) es verıdica no solo existe, sino quees unico, se describe:

∃!x ∈ Xα(x).

Diferentes tipos de Teoremas y su relacion recıproca.

Por regla general en las matematicas los teoremas se enuncian ( o pueden ser enunciados) en la forma siguiente:Para cada elemento x del conjunto U a partir de la proposicion p(x) se deduce la proposicionq(x).Ejemplo:U = N, p(x) : x es un numero impar.Deduzca q(x) : x2 es un numero impar.Al utilizar las designaciones anteriores, cada teorema de este tipo se puede escribir como:

(∀x) (p(x) ⇒ q(x)), x ∈ U

La proposicion p(x) se llama supuesto o hipotesis del teorema y la proposicion q(x) con-clusion o tesis del teorema.Al enunciar los teoremas se utilizan frecuentemente los terminos suficiente, necesario,nesesario y suficiente. Vamos a aclarar el sentido de estos terminos.Si el teorema p(x) ⇒ q(x) es cierto, entonces la hipotesis del teorema p(x) se llama condi-cion suficiente para la conclusion de q(x) y la conclusion del teorema q(x) se denominacondicion necesaria para p(x).Ejemplo.Si un cuadrilatero es un rectangulo, sus diagonales son congruentes. Este teorema es cier-to y, por lo tanto, el supuesto del teorema es la condicion suficiente para la conclusion,o sea, para que las diagonales de un cuadrilatero sean congruentes es suficiente que elcuadrilatero sea rectangulo.La conclusion de este teorema es la condicion necesaria para la hipotesis del teorema,o sea, para que un cuadrilatero sea un rectangulo, es necesario que las diagonales delcuadrilatero sean congruentes.Si es valido no solamente el teorema p(x) ⇒ q(x) si no el recıproco a este q(x) ⇒ p(x), en-tonces p(x) es la condicion, necesaria y suficiente para q(x), mientras q(x) es la condicion,necesaria y suficientepara p(x).Definicion.

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Los teoremas p(x) ⇒ q(x) y p(x) ⇒ q(x) se llaman contrarios.De las definiciones y razonamientos precedentes se desprende que para cada teoremap(x) ⇒ q(x) se pueden enunciar tres teoremas mas.El recıproco

q(x) ⇒ p(x)

El contrariop(x) ⇒ q(x)

El contrario al recıprocoq(x) ⇒ p(x).

Consideremos a continuacion el teoremaSi un cuadrilatero es un rombo, sus diagonales son mutuamente perpendiculares, ( el teo-rema es cierto). Entonces los tres teoremas indicados se enuncian ası.Recıproco: Si las diagonales de un cuadrilatero son mutuamente perpendiculares, estecuadrilatero es un rombo( el teorema es falso)Contrario: Si un cuadrilatero no es un rombo, sus diagonales no son perpendiculares (elteorema es falso)Contrario al recıproco: si las diagonales de un cuadrilatero no son mutuamente perpen-diculares, el cuadrilatero no es un rombo ( el teorema es cierto)En el ejemplo anterior los teoremas directo y contrario al recıproco son verdaderos ylos teoremas recıproco y contrario son falsos. Esta coincidencia no es casual. Entre estoscuatros tipos de teorema existe una relacion recıproca estrecha, a saber:

a.- Los teoremasp(x) ⇒ q(x), y q(x) ⇒ p(x)

es decir el directo y el contrario al recıproco, son simultaneamente verdaderos o falsos.

b.- Los teoremasq(x) ⇒ p(x), y p(x) ⇒ q(x)

o sea, el recıproco y el contrario tambiem son a la vez verdaderos o falsos.De aquı se deduce que no se necesita demostrar todos los cuatros teoremas. A veces,la demostracion del teorema directo esta vinculada con alguna dificultad, en talescasos conviene tratar de demostrar el teorema contrario al recıproco.

1. Sustituir los puntos suspensivos para las palabras es suficiente, es necesario, esnecesario y suficiente de modo que se obtengan las afirmaciones verdaderas.i).-Para ganar en la loterıa, ....... tener al menos un billete de loterıa.ii).-Para que la suma de dos numeros reales sea un numero racional .......... quecada sumando sea un numero racional.iii).-Para que un triangulo sea isoceles.......... que los angulos de la base seancongruentes.

2. Determine cuales de los siguientes teoremas son mutuamente recıprocos, contrar-ios, contrarios a los recıprocos y cuales de estos teoremas son verdaderos. i).- Sila suma de las cifras de un numero natural se divide por 3, este numero tambiense divide por 3. ii).-Si cada uno de dos numeros naturales se divide exactamentepor 7, su suma se divide por 7.iii).- Si ninguno de dos numeros se divide exactamente por 7, entonces su sumatampoco se divide por 7.iv).- Si en un cuadrilatero se puede inscribir la circunferencia, este cuadrilateroes un rombo.v).- Si existe un numero x para el cual el polinomio x2 +px+q tome valor negativo,la ecuacion cuadratica x2 + px + q = 0 tiene dos raıces positivas.

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3. Sustituir los puntos suspensivos para las palabras es necesario y suficiente, esnecesario pero no suficiente, es suficiente pero no necesario de modo que seobtengan las afirmaciones verdaderas.i).-Si un polıgono es un cuadrilatero, .......la suma de sus angulos interiores esigual a 360o.ii).-Para que la ecuacion x2 − 2x + q = 0 tenga dos raıces positivas ............ que secumpla la condicion q > 0.iii).- Si un paralelogramo es rectangulo, entonces alrededor de el se puede circun-scribir la circunferencia.iv).- Si U = N, p(x) : x2 es un numero impar.Deduzca q(x) : x es un numero impar.

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4. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}. Determine el valor de verdad de las siguientes expresionesdadas en el universo A

i) (∀x)(∃y)(x + y ≤ 6)ii) (∃x)(∀y)(x + 1 ≥ y)

5. Pruebe utilizando tautologias: (p ∨ r) ∧ (q ∧ r) ⇐⇒ r =⇒ (p ∧ q)

6. Demuestre que si A y B son subconjuntos de U , entonces A⋂

Bc = A si y solamentesi A

⋂B = ø

7. Determine si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones (En caso de serfalsa, encuentre un contra ejemplo, y si es verdadera demuestrela).

a) Si A ∩B = A ∧ C =⇒ B = C

b) Si A ∩B = ø =⇒ (A−B) ∪ (B −A) = A ∪B

c) Si (ø− U)⋃

(U − ø) = (ø−A)⋃

(A− ø) =⇒ U = A

d) |A ∪Bc|+ |A ∩Bc| = |A|+ |Bc|

8. En la clase de educacion fısica se inscribieron 200 estudiantes; se les pregunto siquerıan trotar o nadar como unicas dos alternativas. Decidieron trotar 85 deellos, 60 tambien aceptaron nadar. En total ¿Cuantos tomaron natacion pero noaceptaron trotar?.

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7. Numeros Naturales: Principio de induccion matematica

El metodo deductivo , muy usado en matematica, obedece a la siguiente idea: “ Apartir de un cierto conjuntos de axiomas aceptados sin demostracion y de reglaslogicas no contradictorias , se deducen otros enunciados llamados teoremas.Otro metodo para demostrar resultados generales que dependen en algun sentidode los numeros naturales es conocido con el nombre de Induccion Matematica .La dependencia de los numeros naturales significa: se sabe que una determina-da afirmacion es verdadera para algunos casos particulares y surge la pregunta.¿ Dicha afirmacion sigue siendo verdadera para los infinitos numeros naturalesrestante ?.Existen muchas afirmaciones que solo son validas para un numero finito de casosy en consecuencia son falsas para un numero infinitos de situaciones. Sin embargopodemos encontrar proposiciones (afirmaciones) que son verdaderas solo a partirde un cierto numero natural n0, de ser asi, la tecnica que se desarrollaremos sellama Induccion Incompleta. Para demostrar que una proposicion p(n) ,∀n ∈ M ⊆N, es verdadera es necesario comprobar la validez de ella para todos los elementosdel conjunto M . En el caso en que M= N, diremos que es una Induccion Completa.Si se requiere demostrar la falsedad de una cierta proposicion p(n),∀n ∈ M ⊆ N, essuficiente indicar un elemento particular m ∈ M de manera que p(m) sea falsa.( Construccion de un contra ejemplo).Ejemplo:(Ejemplo dado por Leonhard Euler (1707-1783)Consideremos el polinomio cuadratico p(n) = n2 + n + 41 y determinemos su valorpara ciertos n ∈ N

n : 1 2 3 4 5 6 7 8n2 + n + 41 : 43 47 53 61 71 83 97 113

Notese que todos los numeros que se obtienen son primos. Se podrıa esperar queeste polinomio cuadratico continua generando numeros primos. Desafortunada-mente no es asi, para n = 40, se tiene 1681 = 412, que no es un numero primo,luego la proposicion ∀n ∈ N, n2 + n + 41, es un numero primo es falsa.

Principio de induccion Matematica.

Una proposicion p(n) es verdadera para todos los valores de la variable n si secumplen las siguientes condiciones :

Paso 1.- La proposicion p(n) es verdadera para n = 1 , o bien, p(1) es verdadera.Paso 2.- Hipotesis de Induccion . Se supone que p(k) es verdadera , donde k es un

numero natural calesquiera.Paso 3.- Tesis de Induccion. Se demuestra que p(k + 1) es verdadera, o bien,

p(k) verdadera ⇒ p(k + 1) verdadera.

La tecnica de Induccion Matematica consiste en los tres pasos anteriores. Si senecesita demostrar la validez de una proposicion p(n) para todos los valores nat-urales n, entonces es suficiente que se cumplan: Paso 1, Paso 2 y Paso 3 .Ejercicios resueltos.

i.-) Determine un contra ejemplo para la siguiente proposicion ( Conjetura errada deIsaac Newton 1642-1727)

∀n ∈ N , 11n = a0a1a2...an donde los dıgitos estan dados por:

aj =(

nj

)= n!

(n−j)!j! , j = 0, 1, 2, 3...n con 0! = 1, n! = 1 ·2 ·3 ·4...n. Es facil demostrar

18


que la proposicion es verdadera para n = 0, 1, 2, 3, 4. Sin embargo, para n = 5 laproposicion no se cumple dado que 115 6= 15101051.

ii.-) Pruebe que para todo numero natural n > 1 , el ultimo dıgito del numero 22n

+ 1es 7.Demostracion.Denotando por p(n) la proposicion a demostrar, podemos observar que para n =2, 222

+ 1 = 17 y la proposicion es verdadera.Nuestra hipotesis inductiva es para n = k, es decir aceptamos que el ultimo dıgitode 22k

+ 1 es 7.Tesis: Por demostrar que el ultimo dıgito de 22k+1

+ 1 es 7Notando que 22k+1

+ 1 = (22k

+ 1)2 − 2(22k

+ 1) + 2 podemos concluir con la ayudade la hipotesis inductiva que el ultimo dıgito de (22k

+ 1)2 es 9, el ultimo dıgito de2(22k

+ 1) es 4 que luego al restarlos y sumarle 2, se demuestra la proposicion.

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8. Ejercicios induccion

Demuestre por induccion las siguientes igualdades:

◦ 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)2

◦ 12 − 22 + 32 − 42 + ... + (−1)n−1n2 = (−1)n−1 n(n+1)2

◦ (1− 14 )(1− 1

9 ) · · · (1− 1(n+1)2 ) = n+2

2n+2

◦ Para todo natural n, demuestre que an = 22n − 1, es divisible por b = 3◦ Considere la sucesion 1, 5, 85, 21845, ..., definida por

c1 = 1, c2 = c1(3c1 + 2), ...., cn+1 = cn(3cn + 2), ...

Pruebe que para todo entero n positivo, cn = 42n−1

3

◦ Pruebe que el numero de diagonales de un n-polıgono convexo es igual an(n−3)

2 .

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9. Sumatorias

El sımbolo Σ se llama Sigma en el alfabeto griego y en Espanol corresponde a laletra S. Es natural usar este sımbolo para referirse a la idea de Suma, o bien ,Sumatoria.Con el sımbolo Σi2, se desea indicar la suma de los terminos de la forma i2 paravarios valores enteros de i. El rango para estos valores enteros se indica en la parteinferior y superior respectivamente de Σ. Por ejemplo en la forma

n∑i=1

i2 = 12 + 22 + ... + n2

o bien, en la forma∑n

i=1 i2 = 12 + 22 + ... + n2.El numero de terminos que tiene una suma

∑n2j=n1

h(j) , n2 ≥ n1 siempre es iguala n2 − n1 + 1. Por otro lado las sumas no necesariamente deben comenzar desde1 y cualquier letra como un contador puede ser usada.Finalmente cualquier funcion f(i) puede ser utilizada en lugar de i2, es decir

f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(n) + f(n + 1) =n+1∑j=2

f(j)

Propiedades.A continuacion se dan las principales propiedades de la sumatoria:

a)∑m

k=j 1 = m− j, m ≥ j

b)∑n+1

k=0 ak = an+1 +∑n

k=0 ak

c)∑n

k=1 ak + bk =∑n

k=1 ak +∑n

k=1 bk

ch)∑n

k=1 cak = c∑n

k=1 ak, c constanted)

∑nk=1 c = nc, c constante

e)∑n

k=1 ak =∑j

k=1 ak +∑n

k=j+1 ak

f)∑n

k=1 ak − ak−1 = an − a0 (Propiedad Telescopica)g)

∑mk=n ak − ak−1 = am − an−1 m ≥ n

h)∑m

k=n ak−j − ak−j−1 = am−j − an−j−1 m ≥ ni) (

∑nk=1 akbk)2 ≤ (

∑nk=1 ak)2(

∑nk=1 bk)2 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)

10. Productorias.

Π es la letra “pi” mayuscula en el alfabeto griego y corresponde a la letra P delespanol. Es costumbre usar esta letra griega para designar productos.

Πnk=1f(i) = f(1) · f(2) · f(3) · · · f(n)

donde f es una cierta funcion del ındice i.Propiedades.

a) Πnk=1k = 1 · 2 · 3 · 4 · · · ·n = n!

b) Πnk=1k = Πn−1

k=0(n− k) = n!c) Πn

i=1ai = Πki=1aiΠn

i=k+1ai

ch) Πni=1ai + Πn+1

i=2 ai = (a1an+1)Πni=2ai

d) Πni=k+1ai = Πn

i=1ai

Πki=1ai

e) Πni=1c, c, constante

f) Πnk=1

ak

ak−1= an

a0Propiedad Telescopica

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Ejercicios resueltos.Ejemplos de Sumatorias.a)∑4

i=1 i3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100

b)∑5

j=3 j(j + 2) = 3 · 5 + 4 · 6 + 5 · 7 = 74

c)∑n

θ=1 g(θ) = g(1) + g(2) + g(3) + ... + g(n)ch)

∑mk=1

ak

k = a1 + a22 + a3

3 + a44 + .... + am

m

d)∑n

k=1(2k − 1) = n2

e)∑n

k=1 k = n(n+1)2

f)∑n

k=12n−12n−1 = 21−n + 2(n− 1)

g)∑n−1

k=−1 senkπn = cot π

2n

i.-) Demuestre que∑2n

k=n+11k =

∑2nk=1

(−1)k+1

k

Para todo j ≥ 1 , 1j + 1

j = 1j/2 y es facil ver que

∑nk=1

1k =

∑2nk=1

1k + (−1)k

k

De∑2n

k=11k =

∑nk=1

1k +

∑2nk=n+1

1k , obtenemos

2n∑k=n+1

1k

= −2n∑

k=1

(−1)k

k=

2n∑k=1

(−1)k+1

k.

ii.-) Utilizando la propiedad telescopica, determine la suma de∑n−1

k=−5 3k−2

Es facil ver que

3k−2 =123k−1

[1− 1

3

]=

123k[13− 1

9

]=

12(3k−1 − 3k−2)

Luego12

n−1∑k=−5

3k−1 − 3k−2 =12

[3n−2 − 3−7

]iii.-) Demostrar, utilizando induccion sobre n, que

n∑k=1

k(k + 2) =n(n + 1)(2n + 7)

6

Sea p(n) :∑n

k=1 k(k + 2) = n(n+1)(2n+7)6

p(1) : 1 · 3 = 1(1+1)(2·1+7)6 = 3, verdadero

p(j) :∑j

k=1 k(k + 2) = j(j+1)(2j+7)6 Hipotesis Inductiva

Por demostrar ( tesis) p(j + 1) :′;∑j+1

k=1 k(k + 2) = (j+1)(j+2)(2j+9)6

Sumando a la hipotesis (j + 1)(j + 3) se tiene

(j + 1)(j + 2) +j∑

k=1

k(k + 2) = (j + 1)(j + 2) +j(j + 1)(2j + 7)

6

Entonces: ∑j+1k=1 k(k + 2) = (j + 1)(j + 2) + j(j+1)(2j+7)

6

= (j+1)(2j2+13j+18)6

= (j+1)(j+2)(2j+9)6

lo que demuestra la proposicion.

22


11. Ejercicios Sumatorias y productorias.

Demuestre que:9.∑n

j=0 xn−j+1yj =∑n−1

k=−1 xn−kyk+1

10.∑n

k=0 ak =∑n

k=0 an−k

11.∑n

k=1 f(k) =∑n+1

k=2 f(k − 1)Examine algunos valores de los productos

12. Πnk=1(1− 1

k+1 ) ;

13. Πnk=1(1 − 1

(k+1)2 ) para valores pequenos de n y conjeture formulas generales. De-muestre su conjetura por induccion.

14. Pruebe que (1− x)Πnk=1(1 + x2k−1

) = 1− x2n

15. Determine el producto Πni=12k y demuestre su resultado por induccion.

23


12. Progresiones.

Definicion.Se dice que los numeros reales a1, a2, a3, ..... estan en progresion Aritmetica ( P.A)si existe un numero real d, llamado diferencia, tal que

∀n ∈ N : an+1 − an = d

De la definicion de P.A tenemos dos importantes resultados, a saber:

1) ∀n ∈ N : an = a1 + (n− 1)d

2) ∀n ∈ N :∑n

k=1 ak = n(a1+an)2

Si en una progresion aritmetica el primer termino es 2 y la diferencia es 3, setiene que el segundo termino es 2 + 3 · 1, el tercer termino es 2 + 3 · 2, finalmenteel n-esimo termino es 2 + 3 · (n − 1). Si deseamos sumar los n primeros terminos,podemos utilizar la siguiente tecnica:Escribiendo la suma de los terminos en orden creciente y luego decreciente en unarreglo por filas y luego sumando tenemos

S = 2 + 5 + 8 + ... + 3n− 4 + 3n− 1

S = 3n− 1 + 3n− 4 + ... + 8 + 5 + 2

2S = 3n− 1 + 3n− 1 + 3n− 1 + ...,3n− 1 + 3n− 1 = n(3n− 1)

Luego, S = n(3n−1)2 .

El promedio ( o bien promedio aritmetico ) de n numeros es igual a su sumadividido por n, por ejemplo el promedio de 1,3 y 7 es 11

3 , y si cada termino esremplazado por su promedio, la suma de los tres terminos permanece inalterable.Cuando tenemos una secuencia de numeros dados en P.A, el promedio de todossus terminos es igual al promedio del primer termino y el ultimo termino, que esigual al termino central cuando el numero de terminos es impar.Por ejemplo, consideremos una progresion aritmetica con una diferencia negativad = − 5

373,

23, −1 − 8

3, −13

3, −6 − 23

3, −28

3, −11

Su promedio es − 133 que corresponde al termino central y la suma de los nueve

terminos es igual a nueve veces su promedio, es decir 9 · (− 133 ) = −39.

Si a es el promedio de r y s, es facil ver que r, a, s son los terminos consecutivosde una progresion aritmetica. Esta es la razon que el promedio de tres numeroses llamado el medio aritmetico.Definicion.Se dice que los numeros reales a1, a2, a3, ..... no nulos estan en progresion Geometri-ca ( P.G) si existe un numero real q, llamado razon, tal que

∀n ∈ N :an+1

an= q

De la definicion de P.G tenemos dos importantes resultados, a saber:1) ∀n ∈ N : an = a1q

n−1

2) ∀n ∈ N :∑n

k=1 ak = a1qn−1q−1 , q 6= 1.

En particular si q = 1, ∀n ∈ N : an = a1. Luego∑n

k=1 ak = na1.Si | q |< 1, es facil ver que las potencias naturales de q son decrecientes y para nsuficientemente grande qn tienden a cero, luego a1 + a2 + a3 + .... = a1

1−q .Consideremos una progresion geometrica de la forma

5, 5 · 22, 5 · 24, 5 · 26, 5 · 28, ......,5 · 22n

24


Podemos identificar que su primer termino es a0 = 5, la razon es q = 22 y elnumero de terminos es n + 1.Ilustremos una forma simple de encontrar la suma de una P.G..Designemos por S su suma y consideremos el siguiente arreglo

S = 5 + 5 · 22 + 5 · 24 + 5 · 26 + 5 · 28 + ..... + 5 · 22n

22S = 5 · 22 + 5 · 24 + 5 · 26 + 5 · 28 + ..... + 5 · 22n + 5 · 22(n+1)

Restando, notamos que se cancelan los terminos menos dos de ellos obteniendo3S = 5 · 22(n+1) − 5 , de donde, S = 5((22)(n+1)−1)

3 = 5(1−(22)(n+1))1−22

El medio geometrico de dos numeros reales positivos a y b se define por√

ab, elmedio geometrico de tres numeros reales positivos a, b, c se define por 3

√abc y en

general para n numeros reales positivos a1, a2, a3, a4, ...., an el medio geometrico sedefine por

n√

Πni=1ai

Para que una sequencia de numeros a1, a2, a3, a4, ...., an esten en P.G, es necesarioy suficiente que cada uno de sus terminos excepto el primero, sea igual en valorabsoluto al medio geometrico de sus terminos adyacentes, es decir

|an+1| =√

anan+2

En efecto, si a1, a2, a3, a4, ...., an estan en P.G, entonces an+1 = anq, . Luego an+2 =

an+1q, de donde√

anan+2 =√

an+1q an+1q =

√a2

n+1 = |an+1|.Para probar la suficiencia, consideremos |an+1| = √

anan+2 , de donde, a2n+1 =

anan+2 . Luego an+1an

= an+2an+1

.

Obteniendoa2

a1=

a3

a2=

a4

a3=

a5

a4= ..... = q

lo que demuestra que la sequencia de numeros a1, a2, a3, a4, ...., an estan en una P.G.Se deja como ejercicio al lector, una importante desigualdad que no es facil dedemostrar, ella es:Para a1, a2, a3, a4, ...., an numeros positivos, se cumple

(a1 + a2 + a3 + a4 + .... + an)n

≥ n√

a1 · a2 · a3 · a4 · .... · an.

25


13. Ejercicios progresiones.

16. Determine x de manera que 7, x, 252 sean tres terminos consecutivos de una P.G.17. Dada la suma Sn de los n primeros terminos de una P.A a1, a2, a3, a4, ...., an, en-

cuentre los cuatro primeros terminos si Sn = n2

4 − n.18. Determine en cada fila las cantidades desconocidas utilizando la informacion dada.

a1 d n an Sn

(a) 110 −10 11(b) 5 26 105(c) 3 12 210(d) 2 15 −10

a1 d n an Sn

(a) −9 0.5 −75(b) −28 9 0(c) 0.2 5.2 137.7(d) 30 15 15.75 146.25

b1 q n bn Sn

(a) 1 3 10(b) 1

2 8 2(c) 2 7 1458(d) 3 567 847(e) 1

21

128127128

(f) 13

13

16561

(g) −3 4 30

26


19. Si a, b, c, d numeros que estan en P.G, demuestre que

(b− c)2 + (c− a)2 + (d− b)2 = (a− d)2

20. Calcule la suma de los 21 primeros terminos de la progresion

(a + b)2

, a,(3a−b)

2 , .....

21. En un cırculo de radio R se inscribe un cuadrado, en este cuadrado un cırculo, eneste otro cırculo un cuadrado y ası sucesivamente. ¿Cual es el lımite de las sumasde las areas de los cuadrados y de los cırculos?

22. En un cierto cultivo, las bacterias se duplican cada 20 minutos. ¿cuantas veces elnumero original de bacterias ay en el cultivo al cabo de 2 horas, suponiendo queninguna muere?

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23. De trs numeros que forman una P.G decreciente , el tercero es 12. Si 12 esreemplazado por 9, los tres numeros forman una P.A. Encuentre los dos numerosrestantes.

24. Determine una progresion geometrica decreciente e infinita, de manera que susuma sea 3, y la suma de los cubos de susu teminos sea igual a 61 5

7 .

25. Utlizando las progresiones, demuestre

xn + xn−1y + xn−2y2 + ... + xyn−1 + yn =xn+1 − yn+1

x− y

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14. Teorema del Binomio

Del algebra elemental, sabemos que (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2, entonces(a + b)3 = (a + b)(a + b)2 =a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Podemos observar que los coeficientesdel binomio cubico se pueden obtener de la siguiente manera:

1 2 11 2 1

1 3 3 1

De aqui podemos tabular los coeficientes de (a + b)n, para n = 0, 1, 2, 3..., ( para elcaso n = 0, se requiere que a o b, no sean nulos simultaneamente.)

1 < −(0, 0,1)(1, 0,1) (a + b)0

1 1 < −(0, 0,1)(1, 0,1) (a + b)1

1 2 1 < −(0, 0,1)(1, 0,1) (a + b)2

1 3 3 1 < −(0, 0,1)(1, 0,1) (a + b)3

1 4 6 4 1 < −(0, 0,1)(1, 0,1) (a + b)4

El arreglo anterior es conocido como triangulo de Pascal, en honor al matematicoBlaise Pascal ( 1623-1662)Definamos el coeficiente de an−kbk ( coeficiente binomial) por(

nk

)= n!

(n−k)!k! , k = 0, 1, 2, 3...n con 0! = 1, n! = 1 · 2 · 3 · 4...n (lease n factorial)

Podemos notar que n! = 1 · 2 · 3 · 4... · (n− 2) · (n− 1) · n lo podemos escribir comon! = n · (n− 1) · (n− 2) · ....,4 · 3 · 2 · 1

En general (n + n)! 6= n! + m! por ejemplo, si n = 3 y m = 5, (3 + 5)! = 40320, y3! + 5! = 126Similarmente debemos observar que en general (2n)! 6= 2n! y (mn)! 6= m!n!

Utilizando los coeficientes binomiales, el triangulo de Pascal quedaria:„00

«< −(0, 0,1)(0,5, 0,1) (a + b)0„

10

« „11

«< −(0, 0,1)(0,5, 0,1) (a + b)1„

20

« „21

« „22

«< −(0, 0,1)(,5, 0,1) (a + b)2„

30

« „31

« „32

« „33

«< −(0, 0,1)(,5, 0,1) (a + b)3„

40

« „41

« „42

« „43

« „44

«< −(0, 0,1)(,5, 0,1) (a + b)4

Teorema del Binomio.Si a, b ∈ R y n ∈ N, entonces

(a + b)n =n∑

k=0

(nk

)an−kbk =

(n0

)an +

(n1

)an−1b +

(n2

)an−2b2 + ..... +

(n

n− 1

)abn−1 +

(nn

)bn

En particular (a − b)n, lo puede considerar como (a + (−b))n y es necesarionotar por la simetria de los coeficientes que

(a + b)n =n∑

k=0

(nk

)an−kbk =

n∑k=0

(nk

)akbn−k =

29


Definamos por Tj el termino j-esimo en el desarrollo de binomio (a+ b)n, entonces

Tj =(

nj − 1

)an−(j−1)bj−1

luego por razones practicas y no equivocarse en recordar tantos indices , podemosconsiderar el coeficiente j-esimo mas uno que tiene la forma

Tj+1 =(

nj

)an−jbj

Una generalizacion natural del Teorema del Binomio, es el Teorema del Multi-nomio, solo daremos su definicion y no entraremos en mas detalles, dejamos allector mas avezado profundizar en esta materia.Para cualquier entero n ≥ 2 y para r ≥ 3

(x1 + x2 + x3 + ..... + xr)n =∑

n1+n2+...+nr=n

(n

n1, n2, ..., nr

)xn1

1 xn22 · · · xnr

r

donde la suma es sobre toda secuencia de numeros enteros positivos n1, n2, ..., nr

tal que n1 + n2 + ... + nr = n y(n

n1, n2, ..., nr

)=

n!n1! · n2! · · · nr!

En particular para r = 2(n

n1, n2

)=(

nk, n− k

)=

n!k!(n− k)!

=(

nk

)

Ejercicios resueltos1) Calcule el termino independiente de x y el termino central en caso de que existan

el desarrollo del binomio (x− 1x2 )9.

Tj+1 =(

9j

)x9−j(− 1

x2)j =

(9j

)x9−j(−1)jx−2j =

(9j

)(−1)jx9−3j

Luego para j = 3, se tiene que el cuarto termino es independiente de x.Como n = 9, no existe termino central.

2) Obtenga el coeficiente de x8 en el desarrollo de (1 + x2 − x3)9

Como (x1 + x2 + x3)9 =∑

n1+n2+n3=9

(9

n1, n2, n3

)xn1

1 xn22 xn3

3

y el coeficiente que se pide es para x8, tenemos la ecuacion 2n2 + 3n3 = 8, y lasposibilidades son

n1 = 5, n2 = 4, n3 = 0

n1 = 6, n2 = 1, n3 = 2

luego, calculando los coeficientes tenemos(9

5, 4, 0

)+(

96, 1, 2

)=

9!5!4!0!

+9!

6!1!2!= 252 + 126 = 378

Otra alternativa para resolver este problema es:Desarrollando por el teorema del binomio

(1 + x2 − x3)9 =9∑

k=0

(9k

)19−k(x2 − x3)k =

9∑k=0

(9k

)(x2 − x3)k

30


Analicemos las potencias en el desarrollo de (x2−x3)k con 0 ≤ k ≤ 9, es decir en

(x2 − x3)k =k∑

i=0

(ki

)(−1)i(x2)k−i(x3)i =

k∑i=0

(ki

)(−1)ix2k+i

Como 2k + i = 8 y 0 ≤ i ≤ k se tiene 0 ≤ k ≤ 4 de donde las posibilidades son:k = 3, i = 2 ; k = 4, i = 0 y la suma de los coeficientes de x8 es(

93

)(32

)+(

94

)(40

)= 378

3) Demuestre que

n∑k=0

(nk

)+ (−1)k

(nk

)= 2n

En el desarrollo del binomio

(a + b)n =n∑

k=0

(nk

)an−kbk

basta tomar los casos a = 1 , b = 1 y a = 1 , b = −1 para obtener

(1 + 1)n =n∑

k=0

(nk

)1n−k1k =

n∑k=0

(nk

)= 2n

(1 + (−1))n =n∑

k=0

(nk

)1n−k(−1)k =

n∑k=0

(nk

)(−1)k = 0

4) Determine la suma de todos los coeficientes del polinomio respecto de x queresulta de la expansion binomial de (3x− 4)17

El desarrollo de (3x− 4)17 es dado por

17∑k=0

(17k

)(3x)17−k(−4)k =

(170

)(3x)17 +

(171

)(3x)16(−4)+

(172

)(3x)15(−4)2 + ..... +

(1716

)(3x)(−4)16 +

(1717

)(−4)17

Dado que esta igualdad es valida para todo x, en particular lo es para x = 1.Haciendo x = 1 obtenemos la suma de los coeficientes pedida, es decir(

170

)(3)17 +

(171

)(3)16(−4)+(

172

)(3)15(−4)2 + ..... +

(1716

)(3)(−4)16 +

(1717

)(−4)17 = (3− 4)17 = −1

De la definicion de los coeficientes binomiales para n, m numeros naturales, m ≥ ntenemos las siguientes propiedades

i)(

n0

)= 1

ii)(

mn + 1

)= m−n

n+1

(mn

)iii)

(n

k − 1

)+(

nk

)=(

n + 1k

)iv)

(m + 1n + 1

)= m+1

n+1

(mn

)

31


15. Ejercicios Binomio

26. Si n ≥ k, demuestre que (n− k + 1) · n! + k · n! = (n + 1)!27. Determine todos los n ∈ N para los cuales (2n)! = 2 · n!28. Determine todos los pares de enteros positivos m y n de manera que (m + n)! =

n! ·m!29. Resuelva la ecuacion para n entero positivo (n + 2)! = 90 · n!30. Si 0 ≤ k ≤ n− 2, entonces(

n + 2k + 2

)=(

nk + 2

)+ 2

(n

k + 1

)+(

nk

)

32


31. En caso de existir, obtenga el coeficiente de x7 en el desarrollo de ( 2x3 + x + x3)8

32. Determine el coeficiente del termino independiente de x en el desarrollo de

( 3√

x +1x

)6

33. Si en la expansion binomial de

(√

y +14√

y)4

los primeros tres coeficientes forman una progresion aritmetica.Encuentre los terminos de la expansion en los cuales los exponentes de y seannumeros naturales.

34. Si(1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x

2 + .... + a15x15

determine el valor exacto de a10.35. Determine una relacion entre a y n de modo que en el desarrollo de (1 + a)n

aparezcan dos terminos consecutivos iguales.

33


36. Escriba

6[(

n3

)+(

n2

)+(

n1

)]como un polinomio en n, y utilice el echo que

(nr

)siempre es un entero para

dar una nueva demostracion que n(n2 + 5) es multiplo de 6 para todo entero n.37. Determine los numeros a y b, de manera que para todo natural n

n3 = 6(

n3

)+ a

(n2

)+ b

(n1

)38. Demuestre por induccion matematica que

n∑i=0

(s + i

s

)=(

s + n + 1s + 1

)

34


16. Ejercicios varios

39. Demuestre por induccion que:

51 · 2

13

+7

2 · 3132

+9

3 · 4133

+ · · ·+ 2n + 3n(n + 1)

13n

= 1− 13n(n + 1)

) ∀n ∈ N

40. Conjeture una formula para la siguiente suma y luego pruebela por induccion

1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · ·+ n · (n + 1)

41. Sea {un}n∈N l sucesion de Fibonacci:

u1 = 1, u2 = 1, un+1 = un + un−1 para n = 2, 3, ...

a) Calculen∑

k=1

uk

b) Demuestre por induccion que

un+2 · un = u2n+1 + (−1)n+1

42. Demuestre que para todo n ∈ N:

Sn = 1− 22 + 32 − 42 + · · ·+ (−1)n−1n2 = (−1)(n−1) · n(n + 1)2

35


43. Determine para que valores de n ∈ N es verdadera la desigualdad

2n > n2 + 4n + 5

44. Pruebe que si senα 6= 0, entonces la identidad

cos α · cos 2α · cos 4α... cos 2nα =sen2n+1α

2n+1senα

es cierta para todo n ∈ N0.45. La sucesion {an} se define por la relacion de recurrencia an+1 = 3an − 2an−1, a1 =

0, a2 = 1. Demuestre que para todo natural n, an = 2n−1 − 1.46. Para todo n natural, demuestre la siguiente desigualdad

n

2< 1 +

12

+13

+ .... +1

2n − 1≤ n

36


47. Demuestre que

3 + 33 + 333 + ... + 3... n veces ...,3 =10n+1 − 9n− 10

27

48. Demuestre que cualquier suma de dinero mayor o igual que 5,000 (Cinco mil pesos),esta puede ser descompuesta como multiplo de billetes de cinco mil pesos y dedos mil pesos.

49. Demuestre que para todo natural n ≥ 2

1√1

+1√2

+1√3

+ .... +1√n

>√

n

50. En el desarrollo del binomio(x +

1√x

)n

, n ∈ N0, x > 0

la suma de los coeficientes del tercer y penultimo termino es igual a 55. Determinet7. Encuentre ademas la suma de los coeficientes del segundo y cuarto termino.

37


51. En el desarrollo de ( 1x − x2)27, encuentre, si s que existe, el termino constante (o

independiente de x).52. En el desarrollo de la potencia binomial ( a

x2 − x3)n, n ∈ N, existe un termino cuyaparte literal es a16x25 ¿Que termino es?.

53. Encuentre el valor de n para que los terceros terminos en los desarrollos de (x2 +1/x)n y (x3 + 1/x2)n coincidan.

54. sean {a1, a2, a3, . . . , an} y {b1, b2, b3, . . . , bn} dos progresiones aritmeticas de diferenciasd1 y d2 respectivamente. Si sabemos que

n∑i=1

ai = 2n∑

i=1

bi ∀n ∈ {1, 2, . . .}

¿que relacion existe entre d1 y d2?

38


55. sea {a1, a2, a3, . . . , an} una progresion geometrica, donde ai > 0 ∀i = 1, . . . , n. De-muestre que a1 · a2 · a3 · · · an = (mM)n/2, donde m y M son el mınimo y el maximovalor de la progresion geometrica.

56. Escriba en forma de sumatoria y calcule

1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + · · ·+ n(n + 1)(n + 2)

57. Sea x = 1n

∑nk=1 xk. Demuestre la identidad:

n∑i=1

((xi − x)2 + xi(x− 1)

)=

n∑i=1

x2i − nx

58. Calcular:100∑i=1

x3i

4−

x3i−1

4

Donde xi = 2i−13

59. Determine K ∈ R de manera que las raıces de la ecuacion

x3 + 3x2 − 6x + K = 0

esten en una Progresion Aritmetica.60. Calcule:

n∑k=1

(1 + a)−k, a 6= 1

61. Determine las posibles soluciones para n ∈ N que satisfagan la ecuacion

1 +n∑

i=1

121−i

= 2n2+2n−6

39


62. Sean u1, u2, ..., ut con un+2 = 2un+1 − un para n = 1, 2, ..., t − 2. Pruebe que estosnumeros estan en una P.A.

63. Sean a, b ∈ R dados. Suponga que los numeros x1, x2, ..., xn forman una P.A. tal que:

x1 + x2 + · · ·+ xn = ax2

1 + x22 + · · ·+ x2

n = b2

a) Exprese a y b en terminos de x1, n y ab) De a) obtenga la P.A.

64. Encuentre todas las P.A. de naturales x, y, z tales que x + y + z = xyz.65. Dadas:

n∑k=1

k =n(n + 1)

2;

n∑k=1

k2 =n(n + 1)(2n + 1)

6;

n∑k=1

k3 =(

n(n + 1)2

)2

Calcular:125∏

k=20

5k2

40


17. Ejercicios: Desigualdades

66. Si a, b, c > 0, demuestre que

2ab

a + b+

2ac

a + c+

2bc

b + c≤ a + b + c

Indicacion: 2aba+b ≤

a+b2

67. Sean a,c ∈ R y b,d ∈ R+. Demostrar que a+cb+d esta entre el menor y el mayor de los

elementos ab y c

d .68. Si a, b, c > 0 demuestre que

8abc ≤ (a + b)(b + c)(c + a)

Indicacion: a + b ≥ 2√

ab, etc.69. Dadas las expresiones a3 y (1 + a− a2), a > 1. Determine cual de ellas es mayor.

41


70. Si a + b = 1, pruebe que a4 + b4 ≥ 1/871. Niegue la siguiente proposicion:

a < b ⇒ a2 < b2

72. Demostrar que si a + b = 1, entonces a2 + b2 ≥ 1/273. Demuestre que

1a

+1b

>2

a + b∀a, b ∈ R+

42


74. Demuestre, indicando las condiciones que deben cumplir a, b ∈ R, de modo quesea verdadera la siguiente desigualdad

ab

a + b<

a + b

4

75. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.Justifique claramente cada una de sus respuestas con un desarrollo o bien con uncontra ejemplosı corresponde.

a) (∀x ∈ R+)(x2 < 1 ⇒√

x > x2).b) Si A,B ⊆ U y (A−B) ∪ (A ∩B) = B − (Ac ∪Bc) entonces #A = #B.

76. Si a+b y a−b son numeros racionales, demuestre que a y b son numeros racionales.

43


Ecuaciones e Inecuaciones.

Toda proposicion que tiene la forma

f(x) = g(x)

donde f(x) y g(x) son ciertas funciones, se llama ecuacion con una incognita x (obien con una variable x.) Analogamente Todas las proposiciones de la forma

f(x) < g(x), f(x) ≤ g(x)

donde f(x) y g(x) son ciertas funciones, se llaman inecuaciones con una incognitax (o bien con una variable x.)En general resolver una ecuacion o una inecuacion no es simple, y para resolverlasusualmente realizamos una serie de transformaciones que modifican el problemaoriginal en otro equivalente. Desafortunadamente no siempre las transformacionesutilizadas son correctamente formuladas y por ello obtenemos saluciones extranasy en muchos casos la perdida de ellas. Para excluir las soluciones extranas y evitarla perdida de soluciones, debemos tener en cuenta que en cada transformacionrealizada debemos incluir el posible dominio de la variable en consideracion, enotras palabras, Restriccion.

Ejemplo1.Resolver la ecuacion

4x − 2x − 2 < 0

Una primera transformacion que nos viene a nuestra mente es hacer t = 2x,entoncesRestriccion: t > 0, y nuestro problema original se convierte en

t2 − t− 2 = (t− 2)(t + 1) = 0

cuyas soluciones son t ∈ −1, 2, luego t = 2 es decir 0 < 2x = 2, y obtenemos x = 1.

Ejemplo2.Resolver la ecuacion

log2(x + 2)2 = 6

Restriccion: x 6= −2. Utilizando la propiedad log2(x + 2)2 = 2 log2(x + 2), estamosasumiendo que x > −2 y el problema original se transforma en log2(x + 2) = 3. Six ∈]− 2,+∞[ la unica solucion es x = 6, sin embargo si x ∈]−∞,−2[, la ecuacion aresolver es log2(−(x + 2)) = 3 y su solucion es x = −10.

Ejemplo3.Resolver la inecuacion √

|x|+ 9 < 3− x

Restriccion: 3− x > 0, en otras palabras

x ∈]−∞, 3[

Si elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuacion, obtenemos x2 − 6x− |x| > 0.Si x ∈] − ∞, 0], la ecuacion a resolver es x2 − 5x = x(x − 5) > 0, cuya solucion es]−∞, 0[∪]5,+∞[, y nuestra primera solucion es x ∈]−∞, 0[. Si x ∈]0, 3[ la ecuaciona resolver es x2 − 7x = x(x − 7) > 0, luego la segunda solucion es x ∈]0, 3] ∩ {] −∞, 0[∪]7,+∞[} = ∅. Finalmente, la solucion a nuestro problema es x ∈]−∞, 0[∪∅ =]−∞, 0[

44


18. Ejercicios: Ecuaciones e Inecuaciones

77. Encuentre los x ∈ R tales que

|2x− 4| − |x− 1|√10− x

> 0.

b.- Determine (x, y) ∈ R2 tales que√

x + 6−√

x + 1 >√

2x− 5|x + y| ≤ 1

78. Resolver la inecuacion|x + 4|

x2 + x− 2≥ −1.

79. Resolver la inecuacion3− x <

√|x| − 9

80. Resolver la ecuacion √|x + 2|(x + 3) = 4

√x2(4− x2)

c.- Resolver en los numeros naturales N la siguiente inecuacion

(x− 3)2(√

1− |x− 3| −√

4− |x|x2 + x + 1

≤ 0

.

45


81. Resolver la siguiente inecuacion:

6√

x2 − x− 30(4x4 − 12x2 + 9)(x2 − 6x + 13) 7

√2x + 3

< 0

82. Obtenga el conjunto solucion de las siguientes inecuaciones:a) 2+x

3−x < 1

b) 4x+2 + 12

x−5 > 0

83. En R, resuelva la inecuacion 1 > 15|x|−2

84. Resuelva e ilustre graficamente las soluciones de la desigualdad cos θ < 12 , θ ∈

[−2π, 2π]

46


85. Resuelva en R(3− x)(2x− 1)(5x2 + 3)

√x− 1

≤ 0

y determinar (si existen) elementos maximo y mınimo, Infimo y Supremo delconjunto solucion correspondiente.

86. Resuelva en R

a.)- ∣∣∣x2 − x

x2 − 4

∣∣∣ ≤ 1

b.)-|x + 2| > x− |x− 1|

47


87. Encuentre el conjunto solucion de la inecuacion:∣∣∣ x

|x− 1|− 1|x|

∣∣∣ ≥ 1

88. Demuestre que, para todo a, b ∈ R, se cumple que |a| − |b| ≤ |a− b|89. Para que valores de a ∈ R, la desigualdad

x

a− 2

a≤ x

a2− 2

a2

admite solucion para x ∈ R

48


90. Demuestre o refute ∀t < 0 : |t|+ 4 ≥ 4t

Resuelva en R:

91.|x| − |1− x|

x2 − 12x + 36> 0

92. ∣∣∣1− 1√1− x2

∣∣∣ ≥ 1

93. √5− |x− 5| ≥ |2− 3x|

94.|2x− 1| − |x− 2| ≤ 3

95.|x + 2|

√2x− 3

(2x2 + x + 4)(x− 1)≥ 0

49


96. Resuelva en R:|2x− 4| − |x− 1|√

10− x> 0

97. ∣∣∣x + 1x + 2

∣∣∣ ≤ ∣∣∣x + 2x + 1

∣∣∣98.

x√

x− 10 ≤ |x2 − 8|√x + 10

99. Demuestre que si |x− 4| < 2, entonces:

|x + 2||x|

< 5

50


19. Plano cartesiano, Rectas

◦ Formula de la distancia:Si P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2), la distancia de P1 a P2 es

d(P1, P2) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

◦ Ecuacion estandar de una circurferencia :La ecuacion estandar de un circurferencia de radio r y centro (h, k) es

(x− h)2 + (y − k)2 = r2

◦ Formula de la pendiente:La pendiente m de la recta que pasa por los puntos P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2)es

m =y2 − y1

x2 − x1si x1 6= x2

m no esta definida si x1 = x2

◦ Punto - Pendiente, ecuacion de una recta:La ecuacion de la recta con pendiente m que pasa por el punto (x1, y1) es

y − y1 = m(x− x1)

◦ Pendiente- Intercepcion, ecuacion de una recta:La ecuacion de la recta con pendiente m y con b el intercepto en el eje y es

y = mx + b

◦ Interceptos en los ejes :La ecuacion de la recta con los interceptos (a, 0), (0, b) es

x

a+

y

b= 1

◦ Formula cuadratica:Las soluciones de la ecuacion ax2 + bx + c = 0, a 6= 0, son

x =−b±

√b2 − 4ac

2a

Si b2 − 4ac > 0, hay dos soluciones reales diferentes.Si b2 − 4ac = 0, hay una solucion real repetida.Si b2 − 4ac < 0, hay dos soluciones complejas que por lo tanto no son reales.

◦ Distancia desde un punto P (x0, y0) a una recta L : ax + by + c = 0:

d =|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2.

◦ Se llama angulo entre dos rectas al menor de los angulos que forman estas. Sepueden obtener a partir de sus pendientes

tanα = | m1 −m2

1−m1m2|.

◦ Division de un segmento P1(x1, y1)P2(x2, y2) en una razon dada rs

P = (rx2 + sx1

r + s;ry2 + sy1

r + s)

51


20. Conicas

52


21. Ejercicios: Rectas y Conicas

100. Dada la recta x+ y− 4 = 0 encuentre la ecuacion del lugar geometrico de todos lospuntos del plano que se encuentran a distancia 3 de dicha recta.

101. Sean A = (0, 0) y B = (3, 0). Encuentre la ecuacion del lugar geometrico de todoslos puntos P = (x, y) del plano tales que: ∠PAB = 1

2∠PBA.102. Encuentre la ecuacion de la recta L de pendiente positiva que contiene al punto

(2,−12) y sabiendo que la suma de sus interceptos con los ejes coordenados esigual a −12.

103. Dados los puntos A = (3, 5), B = (1,−1), C = (9, 5), D = (−2, 6) determine:◦ la distancia del punto C a la simetral del trazo AB.◦ ∠CAD

53


104. a) Determine, identifique y esboce el lugar geometrico de todos los puntos delplano que estan a una distancia de 10 unidades del origen de coordenadas.

b) Sea A(a, b) un punto cualquiera que pertenece al lugar geometrico obtenido ena). Encuentre la ecuacion de la recta que pasa por el punto A(a, b) y el origende coordenadas.

c) Determine los valores de a y b tal que la recta obtenida en b) tenga pendiente34 .

d) Rotando el sistema de coordenadas en un angulo de π2 en sentido antihorario,

determine las nuevas coordenadas de los puntos obtenidos en c).105. a) Considerese el lugar geometrico P de los puntos (x, y) tales que

y = x2 − (1 +√

2)x +√

2, x ∈ R.

Esboce el lugar geometrico P .b) Sean A y B dos conjuntos dados por

A = {x ∈ Q, x2 − (1 +√

2)x +√

2 ≤ 0}, B = Q \A.

¿Que conjunto es acotado?c) 1 ∈ A? ; 1 ∈ B? ;

√2 ∈ A? ;

√2 ∈ B?

d) Determinen (si es que existen) los numeros finitosque corresponden a :max A, mınA, supA, ınf A, max B, mınB, supB, ınf B.

54


106. Encuentre el angulo entre las diagonales de un paralelogramo, construido por losdos vectores −→a = (1, 2);

−→b = (2,−1)

107. Determine el largo del segmento de la recta x − 2y − 2 = 0 que esta contenida yesta encerrada por la elipse x2

100 + y2

25 = 1108. Encuentre la ecuacion de una circunferencia centrada en el punto O1(−3, 1) y

teniendo a 4x + 3y − 16 = 0 como una recta tangente.109. Encuentre el lugar geometrico de todos los puntos del plano cuya distancia a la

recta x = 4 sea igual al doble de la distancia al punto F (1, 0).

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110. Demostrar que el lugar geometrico de todos los puntos P = (x, y) tales que d(A,P ) =kd(B,P ), donde k ∈ R+ − {1}, A = (1, 2) y B = (2, 1) es una circunferencia, ademaspruebe que el centro de la circunferencia obtenida esta en la recta que une elpunto A con el punto B.

111. Encontrar la(s) ecuacion(es) de la (s) recta(s) perpendicular(es) a la recta 5x−y = 1y que forma(n) con los ejes coordenados un triangulo de area 5 unidades.

112. Un punto se mueve de tal manera que el cuadrado de su distancia al punto (1, 1) essiempre igual a 2

√5d, en que d es la distancia del punto movil a la recta 2x+y = 1.

Hallar e identificar el lugar geometrico generado por el punto movil.113. Sea A = (0, 0) y B = (2, 0), vertices de un triangulo, encuentre el lugar geometrico

del vertice C si AC : BC = 2 : 3.114. Considere la parabola de ecuacion y2 = x. ¿Cual debe ser el valor de k, para que

la recta tangente a la grafica de y2 = x en (4, 2) pase por el centro de x2 + k2x2 +

k4

16 + y2 − 1 = 0?.

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115. Sea A = (4, 2), l : y = 1. Encuentre la ecuacion del lugar geometrico de los puntosdel plano cuya distancia al punto A es el doble de su distancia a la recta l eidentifique este lugar geometrico.

116. Halar el lugar geometrico de todos los puntos P = (x, y) del plano cuya distancia alpunto A = (a, k, 0) es k veces su distancia a la recta l de ecuacion x = a

k . Identifiqueel lugar geometrico segun:◦ 0 < k < 1◦ k > 1◦ k = 1

117. Dados A = (1, 3) y B = (5, 0), encuentre la ecuacion del lugar geometrico del tercervertice C de los triangulos de base AB y altura h = 5.

118. Considere l1 : y = ax; l2 : y = x. Encuentre el valor de a de modo que l1 y l2formen un angulo Φ = π/4 al intersectarse.

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22. Funciones de una variable real

Concepto de funcion. Sea D un conjunto arbitrario de numeros reales. Si a to-do numero x ∈ D se le ha puesto en correspondencia cierto numero real biendeterminado f(x), se dice que en el conjunto D esta definida una funcion numeri-ca f . El conjunto D se denomina campo de definicion o dominio de definiciono simplemente dominio y el conjunto

E = {y ∈ R | y = f(x), x ∈ D},

conjunto de valores o rango o imagen o codominio de la funcion numerica f . Lafuncion se escribe simbolicamente en la forma f : D → E, o bien y = f(x). Nota:Si la funcion se escribe simbolicamente en la forma f : D → F ⊆ E, el conjuntoF se denomina Recorrido. El metodo analıtico de definir una funcion es el masusado. Consiste en que por medio de una formula se establece de modo concretoel algoritmo de calculo de los valores de la funcion y = f(x) para cualquiera delos valores del argumento x. En este caso no se indica, comunmente, el campo dedefinicion de la funcion, entendido por este el conjunto de valores del argumentox, para el cual la formula dada tiene sentido (campo natural de definicion de lafuncion).El conjunto de puntos (x, y)de un plano X−Y cuyas coordenadas estan relacionadasentre sı por medio de la ecuacion y = f(x), se denomina grafica de dicha funcion.

Si una funcion f satisface f(−x) = f(x), para todo x en su dominio, entonces f sedenomina funcion par y su grafica es simetrica respecto al eje y.

Si una funcion f satisface f(−x) = −f(x), para todo x en su dominio, entonces fse denomina funcion impar y su grafica es simetrica respecto al origen.

Una funcion se dice inyectiva ( Uno a uno) en un dominio A, si f(x1) = f(x2)entonces x1 = x2 para cualquier eleccion de elementos x1 y x2 del dominio de f .

Una funcion se dice epiyectiva ( Sobre) en un recorrido F , si para cada elemeto yen recorrido de f , existe al menos un x en el domnio de f tal que y = f(x).

Se dice que una funcion es estrictamente creciente sobre un intervalo I , sif(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 en I. Se dice que una funcion es estricta-mente decreciente sobre un intervalo I , si f(x1) > f(x2) siempre que x2 > x1 en I.

Una funcion que sea estrictamente creciente en un intervalo I, es invertible en I.Una funcion que sea estrictamente decreciente en un intervalo I, es invertible enI.Si una funcion f con dominio A y rango E es invertible en todo su dominio, suinversa denotada por f−1 tiene dominio E y rango A y se define como f−1(y) =x si y solo si f(x) = y.

Nota: f−1 no quiere decir que sea 1f , f−1 es la notacion para designar a la funcion

inversa de f . Por ejemplo sen−1t es la inversa de la funcion seno, esta inversa seacostumbra a se denotada por otra forma como Arcsent por el peligro de confucion.Una funcion f se llama periodica si existe un numero positivo T ( Perıodo de lafuncion) tal que f(x+T ) = f(x), para todos los valores x pertenecientes al dominiode la funcion.Dado dos funciones f(x) ,y g(x) se define la funcion compuesta (f ◦ g)(x) como(f ◦ g)(x) = f(g(x)) y su dominio es el conjunto de todas las x que estan en eldominio de g cuya imagen g(x) pertenece al dominio de f(x).

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Partiendo de la grafica Γ de la funcion y = f(x), con ayuda de construccionesgeometricas elementales obtendremos las graficas de otras funciones:

i.- y1 = −f(x), es la representacion simetrica de la grafica Γ respecto del eje x.ii.- y2 = f(−x), es la representacion simetrica de la grafica Γ respecto del eje y.iii.- y3 = f(x − a), que es la misma grafica Γ desplazada a lo largo del eje x, en la

magnitud a.respecto del eje x.iv.- y4 = b + f(x), que es la propia grafica Γ desplazada a lo largo del eje y en la

magnitud b.v.- y5 = cf(x), c > 1, expansion de la grafica Γ verticalmente en un factor de c.

vi.- y6 = f(x)c , c > 1, compresion de la grafica Γ verticalmente en un factor de c.

vii.- y7 = f(cx), c > 1, compresion de la grafica Γ horizontalmente en un factor de c.viii.- y8 = f(x

c ), c > 1, expansion de la grafica Γ horizontalmente en un factor de c.

Concepto de Relacion. Una relacion es una corespondencia entre dos conjuntos Dy E no vacios. Si x ∈ D e y ∈ E son dos elementos de estos conjuntos y si existeuna relacion R entre ellos, diremos que x esta relacionado con y.Por ejemplo la relacion R dada por R = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y2 = 4}.

La funcion dada por una ecuacion que no esta resuelta con respecto a la variabledependiente y, o a la variable independiente x, recibe el nombre de funcion im-plicita, y se representa como F (x, y) = 0.

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23. Ejercicios: Funciones

119. Sea y = f(x) dada por y =∣∣∣x−12−x

∣∣∣◦ Restrinja dominio y recorrido de modo que la funcion resultante sea biyectiva.◦ Obtenga explıcitamente la funcion inversa de la biyeccion que obtuvo.

120. Sean f : R+0 → R y g : R → R funciones tales que

f(x) =√

x y g(x) = (3− x)2

Determine x ∈ R tal que (f o g) (x) = 1121. Determine el dominio y recorrido de la funcion

f(x) =

√2x− 1

x

y pruebe que f es una funcion inyectiva.122. Determine si existe la funcion inversa de la funcion f dada en a). En caso de

existir, encuentre f−1(x) identificando claramente su dominio y recorrido.

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123. Sea A = {1, 2, 3, . . . , 1010}. Se define f : A → N como la funcion que a cada n ∈ A leasigna el numero de dıgitos que tiene n.◦ Calcule f(5587), f(108)◦ Determine Rec f ¿Es f epiyectiva?◦ ¿Es f inyectiva?◦ Restrinja f para que sea biyectiva.

124. Sea µ : A → A una funcion tal que µ o µ = idA, donde

idA : A → Aa 7→ idA(a) = a

Determine si µ es o no una biyeccion.125. Sean f(x) =

√x + 1

x , g(x) =√

x− 1x , h(x) =

√x2 − 1−

√x. Determine:

◦ Dom y Rec de f, g y h

◦ (f + g + h)(x) y Dom y Rec

◦ (f · g)(x) y Dom y Rec

◦ (f − g)(x) y Dom y Rec

126. Sea g(x) = ex−e−x

ex+e−x . Determine los mayores subconjuntos A y B de R de modo queg : A → B sea una biyeccion y determine g−1(x)

127. El precio de costo anual de un objeto producido por una fabrica es: C = 40 +4000/

√n, donde n es el numero de objetos producido. ¿Cual es el numero de

objetos que se deben producir y vender durante un ano para que, al vender 20000a $50 cada uno y los restantes a $830 cada uno quede un beneficio de 5 %?

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128. Dado f(x) = 3x+12 , g(x) = x2+3x

2 determine h tal que f o h = g

129. Sean f(x) = 1−x√x

y g(x) = 1√x

◦ Determine los mayores subconjuntos de R, donde f y g son funciones biyectivas.◦ Determine la expresion de f o g y g o f , indicando sus restricciones y dominio

de cada una.◦ Determinar la expresion de f−1 y g−1.

130. Sean f : (a, b) → (c, d), g : (p, q) → (r, s) definidas por:

f(x) =c− d

a− bx +

ad− bc

a− b, g(u) =

r − s

p− qu +

ps− qr

p− q

◦ Demuestre que f es biyectiva y encuentre f−1.◦ Demuestre que h(x, u) = (f(x), g(u)) es inyectiva.

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131. Sean f(x) = 4x−96x−5 y g(x) = 1

4x−9

◦ Encuentre f o g y su dominio.◦ Encontrar intervalos A,B ⊂ R de modo que g : A → B sea biyectiva y obtener

g−1.◦ Compruebe que g o g−1 = I

132. Para f : R → R se definen E,O : R → R como sigue:

E(x) =12

[f(x) + f(−x)] , O(x) =12

[f(x)− f(−x)]

Si:f(x) = 3x3 + 2x2 − x + 1

◦ Calcule E(x) y O(x).◦ Pruebe que E es par y que O es impar.◦ verifique que f = E + O ¿Que es la conclusion que puede obtenerse de lo

anterior?

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24. Ejercicios: Modelacion

133. Dos numeros x e y suman 10. ¿Como queda expresado, en funcion de x, el productode ellos?. ¿Y en funcion de y?. Justifique.

134. Una ventana esta hecha de un rectangulo y de un triangulo equilatero. Determinela funcion que representa el area encerrada por la ventana si esta debe tener unperımetro de 10 mts.¿Cual es el dominio de esta funcion?.

135. A un alambre de longitud l mts. se le hace un corte en un punto x. Con un pedazose forma un cuadrado y con el otro una circunferencia. Determine, en terminosde x, la funcion que representa la suma de las areas encerradas por estas figuras.¿Cual es su dominio?.

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136. Si se cortan cuatro cuadrados iguales (de lado x) en las esquinas de un pedazocuadrado de carton cuyo lado mide 12 pulgadas, y se doblan sus cuatro lados,se obtiene una caja rectangular sin tapa. Ver figura. Determine la funcion querepresenta:◦ el area de la superficie de la caja◦ el volumen de la caja.

137. Un rıo tiene un codo de 45o. Ver figura. Un granjero desea construir un corrallimitado en dos lados por el rıo y en dos por una milla de valla ABC.Determine la funcion que representa el area del corral.

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138. Considere un cilindro circular recto, con tapa, cuyo radio basal mide r [cm] ysu altura mide h [cm]. Determine el volumen del cilindro, en funcion del radio,sabiendo que su superficie es de 15 [cm2].

139. Una arana que se encuentra en el vertice S de un cubo, cuya arista mide unapulgada, se propone capturar una mosca en el vertice opuesto F . Ver figura. Laarana debe caminar por la superficie del cubo para este proposito.◦ Determine la funcion que representa el camino recorrido por la arana◦ Determine el camino mas corto que se debe recorrer.

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140. Dada una esfera de radio a, determine la funcion que representa el volumen deun cono circular recto que puede inscribirse en ella.

141. En la figura siguiente, se ha dado el punto P = (x, y) sobre la parabola y = x2,con y ≥ 1. Exprese la suma de segmentos PA

2+ PB

2en funcion de x. ¿Cual es su

dominio?.

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142. Dos casas. A y B, estan a una distancia p entre sı. Ellas estan a distancias q yr, respectivamente, de una carretera y se encuentran a un mismo lado de esta.Encuentre:◦ La funcion que representa la longitud del camino mas corto que conduzca de

A a la carretera y de esta a B. ¿Cual es su dominio?.◦ La longitud mınima encontrada en a).

143. Un tubo de longitud b se transporta por un pasillo de ancho a (a < b), y luegoalrededor de una esquina C. ver figura. Durante el giro, la altura y presenta,claramente, una variacion. Exprese y en funcion del angulo de giro θ.

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144. Inscriba un rectangulo en la elipse de ecuacion x2

a2 + y2

b2 = 1 de manera que susextremos esten sobre la elipse. Determine la funcion que representa el area deltal rectangulo. ¿Cual es su dominio?.

145. Se ha fabricado un envase con lata, cilındrico y con tapa, con capacidad para 1 [lt].Determine, en funcion del radio basal, la cantidad de material utilizado (area dela superficie) en su fabricacion.

146. Resuelva el problema anterior en el caso en que la lata tiene abierta la partesuperior.

147. Determine el area del rectangulo con un lado en el eje OX, simetrico con respectoal eje OY , e inscrito en la region limitada por la parabola y = 27− x2 y el eje OX.

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148. En la figura siguiente, R y h son valores conocidos. calcule el volumen V (x) enfuncion de x.

149. Exprese el area A(x) del rectangulo en funcion de x.

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25. Ejercicios: Funciones Polinomiales

150. Una raız es una solucion de la ecuacion polinomica P (x) = 0. Un cero es un valorde x que hace que el valor de la funcion P (X) sea igual a 0. Determine si losnumeros dados son raıces de la ecuacion polinomica P (x) = 0.◦ P (x) = x3 − x2 + 25x; − 1, 5i

◦ P (x) = x4 + x3 − x2 − 2x− 2;√

2, i

151. Determine si los numeros dados son ceros de la funcion polinomica.◦ P (x) = x3 + 4x2 − 4x− 16; − 4, 4i

◦ P (x) = x4 − x2 − 3;√

3, i

152. Cuando un polinomio se divide por otro, habra un cociente y un residuo. Cuandoun residuo es cero, entonces el divisor y el cociente son factores del dividendo.Por division, determine si los siguientes polinomios son factores del polinomioP (x) = x4 − 16◦ x− 2◦ x2 + 3x− 1

153. Toda division entre polinomios se puede expresar como P (x) = D(x) ·Q(x) + R(x),donde P (x) es el dividendo, D(x) es el divisor, Q(x) es el cociente y R(x) es elresiduo.Sea P (x) = x3 − 2x2 + 4 y D(x) = x− 1. Encuentre P (x)÷D(x), y despues exprese eldividendo como P (x) = D(x) ·Q(x) + R(x).

154. Sea P (x) = x5 + 2x4 + 2x3 + 3x2 + 3x + 3 y D(x) = x2 + 2x + 1. Encuentre P (x)÷D(x),y despues expresa el dividendo como P (x) = D(x) ·Q(x) + R(x).

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155. El teorema del residuo establece que para un polinomio P (x), el valor funcionalP (r) es el residuo de P (x) cuando se divide por x− r.Sea P (x) = −2x4− 8x3 + 4x2− 2x + 1. Encuentre P (0), P (1), P (−2) y P (−4) utlizandoel teorema recien recien enunciado.

156. El teorema del factor dice que si P (r) = 0, entonces el polinomio x−r es un factor deP (x). De este modo, podemos utilizar la division sintetica para encontrar valoresfuncionales y para comprobar factores.Factorize el polinomio P (x), y despues resuelva la ecuacion P (x) = 0. Si:◦ P (x) = x3 − x2 − 14x + 24◦ P (x) = x3 − 18x2 − x + 18

157. Si un polinomio es de grado n, entonces se puede factorizar en exactamente nfactores lineales. Un factor puede presentarse mas de una vez. Si un factor x − rfigura k veces, r es una raız de multiplicidad k. Encuentre las raıces del polinomioy la multiplicidad de cada raız, si:◦ P (x) = x2 (x− 2)3 (x + 1)

◦ P (x) =(x2 − 12x + 11

)2

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158. Si r es una raız del polinomio P (x), entonces x − r es un factor lineal de P (x).Encuentre un polinomio de grado 3 que tenga como raıces los numeros que seindican:◦ -1◦ -3◦ 4

159. Las raıces complejas se presentan en pares conjugados en los polinomios con co-eficientes reales. Las raıces irracionales se presentan por pares en los polinomioscon coeficientes racionales.Encuentre un polinomio de grado mınimo con coeficientes racionales que tengacomo raıces los numeros que se indican:◦ 1− i, 2 +

√3

◦ 2 + 3i, −√

2160. Para encontrar las posibles raıces racionales de anxn +an−1x

n−1 + . . .+a0, encuentrecada numero racional de la forma c

d tal que d es un factor de an y c es un factorde a0, y despues compruebe cada uno de ellos utilizando la division sintetica.Encuentre las raıces racionales, si es que existen, de cada polinomio. De ser posi-ble, encuentre las otras raıces.◦ P (x) = 20x3 − 30x2 + 12x− 1◦ P (x) = 2x4 − x3 − 3x− 18

161. El posible numero de raıces reales positivas de un polinomio P (x) con coeficientesreales es , o el mismo numero que las variaciones del signo de P (x) , o un numeromenor que difiere del numero de variaciones de signo en un numero entero pos-itivo par. El posible numero de raıces reales negativas de un polinomio P (x) concoeficientes reales es, o el numero de variaciones de signo de P (−x), o un numeromenor que difiere del numero de variaciones de signo en un numero entero posi-tivo par.Para cada polinomio, determine el numero posible de raıces reales positivas ynegativas:◦ P (x) = 4x5 − 3x2 + x− 3◦ P (x) = 3x7 − 2x5 + 3x2 + x− 1

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162. Para representar graficamente polinomios:1. considere el grado del polinomio y su coeficiente principal.2. determine si hay simetrıas.3. utilize la division sintetica para elaborar una tabla de valores.4. encuentre la ordenada al origen y tantas abscisas al origen como sea posible.5. represente graficamente los puntos y unalos de manera adecuada.Grafique los polinomios del problema 151.

163. Despues de trazar la grafica, puede utilizar las abscisas al origen como ayuda paraaproximar raıces.Represente graficamente las siguientes funciones polinomicas y aproxime sus solu-ciones hasta la decima mas cercana.◦ P (x) = x3 + 3x2 − 2x− 6◦ P (x) = x3 − 2x2 − x

164. ¿Es x + 1 un factor de P (x) = x3 + 6x2 + x + 30?165. ¿Es x + 4 un factor de x3 + 64?166. Sea P (x) = 4x3 − 10x + 9 y D(x) = x + 2. Encuentre P (x)÷D(x), y despues expresa

el dividendo como P (x) = D(x) ·Q(x) + R(x).167. Si P (x) = 2x4 − 3x3 + x2 − 3x + 7, encuentre P (−2), P (3) y P (−4).168. Factorize el polinomio P (x) y despues resuelva la ecuacion P (x) = 0 para P (x) =

x4 − x3 − 6x2 + 4x + 8.169. Encuentre un polinomio de cuarto grado con coeficientes racionales que tenga

como raıces los numeros 3− 2i, 1 +√

5170. Suponga que un polinomio de grado 5 con coeficientes racionales tiene como raıces

los numeros 3 +√

3, 1 + 2i, −1. Encuentre todas las raıces del polinomio

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171. Dado que una de las raıces del polinomio x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 2 es i, encuentretodas las raıces del mismo.

172. Encuentre un polinomio de grado 5 con coeficientes reales que tenga el numero icomo raız de multiplicidad 2 y

√5 como raız de multiplicidad 1.

173. Encuentre las raıces racionales, si es que existen, de x3 − 7x2 + 16x − 12. Des serposible, encuentre otras raıces.

174. Encuentre unicamente las raıces racionales de 4x5 + 16x4 + 15x3 + 8x2 − 4x− 3.

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175. Para 3x9 + 2x6 + 3x3 + 2x2 + x− 1,◦ Encuentre el numero posible de raıces reales positivas.◦ Encuentre el numero posible de raıces reales negativas

176. Para 3x5 − x4 + 2x3 − 5x2 − 3x− 1,◦ Encuentre el numero posible de raıces reales positivas.◦ Encuentre el numero posible de raıces reales negativas

177. Represente graficamente P (x) = x3 − 2x2 + x + 1.178. Encuentre los ceros de P (x) = x3− 2x2 + x + 1. Aproxime los ceros a la decima mas

cercana.179. Factorize x6 + x4 − 4x2 − 4. (Sugerencia: Sustituya z = x2)

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26. Trigonometria

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27. Ejercicios: Trigonometria

Resolucion de Triangulos .

Las tecnicas mas utilizadas para resolver directamente un triangulo, son las cono-cidas Ley de Senos y Ley de Cosenos.La primera de ellas sirve para resolver directamente triangulos para los cualessabemos:i.- Dos angulos y cualquiera de los lados

ii.- Dos lados y un angulo opuesto a alguno de estos lados

La ley de Cosenos sirve para resolver directamente aquellos triangulos endonde se conoce

i.- Tres lados

ii.- Dos lados y el angulo comprendido entre los lados.

El objetivo de este Taller es considerar el caso en que se conocen Dos lados y unangulo opuesto a alguno de estos ladosSupongamos que los lados b y c y el angulo β del triangulo ABC se nos especifica( Ver figura 1)

unit = 0,5(0, 0,2)(12, 7)− >(0, 2)(10, 2)(0, 2)(5, 6)(5, 6)(6, 4)[linestyle = dotted, dotsep = 2pt](6, 4)(6,5, 3)[l](0, 2)

B[u](5, 6)A[ur](1, 2)β [l](3,5)c [r](6,5)b [r](6.5,1.5)C [d](4,1)figura 1

Eltercervertice

CselocalizaenlabasedibujandoelarcodeuncırculoderadiobconcentroA(V erfigura2, figura3), luegohaycuatroresultadosposiblesparaestaconstruccion.unit=0.5 (-2,0.2)(12,7) (0,2)(9,2) (0,2)(5,6) (5,6)(6,4) [linestyle=dotted,dotsep=2pt](4.5,4.5)(4.7,4.2)(6,3.9)(6.5,4.2)(6.9,5)[l](0,2)B [u](5,6)A [ur](1,2)β [l](3,5)c [r](5.6,5.2)b [r](6.5,1.5)C [d](9,1)figura 2(12,2)(21,2) (12,2)(17,6) (17,6)(15,2) (17,6)(18,2) [linestyle=dotted,dotsep=2pt](14.3,2.6)(16.2,1.35)(17.5,1.5)(18.3,2.2)(18.9,3)[d](15,2)C1 [d](18.5,2)C2 [r](17.4,4.5)b [l](12,2)B [u](17,6)A [l](15,5)c [ur](13,2)βunit=0.8 (-5,-1)(12,7) (0,2)(9,2) (0,2)(5,6) (5,6)(8,2) [linestyle=dotted,dotsep=2pt](6.5,1.3)(6.7,1.3)(8,1.9)(8.5,2.4)(8.9,3)[l](0,2)B [u](5,6)A [ur](1,2)β [l](3,5)c [r](5.6,5.2)b [r](7.5,1.5)C(12,2)(21,2) (12,2)(17,6) (17,6)(17,2) [linestyle=dotted,dotsep=2pt](15.3,2.8)(15.9,2.2)(17.3,2.1)(17.6,2.2)(18.2,2.8)[d](17,2)C [r](17,4.5)b [l](12,2)B [u](17,6)A [l](15,5)c [ur](13,2)β [d](9,1)figura 3

a.- El arco no intersecta la base y no se forma ningun triangulo. (Ejemplo: b =9, c = 5 y γ = 40o.)

b.- El arco intersecta la base en dos puntos distintos C1 y C2 y se forman dostriangulos. (Ejemplo: b = 5, c = 6 y β = 50o.)

c.- El arco intersecta la base en un punto y se forma un triangulo. (Ejemplo:b = 4, c = 3 y β = 80o.)

d.- El arco es tangente a la base, y se forma un triangulo rectangulo.(Ejemplo:b =

√3, c = 2 y β = 60o.

Al existir esta variedad de posibilidades, este caso se denomina ambiguo.

180. Sea 0o < β < 90o y suponga que c se conoce ( Ver figura ) unit = 1,2(−7, 0,2)(12, 8)(0, 2)(9, 2)(0, 2)(5, 6)(5, 6)(6, 4)[linestyle =dotted, dotsep = 2pt](4,5, 4,5)(4,7, 4,2)(6, 3,9)(6,5, 4,2)(6,9, 5)[ur](1, 2)β [l](2.6,5)c [r](5.6,5.2)b [d](5,1.5)figura5 Encuentretodoslosvaloresdebparaloscuales :

78


i).-El triangulo es un triangulo rectangulo.ii).- El triangulo no tiene solucion.iii).-El triangulo tiene dos soluciones distintas.iv).-El triangulo tiene una sola solucion.

181. Sea c = 5 y β = 45o como se muestra en la figura. Encuentre todos los valores de b para los cuales :unit = 1,2(−9, 0,2)(12, 8)(0, 2)(9, 2)(0, 2)(5, 6)(5, 6)(6, 4)[linestyle = dotted, dotsep = 2pt](4,5, 4,5)(4,7, 4,2)(6, 3,9)(6,5, 4,2)(6,9, 5)[ur](1, 2)45o

[l](2.6,5)c = 5 [r](5.6,5.2)b [d](5,1.5)figura 4i).-El triangulo es un triangulo rectangulo. ii).- El triangulo no tiene solucion. iii).-El triangulotiene dos soluciones distintas. iv).-El triangulo tiene una sola solucion.

79


182. Sean f, g, h funciones definidas por:

f(x) := sen(2x), g(x) :=√

3 cos(2x), h(x) :=1

1 + [x]

◦ Encuentre Dom(1/g)◦ Encuentre Dom(h o f)◦ Trace la grafica de f + g

◦ Encuentre las soluciones sobre [0, π] de: f(x) + g(x) = 1.

80


183. Encuentre sen(x2 ) y cos(x

2 ) en funcion de senx y cos x

184. Dada la funcionf(x) = sen

(π

2− 2x

)+√

3 (senx + cos x)2 +√

3 cos (3x)

Determinar◦ Amplitud, perıodo y angulo de fase de f(x)◦ Todos los x ∈ [0, 2π] para los cuales f(x) = 0

185. Sean f, g : R → R definida por:

f(x) := |x|, g(x) := 1− 2sen (3x− π)

◦ Encuentre el perıodo T de g y Rec(g).◦ Trace las graficas de g y f o g.◦ Evalue (f o g)

(k π

2

), k ∈ N

81


186. Dada la funcion sinusoidal y = cos(

3π2 + 2x

)+ 2sen2 (x− π)− 1. Encuentre:

◦ Amplitud.◦ Perıodo.◦ Angulo de fase.◦ Encuentre todos los x ∈ [0, 2π] tales que y = 1.

187. Si tan θ = −2 y senθ > 0, determine el valor exacto de

cos θ + senθ

188. Resuelva la ecuacion trigonometrica:

senx

4− sen

x

2= 0

189. Determine el dominio de la funcion

g(θ) = 3 tan θ + 2 csc θ

82


190. Desde un faro L, se observan dos barcos, A y B, en las direcciones SO y 150 al este del Surrespectivamente. Al mismo tiempo B se observa desde A en direccion SE. Si la distancia LA esde 4 kilometros,hallese la distancia entre los barcos.


cos 2xsen3x− cos 2x− 3sen3x + 3 = 0

192. Dadas las funciones g(x) = tanx y f(x) = 2x−π/4, determine un valor de x tal que (g o f)(x) = 1.

83


193. Considere las funciones h(x) = tan(x) y g(x) = 2sen(4x)a) ¿Cual es el dominio de la funcion h(x) y cual es su perıodo?.b) ¿Cual es el recorrido de la funcion g(x) y cual es su perıodo?.c) Resolver la ecuacion trigonometrica (1− tan(x)) sen(4x) = 0

194. Resuelva la inecuacion

1 +sen2θ

1 + cos θ≤ 1− cos θ

195. Una persona que camina en lınea recta hacia una antena, observa que al avanzar 30 pasos elangulo de elevacion de la punta superior de la antena cambia de 30o a 60o.Estime la altura de la antena.

84


196. Dada la siguiente funcion:

f(x) =sen2x + tanx cos x

senx

a) Determine el dominio y recorrido de la funcion.b) ¿Existe x ∈ R tal que f(x) = 1?

85



2 cos 2x + tanx

3+ 2 tan

x

3cos 2x + 1 = 0

198. Dada la sinusoidaly = −3 cos 2x

use las propiedades basicas de trigonometrıa para llevarla a la forma

y = Asen (Bx + C)

luego, determine la amplitud, perıodo y angulo de fase. Represente graficamente un perıodode la sinusoidal.

199. Verifique la siguiente identidad

Arcsen(x) =π

2− 2Arcsen

(√1− x

2

)

200. Resuelva la ecuacion trigonometrica

sen2t cos2 t = −√

32

cos(t)

86


201. Resuelva la ecuacion trigonometrica

cos4 2x− sen42x =√

32

202. Una recta l en el plano, forma un angulo de 120◦ con el eje OX. El segmento de la recta contenidoen el primer cuadrante del sistema de coordenadas mide 10[cm]. Al girar dicho segmento entorno al eje OY se produce un cono. Determine la altura h y el radio r del cono y calcule suvolumen dado por V = 1

3πr2h.

203. Verifique las siguientes identidades:a)

cos 4x− cos 12xsen12x + sen4x

= tan 4x

b)

sen45◦ cos 15◦ =√

3 + 14

87


204. Un terreno triangular tiene los lados de longitud 35, 40 y 60 metros respectivamente. Encuentreel angulo interior mas grande del triangulo.

205. Demuestre que

Arcsen1√5

+ Arcsen2√5

=π

2

206. Resolver en R:Arccos

(2x2 − 1

)= 2Arccos

12

88


207. Un observador determina que el angulo de elevacion de una torre es α; avanza a[m] hacia latorre y el angulo de elevacion es, ahora, 45◦; avanza otros b[m] y el angulo de elevacion es, ahora,90◦ − α. Determine la altura de la torre en terminos de a y b (a 6= b).

208. Si senθ = −3/5 y tan θ > 0, determine los valores de las restantes funciones trigonometricas de θ.209. Demuestre que, si α, β y γ son angulos interiores de un triangulo, entonces:

a) sen2α− sen2β + sen2γ = 4 cos αsenβ cos γ

b) tanα + tanβ + tan γ = tan α tanβ tan γ

89


210. Transforme los siguientes productos en suma:a) sen3θ cos 5θ

b) cos θsen θ2

211. Sea f(x) = ksenkx +√

3k cos kx una sinusoide de perıodo T = π.a) Encuentre la amplitud y el angulo de fase de f .b) Grafique un perıodo de f .

212. Dada la sinusoide de ecuacion: y = cos (π − 2x)−√

3 cos(2x + π

2

), encuentre:

a) Su amplitud, perıodo, angulo de fase, yb) el numero de intersecciones de su grafica con el eje OX sobre el intervalo

[0, 49π/12]

90


213. Resuelva las siguientes ecuaciones trigonometricas:a) tanx + 3 cot x = 5 sec x

b) 3senx− 4sen(x− π

2

)= 5

c) 1−tan x1+tan x = 1 + sen2x

214. Resuelva las ecuaciones trigonometricas siguientes:

a)(sen2x +

√3 cos 2x

)2 − 5 = cos(

π6 − 2x

)b) (27 cos x− 36senx)2 = 2025c) senxsen2xsen3x = 4/5

91


215. Si a + b = π3 , calcule el valor de:

sena− senb

cos b− cos a

216. Demuestre que:2 cos

(α +

π

4

)sen

(α +

π

4

)= 2 cos2 α− 1

217. Determine la amplitud, perıodo y grafico de:

y = 3sen (πx + 2π) + 4sen

(πx +

5π

2

)

92


218. Resuelva e ilustre graficamente las soluciones de la desigualdad:

cos θ <12, para θ ∈ [−2π, 2π]

219. Resolver la ecuacion trigonometrica

tan 2x + sec 2x = −1

220. Encuentre la altura de un arbol si el angulo de elevacion de su cuspide cambia de 20o a 40o

cuando el observador avanza 75[m] hacia su base.221. Resolver:

Arcsen (x− 2) + Arccosx

2=

π

2222. Demostrar la identidad:

4sen4t cos 2tsent = − cos 7t + cos 5t− cos 3t + cos t

93


223. Dada la funcion f(x) =√

3sen2x + cos 2x

a) Determine amplitud, perıodo y angulo de fase.b) Grafique por lo menos un perıodo.c) Encuentre los valores para los cuales f(x) = 1.

224. Si tanx = 2, tan y = 3, Calcular el valor de A donde

A =sen (x + y)− sen (x− y)cos (x + y) + cos (x− y)

225. Determinar el valor de A, si sec w = 53 , w esta en el IV cuadrante, donde

A =senw + cos w

cot w + tanw

94


226. Sitan γ =

nsenα cos α

1− nsen2α, n 6= 1

Probar que tan (π + α− γ) = (1− n) tan α

227. En un triangulo ABC. Si a = 2, c = p y b =√

4 + 2p + p2 ¿Cuanto vale el mayor angulo?228. Resolver

√2 cos

(72x)

= 1 tal que 0 ≤ x ≤ 2π

95


229. Desde la cima de una colina de altura h, un observador va hacia el valle que esta en lınea conla base de la colina y ve a dos personas con angulos de depresion α y β (ambos agudos α > β).Encontrar la distancia entre la personas.

96


230. Determinar la longitud del trazo CE dados α, β, γ y ∠ABC = 90o

97


231. Dado el triangulo ABC que se muestra en la figura:

a) Calcule cos β.b) Encuentre la longitud de AB

c) ¿Cual es el valor de senα?

98


232. Un observador de altura h esta de pie en un terreno inclinado y a una distancia d de la basede una construccion de altura T , como se muestra en la figura. El angulo de elevacion delobservador a la parte mas alta del edificio es θ, y el terreno inclinado hace un angulo de α conla horizontal.Expresa T en terminos de h, d, α y θ.

99


233. Considere el triangulo ABC de la figura, con base AB = b y altura BC = h, en que DE es paralelaa AB. Determine al area del 4DEC en funcion de y. Encuentre ademas para que valores de yel trazo DE divide al 4ABC en dos figuras de igual area.

100


234. En la figura, L1 es paralela a L2 y AC = 2AB. ¿Que valor tiene el angulo ϕ?

235. Determine el valor exacto de senβ

236. Resuelva la desigualdad|senx| > | cos x|, x ∈ [0, 2π]

101


237. Se desea construir un canal de regadıo cuya seccion transversal es como la que se muestra enla figura, donde a ∈ R+

0 .

a) Determine el area de la seccion transversal en funcion del angulo x.b) Encuentre el dominio y recorrido de la funcion obtenida en a).

102


238. Dado el paralelogramo de la figura, en donde h1, h2 son sus alturas.

Si el perımetro del paralelogramo es 2p y h1 + h2 < p, determine α y β en funcion de h1, h2 y p.

103


28. Ejercicios Numeros Complejos

239. Realice las siguientes operaciones.

a) (4−3i)+(2i−8) b) 3(−1+4i)−2(7−i)

c) (3+2i)(2−i) d) (i−2){2(1+i)−3(1−i)}

e) 2− 3i

4− if) (4+i)(3+2i)(1−i)

g)(2 + i)(3− 2i)(1 + 2i)

(1− i)2h) (2i−1)2(

41− i

+2− i

1 + i)

i) i4 + i9 + i16

2− i5 + i10 − i15j) 3(

1 + i

1− i)2+2(

1− i

1 + i)3

104


240. Exprese los siguientes numeros complejos en su forma polar, y luego ubıquelos en el planocomplejo.

a) 2− 2i b) −1 +√

3i

c) 2√

2 + 2√

2i d) −i

e) −4 f) −2√

3− 2i

g)√

2i h)√

32 − 3i

2

i) 7 j) 1 + i

k) 3 + 3i l) 4 + 5i

105


241. Exprese los siguientes numeros complejos en su forma rectangular, es decir, en la forma a + bi.

a) 7eiπ3 b) 2e

iπ6

c) (5cis20◦)(3cis40◦) d) (2cis50◦)6

e) (3eiπ6 )(2e

−5iπ4 )(6e

5iπ3 )

(4e2iπ3 )3

f)(8cis40◦)3

(2cis60◦)4

g) (√

3+i)7 h)(−√

3 + i)23(2− 2i)12

(5− 5√

3i)35

106


242. Calcule las raıces de los siguientes numeros, y luego ubıquelos en el plano complejo.

a) (2√

3− 2i)12 b) (−4 + 4i)

15

c) (2 + 2√

3i)13 d) (−16i)

14

e) 3√

8 f) 4√

16

g) (−8− 8√

3i)14 h)

√2i

107


243. Halle las raıces cubicas de la unidad, y luego grafique los puntos en el plano complejo. ¿Que figu-ra se forma si une los puntos?

244. Halle las raıces quintas de la unidad, y luego grafique los puntos en el plano complejo. ¿Que figu-ra se forma si une los puntos?

245. ¿Que figura esperarıa si graficara las raıces n-esimas de la unidad?

108


246. Represente geometricamente el conjunto de puntos determinados por las siguientes condiciones.

Indicacion: En algunos casos es util hacer el cambio z = x + iy.

a) ‖z − i‖ = 2 b) ‖z + 2i‖+ ‖z − 2i‖ = 6

c) ‖z − 3‖ − ‖z + 3‖ = 4 d) z(z + 2) = 3

109


e) Im{z2} = 4 f) Re{z − i} = 2

g) Re{z2} > 1 h) Im{2z} −Re{6z} = 8i) ‖z − 1 + i‖ ≤ 4 j) 1 < ‖z + i‖ ≤ 2

k) z2 + z2 = 2 l) ‖z + 2− 3i‖+ ‖z − 2 + 3i‖ < 10

110


Dado que eiθ = cos θ + isenθ y que eiαeiβ = ei(α+β) demuestre:247. sen(α± β) = senα cos β ± cos αsenβ.248. cos(α± β) = cos α cos β ∓ senα cos β.

Pruebe las siguientes identidades trigonometricas utilizando la forma compleja del seno y delcoseno.

249. sen3θ = 34senθ − 1

4sen3θ.250. cos4 θ = 1

8 cos θ + 12 cos 2θ + 3

8 .

111


29. Lımites y Continuidad

◦ Definicion y calculo.Escribimos

lımx→a

f(x) = L

y decimos ”el lımite de f(x), cuando x tiende a a, es igual a L” si podemosacercar arbitrariamente los valores de f(x) a L (tanto como deseemos) eligiendoun valor de x los bastante cerca de a, pero no necesariamente igual a a.

Si existen los lımites lımx→a f(x), y lımx→a g(x) se cumplen las siguientes reglas:◦ Si f(x) = c, una constante, entonces:

lımx→a

f(x) = c

◦ Si k es una constante, entonces:

lımx→a

kf(x) = k lımx→a

f(x)

◦lımx→a

[f(x)± g(x)] = lımx→a

f(x)± lımx→a

g(x)

◦lımx→a

[f(x) · g(x)] = lımx→a

f(x) · lımx→a

g(x)

◦lımx→a

f(x)g(x)

=lımx→a f(x)lımx→a g(x)

siempre quelımx→a

g(x) 6= 0

◦lımx→a

n√

f(x) = n

√lımx→a

f(x)

◦lımx→a

[f(x)]n = [ lımx→a

f(x)]n

◦ Si m, b y a son tres constantes cualesquiera, entonces

lımx→a

(mx + b) = ma + b

◦ Lımites especiales.Los lımites siguientes se emplean con frecuencia:

lımx→0

senx

x= 1

lımx→∞

(1 +

1x

)x

= lımα→0

(1 + α)1α = e = 2, 71828 . . .

lımx→∞

anxn + an−1xn−1 + . . . + a0

bmxm + bb−1xm−1 + . . . + b0=

∞ para n > man

bmpara n = m

0 para n < m

◦ Al calcular los lımites de la forma

lımx→a

[f(x)]g(x) = C (5)

debe tenerse en cuenta que:

112


1) Si existen los lımites finitos

lımx→a

f(x) = A y lımx→a

g(x) = B

Se tiene que C = AB;2) Si f(x) = 1 + α(x), donde α(x) → 0, cuando x → a y lımx→a g(x) = ∞, el problema

de calcular (5) se resuelve directamente con el calculo de lımx→a(1 + α(x))g(x)

◦ Al buscar el lımite de la razon de dos polinomios enteros respecto a x, cuandox →∞, es conveniente dividir previamente los dos terminos de la razon por xn,donde n es la mayor potencia de esos polinomios.

◦ Si P (x) y Q(x) son polinomios enteros y P (a) 6= 0 o Q(a) 6= 0, el lımite de lafraccion racional

lımx→a

P (x)Q(x)

se calcula directamente.◦ Si P (a) = Q(a) = 0 es recomendable simplificar la fraccion P (x)

Q(x) por el binomio(x− a) una o varias veces.

◦ Para calcular algunos lımites es necesario conocer las siguientes reglas trigonometri-cas:

1) senα + senβ = 2senα+β2 cos α−β

2

2) senα− senβ = 2senα−β2 cos α+β

2

3) cos α + cos β = 2 cos α+β2 cos α−β

2

4) cos α− cos β = 2senα+β2 senβ−α

2

5) 1 + cos α = 2 cos2 α2

6) 1− cos α = 2sen2 α2

7) senα = 2senα2 cos α

2

8) cos α = cos2 α2 − sen2 α

2

◦ Lımites laterales.Por

lımx→a−

f(x) = A

denotaremos el hecho de que f(x) tiende a A cuando x tiende a a con valoresmenores que a, es decir, cuando x tiende hacia a por la izquierda.De la misma forma,

lımx→a+

f(x) = B

significa que f(x) tiende a B cuando x tiende hacia a con valores mayores que a,es decir, cuando x tiende hacia a por la derecha.La afirmacion

lımx→a

f(x) = A

es equivalente a la existencia simultanea de dos lımites laterales:

lımx→a−

f(x) = A; lımx→a+

f(x) = B : A = B.

La existencia del lımite por la izquierda no implica la existencia del lımite porla derecha, y viceversa.

◦ Asıntotas verticales y horizontales.La recta x = a se llama asıntota vertical de la curva y = f(x) si se cumple por lomenos una de las siguientes proposiciones:

lımx→a

f(x) = ∞ lımx→a

f(x) = −∞

113


lımx→a−

f(x) = ∞ lımx→a−

f(x) = −∞

lımx→a+

f(x) = ∞ lımx→a+

f(x) = −∞

La recta y = L se llama asıntota horizontal de la curva y = f(x) si:

lımx→∞

f(x) = L o lımx→−∞

f(x) = L

◦ Ley del Sandwich o Acotamiento ( Emparedado).Suponga que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x en alguna vecindad reducida o perforada de x0 yde modo que lımx→x0 f(x) = L = lımx→x0 h(x) entonces

lımx→x0

g(x) = L

114


30. Ejercicios de Lımites

Calcular (si existe):251.

lımt→0

sent cos t

t− t2

252.

lımx→1

(f(x))2 − 1x2 − 1

f(1) = 1 : f ′(1) = 2

253.

lımx→π/2

x−(

π2 − x

)3cos x

254.

lımx→−1

(1

1 + x− 3

1 + x3

)255.

lımx→π

2

√2−

√1 + cos

(x− π

2

)sen2

(x− π

2

)256.

lımx→0

ln (a + x)− ln a

x, a > 0

115


257.

lımx→0

1x

(1−

√2 cos

(π − x

4

))258.

lımx→+∞

(√x(x + 5)− x

)259.

lımx→0

senx + 1− cos x

x

260.

lımx→+∞

x2 + senx

x2 − sen2x

261.

lımx→7

2−√

x− 3x2 − 49

262.

lımx→a

x2 − (a + b)x + ab

x2 − (a + c)x + ac

116


263.

lımx→∞

xsen2 3√

x

1 + x2

264.lım

x→π/2| sec x|x

265.lımx→0

tanx− senx

x3

266.

lımx→0

√2−

√1 + cos x

tan2 x

117


267.

lımx→−256

√|x| − 16

4− 4√|x|

268.

lımx→0

sen (a + x) + sen (a− x)− 2sena

x2

269.

lımx→0

√x4 + x2

x

270.lımx→2

2− x

2−√

2x

271.

lımx→1

x− (n + 1)xn+1 + nxn+2

1− x

118


272.

lımx→+∞

(x2 − 1x + 2

− x2 + 1x− 2

)273.

lımx→5

x2 − |x− 5| − 25|x− 5|

274.

lımx→1

cos(

π2 x)

1− x

119


31. Continuidad

◦ Definicion y analisis.

Una funcion y = f(x) es continua en x = x0 si se cumplen las tres condicionessiguientes:� La funcion esta definida en x = x0 : f(x0) = y0

� Existelım

x→x0f(x) = L

� L = y0

Si no se cumple al menos una de las tres condiciones anteriores, se dice que fes discontinua en x = x0.Si la funcion f es continua para todos los valores de x que pertenecen al intervalo(a, b), entonces se dice que f es continua en (a, b).

◦ Continuidad por la derecha y por la izquierda.Se dice que f es continua en x = x0 por la derecha (por la izquierda), si:� La funcion esta definida en x = x0 : f(x0) = y0

� Existe

lımx→x+

0

f(x) = L,

(lım

x→x−0

f(x) = L

)� L = y0

◦ Continuidad en un intervalo cerrado.La funcion f es continua en el intervalo cerrado [a, b] si es continua en el intervalo(a, b) y es continua por la derecha en x = a y por la izquierda en x = b.Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces la funcion f en ese inter-valo:

i.- Es acotada, es decir, existen constantes A, y B de modo que A ≤ f(x) ≤ B,para todo x ∈ [a, b].

ii.- Para cada elemento y elemento en el recorrido de f , existe al menos un x enel dominio [a, b], tal que y = f(x).

iii.- f tiene Maximos y Mınimos.iv.- El recorrido de f es un intervalo cerrado [c, d], en donde c = Minx∈[a,b]f(x), y d =

Maxx∈[a,b]f(x).Las siguientes funciones son continuas en todo su dominio:� Polinomios� Funciones racionales� Funciones exponenciales y logarıtmicas� Funciones trigonometricas y sus inversas

◦ Propiedades de las funciones continuas.

� Si las funciones f y g son continuas en x = x0, entonces las funciones: f ± g;f · g; f

g (si g(x0) 6= 0) y kf (k ∈ R) tambien son continuas en x = x0

� Si g es continua en x = x0 y f es continua en x = c = g(x0), entonces f ◦ g escontinua en x = x0

◦ Clasificacion de puntos de discontinuidad.

� Si existelım

x→x0f(x) = L

120


, pero la funcion no esta definida en x = x0 o f(x0) 6= L entonces se dice que ftiene en x = x0 una discontinuidad evitable o reparable. Observese que en estecaso se podrıa definir o redefinir f(x0) = L de manera que la funcion resultaracontinua.

� Si no existelım

x→x0f(x)

entonces se dice que f tiene en x = x0 una discontinuidad inevitable o ir-reparable. Recuerdese que la no existencia del lımite se puede deber a quesean diferentes los lımite laterales o a que

lımx→x0

f(x) = ∞

� Si la funcion f(x) tiene lımites finitos

lımx→x−0

f(x) = f(x0 − 0)

lımx→x+

0

f(x) = f(x0 + 0)

pero si los tres numeros f(x0), f(x0 − 0) y f(x0 + 0) no son iguales entre sı,entonces x0 recibe el nombre de punto de discontinuidad de primera especie.En particular, si:

f(x0 − 0) = f(x0 + 0)

x0 se llama punto de discontinuidad evitable o reparable.� Los puntos de discontinuidad de la funcion que no son de primera especie

se llaman puntos de discontinuidad de segunda especie. Son tambien puntosde discontinuidad de segunda especie los puntos de discontinuidad infinita,es decir, aquellos puntos x0 para los que, por lo menos, uno de los lımiteslaterales f(x0 − 0) y f(x0 + 0) es igual a ∞

� La diferencia f(x0 − 0)− f(x0 + 0) se llama salto de la funcion en el punto x0.

121


32. Ejercicios: Continuidad

275. Determinar a, b ∈ R para que la funcion:

f(x) =

a(1− x) tan πx

2 si 0 < x < 12b si x = 1

x−13√x−1

si x > 1

sea continua276. Sea f(x) una funcion tal que

1− cos 3x

x2≤ f(x) ≤ tan2 3x

2x2, x > 0

calcule:lım

x→0+f(x)

122


277. Si f(1) = 1 y f ′(1) = 2 calcule:

lımx→1

√f(x)− 1√x− 1

278. Determine k ∈ R de manera que

f(x) ={

cos πx2 si |x| ≤ 1

k|x− 1| si |x| > 1

sea continua en R. ¡Justifique!

123


279. Determinar los valores de A y B, de modo que la funcion

f(x) =

−2senx si x ≤ −π/2Asenx + B si −π/2 < x < π/2cos x si π/2 ≤ x

sea continua en la recta real.280. Si h es una funcion definida por

h(x) =

x + 3 si x < 07 si x = 02(1+cos(π+3x))

3x2 si x > 0

¿Existe lımx→0 h(x)? justifique su respuesta.

124


281. Encuentre a y b de modo que

lımx→0

(sen3x

x3+

a

x2+ b

)= 0

282. Dada la funcion g definida por: g(x) =(

π4 − x

)· tan 2x

◦ Calcule (si existe): lımx→π/2 g(x)◦ Calcule (si existe): lımx→π/4 g(x)◦ Es claro que π

4 6∈ dom g. ¿Es posible definir g en x = π/4de modo que resultecontinua en dicho punto?

125


283. Determinar a, b ∈ R para que f sea continua en x = 0

f(x) =

(ax+b)2−b2

cx si x < 0−14 si x = 0cos(ax)−cos(bx)

x2 si x > 0

284. Sea

f(x) =

(x2 − 9)sen

(1

x−3

)si x > 3

x− 3 si 0 < x < 32x3 − 3x2 − 5 si x ≤ 0

Estudiar la continuidad de f en R. Si la funcion es discontinua en algunos puntos, decida si ladiscontinuidad es reparable o irreparable; si es reparable redefinir f de modo que sea continuaen esos puntos.

126


285. Considere la funcion con dominio en (−π, π), dada por:

h(x) =

cos x

2 +sen x2

cos x si −π < x < −π2

Asenx + B si −π2 < x < π

2„√2−

q1+cos(x−π

2 )«·(x−π

2 )sen3(x−π

2 ) si π2 < x < π

Determine los valores de A y B de modo que f sea continua en los puntos −π2 y π

2

286. Determine las ecuaciones de las asıntotas a la grafica de la funcion

f(x) =x3

x2 − 1

287. Encuentre los valores de a de modo que exista lımx→0 f(x), donde:

f(x) ={ senax

x + 2 si x < 01−cos

√2x

x2 x > 0

127


288. A cada una de las siguientes aseveraciones responda con verdadero o falso, justificando clara-mente sus respuestas.

a) Si lımx→c

f(x) = L, entonces f(c) = L

b) Si f(c) no esta definida , entonces lımx→c

f(x) no existe.

c) Las coordenadas del agujero en la grafica de y = x2−25x−5 son (5, 10).

d) Si p(x) es un polinomio, entonces lımx→c

p(x) = p(c).

e) lımx→0

senxx+x2 no existe.

f) Para todo numero real c, lımx→c

tanx = tan c.

g) La funcion f(x) = 2sen2x− cos x es continua en todos los numeros reales.

128


h) lımx→+∞

senxx = 1.

i) Si f es una funcion continua tal que A ≤ f(x) ≤ B, entonces lımx→∞

f(x) existe

y satisface A ≤ lımx→∞

f(x) ≤ B.

j) lımt→1−

2tt−1 = +∞.

k) Si lımx→c−

f(x) = lımx→c+

f(x), entonces f(x) es continua en x = c.

l) Si lımx→c

f(x) = f( lımx→c

x), entonces f(x) es continua en x = c.

m) La funcion f(x) = [x/2] es continua en x = 2,3.

n) Si lımx→2

f(x) = f(2) > 0, entonces f(x) < 1,001f(2), para todo x en algun intervaloque contenga a 2.

129


n) Si lımx→c

f(x) + g(x) existe, entonces existen los limites lımx→c

f(x) y lımx→c

g(x).

o) Si 0 ≤ f(x) ≤ 3x2 + 2x4 para toda x, entonces lımx→0

f(x) = 0.

p) Si lımx→a

f(x) = L y lımx→a

f(x) = M , entonces L = M .

q) Si lımx→a−

f(x) = lımx→a+

f(x), entonces lımx→a

f(x) existe.

r) Si f(x) 6= g(x) para toda x, entonces lımx→c

f(x) 6= lımx→c

g(x).

s) si f(x) < 10 para toda x y lımx→2

f(x) existe, entonces lımx→2

f(x) < 10.

t) Si lımx→a

f(x) = b, entonces lımx→a

|f(x)| = |b|.

130


u) Si f(x) es continua y positiva en [a, b], entonces 1/f(x) debe tomar valores entre1/f(a) y 1/f(b).

v) El polinimio x5 − 4x3 − 3x + 1 = 0 no tiene ninguna raiz entre x = 2 y x = 3.

w) ¿Existe a ∈ R de modo que:

f(x) =

x + 1 x < 1a− x2 x > 1

2 x = 1

sea continua en R?.¿ Es posible determinar lım

x→1

f(x)−f(1)x−1 ?

131


¿Existen los siguientes limites ?lımx→0

1+ 1xq

1+ 1x2

?

lımx→8

x23−4

x−8

lımθ→0

1−cos θθ sen θ

lımx→∞

|x|x .

132


33. Derivada

x)y)z)zs)◦ Definicion.Sea y = f(x) una funcion definida y continua en el intervalo (a, b). La derivadade f(x) en x = x0, x0 ∈ (a, b), se define como:

f ′(x0) = lım∆x→0

f(x0 + ∆x)− f(x0)∆x

si este lımite existe.En ese caso se dice que y = f(x) es derivable en x = x0. En caso contrario, sedice que f(x) no es derivable en x = x0.

◦ Interpretacion geometrica de la derivada.Sea y = f(x) una funcion derivable x = x0. Entonces, m = f ′(x0) es la pendientede la recta T , tangente a la curva dada por la ecuacion y = f(x), en el punto(x0, f(x0)). La recta N , perpendicular a T en el punto (x0, f(x0)) se dice que esnormal a la curva y = f(x) en ese punto y su pendiente es − 1

m .

Una funcion que es derivable en todos los puntos del intervalo (a, b) se dice que derivable en ese

intervalo. Las formas para designar la derivada son: df(x)dx (notacion de Leibniz) , y′ (notacion

de Newton) , dydx (notacion de Leibniz)

Reglas de Derivacion.

◦ Si c es constante,c′ = 0

◦ Si c es constante,[cf(x)]′ = cf ′(x)

◦[f(x) · g(x)]′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)

◦ Si g(x) 6= 0, [f(x)g(x)

]′=

f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)(g(x))2

◦ Para n 6= 0,(xn)′ = nxn−1

◦ (√x)′ =

12√

x

◦ (1x

)′= − 1

x2

◦(ax)′ = axlna

◦(ex)′ = ex

◦(logax)′ =

1xlna

◦(lnx)′ =

1x

◦(senx)′ = cos x

133


◦(cos x)′ = −senx

◦(tanx)′ = sec2 x

◦(sec x)′ = sec x tanx

◦(cot x)′ = − csc2 x

◦(Arcsenx)′ =

1√1− x2

◦(Arccosx)′ = − 1√

1− x2

◦(Arctanx)′ =

11 + x2

◦(Arccotx)′ = − 1

1 + x2

◦

(senhx)′ =(

ex − e−x

2

)′= cosh x

◦

(coshx)′ =(

ex + e−x

2

)′= senhx

◦(tghx)′ =

(senhx

coshx

)′=

1cosh2 x

◦(cothx)′ =

(coshx

senhx

)′= − 1

senh2x

◦ Derivada de la funcion compuesta (Regla de la cadena).

(f [g(x)])′ = f ′ [g(x)] · g′(x)

◦ Derivacion logarıtmica.Se llama derivada logarıtmica de una funcion y = f(x) a la derivada del logaritmode dicha funcion, es decir,

(lny)′ =y′

y=

f ′(x)f(x)

◦ Derivada de funciones dadas en forma parametrica.Si la relacion entre la funcion y y el argumento x viene dada por medio delparametro t {

x = f(t)y = g(t)

Se obtiene,

y′x =dy

dx=

dydtdxdt

134


◦ Derivada de la funcion implıcita y de la funcion inversa.En ocasiones, la relacion entre la variable no esta dada explıcita, sino implıcita-mente:

F (x, y) = 0en este caso, la derivada se calcula como

dF

dx+

dF

dy

dy

dx= 0

y resultady

dx= −

dFdxdFdy

Supongamos que la funcion f esta definida en el intervalo abierto I y que f ′(x) >0 para toda x en I ( Es decir estrictamente creciente en I ). Entonces f tieneuna funcion inversa g, la funcion g es derivable y se tiene que

g′(x) =1

f ′(g(x))

para toda x en el dominio de g.◦ Derivadas de orden superior.

Dada la funcion f(x), podemos hallar su segunda derivada f ′′(x), derivando suprimera derivada:

(f(x)′)′ = f ′′(x)De la misma forma, se puede calcular la derivada de cualquier orden n, (siexiste), derivando la derivada de orden n− 1:

f(x)(n) =(f(x)(n−1)

)′.

Para las funciones dadas en forma parametrica:{x = f(t)y = g(t)

sus derivadas y′x = dydx , y′′xx = d2y

dx2 , . . . pueden calcularse sucesivamente por lasformulas:

y′x =y′tx′t

, y′′xx = (y′x)′x =(y′x)′tx′t

, y′′′xxx =y′′xx

x′t, . . .

Para la derivada de segundo orden se cumple la formula

y′′xx =x′ty

′′tt − x′′tty

′t

(x′t)3

Formulas fundamentales:I.

(ax)(n) = axlnna (a > 0)II.

(ex)(n) = ex

III.(senx)(n) = sen

(x +

nπ

2

)IV.

(cos x)(n) = cos(x +

nπ

2

)V.

(xm)(n) = m(m− 1) . . . (m− n + 1)xm−n

VI.

(lnx)(n) =(−1)n−1(n− 1)!

xn

135


34. Regla de L‘Hopital

Si el

lımx→c

f(x)g(x)

es una indeterminacion de alguno de los tipos 00 0 ∞

∞ entonces:

lımx→c

f(x)g(x)

= lımx→c

f ′(x)g′(x)

OBSERVACIONNo se debe cometer el error de plantear que:

lımx→c

f(x)g(x)

= lımx→c

f ′(x)g′(x)

si no se tiene una indeterminacion de uno de los tipos mencionados. Notese que el resultadoanterior es valido solo si el lımite original resulta una indeterminacion de los tipos dados.En ocasiones, es necesario aplicar varias veces seguidas la regla de L′opital para eliminar laindeterminacion.Para calcular los lımites de expresiones indeterminadas de la forma 0 ·∞, hay que transformarlos correspondientes productos f(x) · g(x), donde

lımx→c

f(x) = 0 y lımx→c

g(x) = ∞

en la fraccion f(x)1

g(x)

(00

)o bien en g(x)

1f(x)

(∞∞)

En caso de expresiones indeterminadas de la forma∞−∞ debe transformarse la correspondientediferencia f(x)− g(x) en el producto

f(x) ·[1− g(x)

f(x)

]y calcular, en primer lugar, el lımite de la fraccion g(x)

f(x) ; si el

lımx→c

g(x)f(x)

= 1

reducimos esta expresion a la forma

1− g(x)f(x)

1f(x)

(00

).

Los lımites de las expresiones indeterminadas de las formas 1∞, 00, y ∞0 se calculan buscandopreviamente sus logaritmos y calculando el lımite del logaritmo de la expresion exponencial

[f(x)]g(x)

(para lo que sera necesario calcular lımites indeterminados de la forma 0 · ∞).

35. Teorema del valor medio

Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y c es cualquier numero entre f(a) y f(b), entoncesexiste un valor x0 que pertenece al intervalo [a, b] tal que f(x0) = c.Un importante teorema del Calculo, a saber El Teorema del Valor medio, con frecuencia nosayudara a resolver interesantes problemas y a su vez formular otros teoremas de mayor rel-evancia, por lo que muy a menudo diremos ”Por el Teorema del Valor medio se cumple tal

136


o cual propiedad”.

En lenguaje algebraico, el Teorema del Valor medio es facil de formular y entender. Dice que,si la grafica de una funcion continua tiene una recta tangente, que no sea vertical, en cadapunto entre A y B , entonces existe al menos un punto C en la grafica entre A y B en la cualla recta tangente es paralela a la recta secante AB.Recuerde que decir Existe al menos un punto, no quiere decir que sea unico, pueden existirvarios puntos.

Teorema del valor Medio para las derivadasSi f es una funcion continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en su interior ]a, b[entonces existe al menos un numero c en ]a, b[ donde

f(b)− f(a)b− a

= f ′(c)

Ejemplo:Encuentre el numero c garantizado por el Teorema del Valor medio para f(x) = 2

√x en [1, 4].

Derivando la funcion f(x), se tiene f ′(x) = 1√x

Luego la ecuacion a resolver es:f(4)− f(1)

4− 1=

23

=1√x

De donde obtenemos que c es igual a 94 .

La utilidad del Teorema del Valor medio, puede ser vista en la demostracion de teoremas talescomo :

i) Monotomıa.Sea f continua en I y derivable en todo punto interior de I.

a) Si f ′(x) > 0 en todo punto interior de f , entonces f es creciente en I

b) Si f ′(x) < 0 en todo punto interior de f , entonces f es decreciente en I

ii) Dos funciones con la misma derivada difieren de una constante.Si F ′(x) = G′(x) para toda x en ]a, b[, entonces existe una constante C tal que F (x) = G(x) + Cpara toda x en ]a, b[.

iii) Teorema de Rolle [ Michael Rolle, 1652-1719, Matematico Frances], ( Caso particular del Teo-rema del Valor medio)Si f es una funcion continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en su interior ]a, b[ yf(a) = f(b) = 0, entonces existe al menos un punto c en la grafica entre a y b, tal que f ′(c) = 0.

137


36. Ejercicios: Teorema del valor medio

289. Complete:El teorema del valor medio dice que si f es ......... en [a, b] y derivable en ............... entonces existeun punto c en ]a, b[ tal que ................

La funcion f(x) = |senx| satisface la hıpotesis del Teorema del Valor Medio en el intervalo [0, 1]pero no en el intervalo [−1, 1] ya que .............

138


290. Complete:Si dos funciones tienen la misma derivada en un intervalo ]a, b[, entonces existe una constanteC tal que ..............

Como dx4

dx = 4x3, se sigue que toda funcion F que satisface F ′(x) = 4x3 tiene la forma F (x)..........291. Pruebe que f(x) = 2x3 − 9x2 + 1 = 0 tiene exactamente una solucion en ]0, 1[.

292. Demuestre que si f es una funcion cuadratica definida por f(x) = αx2 + βx + γ, α 6= 0 , entoncesel numero c del Teorema del Valor Medio siempre es el punto medio del intervalo [a, b].

293. Juan recorre en su auto 112 kilometros en 2 horas y asegura que el nunca excedio la velocidadde 55 Kilometros por hora. Utilice el Teorema del Valor Medio para refutar la afirmacion deJuan. Indicacion: sea f(t) la distancia recorrida en el tiempo t.

139


37. Analisis del comportamiento de funciones

◦ Crecimiento y decrecimiento. Extremos.

Se dice que la funcion y = f(x) es creciente (decreciente) en el punto (x0, f(x0)) sipara cualquier valor pequeno de h > 0 se cumple que:f(x0−h) < f(x0) < f(x0 +h)(f(x0 − h) > f(x0) > f(x0 + h)) respectivamente.Se dice que una funcion es creciente (decreciente) en un intervalo si es creciente(decreciente) en todos los puntos de ese intervalo.

Si f ′(x0) > 0, entonces y = f(x) es creciente en x = x0

Si f ′(x0) < 0, entonces y = f(x) es decreciente en x = x0

El valor f(x0) es un maximo relativo de la funcion y = f(x) si para cualquiervalor pequeno de h > 0 se cumple que f(x0 − h) < f(x0) y que f(x0 + h) < f(x0).El valor f(x0) es un mınimo relativo de la funcion y = f(x) si para cualquiervalor pequeno de h > 0 se cumple que f(x0) < f(x0 + h) y que f(x0) < f(x0 − h).Los valores maximos y mınimos relativos de una funcion se llaman extremosrelativos.

◦ Condicion necesaria de extremo.Si la funcion y = f(x) tiene un extremo en el punto (x0, f(x0)), entonces laderivada f ′(x0) = 0 o no existe. Los puntos donde la derivada se anula o noexiste reciben el nombre de puntos crıticos.Los puntos donde la funcion f ′(x) = 0 reciben el nombre de puntos estacionarios.No siempre un punto estacionario es un punto extremo.Ası, y′(0) = 0 y en x = 0 la funcion y = x3 tiene un punto estacionario, pero notiene un punto extremo.

◦ Condicion suficiente de extremo.

� Si en x = x0 la funcion y = f(x) tiene un punto crıtico para h > 0 pequeno, secumple que f ′(x0 − h) < 0 y f ′(x0 + h) > 0, entonces y = f(x) tiene en (x0, f(x0))un punto mınimo. Si por el contrario, f ′(x0 − h) > 0 y f ′(x0 + h) < 0, entoncesla funcion y = f(x) tiene en (x0, f(x0)), un punto maximo.Si f ′(x0) = 0 o no existe, y f ′(x) tiene el mismo signo a un lado y otro de x = x0,entonces la funcion y = f(x) no tiene extremo relativo en el punto (x0, f(x0)).

� Si f ′(x0) = 0 y f ′′(x0) > 0, entonces la funcion y = f(x) tiene en (x0, f(x0)) unpunto mınimo. Si f ′(x) = 0 y f ′′(x) < 0; entonces la funcion y = f(x) tiene en(x0, f(x0)) un punto maximo.

� Sea f ′(x0) = 0 y f ′′(x0) = 0, . . . , f (n−1)(x0) = 0, fn(x0) 6= 0. Si n es par, entoncesla funcion tiene un extremo en ese punto, que sera un mınimo si fn(x0) > 0 yun maximo si fn(x0) < 0. Si n es impar, entonces la funcion y = f(x) no tieneextremo relativo en ese punto, es un punto de inflexion.

� Concavidad y puntos de inflexion.Se dice que una funcion es concava hacia arriba o convexa en (a, b) si su graficase encuentra por encima de la recta tangente a la curva en cualquier puntodel intervalo.Si la grafica se encuentra por debajo de la tangente a la curva en cualquierpunto del intervalo (a, b), entonces la funcion es concava hacia abajo o sim-plemente, concava.Si para todo valor x del intervalo (a, b), la funcion y = f(x) tiene f ′′(x) > 0,entonces y = f(x) es concava hacia arriba en ese intervalo. Si para todo valorx del intervalo (a, b), la funcion y = f(x) tiene f ′′(x) < 0, entonces y = f(x) esconcava hacia abajo en ese intervalo.Los puntos donde varıa el sentido de la concavidad de una funcion reciben elnombre de puntos de inflexion. Si la funcion y = f(x) tiene en (x0, f(x0)) unpunto de inflexion, entonces f ′′(x0) = 0 o no existe.

140


� Valores mınimos y maximos absolutos.Para calcular el valor maximo (mınimo) absoluto de una funcion en un inter-valo cerrado [a, b], es necesario comparar los maximos (mınimos) relativos dela funcion con sus valores f(a) y f(b), y elegir el mayor (menor) de todos losvalores.

� Asıntotas Oblicuas.Si existen los lımites

lımx→+∞

f(x)x

= k1 ∧ lımx→+∞

[f(x)− k1x] = b1

entonces la recta y = k1x + b1 sera asıntota oblicua a la derecha de y = f(x). Sik1 = 0, la recta sera una asıntota horizontal derecha.Si existen los lımites

lımx→−∞

f(x)x

= k2 ∧ lımx→−∞

[f(x)− k2x] = b2

entonces la recta y = k2x + b2 sera asıntota oblicua a la izquierda de y = f(x).Si k2 = 0, la recta sera una asıntota horizontal izquierda.La grafica de una funcion y = f(x) (que se supone uniforme), no puede tenermas de una asıntota derecha (oblicua u horizontal), ni mas de una asıntotaizquierda (oblicua u horizontal).

38. Construccion de graficas

Para dibujar la grafica de una funcion se deben obtener sus rasgos caracterısti-cos. Para ello, es conveniente seguir los pasos que se enumeran a continuacion:

� Hallar el dominio de la funcion.� Analizar si la funcion es par, impar o ninguna de las dos.� Hallar las intersecciones de la grafica con los ejes de coordenadas.� Investigar la continuidad de la funcion y hallar sus asıntotas.� Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, ası como los extremos

de la funcion.� Hallar los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo, ası como los

puntos de inflexion.

39. Optimizacion

El analisis del comportamiento de funciones explicado anteriormente se puedeaplicar en numerosas situaciones de la vida cotidiana para conocer en quecondiciones de las variables involucradas se obtienen los resultados optimos(maximos o mınimos), o como debemos actuar para influir sobre esas vari-ables en la forma deseada, o en que rango de variacion de una de ellas, la otraaumenta o disminuye mas rapidamente. Bastara para ello escribir la relacionentre las variables como una funcion, fijar el objetivo deseado y hacer el anali-sis correspondiente.

141


40. Ejercicios: Derivadas, Optimizacion

294. Utilice el Teorema del Valor Medio para demostrar que

lımx→+∞

(√

x + 2−√

x) = 0.

295. Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Justifique su re-spuesta.

a) Si f ′(c) = f ′′(c) = 0, entonces f(c) no es el valor maximo ni el valor mınimo de f.b) Si f(x) es una funcion continua creciente y decreciente en un intervalo I, entonces

la funcion necesariamente tiene abscisa de Maximos , de Mınimos y de puntosde inflexion en I.

c) Si f ′′(x) > 0 para toda x en ]a, b[ , entonces la grafica de y = f(x) no puede teneruna asıntota vertical.

d) Una funcion cubica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a 6= 0, siempre tiene un puntoMaximo local en cualquier intervalo abierto.

142


296. Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Justifique claramentesu respuesta.

a) Si la grafica de una funcion derivable tiene tres intersecciones con el eje x, en-tonces debe tener al menos dos puntos en donde la recta tangente es horizontal.

b) Si f es una funcion que satisface f ′(x0) = f ′′(x0) = f ′′′(x0) = ......f (n−1)(x0) = 0, yf (n)(x0) < 0, entonces (x0, f(x0)) es un punto Maximo

c) Si una funcion es continua y con tercera derivada continua en un punto (a, f(a)),entonces admite derivada de cualquier orden en el punto (a, f(a)).

d) Una funcion cubica f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a 6= 0, siempre tiene un punto deinflexion.

297. Encuentre la ecuacion de una recta que pase por el punto (−3, 2) y forme un angulo de 45o conla recta 3x− 2y − 7 = 0.

298. ¿Que condicion deben cumplir a, b y c para que el polinomio y = x3 +ax2 +bx+c, tenga un puntode inflexion y que en este punto la recta tangente sea paralela al eje x?

143


299. Pruebe que el valor maximo que puede tomar la curva y = Asenx + B cos x es√

A2 + B2; A,B 6= 0300. La funcion f esta definida como:

f(x) ={ 1

|x| si |x| > 1a + bx2 si |x| ≤ 1

a, b constantes

Hallar los valores de a y b para que:a) f sea continua en Rb) f sea diferenciable en R y determinar explıcitamente f ′(x)

301. Un punto A se desplaza por el eje x segun x(t) = t2 + 1, t ≥ 0. calcular la rapidez instantaneacon que crece el area del triangulo determinado por la recta que une los puntos A y P = (1, 2)y los ejes coordenados, en el tiempo t = 2.

144


302. Determinedg(x2)

dxsi g(x) = f(x2) y f ′(x) = e2sen(x+1)

303. Encuentre dydx si:

y =(a

b

)x

·(

b

x

)a

·(x

a

)b

304. Pruebe que el segmento de la recta tangente a la hiperbola xy=1 comprendido entre los ejescoordenados queda dividido por el punto de tangencia en dos partes iguales.

305. Considere la siguiente funcion definida por:

f(x) ={

x2sen 1x x 6= 0

0 x = 0

a) Determine el valor de f ′(0).b) ¿Es f ′(x) continua en x = 0? Justifique su respuesta.

145


306. Si yx = xtan y, encuentre dydx

307. Si y = f(x) es tal que f−1(y) = 12 ln(1 + y), encuentre f ′(ln

√3)

308. Dados los puntos A = (3, 0) y B = (8, 11), encontrar sobre el eje OY el(los) punto(s) C tales queel triangulo ABC tenga perımetro mınimo.

309. Dada la funcion continua:

f(x) ={

x + 2 si x < 12x2 − 6x + 7 si x ≥ 1

a) Determine f ′(x) y el dominio f ′(x).b) Encontrar, si existen , los maximos y mınimos relativos de f .

146


310. Encuentre los angulos entre las curvas x2 + y2 = 25 y 4y2 = 9x en sus puntos de interseccion.311. Una luz esta ubicada en el suelo a 10[m] de un edificio. Un hombre de 1, 8[m] camina desde la

luz hacia el edificio a una razon de 1, 5[m/s].¿Con que rapidez varıa su sombra en la pared deledificio cuando esta a 4, 5[m] de la pared?

312. Calcule dydx

∣∣∣y=1/2

, si {x(t) = t− sen2t2

y(t) = 1− cos t2 , t ∈]0, π2 [

313. Calcular el angulo bajo el cual se interceptan las curvas:

y = x, y =√

x

314. Encuentre d2ydx2 , si:

ey/x − 1 = 0

315. Considere la funcion:

y =x2 + x− 5

x− 2. Obtenga (en caso de existir):

Asıntotas, maximos, mınimos, puntos de inflexion, intervalos donde la funcion crece o decrece,concavidad.

147


316. Un pescador captura un pez y recoge su hilo de pescar a una velocidad de 2[m/s]. Si el pescadoresta en un puente a 30[m] sobre el agua. ¿Cual es la velocidad del pez en el agua?

317. Determine el punto donde la recta tangente a la curva{x(t) = 2t2 − 1y(t) = 3t3 + t ,

es paralela a la recta 18x− 3y − 1 = 0318. Si

f(x) = x2 cos

[3

√x− 2

(x + 2)√

x− 2

], x > 2

Encuentre dfdx

319. Sean a, b ∈ R− {0} y la ecuacion b2x2 + a2y2 − a2b2 = 0, determine

d2y

dx2+

dx

dy

320. Si f es una funcion biyectiva tal que f ′(x) =√

1− (f(x))2, determine (si es posible)(f−1

)′ ( 14

)sabiendo que f(1) = 1

4

148


321. Derivar

y =

(1− x4

)2/3 cos x3

sen2x

322. Si l0 es la longitud de un alambre de cobre a 0oC y la longitud l(t) a T oC es aproximadamentel(t) = l0(1 + 0, 16 · 10−4t + 0, 10 · 10−7t2). Encontrar la razon de cambio, del area encerrada por untriangulo equilatero hecho con alambre de cobre, respecto a la temperatura cuando t = 36oC yl0 = 100[cm]

323. Un estudiante ha determinado que en su asignatura la nota final debe ser calculada segun lasiguiente formula:

N(t) =t3

5− 21t2

5+ 27t + 25

donde t es el numero de horas a la semana que le dedica al estudio de la asignatura.¿Cualsera la maxima nota que puede obtener si le dedica a lo mas 8 horas de estudio a la semana?

324. Sea h : R → R una funcion dos veces derivable en R. Si f(x) = h3(x), determine f ′′(2) si se sabeque h(2) = 4, h′(2) = 3 y h′′(2) = 2

149


325. En que punto P (x, y), x, y > 0, sobre la parabola y = 1− x2 se tiene que la recta tangente formacon los ejes coordenados un triangulo de area mınima.

326. Una pagina impresa debe contener 432[cm2] de material impreso. Debe tener margenes de 4[cm]a los lados y de 3[cm] arriba y abajo. ¿Cuales han de ser las dimensiones de la pagina para quela cantidad de papel usado sea mınima?.

327. Efectue un estudio completo de la funcion definida por

f(x) = 2x4 − 4x2 + 6

determinando:a) Intervalos de monotonıa.b) Maximos, mınimos y puntos de inflexion.c) Intervalos de convexidadd) Asıntotas (horizontales, verticales, oblicuas, si es que existen)e) Grafico (indicando en el los resultados antes obtenidos)

150


328. Si la suma e dos numeros positivos es igual a k. ¿cuales deberıan ser los numeros de maneraque la suma de sus cubos sea mınima?

329. encontrar la ecuacion de la recta normal a la curva dada por: sen(xy) + exy = eπ, en el punto(π, 1)

330. En un 4ABC, con γ = 120o; el lado b tiene una magnitud constante b = 10[dm], mientras que ellado a es variable y aumenta a rapidez constante de 4[dm/s]. ¿Con que rapidez crece el lado c(opuesto a γ) en el instante en que a = 30[dm]?

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331. Hallar las contantes a y b de modo que la funcion f(x) = x3 + ax2 + bx + c tenga:a) Un maximo en x = −1 y un mınimo en x = 3.b) Un mınimo en x = 4 y un punto de inflexion en x = 1

332. Analice la funcion f : R → R dada por

f(x) =1 + x2

1− x2

(dominio, recorrido, simetrıa, continuidad, diferenciabilidad, puntos crıticos, asıntotas verti-cales y horizontales, etc). Ademas esbose su grafica).

333. un alambre de 100[cm] de longitud se corta en 3 partes. Un pedazo se dobla formando unacircunferencia, otra se dobla formando un cuadrado y con el tercero un triangulo equilatero.Si el perımetro del cuadrado debe ser el doble del perımetro del triangulo ¿como debera sercortado el alambre para que la suma de las areas de las figuras geometricas formadas sea:

a) mınimab) maxima?

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334. Encontrar la(s) ecuacion(es) de la(s) recta(s) tangente(s) a la hipocicloide:

x(t) = 2 cos3 ty(t) = 2sen3t , t ∈ [0, 2π],

que tengan pendiente igual a 1.

335. Un punto P = (x0, y0) se mueve sobre la semi-elipse x2

9 + y2

4 = 1 con y ≥ 0, de manera que suvelocidad horizontal es constante e igual a 4[m/s]. Sea A el punto de interseccion de la rectatangente en P con el eje x. Determinar la velocidad de A, cuando x0 = 1.

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336. Sea f(x) = x4 + 83x3 − 2x2 − 8x + 1. Determine:

a) Intervalos de monotonıa.b) Maximos, mınimos y puntos de inflexion.c) Intervalos de convexidadd) Asıntotas (horizontales, verticales, oblicuas, si es que existen)e) Grafico (indicando en el los resultados antes obtenidos)

337. Si cosm(xy) + senn(xy) = k, donde, m,n ∈ N y k ∈ R, demuestre que

d2y

dx2=

2y

x2, x 6= 0

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338.i.- Determine el (los) minimos locales de la funcion f definida por:

f : R → Rx → f(x) = x2−1

x2+1

ii.- Determine los intervalos en donde la grafica de f es Concava hacia abajo.¿ ¿Existen puntos de inflexion ?Justifique claramente su respuesta.

iii.- Encuentre la(s) asıntota(s) de la la funcion f.

iv.- Obtenga la grafica de f .

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339. Se desea construir una caja sin tapa con un volumen de 50m3, cuya base debe tener el doblede largo que de ancho.

a) Escriba la dependencia funcional de la superficie de la caja en funcion de laaltura y.

b) Hallese el dominio de definicion de esta funcion y su grafica aproximada.

c) ¿Existe una caja con superficie minıma.( Justifique su respuesta).

340. Un globo esferico con un radio inicial r = 5 pulgadas comienza a desinflarse en el instante t = 0y su radio t segundos mas tarde es r = (60−t)

12 pulgadas. ¿A que razon ( en pulgadas cubicas/segundo) sale el aire del globo cuando t = 30?

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341. Si 0 < k 6= 1 y f(x) = xk − kx, demuestre que

a.- Si k < 1, f tiene un maximo en x = 1

b.- Si k > 1, f tiene un mınimo en x = 1

342. Determine la grafica de la funcion

f(x) = 2x3 − 9x2 + 12x− 2 , x ∈ [0, 3]

indicandoa.- Monotonıab.- Simetrıasc.- Asıntotasd.- Max y Mıne.- Concavidadf.- Puntos de inflexion

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343. Sea f(x) = x + π√2

√sen2x + 4, para todo x ∈]0, π/2[.

Determine (en caso de existir) (f−1)′( 7π4 ).

344. Dada la funcion

f(x) ={

3√

x si x ≥ 0−√−x si x < 0

a) Determine f−1(x), (f−1)′(y) y sus dominios.b) Grafique f−1(x), (f−1)′(y)c) Encontrar, si existen , los maximos y mınimos relativos de f, f−1.

345. Sea f(x) = x + e + lnx, y sea g(x) su inversa.Determine g′(2e + 1) + g′(e + 1).Grafique la funcion f indicando claramente su dominio.

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346. Para la funcion f(x) = 2(x− 1) + 4x−1

Determine, en caso de existir:

a) Intervalos de monotonıa .b) Puntos de inflexion .c) Intervalos de concavidad o convexidad.d) Asıntotas.

347. Un cilindro circular recto se inscribe en un cono de radio r y altura 2h. Determine las dimen-siones H, y R del cilindro inscrito que tenga el maximo volumen posible.

348. Un globo con gas se eleva a partir del suelo en un cierto punto P . Una persona situada a 900metros de P y al nivel del suelo observa que el angulo de elevacion aumenta a razon de 0, 9rad/seg.Hallar la rapidez de ascenso del globo cuando el angulo de elevacion es igual a θ = π/4.

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349. Determine la(s) ecuacion (es) de la(s) recta(s) perpendicular(es) a la recta 10x − y = 1 queforma (n) con los ejes coordenados un triangulo de area 10[unidades].Grafique las respuestas obtenidas.

350. a).- Si f ′(x) > 1, para todo x ∈ R, demuestre que f(10) > 9.b).- Calcule la longitud de una tuberia mas larga que se pueda transportar por 2 pasillos enangulo recto de anchuras 4 y 6 metros.c).- Si f(x) = 3x4 − 4x3 − 20x2 + 40x− 4, demuestre que f(x) > −20 para todo x ∈ R.

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351. Un alambre de 40 cm de longitud se corto en 2 pedazos.Una de las partes se doblo haciendo un cuadrado y la otra un rectangulo que es 3 veces maslargo que el ancho. La suma del area del rectangulo y del cuadrado es 55 3

4cm2, ¿En que lugarse corto el alambre.?

352. Determine si existe a ∈ R de modo que:

f(x) =

{ √x+2−3x−7 x 6= 7

a x = 7

sea continua y derivable en R.

353. Determine los valores a y b ∈ R, de modo que (1, 3) sea un punto de inflexion para la funciony = ax3 + bx2.

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354. Determine el punto sobre la funcion

f(x) = x2(x− 1)

en donde la recta tangente tiene en ese punto tiene pendiente mınima.

355. Encuentre la(s) asıntota(s) de la la funcion f(x) = x3

x2−1 .

356. Determine los intervalos en donde la grafica de f(x) = xe−x es concava hacia abajo.

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357. Determine el (los) maximo (s) local (es) de la funcion f definida por:

f : R → Rx → f(x) = x3 − 3x + 2

358. Cada arista de un triangulo equilatero crece a razon de 2 cm/seg. ¿Con que razon aumenta elarea del triangulo cuando cada arista mide 10 cm.?.

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