Matemáticas financieras

MATEMÁTICAS I

UNIDAD I

EJERCICIO 0.3

9.

(2 x2 y3 )3

(2 x2 y3 )3=23 ( x2 )3 ( y3 )3

¿8 x6 y9

37.

(9 z4 )12

(9 z4 )12=√9 z 4=√32 ( z2 )2=√32√ ( z2 )2=3 z2

47.

5√5 x2

5√5 x2= (5x2 )15=5

15 ( x2 )

15=5

15 x

25

65.

√12√3

√12√3

=√ 123 =√4=2

79.

(2 x−1 y2 )2

(2 x−1 y2 )2=(2x−1 )2 ( y2 )2=2 x−2 y4

1

87.

−8 s−2

2 s3

−8 s−2

2 s3= −4

s3 s2=−4

s3+2=−4

s5

EJERCICIO 0.4

13. 5(x¿¿2− y2)+x ( y−3 x )−4 y (2x+7 y )¿

5 x2−5 y2+xy−3 x2−8 xy−28 y2

5 x2−5 y2+xy−3 x2−8 xy−28 y2=2 x2−33 y2−7 xy

27. (x−5)2

x2−2 (5 ) x+52

x2−10 x+25

35. ( x2−4 )(3x2+2 x−1)

x2 (3 x2+2x−1 )−4(3 x2+2x−1)

3 x4+2 x3−x2−12x2−8 x+4

3 x4+2 x3−13 x2−8x+4

55. (3 x2−4 x+3 )÷ (3 x+2)

3 x2−4 x+33 x+2

−3 x2−2 x x−2

0−6 x+3

6 x+4

7

2

x−2+ 73 x+2

EJERCICIO # 0.5

15. x2+6 x+9

( x+3 ) ( x+3 )=0

( x+3 ) ( x+3 )=0

( x+3 )2=0

35. ( y 4+8 y3+16 y2)−( y2+8 y+16)

y2 ( y2+8 y1+16 )−( y2+8 y+16) sacamos factor comun

( y2+8 y+16)( y2−1)

( y+4)2( y2−1) binomio cuadrado perfecto

( y+4 )2( y−1)( y+1)

45. (x¿¿4−16)¿

( x2−4 ) ( x2+4 )

( x−2 )(x+2)

( x2+4 )

51. x4 y−2 x2 y+ y

y ( x4−2 x2+1 )

y ( x2−1 )2

y ¿¿

y (x−1)2(x+1)2

EJERCICIO # 0.6

5. 6 x2+x−22x2+3 x−2

3

(6 x+4 )(6 x−3)6

(2x+4 )(2 x−1)2

=

(6 x+4 )(6 x−3)3∗2

(2 x+4 )(2 x−1)2∗1

=(3 x+2 )(2 x−1)( x+2 )(2 x−1)

=3 x+2x+2

13.

X 2

8X4

X 2

8X4

=4 X2

8 X= X2

29. x2

x+3+ 5 x+6

x+3

x2

x+3+ 5 x+6

x+3= x2+5 x+6

x+3=

(x+3 )( x+2)x+3

=x+2

¿ x+2

49. 3

3√x+h− 3

3√ x

33√x+h

−33√ x

=3 3√ x−3 3√x+h

3√ x+h 3√x=3( 3√x− 3√x+h)

3√x+h 3√ x

57. 3

t+√7

4

3t+√7

=

3t+√7

∗t−√7

t−√7=3(t−√7)t2−(√7 )2

=3t−3√7t 2−7

5

EJERCICIO # 0.7

29. x5=2 x−6

x=5(2x−6)

x=10 x−30

x−10 x=−30

−9 x=−30

x=309

39. w−w2

+ w6

− w24

=120

w−w2

+ w6

− w24

=120 (24) multiplico a toda la ecuación por 24. Para eliminar el denominador

24w−24 (w2 )+24 (w

6 )−24( w24 )=24∗120

24w−12w+4w−w=2880

15w=2880

w=288015

w=192

63.

−52x−3

= 73−2x

+ 113 x+5

−52x−3

= 73−2x

+ 113 x+5

cambiamosel signo al−5 y obtenemos;

53−2 x

= 73−2x

+ 113 x+5

ahoramultiplicamos a todala ecuaci ón por (3−2 x )(3x+5)

( 53−2 x ) (3−2 x )(3 x+5)=( 7

3−2 x )(3−2x )(3 x+5)+( 113x+5 )(3−2 x)(3 x+5)

5(3 x+5)=7(3x+5)+11(3−2 x)

6

15 x+25=21 x+35+33−22 x

15 x−21 x+22 x=−25+35+33

16 x=43

x=4316

75.

(x−5)34=27

( x−5 )34=27a toda laecuaci ón la elevamos a

43

y obtenemos lo siguiente:

[ ( x−5 )34 ]43=27

43

x−5=3√274

x=5+27 3√27

x=5+27∗3

x=5+81

x=86

91.

r= 2mIB(n+1)

; n

r (n+1)=2mIB

n+1=2mIBr

n=2mIBr

−1

EJERCICIO # 0.8

25.

6 x3+5 x2−4 x=0

7

x (6 x2+5x−4)=0

x(6 x+8 )(6 x−3)

6=0

x(6 x+8 )(6 x−3)

3∗2=0

x (3 x+4 )(2 x−1)=0

x (3 x+4 )(2 x−1)=0

Por lo tanto obtenemos las siguientes respuestas;

x1=0

2 x2−1=0

x2=12

3 x3+4=0

x3=−43

.

43.

2 x2+4 x=5

Aplicamos la fórmula cuadrática, dicho por el ejercicio.

2 x2+4 x−5=0 , noolvidar siempre ordenar la ecuai ón .deesta manera :

a=2

b=4

c=−5

Una vez sacadas los valores de los coeficientes, aplicamos la fórmula.

−b±√b2−4 ac2a

=0 , noolvidar los signos respectivos ,mucho ojo , por esoutilizamos par é ntesis .

8

−(4)±√(4)2−4 (2 )(−5)2 (2)

=0

−4±√16+404

=0

−4±√564

=0

−4±√4∗144

=0 , simplemente descomponemos el t é rmino de lara í z endos .4 y14.

−4±2√144

=0 , procedemos asiplificar . todolo que podamos

−2±√142

=0

Ahora extraemos las raíces de la ecuación: utilizando primero el signo + y luego el signo –

x1=−2+√14

2

x2=−2−√14

2

63.

t+1t+2

+ t+3t+4

= t+5t2+6 t+8

t+1t+2

+ t+3t+4

= t+5(t+4 )( t+2)

, simplemente factoramosel t é rmino.

t+1t+2

+ t+3t+4

= t+5(t+4 ) ( t+2 )

;

multiplicamos a todala ecuaci ón por los t é rminos : ( t+2 )(t+4)

9

( t+1t+2 )(t+4 )(t+2)+( t+3

t+4 )(t+4)(t+2)= t+5(t+4 ) (t+2 )

(t+4)( t+2)

( t+1 ) (t +4 )+( t+3 ) (t+2 )=t+5

t 2+5 t+4+t 2+5 t +6=t+5

2 t2+10 t+10=t+5

2 t2+10 t−t=−10+5

2 t2+9 t=−5

2 t2+9 t+5=0

a=2

b=9

c=5

−b±√b2−4 ac2a

=0

−(9)±√(9)2−4 (2 )(5)2∗2

=0

−9±√81−404

=0

−9±√414

=0

t 1=−9+√41

4

t 2=−9−√41

4

71.

√ z+3−√3 z−1=0, el objetivo es eliminar las raíces.

√ z+3=(√3 z−1 ) , elevamos alcuadrado aambos miembros ,deesta manera

(√ z+3 )2=(√3 z−1 )2

z+3=(√3 z )2−2√3 z+1

10

z+3=3 z−2√3 z+1

z+3−3 z−1=−2√3 z

−2 z+2=−2√3 z , simplificamos a todala ecuaci ón .

−z+1=−√3 z ,elevamos al cuadrado otra veztoda laecuaci ó n .

(−z+1 )2=(−√3 z )2

(−z )2−2 z+1=3 z

z2−2 z+1−3 z=0

z2−5 z+1=0

Aplicamos la fórmula general:

a=1

b=−5

c=1

−b±√b2−4 ac2a

=0

z=−(−5)±√(−5)2−4 (1 )(1)

2(1)=0

z=5±√25−42

=0

z=5±√212

=0

z1=5−√212

=0

z2=5−√212

=0

UNIDAD II

EJERCICIO 1.1

5.

Acabado de muebles:

11

n = número de onzas en cada parte; cuando tenemos lo siguiente:

2n+1n=16

3n=16

n=163

# de aguarrás 1∗n=163

de onzas o513

onzas

10.

Ventas:

¿Cuántas unidades de su producto necesita vender para obtener una utilidad de $ 150.000?Precio unitario = $ 50 qCosto variable por unidad = $ 25q Costo fijo total = $ 500.000Determine las unidades que deben venderse.?

Tenemos la siguiente ecuación:

150.000=50q−(25q+500.000)

150.000=50q−25q−500.000

150.000=25q−500.000

25q=150.000+500.000

25q=650.000

q=650.00025

q=26.000unidadces

30.

Inversión:Hace 6 meses la empresa tenía una cartera de $ 3 100 000 acciones de primera y acciones atractivas.Acciones de primera aumentó en 1/10.Acciones de atractivas disminuyó en 1/10.El valor actual de la cartera en la actualidad es de: $ 3 240 000.

12

¿Cuál es el valor actual de la inversión en acciones de primera?

Tenemos la siguiente ecuación:

Sea;x = valor original.

Cuando se tiene: 1110

x

Por lo tanto se obtiene:

(3100000−x )− 110

(3100000−x ) ; tenemos

(3100000−x )(1− 110 )

(3100000−x )( 10−110 )( 910 ) (3100000−x )

Valor actual:

1110

x+ 910

(3100000−x )=3240000multiplicamos a toda la ecuación por diez.

¿1110

x+910

(3100000−x )=3240000 (10 )

11 x+9 (3100000−x )=3240000011 x+27900000−9 x=324000002 x=−27900000+32 4000002 x=4500000

x=45000002

x=2250000

Valor actual:

1110

x=1110

(2250000 ) o $2475000 acciones de primera.

40.Plan de incentivos

Comisión por cada máquina vendida es de $ 40La comisión de cada máquina que un agente venda es de $ 0.04; por cada máquina que se venda en exceso es de 600 unidades; así:

602 máquinas vendidas se obtendrá $ 40.08¿Cuántas máquinas debe vender un agente para obtener ingresos por $ 30 800?

Sea; n = número de máquinas vendidas sobre 600. Por lo tanto la comisión por cada

13

600 + n máquinas es 40 + 0.04n; por lo tanto se tiene:

(600+n ) (40+0.04 n )=3080024000+24n+40n+0.04n2=308000.04 n2+64n+24 000−30800=00.04 n2+64n−6800=0 ,toda laecuación ladividimos para2.0.02n2+32n−3 400=0

a=0.02b=32c=−3400

n=−b±√b2−4 ac2a

n=−(32)±√(−32)2−4 (0.02 )(3400)

2(0.02)

n=−32±√1024+2720.04

n=−32±√12960.04

n=−32±360.04

n=−32+360.04

= 40.04

=100

n=−32−360.04

,no lo utilizamos porque nos dauna cantidadnegativa .

Por lo tanto tenemos:

600 + n = 600 + 100 = 700 máquinas debe vender el agente.

EJERCICIO # 1.2

19.

56

x<40

5 x<40∗65 x<240

x< 2405

x<48

14

Intervalo:

(−∞,48)

Notación geométrica:

−∞ 0 48 +∞

33.

0.1 (0.03 x+4 )≥0.02 x+0.434

0.003 x+0.4≥0.02 x+0.434

0.003 x−0.02 x≥0.434−0.4

−0.017 x ≥0.034 ,el signo del mayor o igual que, cambia de sentido cuando está precedido por un signo menos. Es muy importante esto.

x≤−0.0340.017

x≤−2

Intervalo:

[−∞ ,−2]

como se dieron cuenta ahora el intervalo se compone de corchetes, esto se debe a que nuestra expresión está con el signo de menor o IGUAL que, por lo tanto utilizamos los corchetes.

Notación Geométrica:

−∞ -2 0 +∞

37.

Geometría

90 – x:

x<3 (90−x )+10

15

x<270−3x+10

x+3 x<270+10

4 x<280

x< 2804

x<70

La medida de el ángulo es menor que 70º

16

EJERCICIO # 1.3

2.

Utilidad.

Costo del material: $ 2.50Costo de Mano de obra: $ 4Costo fijo : $ 5000Precio para un mayorista: $ 7.40

¿Determine el mínimo de unidades que deben venderse para que la compañía obtenga utilidades?

Sea:

q = número de unidades vendidas.

Ingresos totales – costos totales = Ganancias

7.40q−[ (2.50+4 ) q+5000 ]>0

7.40q−2.50q−4 q−5000>0

0.9q−5000>0

0.9q>5000

q>50000.9

q>5555.55

Por lo tanto deben venderse por lo menos 5556 unidades

6.Asignación de productos:

Compañía produce relojes despertadores:

Costo por mano de obra es de: $ 2.00Si un despertador se produce durante horas extras su costo asciende a: $ 3.00

La gerencia ha decidió no gastar más de $ 25 000 por semana en mano de obra.La compañía debe producir 11 000 aparatos.

¿Cuál es la cantidad mínima de relojes que deben producirse durante una semana normal de trabajo?

Sea: q = número de relojes producidos durante una semana normal de trabajo; Entonces:

17

11 000 – q = número producido en horas extras.2q+3 (11000−q )≤25000

2q+33000−3q≤25000

−q≤25000−33000

−q≤−8000

q≥8000 relojes

Deben venderse por lo menos 8 000 relojes durante una semana normal

9.Asignación de ventas:

2500 unidades de un producto en inventarioPrecio unitario es de: $ 4El próximo mes el precio se incrementará en $ 0.50Quieren que el ingreso total recibido por la venta de las 2500 unidades no sea menor que $ 10 750.

¿Cuál es el número máximo de unidades que pueden venderse este mes.?

Sea:

q = número de unidades vendidas este mes en $ 4 q.

4 q+4.5 (2500−q ) ≥10750

4 q+11250−4.5 q≥10750

−0.5q≥10750−11250

−0.5q≥−500

0.5q≤500

q≤5000.5

q≤1000

El máximo número de unidades que pueden ser vendidas este mes es de 1000 unidades.

18

EJERCICIO # 1.4

9.

|2−√5|

¿−(2−√5 )

¿−2+√5

23.

|7−4 x|=5

7−4 x=−5o7−4 x=5

−4 x=−7−5o7−4 x=5−7

−4 x=−12o−4 x=−2

4 x=12o4 x=2

x=124

o x=24

x=3o x=12

35.

|3 x−82 |≥4

3x−82

≥43 x−82

≤−4

3 x−8≥4∗23 x−8≤−4∗2

3 x−8≥83x−8≤−8

3 x≥8+83 x ≤−8+8

3 x≥163 x≤0

x≥163

x ≤0

19

20

Intervalo:

(−∞ ,0 ) U [ 163 ,+∞ ]

37.

La medida de una distancia d es de 35.2 metros, con un margen de precisión de

+/- 20 centímetros.

|d−35.2m|≤20cm

UNIDAD III

EJERCICIO # 2.1

9.

f ( z )=3 z2+2 z−4

Obtener el dominio de cada función:

3 z2+2 z−4>0

Como podemos observar el dominio de la función son todos los números reales.

Es decir podemos reemplazar con cualquier valor de la recta numérica y no vamos a tener discontinuidad.

15. Obtener el dominio de la función

H (s )= 4−s2

2 s2−7 s−4

2 s2−7 s−4≠0

(2 s−8 )(2 s+1)2

≠0

( s−4 )(2 s+1)≠0

s1−4≠0s1≠4

2 s2+1≠0

21

s2≠−12

Por lo tanto el dominio de la función son los REALES excepto el 4 y – ½

25. Determine los valores de la función para cada una de las funciones.

k ( x )= x−7x2+2

;k (5 ) , k (3x ) , k (x+h)

k (5 ) ;

k ( x )= x−7x2+2

, por lotanto reemplazamos el valor encadaunade las X .

k (5 )=5−752+2

k (5 )= 5−725+2

k (5 )=−227

k (3 x );

k (3 x )= x−7x2+2

, por lotanto reemplazamos el valor encadaunade las X .

k (3 x )=(3 x )−7(3 x)2+2

k (3 x )= 3 x−79 x2+2

k ( x+h ) ;

k ( x )= x−7x2+2

, por lotanto reemplazamos el valor encadaunade las X .

k ( x+h )=(x+h)−7(x+h)2+2

k (4 )= x+h−7x2+xh+h2+2

22

23

39.

¿es y una función de x? ¿Es x una función de y?

9 y−3 x−4=0

9 y−3 x−4=0

Despejando y tenemos:

y=3 x+49

Por lo tanto para cada y habrá un valor distinto, por lo tanto y es una función de x.

Despejando x tenemos:

x=9 y+43

De igual manera, para cada x habrá un valor distinto, por lo tanto x es una función de y.

EJERCICIO # 2.2

9. Determine el dominio de cada función .

h( z)=19

El dominio son todos los Reales, ya que no existe discontinuidad o condición alguna.

21. Evalúe las funciones para cada caso.

G ( x )={ x−1 , si x ≥33−x2 , si∧x<3

G (8 ) ;G (3 ) ,G (−1 ) ,G(1)

G (8 ) :

G (8 )=8−1=7

24

G (3 ) :

G (3 )=3−1=2

G (−1 ) :

G (−1 )=3−(−1 )2=3−1=2

G (1 ) :

G (1 )=3−(1)2=3−1=2

Al momento de reemplazar los valores 8, 3, -1 y 1; tenemos que fijarnos en los límites

de la función, por decir si tenemos 8, reemplazamos en la función donde tenga el

intervalo x≥3, ya que el 8 se encuentra en ese intervalo; y así con todos los valores.

39.Usando la calculadora encuentre los valores de la función indicada, redondee las

respuestas a los decimales

f ( x )={29.5 x4+30.4 , si∧x<37.9x3−2.1x , si∧x ≥3

a) f (2.5), b) f (−3.6), c) f (3.2)

Por lo tanto reemplazamos el valor de a.

Como f tiene un valor de 2.5 reemplazamos cuando x > 3, ya que 2.5 se encuentra en

ese intervalo. De esta manera

f (2.5 )=29.5(2.5)4+30.4

f (2.5 )=29.5∗39.0625+30.4

f (2.5 )=1152.34+30.4

f (2.5 )=1182.74

f (−3.6 )=29.5(−3.6)4+30.4

f (−3.6 )=29.5(167.9616)+30.4

25

f (−3.6 )=4954.8672+30.4

f (−3.6 )=4985.27

f (3.2 )=7.9(3.2)3−2.1(3.2)

f (3.2 )=7.9(32.768)−6.72

f (3.2 )=258.8672−6.72

f (3.2 )=252.15

33. Ventas:

Un teatro cobra dos precios.

Si un grupo es menor de 12, cada boleto cuesta $ 9.50Si un grupo es de 12 o más, cada boleto cuesta $ 8.75

Escriba una función que represente lo establecido en el ejercicio para n, analizando el costo c.

c (n )={9.50n , si∧0≤ n<128.75n , si∧n≥12

EJERCICIO # 2.3

5.

Si.

f ( x )=3 x2+6 y g (x )=4−2 x , encuentre .

f ( g (2 ) ) y g( f (2 ))

Reemplazamos el valor de f(g(2)) en la siguiente función.

f ( x )=3 x2+6 , tenemos

f ( g (2 ) )=3 (4−2 x )2+6

f ( g (2))=3(16−16 x+4 x2)+6

f ( g (2))=48−48 x+12x2+6

f ( g (2))=12x2−48 x+54 , ahorareemplazamos el valor de la x quees 2

26

f ( g (2))=12(2)2−48(2)+54

f ( g (2))=12∗4−96+54

f ( g (2))=48−96+54=6

De igual manera reemplazamos el valor de g(f(2)) en la siguiente función.

g ( x )=4−2 x ,tenemos

g (f (2 ) )=4−2(3 x2+6)

g (f (2))=4−6 x2−12

g (f (2))=−6 x2−8 ;ahorareemplazamos el valor de la xque es2

g (f (2))=−6(2)2−8

g (f (2))=−6∗4−8

g (f (2))=−24−8=−32

9. Si

f ( v )= 1

v2+1y G (v )=√v+2; encuentre lo siguiente

( fog ) ( v ) y (gof )(v)

Encontremos entonces

( fog )(v ):

( fog )(v )=f (g (v ))

( fog )(v )=f (√v+2 ) , para ser más claros deesta manera .

( fog )(v )= 1

v2+1

( fog )(v )= 1

(√v+2)2+1

27

( fog )(v )= 1v+2+1

( fog ) ( v )= 1v+3

( gof )(v):

( gof )(v)=g (f ( v ))

( gof )(v)=g ( 1

v2+1 ) , para ser más claros deesta manera .

( gof )(v)=√ 1v2+1

+2

( gof )(v)=√ 1+2(v2+1)v2+1

( gof )(v)=√ 1+2v2+2v2+1

( gof )(v)=√ 2v2+3v2+1

17. Utilidad

Cierto expendio de café vende una libra de café por $ 9.75. Los gastos mensuales

son $ 4500 más $ 4.25 por cada libra vendida.

a) escriba una función de r(x) para el ingreso mensual total como una función del

número de libras vendidas.

Tenemos entonces $ 9.75 por libra de café, así:

r ( x )=9.75 x, donde x representa el número de libras de café.

b) escriba una función de e(x) para los gastos mensuales totales como una función

del número de libras de café vendidas.

Por lo tanto tenemos: como una cantidad independiente los $ 4500 y los 4.25x que

vendrían hacer el valor por cada libra vendida.

28

e (x )=4500+4.25 x

c) Escriba una función (r – e )(x) para la utilidad mensual total como una función del

número de libras vendidas.

(r−e ) ( x )=r ( x )−e(x )

(r−e ) ( x )=9.75 x−[4500+4.25 x]

(r−e ) ( x )=9.75 x−4500−4.25 x

(r−e ) ( x )=5.5 x−4500

EJERCICIO # 2.4

1. Encuentre la inversa de la función dada.

f ( x )=3 x+7

Por lo tanto tenemos lo siguiente.

f−1 (x )= x−(7)3

f−1 (x )= x−73

3.Encuentre la inversa:

F ( x )=12

x−7

F−1 ( x )= x−(−7)12

, noolvidar el signo negativo .

F−1 ( x )= x+712

F−1 ( x )= x12

+ 712

29

F−1 ( x )=2 x+14

5.

A (r )=π r2 ; para r≥0

r2= Ar

r=√ Ar

R está en función de A; por lo tanto tenemos:

r (A)=√ Ar

EJERCICIO # 2.5

25. Grafique cada función y determine su dominio y rango. También determine las intersecciones:

y=h (x )=x2−4 x+1

Intersecciones:

h ( x )=x2−4 x+1=0

Tenemos que aplicar la fórmula cuadrática:

y=−b±√b2−4ac2a

a=1b=−4c=1

y=−(−4)±√(−4)2−4 (1 )(1)

2(1)

y= 4±√16−42

y= 4±√122

30

y= 4±√4∗32

y= 4±2√32

, simplificando laexpresión ,noolvidemos que paramas facilidaddebemos simpificar

y=2±√31

y=2±√3

y1=2+√3

y2=2−√3

Gráfica:

1 2+√3

0 2 2+√3-1

-2

-3 (2, -3)

vértice=−b2a

=−−42∗1

=42=2

Ahora reemplazamos el valor de 2 en la ecuación original, para saber qué valor es y. Así;

y=x2−4 x+1=(2)2−4 (2 )+1=4−8+1=−3;por lo tanto el punto del vértice sería:

V (2, - 3)

Dominio: Todos los números reales, no existe discontinuidad.

31

Rango: y ≥−3, es decir todos los valores de y a partir de – 3 hasta el infinito.

31.

f ( x )=|2x−1|

Si f ( x )=0; tenemos

2 x−1=0

2 x=1

x=12

intersección. y = 0

Si x=0 , tenemos

f ( x )=|−1|=1 y = 1

Por lo tanto obtenemos dos puntos de intersección:

( 12 ,0) y (0 ,1)

Dominio. Todos los números reales

Gráfica:

y

3

1

-x - 1 - ½ 0 ½ 1 2 x

x 1 3y 1 2

Dominio: Todos los números realesRango: Números reales mayores o iguales a cero (0)

37.

32

Grafique cada función definida por partes y determine su dominio y rango.

f ( x )={x+6 , si∧x≥3x2 , si∧x<3

Gráfica de:

f ( x )=x+6 , si x ≥3

Valores mayores a 3; así:

x 3 4 5y 9 10 11

f (3 )=3+6=9f (4 )=4+6=10f (5 )=5+6=11

11

10

9

3 4 5 x

- y

Gráfica de:

f ( x )=x2 , si x<3

33

Valores menores a 3; así:

x 0 ±1 ±2 ±3y 0 1 4 9

f (0 )=02=0f (±1 )=12=1f (±2 )=22=4f (±3 )=32=9

Cabe mencionar que si reemplazamos tanto valores positivos como negativos, vamos a tener los mismos resultados, como en la tabla anterior.

Gráfica:

y

9

- x 0 1 2 3 4 x

EJERCICIO # 2.6.

7.

34

Determine las intersecciones con el eje x, con el eje y, de las gráficas de las ecuaciones, También pruebe la simetría con respecto al eje x, al eje y, al origen y a la línea y = x. No haga el bosquejo de las gráficas.

x=−2

Intersecciones:

Si y = 0; tenemos

x=−2; intersección con el eje x:

Por lo tanto no hay intersecciones con el eje y.

Simetrías:

Con el eje x:

x=−2; si existe simetría

Con el eje y:

−x=−2; no hay simetríax=2

Con el origen:

−x=−2; no hay simetría

x=2

Con la línea x = y

− y=−2y=2 No hay simetría

Por lo tanto tenemos la intersección (-2, 0) y si es simétrica con el eje x.

19.

Determine las intersecciones con el eje x, con el eje y de las gráficas de las ecuaciones. También, pruebe la simetría con respecto al eje x, al eje y, al origen y a la línea y = x. Después haga el bosquejo de la gráfica.

y=f ( x )=x3−4 x

Intersecciones:

Con el eje x:

35

Si y = 0

f (0 )=x3−4 x=0x (x2−4 )=0x (x−2 )(x+2)=0x1=0x2=2x3=−2 P1(0,0)P2(2,0)P1(−2,0)

Con el eje y:

Si x = 0

f (0 )=03−4 (0 )=0

P1(0,0)

Simetría:

Con el eje x:

y=− y , reemp lazamosen la ecuación origianl y obtenemos :

y=f ( x )=x3−4 x

− y=x3−4 x

y=− x3+4 x , por lotantonoexiste simetría respecto al eje x .

Con el eje y:

x=−x , reemplazamos en laecuación origianl y obtenemos :

y=f ( x )=x3−4 x

y=(−x )3−4 (−x)

y=− x3+4 x , por lotantonoexiste simetría respecto al eje y .

Con el origen:

36

x=−x , reemplazamos en laecuación origianl y obtenemos :y=− y , reemplazamos en la ecuación origianl y obtenemos :

y=f ( x )=x3−4 x

− y=(−x )3−4 (−x)

− y=−x3+4 x

y=x3−4 x , si existe simetría conel origen

Con la línea y = x:

y=x , reemplazamos ambos valores en laecuación original , Así .

y=f ( x )=x3−4 x

x=( y)3−4 ( y )

x= y3+4 y noexiste simetría conrespectoa la lineax= y

Gráfica:

-x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x

- y

Cuando:

37

1

23

4

5

-1

-2

-3-4-5

x= -1; y = 3x= 1; y = - 3

21.

Determine las intersecciones con el eje x, con el eje y de las gráficas de las ecuaciones. También, pruebe la simetría con respecto al eje x, al eje y, al origen y a la línea y = x. Después haga el bosquejo de la gráfica.

|x|−|y|=0

Intersecciones:

Con el eje x:

Si y = 0

f (0 )=0x1=0

P1(0,0)

Con el eje y:

Si x = 0

y=0=0

P1(0,0)

Simetría:

Con el eje x:

y=− y , reemp lazamosen la ecuación origianl y obtenemos :

f ( x )=|x|−|y|=0

f (x)=|x|−|− y|

f ( x )=|x|−|y|, por lotanto si existe simetría conrespecto al eje x :

Con el eje y:

x=−x , reemplazamos en laecuación origianl y obtenemos :

38

f ( x )=|x|−|y|=0

f (x)=|−x|−|y|

f ( x )=|x|−|y|, por lotanto si existe simetría conrespecto al eje y :

Con el origen:

x=−x , reemplazamos en laecuación origianl y obtenemos :y=− y , reemplazamos en la ecuación origianl y obtenemos :

f ( x )=|x|−|y|=0

f (x)=|−x|−|− y|

f ( x )=|x|−|y|, por lotanto si existe simetría conrespecto al origen

Con la línea y = x:

y=x , reemplazamos ambos valores en laecuación original , Así .

f ( x )=|y|−|x|; por lotanto si exioste simetría conrespecto a lalínea y=x

Gráfica:|y|−|x|=0

|y|=|x|

-x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x

39

1

23

4

5

-1

-2

-3-4-5

- y

40