MATEMATICAS´ II Grupo GF 7-3-13 APELLIDOS: NOMBREIvorra/docencia/EC2013.pdf · 2013-05-27 ·...

MATEMATICAS II Grupo GF 7-3-13

APELLIDOS: NOMBRE:

1. Considera el problema siguiente:

Max. 22x + 6y + 10zs.a 15x + 3y + 2z 400

2x + 2y � 2z � 1x, y, z � 0 enteras

(a) (0.05 ptos.) Resuelve el problema con LINGO e indica la solucion optima.

(b) (0.35 ptos.) Resuelve el problema anterior por el metodo de ramificacion y aco-tacion usando LINGO para resolver los problemas intermedios. Escribe el arbolcorrespondiente y razona por que termina cada rama. En caso de que puedas ra-mificar varias variables, elige la menor en orden alfabetico, y en caso de que puedasramificar varios nodos elige el de mejor valor de la funcion objetivo.

AYUDA: Para evitar errores al teclear ten presente que el primer problema queresuelvas debe darte como valor optimo de la funcion objetivo F = 1278.2


APELLIDOS: NOMBRE:


Max. 10x + 6y + 22zs.a 2x + 3y + 15z 400

2z + 2y � 2x � 1x, y, z � 0 enteras





APELLIDOS: NOMBRE:


Min. 5x + 3y + 11zs.a 2x + 3y + 15z � 400

y � 23x + y � z � 0x, y, z � 0 enteras




MATEMATICAS II Grupo GF T1 7-3-13

APELLIDOS: NOMBRE:

2. (0.3 ptos.) Considera el problema

Opt. 3x + ys.a x2 + y2 � 10

x� y 2x, y � 0

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

x� y = 2

x2 + y2 = 10

y = 0

x = 0

Resuelvelo graficamente. Senala en la figura los optimos

globales y calculalos analıticamente.

3. Considera el problema:Min. x + y + z

s.a x + 5y � 3x� y + z 5x2 + y + z2 10x 0, y � 0

(a) (0.4 ptos.) Razona si cumple las hipotesis del teorema de Weierstrass. En caso deque las cumpliera ¿que podrıamos afirmar sobre el problema?

(b) (0.1 ptos.) Transforma el problema para que tenga objetivo de maximizar, variablesno negativas y restricciones de igualdad.

(c) (0.1 ptos.) Razona si las soluciones (�1, 1, 1) y (8,�1, 1), (0, 1, 1) son factibles oinfactibles, interiores o de frontera.

(d) (0.1 ptos.) ¿Tiene el problema soluciones infactibles? ¿Es el problema infactible?¿Puede ser no acotado?

4. (0.4 ptos.) Razona si alguno de estos conjuntos es convexo:

S = {(x, y, z) 2 R3 | 2x+y 5, x+y�x2�2y4 3, 3x2+2y2+3z2+2xy+4xz+2yz � 100}

T = {(x, y, z) 2 R3 | 2x+y = 5, x+y�x2�2y4 � 3, 3x2+2y2+3z2+2xy+4xz+2yz 100}

5. Razona brevemente:

(a) (0.1 ptos.) ¿Que podemos concluir de un problema que satisfaga las hipotesis delteorema local-global.

(b) (0.1 ptos.) ¿Un problema lineal cumple necesariamente dichas hipotesis?


APELLIDOS: NOMBRE:

2. Considera el problemaOpt. y

s.a y � x2 � 1x + y � 3x � 0

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

1

2

3

4

y � x2 = 1

x + y = 3

x = 0

(a) (0.3 ptos.) Resuelvelo graficamente. Senala en la fi-

gura los optimos globales y calculalos analıticamente.

(b) (0.1 ptos.) Transforma el problema para que tenga

restricciones de igualdad y variables no negativas.

3. Considera el problemaMax. xyz

s.a x2 + y � z 2x + z 5x + y2 20x, z � 0

(a) (0.1 ptos.) Estudia si las soluciones (0, 0, 1) y (1, 1, 1) son factibles o infactibles,interiores o de frontera.

(b) (0.4 ptos.) Razona que el problema tiene solucion optima.

(c) (0.1 ptos.) Razona si (0, 0, 1) puede ser la solucion optima del problema.

4. Considera el problema

Max. x2 + 4y2 + z2 + 4xy � 2xz � 4yzs.a z + x2 20

y � z2 � 10x + y + z 50x, y, z � 0

(a) (0.2 ptos.) Escribe el conjunto de oportunidades y razona si es convexo.

(b) (0.2 ptos.) ¿Se puede aplicar el teorema local-global?


(a) (0.1 ptos.) ¿Un problema no acotado puede tener varias soluciones optimas?

(b) (0.1 ptos.) ¿Es lo mismo un problema no acotado que un problema cuyo conjuntode oportunidades es no acotado?


APELLIDOS: NOMBRE:

2. Considera el problemaMax. x + 0.5y

s.a x2 � 2y � 0x + 2y 2y � 0

0.5 1.0 1.5 2.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x2 � 2y = 0

x + 2y = 2

y = 0

(a) (0.3 ptos.) Resuelvelo graficamente. Senala en la fi-

gura el optimo global y calculalo analıticamente.

(b) (0.1 ptos.) Transforma el problema para que tenga

restricciones de igualdad y variables no negativas.


Max. 4xy + 3xz � 3yz � 2x2 � 2y2 � z2

s.a 100y � x4 � y2 � z2 � 103x + 5y + z 50x, y, z � 0

(a) (0.2 ptos.) Escribe el conjunto de oportunidades y razona si es convexo.

(b) (0.3 ptos.) ¿Se le puede aplicar el teorema local-global? Indica claramente quetiene que cumplirse para que esto sea posible.

(c) (0.1 ptos.) Razona si la solucion (x, y, z) = (0, 1, 1) es factible o infactible, interioro de frontera.


Max. 3x + 2y + z2

s.a x2 + y + z 10x + y + z 20y � 0

(a) (0.2 ptos.) Escribe el conjunto de oportunidades. Razona si es cerrado. ¿Es vacıo?

(b) (0.2 ptos.) Razona si se puede aplicar el teorema de Weierstrass.


(a) (0.1 ptos.) Si un problema de maximizar tiene solucion optima (x, y) = (2, 3) confuncion objetivo F (2, 3) = 10, ¿que podemos decir de (1, 3) si F (1, 3) = 15?

(b) (0.1 ptos.) Pon un ejemplo de problema cuyo conjunto de oportunidades no esteacotado pero que tenga optimo global.

MATEMATICAS II Grupo GF L1a 11-4-13

APELLIDOS: NOMBRE:

Una empresa sirve un producto desde tres plantas de produccion a dos mercados. El pro-blema siguiente determina las cantidades xij de producto que debe servir desde cada planta ia cada mercado j para maximizar su beneficio teniendo en cuenta que la produccion en cadaplanta esta limitada por una restriccion presupuestaria y que hay unas demandas mınimas quedeben ser satisfechas:

Max. 10x11 + 8x12 + 6x21 + 8x22 + 3x31 + 7x32 Beneficios.a x11 + x21 + x31 � 450 Demanda del primer mercado

x12 + x22 + x32 � 500 Demanda del segundo mercado3x11 + 2x12 300 Presupuesto de la primera planta2x21 + x22 550 Presupuesto de la segunda plantax31 + 4x32 400 Presupuesto de la tercera plantax11, x12, x21, x22, x31, x32 � 0

Responde a las preguntas particularizando las respuestas al problema concreto, evitando entu conclusion final expresiones generales como “funcion objetivo” “variable de holgura”, etc.

Excepto en la pregunta 1, indica todos los datos de la solucion de LINGO en que se basatu respuesta, su interpretacion y razona por que dichos datos responden a la pregunta.

1. (0.2 ptos.) Razona cuales son las variables basicas y no basicas de la solucion optima.

2. (0.2 ptos.) Razona si en algun mercado se sirve menos demanda de la considerada en elproblema.

3. (0.2 ptos.) Si la empresa quisiera abrir una nueva lınea de transporte, ¿que le resultarıamas favorable, empezar a servir su producto desde la planta 2 hasta el mercado 1 o desdela planta 3 al mercado 2?

4. (0.2 ptos.) ¿Como afectarıa al beneficio de la empresa que pudiera reducir la demandadel primer mercado hasta 425 unidades?

5. (0.3 ptos.) Si el beneficio esperado por cada unidad servida desde alguna de las plantasa alguno de los mercados disminuyera 2 unidades, ¿deberıa la empresa replantearse lascantidades a servir?

6. (0.3 ptos.) Razona cuales de estos cambios podrıan realizarse sin afectar al beneficio dela empresa:

a) aumentar 10 unidades la cantidad servida al mercado 2,

b) servir dos unidades mas de la planta 3 al mercado 1,

c) aumentar a 600 unidades las 500 unidades que ahora deben servirse al segundo mercado.

7. (0.3 ptos.) Interpreta el intervalo de sensibilidad del presupuesto de la tercera planta.Di todo lo que podemos afirmar, a partir de la informacion que da LINGO, sobre lascaracterısticas que tendra de la nueva solucion. (No se valoraran respuestas genericas queno se refieran al contexto concreto de este problema.)

8. (0.3 ptos.) Si la empresa pudiera aumentar en un 10% el presupuesto de una de susplantas, ¿a que mercado convendrıa destinar la produccion adicional?

Variable Value Reduced CostX11 50.00000 0.000000X12 ? 0.000000X21 0.000000 8.000000X22 ? 0.000000X31 400.0000 0.000000X32 0.000000 13.00000

Row Slack or Surplus Dual PriceBENEFICIO 6700.000 1.000000DEMANDAM1 0.000000 -2.000000DEMANDAM2 125.0000 0.000000

PRESUPUESTOP1 0.000000 4.000000PRESUPUESTOP2 0.000000 8.000000PRESUPUESTOP3 0.000000 5.000000

Objective Coefficient Ranges:

Current Allowable AllowableVariable Coefficient Increase Decrease

X11 10.00000 2.000000 8.000000X12 8.000000 5.333333 1.333333X21 6.000000 8.000000 INFINITYX22 8.000000 INFINITY 4.000000X31 3.000000 INFINITY 3.250000X32 7.000000 13.00000 INFINITY

Righthand Side Ranges:

Current Allowable AllowableRow RHS Increase Decrease

DEMANDAM1 450.0000 50.00000 50.00000DEMANDAM2 500.0000 125.0000 INFINITY

PRESUPUESTOP1 300.0000 INFINITY 150.0000PRESUPUESTOP2 550.0000 INFINITY 125.0000PRESUPUESTOP3 400.0000 50.00000 50.00000

MATEMATICAS II Grupo GF L1b 12-4-13

APELLIDOS: NOMBRE:

Una empresa dispone de tres plantas en las que debe procesar 1 000 toneladas de una materiaprima. El proceso tiene dos fases, y la tercera planta tiene una capacidad limitada para lasegunda fase, luego parte de la materia prima que ha procesado en la fase 1 debe enviarla a lasotras dos plantas para completar la fase 2. El problema siguiente determina cuantas toneladasde materia prima se deben enviar a la planta 1 (P1), cuantas se deben enviar a la planta 2 (P2),y cuantas de las enviadas a la planta 3 deben acabar de procesarse en cada una de las plantas(P31, P32, P33) para minimizar el coste de la produccion teniendo en cuenta que, para que seanoperativas, las plantas 1 y 2 deben trabajar conjuntamente al menos un total de 2 000 horas enla segunda fase.

Min. 10P1 + 15P2 + 20P31 + 18P32 + 12P33 Costes.a P1 + P2 + P31 + P32 + P33 = 1 000 Toneladas a procesar

P1 200 Capacidad de P1 para la primera faseP2 300 Capacidad de P2 para la primera faseP33 100 Capacidad de P3 para la segunda fase4(P1 + P31) + 2(P2 + P32) � 2 000 Horas empleadas en P1 y P2

P1, P2, P31, P32, P33 � 0



1. (0.2 ptos.) Di cuales son las variables basicas y no basicas de la solucion optima.

2. (0.4 ptos.) Interpreta los DOS numeros de la lınea

Row Slack or Surplus Dual PriceHORAS12 200.0000 0.000000

3. (0.2 ptos.) Si la planta 1 necesitara recibir al menos 3 toneladas de la planta 3, ¿cuantovariarıa exactamente el coste de produccion?

4. (0.2 ptos.) Las estimaciones de los costes de procesado no son del todo fiables, y algunode ellos podrıa ser en realidad una unidad mayor o menor que el previsto. ¿Podıa esoalterar la solucion mas conveniente para la empresa? ¿Y el coste mınimo?

5. (0.2 ptos.) ¿Cual serıa el coste de produccion optimo si la cantidad de materia prima aprocesar fuera de 950 toneladas?

6. (0.3 ptos.) En tal caso (si hubiera que procesar 950 toneladas), di todo lo que podemosafirmar, a partir de la informacion que da LINGO, sobre las caracterısticas que tendrala nueva solucion. (No se valoraran respuestas genericas que no se refieran al contextoconcreto de este problema.)

7. (0.5 ptos.) Si la empresa pudiera aumentar un 50% la capacidad para la primera fasede una de las dos primeras plantas, ¿de cual serıa mas conveniente? ¿Tenemos garantıasde que podra aprovechar totalmente ese aumento?

Variable Value Reduced CostP1 200.0000 0.000000P2 300.0000 0.000000P31 0.000000 2.000000P32 400.0000 0.000000P33 100.0000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual PriceCOSTE 14900.00 -1.000000

MATERIA 0.000000 -18.00000CAPACIDAD1 0.000000 8.000000CAPACIDAD2 0.000000 3.000000CAPACIDAD3 0.000000 6.000000

HORAS12 200.0000 0.000000



P1 10.00000 8.000000 INFINITYP2 15.00000 3.000000 INFINITYP31 20.00000 INFINITY 2.000000P32 18.00000 2.000000 3.000000P33 12.00000 6.000000 INFINITY



MATERIA 1000.000 INFINITY 100.0000CAPACIDAD1 200.0000 400.0000 100.0000CAPACIDAD2 300.0000 400.0000 300.0000CAPACIDAD3 100.0000 100.0000 100.0000

HORAS12 2000.000 200.0000 INFINITY

MATEMATICAS II Grupo GF L1c 17-4-13

APELLIDOS: NOMBRE:

Un empresario esta estudiando la posibilidad de aportar capital a cuatro plantas de pro-duccion con objeto de hacerlas mas eficientes. Actualmente la produccion mensual de las cuatroplantas se realiza en 100 000 minutos, y se estima que cada unidad de capital invertida en cadaplanta puede reducir el tiempo en 3, 7, 4 y 5 minutos respectivamente. El problema siguientedetermina que cantidad de capital conviene invertir en cada planta para minimizar el tiempototal de produccion sujeto a unas restricciones presupuestarias, exigiendo ademas que la uti-lidad de la inversion no sea inferior a 5 000 unidades y una condicion tecnica debido a que laproduccion de la primera planta esta condicionada a la de la tercera:

Min. 100 000� 3x� 7y � 4z � 5w Tiempos.a 4x + 5y + 2z + 3w � 5000 Utilidad

x + y 600 Presupuesto plantas 1 y 2z + w 800 Presupuesto plantas 3 y 4x � 2z + 1 Restriccion tecnicax, y, z, w � 0



1. (0.2 ptos.) Razona cuales son las variables basicas y no basicas de la solucion optima.

2. (0.2 ptos.) ¿Cual es la utilidad que consigue el empresario con su inversion?

3. (0.4 ptos.) Interpreta los costes reducidos de las variables z y w.

4. (0.2 ptos.) Si el empresario pudiera disponer de mas capital, ¿le convendrıa aumentarel presupuesto de las dos primeras plantas o el de las dos ultimas?

5. (0.3 ptos.) Interpreta el intervalo de sensibilidad del presupuesto de las plantas 1 y 2. Nose valoraran respuestas genericas que no se refieran a la situacion concreta del problema.

6. (0.2 ptos.) Actualmente, cada unidad de capital invertida en la planta 1 reduce el tiempode produccion en 3 minutos. Si este coeficiente de �3 disminuyera hasta �6, ¿convendrıainvertir mas en dicha planta?

7. (0.5 ptos.) Si el empresario dispusiera de 100 u.m. adicionales para las plantas 3 y 4, ¿encual de las plantas convendrıa invertirlas concretamente? ¿cual pasara a ser el tiempo deproduccion?

Variable Value Reduced CostX ? 0.000000Y ? 0.000000Z 0.000000 9.000000W 800.0000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual PriceTIEMPO 92000.00 -1.000000

UTILIDAD 350.0000 0.000000PRESUPUESTO12 0.000000 7.000000PRESUPUESTO34 0.000000 5.000000

RESTRICCION_TECNICA 0.000000 -4.000000



X -3.000000 INFINITY 4.000000Y -7.000000 4.000000 INFINITYZ -4.000000 INFINITY 9.000000W -5.000000 5.000000 INFINITY



UTILIDAD 5000.000 350.0000 INFINITYPRESUPUESTO12 600.0000 INFINITY 70.00000PRESUPUESTO34 800.0000 INFINITY 116.6667

RESTRICCION_TECNICA 50.00000 350.0000 50.00000

MATEMATICAS II Grupo GF M1b 11-4-13

APELLIDOS: NOMBRE:

Modeliza y resuelve el problema siguiente:

Una empresa se propone ampliar el capital y el numero de trabajadores que destinaa las tres fases de que consta la elaboracion de su producto. La tabla siguienterecoge el incremento de produccion que espera obtener por cada unidad de capitalinvertida y cada trabajador en cada fase, ası como el presupuesto mensual disponiblepara cada una de las dos partidas:

Fase 1 Fase 2 Fase 3 PresupuestoCapital invertido 3 5 3 950.5Trabajadores 2 6 1 3 000

Cada trabajador contratado recibira un salario mensual de 10 u.m. si es destinadoa la fase 1, de 15 u.m. si se destina a la fase 2 y de 5 u.m. si se destina a la fase3. Ademas, en cada fase, es necesario destinar al menos 3 unidades monetarias decapital por cada trabajador que se destine a ella.

Por otra parte, el proceso de produccion requiere que por cada trabajador que secontrate para la fase 1 se contraten exactamente 2 para la fase 2, y en la fase 3hacen falta al menos 7 trabajadores. Determina que aporte de capital y cuantostrabajadores requiere cada fase para maximizar la produccion total.

Escribe el modelo explicando el significado de las variables, de cada restriccion y de la funcionobjetivo, escribe la solucion optima (es decir, indica el aporte de capital y los trabajadores querequiere cada fase del proceso productivo) y comprueba en el papel que la solucion que presentassatisface las condiciones del enunciado (no las ecuaciones que hayas escrito en el modelo).

General Solver: Dual Computations ! PricesVariables assumed non-negative

Global Solver: Use Global SolverModel Generator: Unary minus priority ! Low

MATEMATICAS II Grupo GF M1a 12-4-13

APELLIDOS: NOMBRE:


El propietario de una pastelerıa acude a un mercado mayorista con el proposito decomprar entre 10 y 20 kg de harina, entre 30 y 45 docenas de huevos (que se vendenen paquetes indivisibles) y azucar. Por cada kg de harina que compre necesitara 2kg de azucar, y por cada docena de huevos otro medio kg (y no esta interesado encomprar mas azucar del que necesita). De cada uno de los tres productos puede ele-gir entre dos marcas: una de calidad, con unos precios fijos, y una marca blanca deldistribuidor, cuyo precio depende de la cantidad adquirida, segun la tabla siguiente:

Precio Harina ( C /kg) Huevos ( C /docena) Azucar ( C /kg)Marca de calidad 0.8 1.20 1Marca blanca 1.4� 0.04Hab 3.5� 0.06Hub 1.8� 0.02Azb

donde Hab, Hub y Azb son, respectivamente, las cantidades adquiridas de harina,huevos y azucar de marca blanca en las unidades indicadas en la tabla. Para garan-tizar un nivel de calidad de sus productos, el comprador quiere gastar al menos 20 Cen productos de calidad, pero por razones de economıa no quiere que la cantidadadquirida de la marca de calidad de cada producto sea mayor que el 30% de lacantidad adquirida de la marca blanca correspondiente.

Determina que cantidades de cada marca de cada producto debe adquirir el com-prador para minimizar el coste.

Escribe el modelo explicando el significado de las variables, de cada restriccion y de la funcionobjetivo, escribe la solucion optima (es decir, indica las cantidades que hay que adquirir decada cosa) y comprueba en el papel que la solucion que presentas satisface las condiciones delenunciado (no las ecuaciones que hayas escrito en el modelo).



MATEMATICAS II Grupo GF M1c 17-4-13

APELLIDOS: NOMBRE:


Un inversor se plantea invertir 40 000 u.m. en una operacion de compra-venta depisos en dos urbanizaciones en construccion. Las tablas siguientes contienen losprecios a los que puede adquirir cada vivienda segun sus caracterısticas, ası comolos precios a los que pretende venderlos.

Urbanizacion 1 Urbanizacion 2precio compra precio venta precio compra precio venta

Piso normal 550 600 350 410Piso de lujo 700 780 600 675Atico (de lujo) 800 900 vease enunciado 1 000

Para la compra de aticos en la segunda urbanizacion, el inversor ha negociado conel constructor un precio de 850 + 10/x, donde x es el numero total de aticos quecompra en ella.

Para asegurarse de que podra vender todas las viviendas, teniendo en cuenta unaestimacion de la demanda, quiere que el numero de pisos normales en cada urba-nizacion sea igual al numero de viviendas de lujo (pisos y aticos) que adquiera enellas. Ademas quiere adquirir al menos tres veces mas pisos que aticos, ası como queel numero de pisos normales en la urbanizacion 1 sea al menos el 15% del numerototal de viviendas adquiridas entre las dos urbanizaciones.

Determina cuantas viviendas debe adquirir de cada clase en cada urbanizacion paramaximizar el beneficio de la operacion.

Escribe el modelo explicando el significado de las variables, de cada restriccion y de la funcionobjetivo, escribe la solucion optima (es decir, indica cuantos pisos conviene adquirir de cadatipo) y comprueba en el papel que la solucion que presentas satisface las condiciones del enun-ciado (no las ecuaciones que hayas escrito en el modelo).




APELLIDOS: NOMBRE:

1. Considera el problemaMax. �x + y + 2z

s.a 2x + z 3x + 3z 1x + y + 2z � 2x 0, y � 0, z 0

(a) (0.4 ptos.) Calcula (sin hacer iteraciones) la tabla del sımplex correspondiente a lasolucion (x, y, z) = (0, 2, 0).

(b) (0.2 ptos.) Razona si la tabla anterior es optima y si no lo es aplıcale el algoritmodel sımplex. Razona si el problema es infactible, no acotado o tiene solucion optimade vertice, de arista finita o de arista infinita.

(c) (0.2 ptos.) Repite el apartado anterior si el objetivo es Min. �x + y + 2z.

(d) (0.2 ptos.) Comprueba que la solucion del apartado a) cumple la definicion desolucion factible basica.

2. (0.5 ptos.) Resuelve el problema siguiente mediante el metodo del sımplex:

Max. x + 2y + 3zs.a x + 4y + 6z 20

4x + 4y + 8z = 152x + 8y + z = 80x, y, z � 0

3. (0.2 ptos.) Razona, sin hacer ningun calculo, si el problema anterior, pero con objetivode minimizar, tiene solucion optima.

4. (0.3 ptos.) La tabla siguiente corresponde a un problema de maximizar. Completala ycalcula una solucion optima del problema que no sea (x, y, z) = (3, 5, 0).

2 1 3 0x y z s

x 1 2 3y 1 3 5


APELLIDOS: NOMBRE:

1. (0.5 ptos.) Resuelve el problema siguiente sin calcular ninguna matriz inversa. Razonasi el problema es infactible, no acotado o tiene solucion optima de vertice, de arista finitao de arista infinita. En caso de que haya solucion optima di cual es.

Min. x + y + 2zs.a �4x + 2y 25

2x + y = 8y + z � 9x 0 y, z � 0


Max. x + y + 4zs.a x + 2y + z � 4

x + 3y + 2z � 4x + 7y + 4z = 15x, y, z � 0

(a) (0.4 ptos.) Calcula sin iterar la tabla del sımplex correspondiente a la solucion(x, y, z) = (15, 0, 0).

(b) (0.2 ptos.) Razona si la tabla del apartado anterior es optima. Si no lo es, iterahasta llegar a la tabla optima y, si lo es, razona si la solucion es de vertice, de aristafinita o de arista infinita.

(c) (0.3 ptos.) Estudia si las soluciones (1

3, 0,

11

3) y (1, 2, 0) son o no factibles basicas.

(d) (0.1 ptos.) Razona si alguna de las dos soluciones del apartado anterior es optima.

3. (0.2 ptos.) Si al construir una tabla del sımplex en la ultima columna queda un valornegativo, ¿significa eso que el problema es infactible?

4. (0.3 ptos.) La tablas siguientes corresponden a problemas de maximizar. Completalaspara que correspondan a un problema no acotado en un caso y a una solucion optima dearista infinita en el otro.

�2 5 0x y z s

x �3 4s 1 2

�2 5 0x y z s

x �3 4s 1 2

MATEMATICAS II Grupo GF L2a

APELLIDOS: NOMBRE:

Un inversor se plantea participar en cuatro posibles fondos de inversion, aportando a cadauno de ellos un capital x, y, z, w respectivamente. El problema siguiente determina el capitalque conviene invertir en cada fondo para maximizar la rentabilidad esperada, teniendo encuenta que el maximo capital disponible para invertir es de 100 u.m., que la inversion debesuperar un ındice mınimo referente a la responsabilidad social de la inversion (invertir enempresas ecologicas, que satisfagan criterios eticos, etc.). Ademas se imponen dos condicionesde diversificacion que fijan un maximo que puede invertirse en los dos primeros fondos y unmınimo requerido en los dos ultimos.

Max. 0.1x + 0.2y + 0.15z + 0.21w Rentabilidads.a x + y + z + w 100 Capital disponible

0.7x + 0.3y + 0.15z + 0.01w � 50 Responsabilidad socialx + y 70 Diversificacion 1z + w � 20 Diversificacion 2x, y, z, w � 0



1. (0.1 ptos.) Indica cuales son las variables basicas y las no basicas de la solucion optima.

2. (0.2 ptos.) Interpreta la variable de holgura de la ultima restriccion.

3. (0.2 ptos.) ¿Que rentabilidad podrıa conseguir el inversor si fuera menos exigente conla responsabilidad social de su inversion y se conformara con un ındice mınimo de 49.5unidades?

4. (0.2 ptos.) Si el inversor quiere diversificar aun mas su inversion y se plantea invertir almenos 0.1 u.m. en el segundo fondo, ¿como afectarıa esto a la rentabilidad esperada?

5. (0.3 ptos.) Interpreta el intervalo de sensibilidad del capital disponible. No se valoraranrespuestas genericas, que no se adapten al problema concreto.

6. (0.3 ptos.) Si la rentabilidad esperada para el cuarto fondo resultara ser de 0.3, ¿con-vendrıa replantearse la inversion?

7. (0.5 ptos.) Si permitieramos invertir 71 unidades entre los dos primeros fondos, ¿inver-tirıamos 0.5 unidades mas en cada uno, o 1 mas en el primero, o 1 mas en el segundo ono podemos saberlo exactamente? ¿Mejorarıa con ello la rentabilidad esperada?

8. (0.2 ptos.) Razona si la afirmacion siguiente es verdadera o falsa: “Como el coste re-ducido de la variable X es 0, podemos afirmar que invertir una unidad mas en el primerfondo no afectara a la rentabilidad esperada”.

Variable Value Reduced CostX 70.00000 0.000000Y 0.000000 0.071428Z ? 0.000000W ? 0.000000

Row Slack or Surplus Dual PriceRENTABILIDAD 13.00000 1.000000

CAPITAL 0.000000 0.214285RESPONSABILIDAD 0.000000 -0.428571DIVERSIFICACION1 0.000000 0.185714DIVERSIFICACION2 10.00000 0.000000



X 0.1000000 INFINITY 0.071428Y 0.2000000 0.071428 INFINITYZ 0.1500000 0.025000 INFINITYW 0.2100000 INFINITY 0.025000



CAPITAL 100.0000 70.00000 10.00000RESPONSABILIDAD 50.00000 3.500000 0.700000DIVERSIFICACION1 70.00000 1.014493 6.363636DIVERSIFICACION2 20.00000 10.00000 INFINITY

MATEMATICAS II Grupo GF L2b

APELLIDOS: NOMBRE:

Un inversor se plantea participar en cuatro posibles fondos de inversion, aportando a cadauno de ellos un capital x, y, z, w respectivamente. El problema siguiente determina el capitalque conviene invertir en cada fondo para maximizar la rentabilidad esperada, teniendo encuenta que el maximo capital disponible para invertir es de 100 u.m., que la inversion debesuperar un ındice mınimo referente a la responsabilidad social de la inversion (invertir enempresas ecologicas, que satisfagan criterios eticos, etc.). Ademas se imponen dos condicionesde diversificacion que fijan un maximo que puede invertirse en los dos primeros fondos y unmınimo requerido en los dos ultimos.

Max. 0.1x + 0.2y + 0.15z + 0.21w Rentabilidads.a x + y + z + w 100 Capital disponible

0.7x + 0.3y + 0.15z + 0.01w � 50 Responsabilidad socialx + y 70 Diversificacion 1z + w � 20 Diversificacion 2x, y, z, w � 0



1. (0.1 ptos.) Indica cuales son las variables basicas y las no basicas de la solucion optima.

2. (0.3 ptos.) Interpreta los costes reducidos de las variables X e Y .

3. (0.3 ptos.) Interpreta los precios duales de las restricciones de diversificacion. Explicapor que es cero el segundo.

4. (0.3 ptos.) Si el inversor descubriera que la rentabilidad esperada del primer fondo esen realidad 0.09, ¿le convendrıa reducir el capital invertido en el?

5. (0.3 ptos.) Interpreta el intervalo de sensibilidad del ındice de responsabilidad social. Nose valoraran respuestas genericas que no hagan referencia a las caracterısticas concretasdel problema.

6. (0.3 ptos.) Razona como afectarıa a la rentabilidad de la inversion que el inversor quisieraaumentar su exigencia de responsabilidad social hasta 53 puntos.

7. (0.4 ptos.) Si el inversor aceptara invertir 71 unidades entre los dos primeros fondos,¿invertirıa una unidad mas o seguirıa invirtiendo en ellos lo mismo que ahora? Si decidierainvertirla, ¿la invertirıa en el primero o en el segundo?

Variable Value Reduced CostX 70.00000 0.000000Y 0.000000 0.071428Z ? 0.000000W ? 0.000000

Row Slack or Surplus Dual PriceRENTABILIDAD 13.00000 1.000000

CAPITAL 0.000000 0.214285RESPONSABILIDAD 0.000000 -0.428571DIVERSIFICACION1 0.000000 0.185714DIVERSIFICACION2 10.00000 0.000000



X 0.1000000 INFINITY 0.071428Y 0.2000000 0.071428 INFINITYZ 0.1500000 0.025000 INFINITYW 0.2100000 INFINITY 0.025000



CAPITAL 100.0000 70.00000 10.00000RESPONSABILIDAD 50.00000 3.500000 0.700000DIVERSIFICACION1 70.00000 1.014493 6.363636DIVERSIFICACION2 20.00000 10.00000 INFINITY

MATEMATICAS II Grupo GF M2a

APELLIDOS: NOMBRE:


Ines tiene que realizar un viaje en avion y puede facturar una maleta y llevar ademasuna bolsa de equipaje de mano. Despues de incluir lo impresicindible, le quedan5 kg. disponibles en la maleta y 3 kg. en la bolsa, y tiene que elegir que objetosincluye en ellas. Las posibilidades vienen dadas por la tabla siguiente, en la que seincluye la utilidad de coger cada objeto.

Peso UtilidadUna botella de vino 1.5 10Un frasco de perfume 0.5 5Un ordenador portatil 2.5 15Un disco duro externo 0.5 8Una carpeta con documentos de trabajo 0.9 40Una novela 0.8 20Un comic 0.5 15Cajas de bombones 0.4 3

Los documentos de trabajo, la novela y el comic tienen 10 unidades mas de utilidadsi se llevan en la bolsa de mano, pues en tal caso Ines puede usarlos durante el vuelo.Ademas hay que tener en cuenta que:

• La ley no permite llevar lıquidos en las bolsas de mano.

• La botella de vino y el frasco de perfume son posibles regalos para su madre,de modo que como mucho tendra que llevar uno de los dos.

• Las cajas de bombones son posibles regalos para otros cuatro familiares, conlo que tampoco tendrıa sentido llevar mas de cuatro.

• Los documentos de trabajo son imprescindibles.

• Aparte de dichos documentos, Ines quiere llevar seguro algo de lectura, perosolo una cosa.

• Serıa tonto coger el disco duro si no se lleva el portatil.

Determina que objetos hay que llevar en la maleta y cuales en la bolsa para maxi-mizar la utilidad.

Escribe el modelo explicando el significado de las variables, de cada restriccion y de la funcionobjetivo, escribe la solucion optima (es decir, indica que hay que incluir en cada maleta) ycomprueba en el papel que la solucion que presentas satisface las condiciones del enunciado (nolas ecuaciones que hayas escrito en el modelo).

MATEMATICAS II Grupo GF M2b

APELLIDOS: NOMBRE:


El director de personal de una empresa debe organizar la plantilla de dos nuevasfabricas F1 y F2. Para ello tiene contratados tres directivos A, B y C (dos delos cuales deberan ir a una fabrica y uno a la otra) y falta todavıa contratar a lostrabajadores necesarios. Los salarios mensuales convenidos con los directivos, asıcomo el de los trabajadores, dependen de su destino final segun la tabla siguiente:

F1 F2A 4 000 C 3 000 CB 3000 C 3 500 CC 4200 C 4 000 C

Trabajadores 1 000 C 900 C

La fabrica 1 requiere 50 trabajadores por cada directivo, mientras que la fabrica 2requiere 60 por cada directivo. Por otra parte, el director de personal debe tener encuenta que A y B no estan dispuestos a trabajar juntos y que A solo esta dispuestoa trabajar en la fabrica 2 si C trabaja con el.

Determina a que fabricas hay que destinar cada directivo y cuantos trabajadoresconviene contratar en cada una de ellas para minimizar el coste de la plantilla.

Escribe el modelo explicando el significado de las variables, de cada restriccion y de la funcionobjetivo, escribe la solucion optima (es decir, indica los destinos de cada directivo y el numerode trabajadores que hay que contratar en cada fabrica) y comprueba en el papel que la solucionque presentas satisface las condiciones del enunciado (no las ecuaciones que hayas escrito en elmodelo).

MATEMATICAS II Grupo GF T3

APELLIDOS: NOMBRE:

1. Una empresa fabrica tres tipos de zumo: de melocoton, de uva y una mezcla de ambos. Elproblema siguiente determina los litros a producir de cada uno de ellos para aprovechartodo el stock disponible de ambas frutas con coste mınimo de elaboracion.

Min. 3x + 3y + 7z costes.a x + z � 200 stock de melocoton

y + 2z � 500 stock de uvax, y, z � 0

3 3 7 0 0x y z s t

3 y �2 1 0 2 �1 1007 z 1 0 1 �1 0 200

1 3 7 �1 �32 0 0 1 3 1700

(a) (0.1 ptos.) Escribe el problema dual.

(b) (0.2 ptos.) Calcula la solucion optima del problema dual a partir de la tabla optimadada en el enunciado.

(c) (0.2 ptos.) Interpreta economicamente las variables (principales) duales que hascalculado en el apartado (b).

(d) (0.2 ptos.) Calcula el intervalo de sensibilidad de la cantidad de melocoton querequiere cada litro del primer zumo.

(e) (0.2 ptos.) Calcula por postoptimizacion la nueva solucion optima si el coste deltercer zumo fuera de 10 u.m.


Min. 2x + 5ys.a x + y 1

x + 2y � 5�2x + y 11

x 0

�2 5 �5 0 0 0x0 y1 y2 s t u

�2 x0 1 0 0 �2 �1 0 35 y1 0 1 �1 �1 �1 0 40 u 0 0 0 5 3 1 1

�2 5 �5 �1 �3 00 0 0 1 3 0 14

(a) (0.2 ptos.) Escribe el problema dual. Pon el primal y el dual en forma estandar.

(b) (0.2 ptos.) Sabiendo que la tabla optima del problema primal es la indicada, calculala solucion optima (�, µ, ⌫) del problema dual.

(c) (0.2 ptos.) Calcula la tabla optima del problema dual.

(d) (0.2 ptos.) Calcula el intervalo de sensibilidad del termino independiente de lasegunda restriccion.

(e) (0.3 ptos.) Estudia mediante postoptimizacion que sucede si el termino indepen-diente de la segunda restriccion pasa a valer 6.

MATEMATICAS´ II Grupo GF 7-3-13 APELLIDOS: NOMBREIvorra/docencia/EC2013.pdf · 2013-05-27 ·...

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