MATEMÁTICAS PARA LAS MATEMÁTICAS PARA LAS CIENCIAS BIOLÓGICAS CIENCIAS BIOLÓGICAS 

II Bimestre

ESCUELA DE GESTIÓN AMBIENTAL

II Bimestre

NOMBRES: Ing. Natalí Solano Cueva

FECHA: OCTUBRE  2010 – FEBRERO 2011

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2.Exponentes y radicales3.Expresiones algebraicas4.Expresiones fraccionarias5.Notación científica6.Sistema internacional (SI)

Ejercicios

Unidad 5: Sistema de ecuaciones lineales

Sistema de ecuaciones lineales. Métodos de soluciónsoluciónÁlgebra de matrices

Sistema de ecuaciones lineales (S.E.L)

Es una colección de dos o más ecuaciones lineales,d d á i bl (i ó it )cada una con dos o más variables (incógnitas).

Una solución de un S.E.L. consta de valores de lasi bl l l d ió d lvariables para los cuales cada ecuación del

sistema se verifica.

Al j t d t d l l i l llAl conjunto de todas las soluciones se le llamaConjuntoConjunto SoluciónSolución del S.E.L.

3

Ejemplos de sistemas de ecuaciones

2 6x y+ =⎧⎨

2 5x y⎧ − = −2 61)

3 4x yx y+⎧

⎨ − =⎩

52)

2 4x yx y

⎧ =⎨

+ =⎩

1 3 102 4

x y⎧ + =⎪⎪3 0

4)x y⎧ − =

⎨2 43) 3 4

y

x y

⎪⎪⎨⎪ − =⎪⎩

4) 0

yx y

⎨− =⎩

4

4y

⎪⎩

Existen varios métodos para resolver sistemas de Existen varios métodos para resolver sistemas de Existen varios métodos para resolver sistemas de Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones, entre ellos:ecuaciones, entre ellos:

1. Método gráfico 2 Método de sustitución2. Método de sustitución3. Método de eliminación por adición4 Regla de Cramer4. Regla de Cramer5. Método de la matriz aumentada6 é d d

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6. Método de matrices

MÉTODO GRÁFICO PARA SISTEMAS 2X2MÉTODO GRÁFICO PARA SISTEMAS 2X2

Procedimiento

1. Las soluciones del sistema de ecuaciones1. Las soluciones del sistema de ecuaciones serán los puntos de intersección entre las dos gráficas.

2. Construya la gráfica de cada ecuación.

6

y g

Ejemplos: Sistema de ecuaciones por el método gráfico

3

4

y

2x y+ =

2)

x y+ =⎧⎨

1

2

( ):Solución 1 , 12)

0y

x y

⎧⎨ − =⎩- 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5

- 1

x

- 3

- 2

7

- 40x y− =

EjemploEjemplo: : Verifica si el par ordenado es una solución del sistema de ecuaciones.

2 61)

3 4x y+ =⎧

⎨⎩

( )2 , 1 :OrdenadoPar 3 4x y⎨ − =⎩

:Verificación :Verificación( )2 1 2 6 + ≠

( )( )3 1 2 4 − ≠

( )Por lo tanto el par ordenado 1 2 no es solución8

( )Por lo tanto el par ordenado 1 , 2 no es solución.

2 5⎧ ( )2 52)

2 4x yx y

⎧ − = −⎨

+ =⎩

( )Par Ordenado: 1 , 6−

( )2:Verificación

( ) 561 2 −=−−( ) 4612 =+−

( )Por lo tanto el par ordenado 1 , 6 es solución.−

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MÉTODO DE SUSTITUCIÓN PARA SISTEMAS 2X2

PROCEDIMIENTO

1. Despeja una de las variables en cualquiera de lasecuaciones.

2. Sustituye el resultado obtenido en la otra ecuación.Esto producirá el valor de una de las variables.

3. Sustituye el valor de la variable del paso anterior encualquiera de las ecuaciones originales para encontrarl l d l i bl

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el valor de la otra variable.

⎧Ejemplo: Método de sustitución.

2 61)

3 4x y

x y+ =⎧

⎨ − =⎩

26Escogiendo la ecuación, , tenemos 2 6x y+ =

xy 26−=

( )Sustituyendo en la otra ecuación tenemos,

( ) 4263 =−− xx4263 =+− xx

22=xSustituyendo el valor obtenido en la primera ecuaciónt

11( )226−=y 2= ( ){ }2 , 2Conjunto Solución =tenemos

MétodoMétodo de de EliminaciónEliminación porpor AdiciónAdición

Este método consiste en sumar o restar las ecuaciones con elEste método consiste en sumar o restar las ecuaciones con elEste método consiste en sumar o restar las ecuaciones con el Este método consiste en sumar o restar las ecuaciones con el objetivo que se elimine una de las variables.objetivo que se elimine una de las variables.

Procedimiento:Procedimiento:

1. Iguala los coeficientes de una de las variables multiplicandog plas ecuaciones por los números correspondientes.

2 S t l i li i l i bl2. Suma o resta las ecuaciones para eliminar la variable.

3 Repite el proceso para la otra variable Este paso se puede12

3. Repite el proceso para la otra variable. Este paso se puedereemplazar por una sustitución.

Álgebra de MatricesSe llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aijdispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primerod t l fil ( i ) l d l l ( j ) P j l l l t ádenota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 seráel elemento de la fila 2 y columna 5.

Operaciones con matrices

Trasposición de matrices

Suma y diferencia de matrices

Producto de una matriz por un númeroProducto de una matriz por un número

Propiedades simplificativas

Producto de matrices

Matrices inversibles

Trasposición de matrices

Dada una matriz de orden m x n, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a

la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.

Es decir:

Suma y diferencia de matrices

La suma de dos matrices de la misma dimensión, es otra matriz del mismo

ñ l d P d d i h dtamaño que los sumandos. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de

tener la misma dimensión.

La suma de las matrices A y B se denota por A BLa suma de las matrices A y B se denota por A+B.

Ejemplo:

Sin embargo, no se pueden sumar.

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)

Producto de una matriz por un número

El producto de una matriz A por un número real k es otra matriz B de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij.y q j p j p j j

Ejemplo:

El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número real k se le llama también escalar y a este producto producto de escalares por matricesllama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices

Producto de matrices

Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B.

Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B Es

Pij = aik bkj

Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p, Es decir:

no se pueden multiplicarEjemplo:

Unidad 6: Sucesiones

Sucesiones aritméticasSucesiones aritméticasSucesiones geométricas

Sucesiones AritméticasUna Sucesión Aritmética, es una sucesión de números reales

tales que cada término es igual al anterior más un número

constante, llamado “diferencia”.

Ejemplo:

5 7 9 11 13 15 175 7 9 11 13 15 17

+2 +2 +2 +2 +2+2 +2 +2 +2 +2 +2

TÉRMINO GENERAL:

a1 → 1er. término 1a2 = a1 + d → 2do término a3 = a2 + d = a1 + d + d → 3er. términoa4 = a3 + d = a2 + d + d = a1 + 3d → 4to. término4 3 2 1

an = a1 + (n –1) d → término general

D l ió i h llDe la expresión anterior hallamos:

dnaa )1(= 1−=

aad n 11 +−

=aan ndnaa n )1(1 −−=

1−=

nd 1

1+

+dn

Sugerencia: Es necesario tener en cuenta la importancia que el estudianteSugerencia: Es necesario tener en cuenta la importancia que el estudiantemaneje con mucha destreza las expresiones anteriores

Sucesiones GeométricasEs una sucesión en la cual cualquier término es igual al anterior

multiplicado por una constante, r , llamada RAZÓN .

an = a1 , a2 , a3 , a4 , .... , ak , ..., an-1 , an

Deducimos la fórmula principal:

a1 = a1

a2 = a1 . r2

a3 = a2 r = a1 r

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 22

a3 = a2 . r = a1 . r3

a4 = a3 . r = a1 . r

•• ……………...n-1

• an = a n-1 . r = a1 . r

O sea:

n-1an = a1 ran = a1 . r

De ella se despeja en caso necesario a1, d o n.

Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Unidad 7: Geometría Unidad 7: Geometría Analítica

ParábolasElipsesElipsesHipérbolas

ParábolaEs el conjunto de todos los puntos del plano que seencuentra en la misma distancia de un punto fijollamado FOCO y de una recta fija llamadaDIRECTRIZ.

La Parábola en Matemática se define como:

f(x) = a. x2 + b. x + c

Abierta hacia arriba Abierta hacia abajo

(x-h)2 = 4p(y-k) (x-h)2 = -4p(y-k)

Abierta hacia la derecha Abierta hacia la izquierda

(y-k)2 = 4p(x-h) (y-k)2 = -4p(x-h)

ElipseLa elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales quela suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos esconstante.constante.

P constante

'F P FP+ =suuur suur

F'F

d l l (h k)Ecuación de la Elipse con centro (h , k)

( X-H )* + ( Y-K )* = 1( X H ) + ( Y K ) 1A* B*

HipérbolaHipérbolaEs el lugar geométrico de los puntos en un plano, para los que ladif i d di t i d t fij (d i ddiferencia de sus distancias a dos puntos fijos (denominadosfocos) es una constante.

y y

xEje transverso

xEje transverso

Eje transverso

Una hipérbola tiene dos ejes; el eje que corta a la hipérbola es su ejetransverso; el punto en el que se cortan los ejes es el centro de la curva.transverso; el punto en el que se cortan los ejes es el centro de la curva.

La ecuación de una hipérbola puede escribirse como:

( ) ( )22( ) ( ) 12

2

2

2

=−

−−

bky

ahx

(h,k) es el centro de la hipérbola.El eje transverso es paralelo al eje x.

y

xEje transverso

( ) ( ) 12

2

2

2

=−

−−

bhxky22 ba

(h,k) es el centro de la hipérbola.El eje transverso es paralelo al eje y.

y

x

Eje transverso

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