Matemáticas IIFís. Edgar I. Sánchez Rangel Curso de Matemáticas II Tema: Cálculo Diferencial...

Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel

Curso de Matemáticas II

Tema:

Cálculo Diferencial

Profesor: Fís. Edgar I. Sánchez Rangel


Definición de derivada

La derivada de una función es la razón de cambio de dicha función cuando cambia x, es decir, cuánto cambian los valores

de y, cuando x cambia una cierta cantidad.


Primeros ejemplos

Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos de derivadas, con la intención de que ustedes vayan deduciendo un

procedimiento (regla) para resolverlas.

xxf 3)(

3dxdf

3)(

3xxf

512

)( x

xf

26)( xxf

2xdxdf

xdxdf

2

52

dxdf


Sea la función:

La derivada de esta función es:

Regla para encontrar derivadas

dxdf

)x(f c x n

1n

dxdf 1ncnx


Sea la función:


Derivadas especiales

dxdf

)x(f c x 1

11

dxdf 0cx

cdxdf


Sea la función:

Derivadas especiales

0dxdf

cxf )(



Sea la función:


Ejemplos de derivadas

dxdf

)x(f 5 x 3

13

dxdf 215x


Sea la función:



dxdf

)x(f 3 x 4

14

dxdf 312x


Sea la función:



dxdf

)x(f 32 x

51

15

1

dxdf

5

4

152

x


Derivada de una suma y diferencia de funciones

)()()( xhxgxf

Sea la función:

dxdh

dxdg

dxdf

La derivada de la suma o diferencia es:


Ejemplos

675)( 2 xxxf

Sean las funciones:

710 xdxdf

1651034)( 256 xxxxxf

5201524 45 xxxdxdf


Ejercicios propuestos

42

1

43

8)( xxxf

Deriva las siguientes funciones:

52

1

)4(43

21

)8(

xx

dxdf

xxxf 103)( 4

xxdxdf 512

5

5

34xxdx

df


Derivada de un producto de funciones

Si la función que voy a derivar f(x) es el producto de las funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.

)x(h)x(g)x(f

dxdh

xgxhdxdg

dxdf

)()(


EjemploConsideremos el siguiente producto de funciones

dxdh

g)x(hdxdg

dxdf

)413)(58()( 22 xxxxf

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4

y recordando la regla para derivar productos de funciones

tenemos que

)26)(58()413)(516( 22 xxxxxdxdf

2323 130208206564208 xxxxx 2064195416 23 xxx



Resuelve el producto de funciones:

)3)(4()( 2xxxf

)2)(4()3)(1( 2 xxxdxdf

22 283 xxx

383 2 xx


Deriva este otro producto de funciones:

)2)(3()( 2132 xxxxxf

)4)(3()2)(36( 232214 xxxxxxxxdxdf

253253 412363126 xxxxxx

34224 523 xxx



Derivada de un producto de varios factores

Un caso especial en este tipo de derivadas, se presenta cuando debemos derivar más de dos factores o términos. Para este caso

debemos seguir la siguiente regla. Consideremos tres factores, es decir

)()()()( xhxgxexf

dxdh

xgxexhdxdg

xexhxgdxde

dxdf

)()()()()()(

su derivada será:


Ejemplo

Derivemos la siguiente expresión:

)5)(2)(3()( xxxxf

)1)(2)(3()5)(1)(3()5)(2)(1( xxxxxxdxdf

)2)(3()5)(3()5)(2( xxxxxx

)236()32)(5( 2xxxxxx

)56()25)(5( 2xxxx 22 56251025 xxxxx

31203 2 xx


Derivadas

Si la función que voy a derivar f(x) es un cociente de funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.

)x(h)x(g

)x(f

2)()(

xhdxdh

gxhdxdg

dxdf


EjemploConsideremos el siguiente cociente de funciones

2354

)(xx

xf

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar productos de funciones

tenemos que

223

)3)(54()23)(4(

x

xxdxdf

2)()(

xhdxdh

gxhdxdg

dxdf


Ejemplo

223

)1512(812

x

xxdxdf

223

7

x

Es importante recordar que siempre tenemos que llegar a la mínima expresión, como fue en este caso.


Ejercicio propuesto

Sea

11168

)(2

xxx

xf

2

2

)1()1)(1168()1)(616(

xxxxx

dxdf

2

22

)1(1168161616

xxxxxx

2

2

)1(10168

xxx


Ejercicio propuesto

Sea

11

)( 3

3

xx

xf

23

2332

)1()3)(1()1(3

xxxxx

dxdf

23

2525

)1(3333

xxxxx

23

2

)1(6

xx


Derivadas

Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que está elevada a una potencia n, existe una regla para encontrar la derivada de esta

función.

nxhxf )()(

dxdh

xhndxdf n 1)(


EjemploConsideremos el siguiente cociente de funciones

2)45()( xxf

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando la regla de la cadena

tenemos que

)5)(45(2 xdxdf

dxdh

xhndxdf n 1)(

)45(10 x

4050 x


Ejemplo

Sea367)( 2 xxxf

61436721

2

12

xxx

dxdf

21

2 367

37

xx

x

367

372

xx

x

La función puede escribirse también de la siguiente forma:

21

2 367)( xxxf

y

367)( 2 xxxf

21

2 367)( xxxf


Ejemplo

Sea

23

2

)6(63

)(xx

xxf

223

232232

1

23

2

)6(

)63)(6(2)63()6)(6()6(63

21

xx

xxxxxxxxx

xdxdf

43

22332

1

2

23

)6()63()6(6)6(

63)6(

21

xxxxxxxx

xxx

43

24243

2

23

)6()36369(366)6(

63)6(

21

xxxxxxxx

xxx


Ejemplo

43

24243

2

3

)6()36369366)(6(

63

)6(21

xxxxxxxx

x

xx

43

423

2 )6()363()6(

63

121

xxxxx

x

23

4

2 )6(363

63

121

xxx

x

63)6(

36321

223

4

xxx

x

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